1

はりのたわみ

EIMρ

=

• いま，中立軸からyの距離にある応力

度をσxとすると

• M＝Σ（σx dA）× y• として示される。

• yの距離の伸びを⊿dx とすると

• σx＝E・⊿dx/dx• となり，三角形の相似から

• ρ／dx＝y／⊿dx ∴⊿dx/dx＝y／ρ

• となるので，σx＝E・y／ρである．

• したがって，最初の式（モーメント）は次のようになる．

2( )Ey E EIM dA y dA yρ ρ ρ

= × = × =∑ ∑

ρ は曲率半径

I は断面2次モーメント

E は弾性係数（ヤング率）

I

A点からxの位置における接線は =tanθで表される.また

したがって，曲率は

dydx

2 2 2( ) ( ) 1 ( )dyd dS dx dy dxdx

ρ θ⋅ = = + = +

2

22

2

1 1

1 ( )

tan

(1 tan )

ddxdy

dxd dy xdx dx

d y ddxdx

θρ

θ θ

θθ

= ×+

=

+ ×

ここで の値は の式を で微分すると

2 2

2 2

2 2=1 tan

1

d y d yd dx dxdx dy

dxθ=

+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

θこの式より

きわめて小さい（negligible small）

曲率半径は

{ }

2 2

2 2

2 22 3/ 21 1

d y d ydx dx

dy dydydx dxdx

ρ× =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1＝

1+

2

21 d y

dxρ= −

下向きにたわむときを正としたほうが都合がよいから，符号も考慮して曲率半径は次のように表される。

はりのたわみの微分方程式

1EI MMEIρ ρ

= → =

2

2d y M

EIdx∴ = −

2

21 d y

dxρ= −

力学的条件から

幾何学的条件から

2

はりのたわみの微分方程式

2

2d y M

EIdx= −

力学的条件と幾何学的条件より

M はモーメント

E は弾性係数（ヤング率）

I は断面2次モーメント

表1 時間 t に関する各種物理量 z およびz' の関係

z 距離 速度 運動量 角度 電気量

↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑

z' 速度 加速度 力 角速度 電流

表2 距離 x に関する各種物理量 y および y' の関係

y エネルギー たわみ たわみ角 曲げモーメント せん断力

↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑

y' 力 たわみ角 曲げモーメント せん断力 荷重

例題８

EIxlP

dxyd )(2

2 −=

2

1( )

2P l x P xdx lx c

EI EIθ

⎛ ⎞−= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫＝

( )2 2 3

1 1 22 2 6P x P lx xy lx c dx c x cEI EI

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫＝ ＝

はりの境界条件θＡ＝0，yＡ＝0より，c1＝0，c2＝0

2 2 3,

2 2 6P x P lx xlx yEI EI

θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

さらに積分して

積分して

M＝－P・(l－x)だから

2

2d y M

EIdx= −

P.63 x

y

( )

2 2

2

31

41 2

31

42

4 3 4

1(1)2

6

24

, 063, 0

24

4 324

d y qxEIdx

dy q x cdx EI

qy x c x cEI

qx l c lEIqx l y c lEI

qy x l x lEI

θ

=

= +

= + +

= = → = −

= = → =

∴ = − +

B点を原点とした場合

y

x

4

8BqlyEI

→ =

( )

( )

4

4

3

1 13

22 2

1 2 22

3 2 23 3

4 3 2 24 4

4

2 2

0 06 2 2

0 024 6 4

424

d y qEIdx

d y q qx c c l x lEI EIdx

d y q qx c x c c l x lEI EIdx

dy q q qx lx l x c x cdx EI EI EI

q q qy x lx l x c x cEI EI EIqy x lEI

=

= + → = − =

= + + → = =

= − + + → = → =

= − + + → = → =

∴ = −

0

0

0

0

∵

∵

を順次積分する

のときせん断力

のときモーメント

のときたわみ角

のときたわみ

( )3 2 26x l x+

例題９

y

x

( )

2 2

2

32 2

1

2 2 3 4

1 2

2

1

2 2 3 4

1 ( )(1)2

( )2 3

2 2 3 12

0, 0 00, 0 0

6 424

d y q l xEIdx

dy q xl x lx cdx EI

q l x lx xy c x cEI

x y cx c

qy l x lx xEI

θ

−=

= − + +

⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠= = → =

= = → =

∴ = − +