Embed Size (px)
Citation preview
6. STABILNOŚĆ UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
6.1. POJĘCIA I TWIERDZENIA PODSTAWOWE
Stabilność jest właściwością układu, zapewniającą jego po-wrót do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia,które wytrąciło układ z tego stanu. Układ liniowy uważa się zastabilny, jeżeli przy każdym skończonym zakłóceniu z(t) lub wy-muszeniu u(t) i dowolnych warunkach początkowych, wektor stanux(t) i wektor wyjść y_(t) przyjmują skończone wartości dla do-wolnej chwili t. Układy nieliniowe uważa się za stabilne, jeże-li spełniają pewne warunki, które wyjaśnione są w dalszej częś-ci tego rozdziału.
Ograniczając się chwilowo do układów autonomicznych (bezwymuszenia), rozpatruje się układ liniowy o równaniu stanu
k = Ax (6.1)
lub układ nieliniowy - o równaniu
x = f(x), (6.2)
gdzie: x - n-wymiarowy wektor stanu; A - macierz nxn, o wyra-zach niezależnych od czasu; f(x) - n-wymiarowa wektorowafunkcja nieliniowa.
Punkt róvnovagi układu otrzymuje się po podstawieniu do(6.1) lub (6.2) i=0- Gdy detfl*O to (6.1) ma tylko jedno rozwią-zanie: x.=0. Tym samym punkt równowagi układu liniowego jesttylko jeden i leży w początku układu współrzędnych. Układ nie-liniowy może więc mieć więcej niż jeden punkt równowagi, bokażdy punkt x=Xr, który spełnia równanie f (x. )=0 jest punktemrównowagi. Do dalszych rozważań zakłada się, że punkty równowa-gi układu nieliniowego sprowadza się do początku układu przezodpowiednią zamianę układu zmiennych stanu.
Przyjmuje się, ze:
- rozpatrywany układ (liniowy lub nieliniowy) ma punkt równowa-gi w początku układu współrzędnych;
- 143 -
- w chwili t=0 układ ten znajduje się w stanie początkowym
Punkt równowagi układu uznaje się za stabilny w sensie
definicji Lapunowa, jeżeli dla każdej dodatniej liczby e można
dobrać taką. liczbę TJ (zależną na ogół od c) , że trajektoria
wektora stanu rozpoczynająca się w punkcie x , leżącym wewnątrz
koła (n=2) lub kuli (n=3) o promieniu TJ, pozostanie wewnątrz
koła (kuli) o promieniu c dla dowolnego t>0. Jeżeli trajektoria
wektora stanu nie mieści się. wewnątrz koła (kuli) , to układ
jest niestabilny. Podobnie określa się stabilność punktu równo-
wagi dla dowolnego n>3. (Stosuje się wtedy tzw. normę euhlide-
I nsową |x||= E x / która jest odpowiednikiem promienia kuli dla
«li=ln=3) .
Punkt równowagi jest stabilny asymptotycznie, jeżeli jest
stabilny w sensie Lapunowa oraz gdy lim x(t)=O.
Na rys.6.1 przedstawiono ob-
razowo stabilność (niestabilność)
układu w sensie Lapunowa: 1 -
trajektoria układu stabilnego
asymptotycznie; 2 - trajektoria
układu stabilnego, ale nie asymp-
totycznie; 3 - trajektoria układu
niestabilnego.
Układy nieliniowe są często
stabilne tylko w pewnym ograni-
czonym otoczeniu punktu równowa-
gi. Tym samym również c i TJ mają
ograniczone wartości. Mówi się
wtedy o stabilności lokalnej u-
kładu nieliniowego. Jeżeli x(0)
może być dowolnie duże, to układ
jest stabilny globalnie.
Układy liniowe jeżeli są stabilne, to są stabilne global-
nie, a ponadto (stabilne asymptotycznieJ Tym samym łatwiej jest
badać ich stabilność niż układów nieliniowych. (Metody badania
pewnej klasy układów nieliniowych opisano dodatkowo w rozdziale
0 - punkt równowagi
Rys.6.1. Stabilność w sen-sie Lapunowa
- 144 -
10). W dalszej części tego rozdziału podane są metody badaniastabilności układów liniowych i układów zlinearyzowanych. Drugametoda Lapunowa1' jest wspólna dla układów nieliniowych i l i -niowych. Omówiona jest więc w pierwszej kolejności.
6 . 2 . DRUGA METODA LAPUNOWA
Przed szczegółowym omówieniem drugiej metody Lapunowa wska-zane jes t wyjaśnienie niektórych właściwości energetycznychukładów fizycznych. Ułatwi to Czytelnikowi zrozumienie sensufizycznego pewnej funkcji V(x) wektora stanu x, stosowanej wt e j metodzie.
Przykład 6.1Rozpatruje się prosty układ fizyczny (wahad-
ło matematyczne) o masie skupionej m, osadzonej
na nieważkiia, sztywnym pręcie o długości 1. Pręt
połączony jest obrotowo z podstawą w punkcie 0
(rys.6.2). Zakłada się początkowo, ze łożyskowa-
nie jest idealne, a wahadło porusza się w próż-
ni. Oznacza to, że układ jest konserwatywny i
nie występuje w nim rozpraszanie energii.
Różniczkowe równanie ruchu wahadła jest nas-
tępuj ące:
mla5ó + mglsin(y) = 0, (6.3)
gdzie: ę - kąt wychylenia wahadła; g - przyspie-szenie ziemskie.
Równanie (6.3) jest nieliniowe. Dla małych wychyleń <p możnaje zlinearyzować, przyjmując sin(p)«ł>. Wprowadzając współrzędne
Rys.6.2
stanu: x =(p, otrzymuje się z (6.3) równania stanu
i V1 2 ' 2
Po wyeliminowaniu z (6.4) czasu zna lez iono
(6.4)
(6.5)
i)Pierwsza metoda Lapunowa, której tu nie będzie się omawiało,dotyczy tych układów, które mogą być zlinearyzowane wokółpunktu równowagi. Bada się je następnie tak jak układy li-niowe.
- 145 -
R o z w i ą z a n i e m ( 6 . 5 ) j e s t
X 2+ 2 x 2 = C. ( 6 . 6 )
Stałą całkowania C wyznacza się po podstawieniu do (6.6)
warunków początkowych ^(0) oraz xa(0). Zależność (6.6) opisuje
trajektorię wektora stanu x(t). Jest nią elipsa o osiach, które
można określić znając wartości g, 1 oraz x(0). Punkt równowagi
układu (x=0) - środek rodziny elips, jest więc stabilny w sen-
sie definicji Lapunowa (ale nie asymptotycznie). Wynik ten po-
krywa się z obserwacjami takiego wahadła, które po wytrąceniu z
położenia równowagi i przy braku rozpraszania energii wykonuje
oscylacje o stałej amplitudzie. Całkowitą energię E takiego wa-
hadła określa wzór
E = | mglxj + i mlV, (6.7)
a pochodną E względem czasu - wzór
g| = mgl^łCj + ml2x2x2. (6.8)
Po uwzględnieniu (6.4), otrzymuje się z (6.8)
gc = mglxixa - mglxix2 = 0. (6.9)
Wynik (6.9) wskazuje na to, że całkowita energia układu E jest
stała.
W podobny sposób rozpatruje się model fizyczny wahadła, w
którym uwzględniono rozpraszanie energii w łożysku, przyjmując
liniową zależność momentu tłumiącego oscylacje od prędkości ką-
towej <p. Jego model matematyczny dla małego >̂ ma więc postać
ml2y + amp + mgły = 0, (6.10)
gdzie a>0 jest pewnym, stałym współczynnikiem o wymiarze
m2/rd-s.
Równania stanu mają teraz postać
* i = v K = ~ i xi ~ ax
2^- (s.ii)
Po podstawieniu (6.11) do (6.8), otrzymano
mglx x - mglx x - aml2x^ = -amxf . (6 .12)
- 146 -
Pochodna energii jest teraz ujemna, a układ jest stabilny asym-
ptotycznie, bo trajektoria wektora• stanu x(t) rozpoczynająca
się w dowolnym punkcie x(0) osiąga punkt równowagi x=0, po pew-
nym czasie t zależnym od a i od x(0). Odpowiada to krzywej 1 na
rys.6.1.
Wyniki (6.9) i (6.12) wskazują na możliwość wykorzystania
energii całkowitej układu - E(x) w badaniu jego stabilności. W
wielu układach nieliniowych wyznaczenie E(x.) jest utrudnione i
do badania ich stabilności stosuje się zamiast E(x) pewną,
arbitralnie dobraną funkcję V(x). W rozpatrywanym tu przypadku
może to być np.
V(xJ = X* + Ą. (6.13)
Uważny Czytelnik stwierdzi po prawej stronie (6.13) nie-
spełnienie podstawowego wymogu poprawności wszelkich związków
fizycznych, czyli zgodności wymiarów. Praktyka badań stabilnoś-
ci wykazuje, że nie prowadzi to do błędnych wyników.
Funkcja (6.13) jest dodatnia dla dowolnych x^ i xg i równa
zeru dla x=0. Jej pochodna względem czasu ma postać
a? - 2 x A + 2 * a v <6-14>Gdy w układzie nie ma tłumienia, to po uwzględnieniu (6.4)znajduje się
HE " 2
Jeżeli 1-^ =b=0, to g| =0, dla b>0 g|>0, a dla b<0 g|<0. (Wynik(6.9) uzyskano dla dowolnego b).
Po uwzględnieniu tłumienia, podstawia się (6.11) do (6.13)i otrzymuje
= 2xx 2(l - 2] - aa^/p. ( 6 - 1 6 )
Wynik (6.12) był jednoznaczny. Postać (6.16) wskazuje nato-
miast na t o , 2e przy d e f i n i c j i funkcji V(x ,x ) wg (6.13), |c<0
uzyskuje s i ę d la pewnego zestawu parametrów g, 1 i a. Wynika
stąd wniosek, 2e dobór funkcji V(x ,x ) nie może być przypadko-
wy. Badanie t e j funkcji powinno dać jednoznaczne wyniki, np.
t a k i e jak (6.9) i (6.12), bez względu na wartości g, 1 i a.
- 147 -
Po wyjaśnieniach przykładu 6.1 można przystąpić do przed-stawienia drugiej metody Lapunowa. Metoda ta, zwana obecnie me-todą bezpośrednią2 , powstała w ubiegłym stuleciu (rok 1892).Do dnia dzisiejszego nie opracowano metody bardziej ogólnej iod niej skuteczniejszej. Jako rezultat prac kontynuatorów wyni-ku Lapunowa powstały jedynie wskazówki dotyczące poprawnego do-boru funkcji V(x) i to tylko dla pewnych, typowych układów dy-namicznych. Funkcja V(x) gra postawową rolę w badaniu głównieukładów nieliniowych, których model matematyczny nie pozwala nawyznaczenie całkowitej energii E układu.
Formułowanie twierdzeń Lapunowa wymaga wprowadzenia pojęć:funkcja dodatnio, ujemnie, niedodatnio i nieujemnie określona.
Funkcję rzeczywistą V(x) wektora stanu x nazywa się dodat-nio (ujemnie) określoną w obszarze D zawierającym początek u-kładu współrzędnych stanu, jeżeli funkcja ta dla każdego punktutego obszaru poza początkiem układu współrzędnych (x=0) przyj-muje wartość dodatnią (ujemną), a wartość zerową tylko dla x=0.
Taką samą funkcję nazywa się niedodatnio (nieujemnie)określoną lub pólokreśloną w tym samym obszarze D, jeżeli funk-cja ta w dowolnym punkcie obszaru D przyjmuje wartość niedodat-nią (nieujemną), czyli np. zerową nie tylko w początku układu.
Przykładem funkcji dodatnio określonej była funkcja (6.13).Ta sama funkcja po zmianie znaku na ujemny staje się funkcjąujemnie określoną.
Pierwsze twierdzenie Lapunowa (o stabilności)
Układ autonomiczny opisany równaniami stanu (6.1) lub (6.2)jest stabilny asymptotycznie w obszarze D zawierającym początekukładu współrzędnych stanu, jeżeli można dobrać taką funkcjęV(x) ciągłą wraz z pierwszymi pochodnymi cząstkowymi i dodatniookreśloną w obszarze D, że jej pochodna względem czasu jestfunkcją ujemnie określoną w tym obszarze.
Jeżeli pochodna V(jc) jest ujemnie pólokreśloną w obszarze D(czyli może w tym obszarze przyjmować np. wartości zerowe wpunktach nie pokrywających się z początkiem układu) to układjest stabilny ale niekoniecznie asymptotycznie.
2> Ta ostatnia nazwa pochodzi stąd, że ocenę stabilności układuprzeprowadza się bez rozwiązywania równań.
- 148 -
Drugie twierdzenie Lapunowa (o niestabilności)
Jeżeli dla układu opisanego w pierwszym twierdzeniu pochod-
na czasowa funkcji V(x) jest ujemnie określona w obszarze D ale
sama funkcja V(x) jest dodatnio pólokreślona w pewnym ograni-
czonym obszarze przestrzeni stanów, to układ jest niestabilny w
tym obszarze.
Twierdzenia Lapunowa podają warunki dostateczne ale nieko-
nieczne stabilności (niestabilności) układu.
Czasami łatwiej jest ustalić stabilność układu przy użyciu
drugiego twierdzenia Lapunowa niż - pierwszego. Jeżeli bowiem
dla ujemnie określonej funkcji V(x) otrzyma się funkcję V(x)
dodatnio określoną w obszarze D, a więc nie spełniającą warunku
twierdzenia o niestabilności, to tym samym można wykazać, że
badany układ jest stabilny.
Jedną z metod wyboru funkcji V(x) jest forma kwadratowa
V(x) = xTCx, (6.17)
gdzie: xT=[xj ,x2,...,xj - wektor transponowany wektora stanu x,
C - macierz kwadratowa nxn, symetryczna (c =c ) .
Dla n=2 otrzymuje się np. z (6.17)
V(x1,xa) = (6.18)
Forma kwadratowa (6.17) jest dodatnio określona wg Sylvestra,
gdy wszystkie wyznaczniki utworzone z wyrazów macierzy C są do-
datnie
lonl > o,C21 C22
> o,11 In
> 0. (6.19)
Pochodną V(x.) określa wzór
(6.20)
Jeżeli badania układu z wykorzystaniem pierwszego twierdze-
nia Lapunowa nie dają jednoznacznych wyników, to można wyko-
rzystać twierdzenie drugie, zakładając ujemnie określoną postać
- 149 -
funkcji V(x). Dla n=2 może mieć ona postać
V(K) = -«Xj - /3x2, (6.21)
gdzie: a i /3 są dowolnymi rzeczywistymi liczbami dodatnimi.
Po zróżniczkowaniu względem czasu (6.18) otrzymuje się (dla
x a = x
l
)
V(x) = 2 c i i X i X 2 + 2c i 2x^ + 2c i z X l X 2 + 2c 2 z x 2 x 2 . (6 .22)
Podstawienie do (6.22) równania stanu x=f(x ,x) daje formę
kwadratową, której współczynniki przy wyrazach x2, x x oraz x 2
mają być takie same jak w (6.21). Warunek ten, dla założonej
pary liczb a i /3 pozwala wyznaczyć c , c =c oraz c . Jeże-
li znalezione w ten sposób wyrazy macierzy C spełniają warunek
(6.19) to badany układ jest stabilny asymptotycznie.
Przykład 6.2
Należy zbadać stabilność układu pierwszego rzędu (n=l) opi-
sanego równaniem różniczkowym i=(|3-a)x+yx^ gdzie a, /3 i y do-
wolne stałe, a>/3.
Jako funkcję Lapunowa przyjmuje się V(x)=x2=[(/3-oc) x+rx 3] 2.
Funkcja ta jest dodatnio określona dla dowolnej wartości x. Jej
pochodną względem czasu jest
V(x) - d^ x
X> ic = 2(|3-a+3rx2) [(/3-a)x+rx3]2.
Funkcja V(x) jest ujemnie określona dla (/3-a+3rxz) <0, czyli
x<+-J (a-/3)/3y oraz x>-4 (a-/3)/3y. Jeżeli stan początkowy układu
x(0) spełnia warunek: —J(a-/3)/3r < x(0) < «l(a-/3)/3r, to układ
jest stabilny asymptotycznie. Dla każdego x(0) poza tym prze-
działem układ jest niestabilny. Dodatkowo można tu wyjaśnić, że
podobny układ występuje w systemach sterowania (por.[2]
str.127).
Przykład 6.3.
Przykład ten dotyczy układu, dla którego funkcja V(x.) może
mieć postać
Warto tu wyjaśnić, ze próby znalezienia przez autora ni-
niejszego tekstu praktycznego układu fizycznego, którego model
- 150 -
matematyczny można badać funkcją (6.23) n i e d a ł y oczekiwanychwyników i z k o n i e c z n o ś c i wybrany z o s t a ł model z pracy [ 3 ] .
Badany u k ł a d o p i s a n y j e s t równaniem różniczkowym
ax xzx bx3 = 0 ;
gdzie a i b - dowolne stałe. Oznaczając: xj=x, x2=il=x, otrzy-
muje się równania stanu x =x2 oraz x2=-xi-axa-xłx2-bx^.
Uwzględniając (6.22) oraz (6.20), otrzymano:
V(x) = xix2 + x2(-xi-ax2-x^x2-bx^) = -x2(a+x^+bx2) .
Funkcja ta jest ujemnie określona, gdy a>0 oraz b>0. Dla dodat-
nich wartości a i b układ jest więc stabilny asymptotycznie.
Na rys.6.3 pokazano obszar dopuszczalnych warunków począt-
kowych (x (0) ,x (0)) dla a>0 i b<0. Układ jest stabilny, gdy
jego stan początkowy spełnia warunek
x2(0)j. l_-
Gdy warunek ten nie jest spełniony, to układ jest niestabilny.
W podobny sposób można rozważyć przypadki: a<0, b>0 oraz a<0,
b<0.
Obszar warunków •" • ' .początkowych •; '_''..'•;dla których układ- >-/jest stabilny ;;.\-'J.,''
R y s . 6 . 3 . I l u s t r a c j a do przykładu 6.3
- 151 -
Przykład 6.4
W przykładzie 6.1 wykazano, że niewłaściwie dobrana funkcjaV(x.) utrudnia lub uniemożliwia określenie stabilności przy za-stosowaniu pierwszego twierdzenia Lapunowa. W tym przykładziewraca się do opisu (6.10) oraz (6.11) i podaje sposób rozwiąza-nia zadania po zastosowaniu drugiego twierdzenia Lapunowa.
Po przyjęciu pochodnej V(x.) w postaci (6.21), podstawia się(6.11) do (6.22), otrzymując po przekształceniach
• . . f_ _ ct^ a 2 2V ~ V. 1 1 1 2 22 1J 1 2 12 1 1 v 12 22 2
(6.24)Porównując prawe strony (6.21) i (6.24), znaleziono
(2Cii-2ci2a-2c22 f)=0; -(2ci2f]=-a oraz (2ci2-2ac22)=-^.
Po rozwiązaniu względem c , c =c oraz c otrzymano osta-
tecznie
= 
- 152 -
Przy wyborze funkcji V(x) ograniczano się dotychczas doformy kwadratowej (6.17). Jeżeli forma taka nie daje jedno-znacznych wyników, to za funkcję V(x) można przyjąć sumę formykwadratowej i całki charakterystyki części nieliniowej układu.Szczegóły postępowania można znaleźć w [2] i [6].
Na zakończenie tego punktu warto przytoczyć obserwacjeautorów [6] poczynione ćwierć wieku temu. Porównując różne me-tody, podkreślają oni zalety i ogólność twierdzeń Lapunowa, po-nieważ są one tak samo słuszne dla prostych układów nielinio-wych jak i dla układów nieliniowych wyższych rzędów, układów zwieloma nieliniowościami, układów dyskretnych itd.
Napisali jednakże: "Jeżeli uda się opracować praktyczne,inżynierskie metody konstruowania funkcji Lapunowa i dalszegojej wykorzystania, wówczas ma ona szansę stać się najlepszymnarzędziem do analizy i syntezy układów nieliniowych". Z per-spektywy lat można stwierdzić obecnie, że metodzie tej nadalbrak takich praktycznych me.tod konstruowania funkcji Lapunowa ijej możliwości nadal nie są w pełni wykorzystane.
6.3. STABILNOŚĆ UKŁADÓW LINIOWYCH
6.3.1. Wiadomości uzupełniające; warunki: koniecznyi dostateczny stabilności układów liniowych
W punkcie 6.1 omówiono stabilność liniowego układu autono-micznego opisanego równaniem (6.1). Uzyskane wyniki dotyczyłyzachowania się układów, które w chwili początkowej miały stan2̂ *0 i nie były poddane wymuszeniu zewnętrznemu. Trajektoriex(t) w przestrzeni stanu (układów stabilnych lub niestabilnych)były więc wynikiem działania tylko warunków początkowych. Nale-ży teraz wyjaśnić, jak zachowują się układy, w których obok wa-runków początkowych występują również wymuszenia u(t). W tymcelu rozpatruje się stacjonarny układ dynamiczny, który opisanyjest równaniami stanu i wyjścia
x = Ax + Bu,(6.26)
y_ = Cx + Eu,
(gdzie: A, B, C i D są macierzami o stałych wyrazach) lub wpostaci operatorowej, przy użyciu macierzy transmitancji G(s) -
- 153 -
model wejście-wyjście
Y(s) = (G(s)U(s). (6.27)
Zakłada się, że w rozpatrywanym przedziale czasu t wektor u(t)ma znane skończone wartości, a w chwili t=0 x(t)=x orazu(t)=uo. Rozwiązaniem (6.26) i (6.27) jest
x(t) = xp(t) + xu(t),
(6.28)Jt(t) = yp(t) + y.u(t).
Człony oznaczone indeksem p opisują tu proces przejściowy, a
indeksem u - proces ustalony układu.
Układ uznaje się za stabilny, gdy dla dowolnej chwili czasu
t x(t) oraz y_(t) mają skończone wartości.
Układy liniowe, jeżeli są stabilne, to są/stabilne asympto-
tycznie) globalnie. Oznacza to, że dla takich" układów, w miarę
upływu czasu, x (t) oraz y (t) dążą do zera, a skończonym war-tościom u(t) odpowiadają skończone wartości *.u(t) oraz y^(t).Ponieważ x (t) i y_ (t) zależą tylko od x(0), co wynika ze wzoru(5.75), to do badania przebiegów, które decydują o stabilnościukładów wystarcza model matematyczny układu bez wymuszenia(u(t)=O).
Przy braku wymuszenia (sterowania) równania (6.26) uprasz-czają się do
x = Ax,(6.29)
y. = cx-
Dla pierwszego z tych równań przewiduje się rozwiązanie (5.75)
w postaci
x(t) = 3^eAt, (6.30)
przy czym: x(t) jest n-wymiarowym wektorem stanu, a ft - macie-rzą nxn o stałych wyrazach.
W przypadku ogólnym macierz A(nxn) , występująca w opisie(6.29) układu liniowego ma wartości własne si (i=l,2,. .. , r) o
krotności, odpowiednio, n , n , ... n ; przy czym £ n =n.
1 2 r i = 1
Można je wyznaczyć m.in. z równania charakterystycznego, które-
go s są pierwiastkami
- 154 -
<Pt(s) = det[so-fl] = (s-sj 1(s-s2)
2 ... (s-sr) r = O, (6.31)
(gdzie II jest macierzą jednostkową). W pracy [2] udowadnia się,
że rozwiązanie (6.30) jest w najogólniejszym przypadku kombina-s t
cją wyrazów typu tqe k , gdzie q=nk-l jest liczbą naturalną.
Dowolną wartość własną s można przedstawić w najogólniej-
szej postaci
sk = Re sk + jlm sk, (6.32)
tym samym /
s t Re s t jlm s t Re s t= e ["cos(Im s k t ) + j s i n ( l m s k t ) l . (6.33)
Łatwo wykazać, że
lim t q e0 dla Re s <0 i skończonego q,1 dla Re sk=0 i q=0
dla Re s Ł0 i dowolnego g,
a więc lim 3c(t)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartościt—*»
własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste, a tym samymwszystkie znajdują s ię w lewej półpłaszczyźnie płaszczyznyzmiennej zespolonej s.
Twierdzenie o stabilności
Stacjonarny układ liniowy (6.29) jest asymptotycznie, glo-balnie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartościwłasne sfc macierzy R mają części rzeczywiste Re s <0, t j . znaj-dują się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolo-nej s.
Badanie stabilności układu opisanego zależnością (6.27)przeprowadza s ię w podobny sposób. Wyrazy G (s) macierzy G(s)mają najogólniej postać ilorazów wielomianów L (s) i M (s)
W pracy [2] udowadnia s ię , że najmniejszy wspólny mianownikM(s) wszystkich wyrazów (6.34) przyrównany do zera j e s t równa-niem charakterystycznym <P2(s) równania (6.27). Jes t więc
<pz(s) = M(s) = 0. f6.35)
- 155 -
Warunkiem stabilności asymptotycznej układu, jak i w po-przednim przypadku, jest wystąpienie wszystkich pierwiastków sw lewej półpłaszczyżnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.
Równania (6.35) czy (6.31) mogą być wysokiego stopnia.Obecnie ich pierwiastki wyznacza się numerycznie, przy użyciukomputera (w przypadku układu (6.31) zwykle bezpośrednio z ma-cierzy ffl). Dawniej, przy braku tego narzędzia obliczeniowego,niezbędne były pewne metody uproszczone sprawdzania miejsca wy-stępowania pierwiastków na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s.Metody te nazywa się kryteriami stabilności. Spełniają one na-dal ważną rolę, gdy zachodzi potrzeba szybkiego sprawdzeniastabilności analizowanego układu. Przed ich omówieniem wartojeszcze na chwilę wrócić do wzoru (6.33) i wyjaśnić wątpliwoś-ci, które zwykle towarzyszą interpretacji takich wyników. Pro-ces przejściowy x (t) wg (6.28) dla rzeczywistego układu fi-zycznego ma zazwyczaj postać tłumionych drgań własnych, któresą superpozycją drgań przebiegających z wszystkimi częstotli-wościami drgań własnych układu. Częstotliwości te są częściamiurojonymi Im s pierwiastków równania charakterystycznego. Po-nieważ drgania o postaci zespolonej (6.33) nie występują wprzyrodzie, warto na prostym przykładzie pokazać sposób przej-ścia od ogólnej formy zespolonej do formy rzeczywistej.
Przykład 6.5Rozpatruje się drgania swobodne modelu fizycznego, który
stanowi masa m zawieszona na nieważkiej sprężynie o sztywnościk. W chwili t=0 przemieszczenie masy X(O)=X Q, a jej prędkośćx(0)=0. Równanie różniczkowe ruchu masy ma postać
mx + kx = 0 lub ił + io\ = 0, (6.36)
gdzie: <j=-Jk/m jest częstotliwością"drgań własnych układu.
Przewidując rozwiązanie .
x = Ae s t, czyli x = As ze s t = s2x (6.37)
i uwzględniając, że dla t=0, X=XQ, a tym samym A=X Q, podstawia
się (6.37) do (6.36) i otrzymuje równanie charakterystyczne
w2+s2=0. Ma ono dwa pierwiastki urojone
s = ± JUQ. (6.38)
- 156 -
Podstawiając (6.38) do (6.37), znaleziono
j<J t r \
i ° • xQ cos(wot) + jsin(w Q t)l,
3S(u t ) - jsinfw t) .0 0 1
J
- x o e
( 6 . 3 9 )
Obydwa rozwiązania (6.39) są zespolone. Jeżel i teraz przyjmie
s i ę , że x=(x+x)/2, to z (6.39) otrzyma się odpowiedź rzeczy-1 2
wista (i zgodną z intuicją)x = x cos (wQ
(6.40)
6.3.2. Kryterium Routha-Hurwitza
Równanie charakterystyczne układu liniowego (6.31) lub
(6.35) można przedstawić w postaci4)
aQsn + a^""1 + + a sn-l
a = 0 . (6.41)
Warunkiem koniecznym globalnej stabilności asymptotycznej
układu o równaniu charakterystycznym (6.41) jest wymóg aby
wszystkie współczynniki a równania (6.41) spełniały warunek
Warunkiem dostatecznym - aby wszystkie podwyznaczniki Ai
( i=2,3, . . . ,n-l) wyznacznika An o budowie:
i=2: A i-3l A3 = itd aż do i=n-l
(6.42)były większe od zera.
Jeżeli jeden lub więcej niż jeden podwyznacznik (6.42) jestrówny zeru, to układ jest stabilny globalnie ale nie asympto-tycznie (w układzie występują niegasnące drgania o stałej am-plitudzie) .
4)Spotyka się również inną postać tego równania: współczynnikprzy najwyższej potędze s, a więc iT jest a , a nie a . Czy-telnik za chwilę sprawdzi, ze postać (6.41) prowadzi do ł a t -wiejszych do zapamiętania algorytmów badania stabilności.
