解三角形及应用举例

正余弦定理： a2=b2+c2-2bccosθ,

2 2 2

2cos

b c a

bc

2 sin sin sin

a b cR

A B C

利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（ 1 ）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（ 2 ）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （从而进一步求出其他的边和角）；

利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

1 ）已知三边，求三角； 2 ）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

内角和定理：

A+B+C=180° ，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos 2

C=sin

2

A B

sin 2

C=cos

2

A B

面积公式：

S= absinC= bcsinA= casinB 2

1

2

11

2

S= pr = ( )( )( ) p p a p b p c

其中 p= ,r 为内切圆半径 2

a b c

射影定理 ( 日本的余弦定理）：

a = bcosC + ccosB ；

b = acosC + ccosA ；

c = acosB + bcosA

注意事项：

一、判断三角形的形状的方法（ P169 结论）

在△ ABC 中，若 a2 ＜ b2 ＋ c2 ，则 A 是锐角。

在△ ABC 中，若 A,B,C 成等差数列， a ，b ， c 成等比数列，则△ ABC 是等边三角形。

二、有用的结论

在△ ABC 中，给定 A,B 的正弦或者余弦值，则 C 的正弦或者余弦有解的充要条件是 cosA+cosB ＞ 0 ； 参看 P169 的结论

例题讲解

例 1 Δ．在 ABC中，已知a= 3 ,b= 2 ,B=45° ，求 A,C及边 c．

注：求解三角形的问题，要注意题目条件中的隐含条件对结论的影响

例 2 ： ΔABC 的三个内角 A 、B 、 C 的对边分别是 a ， b ，c ，如果 a2 ＝ b （ b ＋ c ），求证： A ＝ 2B 　　　　　　　　　　

例 3 Δ．已知锐角 ABC中，3 1

5 5sin( ) ,sin( ) A B A B ，

（1）求证： 2tan tanA B ；

（2）设 AB＝3，求 AB边上的高。

例 4： Δ在 ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边长，已知 a,b,c成等比数列，且 a2-c2=ac-bc，求角 A

的大小及sin

b B

c 的值。

例 5 ⊙．已知 O的半径为 R，，在它的内接三角形 ABC中，有

BbaCAR sin2sinsin2 22 成立，△求 ABC面积 S的最大值．

例 6 △如图，在 ABC中，

AC=2,BC=1,cosC＝3

4，（1）求 AB的值；（2）求 sin（2A＋C）的值。

（2006 天津） A

B C

小结：

1 ．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（ 1 ）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（ 2 ）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；

2. 利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（ 1 ） 已知三边，求三角；（ 2 ）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

3 ．边角互化是解三角形问题常用的手段．

作业： P172 页 7,8 题，高考预测 2