Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 1
บทท 1
พ นผวในปรภมสามมต
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา
ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร
คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2301207 Calculus III 2561/1st
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 2
ทบทวนความร ม. ปลาย ปรภมสองมต
3x + 4y = 12 มกราฟเปนเสนตรง
y = 2x มกราฟเปนพาราโบลา
2x + 2y = 16 มกราฟเปนวงกลม
4x2
+ 25y2
= 1 มกราฟเปนวงร
16x2
- 25y2
= 1 มกราฟเปนไฮเพอรโบลา
ทบทวนความร CALCULUS II ปรภมสามมต
(x, y, z) = (1, 2, 3) + (4, 2, 7)t มกราฟเปนเสนตรง
2x + 3y + 6z = 24 มกราฟเปนระนาบ
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 3
พนผวทรงกลม
Program : GeoGebra
Program : Maxima
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 4
พนผวอานมา
ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด Hyperbolic paraboloid
Program : GeoGebra
Program : Matlab
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 5
พนผวอลลปตกพาราโบลอยด, Elliptics paraboloid, Paraboloid
Program : GeoGebra
Program : Matlab
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 6
พนผว Cone, กรวย, กรวยอลลปตก
Program : GeoGebra
Program : Matlab
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 7
พนผวอลลปซอยด, ellipsoid
Program : Maxima
Program : GeoGebra Online
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 8
พนผวทรงกระบอก
Program : Maxima
Program : GeoGebra Onlin
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 9
พนผวอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
elliptic hyperboloid of one sheet
Program : Matlab
Program : GeoGebra Online
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 10
พนผวอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนด 2 ชน
elliptic hyperboloid of 2 sheet
Program : Matlab
Program : GeoGebra Online
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 11
บทนยามของพ นผว
พนผว คอ เซตของจด (x, y, z)
ซงสอดคลองสมการ F(x, y, z) = 0 เมอ F เปนฟงกชนตอเนอง
ตวอยาง 2x + 3y + 6z = 24 เปน พ นผว ชนดหนง
F(x, y, z) = 2x + 3y + 6z - 24 = 0
ในบทนเราเรยนเกยวกบสมการในรปสมการกาลงสอง
ซงมรปทวไปเปน
A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0
เมอ A, B, C ไมเปนศนยพรอมกน
ตวอยาง
2x + 3y + 6z = 24 เปนพนผว ระนาบ
2x + 2y + 2z - 25 = 0 เปนพนผว ทรงกลม
2x + 2y + 2z - 2x + 4y + 6z - 13 = 0
เปนพนผว ทรงกลม
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 12
1.2 พ นผวทเกดจากการหมน
หมายถง พนผวทเกดจากการหมน เสนโคง ทกาหนดใหใน
ระนาบรอบเสนตรงทกาหนดใหซงอยในระนาบเดยวกนกบเสน
โคง โดยจะเรยกเสนตรงทกาหนดให วา แกนหมน
ตวอยาง
1. ทรงกระบอกกลม เกดจากการหมนเสนตรง
รอบเสนตรงทขนานกน
2. กรวยกลม เกดจากการหมนเสนตรงรอบเสนตรงทตดกน
3. ทรงกลม เกดจากการหมนครงวงกลมรอบเสนผานศนยกลาง
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 13
การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน
รปท 1.2.2
ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจากการหมน
ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P
และตงฉากกบเสนตรง L ซงเปนแกนหมน ทจด Q
และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z)
ขนท 3. หาความสมพนธของ x, y, z ใชเงอนไข
1. QP = 'QP 2. จด P(x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C
ตองสอดคลองสมการของเสนโคง C
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 14
ตวอยาง 1 จงหาสมการพนผวทเกดจากการหมน
เสนโคง y = f(x), z = c (บนระนาบ z = c)
รอบเสนตรง y = b, z = c (บนระนาบ z = c)
แบบท 1
ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจากการหมน
ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P
และตงฉากกบเสนตรง L ซงเปนแกนหมน ทจด Q
และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) ขนท 3. หาความสมพนธของ x, y, z ใชเงอนไข
1. QP = 'QP 2. จด P(x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C
ตองสอดคลองสมการของเสนโคง C
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 15
จาก (1) จะได QP = 'QP (x, y, z) – (x, b, c) = (x', y', z') – (x, b, c) เพราะวา P, P' อยบนระนาบ M เดยวกน เพราะฉะนน x' = x
(x, y, z) – (x, b, c) = (x, y', z') – (x, b, c) เพราะวา P' อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน y' = f(x') = f(x)
(x, y, z) – (x, b, c) = (x, f(x), z') – (x, b, c) เพราะวา P' อยบนระนาบ z = c เพราะฉะนน z' = c
(x, y, z) – (x, b, c) = (x, f(x), c) – (x, b, c) (0, y – b, z – c) = (0, f(x) – b, 0)
(0, y – b, z – c) 2 = (0, f(x) – b, 0) 2
เพราะฉะนนสมการพนผวคอ
2(y b) + 2(z c) =
2(f (x) b)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 16
แบบท 2
เสนโคง y = f(x), z = c (บนระนาบ z = c)
รอบเสนตรง y = b, z = c (บนระนาบ z = c)
รอยตดกบระนาบ x = a เปนวงกลมเมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ
พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ x = a
จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด (a, b, c)
และมรศม = f(a) – b จงมสมการเปน
2(y b) + 2(z c) =
2(f (a) b) , x = a
เพราะวา x = a เปนจานวนจรงใด ๆ
เพราะฉะนนสมการพนผวคอ
2(y b) + 2(z c) =
2(f (x) b)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 17
ตวอยาง 1.2.1 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมน
เสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0 รอบแกน Z
วธทา
รปท 1.2.3
กาหนดเสนโคง C คอ เสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0
และ แกนหมนคอ แกน Z
การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน
ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจาก
การหมนเสนโคง C รอบแกน Z
ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P
และตงฉากกบแกน Z ทจด Q
และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) เพราะฉะนนจด Q มพกดเปน (0, 0, z)
และ z = z และ x = 0
เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (0, y, z)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 18
ขนท 3.
เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (x, y, 0) = (0, y, 0) (x, y, 0) 2 = (0, y, 0) 2
2x + 2y = (y)2 ... (1)
เพราะวาจด P(0, y, z) อยบนเสนโคง C
และ สมการเสนโคง C คอ พาราโบลา z = (y)2, x = 0
เพราะฉะนน จาก (1) จะได 2x + 2y = z
เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน Z
มสมการเปน z = 2x + 2y
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 19
แบบท 2
รอยตดกบระนาบ z = c เปนวงกลมเมอ c เปนจานวนจรงใด ๆ
พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ z = c
จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(0, 0, c)
และมรศม r = y = c = c
จงมสมการเปน 2 2 2(x 0) (y 0) r ,z c
2 2x y c,z c
เพราะวา z = c เปนจานวนจรงใด ๆ
เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 2 2x y z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 20
ตวอยาง 1.2.2 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมน
เสนโคง 9
y2 +
4z2
= 1, x = 0 รอบแกน Y
วธทา
รปท 1.2.4
กาหนดเสนโคง C คอ เสนโคง 9
y2 +
4z2
= 1, x = 0
และ แกนหมนคอ แกน Y
การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน
ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจาก
การหมนเสนโคง C รอบแกน Y
ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P
และตงฉากกบแกน Y ทจด Q ... (*)
และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) ... (**)
จาก (*) จะได จด Q มพกดเปน (0, y, 0)
และ y = y ขนท 3. จด Q มพกดเปน (0, y, 0)
เพราะวา P อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน x = 0
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 21
เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (0, y, z) เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (x, 0, z) = (0, 0, z) (x, 0, z) 2 = (0, 0, z) 2
2x + 2z = (z)2
41( 2x + 2z ) =
41(z)2 ... (1)
เพราะวาจด P อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน 9
y2 +
4)z( 2
= 1
จาก (1) จะได 41( 2x + 2z ) = 1 -
9y2
เพราะฉะนน 4
x 2 +
9y2
+ 4
z2 = 1
เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน Y
มสมการเปน 4
x 2 +
9y2
+ 4
z2 = 1
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 22
แบบท 2
รอยตดกบระนาบ y = b เปนวงกลมเมอ b เปนจานวนจรงใด ๆ
พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ y = b
จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(0, b, 0)
และมรศม r = g(b) เมอ 22 g(b)b 1
9 4
จงมสมการเปน 2 2 2(x 0) (z 0) r , y b
2 2 2x z g(b) , y b
22 2 g(b)x z , y b4 4 4
22 2 bx z 1 , y b4 4 9
22 2bx z 1, y b4 9 4
เพราะวา y = b เปนจานวนจรงใด ๆ
เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 22 2bx z 1
4 9 4
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 23
ตวอยาง 1.2.3 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมน
เสนโคง 4
x2 -
9y2
= 1, z = 0 รอบแกน X
วธทา
รปท 1.2.5
เสนโคง C คอ เสนโคง 4
x2 -
9y2
= 1, z = 0
และ แกนหมนคอ แกน X
การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน
ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจาก
การหมนเสนโคง C รอบแกน X
ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P
และตงฉากกบแกน X ทจด Q
และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) เพราะฉะนนจด Q มพกด (x, 0, 0) และ x = x และ z = 0
เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (x, y, 0)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 24
ขนท 3. เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (0, y, z) = (0, y, 0) (0, y, z) 2 = (0, y, 0) 2
2y + 2z = (y)2 ... (1)
เพราะวาจด P(x, y, 0) อยบนเสนโคง C
เพราะฉะนน 4
x 2 -
9)y( 2
= 1
จาก (1) จะได 91 ( 2y + 2z ) =
4x 2
- 1
4
x 2 -
9y2
- 9
z2 = 1
เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน X
มสมการเปน 4
x 2 -
9y2
- 9
z2 = 1
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 25
แบบท 2
รอยตดกบระนาบ x = a เปนวงกลมเมอ b เปนจานวนจรงใด ๆ
พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ x = a
จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(a, 0, 0)
และมรศม r = f(a) เมอ 22 f (a)a 1
4 9
จงมสมการเปน 2 2 2(y 0) (z 0) r ,x a
2 2 2y z f (a) , x a
2 22y f (a)z ,x a9 9 9
2 22y az 1,x a9 9 4
22 2ya z 14 4 9
เพราะวา x = a เปนจานวนจรงใด ๆ
เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 22 2yx z 1
4 4 9
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 26
1.3 การพจารณาลกษณะของพ นผวจากสมการ
ในหวขอนเราจะศกษาปญหาเกยวกบการเขยนรปของพนผวจาก
สมการทกาหนดให โดยพจารณาลกษณะทสาคญของพนผว คอ
จดตดแกน
ขอบเขตของตวแปร
รอยตดของพ นผวดวยระนาบ
และ การมสมมาตรของพ นผว
จดตดแกน
ให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว
ถา f(x, 0, 0) = 0 แลว (x, 0, 0) เปนจดตดแกน X
ถา f(0, y, 0) = 0 แลว (0, y, 0) เปนจดตดแกน Y
ถา f(0, 0, z) = 0 แลว (0, 0, z) เปนจดตดแกน Z
ตวอยาง
ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25
มจดตดแกน X คอ (5, 0, 0), (-5, 0, 0)
มจดตดแกน Y คอ (0, 5, 0), (0, -5, 0)
และ มจดตดแกน Z คอ (0, 0, 5), (0, 0, -5)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 27
ตวอยาง 1.3.1 จงหาจดตดแกนของพนผว
(x + 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 16
วธทา ให f(x, y, z) = (x + 1)2+ (y - 1)2+ (z - 2)2- 16
สมมต f(x, 0, 0) = 0
จะได (x + 1)2 + 1 + 4 - 16 = 0
(x + 1)2 = 11
x = -1 - 11, -1 + 11
เพราะฉะนน
(-1 - 11, 0, 0), (-1 + 11, 0, 0) เปนจดตดแกน X
สมมต f(0, y, 0) = 0
จะได 1 + (y - 1)2 + 4 - 16 = 0
(y - 1)2 = 11
y = 1 - 11, 1 + 11
เพราะฉะนน
(0, 1 - 11, 0), (0, 1 + 11, 0) เปนจดตดแกน Y
สมมต f(0, 0, z) = 0
จะได 1 + 1 + (z - 2)2 - 16 = 0
(z - 2)2 = 14
z = 2 - 14 , 2 + 14
เพราะฉะนน
(0, 0, 2 - 14 ), (0, 0, 2 + 14 ) เปนจดตดแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 28
ตวอยาง 1.3.2 จงหาจดตดแกนของพนผว z = 2x + 2y
วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 2y - z
สมมต f(x, 0, 0) = 0
2x = 0
x = 0
เพราะฉะนน (0, 0, 0) เปนจดตดแกน X
ในทานองเดยวกน (0, 0, 0) เปนจดตดแกน Y, แกน Z
ตวอยาง 1.3.3 จงหาจดตดแกนของพนผว 2x + 2y - 2z = 4
วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 2z - 4
สมมต f(x, 0, 0) = 0
จะได 2x - 4 = 0
x = -2, 2
เพราะฉะนน (-2, 0, 0), (2, 0, 0) เปนจดตดแกน X
สมมต f(0, y, 0) = 0
จะได 2y - 4 = 0
y = -2, 2
เพราะฉะนน (0, -2, 0), (0, 2, 0) เปนจดตดแกน Y
สมมต f(0, 0, z) = 0
จะได - 2z - 4 = 0
2z = -4 เปนไปไมได
เพราะฉะนนพนผวไมตดแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 29
ขอบเขตของตวแปร
การหาขอบเขตของตวแปร x, y, z ของพนผว f(x, y, z) = 0
ทาโดยพจารณาคาทเปนไปไดของ x, y, z
ตวอยางเชน
ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25
จะได ขอบเขตของตวแปรคอ
-5 x 5, -5 y 5, -5 z 5
โดยทวไปจะกลาววา
ขอบเขตของ x คอ { x ม y, z R ททาให f(x, y, z) = 0 }
ขอบเขตของ y คอ { y ม x, z R ททาให f(x, y, z) = 0 }
ขอบเขตของ z คอ { z ม x, y R ททาให f(x, y, z) = 0 }
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 30
ตวอยาง 1.3.4 จงหาขอบเขตของตวแปรของพนผว
2x + 2y - 2z = 4
วธทา การหาขอบเขตของตวแปร x
จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได x = 22 zy4
เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก y = 2 และ z = x จะได 2x + 4 - 2x = 4
เพราะฉะนน จด (x, 2, x) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )
การหาขอบเขตของตวแปร y
จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได y = 22 zx4
เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก x = 2 และ z = y จะได 4 + 2y - 2y = 4
เพราะฉะนน จด (2, y, y) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )
การหาขอบเขตของตวแปร z
จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได z = 4yx 22
เพราะวา เมอ z เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก x = z และ y = 2 จะได 2z + 4 - 2z = 4
เพราะฉะนน จด (z, 2, z) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ (-, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 31
ตวอยาง 1.3.5 จงหาขอบเขตของตวแปรของพนผว
z = 2x + 2y
วธทา การหาขอบเขตของตวแปร x
จาก z = 2x + 2y จะได x = 2yz
เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก y = 0 และ z = 2x จะได 2x = 2x + 20
เพราะฉะนน จด (x, 0, 2x ) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )
การหาขอบเขตของตวแปร y
จาก z = 2x + 2y จะได y = 2xz
เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก x = 0 และ z = 2y จะได 2y = 20 + 2y
เพราะฉะนน จด (0, y, 2y ) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )
การหาขอบเขตของตวแปร z
จาก z = 2x + 2y จะเหนวา z 0
เพราะวา ทกจานวนจรง z 0 เราเลอก x = z และ y = 0
จะได z = ( z )2 + 20
เพราะฉะนน จด ( z , 0, z) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ [0, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 32
รอยตดของพ นผวกบระนาบ
พนผว f(x, y, z) = 0
เมอ แทนคา x = 0x จะได f( 0x , y, z) = 0, x = 0x
เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ x = 0x
ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ x = 0x
ตวอยาง
พนผว 2y + 2z = 4x + 4
เมอแทนคา x = 3 จะได 2y + 2z = 16
เพราะฉะนน
รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ x = 3
มสมการเปน 2y + 2z = 16, x = 3
และ มกราฟเปนวงกลม
โดยมจดศนยกลางอยทจด (3, 0, 0) และรศมเทากบ 4
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 33
พนผว f(x, y, z) = 0
เมอ แทนคา y = 0y จะได f(x, 0y , z) = 0, y = 0y
เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ y = 0y
ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ y = 0y
ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 4x + 4
เมอแทนคา y = 2 จะได 2z = 4x
เพราะฉะนน
รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ y = 2
มสมการเปน 2z = 4x, y = 2
และมกราฟเปนพาราโบลา จดยอดอยทจด (0, 2, 0)
พนผว f(x, y, z) = 0
เมอ แทนคา z = 0z จะได f(x, y, 0z ) = 0, z = 0z
เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ z = 0z
ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ z = 0z
ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 4x + 4
เมอแทนคา z = 0 จะได 2y = 4x + 4
เพราะฉะนน
รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ z = 0
มสมการเปน 2y = 4x + 4, z = 0 และ
มกราฟเปนพาราโบลา จดยอดอยทจด (-1, 0, 0)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 34
ตวอยาง 1.3.6 กาหนดสมการของพนผวเปน
9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0
1. จงหาขอบเขตของตวแปร
2. จงพจารณารอยตดบนระนาบ YZ และ XZ
3. จงพจารณารอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง
4. จงเขยนกราฟของพนผว
วธทา
1. การหาขอบเขตของตวแปร x
จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0
จะได x = 31 z12y16144 2
เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก y = 0 และ z = 43 2x - 12
จะได 9 2x + 16(0)2 - 12(43 2x - 12) - 144
= 9 2x + 0 - 9 2x + 144 - 144
= 0
เพราะฉะนน จด (x, 0, 43 2x - 12) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 35
การหาขอบเขตของตวแปร y
จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0
จะได y = 41 z12x9144 2
เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ
เลอก x = 0 และ z = 34 2y - 12 จะได
9(0)2 + 16 2y - 12(34 2y - 12) - 144
= 0 + 16 2y - 16 2y + 144 - 144 = 0
เพราะฉะนน จด (0, y, 34 2y - 12) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )
การหาขอบเขตของตวแปร z
จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0
จะได z = 121 (9 2x + 16 2y - 144)
เพราะวา 9 2x + 16 2y 0
เพราะฉะนน 9 2x + 16 2y - 144 -144
จะได z = 121 (9 2x + 16 2y - 144) -12
สาหรบ z -12 เลอก x = 0 และ y = 41 z12144
จะได 9(0)2 + 16(41 z12144 )2 - 12z - 144
= 0 + 144 + 12z - 12z - 144 = 0
เพราะฉะนน จด (0, 41 z12144 , z) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ [-12, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 36
2. การพจารณารอยตดบนระนาบ YZ
แทนคา x = 0 ในสมการของพนผวจะได
16 2y - 12z - 144 = 0
16 2y = 12(z + 12)
2y = 43(z + 12)
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ x = 0
มสมการเปน 2y = 43(z + 12), x = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา
การพจารณารอยตดบนระนาบ XZ
แทนคา y = 0 ในสมการของพนผวจะได
9 2x - 12z - 144 = 0
9 2x = 12(z + 12)
2x = 34(z + 12)
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มสมการเปน
2x = 34(z + 12), y = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา
การพจารณารอยตดบนระนาบ XY
แทนคา z = 0 ในสมการของพนผวจะได
9 2x + 16 2y - 12(0) - 144 = 0
9 2x + 16 2y = 144
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มสมการเปนวงร
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 37
3. การพจารณารอยตดบนระนาบ z = k เมอ k R
ให z = k เมอ k เปนจานวนจรง
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ z = k มสมการเปน
9 2x + 16 2y = 12k + 144 = 0, z = k
กรณท 1. k -12 ไมมรอยตด
กรณท 2. k = -12
จะไดรอยตดเปนจด (0, 0, -12) จดเดยวเทานน
กรณท 3. k -12
จะไดรอยตดเปนวงร จดศนยกลางอยทจด (0, 0, k)
และวงรจะมขนาดใหญขนเมอ k มคาเพมขน
4. กราฟของพนผว 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 คอ
รปท 1.3.1
หมายเหต จากตวอยาง 1.3.6 เราสามารถบอกขอบเขตของตว
แปร z ไดจากการพจารณารอยตดบนระนาบ z = k
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 38
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 39
การมสมมาตรแบบตาง ๆ ของพ นผว
การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบระนาบ XY, YZ, XZ
กาหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว S
1. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY กตอเมอ
ถา จด (x, y, z) อยบน S แลว จด (x, y, -z) อยบน S
เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S
มสมมาตรกบระนาบ XY หรอไม สามารถทาไดโดย
แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, y, -z)
ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, y, -z) = 0
จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY
ตวอยาง
พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบระนาบ XY
พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบระนาบ XY
พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบระนาบ XY
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 40
2. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ กตอเมอ
ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, y, z) อยบน S
เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ
YZ หรอไม สามารถทาไดโดย
แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, z)
ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, y, z) = 0
จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ
ตวอยาง พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบระนาบ YZ
พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบระนาบ YZ
พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบระนาบ YZ
3. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ กตอเมอ
ถา จด (x, y, z) อยบน S แลว จด (x, -y, z) อยบน S
เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ
XZ หรอไม สามารถทาไดโดย
แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, z)
ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, -y, z) = 0
จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ
ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบระนาบ XZ
พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบระนาบ XZ
พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบระนาบ XZ
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 41
การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบแกน X, Y, Z
กาหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว S
1. พนผว S มสมมาตรกบแกน X กตอเมอ
ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (x, -y, -z) อยบน S
เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน X
หรอไม สามารถทาไดโดย
แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, -z)
ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, -y, -z) = 0
จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน X
ตวอยาง
พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบแกน X
พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบแกน X
พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบแกน X
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 42
2. พนผว S มสมมาตรกบแกน Y กตอเมอ
ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, y, -z) อยบน S
เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Y
หรอไม สามารถทาไดโดย
แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, -z)
ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, y, -z) = 0
จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Y
ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบแกน Y
พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบแกน Y
พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบแกน Y
3. พนผว S มสมมาตรกบแกน Z กตอเมอ
ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, -y, z) อยบน S
เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Z
หรอไม สามารถทาไดโดย
แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, z)
ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, -y, z) = 0
จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Z
ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบแกน Z
พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบแกน Z
พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 43
การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0)
กาหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว S
พนผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) กตอเมอ
ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, -y, -z) อยบน S
เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S
มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) หรอไม สามารถทาไดโดย
แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, -z)
ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, -y, -z) = 0
จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0)
ตวอยาง
พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบจด (0, 0, 0)
พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบจด (0, 0, 0)
พนผว 2x + 2y + 2z = 16 มสมมาตรกบจด (0, 0, 0)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 44
ตวอยาง 1.3.7 จงพจารณาการมสมมาตรกบ
แกนพกดของพนผว 2x + 2y - 4z - 12 = 0
วธทา จากสมการของพนผว คอ 2x + 2y - 4z - 12 = 0
ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 4z - 12 = 0
เพราะวา f(x, -y, -z) = 2x + (-y)2 - 4(-z) - 12
= 2x + 2 2y + 4z - 12
f(x, y, z)
เพราะฉะนน พนผวไมมสมมาตรกบแกน X
เพราะวา f(-x, y, -z) = (-x)2 + 2y - 4(-z) - 12
= 2x + 2y + 4z - 12
f(x, y, z)
เพราะฉะนน พนผวไมมสมมาตรกบแกน Y
เพราะวา f(-x, -y, z) = (-x)2 + (-y)2 - 4z - 12
= 2x + 2y - 4z - 12
= f(x, y, z)
เพราะฉะนน พนผวมสมมาตรกบแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 45
ตวอยาง 1.3.8 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน
4
x2 +
36y2
+ 16z2
= 1
1. จงหาจดตดแกน
2. จงหาขอบเขตของตวแปร
3. จงพจารณาการมสมมาตร กบระนาบ XY, YZ, XZ
4. จงพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ
5. จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k
เมอ k เปนจานวนจรง
6. จงเขยนกราฟของพนผว
วธทา ให f(x, y, z) = 4
x2 +
36y2
+ 16z2
- 1 = 0
1. การหาจดตดแกน
สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 4 จะได x = -2, 2
เพราะฉะนนจดตดแกน X คอ (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0)
สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = 36 จะได y = -6, 6
เพราะฉะนนจดตดแกน Y คอ (0, 6, 0) และ (0, -6, 0)
สมมต f(0, 0, z) = 0
จะได 2z = 16 จะได z = -4, 4
เพราะฉะนนจดตดแกน Z คอ (0, 0, 4) และ (0, 0, -4)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 46
2. การหาขอบเขตของตวแปร
เพราะวา 1 - 4
x2 =
36y2
+ 16z2
0 เพราะฉะนน 4
x2 1
เพราะฉะนน x [-2, 2]
เพราะวา สาหรบจานวนจรง x [-2, 2]
เลอก y = 64
x12
และ z = 0
จะได 4
x2 +
361 (6
4x1
2 )2 +
16)0( 2
= 4
x2 + 1 -
4x2
= 1
เพราะฉะนน จด (x, 64
x12
, 0) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ [-2, 2]
เพราะวา 1 - 36y2
= 4
x2 +
16z2
0 เพราะฉะนน 36y2
1
เพราะฉะนน y [-6, 6]
เพราะวา สาหรบจานวนจรง y [-6, 6]
เลอก x = 236y
12
และ z = 0
จะได 41(2
36y
12
)2 + 36y2
+ 16)0( 2
= 1 - 36y2
+ 36y2
= 1
เพราะฉะนน จด (236y
12
, y, 0) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ [-6, 6]
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 47
เพราะวา 1 - 16z2
= 4
x2 +
36y2
0 เพราะฉะนน 16z2
1
เพราะฉะนน z [-4, 4]
เพราะวา สาหรบจานวนจรง z [-4, 4]
เลอก x = 216z1
2 และ y = 0
จะได 41(2
16z1
2 )2 +
36)0( 2
+ 16z2
= 1 - 16z2
+ 16z2
= 1
เพราะฉะนน จด (216z1
2 , 0, z) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ [-4, 4]
3. การพจารณาสมมาตรของพนผวกบระนาบ XY, YZ, XZ
เพราะวา f(x, y, -z) = 4
x2 +
36y2
+ 16z2
- 1 = 0
เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY
เพราะวา f(-x, y, z) = 4
x2 +
36y2
+ 16z2
- 1 = 0
เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ
เพราะวา f(x, -y, z) = 4
x2 +
36y2
+ 16z2
- 1 = 0
เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 48
4. พจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ
แทนคา x = 0 จะได 36y2
+ 16z2
= 1
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ YZ มกราฟเปนวงร
แทนคา y = 0 จะได 4
x2 +
16z2
= 1
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มกราฟเปนวงร
แทนคา z = 0 จะได 4
x2 +
36y2
= 1
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มกราฟเปนวงร
5. การพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k
เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k เมอ k เปนจานวนจรง
มสมการเปน 36y2
+ 16z2
= 1 - 4
k2, x = k
กรณท 1. k 2 จะไดรอยตดเปนวงร
กรณท 2. k = 2
จะไดรอยตดเปนจด (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0)
กรณท 3. k 2 ไมมรอยตด
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 49
รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k เปนจานวนจรง
มสมการเปน 4
x 2 +
16z2
= 1 - 36k2
, y = k
กรณท 1. k 6 จะไดรอยตดเปนวงร
กรณท 2. k = 6
จะไดรอยตดเปนจด (0, 6, 0) และ (0, -6, 0)
กรณท 3. k 6 ไมมรอยตด
รอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง
มสมการเปน 4
x 2 +
36y2
= 1 - 16k2
, z = k
กรณท 1. k 4 จะไดรอยตดเปนวงร
กรณท 2. k = 4
จะไดรอยตดเปนจด (0, 0, 4) และ (0, 0, -4)
กรณท 3. k 4 ไมมรอยตด
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 50
6. การเขยนกราฟของพ นผว
อาจพจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k ซงจะเหนวา
รอยตดเรมจากจด (0, 0, -4)
และ เมอ k มคาเพมขน รอยตดจะเปนวงร
ซงวงรจะมขนาดใหญขนเรอย ๆ จนมขนาดใหญทสด
เมอ k = 0
จากนนขนาดของวงรจะเลกลงเรอย ๆ จนกลายเปนจด (0, 0, 4)
จากการพจารณาขางตน จะได
กราฟของพนผว 4
x2 +
36y2
+ 16z2
= 1 คอ
รปท 1.3.4
หมายเหต พนผวนเรยกวา อลลปซอยด
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 51
ตวอยาง 1.3.9 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน
9
x2 - 2y +
25z2
= 1
1. จงหาจดตดแกน
2. จงหาขอบเขตของตวแปร
3. จงพจารณาการมสมมาตร กบระนาบ XY, YZ, XZ
4. จงพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ
5. จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k
เมอ k เปนจานวนจรง
6. จงเขยนกราฟของพนผว
วธทา ให f(x, y, z) = 9
x2 - 2y +
25z2
- 1 = 0 ... (1)
1. การหาจดตดแกน
สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 9 จะได x = -3, 3
เพราะฉะนนจดตดแกน X คอ (-3, 0, 0) และ (3, 0, 0)
สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = -1 ซงเปนไปไมได
เพราะฉะนนพนผวไมตดแกน Y
สมมต f(0, 0, z) = 0 จะได 2z = 25 จะได z = -5, 5
เพราะฉะนนจดตดแกน Z คอ (0, 0, 5) และ (0, 0, -5)
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 52
2. การหาขอบเขตของตวแปร
จาก (1) จะได x = 325zy1
22
เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ
เลอก y = 3x และ z = 5 จะได
9x2
- 9
x2 + 1 = 1
เพราะฉะนน จด (x, 3x , 5) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )
จาก (1) จะได y = 125z
9x 22
เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก x = 3y และ z = 5
จะได 2y - 2y + 1 = 1
เพราะฉะนน จด (3y, y, 5) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )
จาก (1) จะได z = 5 22y
9x1
เพราะวา เมอ z เปนจานวนจรงใด ๆ
เราสามารถเลอก x = 3 และ y = 5z
จะได 1 - 25z2
+ 25z2
= 1
เพราะฉะนน จด (3, 5z , z) อยบนพนผว
เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ (-, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 53
3. การพจารณาสมมาตรของพนผวกบระนาบ XY, YZ, XZ
เพราะวา f(x, y, -z) = 9
x2 - 2y +
25z2
- 1 = 0
เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY
เพราะวา f(-x, y, z) = 9
x2 - 2y +
25z2
- 1 = 0
เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ
เพราะวา f(x, -y, z) = 9
x2 - 2y +
25z2
- 1 = 0
เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ
4. การพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ
แทนคา x = 0 จะได - 2y + 25z2
= 1
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ YZ มกราฟเปนไฮเพอรโบลา
แทนคา y = 0 จะได 9
x2 +
25z2
= 1
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มกราฟเปนวงร
แทนคา z = 0 จะได 9
x2 - 2y = 1
เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มกราฟเปนไฮเพอรโบลา
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 54
5. การพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k
เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k เมอ k เปนจานวนจรง
มสมการเปน - 2y + 25z2
= 1 - 9
k2, x = k
กรณท 1. k 3 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม
แกนตามขวางขนานกบแกน Z
กรณท 2. k = 3 จะไดรอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน
กรณท 3. k 3 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม
แกนตามขวางขนานกบแกน Y
รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k เปนจานวนจรง
มสมการเปน 9
x 2 +
25z2
= 1 + 2k , y = k
เพราะฉะนนรอยตดเปนวงรทกคา k
รอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง
มสมการเปน 9
x 2 - 2y = 1 -
25k2
, z = k
กรณท 1. k 5 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม
แกนตามขวางขนานกบแกน X
กรณท 2. k = 5 จะไดรอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน
กรณท 3. k 5 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม
แกนตามขวางขนานกบแกน Y
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 55
6. การเขยนกราฟของพ นผว
อาจพจารณาจากรอยตดบนระนาบ y = k
ซงไดรอยตดเปนวงรและขนาดของวงรแปรเปลยนตามคาของ k
โดย วงรมขนาดเลกทสดเมอ k = 0
และ วงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากดเมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด
จากการพจารณาขางตนจะได
กราฟของพนผว 9
x2 - 2y +
25z2
= 1 คอ
รปท 1.3.5
หมายเหต พนผวนเรยกวา
อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 56
1.4 พ นผวควอดรก
เรขาคณตวเคราะหเบองตนในปรภมสองมต
y = mx + c หรอ ax + by + c = 0 มกราฟเปนเสนตรง
y = a 2x + bx + c, x = a 2y + by + c มกราฟเปนพาราโบลา
2x + 2y = 2r มกราฟเปนวงกลม
2
2
ax +
2
2
b
y = 1 หรอ
2
2
a
y +
2
2
bx = 1 มกราฟเปนวงร
2
2
a
x - 2
2
b
y = 1 หรอ
2
2
a
y -
2
2
b
x = 1 มกราฟเปนไฮเพอรโบลา
ในหวขอนเราจะศกษาลกษณะของกราฟของ
สมการกาลงสองของสามตวแปร x, y, z ซงมรปทวไปเปน
A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0 ... (1)
เมอ A, B, C ไมเปนศนยพรอมกน
ถากราฟของสมการนเปนพนผว แลว เรยกวา พ นผวควอดรก
พนผวควอดรกทสาคญคอ
อลลปซอยด
อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดสองชน
กรวยอลลปตก
อลลปตกพาราโบลอยด
และ ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 57
การขจดพจน Gx + Hy + Kz ออกจากสมการ
A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0
เมอ A, B, C ไมเปนศนยพรอมกน
ใชการยายจดกาเนด ดวยการจดรปแบบกาลงสองสมบรณ
ตวอยาง การขจดพจน x, y, z กาลงหนงออกจากสมการ
2x + 2y + 2z + 4x + 8y + 4 = 0
จดรปแบบกาลงสองสมบรณไดเปน
(x + 2)2 + (y + 4)2 + (z)2 = 16
แทนคา x = x + 2, y = y + 4 และ z = z
จะไดสมการใหมเปน (x)2 + (y)2 + (z)2 = 16
ซงมกราฟเปน อลลปซอยด
จากแนวคดของการเปลยนตวแปรขางตนเราจงศกษาลกษณะ
ของกราฟของสมการกาลงสองของ
สามตวแปร x, y, z ในรปอยางงายตอไปน
1. A 2x + B 2y + C 2z + D = 0
2. A 2x + B 2y + Cz = 0
3. A 2x + C 2z + By = 0
4. B 2y + C 2z + Ax = 0
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 58
1.4.1 อลลปซอยด
คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปน
A 2x + B 2y + C 2z = D เมอ A, B, C, D 0
หรอ 2
2
ax +
2
2
b
y +
2
2
cz = 1 เมอ a, b, c 0
จดตดแกน
จดตดแกน X คอ ( a, 0, 0)
จดตดแกน Y คอ (0, b, 0)
จดตดแกน Z คอ (0, 0, c)
สมมาตร
กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด
กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม
กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม
รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ
รอยตดบนระนาบ XY เปนวงร 2
2
ax +
2
2
b
y = 1, z = 0
รอยตดบนระนาบ YZ เปนวงร 2
2
b
y +
2
2
cz = 1, x = 0
รอยตดบนระนาบ XZ เปนวงร 2
2
a
x + 2
2
cz = 1, y = 0
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 59
รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k
เมอ k a รอยตดเปนวงร 2
2
b
y +
2
2
cz = 1 -
2
2
a
k , x = k
เมอ k = a รอยตดเปนจด (k, 0, 0)
เมอ k a ไมมรอยตด
รอยตดบนระนาบ y = k
เมอ k b รอยตดเปนวงร 2
2
ax +
2
2
cz = 1 -
2
2
bk , y = k
เมอ k = b รอยตดเปนจด (0, k, 0)
เมอ k b ไมมรอยตด
รอยตดบนระนาบ z = k
เมอ k c รอยตดเปนวงร 2
2
ax +
2
2
b
y = 1 -
2
2
ck , z = k
เมอ k = c ไดรอยตดเปนจด (0, 0, k)
เมอ k c ไมมรอยตด
ขอบเขตของตวแปร
ขอบเขตของ x คอ [-a, a]
ขอบเขตของ y คอ [-b, b]
ขอบเขตของ z คอ [-c, c]
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 60
แนวคดในการเขยนกราฟ
พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k จะเหนวารอยตดเรมจาก
จด (0, 0, -c) และเมอ k มคาเพมขน รอยตดจะเปนวงร ซง
วงรจะมขนาดใหญขนเรอย ๆ จนมขนาดใหญทสดเมอ k = 0
จากนนขนาดของวงรจะเลกลงเรอย ๆ จนกลายเปนจด (0,0,c)
กราฟของอลลปซอยด
รปท 1.4.1
หมายเหต 1. อลลปซอยด 2
2
ax +
2
2
b
y +
2
2
cz = 1
มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)
2. 2
2
a
)hx( +
2
2
b
)ky( +
2
2
c
)z( = 1
อลลปซอยดมจดศนยกลางอยทจด (h, k, )
3. ถา a = b หรอ b = c หรอ c = a คใดคหนง
แลว กราฟจะเปนอลลปซอยดทเกดจากการหมน
4. ถา a = b = c แลว กราฟจะเปนทรงกลม รศม a
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 61
1.4.2 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
คอ พนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน
1. A 2x + B 2y - C 2z = D หรอ 2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 1
2. A 2x - B 2y + C 2z = D หรอ 2
2
a
x - 2
2
b
y +
2
2
cz = 1
3. -A 2x + B 2y + C 2z = D หรอ -2
2
ax +
2
2
b
y +
2
2
cz = 1
เมอ A, B, C, D 0 หรอ a, b, c 0
สาหรบสมการ 2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 1
มลกษณะทสาคญของพนผวดงน
จดตดแกน
จดตดแกน X คอ ( a, 0, 0)
จดตดแกน Y คอ (0, b, 0)
จดตดแกน Z ไมม
สมมาตร
กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด
กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม
กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 62
รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ
รอยตดบนระนาบ XY เปนวงร 2
2
a
x + 2
2
b
y = 1, z = 0
รอยตดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา 2
2
b
y -
2
2
cz = 1, x = 0
รอยตดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา 2
2
a
x - 2
2
cz = 1, y = 0
รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k
เมอ k a
รอยตดเปนไฮเพอรโบลา 2
2
b
y -
2
2
cz = 1 -
2
2
ak , x = k
เมอ k = a รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน
รอยตดบนระนาบ y = k
เมอ k b
รอยตดเปนไฮเพอรโบลา 2
2
a
x - 2
2
cz = 1 -
2
2
b
k , y = k
เมอ k = b รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน
รอยตดบนระนาบ z = k เปนวงร 2
2
a
x + 2
2
b
y = 1 +
2
2
c
k , z = k
ขอบเขตของตวแปร
ขอบเขตของ x คอ (-, )
ขอบเขตของ y คอ (-, )
ขอบเขตของ z คอ (-, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 63
แนวคดในการเขยนกราฟ
พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k ซงไดรอยตดเปนวงร
ขนาดของวงรจะแปรเปลยนตามคาของ k โดยวงรจะมขนาดเลก
ทสดเมอ k = 0 และ วงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากด
เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด
กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
รปท 1.4.2
หมายเหต 1. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 1 มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)
2
2
a
)hx( +
2
2
b
)ky( -
2
2
c
)z( = 1
จดศนยกลางอยทจด (h, k, )
2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ 2
2
ax +
2
2
b
y -
2
2
cz = 1
เปนไฮเพอรโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 64
1.4.3 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน
คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน
1. A 2x - B 2y - C 2z = D หรอ 2
2
a
x - 2
2
b
y -
2
2
cz = 1
2. -A 2x + B 2y - C 2z = D หรอ -2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 1
3. -A 2x - B 2y + C 2z = D หรอ -2
2
ax -
2
2
b
y +
2
2
cz = 1
เมอ A, B, C, D 0 หรอ a, b, c 0
สมการ -2
2
a
x - 2
2
b
y +
2
2
cz = 1 มลกษณะสาคญของพนผวดงน
จดตดแกน จดตดแกน X ไมม
จดตดแกน Y ไมม
จดตดแกน Z คอจด (0, 0, c)
สมมาตร กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด
กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม
กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม
รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ
รอยตดบนระนาบ XY ไมม
รอยตดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา -2
2
b
y+
2
2
cz
= 1, x = 0
รอยตดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา -2
2
a
x +
2
2
cz = 1, y = 0
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 65
รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k
เปนไฮเพอรโบลา -2
2
b
y +
2
2
cz = 1 +
2
2
a
k , x = k ทกคา k
รอยตดบนระนาบ y = k
เปนไฮเพอรโบลา -2
2
ax +
2
2
cz = 1 +
2
2
bk , y = k ทกคา k
รอยตดบนระนาบ z = k
เมอ k c ไมมรอยตด
เมอ k c
รอยตดเปนวงร 2
2
a
x + 2
2
b
y =
2
2
c
k - 1, z = k ทกคา k
เมอ k = c รอยตดเปนจด (0, 0, k)
ขอบเขตของตวแปร
ขอบเขตของ x คอ (-, )
ขอบเขตของ y คอ (-, )
ขอบเขตของ z คอ (-, -c] [c, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 66
แนวคดในการเขยนกราฟ
พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k
เมอ k = c รอยตดเปนจด (0, 0, c) และ (0, 0, -c)
เมอ k c รอยตดเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนอยางไมม
ขดจากด เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด
กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน
รปท 1.4.3
หมายเหต 1. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน
-2
2
a
x - 2
2
b
y +
2
2
cz = 1 มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)
-2
2
a
)hx( -
2
2
b
)ky( +
2
2
c
)z( = 1
มจดศนยกลางอยทจด (h, k, )
2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ -2
2
a
x - 2
2
b
y +
2
2
c
z = 1
เปนไฮเพอรโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 67
1.4.4 กรวยอลลปตก
คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน
1. A 2x + B 2y - C 2z = 0 หรอ 2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 0
2. A 2x - B 2y + C 2z = 0 หรอ 2
2
a
x - 2
2
b
y +
2
2
cz = 0
3. -A 2x + B 2y + C 2z = 0 หรอ -2
2
ax +
2
2
b
y +
2
2
cz = 0
เมอ A, B, C 0 หรอ a, b, c 0
สมการ 2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 0 มลกษณะทสาคญของพนผวดงน
จดตดแกน
จดตดแกน X คอ (0, 0, 0)
จดตดแกน Y คอ (0, 0, 0)
จดตดแกน Z คอ (0, 0, 0)
สมมาตร
กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด
กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม
กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 68
รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ
รอยตดบนระนาบ XY เปนจด (0, 0, 0)
รอยตดบนระนาบ YZ
เปนเสนตรงสองเสนซงตดกนทจดกาเนด
มสมการเปน 2
2
b
y -
2
2
cz = 0, x = 0 หรอ y =
cb z, x = 0
รอยตดบนระนาบ XZ
เปนเสนตรงสองเสนซงตดกนทจดกาเนด
มสมการเปน 2
2
a
x - 2
2
cz = 0, y = 0 หรอ z =
ac x, y = 0
รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k
เปนไฮเพอรโบลา 2
2
b
y -
2
2
cz = -
2
2
a
k , x = k ทกคา k 0
รอยตดบนระนาบ y = k
เปนไฮเพอรโบลา 2
2
a
x - 2
2
cz = -
2
2
b
k , y = k ทกคา k 0
รอยตดบนระนาบ z = k
เปนวงร 2
2
a
x + 2
2
b
y =
2
2
c
k , z = k ทกคา k 0
ขอบเขตของตวแปร
ขอบเขตของ x คอ (-, )
ขอบเขตของ y คอ (-, )
ขอบเขตของ z คอ (-, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 69
แนวคดในการเขยนกราฟพ นผว
พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k
เมอ k = 0 รอยตดเปนจด (0, 0, 0)
เมอ k 0 รอยตดเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนอยางไม
มขดจากด เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด
กราฟของกรวยอลลปตก
รปท 1.4.4
หมายเหต 1. กรวยอลลปตก
2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 0 มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)
2
2
a
)hx( +
2
2
b
)ky( -
2
2
c
)z( = 0
มจดศนยกลางอยทจด (h, k, )
2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ 2
2
a
x + 2
2
b
y -
2
2
cz = 0
จะเปนกรวยกลมซงเปนพนผวทเกดจากการหมน
เสนตรงทผานจดกาเนดรอบแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 70
1.4.5 อลลปตกพาราโบลอยด
คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปนแบบใดแบบหนงตอไปน
1. A 2x + B 2y = Cz เมอ A, B 0 และ C 0
หรอ 2
2
a
x + 2
2
b
y = cz เมอ a, b 0 และ c 0
2. A 2x + C 2z = By เมอ A, C 0 และ B 0
หรอ 2
2
a
x + 2
2
cz = by เมอ a, c 0 และ b 0
3. B 2y + C 2z = Ax เมอ B, C 0 และ A 0
หรอ 2
2
b
y +
2
2
cz = ax เมอ b, c 0 และ a 0
สาหรบสมการ 2
2
ax +
2
2
b
y = cz เมอ a, b 0 และ c 0
มลกษณะทสาคญของพนผวดงน
จดตดแกน
จดตดแกน X คอ (0, 0, 0)
จดตดแกน Y คอ (0, 0, 0)
จดตดแกน Z คอ (0, 0, 0)
สมมาตร
กราฟมสมมาตรกบแกน Z
กราฟมสมมาตรกบระนาบ YZ และ ระนาบ XZ
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 71
รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ
รอยตดบนระนาบ XY เปนจด (0, 0, 0)
รอยตดบนระนาบ YZ เปนพาราโบลา 2y = 2b cz, x = 0
รอยตดบนระนาบ XZ เปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0
รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k
เปนพาราโบลา 2y = 2b c(z - 2
2
ca
k ), x = k ทกคา k
รอยตดบนระนาบ y = k
เปนพาราโบลา 2x = 2a c(z - cb
k2
2), y = k ทกคา k
รอยตดบนระนาบ z = k
เปนวงร 2
2
a
x + 2
2
b
y = ck, z = k ทกคา k 0
ขอบเขตของตวแปร
ขอบเขตของ x คอ (-, )
ขอบเขตของ y คอ (-, )
ขอบเขตของ z คอ [0, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 72
แนวคดในการเขยนกราฟ
พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k จะเหนวารอยตดเรมจาก
จด (0, 0, 0) และ เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด รอย
ตดจะเปนวงรทมขนาดใหญอยางไมมขดจากด
กราฟของอลลปตกพาราโบลอยด
รปท 1.4.5
หมายเหต 1. จด O(0, 0, 0) เรยกวา จดยอด
ของอลลปตกพาราโบลอยด 2
2
ax +
2
2
b
y = cz
(h, k, ) เปนจดยอด ของ 2
2
a
)hx( +
2
2
b
)ky( = c(z - )
เมอ c 0
2. กราฟของ 2
2
ax +
2
2
b
y = cz เมอ c 0 เปนอลลปตกพารา
โบลอยด ควาลง มจดยอด (0, 0, 0) เปนจดสงสดของกราฟ
3. ถา a = b แลว กราฟของสมการ 2
2
ax +
2
2
b
y = cz
จะเปนพาราโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 73
1.4.6 ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด
คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปนแบบใดแบบหนงตอไปน
1. A 2x - B 2y = Cz เมอ A, B 0 และ C 0
หรอ 2
2
a
x - 2
2
b
y = cz เมอ a, b 0 และ c 0
2. A 2x - C 2z = By เมอ A, C 0 และ B 0
หรอ 2
2
ax -
2
2
cz = by เมอ a, c 0 และ b 0
3. B 2y - C 2z = Ax เมอ B, C 0 และ A 0
หรอ 2
2
b
y -
2
2
cz = ax เมอ b, c 0 และ a 0
สาหรบสมการ 2
2
ax -
2
2
b
y = cz เมอ a, b 0 และ c 0
มลกษณะทสาคญของพนผวดงน
จดตดแกน
จดตดแกน X คอ (0, 0, 0)
จดตดแกน Y คอ (0, 0, 0)
จดตดแกน Z คอ (0, 0, 0)
สมมาตร
กราฟมสมมาตรกบแกน Z
กราฟมสมมาตรกบระนาบ YZ และ ระนาบ XZ
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 74
รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ
รอยตดบนระนาบ XY
เปนเสนตรงสองเสนตดกนทจด (0, 0, 0)
มสมการเปน 2
2
ax -
2
2
b
y = 0, z = 0 หรอ y =
ab x, z = 0
รอยตดบนระนาบ YZ
เปนพาราโบลา 2y = - 2b cz, x = 0
รอยตดบนระนาบ XZ
เปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0
รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง
รอยตดบนระนาบ x = k
เปนพาราโบลา 2y = - 2b c(z - ca
k2
2), x = k ทกคา k
รอยตดบนระนาบ y = k
เปนพาราโบลา 2x = 2a c(z + cb
k2
2), y = k ทกคา k
รอยตดบนระนาบ z = k
เปนไฮเพอรโบลา 2
2
ax -
2
2
b
y = ck, z = k ทกคา k 0
ขอบเขตของตวแปร
ขอบเขตของ x คอ (-, )
ขอบเขตของ y คอ (-, )
ขอบเขตของ z คอ (-, )
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 75
แนวคดในการเขยนกราฟ
พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k
เมอ k = 0 รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน
เมอ k 0
รอยตดจะเปนไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางขนานกบแกน Y
เมอ k 0
รอยตดจะเปนไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางขนานกบแกน X
กราฟของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด
รปท 1.4.6
หมายเหต 1. กราฟของสมการ 2
2
ax -
2
2
b
y = cz เมอ c 0
คลายอานมาครอมบนแกน Y จงนยมเรยก ไฮเพอรโบลกพารา
โบลอยด วา พ นผวอานมา จด (0, 0, 0) เรยกวา จดอานมา
สมการเปน 2
2
a
)hx( -
2
2
b
)ky( = c(z - ) เมอ c 0
เปนพนผวอานมา มจดอานมาอยทจด (h, k, )
2. กราฟของสมการ 2
2
a
x - 2
2
b
y = cz เมอ c 0
คลายอานมาครอมบนแกน X
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 76
ตวอยาง 1.4.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผวตอไปน
1. 16x 2
- 25y2
+ 9
z2 = 0 2. 175 2x + 112 2y + 400z = 0
วธทา 1. 16x 2
- 25y2
+ 9
z2 = 0 เปนสมการของกรวยอลลปตก
รปท 1.4.7
รอยตดบนระนาบ y = 5 เปนวงร 16x 2
+ 9
z2 = 1, y = 5
2. จาก 175 2x + 112 2y + 400z = 0
2800 หารตลอด ; 16x 2
+ 25y2
+ 7z = 0
16x 2
+ 25y2
= -7z
เปนสมการของ
อลลปตกพาราโบลอยด
รปท 1.4.8
รอยตดบนระนาบ z = -7 เปนวงร 16x 2
+ 25y2
= 1, z = -7
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 77
ตวอยาง 1.4.2 กาหนดสมการของพนผวเปน
16 2x + 9 2y + 12z - 96 = 0
1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 และ y = 2
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
วธทา จาก 16 2x + 9 2y + 12z - 196 = 0
จะได 16 2x + 9 2y = -12(z - 8)
ซงเปนสมการของอลลปตกพาราโบลอยด
สมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 คอ
16 2x + 9 2y + 12(-4) - 96 = 0 , z = -4
16 2x + 9 2y = 144 , z = -4
9
x 2 +
16y2
= 1 , z = -4
ซงมกราฟเปนวงร
สมการของรอยตดบนระนาบ y = 2 คอ
16 2x + 9(2)2 + 12z - 96 = 0, y = 2
16 2x + 12z = 60, y = 2
2x = -43(z - 5), y = 2
ซงมกราฟเปนพาราโบลา
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 78
กราฟของอลลปตกพาราโบลอยด
ซงแสดงรอยตดบนระนาบ z = -4 และ y = 2 คอ
รปท 1.4.9
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 79
ตวอยาง 1.4.3 กาหนดสมการของพนผวเปน
225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0
1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
วธทา จาก 225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0
จะได 16x 2
- 9
y2 +
25z2
+ 1 = 0
-16x 2
+ 9
y2 -
25z2
= 1
ซงเปนสมการของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน
สมการของรอยตดบนระนาบ y = 3 2 คอ
-16x 2
+ 9
18 - 25z2
= 1 , y = 3 2
16x 2
+ 25z2
= 1 , y = 3 2
ซงมกราฟเปนวงร
สมการของรอยตดบนระนาบ z = 5 2 คอ
-16x 2
+ 9
y2 -
2550 = 1 , z = 5 2
9
y2 -
16x 2
= 3 , z = 5 2
27y2
- 48x 2
= 1 , z = 5 2
ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 80
กราฟอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน
ซงแสดงรอยตดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2 คอ
รปท 1.4.10
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 81
ตวอยาง 1.4.4 กาหนดสมการของพนผวเปน
50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0
1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ y = 4 และ z = 0
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
วธทา จาก 50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0
จะได 8
x 2 -
16y2
+ 50z2
= 1
ซงเปนสมการของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
สมการของรอยตดบนระนาบ y = 4 คอ
8
x 2 -
1616 +
50z2
= 1 , y = 4
16x 2
+ 100z2
= 1 , y = 4
ซงมกราฟเปนวงร
สมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 คอ 8
x 2 -
16y2
= 1, z = 0
ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 82
กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
ซงแสดงรอยตดบนระนาบ y = 4 และ z = 0 คอ
รปท 1.4.11
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 83
ตวอยาง 1.4.5 กาหนดสมการของพนผวเปน
25 2x - 4 2y + 25z = 0
1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ
x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
วธทา จาก 25 2x - 4 2y + 25z = 0
จะได 4
x 2 -
25y2
= -4z
ซงเปนสมการของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด (พนผวอานมา)
สมการของรอยตดบนระนาบ x = 0 คอ
2y = 425z, x = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา
สมการของรอยตดบนระนาบ y = 0 คอ
2x = -z, y = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา
สมการของรอยตดบนระนาบ z = 4 คอ
25y2
- 4
x 2 = 1, z = 4 ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา
สมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 คอ
4
x 2 -
25y2
= 1, z = -4 ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 84
กราฟของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด ซงแสดงรอยตด
บนระนาบ x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4 คอ
รปท 1.4.12
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 85
อลลปซอยด
อลลปตกไฮเพอรโบลอยด
ชนดชนเดยว
อลลปตกไฮเพอรโบลอยด
ขนดสองชน
กรวยอลลปตก
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต
2301207 Calculus III 2561/1st
1 - 86
อลลปตกพาราโบลอยด
ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต 1 - 87
แบบฝกหด 1.2
จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมนเสนโคงในระนาบ รอบแกนพกด ทกาหนดให
1. 3z + 4y = 12 , x = 0 รอบแกน Y
2. 2y = 3(x – 2) , z = 0 รอบแกน X
3. y = 4 z , x = 0 รอบแกน Z
4. 2x + 2z = 25 , y = 0 รอบแกน X
5. 16 2y + 9 2z = 144 , x = 0 รอบแกน Y
6. 16 2x + 2z = 16 , y = 0 รอบแกน Z
7. 16x2 +
25y2
= 1 , z = 0 รอบแกน Y
8. 4x2 –
9y2
= 1 , z = 0 รอบแกน X
9. (y – 4) 2 = 12(x – 2) , z = 0 รอบแกน Y
10. 4 2x – 2y = 1 , z = 0 รอบแกน Y
เฉลยแบบฝกหด 1.2
1. 9 2x – 16 2y + 9 2z + 96y – 144 = 0 2. 2y + 2z – 3x + 6 = 0
3. 2x + 2y – 16z = 0 4. 2x + 2y + 2z = 25
5. 9 2x + 16 2y + 9 2z = 144 6. 16 2x + 16 2y + 2z = 16
7. 25 2x + 16 2y + 25 2z = 400 8. 9 2x – 4 2y – 4 2z = 36
9. 144 2x + 144 2z = ((y – 4) 2 + 24) 2 10. 4 2x – 2y + 4 2z = 1
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต 1 - 88
แบบฝกหด 1.3
จงพจารณาลกษณะของพนผวจากสมการทกาหนดให
(1) จงหาจดตดแกน
(2) จงหาขอบเขตของตวแปร
(3) จงพจารณาการมสมมาตรของพนผวเทยบกบระนาบพกดฉาก แกนพกดฉาก
และจดกาเนด
(4) จงพจารณารอยตดบนระนาบพกดฉาก
(5) จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k เมอ k เปนจานวนจรง
(6) จงเขยนกราฟของพนผว
1. 4 2x + 9 2y + 16 2z - 144 = 0
2. 2x - 2y + 4 2z - 4 = 0
3. 2x + 2y - z = 0
4. 2x + 2y + 8z = 0
5. 2x + 2y - 4y = 0
6. 2x + 2y - 2z = 0
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต 1 - 89
แบบฝกหด 1.4
1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผวตอไปน
1.1 2x + 2y + 2z + 2z = 0
1.2 2y + 2z – x – 4 = 0
1.3 2x + 4 2y – 8z – 16 = 0
1.4 2x – 2y + 2z + 2x + 2y + 4z = 0
1.5 2 2x – 2y – 2z + 4x + 2y + 4z = 0
1.6 25 2x – 2y + 144 2z + 2y – 1 = 0
1.7 2x – 2 2y + 2x + 4y – z + 2= 0
1.8 2x + 2y – 2 2z + 4x + 4y = 0
1.9 4 2x + 9 2y + 2z – 8x + 2 = 0
1.10 4)1x( 2
– 9)2y( 2
– 16
)1z( 2 = 1
1.11 16
)2x( 2 +
9)1y( 2
– 25)1z( 2
= 0
1.12 2x + 2y + 3 2z – 2x + 4y – 6z = 3
2. กาหนดสมการของพนผวเปน 4x2 +
9y2
– 2z2 = 1
2.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
2.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 และ z = – 6
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
3. กาหนดสมการของพนผวเปน 4x2 +
9y2
+ 36z2 = 1
3.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
3.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 และ z = 3 2
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
4. กาหนดสมการของพนผวเปน 2x + 4y2
= 2z
4.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
4.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ x = 1, y = 0 และ z = 8
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
5. กาหนดสมการของพนผวเปน 16 2x + 4 2y – 2z = 0
5.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว
5.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z= 8 และ y = 3
พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว
บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต 1 - 90
เฉลยแบบฝกหด 1.4
1. 1.1อลลปซอยด 1.2อลลปตกพาราโบลอยด
1.3อลลปตกพาราโบลอยด 1.4 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
1.5อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดชนเดยว 1.6กรวยอลลปตก
1.7ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด 1.8 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว
1.9อลลปซอยด 1.10 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดสองชน
1.11 กรวยอลลปตก 1.12 อลลปซอยด
2. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว 3. อลลปซอยด
4. อลลปตกพาราโบลอยด 5.กรวยอลลปตก