CAPITOLUL I

ELECTROSTATICA

1.1. Introducere în câmp electromagnetic Câmpul şi substanţa sunt forme fizice fundamentale, în strânsă conexiune, sub care se prezintă materia. Câmpul electromagnetic este o formă de existenţă a materiei, deosebită de substanţa corpurilor şi există în regiunile din spaţiu în care se pot exercita asupra corpurilor acţiuni ponderomotoare (forţe şi cupluri) de natură electromagnetică. Deoarece cele mai multe dintre modurile de manifestare ale câmpuluielectromagnetic nu sunt direct accesibile simţurilor omului, mare parte din proprietăţile câmpului electromagnetic se studiază indirect, prin efectele pe care le produce. Sistemele fizice, interacţiunile şi transformările lor se descriu cu ajutorul proprietăţilor acestora, care pot fi puse în evidenţă prin analiza rezultatelor experimentale. Din mulţimea proprietăţilor fizice numai o parte pot fi caracterizate cantitativ, adică sunt susceptibile de a fi măsurate. Proprietăţile fizice care satisfac această condiţie, la care se adaugă şi indicarea unităţilor şi metodelor de măsurare se numesc mărimi fizice (scalare, vectoriale, tensoriale etc.). Mărimile fizice se clasifică după mai multe criterii : -din punct de vedere al introducerii într-o teorie a unui domeniu al fizicii, mărimi primitive şi mărimi derivate ; -din punct de vedere al sistemului de unităţi, mărimi fundamentale şi mărimi secundare ; - din punct de vedere al localizării în spaţiu, mărimi globale şi mărimi locale ; -după modul în care intervin în caracterizarea stărilor unui sistem fizic, mărimi de stare, mărimi accesorii şi mărimi de interacţiune. Măimile derivate sunt acele mărimi care într-o teorie dată se introduc cu ajutorul altor mărimi de referinţă, prin relaţii analitice, nefiind necesare experienţe care să pună în evidenţă

noi proprietăţi. De exemplu acceleraţia dt

dva etc.

Mărimile care nu pot fi definite cu ajutorul altor mărimi sunt mărimi primitive şi introducerea lor se face prin interpretarea datelor experimentale. În mecanica clasică : lungimea, durata, masa şi forţa. Fenomenele electrice şi magnetice nu sunt accesibile direct simţurilor omului, ci indirect prin intermediul unor efecte secundare de natură mecanică, termică, chimică etc. Experimental s-a stabilit că pot exista stări specifice ale corpurilor în care acestea manifestă proprietăţi noi, diferite de cele de natură mecanică, termică, chimică. Pentru descrierea cantitativă a acestor proprietăţi trebuie introduse mărimi noi. Aceste mărimi sunt numite mărimi electrice şi magnetice. Experienţa a arătat că atunci când se găsesc în asemenea stări, între corpuri se exercită interacţiuni (forţe şi cupluri) de natură diferită de interacţiunile mecanice numite interacţiuni electromagnetice. Aceste interacţiuni sunt efectul acţiunii exercitate asupra corpurilor de un sistem fizic distinct de ele, numit câmp electromagnetic. Corpul, aflat în stări electrice şi magnetice specifice, îşi asociază un câmp electric sau magnetic propriu şi acesta va exercita asupra oricărui alt corp aflat într-o stare similară, forţe şi cupluri. Câmpul electric şi cămpul magnetic sunt legate organic, constituind componentele complementare ale câmpului electromagnetic. Clasificarea regimurilor câmpului electromagnetic Din punct de vedere al modului de variaţie în timp a mărimilor electrice şi magnetice se disting: regimul staţionar şi regimul variabil în timp. În regim staţionar mărimile nu

variază în timp, dar au loc transformări de energie. Din această categorie fac parte regimurile de câmp electric staţionar (electrocinetica) şi de câmp magnetic staţionar. Regimul staţionar neânsoţit de transformări de energie se numeşte static şi anume: de câmp electrostatic (electrostatica) şi de câmp magnetostatic (magnetostatica). Câmpul electrostatic este stabilit de corpuri immobile cu repartiţie de sarcină sau stare de polarizare invariabilă în timp şi fără transformări de energie. Fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice şi ca urmare studiul câmpului electric şi magnetic se poate face separat. Regimul electrostatic nu se realizează efectiv, fiind aproximarea unui regim lent variabil în timp în care transformările energiei sunt neglijabile.

În electrostatică se studiază stările electrice invariabile în timp, neînsoţite de curenţi electrici, respectiv de transformări energetice.

Electrostatica analizează, de asemenea, forţele electrice exercitate de corpuri electrizate, câmpul electrostatic creat de aceste corpuri, potenţialul electric şi tensiunea electrică.

1.2. Sarcina electrică şi câmpul electric în vid

Experienţa pune în evidenţă faptul că frecând, unele de altele anumite corpuri, ca de exemplu o baghetă de sticlă şi o bucată de mătase şi apoi separându-le, asupra lor şi în vecinătatea acestora se exercită forţe şi cupluri de interacţiune. Starea în care au fost aduse, prin frecare, corpurile se numeşte stare de electrizare, iar forţele exercitate de aceste corpuri se numesc forţe electrice.

Dupa modul în care se transmite starea de electrizare, materialele electrotehnice se împart în:

- conductori electrici (metalele şi aliajele lor, cărbunele, unele soluţii de săruri-baze şi acizi), care transmit starea de electrizare instantaneu sau aproape instantaneu - izolanţi electrici sau dielectrici (sticla, masele plastice, hârtia, porţelanul, aerul uscat, uleiul, ş.a.) care transmit starea de electrizare în intervale mari de timp (ore, zile). Se constată experimental că forţele electrice care se exercită între corpurile electrizate,

sunt generate de existenţa în jurul acestora, a unui câmp electric, dependent de forţele electrice prin relaţia:

q

FEv (1.1)

în care:

F –forţa care se exercită între corpurile electrizate, se măsoară în newtoni [N]; q –sarcina electrică, reprezintă o mărime scalară ce caracterizează starea de electrizare a corpurilor şi se măsoară în coulombi [C];

E v – intensitatea câmpului electric în vid, mărime vectorială care se măsoară în [V/m].

Coulombul [C], ca unitate de sarcină electrică în sistemul internaţional de unităţi [SI], este egal cu unitatea de măsură a intensităţii curentului, amperul [A], care trece într-o secundă prin secţiunea unui conductor electric, adica:

sAC 111 (1.2)

Corpurile încărcate cu sarcină electrică pot fi punctiforme, liniare, sub formă de arie sau volum, iar sarcina electrică cu care sunt încărcate se repartizează în interiorul lor cu o anumită densitate specifică şi anume:

2

-ds

dq

dl

dq

l

qlim

0ll

densitate lineică, pentru cele liniare,

-dA

dq

A

qlim

0AA

densitate superficială sau de suprafaţă pentru cele superficiale,

-dv

dq

v

qlim

0vv

densitate de volum pentru cele volumetrice

Cunoscând densitatile de sarcină l , A si V , se pot determina cantităţile de

electricitate cu care sunt încarcate corpurile, folosind expresiile:

A VVAAll dVqdAqdlq ;;

V (1.3)

în care dl (sau ds), dA, dV, sunt elementele de linie, de suprafaţă şi de volum ale corpurilor in care se regasesc distributiile respective ale sarcinilor electrice.

Fig.1.1. Forţele de interacţiune a două corpuri punctiforme, încărcate electric

Fizicianul francez Charles Coulomb (1736 – 1806), a stabilit că între două corpuri

punctiforme, încărcate cu sarcinile electrice q1 şi q2 situate la o distanţă r, se exercită o forţă (fig.1.1) egală cu:

r

r

r

qqF

2

2112

4

1

(1.4)

unde este permitivitatea mediului, considerat omogen, în care sunt plasate corpurile punctiforme.

În cazul când mediul considerat este vidul, atunci permitivitatea lui, conform sistemului internaţional de unităţi SI, este:

90 1094

1

Nm

C2

2

sau

m

F (1.5)

Pentru alte medii dielectrice, permitivitatea acestora se calculează cu relaţia:

r 0 (1.6)

în care r , este permitivitatea relativă a mediului considerat, o marime adimensionala. Ţinând seama de relaţiile (1.1) si (1.4), se poate determina intensitatea câmpului

electric produs de un corp incărcat cu sarcina q, cu relaţia:

r

r

r

q

4

1E

2

0

v

(1.7)

Câmpul electric produs de sarcini electrice invariabile în timp şi fixe în spaţiu, se numeşte câmp electrostatic sau câmp electric coulombian.

Dacă într-un anumit mediu fizic se află corpuri încarcate cu sarcini electrice punctiforme sau cu sarcini electrice repartizate liniar, superficial şi volumetric, atunci fiecare

din aceste corpuri produce un anumit câmp electric, iar câmpul electric rezultant ( ) se determină prin superpoziţia/suprapunerea câmpurilor respective cu expresia:

rE

3

n n n n

VAlir EEEEE1 1 1 1

(1.8)

în care sunt câmpurile electrice ale corpurilor încarcate cu sarcini electrice punctiforme, liniare, superficiale şi volumetrice.

,,,, VAli EEEE

Ţinând seama de relaţiile (1.3) si (1.7), relaţia (1.8) devine:

3V V3A A3r l3

i

in

1i

0

r

r

rdV

r

rdA

r

rdl

r

rq

4

1E (1.9)

Relaţia (1.9) este cunoscută sub numele de teorema suprapunerii (sau superpoziţiei) câmpurilor electrostatice.

Pentru a evidenția regiunile din spațiu în care câmpul este mai intens sau mai puțin intens, se utilizează reprezentarea prin linii de câmp. Câmpul electric se reprezintă grafic prin liniile sale, conform figurii 1.2, unde se dau trei exemple: câmpul electric creat de o sferă conductoare încărcată cu sarcina electrică pozitivă (fig.1.2.a); câmpul electric creat de o sfera conductoare încarcată cu sarcina negativă (fig.1.2.b) şi spectrul liniilor câmpului electric creat de doua sarcini punctiforme q1=q2 situate în apropiere (fig.1.2.c) şi (1.2.d).

Liniile de câmp sunt radiale: ies(pleacă) din corpurile încarcăte cu sarcina pozitivă şi intră(sosesc) pe corpurile încărcate cu sarcina negativă.

Figura 1.2. Câteva exemple de spectre de linii de câmp.

Vectorul intensitate câmp electric ( ) este totdeauna tangent, în orice punct (P), la

direcţia locală a liniei de câmp (fig.1.3). În locul mărimii vectoriale se poate utiliza tot o mărime vectorială numită inducţia câmpului electrostatic în vid:

vE

vE

vv ED

0 [C/m2] (1.10)

4

Figura 1.3. Reprezentarea vectorului intensitate câmp electric

Teorema lui Gauss Fluxul vectorului intensitate a câmpului electric prin orice suprafaţă închisă este egal cu sarcina electrică din interiorulsuprafeţei raportată la permitivitatea vidului.

0

vq

AdE

(1.11)

1.5 Câmp electric în substanţă În cele ce urmează ne vom ocupa de studiul câmpului electric în materiale

electroizolante (dielectrici). Spre desebire de conductoare, care se electrizează numai prin încărcare cu sarcină

electrică, dielectricii se pot electriza atât prin încărcare cât şi prin polarizare. Corpurile izolante se caracterizează prin aceea că au în structura lor sarcini electrice

legate. Sarcinile electrice legate sunt ansambluri neutre din punct de vedere electric (sarcini pozitive şi negative egale, legate între ele prin intermediul unor forţe interne mult mai puternice decât la materialele conductoare). Sarcinile pozitive şi negative dintr-o moleculă nu o pot părasi. Aceste sarcini la nivelul moleculei, de multe ori au centrele de acţiune separate dând moleculei un aspect polar. Modelul fizic care poate descrie aceste molecule polare este dipolul electric (fig.1.4).

Figura 1.4. Dipol electric

Dipolul electric reprezintă un ansamblu de două sarcini punctiforme egale şi de semn

contrar aflate la o distanţă numită braţul dipolului. Dipolul electric la rândul sau poate fi caracterizat cu ajutorul unei mărimi fizice numită momentul electric al dipolului:

l

lqlimp0l,q

[C m ] (1.12)

egal cu produsul dintre sarcină şi braţul dipolului atunci când lungimea dipolului tinde la zero, iar sarcina dipolului tinde la infinit astfel încât la limită produsul lor este finit.

1.5.1. Polarizarea dielectricilor

Se consideră un corp izolant introdus într-un câmp electrostatic (

E ) ca în figura 1.5. Corpul izolant conţine o mulţime de dipoli orientaţi aleatoriu datorită agitaţiei termice a moleculelor. Aceşti dipoli vor fi supuşi la cupluri de forţe de forma;

EpC (1.13)

5

unde: p este momentul electric al dipolului, iar E este intensitatea câmpului

electrostatic.

Figura 1.5. Polarizarea corpurilor dielectrice

Cuplul se anulează când //

C

l

E deci şi dipolii se vor orienta dupa direcţia lui

E . Fenomenul fizic de orientare a dipolilor sub acţiunea câmpului exterior poartă

denumirea de polarizare. În urma polarizării corpului apare o sarcină în interiorul acestuia cât şi la suprafaţa lui, sarcini care dau naştere în fiecare punct al materialului la un câmp electrostatic. Acest câmp electrostatic obţinut prin intermediul polarizării substanţei se poate

descrie cu o mărime primitivă numită vectorul intensitate de polarizatie (

P ) sau polarizaţie definit cu ajutorul relaţiei:

V

pP i

V

0lim (1.14)

unde: reprezintă suma momentelor dipolilor dintr-un element de volum

ip V al

substanţei respective. Vectorul polarizaţie este de aceiaşi natură ca şi vectorul inducţie electrică, având ca

unitate de măsură în [SI]– [C/m2]. 1.5.2. Legea polarizaţiei electrice temporare Momentele dipolilor substanţelor izolante pot avea două componente:

pt ppp (1.15)

unde: - momentele temporare; momentele permanente.

tp

pp

Dipolii care au momente temporare se orientează dupa direcţia câmpului exterior (

E ) iar în momentul în care acesta îsi încetează existenţa dipolii revin la situaţia anterioară.

Dipolii care au momente permanente rămân orientaţi şi după scoaterea corpului din câmp. La materialele cu dipoli ce au momente temporare se enunţă legea polarizarii temporare:

EP e0t (1.16)

unde: e susceptivitatea electrică de polarizare, o constanta de material.

1.5.3. Polarizarea permanentă Dielectricii care prezintă o polarizaţie electrică chiar şi în absenţa unui cîmp electric

exterior produsă de factori neelectrici, se numesc dielectrici cu polarizaţie electrică permanentă.

6

De exemplu, cristalele de cuarţ sau turmalin, prin întindere sau compresiune se polarizează electric (polarizare piezoelectrica).

Alt procedeu de polarizare a dielectricilor constă în topirea şi solidificarea în câmp electric a unor substanţe cum e ceara de albine (polarizare de electret).

1.5.4. Legea legăturii dintre

PsiED,După cum s-a văzut în cele prezentate mai sus, pentru descrierea fenomenelor

electrostatice în dielectrici sunt necesare două mărimi primitive: Experienţa arată că între cele două mărimi există o relaţie de forma:

.

DsiE

PED 0 (1.17)

numită legea legăturii între care este o lege de material.

PsiE,DÎn cazul mediilor omogene şi liniare la care se poate scrie legea polarizării temporare

(1.15), relaţia (1.17) devine:

EEED ee 1000 (1.18)

Notând cu e 10 - permitivitatea absolută obţinem relaţia:

ED (1.19) Se defineşte şi o permitivitate relativă a mediului:

er 1

0

(1.20)

care arată, contribuţia mediului la fenomenul de polarizare electrică (prin constanta e ).

1.5.5. Legea fluxului electric Fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Σ trasată integral prin corpuri, parţial prin

corpuri şi parţial prin vid sau integral în vid este egal cu sarcina electrică adevărată qΣ din interiorul suprafeţei închise Σ.

qdAnD (1.21)

1.6. Potenţial electrostatic şi diferenţă de potenţial

1.6.1. Potenţialul electrostatic al sarcinilor punctiforme

Considerăm două sarcini punctiforme q > 0 şi q0 > 0. Presupunem că sarcina q este fixă, iar sarcina q0 poate fi deplasată de-a lungul unui drum oarecare C, între două puncte P1 şi P2 (fig. 1.6.).

Figura 1.6. Potenţial electrostatic

7

Deplasarea se face suficient de lent, astfel încât în fiecare moment regimul să poată fi considerat electrostatic. Notăm cu ds un vector egal în modul cu elementul de drum ds şi orientat în sensul pozitiv al tangentei la curba C, adică în sensul deplasării sarcinii q0. Lucrul mecanic efectuat de forţele de natură electrostatică la deplasarea sarcinii q0 pe curba C, de la punctul P1 la punctul P2, este:

2

1 1CP CP

2P P

0C12 dsEqdsFL (1.22)

Intensitatea câmpului electrostatic într-un punct P de pe curba C se determină cu relaţia

3r

r

4

qE

(1.23)

Dacă sunt date punctele P1 şi P2, lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unităţii de sarcină electrică pozitivă în câmpul E, din punctul P1 în punctul P2 este:

21

r

r2

r

r2

P

CP

r

r3

0

12

r4

q

r4

q

r

dr

4

qr

cosds

4

q

r

dsr

4

qdsE

q

L

2

1

2

1

2

1

2

1

(1.24)

2

1

P

P

dsEDeoarece drumul C a fost luat arbitrar, rezultă că integrala nu depinde

de alegerea drumului de integrare între cele două puncte P1 şi P2 şi este funcţie numai de coordonatele punctelor P1 şi P2.

Dacă punctul P2 se îndepărtează la infinit (r2→∞) şi P1 este un punct curent P (r1→ r), din relaţia (1.23) rezultă:

PrP

Vr

1

4

qdsEdsE

(1.25)

Mărimea scalară Vp se numeşte potenţial electrostatic în punctul P situat la distanţa r de sarcina punctiformă q care produce câmpul electrostatic de intensitate E. Prin urmare, potenţialul electrostatic este egal cu lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului electrostatic pentru deplasarea unităţii de sarcină electrică pozitivă din punctul considerat până la infinit. La infinit, potenţialul electrostatic tinde către zero şi are valoare finită în întreg spaţiul, cu excepţia punctului singular r=0 în care se presupune a fi concentrată sarcina.

Mărimea scalară U12 egală cu lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unităţii de sarcină electrică pozitivă în câmpul E, pe drumul C, din punctul P1 în punctul P2,

2

1P0q

P12

12 dsEL

U (1.26)

este denumită tensiune electrică sau diferenţă de potenţial între cele două puncte şi caracterizează proprietăţile câmpului electrostatic de-a lungul drumului respectiv, anume proprietatea pe care o are câmpul de a efectua un lucru mecanic la deplasarea sarcinilor electrice de-a lungul acestui drum.

8

Din relaţia (1.23) rezultă că tensiunea electrică (diferenţa de potenţial) este egală cu diferenţa dintre valorile pe care le ia funcţia V definită de relaţia

r

1

4

qV

(1.27)

în cele două puncte, adică

21

1

PPP0

1212 VVdsE

q

LU (1.28)

2P

Diferenţa de potenţial, la fel ca şi tensiunea electrică, este o mărime derivată. În S.I. unitatea de măsură a diferenţei de potenţial, aceeaşi cu a tensiunii electrice, se numeşte volt (V).

In conformitate cu principiul superpoziţiei, potenţialul electrostatic V stabilit într-un punct oarecare de n sarcini punctiforme q ,k= 1, 2, ..., n, este egal cu suma potenţialelor k

electrostatice Vk, k = 1, 2, ..., n, stabilite în acel punct de fiecare sarcină:

n

1kkVV (1.29)

unde

k

kk r4

V

q

(1.30)

Din relaţiile (1.28) şi (1.29) rezultă:

n

1k k

k

r

q

4

1V (1.31)

1.6.2. Potenţialul electrostatic al sarcinilor distribuite

Dacă sarcina electrică este distribuită, potenţialul electrostatic elementar dV stabilit de sarcina elementară dq se calculează cu relaţia (1.27),

r4

dqdV

(1.32)

Dacă distribuţia de sarcină elementară este volumetrică cu densitatea ρv în relaţia (1.31) se înlocuieşte dq cu ρvdv şi potenţialul electrostatic 31) pe volum: V se obţine integrând relaţia (1.

V

V dvr4

1V (1.33)

Dacă sarcina electrică este distribuită superficial cu densitatea ρA numai în straturile foarte subţiri de la suprafaţa corpurilor încărcate, în relaţia (1.31) se înlocuieşte dq cu ρ dA şi potenţialul A

electrostatic V se obţine integrând relaţia (1.31) pe suprafaţă:

9

A dA

r4

1V (1.34)

S

În cazul în care sarcina electrică este n relaţia (1.31) se distribuită liniar cu densitateaρl, îînlocuieşte dq cu ρlds şi potenţialul V se obţine integrând relaţia (1.31) pe linie:

l ds

r4

1V (1.35)

C

Dacă în câmp se găsesc corpuri încărcate cu sarcini distribuite volumetric, superficial, lineic şi discret, conform principiului superpoziţiei, potenţialul electrostatic într-un punct oarecare V are expresia:

C

kl

S

A

V

V qdsr

dAr

dvr4

1V (1.36)

Relaţiile (1.32 – 1.34) s-au stabilit pe baza expresiei potenţialului electrostatic al unei sarcini punctiforme (1.24), care s-a obţinut în ipoteza că potenţialul punctelor depărtate la infinit este nul. Prin urmare, relaţiile (1.32 -1.34) pot fi utilizate pentru calculul potenţialului electrostatic numai în cazul în care sarcinile sunt distribuite într-o regiune finită din spaţiu. Dacă sarcina electrică este repartizată în întreg spaţiul, potenţialul într-un punct la infinit nefiind nul, nu poate fi luat origine a potenţialului şi în relaţia (1.35) cel puţin una dintre integrale este divergentă (infinit de mare). Într-adevăr, în aceste cazuri, întreg spaţiul (spaţiul infinit) cuprinde nu numai punctele îndepărtate la infinit dar şi o bună parte din corpurile propriu zise, încărcate cu sarcini electrice. Într-un sistem de sarcini distribuite la infinit, potenţialul într-un punct din câmp se obţine calculând diferenţa de potenţial între punctul bitrar, considerat P şi un punct de referinţă P0 ales arutilizând relaţia (1.27):

P

PPP

0

0dsEVV (1.37)

Alegerea punctului de referinţă este arbitrară ăţii câmpului , cu condiţia ca integrala intensitelectrostatic între punctele P0 şi P să nu ia valori ă punctul P0 şi infinite. În acest caz nu se precizeazîn relaţia (1.36) VP0 este o constantă aditivă:

P

P constdsEV (1.38)

Prin urmare, potenţialul electrostatic poate fi determinat numai cu aproximaţia unei constante scalare arbitrare, care depinde de alegerea arbitrară a punctului de referinţă.

Câmpul care în fiecare punct poate fi caracterizat cu aproximaţia unei mărimi scalare arbitrare, denumită potenţial electrostatic, se numeşte câmp potenţial.

Observaţie. Noţiunea de diferenţă de potenţial, aplicabilă numai câmpurilor potenţiale, are un sens mai restrâns decât noţiunea de tensiune electrică, aplicabilă oricărui câmp electric. Cele d le P1 şi P2 şi diferenţă de potenţial între punctele ouă noţiuni, tensiune electrică între puncteP1 şi P2, coincid numai în cazul câmpului potenţial.

1.6.3. Teorema potenţialului electrostatic

Forma integrală a teoremei potenţialului electrostatic. Intensitatea câmpului electrostatic stabilit de sarcina electrică distribuită se calculează cu relaţia:

10

D3

dqr

r

4

1E (1.39)

unde D este domeniul pe care este distribuită sarcina electrică. Dacă se calculează integrala curbilinie a vectorului E pe o curbă închisă Г, rezultă:

0dsr

rdq

4

1Eds

D3

(1.40)

Relaţia (1.39), (1.40)

0dsE (1.41)

constituie forma integrală a teoremei potenţialului electrostatic: în regim electrostatic integrala de linie a vectorului intensităţii câmpului electrostatic în lungul oricărui contur închis este egală cu zero. Din relaţia (1.40) rezultă (fig. 1.7):

EdsEdsEds

2

1121

P

mPnPmPP

0Eds1

2

P

nP

(1.42)

sau,

2

1

1

2

2

1

P

mP

P

nP

P

mP

EdsEdsEds , (1.43)

Figura 1.7 adică, integrala de linie a intensităţii câmpului electrostatic nu depinde de drumul ales pentru integrare.

1.7 Condensatorul electric şi capacitatea electrică Două conductoare separate, printr-un dielectric şi încărcate cu sarcini electrice egale şi

de semn contrar (+q, -q), formează un condensator. Raportul dintre sarcina q a condensatorului şi tensiunea electrică U, dintre armăturile

sale, se numeşte capacitatea condensatorului.

U

qC (1.44)

Unitatea de masură a capacitaţii în sistemul internaţional de unităţi [SI], este faradul [F].

Condensatoarele pot avea mai multe configuraţii geometrice, dintre care mai uzuale sunt: condensatorul plan (fig. 1.8), condensatorul cilindric şi condensatorul sferic.

Figura 1.8. Secţiunea transversală printr-un condensator plan

11

Condensatorul plan Acest condensator este format din două armături plane 1 şi 2 foarte apropiate, de arie

A, separate printr-un dielectric de grosime d şi permitivitate . La bornele condensatorului se aplică tensiunea electrică U (fig.1.8). Confor ă: m legii fluxului electric, se poate scrie c

qdAD (1.45)

în care i. Din relatia (1.44) se poate obtq, este cantitatea de electricitate acumulată pe armăturile condensatorulu

ine expresia intensităţii câmpului electric: qAE (1.46)

Pe de altă parte, conform teoremei potenţialului electrostatic, se poate determina tensiunea electrică dintre armaturi:

Ţinând seama de relaţiile (1.45) si ( lui plan: 1

dEdrEU (1.47) 2

1.46), se deduce capacitatea condensatoru

dE

AE

U

qC

(1.48)

sau:

d

AC

(1.49)

.8. Capacităţi echivalente. Transfigurarea circuitelor electrice cu capacităţi

1.8.1. Capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare conectate în serie

1

Figura 1.9. Condensatoare conectate în serie

nsiderand sistemul de condensatoare dat, capacitatea echivalentă a sistemului este egală cu:

Co

ABe U

qC (1.50)

(1.51)

Ţinând seama de (1.49), relaţia (1.50), devine:

Dar nAB 21 .....n

kUUUUU1

n

kne CCCCC 121

De

qqqqq 1

..... (1.52)

ci, capacitatea echivalentă a sistemului de condensatoare conectate în serie este egală cu:

n

k

e

C

C

1

11

(1.53)

12

13

1.8.2. Capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare conectate în paralel

Figura 1.10. Condensatoare conectate în paralel

ndensatoare (C1,C2,.....Cn), conectate în paralel, capacitatea echivalentă a sistemului este egală c

Considerând sistemul de co

u:

AB

n

ABe U

qqq

U

qC

...21 (1.54)

sau

ne CCCC .....21 (1.55)

Deci capacitatea echivalent

(1.56)

ă a sistemului este:

n

ke CC1

Aplicaţie In vârfurile unui triunghi echilateral, cu latura de 20 cm. sunt aşezate, în aer, trei corpuri

-8 C. Să se calculeze: nghiului,

) forţele rezultante care acţionează asupra fiecărui corp.

punctiforme cu sarcinile electrice: q1=q2=10-8 C şi q3= - 2·10a) intensitatea câmpului electric în centrul triub) potenţialul electric în centrul triunghiului, c

CAPITOLUL II

ELECTROCINETICA

2.1. Starea electrocinetică Consider două conductoare A şi B omogene şi imobile, izolate electric şi încărcate la

potenţiale electrice diferite, VA > VB. Stabilind o legătură conductoare între cele două conductoare, se obţine un conductor unic în interiorul căruia grad V ≠ 0. Prin urmare, în interiorul conductorului unic apare un câmp electric sub acţiunea căruia se produce, prin legătura conductoare, o deplasare de sarcini electrice de la conductorul A cu potenţial mai ridicat la conductorul B cu potenţial mai scăzut. Această deplasare are loc până când cele două potenţiale se egalizează. In tot acest interval de timp, sistemul care formează acum un conductor unic, este într-o stare nouă, diferită de starea electrostatică, caracterizată de fenomene (efecte) noi şi anume : • efecte mecanice: asupra conductoarelor se exercită forţe şi cupluri suplimentare faţă de cele datorate stării lor de electrizare sau magnetizare, • efecte calorice: dacă legătura conductoare este un fir metalic, acesta se încălzeşte; • efecte chimice: dacă conductorul de legătură este o soluţie de acizi, baze sau săruri (soluţii electrolitice), acesta devine sediul unor reacţii chimice; • efecte magnetice: în vecinătatea legăturii conductoare apare un câmp magnetic; • efecte electrice: starea de încărcare electrică a conductoarelor poate să varieze în timp; • efecte luminoase: dacă legătura conductoare este un fir metalic, emite lumină ca urmare a încălzirii lui la incandescenţă; dacă legătura conductoare este un gaz, acesta produce în anumite condiţii lumină, independent de încălzire.

Starea conductoarelor în care are loc, în condiţiile arătate, cel puţin unul din aceste efecte se numeşte stare electrocinetică. Conductoarele în stare electrocinetică neînsoţite de efecte chimice se numesc conductoare de prima speţă. Din această categorie fac parte metalele, carbonul, semiconductorii, etc.

Conductoarele care în stare electrocinetică sunt sediul unor reacţii chimice se numesc conductoare de a doua speţă (din această clasă fac parte soluţiile electrolitice numite şi electroliţi).

Intr-o interpretare microscopică simplificată, starea electrocinetică a conductoarelor se poate considera ca fiind asociată transmisiei de purtători de sarcină, adică unui curent de sarcini electrice în conductoare, numit curent electric de conducţie. Purtătorii de sarcină în conductoarele de prima speţă sunt electronii, iar în conductoarele de a doua speţă, ionii.

Proprietatea corpurilor de a permite trecerea unui curent electric de conducţie se numeşte conductibilitate electrică, iar fenomenul corespunzător se numeşte conducţie electrică. Sistemul format din cele două conductoare A, B şi legătura conductoare dintre ele constituie un circuit electric; se spune că circuitul electric este parcurs de curent electric de conducţie, sau prin circuit trece curent electric de conducţie. Diferenţa de potenţial dintre conductoarele A şi B caracterizează în acest caz sursa curentului electric. Părţile între care sursa menţine o tensiune electrică într-un circuit electric se numesc borne; se spune că sursa alimentează circuitul, respectiv aplică la bornele circuitului o tensiune electrică.

2.2. Câmpuri electrice imprimate În exemplul considerat, starea electrocinetică a conductoarelor are loc până când

potenţialele conductoarelor A şi B se egalizează, VA = VB. Starea electrocinetică poate fi menţinută numai dacă se cheltuieşte o anumită cantitate de energie de altă natură decât electrică.

14

Câmpul electric obţinut prin cheltuirea unei cantităţi de energie neelectrică, câmp care imprimă purtătorilor de sarcină o mişcare ordonată are două aspecte: • câmp electric imprimat care generează curent electric constant în timp (curent staţionar sau continuu); • câmp electric solenoidal (indus), produs de fluxul magnetic variabil în timp, care generează curent electric variabil în timp.

2.2.1. Intensitatea câmpului electric imprimat. Tensiune electromotoare imprimată În afară de câmpul electric stabilit de corpurile încărcate cu sarcină electrică sau polarizate

electric, câmpul electric mai poate fi produs şi de neomogenităţi de natură neelectrică în conductoarele de prima sau de a doua speţă, numit câmp electric imprimat. Câmpul electric imprimat depinde numai de starea locală neelectromagnetică a substanţei considerate şi nu este determinat de repartiţia sarcinilor electrice sau de fenomenul de inducţie electromagnetică. Câmpul electric imprimat este diferit de zero în unele medii neomogene din punct de vedere fizico - chimic (de exemplu, datorită unor fenomene termice sau chimice) sau în care există acceleraţie. Aceste fenomene de natură termică, chimică sau mecanică pot determina apariţia unor forţe de natură neelectrică care să acţioneze asupra particulelor din mediul respectiv, inclusiv asupra particulelor încărcate cu sarcină electrică. Mărimea vectorială Ei egală cu raportul dintre forţa de natură neelectrică Fneel, care acţionează asupra unei particule şi sarcina ei electrică q, atunci când aceasta tinde la zero,

q

FlimE

neel

0qi

(2.1)

se numeşte intensitate a câmpului electric imprimat. Prin particula încărcată cu sarcina q se înţelege o particulă care aparţine mediului

respectiv şi nu un corp de probă. În cazul conductoarelor neomogene şi accelerate, regimul electrostatic poate fi realizat

numai dacă forţa totală Ft (de natură electrică F şi neelectrică Fneel) care acţionează asupra sarcinilor electrice libere din conductoare este nulă:

0EEqEqFFF icneelt (2.2)

unde, Ec este intensitatea câmpului electric coulombian produs de repartiţia instantanee a sarcinilor electrice. Din relaţia (2.2) rezultă condiţia de echilibru electrostatic pentru conductoare neomogene din punct de vedere fizic şi chimic şi accelerate:

0EEE ci (2.3) sau,

ci EE (2.4) Într-un punct din conductor, neomogenităţile stabilesc un câmp electric imprimat care

determină o repartiţie de sarcini electrice încât suma dintre intensitatea câmpului electric coulombian Ec produs de ele şi intensitatea câmpului electric imprimat Ei, satisface relaţia (2.3). Ţinând seama de relaţia (2.4), pentru intensitatea câmpului electric imprimat se poate utiliza de asemenea următoarea definiţie: mărimea vectorială Ei egală şi de semn contrar cu intensitatea Ec pe care ar trebui să o aibă câmpul electric într-un conductor neomogen sau accelerat pentru ca acest conductor să fie în regim electrostatic, se numeşte intensitate a câmpului electric imprimat.

Integrala de linie a intensităţii câmpului electric imprimat efectuată pe o curbă închisă Γ se numeşte tensiune electromotoare imprimată de contur şi se notează cu simbolul UeΓ,

dsEU ie

(2.5)

15

Se poate utiliza şi noţiunea de tensiune electromotoare imprimată în lungul unei curbe deschise C, definită de relaţia:

dsEU2

1

P

)C(P

i12e (2.6)

Câmpul electric imprimat se deosebeşte de câmpul electric coulombian prin aceea că circulaţia pe un contur închis este nenulă.

Lq

1dsF

q

1dsEU iie (2.7)

Lucrul mecanic al forţelor neelectrice consumat pentru deplasarea purtătorului unitar de sarcină electrică pe conturul Γ reprezintă tensiunea electromotoare imprimată de contur.

În sistemul de unităţi S.I., unitatea de măsură a tensiunii electromotoare egală cu produsul dintre unitatea de câmp electric şi unitatea de lungime, se numeşte volt (V).

Sursele de tensiune electromotoare se simbolizează grafic ca în figura 2.1.

Figura 2.1. Reprezentarea grafică a surselor de t.e.m.

O repartiţie de sarcini electrice diferită de cea electrostatică implică Ei+Ec≠0. Deoarece conductoarele sunt caracterizate prin existenţa unui număr important de sarcini electrice libere (electronii din metale şi ionii din soluţii), sub acţiunea unui câmp electric diferit de zero, Ei+Ec≠0, se pot deplasa ordonat, dând naştere unui curent electric de conducţie. După natura condiţiilor fizico-chimice, câmpurile imprimate sunt:

- galvanice - termoelectrice - de concentraţie - de acceleraţie - de natură luminoasă etc 2.3. Mărimi de stare ale electrocineticii 2.3.1. Curentul electric de conducţie. Densitate a curentului electric Starea electrocinetică se poate caracteriza printr-o mărime derivată numită

intensitatea curentului electric, egală cu sarcina electrică care trece în unitatea de timp printr-o secţiune transversală a conductorului:

dt

dqi (2.8)

În general pentru curentul electric se folosesc următoarele notaţii: I – în regim invariabil în timp (regim staţionar); i – în regim variabil în timp. Starea electrocinetică se caracterizează de asemenea printr-o mărime derivată numită

densitatea curentului electric. Densitatea de curent este o mărime vectorială funcţie de punct (fig.2.2), asociată versorului normalei la suprafaţă (SΓ) în punctul considerat şi poate fi descrisă prin relaţia:

16

ndA

din

A

iJ A

0Alim

(2.9)

Figura 2.2. Densitatea de curent printr-o suprafaţă deschisă

În baza relaţiei (2.9) se poate calcula curentul electric, ca fiind fluxul densităţii de

curent prin suprafaţa SΓ:

SS dAJi (2.10)

unde

ndAdAUnitatea de masură a curentului în [SI] este amperul [A], iar a densităţii de curent

este amper pe metru pătrat [A/m2].

2.4. Legile şi teoremele electrocineticii 2.4.1. Legea conservării sarcinii electrice Forma integrală a legii conservării sarcinii electrice. Fie o suprafaţă închisă Σ care

intersectează conductoare parcurse de curent electric şi conţine în interior corpuri încărcate cu sarcini electrice. Sub formă integrală enunţul legii este următorul: în fiecare moment, intensitatea curentului electric de conducţie i

Σ care iese din suprafaţa Σ este egală cu viteza

de scădere în timp a sarcinii electrice qΣ

care încarcă corpurile din interiorul suprafeţei Σ,

indiferent de starea lor cinematică:

dt

dqi (2.11)

Dacă sarcina electrică se repartizează cu densitate de volum ρv şi J este densitatea

curentului electric de conducţie într-un punct pe suprafaţa Σ, ecuaţia (2.11) devine:

dvdt

ddv

dt

d

dt

dqdAnJ

V

vv

Vv

(2.12)

unde dt

d vv este derivata de volum în raport cu timpul a lui ρv.

Dacă suprafaţa Σ se consideră ataşată corpurilor în mişcare şi antrenată de mişcarea acestora şi diferitele puncte ale suprafeţei Σ au viteza v, atunci variaţia în timp a sarcinii din volumul vΣ, care este funcţie de punct şi de timp ρ

v(r,t), este produsă de două cauze: variaţia locală în

timp a densităţii de volum a sarcinii electrice şi mişcarea corpurilor. În acest caz, derivata în raport cu timpul a integralei de volum a lui ρ

v are expresia:

V

vv

Vv dv

tAdvdv

dt

d

dt

dq (2.13)

17

Introducând acest rezultat în relaţia (2.12), se obţine forma integrală a legii conservării sarcinii electrice pentru corpuri în mişcare:

V

vv dv

tAdvJ (2.14)

Această formă a legii pune în evidenţă faptul că sarcina electrică dintr-un domeniu vΣ

limitat de o suprafaţă închisă Σ, considerată de această dată fixă faţă de sistemul de referinţă ales, scade atât datorită curentului de conducţie, cât şi datorită curentului de convecţie care părăsesc suprafaţa Σ.

Deoarece în formularea legii nu intervin mărimi de material, legea conservării sarcinii electrice este o lege generală a câmpului electromagnetic.

Se observă că, dacă v = 0, relaţia (2.14) devine:

V

v dvt

AdJ (2.15)

şi constituie forma integrală a legii conservării sarcinii electrice pentru corpuri imobile. Dacă primul membru al ecuaţiei (2.11) este nul, i = 0, rezultă:

Σ

qΣ

= constant. (2.16)

Curentul total se anulează fie dacă suma curenţilor care intră prin anumite porţiuni ale suprafeţei Σ este în fiecare moment egală cu suma curenţilor care ies prin alte porţiuni ale suprafeţei, fie dacă densitatea de curent J este nulă peste tot pe Σ; acest ultim caz are loc, de exemplu, dacă nici un conductor nu intersectează Σ, prin urmare domeniul v

Σ este izolat

galvanic. Dacă sarcina electrică este nenulă, qΣ≠0, domeniul vΣ

nu este izolat electric

deoarece prezenţa sarcinii +qΣ

implică existenţa sarcinii -qΣ

în exteriorul suprafeţei Σ;

domeniul vΣ

este izolat electric, dacă în afară de izolarea lui galvanică sarcina electrică din

interiorul suprafeţei Σ este nulă. Anularea sarcinii electrice din domeniul vΣ

nu presupune

neapărat lipsa sarcinilor electrice; sarcinile care încarcă corpurile situate în vΣ

sis

t p

pot alcătui în

fiecare moment un tem complet de sarcini adică: . (2.17)

Vkk tq

2.4.2. Legea conducţiei electrice(Legea lui Ohm) a) Forma locală a legii conducţiei electrice În orice punct al unui conductor electric liniar, izotrop şi neomogen este valabilă

expresia următoare şi care constituie legea conducţiei electrice (legea lui Ohm) sub formă locală: în fiecare punct dintr-un conductor liniar, neomogen şi izotrop, de prima speţă, independent de starea lui cinematică, densitatea curentului electric de conducţie este proporţională cu intensita ea câm ului electric:

EEJ i (2.18) în care:

J - densitatea de curent; - o constanta de material numită conductivitate electrică;

iE - câmpul electric imprimat;

E - câmpul electric coulombian (creat de deplasarea ordonată a purtatorilor de sarcini electrice).

18

În locul conducti ctrică: vităţii se poate folosi o altă constantă numită rezistivitate ele

(

12.19)

În acest caz relaţia (2.18) se poate scrie:

EEJ i (2 .20)

Unităţile de masură în [SI] sunt: pentru 1 m , iar pentru m . Expresiile (echivalente) – (2.18) sau (2.20) reprezintă forma locală a legii conducţiei

electrictic,

de densitatea curentului electric, ci de tempera e forma:

e. În conductoarele liniare (metale, cărbune, electroliţi) rezistivitatea nu depinde, prac

tura conductorului printr-o relaţie d 121

12 (2.21)

în care:

21 si - reprezintă rezistivităţile electrice la temperaturile 21 si ;

- reprezintă coeficientul de temperatură care este pozitiv la metale şi negativ la

cărbun) Forma integrală a legii conducţiei electrice pentru o porţiune de conductor filiform

e şi semiconductoare. b

Figura 2.3. Curentul electric rintr-un conductor filiform

că scriem relaţia (2.20) pentru punctul P de pe conductorul filiform din figura 2.3 obţinem:

p

Da

EJ (2.22) deoare

Integrând relaţia (2.11) pe lungimea conductorului ob

(2.23)

Cum

este paralel cu

iar

ce pentru un conductor omogen Ei=0 ţinem:

2 2

1dsEdsJ

1

J dsA

IJ , relaţia (2.23) devine:

2

1A (2.24)

Dar membrul do

dsElI

i al relaţiei (2.24), ţinând cont de potenţialele celor două capete ale conductorului, devine:

(2.25)

Notând de asemenea cu 1

E 2

1221 UVVds

AR ; (2.26)

R – este o mărime care depinde de geometria şi natura conductorului şi se numeşte re

l

zistenţa

ntegrală a legii conducţiei electrice (legea lui Ohm), pentru un conductor omogen devine:

electrică, iar U12 – este tensiunea măsurată între capetele conductorului de lungime l. Forma i

IRU 12 (2.27)

19

Se mai foloseşte şi o altă mărime num e inversul rezistenţei:

ită conductanţă electrică şi care est

l

A

l

A

RG

1

(2.28)

borne (care se arată printr-o săgeată) şi se renunţă la indici. În figura 2.4.a se arată sensul de referinţă la receptoare, iar în figura 2.4.b se arată sensul de referinţă pentru generatoare.

În sistemul [SI], pentru rezistenţă, unitatea de măsură este ohmul [ ], iar pentru conductanţă este siemensul [S]=[ 1 ].

În teoria circuitelor electrice de multe ori se elimină notarea bornelor, se adoptă sensuri de referinţă pentru tensiunea la

Figura 2.4. Convenţia de sensuri de referinţă

nem că avem un regim staţionar (sarcina este invariabil im legea conservă

Printr-o suprafaţă închisă care intersectează conductoare parcurse de curenţi electrici de conducţie ca în figura 2.5.a , dar ţia (2.29) devine:

(2.30)

2.4.3 Teorema I a lui Kirchhoff Dacă în relaţia (2.8), sarcina electrică q nu variază în timp, spu

ă, adică sarcina se conservă). Dar pentru acest regrii sarcinii electrice în forma integrală (2.11) are forma:

0i (2.29)

nu trece printre armături de condensatoare, rela

0ij

j

Figura 2.5. Teorem I a lui Kirchhoff a

a - pentru suprafaţa închisă b - pentru un nod (K)

În ecuaţia (2.30) sumarea este algebrică: „curenţii cu sensurile de referinţă spre suprafaţa sunt de semn opus faţă de curenţii care ies din suprafaţa ”.

Relaţia (2.30) constituie teorema I a lui Kirchhoff şi se enunţă astfel: suma algebrică a intensităţii curenţilor din conduct it electric este nulă.

În exemplul din figura 2.5 b teorema I a lui Kirchhoff se scrie:

oarele care concură într-un nod al unui circu

0i (jKj2.31)

054321 iiiii (2.32)

20

2.4.4. Teorema a II-a a lui Kirchhoff linii ale

de puncte (borne), alcătuind o curbă închis

(fig.2.6). Din anularea integralei

Fie V1, V2,.....Vn potenţialele electrice a „n” puncte din câmp (borne) şi C

tensiunii la borne între perechi

bj

ă n

jbjC

1

0

bjj

u (2.33)

Relaţia (2.33) reprezintă teorem

0dsE rezultă:

a a II-a a lui Kirchhoff şi se enunţă astfel: în lungul unei curbe închise constituită din re nsiunilor la borne este în fiecare moment nulă:

(2.34)

uniunea unor linii de tensiuni la borne, suma te

0uoj

bj

Figura 2.6. Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru o buclă de circuit

În ecuaţiile (2.33) si (2.34), suma este algebrică: tensiunile la borne ale căror sensuri

de referinţă coincid cu sensul ochiului „o” (fig. 2.6) se introduc cu semnul plus, iar cele cu sensuri

ansformării energiei în conductoare parcurse de curent electric de condu

conducţie, este egală cu produsul i electric E(r,t) ş

opuse se introduc cu semnul minus. 2.4.5. Legea tr

cţie (legea Joule-Lenz) Forma locală Pentru orice conductor omogen sau neomogen, izotrop sau anizotrop, liniar sau

neliniar şi independent de starea lui cinematică, legea transformării energiei în conductoare parcurse de curent electric de conducţie se enunţă astfel: puterea instantanee p

J(r,t), cedată

pe unitatea de volum al conductorului de către câmpul electromagnetic în procesul descalar dintre intensitatea instantanee a câmpulu

i densitatea instantanee de curent J(r,t),

JEp j (2.35)

Pentru conductoare liniare, izotrope ş i şi ţinând i omogene vectorii E şi J fiind paralelseama de legea conducţiei electrice, relaţia (2.35) devine:

22

j EJp (2.36)

Rezultă că densitatea de volum a puterii este pozitivă şi reprezintă energia electromagnetică transfo în unitatea de volum şi unitatea de timp în căldură prin efect electro

rmată ireversibil caloric (efect Joule-Lenz). Forma integrală

21

Se consideră un conductor drept de prima speţă, liniar, izotrop şi omogen de lungime şi arie a secţiunii transversale A, parcurs de curent continuu. Experimental se constată că trecerea curentului electric prin condu titatea de căldură

ctor este însoţită de dezvoltare de căldură. Can Q dezvoltată este proporţională cu tensiunea U la bornele conductorului, cu

intensitatea curentului I şi cu timpul t: tIUQ (2.37)

Fenomenul dezvoltării de căldură în conductoarele parcurse de curent electric de conducţie se numeşte efect electrocaloric, respectiv efect Joule-Lenz.

Căldura dezvoltată în unitatea puterea dezvolt

de timp prin efect Joule-Lenz reprezintăată prin efect electrocaloric,

IUtQ

Pj (2.38)

Ţinând seama de relaţiile lui Ohm sub formă integrală, rezultă:

22

22

j IRGI

UGU

IUP (2.39) R

Din proporţionalitatea puterii PJ

curentului rezultă că efectul electrocaloric

este un fenomen ireversibil şi nu depinde de polar rului. Dacă integ

(2.40)

uitelor electrice de curent continuu

Circuitul electric conţine surse şi consumatori (receptori) de energie electrică. Sursa de tensiune mai este numită generator. Mai multe circuite electrice interconectate formează o reţea electrică. (figura 2.7.)

cu pătratul

itatea tensiunii la bornele conductorez în domeniul timp se obţine energia:

t

tIRdtPW 2 0

jj

Unitatea de măsură în S.I. pentru energie este joule [J]. 2.5. Rezolvarea circ

Un circuit electric este constituit dintr-un sistem de corpuri prin care trece curentul electric. Curentul electric reprezintă deplasarea ordonată a purtătorilor de sarcini electrice printr-un mediu conductor.

Figura 2.7. Reţea electrică

În figura 2.7. R1, R2, R3, R4, R5, R6 sunt rezistoare; iar E5, E6, sunt surse de tensiune electromotoare (generatoare de tensiune).

O reţea electrică conţine, din punct de vedere topologic: laturi, noduri şi ochiuri. Latura reprezintă o porţiune de circuit formată din elemente (surse şi receptori) conectate în serie, parcurse deci de acelaşi curent şi cuprinse între două noduri.

Nodul reprezintă un de ramificaţie punct al reţelei electrice în care sunt incidente cel puţin trei laturi sau căi de curent.

22

Ochiul (bucla) este un contur închis format dintr-o succesiune de laturi ale reţelei în care o latură intră o singură dată. Se numeşte sistem de ochiuri (bucle) independente un sistem de ochiuri care cuprinde i (bucla) dife celelalte prin cel puţin o

lectrică cu L laturi şi N noduri, numărul ochiurilor (buclelor) indepe

Orice latură a unei reţele electrice reprezintă un circuit dipolar, adică un circuit electric accesibil la două borne. Circuitele dipolare pot fi active -figura 2.8.a- (dacă conţin surse de tensiune electromotoare sau surse de curent) şi pasive -figura 2.8. b-(dacă nu conţin surse de tensiune electromotoare sau surse de curent).

toate laturile reţelei, fiecare och rind de latură. Într-o reţea e

ndente O este egal cu: O = L – N + l (2.41)

În figura 2.7. este ilustrată o reţea cu şase laturi, patru noduri (A, B, C, D) şi trei ochiuri independente.

a) b)

Figura 2.8. Dipol electric a) activ, b) pasiv Pornind de la legea conducţiei electrice –relaţia 2.18 –pe care o integrăm pe conturul Γ

obţinem:

jkjkREVV Ijkkj (2.42)

Sau exprimând diferenţa de potenţial funcţie de tensiunea la borne se obţine forma generalv:

ă a legii lui Ohm pentru un dipol acti

jkjkjkjk IREU (2.43)

Pentru dipolul pasiv rezultă relaţia:

jkjkjk IRU (2.44)

2.6. Conectarea dipolilor. Surse echivalente. Rezistenţe echivalente 2.6.1. Conectarea în serie a dipolilor

ăr oarecare de dipoli conectaţi în serie se poate echivala cu un singur dipol în aşa fel încât: rezistenta dipolului echivalent este egcomponenţi, iar t.e.m. a dipolului echivalent este dipolilor conectaţi în serie (fig. 2.9).

Adică:

(2.45)

(2.46)

Un numală cu suma rezistenţelor dipolilor

egală cu suma algebrică a t.e.m. ale

n

kkne RRRRR

121 .....

n

kkne eEEEE

121 .....

Figura 2.9. Conectarea în serie a dipolilor

23

Un caz particular des întâlnit în practica circuitelor electrice este acela în care toţi dipolii înseriaţi sunt pasivi. Adică rezistenţa echivalentă a „n” rezistenţe legate în serie (fig.2.10), este dată de relaţia (2.45).

Figura 2.10. Sistem de rezistoare conectate în serie

În cazul când se înlocuiesc m nductanţe ărimile rezistenţelor electrice (Rk) prin co

kk R

G1

atunci:

nneG

111

(2.47)

k kkk G

R11

(2.48)

În expresia (2.48), se ia în consideraţie suma algebrică a surselor ţinându-se seama de polaritatea acestora (fig. 2.11).

Un alt caz particular este cel al mai multor surse de t.e.m. conectate în serie (E1, E2, E3, ....., En), care se pot înlocui cu o sursa echivalentă de tensiune electromotoare egală cu :

n

kne EEEEE1

21 .....

Figura 2.11. Conexiunea serie a surselor de t.e.m.

ului echivalent este nulă şi ea. 2.6.2. Conectarea în derivaţie (paralO grupare derivaţie (fig. 2.12), a unui numar de dipoli se poate echivala cu un dipol a

cărui rezistenţă echivalentă şi t.e.m. se pot calcula cu relaţiile:

Într-adevăr, acesta este un caz particular al conectarii dipolilor în serie şi anume

situaţia în care, rezistenţele dipolilor sunt nule. Rezistenţa dipol

el) a dipolilor.

ne RRRR

1...

111

21

(2.49)

n

nn

e

RRR

RE

RE

RE

E1

...11

1...

11

21

22

11

(2.50)

24

Figura 2.12. Conectarea în deriva

Notând

ţie a dipolilor

GR

1, relaţiile (2.649) şi (2.50) se mai pot scrie:

n

1kkn21e GG.....GGG (2.51)

n1k

kknn2211

e

GE...GEGEE (2.52)

1k

k

n

n21 G

GE

G...GG

În cazul particular în care toţi dipolii sunt pasivi (fig.2.13) este valabilă numai relaţia (2.51).

Figura 2.13. Sistem de rezistoare conectate paralel

Un alt caz particular este cel al mai multor surse de tensiune electromotoare conectate

în paralel (E1, E2, ......, En) cu rezistenţele interne r1, r2, ....., rn care se pot înlocui cu o sursă echivalentă re (fig. 2.14).

Figura 2.14. Conexiunea paralel

Conform figurii 2.14 se poate scrie că:

a surselor de tensiune electromotoare

n21e

sau:

n21e

r

E...

r

E

r

E

r

E (2.53)

nn2211ee gE...gEgEgE (2.54)

unde , conductanţa internă echivalentă.

Din (2.54) rezultă expresia

n

kke gg

1

tensiunii electromotoare echivalente:

n

1kk

1kkk

e

gE (2.55)

în care valorile surselor de tensiune electromotoare (E

n

gE

nsideră operate lgebric, ţinând seama de polarităţile acestora. Şi acesta este un caz particular care se obţine

1, E2, ......, En) se coa

25

din cazul general de conectare în derivaţie a dipolilor care au rezistenţele nule. Într-adevăr acă în

2.6.3. Divizorul de curen În figura 2.15. sunt reprezentate două rezistoare în paralel ceea ce constituie un divizor

de curent. Cure prin cele două rezistoare exprima funcţie de curentul total I şi rezistenţele R1 şi R2 . Folosind legea lui Ohm se obţin relaţiile:

d relaţia (2.50) se înlocuiesc rezistenţele Rk cu rk se obţine relaţia (2.55).

t

nţii se pot

21

1 RR 2R

II ; 21

2 R1

R

RII

(2.56)

2.7. Teorema conservării puterii în c

Demon

2.8. Bilanţul puterilor. Trans

Figura 2.15. Divizorul de curent

urent continuu Enunţ: Într-o reţea de curent continuu, suma algebrică a puterilor debitate de sursele

din reţea este egală cu suma puterilor consumate pe rezistenţele laturilor. LL

1k

kk1k

kk IRIE (2.57) 2

straţia teoremei se face plecând de la teorema a II-a lui Kirchhoff prin înmulţirea ambilor termeni cu Ik. Teorema serveşte la verificarea calculelor efectuate asupra unei reţele.

ferul maxim de putere Fie un circuit simplu, format dintr-o sursă cu t.e.m. egală cu E şi rezistenţa interioară

ri, care deb t electric pe rezisten egea lui Ohm ţa de sarcină R (fig. 2.16.a). Scriind litează curenpentru un circuit întreg avem relaţia:

IrIRE i (2.58)

Înmulţind ecuaţia cu I se obţine: 2

i

2 IrIRIE (2.59)

Termenul E·I reprezintă puterea debitată de sursă, R·I2 este puterea disipată în ·I2 reprezintă puterea disipată pe rezistenţa interioară a sursei. rezistenţa de sarcină, iar ri

Relaţia de mai sus exprimă bilanţul puterilor în circuitul considerat. Puterea debitată de sursă este suma puterilor consumate pe rezistenţa interioară a sursei şi pe rezistenţa circuitului exterior. Dacă circuitul exterior este mai complicat, se ia in considerare rezistenţa echivalentă a circuitului exterior. In acest caz termenul Re·I

2 (unde Re este rezistenţa echivalentă) va fi egal cu suma puterilor disipate în fiecare element component al circuitului exterior.

Figura 2.16.a Dacă considerăm rezistenţa de sarcină R variabilă (fig. 2.16.b), se pune problema care

este puterea maximă ce e o poate dezvolta sursa în rezistenţa R şi la cvaloare a acestei rezistenţe se obţine aceasta.

Puterea disipată pe rezistenţa R este:

2IRP (2.60) Înlocuind curentul cu cel obţinut din relaţia (2.57) obţinem: Figura 2.16.b

26

2

i

2

rR

REP

(2.61)

Derivând această relaţie se obţine:

3

i

i2 RrdP E

dR

rR (2.62)

Maximul unei funcţii se obţine în punctul în car tă R=ri .Deci, e derivata se anulează, deci rezulîn rezistenţa de sarcină R se obţine puterea maximă atunci când R = ri. Expresia puterii maxime este:

i

2

2

i

i2

max r2EP

r4

Er (2.63)

Se remarcă faptul că Pmax are o val internă r, oare cu atât mai mare, cu cât rezistenţa a sursei este mai mică.

Puterea dezvoltată de sursă este: 2E

i

e rR IEP (2.64)

i

2

e r2E

P iar pentru R=ri, este: (2.65)

Randamentul maxim al sursei este:

5,0maxmax

P (2.66)

Pe

2.9. Metode şi algoritmi de analiză şi rezolvare a circuitelor de curent continuu 2.9.1. Circuite cu o singură sursă Atunci când în circuit există o singură sursă, acesta poate fi adus la un circuit simplu

echivalent înlocuid rezistoarele legate în serie sau în derivaţie cu un rezistor de rezistenţă echivalentă folosind relaţiile (2.45) pentru serie, respectiv (2.49) pentru derivaţie. Cunoscând valoarea sursei E şi valorile rezistoarelor, curentul debitat de sursă se calculează cu legea lui Ohm, în care Re este rezistenţa echivalentă:

eR

EI (2.67)

e Pentru determinarea valorilor curenţilor din celelalte laturi se aplică formula divizorului dcurent, relaţia (2.56)

2.9.2. Circuite cu mai multe surse Atunci când în circuit există două sau mai multe surse se aplică pentru rezolvare una

ţiei,

din următoarele metode: a) Metoda teoremelor lui Kirchhoff, b) Metoda suprapunerii efectelor sau superpozic) Metoda curenţilor de contur, d) Metoda tensiunilor între noduri, e) Metoda generatorului echivalent de tensiune, f) Metoda generatorului echivalent de curent. a) Metoda teoremelor lui Kirchhoff

27

Considerăm un circuit complex cu „l” laturi, „n” noduri şi „o” ochiuri independente la

n sistem de „l” ecuaţii independente cu „l” necunoscute, necunoscutele fiind curenţii din

r sau superpoziţiei latură mărginită de nodurile j şi k ca fiind o sumă

care cunoaştem valorile surselor şi rezistenţele rezistoarelor. Pentru a afla curenţii pe laturi se aplică teorema I Kirchhoff în n-1 noduri şi teorema II Kirchhoff în o=l-n+1 ochiuri independente. Se formează în felul acesta u

laturi. b) Metoda suprapunerii efectelo Se consideră curentul dintr-o algebrică de curenţi ce străbat aceeaşi latură a aceluiaşi circuit în care se păstrează pe rând câte o singură sursă, celelalte fiind pasivizate:

m

jk

2

jk

1

jkjk IIII (2.68)

în care m reprezintă numărul surselor. c) Metoda curenţilor de contur

se mai numeşte „metoda curen ă” sau „metoda curenţilor independenţi” deoarece se consideră că ochiurile cir âte un curent de ochi (de contur, de buclă) independent. cestor

dente sub forma următoare, considerâ d acelaşi sens de

Metoda ţilor de buclcuitului sunt străbătute fiecare de cSe aplică trorema II Kirchhoff a

ochiuri indepen nd curenţii e contur cu parcurgere, (orar sau antiorar): IRIRIR 11coo12c121c11 E

22coo22c221c21 EIRIRIR (2.69)

oocooo2c2o1c1o EIRIRIR unde:

- Rii reprezintă suma rezistenţelor electrice de pe conturul ochiului sau circuitului independent

urselor de pe conturul circuitului independent

r care se suprapun pe aceeaşi latură. d) Metoda tensiunilor între noduri Această metodă constă în aplic consideră un nod de referinţă (potenţialul electric al nodului respectiv se ia zero) şi faţă de acesta se

străbătut de curentul de ochi sau de contur Ici ; - Rij=Rji reprezintă suma rezistenţelor electrice de pe latura parcursă atât de curentul de contur Ici cât şi de curentul Icj ; - Eii reprezintă suma algebrică a t.e.m. a sparcurs de curentul de contur Ici. Se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se determină necunoscutele, curenţii de contur. Se determină curenţii reali din circuit ştiind că, curentul real care străbate o latură va fi egal cu intensitatea curentului de contur care parcurge acea latură, sau va fi diferenţa celor doi curenţi de contu

area teoremei I Kirchhoff în n-1 noduri. Se

calculează potenţialul electric al celorlalte noduri. Pentru calculul curenţilor se foloseşte relaţia:

jkRunde: j şi k sunt nodurile care limitează latura respectivă, V

jkkj

jk

EVVI

(2.70)

prezintă potenţialul urentului pe latură orientat

ţialele cu relaţia (2.70). e) Metoda generatorului echivalent de tensiune(Thevenin) Această metodă se aplică îndintr-o singură latură.

Intensitatea curentului Ijk dintr-o latură limitată de nodurile j şi k (sensul pozitiv fiind considerat de la j spre k), se determină cu relaţia:

j şi Vk reelectric faţă de nodul ales ca nod de referinţă, Ijk este intensitatea cde la j spre k, Ejk este suma algebrică a t.e.m. a surselor din latura jk, iar Rjk este suma rezistenţelor laturii jk. Se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se determină necunoscutele, potenţialele nodurilor. Se determină apoi curenţii pe laturi, cunoscând poten

cazul în care trebuie să se calculeze intensitatea curentului

28

jk0jk RR

0jk

jk

UI (2.71) în care:

ci când prin latura respectivă nu

e de mers în golî;

istenţa infinită;

g) Metoda generatorului echivalent de curent (Norton) Această metodă se aplică în cazul în care dorim să calculăm a dintre două noduri.

- Ujko reprezintă tensiunea la bornele j şi k atuncirculă curent electric (latura este întreruptă), numită tensiun

- Rjk0 reprezintă rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat când latura jk are rez

- Rjk reprezintă suma rezistenţelor de pe latura jk.

numai tensiune

Tensiunea la bornele unei laturi pasive Ujk se calculează cu relaţia:

jkscjk

scjk

jk GGU

(2.72) în care:

I

- Iscjk reprezintă curentul ce străbate un conductor de rezistenţă nulă, care înlocuieşte latura mărginită de bornele j şi k;

reprezintă conductanţa echivalentă a circuitului pasivizat când latura - Gscjk mărginită de bornele j şi k este înlocuită de un conductor de rezistenţă nulă;

- Gjk reprezintă conductanţa laturii mărginită de bornele j şi k. Aplicaţie

Se dă circuitul din figura de mai jos în care toate rezistoarele au valoarea de 30Ω, iar sursele au valoarea: E1=60V, E2=80V. Să se calculeze curenţii din laturi.

Rezolvare a) Metoda teoremelor lui Kirchhoff

aţii prin aplicarea teoremei I în nodurile (1), (2), (3) şi a teoremei II pe figurate în desen. Rezultă un sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute, I ):

Se scrie sistemul de ecuochiurile independentecurenţii prin laturi (I1… 6

0III 641

0III 213

0III 652

4433111 IRIRIRE

5533222 IRIRIRE

644 556 IRIRIR0

Se rezolvă sistemul şi se obţin curenţii prin laturi:

.A6

121,

7I,A

5I,A

1I 21 I,A

3I,A

2IA

663 6543

29

30

nţilor de contur ţii prin aplicarea teoremei II Kirchhoff pe ochiurile figurate, parcurse

.

b) Metoda cureSe scrie sistemul de ecua

de curenţii de contur I '

3

'

2

'

1 I,I,

1

'

3

'' EIRIRIRRR 4231431

'' RIRRRIR 2

'

35253213 EI

0IRRRIRIR '

3654

'

2

'

14 5

'

3

'

2

'

1 I,I,ISe rezolvă sistemul şi se obţin curenţii fictivi, de contur .

A6

1I,A

6

5I,A

3

1I '

3

'

2

'

1

Apoi se determină curenţii reali din laturile circuitului:

A3

1II '

11 , A622

5I' , I A

6

7III '

2

'

13 , A2

1III '

3

'

14 ,

A3

2III '

3

'

25 , A6

1II '

36 .

c) Metoda tensiunilor între noduri Se alege nodul (0) ca nod de referinţă şi se scrie teorema I Kirchhoff în celelalte trei noduri

cuaţii de la metoda a- scrise mai sus). Se exprimă curenţii funcţie de şi se obţine sistemul de trei ecuaţii cu trei necunoscute, potenţialele

nodurilor:

(se obţin primele trei epotenţialele nodurilor

0R

VV

R

V

R

EVV

6

31

4

1

1

121

0R

EVV

R

EVV

R

V

2

2231212

13

0R

VV

R

V

R 2

EV

6

31

5

3223 V

Se rezolvă sistemul şi se obţin potenţialele: .

Se determină curenţii din laturi:

V20V,V35V,V15V 321

.A6

1I,A

3

2I,A

2

1I,A

6

7I,A

6

5I,A

3

1I 654321

CAPITOLUL III

CÂMPUL MAGNETIC

3.1. Starea de magnetizare şi câmpul magnetic în vid Experimental se constată că în lipsa unui tratament termomecanic şi în stare

electrostatică nulă, cristalele naturale de magnetită au proprietatea că între ele şi asupra corpurilor din fier, cobalt, nichel sau aliaje ale acestora, se exercită forţe şi cupluri. Aceste forţe şi cupluri de natură diferită de a celor termomecanice sau electrice, sunt numite forţe şi cupluri magnetice. În aceste condiţii se spune că sistemul format de cristalele de magnetită este în stare de magnetizare şi că în regiunea din spaţiu există câmp magnetic.

Câmpul magnetic este stabilit de cristalele de magnetită şi mai poate fi stabilit de conductoare parcurse de curent de conducţie, de corpurile încărcate cu sarcini electrice aflate în mişcare şi de fluxul electric variabil în timp.

Câmpul magnetic produs de substanţele magnetizate se numeşte câmp magnetostatic. În acest regim mărimile de stare nu variază în timp şi nu au loc transformări de energie.

Câmpul magnetic produs de curentul continuu se numeşte câmp magnetic staţionar (mărimile de stare nu variază în timp dar au loc transformări de energie).

Dacă regimul este variabil în timp (mărimile de stare variază în timp), câmpului magnetic i se asociază inseparabil câmpul electric şi împreună se condiţionează reciproc, alcătuind câmpul electromagnetic. Câmpul magnetic este câmpul electromagnetic considerat din punctul de vedere al proprietăţilor lui magnetice. La fel ca în câmp electric experienţa arată că în vid câmpul magnetic este practic la fel cu cel din aer.

Introducerea mărimii de stare care caracterizează câmpul magnetic în vid se poate face studiind acţiunile ponderomotoare pe care acesta le exercită asupra corpurilor încărcate cu sarcini electrice în mişcare, asupra corpurilor magnetizate, sau asupra conductoarelor parcurse de curent electric de conducţie. Acţiunile ponderomotoare de natură magnetică în vid se studiază cu ajutorul inducţiei magnetice în vid.

Explorarea câmpului magnetic în vid se poate face fie cu ajutorul unui corp de probă încărcat cu sarcină electrică şi aflat în mişcare, fie cu ajutorul unei spire filiforme parcursă de curent electric de conducţie.

Se consideră un corp de probă încărcat cu sarcină electrică, utilizat pentru explorarea câmpului electric. Menţinut imobil în câmp electric, asupra corpului de probă se exercită numai forţa electrică. Dacă punându-l în mişcare, se constată că asupra lui se exercită o forţă suplimentară care depinde de sarcina electrică care-l încarcă şi de viteza cu care se deplasează, în regiunea din spaţiu există câmp magnetic. Deci acest corp de probă pus în mişcare este adecvat explorării câmpului magnetic.

Se consideră un sistem de corpuri magnetizate şi imobile al căror câmp magnetic invariabil în timp urmează a fi explorat cu ajutorul unui corp de probă încărcat cu sarcina electrică q şi aflat în mişcare cu viteza v. În afară de condiţiile pe care trebuie să le satisfacă corpul de probă pentru explorarea câmpului electric în vid, pentru studiul câmpului magnetic corpul de probă trebuie să nu fie magnetizat.

Se măsoară forţa magnetică care acţionează asupra corpului de probă de sarcină q şi viteză v, suplimentară faţă de forţa electrică. Se constată că forţa magnetică Fmq depinde de sarcina q a corpului de probă, de viteza v şi de poziţia în câmp reperată prin raza vectoare r:

r,v,qFF mqmq (3.1)

31

Efectuând experienţe în diferite puncte din câmp cu corpuri de probă având sarcini electrice şi viteze diferite, se constată că forţa acţionează perpendicular pe viteza v şi este egală cu produsul vectorial dintre viteză şi un vector axial depinzând numai de raza vectoare r, notat cu Bv(r) (fig.3.1):

Figura 3.1. rBvqF vmq (3.2)

Aducând într-un punct din câmp un corp de probă încărcat cu sarcina q şi punându-l în mişcare cu o viteză v a cărei orientare corespunde unei forţe maxime Fmq,max, modulul vectorului Bv este egal cu raportul dintre modulul forţei şi produsul qv

qv

FB max,mq

v (3.3)

Mărimea vectorială de stare a câmpului magnetic în vid, care multiplicată vectorial cu produsul dintre sarcina electrică q şi viteza v a corpului de probă, determină forţa magnetică F

mq care se exercită asupra corpului de probă, se numeşte inducţie magnetică în vid Bv.

Relaţia (3.3) constituie relaţia de detectare a inducţiei magnetice în vid. Deoarece relaţia (3.2) s-a determinat experimental, inducţia magnetică în vid este o mărime primitivă. Din punctul de vedere al unităţii de măsură, relaţia (3.3) constituie însă o relaţie de definiţie şi prin urmare inducţia magnetică în vid este o mărime secundară. Unitatea de măsură a lui corespunde vectorului câmp în care asupra corpului de probă încărcat cu sarcina electrică egală cu un coulomb având viteza de un metru pe secundă în direcţia în care forţa este maximă, acţionează o forţă magnetică egală cu un newton. În sistemul de unităţi S.I., unitatea lui se numeşte tesla [T].

Forţa (3.2) a fost stabilită de H. A. Lorentz în cadrul teoriei microscopice a câmpului electromagnetic, în care viteza v este raportată la un sistem inerţial, diferit de cel utilizat în teoria macroscopică.

3.2. Intensitatea câmpului magnetic în vid Mărimea vectorială definită de raportul

0

vv

BH

(3.4)

se numeşte intensitatea câmpului magnetic în vid.

În [SI] unitatea de masură a intensităţii câmpului magnetic este:m

A

Mărimea 0 este o constantă universală, numită permeabilitatea magnetică a vidului. În sistemul S.I., are valoarea :

metru

Henry104 7

0 (3.5)

Relaţia (3.4) este similară cu relaţia (1.10) şi stabileşte analogia dintre mărimile care caracterizează câmpul electric în vid Ev, Dv

şi câmpul magnetic în vid Hv, Bv iar

corespondenţa formală ar fi : E ↔H , respectiv D ↔B (3.6) v v v v

Din punctul de vedere al mărimilor primitive şi al modului în care ele intervin în

expresiile acţiunilor ponderom mală este: otoare, corespondenţa for Ev↔Bv, respectiv Dv↔Hv

(3.7)

32

Practic, câmpul magnetic se poate pune în evidentă cu pilitura de fier care se aranjează după liniile de câmp, iar mărimea vectorială H, intensitatea câmpului magnetic – este tangenta la liniile de câmp magnetic (fig. 3.2), sensul acestui vector fiind stabilit de asemeni cu regula burghiu

. 3.2. În cazul unui solenoid (bobina), sensul liniilor

os. În interiorul bobinei se poate spune că avem un câmp magnetic omogen H, liniile fiind

paralele şi intensitatea câmpului constantă.

lui drept (se roteşte burghiul drept, astfel încât acesta să înainteze în sensul curentului i, iar un punct de pe generatoarea lui, indică sensul intensităţii câmpului magnetic H).

Spectrul liniilor de câmp magnetic într-un plan (P), perpendicular pe un conductor filiform străbătut de curentul i se prezinta în fig

de câmp se stabileşte tot cu regula burghiului drept (fig.3.3), liniile ies din bobină în partea de sus şi intră în bobină în partea de j

Figura 3.3.

Fie un conductor filiform străbătut de curentul i (fig. 3.4). Într-un punct P situat la distanţa R de conductorul , în vid, intensitatea câmpul ţia:

Figura 3.2.

3.3. Teorema lui Biot-Savart-Laplace.

ui magnetic se calculează cu rela

34

R

Rdsi

unde: este elementul de lungime orientat dupa sensul curentului i.

H v (3.8)

ds

Figura 3 mSe ec

.4. Ca pul magnetic în jurul unui conductor filiform parcurs de curentul electric i. nsul v torului câmp magnetic H este dat de regula burghiului drept, sau produsul

vectorial .

Dacă se înmulţeşte cu permeabilitatea 0, se obţine relaţia de calcul a inducţiei magnetice:

Rds

3v

R4 (3.9)

3.4. Tensiune magnetică La fel ca în cazul câmpului electric în care tensiunea electrică se defineşte cu ajutorul intensităţii câmpului electric şi având în vedere analogia dintre câmpul electric şi câmpul magnetic, se defineşte te

Rds

nsiunea magnetică –simbol um12 – mărimea scalară egală cu integrala de linie a produsului scalar dintr i elementul de lungime (notat dl sau ds):

0 i

B

e intensitatea câmpului magnetic Hv ş

2

1

v12m dsHu (3.10)

33

În regimuri statice şi staţionare, tensiunea magnetică este invariabilă în timp şi se numeşte tensiune magnetică instantanee. Tensiunea magnetică este o mărime derivată care caracterizează global câmpul magnetic referitor la o curbă C dată, între două puncte ale acesteia. Sensul de integrare, adică sensul elementului de arc al curbei, se numeşte sens de

ferin

alogie cu tensiunea electromotoare din câmpul electric, se defineşte şi în câmpul magnetic o tensiune magneto a lungul unei curbe închise:

re ţă al tensiunii magnetice de la punctul 1 la punctul 2. Dacă se suprimă indicii, sensul de referinţă al tensiunii magnetice se indică explicit printr-o săgeată orientată de la 1 la 2. Prin an

motoare ca fiind tensiunea magnetică de-

dsHu vm (3.11)

Unitatea de măsură în S.I. a tensiunii magnetice şi a tensiunii magnetomotoare este ceeaşi lectric, şi anume amperul [A].

Dacă în câmp electrostatic inte nei curbe închise este identic nulă, vezi relaţia (1.41), în câmp m

a cu a intensităţii curentului e 3.5. Teorema lui Ampère

grala curbilinie a vectorului Ev în lungul uagnetic relaţia similară:

0dsHv (3.12)

Fizicianul francez André Ampère a arătat că lungul unei curbe închise este egală cu intensitatea curentului ce-l în

nu este totdeauna satisfăcută. tensiunea magnetomotoare în

lănţuie.

ii

i

SSvim idsHu

(3.13)

Teorema lui Ampère în vid: tensiunea magnetomotoare în lungul unei curbe închise Γi trasate rin orice suprafaţă deschisă care se

Sensul solenaţiei se determină cu regula burghiului drept. Dacă curba Γi înlănţuie spirele unei bobine cu N spir père devine:

prin vid este egală cu curentul total, respectiv solenaţia p spijină pe curba închisă Γi (cu SΓ notez solenaţia).

e teorema lui Am

iNdsHui

vim

(3.14)

Deaici rezultă că în S.I. unitatea de măsură pentru tensiunea magnetomotoare este amperu agnetic este amper pe metru (A/m).

ste corpuri (substanţe) vom spune că prezintă starea

Aceşti curenţi microscopici produc în spaţiul din jur, câmpuri magnetice care pot fi descrise prin momentele magnetice m ale acestora (fig. 3.5).

l, iar pentru intensitatea câmpului m

3.6. Câmp magnetic în substanţă În afară de cazul corpurilor străbătute de curenţi, în jurul cărora, aşa cum s-a văzut, ia

naştere un câmp magnetic, există şi corpuri în jurul cărora, deşi nu sunt parcurse de curenţi macroscopici, întâlnim câmp magnetic. Ace

de magnetizare. Starea de magnetizare este produsă de mici bucle de curenţi, generaţi de mişcarea orbitală şi de spin a electronilor.

Figura 3.5. Momente magnetice ale microcurenţilor

34

În substanţele obişnuite, mulţimea de momente magnetice ale microcurenţilor răspandită haotic, datorită agitaţiei termice, astfel încât la nivelul întregii substanţe, statistic, rezultanta câmpului magnetic este nula.

În cazul general, mo

este

mentul ma ă pm gnetic poate avea o componentă permanent

independentă de câmpul exterior şi una temporară tm dependentă de câmpul exterior şi ă cu acesta. anulându-se odat

pt mmm (3.15) Sub unea u ui câmp magnetic xt

acţi n e erior (de inductie magnetică B), momentele

magnetice elementare sunt supuse la cupluri de forţe: , care tind să le rotească

până când ; deci devine paralel cu

Bmc

0

c

m

B (

m //

B ) (fig. 3.6).

Figura 3.6. Magnetizarea substanţelor

Aşadar stările de magnetizaţie ale corpurilor pot fi permanente, când nu depind de

campul epind de campul exterior. Câmpul magnetic propriu pe care-l capată substanţa când se magnetizează poate fi

descris de o mărime numită magnetizaţie sau inMagnetizaţia se poate defini cu relaţia:

magnetic exterior sau temporare, cand d

tensitate de magnetizare (M).

dV

dmm

M i

i

lim (3.16) VV 0

unde: Δ

elementare din volumul ΔV. t al substanţei câmpul magnetic propriu obţinut

prin or

3.7. Legea magnetizaţiei temporarÎn substanţele magnetice se poa defineşte

care a produs-o:

V este un volum oricât de mic din substanţă, iar

im suma momentelor magnetice i

Magnetizaţia M descrie în fiecare puncientarea momentelor magnetice elementare.

e te enunţa legea magnetizaţiei temporare care

variaţia liniară a magnetizaţiei Mt cu intensitatea câmpului magnetic H

HM mt (3.17)

unde: m este constantă de material numită susceptivitate magnetică.

Funcţie de valorile pe care le poate lua constanta m , din punct de vedere m netic

substanţele se împart în cinci grupe: diamagnetice, paramagnetice, feromagnetice, ferimagnetice si antiferomagnetice

Materialele diamagnetice sunt caracterizate prin susceptivităţi magnetice

ag

m < 0.

Susceptivitatea lor magnetică este constantă, negativă şi în valoare absolută foarte mică. Materialele paramagnetice sunt caracterizate prin susceptivitate magnetică m > 0.

Susceptivitatea lor magnetică este pozitivă, foarte mică şi scade cu temperatura.

35

Materialele feromagnetice sunt caracterizate prin susceptivităţi magnetice foarte mari (102.....105) şi dependente de intensitatea câmpului magnetic. La aceste materiale există o temperatură critică (numită temperatura Curie), care dacă este depăşita, materialele magnetice îşi pierd proprietăţile feromagnetice. Sub temperatura Curie, aceste materiale sunt împărţite în domenii de structură Weiss cu dimensiuni de ordinul 10-3mm (fig. 4.8). În absenţa unui câmp magnetic exterior, direcţiile de m gnetizare ale domeniilor sunt orientat haotic şi dau o magnetizaţie macroscopică nulă. În prezenţa unui câmp magnetic domeniile se orientează în sensul câmpului, obtinandu-se o magnetizaţie macroscopică rezultantă, ca re

a e

re c şte odată cu

intensitatea câmpului magnetic H , pâna la alinierea omoparalela cu

H , a momentelor

magnetice ale tuturor dome ţine astfel magnetizaţia de saturaţie niilor. Se ob

M s

Fig. 3.7. Domeniile Weiss şi momentele magnetice orientate ale acestora

netice de intensitatea câmpului magnetic este reprezentată ezis în fig. 3.8. Presupunand

Dependenţa inducţiei magsub forma unui ciclu de hister că iniţial materialul este demagnetizat, la aplicarea unui câmp m ărui intensitate H creste de la 0 la Hs,

inducţia magnetică B va creşte după curba OM1 (denumită curba d

material feromagnetic; -Hc, +Hc intensit ţile câmpului magnetic coercitiv; -BR, +BR inducţiile magnetice remanente; M1, M2 – puncte de

şi inducţiei scad pâna la punctul M2, după care aceste valori parcurg curba M2M1, formân

are sunt proporţionale cu numărul de magnetizări în unitate

nichel, mangan, zinc, cupru, cobalt, bariu şi oxid de fier. Feritele se folosesc la execuţia antenelor magnetice, memoriile calculatoarelor, miezurilor magnetice ale transformatoarelor, releelor, microgeneratoarelor, micromotoarelor şi altor echipamente electrotehnice şi electronice.

agnetic a c

e primă magnetizare). Figura 3.8. Curba de primă magnetizare şi ciclul de

histerezis al unui ă

saturaţie magnetică.

Punctul M1, în care valorile intensităţii câmpului magnetic şi inducţiei magnetice sunt maxime se numeşte punct de saturaţie magnetică. Apoi, valorile intensităţilor câmpului magnetic

du-se astfel un contur inchis numit ciclul de histerezis magnetic. Suprafaţa ciclului de histerezis corespunde unei energii, care se transformă în căldură, la fiecare parcurgere a ciclului.

La magnetizarea în câmp alternativ, a materialelor feromagnetice se produc deci pierderi de putere prin histerezis, c

a de timp, respectiv cu frecvenţa curentului alternativ. Pe lângă materialele feromagnetice, în aplicaţiile tehnice, se utilizează şi materiale

ferimagnetice, numite generic ferite. Feritele sunt materiale semiconductoare, având rezistivităţi mari (104,.....106 Ω.m.),

fiind compuse din pulberi de

36

3.8. Legea legăturii dintre MsiHB, pă cum s-a văzut mai sus, câmpul magnetic în substanţă se poate descrie prin doua

mărimi primitive B şi M între acestea existând o relaţie dată de legea legăturii dintre

MsiHB, :în fiecare punct din câmp şi în fiecare moment, independen

Du

t de starea cinematică a corpurilor, inducţia magnetică B este eg magnetic H şi ma

ală cu suma dintre intensitatea câmpuluignetizaţia M, sumă multiplicată cu permeabilitatea vidului 0

MHB 0 (3.18)

Pentru materiale liniare şi izotrope cu ţia (3.17) expresia de mai sus devine:

magnetizare temporară, folosind rela

HHB m00

sau

(3.19)

H1B m0 (3.20)

Se notează cu: rm 00 1 (3.21)

unde: μ –

permeabilitatea absolută a mediului, iar 0 r - permiabilitatea relativă a

mediului. Relaţia (3.20) se mai poate scrie:

HB (3.22) Dacă substanţa prezintă şi magnetiza gnetizaţie are

două componente: re permanentă atunci vectorul ma

pt MMM (3.23)

unde:

HM mt este magnetizaţia temporară dependentă de intensitatea câmpului magnetic

(

H ), iar p , este magnetizaţia permanentă independ ntensitateM

entă de i a câmpului magnetic

exterior ( H ). În această situaţie legea legăturii dintre

MsiHB, devine:

p0HB M (3.24)

Atât în vid cât şi în mediile om od asemanator câmpului electric (fig. 3.9):

3.9. Legea fluxului magnetic

ogene se poate enunţa legea fluxului magnetic în m

SS dAB (3.25)

Figura 3.9. Fluxul magnetic printr-o suprafaţă deschisă

Pentru suprafeţele închise ( ) având în âmp magnetic

acest flux este identic nul (câte linii de c p intră): vedere continuitatea liniilor de c

âmp ies din suprafaţă, atâtea linii de câm

37

0dAB (3.26)

Expresia (3.26), reprezintă legea fluxului magnetic, forma integrală. Pentru a obţine forma locală a acestei legi se transformă integrala dubl losind teorema lui Gauss-Ostrogradski:

ă fo

BdivdAB

0dvv

(3.27)

unde:

(3.28) Relaţia (3.28) ne arată că în câmpurile magnetice nu sunt sarcini (izvoare) şi că

liniile a e.

e asează bobinele se numesc coloane, iar restul circuitului magnetic este închis

a întrefierului iau naştere polii magnetici. Se consideră conven

le şi le corespunde fluxul magnetic principal sau util. Li

iniile inducţiei câmpului magnetic care se închid prin aer, între porţiuni ale circuitu i magnetic se numesc linii de dispersie şi le corespunde fluxul magnetic de dispersie.

igura gnetic al unui transformacoloana

e induse de fluxul magnetic variabil în timp. Întrucâ

e se face prin analiza şi interpretarea experie

este volum suprafaţa Σ. ul închis de

Rezultă că: 0

Bdiv

v

cestuia nu sunt linii deschis 3.10. Circuite magnetice Circuitele magnetice sunt constituite din miezuri feromagnetice sau ferimagnetice

împreună cu eventuale întrefieruri (întreruperi scurte ale miezurilor, umplute cu aer sau materiale nemagnetice), care au proprietatea de a conduce fluxul magnetic. Ca exemplu în fig. 3.10. se dă un circuit magnetic al unui transformator monofazat. Porţiunile circuitului magnetic pe care s

de juguri şi întrefieruri. Porţiunile mobile (deplasabile) ale circuitului magnetic se numesc armături.

De o parte şi de alta ţional ca fiind poli nord (N), cei din care ies liniile de câmp magnetic şi poli sud (S),

cei în care intră liniile de câmp. Liniile inducţiei câmpului magnetic care se închid prin miezul feromagnetic şi prin

întrefieruri se numesc linii principale sau utiniile câmpului magnetic se închid preponderent prin miezul feromagnetic deoarece

permeabilitatea magnetică este foarte mare. Llu

F 3.10. Circuitul mator electric monofazat: 1- jug; 2- bobine; 3-

3.11. Legea inducţiei electromagnetice Câmpul electric este stabilit de corpuri încărcate cu sarcini electrice sau polarizate

electric, de neomogenităţi fizico-chimice şi de fluxul magnetic variabil în timp. În regim staţionar şi în medii omogene, tensiunea electromotoare egală cu integrala curbilinie a câmpului electric e nulă. În câmp magnetic variabil în timp, tensiunea electromotoare este în general nenulă şi legea inducţiei electromagnetice stabileşte modul de producere a câmpului electric indus, respectiv a tensiunii electromotoar

t în formularea legii nu intervin mărimi de material, legea inducţiei electromagnetice este o lege generală a câmpului electromagnetic.

Formularea legii inducţiei electromagneticnţelor efectuate de Faraday, care a pus în evidenţă fenomenul inducerii de tensiuni

electromotoare de fluxul magnetic variabil în timp.

38

Michel Faraday în 1881 a pus în evidenţă faptul că variaţia în timp a câmpului magnetic produce un câmp electric. Acest fenomen se numeşte inducţie electromagnetică.

În primul grup de experienţe se consideră dispozitivul alcătuit dintr-o spiră plată, filiformă, circulară, formată dintr-un material conductor şi omogen la temperatură constantă (fig.3.11, a), în vecinătatea spirei se află un magnet permanent cilindric circular a cărui axă OO' coincide cu axul spirei, iar liniile lui de câmp se închid în parte prin spiră. Dacă spira şi magnetul sunt ficşi sau în imobilitate relativă, curentul electric prin spiră e nul.

Menţinând spira fixă şi deplasând magnetul cu viteza v în lungul axei O 'O cu polul nord spre spiră, se constată că prin aceasta trece curent electric al cărui sens de referinţă e reprezentat în figura 3.11.a. Îndepărtând magnetul de spiră cu viteza -v, curentul schimbă de sens (fig.3.11.b). Repetând experienţele cu magnetul având polul sud spre spiră, curenţii au sensurile de referinţă reprezentate în figurile 3.11.c,d. Menţinând magnetul fix şi apropiind respectiv îndepărtând spira paralel cu ea însăşi în lungul axei, se constată că sensurile curen

partea inductoare sau inductorul ele:

agnetic prin spiră este nul, independent de starea cinem

ul numai pe durata deplasării fie numai a in

etrul indică o tensiune electrom

agnetului, fie numai a spirei

ţilor în spiră rămân neschimbaţi. În toate cazurile în care intensitatea curentului este nenulă, se spune că în spiră se induce curent electric de conducţie.

Spira constituie partea indusă sau indusul, iar magnetul dispozitivului. Din analiza acestor experienţe rezultă următoar

curentul electric este condiţionat de fluxul magnetic nenul în spiră. Dacă magnetul e situat cu axa cuprinsă în planul spirei (figura 3.12), - poziţie în care fluxul m

atică a magnetului, nu se induce curent electric în spiră.

existenţa unui flux magnetic prin spiră este o condiţie necesară dar nu suficientă deoarece menţinând spira şi magnetul imobili, sau în imobilitate relativă între ei, curentul este nul; întrucât curentul indus e nen

dusului, fie numai a inductorului, urmează că inducerea curentului electric este provocată exclusiv de variaţia fluxului magnetic prin spiră;

în conformitate cu legea conducţiei electrice, curentul electric în spiră este o consecinţă a unei tensiuni electromotoare e nenulă în lungul curbei spirei. Dacă la bornele

deschise ale spirei se conectează un voltmetru şi se efectuează oricare din experienţele care au pus în evidenţă curentul electric indus (fig. 3.11, a-d), voltm

otoare nenulă, în consecinţă, chiar şi în lipsa firului spirei, în lungul unei curbe închise magnetul în mişcare induce o tensiune electromotoare e ;

efectuând experienţe la diferite viteze v ale magnetului în raport cu spira sau a spirei în raport cu magnetul şi măsurând tensiunile electromotoare la bornele spirei, se constată că valorile lor absolute cresc respectiv scad odată cu creşterea respectiv scăderea modulului vitezei; întrucât odată cu deplasarea fie numai a m

39

variază fluxul magnetic prin spiră , urmează că tensiunea electromotoare indusă este

proporţională cu viteza de variaţi

e S

e în timp a fluxului magnetic,

dt

de S

~ ; (3.29)

în oricare dintre experienţe (fig.3.11, a-d) intensitatea curentului indus în spiră are sensul de referinţă, astfel încât partea din fluxul magnetic pe care acesta îl produce în

ivitate tinde să compenseze variaţia fluxului magnetic inductoric; de exemplu, la apropierea magnetului cu polul nord spre spiră, fluxul magnetic inductoric

S creşte şi deci

0S (fig.3.11, c); sensul de referinţă al curentului în spiră este asociat fluxului său

magnetic care este de semn opus lui

exclus

S . În acest sens, fenomenul inducţiei

electromagnetice este un fenomen de reacţie; inducerii curereacţie prin fluxul magnetic al curentului indus. Ca

ntului în spi îi corespunde o urma ţia (3.29)

tea dintre şi

răre, în ecua

proporţionalita e dt

d S

este cu semn schimbat,

dt

de

S

(3.30)

În al doilea grup de experienţe se consideră spira deformabilă (fig.3.13).

şi magnetul fixe, însă spira este Se constată că numai pe durata

deform

ţa indusului. Efectuând experienţe la diferite viteze ale barei AB încât aria ABCD creşte sau scade, cu magnetul având polul nord, respectiv polul sud spre indus (fig.3.14,), se regăsesc

U. De aici rezultă că în experienţele efectuate (fig.3.14) numai bara AB contribuie la tensiunea electromotoare care stabileşte curentul indus în circuitul închis format de barele U şi AB.

ării se induce în spiră o tensiune electromotoare e

având expresia (3.30). Pentru a pune în evidenţă localizarea tensiunii

electromotoare e numai pe porţiunile conductoarelor care se

deplasează pe durata deformării, se consideră dispozitivul reprezentat în figura 3.14. Indusul e constituit dintr-o bară metalică în formă de U pe care poate aluneca paralel cu ea însăşi cu viteza v o bară metalică AB. Perpendicular pe planul indusului se află imobil magnetul M, liniile lui de câmp magnetic închizându-se prin suprafa

Figura 3.14. aceleaşi rezultate obţinute în primul grup de experienţe. Menţinând în contact galvanic cu bara U numai una din extremităţile barei AB, iar la cealaltă extremitate conectând firul unui voltmetru, celălalt fir fiind legat la o perie P care alunecă în contact cu bara U cu aceeaşi viteză v cu a barei AB (fig. 3.15), se măsoară o tensiune electromotoare egală cu t.e.m. indusă în bara AB care s-ar deplasa cu aceeaşi viteză dar izolată galvanic de bara

40

Dacă se presupune câmpul inductoric uniform şi se notează cu Bn componenta

normală a inducţiei pe planul indusului (fig. 3.16), fluxul magnetic prin suprafaţa ABCD are expresia şi tensiunea electromotoare calculată cu formula (3.30) este

proporţională cu viteza barei

ABnS e

dtdxv / . În al treilea grup de experienţe, inductorul dispozitivului din figura 3.11, a este

constituit dintr-o bobină cilindrică fixă parcursă de curent electric (figura 3.17) o Dacă curentul prin bobină e continuu fluxul magnetic prin spiră fiind constant

în timp, nu se induce în spiră tensiune electromotoare; o dacă intensitatea curentului inductoric este variabilă, de exemplu variază

sinusoidal în timp, se induce în spiră o tensiune electromotoare respectiv

un curent electric.

tsinIti max

Deoarece fluxul magnetic inductoric este proporţional cu intensitatea curentului în

bobină, la variaţii de un semn ale curentului inductoric corespund variaţii de acelaşi semn ale fluxului prin spiră şi fenomenele se examinează la fel ca în primul grup de experienţe, în figurile 3.17, a-d s-au reprezentat sensurile curenţilor induşi la diferite momente dintr-o perioadă a curentului inductoric.

Pentru ca fluxul magnetic prin spira indusului AdBS

nS

respectiv în medii

liniare să fie variabil în timp, este necesar să varieze în timp cel puţin una

dintre mărimile: permeabilitatea , intensitatea câmpului magnetic H sau suprafaţa S

AdHS

nS

Γ. În primul şi ultimul grup de experienţe fluxul magnetic variază în timp datorită variaţiei inducţiei magnetice B; în grupul al doilea de experienţe datorită suprafeţei SΓ.

Din punctul de vedere al stării cinematice, primele trei grupe de experienţe pun în evidenţă fenomenul inducţiei electromagnetice prin mişcare, iar ultimul grup de experienţe fenomenul inducţiei electromagnetice prin pulsaţie. Din analiza fiecăreia dintre cele patru grupe de experienţe rezultă că tensiunea electromotoare indusă are o expresie de forma (3.30) şi care constituie legea inducţiei electromagnetice (respectiv inducerii electromagnetice), în formulare integrală: tensiunea electromotoare indusă în lungul unei

curbe închise este egală cu viteza de variaţie în timp cu semn schimbat a fluxului magnetic

e

e

41

S prin orice suprafaţă care se sprijină pe curba S . Proporţionalitatea dintre şi

a fost stabilită de M. Faraday, iar semnul schimbat al acestei proporţionalităţi a

fost introdus de Lenz.

e

dt/d S

Forma integrală a legii inducţiei electromagnetice, In toate experienţele care au pus în evidenţă fenomenul inducţiei electromagnetice, intensitatea câmpului electric imprimat Ei şi tensiunea electromotoare a părţii potenţiale a câmpului electric Ec sunt nule; urmează că tensiunea electromotoare indusă de fluxul magnetic variabil în timp este egală cu integrala curbilinie a unei componente de câmp electric distinctă de Ei, şi de Ec numită câmp electric indus sau solenoidal. Ecuaţia (3.30) se transformă astfel,

S

ns sd AdBdt

dsdEEe

, (3.31)

în care s-a înlocuit ES cu E = Es + Ec deoarece

sdEc

0

Relaţia (3.31)reprezintă legea inducţiei electromagnetice scrisă sub forma integrală.

In membrul doi al relaţiei (3.31) atât B cît şi Ad pot varia în timp; Ad variabil în timp se obţine prin mişcare (fig. 3.18).

Figura 3.18. T.e.m. obţinută prin deplasarea conturului în câmpul magnetic constant

Deci: (3.32) dtdsVdsdA

dx

B

Dar: (3.33) dtdsVdtdsVBdAd S

B

Sau:

dsBV

dt

d S (3.34)

Dezvoltând diferenţial, din membrul drept al relaţiei (3.31) se obţin:

S S t

AB

t

BdsE

dA (3.35)

sau:

B

dsVAdtB

ES

ds

e

(3.36)

sau: mtr ee (3.37)

Relaţia (3.37) pune în evidenţă că tensiunea electromotoare indusă are două componente:

e

- o componentă

tr sdA

t

Be , care se numeşte tensiune electromotoare de

transformare, preponderentă în aparate electrice statice (transformatoare, relee ş.a.);

42

- o componentă

dsBVem numită tensiunea electromotoare de mişcare,

preponderentă în maşinile electrice rotative. Semnul de referinţă al t.e.m. induse em este semnul de înaintare al burghiului drept

care se roteşte de la v către B (sau regula mâinii drepte). De exemplu, într-un conductor drept de lungime l care se deplasează cu viteza v în câmp magnetic uniform de inducţie B se induce t.e.m. em = v Blsincos , unde: este unghiul format de v şi B , iar unghiul format de vectori v x B şi l . Membrul doi al relaţiei de mai sus se anulează dacă doi dintre vectorii produsului mixt sunt paraleli. În consecinţă, t.e.m. indusă prin mişcare este nenulă numai dacă conductorul în mişcarea lui taie liniile de câmp magnetic

43

CAPITOLUL IV

CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV

4.1. Generalităţi Circuitele electrice de curent variabil în timp se pot studia cu ajutorul legilor şi

teoremelor câmpului electromagnetic, enunţate în capitolele precedente, dacă ele sunt constituite din conductoare filiforme şi dacă regimul de variaţie în timp al mărimilor de intrare ale câmpului electromagnetic are un caracter cvasistaţionar (adică variaţia în timp a mărimilor este suficient de lentă pentru ca peste tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor, să se poată neglija curentul electric de deplasare în raport cu intensitatea curentului electric de conducţie).

În regimul cvasistaţionar al circuitelor electrice filiforme sunt valabile toate legile electromagnetismului: legea inducţiei electromagnetice; legea conducţiei electrice; legea transformării energiei în procesul de conducţie; legea conservării sarcinii electrice, cu excepţia dielectricului condensatoarelor; legea circuitului magnetic sub forma teoremei lui Amperè, cu excepţia dielectricului condensatoarelor. De asemenea, se mai folosesc teoremele transferului puterii electrice la borne, teoremele capacităţii şi inductivităţii şi teoremele energiei electrice şi magnetice.

4.2. Regimul periodic sinusoidal al circuitelor electrice. Spre deosebire de regimul staţionar, unde tensiunea continuă (constantă), producea în

circuitele electrice curenţi de asemenea continui (fig.4.1), în regim variabil tensiunea şi curentul sunt funcţii variabile în timp (fig.4.2).

Figura 4.1. Mărimi continui Figura 4.2. Mărimi variabile

Definim mărimea periodică acea mărime care după un anumit interval de timp numit perioadă, ia aceeaşi valoare.

kTtutu (4.1)

kTtiti (4.2) unde T este perioada funcţiei (intervalul de timp după care funcţia ia aceeaşi valoare), iar k este un număr întreg oarecare. Numărul de perioade cuprinse în unitatea de timp reprezintă frecvenţa funcţiei – f, iar mărimea ω=2πf poartă numele de pulsaţie.

Pentru o funcţie periodică se pot scrie şi relaţiile:

Tf

1 [Hz.] (4.3)

Tf

122 [rad./sec.] (4.4)

unde perioada T se măsoară în secunde. Definim mărimea pulsatorie acea mărime periodică care ia valori de un singur semn. Definim mărimea alternativă acea mărime periodică care ia valori de ambele semne.

44

Figura 4.3. Mărimi pulsatorii. Figura 4.4. Mărimi alternative. Valoarea de vârf a unei mărimi alternative reprezintă cea mai mare valoare instantanee pe care o poate lua acea mărime . Valoarea medie a unei mărimi periodice se determină cu relaţia:

dttiT

ITt

tmed

1

1

1 (4.5)

unde t1 este momentul iniţial. Orice mărime alternativă are valoarea medie pe o perioadă, nulă. În cazul mărimilor pulsatorii (fig.4.3) valoarea medie este diferită de zero. Se mai

defineşte şi valoarea medie pe o semiperioadă:

dttiT

IT

med 2/

0

' 2 (4.6)

Valoarea efectivă (eficace) a unei mărimi alternative se determină cu expresia:

dtiT

ITt

t

1

1

21 (4.7)

Prin definiţie, valoarea efectivă a unui curent electric alternativ este egală cu intensitatea curentului continuu care, în acelaşi rezistor, dezvoltă aceaşi cantitate de căldura în timpul unei perioade, ca şi curentul continuu.

Mărimea sinusoidală sau armonică este o mărime alternativă a cărei expresie analitică poate fi pusă sub forma de “sinus”: y (t)=Ymsin(t+) unde: - Ym – este valoarea maximă sau amplitudinea semnalului;

- t+ -unghiul variabil in timp sau argument; - - faza iniţială ce reprezintă valoarea argumentului la t=0.

Figura 4.5.

4.2.1 Valori caracteristice mărimilor sinusoidale - valoarea medie pe o perioadă prin definiţie este nulă:

0)cos(11

)sin(1

0

T

o

Tmmmed tY

TdttY

TY

(4.8)

- valoarea efectivă:

T

mT

m tdtYT

dttYT

Y0

22

0

2 sin1

)sin(1 (4.9)

45

în care dacă înlocuim : 2

2cos1sin2 t

t

conduce la :

2

Y

2

TY

T

1tdt2cosY

T

1dt

2

1Y

T

1Y m2

m

T

0

2

m

T

0

2

m (4.10)

Deoarece voltmetrele si ampermetrele uzuale masoara valorile efective ale tensiunii si curentului, se prefera ca valoarea efectiva Y sa apara direct in expresia analitica a marimii

sinusoidale y(t)= 2 Ysin(t+). Expresia se numeste forma normala in sinus a marimii armonice.

4.2.2 Relaţii de fază (numai pentru semnalele ce au aceeaşi frecvenţă) Două mărimi sinusoidale y1(t)=Y1msin(t+1) şi y2(t)=Y2msin(t+2) de aceeaşi

frecvenţă, se numesc defazate dacă, diferenţa fazelor lor, egală cu diferenţa fazelor iniţiale, este nenulă.

t+1-(t+2)= 1 - 2 0 (4.11) Diferenţa fazelor iniţiale se numeşte defazaj notat = 1 - 2 şi se măsoară în radiani. Faza iniţială se măsoară de la ultima trecere prin zero în sens crescător până la originea sistemului de coordonate. Faza iniţială este pozitivă (1 > 0), dacă la t=0 mărimea sinusoidală are valoarea instantanee pozitivă y1(t)=Y1msin1>0 si este negativa daca la t=0 mărimea sinusoidală are valoarea instantanee negativa y2(t)=Y2msin2<0. Faza iniţială este funcţie de momentul alegerii sistemului de coordonate (t=0) . După valorile defazajului se definesc următoarele relaţii de faza:

Figura 4.6.

- defazaj pozitiv = 1 - 2 >0 mărimea y1 este defazată înaintea mărimii y2

(semnalul y1 trece prin zero înaintea semnalului y2 ).

escrescatoare.

- defazaj negative = 1 - 2 < 0 mărimea y1 este defazata în urma mărimii y2 (semnalul y1 trece prin zero în urma semnalului y2 ).

- defazaj nul = 1 - 2=0 mărimile y1 şi y2 sunt în fază sau sinfazice. Ambele marimi trec simultan prin zero şi maxim pozitiv, respectiv negativ prin valori crescatoare sau d

Două mărimi sinusoidale pot fi : - în fază = 1 - 2=0 -în opoziţie de fază =1 - 2 = . Ambele mărimi trec prin zero simultan , dar când una trece prin maxim pozitiv , cealaltă trece prin maxim negativ.

- în cuadratură = 1 - 2 =2

, mărimea y1 este defazată în cuadratură înaintea/în

urma mărimii y2 (semnale în cuadratură);

46

O mărime sinusoidală este complet determinată de valoarea efectivă, frecvenţa şi faza iniţială. In regim permanent sinusoidal, frecvenţa tensiunilor şi curenţilor este frecvenţa surselor de alimentare şi în acest caz mărimile sunt caracterizate numai de valoarea efectivă şi faza iniţială.

4.3. Circuite electrice liniare elementare în regim permanent sinusoidal Se vor examina în continuare câteva circuite electrice simple în regim permanent

sinusoidal, rezistorul ideal, bobina ideală, condensatorul ideal, iar apoi circuitul RLC serie şi RLC derivaţie.

4.3.1. Rezistorul ideal Este un element de circuit care nu produce câmp magnetic şi nici nu acumulează

sarcini electrice şi este caracterizat de rezistenţa R. Schema de principiu a unui rezistor ideal este prezentată în fig.4.7.

Figura 4.7. Rezistorul ideal Figura 4.8. Tensiunea şi curentul

Dacă sursa de tensiune ce alimentează rezistorul este sinusoidală, de forma:

tsinU2tu (4.12) prin rezistor va lua naştere un curent sinusoidal de forma:

tsinI2ti (4.13) Aplicând teorema II Kirchhoff şi legea inducţiei electromagnetice pe conturul Г,

contur care se închide prin tensiunea la borne u(t) se obţine:

0tutRidsEe (4.14)

sau tiRtu (4.15)

Relaţia (4.15) reprezintă ecuaţia de funcţionare a rezistorului. Din această ecuaţie scoatem curentul:

tR

U

R

ui sin

2 (4.16)

Valoarea efectivă a curentului este egală cu:

R

UI (4.17)

Curentul unui rezistor ideal este în fază cu tensiunea la borne şi are valoarea efectivă proporţională cu tensiunea şi independentă de frecvenţă.

Unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent este zero, deci cele două mărimi sunt în fază.

Diagramele de variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig.4.8. 4.3.2. Bobina ideală. Bobina ideală este caracterizată de inductivitatea L. Schema de principiu a bobinei

ideale este prezentată în fig. 4.9, iar diagramele de variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig.4.10.

Dacă sursa de tensiune ce alimentează bobina este sinusoidală, conform cu relaţia (4.12), prin bobină va lua naştere un curent sinusoidal de forma:

47

tsinI2ti (4.18)

Figura 4.9. Bobina ideală Figura 4.10. u(t) şi i(t) la bobina ideală

Aplicând legea inducţiei electromagnetice pe conturul Г se obţine:

tusdEe (4.19)

unde:

dt

diLtLi

dt

d

dt

de

(4.20)

Ecuaţia de funcţionare a bobinei ideale este:

dt

tdiLtu (4.21)

Intrucât tUu sin2 , iar tsin2Ii ecuaţia (4.21) devine:

t2

sin2ILtcos2ILtsin2U (4.22)

deci:

ILU , iar 02

(4.23)

sau

IXU L , iar 2

(4.24)

unde am notat XL=ωL reactanţa inductivă a bobinei. Relaţiile de mai sus duc la expresia curentului instantaneu de forma:

2

tsin2Ii (4.25)

Curentul unei bobine ideale este defazat în urma tensiunii la borne cu 2

(fig.4.10).

Pentru o bobină reală acest defazaj este cuprins între 0 şi 2

şi spunem că între cele două

mărimi avem un „defazaj inductiv”. 4.3.3. Condensatorul ideal. Condensatorul ideal este caracterizat prin capacitatea C. Schema de principiu a

condensatorului ideal este prezentată în fig.4.11, iar diagramele de variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig.4.12.

Dacă sursa de tensiune ce alimentează condensatorul este sinusoidală, conform cu relaţia (4.12), va lua naştere un curent sinusoidal de forma:

tsinI2ti (4.26) Aplicând din nou legea inducţiei electromagnetice se obţine:

48

0tutusdEe c (4.27)

unde:

dttiC

1

C

tqtutu c (4.28)

Figura 4.11. Condensatorul ideal Figura 4.12. u(t) şi i(t) la condensatorul ideal .

Ecuaţia de funcţionare a condensatorului ideal este:

dt

duCi (4.29)

Substituind expresiile tensiunii (4.12) şi curentului (4.26) în (4.29) se obţine:

2

tsin2CUtcos2CUtsin2I (4.30)

Deci: ; iar UCI 2

(4.31)

Ceea ce face ca expresia curentului instantaneu să aibă forma:

2

tsin2UCi (4.32)

Curentul care străbate un condensator ideal este defazat înaintea tensiunii la borne cu 2

. Un

condensator ideal nu permite trecerea curentului la frecvenţe joase, iar la frecvenţe înalte el reprezintă un scurtcircuit. În cazul condensatorului real între tensiunea la borne şi curentul

prin acesta unghiul de defazaj este cuprins între 0 şi 2

şi spunem că avem un „defazaj

capacitiv”.

Reactanţa unui condensator ideal se notează, în aplicaţii cu simbolul: C

1Xc

4.4. Circuite RLC în curent alternativ monofazat

4.4.1. Circuite RLC serie. Consider un circuit cu rezistor (de rezistenţă R), bobină ideală (de inductivitate L) şi

condensator (de capacitate C) conectate în serie şi alimentate cu o tensiune sinusoidală:

tsinU2tu (4.33)

Figura 4.13. Circuit RLC serie

49

Prin circuit va lua naştere un curent sinusoidal de forma:

tsinI2ti (4.34) Acest curent produce pe fiecare element de circuit căderi de tensiune conform legii lui Ohm, notate cu uR, uL, uC .Aplicând teorema II Kirchhoff pe contur rezultă tensiunea la bornele circuitului RLC:

CLR uuutu (4.35)

Expresiile tensiunilor uR , uL, uC fiind cunoscute din ecuaţiile caracteristice ale elementelor de circuit, relaţia (4.35) se mai poate scrie sub forma:

dtiC

1

dt

diLiRu (4.36)

Substituind expresiile tensiunii u şi curentului i, în relaţia (4.36) rezultă;

tcos2IC

1tcos2LItsin2RItsin2U (4.37)

Din relaţia (4.37) se pot obţine valoarea efectivă a curentului I şi defazajul , pentru două momente particulare şi anume:

0t şi 2

t

sau t şi 2

t

(4.38)

Substituind cele două momente particulare in (4.37) se obţine:

IC

1LsinU

şi RIoscU (4.39)

Prin ridicarea la pătrat a expresiilor (4.39) şi adunarea lor precum şi prin împărţirea acestora rezultă:

2

2

c

1LR

UI

(4.40)

RC

1L

tg

(4.41)

unde 2

2

C

1LRZ

(4.42)

este impedanţa circuitului RLC serie. Folosind notaţiile introduse în acest capitol:

;LXL ;c

1XC

;XXX CL relaţiile (4.40), (4.41) şi (4.42) se mai pot

scrie:

Z

UI (legea lui Ohm la circuitul RLC serie). (4.43)

R

X

R

XXtg CL

(4.44)

2

CL

222 XXRXRZ (4.45)

50

Defazajul dintre tensiune şi curent este cuprins în intervalul:

2R

XXarctg

2CL

(4.46)

Din relaţiile determinate anterior se poate construi “triunghiul impedanţelor” – un triunghi dreptunghic ale cărui elemente sunt reprezentate în figura 4.14.

Figura 4.14. Triunghiul impedanţelor.

4.4.2. Circuite RLC derivaţie Consider un circuit cu rezistor (de rezistenţă R), bobină ideală (de inductivitate L) şi

condensator (de capacitate C) conectate în paralel şi alimentate cu o tensiune sinusoidală conform relaţiei (4.33), iar curentul va fi conform relaţiei (4.34).

Schema de principiu a circuitului este dată în fig. (4.15).

Figura 4.15. Circuit RLC derivaţie

Conform teoremei I Kirchhoff, valoarea curentului este egală cu:

CLR iiiti (4.47)

Expresiile curenţilor iR, iL si iC fiind cunoscute, relaţia (4.47) se mai poate scrie sub forma:

dt

duCdtu

L

1

R

ui (4.48)

Substituind expresiile tensiunii şi curentului în relaţia (4.48) rezultă:

tcos2CUtcosL

2Utsin

R

2Utsin2I

(4.49)

Din relaţia (4.49), se poate obţine valoarea unghiului de defazaj dintre tensiunea u(t) şi curentul i(t) pentru momentul particular:

0t (4.50) adică,

cosCUcosL

Usin

R

U0 (4.51)

sau,

cosCL

1sin

R

1 (4.52)

deci

51

G

BB

R

1

CL

1

tg CL

(4.53)

De asemeni din relaţia (4.50) se poate obţine valoarea efectivă a curentului I, pentru două momente particulare:

0t si 2

t

(4.54)

Substituind relaţiile (4.54) în relaţia (4.50) obţinem, pe rând, expresiile:

UL

1CsinI

(4.55)

R

UcosI (4.56)

Ridicând la pătrat expresiile (4.55) şi (4.56) şi apoi adunându-le obţinem:

22

22

L

1C

R

1UI (4.57)

sau:

UYBBGUI 2

LC

2 (4.58)

unde:

R

1G , conductanţa circuitului;

CBC , susceptanţa condensatorului;

L

1BL

, susceptanţa bobinei.

222

LC

2 BGBBGY , admitanţa circuitului RLC derivaţie.

Relaţia (4.58), mai poartă şi numele de legea lui Ohm pentru circuite RLC derivaţie. Defazajul între tensiune şi curent este cuprins în intervalul:

2G

BBarctg

2CL

(4.59)

Şi în cazul circuitului RLC derivaţie se poate construi un “triunghi al admitanţelor” – triunghi dreptunghic ale cărui elemente sunt indicate în fig.4.16.

Figura 4.16. Triunghiul admitanţelor.

4.5. Puteri electrice în regim periodic sinusoidal Consider un consumator având impedanţa Z alimentat de la o sursă de curent

alternativ monofazat de forma:

52

tsinU2tu

(4.60) Prin circuit va lua naştere un curent:

t sinI2ti (4.61) Puterea instantanee absorbită de circuit, este: Figura 4.17.

t2coscosUItsintsinUI2titutp (4.62)

Notând cu φ, defazajul dintre tensiunea de alimentare şi curentul absorbit se observă că în expresia puterii din relaţia (4.62), apar două componente, dintre care una constantă

şi una variabilă de pulsaţie dublă fată de cea a tensiunii de alimentare

. De asemeni din relaţia (4.62) se observă că puterea instantanee p(t) se transmite în ambele sensuri atât de la sursă la receptor (p(t)>0) cât şi de la receptor la sursă (p(t)<0).

cosUI 2cosUI

t

În cazul circuitelor de c.a. deosebim trei puteri: activă, reactivă şi aparentă. Puterea activă este dată de relaţia:

T

0cosUIdttp

T

1P (4.63)

Aşa cum s-a demonstrat anterior (rel.4.46 şi 4.59) 22

,deci

. 0cosUIP Unitatea de masură a puterii active în [SI] este wattul [W]. Termenul cos , care

apare în expresia puterii active poartă denumirea de factor de putere. Se vede că în c.a. puterea activă este maximă când 1cos , adică 0 , deci cazul

unui circuit numai cu rezistor (R) sau cu reactanţele compensate (la rezonanţă). Din relaţia (4.43): U=ZI, deci puterea activă va avea expresia:

cosZIP 2 (4.64) dar din triunghiul impedanţelor (fig.4.14) se vede că, RZ cos deci:

2RIP (4.65) Relaţia (4.65) ne arată că puterea activă se transformă pe o rezistenţă, în putere

termică. Din relaţia (4.65) se pot defini:

2I

PR şi

cosU

I

P

IG (4.66)

2

Puterea reactivă este dată de relaţia: sinUIQ (4.67)

sau

sinZIQ 2 (4.68) Din figura (4.14) se obţine XZ sin , deci:

2

CL

2 IXXXIQ (4.69)

Relaţia (4.69) arată că puterea respectivă este înmagazinată în elementele reactive de circuit (în câmpul electric al condensatoarelor şi/sau câmpul magnetic al bobinelor).

Ştiind că unghiul de defazaj

2,

2 din relaţia (4.68) se observă că puterea

reactivă poate fi pozitivă pentru

2,0 sau negativă pentru

0,

2

, adică circulă de

53

la reţea la receptor, respectiv de la receptor la reţea. In această situaţie spunem că receptorii (consumatorii) sunt:

- inductivi CL X X - capacitivi CL X X - la rezonanţă CL X X În [SI] puterea reactivă se măsoară în voltamper–reactiv [VAR]. Puterea aparentă este dată de relaţia:

S=UI (4.70) sau ţinănd cont de relaţia (4.44):

S= Z I2 (4.71) Din analiza expresiilor celor trei puteri rezultă:

22 QPS (4.72)

Deci şi pentru puteri se poate construi un “triunghi al puterilor” – triunghiul dreptunghic din fig. 4.18. Unitatea de măsură a puterii aparente în [SI] este volt–amperul [VA].

Figura 4.18. Triunghiul puterilor.

4.6. Reprezentarea fazorială a mărimilor sinusoidale Având în vedere că operaţiile dintre mărimile sinusoidale exprimate sub formă

analitică generează calcule foarte complicate, se utilizează o reprezentare a mărimilor sinusoidale sub formă de fazori transferând calculul asupra acestora.

Oricărei mărimi cu o variaţie sinusoidala în timp: ,sin tAa m i se poate ataşa

un pseudovector numit fazor (vector rotitor) definit astfel: faţă de o direcţie de referinţă (spre exemplu axa OX, din fig. 4.19) se ia o direcţie, la un unghi t , ce corespunde fazei funcţiei la momentul respectiv. Pe această direcţie se ia un vector având modulul egal cu

valoarea maximă a funcţiei A2Am . Vectorul construit se roteşte în spaţiu cu o viteză

unghiulară egală cu pulsaţia funcţiei . Întradevăr, proiecţia fazorului pe axa OY, ne dă valoarea instantanee a funcţiei sinusoidale. Această reprezentare mai poartă şi numele de reprezentare fazorială cinematică.

Fig. 4.19. Reprezentarea fazorială cinematică Figura 4.20. Reprezentarea fazorială polară.

În calculul circuitelor de c.a. în regim sinusoidal, de obicei toate mărimile variabile

din circuit au aceiaşi pulsaţie, motiv pentru care este mai simplu să reprezentăm mărimile prin vectori ficşi şi nu rotitori ceea ce duce la o reprezentare polară. Fazorul are lungimea egală cu valoarea efectivă (eficace) a mărimii sinusoidale şi formează un unghi egal cu faza iniţială (fig.4.20).

54

Atunci cand se trece d ia: e la fazor la valoarea instantanee se ţine seama de relaţ

UU m 2 (4.73)

obţinânează fazorii derivatei sau integralei funcţiei

sinusoi rimea respectivă.

Pentru funcţia sinusoidală considerată derivată este:

d o reprezentare fazorială statică simplificată. În circuitele de c.a. se mai utilizdale care descrie măFazorul derivatei

2dt m

După cum se vede fazorul derivatei are modulul de

tsinAda

(4.74)

ori mai mare decât cel al

funcţiei ini j al acestuia este cu 2

înaintea mţiale, iar unghiul de defaza ărimii sinusoidale “a”.

Pentru aceiaşi funcţie integrala este: Fazorul integralei

20

În acest caz fazorul integralei se obţine din fazorul funcţiei iniţiale, având m

tsinA

adt mt

(4.75)

odulul de

ori mai mic, iar unghiul de defazaj este cu 2

în urma fazorului funcţiei iniţiale.

Reprezentarea fazorială statică a mărimilor descrise mai sus este dată în fig. 4.21.

Figura 4.21. Repre ărimi sinusoidale,

a derivatei şi integralei acesteia.

zetarea în complex nesimplificat, iar în al doilea caz reprezentarea în complex simplif

stfel funcţiei sinusoidale

zentarea fazorială polară a unei m

4.7. Reprezentarea complexă (simbolică) a mărimilor sinusoidale. Pentru rezolvarea reţelelor complexe de c.a, se foloseşte o a treia metodă de

reprezentare (în afară de cea analitică şi cea fazorială) a mărimilor sinusoidale în timp prin funcţii a căror domenii de existenţă este planul complex. Oricărui semnal sinusoidal i se poate ataşa biunivoc o mărime complexă şi anume identificând planul complex fie cu planul abstract al fazorilor cinematici, fie cu planul abstract al fazorilor polari. În primul caz se ogţine repre

icat. A tsinAa m îi corespunde în planul complex

funcţia:

a <=> tj

meAa (4.76)

unde j este unitatea im 1j ce reprezintă un operator de rotaţie cu aginară 2

.

Reprezentarea în planul complex nesimplificat a funcţiei descrisă de relaţia (4.76) este dată în fig. 4.22.

55

Din aceleaşi considerente pe care le-am arătat la reprezentarea fazorială şi în acest caz se foloseşte o reprezentare complexă simplificată: funcţia sinusoidală este reprezentată de un număr complex în valoare efectivă (fig. 4.23):

jeAA (4.77)

Figura 4.22. Reprezentarea complexă Figura 4.23. Reprezentarea complexă

a mărimii sinusoidale “a” simplificată. Deci, se poate stabili o relaţie biunivocă între funcţiile sinusoidale de timp şi funcţiile

complexe. Trecerea de la funcţii sinusoidale la cele complexe şi invers se poate face cu uşurinţă. Avantajul mare pe care-l oferă această ultimă metodă, este acela că reprezintarea

complexă, transferă calculul reţelelor de c.a. în algebra numerelor complexe, unde toate operaţiile algebrice se fac cu uşurinţă.

Derivata complexă Pentru derivata funcţiei exprimată şi de relatia (4.74) corespondenţa în planul complex

este:

2

tsinAdt

dam <=> AjAeA 2

j

d

(4.78)

Deci derivata complexă se obţine din valoarea funcţiei (rel.4.77) multiplicată cu operatorul j .

Integrala complexă Pentru integrala funcţiei exprimată prin relaţia (4.75), corespondenţa în planul

complex este:

t

0

m

2tsin

Aadt <=>

j

Ae

j

Ae

AA j2

j

i (4.79)

Deci integrala complexă se obţine din valoarea funcţiei (rel.4.77) împarţită la operatorul jω.

Pe baza rezultatelor obţinute la acest paragraf se pot scrie toate mărimile sinusoidale din circuitele de c.a. sub formă complexă şi de asemenea toate relaţiile de calcul (legi şi teoreme): tensiune, curent, impedanţă complexă, admitanţa complexă, putere complexă, legea lui Ohm în complex, teoremele lui Kirchhoff în complex etc.

4.8. Caracterizarea în complex a circuitelor dipolare. Un circuit dipolar, liniar şi pasiv, sub tensiunea sinusoidală la borne

tsin2Uu , absoarbe curentul sinusoidal tsin2Ii . Tensiunea la borne şi curentul în complex sunt:

jUeUu ; jIeIi (4.80)

Cunoscând tensiunea şi curentul se pot defini impedanţa, admitanţa şi puterea complexă.

56

Impedanţa complexă. Se numeşte impedanţă complexă a unui circuit dipolar raportul dintre tensiunea complexă la borne şi curentul complex absorbit:

I

UZ (4.81)

sau

jj

j

j

ZeeI

U

Ie

UeZ (4.82)

unde Z este modulul impedanţei, iar este defazajul circuitului. Impedanţa complexă are modulul egal cu impedanţa circuitului şi argumentul egal cu

defazajul circuitului:

ZZ Zarg (4.83)

Exprimând impedanţa complexă, în forma trigonometrică, se obţine:

sinjZcosZZeZ j (4.84)

Aşa cum ştim din triunghiul impedanţelor, mărimea cosZ se numeşte rezistenţa

circuitului şi se notează cu R, iar mărimea sinZ se numeşte reactanţa circuitului şi se notează cu X. Se poate scrie deci:

jXRZ (4.85)

Partea reală a impedanţei complexe este egală cu rezistenţa circuitului, iar partea imaginară este egală cu reactanţa circuitului:

ZR Re ;

ZX Im (4.86)

Impedanţa complexă nu depinde de U şi I , ci numai de parametrii elementelor de circuit şi de frecvenţă.

Admitanţa complexă. Se numeşte admitanţă complexă raportul dintre curentul complex şi tensiunea complexă:

j

j

j

YeUe

Ie

U

IY (4.87)

Exprimând admitanţa, sub formă trigonometrică, se obţine: sinjYcosYjBGY (4.88)

în care G este conductanţa circuitului, iar B este susceptanţa circuitului. Conductanta G şi susceptanţa B se calculează deci cu expresiile:

cos YG şi sin YB (4.89) Puterea complexă. Puterea activă, reactivă şi aparenta ale unui circuit dipolar se pot

calcula direct cu ajutorul expresiilor mărimilor U şi I . Se numeşte putere aparentă complexă, produsul dintre tensiunea complexă şi valoarea conjugată a curentului complex. Ea se notează cu S şi are expresia:

jjj* IeUIeUeIUS (4.90)

unde UI=S este puterea aparentă, iar este defazajul. Prin urmare:

jQPsinjScosSSeS j (4.91)

Din relaţia (4.91) reiese că puterea activă P şi cea reactivă Q se determină cu expresiile:

SReP ;

SIQ m (4.92).

57

4.8.1. Rezistorul în reprezentarea complexă

jUeU (4.93)

jj

eIR

eU

R

UI

Figura 4.24. Rezistorul Figura 4.25. Diagrama fazorială Concluzii:

- valoarea efectivă a curentului reprezintă raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii şi rezistenţă, - defazajul dintre tensiune şi curent este nul, - avantajul reprezentării complexe îl constituie faptul că pot fi trasate diagrame fazoriale care explică într-o formă simplă comportarea elementelor de circuit (compară figura 4.8 cu figura 4.25). 4.8.2. Bobina în reprezentarea complexă

jeII (4.94)

IjXILjIdt

dLU L

Figura 4.26. Bobina Figura 4.27. Diagrama fazorială Concluzii:

- valoarea efectivă a curentului reprezintă raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii şi reactanţa inductivă, - defazajul dintre tensiune şi curent este π/2, tensiunea fiind înaintea curentului. 4.8.2. Condensatorul în reprezentarea complexă

jUeU (4.95)

CjX

UUCjU

dt

dCI

Figura 4.28. Condensatorul Figura 4.29. Diagrama fazorială Concluzii:

- valoarea efectivă a curentului reprezintă raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii şi reactanţa capacitivă, - defazajul dintre tensiune şi curent este π/2, curentul fiind înaintea tensiunii. 4.9. Circuite simple de curent alternativ sinusoidal analizate fazorial şi în planul complex 4.9.1. Circuite RLC serie Considerăm circuitul RLC serie din fig. 4.13, alimentat de la o tensiune sinusoidală

tUu m sin . Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff pe conturul circuitului se obţine

ecuaţia (4.36), care este o ecuaţie integro-diferenţială. Acum rezolvarea o vom face prin cele două metode prezentate anterior: metoda fazorială şi metoda reprezentării în planul complex.

Schema echivalentă cu mărimi complexe a circuitului RLC serie din fig. 4.13, este prezentată în fig. 4.30.a.

58

a b

Figura 4.30. Schema de principiu şi diagrama fazorială a circuitului RLC serie.

Metoda fazorială Dacă soluţia ecuaţiei (4.36) este de forma:

tsinIi m (4.96)

pentru ca aceasta să fie determinată trebuiesc determinate Im şi φ. Reprezentând ecuaţia (4.36) prin fazori se obţine diagrama din fig. 4.30.b în care:

RIUR ; LIUL ; C

IUC

; ZIU ; C

1XLX CL

(4.97)

deci . CL UU Din fig. 4.30.b se deduce

2

CL

2 XXR

UI

(4.98)

deci:

I2Im (4.99)

iar

R

XX

U

UUtg CL

R

CL

(4.100)

Relaţiile (4.99) si (4.100) determină curentul i din relaţia (4.96). Metoda reprezentării în complex Dacă se reprezintă relaţia (4.35) în valori coplexe se obţine:

UUUU CLR (4.101) sau

UICj

1ILjIR

(4.102)

De aici:

Z

U

C

1LjR

UI

(4.103)

Relaţia (4.103) reprezintă legea conducţiei (Ohm) în valori complexe pentru circuite RLC serie şi permite determinarea lui I , iar apoi:

I2III m (4.104)

şi ZRe

ZIarctg m (4.105)

59

Cu mărimile calculate prin relaţiile (4.104) şi (4.105) curentul i din circuit este determinat.

4.9.2. Circuite RLC derivaţie Considerăm circuitul din fig. 4.15 alimentat de la o tensiune tUu m sin .

Aplicând teorema a I-a a lui Kirchhoff în nodul A obţinem: i = iR + iL + iC (4.106)

sau

t

0 dt

duCudt

L

1

R

ui (4.107)

Ca şi în cazul circuitului RLC serie pentru determinarea curentului vom utiliza cele două metode: fazorială şi reprezentarea în complex.

Schema echivalentă cu mărimi complexe a circuitului RLC derivaţie este prezentată în fig.(4.31.a).

a b

Figura 4.31. Schema de principiu şi diagrama fazorială a circuitului RLC derivaţie.

Metoda fazorială Diagrama fazorială care reprezintă mărimile sinusoidale din ecuaţia (4.107) este dată

în fig. 4.31.b în care:

UBX

UCUI;UB

X

U

L

UI;GU

R

UI C

C

CL

L

LR

(4.108)

S-a considerat de asemeni BL>BC, deci IL>IC. Din fig. 4.31.b se deduc:

2

LC

2 BBGUI II m 2 (4.109)

şi

G

BBtg CL (4.110)

Relaţiile (4.109) şi (4.110), determină curentul i. Metoda reprezentării în complex Dacă se reprezintă relaţia (4.106) în complex se obţine:

CLR IIII (4.111) sau

Cj

Lj

1GUI (4.112)

De aici: YUI (4.113)

60

Relaţia (4.113) reprezintă legea conducţiei (Ohm) în valori complexe pentru circuite RLC derivaţie şi permite determinarea lui I şi apoi:

I2III m

(4.114)

şi

YRe

YIarctg

m (4.115)

Cu mărimile calculate prin relaţiile (4.114) şi (4.115) se poate determina valoarea instantanee a curentului i.

4.10. Rezonanţa circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal Fenomenul de rezonanţă electrică apare în circuitele de curent alternativ, în anumite

cazuri particulare, când defazajul φ dintre tensiunea aplicată şi curentul absorbit este nul. Caracterul fenomenului de rezonanţă depinde de configuraţia circuitului: serie sau paralel.

4.10.1. Rezonanţa circuitului RLC serie (rezonanţa tensiunilor) Un astfel de regim poate fi obţinut prin conectarea în serie a unui rezistor, bobină ideală şi condensator ideal alimentate fie de la un generator ideal de tensiune, fie de la unul ideal de curent.

Figura 4.32.

Ecuaţia în complex a tensiunii la bornele dipolului este: IZIjXIjXIRUUUU CLCLR (4.116)

unde jZeZ ; eeCL jXRXXjRZ (4.117)

Condiţia de rezonanţă:

0Xe

C

1L0XX

0

0CL

LC

1f2 00 (4.118)

conduce la posibilităţile de realizare a rezonanţei prin: - variaţia frecvenţei semnalului de excitaţie; - modificarea inductivităţii sau capacităţii. Diagrama de fazori la rezonanţă este:

Figura 4.33. Diagrama de fazori şi reprezentarea mărimilor sinusoidale

61

Impedanţa circuitului la rezonanţă este:

RC

1LRZ

0

0

2

2

(4.119)

Curentul din circuit la rezonanţă are valoare maximă fiind limitat numai de rezistenţa

circuituluiR

UI0 . (4.120)

Întrucât la rezonanţă 00 CL UU - şi sunt independente de tensiunea de

alimentare este posibil ca tensiunea pe elementul reactiv să fie mai mare decât tensiunea de alimentare, conducând la apariţia supratensiunilor. Condiţia de existenţă a supratensiunilor este:

00UUL ; (4.121) RR0 RILI

în care ω0 este pulsaţia de rezonanţă : LC

10 .

Numim 0

I

U

C

LZ L

0

(4.122)

impedanţă caracteristică raportul dintre tensiunea pe elementul reactiv şi curentul din circuit la rezonanţă. Condiţia de apariţie a supratensiunilor poate fi exprimată şi prin inegalitatea:

RC

L , sau (4.123) R0 ZZ

Numim factor de calitate al circuitului rezonant raportul dintre tensiunea pe elementul reactiv şi tensiunea de alimentare definit de relaţia:

R

Z

I

U1

I

U

U

I

I

U

U

U

U

UQ 0

R

R

CR

R

CCLs

0

000

(4.124)

Inversul factorului de calitate dQ

1

S

se numeşte factor de amortizare ce

reprezintă, din punct de vedere, fizic raportul dintre tensiunea aplicată circuitului şi tensiunea de la bornele elementului reactiv.

Reprezentând grafic (figura 4.34): fU L şi fUC :

2

2

L

C

1LR

ULLIU

(4.125)

rezultă maximizarea tensiunii pe bobina ideală pentru pulsaţia:

0L20L d2

2

(4.126)

iar maximizarea tensiunii pe capacitate pentru:

62

0C

2

0CC

2

d20

U

(4.127)

Figura 4.34.

Dacă atunci nu mai apar supratensiuni 0C 0d2 2 condiţia de

inexistenţă a supratensiunilor:

2d (4.128) Oscilaţii de energie la rezonanţa tensiunilor. Valorile instantanee ale energiei înmagazinate în câmpul electric (condensator) respectiv câmpul magnetic (bobină) sunt:

2

m

2

Ce Li2

1W,CU

2

1W (4.129)

itsinI2i iar i

T

0C tcosC

I2idt

C

1u

. (4.130)

Energia totală înmagazinată în circuitul serie este suma energiei din condensator şi bobină, iar la rezonanţă, energia înmagazinată are valoarea:

r2

i

2

i

2r

2

r LItsintcosLIW (4.131)

sau funcţie de valoarea maximă a curentului: 2

II m

.ctCU2

1LI

2

1W 2

m

2

mr (4.132)

Concluzii: Fenomenul de rezonanţă este de evitat (fenomen nedorit). Supratensiunile care pot apare, mai mari decât tensiunea de alimentare, pot distruge instalaţia prin străpungerea izolaţiei.

La rezonanţă au loc oscilaţii neamortizate ale energiei între bobine şi condensatoare. În acest regim nu are loc schimb de energie între surse şi câmpul electromagnetic al circuitului. Sursele furnizează energie numai rezistoarelor în care se produc efecte Joule-Lentz.

4.10.2. Rezonanţa circuitului RLC derivaţie (rezonanţa curenţilor) Acest regim poate fi realizat la bornele unui circuit format din gruparea paralel R, L, C

alimentată de la o sursă sinusoidală de tensiune sau de curent (figura 4.35.).

63

Figura 4.35.

Curentul absorbit de dipol este:

dt

duCidt

L

1Gui

iiii CLR

(4.133)

Trecând în complex relaţia de mai sus obţinem:

22CL

BGUIcuYUI)]BB(jG[UI

(4.134)

Condiţia de obţinere a rezonanţei impusă dipolului conduce la posibilităţile practice de obţinere a rezonanţei:

0CC

10BBB 0CL

(4.135)

Admitanţa circuitului: jBGY la rezonanţă devine: GY (4.136)

Reprezentarea funcţie de frecvenţă a admitanţei şi susceptanţelor este redată în figura 4.36.

Figura 4.36

La rezonanţă CL II iar curentul absorbit de la sursă, GUIr , - are valoare

minimă. Deoarece CL II este posibil în cazul rezonanţei paralel ca valoarea efectivă a curentului prin elementul reactiv să fie mult mai mare decât valoarea curentului absorbit de la reţea, conducând la apariţia supracurenţilor:

00IIC ; (4.137) GUCU0

în care ω0 reprezintă pulsaţia de rezonanţă :LC

10

Numim L

C

U

CU

U

IY

r

r0C0

0

(4.138)

admitanţa caracteristică raportul dintre curentul pe elemental reactive şi tensiunea din circuit la rezonanţă. Condiţia de apariţie a supracurenţilor poate fi exprimată şi prin inegalitatea:

64

GL

C , (4.139) R0 YY

Numim factor de calitate al circuitului rezonant raportul dintre curentul pe elementul reactiv şi curentul din circuit definit de relaţia:

G

Y

UG

UC

I

IQ 0

r

r0Cp

0

0

(4.140)

Inversul factorului de calitate dQ

1

P

se numeşte factor de amortizare şi reprezintă, din

punct de vedere, fizic raportul dintre curentul circuitului şi curentul din elementul reactiv. Oscilaţiile de energie ce au loc în bobină şi condensator conduc la aceleaşi concluzii ca şi în cazul rezonanţei tensiunilor.

4.11. Imbunătăţirea factorului de putere Din analiza celor trei feluri de puteri, prezentate în paragrafele precedente, se trage

urmatoarea concluzie în ceea ce priveşte vehicularea puterilor în circuitele de c.a.: - rezistorul ideal consumă numai putere activă de la reţeaua la care este conectat; - bobina ideală consuma numai putere reactivă de la reţeaua la care este conectată; - condensatorul ideal debitează putere reactivă în reţeaua la care este conectat. Marea majoritate a consumatorilor de energie electrică au caracter inductiv (motoare,

transformatoare etc.). Aceşti consumatori inductivi absorb de la reţea energie reactivă pentru formarea şi întreţinerea câmpurilor magnetice.

Din expresia puterii active pentru o tensiune de alimentare constantă şi aceeaşi putere: cosUIP (4.141)

se obtine: .constcosI (4.142) Relaţia (4.142) arată că la un factor de putere scăzut (deci la un consum ridicat de putere reactivă) curentul absorbit de la reţea este mare şi deci pierderile în linia de alimentare (R1I2) sunt mari. Datorită acestor cauze în practică se urmareşte funcţionarea receptoarelor la un factor de putere cît mai aproape de 1. O îmbunatăţire a factorului de putere se poate realiza pe două căi: pe cale naturală sau prin compensarea puterii reactive.

Pe cale naturală factorul de putere se poate îmbunătăţi adoptând măsuri tehnico- organizatorice, cum ar fi: echiparea motoarelor electrice cu limitatoare de mers în gol, respectarea graficului de întreţinere a motoarelor electrice prin repararea la timp a defectelor etc.

Prin compensarea puterii reactive cu ajutorul condensatoarelor statice sau utilizarea compensatoarelor (motoarelor) sincrone (această metodă va fi prezentată în partea de electrotehnică numita „Maşini electrice”).

Pentru compensarea puterii cu ajutorul condensatoarelor statice, se montează în derivaţie cu receptorul (consumatorul) inductiv (fig.4.37.a) un condensator C0.

a) b)

Figura 4.37. Compensarea factorului de putere cu ajutorul condensatoarelor statice.

65

Daca U este valoarea efectivă a tensiunii de alimentare, I curentul înainte de montarea

condensatorului C0, cosφ, factorul de putere înainte de montarea condensatorului iar I’ si cos, curentul şi respectiv factorul de putere după montarea condensatorului, atunci

reprezentând diagrama fazorială a celor două situaţii ale circuitului (fig.4.37.b) se pot spune relaţiile:

cosI

IsinI

OA

BDAD

OA

ABtg C' (4.143)

Din relaţia (4.31) se poate scrie: UCI 0C (4.144)

unde, . f2Înlocuind relaţia (4.144) în (4.143) se obţine:

cosI

UCsinItg 0' (4.145)

sau multiplicând număratorul şi numitorul fracţiei cu U se obţine:

cosUI

UCsinUItg

2

0' (4.146)

Sau 0

2' C

P

Utgtg

(4.147)

Din relaţia (4.147) se obţine valoarea capacitătii condensatorului C0 care trebuie conectat în circuitul dat, astfel încât să se obtină o îmbunătăţire a factorului de putere, de la

cos la cos ’:

2

'

2

'

0 U

tgtgP

fU2

tgtgPC

(4.148)

Dacă se doreşte maximizarea factorului de putere, tensiunea şi curentul sunt în fază, (cosφ’=1, φ’=0) rezultă capacitatea necesară, dar atenţie, în această situaţie apare fenomenul de rezonanţă:

20 U

tgPC

(4.149)

În practică se utilizează aşa numitul factor de putere neutral 92,0coskp inductiv.

Dacă factorul de putere este sub valoarea 0,9 se iau măsuri pentru îmbunătăţirea acestuia. 4.12. Conexiunea impedanţelor în circuitele de c.a.

4.12.1. Conexiunea serie Fie un număr oarecare de dipoli pasivi, necuplaţi inductiv între ei, conectaţi în serie,

având fiecare impedanţele complexe: n21 Z,.....,Z,Z (fig.4.38).

Figura 4.38. Dipoli electrici pasivi necuplaţi inductiv, conectaţi în serie.

66

Tensiunea la borne scrisă în valori instantanee este:

n21b u...uuu (4.150)

sau în complex:

n21b U...UUU (4.151) Utilizând expresia tensiunii la bornele unei impedanţe complexe prin care trece un

curent complex (legea lui Ohm în complex, rel.4.103), expresia (4.151), se poate scrie: IZ.....ZZIZ.....IZIZU n21n21b (4.152)

Deci impedanţa echivalentă a circuitului serie este:

n

1kkn21

be ZZ...ZZ

I

UZ (4.153)

Explicitând în părţile reale şi imaginare relaţia (4.129), se obţin expresiile:

n

1kke RR şi (4.154)

n

1kke XX

4.12.2. Conexiunea paralel Fie „n” dipoli pasivi, necuplaţi inductiv sau cu exteriorul conectaţi în paralel (fig.4.39)

având admitanţele . nYYY ,......,, 21

Figura 4.39. Dipoli electrici pasivi necuplaţi inductiv, conectaţi în paralel.

Conform teoremei I Kirchhoff:

n21 i...iii (4.155)

sau în complex:

bnb2b1n21 UY.....UYUYI.....III (4.156) Admitanţa complexă echivalentă a circuitului este:

n

1kkn21e YY.....YYY (4.157)

Explicitând în părţile reală şi imaginară relaţia (4.133) se obţin expresiile:

n

1kke GG şi (4.158)

n

1kke BB

4.13. CIRCUITE TRIFAZATE DE CURENT ALTERNATIV 4.13.1. Sisteme trifazate În majoritate covârşitoare, energia electrică produsă astăzi este sub formă trifazată, la diverse tensiuni şi la frecvenţă constantă, 50Hz, pentru majoritatea sistemelor energetice. Un sistem trifazat este constituit din trei mărimi sinusoidale de aceeaşi pulsaţie .

67

)1tsin(21Y)t(1y

)2tsin(22Y)t(2y (4.159)

)3tsin(33Y)t(3y

având reprezentarea în complex:

1j

e1Y1Y

2je2Y2Y (4.160)

3j

e3Y3Y

Sistemul trifazat poate fi: - simetric dacă valorile efective (sau amplitudinile) sunt egale între ele (Y1 =Y2 =Y3 =Y) şi mărimile sunt defazate între ele cu acelaşi unghi ; - nesimetric dacă cele trei mărimi de fază au valori efective (sau amplitudini) diferite şi/sau unghiuri de defazaj între ele diferit. Sistemele trifazate simetrice pot fi de trei tipuri :

- de succesiune directă dacă secvenţa Y1, Y2, Y3 se obtine prin parcurgere în sens orar,

- de succesiune inversă dacă aceeasi secvenţă se obţine prin parcurgere în sens antiorar (trigonometric),

- de succesiune homopolară dacă mărimile au aceeaşi valoare şi sunt în fază. Un sistem trifazat simetric de succesiune directă poate fi notat astfel:

tsin2Y)t(1y

)3

2tsin(2Y)t(2y

(4.161)

)3

2tsin(2Y)t(3y

În complex, un sistem trifazat simetric de succesiune directă poate fi notat astfel : Y1Y

Y2a1Y2a32j

Ye2Y

(4.162)

aY32j

Ye3Y

Un sistem trifazat simetric de succesiune inversă poate fi notat astfel:

tsin2Y)t(1y

)3

2tsin(2Y)t(2y

(4.163)

)3

2tsin(2Y)t(3y

În complex, un sistem trifazat simetric de succesiune inversă poate fi notat astfel: Y1Y

aY32j

Ye2Y

(4.164)

68

Y2a32j

Ye3Y

Daca modulele sunt egale între ele (Y1=Y2=Y3=Y) şi fazele sunt egale între ele (1=2=3=) rezultă un sistem homopolar.

)tsin(2Y)t(1y j

Ye1Y

)tsin(2Y)t(2y j

Ye2Y (4.165)

)tsin(2Y)t(3y j

Ye3Y

In relaţiile de mai sus s-au folosit notatiile:

2

3j

2

132j

ea

şi 2

3j

2

132j

e2a

.

Se observă uşor că 1, a şi a2 sunt soluţiile ecuaţiei x3 -1=0 şi satisfac următoarele relaţii: 1+a+a2=0, a*=a2, (a2)*=a, a3=1, a4=a, a4=a2... Grafic cele trei sisteme trifazate, de succesiune directă, inversă şi homopolară, le putem reprezenta astfel:

Figura 4.40. Sisteme trifazate O reţea trifazată este constituită din: - sursa trifazată de energie, - receptorul trifazat, - linia de transport a energiei dintre sursă şi receptor. Sursa trifazată poate fi simetrică sau nesimetrică şi atunci sistemul trifazat de tensiuni poate fi notat şi reprezentat ca mai sus, în loc de Y notăm cu U. În ceea ce priveşte receptorul trifazat, acesta poate fi:

- echilibrat atunci când impedanţele fiecărei faze sunt egale, 321 ZZZ

- dezechilibrat atunci când impedanţele fiecărei faze sunt diferite, 321 ZZZ . Când receptorul trifazat este echilibrat, va rezulta prin receptor un sistem de curenţi trifazat simetric, iar când receptorul este dezechilibrat va rezulta un sistem nesimetric. 4.13.2. Conexiunile sistemelor trifazate In centralele electrice se produce energie cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate care furnizeaza tensiuni ce formează un sistem trifazat simetric de succesiune directă:

69

3

4tsinE2e

3

2tsinE2e

tsinE2e

3

2

1

(4.166)

Producerea energiei electrice cu generatoarele trifazate este foarte eficientă. Transmisia energiei electrice la receptor se face prin intermediul liniilor electrice. Fiecare fază a generatorului trifazat ar putea alimenta un receptor separat şi deci linia ar putea avea şase conductoare.

Figura 4.41. Sistem trifazat nelegat galvanic

Acest sistem de transmisie nu este însă economic. Prin conexiuni speciale (în stea sau în triunghi) ale receptoarelor, numărul de conductoare se poate reduce la trei sau patru.

Figura 4.42. Sistem trifazat legat galvanic

Avantajele distribuţiei trifazate a energiei electrice sunt: - transmisie de energie mai economică (economie de material - Cu sau Al), puterea maximă pe conductor fiind mai mare;

- posibilitatea de a avea două valori pentru tensiuni la utilizator : Uf şi Ul ; - posibilitatea producerii câmpurilor magnetice învârtitoare pe care se bazează funcţionarea motoarelor asincrone. Un circuit trifazat conţine cel puţin un generator şi un receptor conectate între ele prin conductoarele liniei de transport a energiei. Elementele de circuit din schema generatorului care sunt parcurse de acelaşi curent formează o fază a generatorului. Faza receptorului este formată asemănător din elemente de circuit parcurse de acelaşi curent. Un generator trifazat, ca şi un receptor trifazat, are trei faze. Pentru a utiliza cât mai puţine conductoare de legatură atât generatoarele cât şi receptoarele trifazate se conectează în stea sau în triunghi.

70

Conexiunea stea Să analizăm un generator conectat în stea legat cu un receptor conectat în stea (fig. 4.43.).

Figura 4.43. Sistem trifazat conectat în stea

Fazele generatorului formate din E1 , Z1g (faza 1), E2 , Z2g (faza 2) şi E3 , Z 3g (faza 3) sunt legate împreună în punctul 0 (neutrul generatorului). Fazele receptorului (Z1 , Z2 şi Z3) sunt legate împreună la neutrul receptorului N. Conexiunea stea se caracterizează prin legarea tuturor fazelor la un punct neutru. Generatorul este conectat cu receptorul prin linia de transport a energiei care are patru conductoare: cele trei faze (conductoarele 1-1’, 2-2’ şi 3-3’) şi conductorul neutru (0-N) care, în general, are o impedanţă ZN. In tehnică, tensiunea la bornele unei faze a generatorului sau a receptorului se numeşte tensiune de fază (de exemplu

U1g sau U2N ) şi curentul printr-o fază a generatorului sau a receptorului se numeşte curent de fază. Tensiunea între o fază a liniei şi conductorul de nul se numeşte tot tensiune de fază deşi, în general, are altă valoare decât tensiunea de fază a generatorului sau a receptorului. De exemplu U10, U20, U30 sunt tensiuni de fază dar, în acest caz, U10 = U1g şi U10 U1N. Curenţii care trec prin conductoarele 1-1’, 2-2’ şi 3-3’ se numesc curenţi de linie (I1 , I2 , I3) şi curentul prin conductorul neutru se numeşte curent de nul (IN). Tensiunile între conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se numesc tensiuni de linie (U12, U23 , U31). La conexiunea

stea curentul de linie este egal cu cel de fază (I1 =I1g = I1r, I2 = I2g= I2r, I3 = I3g = I3r).

lf II (4.167)

iar pentru tensiuni se pot scrie:

6j

22112 e3Ua1UUUU

(4.168)

Cum sursa este simetrică l312312 UUUU şi receptorul echilibrat

( 321 ZZZ respectiv fN3N UU2N1 UU se obţine între valorile efective ale

tensiunilor relaţia:

fl U3U (4.169)

Sistemul de curenţi este un sistem trifazat simetric echilibrat defazat cu unghiul φ în urma sistemului de tensiuni de fază pentru receptorul echilibrat. Sistemul trifazat al tensiunilor de linie este tot un sistem trifazat simetric, dar de

valoare efectivă mai mare cu 3 faţă de sistemul tensiunilor de fază şi defazat înainte faţă de acesta cu π/6. Dacă receptorul este echilibrat, curentul prin conductorul de nul este zero, iar conductorul de nul poate lipsi. Dacă receptorul este dezechilibrat, este necesar ca sistemul trifazat conectat în stea să aibă conductor de nul. În caz contrar la consumator tensiunile pe faze vor fi diferite. Rolul conductorului de nul este acela de a asigura la consumator tensiunile de fază egale cu tensiunea de alimentare.

71

Conexiunea triunghi La conexiunea triunghi a unui generator sau a unui receptor, sfârsitul unei faze este legat la începutul fazei următoare.

Figura 4.44. Conexiunea triunghi

Fie un receptor în triunghi cu fazele Z 12, Z 23 şi Z 31 alimentat printr-o linie cu trei conductoare de legatură. Se observă faptul că tensiunea de linie U12 este şi tensiunea la bornele fazei Z 12 a receptorului s.a.m.d. Deci, la conexiunea triunghi, tensiunea de linie este egală cu cea de fază.

fl UU (4.170)

In acest caz, curenţii de linie sunt I1, I2 şi I3 iar curenţii de fază sunt I12, I23 , I31. Pentru a determina relaţia dintre curenţi , se scrie teorema a-I-a a lui Kirchhoff în unul

din nodurile receptorului:

6j

f12311 e3IIII

(4.171)

Cum sursa este simetrică şi receptorul echilibrat se obţin între valorile efective ale curenţilor, relaţia:

fl I3I (4.172)

Deci curenţii de linie, la legatura în triunghi, sunt de 3 ori mai mari şi defazaţi cu π/6 în urmă.

4.13.3. Puteri în reţele trifazate simetrice şi echilibrate

Indiferent de tipul conexiunii (stea sau triunghi), calculul puterii totale se face pornind de la calculul puterii pe fiecare fază, puterea totală fiind suma acestor puteri.

11f1f11 jQPIUS

22f2f22 jQPIUS (4.173)

33f3f33 jQPIUS

Rezultă puterea totală: 321321 QQQjPPPS (4.174)

Iar factorul de putere cosφ (sau kp):

22pQP

P

S

Pkcos

(4.175)

Dacă consumatorul trifazat este echilibrat j321 ZeZZZ şi sistemul de tensiuni este

simetric: UU f1

3

2j

f2 UeU

(4.176)

3

4j

f3 UeU

72

rezultă sistemul de curenţi simetric:

j

f

j

j1

f1f1 eIe

Z

U

Ze

U

Z

UI

j3

2j

ff2 eeII (4.177)

j3

4j

ff3 eeII

Se poate calcula puterea aparentă totală:

11fffff3f3f2f2f1f1 jQ3P3sinIjU3cosIU3IUIUIUS (4.178)

Se pot determina puterile activă şi reactivă exprimate funţie de mărimile de fază: cosIU3P ff (4.178)

sinIU3Q ff (4.179)

Cunoscând dependenţa dintre mărimile de fază şi cele de linie atât la conexiunea stea, [relaţiile (4.167) şi (4.169)], cât şi la conexiunea triunghi, relaţiile [(4.170) şi (4.172)], se pot exprima puterile trifazate active şi reactive funcţie şi de mărimile de linie:

cosIU3cosIU3P llff (4.180)

sinIU3sinIU3Q llff (4.181).

4.13.4. Rezolvarea circuitelor trifazate

Problema rezolvării circuitelor trifazate de c.a. se pune de obicei sub forma: se dă sistemul de tensiuni trifazate, la bornele sursei de alimentare şi impedanţele fazelor receptorului trifazat şi se cer curentii din retea. În circuitele trifazate se pot ivi urmatoarele cazuri de reţele:

a) reţele alimentate cu tensiuni simetrice şi receptoare echilibrate (se obţin curenţi simetrici);

b) reţele alimentate cu tensiuni simetrice şi receptoare dezechilibrate (se obţin curenţi nesimetrici);

c) reţele alimentate cu tensiuni nesimetrice şi receptoare echilibrate (se obţin curenţi nesimetrici);

d) reţele alimentate cu tensiuni nesimetrice şi receptoare dezechilibrate (se obţin curenţi nesimetrici).

Pentru rezolvarea variantelor de circuite prezentate mai sus se utilizează două metode: metoda directă (care se poate aplica în toate variantele de circuite) şi metoda componentelor simetrice (care se aplică la rezolvarea reţelelor alimentate de la sisteme trifazate nesimetrice de tensiuni).

73