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MATEMÁTICAS Primer Trimestre 3º SECUNDARIA Vamos a conocernos Te doy la bienvenida a tu primera semana del primer trimestre. En esta ocasión vamos a iniciar conociendo un poco de ti y de tus preferencias, así como tus gustos en esta asignatura. En esta semana tu evidencia de trabajo será la realización de un video, pero no te preocupes, será una breve grabación. Esto nos ayudará para conocernos un poco mejor, ya que por las circunstancias sanitarias no hemos podido vernos durante un largo tiempo. Es importante considerar algunos puntos importantes para poder realizar nuestro video, por lo que te pido que no lo tomes a la ligera, vamos a elaborar un pequeño guion, busquemos un espacio cómodo y que pueda ser compartido y con un equipo celular podremos realizar nuestra grabación. Esta primera actividad sólo es cualitativa, por lo que no tendrá una evaluación cuantitativa, así que relájate y empecemos a organizar nuestra interpretación. Qué vamos a aprender: Interactuar a distancia para crear vinculo de confianza en la asignatura Materiales: Guion elaborado, cá mara para video Te explico 1 HORA

3º Primer Trimestre

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IA Vamos a conocernos
Te doy la bienvenida a tu primera semana del primer trimestre. En esta
ocasión vamos a iniciar conociendo un poco de ti y de tus preferencias, así
como tus gustos en esta asignatura.
En esta semana tu evidencia de trabajo será la realización de un video, pero
no te preocupes, será una breve grabación. Esto nos ayudará para
conocernos un poco mejor, ya que por las circunstancias sanitarias no
hemos podido vernos durante un largo tiempo.
Es importante considerar algunos puntos importantes para poder realizar
nuestro video, por lo que te pido que no lo tomes a la ligera, vamos a
elaborar un pequeño guion, busquemos un espacio cómodo y que pueda ser
compartido y con un equipo celular podremos realizar nuestra grabación.
Esta primera actividad sólo es cualitativa, por lo que no tendrá una
evaluación cuantitativa, así que relájate y empecemos a organizar nuestra
interpretación.
Qué vamos a aprender: Interactuar a distancia para crear vinculo de confianza en la
asignatura
Te explico
1 HORA
IA
Para poder realizar un video es importante realizar un guion de los puntos que se
pretenden abordar en la grabación. De lo contrario, hablaríamos cosas sin sentido
o quedaríamos enmudecidos antes del tiempo programado.
Te voy a compartir unos tips para hacer un buen video con un teléfono celular que
tenga un gran impacto. Recuerda que, sin importar los recursos, la creatividad es
siempre la clave.
1. Busca un lugar para apoyar tu teléfono celular.
Para reemplazar el trípode es importante que busques un objeto de peso sobre el
cual puedas apoyar tu teléfono, así evitarás que el video tenga movimientos
bruscos y la imagen sea estable. Procura no obstaculizar el micrófono con el
objeto que utilices para este fin.
2. Sé creativo.
Tu discurso es lo más importante, no olvides mencionar algunos puntos
importantes que te mencionaré más adelante.
3. Procura grabar en un lugar silencioso.
Es vital que el sonido se escuche claro, grabar un vídeo rodeado de gente en
medio de una plaza o un lugar ruidoso no es una buena idea, la interferencia
genera molestias y no nos permitirá escuchar con claridad lo que tienes para
contarnos.
Usa espacios en donde no se vean detalles de tu casa, con la finalidad de cuidar
tu privacidad. Puedes tener de fondo una pared sin cuadros, una planta o puedes
buscar un espacio de tu patio donde tengas un agradable fondo de plantas.
4. No excedas el tiempo de 3 minutos.
Pedimos que el video tenga una duración de máximo 3 minutos porque es el
tiempo aproximado para que puedas enviar ya sea por correo electrónico o vía
whatsApp.
Puedes observar el video que será compartido por tu asesora, para que observes
un ejemplo de presentación.
Actividad 1
En este apartado entregarás la redacción de la información que presentarás en el
video que grabarás.
Es importante que tengas un guion para tener ilación y coherencia en lo que
presentas. Estos son los puntos que me gustaría escuchar en tu video, con los
cuales te conocería un poco mejor y sabría la manera de interactuar contigo en las
futuras clases a distancia o presenciales, según se dé la circunstancia.
Puntos para abordar en la grabación:
Nombre completo,
Grado y grupo,
Edad
Quienes viven contigo (papá, un hermano y 2 hermanitos, un perrito etc.)
Pasatiempo favorito,
Cómo te gustaría continuar con tus estudios en la secundaria, presencial o en
línea.
Promedio en la asignatura el ciclo escolar anterior,
Que es lo que te gusta y lo que no en la asignatura,
Hay algún tema que dominas mejor en la asignatura, cuál es y porqué crees que lo
dominas.
Si quieres agregar algún punto que no se considera en los anteriores, ¡adelante!,
te lo dejo a tu creatividad.
Manos a la obra
Actividad 2
Realiza un video con una duración máxima de 3 minutos, deberás aparecer de
medio cuerpo o cuerpo completo, hablarás acerca de los puntos que abordaste en
tu guion, con un audio correcto para que se te pueda escuchar.
Recuerda cumplir con lo puntos explicados en el apartado “para aprender más”.
Recuerda tomar tu video en un espacio iluminado para que se logre distinguir bien
tu imagen y pueda ser revisado tu material.
Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera:
En asunto deben escribir:
3E, Primer Trimestre, Couoh Galera Karla Vanessa.
Correo Electrónico: [email protected]
3°C” y 3” D”
Mtra. Laura Guadalupe Balán Salazar.
Correo Electrónico: [email protected]
Correo Electrónico: [email protected]
CUmplir ciertos números para saber si
PUeden ser divididos por 2, por 3, 5, 7 o
algún otro número primo.
1. Criterios de divisibilidad y números primos.
¿Cuántas veces hemos visto personas usar la calculadora para operaciones tan básicas como 2x2 o alguna similar? ¿Sabías que nuestro cerebro puede resolver hasta 4 operaciones matemáticas a la vez, y retener hasta 10 números al mismo tiempo? Pero sólo falta entrenarlo. La presente ficha abordará el interesante tema de los criterios de divisibilidad. Recordemos cuando en 1ero o 2do grados nos pedían simplificar fracciones, ¿cómo saber si tiene mitad, o tercia? Muy simple, con los criterios de divisibilidad en números primos. Pero antes, ¿qué son los números primos? Los números primos son aquellos que sólo son divisibles entre ellos mismos y el 1. ¿Puedes mencionar algunos? Por ejemplo, el 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… son números primos, y la lista sigue y sigue. Ahora bien, ¿qué tienen que ver estos números primos con los criterios de divisibilidad? Pues nada más y nada menos, el hecho de que los criterios de divisibilidad se aplican solamente para este tipo de números.
Qué vamos a aprender: identificar y aplicar los criterios de divisibilidad en diferentes
números, para la resolución de ejercicios y problemas aritméticos.
Materiales: Fichero, calculadora, libreta, lapicero, lápiz, colores, borrador.
Te explico
Te explico
IA
Los criterios de divisibilidad son PAUtas qUe nos permiten saber rápidamente si Un número es divisible entre otro. Es decir, nos permiten saber si CUando los dividamos el resto de la división será cero o no.
Los criterios de divisibilidad son MUY útiles:
o Nos ayUdan a encontrar con facilidad los divisores de Un número. o Nos sirven especialmente CUando tenemos QUe
descomponer números en factores primos o saber si Un número es primo o comPUesto.
o Nos dan pistas cUando tenemos QUe simplificar fracciones, entre mUCHAs otras cosas…
¡Es MUy conveniente conocer los criterios de divisibilidad!
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Hagamos un esquema Un esquema es una representación gráfica de la asociación de ideas o conceptos que se relacionan entre sí, y entre los que se establecen relaciones de jerarquía. En un esquema generalmente existe una idea principal que se asocia a otras de menor rango, pero que son indispensables para comprender aquello que está siendo estudiado. Los esquemas sirven para explicar conceptos complejos o como método de estudio, ya que ayudan a comprender un tema de manera sintetizada. Algunos ejemplos son:
Para aprender más
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Características de un esquema: Un esquema elaborado adecuadamente debería cumplir con estas características: Un esquema es una representación gráfica, por lo tanto, la manera de relacionar los conceptos es a través recursos como formas, líneas o colores. Un esquema debe ser concreto, por lo tanto, debe contener toda la información necesaria resumida en unas pocas palabras o conceptos breves. La función del esquema es la de resumir. Si es necesario agregar información al esquema para relacionar las ideas, probablemente no esté bien hecho Generalmente un esquema tiene una o unas pocas ideas principales, desde las cuales parten los conceptos complementarios. Si abundan las ideas centrales quiere decir que no se hizo una lectura o un resumen adecuado. Toma en cuenta estas características y ejemplos, ya que los necesitarás más adelante.
Actividad 1
IA
Resuelve los siguientes ejercicios de acuerdo a lo que has aprendido hasta el
momento.
No uses la calculadora para la resolución, si te imprimen el fichero, puedes hacer
las operaciones en la misma hoja o al reverso de estas para rehusar la impresión.
Recuerda:
Escribe con lápiz de manera legible y sin tachones. Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución. Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no
lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas)
1. Vuelve a leer esta ficha, los conceptos sobre “criterios de divisibilidad y
números primos” y elabora un esquema, basándote en los ejemplos y
características anteriormente descritas. Considera que tu esquema incluya
los siguientes conceptos y sus definiciones:
Número primo
Criterios de divisibilidad del número 2
Criterios de divisibilidad del número 3
Criterios de divisibilidad del número 5
Criterios de divisibilidad del número 7
Criterios de divisibilidad del número 11
2. Ponle color y decoración a tu esquema… que el trabajo lleve tu toque
personal
IA
1. Con toda HONESTIDAD, sin usar calculadora. de la siguiente lista de
números, escribe una √ en la columna que diga por cuál número puede ser
dividido sin quedar residuo.
1530 225
4315 777
6321
2. En tu cuaderno, has un PEQUEÑO glosario y escribe 10 números que
sean divisibles por 2, 3, 5, 7 y 11 respectivamente. Decora las páginas
que requieras para completar esta tarea. Pueden ser números
pequeños o grandes, no importa, lo importante es que sean 10 para
cada número.
IA
Coloca una X en la columna que describa mejor tus logros en esta ficha de
aprendizaje.
completamente Logrado a
medias No logrado
Me sé las características que debe tener un número para ser
divisible por 2
Me sé las características que debe tener un número para ser
divisible por 3
Me sé las características que debe tener un número para ser
divisible por 5
Me sé las características que debe tener un número para ser
divisible por 7
Me sé las características que debe tener un número para ser
divisible por 11
en esta ficha
Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera:
En asunto deben escribir:
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
Correo Electrónico: [email protected]
3°C” y 3” D”
Mtra. Laura Guadalupe Balán Salazar.
Correo Electrónico: [email protected]
Correo Electrónico: [email protected]
IA 2. – Mínimo común múltiplo y Máximo Común Divisor
A lo largo de la historia el ser humano ha tenido la necesidad de repartir cosas de forma igualitaria, así como de calcular los múltiplos de un número natural. Trabajarás con divisores y múltiplos, deberás tener presentes los números primos y los criterios de divisibilidad, para después continuar con el significado del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, así como el algoritmo para obtenerlos y aplicarlos para resolver problemas que los involucren. Cuando intentas repartir cantidades de forma igualitaria, has encontrado que no siempre se puede hacer de la mejor forma, que por el número de objetos algunas veces es posible y otras no.
¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)?
El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos.
Múltiplo
Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.
Vamos a ver un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 y el 3 por 1, por 2, por 3, etc.
2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 y así sucesivamente hasta infinitos números.
Qué vamos a aprender: descomponer un número en factores primos, y calcular el
máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Materiales: Fichero, libreta, lapicero, lápiz y borrador.
Te explico
OCTUBRE
IA
3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 y así sucesivamente hasta infinitos números.
Múltiplo Común
Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números.
Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3.
Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen figuran en verde, es decir, el 6, el 12 y el 18. Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada número.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.
Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.
Cómo calcular el mínimo común múltiplo
Se pueden utilizar dos métodos.
1. El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 6 y 8
Se anotan los múltiplos de cada uno, busca los que son comunes en las tres filas.
Observa, primero está el 24 y después el 48.
El 24 es un múltiplo común y el menor de las tres cantidades.
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es 24.
Este procedimiento lo puedes realizar para obtener el mínimo común múltiplo.
Aunque, las listas de múltiplos son fáciles de hacer, pero no siempre es rápido
encontrar el múltiplo en común, para eso tienes un algoritmo.
2. Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y, por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.
Por ejemplo:
1. Descomponemos en factores primos el 40:
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
Por lo tanto 40 se descompone en:
2. Una vez descompuesto el 40, haremos lo mismo con el 60.
Por lo tanto 60 se descompone en:
3. Para hallar el mínimo común divisor (mcd) de 40 y 60, para ello, tenemos que
coger los comunes y no comunes al mayor exponente.
Por lo que se quedaría:
mcm (40 y 60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Por lo que el mínimo común múltiplo de 40 y 60 sería 120.
¡Truco! Si quieres saber si has hecho bien la descomposición de factores primos
se puede comprobar multiplicando. Empezando por abajo, multiplicas el último
número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador),
el resultado debe ser el número de arriba del multiplicando
Veamos otro ejemplo, calculando el mcm de 12 y de 8.
Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:
12 = 2² x 3
8 = 2³
Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto, elegimos 2³ y el 3.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Y por último los multiplicamos, por lo tanto 2³ x 3 = 8 x 3 = 24
Así que el mcm (12 , 8) = 24
Qué es el máximo común divisor (MCD)
Como su nombre lo indica, es el mayor divisor común a un grupo de cantidades.
En matemáticas, se denomina máximo común divisor o MCD al mayor número que divide exactamente a dos o más números a la vez.
También podemos decir que el máximo común divisor de dos números “A” y “B”, es el número mayor que los divide a los dos, tanto al número A como al número B.
Por ejemplo, diremos que el máximo común divisor de 18 y 24 es 6, porque 6 es el mayor de los divisores comunes de 18 y 24 y lo escribimos MCD (18,24) = 6
Se tienen en cuenta los números en los que las divisiones den de resto cero.
Para qué se usa el máximo común divisor
MCD para simplificar fracciones
Una de las utilidades que tiene el máximo común divisor es simplificar fracciones.
Por ejemplo, para simplificar la fracción 12/18, se calcula primero el Máximo Común Divisor de 12 y 18 que es 6.
Después tenemos que dividir el numerador y el denominador de la fracción inicial entre 6 para obtener la fracción simplificada que es 2/3. Sin duda, para lo que más vas a utilizar el MCD es para resolver problemas.
Términos
Ahora, vamos a explicar algunos de los conceptos que se emplean para calcular el MCD de varios números, es importante aprenderlos para que nos sean familiares y sepamos en cada momento de lo que estamos hablando.
IA
El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea cero.
Vamos a ver un ejemplo de esto:
Primero, calculamos los divisores de 15:
15 / 1 = 15, por lo que 1 y 15 son divisores de 15.
15 / 2 = 7, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor de 15.
15 / 3 = 5, por lo que 3 y 5 son divisores de 15.
15 / 4 = 3, el resto es 3, por lo que 4 no es divisor de 15.
Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 15.
Por tanto, los divisores de 15 son: 1, 3, 5 y 15.
También vamos a calcular los divisores de 20:
20 / 1 = 20, por lo que 1 y 20 son divisores de 20.
20 / 2 = 10, por lo que 2 y 10 son divisores de 20.
20 / 3 = 6, el resto es 2, por lo que 3 no es un divisor de 20.
20 / 4 = 5, por lo que 4 y 5 son divisores de 20.
Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 20.
Es decir, los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Divisor común
Es un número que es divisor a la vez de dos o más números, es decir, es un divisor común a esos números.
Si seguimos con el ejemplo anterior, en el que hemos calculado los divisores de 15 y de 20, ahora vamos a ver cuáles son los divisores comunes.
Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15.
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
¿Qué divisores tienen en común 15 y 20?
En este caso, si te fijas, los divisores comunes que tienen 15 y 20 son el 1 y el 5.
Máximo común divisor
Como hemos visto al inicio del post, el máximo común divisor es el número mayor entre los divisores comunes.
Vamos a ver cuál es el máximo común divisor del ejemplo anterior, el MCD (15,20).
Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15.
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Ya sabes que los divisores comunes de 15 y 20 son el 1 y el 5, ahora de entre esos dos números (1 y 5) tienes que elegir el número mayor, que es el 5. Por lo que, el máximo común divisor de 15 y 20 es 5.
Cómo hacer el máximo común divisor
Para saber cuál es el máximo común divisor de dos o más números existen varios métodos, vamos a ver dos.
Método 1 para calcular el MCD
Es el que venimos utilizando en los ejemplos de más arriba. Para ello es importante fijarnos muy bien lo que significa máximo común divisor.
Escribimos todos los divisores de cada número, y de éstos señalamos los divisores comunes.
El divisor mayor será el MCD de esos números.
El inconveniente de este método es que un número grande puede tener muchos divisores y escribirlos todos puede ser muy pesado. La ventaja que tiene es que, si lo tienes en cuenta, a veces no tendrás que calcular nada. Por ejemplo, el máximo común divisor de 36, 12, y 84. Como 12 divide a los tres, no podrá haber ningún divisor común mayor.
Método 2 para calcular el MCD
Descomposición de factores o descomposición en números primos.
Descomponemos cada número en factores primos.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
Después, señalamos los factores comunes.
A continuación, en cada uno de los comunes, escogemos el factor con menor exponente.
Y, por último, multiplicamos los factores elegidos.
Vamos a ver un ejemplo:
Calculamos el M.C.D de 8 y 12.
Como ves, hemos señalado los factores comunes, en este caso es el 2, pero debes tener cuidado, tienes que fijarte siempre en el de menor exponente (2²), que es igual a 4. Además, si quieres puedes recordar cómo se hace la descomposición factorial y las potencias.
Ejemplos y ejercicios
Vamos a ver varios ejemplos de los ejercicios en los que utilizaremos los dos métodos que hemos explicado antes. El método 1 buscando los divisores de un número y el método 2 realizando la descomposición en factores para poder calcular el máximo común divisor.
Calcular el MCD de 6 y 9 con el método 1.
1. Escribimos todos los divisores de cada número (de 6 y de 9), anteriormente ya hemos explicado cómo se sacan los divisores de un número.
2. Señalar todos los divisores comunes.
3. Elegir el divisor común mayor.
Por lo tanto, el MCD de 6 y 9 = 3
Calcular el MCD de 16 y 21 con el método 2.
1. Factorizamos los números (16 y 21).
2. Escribimos en factores cada uno de los números, el 16 y el 21.
3. Ver cuáles son los factores comunes. En este caso, como ves, los números 16 y 21 no tienen factores comunes. Cuando no hay factores comunes entre los números el máximo común divisor es 1.
MCD de 16 y 21 = 1
Calcular el MCD de 14, 36 y 12 con el método 2.
1. Descomponemos los números en factores primos.
2. Escribimos en factores cada uno de los números (14, 36 y 12).
3. Elegir los factores comunes entre los tres números. En este caso, el único factor común entre 14, 36 y 12 es el 2.
4. Coger entre los factores comunes el que tiene menor exponente. El de menor exponente es el 2.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Por lo tanto, el Máximo Común Divisor entre 14, 36 y 12 = 2 .
https://youtu.be/txLIA_fyL5g Mínimo común múltiplo https://youtu.be/WD4rGWCRBYY Máximo Común Divisor
Para aprender más
Actividad 1
Resuelve los siguientes ejercicios de acuerdo a lo que has aprendido hasta el
momento. Todos los ejercicios le debes agregar tu procedimiento, no se aceptarán
sin operaciones.
No uses la calculadora para la resolución, si te imprimen el fichero, puedes hacer
las operaciones en la misma hoja o al reverso de estas para rehusar la impresión.
Sólo marca a que ejercicio corresponden las operaciones.
Recuerda:
Escribe tus operaciones de manera clara por cada uno de los problemas planteados, responde con lápiz de manera legible y sin tachones.
Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución. Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no
lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas)
ACTIVIDAD. Resuelve los ejercicios y responde las preguntas de las páginas: 44
a la página 47 de tu libro de texto.
Repaso y practico
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
ACTIVIDAD 2. Resuelve los ejercicios y responde las preguntas de las páginas:
48 a la página 51 de tu libro de texto.
Coloca una X en la columna que describa mejor tus logros en esta ficha de
aprendizaje.
completamente Logrado a
medias No logrado
Comprendo que es el mínimo común múltiplo e identifico cuáles son sus características
Sé para qué sirve el mínimo
común múltiplo
en esta ficha
Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera:
En asunto deben escribir:
3E, Primer Trimestre, Couoh Galera Karla Vanessa.
Correo Electrónico: [email protected]
3°C” y 3” D”
Mtra. Laura Guadalupe Balán Salazar.
Correo Electrónico: [email protected]
Correo Electrónico: [email protected]
3.- Polígonos semejantes. Criterios de semejanza de triángulos.
En esta secuencia iniciaremos con una breve explicación de los términos con los
que se va a trabajar.
Polígono es un concepto que procede de la lengua griega, cuyo significado puede entenderse como “muchos ángulos”. Se trata de una figura plana de la geometría que se forma a partir de la unión de segmentos rectos conocidos como lados Polígono regular: de acuerdo a sus características, es posible hablar de diferentes tipos de polígonos. Los polígonos regulares son aquellos cuyos lados y sus ángulos interiores resultan iguales. Esto quiere decir que todos los lados miden lo mismo, al igual que los ángulos que forman las uniones de estos segmentos.
Qué vamos a aprender: Construye polí gonos semejantes. Determina y usa criterios de semejanza de triángulos.
Materiales: Fichero, libreta, calculadora, escuadra, lapicero, colores, lápiz y borrador.
Te explico
OCTUBRE
Polígonos semejantes. Dos polígonos son semejantes si los ángulos
correspondientes son iguales y los lados correspondientes también lo son. La
constante de proporcionalidad se denomina razón de semejanza. Los ángulos,
lados y vértices correspondientes entre dos figuras semejantes se le denominan
homólogos.
Ejemplo:
La razón de semejanza es el número por el que hay que multiplicar las longitudes de los lados de una de las figuras para obtener las longitudes de los lados de la otra. ... Una semejanza transforma una figura en otra que tiene los mismos ángulos y los lados proporcionales. Ejemplo: 10 / 5 = 8,48 / 4,24 = 16 / 8 = 6 / 3 = 2 Es decir, las figuras son semejantes con razón r = 2
Cómo hallar la razón de semejanza:
Dadas dos figuras semejantes, para calcular la razón de semejanza entre ellas, se
divide la longitud de un lado de una de las figuras entre la longitud del lado
correspondiente en la otra.
Dadas dos figuras semejantes, F y F', podremos considerar dos semejanzas y dos
razones de semejanza. La semejanza que transforma F en F' y su razón, k, pero
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
también la inversa, la semejanza que transforma F' en F y su razón, k'. Es fácil
demostrar que se cumple que .
La razón de semejanza que transforma F en F' es .
La razón de semejanza que transforma F' en F es .
Factores de escala
Si dos polígonos son similares, sabemos que las longitudes de los lados
correspondientes son proporcionales. Si k es la longitud de un lado en un
polígono, y m es la longitud del lado correspondiente en el otro polígono, entonces
la razón km es llamada el factor de escala que relaciona el primer polígono al
segundo. Otra forma de decir esto es:
La longitud de cada lado del primer polígono es km veces la longitud del lado
correspondiente del otro polígono.
IA
Ejemplo
Observa el diagrama de abajo, donde ABCD y AMNP son rectángulos similares.
[Figura 1]
A. ¿Cuál es el factor de escala?
Ya que ABCD∼AMNP, entonces AM y AB son lados correspondientes.
Ya que ABCD es un rectángulo, sabes que AB = DC = 45. El factor de escala es la razón de las longitudes de cualesquiera dos lados correspondientes.
Así que el factor de escala (que relaciona ABCD con AMNP) es
=

= 1.5.
Sabemos que la longitud de cada lado de ABCD es 1.5 veces la longitud del lado
correspondiente en AMNP. Comentario: podemos “invertir” la relación y hablar del factor de escala que
relacione AMNP con ABCD. Este factor de escala es justamente
=

, el cual
es el reciproco del factor de escala que relaciona ABCD con AMNP.
Construcción de polígonos semejantes Ejemplo 1: Construye una figura semejante a este con razón de semejanza k = 0.7
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Solución
Se escoge un punto cualquiera como centro y desde este se trazan semirrectas por los vértices de la figura:
Se tiene que la distancia desde centro (O) hasta el punto A es OA = 5; con esta se puede determinar la distancia de uno de los puntos (OA’) sabiendo también que k = 0.7:
OA’= k x OA.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
El proceso puede hacerse para cada vértice, o también se puede trazar el polígono homotético recordando que los dos polígonos tienen lados paralelos:
Finalmente, la transformación se ve de la siguiente forma:
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
Criterios de semejanza de triángulos
Para que dos triángulos sean semejantes es suficiente con que se verifique una de las siguientes condiciones:
1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: 2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: 3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:
1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman.
3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
Ejercicios resueltos de semejanza de triángulos
Razo na si son seme jante s los sigui entes triáng ulos:
1
Solución:
2.
Solución:
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA
Solución:
y
y
Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.
Teorema de Tales establece lo siguiente:
Una relación de proporcionalidad entre los segmentos se plantea
de la misma forma que para las rectas paralelas:
Que es equivalente a esta otra, entre los lados correspondientes
de cada triángulo, también llamados lados homólogos:
Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o con sus prolongaciones, otro triangulo que es semejante al triangulo dado.
IA
A continuación, un ejemplo en el que se puede aplicar el teorema de Tales para triángulos semejantes y averiguar cuánto vale el lado incógnito x.
Los triángulos formados son semejantes, pues tienen un ángulo común y los lados x y 4 cm son paralelos.
Por lo tanto, la proporcionalidad entre los lados correspondientes es:
x = (4×3.5) ÷ 6 cm = 2.3 cm
2. Calcular el valor de X aplicando el teorema de Tales.
Solución.
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
https://youtu.be/bnTE90LomIU Construcción de polígonos semejantes https://youtu.be/zlUlG2KP7vl Homotecia directa https://youtu.be/oJgduuu1Gw0 Semejanza de triángulos. Problemas/ejercicios https://youtu.be/staL7w-eT58 Teorema de Tales. Para principiantes
Para aprender más
Actividad 1
Resuelve los siguientes ejercicios de acuerdo a lo que has aprendido hasta el
momento. Todos los ejercicios le debes agregar tu procedimiento, no se aceptarán
sin operaciones.
No uses la calculadora para la resolución, si te imprimen el fichero, puedes hacer
las operaciones en la misma hoja o al reverso de estas para rehusar la impresión.
Sólo marca a que ejercicio corresponden las operaciones.
Recuerda:
Escribe tus operaciones de manera clara por cada uno de los problemas planteados, responde con lápiz de manera legible y sin tachones.
Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución. Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no
lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas)
ACTIVIDAD. Resuelve los ejercicios y responde las preguntas de las páginas: 52
a la página 55 de tu libro de texto. Y de la página 56 a la página 61 de tu libro de texto.
Manos a la obra
IA
ACTIVIDAD 2. Resuelve los ejercicios y responde las preguntas de las páginas:
62 a la página 71 de tu libro de texto.
Coloca una X en la columna que describa mejor tus logros en esta ficha de
aprendizaje.
dos figuras sean semejantes.
¿Puedo dibujar una figura semejante a otra, conociendo las medidas
de la figura original?
Repaso y practico
Lo que aprendí
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
semejanza.
Cumplí con todas las actividades propuestas en
esta ficha
Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera:
En asunto deben escribir:
3E, Primer Trimestre, Couoh Galera Karla Vanessa.
Correo Electrónico: [email protected]
3°C” y 3” D”
Mtra. Laura Guadalupe Balán Salazar.
Correo Electrónico: [email protected]
Correo Electrónico: [email protected]
4.- Medidas de tendencia central y de dispersión.
Qué vamos a aprender: Compara la tendencia central (media, mediana y moda) y la dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.
Te explico
IA
Estadística
La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una
determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos
en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones
de dicha población.
Medidas de tendencia central.
Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que pretenden resumir
en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual
se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central
más utilizadas son: media, mediana y moda.
Medidas de tencencia central para datos no agrupados.
Los datos no agrupados son aquellos que, obtenidos a partir de un estudio, no están todavía organizados por clases. Cuando es un número manejable de datos, usualmente 20 o menos, y hay pocos datos diferentes, se pueden tratar como no agrupados y extraer información valiosa de ellos. Las medidas de tendencia central, como la media, mediana y moda, son medidas que tratan de ubicar la parte central de un conjunto de datos.
Media aritmética ( ) La media es el valor que se obtiene al sumar todos los datos y dividir el resultado
entre la cantidad de datos.
Su fórmula es la siguiente:
Aunque la fórmula parezca complicada, calcular el valor de la media es muy
sencillo.
Ejemplo ¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos?
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IA
Mediana ( )
La mediana es el valor que ocupa la posición central cuando todos los datos están
ordenados en orden creciente o decreciente.
La mediana se representa con las letras: Me.
Calcular la mediana del conjunto de datos:
¿Y si la cantidad de datos es un número par?
En ese caso, la mediana es la media entre los dos valores centrales.
Calcular la mediana del conjunto de datos:
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Si al momento de calcular la mediana, ordenas los datos en forma decreciente o
descendente, obtendrás el mismo resultado que al hacerlo de forma creciente o
ascendente.
Moda ( )
La moda es el valor que más se repite. También podemos decir que la moda es
el valor con mayor frecuencia absoluta o el valor que ocurre con más frecuencia.
La moda se representa con las letras: Mo.
Ejemplo
Calcular la moda de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.
Podemos ver que el valor que más se repite es el 7, ya que tiene una frecuencia
absoluta de 2, por lo tanto, Mo = 7.
¿Y si hay varias modas?
Si en un grupo de datos, dos o más valores tienen la misma frecuencia, y es la
frecuencia máxima, entonces la distribución tiene dos o más modas y decimos que
es bimodal (2 modas), o multimodal (varias modas).
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Ejemplo
Calcular la moda de los siguientes datos: 3, 4, 4, 6, 7, 7, 9, 11.
Solución: Como vemos, hay 2 valores que se repiten 2 veces, el 4 y el 7, por lo tanto, los
valores de la moda son Mo = 4; 7.
¿Y si todos los valores tienen la misma frecuencia?
Si todos los valores tienen la misma frecuencia, entonces, no hay moda.
Medidas de dispersión Las medidas de dispersión en cambio miden el grado de dispersión de los valores
de la variable. Dicho en otros términos las medidas de dispersión pretenden
evaluar en qué medida los datos difieren entre sí. De esta forma, ambos tipos de
medidas usadas en conjunto permiten describir un conjunto de datos entregando
información acerca de su posición y su dispersión. Entre las medidas de
dispersión más usadas son: el Rango,
varianza, desviación media, etc.
población de Cádiz en los últimos dos siglos.
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El rango, también es llamado amplitud o recorrido de medida, en estadística, es la
diferencia (resta) entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos
provenientes de una muestra o de una población.
Para calcular el rango de una muestra o población estadística utilizaremos la
siguiente fórmula:
Donde
R es el rango. Máx. es el valor máximo de la muestra o población. Mín es el valor mínimo de la muestra o población estadística. x es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.
Para ello, no es necesario ordenar los valores de mayor a menor o viceversa. Si sabemos cuáles son los números con mayor y menor valor, tan sólo tendremos que aplicar la fórmula.
Ejemplo:
Se preguntó a 9 familias cuántas bicicletas tenían en total, dieron las respuestas
ordenadas en la siguiente tabla:
Nº de bicicletas 0 1 2 3
Frecuencia absoluta 1 5 2 1
- ¿Cómo hallarías el rango?
Se resta el dato mayor al dato menor: 3 - 0 = 3; Por lo tanto, el rango sería 3 en
este caso.
Desviación media
La desviación media de un conjunto de datos, es la media aritmética de los valores
absolutos de lo que se desvía cada valor respecto a la media aritmética
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Donde:
x: media aritmética de los datos. x1, x2, x3, …, xn: datos. xi: cada uno de los datos. n: número de datos. Recuerda calcular la media aritmética x antes de aplicar la fórmula de la desviación media.
El valor de la media aritmética es de 5.
Ahora aplicamos la fórmula de la desviación media:
El valor de la desviación media, es de 2. Ejemplo 2:
Calcular la desviación media de los siguientes datos: 3, 5, 8, 6, 2, 4, 7 y 5.
Solución:
Como son muchos datos, vamos a colocar los datos en una tablita:
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Sumamos los datos y calculamos su media aritmética, teniendo en cuenta que son 8 datos (n = 8).
Ahora sí, viene el cálculo de la media aritmética.
El valor de la media aritmética es 5.
Agregamos una columna más a la tabla donde colocaremos los valores de xi – μ:
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Agregamos otra columna más a la tabla donde colocaremos los valores de |xi – μ|:
Ahora sí, calculamos la desviación media con los valores obtenidos en la tabla: El valor de la desviación media es de 1,5. La desviación media siempre queda expresada en las mismas unidades que los datos originales, por ejemplo, si los datos originales están expresados en kilogramos, pues la desviación media también quedará expresada en kilogramos.
¿Cuál medida de tendencia central es más adecuada? MEDIA conveniencias: • Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos. • Su valor es único para una serie de datos dada. • Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión. • Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor: Inconveniencias: • Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media. Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura media de 1,95 m, valor que representa fielmente a esta población homogénea. Sin embargo, un equipo de jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también, como puede
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comprobarse, una estatura media de 1,95 m, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes. • En el cálculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos MEDIANA Propiedades e inconvenientes: Las principales propiedades de la mediana son: • Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada. • No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética. MODA Propiedades Sus principales propiedades son: • Cálculo sencillo. • Interpretación muy clara. • Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Inconvenientes • Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. • Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor. • No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución. • Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).
Ventajas y desventajas
El rango es, como dijimos antes, una medida de cuán dispersos están los datos. Un rango pequeño indica que los datos están más o menos cercanos y la dispersión es poca. En cambio, un rango mayor es indicativo que los datos están más dispersos.
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Las ventajas de calcular el rango son evidentes: es muy sencillo y rápido de hallar, pues es una simple diferencia.
Desviación media
Ventajas: toma en cuenta todos los datos Desventajas: la desviación media de una muestra no es un buen estimador de la desviación media de la población, que es lo que en última instancia nos interesa conocer.
¿Cuál es la medida de tendencia central más conveniente para dar una información representativa de cada conjunto de datos? 1. Distribución de la población en México. La tabla nuestra, de la población total de cada entidad, el porcentaje que vive en zonas urbanas. Analicemos la información de la tabla y con base en los datos que contiene, contestemos las preguntas.
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De este conjunto de datos, ¿Será más representativa la moda, la mediana o la media aritmética? ¿Por qué? R = El promedio. En este caso los valores que se manejan están muy cerca unos de otros, no hay valores que se carguen a los extremos. 2. Población que habla alguna lengua indígena. En la tabla se presenta el número de hablantes de una lengua indígena por cada 1000 habitantes en diferentes entidades
De este conjunto de datos, ¿Será más representativa la moda, la mediana o la media aritmética? ¿Por qué? R = La mediana. Este dato contiene la información más real, ya que indica que en la mitad de los estados existe menos de 30 hablantes por cada 1000
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habitantes, y en la otra mitad de los estados, hay más de 30 hablantes por cada mil habitantes. Recuerda que la mediana es la medida más representativa cuando los datos son muy dispersos, es decir, extremadamente alejados, unos muy pequeños (como en este caso 3) y unos muy grandes (en este caso 300). 3. Población infantil que trabaja. La tabla muestra el porcentaje de niños que trabajan, en 14 entidades, del total de su población.
De este conjunto de datos, ¿Será más representativa la moda, la mediana o la media aritmética? ¿Por qué? Pueden ser la mediana o la moda que tienen el mismo valor. Es el porcentaje que más se repite y, además, se encuentra al centro de la serie de valores.
¿Cómo realizar inferencias a partir de un grupo de datos?
En las tablas se muestran las edades de 10 personas que asisten a un taller de guitarra y 10 que asisten al taller de danza.
Para aprender más
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA Edades de personas que asisten al taller de guitarra
25 18 23 25 19
32 45 34 28 21
Edades de personas que asisten al taller de danza
29 28 33 27 20
35 40 34 38 51
A partir de las muestras anteriores se pueden determinar las medidas de tendencia central:
1- Edades de personas que asisten al taller de guitarra.
Media aritmética: se suman todos los datos y se divide por la cantidad de datos,
en este caso por 10.
= 25 + 18 + 23 + 25 + 19 + 32 + 45 + 34 + 28 + 21
10 =
270
10 = 27
Moda: Se escoge el dato que más se repite en este caso, 25 años se repite 2
veces.
= 25
Mediana: Se registran los datos de manera creciente y como 10 es un número par
se promedian los dos datos intermedios.
18 – 19 – 21– 23 – 25 – 25 – 28 – 32 – 34 – 45
Mediana: = +
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
IA Desviación media:
D.M. = |18 – 27| + |19 – 27| + |21– 27| + |23 – 27| + |25 – 27| + |25 – 27| + |28 – 27| + |32 – 27| + |34 – 27| + |45 – 27|
10
D. M. = 9 + 8 + 6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 5 + 7 + 18
10 =
62
2- Edades de personas que asisten al taller de danza.
Edades de personas que asisten al taller de danza
29 28 33 27 18
32 40 34 38 51
Media aritmética:
= 29 + 28 + 33 + 27 + 18 + 32 + 40 + 34 + 38 + 51
10 =
330
10 = 33
Moda: No hay moda. Mediana: 18 – 27 – 28 - 29 – 32 – 33 – 34 – 38 – 40 – 51
= 32 + 33
Desviación media:
IA
D.M.= |18 – 33| +| 27 – 33| + |28 − 33| + |29 – 33| + |32 – 33| + |33 – 33| + |34 – 33| + |38 – 33| + |40 – 33| + |51 – 33|
10
= 15 + 6 + 5 + 4 + 1 + 0 + 1 + 5 + 7 + 18
10 =
62
10 = 6.2
A partir de los datos obtenidos se pueden realizar las siguientes inferencias:
La media aritmética de la muestra del taller de guitarra es 27 años, por lo
tanto, se infiere que la mayoría de las personas que asisten al taller deben
tener sobre 20.
La mediana de la muestra del taller de danza es 33, se puede decir que al
taller de danza va gente con mayor edad que en el taller de guitarra.
Como la mediana de la muestra del taller de danza es 33, se puede decir
que las personas que tienen menos de 20 años son pocas.
El rango de edad de los asistentes del taller de danza es mayor que los del
taller de guitarra.
La mediana de los asistentes del taller de guitarra es menor que los de
taller de danza.
En esta situación es recomendable hacer inferencias con la mediana y media aritmética, ya que la moda no es representativa en ambos casos. Por su parte, el rango permite conocer la diferencia de edades en los dos talleres y en cuál de los dos grupos se presenta una mayor distribución.
Se sugiere ver los siguientes videos:
https://youtu.be/0DA7Wtz1ddg Media, moda y mediana. Súper fácil.
https://youtu.be/R68jbgERSI0 Elección de la medida de tendencia central que representa mejor un conjunto de datos.
https://youtu.be/AHaVyrQI6Sc Comparación de dos conjuntos de datos estadísticos
Actividad 1
Resuelve los siguientes ejercicios de acuerdo a lo que has aprendido hasta el
momento. Todos los ejercicios le debes agregar tu procedimiento, no se aceptarán
sin operaciones.
No uses la calculadora para la resolución, si te imprimen el fichero, puedes hacer
las operaciones en la misma hoja o al reverso de estas para rehusar la impresión.
Sólo marca a que ejercicio corresponden las operaciones.
Recuerda:
Escribe tus operaciones de manera clara por cada uno de los problemas planteados, responde con lápiz de manera legible y sin tachones.
Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución. Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no
lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas)
ACTIVIDAD. Resuelve los ejercicios y responde las preguntas de las páginas: 74
a la página 81 de tu libro de texto.
ACTIVIDAD 2. Resuelve los ejercicios y responde las preguntas de las páginas:
82 a la página 87 de tu libro de texto.
Manos a la obra
IA
Coloca una X en la columna que describa mejor tus logros en esta ficha de
aprendizaje.
completamente Logrado a
medias No logrado
Logra comprender que son las medidas de tendencia central y para que sirven
Conoce las propiedades de las medidas de tendencia central
Conoce las propiedades de
las medidas de dispersión
representativa entre dos conjuntos de datos
Logro resolver todos los
ejercicios del libro
Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera:
En asunto deben escribir:
Lo que aprendí
MATEMÁTICAS Primer Trimestre
Correo Electrónico: [email protected]
3°C” y 3” D”
Mtra. Laura Guadalupe Balán Salazar.
Correo Electrónico: [email protected]
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