80344815 Metodika Matematickog Obrazovanja

Metodika vaspitno-obrazovnog rada 2

(Metodika matematičkog obrazovanja)

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________

POJAM, PREDMET I ZNAČAJ MATEMATIKE

Poznavanje matematike je bitan uslov koncipiranja nastave ovog predmeta. Riječ matematika je grčkog porijekla i znači nauka o veličinama. Predmet ima različita određenja: najčešće se definiše kao izučavanje prostornih formi i količinskih odnosa realnog svijeta, a nemaju veze sa objektivnom realnošću. Pejović određuje: matematika je nauka o proučavanju prostornih formi i količinskih odnosa misaonih realnosti. Svi matematički pojmovi su navedeni iz realnog svijeta, ali su toliko matematički određeni da nemaju više svrhu u realnom svijetu. Matematiku karakteriše potpuno apstrahovanje kvalitativnih svojstava. Jedna je od najstarijih nauka ali je uvijek mlada zahvaljujući novim sadržajima.

Definicije matematike zavise od vremena u kome se definiše:

Grosman: ``Matematika je nauka o vezama među veličinama.``Prvanović: ``Matematika proučava određena karakteristična svojstva i operacije i relacije realnog svijeta.``Pinter: ``Matematika je apstraktna nauka koja deduktivnim putem proučava pojmove prostornih i vremenskih odnosa.``Leksileon: ``Nauka o odnosu među veličinama i prostornim formama.``Francuski matematičari Nikola Burbani (?) (pseudonim grupe: ``Matematika je nauka koja proučava matematičke strukture.``Bekon: ``Kopija, ključ i nauka.``Rasel: ``Matematika je nauka u kojoj nikada ne znamo da li je ono što govorimo tačno i znamo li šta govorimo.``

Matematika je značajna iz više razloga:

1. Primjenjuje se u svim prirodnim i društvenim naukama, u ličnom životu je dio kulture;2. Omogućila je nauci da napravi veliki korak;3. Za razvoj struke, zanimanja, umjetničkog izražavanja.

Nastupila je era matematizacije i nauke i prakse.

Lobačevski: ``Vjerovatno neće postojati ni jedna grana matematike koja neće biti nekad primjenjena u realnom svijetu.``

2


POJAM I PREDMET METODIKE MATEMATIKE OBRAZOVANJA

Nekada se koristio termin didaktika nastave matematike, pa i pedagogija nastave matematike. Riječ metodika je grčkog porijekla i znači nauka o načinima. Metodika matematičkog obrazovanja (MMO) je relativno mlada naučna disciplina, ali je već afirmisana u većini zemalja svijeta.

MMO, koju izučavamo, sastoji se iz 2 dijela:

1. MMO predškolske djece2. Metodika nastave matematike

Među njima postoje razlike u sadržajima, ciljevima i sl.

1. MMO predškolske djece proučava matematičko obrazovanje na tom nivou, ali ono obrazovanje koje se obavlja institucionalno;

2. Metodika nastave matematike proučava nastavu matematike od prvog razreda osnovne škole do fakulteta.

MMO je proces matematičkog obrazovanja, tj. proces ovladavanja sadržajima i metodama matematike.MMO je naučna disciplina i ona je, s obzirom na predmet proučavanja, pedagoška disciplina i, s obzirom na način proučavanja, interdisciplinarna ali i autonomna, s obzirom na rezultate. Pedagoška je disciplina zato što proučava jedan pedagoški fenomen – vaspitanje i obrazovanje u nastavi matematike i predškolske djece.U predmet MMO ulaze: ciljevi, sadržaji, organizacija nastave, nastavni oblici i metode rada i vrednovanja.Predmet MMO široko se definiše i obuhvata sve ono što je posredno ili neposredno vezano za matematičko obrazovanje.

3


CILJ I ZADACI MMO

Cilj je da:

- omogući studentima da shvate MMO kao pedagošku disciplinu i nastavni predmet, - da studente osposobi teorijski i praktično da mogu nesmetano pratiti i unapređivati rad na matematičkom obrazovanju djece.

Osnovno zadatak MMO je da:

- utvrdi i objasni specifične zakonitosti koje se javljaju u vaspitanju i obrazovanju djece, na matematičkim sadržajima u nastavi matematike;- zadatak je i da utvrđuje ciljeve, zadatke i sadržaje matematičkog obrazovanja. Mora se rešavati za svaki nivo obrazovanja posebno;- zadatak je da, polazeći od rezultata pedagogije, psihologije i didaktike proučava i utvrđuje najuspješnije oblike i metode koji dovode do optimalne realizacije ciljeva nastave;- proučava praksu matematičkog obrazovanja i podiže nivo obrazovanja;- zadatak je i da pomogne u osposobljavanju učenika da samostalno misli.

PODJELA MMO

Osnovna podjela MMO na:

MMO predškolske djece i

Metodika nastave matematike – takođe se dijeli na nekoliko djelova:1. Metodika početne nastave matematike - proučava probleme matematičkog obrazovanja u

prva 4 razreda osnovne škole;2. Metodika opšteg matematičkog obrazovanja - proučava probleme obrazovanja od V-

VIII razreda osnovne škole i u svim srednjim školama opšteg usmjerenja;3. Metodika profesionalne MO – proučava probleme matematike obrazovanja koja služi

kao neposredna priprema za profesionalnu djelatnost;4. Metodika uvođenja u naučni rad;5. Metodika vanškolskog matematičkog obrazovanja – podrazumijeva učenje MO putem

radija, TV, literature i sl.

4


ISTORIJSKI OSVRT NA RAZVOJ MMO

1. EPOHA RAĐANJA MATEMATIKE

Prvi matematički pojmovi su formirani spontano kroz rad i igru. Po horizontal i vertikali. Stariji su učili mlađe i učili su jedni od drugih. Prvi zapisi su bili u Rimu na papirusima i spomenicima. Rind papirus - najstariji zapis otkriven tek u 19 v. u Egiptu, čuva se u Britanskom muzeju u Londonu smatra se da je nastao između 16 i 19 v.p.n.e.Njegov naslov je : Istrukcije za upoznavanje tajnih stvari. Poznata je Axmesova računica ( on je bio staroegipatski sveštenik), napisao je egipatsku zbirku zadataka. Osim brojeva u epohi rađanja matematike poznavali su i mjere za dužinu, zapreminu, razlomke, imali su računsku mašinu ``ABAK``.ABAK - je vertikalna ploča sa žljebovima u koje se ubacuju kamenčići.Bila je još u vrijeme 19 v.p.n.e.Japanski učenici moraju i danas preći računanje na ABAK - u.

Stara grčka - strari grci su bili prvi u prilici da sistematizuju i zabilježe ih više nego drugi. Oni su cjelokupno znnje civilizacije koje su im bile dostupne objedinili.

Javljaju se i jave škole.Euklid - njegova geometrija. On je nju deduktivno zasnivao i napisao je u knjizi Elementi.Sve do prošlog vijeka to je bila jedina geometrija. Lobočevski - je izmjenio samo jedan postulat - kroz tačku van prave se može postaviti proizvoljan broj tačaka koje su paralelne sa pravom. Sokrat - pitanjima dovodi učenike da shvate da nešto ne znaju i da dođu do odgovora - majeutika.Tales od Mileta - visina piramide ( pomoću sjenke), poznata je Talesova teorema.Pitagora - pitagorejci - pitagorejske škole Platon - indukcija; analiza i sinteza

Za staru Grčku - tri čuvena problema grčke matematike.1. dupliranje kocke ( konstrukcija veće kocke)2. trisekcija ugla ( ugao se presječe na tri dijela)3. kvadratura kruga ( da se konstruiše krug i kvadrat koji ima zapreminu kao krug)?

5


2. EPOHA ELEMENTARNE MATEMATIKE - od 6 v.p.n.e. do17. v.n.e.

Važan trenutak je 3.v.n.e ( desilo se otkriće 0 (nule) u Indiji je prvi put pronađena nula) - najveće otkriće u matematici. Otkrićem nule stvarali su se uslovi za stvaranjem dekadnog sistema ( cifra ima apsolutnu i po mjestu pisanja)?U 8 v.n.e. preko indijskih sveštenika, sredozemng mora prešlo u Španiju pa onda u Francusku i na sjever Evrope.

Srednji vijek - u nastavi - učenje napamet, bez razumjevanja. Matematika još nije bila obavezan predmet u školama, izučavala se u privatnim školama u kojima su predavali majstori računa. U 17 v.n.e. matematika je uvedena kao obavezan predmet. Matematika postaje dio opšte kulture. Mnogo se vodilo računa o matematičkim problemima i načinu na koji se predaje.

3. EPOHA PROMJENLJIVIH VELIČINA - od 17 do 19 v.n.e.

Počinje sa matematičarem Reneom Dekartom (Dekartov pravougli dekadni sistem)Noćio je u Ulnu (Njumački grad) 10.11.1619. usnio je ideju koja mu se javila u snu o analitičkoj geometriji. Napisao je djelo``Rasprava o metodi.``Prvi koji je napravio spoj algebra i geomatrije bio je Dekart.

Sa stanovišta metodike nastave matematike je značajan Dekart.Pripadao je racionalizmu - Racio - um, izreka racionalista - Mislim dakle postojim - Corgito ergo sum.U nastavi učenici moraju početi misliti, razumjevati stvari. U postupku nastave učenik mora navoditi razloge, zašto radi baš tako. Insistirao je na provjeravanju koliko je to moiguće. Učenik mora da bude kritičan o rješenju do kojeg je došao.Počinje da se naglašava formalni zadatak nastave. Mnogo je važan način na koji se uči a ne sadržaj koji se uči. Džon Lok - zalaganje za očiglednu nastavuKomenski - didaktika na češkom jeziku. 1632 - Didaktika magna, 1643.- na latinskom jeziku.Komenski je napisao još jedno djelo - Čulni svjet u slikama.

Fridrih Frebel (njemac) - blokovi brojeva.Da se ide korak po korak.

Pestaloci - ( švajcarski pedagog) - Sve za druge za sebe ništa.Svaka stvar ima BROJ, OBLIK I RIJEČ.Insistirao je na očiglednosti , razumjevanju. Povezao je saznanje na osnovu razuma, senzualizam i racionalizam. Objedionio i sistematizovao znanja iz aritmetike. .Pestaloci je osnivač matodike nastave matematike.Pestaloci je smatrao da se svi pojmovi moraju steći očiglednim putem. U učenju lakšeg ka težem. Da se računa napamet, sa neimenovanim brojevima.

6

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________Buse je napravio veliki korak - došao je na ideju da uvede brojevne slike

3 4 5

Disterveg - učitelj učitelja - osposobljavao je učitelje. Smatrao je da računanje napamet i pismeno računanje ne treba odvajati. Nastavu treba povezati sa praktičnim životom. Da učenici u toku nastave treba da razvijaju intelektualne sposobnosti.

4. EPOHA SAVREMENE MATEMATIKE (danas)

Konferencija u Meranu, u Italiji 1905. (Meranska konferencija) na kojoj su se okupili metodičari matematike i matematičari.Šta je to što iz korpusa matematike treba da se nađe u programu. Koja znanja treba da uđu u program a koja da se izbace. Utrli su put od konkretnog do apstraktnog mišljenja od indukcije dodedukcije i tako je razbijena dilema.Dogovorili su se da se za kratko vrijeme ponovo nađu 1908. godine u Rimu da uporede rezultate gdje se šta i kako uradilo. Zaključeno je da se pokuša uraditi korelacija nastave i drugih predmeta.. Da se ukine granica između aritmetike i geometrije. Pijaže, Vigotski, Kolmagorov, doprinjeli su svojim radovima u rasvjetljavanju mnogih problema. Šta će ući u program? Kako da se uči? Koje metode da se koriste? Kako vrednovati?...

7

◦ ◦◦

◦ ◦◦ ◦

◦ ◦◦

◦ ◦


ISTORIJSKI OSVRT NA RAZVOJ MMO

Matematika je jedna od najstarijih nauka. Prve početke imamo u najstarijoj fazi razvoja čovječanstva – to je bilo stihijsko prenošenje iskustva sa starijih na mlađe. O izvjesnoj organizovanosti govori se u Egiptu, Vaviloniji i naročito Staroj Grčkoj.Matematičko obrazovanje je bilo usmjereno na područje geometara, konstrukcije i sl. Istorija MMO se dijeli na 3 dijela:

1. Klasični – od VI v.p.n.e. do završetka grčke vlade;2. Srednji vijek sa renesansom;3. Savremeni period – počinje sa analitičkom geometrijom.

Kolmogorov daje sledeću periodizaciju:

1. Epoha rađanja matematike – do VI2. Epoha elementarne metodike, tj. epoha konstantnih veličina - od IV v.p.n.e. do XVII v.3. Epoha promjenljivih veličina – od XVII do XIX v.4. Epoha savremene matematike – od XIX v.

8


SAVREMENI TOKOVI U MATEMATICI OBRAZOVANJA

Savremeni period je od Dekarta, kada se razvoj matematike strelovito odvijao. Važni su brojni događaji:

Meranska konferencija (1905. god.) – prvi put je dogovoreno da se iz svih nauka izbace jednostavna, parcijalna znanja, da se programi organizuju – razvijanje racionalnog mišljenja, matematičkih sposobnosti. U nastavi geometrije polazi se od posmatranja a tek onda da se zaključci izvode apstrakcijom. Treba razviti sposobnost funkcionalnog mišljenja.

Poslije Meranske konferencije pristupilo se promjenama i nastava matematike je postepeno bliža životu učenika.

Kinela – njegova shvatanja doprinijela su unapređivanju nastave koja je, s jedne strane, zasnovana na logici matematike, a s druge strane psihološkim zakonitostima djetinjstva. Uvažavajući zakone razvoja u nastavi matematike ne smije se prerano početi sa apstrakcijama. Djeca treba da rade na očiglednom materijalu tako dugo dok ne budu u stanju da pređu na apstraktno mišljenje i računanje - preuranjene apstraktne operacije vode formalizmu. Nastava matematike treba da razvija kod učenika sposobnost matematičkog posmatranja i shvatanja, što se ne može postići verbalnim shemama, već učenike treba dovesti u situaciju da sami uočavaju brojne odnose.

Iz nastave matematike proisticao je program vježbanja i škola je, u manjoj mjeri, bila škola ``dila``. Matematika ne smije postati cilj, a nastava matematike sama sebi svrha. Nastava matematike treba da bude zasnovana na dječijoj okolini i životnoj praksi i toj praksi i da služi.

U novije vrijeme, pod uticajem matematičara i psihologa, javlja se analitičko-sintetička koncepcija nastave matematike. Najzaslužniji su Veber i Vitman. Veoma veliki podsticaj za razvoj MMO dao je Pijaže.

Od brojnih kongresa treba pomenuti IV kongres u Rimu 1908. godine. Na tom Kongresu insistiralo se na nekoliko stvari:

1. koje su to grane matematike neophodne za opšte matematičko obrazovanje;2. insistiralo se na proučavanju psiholoških osnova nastave matematike;3. insistira se na praktičnoj primjeni sadržaja matematike;4. korelaciji nastave matematike sa drugim predmetima;5. uklanjanje granica između aritmetike i geometrije;6. OSCD i UNESKO danas vode brigu o svim problemima; - Metodičare interesuje kakvo mjesto dati i na koji način odraziti tekovine

matematike – šta unijeti u programe;- Utvrđivanje oblika i metoda rada koji omogućavaju najefikasnije i najracionalnije

matematičko obrazovanje.

9


ODNOS MMO PREMA DRUGIM NAUKAMA I NAUČNIM DISCIPLINAMA

MMO, kao i druge naučne discipline, tijesno je povezana sa velikim brojem drugih nauka i disciplina i ta veza je dvostruka. S jedne strane MMO koristi saznanja do kojih su došle druge nauke i zahvaljujući korišćenju tih znanja povećava svoju djelatnost. I sopstvenim dostignućima MMO vrši povratni uticaj. Od brojnih nauka treba pomenuti matematiku, pedagogiju, predškolsku pedagogiju, didaktiku, filosofiju, logiku, etiku itd. MMO se oslanja na matematiku i pedagogiju dok je neki smatraju matematičkom, a neki pedagoškom disciplinom.

a) Odnos MMO i matematike

Matematika je nauka o kvantitativnim i prostornim odnosima. Nastava matematike je proces vaspitanja i obrazovanja na matematičkim sadržajima. MMO je pedagoška disciplina koja ukazuje na način vaspitanja i obrazovanja putem nastave matematike. MMO uspostavlja vezu sa matematikom, najprije bez matematičke podloge koja omogućava postojanje MMO. Određeni sadržaji su uslov bez koga nema i ne može biti MMO. Iz ukupnog znanja matematike bira se jedan segment, u zavisnosti od cilja i zadataka vaspitanja i obrazovanja, uzrasta učenika, vrste škole, organizacije matematičkih sadržaja na kojima se ostvaruje nastavni proces. Metodika nastave matematike je vezana sa matematikom, prije svega radi izbora određenih matematičkih sadržaja, a zatim i korišćenja matematičkih metoda saznavanja (indukcija, dedukcija i sl.). Ta veza se označava vezom prvog reda.

b) MMO i pedagogija

MMO u velikoj mjeri koristi rezultate pedagogije. Predmet pedagogije je vaspitanje i obrazovanje mladih u najširem smislu riječi. Mnogi smatraju da je MMO pedagoška disciplina. Time se ukazuje na značajnu karakteristiku MMO koja predstavlja sintezu matematike i pedagogije ili metodičko obrazovanje predstavlja sintezu matematičkog i pedagoškog obrazovanja. Ovim shvatanjem se ukazuje na značaj matematike i pedagogije za MMO. Danas u našoj zemlji preovladava shvatanje da je MMO pedagoška disciplina .

MMO je povezana sa istorijom, i to onim dijelom koji je vezan za nastanakmatematike.

Predškolska pedagogija - danas je prisutna tendencija sve većeg obuhvatanjasvih institucija pedagoško oblikovanim obrazovanjem.

Didaktika – iz MMO koristi praktično sve. Veza između MMO i didaktikeizražava se kao odnos opšteg i posebnog. Opšta didaktička znanja se na poseban način koriste u vaspitnoj matematici. Sasvim jasno znamo da didaktika, kao opšta teorija nastave, predstavlja osnovu za svaki pojedinačni predmet – ukoliko je nastava razvijenija pruža osnovu za razvoj didaktike i matematičkog obrazovanja. Rezultati do kojih dolazi MMO se uopštavaju i bitno utiču na didaktička saznanja.

Osim toga, nema dobre MMO koja ne polazi od psiholoških znanja i karakteristika učenika određenog uzrasta. Ta veza sa psihološkim disciplinama daje psihološku podlogu za nastavu matematike i doprinosi da se proces učenja maksimalno racionalizuje. Veza MMO sa psihološkim naukama omogućava MMO da objasni nastavnu praksu , tj. da odgovori na pitanje: zašto uvesti neku pojavu a ne nešto drugačije?

10


Kao što se vidi, MMO je povezana sa nizom naučnih disciplina pa govorimo o njoj kao o interdisciplinarnoj nauci.

MMO ima nekoliko osnova:

1. pedagoško-psihološke, 2. logičke, 3. kibernetičke i 4. saznajne osnove

Pedagoško-psihološke – što svi koji se bave MMO treba da znaju kakve su mogućnosti djece, tj. učenika određenog uzrasta, kakvi su psihološki mehanizmi formiranja određenih pojmova, kako bi na osnovu tih saznanja mogli projektovati optimalni nastavni proces. Dobro poznavanje psiholoških osnova djeteta nije da se uspješno stimuliše njegov razvoj, već da se razvoj ne sputava i ne guši. Savremena psihologija razlikuje 4 perioda, od rođenja do zrelosti :

1. senzo-motorna faza (od rođenja do 2. godine) 2. preoperaciona (faza pripreme konkretnih operacija, od 2. do 6. godine)3. faza konkretnih operacija (7. - 12. godine)4. faza formalnih operacija (od 11, 12. godine do zrelosti)

Skoro identičnu periodizaciju dao je Pijaže (tri nivoa razvoja djeteta): 1. nivo osjeta – do 6. godine2. nivo konkretnih operacija (7 – 11 god.) i3. nivo formalnih operacija (11 – 14 god.).Preoperativna faza – dijete uči isključivo na osnovu manipulacije stvarima, formira prve

pojmove i predstave, ali nisu dovoljno samostalni. Dijete nije u stanju za grupisanje mentalnih operacija – ono zaključke slaže jedne pored drugih, ne povezujući ih. Inteligencija djeteta je egocentrična, što ne znači da je sebično, već jednostavno usredsređeno prema sebi.

1. etapu Pijaže dijeli na dvije: simboličko i intuitivno mišljenje.Brojnim eksperimentima Pijaže je pokazao da je praktična i misaona aktivnost djeteta uslov izgrađivanja početnih matematičkih pojmova. Osim toga, utvrdio je da predškolsko učenje djece nije učenje koje treba da se zasniva na verbalnom prenošenju znanja. Saznati neki objekat ne znači slušati o njemu, nego djelovati svim raspoloživim reakcijama. Ne samo pričati, već uticati da djeca manipulišu tim predmetima. To praktično znači da se početno učenje mora shvatiti kao stvaranje uslova, tj. oblikovanje sredine koja će biti bogata , izabrana podsticajima koji će dovesti do formiranja matematičkih pojmova. - Daju se brojni i raznovrsni primjeri;- biraju se oni primjeri kod kojih su zajednička svojstva izražena i ta svojstva su u granicama pojma koji želimo formirati;- svim primjerima što manje nebitnih svojstava.

2. nivo – nivo konkretnih operacija (7 – 11 god.) – mišljenje je vezano za konkretne aktivnosti i predmete, dijete traži uzroke, postavlja pitanja, nezadovoljno je odgovorom, mora sebe motivisati na razvoj.

3. nivo - nivo formalnih operacija – mišljenje se u potpunosti oslobađa konkretnosti, razvija se simbolička sposobnost, mladi su osposobljeni da zaključuju prema zakonima formalne logike.

11


Pijaže – razvoj mišljenja - odlučijući preokret je 7 - 11. god. U periodu konkretnih operacija. Operacija je unutrašnja radnja; radnja je najprije spoljašnja, a zatim unutrašnja, misaona ali nikada se ne gubi predmetni karakter. Pravci operacije su samo različite kategorije zadnje unutrašnje operacije koju karakteriše to što se ne obavlja pomoću realnih slika, predmeta i znakova. Pijaže ističe da svaka mentalna radnja nije operacija. Ona će postati radanja kada se nađe u uzajamnoj povezanosti sa drugim radnjama – na tome da čini sistem. Cjelina u kojoj se jedne operacije nalaze u simetriji sa drugim pomoću reverziboilnosti. Reverzibilnost znači da za svaku operaciju postoji druga koja je simetrična i suprotna, koja polazi od rezultata prve i uspostavlja početni sistem. Reverzibilnost podrazumijeva osobinu mišljenja da pređe saznajni proces, najprije u jednom, a zatim u drugom smjeru i tačno se vrati u početnu situaciju. Kada je dijete steklo reverzibilnost u mišljenju postaje sposobno za niz drugih operacija. Reverzibilnost omogućava da se, u nastavi matematike, inverzne operacije (+, -), obrađuju istovremeno. Eksperimenti su pokazali da intenzivno usvajanje operacija predstavlja racionalniji, ispravniji put do njihovog odvojenog usvajanja – intenzivno usvajanje operacija omogućava da se između njih uspostavi funkcionalna veza. Kod nekih trajno ostaju dva odvojena procesa. Reverzibilnost povlači za sobom shvatanje invarijantnosti i konzervacije pojmova. Vršenje tih operacija:- ekvivalentnost (u dva skupa ima isti broj elemenata);- unosa (dvije kugle od plastelina, ako napravimo valjak; invarijantnost – vraćanje valjka u kuglu);- površina (dva pravougaonika);- dužina (dvije žice);Pijaže smatra da razvoj djeteta, vremenski i funkcionalno, prethodi usvajanju pojmova. Učenik u nastavi može da usvaja one pojmove za koje su već razvijene strukture ili je razvoj pri kraju.

Vigotski- Mišljenje i govor

Korišćenje Pijažeovih za njegova shvatanja – razvoj čovjeka je usmjeren biološkim zakonima i na razvoj se ne može spolja uticati. Na takvom shvatanju izgrađena je tradicionalna nastava – da se prilagodi razvojnim mogućnostima učenja. Vigotski smatra da takva nastava kaska za razvojem. Aktivni razvoj zahtijeva samostalno riješavanje i karakterističan je za već formalnu fazu. Naredni razvoj je faza u kojoj dijete uz nečiju pomoć uspijeva da riješi zadatak.

Vigotski smatra zonu narednog razvoja važnijom za intelektualni razvoj nego aktivnu zonu. U saradnji sa odraslim, dijete se podiže na viši intelektualni nivo i prelazi sa onoga što ne umije – da umije. Nastavnik treba da se orijentiše na procese koji se tek razvijaju a ne koji se završavaju. Učenje da prethodi razvoju.

Vigotski uzima u obzir uzrasne karakteristike učenika – moramo ih poznavati ali ih se ne smijemo slijepo pridržavati. Ova shvatanja su doprinijela koncepciji savremene nastave.

Metodički postupci – Vigotski predlaže sledeće etape:

- posmatra se i upoznaje neposredna stvarnost;- izdvajaju se određena matematička obilježja stvarnosti;- formira se matematički pojam i usvaja njegov nosilac;- usvaja se znak za matematički pojam.

12


Osim Vigotskog u razvijanju i bogaćenju postavki doprinos su dali Galjperin, Davidov i dr. Postavljena su 3 zadatka:

1. da se odrede optimalni načini izgradnje nastavnog gradiva;2. utvrde uzrasne mogućnosti učenika;3. stvaraju zakonitosti mišljenja u nastavi matematike.

Bruner je utvrdio da najbolje rezultate u početnom matematičkom obrazovanjupostižu ona djeca koja manipulišu materijom. Bruner smatra da nastavu treba tako organizovati da djeca što češće manipulišu odgovarajućim objektima i da se što češće govorno izražava. Bruner smatra da se mora krenuti od manipulacije predmetima, ta manipulacija se mora pratiti govorom, operisanje brojevima se izražava govorom. Ovladavanje jezičkim formama je uslov za bavljenje matematičkim obrazovanjem – uslov za rješavanje matematičkih problema. Ne postoji jedan put i postupak kojim se mogu rješavati zadaci. Nanovo se traži put, a u traženju tog puta služi se razumnim misaonim postupcima.

13


LOGIČKE OPERACIJE:APSTRAKCIJA I GENERALIZACIJA

Apstrakcija je misaoni pstupak kojim se iz jednog ili više primjera (srodnih slučajeva) izdvajaju određena svojstva, a sva ostala se odbacuju. Time se omogućava formalizacija apstraktnog pojma – taj pojam osim posmatranih obuhvata i sve druge primjere sa zadržanim svojstvima.

Generalizacija je misaoni postupak kojim se uočena svojstva skupa proširuju na najširi skup sa tim svojstvima.

Pomoću apstrakcije i generalizacije formiramo pojam tačke, ravni, broja, izvodimo formule itd. Mnogo primjera bi se moglo navesti ako hoćemo ilustrovati apstrakciju i generalizaciju, to isto radimo i sa skupom elemenata.

KONKRETIZACIJA I SPECIJALIZACIJA

Konkretizacija je misaoni postupak kojim se identifikuju primjeri sa svojstvima nekog opšteg pojma.

Specijalizacija je misaoni postupak prenošenja svojstava elemenata njegovog generalnog skupa na elemente njegovog pravog podskupa.

Ova 4 pojma su relativno misaoni procesi.

Analiza je rastavljanje na djelove, a sinteza spajanje u cjelinu. Analiza u matematici ima 2 koraka – rastavljanje i uočavanje odnosa među elementima. Mnogi se problemi rješavaju analizom i sintezom.

1) Zadatak: Dužina obima pravougaonika 96m, a dužina je 3 puta veća od širine. Izračunaj površinu.

svi X O = 2X + 6X = 96 analiza X = 12 sintezaduž 3X

2) Zadatak:

Zbir 3 prirodna broja iznosi 440. Prvi od njih je 2 puta manji od drugog, a 7 puta veći od trećeg.

I 7a II 14 a analiza 22 a = 440 sintezaIII a

14


ANALOGIJA

Analogija je zaključivanje po sličnosti. Iz jedne poznate činjenice izvodi se druga činjenica, i to na osnovu djelimične sličnosti među predmetima. Zajednička svojstva utvrđena za dvije pojave nazivamo pozitivnom analogijom. Ukupna zajednička svojstva nazivamo totalnom zajedničkom analogijom. Svojstva po kojima se dvije ili više pojava razlikuju nazivamo negativna analogija.Ukupnost svojstava po kojima se dvije ili više pojava razlikuju nazivamo totalna negativna analogija. Ovakav zaključak je značajniji što je cjelokupno zaključivanje veoma prožeto analogijom pa je djeci lakše da zaključuju po analogiji. Zaključci do kojih dolazimo analogijom smisaono vjerovatno ne moraju biti apsolutno istiniti i njihovu istinitost možemo prihvatiti na osnovu provjere činjenica. Njena slabost je što smisao ostaje na istom nivou opštosti.

Primjeri – zaključivanje po analogiji - uslovi zaključivanja:

1) slična obilježja objekta moraju biti suštinska a njihov broj što veći;2) da različita svojstva objekata moraju biti nebitna i njihov broj minimalan;3) ispravnost zaključivanja po analogiji se mora dokazati (naučno verifikovati)

Zahvaljujući analogiji i učenici i učitelji mnogo griješe pa je neophodno biti oprezan. Analogija ipak omogućava da na ekonomičan način uvedemo učenike u nova saznanja. Kod definicija je često prisutno zaključivanje po analogiji.

Primjer:

1) Zbir brojeva je 30. Jedan od njih je za 2 veći od drugog. Izračunaj te brojeve.

Imamo 2 broja I X II X + 2 16 + 14 = 30

2X + 2 = 30 2X = 30 – 2 X = 28

X= 14, X+2=16

2) Milan i Dragan imaju 30 dinara. Dragan ima 2 dinara više nego Milan. Koliko ima svaki od njih? Milan X 2X= 30-2Dragan X+2 2X= 28 X=14Dragan ima 16, a Milan 14 dinara.

Analogija kod nevještog učitelja može suviše da afirmiše pamćenje kod učenika. Tako, matematika može negativno da utiče na razvoj kreativnosti.

15


INDUKCIJA

Indukcija je misaoni postupak kojim se opšti zaključak izvodi iz pojedinačnih slučajeva. Ti slučajevi nazivaju se premisama. Opšti stav naziva se zaključak . Indukcija se dijeli na potpunu i nepotpunu. Potpuna je takva indukcija kod koje su premisama obuhvaćeni svi mogući slučajevi opšteg. Primjer:Dokazati da se ni jedan kvadrat prirodnog broja ne završava cifrom 30, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Potpuna indukcija ima 2 odlike:1) Zaključci izvedeni ovom indukcijom su tačni;2) Ako je veoma neproduktivna, neekonomična, rijetki su primjeri u kojima je moguće izvesti te premise da bi se došlo do zaključka.

Potpuna indukcija rijetko se koristi u nastavi matematike. Ona nema posebni obrazovni značaj. Ova indukcija služi jasnijem sagledavanju nekog problema, kasnijem formiranju stavova i sl.

Nepot puna indukcija je indukcija kod koje su premisama obuhvaćeni samo neki od pojedinačnih slučajeva. Odlike ove indukcije su: 1. ona je ekonomična; 2. zaključivanje je u izvjesnoj mjeri pouzdano; 3. posebna vrijednost je što se njome dolazi do novih zaključaka – taj zaključak ne sadrži samo poznate slučajeve , već i one nepoznate. U tome je njena najveća obrazovna vrijednost.

Postavlja se pitanje od čega zavisi stepen pouzdanosti?1. zavisi od broja pojedinih slučajeva – što je veći broj veća je pouzdanost;2. reprezentativnost slučajeva – reprezentativniji pojedinačni slučajevi rezultiraju većom pouzdanošću uzorka; 3. da li je zaključak izveden iz bitnih, suštinskih karakteristika.

Bez obzira na slabosti ova indukcija ima značajnu ulogu u nastavi matematike. Posebno je značajna metoda kauzalne indukcije – kojom se utvrđuju uzročno-posledične veze među pojavama. Njeno postojanje dugujemo Bekonu i Milu.

Milove metode: 1. Metoda slaganja – ako više slučajeva istraživane pojave ima samo jednu zajedničku okolnost zaključuje se da je ta okolnost uzrok ili posledica te pojave;2. Metoda razlike – ako u slučaju, u kome se istraživana pojava događa i u slučaju u kome se ne događa , da budu zajedničke sve okolnosti osim jedne koja se događa samo u prvom slučaju, zaključuje se da je ta okolnost posledica, uzrok ili neophodni dio uzroka te pojave.3. Kombinovana - slaganja i razlike – ako više slučajeva u kojima se istraživana pojava događa imaju jednu zajedničku okolnost, a više slučajeva u kojima se ta pojava ne događa nemaju ništa zajedničko, zaključuje se da je ta okolnost posledica, uzrok ili neophodan dio uzroka te pojave.4. Metoda propratnih pojava – iz uvida u to da se neka pojava na određeni način mijenja uvijek kada se na neki poseban način mijenjaneka druga pojava, zaključuje se da između te dvije pojave postoji kauzalna povezanost.

Postoji i teorijska matematička indukcija – koristi se isključivo u matematici. Ona je potpuno siguran oblik zaključivanja. To je, u suštini, dedukcija mada po formi liči na indukciju.

16


DEDUKCIJA

Dedukcija je misaona operacija ili niz misaonih operacija kojima se istinitost nekog tvrđenja izvodi iz istinitosti prihvaćenih i ranije utvrđenih istina.

Značaj i vrijednost dedukcije je u tome što se iz stava o opštem dolazi do stava o posebnom, ali se pri tom i opšte obogaćuje. Deduktivni oblik zaključivanja najčešće se sastoji u tome da, ono što važi u opštem slučaju, važi i za pojedinačno.

Pravila deduktivnog zaključivanja:

I Pravilo odvajanja

II Pravilo kontrapozicije Ako je x => y onda je x => y┐p => ┐r p => r

III Tranzitivnost implikacijex => y

y => zx => z

Karakteristike deduktivnog zaključivanja:

1. Svaki zaključak izvodi se iz ranije prihvaćenih karakteristika.2. Svi zaključci su logički povezani u niz i taj niz ima kraj. Kraj je poseban zaključak.3. Ako su tvrdnje, iz kojih se izvodi zaključak (premise) tačne, onda je i zakljkučak tačan.

Matematika kao nauka je deduktivno zasnovana. Međutim, na uzrastu od I do IV razreda nije moguća opšta dedukcija. Zato se ovdje pribjegava lokalnoj dedukciji. Suština lokalne dedukcije – preko deduktivnog zaključivanja možemo doći do zakona.

Zaključivanje po dedukciji može biti neposredno i posredno:

- neposredno je ono koje se izvodi iz jedne premise: a = b; a2 = b2

- posredno zaključivanje je takvo koje se izvodi iz dvije ili više premisa. Primjeri:

Svi kvadrati su pravougaonici sa jednakim stranicama, svi pravougaonici sajednakim stranicama su kvadrati (neposredno).

Svi paralelogrami su četvorougli, svi rombovi su paralelogrami, znači, svirombovi su četvorougli (posredno).

17


INTUICIJA

Intuicija je naslućivanje da se konkretni zadatak može riješiti na određeni način. Intuiciju shvatamo kao skraćeni vid zaključivanja. Rešenja do kojih se dolazi intuicijom su problematična, nepouzdana i moraju se dokazivati. Postupak dokazivanja mora biti rigorozan i doprinositi razvoju matematike razmišljanja. Intuicija se može zasnivati i na čulnom i na umnom saznanju. Učenike treba osposobiti da koriste intuiciju u rešavanju zadataka.

Primjeri:

Kojom cifrom se završava proizvod u kome se broj 7 pojavljuje kao činilac 100 puta?

7 x 7 x 7 .......... 7 x 7 x 7 49 x 49 .......... 49 x 49

49 x 50 2901 x 25

2401....................2401

1Proizvod u kome se broj 7 pojavljuje 100 puta, završava se brojem 1.

I niz 1 + 3 + 5 + 99II niz 2 + 4 + 6 + 100Koji je zbir veći i za koliko? Veći je zbir II i to za 50.

18


KIBERNETIČKE OSNOVE NASTAVE MATEMATIKE

Kibernetika je nauka o upravljanju. Opšti procesi upravljanja u svim oblastima nauke. Prema shvatanju kibernetičara, svaki sistem se, u suštini, sastoji iz 4 elementa. Ima svoj cilj, sredinu u kojoj se realizuje, upravljački sistem i upravljani sistem.

Da bi sistem efikasno funkcionisao kibernetičari smatraju da cilj mora biti jasno definisan. Mora imati razvojni sistem upravljanja, da se tačno zna kako će se djelovati u datoj situaciji. Mora postojati stalna informacija u upravljačkom sistemu o stanju u upravljanom sistemu i mora se upravljački sistem prilagođavati upravljanom sistemu na način na koji to zahtijeva povratna informacija.S obzirom da je nastava matematike sistem, moraju se poštovati ova pravila. Cilj upravljanja definiše društvo kroz zakonske propise, ali se tu definicija ne zaustavlja, nego svaki nastavnik definiše cilj za svaki čas. Ako je cilj jasno definisan onda je lakše napraviti program upravljanja.Program upravljanja znači, sastaviti uputstvo na koji način će rad na času biti organizovan, oblici rada, metode, sredstva, vrijeme korišćenja i sl. Ali, samo to nije dovoljno jer nedostaje povratna informacija. Da bi rad bio uspješan mora postojati povratna informacija jer, zavisno od nje, teče i program predavanja.

Kibernetički pristup u početnoj nastavi matematike obuhvata cjelinu nastavnog procesa, ali naglasak daje na njegovu kontrolu, jasnost cilja i upravljanje. Takvim pristupima se znatno obogaćuje nastava matematike i njen kvalitet podiže na viši nivo. Mnogi, s pravom smatraju, da nema nastave matematike ako joj jedna od osnova nije kibernetička osnova. Tu se javljaju problemi jer, u nastavi matematike, nije moguće definisati program upravljanja. Kroz ovaj pristup je mnogo lakše ostvariti obrazovne nego vaspitne zadatke.

19

UPRAVLJAČKI SISTEM

UPRAVLJANI SISTEM

CILJ SREDINA


SAZNAJNE OSNOVE MMO

Osnovna razlika između matematike obrazovanja i obrazovanja u okviru drugih disciplina je u tome što djeca u procesu matematičkog obrazovanja usvajaju pojmove, a u okviru većine drugih nastavnih disciplina usvajaju činjenice. Činjenica je iskustveno utvrđen ili utvrdljiv , objektivno postojeći odnos među predmetima (neki predmet ili podatak).Pojam je misao o suštini nekog stvarnog ili zamišljenog predmeta. Razlika između činjenice i pojma ogleda se u tome što su činjenice empirijskog porijekla, nezavisne od načina saznavanja, a pojam nije realno postojeći objekat, nije dostupan čulnoj aktivnosti. Iz takve prirode činjenica i pojmova proizilazi razlika o načinu njihovog usvajanja. Tako je usvajanje činjenica rezultat empirijskog, a usvajanje pojmova rezultat racionalnog saznavanja. Razlika između činjenica i pojmova postoji i u razumijevanju. Činjenice se mogu učiti bez razumijevanja a pojmovi ne mogu. Razumijevanje uključuje mnoštvo misaonih aktivnosti.

Pojmovi koje djeca stiču u nastavi matematike mogu se podijeliti na:- jednostavne i - složene pojmove.

Jednostavni pojmovi su oni koji imaju jednu oznaku, a složeni oni koji imaju dvije ili više oznaka. Tako je pojam prirodnog broja jednostavan pojam. Ova podjela je samo uslovna. Nekada je kod učenika lakše formirati složen nego jednostavan pojam. Ona ne govori o težini tih pojmova.

20


AKSIOMI I POSTULATIMETODIKE NASTAVE MATEMATIKE

Hilbertova definicija matematike je igra koja se, prema jednostavnim pravilima igra, i prema oznakama koje nemaju nikakvo značenje. Matematika je igra koja se igra po pravilima koje određuju aksiomi.Aksiomi su istine koje se ne dokazuju. Savremeni matematičari kažu da aksiomi nisu tako ’jednostavni’, da od njih nema jednostavnijih. Često se koristi pojam pretpostavka od koje se polazi. Sistem aksioma mora biti potpun i neprotivuriječan. Prvi sistem aksioma je postavio

Euklid – Euklidov sistem aksioma (Euklidova geometrija).

I da se kroz svake dvije tačke može postaviti prava;II da se svaki pravac može neograničeno produžavati;III da se iz proizvoljnog centra sa proizvoljnim prečnicima uvijek može opisati kružnica;IV svi pravi uglovi su međusobno jednaki;V dvije prave presječene trćom sijeku se na onoj strani na kojoj je zbir tako dobijenih

uglova manji od dva prava ugla;

Lobočeski je napravio novu geometriju gdje prostor nema tri, nego četiri dimenzije.

Leonov sistem aksioma (aritmetika):

I broj 1 je prirodan broj; II svaki prirodan broj ima svog sledbenika tako da je P = P + 1;III broj 1 nije sledbenik nijednog prirodnog broja;IV ako je m’ = n’ onda je m = n;V svaki skup koji sadrži broj 1, i koji za svako P sadrži P + 1 sadrži sve prirodne brojeve.

Prvanović ističe 3 aksioma ( u MMO):

1. Inteligencija se ne donosi rođenjem, urođen je njen razvojni put;2. Ne postoji dar za rad u nastavi matematike, postoje samo ’jače’ ili ’slabije’ obrazovno-

matematičke dispozicije;3. U svakom djetetu, osim teško mentalno zaostalih, postoje:

- spontana i vrlo jaka težnja za saznavanjem onoga što ga okružuje;- spontana i jaka težnja za stvaranjem i stvaralačkim radom. Bez napornog rada nema ni obimnih ni genijalnih matematičkih otkrića.

Prvanović je postavio i postulate:

1. Voditi učenika kroz kontinuiran niz adekvatnih aktivnosti koje ga ne skreću sa razvojnog puta njegove inteligencije;

2. Dopustiti učeniku slobodu da sam izgrađuje pojmove, otkriva činjenice, pravila i, uopšte, sam rešava problem i da stvaralački radi;

3. Matematičko obrazovanje je dužno da ubrzava, intenzivira učenikov intelektualni razvoj, maksimalno skraćuje i proširuje spontan razvojni put njegove inteligencije.

21


FORMIRANJE POJMOVA

Pojam je opšta ideja. Kompleti karakteristika vezanih za misli. Takvim određenjem jedna riječ se prebacuje na drugu riječ. Matematički pojmovi, njihovo značenje je složenije, jer je njihovo formiranje u većini slučajeva nemoguće kroz spontano izražavanje učenika. Oni se ne mogu formirati odjednom, taj proces je često dugotrajan, a često se aktivno povezuje sa pojmovima van nastave. Matematički pojmovi formiraju se po jednostavnoj shemi.

Matematički pojam ima 3 komponente (Marjanović)

U praksi je čest slučaj da se pojam izjednači sa jednom od komponenti, što je štetno za nastavu. Djeca na ranom uzrastu spontano formiraju neke pojmove koji su vezani za bića i predmete iz njihove okoline, npr. Uočavajući što djeca stiču različite predstave o uglovima, veličini itd. Niz senzornih utisaka o tom predmetu stiču spontano. Spontano i postepeno se njihovi senzori koncentrišu oko neprocjenjivih karakteristika pojma i oni stiču neku opštu predstavu o tom pojmu i prodiru u suštinu tog pojma.

Mentalna slika se odnosi na spontanost djeteta, da bez prisustva objekta, stvori sliku tog objekta u svojoj glavi. To je pojednostavljeno realna slika, ali koja ima tendencije da se projektuje smo na najvažnije karakteristike. Crteži koje djeca prave na ranom uzrastu najbolje pokazuju tu mentalnu sliku. Ta trajnost unutar predstava omogućuje kasnije procese prepoznavanja, a ono se može smatrati osnovnim vidom klasifikovanja, jer klasifikuje sve stolove u jednu mentalnu sliku. Jednu takvu predstavu prati ime sto koje se veže za sve stolove koje je vidjelo ili nije i to doprinosi izdvajanju pojmova u jedinstvenu klasu. Nju ne treba poistovjećivati ni sa jednom slikom koju realizujemo, nego da crtanjem treba vidjeti samo način na koji se u procesu formiranja pojmova djeca spretno snalaze, projektujući unutrašnje na objektivno i spoljašnje. Važno je istaći da je mentalna slika kvalitetnija ukoliko je u individualnom iskustvu više primjera, npr. – predstava o stolu u nekom zabačenom selu je drugačija od predstave koju ima dijete u nekoj velikoj sredini (npr. gledajući razne vrste drveća dijete uočava njihove zajedničke karakteristike, formira mentalnu sliku i nauči njihova imena). I ovdje mentalna slika zavisi od geografskog područja. Crteži koji ilustruju mentalnu sliku mogu biti različiti, mada su invarijantna svojstva slična. Uporedo teče i drugi proces odbacivanja nebitnih svojstava. Sva ta svojstva, koja nisu bitna za jedan pojam, ali se vezuju za njega kako nazivamo u metodici šumom. Šum u našem životu označava sve ono što ometa dolazak i formiranje pojma, tj. sticanje mentalne slike, npr. šum kod prave je njen položaj kako je nacrtana, koso ili pravo i sl. Sam pojam ne posjeduje šum.

22

2. MENTALNA SLIKA

1. PRIMJERI

3. IME, NAZIV, ZNAK


Svi matematički pojmovi se formiraju po navedenoj shemi i to je najvažnije. Ime je riječ iz prirodnog jezika, bez obzira da li je izgovorena ili napisana, simbol je oznaka imena.Kod simbola se mogu javiti razne nedoumice, jer su neki simboli, manje ili više vjerne grafičke interpretacije objekata i tada se zovu slikovna ili ikonička.Drugi simboli su proizvoljna forma čije je značenje dogovorom utvrđeno i nazivaju se konvencionalnim simbolima. Većina pojmova se omogućava konvencionalnim simbolima koji ničim ne podsjećaju na suštinu pojma koji omogućavaju, npr. arapske cifre oblikom ne sugerišu brojeve koji omogućavaju, dok, kroz rimske, ta veza postoji donekle. Međutim, pojmovi se često označavaju dvojako: kako riječima iz prirodnog jezika tako i konvencionalnim simbolima: brojevi, slova, matematički znaci...Simboličko označavanje je značajnije zbog toga što povećava brzinu manipulisanja i mišljenja. Ne treba zanemariti ni pozitivna svojstva slike kao simbola, npr. jedna fotografija – iz slike se mogu naučiti mnogi važni detalji jednim pogledom. Pojam 3: primjeri su svi skupovi koji sadrže 3 lica, predmeta, elementa i sl. Da bi bila što jasnija mentalna slika bira se primjer sa što manje šuma (skup od 3 tačke). Mi dajemo naziv svim riječima i uvidimo simbol, a to je 3. Pojam je rezultat misaone aktivnosti i kao takav nije dostojan čulnom saznavanju.

23


SKUP KAO NAJOPŠTIJI POJAM KLASIČNE MATEMATIKE

Pojam skupa je stara tekovina materijalne kulture čovjeka. Njime su se ljudi služili i prije nego što su znali za pojam broja. I pored tako duge tradicije, teorija skupova se počela razvijati tek u drugoj polovini XIX v. Tvorac teorije skupova je danski trgovac Kantor. On je svoje prve radove i prva istraživanja iz ove oblasti počeo 1879.god.Tu teoriju savremenici su različito dočekali.

Anri Penkavc je sarkastično izjavio da je Kantorova bolest od koje treba liječiti matematičare, a Hesman Vaje je teoriju skupova nazvao maglom nad maglama.

Rasel je smatrao da je teorija skupova, vjerovatno, najveće otkriće nove epohe, a Hilbert je rekao da nas niko ne može istjerati iz raja koji je Kantor napravio. Danas se smatra da pojava teorije skupova označava početak moderne matematike. Ako se posmatra ili analizira program matematike ne može se zamisliti bez prisustva pojava iz teorije skupova.

Aktuelni program predviđa obradu materije iz teorije skupova (I - IV razreda):

- U I razredu zadatak je da učenici uočavaju razne primjere skupova, podskupova, pripadnost elemenata skupova i usvoje termine: skup, podskup i elementi. Moraju znati da opšti skup, navođenjem članova ili svojstava, pridruživanje elemenate i razlikovanje skupova sa istim ili različitim brojem elemenata. - U II razredu sadržaji se proširuju i traži se da učenici moraju da koriste znak za skup i pripadnost elemenate skupu.- Sadržaji iz oblasti skupova prisutni su i u III i IV razredu, mada nisu eksplicitno navedeni u programu, ali se traži da navedu skup nejednačine.

Formiranje pojmova iz teorije skupova se, pri tom, zasniva na igri i praktičnim aktivnostima učenika na konkretnim primjerima, pri čemu treba aktivno koristiti riječ skup ili element skupa. Pri izdvajanju skupova vodi se računa o tome da učenicima bude jasan ključ po kome je izvršeno izdvajanje elemenata u neki skup.

Razlozi za uvođenje skupova su:

1) pojam prirodnog broja se može izvesti na primjeru skupova. Olakšava se put kojim se formira pojam broja;

2) operacije nad skupovima - omogućavaju da se rad sa brojevima očigledno zasniva;3) teorija skupova – predstavlja osnovni rečnik savremene matematike. Njeno uvođenje

u program približava nastavu matematike matematici kao nauci;4) eksperimentima je dokazano, a i praktično provjereno, da već u početnoj nastavi

matematike učenici sa lakoćom usvajaju određene pojmove u teoriji skupova, odnosno intuitivno posjeduju mnoge pojmove o skupu;

5) zahvaljujući slikovnoj interpretaciji sadržaja, učenici se brže osposobljavaju u apstraktnom mišljenju sagledavanjem cjeline itd.

6) Teorija skupova omogućava lakše uopštavanje i elastičniju obradu mnogih sadržaja u matematici. Teorija skupova postaje metodološki i metodički princip. Ona je podređena izučavanju drugih sadržaja i koristi se u formiranju drugih pojmova.

Cilj je da se skupovi koriste kao didaktički materijali za formiranje drugih pojmova.

24


OZNAČAVANJE SKUPOVA

Učenici u svakodnevnom životu termin skup ne čuju tako često, ali, i pored toga, u njihovoj svijesti postoji donekle izgrađen pojam koji se uslovno može nazvati skupom. Taj pojam ima malo zajedničkog sa skupom u metematici.:

1) razlika je u tome što u običnom govoru skup označava nešto što je mnogo, a matematički skup označava i ono što je mnogo i ono što ima samo 1 element ili jedan (prazan) skup;

2) razlika je u tome što se, u običnom govoru, pod skupom podrazumijeva samo ono što ima iste elemente (skup ljudi, ptica i sl.) dok u matematici skup može biti sastavljen i od različitih elemenata. Zato je pogrešno da neko, interpretirajući pojam skupa, govori o raznovrsnim i istovrsnim skupovima.;

3) razlika je i u tome što, u običnom govoru, riječ skup uglavnom označava predmete koji su jedan uz drugi, a matematički skup mogu činiti planete sunčevog sistema , glavni gradovi država, iako su prostorno udaljeni:

4) razlika je u tome što ponekad, ono što je u običnom govoru skup, u matematici nije. Npr. ispred zgrade filozofskog fakulteta je skup studenata, a to nije skup u matematici zato što se ne može tvrditi ko čini taj skup, a skup je određen samo ako se odrede njegovi elementi. Matematičari o skupu govore samo onda ako utvrde da li neki elementi pripadaju ili ne pripadaju određenom skupu.

Kada je riječ o formiranju pojma skupa, metodički je opravdano da se taj pojam izvede iz prirodne situacije i jezika. Možemo posmatrati razne slike, a to su riječi koje proizilaze iz svakodnevnog govora i tražimo od učenika da imenuju elemente. Neprirodno bi bilo da kažemo jato cvijeća, svežanj ptica i sl. Svaka riječ ide prirodno uz određene elemente, ali nije neprirodno reći skup ptica, skup cvijeća i sl. jer, sasvim spontano, djeca prihvataju riječ skup.

S obzirom da je skup osnovni pojam teorije skupova, to nas oslobađa obaveze da ga definišemo. Jednostavno, od skupa ne možemo naći jednostavniji pojam.

Međutim, u udžbenicima i literaturi se može naći da je skup množina objekata sa nekim zajedničkim svojstvima. Ali, skup može imati i elemente koji nemaju zajedničko svopjstvo. Istovremeno sa usvajanjem termina skup usvojeno je u program i termin elementi.

Pitamo djecu koliko ima cvjetova, a onda pitamo koliko taj skup ima elemenata. Što više različitih primjera da se dobije mentalna slika šta je to skup i elementi skupa. Taj proces formiranja pojmova je dugotrajan. Ne treba mnogo navoditi skupove čiji su elementi brojevi ili slova, jer učenici još nisu njima dovoljno ovladali pa im to pravi dodatne probleme.

Ispravno je navoditi one skupove čiji su elementi oni o kojima učenici već imaju neko iskustvo i sa kojima su u dodiru. Kad god je moguće prvo navoditi primjere iz porodice, odjeljenja, igračke i namještaj u kući ili školi, objekte iz neposredne okoline.

Najvažnije za učenike je da shvate skup kao tvorevinu proisteklu iz realnosti a ne kao vještačku tvorevinu. Tek poslije realnih primjera prelazi se na misaono formiranje skupova prema datim svojstvima, ali treba biti oprezan pri navođenju svojstava.

25


Postoje 3 načina obilježavanja skupa:1. skupovi se mogu obilježiti slikom;2. mogu se obilježavati navođenjem elemenata skupa;3. mogu se obilježavati navođenjem osobina koje imaju elementi skupa.

Kada se skup predstavi slikom insistira se na tome da li pojedini elementi pripadaju ili ne pripadaju skupu

Slovo nije element skupa, nego tačka. Njime se samo označava skup. Pažnju treba posvetiti redosledu grafičkog prikazivanja. Prvo treba nacrtati elemente skupa, pa tek onda liniju oko tih elemenata. Skupovi se obilježavaju velikim slovima, a njihovi elementi malim. Navođenjem elemenata skup se označava: A = {a, b}. Opisivanje elemenata – takav način se primjenjuje u situacijama kada skup ne možemo izraziti navođenjem svih elemenata, već ga moramo zadati opisno:

A = {x/4 ili y?? ≤ 1 000 000}A ={sve djevojčice naše škole}

Koji će se način primjeniti zavisi od konkretne situacije. Ako je neki objekat element skupa, njegovi elementi nisu djelovi tog skupa (npr. bicikl – točak nije element tog skupa)

A = {D, D}– skup ima samo 1 elementA = {a, b, a, c} – skup ima 3 elementaA = {A, D} – skup ima 2 elementa

Zadatak:Koliko elemenata ima riječ matematika? Ima 6 elemenata.

Skup ne zavisi od rasporeda elemenata, zato prilikom zadavanja zadataka treba praviti različit raspored, kako bi učenici shvatili da on nije važan.

Primjer:

A = {{1, 2}, {2, 3, 4}, {2}} – skup ima 3 elementa.Da li je broj 2 element skupa? – Ne pripada ovom skupi jer je ovo skup skupova

Prazan skup { } ili Ø ili { Ø }Skup koji ima 1 element skupa naziva se jednočlani ili jedinični skup.

26

A C . .

. a

. b


POJAM PODSKUPA

Posmatra se npr. skup dječaka u odjeljenju, a zatim se posmatra drugi skup, a to su dječaci koji sjede do prozora. Suština je da učenici shvate da je ovaj skup ujedno i element skupa dječaka u odjeljenju. Ili npr. porodica skup djece. Slučaj da su elementi jednog skupa ujedno i elementi nekog drugog skupa onda govorimo o podskupu toga skupa.

Kada se ovako formira pojam podskupa onda učenicima damo jedan skup i tražimo da potraže sve moguće podskupove toga skupa. Važno je da učenici uoče da je svaki skup podskup sam sebi, a drugo da je prazan skup podskup svakog skupa.

Česta je grška učitelja:

Primjer:

A = {1, 2, 3}Podskupovi: {1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{ Ø },{1, 2, 3}

27

A .

. 7 2 . .3 .z

A .

Očigledno je da je ovaj skup sastavljen od 2 skupa a oni dalje naglašavaju da je riječ o podskupu skupa krušaka – on je samo podskup voća.


UPOREĐIVANJE SKUPOVA

Može se vršiti na 3 načina:1) pogledom2) prebrojavanjem i3) upoređivanje pridruživanjem

Treći način je najčešći i tako se dobija odgovor na pitanje da li dva skupa imaju jednak broj elemenata ili jedan ima više ili manje. Da bi mogli upoređivati skupove pridruživanjem, učenici prvo moraju upoznati sam postupak pridruživanja. U tom cilju se razgovara sa učenicima o realnim situacijama u kojima se pridruživanje javlja kroz igru (stolice 20, učenici 19 – pridruži učenicima stolice). Ako se utvrdi da se dva skupa mogu uzajamno jednoznačno preslikati onda za nih kažemo da su ekvivalentni ili istobrojni. Treba nastojati da svaki učenik što više puta izgovori te riječi. Kada navedete primjere treba pitati i učenike da navedu neki primjer. Prvi korak je uočiti dve ekvivalentna skupa a zatim 3, 4, 5... Ne treba ići na preskok (2, 5). Treba im primjerima u svijest ugrađivati da je ekvivalentnost relacijaekvivalencije i da ima 3 osobine: refleksivnost, simetričnost i tranzitivnost.- refleksivnost – znači da je svaki skup ekvivalentan sam sa sobom;- simetričnost – ako je skup A ekvivalentan sa skupom B, onda je i skup B ekvivalentan sa skupom A;- tranzitivnost – ako je skup A ekvivalentan skupu B, a skup B ekvivalentan skupu C, onda je i skup A ekvivalentan skupu C.

Pirtanja treba postavljati tako da ova svojstva dođu do izražaja. Tek kada učenici do kraja upoznaju ekvivalentne skupove treba ih upoznati sa neekvivalentnim. Upoznavanje sa neekvivalentnim skupovima takođe se vrši pridruživanjem, ali tako da ostane nepridruženih elemenataPridruživanja treba da proizilaze iz neposredne okoline i učenikovog iskustva (svaki učenik ima stolicu, ali svaka stolica nema učenika). Treba pronaći više primjera (npr. više putnika nego sjedišta u autobusu). Pridruživanje se može pokazati riječima, stvarima, aktivnostima i gramatičkim putem.

28

A B ◦◦◦◦

◦◦◦◦

- važno je u ekvivalentnosti da sve ide redom i da se strelice ne poklapaju.

A B

▲■

■♥♥

- onda trba uvoditi pridruživanje koje nije po redu, da se izbjegne mehaničko pridruživanje


POJAM JEDNAKOSTI SKUPOVA

Teže je uvesti ovaj pojam nego upoređivanje. Treba početi sa primjerima. Imamo 3 dječaka koji se igraju u dvorištu i ta 3 dječaka uđu u učionicu. To su dva ista skupa ili:

= {makaze, ključ, nož}

Napomena: u skupu su ovi predmeti nacrtani!

Dva skupa su jednaka samo ako su oba sastavljena od istih elemenata , npr. Beograd je glavni grad SCG. Redosled navođenja elemenata je irelevantan zajednakost skupova. Svaki skup je jednak samom sebi. I brojno i realno elementi moraju biti jednaki.

Zadatak: Učenici treba da izdvoje crvene i žute žetone i naprave 2 skupa. Jednakost skupova se

označava znakom =. Nova relacija je relacija ekvivalencije što znači da je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

R : A = AS : A = B = >B = AT: A = BČ B = C = >A = C

Ove termine ne upotrebljabamo, ali navodimo primjere da bi učenici shvatili ove relacije. Ako su dva skupa ekvivalentna, oni ne moraju biti isti, a ako su jednaki onda moraju biti ekvivalentni.

29

◦makaze

◦ključ◦nož


OPERACIJE SA SKUPOVIMA

Unija dva skupa (U). A = {1, 2, 3}; B = {3, 4, 5}. Svi elementi prvog skupa u A U B = {1, 2, 3, 4, 5}, oni koji su iz drugog skupa, a nisu u prvom.

A B

A U B

Ako dva skupa nemaju ništa zajedničko onda su: disjunktivni skupovi.

Presjek čine svi elementi zajednički u oba skupa AČ B = {3}Razlika skupova: A\ B = {1, 2}; B \ A = {4, 5}

KOMPLEKSNOST SKUPA

CBA – kompleksnost skupa A u odnosu na skup B su oni elementi koji ga dopunjuju do unije. CBA = {4, 5} Z℮ ACAB = {1, 2} Z℮∕ B

Zadatak.U jednom odjeljenju ima 30 učenika, 18 su članovi recitatorske a 23 članovi literarne sekcije. Odrediti kojiko učenika su:a) članovi obje sekcije; b) članovi samo literarne sekcije; c) članovi recitatorske sekcije. R L

30

◦1

◦2◦3

◦3

◦4◦5

711 12

◦4 ◦5

◦1

◦2

◦3


FORMIRANJE POJMA PRIRODNOG BROJA

To je jedan od najvažnijih zadataka početne nastave matematike. Prirodni broj je osnova za dalji rad u matematici. Razvoj prirodnog broja je prošao kroz 3 faze:

1. formiranje broja 1 i 22. formiranje brojeva do 63. formiranje beskonačnog niza prirodnih brojeva.

Zajedničko obilježje za prve dvije faze je upotreba karakterističnih skupova. Npr. za broj 1 pokazati na Sunce; za broj 2 na oči, ruke, noge, krila ptice; za broj 3 nojeva šapa, za boj 4 kandže ptice, za broj 5 prsti ruke itd. Treću fazu karakteriše nastanak pojma - sledbenik, nastanak pojma broja koji je za jedan veći od prethodnog. Sledbenik je onaj činilac koji je omogućio da se od neposrednog posmatranja može formirati beskonačan niz. Može se zaključiti da su brojevi 1 i 2 nastali isključivo neposrednim zaključivanjem. Brojevi od 3 do 6 nastali su neposrednom opservacijom i sledbenikom. Ostali brojevi su rezultati brojeva i računanja, prije svega sabiranja.U prvoj fazi razvoja sve skupove ljudi smatraju i podvode pod pojam – mnogo.U drugoj fazi, karakteristika mnogo vezuje se za broj 7. Ostaci toga vjerovanja su intenzivno prisutni i danas u narodnim predavanjima (???).Metodika matematike pokazuje različite pristupe formiranju pojma prirodnog broja. Pet je pristupa: 1) verbalni; 2) perceptivni; 3) brojevni; 4)skupovni i 5) kombinovani.

1) Verbalni – pristup dominira u srednjovjekovnoj nastavi i periodu renesanse. U tom periodu se smatralo da se pojam prirodnog broja može izraziti izgovorenom ili napisanom riječi. Smatralo se da se, kroz manipulisanje oznakama, shvata njihovo značenje. Ovaj pristup je neodgovarajući jer brojevi nisu riječi. Riječ je samo ime broja.

2) U XIX v. Se javlja drugi pristup koji se zasniva na shvatanju po kome su percepcije i predstave osnove za formiranje pojma prirodnog broja. Zasnovan je na senzualističkoj filozofiji Loka, Nila i dr. Senzualisti smatraju da je porijeklo pojma u našim čulima. Pristalice perceptivnog pristupa smatraju da se posmatranjem uspostavlja veza između fizičke strukture objekta i mentalne strukture koje se formiraju na osnovu posmatranja. Kao predmet posmatranja mogli su se uzeti različiti objekti raspoređeni u prostor, slike tih objekata i ono što je karakteristično, mogle su biti posmatrane i brojevne slike čiji su elementi jednostavni. Njih su konstituisali Born (???) i dr. Sastavljene su iz kružića čiji se sadržaj može jednim pogledom obuhvatiti: Bornove slike:

Bitno obilježje ovog pristupa je što više posmatranja, kako bi se stekle predstave o nekom broju i apstrakcijom došlo do opšteg pojma. Prednosti nad verbalnim pristupom su što unosi očiglednost

31

◦ ◦◦◦ ◦◦

◦ ◦

◦ ◦◦

◦ ◦◦ ◦

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________u nastavu matematike, stavra bolje uslove za usvajanje pojma prirodnog broja. Najveća slabost je što su brojevne slike statične. U istom su rasporedu pa se tada broj poistovjećuje. Ako se

promijeni raspored slike to više nije taj broj. Otežano je i razumijevanjeinvarijantnosti broja elemenata u skupu, a brojevne slike ne omogućavaju to shvatanje. Nedostatak je što se pojam broja formira posmatranjem statičnih brojevnih slika, a zanemaruje se aktivnost kao što je učenikovo manipulisanje skupovima.

3) Brojevni pristup – pojma broja se izgrađuje brojanjem i aktivnostima sa brojevima. Polazi se od pretpostavke da većina djece već zna da broji i da to manje treba uzeti za osnovu. Metodičari ovoga pristupa smatraju, ako dijete već poznaje pojam broja, da se brojanjem može formirati pojam svakog prirodnog broja. Treba računati na to da se broj 1 uzme dovoljan broj puta kao dobrojenik. Brojevna prava je očigledan pristup:

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ovaj pristup je, zahvaljujući brojevnoj pravoj, matematičkog karaktera, ali nije dovoljno za formiranje pravih brojeva. Ovaj pristup je, u suštini, aksiomatski. Zasnovan je na Peonovim (Leonovim???) aksiomama. Glavna obilježja su:- do pojma broja dolazi se brojanjem;- broj se poistovjećuje sa brojevnom riječi;- očigledna podloga za brojanje je brojevna osa;- broj se ne vezuje za realnost, ne uspostavlja se veza sa skupom.

Zbog toga se, ovako formirani pojam, otežano primjenjuje u realnosti i otežano se formiraju odnosi među brojevima.

4) Skupovni pristup je zasnovan na shvatanju da se pojam broja može izvoditi radom sa skupovima, odnosno pomoćuekvivalentnog skupa. Javlja se početkom XX v. i potiče od Fregela (?) i Rasela. Pristalice ovog pristupa smatraju da međusobno ekvivalentni skupovi čine tzv. klasu ekvivalentnih skupova – zajedničko svojstvo te klase je izraženo koordinativnim brojem. Tako npr. ako posmatramo skup od 2 elementa i sve moguće skupove koji su njima elementi, i zajednički im je koordinatni broj 2. Koordinatni broj jediničnih skupova je 1, a koordinatni broj praznog skupa je 0.

Prednost ovog pristupa je: omogućava da se pojam broja izvede iz objektivne realnosti – osnovna ideja mu je da objektivnom broju nađemo odgovarajući primjer iz realnosti. Osim toga, ovaj pristup je usklađen sa dijalektičkim putem sticanja znanja. Živo opžanje se ostvaruje u procesu posmatranja i manipulisanja. Apstraktno mišljenje se ostvaruje u procesu odbacivanja nevažnih pojmova i prednost je što on uvažava uzrasne razlike učenika i omogućava im da svoje mišljenje podkrepljuju operacijama sa konkretnim objektima.

Obilježja ovog pristupa su:- da se broj shvata kao svojstvo konačnih skupova;- pojam broja izvodi se iz realnosti i lako se u njoh primjenjuje;- do broja se dolazi polazeći od skupova, apstrahujući nevažna i generalizujući važna svojstav;- brojevne riječi dobijaju ispravno tumačenje, označavaju svojstvo brojevnih skupova;- koriste se različiti didaktički materijali, kocke, kuglice, plodovi i sl.

32

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________- skupovi se formiraju iz didaktičkih materijala;- skupovni pristup obezbjeđuje materijalističko shvatanje pojma broja.

5) Kombinovani pristup – metodičari matematike danas smatraju da pojmove prvih brojeva treba formirati skupovnim, a ostale brojevnim pristupom. Skupovnim se stvaraju uporišne tačke za dalje formiranje pojmova. Taj rad ima za cilj da učenicima omogući prelaz iz područja čulnog u područje racionalnog saznanja. Neki metodičari smatraju da je dovoljno prvih 5 brojeva uvesti skupovnim pristupom, a ostale brojevnim. Drugi smatraju da prvih 10 brojeva treba uvesti skupovnim pristupom, a neki, i da brojeve do 20 treba tako uvesti. Poznajući naše učenike, prva varijanta je dovoljna (brojevi do 5). Može se ići i do 10 ako je sastav odjejlenja takav u razvijanju sposobnosti učenika. Do datog broja se koriste razne vježbe u kojima učenike stimulišemo da, prema zadatom broju, jednostavno odvoje određeni broj predmeta koji kasnije, postepeno smanjujemo, a misaona aktivnost postaje veća.

33


POČETNI BLOKOVI BROJEVA

To su neki okviri u kojima nastavnik na datom uzrastu treba da se kreće. Kada je riječ o upoređivanju početnih blokova brojeva, metodičari su jedinstveni. Ti blokovi su: blok brojeva do 10, do 20, do 100, do 1000, do 1000 000. Jedino neslaganje nastaje kada je u pitanju prvi blok, do 10. Tako neki metodičari, kao Marojević, zalažu se za podjelu ovog bloka na 2, do 5 i do 10. Drugi opet smatraju da to treba da ostane blok brojeva do 10. Zalažući se za blok brojeva do 5 Marojević ističe da djeca pogledom razlikuju 1 član, 2 člana i 5 članova skupa. Oni pogledom razlikuju i one skupove 3+1, 3+2, 4+1 a to je osnova za računske operacije. U tim prvim koracima akcenat nije na računskim operacijama već uvježbavanje pisanja brojeva i formiranja pojma broja. Oni koji se zalažu za blok do 10 ističu da je to u skljadu sa matematičkom sistematikom i da je on dovoljno širok za početno upoznavanje sabiranja i oduzimanja, a osnova za uvođenje znakova relacija i uvažava prethodno znanje i aktivnost učenika. 10 je i prirodna cjelina za dekadni brojevni sistem.Blokovi se uvode u sadržaje matematike koje obradimo u jednom bloku, po analigiji prenosimo na sledeći i samo ih proširujemo. U svakom sledećem bloku primjenjuju se prethodna znanja i dalje proširuju.

BLOK BROJEVA DO 5

Prvi kontakt sa učenicima koristimo da steknemo predstavu o tome šta imaju učenici, kroz razgovor sa svakim pojedinačno. Obraditi ovaj blok znači:- formirati pojam svakog broja od 1 do 5;- naučiti učenika da broji;- naučiti učenika da piše brojeve;- upoznati značenje znaka za relaciju veće, manje, jednako;- upoznati operacije sabiranja, oduzimanja i znakova za njih;- osposobiti učenike da rešavaju zadatke u okviru ovog bloka;- ovaj pristup obavezuje učitelja da održi 5 časova iz ove oblasti;- mora se poštovati opšta shema;- formiranje brojeva.

1. Formiranje pojma broja 1 uočavamo skupom koji ima 1 element (učitelj, slika, knjiga i sl.). Tražimo od učenika da sami pronađu takve primjere. Drugi korak je pokazivanje slika, skupova koji imaju 1 element. Traži se da učenici u govoru stalno potenciraju riječ – jedan.

34

............1 - sledeći korak je kada uz sliku pišemo odgovarajući broj

- jedna vaza


Onda učenici shvataju da brojem 1 označavamo apstraktni pojam.

Kada je u pitanju broj 2, najbolje je početi sa primjerima skupova koji su u paru (cipele, rukavice i sl.). Kasnije se prelazi na primjere koji nisu prirodno vezani. Od učenika se traži da sami daju primjere. Mogu se koristiti i drugi didaktički materijali (štapići, žetoni i sl.)Didaktički materijali omogućavaju vizuelizaciju matematičkih objekata koji su, po prirodi, apstraktni. Pored opšte sheme za brojeve 3, 4 i 5 treba koristiti određene brojevne slike:

2 + 1 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5

Ujedno se stvaraju osnove za upoznavanje operacije sabiranja. Učenici potpunije shvataju suštinu brojeva. Opšta metodička shema u svim slučajevima je ista, razlika je što se kasnije ne mora navoditi toliki broj primjera. Na isti način se formiraju i prvih pet pojmova broja u predškolskim ustanivama.

2) Naučiti učenike da broje – brojanje po redosledu dolazi onda kada učenici steknu pojam broja. Učenici tako stiču znanja o povezanosti riječi i broja elemenata. Pri prebrojavanju elemenata važno je insistirati da učenici spoznaju koliko ukupno ima elemenata. Prilikom osposobljavanja učenika za brojanje treba se pridržavati sledećeg postupka – brojanje predmete pomicanjem, to je najlakši način koji obezbjeđuje vizuelnu, tekstualnu i kinestetičku percepciju predmeta.

Istraživana je i fizička aktivnost. Isto je i brojanje dodirivanjem, predmeti se ne pomjeraju, treba im dati predmete koji se ne mogu pomijerati da ne bi došlo do slučaja da ponovo pomjere predmet.

35

◦ ◦◦

◦ ◦

◦ ◦

◦ ◦

◦ ◦

◦


RELACIJE BROJEVA DO 5

Uvijek se po nivou razredne nastavepolazi od upoređivanja skupova konkretnih predmeta. To mogu biti razni didaktički materijali ali se bira ono što je učenicima blisko. Drugi korak je upoređivanje brojevakoji su karakteristični za te skupove.

Treći korak je upoznavanje relacijskih znakova >, <, =

Insistira se da učenici izgovore npr. broj 4 je veći od broja 3

ili 2 < 3

Kada se prevaziće faza skupova prelazi se na brojevnu polupravu. Rezultat treba da bude shvatanje činjenice da je broj na polupravoj sa lijeve strane uvijek manji od broja sa desne strane. To treba i govorom ovladati: ’’Broj 1 je manji od broja 4 jer je sa lijeve strane na brojevnoj skali’’.

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 1 2 3 4 5

Relacija jednakosti se uvodi tek poslije relacije < i >. Treba insistirati na tome da je riječ dva jednaka broju 2.

36

■ ■■ ■

◦ ◦ ◦

I korak

II korak

III korak

4 4 > 3 3

2 3


FORMIRANJE POJMA SABIRANJA PRIRODNIH BROJEVA

Uvodi se tek poslije uvođenja relacija. To je prva računska operacija koja se usvaja. Danas se u većini zemalja istovremeno uvodi pojam sabiranja i oduzimanja ili množenja i dijeljenja, tj. suprotne računske operacije. To daje bolje rezultate kada se radi odvojeno. Postoje dvije etape u uvođenju sabiranja:

I Etapa konkretnih operacijaII Etapa apstraktnih operacija

I Etapa implicira osnovno metodičko pravilo, a to je da do pojma sabiranja u bloku brojeva do 5, moramo doći na taj način što ćemo stvarati konkretne situacije koje nam daju povod da operišemo, sabirajući. Kad stvorimo takvu situaciju organizujemo manipulisanje sa skupovima, zatim slijedi zapis a + b i tek na kraju iznalaženje zbira a + b = c. Manipulisanje može biti dvojako:

a) rastavljanje skupova na njegove podskupove;b) imamo dva skupa i vršimo njihovo združivanje, tj. uniju.

Novija shvatanja pokazuju da je izgleda djelotvorniji prvi postupak. Osnovni cilj je da osposobimo učenike da razumiju odnos između cjeline i djelova te cjeline, tj. skupa i podskupa. Rastavljanje skupova na podskupove radi se zato da se učenici osposobe da kasnije mogu brojeve rastavljati na njihove cjeline. Skup na podskupove možemo rastavljati s obzirom na:a) logičke odnos – npr skup djevojčica, skup jabuka...b) brojevne odnose – npr. skup 5 olovaka.Prvi znači rastavljanje različitih vrsta elemenata, a drugi rastavljanje elemenata iste vrste. Ponekad je korisno da, nakon rastavljanja skupa ’C’ obzirom na brojevne odnose > ponovo vršimo združivanje elemenata i na taj način se vraćamo na početni položaj. U tom smislu učenici shvataju da je 4 = 3 + 1 i obrnutozdruživanje 3 + 1 = 4.Kada je riječ o združivanju dva skupa karakteristično je da, ako imamo dva disjunktivna skupa, odrede se njihovi koordinatni brojevi, a nepoznata je unija i zbir tih brojeva. Na osnovu toga izvodimo zapis za zbir i uvodimo znak za operaciju. Treći korak se odnosi na objedinjavanje ova 2 disjunktivna skupa i koristi se znak jednakosti. Ovdje je važnije da se do zbira dva broja ne dolazi zapamćivanjem, nago zbrajanjem 2 broja.

2 1 3 2 1

37

▲▲

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________ 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3

II Etapa – smisao sabiranja u apstraktnoj etapi je, u suštini, iznalaženje sledbenika nekom broju, tj. dodavanje po 1, npr. 1 + 1, 2 + 1...i, po pravilu, kod ovog dodavanja, nema velikih problema. Ovdje se teškoće javljaju kada treba dodati 2. Metodičari zaj postupak treba da osmisle da učenici zbir 3 + 2 shvate kao traženje sledbenika, npr. 3 + 2 = (3 + 1) + 1 ili 4 + 2 = (4 + 1) + 1. Ovdje je računaljka nezaobilazno sredstvo. Ovo je dobar uvod u misaono sabiranje.

POJAM ODUZIMANJA PRIRODNIH BROJEVA

Polazi kroz etapu konkretnih i apstraktnih operacija. I etapa – data su 2 skupa A i B, pri čemu je podskup skupa A i njihov koordinatni broj,

nepoznata je njihova razlika A\B i njen koordinatni broj. Tek pošto shvate pojam oduzimanja, uvode se pojmovi umanjenik, umanjilac i razlika. Zadaci za oduzimanje mogu se davati u 2 varijante: zadaje skupove i elemente u skupovima i zadaci.

II etapa – kada učenici shvate pojam oduzimanja onda se to znanje povezuje u cjelinu sa sabiranjem, npr. 5 – 2 = 3 jer je 2 + 3 = 5. Zadaci pogodni za sabiranje i oduzimanje su brojanje unaprijed i brojanje unazad. Kod oduzimanja treba uvažavati određenu postupnost u pogledu zahtjeva, npr.

1) Zečiću su date 5 šargarepa, pojeo je 3 a ostale su 2;2) Na igralištu igra 5-oro djece, nekoliko ih je otišlo a ostalo je 2. Koliko je djece

otišlo?3) Na tacni je 5 jabuka, a na drugoj 1. Koliko je jabuka na dvije tacne, za koliko je

više na prvoj nego na drugoj?

FORMIRANJE BROJA ’’0’’ (’NULA)

Obrađuje se na kraju obrade bloka brojeva do 5. Broj 0 se prirodno javlja sa oduzimanjem kao koordinatnim brojem skupa. Važno je da učenici shvate da se 0 uvijek dobije kada se oduzimaju dva jednaka broja.

38


BLOK BROJEVA DO 10

Karakteristike ovog bloka su:

1. Ovaj blok je karakterističan što se u njemu svi brojevi, osim broja 10 zapisuju jednom cifrom, a broj 10 sa dvije cifre;

2. Brojevi u bloku do 10 imaju elemente čijim kombinovanjem nastaju svi drugi prirodni brojevi. U tom bloku, učenike smo već uveli u određene brojeve, npr. 0, 1, 2, 3, 4, 5. Kako formiramo brojeve 6, 7, 8, 9 i 10 – možemo na 2 načina: skupovni i brojevni pristup.

FORMIRANJE BROJA 10

Pojam broja 10 treba shvatiti kao sledbenikbroja 9, ali pojam broja 10 treba shvatiti i kao zbir dva broja, npr. 8 + 2 = 10 i 6 + 4 =10. Broj 10 treba shvatiti kao osnovu za formiranjedesetke koja nije ništa drugo nego broj, jedinica drugog reda. Sa uvođenjem broja 10 otvaraju se 2 problema: problem razlike između cifre i broja i problem pozicionog struktuisanja i zapisivanja niza prirodnih brojeva.U bloku brojeva do 10 prvo se obrađuju:- relacije >, <, =;- operacije + i –

Metodička obrada brojeva od 6 do 10 je ista kao i kod brojeva od 1 do 5. Dva su zakona:1) Komutativni zakon za sabiranje2) Asocijativni zakon za sabiranje

39


KOMUTATIVNOST SABIRANJA

Postoje 3 načina:1) na osnovu operacija sa skupovima;2) upoređivanjem brojevnih jednakosti 3) upoređivanjem zbira dužina

1) Prvi način – analizira se situacija i utvrđuje šta je u datim primjerima isto i različito. Ukupan broj je isti, ali je različit redosled sabiranja.

2) Drugi način – primjer:

4 žetona 6 žetona 4 + 6 = 10

6 + 4 = 10

Rezultat je isti bez obzira na rezultat sabiraka.2 + 3 = 5 4 + 3 = 73 + 2 = 5 3 + 4 = 7

Treći način više se koristi na brojevnoj pravoj

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Na komutativnost upozoravamo kao na oblast koja ima praktičnu stranu ili dimenziju.

40


ASOCIJATIVNOST SABIRANJA

Pravimo problem, u smislu, što mi postavimo zadatak, npr. 2 + 3 + 4 tj. da izračunaju zbir 3 sabirka. Problem se rešava na 2 načina (ili 3):

1. operacijama sa skupovima;2. upoređivanjem brojevnih jednakosti;3. upoređivanjem dužina.

Prvi način – polazimo od operacija sa skupovima i podskupovima.

A U (B U C) = (A U B) U C

Npr. na stolu imamo 2 žuta, 3 zelena, 4 crvena žetona2 + 3 + 4 = 9

Napomena:združivanje učenici označavaju zagradama:2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

Redosled združivanja ne utiče na rezultat i to učenici treba da shvate.

Drugi način – upoređivanje brojevne jednakosti ili nepotpuna indukcija.

(2 + 3) + 4 = 9

2 + (3 + 4) = 9

Treći način – preko brojevne duži

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ovdje je važno da asocijativni zakon nije sam sebi cilj, da se ne ostaje na planu teorijskog, već treba da mu damo tzv. praktičnu dimenziju.Asocijativni zakon značajan je što se prvo upotrebljava zagrada, npr.

2 + 3 + 4 = ( _______ + _______ ) + 4 =

Asocijativnost nam omogućava da učenici shvate dvije važne činjenice u MMO:

41


1) Da je sabiranje binarna operacija (to znači da možemo samo 2 broja sabrati);2) Da način združivanja ne utiče na rezultate sabiranja:

- Komutativni zakon a + b = b + a- Asocijativni zakon (a + b) + c = a + ( b + c)

BLOK BROJEVA DO 20

Zašto se obrađuje ovaj blok brojeva?1) Zato što postoji velika razlika između prve i druge desetice;2) Učenici uočavaju i stiču prve pojmove o dekadnom brojevnom sistemu;3) Prvi put se upoznaju desetice kao jedinice brojeva;4) Sabiranje i oduzimanje sa prirodnim brojevima se, u pogledu načina izvođenja,

završavaju u drugoj desetici;5) U bloku brojeva do 20 počinje i obrada tablice množenja.

Obraditi blok brojeva do 20 znači:- upoznati brojeve do 20- obrađivati brojeve do 20- naučiti sabirati i oduzimati - naučiti i odrediti nepoznati sabirak, umanjenik i umanjilac.

Osnovna pretpostavka za upoznavanje bloka brojeva do 20 su svi sadržaji koji su obrađeni u bloku brojeva do 10. Pri formiranju brojeva do 20 može se koristiti ibrojevni i skupovni pristup. U skupovnom pristupu treba uzimati predmete iz neposrednog okruženja, a brojanje da bude realno, predmetima. Kada je riječ o brojanju može se dati zadatak da se broji do datog broja po 2, a može se brojiti unazad. Kad upoređujemo brojeve, npr. 13 i 14, kažemo da je 13 < 14 ili 14 > 13.

SABIRANJE DO 20

Ima svoj metodički redosled:1) sabiranje broja 10 i nekog jednocifrenog broja (10 + 3);2) sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja čiji je zbir 20, npr. 13 + 7 = 20;3) sabiranje jednocifrenog i dvocifrenog bloka, kada je zbir u okviru bloka brojeva do 20;4) sabiranje sa prelaskom preko desetice.

Redosled je bitan i zasnovan na Distevergovim pravilima: od poznatog ka nepoznatom, od jednostavnog ka složenom. Najpogodiniji didaktički materijal su štapići:

42


METODIČKI REDOSLED SABIRANJA

1) Kada imamo deseticu i jednocifren broj, npr. 10 + 3 ; prvo zahtijevati da učenici broje koliko su već prethodno naučili, ne treba biti problema (štapići)

2) Sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja, npr. 14 + 6, zasniva se na prethodno stečenom znanju da je 4 + 6 = 10 i odgovarajućoj očiglednoj podlozi,

npr. 14 + 6 = 10 + (4 + 6) = 10 + 10 = 20;3) Sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja kada je zbir u okviru do 20 (14 + 3)

14 + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17; 4) Sabiranje sa prelaskom preko desetice:

8 + 5 = ( 8+ 2) + 3 ; 8 + 5 = 3 + (5 + 5)To je veliki broj operacija za učenike ovog uzrasta. Oni moraju: 1) znati dopunjavati brojeve; 3) znati kojiko je ostalo kod broja koji smo uzeli; 3) broju 10 treba dodavati ostale brojeve.Kada je u pitanju sabiranje 2 broja sa prelaskom preko desetice mehanizuje se efikasnom sabiranju sa grupisanjem sabiraka koji su jednaki. Zadaci koji se mogu zadavati - za sabiranje:- zadaci promjene, npr. ako dječak ima 5 kifli, majka mu da još 5. Koliko ima ukupno kifli?- kombinovani zadaci, npr. ako Marko ima 7, a Bojan 8 olovaka. Koliko olovaka imaju zajedno?- zadaci upoređivanja, npr. Vlado ima 5 sličica, a Dunja 2 puta više od njega. Koliko sličica ima Dunja?

ODUZIMANJE U BLOKU DO 20

Važi isto i kod sabiranja:- polazi se od realne situacije;- polazi se bez didaktičkih materijala;- radi se sa imenovanim i neimenovanim brojevima;Kada je u pitanju sadržaj u bloku brojeva do 20, onda taj sadržaj treba rasporediti na sledeće slučajeve:1) oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog, tako da razlika bude 10 (15 – 5), (16 – 6)...;2) oduzimanje jednocifrenog broja od 20 (20 – 6), (20 – 3)...;3) oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog u okviru druge desetice (18 – 5), (13 – 2)...;4) oduzimanje sa prelazom preko desetice (15 – 8), (14 – 9)...

Mentalne sheme za svaki slučaj:1) 15 – 5 = 10 + (5 – 5) = 10 + 0 = 10 2) 20 – 6 = 10 + (10 – 6) = 10 + 4 = 143) 18 – 5 = 10 + (8 – 5) = 10 + 3 = 13

43


4) I 15 – 8 = 7 + (8 – 8) = 7 + 0 = 7II 15 – 8 = (15 – 5) – (8 – 5) = 10 – 3 = 7III 15 – 8 = (15 + 5) – (8 + 5) = 20 – 13 = 7

Potrebno je što više tekstualnih zadataka jer ima više praktičnih problema.

BLOK BROJEVA DO 100

Učenici teba da shvate sledeće:1) deseticu kao brojevnu jedinicu drugog reda;2) suštinu dekadnog sistema;3) da potpuno ovladaju terminom usmenog sabiranja i oduzimanja do 100, primjenjujući

najcjelishodnije računske postupke i služeći se tablicom sabiranja i oduzimanja;4) da potpuno savladaju tablicu množenja i dijeljenja;5) da se upoznaju sa postupcima množenja i dijeljenja koji nisu obuhvaćeni tablicama.

U bloku brojeva do 100 imamo slične ciljeve kao i kod ostalih blokova i slične metodičke postupke. Razlika je u tome što se očiglednost koristi sve manje. Kada je riječ o formiranju pojmova do 100, prisutan je brojevni pristup i za neke od brojeva se rijetko može koristiti brojevna prava. Ako se koristi didaktički materijal, učenici broje štapiće do 10, vezuju ih u skupove i onda broje desetice. Brojevi iz bloka do 100 sastoje se iz 2 dijela: jedan dio je desetica, drugi jedinica – npr. 24 (dvadesetčetiri), 36 ( tridesetšest). Veliku pažnju treba posvetiti analizi broja. Učenici treba da shvate da npr. broj 84 ima 8 desetica i 4 jedinice, ali i da istovremeno znaju da se 5 desetica i 8 jedinica zapisuje kao 58.

SABIRANJE I ODUZIMANJE DO 100

Ove dvije operacije do 100 vrše se po sledećem redosledu:1) sabiranje i oduzimanje desetica (4 + 3 = 7 => 40 + 30 = 70; 80 + 20 = 100, 8 + 2 =10)2) sabiranje i oduzimanje dvocifrenog i jednocifrenog broja sa i bez prelaza 10; 20 + 7 = 273) sabiranje i oduzimanje dvocifrenog broja 36 + 3 = 30 + (6 + 3) = 30 + 9 = 39

Kod sabiranja bez prelazapreko desetice su 3 slučaja:

1) 20 + 7 = 272) 36 + 3 = 30 + (6 + 3) = 30 + 9 = 393) 28 + 2 = 20 + (8 + 2) = 20 + 10 = 30

Kod oduzimanja su 2 slučaja:

1) bez prelaza preko desetice:28 – 8 = 20 + ( 8 – 8) = 20 + 0 = 2067 – 3 = 60 + (7 – 3) = 60 + 4 = 64

44


2) sa prelazom preko desetice:74 – 7 = 74 – (4 + 3) = (74 – 4) – 3 = 70 – 3 = 67

Treći slučaj kod sabiranja.

1) bez prelaza preko desetice:30 + 27 = 30 + 20 + 7 = 50 + 7 = 57 46 + 32 = 40 + 6 + 32 = 40 + 38 = 40 + 30 + 8 = 70 + 8 = 78 47 + 23 = 40 + 7 + 23 = 40 + 30 = 70

40 + 7 + 20 + 3 = 60 + 10 = 70

2) sa prelazom preko desetice:45 + 38 = 40 + 5 + 38 = 40 + 43 = 83

Oduzimanje: 1) bez prelaza desetice:

48 – 20 = 40 + 8 – 20 = (40 – 20) + 8 = 20 + 8 = 2889 – 32 = (80 – 30) + (9 – 2) = 50 + 7 = 5760 – 23 = 60 – (20 + 3) = (60 – 20) + 3 = 47

3) sa prelazom:63 – 35 = 63 – (30 + 5) = 63 – 30 – 5 = 28

MNOŽENJE I DIJELJENJE

Učenici se sa množenjem i dijeljenjem susreću u 3. razredu. Množenje i dijeljenje posmatramo sa sledećeg aspekta:

1) formiranje pojmova množenja i dijeljenja;2) upoznavanje sa tablicom množenja i dijeljenja;3) dijeljenje sa ostatkom.

POJAM MNOŽENJA

Prirodne brojeve obrađujemo u 2 faze:I etapa konkretnih operacijaII etapa apstraktnih operacije

I etapa - karakteriše je to da se pojam množenja izvodi izvodi iz realnosti, u 3 koraka:

1. polazimo od situacije koja daje povod množenju ali te situacije možemo opisati kao disjunktivne unije jednako broju skupova; npr. na 2 ruke imamo po 5 prstiju; na 3 bicikla ima po 2 točka; na 2 kola ima po 4 točka.

45


2. kao reakcija na unaprijed navedene primjere u 1. koraku formira izraz a x b; npr. 2 x 5a) na 3 bicikla po 2 točka 3 x 2b) na 3 auta po 4 točka 3 x 4

3. izračunavanje vrijednosti izraza a i b na sledeće načine:- prebrojavanjem (2 x 5 = 10);- pomoću sabiranja, tj. združivanja;- korišćenjem tablice množenja.

Združivanje se mora govorno pratiti. Savremenu nastavu matematike karakteriše uvođenje pojma množenja na osnovu Dekartovog proizvoda skupovaA = {1, 2, 3}; B = {4, 5}A x B = { (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }

Dekartov skup je skup uređenih parova. Može se grafički predstaviti i formulisati pomoću tablica.

II etapa – počinje tek nakon formiranja pojma množenja, tj. počinje u trenutku kada se težište aktivnog rada sa učenicima prenosi na broj, tj. misaono područje, kada se odvojio od realne podloge. Potom se uvode sledeći pojmovi: prvi činilac, drugi činilac i proizvod.Pojam množenja uvodimo da bi se mogli rešavati zadaci, i to 3 tipa:

1. na x mjesta po ’’y’’ elemenata;2. zadaci tipa poređenja;3. zadaci tipa direktnog (Dekartovog) proizvoda.

Najjednostavniji je prvi tip.

46


KOMUTATIVNOST MNOŽENJA

a) u 2 reda po 4 elementa;b) u 4 reda po 2 elementa

- Asocijativno svojstvo množenja

- Zakon distributivnosti je prvi zakon koji uspostavlja vezu između 2 računske operacije, sabiranja i množenja.

Npr. brojevna slika

3 x (4 + 2) = 3 x 4 + 3 x 2

Osim distributivnih zakona sabiranja i množenja uvodi se i distributivni zakon odnosa množenja i oduzimanja

3 x (6 – 2) = 3 x 6 – 3 x 2

◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

d d d d ∅ ∅d d d d ∅ ∅d d d d ∅ ∅

47

◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦


DIJELJENJE

Pojam dijeljenja se izvodi iz realnosti. Prolazi kroz 2 etape:I Etapa konkretnih operacijaII Etapa apstraktnih operacija

I etapa sastoji se iz 3 koraka:

1) Svodi se na uočavanje sheme koja čini skup čiju vrijednost znamo npr. X, ali taj skup vidimo razvijenog na ’’Y’’ jednakobrojnih skupova. Kada rastavljamo skup na jednake brojevne podskupove imamo 2 mogućnosti:

1. može se tražiti broj tih podskupova;2. može se tražiti broj elemenata tih podskupova .

Korisno je rastavljeni skup predstaviti grafičkim putem, Ono je uvijek identično, tj. uvijek se razlikuje po vizuelnoj strukturi.

2) Rastavljanje na navedene situacije izvedene iz realnosti, zapisom x : y, npr. 10 prstiju na 2 ruke 10 : 2; 15 klupa na 3 učenika 15 : 3

3) Određivanje vrijednosti x : y = znpr. 15 : 3 = 5; 10 : 2 = 5

Vrijednost x : y se može odrediti:- prebrojavanjem i putem veze množenja i dijeljenja.II etapa – nastaje kada se dobro usvoji pojam dijeljenja i pređe se na misaono područje. Prelaz sa I na II etapu, u suštini, ide postepeno. Ne prelazi se odmah na brojeve. Na kraju uvidimo pojam dijeljenja, djelilac i količnik i prelazimo na rešavanje zadataka koji su istog tipa kao i kod množenja samo što je ovdje dijeljenje u pitanju.

48


TABLICA MNOŽENJA I DIJELJENJA

Metodičari razlikuju 2 oblika množenja i dijeljenja :- tabličko i - vantabličko

Tabličko množenje podrazumijeva množenje jednocifrenog broja i opet jednocifrenog i množenje jednocifrenog broja brojem 10. Tabličko dijeljenje podrazumijeva dijeljenje jednocifrenog ili dvocifrenog broja jednocifrenim, tako da količnik bude jednocifreni broj.Svi ostali slučajevi množenja i dijeljenja su vantablički. Tabličko množenje i dijeljenje je osnova cjelokupne računske nastave. Zabilježeno je da je Pitagora u IV v.p.n.e. načinio jednu takvu tablicu. Različiti su pristupi usvajanja množenja i dijeljenja. U prošlosti se tablica množenja i dijeljenja učila napamet, tj. mehanički. Savremena matematika zahtijeva da učenici trajno usvoje tablicu množenja i dijeljenja, ali svjesno. Da bi se tablica množenja i dijeljenja usvojila, navike moraju da se sprovedu. Postoje 3 etape:

1. Učenik stvara tablicu množenja;2. Učenik uči tablicu množenja;3. Učenik mehanizuje tablicu množenja.

1. postupak – pravilno uveden pojam množenja i dijeljenja. Kada učenik stvara tablicu polazi se od realnih i jednostavnih primjera. Vrlo važno pitanje, kada je riječ o stvaranju tablice, je kojim redom stvarati tablicu ( od 1 do 10 ili ne). Jedna od varijanti sastoji se u udvostručavanju brojeva:- prvo se obrazuje tablica množenja, brojevi 2, 4, 8;- drugi nivo su brojevi 5 i 10;- treći nivo su brojevi 3, 6 i 9;- četvrti nivo je broj 7.

Ima metodičara koji smatraju da treba poštovati tablicu množenja ovim redom:1) broj 10 i 5 (kao najlakši slučajevi);2) brojevi 2, 3, 4, 6, 7, 8, 93)

Danas se smatra da se tablica množenja i dijeljenja kod nas usvaja sledećim redosledom: 2, 10, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Nema brojeva 0 i 1 jer autori smatraju da množenje tih brojeva predstavlja lakoću.a x 0 = 0; 3 x 0 = 0; 0 : a = a; a ≠ 0a x 1 = a; 3 x 1 = 3; a : 1 = a; 3 : 1 = 3Tablica množenja se može sastaviti na 2 načina:

49

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________1. Stalan je prvi činilac, npr. 3 x 2; 3 x 3; 3 x 4... Koristi se najčešće kod sastavljanja tablice

2. Stalan je drugi činilac, npr. 2 x 3; 3 x 3; 4 x 3... Koristi se najčešće kod utvrđivanja i ponavljanja.

2. postupak – učenik treba da nauči tablicu koju je sastavio, redom ili preko reda.- redom – 2 x 6 = 12; 3 x 6 = 18; 4 x 6 = 24...- preko reda – 6 x 6 = 36; 8 x 6 = 48...

3. postupak – mehanizovanje tablice je mulotrpan posao i težak, mora biti dinamičan i raznovran, a to znači da možemo usmeno kratko ponavljati tablicu redom i preko reda, možemo pismeno i pomoću testova, pomoću tekstualnih zadataka, usmeno rešavati zadatke...

VANTABLIČKO MNOŽENJE I DIJELJENJE

U bloku brojeva do 100 razlikujemo 2 slučaja vantabličkog množenja:1) množenje bez prelaza preko desetice, npr. 30 x 2 = 60; 20 x 2 = 40...2) množenje koje prelazi preko desetice, npr. 28 x 3 = 84; 23 x 2 = 46...

Ne smije se dozvoliti odmah prelaz na pismeno množenje .Kada je riječ o vantabličkom dijeljenju, razlikujemo sledeće slučajeve:

1) dijeljenje dvocifrenog broja jednocifrenim, i to:- bez rastavljanja desetica – 40 : 2 = 20; 69 : 3 = 23- sa rastavljanjem desetica – 50 : 2 = 25; 76 : 2 = 38

2) dijeljenje dvocifrenog broja dvocifrenim i imamo 2 slučaja:- bez rastavljanja desetica – 80 : 20; 55 : 11; 88 : 22...- sa rastavljanjem desetica – 60 : 15; 56 : 14...

69 : 3 = (60 + 9) : 3 = 60 : 3 + 9 : 3 = 20 + 3 = 2380 : 2 = (70 + 10) : 2 = 70 : 2 + 10 : 2 = 35 + 5 =4076 : 2 = ( 60 + 16) : 2 = 60 : 2 + 16 : 2 = 30 + 8 = 38

DIJELJENJE SA OSTATKOM

To je, u suštini, završna faza izučavanja dijeljenja u bloku brojeva do 100, npr.15 : 2 = 7 (ostatak 1); 11 : 3 = 3 (ostatak 2)25 : 4 = 6 ( ostatak 1); 59 : 7 = 8 (ostatak 3); 59 = 7 x 8 + 3

50


DIDAKTIČKI PRINCIPI U NASTAVI MATEMATIKE

PRINCIP NAUČNOSTI PRINCIP VASPITNOSTI (iz didaktike) PRINCIP SVJESNE AKTIVNOSTI (iz didaktike) PRINNCIP ODMJERENOSTI I INDIVIDUALNOSTI PRINCIP SISTEMATIČNOSTI I POSTUPNOSTI PRINCIP OČIGLEDNOSTI

PRINCIP OČIGLEDNOSTI

Specifičnost u očiglednosti u matematici obrazovanja je da su matematički objekti apstraktni, koji nemaju konkretnu interpretaciju u praksi. Mnogi smatraju da je to razlog što učenici teško shvataju pojedine matematičke pojmove. Kada je u pitanju ovaj princip u nastavi matematike svodi de na sledeće:

1. učenici ne identifikuju model i pojam;2. moramo imati u vidu da očiglednost u nastavi matematikeima ograničenu ulogu;

Matematika operiše apstraktnim objektima i cilj je da ih učenici shvate i njima operišu. Na njih se u nastavi matematike oslanjamo dotle dok učenici ne formiraju pojam, a kad ga formiraju prestaje očiglednost.Značaj očiglednosti u matematici obrazovanja u suštini proizilazi iz načina saznanja. ’’Nema ništa u našem razumu što prije toga nije bilo u čulima’’ (senzualistička teorija). Očiglednost se posebno primjenjuje u procesu formiranja pojmova. Pojam se formira na 2 načina:

1. Čulni nivo2. Logički nivo

Očiglednost u matematici možemo podijeliti na: prirodnu vještačku i simboličku

Drugi način je da učitelj dođe sa unaprijed pripremljenim materijalom, radi sa učenicima a oni uviđaju. Greške u nastavi:- učitelj pokaže pravu, ovdje se poistovjećuju pojam i model, što je greška;- pokaže se model kocke, otvori krake na šestaru i kaže: ’’Ovo je ugao.’’

51


PRINCIP NAUČNOSTI

Ovaj princip se u matematici dvojno tumači:1. Da se u nastavi primjenjuju samo naučno provjereni postupci, metode...2. Da sadržaj koji učenici usvajaju bude naučno zasnovan.

Ovaj princip nas stavlja na najveći problem u oblasti matematike, zbog toga što sadržaje treba realizovati prema uzrastu učenika. Sam tok nastave nas tjera da pojednostavimo određene sadržaje. To je moguće na 2 načina:

1. da prihvatimo činjenicu da nastavno gradivo matematikeobrazovanja sadrži značajne i manje bitne elemente. Te pojmove mi izgrađujemo na odeređenim nivoima složenosti;

2. nastava matematike treba biti usklađena, s jedne strane sa strogo naučnim pojmovima, a s druge strane sa uzrastom učenika.

Moguće greške:Ako nastavnik napiše 8+6=14 (jer je sabrao dva neimenovana broja i dobio imenovani)3 + 6 – 4 + 9 – 2 = 9 – 4 = 5 + 9 = 14 – 2 = 125 – 2 + 4 = 3 + 4 = 7Kod ovih zadataka insistira se da se računske operacije odvijaju redom. 5 + 2 x 4 = 7 x 4 = 28 => netačnoKada se formira skup prirodnih brojeva i kaže se da je 0 prirodan broj ’’0’’ nije prirodan broj;Kada se uči osa simetrije

Ovo je duž, a ne osa

Pokaži strane trougla!Paralelne su prave koje nemaju zajedničkih tačaka (greška)Koliko je prirodnih brojeva između 2 i 5? (3 i 4)Posebne greške u ovom slučaju dolaze kada nevješt učitelj daje definicije: Duž je prava sa dvije tačke (prava nije ograničena).

Poluprava je prava ograničena sa jedne strane.

52

◦ ◦ duž

◦ poluprava


PRINCIP INDIVIDUALIZACIJE

Njegova suština u matematici obrazovanja u tome da se u procesu nastave matematike poštuju individualne mogućnosti svakog učenika. Zadatak učitelja je da što bolje upozna mogućnosti učenika da djelovanje može prilagoditi tim mogućnostima. Iz tog proizilazi zahtjev da sposobnijim učenicima treba davati složenije zadatke i zahtjeve. Za realizaciju ovog principa posebno su pogodni:

• individualizovana nastana• individualna nastava• problemska nastava

- Tehnike za primjenu ovog principa su: nastavni listići, programirani materijal, radni listići i udžbenici.- Organizacioni oblici nastave po ovom principu: dopunska, dodatna, sekcije i takmičenja.Ako se u nastavi matematike ne vodi računa o individualizaciji, onda su najbolji učenici pasivni a loši se priključuju.

PRINCIP SISTEMATIČNOSTI I POSTUPNOSTI

Riječ je o ova dva zahtjeva:- za postupnošću i- za sistematičnošću.Važno je da se do pojedinih matematičkih pojmova dolazi preko više pojedinačnih slučajeva, postepeno. Sistematičnost i postupnost u nastavi matematike dolazi do izražaja:1. prilikom izbora u planiranju sadržaja;2. u procesu obrade tih sadržaja;3. nalaže se da se prvo odrede pojmovi, pa termini;4. dolazi do izražaja u svakoj nastavnoj jedinici, svakom nastavnom času.

Sistematičnost i postupnost nas osigurava od rizika da istovremeno obrađujemo sadržaje koji nisu usko povezani ili sadržaja koje učenici nisu prethodno obrađivali.Greške kod ovog principa:- na početku časa se da složen zadatak, učenici tako gube strpljenje;

53

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________- treba zadavati zadatke, od jednostavnih ka složenim.

OBLICI RADA U PROCESU MATEMATIKE OBRAZOVANJA

Frontalni oblik rada – podrazumijeva pojedinačni simultani rad svih učenika jednog odjeljenja na istom gradivu, pod rukovodstvom nastavnika. Najčešće se koristi pri obradi novih sadržaja kada svim učenicima treba dati iste informacije. Bitna obilježja frontalnog oblika rada su: istovremeni rad sa svima u odjeljenju; isto gradivo se obrađuje; nastavnikovo rukovođenje i jedna ista metoda koja se koristi u radu.

Pozitivne strane su: nastavnik u takvoj situaciji može istovremeno da se obraća svim učenicima, ostvaruje se komunikacija sa svima, vrlo je ekonomičan, lako se priprema, ekonomično korišćenje sredstava.

Negativne strane su: nastavni proces je podešen prema prosječnom učeniku, zapostavljeni su i bolji i slabiji učenici, prisiljava učenike da rade istim tempom i na isti način, posebno na časovima vježbanja i ponavljanja. Slabosti se otklanjaju kombinacijom sa drugim oblicima rada.

Grupni oblik rada – učenici ojeljenja se dijele na više grupa od kojih svaka samostalno radi pod rukovodstvom nastavnika. Ovdje je indirektno rukovođenje. Ne postoji strogo utvrđen kriterijum koliko učenika treba da broji jedna grupa – efikasnim se pokazala grupa od 3 do 6 učenika.

Grupe se mogu formirati po: 1. mjestu sjedenja; 2. zajedničkom interesu; 3. težini zadatka; 4. po polu; 5. po mjestu stanovanja; 6. po slobodnom izboru učenika.

Grupe mogu biti trajne i privremene. Nije dobro da se grupe stalno mijenjaju, ali ni da budu uvijek iste. Osnovna karakteristika ovog oblika rada je što je sinteza individualnog rada članova grupe. Varijente grupnog rada su:

a. dvije grupe rade na istom sadržajub. dvije grupe rade na različitom sadržajuc. po dvije grupe imaju iste sadržaje.

Kako organizovati čas sa ovakvim oblikom rada? 1) Frontalnim radom se učenici upoznaju sa ciljem i formiraju se grupe2) Dijele se zadaci po grupama3) Individualni rad po grupama4) Članovi grupe pomažu jedni drugima5) Izvještavanje grupe6) Sinteza svih izvještaja u cjelini.

Prednosti grupnog oblika rada: doprinosi deformalizaciji standardnih odnosa, krutost organizacije razbija se i povećava angažovanje učenika makar u jednom dijelu časa; doprinosi

54

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________individualizaciji i socijalizaciji; podstiče učenika da odradi svoj dio posla; atmosfera za rad je prijatna; razvija se takmičarski duh.

Nedostaci su: učenici dosta vremena mogu utrošiti na nepotrebne stvari, nastavnik mora stalno pratiti rad učenika da bi smanjio njihovo lutanje, teško je pripremiti ovaj oblik rada, nije na pravi način riješen transfer znanja iz jedne u drugu grupu ili ga je teško obezbijediti; nejednaka aktivnost svih članova grpe, troši se relativno dosta vremena.

Rad u parovima – je takav oblik nastavnog rada u kome po dva učenika rade na nastavnom zadatku. Vrlo uspješno se kombinuje sa frontalnim i grupnim oblikom rada. Više se primjenjuje na časovima obnavljanja i vježbanja. Ovim radom se uspješno provjeravaju domaći zadaci. Novi sadržaji se rijetko ovako obrađuju jer postoji veliki broj parova pa je teško utvrditi sintezu i podijeliti sadržaje na veliki broj djelova. Parovi mogu raditi svi na istim zadacima, svi na različitim zadacima, ili jedan dio treba na jednim a drugi dio na drugim zadacima.

Prednosti su: kompenziraju se nedostaci frontalnog i grupnog oblika, povećava se aktivbnost učenika.

Nedostaci su: teško se priprema, teško se obezbjeđuje materijal, nije uvijek ekonomičan.

Uspješnost ovog oblika u prvom redu zavisi od adekvatne pripreme. Najviše se ostvaruje primjenom nastavnih listića, udžbenika. Obavezno je za nastavnika da pripremi dodatne zadatke za one parove koji svoje zadatke riješe prije kraja vremena. Uloga nastavnika je posrednička, ali je značajna kod davanja uputa.

Individualni oblik rada – učenik u okviru odjeljenja samostalno radi. Karakteristike ovog oblika rada su: samostalan rad učenika na istim sadržajima, sam provjerava tačnost svoga rada.

Prednosti ovog oblika rada su: maksimalno aktivan je učenik, traži punu koncentraciju od svakog pojedinca. Čas, po pravilu, ima 3 faze:

1. frontalni oblik rada (uvod, podjela zadataka, isticanje cilja časa, uputstva);2. samostalan rad učenika;3. ako je potrebno da se izvrši integracija individualnog rada pojedinih učenika.

U literaturi nalazimo 2 vrste shvatanja individualnog oblika rada:1. individualni rad sa nediferenciranim zahtjevima;2. individualni rad sa diferenciranim zahtjevima.

55


PROGRAMIRANA NASTAVA

Ova nastava predstavlja novi prilaz nastavi matematike obrazovanja. Pojava ove nastave je rezultat potrebe da se nastava matematike podigne na najviši nivo efikasnosti. Mužić: ’’Zadatak programirane nastave je precizno određen, gradivo sistematično razrađeno, izlaganje gradiva vrši se u malim elementarnim dozama, aktivnost učenika, obezbijeđena je stalna povratna informacija, napredovanje zavisi od usvojenosti prethodnog gradiva, omogućena je individualizacija nastave, osigurana je njena egzaktno dokazana uspješnost.’’Programirana nastava je spoljni oblik koji obuhvata neki matematički sadržaj (udžbenik, zbirka, traka). Program je sadržaj programske matematike, često se ova dva pojma upotrebljavaju zajedno. Program se sastoji iz dvije ili više programskih sekvenci a svaka sekvenca je sastavljena od određenog broja članaka. Sekvenca je određena logička i sadržajna cjelina. Članak je osnovni dio gradiva. Bitno je da damo uputstvo nastavnicima da izrade programske materijale:

1. korak – izbor gradiva koje će se programirati;2. operativno određivanje zadataka programa. Zadatke programa treba izraditi na što više

nivoa operativnosti; 3. sastaviti instrumente za kontrolu uspjeha;4. određivanje potrebnog početnog nivoa znanja učenika da bi prešao na programsko

učenje;5. vršimo analizu gradiva;6. organizacija i sistematizacija gradiva.

56


PLANIRANJE I PRIPREMANJE U PROCESUMATEMATIČKOG OBRAZOVANJA

Planiranje podrazumijeva aktivnost nastavnika na obradi godišnjeg i mjesečnog plana rada. Pripremanje je aktivnost nastavnika koja se odnosi na projektovanje rada na samom času. Makro-planiranje podrazumijeva izradu godišnjeg plana. Mikro-planiranje je pripremanjekonkretne vaspitne jedinice. Planiranje obezbjeđuje obradu cjelokupnog gradiva, ravnomjernost obrade, korelaciju među različitim nastavnim predmetimam blagovremenu pripremu nastavnih objekata i sredstava. Makro-planiranje (godišnji i mjesečni plan rada):

1. nastavni plan i program2. godišnji plan i program škole3. godišnji plan rada.

Godišnji plan rada mora da sačini svaki nastavnik. Pri tom mora poštovati određene zaključke:1. plan mora biti realan i ostvariv (mora biti saglasan sa uslovima u kojima će se realizovati

i mogućnosti učenika na koje se odnosi, uslovi su specifični);2. da se utvrdi količina i složenost gradiva;3. redosled obrade - mora se imati u vidu princip postupnosti;4. svi mjeseci nisu jednako produktivni.

PRIPREMA ZA ČAS MATEMATIKEU ČISTOM ODJELJENJU

Zakon obavezuje svakog nastavnika da se priprema. Pravilnik određuje 50% vremen azapripremu. Pisana priprema može biti:- posredna – prethodno upoznavanje nastavnika, znanja, interesovanja...- neposredne – podrazumijeva analizu cilja pripremanja sadržaja, didaktičko-metodička priprema, vaspitne mjere i postupke, vremenska struktura časa.

MOGUĆI MODEL PRIPREME ZA ČAS MATEMATIKE

I strana:Univerzitet u Istočnom SarajevuFilozofski fakultet – PaleStudijski predmet – Metodika matematičkog obrazovanja

57


Priprema za čas matematike

Profesor, Student,

________________________ ________________________

Pale, 2006.

II strana:

1. Opšti podaci

ŠkolaDatum VrijemeRazredMentor

2. Operativni podaci Nastavna jedinicaTip časa (obrada, utvrđivanje)Zadaci časa: obrazovni, vaspitni, funkcionalniNastavna sredstvaOblici radaNastavne metodeIII strana

Plan rada na času

Djelovi časa Faze radaNastavne

metode Oblik rada MjereUvodni dioGlavni dioZavršni dio

IV strana: list podijeliti na dva dijela

Uvodni dio

Glavni dio U naznakama razraditi pitanja za učenike i očekivane odgovoreZavršni dio

58

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________V strana: Izvodi za pripremanje (literatura)

VI strana: Prilozi

VII strana: Napomena

PRIPREMA ČASA U KOMBINOVANOM ODJELJENJU

Zahtjeve koje treba da ispuni planu kombinovanom odjeljenju:1. piše se tako da je vidljiva relativna samostalnost svakog nastavnog časa;2. mora biti vidljiva artikulacija velikog nastavnog časa, u prvom redu mora biti vidljiva

smjena direktne i indirektne nastave;3. mora biti u pripremi tačno određeno trajanje pojedinih etapa časa;4. mora biti sadržajna i pregledna da bi je mogao koristiti učitelj na času;5. pripreme se pišu po principu – jedan čas, jedna priprema

DATUM RAZREDI II III IV

Nastavni predmetNastavna jedinicaTip časaNastavna sredstvaCilj i zadaciTok časa2 min.6. min. Direktni rad Samostalni rad8 min.

59


PRIPREMA ZA AKTIVNOST U PREDŠKOLSKOJ USTANOVI

Predškolska ustanova je karakteristična po tome što se u njoj vrše pripreme za aktivnost. I tu se prave godišnji i mjesečni plan.

Usmjerena aktivnost kod djece – mogući model pripreme –

Priprema za aktivnost formiranja matematičkih pojmova:I Opšti podaci:Predškolska ustanovaDatumVrijemeGrupa djeceVaspitačII Operativni podaciTema aktivnostiIII Tok aktivnosti

SLOBODNA AKTIVNOST

Vaspitno-obrazovni zadaci slobodne aktivnostiTok slobodnih

aktivnosti Nastavne metodeNastavna sredstva Oblik rada Vrijeme

USMJERENA AKTIVNOSTZADACI: Materijalni

1) OBRAZOVNI Formalni2) VASPITNI

60


VEZA SA DRUGIM AKTIVNOSTIMA1) Pripremna faza Nastavne metode blik rada

Nastavna sredstva Vrijeme

2) Radna,operativna faza3)Verifikativna faza

ANALIZA

NAPOMENE

1. Pripremna faza – pretpostavlja da se na interesantan način, uz organizovanu igru,ponove usvojeni pojmovi vezani za temu usmjerene aktivnosti. U ovoj fazi se djeca motivišu, izaziva njihov interes za ono što će raditi u usmjerenoj fazi. Pripremaju se didaktička sredstva i kutak u kome će se aktivnost organizovati. Stvara se radna atmosfera – što se ovdje postiže pričom, igrom, takmičenjem, mimikom isl.

2. Radna faza – dramatizacija pjesama gdje se i na druge načine mogu istaći zadaciaktivnosti uz spominjanje pojmova u okviru te aktivnosti. Zatim se daju informacije o pojmu, razgovorom o pojmu podstičemo misaonu aktivnost. Sve ove aktivnosti ponavljamo tako da se što veći broj djece uključi u razgovor. Ponavljanjem stičemo uvid u njihovo stečeno znanje.

3. Verifikativna faza – djeca treba da povežu tek naučeno sa prethodno naučenimpojmovima. Mogu se dovesti u situaciju da konstruišu nove pojmove. Djeci treba pustiti na volju da slobodno smišljaju, oblikuju, povezuju i sl. Djeca treba na kraju da osjete zadovoljstvo i radost saznavanja.

4. Analiza – treba da pokaže da li su ostvareni zadaci, šta bi trebalo mijenjati ili navestirazloge neuspjeha.

5. Vrijeme – je usmjereno na nekoliko faktora:- zavisi od postavljenih zadataka;- zavisi od režima u obdaništu;- prirode sadržaja i sadržaja drugih aktivnosti.

Treba nastojati da planiranje vremena bude što realnije. Vrijeme se postavlja elastično, u 2 smjera – bilo da se može skratiti ili produžiti.

Pri organizaciji neke aktivnosti više treba gledati u djecu, nego u sat. Oni određuju trajanje aktivnosti.

61


PISANA PRIPREMA ZA AKTIVNOSTFORMIRANJA METEMATIČKIH POJMOVA

Predškolska ustanova:

Grupa:

Broj djece u grupi:

Tema aktivnosti: Formiranje broja 10

Materijalni: Funkcionalni:Razvijanje sposobnosti shvatanja kvantitativnog odnosa i sposobnost apstrahovanjaVaspitni zadaci: Razvijanje estetskih sposobosti, takmičarskog duha, kolektivnog duha, prijatne i radne atmosfere.

Aktivnosti:uviđanje, rezonovanje, otkrivanje

Tok usmjerene aktivnosti

PRIPREMNA FAZA

METODA RADA OBLIK RADA DIDAKTIČKA SREDSTVA

Pokaže se velika slika na kojoj su svi oblici prikazani po jedan

- Dijaloška metoda- Ilustarativna metoda

- Frontalni- Individualni

Crtež

Razgovor o slici vodi se sledećim pitanjima:Šta vidimo na slici?Imenujemo sve što vidimo (jedan potok, jedan cvijet)

62


RADNA (OPERATIVNA)

FAZA


Zadatak: formiranje pojma broja 1 tako što

ćemo učenicima staviti plakat s 4 slike koje predstavljaju broj

Sliku ’’jedan’’

Vodimo razgovor o slikama: Šta vidimo na slikama? (ovcu koja pliva, slona koji trči, pticu koja igra vaterpolo...)Šta je tu neobično? ( To što ovca pliva, slon trči i sl.)Šta je to maraton? (Ako djeca ne znaju onda objasniti)Šta je to vaterpolo? JEDAN – jedna ovca u bazenu pliva; jedan hrabri slon trči maraton; jedno ptiče golo igra vaterpolo; jedan poljski cvijet igra rukomet

63


SLIKOVNE NOTE

Prvo vaspitač izvadi brojalicu udarajući u rimu brojalice. Pri uvježbavanju pokazujemo u brojevne note (trajanje tonova). Nakon izvođenja, pokušaćemo da formiramo skup od jednog elementa. To ćemo uraditi na sledeći način: ispred nas se nalaze 3 obruča i zahtijevamo od jednog djeteta da formira skupove od djece koja nose naočare (uočavamo da samo jedno dijete ima naočare), zatim od drugog djeteta tražimo da formira skup djevojčica koje imaju mašnu u kosi (samo jedna je ima), od trećeg djeteta da formira skup od djece koja imaju ljubičasti džemper (uočavamo da ga samo jedno dijete nosi). Postavljamo pitanje:- Koliko ima djece sa naočarima?- Koliko ima djevojčica sa mašnama?- Koliko ima djece sa ljubičastim džemperom?

Konstatujemo da je odgovor na ova 3 pitanja 1, to znači da se pred nama nalaze 3 skupa od po 1 elementa.

ILUSTRATIVNO-DEMONSTRATIVNA

METODA

FRONTALNI I INDIVIDUALNI RAD

ILUSTRACIJA BROJALICE

64


Analiza: u aktivnosti su zastupljen 4 faze u okviru znanja.

1. Davanje informacija – vrši se prikazivanje slike na kojo su svi oblici prikazani po jedan.2. Primjena misaonih operacija – nakon odgledane slike djeca odgovaraju na pitanje, npr.

Koliko ima drveća?3. Formiranje matematičkog pojma – pojam broja jedan formira se putem brojalice

’’Jedan’’ i skupova od jednog elementa.4. Provjera – vršimo je prebrojavanjem elemenata ilustracijama (jedna ovca, jedan slon,

jedan poljski cvijet i sl.)

Zastupljene su i sve 4 faze usvajanja znanja:

1. Utvrđivanje stečenih znanja – djeca formiraju skup sa po jednim elementom;2. Povezivanje stečenih pojmova sa ranije stečenim – ogleda se u formiranju pojma broja 1

putem skupa od 1 elementa, što su djeca ranije usvojila;3. Primjena – primjena stečenih pojmova se ogleda upisivanjem cvjetića u kvadrat skupa.4. Ponavljanje – vršimo ponovnim nabrajanjem i imenovanjem elemenata sa slike.

Muzički trenutak – ovdje je predstavljen kao brojalica, u radnoj fazi i predstavljen sam sadržaj aktivnosti.Muzički zadatak – usvajanje osjećaja za ritam u četvrtinskom taktu, razlike u izgovoru kratkih i dugih slogova, izvođenje i doživljaj pomaže razvijanju muzičkog pamćenja, njegovanje estetskih osjećaja i ljubavi za muziku.

VERIFIKATIVNA FAZA


- Svakom djetetu se podijeli papir sa

skupovima, gdje se nalazi

samo 1 element u kvadratiću, pored

njega nacrtani cvjetić

Metoda rešavanja ◦◦problema

Individualni Ilustracija:crteži

♣

♣

♂

☺

65


FORMIRANJE GEOMETRIJSKIH POJMOVA

Uvođenje djece u probleme geometrijskih zadataka za nastavnike i vaspitače je prilično složeno. Ono što je sa stanovišta nastave najvažnije to je da nastavnik poznaje mogućnosti učenika datog uzrasta.

Postoje 3 ciklusa značajna za geometriju:1. početni ciklus ( 7 - 11 god.)2. srednji cikljus (11 – 15 god.)3. viši ciklus (15 – 19 god.)

Karakteristike ovih ciklusa sa stanovišta geometrije su:

1. Prvi ciklus – je ciklus u kome se geometrijski objekti otkrivaju preko fizičkih tijela u realnom okružanju. Ta tijela materjalizuju geometrijske pojmove. Osim fizičkih tijela geometrijske objekte učenici otkrivaju putem didaktičkog materijala, modela, slika kojim se geometrijski objekti predstavljaju. Ti didaktički objekti se shvataju kao cjeline koje se poznaju po obliku, a ne poizdvojenim elementima i njihovim svojstvima. Neke elemente učenik može uočiti i iskazati retorički i kroz aktivnost crtanja, modeliranja, ali je opažanje u prvom planu, a ne analiza. Kada je u pitanju prvi razred ne treba insistirati da učenici prepoznaju elemente od kojih su sastavljeni. Dovoljno je da ih razumiju po spoljašnjem obliku, što učenicima nije teško da nauče. Oni lako razlikuju kocku, romb, loptu i sl. ali teško uvide zajedničko svojstvo tih figura.

66

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________To tek u drugom i trećem razredu uočavaju. Četvrti razred dozvoljava da uspostavi vezu između neke figure i njenih svojstava, te da ih iskazuju definicijama.

2. Drugi ciklus – karakteriše tzv. logička klasifikacija objekata. Tada je učenik sposoban za tzv. lokalne dedukcije. Osnovni geometrijski objekti su formirani, ali o njima imaju intuitivno značenje. Činjenice se shvataju izolovano, a ne kao polazni stav složenijih činjenica.

3. Treći ciklus – učenici shvataju dedukciju, zaključivanje, ulogu aksioma, smisao dokaza i sl. Pijaže ističe da djeca geometrijske pojmove shvataju redom koji je obrnut istorijskom redu njihovog nastanka. Ističe da djeca na uzrastu do 3 godine mogu da razlikuju otvorene od zatvorenih linija, položaje unutar ili izvan. Osnovna intencija našeg programa je da insistira na dvije stvari:- geometriji oblika i- geometriji mjerenja.

Metodički je opravdano geometrijske sadržaje, kad god je moguće, povezivati sa drugim sadržajima početne matematike. Kada je u pitanju redosled izučavanja geometrijskih sadržaja, prvo se usvajaju oblici geometrijskih tijela, te ravne i krive površine, predmeti oblika kruga, pravougaonika, te linije: prava, poluprava, duž, tačka, zatim ugao a tek onda svojstva nekih geometrijskih tijela i figura.

UOČAVANJE PREDMETA, OBLIKA:LOPTE, VALJKA, KUPE, KOCKE, PIRAMIDE I KVADRATA

Primarno je da učenici budu osposobljeni da uočavaju oblike pojedinih predmeta. Sekundarni cilj bi bio osposobiti učenike da zapažaju svojstva tih predmeta. Za MMO su važna 2 pitanja:

1. kojim redosledom uočavati navedene predmete i 2. pitanje metodičkog pristupa izučavanja tih predmeta.

Odgovor na prvo pitanje je: Za prve predmete treba birati loptu i kocku, zato što ih učenici bolje poznaju jer se sa njima češće srijeću. Sa kvadratom ne treba odmah početi zato što je to za njih malo teži termin. Poslije lopte i kocke se upoznaje kvadrat, zatim valjak, kupa i na kraju piramida.

Kako to upoznavanje izvesti? Jedno od mogućih riješenja je da nastavnik na sto stavi predmete raznih oblika od različitih materijala. Dobro je da među njima bude najveći broj predmeta oblika lopte i kocke. Malo ćemo se igrati sa tim predmetima. Pokaže se lopta i zahtijeva od učenika da izaberu sve predmete istog oblika i, kad izdvoje sve lopte, onda se razgovara o loptama: po čemu su slične, po čemu se razlikuju? Slične su po obliku i tako uvodimo termin, pojam lopte. Na početku ne govorimo da je to lopta.

Kad su shvatili termin lopta traži se od učenika da kažu gdje su sve vidjeli taj oblik. Razgovara se o materijalu od kog je napravljena. Isti postupak se može upotrijebiti i kod drugih predmeta s tim, što proces ide sve brže.

67


Kada su pojmovi dobro uočeni i shvaćeni onda se postepeno traži da učenici zapažaju i iskazuju svojstva tih geometrijskih tijela npr. da se lopta i valjak mogu kotrljati a kocka, kvadrat i kupa ne mogu. U prvoj fazi upoznavanja oblika nije preporučljivo prikazivanje slika. Pojam tijela se formira na osnovu modela. Tek kad učenici budu dobro osposobljeni da razlikuju predmete mogu se koristiti i slike.

Kasnije se uvodi pojam površi, koja odvaja tijelo od prostora. Površ shvatamo kao granicu koja odvaja tijelo od ostalog prostora. Tako učenici uočavaju ravne i krive površi, da znaju reći da je kupa i valjak ograničena i sa ravnim i sa krivim površima te da prebroje te površi.

UOČAVANJE GEOMETRIJSKIH FIGURA:KRUG, TROUGAO, PRAVOUGAONIK I KVADRAT

Ove figure se, sa stanovišta metodike, mogu uočavati na nekoliko načina:1. predmeti iz okoline (predmeti, sto)2. modeli geometrijskih tijela3. mogu se uočavati kao samostalni geometrijski objekti.

Ako je u pitanju uočavanje na geometrijskim tijelima paralelno sa uočavanjem, učenici treba da ih uočavaju povlačeći prstima po konturi površina, na taj način, osim vizuelnog i tjelesno uočavaju.

Ako krug, trougao, pravougaonik i kvadrat uočavamo kao samostalne objekte, metodički postupak je sledeći: pripreme se modeli i učenici izdvajaju jedan pokazani. Uočavaju se razlike, sličnosti, odbacuju nepotrebne stvari, usvaja se termin, usvaja pojam, fizičke aktivnosti. Vježbe koje su moguće:

68


Koliko trouglova ima na slici?

Koliko ima pravougaonaika na slici?

Ovi zadaci su korisni za razvijanje fluentnosti kao komponente stvaralačkog mišljenja.

Kada je riječ o trouglovima treba insistirati na imenovanju trouglova po osobinama njihovih stranica. Metodički je pravilno upoznati - različitostranične, - jednakostranične i - jednakokrake.

Ispitivanja su pokazala npr. Da je upoznavanje predmeta navedenog oblika olakšano ako učenik crta te predmete. Naročitu teškoću predstavlja crtanje kvadrata i pravougaonika.

LINIJE

Linija je granica između dvije površi, ali je možemo proučavati kao granicu neke oblasti. Ako bi strogo matematički posmatrali liniju, ona nije ništa drugo ne go putanja jedne ravni. Za učenike je prihvatljivo da je shvate kao trag olovke na papiru pod uslovom da se zanemari debljina traga. Veliki broj metodičara smatra da se do pojma linije može doći korišćenjem didaktičkih materijalakao što su: žica, konac sa zanemarivanjem debljine. Zategnut konac asocira na pravu liniju, a nezategnut na krivu liniju.

Kad je u pitanju prava linija do njenog pojma može se doći presavijanjem papira. Na sličan način uočavamo i krive linije. Program zahtijeva, kada se obrađuju krive linije, da se steknu i pojmovi otvorena i zatvorena kriva linija. Problem je u tome da učenik izgradi kriterij po kome može tvrditi da je jedna linija otvorena ili zatvorena. Jedan kriterij – od konopca se napravi zatvorena linija, stavi se kliker i traži da izvade kliker bez dodirivanja konca. Formira se pojam izlomljene i neizlomljene krive linije. Linije imaju još jedan kriterij a to je da određenu oblast

69

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________dijele na unutrašnjost i spoljašnjost. Kad se steknu ti pojmovi treba zahtijevati da se crtaju modeli. To crtanje mora biti slobodnom rukom, a tek na kraju se koristi lenjir i krivulja za krive.

Kad je u pitanju crtanje onda je nastavnik dužan da skrene pažnju na:1. pripremljenost olobvke2. nagib pod kojim olovka treba da stoji3. pritisak olovke na papir4. položaj lenjira i olovke (uvijek iznad lenjira)5. crtati liniju jednim potezom.

Poslije pojma linije formira se pojam tačke. Tačka se shvata kao presjek dvije linije. Kod formiranja pojma tačke moraju biti prisutna 3 slučaja:- insistira se na njenom obilježavanju A, B, C- spajanjem dvije tačke dobijamo duž;- kod duži treba insistirati na tome da učenici shvate da i krajnje tačke duži pripadaju duži, tj. da i tačke određuju duž;- poslije duži formira se pojam prave;- ako duž produžimo preko tjemena A i B, vidimo da prava nema krajnjih tačaka.

Pojam poluprave na modelu A

Prava ima početnu tačku ali je neograničena.

POJAM UGLA

Možemo formirati statički i dinamički. Dolazimo do pojma ugla – dvije prave se sijeku u jednoj tački

Nakon toga se traži da učenici nacrtaju što više različitih uglova. Kada je riječ o didaktičkom pristupu, ugao nastaje obrtanjem poluprave oko početne tačke.

70


Upoređivanje uglova vrši se izrezivanjem i nanošenjem jedan na drugi da se poklope tjemena i jedan krak. Treba izdvojiti slučaj pravih koje se sijeku i uglova koji nastaju, Karakteristika je kada su sva 4 ugla jednaka. Jedan od zaključaka je da su svi pravi uglovi međusobno jednaki i presjek su dvije poluprave. Prvo upoznamo pravi ugao a zatim oštri i tupi.

MJERENJE I MJERE U POČETNOJ NASAVI MATEMATIKE

Program predviđa mjere dužine, površine, zapremine, mase i vremena. Značaj ovih sadržaja je u tome što težimo da nastavu matematike stavimo u funkciju rešavanja životnih problema. Zadatak učitelja ovdje je:

1. Učenici treba da steknu konkretne pojmove o jedinicama mjera;2. da ovladaju postupcima mjerenja;3. da izražavaju rezultate različitim jedinicama;4. da obavljaju računske operacije sa imenovanim brojevima.

71

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________Na osnovu svojstva zbira otkrivamo važno svojstvo mjerenja – zbirni broj neke veličine jednak je zbiru mjernih brojeva njenih djelova. Mjerenje ja proces kojim se nekom prirodnom objektu dodjeljuje odgovarajući broj. Kako se mjeri? Mjeri se tako što se izabere objekat iste prirode kome se dodaje broj 1 i nativa jedinica mjerenja, pa se ona i objekat upoređuju. Što je rezultat mjerenja? To je mjerni broj veličine koji pokazuje koliko se puta jedinična veličina mjeri. Mjerenje je preciznije ako je jedinica mjere manja. U principu, mjerenje može biti direktno i indirektno.

MJERENJE DUŽINE

To je prvi susret učenika sa mjerenjem veličina. Prvi korak u formiranju pojma dužine je dovođenje učenika u situaciju u kojoj imaju potrebu da mjere. Metodički postupak za izgrađivanje pojma dužine može uključiti sledeće faze:

1. Mjerenje dužine relativnim jediničnim dužinama;2. mjerenje dužine konstantnim dužinama;3. mjerenje dužine jediničnim dužinama od 1 cm, 1 dm, 1m.

Mjerenjem se upoređuju dvije dužine – ona koja se mjeri i ona kojom se mjeri. Problemska situacija – Šta da učinimo da odredimo dužinu učionice? Da li bi neko, ko nije vidio učionicu, imao predstavu kolika je dužina te učionice? Javlja se potreba da se istakne da postoji jedna jedinična dužina – 1m pa 1km...

MJERENJE POVRŠINE

Može biti direktno i indirektno. Osnovni zahtjev – učenici se dovode u situaciju da osjete potrebu da znaju neku površinu.

Prvo dajemo površine za koje učenici mogu da odrede koja je od površi manja a koja veća. - Fizičko manipulisanje;- Dajemo im 2 figure da ih uporede.

MJERENJE VREMENA72


Djeca vrijeme shvataju uzročno-periodično. Najpogodniji primjer je od izlaska do zalaska sunca. Polazi se oda dana u sedmici. Najteže je djeci da poistovjete dan sa 24 časa.

TIPOLOGIJA ČASOVA

Osnovni kriterij za određivanje tipa časa – kriterij je dominirajući cilj časa. Pinter razlikuje kombinovani čas, čas obrade novog gradiva, čas utvrđivanja i

ponavljanja, čas provjeravanja znanja, vještina i navika.M. Nikolić razlikuje čas obrade novog gradiva, čas vježbanja, čas provjeravanja,

kombinovani čas. Treba biti oprezan kod utvrđivanja tipa časa – kombinovani (ako postoji više ravnopravnih ciljeva – a to je rijetko).

1. Obrada novog gradiva – Novo gradivo je metodički cilj. Pri tom su sve etape časa podređene i stavljene u funkciju novog gradiva. Kada je u pitanju čas obrade novog gradiva u početnoj nastavi matematike nema časova koji su u potpunosti posvećeni obradi novog gradiva,

73

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________jer se učenici ne moraju koncentrisati tako dug period, niti mogu usvojiti toliko gradiva. Iz tog razloga, početnu nastavu matematike karakteriše obrada gradiva u manjim porcijama, segmentima, intervalima ali su ti intervali prisutni na svakom času.

2. Čas utvrđivanja i ponavljanja – Znanje se može utvrđivati vježbanjem i ponavljanjem (primjera naučenog i rješavanja određenih konkretnih problema sprečava se zaboravljanje naučenog i osigurava trajnost zananja). Ponavljanje i vježbanje su neodvojivi dio svakog časa. Neki metodičari govore o tzv. pripremi ponavljanja. tj. o ponavljanju koje se obavlja na početku školske godine, početku drugog polugodišta, kao i prije početka obrade neke nove nastavne cjeline. Najmanje problema ima kod strukture časa obrade ali svi se teže snalaze kada treba da odrede strukturu časa utvrđivanja. Ta struktura bi mogla da ima sledeće etape:

a. obnavlja se znanje i provjeravaju umjeća i navike potrebne za rešavanje zadataka;b. vrši se ponavljanje i vježbanje;c. provjeravanje rešenja i izvođenje zaključaka;d. zadavanje domaćih zadataka.

Na ovom tipu časa potrebno je obezbijediti što više samostalnog rada učenika. U ovu grupu časova spadaju i tzv. časovi sistematizacije gradiva. Sistematizacija se organizuje nakon obrade jedne ili nekoliko srodnih nastavnih tema i na kraju prvog i drugog polugodišta. Čas utvrđivanja i ponavljanja pruža izuzetne prilike i mogućnosti da se gradivo iz različitih oblasti osmišljeno povezuje. Posebna opasnost kod vježbanja i ponavljanja je u tome što nevješt nastavnik nastoji da doslovno reprodukuje ono što je urađeno na prethodnom času. To je svojevrsna metodička diverzija koja nanosi posebnu štetu. Nastavnik mora provjeriti kako će stečeno znanje iskoristiti u situacijama koje se razlikuju od onih kod kojih je već korišteno. S obzirom na činjenicu da je ovdje dominantan oblik rada individualni, onda je neophodno obezbijediti kontrolu tog rada. Drugi aspekt je osposobiti učenike da sami vrše kontrolu svog rada, jer matematički sadržaji su, po svojoj prirodi, takvi da pružaju šansu učeniku da provjeri svoje rešenje. Bolje je riješiti manje zadataka na više različitih načina, nego veći broj zadataka na brzinu. U tome se ogleda didaktičko-metodička vrijednost zadataka.

3. Čas provjeravanja znanja, vještina i navika – osnovni aksiom je da, provjeravanje u početnoj nastavi matematike bude nepredvidivo. To je kontinuirani proces i sastavni dio matematike obrazovanja. Provjeravanje je prisutno, manje-više, na svakom času. Učenik ne smije biti stavljen direktno u situaciju da odgovora za ocjenu pet minuta. Provjeravanje se, po pravilu, organizuje na kraju časa. Može se pristupiti na više načina. Može i na kraju časa, blic pitanjima iz bilo koje teme, dijagnostifikovati stanje, da vidi ima li problema u toj temi. Posebno

je efikasno ako će nam sadržaji te teme biti osnova za pripremanje novih sadržaja. Možemo vršiti provjeru i pismenim putem. Učenici se stave u situaciju da rešavaju individualno zadatke.

4. Kombinovani čas – prisutanje samo onda ako nanjemu treba realizovati nekoliko ravnopravnih metodičkih ciljeva. Njega karakteriše i približno isto vrijeme trajanja etapa na kojima se ciljevi realizuju. Treba izbjegavati korišćenje kombinovanog tipa časa. - Razviti sposobnost zaključivanja putem analogije;- uvježbati primjenu analize u rješavanju matematičkih zadataka;- jačati sposobnost za generalizaciju.- usavršavati zaključivanje nepotpunom indukcijom;- vaspitni ciljevi.

74


VASPITNO-OBRAZOVNI ZADACI ČASA

Polazna osnova je sadržana u programu matematike za konkretni razred. Program matematike ima definisan cilj, zadatke, sadržaje, didaktička uputstva. Značajne su mnoge taksonomije, npr. Blumova taksonomija klasifikuje sledeće: znanje, shvatanje, primjena, analiza, sinteza i evaluacija.

ETAPE NASTAVNOG ČASA

U klasičnom sistemu etape nastavnog časa su: 1. priprema i 2. obrada novog gradiva, ponavljanje, vježbanje. Čas se može raščlaniti na sledeće elemente: a) uvodni dio b) glavni dio c) završni dioS obzirom da čas trake 45’, važno je pitanje trajanja etapa. Ne postoje stroga pravila, sve zavisi od sadržaja, uzrasta, didaktičko-metodičkih sredstava, kulture nastavnika.... Uvodni dio (5-10 min.), glavni dio (25-30 min.) i završni dio ( 10-15 min.).

Uvodni dio časa – Osnovni cilj je da se učenici pripreme za aktivnost u glavnom dijelu časa. Priprema obuhvata:- sadržajni aspekt – ponavljanje matematičkog znanja koje će poslužiti kao osnova za dalji rad u glavnom dijelu;- psihološki aspekt – motivacija učenika za aktivnosti u radu, podsticanje interesa za učenje, ohrabrivanje i podsticanje učenika, stvaranje prijatne atmosfere u odjeljenju. Obavezan elemenat psihološke pripreme je upisivanje nastavne jedinice na tabli. - tehnički aspekt – sastoji se u izdvajanju i pripremi neophodnih izvora znanja i tehničkih uređaja koji će biti korišćeni na času.

Aktivnost uvodnog dijela časa: a) pregledanje domaćih zadataka, koji predpostavljaju komentar tačnih i netačnih rešenja za rad u glavnom dijelu časa; b) postavljanje par pitanja, da se učenici ucvedu u problem; c) zadaci se mogu i, u pismenoj formi postaviti učenicima.

Sadržaj rada u uvodnom dijelu časa treba postaviti tako da iz njega prirodno proističe nastavna jedinica koja će biti obrađena u glavnom dijelu časa.

Glavni dio časa – Ovdje se, u najvećoj mejeri ostvaruju, cilj i zadaci časa. Ovdje je osnovni zadatak, kada je u pitanju obrada novih sadržaja, da sve aktivnosti budu usmjerene u jednom pravcu. Tek kad usvojimo ideju idemo ka povezivanju sadrtžaja, učenici polaze od konkretnih primjera i trba ići postupno.

Završni dio časa – U suštini zavisi od projektovanih aktivnosti u uvodnom i glavnom dijelu časa. Još jednom skrećemo pažnju učenicima na činjenice, sadržaje...Nastojimo da sadržaje sažmemo u jednu cjelinu. Časovi bez ovog dijela se smatraju nedovršenim. Uzrok što nema ovog dijela je što se nastavnik nije pripremio. Mnogi nastavnici smatraju da ovaj dio časa nije važan, zaboravljajući da je to sinteza i, sadržinski i psihološki važno, kao i za aktavnosti u glavnom dijelu časa.

75


UČENIČKE AKTIVNOSTI

One se biraju tako da se njima najbolje ostvari cilj časa. Potrebno je da učenici samostalnim aktivnostima stiču znanja i da ih primjenjuju. Potrebno je birati one sadržaje koji najviše doprinose ostvarivanju cilja časa. Biramo metode u zavisnostai od sadržaja, cilja i uzrasta. Na prvom času koristi se više metoda. Pri matematičkom oblikobanju vodi se računa o obliku rada. Dominira frontalni oblik rada, ali se trebaju kombinovati oblici rada.

Izvori znanja i tehnički uređaji – Treba razmišljati o cilju upotrebe, vrsti sredstava koja ćemo koristiti, vrijeme upotrebe i način. U matematici obrazovanja izvori znanja u učenju su sve ono do čega učenik može doći, da mu to bude razumljivo.

ORGANIZACIJA ČASA MATEMATIKEU KOMBINOVANOM ODJELJENJU

Ovdje je osnovni problem u obezbjeđivanju istovremene kombinacije sa više razreda. Vrijeme treba rasporediti tako da se usvim razredima realizuje ono što se u istom odjeljenju realizuje za 45 min. Ali, kod realizacije časa moramo biti svjesni sledećeg: da to što mi nastavni program realizujemo u specifičnim uslovima ne daje nam za pravo da sadržaje, ciljeve i zadatke realizujemo u manjem obimu. Organizacija rada, sama po sebi, primorava učitelja da više forsira samostalni rad učenika ali to ima i pozitivan efekat na učenje. Da bi organizacija časa bila uspješna potrebne su neke pretpostavke a to su: fleksibilan raspored časova, elastični mjesečni plan rada i adekvatna priprema za čas. Nema racionalne organizacije časa u ovakvom ojeljenju

76

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________statičnim rasporedom. Bitna je efikasnost, a ne formalizam. Sadržaj rada treba da određuje strukturu rasporeda, a ne obrnuto. U toj organizaciji rada imamo 2 varijante:

1. da svi u isto vrijeme imaju matematiku2. da učenici jednog razreda imaju matematiku, a ostalih razreda druge časove.

Istovremeno održavanje nastave matematike u svim razredima planira se unaprijed, po principu vertikalne integracije sadržaja. Kada pravimo mjesečni plan, planiramo da slične ili iste teme istovremeno angažujemo. Najefikasnija je kombinacija kada se rad u jednom razredu može organizovati tako da bude dominantan jedan oblik rada. Pri izradi mjesečnog plana rada polazimo od mjesečnog plana časova i pazimo da se obrada u jednom razredu odvija paralelno sa utvrđivanjem u drugom razredu. Neprihvatljiva je praksa da učitelj piše pripreme za kombinovano odjeljenje u različitim sveskama. Priprema se piše po principu – jedan čas, jedna priprema. Samo takva priprema je korisna i obezbjeđuje svrsishodnu didaktičko-metodičku strukturu i vremensku ekonomičnost, kako u cjelini, tako i u djelovima – najvažnije je da se ne gubi vrijeme.

U instrukcijama se uvijek mora dati uputstvo koliko vremena imaju:- više vremena posvetiti učenicima koji usvajaju novo gradivo;- više vremena, u neposrednom radu, posvetiti mlađim učenicima;- ni jedan minut bez pripremljenih zadataka;- rad u smjeni i po.

ANALIZA ČASA

U suštini, to je element koji treba da doprinosi potpunijem shvatanju i dubljem poimanju suštine vaspitno-obrazovnog procesa u cjelini. Analiza treba da doprinese povezivanju teorije i prakse. Analiza se vrši radi kritičkog utvrđivanja vaspitno-obrazovnog efekta nastavnog časa i uvijek slijedi nakon održanog časa (što prije, to bolje).

Vrste analize: a) Samoanaliza – vrši je nastavnik, iz dva razloga: 1. da identifikuje slabosti i 2. da utvrdi

dobre strane. Neophodno ja da nastavnik postane svjestan i da ih, u pvom pogodnom trenutku, otkloni. Svoje viđenje nastavnik obavezno zapisuje u pripremi. Dobar nastavnik se izgrađuje u procesu u kome je ona sam sebi najveći kritičar, u procesu u kome će biti neophodna griža

77

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________savjest u radu. Samokritičnost je uslov sopstvenog uzdizanja. Za svaku teškoću u radu treba tražiti uzrok – i to prvo kod sebe pa tek onda u učenicima ili drugim okolnostima.

b) Iinstinktivna analiza – vrše je stručni saradnici, direktor, nadzornici. Cilj je da se nastavnicima ukaže na dobre i loše strane njihovog rada, da im se ukaže na mogućnosti za poboljšanje toga rada. Ova analiza sre vrši u formi dijaloga.

c) Analiza oglednih časova – drže stručnjaci, nastavnici na različitim skupovima i seminarima, za svoje kolege, radi ukazivanja na bitne karakteristike, primjenu očiglednih sredstava, sintezu nastav i sl. Cilj je da, onaj ko drži čas, ukaže onima koji posmatraju čas na ono što se može primjeniti.

d) Analiza časova koje drže studenti – ima za cilj da se oni uvedu u nastavni rad i pomogne im se u osamostaljivanju. Grupna je diskusija onih koji su učestvovali na času. Analiza treba da obuhvati sve elemente značajne za organizaciju časa:

cilj i zadaci (da li su ostvareni) – ali ne prozaično, nego navesti argumente;- razlozi neostvarivanja cilja: a) nije se dobro pripremio; b) nije dobro metodički

pripremljen; c) nije bilo dobrog pristupa;- cilj je ostvaren jer je dobra atmosfera i ostvarena je aktivnost učenika.

DIJALOŠKA METODA

Njena karakteristika je u tome što, kroz razgovor, pitanja i odgovore interpretira nastavni sadržaj. Ne mora biti samo dijaloška metoda ako nastavnik pita a učenik odgovara, nego sve varijante mogu doći u obzir. Osnovna pretpostavka jeste da učenici raspolažu određenim fondom znaja o sadržaju o kome se razgovara. Pitanja nastavnika treba da budu tako usmjerena da podstiču učenike da shvate suštinu onoga o čemu je riječ, da samostalno dođu do zaključka, da samostalno formulišu pitanja itd.Pitanja moraju biti jasna, precizna, jednostavna itd. Ako želimo da je ova metoda ekonomična, onda nastavnik ne smije trošiti vrijeme na neka pitanja koja nisu cilj ovog časa. Pitanja počinju: zašto, zbog čega, odakle, kako, koliko?

78

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________Važno je: pitanje se prvo postavlja cijelom odjeljenju, odgovara samo jedan učenik, ako jedan učenik ne može odgovoriti treba tražiti odgovor od drugog, pa onda od trećeg i sve dok nastavnik ne shvati da oni ne mogu odgovoriti. Zatim nastavnik preformuliše pitanje i ponovo se vrši isti postupak, pa tek onda odluči da li treba dati odgovor. Pitanje postaviti jednom i glasno. Ne treba prozivati učenika koji će da daodgovor a još nismo postavili pitanje. Dobre strane: - učenici se osposobljavaju da stiču kulturu komuniciranja, poznati sa nepoznatim sadržajem povezivati, frontalni i individualni rad povezivatiLoše strane:- gubi se vrijeme u postavljanju pitanja, učenici misle po diktatu nastavnika, mogu biti pasivne aktivnosti.

TEKST METODA

To je postupak kojim učenici stiču znanja korišćenjem pisanih ili štampanih tekstova. Korišćenjem tekst metoda učenik se stavlja u situaciju da sam radi, da se služi udžbenikom, knjigom, bilo kojim pisanim izdanjem. Cilj je da se učenici osposobe da koriste tekst, da uoče ono što je bitno itd.Rad teksta može biti različit: izvođenje računske operacije, crtanje nekog crteža, poznavanje nekog obrasca i rešavanje različitih zadataka. Problemi:- vrlo je važno da li je neki tekst pogodan za korišćenje ove metode - činom stavljanja učenika u situaciju da koristi tekst, mora da zna šta je u tekstu bitno, do kojih saznanja treba da dođe itd. Zato učenicima treba dati uputstva šta je važno u tekstu, na šta treba da obrate pažnju:- prvo treba odabrati tekst, raščlaniti na etape;- proučiti tok teksta;- da nastavnik postavi pitanja na koja učenik treba da odgovara;- pitanje treba da usmjerava rad učenika;- treba odabrati vrijeme koje učenici imaju za obradu teksta.Moguće greške: dati tekst bez objašnjenja nije tekst metoda. Dobre strane:

- učenici se osposobljavaju da samostalno koriste tekst;- određeni pojmovi se mogu više puta ponoviti u istom obliku;- znanja su sistematična.Loše strane:- ne može se veliki broj nastavnih jedinica obraditi;- priprema je složena.

ILUSTRATIVNA METODA

To je nastavni postupak kojim učenici stiču znanja putem grafičkih ilustracija; suština metode demonstracije jeste da se matematički pojmovi transformišu u vizuelni postupak i taj način bude dostupan čulnom saznanju.

79

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematičkog obrazovanja)___________________________________________________________________________Ima dvije funkcije:

1. sama je predmet proučavanja;2. služi kao sredstvo nekim drugim matematičkim sadržajima.

Posebna vrijednost je u tome što postoji jako veliki broj učenika što pojmove formira na osnovu vizuelnih aktivnosti.Metodu ilustracije može koristiti dvostruko: - možemo crtati na času ili donijeti gotove crteže. Lakše i jednostavnije je crteže crtati na času jer učenici vide kako taj crtež nastaje; crtati slobodnom rukom; koristiti krede u boji;- ilustracije mogu biti u vidu crteža, dijagrama i tabela.

MONOLOŠKA METODA (metoda usmenog izlaganja)

Nastavnik izlaže nastavni sadržaj a učenik sluša nastavnika i uči ono što čuje.Ovdje se istovremeno izdvajaju dva procesa:

1. pružanje znanja od strane nastavnika2. primanje znanja od strane učenika.

Ona se koristi na časovima obrade gradiva, a rijetko na ostalim tipovima časova. Koristimo je onda kada učenici nemaju nikakvo znanje od prije. Može biti u vidu predavanja, pripovijedanja, opisivanja, objašnjavanja i dokazivanja.Dobre strane:Prenose se sistematizovana znanja, ekonomična je, lako se priprema, podstiče verbalizam itd.Loše strane.Ne poštuje se individualnost, nema povratne informacije, matematička misao se ne prenosi riječima, mora što manje da se govori.Uspješnost časa je veća kada više pričaučenik a manje nastavnik. Najčešće se primjenjuje u uvodnom dijelu časa, koristi se u kombinaciji sa ostalim metodama i kod objašnjenja nepoznatih riječi.

METODA DEMONSTRACIJE

To je postupak kojim informacije učeniku dajemo preko manipulisanja određenim predmetom, preko demonstriranja određenog predmeta.

Pri demonstriranju imamo dvije aktivnosti: pokazivanja i posmatranja. Ona se rijetko koristi samostalno, uglavnom se koristi kao dopuna drugim metodama. Ovom metodom nastavnik nastoji da očiglednim učini apstraktne matematičke sadržaje.

Osnovni zahtjevi demonstracije:- da su predmeti pogodni za formiranje određenih pojmova;- da su takvi da pobuđuju interes za rad kod učenika;

80


- da su pogodni za manipulisanje;- da zadovoljavaju estetske, higijenske zahtjeve;- da se ne skreće sa bitnih na sporedne stvari;- ne treba pokazivati više predmeta odjednom, nego jedan po jedan;- poželjno je uključiti učenike, kad god je moguće, u demonstrativnu metodu.

81

Documents

80344815 Metodika Matematickog Obrazovanja