1

“PENYELESAIAN PROBLEM RUNGE-KUTTA ORDE 4, RUNGE-

KUTTA-GILL, DAN METODE SHOOTING”

(Makalah ini disusun berdasarkan soal/ problem pada presentasi“matematika Kimia 2” sebagai tugas kelompok yang ke-II, Mata

Kuliah Pemodelan Teknik Kimia Lanjut)

OLEH:

KELOMPOK 2

ANIFA TAMARA 0906635444

DEVI INDRIANI 1206180821

LELY KHOJAYANTI 1306359370

RYAN JANUAR 0906635753

ZAKKI R. MUBAROK 1306359553

FAKULTAS TEKNIK

PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA

PROGRAM MAGISTER UNIVERSITAS INDONESIA2

DEPOK

2013

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Metode Runge-Kutta

Dalam analisis numeric, metode Runge-Kutta-Gill adalah bagian

yang sangat penting terhadap iterative method implisit dan eksplisit.

Metode ini biasanya digunakan untuk permasalahan persamaan

diferensial biasa (PDB) atau ordinary differential equation

(ODE). Teknik ini dikembangkan oleh ahli matematika German C.

Runge dan M.W Kutta pada tahun 1990.

Salah satu metode Runge-Kutta yang sering digunakan adalah Runge

Kutta orde 4 atau biasa disebut "RK4", ataupun "Runge–Kutta

Metode klasik”. Berikut adalah initial value/ nilai awal yang

biasanya muncul dalam permasalahan:.

(Pada soal t0=x0 sebagai variable

bebasnya)

3

Disini nilai y adalah nilai yang tidak diketahui (scalar or

vector) terhadap waktu t (nilai yang akan didekati. Atau dengan

kata lain kita dapat mengatakan bahwa adalah laju pada

perubahan yyang merupakan fungsi dari t dan y itu sendiri.. Pada

maka korespondesi nilai y adalah sehingga fungsi f dan data

, telah ada.

Jika nilai h > 0 maka:

untuk n = 0, 1, 2, 3, . . . , maka

[1]

(Note: persamaan di atas berbeda-beda, tetapi definisi equivalennya ada dalam text

yang berbeda).[2]

Di sini adalah RK4 yang memiliki nilai yang hampir sama

dengan , dan selanjutnya nilai ( ) ditetapkan oleh nilai

( ) dan weighted average pada 4 inkremen, dimana masing-masing

inkremen adalah ukuran hasil pada interval, h, dan sebuah

4

perkiraan slope yang spesifik oleh fungsi f pada sisi kanan-

tangan dalam persamaan diferensial.

adalah inkremen berdasarkan slope pada titik awal

interval, , (Euler's method) ;

adalah inkremen berdasarkan slope pada titik tengah

interval,  ;

adalah inkremen berdasarkan slope pada titik tengah

interval,  ;

adalah inkremen berdasarkan slope pada titik akhir

interval, .

Rata- rata nilai dari 4 inkremen tersebut, weight yang lebih

besar diberikan kepada inkremen pada titik tengah. weights

tersebut dipilih jika adalah variable bebas tehadap , jadi

persamaannya merupakan persamaan integral yang biasa, sehingga

RK4 akan mengikuti Simpson's rule.

Metode RK4 dengan orde 4 atau dipolymath 5.0 akrab disapa RKF45, maksudnya adalah bahwa local truncation error ada di orde 5 , sedangkan akumulasi error ada di orde .

Tan Delin dan Chen Zheng telah mengembangkan metode ini menjadi:

5

untuk n = 0, 1, 2, 3, . . . , maka

Dimana nilai adalah parameter bebas. Jika diambil , ini

akan menjadi Metode Runge-Kutta klasik pada orde 4. Jika diambil

, ini akan menghasilkan beberapaMetode Runge-

Kuttalainnya pada orde 4.

1.2. Metode Shooting

Metode tembakan atau lebih dikenal dengan metode shooting ini

adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai

batas dengan menggunakan metode iterasi numeric untuk mencapai

kemiringan yang sebenarnya.

Dengan metode shooting suatu persamaan dapat diselesaikan dengan

memperkirakan mempunyai masalah nilai awal tanpa terlebih dahulu

menyelesaikan masalah nilai batas. Kemudian kita dapat

menggabungkan persamaan untuk mendapatkan solusi pendekatan,6

dengan harapan. Jika tidak, kita dapat mengubah nilai terkaan dan

mencobanya lagi.

Pada metode shooting, tidak ada jaminan konvergensi dari

iterasinya, tetapi metodenya mudah digunakan. Dan bila konvergen,

biasanya metode ini lebih efisien dari pada metode yang lain.

7

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Metode Runge-Kutta-GillAdapun permasalahan yang akan diselesaikan adalah sebagai berikut:

dydx=5x

y−xy,y (0 )=1

Dengan grafik:

Sehingga untuk menyelesaikan persamaan tersebut:

Dengan bantuan program Pascal yang telah dibuat dengan x awal =0

dan x akhir=5 didapatkan nilai sebagai berikut:

x y0.0

2.00

0.1

2.00

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

y

x

0.2

2.01

0.3

2.02

0.4

2.04

0.5

2.05

0.6

2.07

0.7

2.09

0.8

2.11

0.9

2.13

1.0

2.15

1.1

2.17

1.2

2.18

1.3

2.19

1.4

2.20

1.5

2.21

1.

2.22

9

61.7

2.22

1.8

2.23

1.9

2.23

2.0

2.23

2.1

2.23

2.2

2.23

2.3

2.23

2.4

2.24

2.5

2.24

2.6

2.24

2.7

2.24

2.8

2.24

2.9

2.24

3.0

2.24

3 2.

10

.1 243.2

2.24

3.3

2.24

3.4

2.24

3.5

2.24

3.6

2.24

3.7

2.24

3.8

2.24

3.9

2.24

4.0

2.24

4.1

2.24

4.2

2.24

4.3

2.24

4.4

2.24

4.5

2.24

11

4.6

2.24

4.7

2.24

4.8

2.24

4.9

2.24

5.0

2.24

Nilai ini kemudian dimasukkan kedalam excel untuk mendapatkan

bentuk kurva:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.02.00

2.05

2.10

2.15

2.20

2.25

Dari grafik diatas dapat dikatakan bahwa kurva yang

didapat memiliki bentuk yang sama pada soal diatas sehingga nilai

yang didapatkan pun sama.

12

Adapun untuk penggunaan dengan Ms. Excel menunjukkan kurva yang

sama sebagai berikut

(nilai perhitungan ada di Lampiran 1):

0.0045 1.033499999999942.06249999999986 3.0915000000002 4.120500000000442

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

Untuk memvalidasi jawaban maka kami menggunakan polymath:

13

2.2. Metode RK-4

Adapun soal yang akan diselesaikan adalah sebagai berikut:

dydx=−0,1744exp [3,21T¿ ]ydT¿dx =0,06984exp[ 3,21T¿ ]y

dimana y (X0 )=T (X0 )=1

14

untuk menjawab soal ini kami melakukan perhitungan dengan

bantuan excel:

(Perhitungan ada pada Lampiran)

00.2

0.4

0.6

0.8 1

1.2

1.4

1.6

1.8 2

2.2

2.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Y(x)T(x)

Gambar 2.1. Grafik dengan Metode RK-4 pada Program Microsoft Excel

Grafik yang tertera pada Gambar 2.1. merupakan parameter

kami dalam menyelesaikan permasalahan ini dengan program

Pascal, dan berikut adalah koding yang kami buat untuk program

pascal dan tampilannya:

15

16

Gambar 2.2. Koding dan Tampilan Program Pascal dari Metode RK-4

17

Dengan me-compile dan me-running koding tersebut, akhirnya kami

mendapatkan nilai x,y1 dan y2. Berikut tampilan dari program Pascal

tersebut:

18

19

Gambar 2.3. Tampilan hasil running Program Pascal dari Metode RK-4

Sehingga grafik yang terbentu adalah sebagai berikut:

00.20.40.60.81

1.21.41.6

yt

x

y1(y), y2(T)

20

Untuk memvalidasi jawaban tersebut digunakan polymath dan didapatkan bentuk kurva yang sama:

21

2.3. Metode shooting

Adapun soal yang akan diselesaikan adalah sebagai berikut:

dy1dx=xy1+y2

dy2dx=y1+y2

y1 (0 )=0

y2 (1 )=1

y2(0)taksiran=1

ε=0,000001

Metode RK4 dengan h=0,1dg=1

Adapun penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

PDB : dy1dx=xy1+y2

dy2dx=y1+y2

Kondisi Batas : y1 (0 )=0y2 (1 )=1

Kondisi awal taksiran untuk y2 : y2(0)taksiran=γ=1

Tujuan: mendapatkan nilai yang menghasilkan y2(xf,) yangmemenuhi kondisi batas yang diketahui y2,f, yaitu:

y2(xf,γ)❑=y2,f=1

Penyusunan kembali:

0γ,γ ,22 ff yxy

22

Fungsi () dalam deret Taylor di sekitar :

2γγγγγ

O

Agar konvergen :

0γγlim0γ

Sehingga:

2γγγ0

O

Pemotongan & penyusunan ulang :

γ

γγ

substitusi

substitusi

menjadi

23

γ

γγ 0γ,γ ,22 ff yxy

γγ,

γ2

fxy

γγ,

γγ,

γ,γ22

,22

ff

ff

xyy

xyyxy

ff yxyy ,22 γ,

Dimana :

= koreksi terhadap taksiran untuk mendapatkan taksiran baru:

γγγ lamabaru

Koreksi untuk mempertahankan konvergensi (faktor relaksasi)

Perhitungan berlanjut hingga || ≤

Sehingga untuk soal yang diberikan, diperoleh hasil sebagai

berikut :

Iterasi 1 dengan γ=1:

Evaluasi matriksJacobian pada xf

y2(xf, ) 1,14634

y2(xf, +dg) 1,17017

J(xf,) 2,38312

()baru 0,661727779

24

1ρ0 γργγ lamabaru

Grafik untuk y1 dan y2 adalah sebagai berikut :

00.20.40.60.81

1.21.41.61.8

y1

11.11.21.31.41.51.61.71.81.92

y2

Iterasi 2 dengan γbaru:

Evaluasi matriks

25

Jacobian pada xf

y2(xf, ) 1,14634

y2(xf, +dg) 1,17017

J(xf,) 2,38312()baru 0,661728

error = 0,061405339

Grafik untuk y1 dan y2 adalah sebagai berikut :

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y1

26

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

y2

Iterasi 3 dengan γbaru:

Evaluasi matriksJacobian pada xf

y2(xf, ) 1,00615

y2(xf, +dg) 1,02828J(xf,) 2,21273

()baru 0,658948error = 0,00277952

Grafik untuk y1 dan y2 adalah sebagai berikut :

27

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y1

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

y2

Iterasi 4 dengan γbaru:

Evaluasi matriksJacobian pada xf

y2(xf, ) 1,00005

y2(xf, +dg) 1,02210

J(xf,) 2,20533

28

()baru 0,658927

error =

2,14099E-

05

Grafik untuk y1 dan y2 adalah sebagai berikut :

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y1

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

y2

Hingga iterasi ke-4 belum memenuhi syarat nilai ε=0,000001sehingga dilakukan iterasi ke-5 dan diharapkan sudah memenuhi

persyaratan.

29

Iterasi 5 dengan γbaru:

Evaluasi matriksJacobian pada xf

y2(xf, ) 1,00000

y2(xf, +dg) 1,02205

J(xf,) 2,20527

()baru 0,658927

error =

1,29019E-

07

Grafik untuk y1 dan y2 adalah sebagai berikut :

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y1

30

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

y2

Iterasi dihentikan pada iterasi ke-5 karena telah memenuhi

persyaratan dengan ε=1,29019E-07 dan nilai y2 (1 )=1.

31

BAB III

KESIMPULAN

Berdasarkan penggunaaan Ms. Excel, Pascal dan polymath untuk RK-

Gill dan RK 4 diketahui bahwa bentuk kurva yang muncul memililki

bentuk yang sama antara satu dengan yang lain. Hal ini menandakan

bahwa nilai yang didapat mendekati dengan nilai yang sebenarnya

pada soal. Sedangkan untuk metode shooting telah didapatkan nilai

y baru sama dengan 0,658927.

32