View
156
Download
7
Category
Preview:
DESCRIPTION
Psikometri Bab a20
Citation preview
Bab 20
Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Bab 20
KARAKTERISTIK BUTIR MODEL LOGISTIK
A. Distribusi Probabilitas Logistik
1. Pendahuluan
• Frederic M. Lord memperkenalkan model ojaif normal
• Model ojaif normal cukup sulit untuk perhitungan
• Allan Birnbaum memperkenalkan model logistik yang mirip dengan model ojaif normal dan lebih mudah untuk perhitungan
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
2. Model Ojaif Normal dan Model Logistik
• Karakteristik butir model logistik didasarkan kepada kumulasi distribusi probabilitas logistik
• Karena model logistik ini menyerupai model ojaif normal maka model ojaif normal dapat diganti dengan model logistik
• Kedekatan ini dapat dipertinggi melalui penggunaan konstanta tertentu
• Pada saat ini, dalam banyak penggunaan, model yang sering digunakan adalah model logistik
• Dalam hal karakteritik butir, yang banyak digunakan adalah karakteritik butir model logistik
• Ada tiga model logistik yakni model 1 parameter, model 2 parameter, dan model 3 parameter
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
3. Fungsi Logistik
• Fungsi densitas logistik umum
• Untuk k = 1 dan u = 0, bentuk ini menjadi
kkuX
h
ek
eXf
k
uX
k
uX
42
sec
1
)(
2
2
−
=
+
=−
−
( )21)(
X
X
e
eXf
+=
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Grafik fungsi logistik
• Fungsi distribusi (ojaif) umum
f (X)
X−3 −2 −10 1 2 3
0,1
0,2
k
uX
k
uX
X
k
uX
k
uX
e
e
dX
ek
eX
−
−
∞−−
−
+=
+
= ∫
1
1
)( 2ψ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Fungsi distribusi (ojaif) untuk k = 1 dan X = 0
Bentuk grafik adalah
Bentuk umum digunakan pada karakteristik butir model logistik dengan beberapa penyesuaian
X
X
e
eX
+=1
)(ψ
f (X)
X
−3 −2 −1 0 1 2 3
0,2
0,5
0,8
1,0
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
4. Model Rasch dan Model Logistik
• Ada dua model karakteritik butir yang pada dasarnya menggunakan fungsi logistik
Model Rasch
Model Logistik
• Model Rasch hanya menggunakan satu parameter yakni parameter b
• Model logistik terdiri atas tiga macam yakni model satu parameter, model dua parameter, dan model tiga parameter
• Model Rasch sangat mirip dengan model logistik satu parameter
• Karena itu ada kalanya model logistik satu parameter dinamakan model Rasch
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
B. Karakteristik Butir Model Rasch
1. Pendahuluan
• Responden ke-g menjawab butir ke-i dan misalkan
Kemampuan responden Bg
Taraf sukar butir D i
Probabilitas sukses Pi(Bg)
Probabilias gagal 1 – Pi(Bg)
• Probabilitas sukses berbanding dengan kemampuan yakni makin tinggi kemampuan makin tinggi probabilitas sukses
• Probabilitas gagal berbanding dengan taraf sukar butir yakni makin sukar butir makin tinggi probabilitas gagal
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
2. Kesempatan (Odds) Sukses
Kesempatan sukses, dalam hal ini, adalah
sehingga probabilitas sukses menjadi
Selanjutnya untuk menentukan karakteristik butir, dianggap bahwa kemampuan dan taraf sukar butir berbentuk eksponensial
i
g
gi
gi
D
B
BP
BP=
− )(1
)(
ig
ggi DB
BBP
+=)(
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
3. Karakteritik Butir Model Rasch
• Kemampuan dan taraf sukar butir berentuk eksponensial
• Probabilitas sukses (jawaban betul) menjadi
)()( gigi
bi
g
PBP
eD
eB
i
g
θ
θ
==
=
)(
)(
1
)(
ig
ig
i
i
i
g
i
g
ig
g
b
b
b
b
b
b
bgi
e
e
e
e
e
ee
e
ee
eP
−
−
+=
+=
+=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Dengan demikian, karakteristik butir model Rasch untuk
Responden ke-g dengan kemampuan θ Butir ke-i dengan taraf sukar bi
berbentuk
Bentuk ini adalah bentuk fungsi distribusi probabilitas logistik
Akan kita lihat bahwa bentuk ini mirip dengan model logistik satu parameter
)(
)(
1)(
i
i
b
b
i e
eP −
−
+= θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
C. Karakteristik Butir Model Logistik
1. Model Logistik yang Digunakan
Dari model umum
disusun karakteristik butir model logistik melalui penyesuaian
θ = X
bi = u
Pi(θ) = ψ(X)
D = 1 / k untuk 1 parameter
Dai = 1 / k untuk 2 dan 3 parameter
)(1
)(1
1
)(uX
k
uXk
e
eX
−
−
+=ψ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
2. Model Logistik Satu Parameter
• Di sini model ini disingkat menjadi model L1P
• Probabilitas sukses (jawaban betul) untuk butir ke-i
• Mereka adalah sama sehingga dapat digunakan salah satu di antara mereka
• Agar dapat dekat ke model ojaif normal sampai 0,01, maka diambil
D = 1,7
)(
)(
)(
1
1)(
1)(
i
i
i
bDi
bD
bD
i
eP
ataue
eP
−−
−
−
+=
+=
θ
θ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas gagal (jawaban salah) untuk butir ke-i
Qi(θ) = 1 – Pi(θ)
atau dalam bentuk probabilitas
Agar dekat ke model ojaif normal sampai 0,01 maka digunakan
D = 1,7
)(
)(
)(
1
11
1)(
i
i
i
bD
bD
bD
i
e
e
eQ
−
−
−
+=
+−=
θ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Model L1P dan model Rasch
Terdapat kemiripan di antara model L1P dengan model Rasch
Perbedaan mereka terletak pada nilai D
Pada L1P nilai D = 1,7 sedangkan pada model Rasch nilai D = 1
Model Rasch
Model L1P
)(
)(
1)(
i
i
b
b
i e
eP −
−
+= θ
θ
θ
)(7,1
)(7,1
)(
)(
11)(
i
i
i
i
b
b
bD
bD
i e
e
e
eP −
−
−
−
+=
+= θ
θ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
3. Model Logistik Dua Parameter
• Di sini model ini disingkat menjadi model L2P
• Probabilitas sukses (jawaban betul) untuk butir ke-i
• Mereka adalah sama sehingga dapat digunakan salah satu di antara mereka
• Agar dapat dekat ke model ojaif normal sampai 0,01, maka diambil
D = 1,7
)(
)(
)(
1
1)(
1)(
ii
ii
ii
bDai
bDa
bDa
i
eP
ataue
eP
−−
−
−
+=
+=
θ
θ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas gagal (jawaban salah) untuk butir ke-i
Qi(θ) = 1 – Pi(θ)
atau dalam bentuk probabilitas
Agar dekat ke model ojaif normal sampai 0,01 maka digunakan
D = 1,7
)(
)(
)(
1
11
1)(
ii
ii
ii
bDa
bDa
bDa
i
e
e
eQ
−
−
−
+=
+−=
θ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
4. Model Logistik Tiga Parameter
• Di sini model ini disingkat menjadi model L3P
• Probabilitas sukses (jawaban betul) untuk butir ke-i
• Agar dapat dekat ke model ojaif normal sampai 0,01, maka diambil
D = 1,7
)(
)(
)(
)()()(
)(
)()(
)(
)(
)(][)(
)()(
ii
ii
ii
iiiiii
ii
iiii
ii
ii
bDa
bDai
bDa
bDai
bDabDaii
bDa
bDai
bDai
i
bDa
bDa
iii
e
ec
e
eceecc
e
ececP
ataue
eccP
−
−
−
−−−
−
−−
−
−
++=
+−++=
+−++=
+−+=
θ
θ
θ
θθθ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
1
1
1
11
11
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas gagal (jawaban salah) untuk butir ke-i
Qi(θ) = 1 – Pi(θ)
atau dalam bentuk probabilitas
Agar dekat ke model ojaif normal sampai 0,01 maka digunakan
D = 1,7
)(
)(
)()(
)(
)(
1
11
1
11)(
ii
ii
iiii
ii
ii
bDai
bDa
bDai
bDa
bDa
bDai
i
e
ce
ece
e
ecQ
−
−
−−
−
−
+−=
+−−+=
++−=
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
5. Nilai Konstanta D
• Ada kalanya demi kesederhanaan, nilai D ditetapkan sebesar
D = 1
• Untuk mendekatkan model logistik ke model ojaif normal
Dalam hal ini nilai D ditetapkan sebesar
D = 1,7
01,012
11
11 2
7,1
7,12
1
<+
−∫∞−
−
z
zzz
e
edze
π
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
D. Lengkungan Karakteristik Butir Model Logistik
1. Pendahuluan
• Lengkungan karakteristik butir ini dilakukan untuk setiap butir atau butir demi butir
• Lengkungan karakteristik butir dihitung dan digrafikkan untuk sejumlah nilai θ, biasanya, di sekitar
− 4 ≤ θ ≤ + 4
dalam lompatan 0,5 atau menurut keperluan
• Ada kalanya, beberapa butir digrafikkan dalam satu grafik sehingga karakeristik mereka dapat dibandingkan satu terhadap lainnya
------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
2. Lengkungan Karakteristik Butir L1P
Untuk butir ke-i, model L1P hanya memiliki satu parameter butir yakni bi
Contoh 1
Lengkungan karakteristik butir L1P pada butir dengan bi = 1,0 dan dihitung pada θ dari − 3 sampai + 3 dengan lompatan 1,0
Karakteritik butir ini berbentuk
dan dalam bentuk tabel diperoleh nilai probabilitas sukses (jawaban betul)
)0,1(7,11
1)( −−+
= θθe
Pi
------------------------------------------------------------------------------Karateriktik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
θ −1,7(θ-1,0) Pi(θ)
− 3 6,8 0,001
− 2 5,1 0,006
− 1 3,4 0,032
0 1,7 0,154
1 0,0 0,500
2 − 1,7 0,846
3 − 3,4 0,968
−3 −2 −1 0 1 2 3θ
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Pi(θ)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 2
Ada 4 butir pada model L1P masing-masing dengan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 4
Taraf sukar − 1 0 1 2
Karakteristik butir dengan menggunakan D = 1,7 adalah
Perhitungan untuk setiap butir adalah seperti pada contoh 1
Hasil perhitungan dapat disusun dalam bentuk tabel
)(7,11
1)(
ibi eP −−+
= θθ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Butir bi Pi(θ) untuk θ =
i − 3 − 2 − 1 0 1 2 3
1 −1 0,03 0,15 0,50 0,85 0,97 0,99 0,99
2 0 0,03 0,15 0,50 0,85 0,97 0,99
3 1 0,03 0,15 0,50 0,85 0,97
4 2 0,03 0,15 0,50 0,85
Pi(θ)
θ−3 −2 −1 0 1 2 3
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1 2 3 4
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Tampak pada grafik bahwa lengkungan untuk bi yang makin tinggi terletak lebih ke kanan daripada lengkungan untuk bi yang lebih rendah
Makin sukar butir makin ke kanan letak lengkungannya sehingga butir 1 termudah dan butir 4 tersukar
Makin sukar butir makin diperlukan θ yang lebih tinggi untuk dapat menjawabnya dengan betul
Contoh 3
Ada 3 butir pada model L1P masing-masing dengan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 Taraf sukar − 0,5 0,5 1,5
Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 4
Ada 3 butir pada model L1P masing-masing dengan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 Taraf sukar − 0,8 0,8 1,8
Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0
Contoh 5
Ada 4 butir pada model L1P masing-masing dengan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 4 Taraf sukar − 1,2 − 0,2 0,2 1,2
Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0
------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
3. Lengkungan Karakteristik Butir L2P
Untuk butir ke-i, model L2P memiliki dua parameter butir yakni bi dan ai
Contoh 6
Lengkungan karakteristik butir L2P pada butir dengan bi = 1,0 dan ai = 0,5 dihitung pada θ dari − 3 sampai + 3 dengan lompatan 1,0
Karakteritik butir ini berbentuk
dan dalam bentuk tabel diperoleh nilai probabilitas sukses (jawaban betul)
)0,1(85,0)0,1)(5,0)(7,1( 1
1
1
1)( −−−− +
=+
= θθθee
Pi
------------------------------------------------------------------------------Karateriktik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
θ −0,85(θ-1,0) Pi(θ)
− 3 3,40 0,032
− 2 2,55 0,072
− 1 1,70 0,154
0 0,85 0,300
1 0,00 0,500
2 − 0,85 0,701
3 − 1,70 0,846
−3 −2 −1 0 1 2 3θ
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Pi(θ)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 7
Ada 4 butir pada model L2P masing-masing dengan daya beda dan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 4
Daya beda 0,5 1,2 0,5 1,0
Taraf sukar − 1 0 1 2
Karakteristik butir dengan menggunakan D = 1,7 adalah
Perhitungan untuk setiap butir adalah seperti pada contoh 6
Hasil perhitungan dapat disusun dalam bentuk tabel
)(,)(
ii bai eP −−+
= θθ711
1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Butir ai bi Pi(θ) untuk θ =
i −3 −2 −1 0 1 2 3
1 0,5 −1,0 0,154 0,300 0,500 0,700 0,846 0,928 0,968
2 1,2 0,0 0,002 0,017 0,115 0,500 0,885 0,983 0,998
3 0,5 1,0 0,032 0,072 0,154 0,300 0,500 0,701 0,846
4 1,0 1,0 0,001 0,006 0,032 0,154 0,500 0,846 0,968
θ
Pi(θ)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
12
3
4
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Tampak pada grafik bahwa makin besar taraf sukar butir b makin ke kanan letak grafik
Butir 1 dengan b paling kecil terletak paling kiri sedangkan butir 3 dan 4 dengan b paling besar terletak paling kanan
• Tampak juga pada grafik bahwa makin besar daya beda butir a makin curam grafiknya
Butir 1 dan 3 dengan a kecil makin landai (tidak curam) grafiknya sedangkan butir 2 dan 4 dengan a lebih besar makin curam grafiknya
• Kombinasi di antara daya beda butir dan taraf sukar butir menghasilkan grafik seperti di depan
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 8
Ada 4 butir pada model L2P masing-masing dengan daya beda dan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 4 Daya beda 0,3 1,2 1,6 1,8
Taraf sukar −1,0 −0,5 0,0 1,5
Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0
Contoh 9
Ada 4 butir pada model L2P masing-masing dengan daya beda dan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 4 Daya beda 0,8 1,3 1,7 1,8
Taraf sukar −1,5 1,0 0,5 −1,5
Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0
------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
4. Lengkungan Karakteristik Butir L3P
Untuk butir ke-i, model L3P memiliki tiga parameter butir yakni bi, ai, dan ci
Contoh 10
Lengkungan karakteristik butir L3P pada butir dengan bi = 1,0, ai = 1,0, dan ci = 0,15 dihitung pada θ dari − 3 sampai + 3 dengan lompatan 1,0
Karakteritik butir ini berbentuk
)0,1)(7,1(
)0,1)(7,1(
)0,1)(0,1)(7,1(
)0,1)(0,1)(7,1(
)(
)(
1
15,0
1
15,0
1)(
−
−
−
−
−
−
++=
++=
++=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
e
e
e
e
e
ecP
ii
ii
bDa
bDai
i
------------------------------------------------------------------------------Karateriktik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
θ 1,7(θ-1,0) Pi(θ)
− 3 −6,8 0,151
− 2 −5,1 0,155
− 1 −3,4 0,177
0 −1,7 0,281
1 0,0 0,575
2 1,7 0,869
3 3,4 0,973
−3 −2 −1 0 1 2 3θ
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Pi(θ)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 11
Ada 4 butir pada model L3P masing-masing dengan daya beda, taraf sukar, dan kebetulan betul sebagai berikut
Butir 1 2 3 4 Daya beda 0,2 0,5 1,0 2,0
Taraf sukar −1,0 0,0 1,0 2,0 Kebetulan 0,00 0,10 0,15 0,20
Karakteristik butir dengan menggunakan D = 1,7 adalah
Perhitungan untuk setiap butir adalah seperti pada contoh 10
Hasil perhitungan dapat disusun dalam bentuk tabel
)(7,1
)(7,1
)(
)(
11)(
i
i
ii
ii
b
bi
bDa
bDai
i e
ec
e
ecP −
−
−
−
++=
++= θ
θ
θ
θ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Butir ai bi ci Pi(θ) untuk θ =
i −3 −2 −1 0 1 2 3
1 0,2 −1,0 0,00 0,336 0,416 0,500 0,584 0,664 0,735 0,796
2 0,5 0,0 0,10 0,165 0,239 0,369 0,550 0,731 0,861 0,935
3 1,0 1,0 0,15 0,151 0,155 0,177 0,281 0,575 0,869 0,973
4 2,0 2,0 0,20 0,201 0,226 0,600 0,974
θ
Pi(θ)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
12 3
4
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Tampak pada grafik bahwa makin besar taraf sukar butir b makin ke kanan letak grafik
Butir 1 dengan b terkecil terletak paling kiri sedangkan butir 4 dengan b terbedar terletak paling kanan
• Tampak pada grafik bahwa makin besar daya beda butir a makin curam grafiknya
Butir 1 dengan a terkecil paling landai (tidak curam) grafiknya sedangkan butir 4 dengan a terbesar paling curam grafiknya
• Tampak juga bahwa kebetulan jawab betul c merupakan batas bawah dari grafik
Butir 1 dengan c terkecil masih dapat lebih rendah lagi batas bawahnya sedangkan butir 4 memiliki batas bawah paling tinggi
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 12
Ada 6 butir pada model L3P masing-masing dengan daya beda dan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 4 5 6 Daya beda 1,8 0,8 1,8 1,8 1,2 0,4
Taraf sukar 1,0 1,0 1,0 −1,5 −0,5 0,5 Kebetulan 0,00 0,00 0,25 0,00 0,10 0,15
Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0
Contoh 13
Ada 5 butir pada model L3P masing-masing dengan daya beda dan taraf sukar sebagai berikut
Butir 1 2 3 4 5 Daya beda 1,27 1,34 1,14 1,00 0,67
Taraf sukar 1,19 0,59 0,15 −0,59 −2,00 Kebetulan 0,10 0,15 0,15 0,20 0,01
Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
5. Perbandingan karakteristik Butir Model Logistik
Kita membandingkan model L1P, model L2P, dan model L3P
• Bentuk yang paling banyak mengandung parameter adalah model L3P dengan ai, bi, dan ci bernilai
ai ≠ 0 ci ≠ 0
• Bentuk L2P mengandung dua parameter butir ai dan bi yang dapat dianggap sebagai model L3P dengan nilai parameter
ai ≠ 0 ci = 0
• Bentuk L1P hanya mengandung satu parameter butir bi yang dapat dianggap sebagai model L3P dengan nilai parameter
ai = 1 c i = 0
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Secara praktis, sebenarnya kita cukup menggunakan satu rumus saja yakni rumus untuk model L3P
serta semua perhitungan yang mengikutinya
• Ketika berlaku sebagai model L3P semua parameter digunakan
• Ketika berlaku sebagai model L2P, parameter ci kita masukkan nilai ci = 0 sehingga yang digunakan hanya parameter butir ai dan bi
• Ketika berlaku sebagai model L1P, parameter ai dan ci kita masukkan nilai ai = 1 dan ci = 0 sehingga yang digunakan hanya parameter butir bi
)(
)(
)()(ii
ii
bDa
bDa
iii e
eccP −
−
+−+= θ
θ
θ1
1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
E. Batas Nilai pada Model Logistik
1. Kemampuan Responden
• Kemampuan responden memiliki rentangan yang luas
• Secara teoretik rentangan ini terletak di antara – ∞ sampai + ∞
• Secara praktis rentangan ini cukup terletak di sekitar
– 4 ≤ θ ≤ + 4
• Ada kalanya lebih dan ada kalanya kurang bergantung hasil perhitungan apakah sudah terlalu kecil atau sudah terlalu besar
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
2. Probabilitas Sukses dan Gagal
• Probabilitas sukses adalah probabilitas untuk dapat menjawab dengan betul
Sebagai probabilitas, rentangan nilainya terletak di antara 0 dan 1
0 ≤ P(θ) ≤ 1
• Probabilitas gagal adalah probabilitas untuk tidak dapat menjawab dengan betul (menjawab salah)
Sebagai probabilitas, rentang nilainya juga terletak di antara 0 dan 1
0 ≤ Q(θ) ≤ 1
• Terdapat hubungan di antara P(θ) dan Q(θ) berupa
P(θ) + Q(θ) = 1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
3. Daya Beda Butir
• Daya beda butir membedakan kemampuan berbeda dalam hal probabilitas sukses atau gagal
• Karena kemampuan tinggi diasumsikan memiliki probabiltas lebih besar untuk sukses (atau paling sedikit sama) daripada kemampuan rendah maka daya beda a tidak boleh negatif
a ≥ 0
• Dalam praktek biasanya daya beda a memiliki nilai tidak lebih dari sekitar 2 sehingga secara praktis rentangan nilai daya beda adalah
0 ≤ a ≤ 2
------------------------------------------------------------------------------Karateristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
4. Kebetulan Betul
• Dalam hal butir berbentuk jawaban pilihan ganda dapat saja terjadi bahwa jawaban betul atau sukses diperoleh melalui terkaan
• Ada probabilitas tertentu untuk sukses dalam terkaan yakni bergantung kepada banyaknya pilihan
• Untuk n pilihan probabilitas sukses melalui terkaan adalah P(θ) = 1 / n sehingga
c = 1 / n
• Karena pilihan tersedikit adalah 2 pada pilihan betul-salah maka dalam praktek n terkecal adalah 2 sehingga dalam praktek
0 ≤ c ≤ 0,5
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
5. Taraf sukar Butir
• Taraf sukar butir memiliki skala yang sama dengan skala kemampuan responden sehingga secara teoretik rentangan nilainya adalah
– ∞ ≤ b ≤ + ∞
• Nilai taraf sukar butir diperoleh pada saat probabilitas sukses adalah 0,5 di antara probabilitas minimum dan maksimum yakni
pada L1P dan L2P ketika P(θ) = 0,5
pada L3P ketika P(θ) = 0,5 (1 + c)
• Dalam praktek, rentangan nilai b terletak di antara nilai –2 dan + 2 yakni
– 2 ≤ b ≤ + 2
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
6. Karakteristik Butir dan Responden
• Karakteristik butir
Satu butir ke-i dijawab oleh banyak responden maka hasilnya dinamakan karakteristik butir dari butir ke-i
Probabilitas sukses berbentuk Pi(θ) untuk butir ke-i
• Karakteristik responden
Satu responden ke-g menjawab banyak butir maka hasilnya dinamakan karakteristik responden dari responden ke-g
Probabilitas sukses berbentuk Pg(θ) untuk responden ke-g
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
F. Beberapa Ciri Model Logistik
1. Variansi
• Pada data dikotomi, variansi adalah
Var = Pi(θ).Qi(θ)
• Pada model L1P, variansi adalah
[ ]21
1
1
1
1
)(
)(
)()(
)()(
i
i
ii
bD
bD
bDbD
ii
e
e
ee
QPVar
−
−
−−−
+=
++=
=
θ
θ
θθ
θθ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model L2P, variansi adalah
• Pada model L3P, variansi adalah
[ ]21
1
1
1
1
)(
)(
)()(
)()(
ii
ii
iiii
bDa
bDa
bDabDa
ii
e
e
ee
QPVar
−
−
−−−
+=
++=
=
θ
θ
θθ
θθ
( )[ ]21
1
1
1
1
)(
)(
)()(
)(
)(
)()(
ii
ii
iiii
ii
bDa
bDaii
bDai
bDa
bDai
ii
e
ecc
e
c
e
ec
QPVar
−
−
−−
−
+
+−=
+−
++=
=
θ
θ
θθ
θ
θθ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
2. Kesempatan dan Logit Sukses
• Kesempatan sukses (odds of success) yang berkenaan dengan kemampuan responden
Untuk L1P dan L2P berbentuk
Untuk L3P berbentuk
)(
)(
θθ
i
iS Q
PO =
)(
)(
θθi
iiS Q
cPO
−=
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Logit (log odds unit) sukses yang berkenaan dengan kemampuan responden
Untuk model L1P dan L2P berbentuk
Untuk model L3P berbentuk
)(
)(lnln)(
θθ
i
iS Q
POSLogit ==
)(
)(lnln)(
θθi
iiS Q
cPOSLogit
−==
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model L1P, kesempatan dan logit sukses adalah
• Pada model L2P, kesempatan dan logit sukses adalah
)(ln)(
)(
)( )(
)(
)(
iS
bD
bD
bD
i
iS
bDOSLogit
e
e
eQ
PO i
i
i
−==
=
+
+== −
−
−−
θ
θθ θ
θ
θ
1
11
1
)(ln)(
)(
)( )(
)(
)(
iiS
bDa
bDa
bDa
i
iS
bDaOSLogit
e
e
eQ
PO ii
ii
ii
−==
=
+
+== −
−
−−
θ
θθ θ
θ
θ
1
11
1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model L3P, kesempatan dan logit sukses adalah
)()(
)(ln)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
iii
ii
bDa
bDai
ibDa
bDa
ii
i
iiS
bDaQ
cPSLogit
e
e
c
ce
ecc
Q
cPO
ii
ii
ii
ii
−=−=
=+
−
−+
−+=
−=
−
−
−
−
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
1
11
1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
3. Kesempatan dan Logit Gagal
• Kesempatan gagal (odds of failure) yang berkenaan dengan taraf sukar butir
Untuk L1P dan L2P berbentuk
Untuk L3P berbentuk
)(
)(
θθ
i
iG P
QO =
ii
iG cP
QO
−=
)(
)(
θθ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Logit (log odds unit) gagal yang berkenaan dengan taraf sukar butir
Untuk model L1P dan L2P berbentuk
Untuk model L3P berbentuk
)(
)(lnln)(
θθ
i
iG P
QOGLogit ==
ii
iG cP
QOGLogit
−==
)(
)(lnln)(
θθ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model L1P, kesempatan dan logit gagal adalah
• Pada model L2P, kesempatan dan logit gagal adalah
)(ln)(
)(
)( )(
)(
)(
iG
bD
bD
bD
i
iG
bDOGLogit
e
e
eP
QO i
i
i
−−==
=
+
+== −−
−−
−
θ
θθ θ
θ
θ
1
11
1
)(ln)(
)(
)( )(
)(
)(
iiG
bDa
bDa
bDa
i
iG
bDaOGLogit
e
e
eP
QO ii
ii
ii
−−==
=
+
+== −−
−−
−
θ
θθ θ
θ
θ
1
11
1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model L3P, kesempatan dan logit gagal adalah
)()(
)(ln)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
iiii
i
bDa
ibDa
bDa
ii
bDai
ii
iG
bDacP
QGLogit
e
ce
ecc
e
c
cP
QO
ii
ii
ii
ii
−−=−
=
=
−+
−+
+−
=
−=
−−
−
−
−
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
11
1
1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
4. Kecuraman Lengkungan
• Kecuraman lengkungan pada setiap titik ditentukan oleh garis singgung pada titik itu
• Garis singgung pada lengkungan ditentukan oleh hasilbagi diferensial
θ
Pi(θ)
θθ
d
dPi )(
θθ
d
dPi )(
θθ
d
dPi )(
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Perhitungan kecuraman (garis singgung) pada umumnya menggunakan rumus
• untuk model L1P gunakan bentuk
• untuk model L2P dan L3P gunakan bentuk
θθ
θθ
θθ
d
bdD
bdD
dP
d
dP i
i
ii )(
)(
)()( −−
=
θθ
θθ
θθ
d
bdDa
bdDa
dP
d
dP ii
ii
ii )(
)(
)()( −−
=
dx
du
du
udf
dx
udf )()( =
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Kecuraman pada Model L1P
• Selanjutnya bagian-bagiannnya menjadi
( ) ( ) ( )
[ ]21
11
1
i
i
i
i
i
i
i
bD
bDbD
bDbD
i
bD
bD
i
e
d
ede
d
dee
d
dP
e
eP
−
−−
−−
−
−
+
+−+=
+=
θ
θθ
θθ
θ
θ
θθθθ
θ
(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
( ) ( ) )()()(
)()()(
)(
)(
)(
)(
i
ii
i
ii
bDi
i
bDbD
bDi
i
bDbD
Ded
bdD
bdD
ed
d
ed
dan
Ded
bdD
bdD
de
d
de
−−−
−−−
=−−
+=+
=−−
=
θθθ
θθθ
θθ
θθ
θθ
θθ
11
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Setelah dimasukkan ke rumus pertama, diperoleh
• Dapat juga ditulis menjadi
• Pada titik θ = bi
( )( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]2
2
2
1
1
1
1
)(
)(
)(
)()()()()(
)(
)()()()()(
i
i
i
iiiii
i
iiii
bD
bD
bD
bDbDbDbDbD
bD
bDbDbDbDi
e
De
e
eDeeDeDe
e
DeeDee
d
dP
−
−
−
−−−−−
−
−−−−
+=
+
−+=
+
−+=
θ
θ
θ
θθθθθ
θ
θθθθ
θθ
)().()( θθ
θθ
iii QDPd
dP =
42504
1,|
)( === Dd
dPib
iθθ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Kecuraman pada model L2P
Mengikuti cara pada model L1P, kecuraman pada model L2P adalah
• Untuk titik dengan θ = bi kecuraman menjadi
• Tampak bahwa kecuraman bergantung kepada nilai daya beda butir ai
[ ])()(
)(
)()(
)(
θθθθ
θθ
θ
θ
iiii
bDa
bDaii
QPDad
dP
e
eDa
d
dPii
ii
=
+=
−
−
21
iibi aDad
dPi
42504
1,|
)( ===θθθ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Kecuraman pada model L3P
Perhitungan kecuraman
Dalam hal ini
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]21
11
1
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
bDa
bDabDa
i
bDaibDa
i
bDa
bDai
i
e
ded
ecdecd
e
d
dP
e
ecP
−
−−
−−
−
−
+
++−++=
++=
θ
θθ
θθ
θ
θ
θθθθ
θ
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) )(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)()(
ibDa
ii
ii
bDabDa
ibDa
ii
ii
bDai
bDai
Dae
d
bdDa
bdDa
ed
d
ed
Dae
d
bdDa
bdDa
ecd
d
ecd
ii
iiii
ii
iiii
−
−−
−
−−
=
−−
+=+
=
−−
+=+
θ
θθ
θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
11
------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Masukkan ke rumus pertama
• Pada titik dengan θ = bi kecuraman menjadi
( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
i
iiii
i
bDa
bDaii
bDa
bDai
bDaii
bDai
bDai
bDa
bDai
bDai
bDai
bDai
c
cPQDa
d
dP
e
eDac
e
eDaeDaceDaeDa
e
eDaeceDae
d
dP
ii
ii
ii
iiiiiiii
ii
iiiiiiii
−−=
+
−=
+
−−+=
+
+−+=
−
−
−
−−−−
−
−−−−
1
1
1
1
1
1
2
2
22
2
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()()(
)(
)()()()(
θθθθ
θθ
θ
θ
θ
θθθθ
θ
θθθθ
)(,)(|)(
iiiibi cacDad
dPi
−=−== 1425014
1θθ
θ
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
G. Keterampilan Statistika
1. Metoda Pendekatan Newton-Raphson
• Tidak semua persamaan dapat dicarikan akarnya dengan mudah
• Salah satu cara untuk mecari akar persamaan yang banyak digunakan adalah metoda Newton-Raphson
• Cara kerja metoda ini adalah mula-mula kita memberikan satu nilai x0 sebagai akar
• Kita masukkan akar x0 ini ke dalam persamaan dan memperoleh nilai x1 sebagai akar
• Kita masukkan akar x1 ini ke dalam persamaan dan memperoleh nilai x2 sebagai akar
• Demikian seterusnya sehingga selisih di antara akar baru dan akar lama cukup kecil untuk dapat diabaikan
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
2. Rumus Pendekatan Newton-Raphson
• Misalkan persamaan adalah f (x) = 0 dan kita akan mencari akar persamaan ini
• Sebagai akar awal kita tentukan sebarang x0
• Garis singgung pada x0 membentuk sudut β dan menghasilkan akar x1 sehingga
f (x)
x
akar
x0x1x2
β
10
00
xx
xf
dx
xdf
−== )()(
tanβ
Menuju ke akar sesungguhnya
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Dari hubungan ini diperoleh
• Selanjutnya pada x1 dibuat garis singgung yang menghasilkan akar x2 dengan hubungan
dx
xdfxf
xx
dxxdfxf
xx
)()(
)()(
0
001
0
010
−=
=−
dxxdfxf
xx)()(
1
112 −=
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Proses ini diteruskan ke akar x3, x4, dan seterusnya dan akar ini makin lama makin mendekati akar sesungguhnya
• Rumus umum untuk akar ke s dan ke-s + 1 adalah
• Pengulangan seperti ini dikenal sebagai iterasi
• Iterasi diteruskan sampai selisih di antara akar baru dengan akar lama cukup kecil untuk dapat diabaikan
• Akar persamaan adalah akar terakhir yang dicapai
dxxdfxf
xxs
sss )(
)(−=+1
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 14
Suatu fungsi berbentuk f (x) = x2 – 2
Mencari akar f (x) = 0 atau x2 – 2 = 0
• Dari f (x) = x2 – 2 diperoleh hasilbagi diferensial
sehingga ditemukan
xdx
xd
dx
xdf2
22
=−= )()(
s
ss
s
ss
s
sss
x
xx
x
xx
dx
xdfxf
xx
2
2
2
2)()(
2
1
2
1
+=
−−=−=
+
+
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Kita mulai dengan mengambil sebarang akar, misalkan, x0 = 1
• Kita masukkan nilai ini ke dalam rumus dan diiterasi menjadi
• Selisih di antara x4 dan x3 adalah 0,000002 cukup kecil untuk diabailkan sehingga akar persamaan menjadi
x = 1,41421
414214141421612
24142161
2
2
414216141666712
24166671
2
2
416667150000012
25000001
2
2
50000012
21
2
2
2
3
23
4
2
2
22
3
2
1
21
2
0
20
1
,),)((
,
,),)((
,
,),)((
,
,
=+=+=
=+=+=
=+=+=
=+=+=
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 15
Fungsi adalah f (x) = x – 2 sin x
Carilah akar dari f (x) = 0 atau x – 2 sin x = 0
f (x) = x – 2 sin x
• Dari rumus diperoleh
xdx
xxd
dx
xdfcos
)sin()(21
2 −=−=
s
s
s
sss
s
ssss
D
N
x
xxx
x
xxxx
=
−−=
−−−=+
cos
)cos(sin
cos
sin
21
2
21
21
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
• Kita mulai dengan mengambil nilai sebarang untuk x0, misalnya, x0 = 2
• Iterasi selanjutnya menghasilkan nilai seperti pada tabel berikut
s xs Ns Ds xs+1
0 2,00000 3,48318 1,83229 1,90100
1 1,90100 3,12470 1,64847 1,89552
2 1,89552 3,10500 1,63809 1,89550
3 1,89550 3,10493 1,63806 1,89549
• Selisih di antara x2 dan x3 adalah 0,00001 sudah cukup kecil untuk diabaikan
• Akar persamaan adalah
x = 1,895
-----------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 16
Suatu fungsi berbentuk f (x) = x2 – 3
Hitunglah akar dari f (x) = 0
Contoh 17
Suatu fungsi berbentuk f (x) = x3 + x – 1
Hitunglah akar dari f (x) = 0
Contoh 18
Suatu fungsi berbentuk f (x) = ex – 4
Hitunglah akar dari f (x) = 0
Contoh 19
Suatu fungsi berbentuk f (x) = ex + 4x – 5
Hitunglah akar dari f (x) = 0
Recommended