6.1. Sistemas de control con el espacio de estado

Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí de una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a computadores que realicen una gran parte de los tediosos cálculos que son necesarios. El enfoque en el espacio de estados para el análisis de sistemas es el más conveniente desde este punto de vista.

Mientras la teoría de control convencional se basa en la relación entrada-salida, o función de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial vectorial de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en el número de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis de sistemas complicados con múltiples entradas y salidas se realiza mediante procedimientos sólo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden.

Representación por medio del espacio de estado

Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un sistema y su respuesta. Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema.

Un sistema de orden n se caracteriza por tener n variable, estas variables se denominan variables de estado del sistema y son funciones de la variable independiente tiempo.Con la representación en el E. E. se puede conocer y controlar de cierto modo la dinámica interna de un sistema y su respuesta.

Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo.

Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema.

r ( t )=[ r 1

r 2

…r p

] x (t )=[ x1

x2

…xn

] y (t )=[ y1

y2

…yq

]El sistema tiene p entradas, q salidas y n variables de estado.

En el control clásico la salida se realimenta.En el control moderno, importa realimentar la entrada las variables de estado. Cualquiera que sea el tipo de realimentación, el objetico es tener la oportunidad de manipular de manera autónoma la excitación r (t), cuando se presentan cambios en las variables de estado o en la respuesta.

Controlabilidad y Observabilidad

Existen dos conceptos fundamentales de los sistemas de control: la controlabilidad y la observabilidad. La controlabilidad se ocupa del problema de poder dirigir un sistema de un estado inicial dado, a un estado arbitrario y la observabilidad se ocupa del problema de determinar el estado de un sistema dinámico a partir de observaciones de los vectores de salida y de control en un número finito de periodos de muestreo.

Los conceptos de observabilidad y controlabilidad fueron introducidos por R. E. Kalman. Estos tienen un papel importante en los sitemas de control multivariables, de hecho a partir de ellos se hace posible obtener una solución completa a un problema de control óptimo.

El concepto de controlabilidad es la base para solucionar el problema de la ubicación de polos y el concepto de la observabilidad juega un papel importante para el diseño de los observadores de estados.

Así, si el sistema es de estado completamente controlable, entonces es posible seleccionar los polos en lazo cerrado deseados en el plano z (o las raíces de la ecuación característica) y se podrá diseñar el sistema que proporcione estos polos en lazo cerrado.

La teoría de control clásica se basa en técnicas gráficas de tanteo y error mientras el control moderno es más preciso. Además se puede usar en sistemas multivariables de varias entradas, varias salidas y permite incluir condiciones iniciales. Definiciones

Sistema. Se entenderá como una relación entre entradas y salidas.

Sistema dinámico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas pasadas y presentes. Si el valor de la salida en t1 depende solamente de la entrada aplicada en t1, el sistema se conoce como estático o sin memoria.

La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia.

En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo aunque no se cambie la entrada, a menos que el sistema ya se encuentre en estado estable.

Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene parámetros fijos o estacionarios con respecto al tiempo, es decir, sus características no cambian al pasar el tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son invariantes con traslaciones en el tiempo.

Estado. Es el conjunto de variables tales que el conocimiento de esas variables, determinan el comportamiento del sistema a esas variables se les llama variable de estado y se denominan como X1, X2............Xn.

Variables de estado. Es un conjunto de variables que determinen el estado del sistema .se necesitan n variables para describir totalmente el comportamiento de un sistema dinámico X1, X2, X3,.......Xn.

Espacio de estado. El espacio n dimensional cuyos ejes de coordenadas consisten en el eje X1, X2....... Xn y se denomina espacio de estado.

Espacio de Estado

El estado de un sistema es el conjunto de variables (llamadas variables de estado), tales que cuyo conocimiento y de las funciones de entrada, junto con las ecuaciones que describen la dinámica, permiten predecir su salida y los estados futuros.

Por facilidad de expresión y manipulación es conveniente representar los modelos en espacio de estados en forma matricial. Para esto, se definen los siguientes vectores:

Vector de Estado Vector de Salida

X ( t )=|X1(t)X2(t)

.

.

.Xn(t)

|(nx 1) y (t )=|y1 ( t )y2 ( t )

.

.

.yq ( t )

|(q x1)

Vector de Entrada Vector de Perturbación

u (t )=|u1(t)u2(t)

.

.

.up(t )

|( p x1) w (t )=|w1 ( t )w2 ( t )

.

.

.w v ( t )

|(v x 1)

Mediante la utilización de estos vectores el modelo en espacio de estados queda:

dX (t)dt

=f [ x ( t ) ,u ( t ) , w (t)]y (t )=g [x (t ) , u (t ) , w (t)]

Si se considera un sistema lineal de tiempo invariante (LTI) el modelo en espacio de estados sería:

dX (t)dt

=A x ( t )+Bu ( t )+Ew ( t)

y (t )=Cx ( t )+Du (t )+Hw ( t)

Para este caso es preciso definir las matrices del modelo:

dX (t)dt

=A x ( t )+Bu ( t )+Ew ( t) y (t )=C x ( t )+Du ( t )+Hw (t)

A partir de esto se tiene la Matriz de transición de estado, que representa la solución lineal homogénea:

∅ (t )=L−1¿

Esta matriz representa la respuesta libre del sistema debida solo a las condiciones iniciales y está asociada con la respuesta temporal transitoria, ya que define por completo la transición de estado desde el tiempo inicial t=0 a cualquier tiempo t cuando las entradas son cero.

En el espacio de estado también hay una representación gráfica en diagrama de bloque, llamadas Diagrama de Estados.

A partir de su análisis se obtienen tanto la ecuación de estado como la de salida.

Se dice que un sistema es completamente controlable si a cada variable de estado se le puede imponer una regla de control sin restricciones, tal que desde un estado inicial cualquiera, se pueda alcanzar un estado deseado en un tiempo finito.

Se dice que un sistema es completamente controlable si cada variable de estado afecta alguna de las salidas.

Representación del sistema en el espacio de estado

Sea el polinomio:

yn+a1 yn−1+an−1 y0+an y=u

U es la entrada de excitación o forzante.

El conocimiento de las condiciones iniciales y (0), y0 (0)……..y1 (0) en conjunto con u determinan en forma total el comportamiento del sistema.

Cualquier sistema cuya dinámica este representado por un modelo matemático de una o más ecuaciones diferenciales puede ser representado por un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden o una ecuación diferencial lineal de primer orden en términos matriciales.

Si designamos como:

X1 = yX2 = yX3 = yXn = yn-1

Entonces si derivamos

X1=X2

X2=X3

X n−1=Xn

X n=an X 1−an−1 X 2−a1 X 0+u

La ecuación de estado se define como:

X=AX+Bu

Donde

X=|X1

X1

.

.

.Xn

| A=[ 0 1 0………00 0 1………0

−an −an−1 −an−2…−a0]

B=[0001]

Y a la salida como

Y = CXC = [ 10 0 00 …0 ]

En la ecuación X=Ax+Bu

X = vector de estado (n x 1)A = matriz de coeficientes del proceso (n x n)B = matriz de coeficientes del controlador (n x m)U = todas las entrada del sistemas m x 1 Función forzante y controlanteC = matriz de relación (1 x n)Y (t) = vector de respuesta (w x 1)

Ejemplo: Sea el sistema dado por:

y + 6 y + 11 y + 6y = 6u

Para obtener una representación del sistema en espacio o estado, se eligen las siguientes variables de estado

X1 = yX2 = yX3 = yX 1 = X2

X 2 = X3

X 3 = -6X1 – 11X2 -6X3 + 6u

[X1

X2

X3] = [ 0 1 0

0 0 1−6 −11 −6][X 1

X 2

X3]+[006]u

y= [1 0 0 ] [X1

X2

X3]

Diagrama a bloques de un sistema acoplado

Ejemplo: Dado el diagrama de bloques encontrar una representación en espacio de estado:

X1(s)X2(s)

= 10s+5

X2 (s )=U (s )−X3(s )

s+1

X3(s)X1(s)

= 1s+1

Y (s) = X1(s)sX1(S) + 5X1(s) = 10X2(s)sX2(S) + X2(S) = -X3(s) + U(s)sX3(S) = X1(s) - X3(S)Y(s) = X1(s)X 1 = -5X1 + 10X2

X 2 = -X3 + uX 3 = X1- X3

Y1 = X1

Su representación matricial quedaría

[X1

X2

X3] = [−5 10 0

0 0 −11 0 −1][X 1

X 2

X 3]+[010]u

y= [1 0 0 ] [X1

X2

X3]