การใหเหตผล

19 Jan 2016

สารบญ

ระบบคณตศาสตร .................................................................................................................................................................... 1

รปแบบการใหเหตผล ............................................................................................................................................................... 3

ความสมเหตสมผล ................................................................................................................................................................... 5

การใหเหตผล 1

ระบบคณตศาสตร ในวชาคณตศาสตร จะมค าศพทตางๆมากมายเตมไปหมด

ค าศพทบางค า กมความหมายทอานไมรเรอง ซงกตองเอาความหมายมาอธบายกนอกหลายตอ

เพอใหเหนภาพ จะขอยกตวอยางค าอธบายของศพทค าหนงในเรองทฤษฎกราฟ ดงน

ถาอานไมรเรองกไมเปนไร ตวอยางนตองการใหเหนภาพการอธบายค าศพทเปนทอดๆ เทานน จะเหนวา ถาไลอธบายลงไปเรอยๆแบบนถงจดหนง จะมค าศพทบางค าท “รๆอยวาคออะไร แตไมรจะอธบายยงไง” นกคณตศาสตรจงตกลงใหมค าศพทพเศษกลมหนง เรยกวา “อนยาม” ซงจะถอวา “รความหมาย โดยไมตองมค าอธบายอยางเปนทางการ” ตวอยางของ อนยาม เชน จด, เสน, ระนาบ, เซต

ส าหรบค าศพทอนๆทไมใช อนยาม จะมค าอธบายความหมายอยางเปนทางการ เพอความเขาใจทตรงกน

การอธบายความหมายของค าศพทเหลาน เรยกวา “นยาม” ตวอยางของนยาม เชน เชน “กราฟ คอ เซตของจด กบเสนเชอมจด” เปนตน

นอกจากความหมายของค าศพท เรายงมปญหาคลายๆกนใน “การพสจนประโยค” อกดวย

การจะพสจนวาประโยคหนงๆเปนจรงหรอไม เรามกตองอางประโยคอนๆมาใหเหตผล

ซงประโยคอนๆทน ามาอาง กตองผานการพสจนแลววาจรง โดยการอางประโยคอนๆอกหลายตอ

และเมอถงจดหนง เราจะพบประโยคท “เหนชดๆวาจรง แตไมรจะพสจนยงไง” นกคณตศาสตรจงตกลงใหมประโยคพเศษกลมหนง เรยกวา “สจพจน” ซงจะถอวา “จรงโดยไมตองพสจน” ตวอยางของสจพจน เชน “เสนตรงสองเสน ตดกนไดไมเกน 1 จด” ส าหรบประโยคอนๆไดเปนจรงโดยการพสจน เราจะเรยกวา “ทฤษฎบท” ซงการพสจนทฤษฎบทนน อาจตองใชทง นยาม อนยาม สจพจน และ ทฤษฎบทอนๆ

นยาม

อนยาม

ตนไมแผทวน าหนกนอยสดของกราฟ G คอ ตนไมแผทวของกราฟ G ทม ผลรวมของน าหนกเสนนอยทสด

ตนไมแผทวของกราฟ G คอ สบกราฟของ G ทมจดยอดทกจดของกราฟ G

กราฟ คอ เซตของจด กบเซตของเสนทเชอมจด

สบกราฟของ G คอ กราฟทมจดและเสน เปนสบเซตของกราฟ G

เซต คอ ...... จด คอ ...... เสน คอ ......

ประโยค XXXX จรง เพราะ YYYY กบ ZZZZ

YYYY จรง เพราะ AAAA ZZZZ จรง เพราะ BBBB กบ CCCC

AAAA จรง เพราะ ??? BBBB จรง เพราะ ???

CCCC จรง เพราะ DDDD

DDDD จรง เพราะ ???

ทฤษฎบท

สจพจน

2 การใหเหตผล

สรป “อนยาม” คอ ค าศพททถอวารความหมายตรงกนได โดยไมตองมค าอธบายอยางเปนทางการ “นยาม” คอ การใหความหมายของค าศพททไมใช อนยาม

“สจพจน” คอ ประโยคทถอวาจรง โดยไมตองพสจน

“ทฤษฎบท” คอ ประโยคทจรง โดยผานการพสจน

แบบฝกหด

1. จงพจารณาวาค าหรอขอความในแตละขอตอไปน เปน อนยาม นยาม สจพจน หรอ ทฤษฎบท 1. รปสามเหลยม คอ รปปดทประกอบดวยสวน 2. เมอก าหนดจด 2 จดมาให เราสามารถลากเสนตรงท ของเสนตรง 3 เสน มาตอกนแบบปลายชนปลาย ผานทง 2 จดนน ไดเพยงเสนเดยว

3. ผลรวมของมมภายในสามเหลยม จะเทากบ 4. ถา 𝑎 < 𝑏 < 0 แลว 𝑎2 > 𝑏2

180 องศา เสมอ

5. เซต 6. สเหลยมมมฉาก คอ รปสเหลยมทมมมทกมมเปน

มมฉาก

7. จด 8. (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

9. สวนสงของสามเหลยม คอ เสนตรงทลากจาก 10. มมฉากทกมม มขนาดเทากนเสมอ

จดยอดของไปตงฉากกบฐาน

การใหเหตผล 3

รปแบบการใหเหตผล

เรามวธใหเหตผลอย 2 แบบ คอ “อปนย” กบ “นรนย” “อปนย” คอ การเดาขอสรป โดยสงเกตจากแนวโนมของตวอยาง

เชน เราสงเกตพบวา นกพราบบนได , นกเขาบนได , นกนางนวลบนได จงใชหลกอปนย สรปวา นกทกชนดบนได เราสงเกตวา 2, 6, 10, 14 มตวเลขเพมทละ 4 จงใชหลกอปนย สรปวา ตวถดไป ตองเปน 18, 22, 26, …

ผลจากการอปนย อาจผดพลาดได ถาตวอยางไมครอบคลมพอ หรอ ตวอยางทน ามาใชสรปเปนตวอยางทไมถกตอง

โจทยในเรองอปนย มกจะใหตวอยางหลายๆตวอยางมาใหเราสงเกต เพอหาขอสรป

“นรนย” คอ การหาขอสรปจากสาเหต โดยใชหลกเหตผล เชน เราพบวา ถาสมศรนอนดกแลวสมศรจะกรน แตคนนนสมศรไมกรน จงใชหลกนรนย สรปวา คนนนสมศรนอนไมดก เราพบวา คนรายคอสมชายหรอไมกสมหญง แตสมหญงไมใชคนราย จงใชหลกนรนย สรปวา คนรายคอสมชาย ผลสรปจากการ นรนยจะถกตองเสมอ ถาการสรปเปนไปอยางมเหตผล และ สาเหตทน ามาใชสรปเปนสาเหตทถกตอง

รปแบบการนรนย ทควรทราบ เชน

ถา X แลว Y ถา X จรง เราสามารถสรป Y ได (Modus Ponens)

ถา X ไมจรง เราไมสามารถสรปอะไรได

ถา Y จรง เราไมสามารถสรปอะไรได ถา Y ไมจรง เราสามารถสรปวา X ไมจรงได (Modus Tollens)

X หรอ Y ถา X ไมจรง เราสามารถสรป Y ได (การตดตวเลอก) ถา Y ไมจรง เราสามารถสรป X ได

แบบฝกหด

1. จงพจารณาวาการสรปเหตผลตอไปน เปนการใหเหตผลแบบอปนย หรอนรนย

1. เหต: 1. สมศรชอบเรยนคณตศาสตร 2. เหต: 1. 1 = 12

2. สมชายชอบเรยนคณตศาสตร 2. 1 + 3 = 4 = 22

3. สมศกดชอบเรยนคณตศาสตร 3. 1 + 3 + 5 = 9 = 32

ผลสรป ทกคนชอบเรยนคณตศาสตร ผลสรป: 1 + 3 + 5 + … + 2𝑛 − 1 = 𝑛2

เปนการใหเหตผลแบบ ............... เปนการใหเหตผลแบบ ...............

3. เหต: 1. ทกคนทกนเหลา ผดศลขอ 5 4. เหต: 1. นองมด ตวอลเลยเมอลกลอยสงสด 2. สมสมรกนเหลา 2. นองปลา ตวอลเลยเมอลกลอยสงสด

ผลสรป สมสมรผดศลขอ 5 3. นองป ตวอลเลยเมอลกลอยสงสด

เปนการใหเหตผลแบบ ............... ผลสรป: นองนก ตวอลเลยเมอลกลอยสงสด

เปนการใหเหตผลแบบ ...............

4 การใหเหตผล

2. จากรปแบบตอไปน

โดยการใหเหตผลแบบอปนย จงหาคาของ 𝑎 + 𝑏

3. พจารณาผลตางระหวางพจนของล าดบ 2, 5, 10, 17, 26, … โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของล าดบคอขอใดตอไปน [O-NET 52/11]

1. 145 2. 121 3. 101 4. 84

4. จากรปแบบตอไปน

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 มคาเทากบขอใดตอไปน [O-NET 51/16] 1. 11 2. 22 3. 33 4. 44

5. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. ถาฝนไมตก แลว เดชาไปโรงเรยน

2. ฝนตก

ผล เดชาไมไปโรงเรยน

ข. เหต 1. รตนาขยนเรยน หรอ รตนาสอบชงทนรฐบาลได

2. รตนาไมขยนเรยน

ผล รตนาสอบชงทนรฐบาลได ขอใดตอไปนถกตอง [O-NET 54/3]

1. ก. สมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล

3. ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4. ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล

3

1 3 8

2 4 15

3 5 … 48

𝑎 𝑏

7 14 21 77

1 2 4 2 4 8 3 6 12 … 𝑎 𝑏 𝑐

การใหเหตผล 5

ความสมเหตสมผล

ในการนรนยทสมเหตสมผล ถา สาเหตเปนจรง แลว ขอสรปจะตองเปนจรงเสมอ ในเรองน เราจะสมมตเลยวา เหตทกเหตเปนจรง (ถงแมเหตบางอนไมนาจะจรงกตาม) แลวดวาขอสรปจ าเปนตองจรงไหม

ลองคดดเลนๆ วาการนรนยตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต: 1. คนทกคน มอายไมเกน 100 ป เหต: 1. เพอนสนทบางคน ไมเกรงใจฉน 2. โดราเอมอน ไมใชคน 2. ฉนสนทกบทกคนในหอง 4/1 ผลสรป: โดราเอมอนมอายเกน 100 ป ผลสรป: บางคนในหอง 4/1 ไมเกรงใจฉน สมเหตสมผลหรอไม ........................ สมเหตสมผลหรอไม ........................

เหต: 1. ปลาทกชนด ไมเลยงลกดวยนม เหต: 1. ผหญงสวยทกคน ใจราย 2. สตวเลยงลกดวยนมทกชนด อยในน า 2. คนใจรายทกคน ชอบกนเผด ผลสรป: ปลาทกชนด ไมอยในน า 3. สมชาย ไมกนเผด สมเหตสมผลหรอไม ........................ ผลสรป: สมชาย ไมใชผหญงสวย สมเหตสมผลหรอไม ........................

ในการตรวจสอบความสมเหตสมผล เราจะใชแผนภาพเขาชวย โดยจะใช “วงกลม” แทน กลมของ คน สตว สงของ “จด” แทน คน สตว สงของ ปกต เรามกจะตองวาดรปของเหตทกเหตลงในแผนภาพเดยวกน ซงสวนใหญจะวาดไดหลายแบบ

แผนภาพพนฐานทควรทราบ มดงน 1. “𝑎 เปน 𝐴” 2. “𝑎 ไมเปน 𝐴” เชน กนดมเปนหนยนต เชน เจาตบ ไมใชหมาหลงอาน

3. “𝐴 ทกตวเปน 𝐵” 4. “𝐴 ทกตวไมเปน 𝐵” เชน ปลาทกชนด เปนสตวน า เชน รองเทาของฉนทกค ไมใช รองเทาสนสง

หนยนต

กนดม

หมาหลงอาน

เจาตบ

สตวน า ปลา

รองเทาสนสง รองเทาของฉน

6 การใหเหตผล

5. “ม 𝐴 บางตวเปน 𝐵” 6. “ม 𝐴 บางตวไมเปน 𝐵” เชน มคนบางคน ชอบเตะบอล เชน มคนบางคน ไมชอบเตะบอล

ตวอยาง จงวาดแผนภาพทงหมดทเปนไปได ของเหตตอไปน

1. หนงไทยทกเรอง ตองแยงมรดกกน

2. ในหนงแยงมรดกบางเรอง มนางเอกทมปานแดงรปหวใจ

3. ทดดาวบษยา เปนหนงไทย วธท า เราตองรวมรปเหตทง 3 ขอ ลงในแผนภาพเดยวกน

รวม แผนภาพ ขอ 1. กบ ขอ 2. เขาดวยกน แตจะเหนวา เราไมรวา “ปานแดง” เกยวของกบ “หนงไทย” ยงไง เนองจากเราตองวาดทกแบบ ดงนน จะไดแผนภาพทเปนไปไดทงหมด 3 แบบ ดงน

เพมขอ 3. เขาไปตอ จะเหนวาแบบแรกแตกไดเปนอก 2 แบบ เพราะโจทยไมไดบอกวาทดดาวอยในปานแดงหรอไม ดงนน จะไดแผนภาพทสอดคลองกบเหตทงหมด (เมอก าหนดให จดด า แทน ทดดาว) ดงน #

หลงจากทวาดแผนภาพทกแบบออกมาแลว เราจะใชแผนภาพทได มาตรวจสอบความสมเหตสมผล ดงน ถา แผนภาพทกแบบ ไดผลสรปเปนจรง ใหตอบ “สมเหตสมผล” ถา มแผนภาพบางแบบ ไดผลสรปเปนเทจ ใหตอบ “ไมสมเหตสมผล”

ในกรณทมแผนภาพไดหลายแบบ เรามกไมจะวาดแผนภาพทกแบบ แตจะพงเปาไปหา “แผนภาพทไดผลสรปเปนเทจ” เพราะถาหาไดซกอน เราจะสามารถสรปวาไมสมเหตสมผลไดทนท แตถาหาแผนภาพทผลสรปเปนเทจไมได จงสรปวาสมเหตสมผล

หนงไทย

ขอ 1. แยงมรดก

แยงมรดก

หนงไทย

ปานแดง แยงมรดก

หนงไทย ปานแดง

แยงมรดก

หนงไทย ปานแดง

ทดดาว

หนงไทย ขอ 3.

แยงมรดก

หนงไทย ปานแดง

แยงมรดก

หนงไทย ปานแดง

แยงมรดก

หนงไทย

ปานแดง แยงมรดก

หนงไทย ปานแดง

ชอบเตะบอล คน ชอบเตะบอล คน

ขอ 2. แยงมรดก

ปานแดง

การใหเหตผล 7

ตวอยาง จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต: 1. หนงไทยทกเรอง ตองแยงมรดกกน

2. ในหนงแยงมรดกบางเรอง มนางเอกทมปานแดงรปหวใจ

3. ทดดาวบษยา เปนหนงไทย

ผลสรป: มการแยงมรดกกน ในเรองทดดาวบษยา วธท า จากแผนภาพทวาดในขอทแลว จะเหนวาทง 4 แผนภาพ มจดด าอยในวงแยงมรดก

ดงนน ขอสรปวามการแยงมรดกกน ในเรองทดดาวบษยา จงสมเหตสมผล #

ตวอยาง จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต: 1. คนโกหกทกคน ชาตหนาจะเกดมาเปนคนตดอาง 2. คนโกหกบางคน มจมกยาว

3. สมชายจมกไมยาว

ผลสรป: สมชาย เกดใหมชาตหนา จะไมตดอาง วธท า ลองพยายามหาแผนภาพทเหตทกเหตเปนจรง แตผลสรปเปนเทจ ดกอน

จะเหนวา แผนภาพน มเหตทงหมดเปนจรง แตผลสรปเปนเทจ ดงนน การอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล #

แบบฝกหด

1. ขอใดเปนการอางเหตผลทสมเหตสมผล

1. เหต: 1. คนปกตทกคน มสองขา 2. สมชายมสองขา ผลสรป: สมชายเปนคนปกต

2. เหต: 1. คนปกตทกคน มสองขา 2. สมชายเปนคนปกต ผลสรป: สมชายมสองขา

3. เหต: 1. คนปกตทกคน มสองขา 2. สมชายมสามขา ผลสรป: สมชายไมใชคนปกต

สมชาย

โกหก

ชาตหนาตดอาง จมกยาว

8 การใหเหตผล

4. เหต: 1. คนปกตทกคน มสองขา 2. สมชายไมใชคนปกต ผลสรป: สมชายไมไดมสองขา

5. เหต: 1. คนทกคน มอายไมเกน 100 ป 2. โดราเอมอน ไมใชคน ผลสรป: โดราเอมอนมอายเกน 100 ป

6. เหต: 1. เพอนสนทบางคน ไมเกรงใจฉน 2. ฉนสนทกบทกคนในหอง 4/1 ผลสรป: บางคนในหอง 4/1 ไมเกรงใจฉน

7. เหต: 1. ปลาทกชนด ไมเลยงลกดวยนม 2. สตวเลยงลกดวยนมทกชนด อยในน า ผลสรป: ปลาทกชนด ไมอยในน า

8. เหต: 1. ผหญงสวยทกคน ใจราย 2. คนใจรายทกคน ชอบกนเผด

3. สมชาย ไมกนเผด ผลสรป: สมชาย ไมใชผหญงสวย

9. เหต: 1. หมแพนดาทกตว นารก 2. แมลงสาบบางตว นารก

3. ปเตอร เปนแมลงสาบ ผลสรป: ปเตอร ไมใชหมแพนดา

10. เหต: 1. คนทมความเครยดทกคน จะไมสบาย 2. คนทท างานหนกบางคน จะมความเครยด 3. คนทไมสบายบางคน ท างานหนก ผลสรป: คนท างานหนกทกคน จะไมสบาย

การใหเหตผล 9

2. จากเหตตอไปน เหต 1. คนกนผกทกคน หนาตาด

2. คนอวนบางคน กนผก

3. สมศรเปนคนอวน ขอใดเปนขอสรปทสมเหตสมผล

1. สมศรกนผก 2. คนอวนบางคนหนาตาไมด 3. คนอวนบางคนหนาตาด 4. สมศรหนาตาด

3. จงพจารณาผลสรปตอไปนวาขอใดสมเหตสมผลบาง [O-NET 56/9]

1. เหต 1) ทกคนทอานหนงสอกอนสอบจะสอบได

2) สมชายสอบได

ผล สมชายอานหนงสอกอนสอบ

2. เหต 1) ทกครงทฝนตกจะมฟาแลบ

2) วนนไมมฟาแลบ

ผล วนนฝนไมตก

3. เหต 1) แมวบางตวไมชอบกนปลา

2) เหมยวเปนแมวของฉน

ผล เหมยวไมชอบกนปลา

4. พจารณาผลสรปตอไปน ขอใดสมเหตสมผลบาง [O-NET 57/6]

1. เหต 1) ทกครงทฝนตก การจราจรจะตดขด

2) วนนการจราจรตดขด

ผล วนนฝนตก

2. เหต 1) ด าไมชอบกนผก

2) ทกคนทกนผกมสายตาด ผล ด าสายตาไมด

3. เหต 1) ผทประหยดจะไมยากจน

2) นายมเปนคนยากจน

ผล นายมเปนคนไมประหยด

10 การใหเหตผล

5. จงพจารณาขอความตอไปน

1. คนตกอลฟเกงทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาด

3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไดไมไกลกวา 300 หลา

แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขางตนเมอจดแทนธงชย

[O-NET 51/29]

1. 2.

3. 4.

6. จงพจารณาขอความตอไปน

(1) นกกฬาทกคนมสขภาพด (2) คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด

(3) ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

[O-NET 50/33]

1. 2.

3. 4.

การใหเหตผล 11

7. ก าหนดเหตใหดงตอไปน

เหต (ก) ทกจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานครเปนจงหวดทมอากาศด (ข) เชยงใหมเปนจงหวดทมอากาศไมด ขอสรปในขอใดตอไปนสมเหตสมผล [O-NET 52/20] 1. เชยงใหมเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 2. นราธวาสเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 3. เชยงใหมเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร

4. นราธวาสเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร

8. เหต (1) ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน

(2) มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง (3) มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจาก เหต ขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล [O-NET 49/25]

1. มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2. มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน

3. มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4. มคนตกงานทเปนคนขยน

12 การใหเหตผล

9. จงพจารณาเหตตอไปน

1) ทกคนทชอบกนผลไมจะชอบกนผก

2) ทกคนทชอบรสหวานจะชอบกนผลไม

3) ขาวไมชอบกนผก

4) ด าชอบกนผลไม

ผลสรปในขอใดตอไปนท าใหการอางเหตผลสมเหตสมผล [O-NET 58/1] 1. ขาวไมชอบรสหวาน 2. ขาวชอบกนผลไม 3. ด าชอบรสหวาน

4. ด าไมชอบรสหวาน 5. ด าไมชอบกนผก

10. พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1) A

2) เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด [O-NET 53/2]

1. พชชนสงทกชนดมดอก 2. พชชนสงบางชนดมดอก 3. พชมดอกทกชนดเปนพชชนสง 4. พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง

การใหเหตผล 13

ระบบคณตศาสตร

1. 1. นยาม 2. สจพจน 3. ทฤษฎบท 4. ทฤษฎบท

5. อนยาม 6. นยาม 7. อนยาม 8. ทฤษฎบท

9. นยาม 10. สจพจน

รปแบบการใหเหตผล

1. 1. อปนย 2. อปนย 3. นรนย 4. อปนย 2. 14 3. 3 4. 4 5. 3

ความสมเหตสมผล

1. 2, 3, 8 2. 3 3. 2 4. 3

5. 4 6. 4 7. 1 8. 2

9. 1 10. 3