คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เรื่อง

โครงงานคณิตศาสตร

(ตอนที่ 4)

เสนตรงลอมเสนโคง

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมือระหวาง

คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)

กระทรวงศึกษาธิการ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1    

สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย

1. SET50

2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

3. การถอดรากที่สาม

4. เสนตรงลอมเสนโคง

5. กระเบื้องที่ยืดหดได

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู

และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ

สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่องและ

ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี ้

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2    

เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร

หมวด โครงงานคณิตศาสตร

ตอนที่ 4 (4/5)

หัวขอยอย -

จุดประสงคการเรียนรู

เพื่อใหผูเรียนเห็นตัวอยางการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตรที่เห็นภาพไดชัดเจน ในที่นี้คือการ

จําแนกแยกแยะเสนโคงที่สรางจากชุดของเสนตรงที่มีสมบัติตาง ๆ กัน รวมทั้งบทพิสูจนของการจําแนก

ดังกลาวดวย ทั้งนี้ทั้งนั้น เนื้อหาของโครงงานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้นมิใชสาระที่คาดหวังใหนักเรียน

ตองเรียนรูอยางจริงจัง หากเปนเพียงพาหนะหนึ่งทีช่วยแสดงใหเห็นตัวอยางหนึ่งของปญหาการจําแนก

แยกแยะเทานั้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3    

โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร

โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบของ ปญหาทางคณิตศาสตร

สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยุกตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจําแนกแยกแยะ และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงานคณิต-ศาสตร คือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง

วัตถุประสงคของสื่อตอนนี ้ สื่อการสอนตอนนีน้ําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่พิจารณาเสนโคงที่สรางจากชุดของเสน- ตรง และแสดงวาชุดของเสนตรงที่มีสมบัติบางประการจะกอใหเกิดเสนโคงพาราโบลา แตสําหรับชุด ของเสนตรงทีม่สีมบัติที่เปลี่ยนไป เสนโคงที่ไดอาจเปนเสนโคง astroid วงกลม หรืออื่น ๆ ได สื่อการสอนจะปูพื้นฐานที่จําเปนเพื่อนําไปสูบทพิสูจนของบางความสัมพันธขางตน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4    

เนื้อหาในสื่อการสอน สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42) 2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:59) 3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:49)

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5    

1. ชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6    

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42)

ในชวงเปดตอน ดังแสดงในรูปที่ 1 ผูบรรยายยกตัวอยางความยาวดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม 6 รูป จากขอมูลความยาวดานนี้ เราอาจจําแนกแยกแยะชนิดของสามเหลี่ยมออกเปน 2 ชนิด ไดแก สามเหลี่ยม มุมฉาก และสามเหลี่ยมอื่น ๆ หรืออาจจําแนกแยกแยะออกไดเปน 3 ชนิด ไดแก สามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมแหลม และสามเหลี่ยมมุมปาน สังเกตวาวิธีการจําแนกแยกแยะสามเหลี่ยมเหลานี้นั้นขึ้นกับ ขอสังเกตและเหตุผลของผูจําแนก ตัวอยางนี้ชวยในการอธิบายเชิงเปรียบเทียบวา ปญหาประเภทหนึ่งที่สามารถนํามาปรับเปนโจทยสําหรับ โครงงานคณิตศาสตรไดคือ ปญหาที่ตองการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตรที่สนใจบางชนิด สื่อฯตอนนีจ้ะนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่พิจารณาคําถามที่วาเสนโคงที่สรางจากชุดของ เสนตรงที่มีระยะหางระหวางเสนบนแกน x และแกน y เทา ๆ กัน คือเสนโคงอะไร พรอมนําเสนอขั้นตอน การหาสมการของเสนโคงนั้น รวมทั้งยังพาดพิงถึงเสนโคงที่สรางจากชุดเสนตรงประเภทอื่น ๆ ดวย

รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7    

2. ชวงสารคด ี

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8    

2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:59)

ชวงสารคดีนี้ตองการอธิบายความรูพื้นฐาน ที่จําเปนในการทําความเขาใจแนวคิดและรายละเอียดของ โครงงานคณิตศาสตรที่จะนําเสนอตอไป ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้

(ก) (ข)

(ค) (ง)

(จ) (ฉ)

รูปที่ 2 ภาพประกอบขณะอธิบายเรื่องหมาปากับกระตายเพื่อโยงเขาเรื่องเสนตรงลอมเสนโคง

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9    

(ก) ผูหนึ่งที่คิดคนแนวคิดของวิชาแคลคูลัส (ข) เสนสัมผัสของเสนโคง รูปที่ 3 ภาพประกอบขณะอธิบายเรื่องกําเนิดแคลคูลัสและเสนสัมผัสเสนโคง

2.1. หมาปากับกระตาย (เริ่ม ณ 1:59) เปนภาพเคลื่อนไหวที่เลาสถานการณหมาปาไลลากระตาย (รูปที่ 2(ก-ค)) และพิจารณาเสนทางการวิ่งของ หมาปาที่แสดงดวยเสนโคงสีแดง ในรูปที่ 2(ค) หลังจากนั้นจึงวิเคราะหหาสมการของเสนโคงนี้ โดยการ สมมติวาหมาปาเปลี่ยนทิศทางการวิ่งเปนชวง ๆ จนเกิดเปนเสนตรงตอกันหลาย ๆ เสน ในรูปที่ 2(ง) แลว จึงใชแกน XY เพื่อหาสมการของเสนโคงที่ลอมดวยชุดของเสนตรง ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวในรูปที่ 2(จ-ฉ)

2.2. เสนโคง เสนตรง แคลคูลัส (เริ่ม ณ 6:44) จากแนวคิดของการสรางเสนโคงดวยชุดของเสนตรงที่ถี่มากขึ้นเรื่อย ๆ ขางตน เราสามารถคิดในมุมกลับได เชนกัน กลาวคือ หากเริ่มดวยเสนโคง ชุดของเสนตรงที่ลอมเสนโคงก็คือเสนสัมผัสของเสนโคง ณ จุดตาง ๆ นั่นเอง ซึ่งก็คือแนวคิดเริ่มตนของวิชาแคลคูลัสดังเปนที่ทราบโดยทั่วไป ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวใน รูปที ่ 3 การสรางเสนโคงดวยชุดของเสนตรง นี้จึงเปนกิจกรรมที่กอใหเกิดภาพที่สวยงามแตกลับซอนแนวคิด เรื่องความชันและเสนสัมผัสไดอยางแยบยล 2.3. ศิลปะเสนเชือกตรึง (เริ่ม ณ 8:16) ศิลปะเสนเชือกตรึง หรือ string art คือกิจกรรมทางคณิตศาสตรที่สรางเสนโคงโดยใชเชือกขึงตรึงหลายเสน และเปนกิจกรรมที่ไดรับความนิยมอยางสูงในยุคหนึ่ง (รูปที่ 4 (ก),(ค)) แตผูที่มีสวนสําคัญในการผลักดันใหใช ศิลปะเสนเชือกตรึงในการสอนเรขาคณิตแกเด็ก ๆ เปนคนแรกคือนาง Mary Everest Boole เมื่อรอยกวาป ที่แลว (รูปที่ 4 (ข)) และดวยคุณสมบัติพิเศษและความสวยงามของมัน ศิลปะเสนเชือกตรึงยังปรากฏ ใหเห็นในของใชในชีวิตประจําวันและสถาปตยกรรม เชน เกาอี้สาน และสะพาน Calatrava ในเมือง Petah Tikva ประเทศอิสราเอล (รูปที่ 4 (ง))

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10    

รูปที่ 4 คุณพร อัศวพิทยา กรุณาสระเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับศิลปะเสนเชือกตรึง

(ก) (ข)

(ค) (ง) รูปที่ 5 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องศิลปะเสนเชือกตรึง

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11    

2.4. ปญหาบันได (เริ่ม ณ 12:30) ปญหาหนึ่งที่สามารถประยุกตใชเทคนิคการหาเสนโคงที่เกิดจากชุดของเสนตรงในการหาคําตอบ คือปญหา การขนบันไดที่มีความยาว L ผานทางเดินมุมฉากที่มีความกวางเปน w1 และ w2 โดยบันไดตองอยูในแนว ขนานกับพื้นตลอดเวลา แนนอนวาหากบันไดยาวเกินไปยอมไมสามารถผานมุมทางเดินนี้ไปได ดังรูปที่ 6(ก) จะเห็นวาการขนโดยใหปลายบันไดทั้งสองขางชิดขอบทางเดินดานนอกตลอดเวลา เปนวิธีที่ทําใหบันไดอยู หางจากมุมทางเดินมากที่สุดตลอดเวลา ดังนั้นเราจึงพิจารณาชุดของเสนตรงความยาว L ที่มีจุดปลายทั้งสอง อยูบนแกน X และแกน Y และหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงนี ้ และไดสมการของเสน โคง astroid ดังแสดงในรูปที่ 6(ง)

(ก) (ข)

(ค) (ง) รูปที่ 6 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องปญหาบันได

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:49)

ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญ จนถึงสรุปโครงงาน ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี ้

รูปที่ 7 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี ้

3.1. รายละเอียดของโครงงาน (เริ่ม ณ 13:49) โครงงานคณิตศาสตร เรื่องการศึกษาความสัมพันธของชุดเสนตรงและสิ่งหุมของชุดเสนตรงที่ตัดกัน เปนพาราโบลา ที่ยกมาเปนตัวอยางในสื่อตอนนี ้ เปนโครงงานที่จัดทําโดย นายกิตติ ไกรเทพ นายสุทธิพงศ จันทภาโส นางสาวธรัญญา จารจิต และ นางสาววันวิสา เพ็ชรเรือง นักเรียนระดับ มัธยมศึกษา ตอนปลาย โรงเรียนเมืองถลาง อําเภอถลาง จังหวัดภูเก็ต พ.ศ. 2552 และมีอาจารย ที่ปรึกษาคือ ครูสิทธิโชค พรผล และ ครูถนอมเกียรติ งานสกุล ดังแสดงในรูปที่ 7

3.2. ความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ (เริ่ม ณ 14:16) ความรูทางคณิตศาสตรที่จําเปนในการทําความเขาใจเนื้อหาของสื่อการสอนตอนนี้ไดแก

1. เสนตรง ไดแก เรื่องสมการของเสนตรง และการหาสมการของเสนตรงที่ผานจุด 2 จุด (รูปที่ 8 (ก)) 2. พาราโบลา ไดแก เรื่องสมการของเสนโคงพาราโบลา (รูปที่ 8 (ข))

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14    

3. ลิมิต อนุพันธ ไดแก การหาลิมิตของฟงกชันเมื่อตัวแปรลูเขาสูศูนย และการหาอนุพันธของฟงกชัน งาย ๆ และอันที่จริงแลว ยังจําเปนตองใชการหาอนุพันธยอยดวย (รูปที่ 8 (ค))

4. สมการอิงตัวแปรเสริม ไดแก การหาสมการอิงตัวแปรเสริมของสวนของเสนตรงที่ผานจุด 2 จุด (รูปที่ 8 (ง))

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รูปที่ 8 ภาพสื่อฯขณะกลาวถึงความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของอยางพอสังเขป

3.3. การหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม (เริ่ม ณ 17:00) การหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมที่เกิดจากเสนตรงที่มีผลบวกของจุดตัดแกน X และ Y เปนคาคงที ่1. หาสมการของเสนตรงแตละเสน ดังแสดงในรูปที่ 9(ก) 2. หาจุดตัดของเสนตรงทีม่จีุดตัดแกน X เปน α และ β (รูปที่ 9(ข)) 3. หาลิมิตของพิกัดจุดตัดนี้ เมื่อ β ลูเขาสู α (รูปที่ 9(ค)) 4. หาความสัมพันธระหวางพิกัดทั้งสองของลิมิตนี ้(รูปที่ 9(ง)) ถึงแมจะหาสมการของเสนโคงไดแลวก็ตาม เราก็ยังไมสามารถบอกไดทันทีวาเสนโคงที่ไดเปนเสน-โคงใด แตหากหมุนแกนไป 45 องศา เพื่อใหเสนโคงสมมาตรกับแกน Y สมการของเสนโคงใหมนี ้จะเปนสมการของเสนโคงพาราโบลานั่นเอง ดังแสดงในรูปที่ 9(จ) แตเนื่องจากการหมุนแกนอาจเปน หัวขอที่ยากเกินไปในระดับนี้ เราจึงเลือกที่จะนําเสนอวิธีการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมในกรณีนี้โดย อีกวิธีหนึ่ง ซึ่งมีแนวคิดที่รองรับดังไดแสดงไวในสื่อฯ (รูปที่ 9(ช-ซ)) วิธีนี้เริ่มจากหาสมการของเสนตรง

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15    

(ก) (ข)

(ค) (ง)

(จ) (ฉ)

(ช) (ซ) รูปที่ 9 ภาพสื่อฯขณะแสดงการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16    

แตละเสน ดังแสดงในรูปที่ 9(ฉ) แลวจึงหาคาสูงสุดของ y โดยการหาอนุพันธของสมการเสนตรง เทียบกับ α เพื่อจับเทากับ 0 สุดทายจะไดความสัมพันธระหวาง x และ y ซึ่งก็คือสมการของเสนโคง สิ่งหุมนั่นเอง (รูปที่ 10)

รูปที่ 10 ภาพสื่อฯขณะแสดงการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมโดยการหาอนุพันธ

3.4. วิธีการดําเนินงาน (เริ่ม ณ 27:02) วิธีการดําเนินงานของโครงงานเรื่องนี้นั้น ศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมที่เกิดจากชุดของเสนตรง ที่ตัดแกน X และ Y ที่ a และ b ตามลําดับ โดยแบงเปน 2 กรณีตามเงื่อนไขของคา a และ b ดังนี้ 1. |a| + |b| = k เมื่อ k เปนคาคงตัวที่เปนบวกคาหนึ่ง (รูปที่ 11(ก)) 2. |a|/m + |b|/n = k เมื่อ m, n, k เปนคาคงตัวที่เปนบวก (รูปที่ 11(ข))

3.5. ผลการศึกษา (เริ่ม ณ 28:02) จากการศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมทั้ง 2 กรณีในวิธีการดําเนนิงานนั้น สําหรับกรณีที่ 1

ไดสมการของเสนโคงสิ่งหุมใน 4 จตุภาค เปน x + y = k ซึ่งเมื่อหมุนแกนไป 45 องศาในทิศ

ตามเข็มนาฬิกา จะไดสมการของเสนโคงสิ่งหุมเปนสมการของเสนโคงพาราโบลา และสําหรับใน

กรณีที่ 2 ได สมการของเสนโคงสิ่งหุมใน 4 จตุภาค เปน xm

+yn

= k ซึ่งสามารถแสดงได

เชนกันวาเสนโคงสิ่งหุมในแตละจตุภาคเปนสวนหนึ่งของเสนโคงพาราโบลา ดูรายละเอียดการคํานวณ จากสื่อฯไดในรูปที่ 12

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17    

(ก)

(ข) รูปที่ 11 ภาพจากสื่อฯขณะอธิบายวิธีการดําเนินงาน

3.6. สรุปโครงงาน (เริ่ม ณ 31:39)

โครงงานที่นําเสนอในสื่อฯนี้ เปนการศึกษาหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงที่มี สมบัติรวมกันบางประการ ในกรณีที่ 1 สมบัตินี้ก็คือทุกเสนตรงในชุดของเสนตรงตองมีผลบวกของ จุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y เทากับคาคงที่คาหนึ่ง (k) เสมอ สําหรับในกรณีที ่2 สมบัติรวมกันนี้ คือทุกเสนตรงตองมีผลบวกของจุดตัดแกน X หารดวย m กับจุดตัดแกน Y หารดวย n เปนคาคงที่ k เสมอ ซึ่งสมการของเสนโคงที่ไดจากทั้งสองกรณีตางเปนสวนหนึ่งของเสนโคงพาราโบลาเสมอ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18    

(ก)

(ข)

(ค) รูปที่ 12 ภาพจากสื่อฯแสดงผลการศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19    

3.7. กรณีทั่วไป (เริ่ม ณ 32.20) จากผลการศึกษาหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงในทั้ง 2 กรณี ที่ไดเสนโคง พาราโบลาเสมอนั้น จึงเกิดคําถามขึ้นวา หากชุดของเสนตรงที่ใชมีสมบัติเปลี่ยนไป เสนโคงที่ไดจะเปน เสนโคงประเภทใดไดบาง ในชวงนี้ สื่อฯจะพิจารณาชุดของเสนตรงที่มีจุดตัดแกนทั้งสองเปนฟงกชัน ใด ๆ บอกจุดตัดของเสนตรงสองเสน (รูปที่ 13(ก-ข)) และใหสมการของเสนโคงที่ถูกลอมดวย ชุดของเสนตรงนี ้ (รูปที่ 13(ค)) ซึ่งโดยทั่วไป จะเปนเพียงสมการอิงตัวแปรเสริม โดยไมมีรายละเอียด การคํานวณ ผูสนใจสามารถหาอานไดใน [2]

3.8. เสนโคงสิ่งหุมอื่น ๆ (เริ่ม ณ 34:00) จากสมการอิงตัวแปรเสริมที่คํานวณไดใน 3.7 เราสามารถนํามาใชคํานวณหาสมการของเสนโคง สิ่งหุมที่ลอมดวยชุดของเสนตรงเหลานี้ 1. ความยาวของสวนของเสนตรงในจตุภาคที่ 1 เปนคาคงที่ L จะไดวาสมการของเสนโคงคือ

x2/3 + y2/3 = L2/3 2. ความยาวรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มีดานทั้งสามเปนแกนพิกัดและเสนตรงในจตุภาคที่ 1 เปน คาคงที่ จะไดวาสมการของเสนโคงคือสมการของวงกลมนั่นเอง

3.9. สรุป (เริ่ม ณ 38:16) โครงงานนีท้ําใหเราไดเห็นวาเสนโคงที่สรางมาจากชุดของเสนตรงตางชุดกัน อาจเปนเสนโคงที่ตางกัน พรอมการคํานวณหาสมการเหลานี้ดวยวิธีเบื้องตนบางวิธี และที่สําคัญคือ โครงงานนี้เปนตัวอยางหนึ่ง ของการใชความรูคณิตศาสตรเบื้องตนในการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตร (เสนโคง) ที่สราง ขึ้นมาตางวิธีกัน

. คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นหาความสัมพันธ .

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20    

(ก)

(ข)

(ค) รูปที่ 13 ภาพจากสื่อฯอธิบายการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมในกรณีทั่วไป

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21    

รูปที่ 14 ภาพจากสื่อฯแสดงตัวอยางของเสนโคงสิ่งหุมอื่น ๆ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22    

กิตติกรรมประกาศ

ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ คุณพร อัศวพิทยา ในฐานะศิลปนผูสรางสรรคงานศิลปะ

เสนเชือกตรึงที่นาทึ่ง ที่กรุณาสละเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับงานศิลปะเสนเชือกตรึง และ

คุณกันตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอ แนวคิดจนกอใหเกิดสื่อในรูปแบบนี้ขึ้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23    

เอกสารอางอิง

1. กิตติ ไกรเทพ, สุทธิพงศ จันทภาโส, ธรัญญา จารจิต, วันวิสา เพ็ชรเรือง, การศึกษาความสัมพันธของ ชุดเสนตรงและสิ่งหุมของชุดเสนตรงที่ตัดกันเปนพาราโบลา, โครงงานคณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษา ตอนปลาย โรงเรียนเมืองถลาง อําเภอถลาง จังหวัดภูเก็ต พ.ศ. 2552

2. Gregory Quenell, Envelopes and String Art, Mathematics Magazine, Vol.82, No.3 (June 2009), pp.174-

185

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร

จํานวน 92 ตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

เซต บทนํา เรื่อง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง

จํานวนจริง

บทนํา เรื่อง จํานวนจริง

สมบัติของจํานวนจริง

การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ

เทคนิคการแกอสมการ

คาสัมบูรณ

การแกอสมการคาสัมบูรณ

กราฟคาสัมบูรณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ

ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ

(การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก) ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย

ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26    

เรื่อง ตอน

ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ

อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชัน

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ฟงกชันประกอบ

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

อสมการลอการิทึม

ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ

อัตราสวนตรีโกณมิติ

เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย

ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน

กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร

การหาคาสุดขีด

ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย

อนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27    

เรื่อง ตอน

การนับและความนาจะเปน

บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู

ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย

ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

การถอดรากที่สาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบื้องที่ยืดหดได