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Fundamentos de Gestión de Operaciones – 2013.2
GUÍA DE ESTUDIO: PROGRAMACION LINEAL El Método Gráfico
Problema 1.
Considere el siguiente problema de programación lineal:
1. Dibuje la región factible.
2. Dibuje la recta de iso-beneficios para Z=9.
3. Encuentre gráficamente la solución. Deduzca además sus coordenadas.
4. ¿Cuál es el valor óptimo de la función objetivo?
5. Ubique el punto (2.0, 2.5) en el gráfico. Considerando la misma región factible que en
la parte i), puede encontrar una función objetivo para la cuál este punto sea óptimo
(problema de minimización)? Si “no”, explique. Si “si”, entregue la función objetivo Z.
Problema 2.
Mega-Marketing está planeando una campaña de marketing intensiva, de una semana, para
una nueva línea de ropa. Los avisos ya han sido diseñados y producidos y ahora quieren
determinar cuánto dinero gastar en cada tipo de publicidad. En la práctica Mega-Marketing
tiene decenas de alternativas, pero ilustraremos el problema suponiendo que sólo hay dos
opciones: tiempo prime de televisión (24 horas de TVN) y prensa escrita (cuerpo C de El
Mercurio).
0Y 0,X
(C4) 7 X
(C3) 16 Y 2
(C2) 20 Y4X 5
(C1) 28 Y 4 3X-
a Sujeto
Y3X3Min Z
La empresa quiere que su campaña tenga el mayor impacto posible y ha establecido ciertos
objetivos en términos del número de avisos que espera que cada segmento de la población
vea. Los estudios de mercado habituales indican que cada minuto de TV y cada aviso
escrito alcanzan a un número de personas de acuerdo con la tabla siguiente:
Outlet Niños Mujeres Hombres COSTO
TVN 500.000 100.000 300.000 1.800.000
El Mercurio 200.000 600.000 300.000 1.500.000
Objetivo 2.400.000 1.800.000 2.400.000
Con esto, un aviso (de un minuto) en 24 horas de TVN es visto por 500.000 niños (21 años
o menos), 100.000 mujeres adultas y 300.000 hombres adultos, y tiene un costo de
$1.800.000. Por otra parte el objetivo de Mega-Marketing es que 2,4 millones de niños, 1,8
millones de mujeres y 2,4 millones de hombres vean su publicidad (si una persona
determinada ve la publicidad dos o más veces se considera como dos o más personas ya
que estará más propenso a comprar).
1. Usando sólo dos variables de decisión, escriba un problema de programación lineal
que ayude a Mega-Marketing a decidir su inversión en publicidad (suponga que se
puede contratar fracciones de minutos de TV o fracciones de páginas de prensa).
Las variables a decidir son:
TVN : numero de avisos (de un minuto) en una semana hechos en 24 horas
EM : numero de avisos en 1 semana hechos en el cuerpo C de El Mercurio
Se quiere minimizar los costos de publicidad, por lo que la función objetivo es:
1.800.000 TVN + 1.500.000 EM
Las restricciones a esta función objetivo son:
1. 500.000 TVN + 200.000 EM ≥ 2.400.000 (Niños)
2. 100.000 TVN + 600.000 EM ≥ 1.800.000 (Mujeres)
3. 300.000 TVN + 300.000 EM ≥ 2.400.000 (Hombres)
4. No negatividad EM ≥ 0 y TVN ≥ 0
Resuelva el problema recién planteado usando el método gráfico, esto es:
2. Dibuje la región factible.
3. Dibuje la recta de iso-costos para Z =18 millones.
4. Encuentre gráficamente la solución. Deduzca además las coordenadas de ésta.
5. ¿Cuál es el valor óptimo de la función objetivo?
Problema 3.
Considere el siguiente problema de programación lineal:
1. Dibuje la región factible.
2. Identifique todos los vértices.
(0,6) – (4,7) – (9,2) – (9,0) – (4,0)
3. Dibuje la recta de iso-beneficios para Z=18.
Recta roja del dibujo
4. Encuentre la solución óptima por el método gráfico.
Solución óptima: (4,7)
5. ¿Cuál es el valor óptimo de la función objetivo?
Z = 2 4 + 3 7 = 29
6. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una unidad extra de la restricción (C4)?
0Y 0,X
(C4) 9 X
(C3) 12 2Y 3X
(C2) 11 YX
(C1) 24 X-4Y
Subject to
3Y2XMax Z
La restricción C4 no es activa (precio sombra = 0) por lo que incrementos
marginales en el lado derecho de esta restricción no afecta el objetivo.
Problema 4.
Usted es el gerente de una empresa de manufactura que produce 2 productos: sillas y
mesas. Cada silla y cada mesa tienen que ser procesadas por tres departamentos:
carpintería, pintura y terminación. La siguiente tabla muestra la cantidad de horas
necesarias para estas tareas:
Sillas Mesas Disponibles
Carpintería (horas) 6 3 600
Pintura (horas) 1 2 200
Terminación (horas) 2 2 240
Ganancia por unidad ($) 30 25
La empresa tiene que producir al menos 20 sillas y al menos 20 mesas. Asumimos que,
para este problema, el número de sillas y de mesas no tiene que ser un número entero.
1. Formule este problema como un problema de programación lineal, incluyendo
variables de decisión, función objetivo y todas las restricciones relevantes.
Variables Decisión:
C: Número de Sillas
T: Número de Mesas
Objetivo: Max Z = 30 C + 25 T
Restricciones:
6 C + 3 T 600 (carpinteria)
1 C + 2 T 200 (pintura)
2 C + 2 T 240 (terminación)
C 20 (producción C)
T 20 (producción T)
C 0, T 0 (no negatividad)
2. Dibuje y nombre cada restricción.
3. Pinte la región factible.
4. Dibuje la recta de iso-beneficios para $3750.
5. Ocupando la reta de iso-beneficios, determine el punto óptimo y identifique las dos
restricciones que definen este punto óptimo.
El punto óptimo es la intersección de las rectas
6C + 3T = 600
2C+2T = 240
cuya solución es C=80 Sillas, T=40 Mesas, para un beneficio de $3400
6. Explique qué pasa con la solución óptima si el número de horas disponibles de
pintura baja de 200 a 180 horas.
En la solución óptima se utilizan solamente 160 horas de pintura, por lo que si se
reduce el número de horas de 200 a 180 no varía la solución óptima.
Problema 5.
Considere el siguiente problema de programación lineal:
Max Z = 5Y + 10X
Sujeto a
X ≥ 2 (C1)
6X + 5Y ≤ 60 (C2)
5X – 10Y ≤ 30 (C3)
3Y ≤ 24 (C4)
X, Y ≥ 0
1. Dibuje la región factible.
2. Dibuje la recta de iso-beneficios para Z = 40.
3. Encuentre gráficamente la solución. Deduzca además las coordenadas de ésta.
4. ¿Cuál es el valor óptimo de la función objetivo?
5. Ubique el punto (6, 4.8) en el gráfico. Considerando la misma región factible que
en la parte i), ¿Puede encontrar una función objetivo para la cual este punto sea
óptimo? Si su respuesta es “no”, explique. Si su respuesta es “sí”, entregue la
función objetivo Z.
Formulación de Programas Lineales
Problema 1.
Manufacturas Logan quiere mezclar dos tipos de combustible (A y B) para sus camiones a
fin de minimizar sus costos. Se sabe que necesitan al menos 3.000 litros de mezcla para el
próximo mes y tiene una capacidad de almacenaje de 4.000 litros. Hay 2.000 litros de A y
4.000 litros de B disponibles. Cuando los combustibles son mezclados, hay una pérdida de
5% en el volumen final total con respecto a las cantidades iniciales de A y B mezcladas
(esta pérdida ocurre antes de almacenar).
Además sabemos lo siguiente: A tiene un octanaje de 90 y cuesta $150 por litro. B tiene un
octanaje de 75 y cuesta $90 por litro. El combustible mezclado necesita un octanaje de al
menos 80. El octanaje de la mezcla se calcula como el promedio ponderado de los
octanajes individuales de A y B (sin tomar en cuenta las pérdidas).
Logan quiere formular un modelo de programación lineal que ayude a encontrar la mejor
mezcla sujeto a las restricciones mencionadas.
1. ¿Cuáles son las variables de decisión del problema?
A= cantidad de litros de combustible A
B= cantidad de litros de combustible B
2. ¿Cuál es la función objetivo?
Quiero minimizar mis costos, por lo tanto minimizo Z=150A+90B
3. Escriba todas las restricciones del problema, explicando muy brevemente su
significado.
La primera restricción es 3.000≤0,95*(A+B)≤4.000, porque necesita al menos 3.000
litros para el próximo mes y tiene una capacidad de almacenaje de 4.000 litros. La
cantidad de combustible final (después de la perdida) debe por eso superar los 3.000
litros de combustible y estar por debajo de 4.000.
Si despejamos esta función nos da: 3157,89 ≤ A + B y A + B ≤ 4.210,53
La segunda restricción es (90 A + 75B)/ (A + B) ≥ 80, porque necesitamos que el
octanaje de la mezcla supere los 80.
Si despejamos esta función obtenemos la siguiente restricción lineal:
10 A – 5 B ≥ 0
La tercera restricción es que A ≤ 2.000 y B ≤ 4.000, porque hay 2.000 litros disponibles
de A y 4.000 litros de B.
La última restricción es que las cantidades utilizadas sean no negativas, es decir A≥0 y
B≥0.
Problema 2.
La empresa XYZ hace tres productos: A, B, y C. La producción de estos tres productos
requiere tres recursos: trabajo, acero y cobre, en las proporciones dadas por la siguiente
tabla:
Recursos Producto Cantidad
disponible A B C
Trabajo 1 2 4 120
Acero 3 1 1 90
Cobre 2 3 0 70
Precio ($) 4 5 3
Por ejemplo, una unidad del producto A requiere 1 unidad de trabajo, 3 unidades de acero
y 2 unidades de cobre. La última columna de la tabla corresponde al nivel disponible de
cada recurso. La última fila muestra el precio unitario de cada uno de los productos.
Por temas de Marketing, el gerente de la compañía quiere que la fracción de las unidades
producidas de C sean por lo menos 40% de la producción total. De acuerdo a datos
históricos, los compradores de B ocupan tarjeta de crédito y los de A y C pagan en
efectivo, así que el gerente desea que los ingresos de B sean menores que los ingresos de A
y C juntos.
Formule un problema de programación lineal que ayude al gerente encontrar la mejor
estrategia de producción sujeto a todas las restricciones relevantes.
Variables de decisión: A,B,C = # unidades del producto A,B,C respectivamente.
Max Z = 4A + 5B + 3C
Sujeto a
A + 2B + 4C 120 (trabajo)
3A + B + C 90 (acero)
2A + 3B 70 (cobre)
C 0.4 (A + B + C)
5B 4A + 3C
A 0; B 0; C 0.
Problema 3.
La señora María Eugenia, nutricionista del Hospital General, es la responsable de la
planificación y la administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes.
Ahora examina el caso de un paciente, a quien se le ha formulado una dieta especial que
consta de 2 fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de
alimentos que puede consumir; sin embargo, deben satisfacerse ciertos requerimientos
nutricionales mínimos por día.
Requerimiento
mínimo en
unidades
Contenido por
onza en unidades
(alim. 1)
Contenido por
onza en unidades
(alim.2)
Nutriente A 1000 100 200
Nutriente B 2000 400 250
Nutriente C 1500 200 200
Costo alimento
(en $)
6
8
Ayude a la señora María Eugenia formular una dieta que sea lo más económica posible y
que satisfaga los requerimientos mínimos nutricionales. Para eso, modele este problema
utilizando programación lineal.
Definición de variables:
X1: Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 1 que deben consumirse diariamente
(onzas)
X2: Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 2 que deben consumirse diariamente
(onzas)
Función objetivo:
Z: Costo de suministrarle los 2 tipos de alimentos al
Min Z = 0.375X1+ 0.5X2
Recuerde que los costos de las fuentes alimenticias se expresaron en libras y no en onzas.
Además, cada libra tiene 16 onzas. Por tanto c1= $6/16 = $0.375 por onza , y c2= $8/16 =
$0.5 por onza.
Restricciones:
R1: Consumo mínimo de nutritiente A
100 X1 + 200 X2 ≥ 1000
R2 : Consumo mínimo de nutritiente B
400 X1 + 250 X2 ≥ 2000
R3: Consumo mínimo de nutritiente C
200 X1 + 200 X2 ≥ 1500
R4: No negatividad de las variables X1, X2 ≥ 0
Problema 4.
Una pequeña línea aérea, Ivy Air, opera entre tres ciudades ubicadas en Nueva Inglaterra.
Ivy ofrece varios vuelos, pero para este problema, nos enfocaremos en su vuelo del viernes
en la tarde que despega de Ithaca, se detiene en Newark, y continúa a Boston. Hay tres
tipos de pasajeros:
i) Aquellos que vuelan de Ithaca a Newark.
ii) Aquellos que vuelan de Newark a Boston.
iii) Aquellos que vuelan de Ithaca a Boston.
El avión que emplean para este recorrido es pequeño, sólo puede acomodar a 30 pasajeros
y la línea aérea ofrece dos tarifas de pasajes:
i) Y class (full fare): pasaje precio completo.
ii) B class (restricted fare): pasaje precio económico.
Los precios (en gran parte determinados por la competencia) se han determinado como:
Ithaca - Newark Newark-Boston Ithaca-Boston
Y 300 160 360
B 220 130 280
Basado en su experiencia previa, Ivy Air ha estimado que la demanda para cada una de las
6 combinaciones tarifa-itinerario son las siguientes:
Ithaca - Newark Newark-Boston Ithaca-Boston
Y 12 15 6
B 21 28 18
La meta es determinar cuantos pasajes se deben vender para cada combinación tarifa-
recorrido. Asuma que el avión no puede estar sobre-vendido en ninguno de los tramos, y
que el número de pasajes que se hacen disponibles no puede superar la demanda
pronosticada.
Utilizamos las siguientes variables:
P(I,N,Y), P(I,B,Y), P(N,B,Y), P(I,N,B), P(I,B,B), P(N,B,B) que representan el número de
pasajes a vender en los correspondientes pares itinerario-tarifa.
Debemos considerar restricciones de demanda y no-negatividad:
0 <= P(I,N,Y) <= 12
0 <= P(I,B,Y) <= 6
0 <= P(N,B,Y) <= 15
0 <= P(I,N,B) <= 21
0 <= P(I,B,B) <= 18
0 <= P(N,B,B) <= 28
Por lo demás, debemos considerar restricción de capacidad en cada tramo:
P(I,N,Y) + P(I,N,B) + P(I,B,Y) + P(I,B,B) <= 30 (tramo Ithaca – Newark)
P(N,B,Y) + P(N,B,B) + P(I,B,Y) + P(I,B,B) <= 30 (tramo Newark – Boston)
Por último, la función objetivo del problema corresponde a maximizar las ganancias. Por
lo mismo, se puede formular como:
Max Z = 300 P(I,N,Y) + 360 P(I,B,Y) + 160 P(N,B,Y) + 220 P(I,N,B) + 280 P(I,B,B) + 130
P(N,B,B)
Problema 5.
En sus cursos de finanzas verán varios modelos que les permitirán construir portafolios
“óptimos”. La optimalidad de un portafolio depende de forma importante en el modelo que
se utiliza para definir riesgo y otros aspectos de instrumentos financieros. A continuación
introducimos un modelo sencillo y que es abordable con programación lineal.
Considere un equipo de prestamistas con $100.000.000 en fondos para invertir. Hay cinco
categorías de préstamos, cada uno con un retorno y riesgo asociado (escala de 1 al 10,
donde 1 es bajo riesgo, y 10 es alto riesgo).
Préstamo/Inversión Retorno (%) Riesgo
Primeras Hipotecas 9 3
Segundas Hipotecas 12 6
Préstamos Personales 15 8
Préstamos Comerciales 8 2
Bonos Gubernamentales 6 1
Cualquier dinero que no es invertido, pasa a una cuenta de ahorro sin riesgo y con un
retorno de 3%. La meta de los prestamistas es invertir el dinero de tal modo que:
(a) El retorno sea lo máximo posible.
(b) El riesgo promedio no sea mayor a 5.
(c) Se invierta al menos un 20% en préstamos comerciales.
(d) La cantidad combinada de inversiones en segundas hipotecas y préstamos personales no debe ser mayor a la cantidad invertida en primeras hipotecas.
Formule esta meta como un problema de programación lineal.
Problema 6.
Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y
le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100 mg de vitamina B-1 (tiamina)
y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos
píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A
contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6
centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y
de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2).
¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus
requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
Marca A Marca B Requerimientos mínimos
Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg
Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg
Vitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mg
Costo por píldora
(US$) 0,06 0,08
Sea x el número de píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B por
comprar. El costo C, medido en centavos, está dado por
C = 6x+ 8y
que representa la función objetivo por minimizar.
La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras
de la marca B está dada por 40x+10y mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg.
Esto se traduce en la desigualdad.
40x+10y>2400
Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitaminas B-1 y B-2
conducen a las desigualdades:
10x+15y>2100
5x+15y>1500
respectivamente.
Así el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a
40x+10y>2400
10x+15y>2100 5x+15y>1500
x>0, y>0
El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los
vértices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0).
Los valores de la función objetivo C en estos vértices en la tabla que sigue
Vertice C=6x + 8y
A (0,240) 1920
B(30,120) 1140
C(120,60) 1200
D(300,0) 1800
La tabla muestra que el mínimo de la función objetivo C=6x+8y ocurre en el vértice
B(30,120) y tiene un valor de 1140. Así el paciente debe adquirir 30 píldoras de la
marca A y 120 de la marca B, con un costo mínimo de $11,40.
Problema 7.
Union Airways va a agregar vuelos desde y hacia su aeropuerto base, y por lo tanto
necesita contratar más agentes de servicio al cliente. Sin embargo, no está claro cuantos
más debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y al
mismo tiempo brindar un nivel de atención satisfactorio. Se ha realizado un análisis del
número mínimo de agentes de servicio que deben encontrarse de guardia en diferentes
momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio.
Periodo Períodos cubiertos Número mínimo de agentes
necesarios Turno
1 2 3 4 5
06.00 – 08.00 x 48
08.00 – 10.00 x x 79
10.00 – 12.00 x x 65
12.00 – 14.00 x x x 87
14.00 – 16.00 x x 64
16.00 – 18.00 x x 73
18.00 – 20.00 x x 82
20.00 – 22.00 x 43
22.00 – 24.00 x x 52
24.00 – 06.00 x 25
Costo diario
por agente ($)
170 160 175 180 195
Se ha acordado que cada agente trabaje un turno de 8 horas, 5 días a la semana en los
turnos mostrados en la tabla anterior. Por ejemplo, el turno 3 va desde las 12:00 hrs. hasta
las 20:00 hrs. Los salarios de cada turno son diferentes debido a que unos son más
deseables que otros. Por ejemplo, a cada agente que cumpla el turno 3 debemos pagarle
$175. La compañía debe determinar cuántos agentes deben asignarse a los turnos
respectivos cada día para minimizar el costo total del personal, debido a los agentes, según
el último renglón de la tabla anterior. Los requerimientos mínimos de servicio deben
cumplirse obligatoriamente, pero pueden sobrepasarse.
Formule el problema de programación lineal e indique cuales son las restricciones.
Definición de variable:
Xj: Número de agentes asignados al turno j
j= 1,2,3,4,5.
Función objetivo:
Z: Costo total de los agentes asignados a los 5 turnos
MinZ = 170X1+ 160X2 + 175X3 + 180X4 + 195X5
Restricciones
A excepción de las restricciones de no negatividad, todas las restricciones de este problema
se basan en todas las restricciones de este problema se basan en el hecho de que existe un
requerimiento mínimo de el hecho de que existe un requerimiento mínimo de personal en
cada período. personal en cada período.
X1 ≥ 48 X1 + X2 ≥ 79
X1 + X2 ≥ 65
X1 + X2 + X3 ≥ 87
X2 + X3 ≥ 64
X3 + X4 ≥ 73
X3 + X4 ≥ 82
X4 ≥ 43
X4 + X5 ≥ 52
X5 ≥ 15
Xj≥≥0 para j= 1,..,5
Problema 8.
Una compañía forestal cosecha árboles los primeros meses del año. No todos los meses se
puede extraer la misma cantidad de madera. Por lo demás, los costos de extracción varían
de mes en mes. La compañía tiene una serie de pedidos que debe satisfacer cada mes. Estos
datos se resumen a continuación:
Mes Capacidad Demanda Costo
Enero 190 150 $50
Febrero 210 215 $50
Marzo 150 130 $60
Abril 130 135 $60
Mayo 120 80 $70
Junio 160 160 $70
Por ejemplo, durante el mes de Mayo, la compañía puede extraer hasta 120 árboles (a un
costo de $70 cada uno) y debe hacer entrega de 70 árboles a sus clientes. Esos árboles no
deben ser necesariamente cosechados ese mes. También pueden haber sido cosechados
anteriormente y almacenados. Almacenar un árbol en bodega tiene un costo de $3 de un
mes a otro. Sin embargo, no hay espacio para almacenar más de 10 árboles cada mes.
Formule esto como un problema de programación lineal, en que el objetivo sea satisfacer
todas las demandas incurriendo en el menor costo posible.
Problema 9 (Diseño de la Red Logística).
Una compañía tiene una red logística que consta de dos plantas y dos centros de
distribución. Una de las plantas tiene una capacidad de producción de 125.000 unidades
semanales y la otra de sólo 75.000.
La compañía cuenta con dos Centro de Distribución (CD) con gran capacidad y debe
entregar sus productos semanalmente en tres mercados diferentes con demandas de 40.000,
80.000 y 45.000. El diagrama siguiente muestra los costos unitarios de transporte entre las
distintas ubicaciones.
Por otra parte la capacidad de despacho en cada ruta es de 65.000 unidades semanales (por
ejemplo de la primera planta al segundo CD no se pueden enviar más de 65.000 unidades,
lo mismo ocurre desde cualquier CD a cualquier mercado). Los costos de producción y de
almacenaje son equivalentes en las distintas instalaciones.
Encuentre una estrategia de distribución factible que tenga el menor costo posible,
describiendo detalladamente las cantidades enviadas desde cada planta a cada centro de
distribución y desde cada centro de distribución a cada mercado.
D = 40,000
D = 80,000
D = 45,000
Cap = 75,000
Cap = 125,000
$4
$5
$2
$3
$4 $5
$2
$1
$2
$1
Análisis de Sensibilidad
Problema 1.
Muebles Gupta produce dos tipos de escritorios: el modelo “French provincial” y el
“Danish modern”. Cada escritorio debe pasar tres etapas de proceso: carpintería, pintura y
terminaciones. La tabla contiene la información relevante de los tiempos de producción por
escritorio, y la capacidad diaria de cada operación junto con el retorno neto por unidad
producida. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en Santiago para producir un
mínimo de 60 French y 50 Danish por día. Gupta quiere determinar la mezcla de
producción más adecuada para maximizar sus retornos diarios netos.
Estilo Carpintería Pintura Terminación Retorno por Escritorio
French provincial 3 1.5 0.75 $28
Danish modern 2 1 0.75 $25
Capac. del Depto 360 200 120
El siguiente PL describe el problema:
Tras resolver el problema a optimalidad, el reporte de sensibilidad Excel es:
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$B$5 F 60 0 28 9.5 1.00E+30
$C$5 D 90 0 25 1.00E+30 6.33333
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$F$6 <= 360 12.5 360 20 80
$F$7 <= 180 0 200 1.00E+30 20
$F$8 <= 112.5 0 120 1.00E+30 7.5
$F$9 >= 60 -9.5 60 26.6667 20
$F$10 >= 90 0 50 40 1.00E+30
neg)-No(0 D F,
Danish) (Contrato 50 D
French) (Contrato 60 F
ón)(Terminaci 120 D 0.75 F .750
(Pintura) 200 D 1 F 1.5
ia)(Carpinter 036 D 2 F 3
a sujeto
D 25F 28 Max Z
1. ¿Cuál es el plan de producción óptimo? ¿Cuál es el retorno neto? ¿Cuáles
restricciones son obligatorias, cuáles no?
El plan de producción es 60 unidades de French y 90 unidades de Danish. El retorno
neto es 28*60+25*90= 3.930
Las restricciones obligatorias son Carpintería y Contrato French.
Las restricciones no obligatorias son Pintura, Terminación y Contrato Danish
2. Suponga que la compañía tiene $160 para invertir en cualquiera de los tres
departamentos y que el costo de una hora extra de capacidad en Carpintería, Pintura
y Terminación es de $8, $9 y $7 respectivamente. ¿Cómo deben invertirse los
fondos? ¿Cuál es el impacto de la inversión en los retornos?
Debe invertirlos solamente en carpintería, porque puede aumentar carpintería en 20
unidades. Como cada una cuesta $8, invertiría justo $160, lo cual esta dentro del rango
permitido de máximo aumento. El precio que cobra por cada unidad adicional es de
$12,5, por lo que habrá un impacto en los retornos, ya que ellos ingresarían por estas
20 unidades 20*$12,5= 250.
No conviene invertir en pintura ni terminación, ya que el precio sombra es 0. No
conviene incrementar porque no se reflejaría ningún incremento marginal en los
retornos.
3. Suponga que el precio de mercado de “Danish modern” cae a $23 por unidad.
¿Cambia la solución óptima? ¿Cuál es el nuevo retorno diario?
No cambiaría la solución óptima, porque la disminución permisible del costo de esa
variable es 6.333 y sólo estamos disminuyendo el costo en 2.0. Es decir, tras modificar
el costo de esta manera, F=60, D=90 sigue siendo la solución óptima. Sin embargo,
habría un nuevo valor óptimo, ya que es otra función que se tiene que maximizar, que
es 28F+23D. Por lo tanto la solución óptima sería 28*60+23*90=3750. El retorno
diario seria 3750.
4. ¿Cuánto se debe estar dispuesto a pagar para reducir el contrato por “French” en 35
unidades?
No sabemos cuanto se esta dispuesto a pagar exactamente para reducir el contrato por
French en 35 unidades, porque la reducción permisible es de 20 unidades. Si se reduce
en 20 unidades se estaría dispuesto a pagar 20*9,5=$190. Es decir, si el contrato se
disminuye en 20 unidades ganamos $190. Por lo mismo, para disminuir el contrato en
35 unidades (lo cual sólo puede redundar en aún mejores ganancias) estaríamos
dispuestos a pagar a pagar $190 también. .
5. Suponga que el distribuidor en Santiago quiere que “Danish” represente al menos
el 55% de la producción total. ¿Cómo cambiaría el modelo? ¿Cómo cambia la
solución óptima?
Se deberia agregar la siguiente restricción : D/ (F+D) ≥ 0,55, por lo tanto D ≥ 0,55 (F
+ D), y por consiguiente 0,45 D – 0,55 F ≥ 0.
Problema 2.
Un fabricante de cerámicas produce cuatro tipos distintos de “juegos de loza” para comida:
English, Currier, Primrose y Bluetail. El juego Primrose se puede fabricar por medio de
dos métodos distintos.
Para cada “juego de loza” se utiliza arcilla, esmalte, una pieza de secado y tiempo en un
horno, en las cantidades que muestra la tabla de abajo. La columna de más a la derecha
muestra la cantidad de recurso disponible del fabricante, para el resto de la semana. Nótese
que Primrose se puede fabricar por medio de dos métodos distintos. Ambos métodos
utilizan la misma cantidad de arcilla (10 lbs.) y de tiempo de secado (6 horas), pero el
segundo método utiliza una libra menos de esmalte y ocupa tres horas más en el horno.
English Currier Primrose
Método 1
Primrose
Método 2
Bluetail Recursos
Disponibles
Arcilla (lb) 10 15 10 10 20 130
Esmalte (lb) 1 2 2 1 1 13
Secado (hr) 3 1 6 6 3 45
Horno (hr) 2 4 2 5 3 23
Contribución
a ingresos($) 51 102 66 66 89
El fabricante, actualmente, está comprometido a fabricar la misma cantidad de Primrose
por medio del método 1 y del método 2.
El planteamiento del problema de maximización de ganancias anterior es el que se muestra
a continuación. Las variables de decisión E, C, P1, P2, B, son los números de unidades de
“juegos de lozas” tipo English, Currier, Primrose Método 1, Primrose Método 2 y Bluetail
respectivamente. Asumimos para este problema que los números de “juegos de loza” no
tienen que ser necesariamente un número entero.
Max Z= 51 E + 102 C + 66 P1 + 66 P2 +89B
Sujeto a:
Arcilla: 10 E + 15 C + 10 P1 + 10 P2 + 20 B 130
Esmalte: E + 2 C + 2 P1 + P2 + B 13
Secado: 3 E + C + 6 P1 + 6 P2 + 3 B 45
Horno: 2 E + 4 C + 2 P1 + 5 P2 + 3 B 23
Igualdad de Prim.: P1 – P2 = 0
No- negatividad: E, C, P1, P2, B 0
La solución de Excel (análisis de sensibilidad) de la optimización linear del problema se
muestra a continuación.
1. ¿Cuál es la estrategia óptima del fabricante, y cuánto contribuye a las utilidades?
E=0, C=2, P1=0, P2=0, B=5
Z=$649
2. ¿Porqué es “cero” el shadow price de la restricción de esmalte?
Porque la restricción no es activa, ya que se utilizan 9 de los 13 libras
disponibles, por lo que una libra adicional de esmalte no afecta el óptimo.
3. Suponga que el fabricante puede comprar 20 lbs adicionales de arcilla a $1.10 /lb.
¿Debería el fabricante efectuar esta compra?
El precio sombra de la arcilla es $1.43/lb, luego el incremento en el objetivo
por cada libra adicional de arcilla es $1.43-1.10 = $0.33/lb. Este beneficio
se obtiene hasta un incremento de 23.33 libras, por lo que el fabricante si
debería comprar estas 20 libras adiciones, obteniendo un incremento en el
beneficio de 20x0.33 = $6.6.
4. Suponga que algunos trabajadores de la Pieza de Secado están organizando una
huelga. Si la huelga se lleva a cabo, el número de horas disponibles en la Pieza de
Secado disminuirá a 20. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que el fabricante
estaría dispuesto a ofrecer a los trabajadores de la Pieza de Secado para cancelar la
huelga?
La pieza de secado no es una restricción activa, aun cuando se decrezca en
28 unidades (es decir, incluso bajando de 45 a 45-28=17 hrs disponibles),
por lo que no conviene ofrecer ninguna cantidad de dinero a los
trabajadores.
5. Suponga ahora que todos los trabajadores de la Pieza de Secado están organizando
la huelga. En este caso, si la huelga se lleva a cabo, el número de horas disponibles
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
English 0.00 -3.57 51.00 3.57 1.00E+30
Currier 2.00 0.00 102.00 16.67 12.50
Primrose Method 1 0.00 0.00 66.00 37.57 1.00E+30
Primrose Method 2 0.00 -37.57 66.00 37.57 1.00E+30
Bluetail 5.00 0.00 89.00 47.00 12.50
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
Clay 130.00 1.43 130.00 23.33 43.75
Enamel 9.00 0.00 13.00 1.00E+30 4.00
Dry Room 17.00 0.00 45.00 1.00E+30 28.00
Kiln 23.00 20.14 23.00 5.60 3.50
Primrose Equal 0.00 11.43 0.00 3.50 0.00
en la Pieza de Secado disminuirá a cero ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que
el fabricante está dispuesto a pagar en este caso para “detener” la huelga? Explique
brevemente su respuesta.
En este caso la empresa no podría producir ninguna unidad, obteniendo un
beneficio de $0. Luego, estaría dispuesta a pagar hasta la cantidad de la
pregunta a), o sea, $649.
6. En el modelo el número de “juegos de loza” de Primrose producidos utilizando el
método 1 tiene que ser igual al número de “juegos de loza” Primrose utilizando el
método 2. Suponga que esta restricción puede ser removida del modelo. ¿Al menos,
cuánto dinero el fabricante estaría dispuesto a pagar para eliminar esta restricción?
¿Qué espera usted que ocurra con el número de “juegos de loza” de Primrose
producidos utilizando el método 1 y utilizando el método 2 (aumenta, disminuye,
se mantiene igual)? Explique brevemente su respuesta.
La restricción de igualdad de lozas Primrose tiene un precio sobra de 11.43,
luego por cada unidad que se incremente en el lado derecho (es decir, cada
unidad extra que pueda tener las lozas del metodo 1 versus las lozas del
método 2) el objetivo se incrementa en $11.43. Como el máximo
incremento es 3.5, entonces el fabricantes esta dispuesto a pagar al menos
3.5x11.43 = $40.005 por esliminar esta restricción, obteniendose así un
aumento en las lozas del método 1.
Problema 3.
La empresa forestal Conguillio S.A. produce tres tipos distintos de productos: pulpa, cubos
de madera, y tablas. Actualmente, la compañía tiene capacidad de 120 horas de trabajo,
100 unidades de capital, 100 unidades de material, y 28 unidades de transporte. El precio
de mercado (por kilo) de los tres productos es $3 por pulpa, $2 por cubos, y $6 por tablas.
La compañía ya tiene un contrato para producir 20 kilos de cubos. Adicionalmente, la
compañía estima que la demanda máxima de los productos es 15, 80, y 30 respectivamente
(la demanda de cubos no incorpora la cantidad estipulada en el contrato). El administrador
de la compañía ha formulado el siguiente problema de optimización para poder decidir el
plan de producción:
La solución del informe de sensibilidad de Excel es:
Celdas cambiantes
Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible
$D$4 pulpa 15 0 3 1E+30 0,875
$E$4 cubos 20,0625 0 2 2,8 2
$F$4 tablas 3,25 0 6 3,5 4,5
Restricciones
Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible
$C$5 trabajo 120 0,5 120 16,83333333 0,25
$C$6 capital 73,375 0 100 1E+30 26,625
$C$7 material 87,375 0 100 1E+30 12,625
$C$8 transporte 28 1,125 28 0,333333333 13
$C$9 contrato cubos -20,0625 0 -20 1E+30 0,0625
$C$10 demanda pulpa 15 0,875 15 0,2 14,42857143
$C$11 demanda cubos 20,0625 0 100 1E+30 79,9375
$C$12 demanda tablas 3,25 0 30 1E+30 26,75
1. ¿Cuál es el plan óptimo de producción? ¿Qué valor tiene la función objetivo
asociada?
El plan consiste en producir 15 kilos de pulpa, 20,0625 kilos de cubos, y 3,25 kilos de
tablas. El valor de la función objetivo es: 3*15 + 2*20,0625 + 6*3,25 = 45 + 40,125 +
19,5 = 104,625
2. Suponga que usted puede obtener 10 unidades extras de trabajo. ¿Cuánto estaría
dispuesto a pagar por estas 10 unidades adicionales?
Estaría dispuesto a pagar 10*0,5 = $5.
dnegativida-no
tablas)(demanda 30 C
cubos) (demanda 100 B
pulpa) (demanda 15 A
cubos)por (contrato 20 B
e)(transport 28 4C A
prima) (materia 100 3.75C 3BA
(capital) 100 C 2B2A
(trabajo) 120 3C4B2A
a, sujeto
6C2B3A Max Z
3. Suponga que el precio de mercado de las tablas cae de $6 a $2. ¿Cómo serían las
ganancias de la empresa bajo estas nuevas condiciones? ¿Re-optimizaría?
Dado que la disminución permisible del coeficiente de cost es $4,5, y considerando que
el costo disminuye solo en $4, sabemos que la solución óptima seguirá siendo producir
15 kilos de pulpa, 20,0625 kilos de cubos, y 3.25 kilos de tabla. Sin embargo, ahora el
valor de la función objetivo será: 3*15 + 2*20,0625 + 2*3,25 = 45 + 40,125 + 6,5 =
$91,625.
4. Suponga usted que si se disminuyen las unidades de transporte disponibles a 16
puede disminuir sus costos en $15. ¿Recomendaría efectuar este recorte?
Las perdidas asociadas a reducir el transporte en 12 unidades (es decir, 28-16) serán de
1,125*12 = $13,5. Esto se debe a que 12 es menor que la disminución permisible, y por
consiguiente, sabemos que el precio sombra nos da el valor marginal por reducir el
recurso correspondiente. Dado que nuestros ingresos caen en $13,5 y nuestros costos
disminuyen en $15, nuestras utilidades aumentan en $1,5. Por lo que efectuar el recorte
es recomendable.
5. Suponga que la demanda de pulpa verificada fue de 16 unidades. ¿La compañía ha
perdido dinero por causa de una subestimación de 15 unidades en el modelo? En
caso afirmativo, ¿Cuánto seria la ganancia total bajo una modificación en el
modelo?
6. El jefe de ventas verificó que la demanda por cubos en realidad fue de 150. Él ha
dicho al departamento de operaciones que se ha perdido una gran oportunidad de
venta pues en el modelo los ingenieros han supuesto una demanda de sólo 100
unidades. El grupo de operaciones no está de acuerdo y ha dicho que eso no cambia
nada en términos de ganancias. ¿Quién tiene la razón?
7. Suponga que el departamento de operaciones tiene $10 para invertir en la
compañía. Los precios por horas adicionales de: trabajo, unidades de capital, de
material y de transporte adicionales son $0,3, $0.5, $0.2 y $1, respectivamente.
Además, el departamento financiero ha dicho que podrían poner cualquier cantidad
de dinero en renta fija, con ganancia de 10 % mensuales, o sea, cada $1 invertido se
convierte en $1.1 al final del mes. ¿Cómo se deben invertir los $10 entre trabajo,
capital, material, transporte y renta fija de manera a obtener la mayor ganancia
posible?
Otros Problemas (Un poco de todo)
Problema 1.
Verdadero o Falso. Explique brevemente su respuesta.
A) Si una restricción es obligatoria en la solución óptima de un problema de programación
lineal, entonces el precio sombra correspondiente es mayor o igual a cero.
V o F
Falso. Un precio sombra puede ser negativo o positivo.
B) Si en un problema de programación lineal hay más de una solución óptima, entonces
deben haber al menos dos vértices que son óptimos.
V o F
Falso. Considere el problema minimizar y sujeto a x,y >=0. Hay infinitas soluciones, de la
forma (x,0), pero hay solo un vértice óptimo: (0,0).
C) Considere un problema de programación lineal y su solución óptima. Si agregamos una
nueva restricción, la región factible va a cambiar, y por consiguiente, el óptimo
también cambiará.
V o F
Falso. Si bien es cierto que al agregar una restricción cambiará la región factible, puede ser
que la solución óptima siga siendo la misma. Esto se debe a que la solución óptima puede
satisfacer de ante-mano la nueva restricción.
Problema 2.
Una aseguradora está lanzando dos nuevas líneas de productos: seguros de riesgos
especiales y seguros hipotecarios. El beneficio esperado es de 7 UF por cada seguro
contratado de riesgos especiales y de 4 UF por cada seguro contratado de los hipotecarios.
Se desea establecer las cuotas de venta de cada uno de estos dos nuevos productos de modo
de maximizar los beneficios esperados totales para la aseguradora. La siguiente tabla
resume los requerimientos laborales unitarios que se requiere en el manejo de estos
seguros, expresados en horas y en los diferentes departamentos de la aseguradora. Además
del número total de horas disponibles en cada uno de esos departamentos:
Departamento Riesgos Especiales Hipotecarios Disponibilidad
Contratos 3 2 2.400
Administración 0 1 800
Demandas 2 0 1.200
a) Formule un modelo de Programación Lineal para la obtención de las cuotas
óptimas para la aseguradora.
b) Hallar la solución óptima del modelo propuesto, mediante resolución gráfica.
Indicar claramente el dominio de soluciones factibles, curvas de nivel y dirección
de crecimiento de las mismas.
c) Usando la información del precio sombra, determinar cuál es el aumento en los
beneficios totales frente a una disponibilidad adicional de 500 horas para contratos.
Problema 3.
Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Maximizar 5X1 + 4X2
S.A.
6X1 + 4X2 <= 24
X1 + 2X2 <= 6
-X1 + X2 <= 1
X2 <= 2
X1, X2 >= 0
a) Resuelva gráficamente el problema. Construya un gráfico en donde se indique
claramente la región de puntos factibles, las restricciones y curvas de nivel.
Finalmente, indique la solución y valor óptimo del problema.
b) Encuentre el intervalo de variación para los coeficientes de la función objetivo que
garanticen la actual solución óptima.
c) Suponga que le ofrecen 6 toneladas adicionales del recurso (lado derecho) asociado
a la primera restricción, con un costo adicional de $4,8. ¿Aceptaría usted esta
propuesta? Justifique.
d) Considere que se establece una nueva restricción X1 + X2 <= 4. ¿Cambia esta
situación la solución óptima encontrada por usted en a)?. En caso afirmativo,
encuentre la nueva solución y valor óptimo.
Problema 4.
El dueño de un taller de carpintería desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe
producir la próxima semana. Para ello cuenta con dos insumos: madera y fierro. Además,
dispone de mano de obra especializada, en particular, el proceso de barnizado lo realiza
una persona solamente. La disponibilidad de madera es de 100 m2, la de fierro es de 60 m
lineales y el operario que barniza puede trabajar hasta 50 horas por semana.
Para fabricar cada silla se requiere 1 m2 de madera, 1 m de fierro y 1 hora para barnizarlo;
y para cada mesa se necesita 4 m2 de madera, 2 m de fierro y 1 hora para barnizado. El
beneficio es de M$1 para las ventas de las sillas y de M$3 para las ventas de las mesas.
a) Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que provea el
plan más eficiente de producción, indicando claramente la solución óptima y el
valor óptimo asociado. Muestre la región de puntos factibles, las curvas de nivel y
los elementos que considere necesario para justificar su respuesta.
b) Encuentre un intervalo de variación para el beneficio de las mesas que garantice la
actual solución óptima.
c) Considere que le ofrecen 10 m2 adicionales de madera a un costo total de M$6. Sin
re-optimizar, ¿aceptaría usted esta propuesta? Justifique su respuesta.
Problema 5.
Una compañía forestal tiene un predio de 100 hectáreas de bosques para explotar. Talar y
dejar el suelo para uso agrícola tiene un costo inmediato de M$10 por hectárea y un retorno
posterior de M$50 por hectárea. Una alternativa es talar y plantar pino que tiene un costo
inmediato de M$50 por hectárea y un retorno posterior de M$120 por hectárea. Luego, los
beneficios netos de ambos planes son de M$40 y de M$70 por hectárea, respectivamente.
Desafortunadamente, el segundo plan no puede ser aplicado a todo el terreno ya que sólo
se dispone de recursos inmediatos por M$4000.
a) Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que provea el
plan más eficiente de explotación, indicando claramente la solución óptima y valor
óptimo. Muestre la región de puntos factibles, las curvas de nivel y los elementos
que considere necesario para justificar su respuesta.
b) Suponga que usted puede solicitar un préstamo por M$1000 por el cual ud. deberá
retornar con posterioridad el monto de M$1400 (una vez concluidos los proyectos).
Sin re-optimizar, ¿tomaría usted estos recursos adicionales? Justifique claramente
su respuesta.
c) Sin resolver nuevamente el problema, obtenga la solución óptima de inversión que
resulta al aumentar los retornos posteriores de la primera alternativa (parte a)) de
M$50 a M$60.
d) Considere que le ofrecen 10 hectáreas adicionales de bosque para explotar a a un
costo de M$350. Sin re-optimizar, ¿aceptaría usted esta propuesta? Justifique su
respuesta.
Problema 6.
Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero.
Estos compartimientos tienen límites tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen
en seguida:
Compartimiento Capacidad de peso
(ton)
Capacidad de espacio
(ft3)
Delantero 12 7000
Central 18 9000
Trasero 10 5000
Más aún, para mantener el avión balanceado, cada compartimiento tiene que tener la
misma proporción entre el peso de la carga usada y su capacidad de espacio.
Se tienen ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo próximo:
Carga Peso
(ton)
Volumen
(ft3/ton)
Ganancia
($/ton)
1 20 500 320
2 16 700 400
3 25 600 360
4 13 400 290
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad
de cada carga debe aceptarse y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la
ganancia del vuelo.
Formule un modelo de programación lineal que describa esa situación.
Problema 7. (Diseño de la Red Logística)
Una compañía tiene una red logística que consta de dos plantas y dos centros de
distribución. Una de las plantas tiene una capacidad de producción de 180.000 unidades
semanales y la otra de sólo 70.000. Por otra parte ambos centros de distribución pueden
procesar (almacenar) a lo más 120.000 unidades semanales. Los costos de producción y de
almacenaje son equivalentes en las distintas instalaciones.
La compañía debe entregar sus productos semanalmente en tres mercados diferentes con
demandas de 50.000, 100.000 y 50.000. El diagrama siguiente muestra los costos unitarios
de transporte entre las distintas ubicaciones.
Formule el problema de distribución óptima que minimiza el costo como un problema de programación lineal, determinando variables de decisión, restricciones y función objetivo.
Encuentre una estrategia de distribución factible que sea lo mejor posible, describiendo
detalladamente las cantidades enviadas desde cada planta a cada centro de distribución y
desde cada centro de distribución a cada mercado.
D = 50,000
D = 100,000
D = 50,000
Cap = 70,000
Cap = 180,000
$4
$5
$2
$3
$4 $5
$2
$1
$2
$1
Cap = 120,000
Cap = 120,000
