,0)( knnij DaAn 的顺序主子式阶方阵定理：若 nk ,,2,1

一、基本的三角分解法 LU分解

即存在且唯一分解的则 ,LUALUA

nnnrn

rnrrr

nr

aaa

aaa

aaa

A

1

1

1111

1

1

1

1

1

nrn

r

ll

l

nn

rnrr

nr

u

uu

uuu

1111

证明略为的第一行元素根据矩阵的乘法原理 jaA 1,

njua jj ,,2,111

为素行元素主对角线以右元的第 ),,( nrjarA rj

r

kkjrkrj ula

1

nrj ,,

nr ,,2,1

同样

为素列元素主对角线以下元的第可知 ),,1( nriarA ir

r

kkrikir ula

1

nri ,,11,,2,1 nr

1111,1, ular ii 时显然 ni ,,3,2

综合以上分析 ,有

njua jj ,,2,111

r

kkjrkrj ula

1 nr ,,2,1

nrj ,,

rj

r

kkjrkrj uula

11

1

1111 ula ii ni ,,3,2

r

kkrikir ula

1 1,,2,1 nr

nri ,,1

rrir

r

kkrikir ulula

1

1

因此可以推导出

ju1 ja1 nj ,,2,1 U的第一行

11

11 u

al ii ni ,,3,2 L的第一列

------(1)

------(2)

1

1

r

kkjrkrjrj ulau

nr ,,2,1 nrj ,, U的第 r行------(3)

rr

r

kkrikir

ir u

ulal

1

1

1,,2,1 nr

nri ,,1L的第 r列------(4)

称上述 (1) ~ (4)式所表示的分解过程为 LU分解

对于线性方程组

bAx

系数矩阵非奇异 ,经过 LU分解后 LUA

线性方程组可化为下面两个三角形方程组

bLy yUx

为中间未知量向量y

1

11

1

321

3231

21

nnn lll

ll

l

L

nn

nnnn

n

n

uuu

uuuuuuu

U

,11,1

,22322

,1131211

:, 的解不难得到的知识由第一节三角形方程组 bLy

11 by

12122 ylby

1

1

r

jjrjrr ylby nr ,,3,2

1

11

1

321

3231

21

nnn lll

ll

l

L

的解的解便得到因此再由 bAxyUx

nn

nn u

yx

rr

n

rjjrjr

r u

xuy

x

1

nn

nnnn

n

n

u

uu

uuu

uuuu

,11,1

,22322

,1131211

例 1. 用 LU分解法解方程组

1391444321

13124330102

4

3

2

1

xxxx

72510

解 : 由 LU分解

14131211 uuuu 30102

Tlll 4131211 T25.05.11

ju1 ja1

11

11 u

al ii

2423220 uuu 5.812110

1

1

r

kkjrkrjrj ulau

Tll 423210 T11/611/310

rr

r

kkrikir

ir u

ulal

1

1

343300 uu 11/211/300

Tl43100 T9100

44000 u 4000

1 1b y

1

1

r

jj rj r ry l b y

得解 ,bLy

Tyyyy 4321 T1611/172010

得解 ,yUx

Txxxx 4321 T4321

nn

nn u

yx

rr

n

rjjrjr

r u

xuy

x

1

二、 Cholesky分解

定理 . (Cholesky分解 )

使得正数的下三角阵

元全是则一定存在一个主对角为对称正定矩阵设

,

,

L

A

TLLA且该分解式唯一

这种关于对称正定矩阵的分解称为 Cholesky分解

nnnrn

rrr

lll

ll

l

L

1

1

11

nnnrn

rnrrr

nr

aaa

aaa

aaa

A

1

1

1111

设

jiij aa

irarArL 列元素的第考察列已求出的第假设 ,1~1

nnnrn

rrr

lll

ll

l

1

1

11

nnnrn

rnrrr

nr

aaa

aaa

aaa

1

1

1111

nn

nrrr

nr

l

ll

lll

1111

111111 lla 112121 lla 1111 lla ii ni ,,2,1

可以求出的第一列元素 1ilL

r

krkrkrr lla

1

21

1

2rr

r

krk ll

r

krkikir lla

1rrir

r

krkik llll

1

1

nrri ,,1,

-------------(1)

-------------(2)

-------------(3)

的元素的计算公式式可得由 L)8(~)6(

1111 al 11

11 l

al ii ni ,,3,2

1

1

2r

krkrrrr lal nr ,,2

rr

r

krkikir

ir l

llal

1

1 nri ,,1

-------------(4)

bAx 对于线性方程组

阶对称正定矩阵为其中 nA

使得的下三角阵则存在主对角元为正数 ,L

TLLA

-------------(5)

则线性方程组 (10)可化为两个三角形方程组

bLy

yxLT bxLL T )(

-------------(6)

-------------(7)

-------------(8)

bLy 解.1

nnnin

iii

lll

ll

l

L

1

1

11

11

11 l

by

ii

i

kkiki

i l

ylby

1

1

ni ,,3,2

------(9)

yxLT 解.2

nn

niii

ni

T

l

ll

lll

L

1111

nn

nn l

yx

ii

n

ikkkii

i l

xlyx

1

1,2,,1ni

------(10)

例 1. 用 Cholesky法解对称正定方程组

9109

6858137576

3

2

1

xxx

解 : A先分解系数矩阵

6858137576

A

6

67

65

62917413

2925

L

11 11a l11

11l

al

ii

1

1

2r

krk rr rrl a l

rr

r

krk ik ir

irl

l l al

1

1

分解T

LL

bLy 其次解

) , (b L

9109

11

11 l

by

69

22

12122 l

ylby

62969*7

10

1743

33

2

133

3 l

ylby k

kk

2910

11

11 l

by

ii

i

kkiki

i l

ylby

1

1

29

25

174

13

6

5

6

29

6

7

6

即 Tyyyy ),,( 321 T)2910

,1743

,69

(

yxLT 最后解

) , (y LT

2910174369

292517413

629

65

67

6nn

nn l

yx

ii

n

ikkkii

i l

xlyx

1

33

33 l

yx

11

3

211

1 l

xlyx k

kk

2

22

33222 l

xlyx

1 1

对角占优矩阵 :

满足若矩阵 nnijaA )(

n

ijj

ijii aa1

|||| ni ,,2,1

.为严格对角占优矩阵则称A 满足若矩阵 nnijaA )(

n

ijj

ijii aa1

|||| ni ,,2,1

.为弱对角占优矩阵则称A

补充

所以原方程组的解为Txxxx ),,( 321 T)2,1,1(

三 追赶法

有一类方程组 ,在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用 ,即三对角线方程组 ,其形式为 :

nx

xx

x 2

1

dAx 其中

nd

d

d

d2

1

并且满足称为三对角线矩阵,A

0||||)1( 11 ca

--------(1)

nn

nnn

ab

cab

cab

ca

A

111

222

11

0,||||||)2( iiiii cbcba 1,,2 ni

0||||)3( nn ba

.线矩阵称为对角占优的三对角A

0det,, AA 即非奇异显然

0det, kAkA 即阶顺序主子式非零的任意因此

分解进行可以将所以 LUA,

设 LUA

nn

nnn

ab

cab

cab

ca

111

222

11

nn

n

pb

p

b

pb

p

1

3

22

1

即

1

1

1

1

1

2

1

nq

q

q

的元素的计算公式 和 可得U L

11 ap

i

ii p

cq 1 iiii qbap ni ,,2

--------(2)

方程组可化为求解两个三角形解三对角线方程组 dAx

dLy

yUx --------(3)

--------(4)

dLy 解)1(

),( dL

nnn

nn

dpb

dp

b

dpb

dp

11

3

222

11

得 111 / pdy

iiiii pybdy /)( 1 ni ,,3,2 --------(5)

yUx 解)2(

n

nn

y

yq

yq

yq

1

1

1

1

11

22

11

),( yU

得 nn yx

1 iiii xqyx ni ,,3,2 --------(6)

的追赶法式为解称由 dAx)6(~)2(