- g :''v : -:.V 9| · MATHÉMATIQUES POUR LE 2e cycle Collection dirigée par Charles-Michel Marle et Philippe Pilibossian Précis d'analyse réelle Topologie Calcul différentiel

U ■ í ,(¡

< .'V-V- 'V-

M HwHR30 lOUi-NCDQbessMiAiwn

2r5 :

h M w p M P K í

á ^ ^ w w M P gJBI •WteriSKîss?' § f - f » T i s gr >. M

jh’:«í \v',. Tr ®J¡2f «B K Í1-J. S3 i? sLaB B Bi life ...k k ‘ % ¿ (!§ I 1 M ?3rf- €vj§fcs[K J r & ‘Nr- t | | M |

&■:■ y>:'' . ' : V :/; ■■: «.rggl ' V "■,: - ■: -• - a - ^ .,,'• -V .

- ■ g : ' ' v : - : .V' ' ¡ A - » g i i M i s « I S » f e a

■.;.: ' ■ : ■ ■■■■■:• :■> ; •, ,. ,' />-xVf|tí;l%,:»íWy¡K5IÍRS1'.•-•(•'•<■ '.(534¿V ' -?.■ ■.■:■■■

SfSjJJOa S33IDJ3X3 *3

9|dXd

MATHÉMATIQUES POUR LE 2 e cycle

Collection dirigée par Charles-Michel M a r l e et Philippe P il ib o ss ia n

P récis

d 'a n a ly se r éelle

TopologieCalcul différentiel

Ivíéthodes d'approximation(volume 1)

Vilmos KOMORNÍKProfesseur á l'Université Louis Pasteur (Strasbourg)

D ans ia m ém s collection M athém atiques pour le 2? cycle

Depuis 1997, cette collection se propose de mettre á la disposition des étudiaats de licence et de maitrise de ma thémaiiq uesdesb uv rages co uvran t Vésséritisl des programmes actuéis des universités franqaises. Certains de ces ouvrages pourront étre utiles aussi aux étu- diants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux éléves des grandes écoles. Nous avons voulu rendre ces livres accessibles á tous: les sujets traiiés soni présentés de maniere simple et progressive, tout en respectant scrupuieusement la rigueur mathéma- tique. Chaqué volume comporte un exposé du cours avec des demonstrations détaillées de

Tous les résultats essentiels, et dénorribreux exercices corrigés.-----—— -

> Algebre linéaire, Francette Bories-Longuet, 160 pages.> Analyse complexe et distributions, Alain Yger, 400 pages.> Calcul différentiel. Gilíes Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 224 pages.> Cours de calcul formel - Algorithms fondamentaux, Philippe Saux Picart, 192 pages.> Distributions - Espaces de Sobolev, Applications, Marie-Thérése Lacroix-Sonrier,

160 pages.í- Elements d’analyse convexe et variationnelle, Dominique Azé, 240 pages.> Éléments d'intégration et d'analyse fonctionnelle, Aziz El Kacimi Alaoui, 256 pages. s> Géométrie différentielle avec 80 figures, Catherine Doss-B ache let, Jean-Pierre

Francoise et Claude Piquet, 208 pages.P- Les groupes finis et leurs représentations, Gérard Rauch, 192 pages.> Integration el théorie de la mesure - Une approche géoméirique, Paul Krée,

240 pages.Logique, ensemble, categories. Le point de vue constructifi Pierre Ageron, 128 pages,

s- Quelques aspects des mathématiques actuelles, ouvrage collectif, 256 pages.> Tnéorie de Galois, Ivan Gozard 224 pages.

Topoiogie, Gilíes Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 192 pages.> Précis d'analyse réelle. Topoiogie - Calcul différentiel - Méthodes d 1'approximations

(volume I), Vilmos Komomik, 20S pages.

ISBN 2-7298-0678-4

© Ellipses Edition Marketing S.A., 2001 32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15

Le Code de la propriety ¡ntdlectuelíe n’autorisant. aux termes de Particle L 122-5.2° ct 3°a), d'une part, que Ies « copies ou reprcducrions strictement réservées á 1’ usage privé du copiste et non desunces a one utilisation collective ». et d‘autre pan, que les analyses et !es courtes citations dans ua but d 'exem ple et d' illustration. •* route representation ou reproduction intégrale ou partidle faite sans le consentement de I'auteur cu de ses ayams droit ou ayants cause est illicite - (An. L.122-J). Cene representation ou reproduction, par quelque procédé que ce soic constiruerait une con tret aqcn sancrionnee par Ies articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriety intdleetudle.

DANGER

Avant-propos

Ce livre, issu de nombreux cours donnés par T auteur en France et en Hongrie, se veut une introduction á la Topologie, au Calcul différentiel dans ~des~espaces normés et á certaines parties de VAnalyse numérique. Un deuxiéme volume sera consacré á VAnalyse fonctionnelle, á VIntégrale de Lebesgue et á certains Espaces fonctionnels importants.

Nous supposons le lecteur familier avec 1’analyse classique des fonctions d’une variable réelle.

Notre objectif était de foumir les bases essentielles de chaqué discipline mentionnée dans un volume restreint et done aisément abordable (50-60 pages par matiere), sans oublier toutefois les aspects historiques, indispensables á une bonne compréhension.

Nous avons fait beaucoup d’efforts concemant la sélection des sujets étudiés, le choix d'énoncés esthétiques et généraux, la recherche de preuves courtes et elegantes, et les illustrations par des exemples simples et pertinents. Une particularité du livre est que nous indiquons les sources originales de la plupart des notions et résultats traités.

Les trois parties correspondent á trois cours semestriels de Licence de mathémadques. Nous commencons toujours par un petit apercu historique, suivi d’une courie liste de livres conseillés pour des compléments historiques ou théoriques, ainsi que de livres d’exercices, nécessaires pour la bonne assimilation des résultats exposes. La partie Topologie est constamment utílisé par la suite, tandis que les deux parties suivantes sont large - ment indépendantes.

Certains résultats, démonstradons et paragraphes, marqués par un astérisque *, pourront étre omis en premiere lecture. La plupart des définitions et notations sont standard. Les rares exceptions sont signaiées explicitemení dans le texte.

Si le lecteur, mécontent de ne pas trouver certains résultats dans notre livre, cherche á compléter ses connaissances en consultant les nombreux árdeles et livres cités á la fin de chaqué partie, nous aurons atteint notre but, qui est de susciter son intérét pour alier plus loin. En effet, nous pensons que la consultation de plusieurs exposés différents du méme sujet conduit á une compréhension plus profonde de la théorie.

Une liste de livres mathémadques particuliérement recommandés est donnée sur la page vi; elle permettra au lecteur de consolider sa culture générale en mathémadques.

Le contenu et le style reflétent la forte influence des cours excellents de A. Császár et L. Czách á l ’Université Loránd Eotvos á Budapest que l’auteur a suivis dans les années 1970, et plus généralement la tradition hongroise établie par L. Fejér, F. Riesz, P. Turán, P. Erdos et d’autres.

Je remercie de nombreux collégues, en particulier C. Disdier, O. Gebuhrer, V. Kharlamov, P. Loreti, C.-M. Marie, P. Martínez, P. P. Pálfy, P. Pilibossian, J. Saint Jean Paulin, A. Saidi, Mme B. Szénássy, J. Vancostenoble, ainsi que C. Baud des éditions Ellipses et B. Beeton (AMS Technical Support) pour leur aide précieuse, et C.-M. Marie et P. Pilibossian pour avoir accueilli cet ouvrage dans la collection qu’ils dirigent.

Je dédie ce livre á la mémoire de Paul Erdós, le plus grand mathémadcien que j ’ai connu, et dont l’humanité exemplaire reste gravée dans ma mémoire.

Strasbourg, le 26 mars 2001.

Table des matiéres

B ibliographic............................................................ . .

Partie 1. T opologie ......................................................

AThapitre í . Espaces métriques ...................................1.1. Définitions et ex em p les ...................................1.2. Convergence, limite et con tinu ité ...................1.3. Espaces complets. Un théoréme de point fixe .1.4. C om pacité................... ... ."............................

Chapitre 2. Espaces topologiques ................................2.1. Définitions et ex em p le s ...................................2.2. Voisinages. Fonctions continues .......................2.3. C o n n ex ité .........................................................2.4. * C om pacité...................................................2.5. * Convergence de filets .............................

Chapitre 3. Espaces norm és.........................................3.1. Définitions et e x e m p le s ...................................3.2. Propriétés métriques et topo log iques.............3.3. Espaces normés de dimension f in i e ................3.4. Applications lineal re s continues......................3.5. Formes linéaires continues................................

B ibíiographie...................................................................

Partie 2. Calcul d iffe re n tia l......................................

Chapitre 4. D ériv ée ......................................................4.1. Définitions et propriétés élémentaires.............4.2. Théoréme des accroissements finis . . . . . . .4.3. Les fonctions R™ Rn ...................................

Chapitre 5. Dérivées d ’ordre supérieur......................5.1. Applications multilinéaires continues.............5.2. Dérivées d’ordre supérieur...............................5.3. - Développements limités. Formule de Taylor .5.4. Extréma locaux ...............................................5.5. Fonctions convexes .........................................5.6. Les fonctions R™ '->■ Rr' ...................................

Chapitre 6. Équations différentielles.........................6.1. Intégrale de fonctions á valeurs vectorielles . .6.2. Définitions et e x e m p le s ...................................6.3. Théoréme fondamental ...................................6.4. Prolongement des solutions. Équations linéaires6.5. Solutions expiicites ............................ ... . . .

J j

AA

AA

j >;------- -

■A*.■ A !

1 ■ AN

. 3 U ÍA.

. 3

. 6 ) .

. 11

. 18 "j? .-V

. 25 ( 'A- . ’).

. 25 A. 28

. 31\. 34

. 39

. 43 A' A -. 43

. 49 ■ V •*¡255 ^ :

. 58 '' / N.

. 61 1 "if i

. 67AA

. 69 ‘ •/

. 69 [ j

. 75

. 78 f A

. 81 7 A ,

. 81 ' A

. 83 i ( '■

. 87

. 90 • A .

. 92 '■ i

. 96 !V. %

. 99 ’ X. 99

. 101 y

104 • 1 A108

A110A

)

Chapitre 7. Fonctions implicitcs et applications........................................................¡17.1. Fonctions im plicitcs........................ ............................................................. jj7.2. Multiplicateurs de Lagrange....... ................................................................. } ] 77.3. Théoréme spectra l......................................................................................... 1187.4. * Théoréme d’inversion locale.......................................................................1207.5. * Théoréme de fonctions im plicitcs..............................................................1237.6. * Multiplicateurs de Lagrange. Cas général................................................. 1257.7. * Equations differential les. Dépendance des données.................................. 126

Bibliographic............................................................................................................... 129

Partie 3. Méthodes d ’ap p rox im ation .............................................................. 133

Chapitre 8. In terpolation.............................................................................................1358.1. Interpolation de L ag range ................................................................................1358.2. Minimisation d’erreur. Polynómes de Tchebychev..................................... 1378.3. Formule de Newton. Différences divisées.................................................... 1388.4. Interpolation d’H e rm ite ................................................................................... 1418.5. Théorémes de Weierstrass et Fejér........................................ .........................1448.6. Fonctions splines.............................................................................................147

Chapitre 9. Polynómes orthogonaux.......................................................................1519.1. Orthogonalisation de G ram -Schm idt.......................................................... 1519.2. Polynómes orthogonaux................................................................................1529.3. Racines de polynómes orthogonaux..............................................................15¿

Chapitre 10. Intégradon numérique..........................................................................15710.1. Quadrature de L a g ra n g e ................................................................ ... 15710.2. Formules de Newton-Cotes . . ................................................................. 15910.3. Quadrature de G a u s s ................................................................................... 16010.4. Théoréme de Stieltjes et d’Erdós-Turán.....................................................16210.5. Formule d’Euler-M aclaurin.......................................................................16410.6. Polynómes et nombres de B ernoulli...........................................................16610.7. Justification de la formule d’Euler-Maclaurin........................................... 16910.8. Formule des trapezes. Méthode de Romberg...............................................171

Chapitre 11. Recherche de ra c in e s ......................................................................... 17511.1. * Suites de S turm ..........................................................................................17511.2. * Racines de polynómes quelconques...........................................................17711.3. * Régle des signes de D escartes................................................................. 17911.4. * Méthode de Householder et B auer..............................................................18111.5. * Méthode de Givens : recherche des valeurs propres ................................18211.6. Méthode de Newton ................................................................................... 184

ChapitreT2. Équations différentielles.......................................................................... 18712.1. Approximation des solutions....................................... 18712.2. Méthodes de R unge-K utta..........................................................................189

Bibliographie.......................................................................... 191

Index terminologique et notations ................................................................................ 195

Index des n o m s ......................................................................................... 199

Liste des mathématiciens cités ......................................................................................201

U>

OJ

BibHographie

C'est dor.c celui-la? Mais bien sur que je m 'en souviens, il était mon éléve dans le temps. Aprés, il est devenu poete : évidemment, il n ’avait pos assez de fantasie pour s ’occuper des mathématiques.

D. Hilbert

[1] M. Aigner et G. M. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer, New York, 1999.[2] P. S. Alexandroff, Elementary Concepts o f Topology, Frederick Ungar Publishing Company, New

York, 1965.[3] E. T. Bell. Les grands mathématiciens, Payot, Paris, 1961.[4] D. Bressoud, A Radical Approach to Real Analysis, The Mathematical Association of America, Wash

ington, 1994.[5] É. Callandreau, Célebres problémes mathématiques, Editions Albin Michel, Paris, 1949.[6] R. Courant et H. Robbins, What is Mathematics ? An Elementary Approach to Ideas and Methods,

Oxford University Press, New York, 1979.[7] H. S. M. Coxeter et S. L. Greitzer, Redecouvrons la géométrie, Dunod, Paris, 1971.[8] W. Dunham, Journey Through Genius. The Great Theorems o f Mathematics, John Wiley & Sons, New

York, Í990.[9] P. Erdcs et J. Surányi, Vdlogatottfejezetek a számelméletból [Chapitres choisis de la théorie de nom

bres!, Polygon, Szeged, 1996. (ISSN 1218-4071)[10] E. Hairer et G. Wanner, Vanalyse au fil de Thistoire, Springer, Berlin, 2001.[11] G. H. Hardy, L ’Apologie d ’un mathématicien, Belin, Paris, 1985.[12] P. Hoffman, Erdos. L 'honme qui n ’aimait que les nombres, Belin, Paris, 2000.[i.3] M. Knee: S.M. Ulant. Mathématiques et logique. Retrospective et perspectives, Dunod, Paris, 1923.[14] K. Kncpp, Theory o f Functions l-Il, Dover, New York, 1996.[15] A. Y. Khintchine, Three Pearls o f Number Theory, Graylock, Rochester, 1952.[16] T. W. Koraer, Fourier Analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988.[17] J. Kiirschák, Hungarian problem book 1-11 (revisé et edité par G. Hajós, G. Neukomm et J. Surányi),

Random House, New York, 1963.[18] M. Laczkovich, Conjecture and Proof, Typotex, Budapest, 1998.[19] J. Muir. Of Men and Numbers. The Story o f Great Mathematicians, Dover, New York, 1996.[20] J. Newman (editor), The World o f Mathematics 1-TV, Dover, New York, 2000.[21] F. Riesz et B. Sz.-Nagy, Legons d ’analyse fonctionnelle, Akadémiai Kiadd, Budapest, 1952.[22] H. Steinhaus, Mathématiques en instantanés, Flammarion, Paris, 1960.[23] I. Stewart, The Problems o f Mathematics, Oxford University Press, New York, 1992.[24] D. J. Scruik, Concise History o f Mathematics, Doyer, New York, 1987.

Partie 1

Topologie

La topoiogie est l’étude de la continuité. Aprés des résultats sporadiques de Descanes (1639)' et d’Euler (1752/53) sur la formule de polyédres, d’Euler (1736) sur les ponts de Konigsberg, puis les travaux de Bolzano (1817) et Cauchy (1821), le développement de la disciplíne a efe surtout influence par Riemann (i 854, 1857).—

Weierstrass (1841, 1861, 1874) et Heine (1870, 1872) ont precisé, clarifié etcomplété les résultats antérieurs. Dans une série de travaux entre 1872 et 1884, Cantor a introduit la plupan des notions de base (points d’accumulation, intérieurs, frontiéres, densité, ensembles fermés, voisinages, etc.).

Grassmann (1862) a proposé de considérer les suites finies ( z j , . . . , z„) de nombres en tant qu’objets iridéperidants, en introduisant ainsi FespaceRn.::. Sous l ’inftuence de Jordan (1882) et Peano (1888, 1890), ce point de vue a été lentement adopté.

Pour comprendre les nombreuses difficultés théoriques soulevées par des problémes du calcul des variations, des séries de Fourier et des équations différentielles, des raa- thématiciens de plus en plus nombreux ont commencé á étudier systématiquement les espaces de dimension infinie (Arzelá, Ascoli, Volterra, Fredholm, Hilbert, Schmidt, . . .)

Fréchet (1906) a introduit dans sa these les espaces métriques et de nouvelles notions de base (espaces complets, compacts, séparables, etc.). La premiere définition d’espace topologique, équivalente á celle d’aujourd’hui, a été donnée par Riesz (1906). Par la suite, la théorie des espaces topologiques et métriques a été systématiquement développée, co- difiée et complétée dans sa monographie par Hausdorff (1914). Elle contient presque tous les résultats des chapitres 1 et 2.

Les espaces normes ont été introduits par Riesz (1917). La plupart des résultats profonds, concemant le cas de dimension infinie, appartiennent déjá au sujet fascinant de 1’analyse fonctionnelle, étudié au volume B'.

Nous citerons souvent des articles historiques oü des idées ou notions importantes sont apparues pour la premiere fois. Au lieu de nous prononcer sur des questions de priorité, nous incitóos le lecteur de les consulter directement. Es contiennent souvent des versions différentes, illustrant aussi l’évolutiou des idées. Pour des analyses et commentaires historiques plus profonds et détaillés, voir par exemple [3J, [12], [17], [18], [40], [41] [42], [56], [57], [70], [87], [115], [125].

La plupart de nos remarques et exemples peuvent aussi servir d’exercices. Les livres [4], [33], [36], [40], [68], [71], [74], [117] contiennent aussi beaucoup d’exercices et de résultats supplémentaires.

II y a quelques différences par rapport aux traités usuels. Nous donnons une preuve tres coupte de la complétion d’une métrique : proposition 1.14 (p. 16). Nous présentons également une preuve tres simple de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : proposition 3.1 (p. 45). Un corollaire important du théoréme de Hahn-Banach (proposition 3.18, p. 58) permettra de simplifier de nombreuses preuves en Calcul différentiel. Nous donnons une preuve simple et directe de ce corollaire dans le cas hilbertien.

Les définitions epnotations sont standard; les rares exceptions sont signalées dans le texte. On écrit parfois / : X ^ Y au lieu de / : D —> V, D C X , s’il n’est pas nécessaire de préciser le dcmaine D d’une fonction / .

373, '3Os-K/ >«■d

,37373X

..

v37373

-3 j y

7/7;,3,)

3

A,

^ e s citations renvoient á la bibliographic á la fin de la partie I, p. 61.

Chapitre 1Espaces métriques

La seule chose qui manque actuellement á la théorie des ensembles pour occuper sa place dans Vanalyse, c'est la conception genérale de passage á la limite.

J. Hadamard 1900

Les idées naturelles sont cedes qui viennent en dernier

J. Hadamard

Les espaces métriques sont des espaces tres bien adaptés á l’érude de la continuité et de la continuité uniforme des foncüons. Dans ce chapitre on va généraliser de nombreux résultats concemant la convergence des suites de réels et la continuité des fonctions d’une variable réelle aux espaces métriques quelconques.

Le lecteur observera cependant l’absence de la notion de suites monotones : le cadre des espaces métriques ne permet pas de les définir. En outre, la notion d ’ensemble bomé se généralise facilement aux espaces métriques, mais elle est moins utile que dans R La notion d’ensemble complétement bomé ou précompact se révélera une meilleure généralisation.

1.1. Définitions et exemples

Definitions.s Une métriquey (ou distance) sur un ensemble X est une fonction d : X x X —> R

vérifiant pour tous x , y , z € X les quatre propriétés suivantes :

• d(x, y) > 0,.S d(x, y) = 0 X = y-j• d{x,y) = d(y,x),« d(x,y) < d(x, z ) 4- d(z, y), f

La demiere propriété s’appelle Vinégalité triangulaire^voir la figure 1.1). a Un espace métrique (X , d) est un ensemble X muni d’une métriqued sur X . On

va le noter simplement par X si la métrique est évidente/

Exemples.« X = R, d[x, y) — \x — y\. C'est la métrique habituelle de R Dans la suite, E

sera toujours muni de cette métrique.

’Fréchet 1906.

4 Espaces m étriques

x y

Figure 1.1. Inégalité triangulaire

• Soit X un ensemble non vide et posons

d(x,y) =I 0 si x - y, I 1 si x 7í y.

C’est la métrique discrete sur X í Par definition, un espace métrique discret est un ensemble muni de la métrique discrete,

o Soit K un ensemble non vide et désignons par B(K) l’ensemble des fonctions bornees / : K —y M. La formule

définit une métrique sur 5(ET). Dans la suite, B{K) sera toujours muni de cette métrique.

» Pour généraliser l’exemple précédent, introduisons les ensembles bomés dans un espace métrique (A', J) : une partie A G X est bornée si son diamétre, défini par la formule

est fini. Désignons par B{K, X) l ’ensemble des fonctions bomées / : K —5- X j (c'est-á-dire dont l’image i? (/) est un ensemble bomé dans X). La formule

définit une métrique sur B(K, X) . Par la suite, B{K, X ) sera toujours muni de la métrique dx .

Definition. Soit y un point dans un espace métrique (X, d) et r > 0 un reel. On définit la boule ouverte B r(yj de centre y et de rayon r par

Remarque. II est clair que B r{y) C Bs(y) si r < s. Mais l’inclusion n’est pas toujours stricte f Par exemple, dans un espace métrique discret X, on a

d^XL g) = sup | / ( f ) - g (t%

diamA := sup{d(x, y) : x , y € A } ,

doo(f,g) = su.p{d(f(t),g(i)) : t € K }

B r(y) := {x € X : d(x,y) < r} /

existe r > 0 tel que Br(y) C L .Definition. Une partie U d’un espace métrique est ouverte1 si, pour tout y € U, il 2

2Cantor 1S79, Lebesgue 1902.

Figure 1.2. Séparation des points

Voici les propriétés fondamentales des ouverts :

Proposition 1.1. La familia des ouverts d ’un espace métrique (X , d) posséde les cinq propriétés suivantes::(a) 0 et X sont ouverts;(b) Vintersection d'un nombre fini d ’ouverts est un ouvert;(c) la réunion d ’ une famille arbitraire d ’ouverts est un ouvert (famille finie ou infinie};(d) les boules ouvertes sont effectivement des ensembles ouverts au sens de la défmition

ci-dessus;(e) pour deux points distincts quelconques x, y £ X, il existe deux ouverts U et V tels

que x £ U y € V et U fl V = 0.

Preuve.(a) II est évident que X est ouvert: pour x € X donné quelconque, on a par example

x € Bi(x) c X. H n’y a rien á vérifier pour 0, car il n’a aucun élément.

(b) Soit U\ , . . . , Un des ouverts et posons U = U\ fl • • • fl Un. ■ Pour y € U fixé quelconque, on a y £ U¡ pour chaqué i. Les ensembles U¡ étant ouverts, il existe des nombres r¡ > 0 tels que B rf y ) C L'¿. Posons r - m infrx,. . . , rn}, alors B-(y) C U.

(c) Soit {U¡} une famille d’ensembles ouverts. Si y appartient á leur réunion U, alors il existe i tel que y € C/¡. Comme U¡ est ouvert, il existe r > 0 tel que B r(y) C U.. Alors Br(y) C U.

(d) Soit y € Br{x). On cherche s > 0 tel que B,(y) C Br(x). Montrons que le choix s = r — d(x, y) convient. En effet, il est clair que s > 0. Ensuite, si z € B s(y), alors

d{x, z) < d(x, y ) + d(y, z) < d{x, y) + s = r

d’oü z € Br(x).

(e) II suffit de choisir U — B r{x) et V = B r(y) avec r := d(x, y ) / 2 > 0. En effet, si z £ U, alors d{y, z) > d{x, y) — d(x, z) > r d’aprés l’inégalité triangúlame (voir la figure 1.2) et done z £ V.

□Exemple. Les intervalles ouverts de E sont effectivement des ensembles ouverts. En

effet, les intervalles ouverts bornes sont en fait des boules ouvertes : ]a, 6[= Br(x) avec x — (a — b)/2 et r — (b — a) /2. Ensuite, tout intervalle ouvert non-borne est la réunion

6 Espaces métriques

d'une famiüe (dénombrable) d’intervalles ouverts bomés :c c - o c

ja,coj = [J}a ,a :+ n[, ] - oo,a[= ]a — n,a{,n= l ■“ .........................“ ~ri=l ' -

(J i — n, n[.Donnons deux constructions générales de nouveaux espaces métriques á partir d’espa-

ces métriques donnés.

Definition. Un sous-ecpace (métrique) (A ', d!) d’un espace métrique (Ar, d) est une partie X ' de X munie de la restriction d! de la métrique da. X ' x A"'.: (II est clair que d' est effectivement une métrique sur A '.) - _____

Definition. L e produit d’ün nombre fini d’espaces métriques (Xi, d\), . . . r (A m,dm) •est l ’ensemble A = X x x • • • x A'm3’ muni de ia métriqüe

d[x, y) = di(xi .yi) d------ f dm(xm, ym), x , y € X,.

(On vériñe sans peine que d est effectivement une métrique sur A'.)

En appliquant ces constructions á R, on obtient que Mm (m > 1) est un espace métrique pour la métrique définie par la formule4

d(x, y) := — 2/i| -+- - - - + \xm - ym¡,-et que, plus généralement, toute partie de Rra peut étre considérée comme un espace métrique.

Pour terminer ce paragraphe,. introduisons les ensembles fermés :

Definition. Une partie d’un espace métrique est fermée5 si son complémentaire est ouvert..

Examples.• On inter’alle ferm i [a.ij de R est effectivement un ensemble fermé, parce que

son complémentaire est la ráunion de deux intervalles ouverts :

R\[a, fc] =] — oo, a[ U ]¿>, co{.

® Les intervalles de la forme [a, 6[ et]a, b] (—co < a < b < oo) ne sont ni ouverts, ni fermés.

1.2. Convergence, limite et continuité

Par définition, la limite d’une suite dans un espace métrique se raméne á celle d’une suite numérique. ---- ’

Definition. Une suite (xn) dans un espace métrique. (A ,.d) est convergentec s’ii existe un point x € A', appelé la limite de la suite, tel que d(xn. x) -? O quand n —*■ cc.

Alors on dit aussi que (xn.) converge vers x et on écrit x n -4 x ou liiúx,, = x. ¿

Exemples.» Pour X = E, on retrouvé la convergence habituelle des suites de réels.

3Grassiuann 1862.4 Jordan 1882.5Cantor 1884.“Bolzar.o 1817, Cauchy ! 821, Fréchet 1906.

, 3

"3¡3, 3

' . J

< >

o-J-

"3D

-* S '

y3/S./)

J

y)O)?)33y)

' j

J

9 Si x n = x á partir d’un certain n, alors xn -a x. Dans un espace métrique discret il n’y a pas d’autres suites convergentes.

o Dans B{K) , on a /„ -A f si et settlement si la suite des foncíions /„ converge uniformémenP vers / sur K : pour tout e > 0. il existe N tei que

Vn > N, Vi € K,

m Plus généralement, dans B(K,X) , on a /„ —¥ f si et seuiement si pour tout e > 0, il existe N tel que

Vn > A, Vi 6 A, d(fn( t ) , f ( t ) )<£.

s Soit (X, d) le produit de (Xi, di), . .., (Xm,dm). Alors i n -+ a dans (A', d) si et seuiement si xnX —¥ ax dans (Ai., di), xn2 -a a2 dans ( X 2, d2) , .. .et x nm -a am dans ( Xm, dm), oú

x n — (xni , . . . , trnm) et u (tti, • - - j ttm).

En particulier, une suite de vecteurs dans Rm converge (pour la métrique du produit) si et seuiement si les m suites de composantes convergent dans R

Les propriétés habituelles de la convergence des suites numériques (á l’exception de celles liées á la monotonie) restent valables dans les espaces métriques :

Proposition 1.2.(a) Si xn -> x, alors x„k —> x pour toute sous-suite ( i„ J de la suite (x„).(b) Si xn 7> x, alors il existe une sous-suite (x„k) telle que xnk¡ -/¥ x pour toute íoiü-

suite (in,.) de {xnj 4 . '(c) Si xn -7 x et yn -r y, alors d(xn, yn) d(x , yl).(d) La limite d ’une suite convergente est unique:

Preuve.(a) La suite numérique (d(xnk,x)) étant une sous-suite de (d[xn, x )), on déduic de

d(xn, x) 0 que d(xnk, x) -> 0.

(b) Si xn -/r x, alors il existe e > 0 et une sous-suite (xnk) tels que d{xUk, x) > e pour tout k. .Alors d(xnk¡, x) />.0 pour toute sous-suite (xnt¡) de (xnJ .

(c) On déduit de l’inégalité triangulaire que

d{xn,y„) < d{xr„x) -i- d(x,y) -f d(y. y„)

ctd(x, y) < d(x, xn) + d(xn. yn) + d(yn, y )

d’oü\d(xn,yn) - d(x,y)\ < d{xn,x) + d(yn,y).

On conclut en notant que le second membre tend vers zéro si n —> oo.(d) Si x„ —> x et x n -A y, alors

d{x, y) < d(x, xn) + d{xn, y) -a 0

d'aprés l’inégalité triangulaire. On conclut que d{x, y) < 0 d’oü x = y. !-i

On peut caractériser les ensembles fermés d’un espace métrique en utilisant les suites (voir la figure 1.3):

'Wsierstrass 1841.

s Espaces métriques

Proposition 1.3. Une partie F dim espaee métrique (X , d) estfermée si et settlement si pour toute suite convergente (xn) telle que. xn £ F pour tout n, on a lim xn € F-&

Preuve. Soit F fermé, (xn) C F et x € X \ F . Montrons que xn x. Comme X \ F est ouvert par définition, il existe r > 0 tei que Br{x) C X \ F . Aiors d(xn,x) > r pour tout n d’oü xn -fcx.

D’autre part, si F n’est pas fermé, aiors X \ F n’est pas ouvert, done ti existe un point x £ X \ F tel que B¡(x) D F 0 pour tout S > 0. Choisissons pour chaqué entier n > 1. un point x n £ Bi/n(x) D F. Aiors ( in) C F, x„ -> x parce que d(x„,x) < 1/n -A 0, mais x £ F. □

Étudions maintenant la limite des foncxions :

Définition. SdiF(X,~2), (X ^ d‘) deux espaces métriques ét a € X , a' 6 A'S Une fonction / : X "—> X ' posséde une limite 9 c! en a si pour e > 0 donné quelconque, il existe S > 0 avec la propriété suivante : f

si x £ X et 0 < d(x.a) < <f aiors d'(f(x),a') < e.

On écrit dans ce cas lima f = a' ou lirada / ( x) — a'.’

Remarques.« Ni 1’existence, ni la valeur de limc lépendent de la valeur de / en c.• On dit que a est un point d'accumu. .n n * 9 l° ou une valeur d ’adherence de X si

toute boule B¡{a) de centre a confie-: tu moins un point x tel que x á a. Si a est un point d’accumulation de X, ai. -s la limite de / au point a, si elle existe, est unique.

« On dit que a est un point isolé11 deX . ’ il existe <5 > 0telque5¿(a) = {a}. Si a est un point isolé de X, aiors iima j — a! pour tout a' £ X '. Habituellement les limites ne soni définies qu’en des points d’accumulation. Notre définition plus

3Cancor 1834..9d’Alembert 1765, Cauchy 1821. Nome définition difiere légérementde celle adoptee habituellement,

par exemple dans les autres volumes de cene collection. Notons toutefois, que dans les situations les plusx fféquentes elles sont équivalentes : notre définition est equivalente a la relation g(x) = a ' au sensusuel oíi g designe la restriction de f sur A'\{a}.

10Cantor 1872.1 ’Cantor 1872.

genérale est plus simple car elle évite la notion de point d’accumulation, et elle permettra de simplifier l’énoncé de la proposition 1.4 ci-aprés.

Étudions maintenant la continuité.

Definition. Soit (X, d) et (X d ' ) deux espaces métriques. Une fonction / : A' -> X ' est continue12 en a £ X si pour tout e > 0 il existe 5 > 0 avec la propriété suivante :

si x £ X et d(x , a )<d , alors d'(f(x), f(a)) < s:

Proposition 1.4. Soit (X , d), ( X 1. d') deux espaces métriques et a € X . Pour une fonction f : X —r X ' les trois propriétés suivantes sont équivalentes :(a) iim* / = f ( a ) f(b) f est continue en a; ,(c) Si x n -* a dans X , alors f ( x n) —> /(a ) dans X ' .

Preuve.(a) => (£>). Pour c > 0 fixé quelconque, on choisit 6 > 0 d’aprés la déñnition de la

limite lima / = f(a). ü faut montrer que si d[x, a) < 5, alors d!( / (x), f (a)) < z. Cette relation est évidente pour x = a, tandis qu’elie résulte de la definition de la limite pour x == a.

(¿) =s ,(c). On fixe 5 > 0 quelconque. On cherche un entier N tel que

< epour tout n > N. On choisit ó > 0 d’aprés la continuité de / en a. Comme x n — a, il existe N tel que d(xn.a) < 5 pour tout n > N. On en déduit que d' ( f (xn), /(a )) < 5 pour tout n > N.

(c) => (a). Si la propriété (a) n’est pas vérifiée, alors il existe e > 0 tel que pour tout 5 > 0 on peut trouver un point x € X avec

0 < d[x, a) < 5 et d ' ( f ( x ) , f {a) )>z .

En appliquant cette propriété avec 5 — 1/n, n = 1 ,2 ,... , on obtient une suite (zn) vérifiant d(xn, a) < 1/n et d' ( f (xn), /(a )) > z pour tout n. Alors d(xn, a) 0 mais d' ( f (xn), /(a )) 0, done la propriété (c) n’est pas vérifiée. □

Proposition 1.5. On considere trois espaces métriques X, X ', X ” et deux fonctions g : X —v X', f : X ' —r X " . Si g est continue en a € X et f est continue en g{a) £ X', alors f o g : X —*• X " est continue en a.:

Preuve. On applique trois fois l’équivalence (b) <=> (c) de la proposition précédente. D faut montrer que ( / o g)(xn) —> ( / o g)(a) dans X" si x„ -> a dans X.

Comme g est continue en a, on a g{xn) —> g(a) dans X ' . Ensuite, comme / est continue en g(a), on a f ( g ( xn)) —> f(g(a)) dans X". □

Considérons maintenant la continuité globale des fonctions. Il y a trois notions utiles et non équivalentes :

Definitions. Soit (X, d), {X ' , d') deux espaces métriques et f : X —r X!.9 f est continue si elle est condnue en tout a £ A". /

I2Bolzano 1816, 1817, Cauchy 1821, Weierstrass 1874.

Es paces mé triques10

avec la propriété suivantec

si x , y € X et d(x.y) < <5, alors d ' ( f ( x ) , f ( y ) )<é .

o / est lipschitzienne14 s’il existe une constante L > 0 telle quef

Ld(x, y)

pour tous x, y € Xí

Remarque. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue (on peut choisir 5 -- z¡ L) ci toute fonctio.a uiiiformemeat continue cst continue (le méme 6 convient pour tout a € Xy. Les ex emoles suivants montreot que la récrr, roque estfausse en general.

Examples. (Voir la figure 1.4.)« La fonction / : R —> S, /(x ) = x 2 est continue, mais non uniformément

continue.• La fonction / : K —> R, f (x) = \x\1 2 est uniformément continue, mais non

lipschitzienne.e La fonction / : S —>■ R, /(x ) = x est lipschitzienne.a Soit (X , d) un espace métrique. Alors d : X x X est lipschitzienne.

En effet, en utilisant l’inégalité triangulaire comme dans A démonstration de la' partie (c) de la proposition 1.2 (p. 7), on a

\d{xx, x 2) - d{yi,y7)\ < d(x1,yx) + d(x2,y2;.

pour tous les couples (aq, x2), (yi ,y2) 6 X x X. D ’aprés la définition de la métrique de X x X, on concluí que d est lipschitzienne avec L = 1.

-^^•Proposition 1.6. Considérons trois espaces métriques X . X 'r A’" et deux fonctions 9g : X -¥ X ', f : X ' X ". -(a) Si f et g sont continues, alors la fonction composée f o g est continue.(b) Si f et g sont uniformément continues, alors f o g est uniformément continue.(c) Si f et g sont lipschitziennes, alors f o g est lipschitzienne. * 14

ÍJHeine 1870.14L¡pschitz 18Ó8-69.

Preuve.(a) Appliquer la proposition précédente en chaqué point a £ X .

(b) Désignons les trois métriques par d, di et d“. On ñxe e > 0 quelconque et on cherche 5 > 0 tel que si x, y £ X et d(x, y) < ó, alors d"(f(g(x)), f (g(y))) < s.

D'aprés la continuité uniforme de / , il existe a > 0 tel que

-siari,sy'.JE Y et d'(x',y') < o . alors d"(f (x'), f{y')) < £.

Ensuite, d'aprés la continuité uniforme de g il existe 5 > 0 tel que

si x, y £ X et d(x, y) < 5, alors d\g(x), g{y)) < a.

En appliquant la définition de a avec x' — g(x) et y1 = g(y) on obtient le résultat cherché.

(c) Si / et g sont lipschitziennes avec des constantes L\ et L2, alors la fonction com- posée / o g est lipschitzienne, parce que

f (g(y))) < Lid'{g{x),g{y)) < L lL 2d(x,y)

pour tous x, y £ X . □

1.3. Espaces complets. Un théoréme de point fixe

Rappelons que le critére de Cauchy pennet souvent de démontrer la convergence d’une suite numérique sans devoir déterminer sa limite. Ce paragraphe est consacré á l’étude des espaces métriques oü l’analogue du critére de Cauchy a lieu.

Définition. Une suite (x„) dans un espace métrique (X, d) est une suite de Cauchy-3 si d(xm, xn) —r O.lorsque m , n -> co. Plus précisément, pour tout a > 0 il existe un entier N tels que d(xm, xn) < e pour tous m, n > NJ

Toute suite convergente est une suite de Cauchy. En effet, si xn —r x , alors

0 < d(xm, x„) < d(xm. x) -i- d(x, x„) -5- 0

lorsque m, n —> oo.

Definition. Un espace métrique est complstla si toute suite de Cauchy dans cet espace est convergente.

Exemples.© S est complet d’aprés un théoréme classique de Cauchy '# Tout espace métrique discret est complet, car toute suite de Cauchy est constante

á partir d’un certain rang.© Les espaces B(K) sont complets. Plus généralement, on a la

Proposition 1.7. Si (X,d) est un espace métrique complet, alors les espaces métriques B(K, X ) sont aussi complets.: 7

'^Bolzano 1817, Cauchy 1821. léFréchet 1906.I7Cauchy 1821.

12 Espaees métriques _

Preuve. Soit (/„) une suife de Cauchy dans B(K, X) : pour 5 > 0 fixé quelconque, ¡1 existe N tel que

(1.1) r .................- ------tmtt)') < E......................L:__.. . . ._____

pour tout t € K et pour tous m, n > N. ii faut trouver une fonction bornée / : K —> X telle que f n converge vers / uniformément sur K.

Tout d'abord, on déduit de l’hypothése que pour r € K fixé quelconque la suite •(f n(t).) est une suite de Cauchy dans AL Comme X est complet, elle admet done une limite f ( t ) dans X. On obtient ainsi une fonction / : K —¥ X telle que

f n{t) -> f ( t )

pour chaqué í € K.En faisant tendre m vers 00 dans (1.1), on obtient que

(1.2) di fn{ t ) J ( t ) ) < e

pour tout t € K et pour tout n > N. On en déduit d’abord que / est bornée et done / € B(K , Á'). En effet, pour n > N fixé quelconque, il existe une constante M telle que

Vs, t e K, d(/n(s), < M,

parce que f n est bornée. En utilisant (1.2) et l’inégalité triangúlame on en déduit que

Vs, t £ K , d(f(s), f ( t )) < M + 2e.

Finalement, on déduit de (1.2) que f„ converge vers / dans B(K, A'). □

La proposition suivante permettra d’obtenir d’autres exemples.

PiujaositionJ^b.(a) Le produit d ’un. nombre fn i ¿'espaees métriques compiets est complet.(b) Un sous-espace fermé Y d ’un espace métrique complet X est complet.

Preuve.(a) Soit (X , d) le produit des espaees métriques compiets

(-AT 1 , di ) , . . . . (Arm, dm),

et (x„) une suite de Cauchy dans (AT, d). En écrivant x„ = . . , x nm), on déduit del’égalité

d{xn,Xk) — di(xni , Xf¡i) E • *■ E dm{xnm, x¿m)

que (x„j) est une suite de Cauchy dans (X j , d¿) pour chaqué j = 1, . . . ,m. Ces espaees étant compiets, il éxislea^ E~A.y tel que dj(xnj, aj) 0. En posant a = ( a i , . . . , am), on déduit de l'égalité

d(xn, a) ~ di(xni , ¿ii) E * * * E dm(xnm, (tTn)

que d(xn. a) —> 0, et done xn a dans (X , d).

(b) Soit (xn) une suite de Cauchy dans Y, alors elle est aussi une suite de Cauchydans AL Comme X est complet, elle converge vers un certain point x <E X. Comme Y est fermé, on a x 6 Y. Done xn —> x dans Y. □

Exemple. (avec la métnque du produit), et plus généralement tout fermé de ¡Rm est un espace métrique complet.

Le théoreme de point fixe suivant est tres souvent utilisé pour résoudre des équations.

Théoréme 1.9. (Point fixe da contraction13) Soit f : X —> X une fio net ion dans un espace métrique complet non vide (X, d). Supposons qül\ existe une constante L, vérifiant 0 < L < 1, telle que

< Ld(x,y)pour tons x ,y G X . Alorsil existe un point x € X et un seul telque f ( x ) = x.

Remarques.a Une fonction vérifiant l ’hypothése du théoréme est appelée contractante. Une

telie fonction est lipschitzienne et done uniformément continue, a L'exemple de la fonc.tion /(x ) := x + 1 sur R montre que l’hypothése L < 1

est essentielle.s L’exemple de la fonction /(x ) x/2 sur M\{0} montre que l’hypothese de

complétude est essentielle.« Pour un autre théoréme de point fixe trés important, dü á Brouwer, voir [89],

[99], [114] ou [78],

Preuve. On fixe x0 6 X quelconque et on pose x n — /(x n_i) pour n — 1 ,2 ,___Montrons que (x n) est une suite de Cauchy. En effet, pour m > n > 0 donnés quelconques on a

xfi) ^ d(xm. Xm—i ) "T * * * ~ d(Xn-~\j Xn)< (Lm- 1+ --- + L n)d(xx,xo)

< Ln{l — L)~ld(x]_. x0) —í- 0

si n -> oc. Comme X est complet,- il existe x € X tel que xn -A x. En passant á la limite Har.s l’éqúation xn — / ( x n_x) et en utilisant la continuité de / en x on obtient quef ( x ) = x.

Si y £ X est aussi un point fixe de / , alorsd(x, y) = d(/(x), f (y)) < Ld(x, y).

Comme L < 1, on en déduit que d(x,y) < 0 et done y = x. Ceci montre l’unicité du point fixe. □

Remarque. En faisant tendre x m vers x dans l’inégalité au début de la preuve, on obtient I’estimation suivant sur la vitesse de convergence vers le point fixe:

d(x, xn) < L n( 1 — L)~ld(xi, x0) —> 0, n = 0 ,1 ,. . .

Elle est utile dans les applications.

Exemple. La formule1 / 2 \

/ ( x ) := 2 V + i ) ' X ~ ldéfinit une fonction / : [1, co[—> [1, co[. En outre, elle est une contraction parce que

l/M - m = =pour tous x, y > 1. Étant donné que [l, oo[ est un sous-espace fermé de IR, c’est un espace métrique complet. On conclut que / admet un point fixe unique. (II est égal á V2). La

I3Banach 1922, Cacciopoli 1930.


Figure 1..5. Intersection de fermés

démonstration du théoréme montre aussi que, en partant d’un réel xQ > 1 queiconque, la suite (xn) définie par

^ n - r 1 • "

converge vers ce point fixe.2 (Xn + x „ ) ’

Nous dirons qu’une partie d’un espace métrique est complete si elle est complete en tant que sous-espace métrique. De maniere équivalente :

Definition. Une partie F d’un espace métrique X est complete si pour toute suite de Cauchy (xn) C F, il existe un point x £ F tel que x n -o- x.

^Proposition 1.10. Une partie complete d ’un espace métrique estfermée.

Preuve. Scit F une partie complete d ’un espace métrique X et (x„) une suite dans F, convergeant vers un point x dans X . E fauí montrer que x. £ F,

La suite (xn) étant convergente, elle est aussi une suite de Cauchy. Comme F est complet, il existe un point y £ F tel que xn —> y. D’aprés l’unicité de la limite, on conclut que y — x. Done x € F . □

^Proposition 1.11. (Théoréme de Cantor19j Soit (F„) une suite décroissante d'ensembles fermés non vides dans un espace métrique complet. Si diana Fn —r 0, alors Uintersection des ensembles Fn n ’est pas vide. (Voir la figure 1.5.)

Remarques.• L’intersection DFn étant de diamétre nul, elle est formée en fait d’un seul point, e L’hypothése diam Fn —> 0 est essentielle: considérer Fn = [n, co( dans ¡S.« L’hvpothése “Fn fermé” est essentielle: considérer Fn =]0,1/n] dans R

Preuve. Choisissons un point xn £ Fn pour chaqué n. Alors (xn) est une suite deCauchy. En effet, pour m > n, on a xm € Fm C Fn et x n £ Fn d’oü

í í

d(xm, xn) < diam Fn —> 0

lorsque n oo.Comme X est complet, ( i B) converge vers un certain point x £ X. E suffit de montrer

que x £ Fm pour tout m.Pour m fixé queiconque, la sous-suite x m, x„ de (xn) converge vers x. En

outre, elle appardent á Fm. Comme Fm est fermé, on conclut que x £ Fm. Q

<• J

19,Cantor 18S4

*Proposition 1.12. (Lemme de Baire20) Soit X un espace métrique complet non vide.(a) L’intersection d ’ur.e suite (dénombrable) d'ouverts denses Gn de X est elle-méme

dense.(b) Si X est la réunion d ’une suite (dénombrable) de fermés F a l o r s au moins l'un des

fermés Fk est d ’intérieur non vide.

Remarque. La complétude de X est nécessaire : considérer dans X = Q (muni de la métrique usuelle) les ouverts Q\{r} ou les fermés {r}, oú r.parcDurt ¡’ensemble des nombres rationnels.

Preuve.(a) On utilisera les boules fermées définies par

B t(x ) := {y e X : d(x, y) < r}, r > 0, x € X.

On fixe une boule B ra(x0) quelconque dans X. II faut montrer que nG„ rencontreBr$ ( lo )-

Comme Gi est dense, il existe un point 6 Gi D Bro(x0)- Comme Gi O .Bro(x0) est ouvert, il existe ensuite 0 < ri < 1 tel que

B ri(xi) c G i f l Bro(xo).

Comme G2 est dense, il existe un point x2 6 G2 O Bn (xj.). Comme G2 O B n (xi) est ouvert, il existe ensuite 0 < r 2 < 1/2 tel que

B r2(xd) C G2 n B n (x^).

En continuant par récurrence, on obtient une suite décroissante de boules fermées de diamétre tendant vers zero et telle que

Brk{xk) c Gk

pour ¿ = 1 ,2 ,... D ’aprés la proposition précédente, ces boules ont un point commun x. Alors x € OGn.

(b) Raisonnons par 1’absurde en supposant que l’intérieur de chaqué fermé F„ est vide. Alors leurs complémentaires Gn := X \F n vérifient l’hypothése de la partie (a), done il existe un point x € ClGn. Alors x f UFn contredisant l’hypothése de recouvrement. □

Soit (X, d), (X d ') deux espaces métriques et / : D —> X ' une fonction continue, définie sur une partie D de X . (D est considéré comme un sous-espace métrique de X.) On cherche á prolonger / en une fonction continue F : X —> X' , définie sur X tout entier. On ne peut pas avoir un tel résultat sans certaines conditions supplémentaires. En effet, considérons l’exemple X = X ' = M, D = K'\{0} et f ( x ) — 1/x. Alors / ne peut pas se prolonger en une fonction continue F : R —»• R, parce que la continuité de F en 0 entrainerait l’égalité jF(0) = lim /( l/n ) = co, or 00 0 M. Le cas des fonctions uniformément continues est plus simple. 21 Nous avons besoin’He la notion de densité :

Definition. Une partie D d’un espace métrique (X, d) est dense22 si pour tout a G X il existe une suite (x„) C D telle que x„ —s- o.

'°Osgood 1897, Baire 1899, Kuratowski 1930, Banach 1930.21Le cas des fonctions continues a été étudié par Lebesgue 1907, Tietze 1910, Hausdorff 1919 et

Urvsohn 1925. Voirpar exemple [42]."Cantor 1879.

Le résultat suivant est souvent utilisé en analyse fonctionnelle.


Proposition 1.13. Soit (X . d), (X' ,d' ) deux espaces métriques, D une partie dense de X , et f : D —> X ' une fonction uniformément continue.

Si (X', a ) est complet, alors f se prolonge, de maniere unique, en une fonction uni-formément cdntinue~F : X ~-^X'. "-------- —--------------------:------- ——-—

Si f est lipschitzienne, alors F est lipschitzienne (avec la mime constante de Lip- schitz). -

Preuve. Pour a & X donné quelconque, on choisit une suite (x„) C D telle que x n —v a, et on définit F(a) := lim ^x ,,) . C’est la seule valeur possible de F(a) si F est

—u;n-prolQn-gementrontinu-de_jL_:_______ - --__---------------------------------- ------II faut montrer que cette définitionest corréete. Comme X' est complet, pourprouver

l’existence de la limite lim /(x n), il suffit de montrer ue (jf(x„)) est une suite de Cauchy. Pour e > 0 fixé quelconque, on cherche N tel que

(1.3) d' ( f (xn) , f ( x k) ) < s pourtous n , k > N .

Choisissons 6 > 0 pour cet c d’aprés la continuité uniforme de / . Ensuite, en utilisant la convergence de la suite (x„), choisissons N tel que <¿(xn, xk) < 5 pour tous n,k > N. Alors (1.3) est vérifiée.

II faut encore montrer que la limite est indépendante du choix particulier de la suite (xn). Soit (y„) C D est une deuxiéme suite telle que yn a, alors xi, y\, x^. y?, ■ ■ ■ converge aussi vers a. D’aprés le résultat précédent, la suite f ( x i), /(y i), / ( x 2), /(ya), • • • converge vers une certaine limite dans X ' . Par conséquent, les sous-suites (J(xn)) et (/(y«)) convergent vers cette méme limite.

Montrons la continuité uniforme de F. Pour e > 0 fixé quelconque, on choisit ó > 0 d’aprés la continuité uniforme de / . II suffit de montrer que

si a,b € X et d(a,b)<¿, alors d'(F(a), F(b)) < e.

Choisissons deux suites (xn) et (y„) dans D teiles que xn —> a et yn —> b. Alors il existe N tel que d{xn, y„) < ó pour tout n > N, d’oü

d \ f { x „), f ( yn)) < £ pour tout n > N.

En faisant tendre n vers 00, on conclut que d,(F(a), F(b)) < e.Supposons maintenant que / est lipschitzienne avec une constante L et soit a, b G X

deux points quelconques. Choisissons de nouveau deux suites (x„) et (y„) dans D teiles que x„ —> a et yn —*■ b. Alors

d'U{xn) J { y n)) < Ld(xn,yn)

pour tout n d’aprés l’hypothése. En faisant tendre n vers 00, on conclut que

d?(F(a),F(b))<Ld{a,b). □

Notons le résultat suivant, obtenu essentiellement au debut de la preuve précédente :

*Proposition 1.14. Soit (X , d), (A"', d') deux espaces métriques, D une partie dense de X , et F.G : D —> X ' deuxfonctions continues. Si F = G sur D, alors en fait F = G sur X entier.

Preuve. Pour x € X donné quelconque, d’aprés la densité de D, il existe une suite (xn) dans D, convergeant vers x. Alors F (xn) —$■ F(x) et G(xn) —> G[x) d’aprés lacontinuité de F et G en x. Comme F(xn) = G(x„) pour tout n par hypothése, on conclutque F(x) = G(x). □

Vu l’utilité des résultats de ce paragraphe, il est important de savoir que tout espace métrique peut étre complété. Plus précisément, on a la

Proposition 1.15. Soit (A , d) un espace métrique. II existe un espace métrique complet (A ', d') et une fonction h : A —>■ X ' tels que

(1.4) V x , y € A , d!(h{x),h(y)) = ¿(zLy).23

Remarque. Grace á (1.4), on peut identifier (A, d) avec le sous-espace /i(A) de(A", d').

Preuve. Posons (A', d') — B(X, R) et fixons a £ A' quelcongue. Pour x £ X soit h(x) — hx : X —r R ia fonction définie par

hx{y) ■= d{x,y) - d ( a , y ) , y e X.Alors hx e B(X, R) parce que

\hx(y) - hx(z)| < |/ix(y)| + \hx{z)\ < 2d(x, a)pour tous y, z £ X d’aprés l’inégalité triangulaire.

CommeIhx[z) - hy{z)| = |d(x, z) - d(y, z)| < d(x, y)

pour tout z £ X , on a(1.5) Vx, y £ X, d'(hx ,hy) < d(x,y).Comme pour z = y on a

1*1 (y) - hy{y)I = d(x,y),on ne peut pas avoir une inégalité stricte dans (1.5), d’oü (1.4). □

Remarque. Si la métrique est bornée, alors la formule hx(y) := d(x, y) conduit á une preuve encore plus simple.

• En remplacant ( X 1, d') par son sous-espace formé des limites des suites convergentes (x'n) C h(X), on peut supposer dans la proposition précédente que l’image de h est dense dans ( X 1, d'). Dans ce cas (A"', d') est essentiellement unique :

‘•'Proposition 1.16. Soit (A, d) un espace métrique et (Ai, di), (A2, <¿2) deux espaces métriques complets. On considere deux fonctions h-L : X —> A i et h2 : A —*■ X 2

vérifiant(1.6) Vx, y £ X , di(hi{x),hi(y)) = d2(h2(x), h2{y)) = d(x,y).Supposons en outre que hi (X) est dense dans (Ai, di) et h2(X) est dense dans (X2, d2). Alors il existe une bijection f de A¡ sur X 2 telle que(1-7) Vx, y £ Ai, d2{f{x) , f (y) ) = di(x,y)et f o hx = h2.

Preuve. En appliquant la proposition 1.15, les fonctions

h2 o (fti)-1 : M A ) -»■ h2(X) et fti o (h2) - y : h2(X) -A h ^ X )se prolongent en des fonctions continues f : Ai -4 A2 et 5 ; A2 -A X\. D’aprés(1.6) / vérifie (1.7) pour tous i , y £ fii(A); grace á la densité de hx{X) dans Ai et á la continuité de / on en déduit (1.7) pour tous x, y £ X\ .

Les fonctions composéesg o f Ai — Ai et f o g : A2 — A 2

■3Hausdorff 1914. II a démontré ce résultat en adaptant la méthode de Cantor (1872) et Méray (187.:) pour identifier les nombres réeis avec les classes d’equivalences des suites de Cauchy de nombres radonnels. La preuve courte suivante, basée sur une idee de Fréchet (1910), est due á Kuratowski (1935).

13 Espaces méíriques

sont continues,(g o f )(x) = x pour tout x G ki (X)

et — ' . _ ’..... _ . _( / o g)(x) = x pour tout x Zzh2{X).

Grace á la propriété de densité de hi (X) et h2{X), on en déduit que g o / = idxl et / o g = idX2- Ceci prouve que / est une bijecdon entre X\ et A’2. □'

1r.4. Compacité — -----

Commencons par rappeler un théoréme de base de l’analyse classique :

Proposition 1.17. (Théoréme de Bolzano-Weierstrass 24 *j Toute suite bornée (xn) de réels admei une sous-suite convergente.

Preuve. II résulte directement des axiomes habituéis des nombres réels que toute suite monotone et bornée est convergente. II suffit done d’établir le lemme ci-aprés, □

lem nie 1.18. Toute suite (xn) de réels admet une sous-suite monotone. 13

Preuve. Un álément xn de la suite est appelé un sommet si x„ > xm pour tout m > n. On distingue deux cas. S’il existe une infinité de somxnéts, alors ils forxnent une sous-suite décroissante. Sinon, on choisit un élément xni qui n’est suivi d’aucun sommet. Alors pour tout n > ni, il existe m > n tel que xn < x m. Ceci nous permeí de construiré par recurrence une sous-suite croissante (x„t ). □

D ’aprés la proposition 1.17, dans un fermé bomé de R, toute suite admet une sous- suile convergente. Sous cene forme, ce résukat ne subsiste pas dans tout espace métrique (méme complet):

Exemple. Soit K une partie infinie drun espace métrique discret (et done complet) et (xn) une suite dans K, sans éléments répétés. Alors K est fermé bomé, mais (x„) n’a aucune sous-suite convergente.

On obtiendra néanmoins plusieurs généraiisations par la suite (voir le théoréme 1.26, le corollaire 1.27 et le théoréme 3.9, pp. 22, 23, 53). Elles sont basées sur la notion fondamentale de compacité.

I Definitions. ¡Soit X un espace métrique.• a 6 X est un point d ’accumulation d’une suite (x„), s’il existe une sous-suite

(■xnh) C (x„) telle que x„k -> a.® X est compact26 si toute suite (x„) C X admet au moins un point d’accumula

tion.• Une partie K de X est compacte si toute suite (x„) C K admet au moins un

point d’accumulation dans K .

Exempt es.9 D’aprés le théoréme de Bolzano-Weierstrass, les compacts de R sont exactement

les parties fermées et bomées.• Dans un espace métrique discret, les compacts sont exactement les parties finies.

24Boizano 1817, Weierstrass 1S74.23Voir [123].2óFréchec 1906.

I Remarques. ~|® II s’agit d’une notion affaiblie de la limite d’une suite: si x„ -> a, alors x est un

point d ’accumulation defx„). En effet, il suffit dechoisir (xnk) — (xn).® En fait, si x n —> a, alors e s t Vunique point d’accumulation de (x„). Dans

un espace compact, la reciproque est aussi vraie. En .effet, si a est un point d’accumulation de (xn) mais xn ■/> a, alors il existe, d’aprés la partie (b) de la proposition 1.2, une sous-suite dont a n’est pas un poimrf Accumulation. Grace a la compacité, cette sous-suite admet un point d’accumulation b. Alors b est aussi un point d’accumulation de (x„), différent de a.

a Pour une suite de Cauchy, les deux notions coincident. En effet, soit a est un point d’accumulation d’une suite de Cauchy (xn), et (xnj¡) une sous-suite convergeant vers a. Pour s > 0 donné quelconque, choisissons N tel que d(xn, x m) < e¡2 pour tous n, m > N, puis choisissons > N tel que d(xnh, a) < e/2. Alors

c £d(xn, a) < d(x„, xnit) + d(xnk, a) < — — s

pour tout n > N. Done xn —¥ a. ! , ,.s Observons que a est un point d’accumulation d’une suite (x„) si et seulement si

pour toute boule Br(a) et pour tout indice m, il existe n > m tel que x n € B.(a).

Montrons un analogue de la proposition 1.8 (p. 12):

Proposition 1.19.(a) Le produitd’un nombre finí d'espaces métriques compacts est compact.(b) Un sous-espace fermé X ‘ d ’un espace métrique compact X est compact.

Preuve.(a) Soit (X , d) le produit des espaces métriques compacts (A']., d i) ,.. ., (Xm,dm), et

soit (x„) une suite dans (A, d). Ecrivons xn — (xnl, . . . , xnm).Córame (Xi, di) est compact, il existe ax e X x et une sous-suite (x*) de (xn) tels

que dx(x^ , ai) -> 0. Ensuite, comme (A'2, d2) est compact, il existe une sous-suite (xq) de (xj,) telle que, pour un certain a2 6 X 2, d2(x \2, a2) —> 0. Notons qu’on a aussi di(x*lt ai) -A 0 parce que (x^) est une sous-suite de (x^).

En continuant, aprés m étapes on obtient une sous-suite (yn) de (x„) et des points ctj € Xj, j = 1 , . . . , m tels que

di{Vnj,o.j) 0,

En posant a = (o i , . . . , am) € X , on conclut des égalités

d{ym o) = ®i) ~r • • • + dm(ynm, a.m)que yn —r a dans (X , d).

(b) Soit (x„) une suite dans A '. Comme A est compact, il existe une sous-suiteconvergente x„fc —> x C A. Comme A'' est fermé, on a x € A '. Done la sous-suite (xnJ converge dans A'. ' A

* Proposition 1.20. Une partie compacte d ’un espace métrique est fermée.

Preuve, Soit K un compact dans espace métrique (A ,d), et (x„) C K une suite convergeant vers x € A. Il faut montrer que x £ K.

Comme K est compact, il existe une sous-suite xnfe H- y £ K. Comme xni —t x, on a x = y d’aprés l’unici.té de la limite. Done x = y 6 K. ^

Donnons une variante de la proposition 1.11 (p. 14).

20 Espaces m étriques

^Proposition 1.21. (Théorerne de Cantor1) Soit (F„) wie suite décroissante ¿ ’ensembles fermés non vides dans un espace métrique compact X . Alors Vintersection des ensembles Fn n ‘est pas vide.

Preuve. On choisit un point xn € Fn pour chaqué n. Comme X est compact, il existe une sous-suite x nk 4 i G l Comme xnk G Fm pour tout k > m (parce que la suite (Fn) est décroissante), on en déduit que x G Fm pour chaqué m (parce que Fm est fermé). □

Pour une deuxiéme application de la compacité considérons la distance des ensembles dans un espace métrique.

* Proposition 1.22. Soit K et L deux parties compactes, non videsTL'un espace métrique (X , c). Alors leur distance, définie par la formule

dist (K, L) \t\í{d(x,y) : x 6 K , y £ L}, est atteinte : il existe a G K etb G L tels que d(a\ b) < d(x, y) pour tons x G K et y G L.

Si l’un des ensembles est réduit á un seul point, par exemple si K = {a}, alors on écrit souvent dist (a, L) au lieu de dist ({a}, L).

Preuve. D’aprés la définition de la borne inférieure il existe deux suites (xn) C K et (yn) C L telles que d(xn ,yn) -A dist (PC, L). D’aprés la compacité de K il existe une sous-suite (xnJ de (xn) et un point a G K tels que x„k —r a. Ensuite, d’aprés la compacité de L il existe une sous-suite (ynk¡) de (yn J et un point b G L tels que ynk¡ —r b.

Alors r n., -A a et ynk¡ —)■ b, d’oü d(x„k¡, ynk¡) -* d(a, b) d’aprés la continuité de la mctrique d. D'nutre part, d(xnk¡, ynk¡) -a dist (K , L) d’aprés la définition des suites (x„) et (yn). Done dist (K, L ) = d(a, b). □

| Remarquej De maniere analogue, on démontre que le diamétre d'un ensemble compact non vide K est atteint. il existe a.b G K tels que d(a, b) = diam K.

Étudions maintenant les fonctions continues définies sur un compact. Le résuitat suivant, malgré sa démonstration courte, est fondamental.

Théorerne 1.23. Soit X , X ' deux espaces métriques et f : X —> X ' une fonction continue. Si A est une partie compacte de X , alors son image f ( A ) est compacte dans X ’.On dit que l’image continue d’un compact est compacte.

Preuve. Soit ( f ( xn)) une suite donnée quelconque dans f (A) . II faut trouver une sous-suite convergente f { x nk) -> b G f{A).

Comme A est compact, il existe une sous-suite (znJ C (x„) et un point a € A tels que x„k -+ a. Comme / est continue en a, f { x nk) -A }{a) d’oü le résuitat cherché avec b — f{a)-‘ D

Le résuitat important suivant se déduit du théorerne précédent, mais donnons-en aussi une démonstration directe:

Théorerne 1.24. (Théorerne de Weierstrass29) Soit X un espace métrique compact non vide et f : X —> M une fonction continue. Alors f est bornée. De plus, il existe a,b € X tels que f i f ) < f ( x ) < f(b) pour tout x G K. (Voir la figure 1.6.)

2,Cancor 1SS4. "SHausdcn? 1914.

2 J

Preuve. On ch Q

Comme X est suite) e t / ( s „ J

Figure 1.6. Théoréme de Weierstrass

‘S it une suite (i„) C X telle que

f ( Xn) inf/O O ='• M ■x£XCOrnpac t , il existe une sous-suite i„.ii CAlilC Ulit Duuo-juxuu wnj, • — ------------ tf \

preuve de I ’e x is te n - ^ 0 ) (continuité de / en a), done f (a) = M (unicité de la limite). Laa & X. Alors f ( x nk) —> M (sous-

la limite). 1□d e b est analogue.

Dans le cadre d e ^forme coincident • S ^spaces compacts, les notions de continuité et de continuité um-

Théoréme 1.25. (jr-y _ ^compact, alors tout n&<=>rbme de Heine™) Soit X , X ' deux espaces métriques. Si X est

________________ ' f u n ction continue f : X X ' est uniformément continue.

Preuve. D ésignor,supposanc que / n ’e sp S p a r d et d' es triques ^ % et X ■ Raisonnons par l’absurde en dans X et un nombre • ~>as uniformément continue. Alors il existe deux suites (xn), (yn) n. Comme X est corn ^ > 0 tels Que d(x*> 2/n) 0 mais d' ( f (xn), f ( y n)) > £ pour toutComme d(x y ) ^ ^ - c t , la suite (xn) admet une sous-suite convergente x nk -4 a € X.

" ^ O , on a aussi y„k —4 a d’aprés l ’inégalité triangulaire :

En utilisant la c o - d(a,xnJ + d{xnk,ynk) - r 0.

d' ( f (Xnk) , f ( ynk)) -4 o 3nUÍté de / efl a’ 0R 3 St /(**«*) "* ^(fl) d’0Í1des suites (xn) et (yni ° d ’aprés l’inégalité triangulaire dans X ' . Ceci contredit le choix

Nous allons donnej-pacité. aintenant deux nouvelles caractérisations importantes de la com-

Défirution. tn p p^_j-^ __ ALbornée si, pour tout - e K d’un espace métrique est précompacte ou complétement

on peut la recouvrir par un nombre fini de boules de rayón e:n

K C ( J B,{xí).i— 1

29Weierstrass 1861, C a a t: écrit entre 1833 et 1841, m ais

30Heme 1872. 3IHausdorff 1914.

r 1870. Le résuitat figure deja dans le livre Functionenlehre de Bolzano, 'ublié seulement en 1930.


Exempies. , •« On a toujours les implications

finie ==> completement bornée bornée.

La premiere implication est évidente. Pour móñtrer la deux ¿eme on fixe e > 0 quelconque et on recouvre 1’ensemble K par des boulés B ,(x i ) , . . Be[xn). Alors

diam K < 2e + max{d(xj, Xj \ : i , j = 1 , . . . , n} < oc.

« Dans les espaces métriques discrets on a l’équivalence

finie completement bornée— 1—:-----------

• Dans RA on a 1’équivalence

completement bornée bornée;

voir le théoréme 3.9 (p. 53) pour un résultat plus général.

Le théoréme suivant justifie en particulier 1’appellation “précompact” : tout ensemble compact est automatiquement précompact.

Théoréme 1.2b. Pour une parrie K d'un espace métrique (X,d), les trois propriétés suivantes sont équivalentes :(a) tout recouvrement ouvertde K a un sous-recouvrementfinifi~(b) K est compact;(c) K est précompact et completé3

De facón explicate, la propriété (a) signifie que si {Ua} est une famille d’ouverts dansA' telle que K C LlaUa, alors il existe une sous-collection finie {Ua.___ , Uan} de {Í7a }telle que

K C Uai U • • • U Ua„.

¡ v~r"

j f '

*Preuve. $(a) => (b). Supposons qu’il existe une suite (x„) dans K, n'ayant pas de points >. -?

d’accumulation dans K. D’aprés une remarque suivant la définition des points d’accumulation (p. 19), chaqué x & K est le centre d’une boule Ux dans A", ne contenant qu’un nombre fini d’éléments de la suite (xn). Montrons que le recouvrement ouvert {Ux} de K n’admet pas de sous-recouvrement fini. En effet, laréunion d’un nombre fini d’ouverts Ux ne contient qu’un nombre fini d’éléments de la suite, done elle ne recouvre pas 1’ensembieK. Par conséquent, K n’a pas la propriété (a).

fo) =» (c). Montrons d’abord que K est complet. Soit (xn) une suite de Cauchy dansK. D ’aprés l’hypothése, elle a aumoins un point d’accumulation x € K. D’aprés une remarque suivant la définition des points d’accumulation (p. 18), on conclut que x„ —> x.

Raisonnons maintenant par l’absurde en supposant que K n'est pas précompact, et soit c > 0 te! qu’on ne peut pas recouvrir K par un nombre fini de boules de rayon e. On fixe Xi € K quelconque, puis on construit par recurrence une suite (x „ ) C K telle que

n —1

*n Í I J BfiXi)■_____________ ¿ = 1 * . .

--Heine 1S72, Cousin lS95,Borei 1S95, Lindelof 1903, Lebesgue 1904. Voir [62] sur rhistoire de cerésultat.

3J

KK

pour n = 2 , 3 , ----Alois d(xn, xm) > e pour tous m n. Cette suite n’a aucun pointd’accumulation, ce qui contredit l’hypothése.

(cl (a). Raisonnons par i’absurde en supposant que K n’a pas la propriété (a), et soit UaUa un recouvrement ouvert de K , n’ayant aucun sous-recouvrement fini. Appelons une partie fermée F de K mauvaise si elle ne peut pas étre recouverte par un nombre fini d’ensembles Ua.

Si F est un ensemble mauvais, alors pour tout e > 0, F a cme partie mauvaise de diamétre < e. En effet, en utilisant la précompacité de K, considérons un recouvrement fini F C Fi U • • • U Fm de F par des boules fermées de diamétre < e. Au moins l’un des Fi est mauvais, parce qu’autrement F aurait un sous-recouvrement fini par des ensembles Ua, or F est mauvais.

En utilisant cette remarque et en partant de F\ := K, on peut construiré par récurrence une suite décroissante de fermés mauvais Fn dont le diamétre tend vers zéro. D’aprés la proposition 1.11, ils ont un point commun x. Comme x e Fi — K , il appartient á un ouvert Up. Comme diam Fn —> 0, Fn C Up si n est assez grand, ce qui contredit le caractére mauvais de Fn. B

Voici enfin une généralisation du théoréme de Bolzano-Weierstrass :

Corollaire 1.27. Un sous-ensemble K d ’un espace métrique complet X est compact si et seulement s 'il estfermé et complétement bomé.

*Preuve. Soit K précompact et fermé. Alors il est complet d’aprés la proposition 1.8 (p. 12), et done compact d’aprés l’implication (c) => (a) du théoréme precedent.

Soit K compact. Alors K est fermé d’aprés la proposition 1.20 (p. 19) et précompact d’aprés l’implication (b) =>■ (c) du théoréme précédent. □

Pour terminer ce paragraphe, nous allons montrer qu’un espace métrique compact n’est pas “trop grand’’.

— Definition. Un espace métrique est séparable s’il admet une partie dense dénombra- ble.

Exemple. R est séparable, parce que Q est dense dans R.

Proposition 1.28.(a) Tout espace métrique compac: X es: séparable.(b) Tout sous-espace Y d ’un espace métrique séparable X est séparable.

Preuve.(a) Pour chaqué entier tí — 1,2, . . . . X admet un recouvrement fini par des boules de

rayon l / n :X — B i/n(a,ni) U * * • U B\j.n{ankn). n — 1,2, . . .

Alors 1’ ensemble dénombrable

X .— \anj n 1 ,2 , . . . , j 1. . . . , kn}

est dense dans X , c’est-á-dire toute boule B r(q) de X rencontre A.En effet, on fixe n > 1 /r, puis on choisit j tel que a € Bi/n(anj ) . Alors anj € B r{a).

(b) Soit A une partie dense dénombrable de X . Si a € A et n = 1,2, . . . sont tels que Bx/n{a) rencontre Y, alors on choisit un point yan € Y D Bi/„(a). On obtient ainsi une partie dénombrable {yan} de Y. Montrons que toute boule Br(y) de Y rencontre cet ensemble.


En effet, on fixe n > 2 /r, puis on choisit a £ A D Bi /n(y). Alors y £ Y D Bi/n(a), done on a choisi ci-dessus un point ya„ £ Y fl Bi/„(a). On conclut en observant que

__________ ___ d(y, yan) < d(y, a) + ct(a, yan) < 2 /n < r,_______________

d’oü yan £ Br{y). . □

. u" 4oó

■ )

■ / ) io3>.n

' V

$J)7)

5)—s'

- I )

J

’ JJ

j

\

'■-7

Chapitre 2Espaces topologiques

Je crois qu ’il nous manque une analyse proprement géométrique ou linéaire qui exprime directement les positions comme Valgebre exprime les grandeurs.

G. W. Leibniz

La plupart des resultáis du chapitre prácédent sur la continuité des fonctions restent valables dans le cadre plus général des espaces topologiques. Nous.donnerons dans ce chapitre un petit aperpu de ces espaces.

Le lecteur pourra observer l’absence systématique des suites : dans un espace topologique général les suites habituelles ne sont pas tres utiles. II existe une généralisation adaptée á tous les espaces topologiques. Á titre d’information, nous l’étudions briévement dans le dernier paragraphe facultatif du chapitre.

Notons également que les espaces topologiques ne sont pas bien adaptés á l’étude de la continuité uniforme; voir [68] pour l’étude de la notion adaptée des espaces uniformes.


Definitions. Une famille T de sous-ensembles d’un ensemble X est une topologie1 sur X lorsqu’elle satisfait les trois propriétés suivantes :(a) 0 G 7” et A G 7"¡(b) Si Ui € T pour i = 1, . . . ,n, alors Í7i fl • ■ • fl Un € T;(c) S\Ua e T pour a G A, alors Uq£<4í/ q £ T. (A est une famille d’indices quelconque :

finie ou infinie.)

Un espace topologique ( X , T) est un ensemble A’ muni d'une topologie T. Les éiéments de T sont'áppelés les ouverts de X . S’il n’y pas de danger de confusion, nous dirons simplement que X est un espace topologique. Les éiéments de X sont aussi ap- pelés les points de X .

Remarque. Soulignons que, dans la définition d’une topologie, on considere des intersections finies mais des reunions quelconques.

Exemples.s A’ est un ensemble quelconque et T est la famille de tous les sous-ensembles de

X . C’est la topologie discrete sur X : toute partie de X est ouverte. L’espace topologique discret est un ensemble muni de la topologie discrete.

‘Riesz 1906, Hausdorff 1914. Notre tenninoiogie, difiéreme de celle adoptée dans les autres üvres de cette collection, est tisuelle en topologie genérale.

26 Espaces topologiques

* A est un ensemble;quelcpnque et T n’a que deux éléments : 0 et X. C’est la topologie grossiére ou antidiscréte sur X : il n’y a que deux ensembles ouverts.

Introduisons une classe impórtame d’espaces topologiques.

Definition. Un espace topologique X est séparé ou de Hausdorff si; pour deux points distincts quelconques x, y £ X , il existe deux ouverts disjoints U et V tels que x 6 U ety e V .

Exemples.« Tout espace topologique discret est séparé............................• La topologie grossiére sur un ensemble ay ant au moms deux^points n’est pas

séparée.

On déduit de la proposition 1.1 (p. 5) que la famille d’ouverts d’un espace métrique est une topologie séparée. En associant cette topologié á la métrique on obtient done la

Proposition 2.1. Tout espace métrique est un espace topologique séparé.

Remarques.« La métrique discrete sur un ensemble X définit la topologie discrete sur X .« Soit di et ¿2 deux métriques sur un ensemble X . Supposons qu’il existe deux

constantes positives ci, C2 > 0 telles que

(2.1) Vx, y & X , cidi(x,y) < d2{x,y) < c2di(x,y).

Alors les deux métriques engendrent sur A' la méme topologie.On dit que deux métriques sur un ensemble X sont équivalentes si elles

définissent la méme topologie sur X . La condition (2.1) est done une condition suffisante de l’équivalence des métriques d2 et d2.

« Sur l’ensemble X == { 1 ,2 ,...} des entiers naturals, les métriques

di{x. y) |x - y\, et d2(x,y) = |x_1 - y_1|

engendrent la méme topologie (la topologie discrete), bien qu’eiles ne vérifient pas la condition (2.1). Cette condition n’est done pas nécessaire pour.l’équiva- lence des métriques.

* Considérons les deux métriques de la remarque précédente. Montrer que (A, a’i) est complet, tandis que (A, d2) ne l’estpas, bien que les topologies associées sont les mémes. Ceci montre que la complé&ide n’est pas une propriété topologique.

• II existe des espaces topologiques séparés non métrisables; voir par exemple les exemples 2.5 ci-aprés, p. 41. (De tels espaces apparaissent aussi naturellement en analyse fonctionnelle : yoir par exemple 1’étude de la topologie faible dans le Volume II de cet ouvrage.) Nous renvoyons á [68] pour des caractérisations des espaces topologiques métrisables.

Proposition 2.2. Soit (A, T) un espace topologique et Y un sous-ensemble de X . Alors la famille

Ty ■= { U n Y : U E T }est une topologie sur Y.

PreuYe. Vériñons les trois propriétés d’une topologie.

(a) 0 - 0 n y € 7y et y = A fl Y € Ty .

(b) Si Ui e T pour i = 1 ,. . . , n, alors

(if n Y) n • • • n (un n Y) = (Ui n • • ■ n Un) n Y eT Y.

■)

(c) Si {Í/Q} est une famille arbitraire d’élémeritsde T, alors

ua(t/a n Y ) = (uaua) n Y e TY. □

Définition. Un sous-espace d ’un espace topologique X est un sous-ensemble Y de X muni de la topologie 7y.

Soit (X i, 71), (X m, Tm) des espaces topologiques. Posons A' = X i x • • • x X m et désignons par B la collection des ensembles de la forme

U = Ui x • • • x Um

oü Ui £ %, 1 < i < m. Enfin, désignons par T la famille des réunions (finies ou infinies) des ensembles de B :

T = { l ) aUa : {Ua} C B).

Proposition 2.3. La famille T est une topologie sur X.

Preuve. Vérifions les trois propriétés d’une topologie.

(a) 0 = 0 x • • • x 0 6 T et X = X i x • • • x X m £ T.

(b) Si U[ x • • • x £ B pour i = 1 , . . . , n, alors

n u ( u ¡ x . . . x i r j = ( n ^ u i ) x • • • x ( n ^ i r j e b .Ensuite, si U1, . . . , Un € T , alors chaqué Ul a la forme IT = UaiíP’Qí pour une famille (finie ou infinie) d’éléments € B. On en déduit que

n"=1íP = uQv• • -uQm (í/1,ai n • ■; n i e r.(c) Si {U13} est une famille arbitraire d’éléments de T, alors chaqué U^ a la forme

U8 = Uas U^'°a pour une famille (finie ou infinie) d’éléments U&A'B € B. On en déduit que

UpU0 = \Jp Uafi U?AS € T. □

Définition. Le couple (X, T ) est le produit des espaces topologiques (Xi , Ti), . . . . (X m, Tm).

*Proposition 2.4.(a) Un sous-espaceY d'un espace topologique séparé X estséparé. -(b) Le produit d ’un nombre finí d ‘ espaces topologiques séparés est séparé.

Preuve.(a) Soit a,b £ Y, a b. Comme X est séparé, il existe deux ouverts U et V dans X

tels que a £ U , b e V e t U r \ V = 0. Alors U n Y et V n Y sont deux ouverts disjoints de Y qui séparent a et b.

(b) Soit (A", T ) le produit des espaces topologiques séparés (ATi, 7í},.. . , {Xm, Tm), et a = (ai , . . . , am), ó = (6X, . . . , bm) deux points distincts dans X. II existe un indice 1 < j < m tei que aj # bj, puis il existe deux ouverts disjoints Uj et Vj dans X j tels que otj £ Uj et bj £ Vj. Alors

L := {{%!, • r • ! G X .. Xj € Lj} ^

etV : = {(xXl. ■. , xm) £ X : Xj £ Vj}

sont deux ouverts disjoints dans X tels que a £ U et 6 £ V. U

La définition des ensembles fermés, donnée au chapitre précédent, reste valable dans un espace topologique quelconque :

2S Espaces topologiques

Definition. Une partie d’un espace topolqgique est fermée si so.n complémentaire est ouvert. ... •

On uéduit de la definition la

Proposition 2.5. Soit X un espace topologique.(a) Les ensembles 0 et X sont fermés;(b) Si F i,... ,F„ sont fermés, alors F\ U • • • U Fn estfermé;(c) Si {Fa} est unefamille arbitraire d ’ensemblesfermés, alors Y\c Fa estfermé.

JO y a une caractárisation simple des fermés d’un so.us-es.pace :

Proposition 2.6. Soit Y un sous-espace d'un espace topologique X . Alors les fermés de Y sont les ensembles de la forme F C\Y ou F est un fermé de X .

Preuve. Les fermés de Y sont les complémentaires des ouverts de Y, c’est-á-dire les fermés de Y sont les ensembles de la forme Y \ ( Y n U) oü U parcourt les ouverts de X . Comme

Y \ { Y H U ) = Y n ( X \ U )on concluí en observant que X \U parcourt les fermés de X. □

Exercices. Soit A une partie d’un espace topologique X.9 n existe un plus grand ouvert contenu dans A. (Considérer la ráunion de tous les

ouverts contenus dans .4.) II est appelé 1 ’intérieur1 de .4 et il est noté par int Ao

ou A.« II existe un plus plus petit fermé qui contient A. (Considérer l’intersection de

tous les fermés qui condennent .4.) II est appelé Vadhérence* 3 4 5 de A et il est noté par A.

® L’ensemble dA := .4\int.,,4 est appelé la frontiére4 de .4. Montrer que la frontiére de A est un ensemble fermé.

® Ti existe un plus grand ouvert, disjoint de A. (Considérer la reunion de tous les ouverts disjoints de A.) II est appelé Y extérieuF de A et il est noté par ext A.

o Montrer que les ensembles ext A, int .4, dA sont deux á deux disjoints et leur réunion est égale á X.

® Montrer queint { X \ A) = ext A , ext (X \A ) = int .4 et 3(Ai\.4) = 3.4.

« Montrer que

A = (int .4) U dA = A U dA = AT \ ext ,4.

2.2. Voisinages, Fonctions continúes

Pour généraliser la conünuité des fonctions aux espaces topologiques, on introduit d’abord la notion de voisipage d ’un point.

Definition. Une partie V d’un espace topologique X est un voisinage6 d’un point a € X s’il existe un ouvert U dans X tel que a £ U C V.

"Riesz 19C6.- JRiesz 19C6.

4Cantcr 1379.5Hausdorff 1914.6Cantor 1372.

Definitions. Soit X et Y deux espaces topologiques. Une fonction / : X —> Y est continue en a 6 X si pour tout voisinage V de /(a ) (dans Y), f ~ l (V) est un voisinage de a (dans X ).1

f est continue si elle est continue en tout a E X .

Cette définition est équivalente á 1’ancienne dans le cas des espaces métriques :

Proposition 2.7. On se donne deux espaces métriques (X, d), ( X 1, d'), une fonction f : X — X 1 et un point a € X . Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :(a) Pour tout e > 0, il existe 5 > 0 tel que si d(x, a) < 5, alors d‘{ f ( x ), /(a )) < e;(b) Pour tout voisinage V de f(a) (dans X 1), / _1 (U) est un voisinage de a (dans X).

Preuve.(a) => (b). II existe un ouvert (/ tel que /(a ) € U C V. D’aprés la définition des

ouverts d’un espace métrique, il existe s > 0 tel que B, ( f (a )) C U. Choisissons 8 > 0 par la propriété (a), alors f ( B s(a)) C Bs(f(a)) d’oü

a € B s(a) C f ~ 1(Be(f(a))) C f~ \U ) C f ~ X{V).

L’ensemble B¡(a) étant ouvert, on conclut par définition que f ~ 1(V) est un voisinage de a.

(b) => (a). Pour e > 0 fixé quelconque, 1'ouvert Bs(f(a)) est un voisinage de f (a)par définition. D’aprés (b), f ~ l (B€{f(a))) est un voisinage de a, done il existe un Ouvert U de X tel que a € U C f ~ l (Bs(f{a))). D’aprés la définition des ouverts dans un esDace métrique, il existe 8 > 0 tel que B¡(a) C U. Alors B¡(a) C ))) d’oü

c B (tt)), ce qui est equivalent a lu.propnete (a). i—i

Les résultats du chapitre précédent sur la composition des fonctions continues restent vaiables dans des espaces topologiques :

Proposition 2.8. On se donne trois espaces topologiques X , Y , Z et deux fonctions g : X - * Y e t f : Y -* Z.(a) Si g est continue en un point a 6 X et f est continue en g(a) € Y, alors f o g est

continue en a.(b) Si f et g sont continues, alors f o g est aussi continue.

Preuve.(a) Soit V un voisinage de ( / o g)(a) = f(g(a)). Alors f ~ l (V) est un voisinage de

g(a) parce que / est continue en g(a), puis g~l ( f ~ l {V)) est un voisinage de a parce que g est continue en a. On conclut en observant que ( / o p)_1(V) = g~1{ f ~ 1{V)).

(b) Appliquer la partie (a) a chaqué point a E X . □

On peut donner des caractérisations élégantes de la continuité globaie en utilisant les ensembles ouverts ou fermés :

Proposition 2.9. Soit X et Y deux espaces topologiques et f : X —> Y. Les propriétés suivantes sont équivalentes:(a) f est continue;(b) pour tout ouvert U dans Y, f ~ l (JJ) est ouvert dans X ;(c) pour tout fermé F dans Y, estfermé dans X ,8

7Hausdorff 1914.sHausdorff 1914.


Preuve.(a) => (b). Soit U un ouvert quelconque de Y. II faut montrer que f~x {U) est ouvert

dans X, c’esí-á-dire que f ~ l {U) esl un voisinage de' chaqué a G f ~ l {U). Comme U est ouvert et / ( a ) €-/(/-■-(£/’)) '-'G U, U est un voisinage de f(a). En utilisant notre hypothése, on eivdéduit que f ~ l (U) est un voisinage de a.

(b) => (a). Soit V un voisinage d’un point /(a ) G Y . II existe un ouvert U dans Y telque f ia) € U C V . On en déduit que a € / _1(I7) C Comme est ouvertdans X d’aprés (b), on conclut que f ~ l (V) est un voisinage de a dans X.

(b) => (c). Si F est fermé dans Y, alors Y \ F est ouvert dans Y, done f ~ 1(Y\F) est ouvert dans X par hypothése. Comme 7 _r(F)_ést égal !F X \f~ ^ fY \F ) , on conclut que- / _1(F) est fermé.

(c) => (b). Si U est ouvert dans Y, alors Y \U est fermé dans Y, done / -1(y\i7)est fermé dans X par hypothése. Son complémentaire f ~ l (U) = X \ f ~ 1( Y \ U ) est done ouvert. □

Coroilaire 2.10. Soit X un espace topologique, f : X —> R une fonction continue etc e i(a) Si U est un ouvert de X , alors les ensembles

{z G-U : / ( x) < c}, {z £ U : f i x ) > c}, {x e U : f (x) ^ c} sont ouverts dans X .

(b) Si F est un fermé de X , alors les ensembles{x e F ■ f{x) < c}, {x G F : f (x) > c}, ( i E F : f {x) = c}

sont fermés dans X .

Preuve. L’ensemble{z G U : f{x) < c} est ¡’intersection des ouverts/_1(]-co , c[) et U, done lui-méme est ouvert. Dans les entres cas, ia preuve est analogue. □

Exemple. Soit K un espace topologique et X un espace métrique. La proposition suivante montre que ]’ensemble Cb(K, X ) des fonctions f : K -+ X continues et bor- nées est un sous-espace fermé de l’espace métrique B( K, X) . Par conséquent, si X est complet, alors C>>{K, X ) est aussi un espace métrique complet.

Pour X = ¡R. on écrit souvent Ct,(K) au lieu de Cj(iv, X ) . 9

Proposition 2.11. Soit K un espace topologique, (X , d) un espace métrique et (/„) une suite de fonctions f n : K —> X convergeant uniformément vers f : K -4 X . Si chaqué f n est continue en un point a G K, alors f est aussi continue en a.

Preuve. Pour e > 0 donné quelconque, on choisit n tel que d ^ i f , /„) < e/3, puis un voisinage U de a tel que d{fn{x), f n{a)) < e/3 pour tout x G U. Alors

d i f i x ) , f ia) ) < di f i x) , f j x ) ) + d i fn( x), f n{a)) + d(/„(a), /(a ))C

pour tout x G U. □

Remarque. Soit A”, Y deux espaces topologiques, D C X et / : D —r Y une fonction continue. Une question naturelle est de savoir si f peut se prolonger en une fonction continue F : X —>Y, définie sur l’espace X tout entier. Aprés Lebesgue, Tietze et Hausdcrff, Urysohn a donné des conditions sufñsantes générales si Y = R 10

^'réchet 1906.|,3Lebesgue 1907, Tietze 1910, Hausdorff 1919, Urysohn 1925. Voir par exemple [42], et aussi la

proposition S.6 dans le volume II de cet ouvrage.

A ÍU »2 . J U U l i l l í . .

Exercices. Soií A une partie d ’un espace topologique X et a G X .e On a a G int A si et seulement si A est un voisinage de a. (D’aprés cette pro-

priété, on dit que a est un point intérieur11 de V si V est un voisinage de a.)« On a a G ext A si et seulement si X \A est un voisinage de a. s On a a G A si et seulement si tout voisinage V de a rencontre A, c ’est-á-dire,

A n v # 0.9 On a a 6 dA si et seulement si tout voisinage V de a rencontre á la fois A et

X \A .

2.3. Connexité

Rappelons que les intervalles sont les parties C de R ayant la propriété suivante : si x ,z G C et x < y < z, alors y G C. (En particulier, IR, 0 et tout ensemble formé d’un seul point sont des intervalles.) Intuitivement, les intervalles sont les parties connexes de R Donnons-en une caractérisation topologique :

Proposition 2.12. Soit A un sous-espace topologique de R Alors A est un intervalle si et seulement si les seules parties de A, á la fois ouvertes et fermées pour la topologie induite, sont A et 0.

Preuve. Si A n’est pas un intervalle, alors il existe des points x < y < z tels que x ,z € A mais y g A. Posons B = {a G A : a < y}. Alors B est une partie de A, différente de A et de 0. En outre,

£ = A n ] - c o ,y [

d’oü B est ouvert dans A par définition. Mais on a aussi

B = A n ] - co,y],

done B est aussi fermé dans A par la proposition 2.6 (p. 28).Supposons maintenant que A est un intervalle et soit B une partie de A, différente de

A et de 0. Alors il existe deux points x. z tels que x € B et z G A \B . Supposons par exemple que x < z (Pautre cas est analogue), et posons y = sup{a € B : a < z}. Alors x < y < z d’oü y G A. Si y £ B, alors B n’est pas fermé. Si y G B, alors y < z et ]y, z] n B = 0, done B n’est pas ouvert. ■

La proposition 2.12 suggére la

Définition. Un espace topologique (X, T) est connexe12 si les seules parties á la fois ouvertes et fermées de X sont X et 0. (De maniere équivalente, (X, T) est connexe si tout ensemble A C X , différent de X et de 0, a au moins un point frontiére.)

Une partie Y de X est connexe si elle est connexe en tant que sous-espace topologique de X.

Exemples.a Un espace topologique muni de la topologie grossiére est toujours connexe. a Un espace topologique discret ayant au moins deux points n’est jamais connexe.

1’Cantor 1879, Riesz 1906. n Riesz 1906.

Espaces topoiogiques32

I

Figure 2.1. Théoréme des valeurs intermédiaires

D’aprés un théoréme célebre dé Bolzano, 1’image d’un intervalle I par une fonction continue / : / —>• M est aussi un intervalle (voir la figure 2.1).

Plus généralemant, on a le

Théoréme 2.13. (Théoréme des valeurs intermédiaires13) So it X , Y deux espaces topoiogiques et f : X —> Y une fonction continue. Si X est connexe, alors son image f ( X ) T Y est aussi connexe. .

Autrement dit, Timage continue d'un ensemble connexe est connexe.

Preuve. En reniplacaut Y par l ’image de / , on -pent suppcser que / est surjective : Y — f ( X ) . Soit B une partie non vide, ouverte et fermée de Y\ il faut montrsr que B = Y. Grace á la continuité de / , / _1(S) est une partie non vide, ouverte et fermée de X . Si B t= Y, alors f ~ 1(B) f X , contredisant la connexité de X . ■

Voilá quelques résuitats de base :

Proposition 2.14.(a) Soit {Aa}aei une famille (finie ou infinie) de parties connexes d ’un espace topologi-

que X . Si DAq yé 0, alors UAa est connexe.(b) Le produit d ’un nombre finí d ’espaces connexes est connexe. '(c) L ’adhérence d ’un ensemble connexe est connexe.

Preuve.(a) Soit C une partie non vide, a la fois fermée et ouverte de A lM Q. II faut montrer

que C = A. Montrons d’abord que si C rencontre un ensemble connexe B C A, alors on a nécessairement B C C. En effet, d’aprés la définition d’un sous-espace topologique, C D B est une partie non vide, á la fois fermée et ouverte de B. Done C fl B — B d ’aprés la conne.xité de B.

Comme C rencontre au moins l’un des ensembles A a, on a 4 C C d’aprés notre remarque précédente.

Soit maintenant Ap un ensemble quelconque de la famille. Comme A a rencontre Ap par hypothése, C rencontre aussi Ap. En appliquant de nouveau notre premiere remarque, on conciut que Ap C C. Done .4 C C, d’oü en fait A = C.

IjLagrangs 1769, Bolzano 1817, Hausdorff 1914.

A'

a

Figure 2.2. Produit d’espaces connexes

(b) Montrons que le produit Z. de deux espaces connexes X et Y est connexe. (La preuve est analogue pour plusieurs espaces.)

On fixe a € X quelconque et on pose (voir la figure 2.2)Zb = ({a} x Y) U (.A x {6}), b € Y.

On vérifie sans peine que la fonction / : Y —r- Z définie par / ( y) — (a. y) est continue. En appliquant le théoréme 2.13 (p. 32) on en déduit que l’image {a} x Y de / est connexe. De maniere analogue, X x {6} est connexe. Comme leur intersection n’est pas vide (elle contient le point (a, b)), d’apres la partie (b) les ensembles Zb sont tous connexes.

Observons que I’intersection des ensembles Z& n’est pas vide : elle contient {a} x Y. En appliquant de nouveau la partie (b), on en déduit que JE = U^yZ/, est connexe.

(c) Soit C ,= 0 une partie á la fois fermée et ouverte de ,4. II faut montrer que_C = A.Comme C est un ouvert non vide de A, il rencontre A d’apres la définition de A. Ainsi

C fl A est une partie non vide, á la fois fermée et ouverte de A. On déduit de la connexité de .4 que C fl A = A.

Ainsi A C C C A d’oü A = (Aparee que C est fermé dans A. ■

Remarques.a On dit qu’on peut connecter deux points x et y d’un espace topologique X s’il

existe une partie connexe C de X les contenant. En utilisant la proposition précédente, on montre que e’est une relation d’équivalence, et que les classes d’equivalence correspondantes sont connexes et fermés. Ce sont les parties connexes maximales de AT; on les appelle les composantes connexes de X .

s On montre aisément que toute partie ouverte et fermée de AT est la réunion d’un ensemble de composantes connexes.

a Une composante connexe n’est pas forcément ouverte. Considérons par exemple le sous-espace X de M formé de O.et des points 1/n, n = 1, 2 , .. . Chaqué point 1/n (plus précisément chaqué ensemble {l/n}). est ouvert et fermé, done une composante connexe d ’apres la remarque précédente. Par conséquent, {0} est aussi une composante connexe, mais elle n’est pas ouverte.

Donnons une condition suffisante intuitive de la connexité.

34 Espaces topoiogiques

Definition. Soit A un espace topologique.« Soit a, b 6 X . On dit qu’on peut les connecter par un chemin (ou arc) s’il existe

une fonction continue / : [0,1] —)■ AT (appelée chcmin) telle que /(O) = a et/ (!) = &. -----------

• On dit que X est connexe par arcs si deux points quelconques de A' peuvent etre connecter par un chemin.

Proposition 2.15. Soit X un espace topologique connexe par arcs. Alors X est connexe.

Preuve. On déduit du théoréme 2.13 que 1’image d’un chemin est toujours connexe. Par conséquent, X a une seule composante connexe d’oü il est connexe. ■

2.4. * Compacité

La notion de compacité se généralise aux espaces topoiogiques. Les résultats du paragraphe 1.4 dont l’énoncé n’utilise ni la métrique, ni les propriétés complet ou précompact, restent valables. Par contre, il faut changer les demonstrations pour éviter l’utilisation des suites.

Definition. Une partie K d’un espace topologique X est compacte14 si tout recouvrement ouvert de K contient un sous-recouvrement fini.

Si A' lui-méme est compact, on dit que X est un espace compact. * 15

Remarque. D’aprés le théoréme 1.26 (p. 22), cette définition est équivalente á l’ancienne dans le cas particulier des espaces métriques. Les deux autres propriétés équivalen- tes du théoréme 1.26 ne conviennent pas ici. En effet, comme nous Pavons remarqué aprés la proposition 2.1 (p. 26), la complétude n’est pas une propriété topologique. Quant aux points d 'accumulation, il existe une généralisation convenable de cette notion aux espaces topoiogiques, en utiiisant une généralisation sophistiquée de la notion de suites : voir le paragraphs 2.5 ci-aprés.

Nous allons généraliser maintenant la plupart des résultats du paragraphe 1.4 aux espaces topoiogiques.

Proposition 2.1ó.(a) Un sous-espace fermé Y d ’un espace topologique compact X est compact.(b) Le produit d ’un nombre fini d ’espaces topoiogiques compacts est compact.

Preuve.(a) Soit A.umespace compact, F C l u n ensemble fermé et {Ua} un recouvrement

ouvert de F. Alors (X \ F ) U (UQÍ7Q) est un recouvrement ouvert de A . Comme X est compact, il admet un sous-recouvrement fini

A = Uai U • • • U U*n

ouA = [ X \ F ) U Uai U • • • U Uan,

'"Heine 1372, Cousin 1895, Borel 1895, Lindelof 1903, Lebesgue 1904.15En France, on utilise plutót le ñora “quasi-compact”, les espaces compacts ¿tant supposes en outre

separes. Notre terminologie, courante en topologie générale, ne conduixa pas á des confusions, parce que la plupart des espaces rencontres dans ce livre sont séparés.

r — ~

d’oüF C Uai U-- -U Uan.

Done {L'q} admet un sous-recouvrement fini de F .(b) Considérons pour simplifier le produit Z de denx.espaces compacts X et Y; le cas

général est analogue (ou s’en déduit par récurrence). Soit {Wa } un recouvrement ouvert quelconque de Z = X x Y; on cherche un sous-recouvrement fini.

D’aprés la définidon de la topologie produit, chaqué z = (x,y) E Z a un voisinage ouvert de la forme W' = Uz x Vz vérifiant W z C Wa pour un certain a = a(z ). II est clair que {W, : z E Z} est un recouvrement ouvert de Z. II suffit de trouver un recouvrement fini

Z = W ‘ U • • • U W , :-1 — n •en effet, alors on aura aussi

z = Wa(2l) U • • • U Wa(Zn).Pour a E X fixé quelconque, considérons les ensembles W, = Uz x Vz pour lesquels

a E Uz. Leur réunion condent {a} x Y, done les ou verts correspondants Vz recouvrent Y . Comme Y est compact, on peut le recouvrir par un nombre fini d’ensembles Vz. La réunion des ensembles correspondants W[. — UZi x VZi (i = 1 , . . . , k) condent {a} x Y. De plus, elle condent U‘a x Y oil U'a = nl-=1UZi est un voisinage ouvert de a.

Comme X est compact, le recouvrement ouvert X — UaexU'a admet un sous-recouvrement fini X — Uai U • • • U Uam. En prenant les ensembles W'z. choisis pour tous les points a l r . . ., am, on obtient un recouvrement fini Z = WZ{ U • • • U WZn. □

Proposition 2.17. Une partie compacte K d ’un espace topologique X séparé estfermée.

Preuve. On fixe a € X \ K quelconque. II faut trouver un ouvert U tel que a 6 U et U n K = 0. En effet, alors X \ K est ouvert et done K est fermé.

Comme X est séparé, pour chaqué b E K il existe deux ouverts Ub et V¡, tels que a E Ub, b E Vb et Ub Cl Vj = 0. D ’aprés la compacité de K le recouvrement ouvert U¡,6*rV{, de K condent un sous-recouvrement fini:

K C ^ U - U P i ,

Alors U Ubx Cl • • ■ Cl Ub„ est un voisinage ouvert de a tel que U O K — 0. □

Proposition 2.18. (Théoréme de Cantor16) Soit (Fn) une suite décroissante defermés non vides dans un espace topologique compact X . Alors l ’intersection des ensembles Fn n 'est pas vide.

Preuve. Si C)Fn — 0, alors X = U (.A \Jpn ). Les ensembles X \F n étant ouverts, on déduit de la compacité de X que

X = ( X \ P ’1) U - - - U . ( ^ \ P 1m)

pour un entier m assez grand. Grace á la décroissance de la suite (Fn) on conclut que X = X \F m d’oü Fm = 0, ce qui contredit l’hypothese de la proposition. □

Théoréme 2.19. Soit X et Y deux espaces topologiques et A est une partie compacte | de X . Si f : X —> Y est une fonction continue, alors /(-4) est une partie compacte dey .17

Autrement dit, Vimage continue d ’un compact est compacte.

‘“Cantor 1884.' Kausdorff 1914.


Preuve. Soit {£/„} un,recquvrement ouvert de f (A) dans Y. Alors { / -1(£/a)} est un recouvrement ouvert de A dans X. Gráce á la compacité de A il existe un sous- recouvrement fini :. . _ ..............A c m j U - U / - 1^ , ) . .On en déduit que

} {A) C f/Ql U - ■ • U Uan, -c’est-a-dire {Ua } contient un sous-recouvrement fini de f (A).

Théoréme 2.20. (Théoréme de Weierstrassli) Soit X Un espace topologique compact non vide et f : X -* M une fonction continue. II existe a,b £ X tels que

f{a) < f (x ) < f(b)pour tout x £ X . En particulier, f est bornée. (Voir la figure 1.6, p. 21.)

La proposition se déduit du théoréme précédent: / ( X ) est un ensemble compact dans IL done il est fermé et bomé. Il a un done un élément minimal et un élément maximal.

Vu 1’ importance de ce résultat, donnons aussi une preuve directe :

Preuve. Raisonnons par l’absurde en supposant que par exemple la borne inférieure I de f n'estpas atteinte. Alorsda famille

Un := {x £ X : f ( x ) > I + n~1}, n = 1 ,2 ,...

d’euvens recouvre X . Comme X est compact, il existe un sous-recouvrement fini:

X C Ui U • • ■ u UN

pour un certain N . Oft en conclut que f (x) > I + A'-1 pour tout x £ X, contredisant la définition de 7. □

Remarque. Considérons les espaces C¡,(K,X) (voir la page 30) avec K compact. Alors toute fonction continue / : K X est automatiquement bornée; par consequent, on ecrit souvent C ( K , X ) ou C(K) au lieu de C¡¡(K,X) ou Cb(K) dans ce cas. Notons aussi que

doc(f,9) = maxdco(/(i), g(t))

au lieu de sup, pour tons / , g £ C ( K , A").

Pour donner une nouvelle application de la compacité, introduisons la

Définition. Deux espaces topologiques X et Y sont homéomorphes* 19 20 s’il existe une bijection / : X -> Y telle que / : X Y et f~ l : Y -5- X sont continues. L’application / est appelée un homéomorphisme.

Deux espaces topologiques X et Y homéomorphes ont les mémes propriétés topologiques. Par exemple, si X est compact (ou séparé), alors Y est aussi compact (resp. séparé).

Pour montrer que deux espaces sont homéomorphes, on peut souvent utiliser la

Proposition 2.21. Soit X un espace topologique compact, Y un espace topologique séparé et f : X —>■ Y une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme}°

,8Weierstrass 1861, Cantor 1870.19Poincare 1895.20Hausdortt 1914.

Preuve. II faut vérifier que / -1 : Y —t X est continue. De maniere équivalente, il faut vérifier que si A est un ensemble fermé dans X , alors / (A) est un ensemble fermé dans Y.

Soit done A un ensemble fermé dans X . Alors A est compact (parce que X est compact). On en déduit que f ( A ) est compact (parce que / est continue). Enfin, on conclut que f (A) est fermé (parce que Y est séparé). □

Exemple. Une courbe plane simple est par definition I ’image d’une fonction continue et injective / : [0,1] —> ¡R2. Montrons que les courbes planes simples sont toutes homéomorphes. En effet, le sous-espace [0,1] de R est tra-espace topoJogique compact, tandis qu’une courbe plane simple, en tant que sous-espace de R2, est un espace topologique séparé. En appliquant la proposition précédente on conclut que toute courbe plane simple est homéomorphe á [0,1],

Remarque. Vu 1’importance de la compacité, notons que tout espace topologique peut étre consideré comme un sous-espace d’un espace topologique.compact. Voir par exemple [68] pour des résultats de compactification.

Étudions enfin la compacité d ’un produit infini d’espaces topologiques.

Definition. Soit une famille quelconque d’espaces topologiques. Désignonspar X 1’ensemble des points x = (z.;)¿6j °u xi S pour chaqué i 6 I. Introduisons les projections 7r¿ : X —> X¡ définies par tt¡(x ) = x¿, (i € I). On munit X de la topologie T suivante: un ensemble U C X appartient á T si, pour tout a 6 U, il existe une partiejim'e J de I et des ouverts Uj C X¡ (j £ J) tels que

a € p ] 7t- 1(L0) C U.jeJ

On vérifie que T est effectivement une topologie sur X . Dans le cas d’un nombre fini de facteurs X¿, on retrouve la définition habituelle.

Cette définition est justifiée par le théoréme fondamental suivant:

Théoréme 2.22. (Théoréme de Tikhonov2l) Le produit d ’une famille quelconque d ’espaces topologiques compacts est compact.

Nous n’utiliserons pas ce théoréme dans ce volume. Pour la démonstration, suivant [64] ou [68], nous avons besoin de deux résultats préliminaires: le premier généralise la méthode de la recurrence au cas non dénombrable, tandis que le deuxiéme permet de vérifier la compacité d’un espace topologique en n’étudiant que des recouvrements ouverts particuliers.

Leifune 2.23. (Lemme de Zom22) Soit A une famille non vide d 'ensembles telle que toute sous-famille monotone B a un majorant A € A. Autrement dit, si tout couple B\, B2 d 'ensembles de B vérifie l ’une des inclusions B\ C B2 ou B2 C B2, alors on suppose qu 'il existe A € A tel que B C A pour tout B € B.

Alors il existe (au moins) un élément maximal A € A c ’est-á-dire tel que A B pour tout B 6 A différent de A. :

De maniere analogue, si toute sO'us-famille monotone de A a un minorant dans A., alors il existe (au moins) un élément minimal A 6 A-

Preuve. Nous admettons ce résultat de la théorie des ensembles. En fait, il est equivalent h l’axiome du.choix; voir, par exemple, [68]. ^

21Tikhonov 1930,1935, Cech 1937.22Zorn 1935.' " ’ . . .

Espaces topologiquesJ f l

Definition. Une famille <S d’ouverts d’un espace topqlogique X est une sous-base si, pour tout ouvert non vide V et pour tout point a £ V, il existe un nombre fini d’ensembies51.. .., Sn dans S tels que

_____________ a € ■Si O---nS„ C V._______ _______ _____ _________

Exemple. Les intervalles ouverts non bomés forment une sous-base pour la topologie habituelle de R

Proposition 2.24. (Théoréme d'Alexander2) Soit S une sous-base d ’un espace topologique X . Si tout recouvrement de X par des ensembles de S admet un sous-recouvrement fini■ alors X est compact. . __________________

Preuve, Raisonnons par l’absurde en supposant que X n’est pas compact, alors il existe un recouvrement ouvert de X qui n’a pas de sous-recouvrement fini. En appliquant le lemme de Zom á la famille de tous les recouvrements de ce type, il existe un recouvrement ouvert maximal V sans sous-recouvrement fini.

En particulier, V fl S n’a pas de sous-recouvrement fini. D’aprés l’hypothése de la proposition sur S, il ne recouvre done pas X . On fixe un point a £ X non recouvert par V n S, puis on choisit un ouvert V £ V contenant a: Comme S est une sous-base, il existe51.. . . . 5 n dans S tels que

a £ Sx n • • • n sn c v.Aucun Sj n’appartient á V parce que a n’est pas recouvert par V fl S. Par conséquent,

en utilisant la maximalité de V, {Sj} U V admet un sous-recouvrement fini. D existe done un nombre fini d’ensembies dans V tels que, en désignant par leur reunion, on a Sj U Aj — X. Alors

x = (sx n • ■ • ns„) u (a x u ■ • -u aA) c v u Ai u ■ • • u An,contredisant l’hypothése que V n’a pas de sous-recouvrement fini. □

Preuve du théoréme 2.22. La famille

S := lvJ{7r~l (f/¿) : U% est un ouvert de X{)>€/

est une sous-base de X par définition. Il suffit done de montrer que tout recouvrement U C S admet un sous-recouvrement fini.

Posons

U, {Ui : Ui est un ouvert de X { et 7r_1(U',) £ ¿J), i £ I.

11 existe un indice k £ I tel que Uk est un recouvrement de X k. En effet, dans le cas contraire il existe x £ X tei que rr¿(a:) n’est recouvert par Ui pour aucun i. Alors x n’est pas recouvert par U, contredisant le choix de U.

Si Uk est un recouvrement de X-K, alors il admet un sous-recouvrement fini

X k = U i U - - -U U n

d’aprés la compacité de Xk- On en déduit que

X = n¿1(Ul )U-- -UTt¿1(Un)

est sous-recouvrement fini de U. □

Âlexander ¡939.

VJ

A)

' J

A)

X

)

-J/<

)J

2.5. * Convergence de filets

Á cause de leur caractére dénombrab'ie, les suites convergentes, tres utiles pour i’étude des espaces métriques, ne suffisent pas pour identifier une topologie générale.

Exemple. Soit X un ensemble non dénombrable (par exemple X — TR d’aprés un théoréme fondamental de Cantor). L’ensemble vide et les complémentaires des ensembles dénombrables forment une topologie sur X, différenteadela topologie discrete. Néan- moins, on a les mémes suites convergentes pour les deux topologies : xn —»• x si et seulement si x n — x pour tout n assez grand.

Moore et Smith24 ont introduit une notion plus générale, bien adaptée á tous les espaces topologiques.

Definitions.• Un filer5 dans un ensemble X est une fonction x : I —? X définie sur un

ensemble I muni d’une relation d’ordre partiel > telle que

i > i pour tout i E /; si i > j et j > k , alors i > k\Vi, j E I, Bk E I : k > i et k > j.

On écrira x,- au lieu de ar(i) et (x¿) ou (x,-)i6/ au lieu de x. s Soit (x,■),•£/ un filet dans un espace topologique X . On dit que (x,-) converge vers

a 6 X ou que a est une limite de (x¿), si pour tout voisinage U de a, il existe j E I tel que x¿ € V pour tout i > j . Dans ce cas, on écrit x¿ -r* a, limx{- = a ou lim(x^),s/ = a.

a Soit (x¿)»g/ un filet dans un espace métrique {X, d). On dit que (x,-) est un file! de Cauchy si le filet (d(xj, x;-)) . j )¡eIxI, ou I x I est muni de la relation d’ordre partiel définie par

(i , j) > (k , í) si i > k et j > l ,

converge vers 0.

Examples.9 Pour I = N, muni de la relation d’ordre usuelle, on retrouve les suites habituelles. 9 Soit X un espace topologique et a € X. Désignons par I l’ensemble des voisi-

nages de a,-muni de la relation d’ordre suivante:

U > V U C V.

Choisissons pour chaqué voisinage U € I, un point xjj € U. Alors {xu)u<ei est un filet et xy —y a.

e Une suite de Cauchy est aussi un filet de Cauchy.

Généralisons quelques résultats connus sur les suites.

Proposition 2.25.(a) Un espace topologique X est séparé si et seulement si tout filet dans X posséde au

plus une limite.

2~Moore et Smith 1922. Voir aussi Picone 1923.25Cecte notion est équivalente á la notion élégante du filtre, due á H. Cartan 1937: voir par exemple

le livre de Topologie de cette collection. Les .filets, plus proche des suites, semblent étre plus fáciles á manipulen Le “filer” s’appelle “net” en anglais.


(b) Une partie F d'un espace topologique X estfermée si et seulement si pour tout filet (x,-) C F convergent dans X, on a lim x¿ E F.

(c) Soil X e tY deux espaces topologiques. Une fonction f : X —V Y est continue en unpoint a € X si et seulement si pour tout filei x x —r a dans X , on a /(x ,) —> f{a ) dans Y .-------------------------------------------

(d) Un espace métrique (X , d) est complet si et seulement si tout filet de Cauchy converge.

Preuve.(a) Soit a et b deux points distincts dans un espace séparé X . Montrons que si x¿ —» a,

alors ij -fir b. En effet, séparons a et b par deux voisinages disjoints U et V. Comme-x; —> arfEexisteTjndndicextehque*x p € U pour tout T> j . Alors x¡ $' V pour tout i > j

et done x,- -fir b.Si X n’est pas séparé, alors il existe deux points distincts a,b G X tels que tout

voisinage de a rencontre tout voisinage de b. Considérons l’ensemble / de tous les couples (U, V) oü U est un voisinage de a et V est un voisinage de b, muni de la relation d’ordre partiel

{U, V) > (Uq, Vo) <=> U C Uo et V C V„.

Pour chaqué couple i := (U, V) E I, on choisit un point x, E U fl V . On vérifie sans peine que x¿ —)■ a et x,- —)• b.

(b) Soit (x,) un filet dans un fermé F. Si a E X \ F , alors X \ F est un voisinage de a qui ne contient aucun élément du filet (x,). Par conséquent, x, f i a.

Si A est une partie non fermée de X , alors choisissons un point a E .4\.4, puis un point xu € U fl A pour chaqué voisinage U de a. Alors le filet (xy) c A converge vers a.

(c) Soit / : X Y est continue en a et x¿ -> a dans X. II faut montrer que f (xi) f(a). Si V est un voisinage de /(a ), alors U := / _1(F) est un voisinage de a* done il existe un indice j tel que x¡ E U pour tout i > j . On en deduit que /(x ,j E V pour tout i > j . Done /(x¿) —r /(a ).

Si / n’est pas continue en a, alors il existe un voisinage V de /(a ) tel que / _1(v/ ) n’est pas un voisinage de a. Pour tout voisinage U de o, on peut done choisir un point xu € U \ f ~ l{V) (car U (fi / -1(V)). Alors xy —> a mais /(x y ) fi- /(a ) parce que le voisinage V de /(a ) ne contient aucun élément du filet (/(xy)).

(d) Si x¡ -> a est un filet convergent dans (X, d), alors pour e > 0 donné quelconque, il existe un indice k tel que d(x.;, a) < e/2 pour tout i > k. En utilisant i’inégalité triangulaire, on en déduit que d(x¿, x;-) < e pour tous i, j > k. Done (x¿) est un filet de Cauchy.

Si tout filet de Cauchy converge dans X, alors en particulier toute suite de Cauchy converge aussi, done X est complet.

E reste á montrer que si (x¿) est un filet de Cauchy dans X et X est complet, alors (x¿) converge. Pour chaqué n = 1, 2 , . . . on peut fixer un indice i(n) tel que

Vi, j > i(n), d(xi,Xj) < 1/n.

En remplacant chaqué i[n) par un índice i'(n) vérifiant i'(n) > ¿(1),..., i'(n) > i(n) sinécessaire, on peut supposer que ■;(1) 0 donné quelconque, il existe n tel que 1/n < s. Alors

Vi > í(n), Vrn > n : ¿(xj,Xi(m)) < 1/n.

Comme z,(m) —> a, en utilisanc la continuité de la métrique, on en déduit que

Vi > i{n), d(xi,a) < 1/n < e.

Done Xi —t a. □

Les examples suivants montrent que l'existence de sous-suites convergentes ne carac- térise pas les espaces topologiques compacts.

Examples.« (Voir [122], -exemple 105.) L’ensemble X des fonctions / : R —> [0,1], con-

sidéré comme le produit X J~[i£g des intervalles compacts I t — [0,1], est un espace topologique compact d’aprés le théoréme 2.22 de Tikhonov, page 37. La convergence dans X est la convergence ponctuelle sur K. Désignons par fn{%) le n-iéme chiffre (aprés la virgule) dans le développement binaire de x £ R. (Pour fixer Ies idées, choisissons les développements finis si possible.) Alors la suite (/„) n’a pas de sous-suite convergente. En effet, pour une sous-suite (fnk) fixée quelconque, considéraos un réel x dont le n^-iéme chiffre binaire (aprés la virgule) est égal a 0 si k est pair, et á 1 si k est impair. Alors la suite (/„..) ne converge pas en x.

o Les fonctions / : R — [0,1], s’annulant en dehors d’une partie dénombrable de R, foment un sous-espace topologique dense propre Y de X. Par consequent Y n’est pas compact. Néanmoins, toute suite ( fn) de Y admet une sous-suite convergente.

En effet, la réunion d’une suite dénombrable d’ensembles dénombrables étant elle-méme dénombrable, il existe une partie dénombrable ,4 de R telle que chaqué f n est nulle en dehors de .4. Ainsi (/„) appartient aussi au.sous-espace compact Z Jt avec Jt = [0,1] pour t € A et Jt — {0} pour t § A. Onvérifie que la topologie de Z est engendrée par la métrique

d(f ,g) ■= y ] 2 -r,[/(fn) - g(tn)\

oü (f„) est une suite contenant les éléments de .4. Par conséquent, ( /n) admet une sous-suite convergente dans Z et done aussi dans X.

Pour remédier á cette situation, généralisons les sous-süites et les points d’accumulation.

Definitions.« Un sous-füet d’un filet (xí) est un filet {y3)jc.j de la forme y3 — x pour tout

j 6 J oü / : J -» I est une fonction ayant la propriété suivante:

Vi € I, 3j 6 J tel que k > j => f{k) > i.« Soit (zq) un filet dans un espace topologique X. On dit que a 6 X est un point

d ’accumulation de (x¿) s ’il existe, un sous-filet (t/y) de (x¿) tel que y¿ —r a.

Remarques.9 Observons que a est un point d’accumulation de (x.) si et seulement si, pour tout

voisinage U de a et pour tout i, il existe j > i tel que Xj € U.® On retrouve les sous-suites usuelíes (xnJ d’une suite (x¿) avec I = J = N et

/ ( 0 = n¿-s En modifiant une remarque précédant la proposition 1.19 (p. 19), pour un filet

de Cauchy,.les notions de limite et de point d’accumulation coincident.

Proposition 2.26. Soit X un espace topologique.(a) Si x¿ —> a, alors a est- Vunique point d'accumulation de (x¿).

Espaces topologiques

(b) Une partie K de X est compacte si et settlement si tout filet (x.) C K admet un point d'accumulation dans K.

(c) Si X est compact et a est Vunique point d ’accumulation de (x¿), alors x¿ —> a.

Preuve. -----(a) Soit (yj) un sous-filet de (x¿) et U un voisinage de a. II existe un indice i tel que

X{ 6 U pour tout i > i. En choisissant j comme dans la définidon du sous-filet, on a Vk = i/(*) G U pour tout k > j. Done j/;- —t a.

D’autre part, si b a, alors x,- 6; il existe done un voisinage U de b tel que

Vj € I, 3k > j £ J : Xk £ U. _ . ___Posons f ( j ) := k, alors (i/(j)) est un sous-filet de (x,-) parce que f ( j ) > j pour tout j. En outre, il ne rencontre pas le voisinage U de a, done aucun sous-filet de (x¡(j)) ne converge vers b.

(b) Supposons d’abord que K n’est pas compact. Alors il admet un recouvrement ouvert

K C [ J Uaa€A

n’ayant aucun sous-recouvrement fini. Considérons la famille I des parties finiesjie A. D'acres l ’hypothése, pour chaqué i := {cü!, . . . ,a n} € I, on peut choisir un point

x,- € K \(U ai U - - -U U an).En considérant la relation d’ordre naturelle i > j <*==> i D j dans I, (xfi est un filet dans K. Montrons que (x¡) n’a aucun sous-filet convergeant vers un point de K. En effet, pour a C K fixé quelconque, il existe a € A tel que a € Ua. Alors x; 0 UQ pour tout i > {a}. Par consequent, aucun sous-filet de (x¿) ne converge vers a.

Supposons maintenant que (x¿) C K n’a aucun sous-filet convergeant vers un point de K. Alors pour chaqué point a € K, il existe Un voisinage Ua de a et un indice ia tels que x¿ ~ Ua pour tout i > ia. Montrons que le recouvrement ouvert

K C [ J Uaa€K

de K n’a aucun sous-recouvrement fini. En effet, si a i , . . ., an est un nombre fini de points dans K. alors il existe un indice i vériñant i > ¿U l , . . . , i > t a „ . Alors

x¿ i Uai U • • • U Uan.,Ainsi K n’est pas compact.

(c) Si a est un point d’accumulation de (x,-) et x¿ -fir a, alors il existe un voisinageU de a et un sous-filet (yj) C X \U . D’aprés (b), ( ) admet un point d’accumulation b. Alors b a et b est aussi un point d’accumulation de (x¿). Done (x¿) admet au moins deux points d’accumulation distinets. □

Chapitre 3 Espaces normés

Le fait que dans ce travail on ne considere que des fonctions continues, n 'est pas essentiel.

F. Riesz

Les espaces normés sont dos espaces vectoriels munis d’une métrique spéciaie, compatible avec la structure linéaire. Us sont tres bien ádaptés á 1’étude de la dérivée des fonctions.

Nous n’insistons pas sur les espaces normés de dimension infinie : ils feront l’objet de la partie analyse fonctionnelle dans le volume II.


Definitions. Soit X un espace vectoriel sur E (pour simplifier).s Une norme1 sur XT est une fonction |[-|| : X —>• R vérifiant pour tous x , y , z 6 X

et A 6 ¡R les quatre propriétés suivantes:

• 11*11 > o,9 ||x¡! = 0 <==> x — o,

• M = W-II*II,• II* + vil < 11*11+ llvll-

La demiére propriété s’appelle l ’inégalité triangulaire. s Un espace normé (JX,-||-||) est un espace vectoriel X muni d’une norme ||-||.

Exemples.® X — R !|x|| = |x|. On va toujours considérer cette norme sur R.® Comme dans le chapitre 1, soit ET un ensemble non vide quelconque et désignons

par B(K) l’ensemble des fonctions bomées f \ K -¥ ¡R; c’est un espace vectoriel sur R La formule

|í/||co = s u p |/ ( t ) |iSA"

définit une norme sur B(K).® Plus généralement, soit K un ensemble non vide, (X, ||-||) un espace normé, et

désignons par B(K, X) ¡’ensemble des fonctions bomées / : K —» X . (On dit

'Riesz 1917.

44 Espaces normes

que / : K —¥ X est bornée s’ií existe une constante M telle que ||/( í) || < M pour tout í € K.) C’est un espace vectoriel sur R La formule

3 = supjj/(í)|U. i€K - __

définit une norme sur B(K, A'). Désormais B(K, X ) sera toujours muni de cette norme.

On neut introduire les sous-espaces d’un espace normé et le produit d’un nombre fini d’espaces normés:

Definition. Soit (AT, j|-¡¡) un espace norme.' Urisous-espace normé (AT', |j-[j') estrune partie X ' de X munie de la restriction de la norme ||-|| sur A '. (H est clair que cette restriction est une norme.)

Exemple. SoitA un espace topologiqueet (A, ||-||) un espace normé. Alors C¡¡{K, X ) est un sous-espace vectoriel de B(K, A), done un espace normé pour la norme U-IIoq. Si K est compact, alors on a

ll/lloo = m ax||/(í)||

pour toute f G C(K, X ) (au ¡ieu de sup), grace au théoréme de Weierstrass.

Definition. Le produit (A, ||-||) des espaces normés (Ai, || - Hi),..., (Am, ||-||m) est 1’espace vectoriel A = Ai x • • ■ x A m muni de la norme

11*11 ’ ¡¡ - -1!11 ~L . . . —||xm ||7n, X — (Xi, . . . , Xjn') G A.

(On vérifie sans peine que c’est une norme sur A’.)

Exemple. La formule

IMIi = ki|. + ■ ■ ■ + |xm|, x — (xx, . . . , xm) G Rm

définit une normé sur E m 2

Une ciasse importante d’espaces normés est constituée par des espaces euclidiens.

Definition. Un produit scclaire est une fonction (•, •) : A x A 4 I définie sur un espace vectoriel A, vérifiant pour tous x, y, z G A et a, fi 6 R les quatre propriétés suivantes :

# (ax + 0 y 1z) = a (x , z )+f i ( y , z ) ,

• (®.y) = (y,*),® (X! X) ^ 0,e (x,x) = 0 si et seulement si x = 0.

Un espace euclidien2 3 ou préhitbertien (A, (-, •)) est un espace vectoriel X muni d’uA produit scalaire (•,•)•

Exemples.® A = (z, y) = Xij/i + x 2y-2 ri-----4- xmym.3 Si I est un intervalle compact, alors la formule (/, g) = f r fg dx définit un

produit scalaire sur A = C(I).

Tout espace euclidien a une norme naturelle :

2 Jordan 1882.3Dans notre terminologie, un espace euclidien n ’est pas nécessairemem de dimension finie.

(*.y)y

Figure 3.1. Inégalité de Cauchy-Schwarz

Proposition 3.1. La formule |¡x|| = (x, x)P/2 définit une norme dans tout ¿space euclidien (X , (•, •)). De plus, elle véñfie l'inégalité de Cauchy-Schwarz1

l(*;y)l < 11*11 • llyllet l 'identité du parallélogramme

II* + 2/||2 + ||ar - I/ll2 = 2||x||2 + 2||y||2

pour tous x, y 6 X .

Preuve. L’identité du parallélogramme et toutes les propriétés de la norme, á 1’exception de l’inégalité triangulaire, se vérifient sans peine.

Pour ||y|| = 1, l’inégalité de Cauchy-Schwarz résulte de la relation (théoréme de Pythagore; voir la figure 3.1)

0 < ||ar - (ar, t/)y||2 = (x - (x, y)y, x - (x, y)y)= (ar, x) - (x, y)(x, y) - (x, y)(y, x) + (x, y)(x, y)(y, y )

= ll*f-|(*,y)-l2«Dans le cas général, écrivons y = tyr avec ||t/|| = 1 et í > 0; on a

l(x,y)\ = í|(*,y')l < *11*11 = 11*11 • llyll-L’inégalité triangulaire s’obtient maintenant comme su it:

i|- + y¡¡* = (x + y . x ± y ) = H 1 + llsliJ + 2 ( i ,s )

< MP + llíil1 + 2||x¡| • ||»|| = (||i|| + llyll)’ . □Par la suite, un espace euclidien sera muni automatiquement de la norme définie ci-

dessus. 4

4Lagrange 1773, Cauchy 1821, Buniakovslcy 1859, Schwarz 1885.

Figure 3.2. “Boules” unicé

D’ aprés ce qui précéde, on peut définir les normes différentes suivantes sur Em :

llalli = |Zl| + --- + km|.11*112 = (X1 + + 1/2 >IMI« = max{|xi|,..., |xm|}.5

La deuxiéme provient du produit scalaire de R77* introduit ci-dessus, tandis que la troisiéme est le cas particulier du deuxiéme.exemple si l’on identifie les vecteurs de R771 avec les fonctions / : Rr -> RoüRr = { l , . . . , m}. Sur la figure 3.2 nous avons tracé les “boules” unité 2?i(0) correspondantes pour m — 2.

Plus généralement, la proposition suivante montre en particulier que la formule

IW Ip := ( |x 1|p + - - ' + |x m|J’) 1/p, i £ R m

définit une norme sur R771 pour tout 1 < p < co.

Definition. 1 < p < oo et 1 < q < oo sont des exposants conjugues si p-1 + q~1 — 1.

Remarque. Notons que 1 < p < oo si cí seulement si 1 < q < oo. Dans ce cas chacune des trois conditions

? = p = q/ { q - 1), (p ~ 1)(? - 1) = 1est équivalente áp - i + q~l = 1.

Proposition 3.2. Soit p el q deux exposants conjugues.(a) (Inégalité de Young6) Si x et y sont deux nombres positifs et p, q sont finis, alors

(b) (Inégalité de Holder1) Si x e ty sont deux vecteurs dans Rm, alors

< INI? • [|y|l?-

(c) (Inégalité de Minkowskis) Si x e ty sont deux vecteurs dans R771, alors

Ik + í/llp < I|*Hp+ Ibllp-(d) ¡[-¡¡p est une norme sur Rm.

^Jordan 18S2,Peano 1888, 1890.6 Young 1912.'Rogers 1888, Holder 1889.^Minkowski 1896.

X

Figure 3.3. Inégalité de Young

Preuve.(a) Supposons par symétrie que p > 2 et considérons le graphe de la fonction y = xp~1

ou x = yq~l . (Voir la figure 3.3.) Le domaine hacnuré contient le rectangle de cotes x et y, done son aire est supérieure ou égale á xy. Par conséquent,

xy < Í X s?-1 ds + [ y t ^ d t = X- + y- ,Jo Ja P ?

(b) Supposons d’abord que 1 < p, q < cc. Si ||ij¡p = |¡j/|¡9 = 1, alors en appliquant l’inégalité de Young on a

E x 'V' ^ E ix,'i:=1 »=1

< J l —t=l *

í - 1 = i = INI, • IMI,-

Dans le cas général écrivons x = sx' et y = ty' avec ||x'||p = ||t/|¡? = 1 et s, t > 0. Alorsm

Ei= 1

< st\\x'\\v • Hj/II, = ||x||p ■ llyllí-

Les cas p — 1 et p = oo s’obtiennent en passant á la limite, parce que ||x||p —> ||x||i si p 1 et ||x||p ->• ||x||oo si p -> co.

(c) Supposons que 1 < p, q-< oo. (Le cas général s’en déduit de nouveau par passage á la limite.) Si ||x + y\\p — 1, alors en utilisant l’inégalité de Holder on obtient que

= IN + yl!p = E l x i ' + y t f ¿=1 ‘m - m

< E M ■ |x,- + Ei— i ¿=i \yi \ • 1*» + y i \ p

m

<||x||p(E + + iiviip(E= 11*11, + llvll,.

t=i

48 Espaces normes

parce que (p — 1 )q — p. Dans ie cas général on écrit x = tx ' et y = ty‘ avec t > 0 tel que ||x' -i- y'\\p — 1. Alors on a

(d) On vient de vérifier l’inégalité triangulaire. Les autres axiomes sont évidents. □

De maniere analogue, si / est un intervalle compact, alors la formule

définit une norme sur C{I) pour tout 1 < p < oo. (Rappelons que nous avons déjá défini la norme H-Hoo sur C(/).)

Proposition 3.3. So it p et q deux exposants conjugués.(a) Si f .g S C(I), alors

(c) || -||p est une norme sur C(I).9

Preuvc. L es cas p = 1 et p = oo se vérifient aisément. Supposons désormais que 1 < p, q < oo.

(a) Comme ci-dessus, on se raméne au cas ||/f |p = ||o||9 = 1. En appliquant I’inégalité de Young, on a

(b) On se raméne de nouveau au cas | | / + g\\p = 1. En appliquant l’inégalité de Holder, on a

ll/l! r - - = \ [ \ f M Pdt) l/P

(b) Si f , g € C{I), alorsII/ + ||p< ll/IU + Ibllp-

<\ \ f \ \? -\\ i/+yr1ii.+ibiip-'iii/+ír1n.=i i/ iíp+m »

parce que

ii i / + s m , = « / + ¡ n i s i , , = i i / + « i i r 1 = i-

(c) On vient d’établir l’inégalité triangulaire. Les autres axiomes se vérifient aisément.□

3.2. Propriétés métriques et topologiques

Toute norme ¡|-|| définit une métrique par la formule

d(x,y) ~ IIf -g\\-.\insi tout espace normé peut étre (et sera) considéré comme un espace métrique (et a fortiori comme un espace topologique).

En appliquant cette definition aux exemples du paragraphe précédent, on retrouve les espaces métriques Rm, B(K) et B(K, X) introduits dans le premier chapitre.

On déduit de l’inégalité triangulaire d’une norme que

1x, y £ X, ¡||x|| - IMI < ||x - y||.

Ceci montre que la norme ||-|| : X —> M est une fonction lipschitzienne (et done uni- formément continue).

Dans le reste du chapitre les lettres X, Y, Z désigneront toujours des espaces normés. On va utiliser désormais la notation / : X e-+ Y au lieu de / : D Y (D C X ) s’il n’est pas nécessaire de préciser le domaine D de / .

Proposition 3.4.(a) On a x„ —> x dans X si et settlement si \\xn — x|| —>■ 0.(b) Une fonction f : D —>■ Y (D C X ) est continue en un point a ¡£ D si et seulement si

pour tout £ > 0 il existe ó > 0 tel que

si x € D et ||x - a\\x < alors | | / ( i ) — /(a ) ||y < £.

(c) Une fonction f \ D Y (D C X ) est uniformément continue si et seulement si pour tout £ > 0 il existe o > 0 tel que

si i i , x 2 £ D et | | i i - x2\\x < S’ alors | | / ( i i ) - Í { x 2)\\y < £■

(d) La norm.e est continue : si x n x, alors ||i„ || —r ||i ||.(e) Soit (in), (r/„) C X et (A„) C R. des suites vérifiant xn —>• x, yn —r y et Xn -> A.

Alorsxn “P yn t x y et \ nx n * Ai.

(f) Si f ,g : X c—>• Y sont continues en a, alors f 4- g : X Y est continue en a.(§) Si f : A" c-> R et g : X Y sont continues en a, alors fg : X c-> Y est continue

en a.(h) Le produit scalaire d'un espace euclidien est continu : si xn x et yn —r y, alors

(xn,yn) -> ( 1 ,y).

Preuve.(a), (b) et (c) sont des reformulations des déñnitions de ces notions dans les espaces

métriques.

(d) résulte de l’inégalité

- 1 < In - I

(e) ec (h) résultent des trois inégalités

||(x„ + yn) - ( 1 + y)\\ < ||i„ - i | | + ||j/„ - y||,

51) Espaces normes

||Anxn - Ax11 = ||(An - A)(z„ - x) + (An - A)x + A(xn - x)||< |An - A| • ||zn - x|| + |A„ - A| • ||x|| + |A| • ||x„ - x||

et

(xn,yn) - (x,y)| = \(xn - x , y n - y ) + (xn - x , y ) + (x,yn - y ) \

< fl*n - *11 ■ llz/n - 2/|| + ||*„ - *|| • ||y|| + ||* || • ||»„ - y||.(f) et (g) : Si xn —► a, alors /(x„) f{a) et g(x„) ->• g(a). En utilisant (e), on

obtient________ __ ( / + g)(*n) = /(*») + g (xn) - > f(a)-i-g (a) •= i f + g)(a) --------- -et

(fg){xn) = f ( x n)g(xn) -> f(a)g(a) = ( / + g)(a). □

Exemples.» Considérons l’espace X = Rm muni d’une norme |{-J|p, 1 pour i - 1, , m. La convergence nórmale est done équivalente á la convergence des m suites numériques des composantes. En particulier, elle est indépendante du choix de p. On dit que les normes ||-||p sont équivalentes sur íf71.

4 Considérons l’espace Y = Rm muni d’une norme ||-||p, 1 K, 1 < j < m. Alors / est continue en un point a si et seulement si toutes ¡es fonctions f j sont continues en a.

• La métrique associée á la norme U'lloo de B(K) ou B{K, X) est celle introduite dans le chapitre 1. En particulier, la convergence dans la norme est la convergence uniforme sur K.

Definition. Un espace normé complet esf aussi appeié uñ espc.ce dé Banach. Un espace euciidien complet est aussi appeié un espace de Hilbert.

Exemples.a Nous dérnontrerons dans le paragraphe suivant que tout espace normé de dimen

sion finie est automatiquement complet.* Si X est un espace de Banach, alors ies espaces B(K, X) sont aussi des espaces

de Banach. En particulier les espaces B(K) sont des espaces de Banach.• Si K est un espace topologique et X est un espace de Banach, alors Cb{K, X),

en tant que sous-espace vectoriel fermé de B (K , X), est un espace de Banach. En particulier les espaces C ^K ) sont des espaces de Banach.

« Si I = [a, 6] est un intervalle compact avec a < b, alors 1’espace vectoriel C{I) n’est pas complet pour la norme ¡| • ¡|p si p < o o : voir par exemple les paragraphes 1.1 et 2.1 dans le volume n.

Remarques.* D’aprés une variante de la proposition 1.15 (p. 17), tout espace normé peut étre

complété en un espace de Banach et tout espace euciidien peut étre complété en un espace de Hilbert.

a La “complétion” des espaces du demier exemple est étroitement liée á 1’intégrale de Lebesgue; par exemple le paragraphes 9.1 dans le volume n, ou [116].

Terminons ce paragraphe par deux caractérisations intuitives de la connexité des ouverts d’un espace normé.

I u y i •- > -o

Figure 3.4. Ligne brisée

Definitions. Un segment dans un espace vectoriel X est un ensemble de la forme [a, b\ {(1 — t)a + tb : 0 < t < 1} oü a,b £ X . (Le cas a = b n’est pas exclu.)

Une partie, A d’un espace vectoriel X est convexe si pour tous a, 6 € A on a aussi (a, b] C A.

Une ligne brisée dans un espace vectoriel est un ensemble de la forme L = [x0, xi\ U [xi, xo] U • • • U [x„_i, x„]

avec un nombre fini de points £ X . (Voir la figure 3.4). On dit que L joint (ouconnecte) les points x0 et xn.

Lemme 3.5. Les boules ouvertes des espaces normés sont convexes.

Preuve. Soit a, 6 € Br(y) et x € [a, 6]. D faut montrer que ||x — y|| < r. Comme a, b £ BT(y), on a ||a - y|| < r et ||6 — t/|| < r. En écrivant x = (1 — t)a + tb avec 0 < t < 1 et en utilisant ladéfinition d’une norme, on a

Ik ~ 2/11 = 11(1 - 0 (a ~ y ) + t(b - y)|| < (1 - Olla ~ 2/|| + t\\b ~ 2/|| < r. □Proposition 3.6. Soit U une partie ouverte d ’un espace normé X . Alors les trois

propriétés suivantes sont equivalentes :(a) deux points de U peuvent toujours étre joints par une ligne brisée dans U;(b) deux points de U peuvent toujours etre joints par un chemin dans U;(c) U est connexe.

Preuve.(а) (ó). II suffit de-montrer que toute ligne brisée L dans U est l’image d’un

chemin / dans U. Or, si L — U-l=1[x¿_ll Xj] C U est une ligne brisée, alors on peut choisir par exemple / [0, n\ —> U défini par

f i t ) = (t — k + l )xk + (k - t)xk- i , t € [ k l,fc], k = 1, . . . ,n.(б) =±> (c). C’est un cas particulier de la proposition 2.15 (p. 34).(c) (a). II n’y a rien a démontrer si U = 0. Sinon, on fixe x £ U quelconque et on

désigne par A l’ensemble des points y £ U qu'on peut connecter á x par une ligne brisée L dans U.'Jl suffit de montrer que A = U. Comme U est connexe et A n’est pas vide (car x £ A), i] suffit de montrer que A est fermé et ouvert dans U.

Montrons que A est ouvert. Si y £ A, alors il existe une boule Br(y) dans U parce que U est ouyert. On en déduit que Br{y) C A. Eaeffet, si L C U est une ligne brisée

52 Espaces normés

connectant x á y et si 2 € B r(y), alors L' := L U [y, z\ est une ligne brisée connectant x á z'. De plus, [y,z] C B r(y) C U d’aprés le lemme précédent, done V C U.

Montrons maintenant que A est fermé dans U ou, de maniere équivalente, que U\A est ouvert. Soit z 6 U \ A et considérons une boule B r(z) C U. Alors B r(z) C U \A . Én effet, raisonnons par l’absúrde en supposant qu’il existe un point y € Br{z) D A, et considérons une ligne brisée L C U connectant x ay. Alors L' := L U [y, z] C U est une ligne brisée connectant x á z. (On a utilise de nouveau le lemme précédent.) Done z € A, contredisant le choix de z. □

3.3. Espaces normés de dimension finie

Rappelons qu’une partie de R est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. Nous allons montrer que ce résultat reste valable dans n’importe quel espace normé de dimension finie. Rappelons qu'une partie d’un espace métrique est bornée si son diamétre est fini. On en déduit aisément qu’une partie K d’un espace normé est bornée si et seulement s’il existe un nombre M > 0 tel que ||z|| < M pour tout x € K .

Montrons d’ abord le

Lemme 3.7. Dans Vespace normé (Rm, ¡|-||oo) tout ensemble bomé est précompact.

Remarque. Rappelons (voir la page 21) que la réciproque est vraie dans tout espace métrique.

Preuve. Soit K un ensemble bomé et soit M > 0 tel que ||x||co < M pour tout x € K. Pour r > 0 donné quelconque, on fixe un entier N > 1 tel que N r > M , puis on considere les boules B r(a) oü a parcourt les points de Rm de la forme

a = (k[r. . . . , kmr)

avec des entiers fcj...., € {—N , . . . . N }. Si x = (x i , . . . , xm) € K , alors l’une de cesboules vérifie | Xj — kjr j < r pour j = 1 , . . . , m e t done x £ B r{a). □

Le résultat de base de ce paragraphe est le

Théoréme 3.8. (Équivalence des normes10) Soit |j-|| et |¡-||' deux normes quelconques sur un espace vectoriel X de dimension finie. Alors il existe deux constantes c\, c2 > 0 telles que

(3.1) V r é Z , c d lr ir < ||x|| < 0211®!!'.

Remarques.« On dit que deux normes sur un espace vectoriel X sont équivalentes si elles

engendrent la rnéme topologie sur X . On montre facilement que (3.1) est une condition suffisante de l’équivalence des normes ||-|| et ||-||'. Le théoréme 3.8 implique done que sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

* On peut montrer que (3.1) est en fait une condition nécessaire et suffisante de 1’équivalence des normes ¡|-|| et ¡l'lj'. Comparer á une remarque aprés la proposition 2.1 (p. 26) conceraant Péquivalence des métriques.

!0Tikhonov 1935.

9 SoiE || • |¡ et ||-||'deux normes equivalentes sur un espace vectoriel X. Si (A', |j-||) est complet, alors (X , ||-¡|') est aussi complet. Comparer á une autre remarque suivant la proposition 2.1.

9 En remplacant une norme par une norme équivalente, les ensembles ouverts, fermés, bomés, compacts, précompacts, ainsi que les suites convergentes et les suites de Cauchy resíent les mémes. Les fonctions continues, uniformément continues ou lipschitziennes / : X Y restent aussi les mémes si on remplace les normes de X et Y par des normes équivalentes. D ’oü l’importance du théoréme3.8.

Preuve du théoréme 3.8. Comme un espace vectoriel de dimension finie m est (al- gébriquement) isomorphe á R"\ on peut supposer que X = Rm. On fixe une norme ||-|| quelconque sur Rm. II suffit de considérer le cas ii-ir = ii-iioo-

Considéraos la fonction

/ : K -> R, f (x) = ||x||

définie sur la sphere unité de (Rm, IHloo) :

K = { x € Rm : ||x||oc = 1}.

Alors / est continue (et méme lipschitzienne). En effet, en posant

M = max{||e1| | , . . . , | |e m||}-

oü= (1,0,.... , 0 ) , . . . , e m = (0, . . . , 0 , 1).

on a11x|¡ = ||xxei H------ r xmemj| < M(\xi\ + • • ■ -f |xm|) = Afm||x||«,

pour tout x c Rm d’oü

\ f (x) - f(y)\ = IWI- | | y | | < I|x - t/|| < M m ||x - y\\x

pour tous x, y 6 Rm.D’apres le lemme 3.7 et le corollaire 1.27 (p. 23), K est compact. (Notons que

(Rm, ll-IU) est complet : il est isomorphe á l’espace B (K ) avec K = , m}.) Enappliquant le théoréme 1.24 ou 2.20 (pp. 20, 36) il existe a,b € K tels que

Vx € K, ||a|[ < ||x|| < ||ó||.

Comme Hallo,, = ||¿||oo = 1 , on a a, 6 7= 0 et done Ci := ||aj| > 0, cx := ||£>|| > 0.Pour x € Rm donné quelconque, on peut écrire x = tx ' avec t = ||x||oo et x' € K.

Alors Ci < ||x '|| < c2. En multipliant par t on obtient l’inégalité cherchée. □

On déduit du théoréme 3.8 les résultats principaux de ce paragraphe :

I " 1 1 ■ " I| Théoréme 3.9. Soit (X, ||-|¡) un espace normé de dimension finie. Alors I (a) (A. ||-||) est complet;(b) une partie de X est précompacte si et seulement si elle est bornée;(c) une partie de X est compacte si et seulement si elle esi fermée et bornée;(d) X est séparable;(e) toute suite bornée (x„) C X a une sous-suite convergente.11

1 ‘Tikhonov 1935..

54 Espaces normes

Figure 3.5. Points á distance minimale

Preuve. On peut supposer que X = Rm en tant qu’espace vectonel.(a) Soit (xj;) une suite de Cauchy dans (X, |]-j|). Alors elle est aussi une suite de

Cauchy dans (Rm, |H|oo). parce que les deux normes sont équivalentes. (Rm, |H|oo) étant complet, il existe x € Rm tel que |!x* — xHo —> 0. En utilisant de nouveau l’équivalence des deux normes, on conclut que ||xA — x|| 0.

(b) Nous avons déjá montré ce résultat dans (Rm, |[-|[00). Le cas général en resulte parce que, pour deux normes équivalentes, les ensembles bornes -sont les mémes et les ensembles précompacts aussi.

(c) C’est une conséquence des deux propriétés précédentes et du corollaire 1.27 (p. 23).

(d) Chaqué boule fermée {x e X : ||x|| < n}, n = 1,2, . . . est séparable en tañí qu’espace métrique compact (voir la proposition 1.28, p. 23), done elle contient une partie dense dénombrable Dn. Alors D := UD n est une partie dense dénombrable de X .

(e) II existe r > 0 (assez grand) tel que (xn) C Br(0). L’adhérence K de cetteboule, étant fermée et bomée, est compacte. On. conclut en utilisant la définition de la compacité. _ □

Remarque. On a ainsi démontré que tout espace normé de dimension finie est un espace de Banach et que tout espace euclidien de dimension finie est un espace de Hilbert.

Le corollaire suivant du théoréme 3.9 joue un r61e important en théorie d’approximation.

Proposition 3.10. Soit Y un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace normé {X, ||-¡|). Pour tout x £ X il existe a 6 Y tel que(3.2) Vy £ Yt | | x - a | | < | | x - t /|| .12

Preuve. Soit (yn) C Y une suite vérifiant

\ \ x - y n\\ -» i n f | | x - y | | =: M.— y€K

Alors (yn) est bornée dans Y. Comme dim Y < co, il existe une sous-suite ynk —»■ a € Y. Alors j|x - y„fc|| -> M et ||x - || —> ||x - a\\, d’ou ||x - a|| = M . □

Le point a n’est pas toujours unique :

Exemples. (Voir la figure 3.5.)» Soit y = {y G R2 : y\ 4- ifr — 0} et x = (1,1) dans (R2, ||-||i). Alors

a = (í, —t) € y vérifie (3.2) pour tout — 1 < í < 1.s Soit y = {y € R2 : yx -i- y? — 0} et x — (1,1) dans (R2 ,|j-||2). Alors

a = (0, Q) € y est fuñique point qui vérifie (3.2).

1 "Kirchberger 1903, Bore! 1905, Riesz 1918.

S Pour Y = {y € M2 : y2 = 0} et x - (0,1) dans (R2, ¡¡•|¡0o), a = (t, 0) e Y vérifie (3.2) pour tout —1 < t< 1.

Le deuxiéme exemple est un cas particulíer de la

Proposition 3.11. Soit Y un sous-espace vectoriel de dimension finie d ’un espace euclidien (A , (■, •)). Pour chaqué x € A fixé il existe un point a E Y et un seul tel que

(3.3) V y eF , ||a r-a || < | | i - y | | .De plus, a est la projection orthogonale de x sur Y : il est caractérisé par la propriété d'orthogonalité suivante:(3.4) {x — a, z) = 0 pour tout z € Y.

Enfin, Vapplication x >-r a est linéaire, et ||a|| < ||x|| pour tout x € A .13

Remarque. Cette proposition est á la base de la méthode des moindres carrés, c’est- á-dire de la théorie d’approximation dans les espaces euclidiens. (Voir les commentaires dans [49].)

Preuve. D ’aprés la proposition précédente il existe a € Y vérifiant (3.3). Montrons que (x — a, z) — 0 pour tout z € Y. En effet, pour tout t > 0, on déduit de (3.3) que

0 > í -1 (||ar - a ||2 - \\x - (a + íz)||2) = 2(x - a , z ) ~ t\\z \\2.

En faisant tendre t vers 0, on obtiene que (x — a, z) < 0. En appliquant ce résultat á —z au lieu de z, on obtient que (x — a, —z) < 0; done (x — a, z) — 0.

Pour terminer la preuve, montrons que si a € Y vérifie (3.4), alors ||x — y|| > ||x — a|| pour tout y € Y différent de a. (Ceci entraíne aussi l’unicité de a.) En effet, avec z — a — y, on a

l|x — y\\2 = ||(x — a) + (a — y)||2 - -= llar - a .f + ||a - y f + 2(x - a, a - y)

= II1 — a\\2 + IIa ~ y\\2 > llx - all2-Si a est la projection orthogonale de x sur Y, b est la projection orthogonale de y sur

Y et a, ¡3 € R, alors on déduit de (3.4) que

((qx + ¡3y) - (aa + 0b), z) - 0 pour tout z € Y.

On conclut que aa + /3b est la projection orthogonale de ax + ¡3y sur Y.Enfin, en appliquant (3.4) avec z — a ct en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz

on obtient que||a ||2 = (ar.a) < ||x|| • ||a||,

d’oü ||a|| < ||x||. □

3.4. Applications iinéaires continues

Soit A et y deux espaces normés. Une application A : X —>■ Y est linéaire si

A{x + y) = A(x) + A{y) et A(Ax) = AA(x)

pour tous x , y € A et A € R- On écrit souvent Ax au lieu de A(x). Le résultat suivant montre que pour une application linéaire la continuité, la continuité uniforme et la propriété lipschitzienne sont toutes équivalentes á la continuité en 0.

IjLegenáre 1805, Gauss 1809.

3 0 Espaces normes

Lemme 3.12. Une application linéaire A : X —» Y est continue en O si et seulement s 'ii existe un nombre M > O re i que

(3.5) " \\Ax\\ < M\\x\\

pour tout x € X .14

Preuve. Si A est continue en O, alors il existe 5 > Ó tel que

z € X et ||zj| < 6 => ||Az|| < 1.

On en déduit (3.5) avec M = 1/6. Réciproquement, la propriété (3.5) implique la pro- priété lipschitzienne de A avec L — M :__________ _ ^ - ■■_____________ - ,

IIAx - Ay\\ = \\A{x - y)(I < M\\x — y|| .

pour tous x, y. □

Définition. Désignons par L ( X , Y ) l’ensemble des applications linéaires continues A : X —> Y. Ensuite, pour A € L ( X f Y) désignons par ||j4|¡ la borne inférieure des constantes M > O vérifiant (3.5) pour tout x S X.

On vérifie par passage á la limite que (3.5) est aussi vérifiée avec M — ||A||. Ainsi || A\\ est la plus petite constante M > O vérifiant (3.5) pour tout x 6 X . On a done

(3.6) ' V x é X , \\Ax\\< \\A \\-\\x\\.De maniere équivalente,

(3.7) \\A\\ = supxEX,x^Q

IIM11*11 '

Proposition 3.13. Muni de la norme (3.7), L(X, Y) est un espace normé.

Preuve. II est clair que rL{X, Y) est un espace vectoriel. La seule propriété non trivi- a lees tl’inégalitétriangulaire. Gomme -

' ||(.4 + B ) s || < ||Ax¡| + \\Bx\\ < \\A\\ - ||x|| + ||S || • ||x|| = (||A\\ + ||£ ||) • ||r ||

pour tout x <E X , on a l’.inégalité triangúlame ||A-hB|| < ||.4|| + |jf?[|. Les autres propriétés se vérifisnt aisément. □

Exemple. Toute matrice (a.;*) de taille n x m définit de maniere naturelle une application linéaire A : W 1 K 1. Munissant Rm de la norme || • ||j. et R" de la norme || • H^, on vérifie sans peine que A est continue et

\\A\\ = max |oj¿|.t,k

Le résultat suivant simpiifie l’étude des applications linéaires dans les espaces normes de dimension finie.

Théoréme 3.14. So it X , Y deux espaces normés et A : X —*• Y une application linéaire. Si X est de dimension finie, alors A est continue.

Preuve. Grace au théoréme 3.8 (p. 52) sur 1 Equivalence des normes on peut sup- poserque X = (IR171, ||-||x). Introduisons les vecteurs e, comme dans la démonstration du théoréme 3.8, et posons

M = m'ax{||j4e1| | , . . . . ||Aem||}.

14Banach 1922.

Alors

||Ax|| — \\xiAei + ---- f-xmAem|| < M (|ii| A • • ■ + jxm|) = M||x||

pour tout x 6 X . □

Proposition 3.15. Soit X, Y, Z trois espaces normés.(a) Si B 6 L(X, Y) et A 6 L(Y, Z ), alors

A B e L(X, Z) et \\AB\\ < \\A\\-\\B\\.

(b) L'application bilinéaire définie par

p : L {Y ; Z) x L(X, Y) -> L(X, Z), p{A, B ) = AB

est continue.

Preuve.(a) On a

||ABx|| < ||A|| • ||Sx|| < ||A|| • !|5|[ • ||x||pour tout x 6 X .

(b) On a l’estimation suivante :

M A ! , B ' ) - y { A , B ) \ \ = \\A 'B '-A B \\= \\(A! - A){B' - B ) + A{B' — B) A- (A' - A)B\\< \\A! - A|| - ||S ' - B\\ A \\A\\ • \\B‘ - B\\ + ||A' - A|| ■ \\B\\.

Pour A' —>• A et B' —> B, le second membre tend vers zéro d’oü le résultat. □

Definition. Deux espaces normés X et Y sont isométriquement isomorph.es s’il existe une bijection linéaire / : X -A Y telle que

Vx € X , ||/(x )|| = ||x|j.

E est souvent utile d’identifier deux espaces normés isométriquement isomorphes. Par exemple, toute application linéaire A : R —> R est de la forme Ax = ax pour un reel a convenable. Cette remarque permet d’identifier A avec a. Plus généralement, on a la

Proposition 3.16. Soit X un espace normé. Alors L(]R, X) est isométriquement isomorphe á X : on peut choisir

f '. X — L(R, A), f{a)t — ta. t £ ¡R.

Preuve. II est clair que /(a ) : R -a X est linéaire et que ||/(a )i || = |t| • ||a||. On en déduit que /(a ) € L(R, X ) et ||/(a)|| = ||a||.

La linéarité de / est évidente et on déduit de l ’égalité ||/(a )|| = ||o|| que / est injective. Pour la suijectivité de / , on vérifie que / (A(l)) = A pour toute application linéaireA e L ( R, X) . □

Terminons ce paragraphe par un résultat de prolongement:

Proposition 3.17. Soit M un sous-espace vectoriel. dense d ’un espace normé X, Y un espace normé et f ■. M -A Y une application linéaire continue. Alors f se prolonge, ■ de maniere unique, en une application linéaire continue F € L(X, Y). De plus, on all ll = II/IÍ-

Preuve. On. vérifie facilement que le prolongement continu F de / , foumi par la démonstration de la proposition 1.13 (p. 16), est linéaire et que ||l?j| = j|/}|. LE

58 Espaces normes

3,5. Formes linéaires continues

Definitions.

e Une forme linéaire est une application linéaire á valeurs réelles.® L'espace dual15 d’un espace normé X est l’espace normé L(X , R) des formes

linéaires continues sur X . n est souvent noté X 1..

Dans les espaces euclidiens, il y a “beaucoup” de formes linéaires continues :

Proposition 3.18.So it (X ^-^-)) un espace euclidien. ■■■______ _(a) Soil c £ X . II existe tp £ X ' tel que ||<p|| = ]|c|| et p(c) = ||c||2.(b) Soit x1; x2 € X. Si p{x i) = p (x 2) pour tout p 6 X ', alors X\ = x2.

Prtuve.(a) La formule <p(x) := (c, 27) définit une forme linéaire continue tp. On a ||cc|| < j[c||

d’aprés l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

. K x ) | = Kc1x ) |< ||c ||-||x ||.

L’inégalité inverse f|<p|| > ||cj| résulte de l’égalité tp(c) = ||c||2.

(b) Si xi 2:2. alors en appliquant (a) á c = xi — x2 on obtient que p £ X ' et<p(xi — x2) 7= 0 , c’est-a-dire <p(xx) yé <p(x2). □

En fait, la proposition reste valable dans tout espace normé, mais la démonstration est plus difficile : elle est basée sur le

*Théoréme 3.19. (Théoréme de Helly-Hahn-Banachl6) Soit M un sous-espace vectoriel dans un espace normé X et j : M - ) 1 une forme linéaire continue. Alors f se prolonge en une forme linéaire continue p £ X' avec preservation de la norme :IMI = 11/11-

Remarque. Comparons ce théoréme á la proposition 3.17 (p. 57). La difference principale est que M n’est pas nécessairement dense ici. Par contre, on suppose que Y = R, et l’unicité du prolongement n’est pas garande.

Admettons provisoirement ce théoréme et appliquons-le pour généraliser la proposition précédente :

Corollaire 3.20. Soit (X , ||-||) un espace normé.{a) Soit c £ X . II existe p £ X ’ telle que ||<p|| = ||c[| et p(c) = ||c||2.(b) S o ifx i,x2 E X . Si p(xi) = p (x 2) pour tout p £ X ', alors x 1 = x 2.

*Preuve.(a) Soit M le sous-espace vectoriel de X engendré par c et posons /(fe ) = f||c ||2,

t £ R Alors / £ L(M, R), | | / | | = ||c|| et /(c) = ||c||2. On conclut en appiiquant le théoréme précédent.

(b) On peut répéter la preuve de la partie (b) de la proposition précédente. □ 15

15Hahn 1927.léHei!y 1912, Hahn 1927, Eanach 1929. On associe rarement le nom de Heily á ce théoréme; pourtant,

¡a premiere ¿tape cruciate de la preuve suivante !ui est due.

*Preuve du théoréme 3.19. Si / — 0, alors oñ pose ip — 0. Sinon, quitte á multiplier f par une constante, on suppose désormais que ||/ | | = 1.

Premiere étape. Montrons d’abord que si a € X \M , alors / se prolongeen une forme lineaire continue ib de norme 1, définie sur Je sous-espace vectoriel Y engendré par M eta.

On fixe un réel a (á choisir plus tard) et on poseip(x + ta) := f(x) + ta, x E M, 1'ElR.

Alors ip : Y —> -K est un prolongement linéaire de / , et-donc jj^jj > 1. Nous allons montrer que pour un choix convenable de a, 1 ’inégalité inverse < 1 est aussi vérifiée.

Comme ip(—y ) = — il suffit de trouver a tel quetb{x ± ta) < ||x ± ía||

pour tout x € M et t > 0. Pour t — 0 c’est vrai parce que ip prolonge / . Sinon, en divisant par t > 0, on obtient les conditions équivalentes

ip(x' ± a) < |jx' ± a||

pour tout x' € M , ou encore, en utilisant la définition de tp,f ix' ) - ||x' — a|| < a < ||x' + aj¡ - f (x' )

pour tout x' € M.Pour l’existence d’un tel a, il suffit done d’établir les inégalités

Vx', x" e M, f(x') - ||x' - a|| < \\x" + a|| - f(x").Or

f i x ' ) + f i x " ) = f i x ' + x"). < ||x' + x"||= ||(x' - a) + (x" + a)||< ||x' - a|| + ||x" + a||,

d’oü la conclusion cherchée.Deuxiéme étape. Si Z est de dimension finie (ou plus généralement si M est de codi

mension finie), alors le théoréme s’obtient par recurrence, en appliquantl’étape précédente un nombre fini de fois. Dans le cas général, considérons la famille de tous les prolonge- ments linéaires de / de norme 1. En identifiant ces formes linéaires avec leurs graphes, on peut appliquer le lemme 2.23 de Zom (p. 37) pour montrer l’existence d’au moins un prolongement maximal <p de norme 1 de / . D’aprés l’étape précédente, il est défini sur X tout en tier. ^

J

JJ-JJ

' J

M i C A

Bibliographie

Tour /« monde écrit et personae ne lit.

L Fejér

[1] J. le Rond d’Alembert, Limite, Encyclopédie DC, Neufchastel, 1765, p. 542.[2] J. W. Alexander, Ordered sets, complexes and the problem o f compactifications, Proc. Nat. Acad. Sci.

U.S.A. 25 (1939), 296-298.[3] C. E. Aull et R. Lowen (éditeurs), H andbook o f the H istory o f General Topology I, Kluwer, Dordrecht,

1997.[4] V. Avanissian, In itiation á Vanalyse fonctionnelle , Presses Universitaires de France, Paris, 1996.[5] R. Baire, S ur les fonctions discontinues qu i se ranachent aux fonctions continues, C. R. Acad. Sci.

Paris 126 (1898), 1621-1623. (Énoncé du lemme 1.12 de Baire dans R.)[6] R. Baire, S u r les fonctions á variables réelles, Ann. di Mat. (3) 3 (1899), 1-123'. (p. 65 : preuve du

lemme 1.12 de Baire dans R.)[7] S. Banach, Sur les operations dans les ensembles abstraits et leurs applications aux équations

intégrales, Fund. Math. 3 (1922), 133-181; [11] Ü, 305-348.[8] S. Banach, Sur les fonctior.nelles linéaires, Studia Math. 1 (1929), 211-216 et 223-239; [11] n, 375-

395.[9] S. Banach, Théoremes sur les ensembles de premiere catégorie, Fund. Math. 16 (1930), 395-398; [11]

I, 204-206. (Lemme 1.12 de Baire dans le cas general.)[10] S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Monografie Matematyczne 1, Warszawa, 1932; [11] ü ,

13-219.[11] S. Banach, Oeuvres /-//, PWN - Editions scientifiques de Pologne, Warszawa, 1967 et 1979.[12] M. E. Baron, The O rigins o f the In fin itesim al Calculus, Pergamon Press, Elmsford, New. York, 1969.[13] B. Bolzano, D e binomische Lehrsatz und ais Folgerung aus ihm der polynomische und die Reihen, die

zu r Berechnung d e r Logarithm en und Exponentialgrossen dienen, genauer ais bisher enviesen, Prag, Enders, 1816.

[14] B. Bolzano, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein ent- gegengesetztes Resultat gewahren, wenigstens eine reelle Wurzel der G leichung liege, Prag, Haase, 1817. Réédité dans Ostwald’s Klassiker derexakten Wissenschaften, No. 153, Leipzig, 1905. Traduction franpaise dans [121]. Voiraussi [118],

[15] E. Borel, Sur quelques points de la théorie des fonctions, Ann. École Norm. Sup. (3) 12 (1895), 9-55. (p. 51 : tout recouvrement ouvert dénom brable d’un intervalle fermé bomé de ¡R admet un sous- recouvrement fini.)

[16] E. Borel, Lecons sur les fonctions de variables réelles et les développements en series de polynómes, Gauthier-Villars, París, 1905. (p. 82 : preuve de la proposition 3.10 si X = C ([0 ,1]) avec la norme supremum et Y est le sous-espace des polynómes de degré < n pour n donné.)

[17] N. Bourbaki, Éléments d ’histoire des m athématiques, Masson, París, 1984.[18] C. B. Boyer, A H istory o f M athem atics, John Wiley and Sons, New York, 1968.[19] H. Brezis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson, Paris, 1983.[20] V. Buniakovsky, Sur quelques inégalités concem ant les intégrales ordinaires et les intégrales aux

différences finies, Mémoires de l’Acad. de St-Pétersburg (vii) 1 (1859), No. 9. (p. 5: inégalité de “Cauchy-Schwarz” pour des intégrales.)

[21] R. Cacciopoli, Un teorema generóle sull'esistenza d i elementi unid in una trasformazione funzionale , Rend. Acc. Naz. Lincei 11 (1930), 794-799.

[22] G. Cantor, Beweis, dass fü r jeden Werth von x durch eine trigonometrische Riehe gegebene Function f ( x ) sich nur eine einzige Weise in dieser Form darstellen lásst, J. reine angew. Math.,72 (1870),139-142; [28], 80-83. (p. 82 : théoréme de Weierstrass sur rextrémum global.)

[23] G. Cantor, Ü ber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie des trigonometrischen Reihen, Math. Arm. 5 (1872), 123-132; [28], 92-101. (pp.'92-98 : construction de 1 cardes suites de Cauchy, points d 'accumulation, intérieur, voisinage.)

62 Bibliographic

[24] G. Cantor, Ü b e r einen Satz a u s d e r Theone des stetigen M annigfaltigkeiten, Gottinger Nachr. 1879, 127-135; [28], 134-138. (p. 135 : points intérieurs, frontiere d’un ensemble.)

[25] G. Cantor, Ü b e r unendliche lineare Punktrnannigfaltigkeiten l , Math. Ann.' 15 (1879), 1-7; [28], 139-___ L45. (p. 140: densité.) ... ....._ ' ___[26] G. Cantor, Ü b e r unendliche lineare Punlctmannigfalrígkeiten V, Math. Ann. 21 (1883), 545-586; [28],

165-208. (pp. 192 et 207 : norme ||-||2 dans Rn et ensemble triadique.)[27] G. Cantor, Ü b e r unendliche lineare Púnktm anhigfaltigkeiten VI, Math. Ann. 23 (1884), 453-488; [28],

210-244. (pp. 217 et 226 : suites décroissantes de boules, ensembles fermés.)[28] G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Springer, Berlin, 1932.[29] H. Cartan, Théorie des filtres, C. R. Acad. Sci. Paris 205 (1937), 595-598.[30] H. Cartan. Filtres et ultrafiltres, C. R. Acad. Sci. Paris 205,(193.7), 777-77J. ___[31] A. L. Cauchy, Cours d 'analyse algébrique, Paris, 182Í; [32] (2) III. (pp. 115-116: critére de Cauchy,

pp. 375-377 : inégalité de “Cauchy-Schwarz”.)[32] A. L. Cauchy, Oeuvres, 22 volumes en 2 series, Gauthiers-Villars, Paris, 1882-1905. .[33] G. Christol, A. Cot et C.-M. Marie, Topologie, Ellipses, Paris, 1997.[34] E. Cech, On bicom pact spaces, Ann. of Math. (2) 38 (1937), 823-844. (Cas général du théoréme 2.22

de Tikhonov.)[35] P. Cousin, S ur les fonctions de n variables complexes, Acta Math. 19 (1895), 1-61. (p. 22 : tout

recouvrement ouvert d’un fermé borne de R2 admet un sous-recouvrement fini.)[36] Á. Császár, Fondements de la topologie genérale, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1960.[37] Á. Császár, Valós anahzis [Analyse rée lle ] l - l l , Tankonyvkiadó, Budapest, 1983.[38] R. Descartes, M anuscrit inédit, 1639, connu par Leibniz en 1675; voir[70] Chapter L, Section 3.

(Énoncé de la formule de polyédre S - .4 + F = 2.)[39] J. Dieudonné, Fondements de / ’analyse modeme, Gauthiers-Villars, Paris, 1963.[40] J. Dieudonné, History o f Functional Analysis, North-Holland,, Amsterdam, 1981.[41] C. H. Edwards, The H is torica l Development o f the Calculus, Springer, New York, 1979.[42] R. Engelking, G eneral Topology, PWN - Polish Scientific Publishers. Warszawa, 1977.[43] L. Euler, Solutio problem atis ad geom etriam situs pcrtinentis, Comm. Acad. Sci. Petrop. 8 (1736),

paru en 1741, 128-140; [46] (1) VH, 1-10. (Probléme des ponts de Konigsberg.) Traduction anglaise dans [92] I, 573-580.

[44] L, Euler, Elem enta doctrinae solidorum , Novi Comm. Acad. Sci. Petrop. 4 (1752-53), paru en 1758, 109-140; [46] (1) XXVI, 71-93. (Énoncé de la formule de polyédre S — A. 4- F = 2.)

[45] L. Euler, Dem onstrado n o n m lla ru m insignium prcprie tatu .iifquibus solida hedris p lañ ís inclusa sunt praedita , Novi Comm. Acad. Sci. Pstrcp. 4 (1752-53), paru en 1758, 140-160; [46] (1) XXVI, 94-108. (Preuve de la formule de polyédre 5 - A + F = 2.)

[46] L. Euler, O pera Om nia, plus de 80 volumes en 4 series, la premiere contenant les travaux mathemaliques, Teubner, Leipzig et Berlin, puisFüssli, Zurich, 1911-.

[47] M. Frechet, S ur quelques points du c a la d fonctionnel. Rend. Circ. Mat. Palermo 22 (1906), 1-74.[48] M. Fréchet, Les dimensions d'un ensemble abstrait, Math. Ann. 68 (1910), 145-168. (p. 161 : idee de

la construction de la proposition 1.16.)[49] H. H. Goldstine, A H istory o f N um erical Analysis fro m the 16th Through the 19th Century, Springer,

J New York, 1977.[50] C. F. Gauss, Theoria M otus coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, Hamburg, 1809.[51] H. Grassmann, D ie lin eale Ausdehnungslehre, Veriag von Otto Wigand, Leipzig, 1844; [53], I \ , 1-

319.[52] H. Grassmann, D ie Ausdehnungslehre, Veriag von Th. Chr. Fr. Enslin, 1862; [53] I 2 , 1-383. (p. 5 :

idee de R T p: 29 : produit scalaire en coordonnés.)[53] H. Grassmann, Gesammelte mathemansche und physikalische Werke I-I I I , Teubner, Leipzig, 1894-

1911.[54] H. Hahn, Ueber Folgen linearer Operationen, Monatsh. Math. Phys. 32 (1922), 3-88.[55] H. Hahn, Ueber lineare Gleichungsrysteme in linearen Rdumen, J. reine angew. Math. 157 (1927),

214-229.[56] E. Hairer et G. Wanner, L'analyse a u f i l de i ’histoire. Springer, Berlin, 2001.[57] F. Hausdorff. Grundziige der Mengenlehre, Veriag von Veit, Leipzig, 1914.[58] F. Hausdorff, Ü ber halbstetigen Funkrianen und deren Verallgemeinerung, Math. Z. 5 (1919), 292-

309. (Preuve élégante du théoréme de Tletze.)[59] E. Heine, ü b e r trigonometrischen Reihen, J. Reine angew. Math. 71 (1870), 353-365. (p. 361 :

définition de la continuité uniforme.)

O J

[60] E. Heine, D ie Elem ente der Funktionenlehre, ]. Reine angew. Math. 74 (1872), 172-188. (p. 188: idée des sous-recouvrements finis.)

[61] E. Helly, Ü b e r lineare Funktionaloperationen, Sitzber. Akad. Wiss. Wien 121 (1912), 265-297. (Théoréme de “Hahn-Banach” dans C { [ a , 6J); preuve valable dans tout espace normé separable. Voir aussi [63].)

[62] T. H. Hildebrandt, The Borel theorem and its generalizations, Bull. Amer. Math. Soc. 32 (1926), 423-474.

[63] H. Hochstadt, Eduard Helly, fa th e r o f the-Hahn—RanadLshennem, Math. Intelligencer 2 (1979), 3, 123-125.

[64] E. Hewitt et K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer, Berlin, 1.965.[65] D. Hilbert, Grundziige e iner allgemeinen Th eo rieder linearen In tegralg le ichungenlV , Gotting. Nachr.

8 (1906), 157-227. (Definition de l’espace de Hilbert.)[66] O. Holder, U eber einen M ittelw erthsatz, Gotting. Nachr. (1889), 38-47.[67] C. Jordan, Cours d 'analyse de l ’École Polytechnique I. (p. 18 : norme j|-||i sur K” )[68] J. Kelley, G en era l Topology, Van Nostrand, New York, 1957.[69] P. Kirchberger, Ober Tchebychefsche Annahemngsmethoden, Math. Ann. 57 (1903), 509-540. (Preuve

de la proposition 3.10 si X = C ([0 ,1]) avec la norme supremum et Y est le sous-espace des polynómes de degré < n pour n donné.)

[70] M. Kline, M athem atica l Thought fro m Ancient to M o dem Times, Oxford University Press, New York. 1972.

[71] A. N. Kolmogorov et S. V. Fomine, Eléments de la theorie des fonctions et de Tanalyse fonctionnelle, Mir, Moscou, 1974 et Ellipses, Paris, 1995.

[72] K. Kuratowski, La propriété de Baire dans les espaces métriques, Fund. Math. 16 (1930), 390-394. (Lemme de Baire 1.12 dans le cas général.)

[73] K. Kuratowski, Quelques problemes concem ant les espaces métriques non-séparabies, Fund. Math. 25 (1935), 534-545.

[74] K. Kuratowski, Topologie 1-11, Warszawa, 1948-1950.[75] J. L. Lagrange, Sur la resolution des equations numé tiques, Mem. Acad, royale des Sciences et Belles-

Lettres de Berlin 23 (1769); [77] 13, pp. 539-578. (p. 541-542 : théoréme des valeurs intermédiaires pour des polynómes ou des fonctions analytiques.)

[76] J. L. Lagrange, Solutions analytiques de quelques problemes sur les pyram ides triangulaires, N'ouv. Mém. Acad. Berlin 1773; [77] in. (pp. 662-663 : inégalité de “Cauchy-Schwarz” pourn = 3.)

[77] J. L. Lagrange, Oeuvres I -X IV , Gauthiers-Villars, Paris, 1867-Í 882.[78] P. Lax. Change o f variables in m ultiple integrals, Amer. Math. Monthly 106 (1999), 497-501.[79] H. Lebesgue, Intégrale, longueur, a ire , Ann. Mat. Pura Appl. (3) 7 (1902), 231-359; [82] I, 201-331.

(p. 242 : ensemble ouvert.)[80] H. Lebesgue, Legons sur T in tég ration et la recherche des fonctions prim itives, Paris, 1904; [82] II, 11-

154. (p. 105 ; tout recouvrement ouvert d’un intervalle fem e bomé de E admet un sous-recouvrement fini.)

[31] H. Lebesgue, Sur le problém e de D irich le t, Rend. Circ. Mat. Palermo 24 (1907), 371-402; [82] IV, 91-122. (pp. 99-100 : cas particulier du théoréme de Tietze dans ¡R?.)

[82] H. Lebesgue, Oeuvres scientipques T V , Université de Geneve, Geneve, 1972-73.[83] A. M. Legendre, Nouvelles méthodes p o u r la détermination des orbites des cometes; Appendice sur

la méthode des moindres carrees, Paris, 1805.[84] E. Lindelof, Sur quelques points de la théorie d e i ensembles, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math.

137 (1903), 697-700. (Tout recouvrement ouvert d'une partie de ¡R" admet un sous-recouvrement dénombrable.)

[85] R. Lipschitz, D isam ina d e lla possibilitá d ’integrare completamente un dato sistema di equazioni dif- fe ren zia li ordinarie, Ann. Mat. Pura Appl. (2) 2 (1868-69), 288-302.

[86] R. Lipschitz, Sur lap oss ib ilité d ’intégrer compl'etement un systems donnéd'équaiions différentielles, Bull. Sci. Math. Astr. 10 (1876), 149-159. (Traduction francaise de [85].)

[37] J. H. Manheim, The Genesis o f Point Set Topology, Oxford, 1964.[88] C. Meray, Nouveau précis d 'analyse infinitésim al, Paris, 1872. (K comme completé de Q.)[89] J. Milnor, A nalytic proofs Of the "hairy b a ll theorem ” and the B rouwer fixed-po int theorem, Amer.

Math. Monthly 85 (1978), 521-524.[90] H. Minkowski. G eom etrie d e rZ ah len I, Leipzig, 1896. (pp. 115-117 : inégalité de Minkowski.)[91] E. H. Moore et H. L. Smith. A general theory o f limits, Amer. J. Math. 44 (1922), 102-121.[92] J. Newman (editor). The W orld o f M athem atics /-/V, Dover, New York, 2000.

64 Bibliographic

[93] W. Osgood, Non uniform convergence and the integration o f series term by term, Amer. J. Math. 19 (1897), 155-190. (pp. 163-164: argument du type de Baire.)

[94] G, Feano, Intégration par sé ríes des equations différentielles linéaires. Math. Ann. 32 (1888), 450-_____456: T961 1, 83-90. (p. 450 : K M . — ~ ....... ...... ■ ■ ■ _____.______

[95] G. Peano, Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles linéaires, Math. Ann. 37 (1890), 182-228; [96] I, 119-170. (p. 186: normes sur E " .)

[96] G. Peano, Opere scelte I-IH, Edizioni cremonese, Roma, 1957-1959.[97] M. Picone, Lezioni di analisi infinitesimale, Circolo matemático di Catania, 1923.[98] H. Poincare, Analysis situs J. École Polyt (2) 1 (1895), 1-121. (p. 9 : notion de l’homéomorphisme.)[99] L. S. Pontrjagin, Foundations o f Combinatorial Topology, Grayiock, Rochester, 1952.J1001 B. Riemann, Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen [Sur les hypotheses

qui servent de base á la Céométrie], Habilitationsschrift, 1854, Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen 13 (1867); [102], 254-269 et [103], 280-299. (“Nais- sance” de la topologie. )

[101] B. Riemann, Theorie der Abel'schen Functionen, J. reine angew. Math. 54 (1857); [102], 88-142 et [103], 89-162. (pp. 91-92 : “Naissance” de la topologie.)

[102] B. Riemann, Werke, Teubner. Leipzig, 1876.[103] B. Riemann, Oeuvres mathématiques de Riemann, Gauthiers-Villars,'Paris, 1898.[104] E Riesz, A térfogalom genezise I [La génése de la notion d ’espace I], Math, és Phys. Lapok

15 (1906), 97-122 et 16 (1907), 145-161; [112] I, 67-109. (Définition de 1’espace topologique, de ¡’adherence, des ensembles connexes.)

[105] F. Riesz, Die Genesis des Raumbegriffes, Math. u. Naturwiss. Berichte aus Ungarn 24 (1907), 309- 353; [112] I, 110-154. (Traduction allemande de [104].)

[106] F. Riesz, Sterigkeitsbegriffund abstrakte Mengenlehre, Atti del IV. Congr. Intemaz. dei Mat. Roma 2 (1908), 18-24; [112] I, 155-161.

[107] F. Riesz, Sur certains systémes d ’equations fonctionnelles et l ’approximation de fonctions continues, C. R. Acad. Sci. Paris 150 (1910), 674-677. (Énoncé de la proposition 3.3.)

[108] F. Riesz, Untersuchungen liter Systeme integrierbar Funktionen, Math. Ann. 69 (1910), 449-497. (Proposition 3.3.)

[109] F. Riesz, Lineáris fiiggvényegyenletekról [Sur des équations fonctionnelles linéaires]. Math, és Term.-tud. Ért. 35 (1917), 544-579; [112] ü , 1017-1052. (Définition de la norme.)

[110] F. Riesz, Uber lineare Funkiionalgleichungen, Acta Math. 41 (1918), 71-98; [112] II, 1053-108C (Traduction allemande de [109]. Preuve de la proposition 3.10.)

[111] F. Riesz, Su alcune disuguglianze. Boll. dell’Unione Mat. Ital. 7 (1928), 77-79; [112] I, 519-521. (Preuves simples des inégalités de Holder et de Minkowski pour les intégrales.)

[112] F. Riesz, Oeuvres completes l-II, Akacémiai Kiadó, Budapest, 1960.[113] L. J. Rogers, An extension o f a certain theorem in inequalities. Messenger of Math. 17 (1888), 145-

150. (Inégalité de “Holder”.)[ 114] C. A. Rogers, A less strange version ofM ilnor’s proof o f Brouwer's fixed-point theorem, Amer. Math.

Monthly 87 (1980), 525—527.[115] A. Rosental et L. Zoretti, Die Punktmengen, Encyldopadie der Mathematischen Wissenschaften, II

C 9a Leipzig, 1924.[116] W. Rudin, Principes d ’analyse mathematique. Intereditions, Paris, 1995.[117] W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Interéditions, Paris, 1995.[118] S. Russ, Bolzano's analytic programme. Math. Intelligencer 14 (1992), 3, 45-53.[119] H. A. Schwarz, Ueber ein die Flachen kleinsten Fldcheninhalts betreffendes Problem der Varia-

tionsrechnung, Acta soc. Scienr. Fenn. 15 (1885), 315-362; [120] I, 223-269. (p. 251 : inégalité de “Cauchy-Schwarz”.)

[120] H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen l-ll. Springer, Berlin, 1890.[121] J. Sebestik, Bernard Bolzano et son mémoire sur le théoréme fondamental de l ’analyse, Revue

d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications 17 (1964), 136-164.[122] L. .A. Steen et J. A. Seebach. Jr., Counterexamples in Topology, Dover, New York, 1995.[123] P. Szász, A dfferenciál- és integrálszámítás elemei [Elements du calcul dfférentiel et integral] l-ll,

Kozoktatásügyi Kiadóváüaiat, Budapest, 1951:[124] H. Tietze, liber Funktionen. die aufeiner abgeschlossenen Menge sterig sind, J. reine angew. Math.

145 (1910), 9-14. (Prolongement des fonctions continues données sur une partie bornée d ’un espace métrique. Voiraussi Hausdorff 1919.)

[ 125] H. Tietze et L. Vietoris, Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen der Topologie, Encyk- lopadie der Mathematischen Wissenschaften, III AB 13, Leipzig, 1930.

[126J A. Tikhonov, Über die topologische Enveiterung von Rdumen, Math. Ann. i02 (1930), 544-561.(Théoréme de Tikhonov pour le produit de copies de R )

( 127J A. Tikhonov, Ein FLxpunktsatz, Math. Ann. > 11 (1935), 767-776. (Théoréme de Tikhonov expiicite- ment énoncé sur les produits et normes équivalentes en dimension finie.)

[128] P. Urysohn, Über die Machtigkeitder zusammenhangendenMengen, Math. Ann. 94 (1923), 262-295.(Généralisation du théoréme de Tietze aux espaces topologiques normau.x.)

[! 29] K. Weierstrass, Zur Theorie der Potenzreihen, manuscrit de 1841, publié dans iVfathematische Werke /, Mayer & Müller, Berlin, 1894, 67-74.

[130] K. Weierstrass, Differential Rechnung, Vorlesung an dem Koniglichen Gewerbeinstitute, manuscrit de 1861. tapé par H. A. Schwarz, Math. Bibl. Humboldt Ifniversitat Berlin.

[131] K. Weierstrass, Theorie der analytischen Funktionen, Vorlesung an der Univ. Berlin 1874, manuscrit rédigé par G. Valentin, Math. Bibl. Humboldt Universitát Berlin.

[132] W. H. Young, On classes of summable functions and their Fourier series, Proc. Royal Soc. (A) 87 (1912), 225-229.

[133] W. H. Young, The progress o f mathematical analysis in the 20th century, Proc. London Math. Soc. (2) 24 (1926), 421-434. (Surl’histoire du “lemme de Baire".)

[134] M. Zom, A remark on a method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 41 (1935), 667-670.

- O

" oo0 . )0 . )

:oj )

■ .0 :o ' o , 0

o

' o

r^\.0

j )

~ )

1)y^y

J

J)

J

■ J

)J~\' J

.),-s)

'-;) -J

-4

0

P a r t i e 2

Calcul différentiel

-Kepler (1615) et Fermat (1638) ont observé essentiellement que si une fonction / a un extremum local en un point a, alors / '(a ) = 0. Euler (1744) et Lagrange (1759, 1788) ont généralisé ce résultat pour les fonctions de plusieurs variables et au cas des extremums liés_______ _______ _ - _______________ _______________________ _______

Suivant son exposé de la géométrie analytique dans sa Géométrie (1637), Descartes a étudié des fonctions implicites comme la “feuille de Descartes” (1638). Aprés Farrivée de l ’ére de rigueur de Weierstrass, Dini (1878) a donné une démonstration complete de l ’existence de fonctions implicites. ~ -

Les dérivées partielles apparaissent déjá dans les travaux de Newton et Leibniz vers 1670-1680. M otivé par ses recherches en mécanique, Newton (1671) a puhlié la solution de l’équation différentielle x‘ — 1 — 3t 4- x 4 t2 + tx. Par la suite Leibniz, Jacques et Jean Bernoulli, Euler, Lagrange et d ’autres ont résolu de nombreuses équations différentielles.- En utilisant les solutions approchées d’Euler (1768), Cauchy (1824) a démontré l ’existence et l'unicité des solutions des équationsV = f (t , x ) sous l ’hypothése dé la continuité de / et de df / d t , mais il lui fut interdit de le publier. (Voir [15], p. XIX.)

Lipschitz (1868) a redécouvert ce théoréme, sous des hypotheses plus faibles.. Peano (1888) a donné une nouvelle démonstration, basée sur des approximations successives. Cette méthode, remontant jusqu’á Cauchy (1824 ?) et Liouville (1837), est devenue po- pulaire aprés les travaux de Picard (1890), Bendixson (1893) et Lindelof (1894).

Peano (1886,1890) a démontré l ’existence des solutions sous Iaseule hypothése de la continuité de / .

Lagrange (1797) et Cauchy (1821) ont généralisé la formule de Taylor (1715) pour les fonctions de plusieurs variables. Peano (1884) a trouvé une version plus commode.

Stolz (1887) a défini la dérivée d’une fonction / : R™ —y Rn au sens actuel. Elle se répandait de plus en plus sous 1’influence de Fréchet. En précisant des observations d’Euler (1734, 1755), Schwarz (1873) et Young (1910) ont montré que les dérivées d’ordre supérieur sont des formes multilinéaires symétriques.

Voir par exemple [9], [10], [11], [22], [51], [52], [62] et [109] pour plus de détails.On trouve un grand nombre d’exercices et des théorémes additionnels par exemple

dans les Iivres [2], [12], [19], [21], [26], [28], [39], [53], [63], [96], [102], [106].Void quelques différences par rapport á d’autres traités courants du calcul différentiel:Une définition équivalente de la dérivée (formule (4.3), p. 70), due á Carathéodory,

simplifie la preuve des propositions 4.2 (fonctions composées, p. 72), 4.8 (p. 78), du théoréme 7.4 (inversion locale, p. 119), ...

L’application du théoréme de Hahn—Banach permet de donner des preuves simples et intuitivos des théorémes des accroissements finis et des développements limités. On obtient mémé des versions optimales, plus fortes que d’habitude. (L’utilisation de Hahn- Banach peut étre évitée dans les cas hilbertiens comme R^- : la proposition 3.18 sufñt.)

Nous présentons une preuve simple du théoréme 5.6 (p. 85) de Schwarz-Young dans un cas particulier. La démonstration simple de la proposition 5.18 (p. 94) sur le caractére lipschitzien des fonctions convexes est également peu connue.

Avant de traiter le cas général, nous démontrons le cas scalaire des théorémes de fonctions implicites et de multiplicateurs de Lagrange par une méthode courte et intuitive (paragraphes 7.1-7.2, pp. 113, 117). lis sont suffisarits pour beaucoup d’applications.

Chapitre 4 Dérivée

J ’ignore sous quel aspect je puis apparaítre au monde; mais, á moi-méme, je mefais I 'ejjet de n ’avoir pas été autre chose qu 'un garcon jouant sur le rivage, et m 'amusant de temps á autre á trouver un caillou plus poli ou un coquillage plus joli qua l'ordinaire, tandis que le grand océan de la vérité se déroulait devant moi sans que je le connusse.

I. NewtonDans ce chapitre, X , Y , Z sont des espaces normés quelconques. Néanmoins, en

premiere lecture, il est conseillé de penser que X = MíV ou méme X = R, pour comprendre la portée des résultats. Nous n’insistons pas dans ce volume sur les aspects particuliers des espaces de dimension infinie : nous utilisons ce cadre général plutót parce que la plupart des résultats et démonstrations restent valables, et les notations deviennent ainsi plus simples.

On écrira souvent / : X c—¥ Y au lieu de / : D -4 Y s’il n’est pas' nécessaire de préciser le domaine D C X d’une fonction / .

4.1 . D e f in it io n s e t p ro p r ié té s é lém e n ta i r e s

f{x) - f(a)La définition

/'(a ) = limr-va x — a

de la dérivée d’une fonction / : R c->- ¡R (voir la figure 4.1) se cas d’une fonction á valeurs vectorielles / : R Y

généralise facilement au Par contre, la fraction n’a pas de

sens pour une fonction / : 1 4 7 a variable vectorielle si dim X > 1. Pour trouver une généralisation raisonnable de la dérivée, donnons d’abord deux nouvelles définitions équivalentes de la dérivabilité d’une fonction / : l 4 &

Figure 4.1. Notion de la dérivée

70 Dérivée

Soit done / : D

(4.1)

M , Z 7 c K , a € Z 7 e t 4 € l ^ - Notons que f (x) - /(a )—----------— —~ A lorsque x —> a

si et seulement si

(4.2)j/(a + h) - /(a ) - Ah\

\h\-> 0 lorsque h -r 0.

La relation (4.1) est aussi équivalente á l’existence d’un prolongement cantina en a de la fonedon------------------.— . ----------_ . . f { x ) . - f ( a ) --------- - . , -------- -

X ‘—)• ------------------ .x — a

Autrement dit, (4...1) est équivalent á ¡’existence d’une fonedon u : D -» R, continue en a et vérifiant l’identité

(4.3) f ( x ) ~ f { a ) = u ( x ) ( x - a ) .

Dans (4.2), on peut identifier le nombre A avec 1’application linéaire h Ah de L (R ,R) d’aprés la proposition 3.16 (p. 57). Toujours d’aprés certe proposition, dans(4.3) , Ja fonction u peut aussi étre considérée comfne une fonction u : IR L(R, R). Sous cene forme ces relations ont un sens pour une fonction / : X t-> Y quelconque, et elles restent équivalentes:

Proposition 4.1. Soit f : D —> Y (D C X ) et c, G D. Alors les trois propriétés suivantes sont équivalentes :(a) il existe A G L{X, Y) tel que

| |/ ( a + h) - /(a ) - Ah\\(4.4)

\M-> 0 lorsque ||/i|| — 0; 1

(b) U existe une fonction u : D continue en a et vérifiant-1 ’identité

(4.5) f (x) - /(o ) = u(x)(x — a ) ;2

(c) il existe une fonction u : D —r L(X, Y), définie dans un voisinage D C D de a, continue en a et vérifiant l ’identité (4.5).De plus, (a) implique l ’existence d ’une fonction u vérifiant (4.5) et u(a) = A, et (b),

(c) impliquent (a) avec A = u(a).

Preuye.(b) ==> (c) est évidente.

(c) =$> (a). On a

||/(a + h) - /(a ) - u(a)/i|¡ _ || (u(a + h) - n(a))7i||' \M " M

D’aprés la continuité de u en a, le dernier terme tend vers záro pour k 0, d’oü (a) avecA = u{a).

< ||i¿(a + h) — u(a)||.

(a) ==> (b). Pour € D fixé quelconque, il existe p G X ' (dépendant de x) telle que

IMI = 1/11* “ “ II et - a) = i-

^to iz i887,Fréchet 1910.‘Hadainard 1903, Carathécdory i 950.

(Appliquer le corollaire 3.20, p. 58, avec c = x — a et diviser la forme obtenue dans par ||c||2.) Définissons

u{x)h = Ah + (p(h)(f(x) - }(a) - A ( x - a)), h € X,

alors u(x) € L(X, Y ) et u(x)(x — a) — f (x) — f(a). Done (b) est vérifié.Définissons finalement u(a) = A. Alors la fonction u : D -> L(X, Y ) est continue

en a. En effet, pour A € X fixé quelconque on a

|| («(*) - u(a))ftj| = ||y?(A)(/(x) - /(a ) - A{x — a))||

< M ' IWI ’ \\f ix) ~ /(o') - ~ a)||,d’ou

||u(x) - u(a)|| < |MI • Il/(x) - /(a) - A ( x - a)|| = il/ ( *) ~ / (a) ~ ~ a)|l ,IF ~ a ll

D’aprés (a), pour x —> a le second membre tend vers zéro. Done u(x) —> tr(a). □

On exprime souvent la relation (4.4) en écrivant

(4.6) / ( g + A) == / ( g ) + Ah + o(A), A —> 0.

Cette formule met en évidence le sens intuitif de la dérivée : approximation linéaire locale de / au voisinage de a.

Remarque. La fonction u n ’est pas unique si dim X > 1. Un exemple nature! est donné á la fin du chapitre (p. 80).

Definitions. Soit / : D —?• Y {D C X).s / est derivable en a £ D si elle est définie dans un voisinage de a et si l’une

des trois propriétés équivalentes (a), (b) et (c) de la proposition 4.1 est vérifiée. L’application A est appelée la dérivée ou la dijférentielle J de / en a et. elle est nctée

s En désignant par D C D l’ensemble des points’a oü / est dérivable, on définit la fonction dérivée f : D -4 L(X, Y) par la formule a i-4 f ' (a).

9 / est dérivable si (son domaine D est ouvert et si) elle est dérivable en tout a € D.

o / est de classe Cl si elle est dérivable et si / ' : D —v L(X. Y) est continue (partout).

Remarques.e Ni la dérivabilité de / ni la vaieur de la dérivée f ' (a ) ne changent si la norme de

X ou de Y est remplacée par une norme équivalente. a On aurait pu définir la dérivabilité sans exiger que / soit définie dans un voisi

nage de a. (Comparer avec la limite d’une fonction.) La définition adoptée ici simplifiera l’énoncé de nombreux résultats par la suite.

« Dans les applications la propriété (a) est la plus facile á vérifier. Par contre, la propriété (b) est tres commode pour démontrer les théorémes de base,

s Dans le cas particulier X — ¡R on peut identifier L(R, Y ) avec Y (voir la proposition 3.16, p. 57) et considérer la dérivée f '{a) comme un vecteur de Y. On vérifie sans peine que dans ce cas

/'(a ) = limx —ya

f (x) - / ( a ) . x — a

JDans les autres volumes cette collection on distingue les notions de la dérivée et de la différentielle. Nous les considérons dans ce livre comme des synonymes.

72 Dérivée

En partieulier, pour X = Y- — M on retrouve la dérivée habituelle d’une fonction / : M c—r.RL

Examples.® Pour y £ Y fixé, la fonction constante / : X -4 F définie par f (x) he y esí

dérivable et / '(a ) -= 0 pour tout a. € X. En effet, le numérateur de la fraction dans (4.4) est identiquement nul.

e> Soit / 6 L(X. Y). Alors / est dérivable et / ' : X -4 L(X, Y) est la fonction constante f ( a ) — f pour tout a •€ X . En effet, grace a la linéarité de / , le numérateur de la fraction dans (4.4) esí de nouveau identiquement nul.

—• - Soit-co--X-x-Y—t ^-une-appHcatíon-iSwéafre-S-il existe une constante M > 0 telle que

Vx € X , 'iy £ Y, \\<p(x,y)\\2 < M\\x\\x \\y\\Y ,alors ip est dérivable et <p' X x Y —y L ( X x Y, Z) est une application linéaire continue, donnée par la formule

ip' (z,y)(h,k) — p{x,k) 4-¡p(h,y), (x , y ) , ( h , k ) € X x Y.La vérification est laissée au lecteur. (On montrera dans le lemme 5.1 (p. 81) que [’existence de M est équivalente á la continuité de <p.)

Proposition 4.2.(a) Si f est dérivable en a, alors elle esí continue en a.(b) Si f est dérivable en a, alors on a

(4.7) iimt - f o

j ja-r ih) - / ( q) í

f ' (a)h

pour tout h € X . Par conséquent, la dérivée /'(a ) est unique.(c) L’application f t-4 / '( a ) est linéaire. Autrement dit, si f\ g : X c—> Y sónt dérivables

en a-et-sist-, € 38, alors a f 4- j3g Y est-dérivable en-ay-et-(a f - 0 g )\a ) = af' (a) +$g'{a).

(d) Si f : I h * 8 et g : X ^4 y .sorcr dérivables en a, a/ors / g : X Y est dérivable en a, et

( fg) ' ia)h = (f ' (a)h)g{a) 4- f(a)g'(a)h pour tout h € A’.

(e) Si g : X Y est dérivable en a et f : Y r—± Z est dérivable en g(a), alors j o e : X '-4 E est dérivable en a, et

(/°s)'W =y'(5(a))5'(a)-

(/) Si g : X Y et f ' .Y '—r Z sont dérivables, alors f o g : X Z est dérivable.(g) Si g : X ^ Y et f : Y '-4 Z sont de classe C1, alors f o g : X '—r Z est de classe“ C \

Preuve.(a) On déduit de (4.5) que

II /!» - /(a ) || < ![t*(ar)|| • ¡|x - a]|.Si x n -4- a, alors a ( i) -4 u(o). Done ||u (in)|¡ • ||sn — a|| -4 0, et on déduit de l’inégalité précédente que f ( x n) -4 f(a).

(b) On applique l’idendté (4.5) avec x = a 4- th et on utilise l’égaiité u(a) = f'(a).(c) La fonction a f +(3g est définie-dans ’intersection des domaines de / et gj.d’apres

les hypotheses c’est un voisinage de a. Toujours d’aprés les hypotheses, il existe deux fonctions u ,v : X L(X,Y) , continues en a, telles que

f ( x ) - f (a) = u ( x ) ( x - a ) et g(x) - g(a) = v(x)(x - a)dans un voisinage de a. On en déduit que

( a f 4- /3g)(x) - (af 4- /3g)(a) = (au(x) + Pv(x)){x - a).dans ce voisinage. Comme au 4- J3v X L(X, Y) est continue en a d’aprés la proposition 3.4 (p. 49), a f + ¡3g est dérivable en a et

( a f 4- fig)1 (a) = (au + fiv)(a) = qu(o) + /3v(a) = af ' (a) + Pg'(a).(d) Comme dans (c), f g est définie dans un voisinage de a. E existe deux fonctions

u : X Y ’ L(X, E) et v : X ^ L(X, Y), continues en a, telles quef ( x ) - f ( a ) = u ( x ) ( x - a ) et g(x) - g(a) = v(x)(x - a)

dans un voisinage de a. On en déduit que

(-/p)(z) - ( fg}(a)=f (x) (g(x) - g(a)) 4- (f(x) - f(a))g(a)— f(x)v(x)(x — a) 4- (u(x)(x — a))g(a) w(x)(x — a)

dans ce voisinage. On verifie sans peine que w est continue en a. Done f g esf dérivable en a et

(fg)'(a)h — ( / ' (a)h)g(a) 4- f(a)g'(a)h pour tout h € X.(e) Le domaine de / o g est donné par D(g) O g~l (D(f)). En utilisant la continuité

de g en a, on vérifie aisément que e’est un voisinage de a.D’aprés les hypotheses, il existe une fonction v : X «-4 L(X, Y), conünue en a et

vérifiant i’identitég(x) - g(a) = v(x)(x - a)

dans un voisinage de a, et une fonction u : Y e-h L(Y, Z), continue en g(a) et vérifiant 1’ i den ti té

f{y ) ~ f Í 9 {o)) = «(y)(» - 9(a))dans un voisinage de g(a). On en déduit que

/($(*)) ~ f (s(a)) = v(g(x))(g(x) - g(a)) = u(g(x))v(x)(x - a) dans un voisinage de a. Done

( / ° 2 )0 ) - ( / ° 2 )0 ) = “ 0 ) 0 ~ a) .avec

w(x) = u(g(x))v(x) e L(X, Z ).De plus, la fonction composée w = tpo (uog, u)-(ici <p est l’application bilinéaire continue introduite dans la proposition 3.15, p. 57)'est continue en a. d’aprés la proposition 1.5 (p. 9). Par conséquent, ( / o g) est dérivable en a, et

( fog) ' (a) = w(a) = u(g(a))v(a) = f (g(a))g’(a).(f) On applique le résultat précédent á chaqué point a du domaine de g.(g) D’aprés la propriété précédente, / o g est dérivable; il reste á montrer que ( / o g)'

est continue. Or ( / o g)‘ = ip ó ( / ' o g, g') est composée des fonctions continues, et on peut appliquer la proposition 1.6 (p. 10). D

Derives

Remarques.o La limits dans (4.7) est appelée la dérivée de f en a dans la direction h. 4 Ainsi,

une fonction dérivable est aussi derivable dans toute direction. Des exemples ci- dessous montrent que la reciproque est fausse en général. Nous donnerons pius tard (proposition 4.10, p. 79) une condition suffisante pratique de la dérivabilité en utilisant les dérivées directionnelles.

* La formule de la dérivée d’une fonction composée / o g se simplifie si / est une application íinéaire continue. En effet, comme f ' (g(a)) = / , on a

( / = # ) = f ° 9 '(a) = fg'(a).—— -0n-utilisera scuvenrcette remarque par la suite.Exemples.

» Soit H un espace euclidien et A € L(H, H) une application Íinéaire continue. Alors la forme quadratique associée f : H —¥ M définie par f (x) = (A x , x) est dérivable.

Pour írouver sa dérivée en un point donné a £ H, calculóos d’abord les dérivées directionnelles par la formule (4.7). Pour a,h t H fixés quelconques, on af (a + th) - f ía)

lim¡--o t — lira/-Aa, n.) + (Ah, a) 4- t(Ah, n) — (.4.0, h) + (Ah, a).

Done la dérivée, si eile existe, est donnée par la formule

f \ a ) h = (Aa, h ) + (Ah, a), a, h € H.II reste á verifier la relation (4.4). On a

1 f ( a -f h) — f (a) - (.4a, h) — (Ah, a)| | (Ah, ñ)|< ||AA|| < ||A|| • ({*¡1,

11*11 11*11 et la demiére expression tend vers 0 iorsque h tend vers 0 dans H.

« La fonction f : R2 —> 3? définie par

,, . 1 st x: > 0 et sa = z?.; ( s i . s 3) = <

(0 ailleurs

es: dérivable en 0 dans toute direction (et toutes les dérivées directionnelles sont égaies á 0), rnais elle n’est pas derivable, parce qu’eile n’est méme pas continue en 0,

• La fonction / : R2 —* R définie par /(0 ,0 ) = 0 et^ _22~---2 SI a-’l ri- 3T5 > 0^ “ 7 “ -If n

est continue en 0 et dérivable en 0 dans toute direction. Néanmoins, elle n’est pas dérivable en 0. . ... . .

. Comme pour les fonctions á variable réelle, la dérivée est tres utile aussi pour chercher ¡es extréma iocaux des fonctions á variable vectorielie. Par symétrie, nous n’étudions que le cas de minimum.

Definition. Une fonction / : D -» R (D C X ) a un minimum local en a E D s’ii existe r > 0 tel que f ( x ) > /(a ) pour tout x 6 D fl 3 r(a).

Proposition 4.3, Si f admet un minimum ¿ocal en a et est dérivable en a, alors f ( a ) = 0. 4 5

4Gáteaux 1913.5Oresme 1361?, Kepler 1615, Fermat 1633, Newton 1665.

Figure 4.2. Dérivée en Figure 4.3. Accroisse-un point de minimum ments ñnis

Preuve. On fixe h € X quelconque. En utilisant le fait que /(a ) est un mínimum, et la définition de la dérivé, pour t -4 0 on a

f (a) < f ( a + th) = f ( a ) + t f '{a)h + o(f).

(Voir la figure 4.2.) Pour í > 0, on en déduit que

0 < f ' ( a)h + o(l)-F.n faisant tendre t vers 0, on trouve que f '{a)h > 0. En remplacant h par —h, on a aussi —f' (a)h > 0. Done f ( a ) h = 0 pour tout h € X. □

4.2. Théoréme des accroissements finis

Le théoréme classique dé Rolle 6 se généralise facilement aux fonctions de variable vectorielle :

Proposition 4.4. (Théoréme des accroissements finis 1) Soit f : X —> R dérivable en chaqué point d ’un segment [a, 6] C X . R existe c G]a. b[ tel que

(4.8) f(b) - f ( a ) = f'(c)(b - a).

La notation c e]a, 6[ signifie que c = ta — (1 — t)b pour un rée! 0 < t < 1 convenable. (Voir la figure 4.3.)

Remarque. La proposition ne reste pas valable pour les fonctions á valeurs vectó- rielles. Par exemplepour f{x) := (cosx,,sinx).on a

|f ' (x)\ = |(— sinx, cosx)| = 1

pour tout x. Comme / ( 2n) - /(O) = 0, Fégalité / ( 2tt) - /(0) = 2tr/ '(z ) n ’est vérifiée pour aucun x.

Preuve. Posons ¿(t) — (1 — t)a + tb. La fonction composée / o ü est dérivable sur [0,1], En appliquant le théoréme classique des acroissements finis, il existe 0 < t < 1 telque ....... ■_:—_ _ _ _ _ ( / o O ( l ) - ( / o ¿ ) ( 0 ) = (/o ¿ ) '(f) .

6Rclle 1690.'Lagrange 1797. La proposition et je théoréme suivant restent valables, avec !a.mente preuve, sous

1’hypoth.ése légérement plus faible que / est continue, sur-fo. 6] Sf dérivable sur ]a, b[. Cette version du théoréme de Rolle et sa preuve habituelle sont dues á BonneCvoir [105].

De maniere equivalente,

m i ) ) - m o ) = r m ) ( b - a )

d’oü (4.8) avec c = ¿(t). □Voici deux versions affaiblies (mais toujours útiles) cíe la proposition precédeme, va-

labies aussi pour les fonctions a valeurs vecíorielles :

Theorems 4.5. (Théoréme des accroissemenís finis) Soit f : X <—> Y derivable en chaqué point d ’un segment [a, 6] C X . II existe xx, X2 €]a, 6[ tels que

En appliquant la proposition precédante á -a)|! < |MI • ||/ '(* ) || • II* — *»ll. en en déduit (4.9) parce que j¡¡! < 1.

En appliquant (4.9) á la fonction x f (x) — f ' (a)x au lieu de f , on obtient (4.10).□

Donnons queíques applications.

Corollalre 4.6. Soit D C X un ouvert connexe, et f : D —r Y une fionction derivable. Si f = 0 dans D, alors f est constante.

Preuve. Pour a,b £ D quelcortques, d’aprés la proposition 3.6 (p. 51) il existe une ligue brisée L = Uf=1[x¿_;, x¿] dans D telle que xc = o. et x„ = b. Comme / '(x ) ~ 0, en appliquant Testimation (4.9) a chaqué segment [x¡_!, x¡] on obtient que

Soit U un ouvert non vide de X et considérons une suite de fonctions dérivables f n : U —¥ Y . Supposons qu’il existe deux fonctions / et g telles que

Peut-on conclure que / est dérivable et f'. — g l

‘ Exemplé. (Voir [43].) Considérons la fonction /(x ) := x /( l + x2), x 6 R; voir ¡es figures 4.4 et 4.5 pour ies graphes de / et de f . Posons / n(x) := n -1 f (nx) , alors /„ —> 0 (mérrie uniformément) sur S, et

■ L’exempíe moníre que la conclusion dásiráe n’a pas lieu sans une hypothése supplé- mentaire. Voici un résultat positif: .

(4.9)

et(4.10) ||/(6) - f(a) - f (a)(b - a)|| < \ \ f (x2) - /'(a )ll • ||6 - a||.

Preuve. D’aprés le corollaire 3.20 (p. 58) il existe ip € Y 1 vérifiani

IMI < 1 et <P(/(í>) - / ( a ) ) = | |/ ( í í ) - / ( a ) |¡ .

11/(6) - /(a)|| = XÍf(P) - /(a)) = p(/(6)) - pif ia)) = v ( f ‘{x)(b - a)).Comme

f i X 0) = f i x l) = ' •• = f i x n)-

Done f i a ) = /(&). □

(4.11) f njx) -fi f jx) et fáix ) 9ÍX) en tout x € U.

Figure 4.4. Graphe de / Figure 4.5. Graphe de / '

Proposition 4.7. Si la convergence f'n —>■ g est uniforme, alors f est dérivable etf — 9-

Preuve. Pour a ,€ U donné quelconque, on fixe une boule Br[a) C U. En appliquant le théoréme des- accroissement finis, on a pour tous m, n = 1,2, . . . et x € Br(a) les inégalités -

II Um - fn)(x) - (fm ~ / n)(<0l| < S^p || ( /« “ /¿)(v) II * ||® ~ «If-yS Br(a)

En faisant tendre m vers oo, on en déduit l’estimation

\ \ f ( x ) - f ( a) - ( f n{x)— fn{a))\\ 0 donné quelconque, on fixe tv, tel que

sup \\(g - -f'n)(y)\\ <y€Br(a) ”

alors on aVr € B r(a), ||/(x ) - /(a) - ( fn(x) - f n(a))|| < | | | * - a||.

f n étant dérivable en a, il existe 0 < r' < r tel que

i x € Br<(a)r | | /a (x) - /„(a) - / '(a )(x - o)|| < | | | x - a||.

Comme -lU (a),- fL ia)\l <■*"' - 'O

d'apres le choix de n, en appliquant l’inégalité triangulaire, on déduit des deux inégalités précédentes que

7x . e B r ’(a): : ' \.f{x) - f { a ) - g l a ) { x - a)|| < ej|* - a|¡.

Done / est dérivable en a et / '(o ) = <?(a). ’ D

Exemple. Soit U un ouvert non vide de X et désignons,par.C^(U, Y) l’espace vec- toriei des fonctions U —Y Y dé classe CCtelles que / . et f sont bomées. Si Y est complet, alors CÛ', Y.) estjun espace de Banach pour la, norme

ll/ll := sup||/(x)H + sup ||/'(x )||.r€tr r€0’

En effet, si (/„) est une suite de Cauchy pour cette norme, alors (/„) et {f'n) sont des suites de Cauchy dans C ^Ü 'Y) par définítion. Comme C¡,(U, Y) est un espace de Banach, il

78 Derives

existe f , g € Cb{U, Y) telles guc j n -* / et / ' -* g unifomiémení sur U. Grace á la proposition précédeníe, on a nécessairemení g — / ' . Par conséquent, / € C£(U,Y} et /„ / dans C l i iL Y ) . - . , . . . .

4.3, Les fonéticos Rn

Commencons par ramener l’étude de la dérivabilité des fonctions á valeurs vectorielles á celles á valeurs réelles.

Proposition 4.8. Soil f = (f i , . . . , f n) : D En, D C(a) / <?rf derivable en a £ D si et seulement si toutes les compasantes f j : D —y M sont

dérivables en a. Dans ce cas on a ■ ■ .

(4.12) f '{a)h = ( f [(a)h, . . . , fñ(a)h)pour tout h € ¡R771. —

(b) f est derivable si et seulement si toutes les composantes f j sont dérivables.(c) f est de classe C - si et seulement si toutes les composantes fj sont de classe C1.

Preave. II sufSt de montrer (a) et (c), parce que (b) résulte áe (a). Supposons d’abord que / est dérivable en a. Posons P, (yi , . . . , yn) Vj, alors P¡ € (E")' et f j — Pj o / . En appliquant la partie (d) de la proposition 4.2 (p. 72), on en déduit que les fonctions f j sont dérivables en a et

f j (a) = pj ( . f (a) ) f (a) = Fjf'(a), 1 < j < n.

De plus, si / est de cíasse C l, aJors les fonctions / j = Pj o / ' sont continues en a d’aprés la proposition 1.5 (p. 10).

Supposons maintenant que- les fonctions /,- sont dérivables en a. Introduisons les injections B f € L(R¡ R71) par ¡a formule

Bj y = ( 0 , . . . , 0, y, 0, — , 0)

oü y figure á la j-ieme place. Alors / — J j L i Bj o fj. En utilisant les parties (c), (e) de la propositions 4.2 (p. 72), on conclut que / est dérivable en a et

! \a ) = ¿ B 'iU iW m = Ei =i i -1

d ’ou (4.12). De plus, si les fonctions f j sont de classe C l , alors f — 3 j o f ■ est continue d’aprés la proposition 1.6 et la partie (f) de la proposition 3.4 (pp. 10, 49). □

Étudions maintenant les fonctions / : M7n R á valeurs réelles.

T Definition. Da t-éme dérivéepartielle de / en a = (a i , . . . . am) 6 Rm-est la dérivée- en üí de la fonction M s - E définie par .

1 / ( a i , . . . i Oj—i , x¿, a,+i , . . . , am)Q f

(si elle existe). Elle est notée par Dif(a) , - - ( a ) ou par dif(a). Autrement dit,OXi

Dif(a) = iim ■ vC/ ( o + í Cí) - /(a )

lim i — y 0 t

est la dérivée de / dans la direction e.¡ oü e i , . . . , est la base orthonorrnée habituelle de lRm.

On peut aussi introduire les fonctions D {f : Mm > K, 1 

■ /)

J?J )

) )

- hj i

3

j

La partie (b) de la proposition 4.2 (p. 72) montre que si / : JE"71 '—* ]R est dérivable en a, alors les dérivées partidles de D¡f (a) existent et dies sont égales á /.'(a)e¿, oú ei , . • •, em est la base orthonormé usueile de M"1. On en déduit que

' 771(4.13) V / i e R m. -f’{a)h = Y J Dlf{a)hi.

t= 1Remarque. Le gradient de /

V / := ( A / , . • ■, Dmf )(prononcé <;nabla f ’) vérifie d’aprés (4.13),

f ( a H- h) = /(a.) + V /(a) • ft + o(ft), ft -»■ 0.

Ceci montre le sens géométrique du vecteur V/(a)-: c’est la direction de la croissance maximale de / en a.

En représentant les éléments de E177, Rn par des vecteurs. colonnes, on déduit des formules (4.12) et (4.13) la „

Proposition 4.9. Si- f : Rm c—) En est dérivable en a € Em, alors sa dérivée peut étre calculée par la formule matricielle

/ Difi(a) ■■■ Dm/i(a ) \ /h-i,(4.14) f ' ( a ) h = : ! !

\A /n(a) ••• Dmf n(a)J \h mpour tout h £ Em.

D’aprés une remarque sur la page 74 la seule existence des dérivées partidles D if (a) n’sntraine pas la dérivabilité de f en a. Done pour la validité de la formule (4.14) il faut démontrer au préalable ' ’existence de Pour ce faire 1¿ résultat suivant est souvent utile.

Proposition 4.10. Soit D C un ouvert et f : D —v E Alors f est de classe C1 si et seulement si les dérivées partielles D i f , ... , Dmf existent et sont continues dans D:

Preuve, Supposons d’abord que / est de classe C l , c’est-á-dire continüment dérivable dans D. Alors les dérivées partidles de / existent et la formule (4.12) est vérifiée pour tout a £ D. Córame f est continue, on déduit de cette formule la continuitá des dérivées, partielles : pour x —t a on a f ' (x) —*■ done

I D¡f{x).~ D i f {a) | = J / (x ) e i; - f'[a)ei\ < | | / ' ( x ) - /'(a)|J 0.

Supposons maintenant que les dérivées partielles D if , . . . . Dmf existent et sont continues dans D. Poursimpfifier l’écriture,-supposons qup m = 2, et considéraos la norme euclidienne de E2. Montrons d’abord que / est dérivable en chaqué a = (al , a2) € D. Scit c > 0 tel que B s(a) C D. "Alors, pour'x = ;(x 1,x2) £ B£(a), le point1 {ai, x2) appartient aussi á Bs(a) G D\ on peut done écrire (vóir la partie gauche de la figure 4.6)

a J{ x ) -pí/(a);^^/.(% íX 2) - • / ( o i<*2)}+ {f {a\ , z2) - f ( a l}a2) t En appliquant le théoréme.ujassique des aecrolssements finís aux fqnetions

■ '■ : - f (- fxi) e f /fá i,-) , ’ • > ’’ ■

on peut.réécrire cette égalitésous la forme ... ; .

f{x) - f{a¡. = D lf{ t1, x 2)(=i - ax) + D2f {a i , t 2){x2 - a2)ayec íj. G [x1,ax] et ¿2 -€~[t£2ÍG2] convenables-; dependant de x. t. - _ _ ------

80 Dérivée

x-2

ao 02• í

a l ai *1

Figure 4.6. Preuve de la proposition 4.10

Définissonsu(x)k = D i f ( t u x2)hi + D2f ( a i , t 2)h2,

alors u(x) € L(M2, E) etf ( x ) - /(a ) = u{x)(x - a)

pour toutx € D. ■ ,Montrons que u est continue en a. On déduit de l’estimation triviale

|(u(x) - u(a))h\ < \ Di f ( t i , x2) - A /(o ) | • |fci| + \D2f ( a u i2) - D2f(a)\ ■ \h2\ que

IM * ) - u(a)|| < |£>i / ( í 1j®2) - A / ( a ) | + \D2f ( a u t2) - D2f ( a ) |.Pour x a on a ( t i ,x2) a et (a2, t2) —> a; en utilisant la continuité des dérivées partielles en a, on conciut que le second membre tend vers zéro. Done u(x) —>■ u(a).

D’aprés ce qui precede, f est dérivable dans D, et on a

f \u ) h — u(a).h = D i f(a)hi + D 2f(a)h2pour tous g € D et h £ R2. On en déduit la continuité de / ' : en effet, pour x, a £ D on a

\}’{x)h - f \a ) h \ < IDl f ( x ) - D i f (g)| • j/n| + | A / ( * ) - D2f(a)\ ■ N ,

d’oü||/ '(* ) - / '(« ) II < lA /(® > - A / ( a ) | + | A / ( * ) - A / ( a ) | .

On conciut ¿n observant que pour x —> a le second membre tend vers zéro par Fhypothése.. . □

Remarque. En échangeant le role de x2 et x2 on aurait pu aussi écriref (x) - f (a) = D 2f ( x u t.2)(x2 - a2) + Dlf { t l l a2)(xl - ax)

avec tr'G [xi ,ai]ét Í2 6 [x2l a2\ convenables. (Voir la partie droite-de la figure 4.6.) Ceci aurait conduit á une fonction u différente, montrant.la non-unicité de la fonction u dans la définition de la dérivée.

- 0J ]

-1 ; !- i !

,iíi

_}

,V¡i■J-■) i

■

Documents

- g :''v : -:.V 9| · MATHÉMATIQUES POUR LE 2e cycle Collection dirigée par Charles-Michel Marle et Philippe Pilibossian Précis d'analyse réelle Topologie Calcul différentiel