Akwizycja i przetwarzanie

sygnałów cyfrowych

Tadeusz Chmaj

Instytut TeleinformatykiITI PK Kraków

21 luty 2011

Tadeusz Chmaj Wykład I

Plan na dzis

1 Przedstawienieprzedmiotu i zakresu wykładupolecanej iteraturyzasad zaliczenia

2 Wyklad nr Isygnał - co to jest?typy sygnałówparametry sygnałówprzykłady sygnałów analogowych i dyskretnych

Tadeusz Chmaj Wykład I

Przedmiot i zakres kursu

1 Definicja sygnału, typy sygnałów. Dlaczego cyfrowe?2 Podstawy matematyczne - przestrzenie sygnałów3 Rozkład sygnału ciagłego na składowe: szeregi Fouriera,

transformata Fouriera4 Akwizycja sygnału cyfrowego – podejscie klasyczne5 Nowe podejscie - "oszczedne próbkowanie"6 Analiza czestotliwosciowa sygnałów dysketnych. DFT, FFT7 Analogowe i cyfrowe układy LTI. Filtry i metody ich

projektowania8 Analiza czasowo–czeestotliwosciowa. Przykład: analiza

falkowa9 Zastosowania - przetwarzanie mowy, obrazów i dzwieku

Tadeusz Chmaj Wykład I

Literatura, warunki zaliczenia

Literatura

1 Tomasz Zielinski, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ,Warszawa 2007

2 Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowegoprzetwarzania sygnałów, WKŁ, Warszawa, 2003

3 Jerzy Szabatin, Podstawy przetwarzania sygnałów,Warszawa 2003

4 Jan T. Białasiewicz, Falki i aproksymacje, WNT, Warszawa2000

Warunki zaliczenia

Wykonanie cwiczen laboratoryjnychWykonanie projektuZaliczenie sprawdzianu z wykładów

Tadeusz Chmaj Wykład I

Sygnały - definicja, typy

Sygnał - zmiennosc w czasie (lub przestrzeni) jednej lubkilku wielkosci fizycznychWymiar sygnału - ilosc zmiennych od których on zalezy

dzwiek - sygnał 1-D (zaleznosc od czasu)obraz - sygnał 2-D (zaleznosc od połozenia napłaszczyznie)

Kryteria podziału, klasyfikacje

nasza wiedza sygnalesygnały deterministycznesygnały losowe

dla sygnałów losowych: zaleznosc parametrówstatystycznych od czasu:

stacjonarneniestacjonarne

dziedzina okreslonosciciagłe w czasiedyskretne w czasie

Tadeusz Chmaj Wykład I

Typy sygnałów - c.d.

rozmiar nosnikao nieskonczonym czasie trwaniao skonczonym czasie trwania (impulsowe)

rodzaj przeciwdziedzinyciagłe w amplitudziedyskretne w amplitudzie

Tadeusz Chmaj Wykład I

Typy sygnałów - c.d.

Łaczne wziecie pod uwage dziedziny i przeciwdziedzinyciagłe w czasie i amplitudzie (analogowe)ciagłe w czasie i dyskretne w amplitudziedyskretne w czasie i ciagłe w amplitudziedyskretne w czasie i dyskretne w amplitudzie

Sygnał ostatniej grupy o skonczonej ilosci róznych wartoscisygnału -– sygnał cyfrowy

Zwykle sygnał cyfrowy podlega kodowaniu binarnemuskwantyzowanych wartosci amplitudy

Tadeusz Chmaj Wykład I

Sygnał a informacja

Potocznie – sygnał = nosnik informacjiCzy kazdy sygnał niesie informacje?

C.E.Shannon, A mathematical theory of comunication,1948informacja jest zwiazana nie z postacia sygnału aprawdopodobienstwiem jego wystapieniai - informacja, p - prawdopodobienstwo wystapienia;i = log(1/p)gdy sygnał jest deterministyczny to p = 1 =⇒ i = 0 –sygnał nie niesie zadnej informacji

Mimo tego - dyskutujemy sygnały deterministyczne. Jesttak, bo:

sa to na ogół obiekty prostsze niz sygnały losowena nich łatwiej zilustrowac działanie metod przetwarzania,czy tez zmiany reprezentacji

Tadeusz Chmaj Wykład I

Parametry analogowych sygnałów deterministycznych

oznaczenie sygnału: x(t)

wartosc srednia (impuls): 〈x〉 = 1t2−t1

t2∫t1

x(t)dt

wartosc srednia: 〈x〉 = limT→∞

12T

T∫−T

x(t)dt

energia: Ex =∞∫

−∞

x2(t)dt

moc srednia: Px = limT→∞

12T

T∫−T

x2(t)dt

moc sygnału okresowego: Px = 1T0

t0+T0∫t0

x2(t)dt

Tadeusz Chmaj Wykład I

Przyklady sygnałów deterministycznych

Sygnał o ograniczonej energii: 0 < Ex < ∞sygnały impulsowe o skonczonej amplitudziespadajace odpowiednio szybko sygnały o nieskoncznymczasie trwania

Sygnał o ograniczonej mocy: 0 < Px < ∞

Powyzsze klasy sa rozłaczne, gdyz:moc sygnału o ograniczonej energii = 0energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskonczona

impuls prostokatny

Tadeusz Chmaj Wykład I

Sygnały deterministyczne, przykłady - c.d.

Symetryczny impuls trójkatny

Sygnały o nieskonczonym czasie trwania:Malejacy sygnał wykładniczy

Tadeusz Chmaj Wykład I

Sygnały deterministyczne, przykłady - c.d.

Sygnał Saω0t lub inaczej sinc(ω0t))

Sygnał Gaussa

Tadeusz Chmaj Wykład I

Przyklady sygnałów deterministycznych

Sygnały o ograniczonej mocy:nieokresowe - skok jednostkowy

okresowe - sygnał harmoniczny

Tadeusz Chmaj Wykład I

Przyklady sygnałów o ograniczonej mocy

fala bipolarna:

fala unipolarna

Tadeusz Chmaj Wykład I

Sygnały dystrybucyjne

Do tej pory modele sygnału - zwykłe funkcjeistnieja sygnały których modele to uogólnienia funkcji -dystrybucjePojecie dystrybucji: (uogólnienie funkcji 1 zmiennej)

niech Ω - podzbiór otwarty w R

niech D(Ω) - zbiór gładkich funkcji próbnych o zwartymnosniku zawartym w Ω i wartosciach rzeczywistychniech D′(Ω) - zbiór wszystkich odwzorowan (funkcjonałów)liniowych i ciagłych z D(Ω) w R

elementy tego zbioru to własnie dystrybucjeJak okreslic dystrybucje ? Trzeba zadac jej działanie nafunkcje próbne – na przykład tak:

Lf [ϕ] =

∫

Ω

f (x)ϕ(x)dx

zadanie funkcji f okresla dystrybucje (regularna); mozemyutozsamic dystrybucje regularne z funkcjami

Tadeusz Chmaj Wykład I

Dystrybucja δ

czy kazda dystrybucja jest równowazna funkcji?- kontrprzykład: okreslamy dystrybucje nastepujaco:

δ(t)[ϕ] = ϕ(0)

czy istnieje funkcja g(t), taka by działanie dystrybucji δ(t)było równowazne formule całkowej z funkcja wagowa g?gdyby tak było, to:

wartosc g dla t 6= 0 musi byc = 0,wartosc g(0) musi zmierzac do ∞ale taki obiekt to nie nie moze byc zwykła funkcja; model –impuls prostokatny ⊓ε(t) o szerokosci ε i wysokosci 1/ε

δε(t)[ϕ] =

ε/2∫

−ε/2

dt1εϕ(t) =

1ε

ε/2∫

−ε/2

dt(ϕ(0) + ϕ′(0)t + O(t2))

=1ε(εϕ(0) + O(ε3)) = ϕ(0) + O(ε2)

Tadeusz Chmaj Wykład I

Dystrybucja δ – c.d.

dystrybucja δ(t) Diraca – równowazna granicy ε → 0 ciaguimpulsów prostokatnych ⊓ε(t) o szerokosci ε i wysokosci1/ε – model sygnału impulsu Diraca o własciwosciach:

własciwosc próbkowania:

x(t)δ(t − t0) = x(t0)δ(t − t0)

własciwosc filtracji:

∞∫

−∞

x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)

zwiazku z funkcja Heaviside’a (skokiem jednostkowym):

ddt

1(t) = δ(t)

Tadeusz Chmaj Wykład I

Wazne sygnały dystrybucyjne

Impuls Diraca - własnosci jak wyzejOkresowy ciag impulsów Diraca (grzebien Diraca)

Tadeusz Chmaj Wykład I

Sygnały dyskretne

Okreslone tylko w dyskretnym zbiorze chwil pomiaruNajczesciej uzyskiwane jako wynik próbkowania sygnałówanalogowychZwykle próbkowanie równomierne; w chwilach tn = nTs,gdzie Ts - okres próbkowania, fs = 1/Ts – czestotliwoscpróbkowaniaIstotny nie czas próbkowania, tylko kolejnosc próbki wciagu pomiarów okreslona jako n = tn/Ts

Mozna okreslic parametry sygnałów tak jak dla sygnałówciagłych; całkowanie −→ sumowanie

Ex =

∞∫

−∞

x2(t)dt −→∞∑

n=−∞

x2(n)

Px = limT→∞

12T

T∫

−T

x2(t)dt −→ limN→∞

12N + 1

N∑−N

x2(n)

Tadeusz Chmaj Wykład I

Przykłady sygnałów dyskretnych

Impuls (delta) Kroneckera δ[n]

dyskretny odpowiednik delty Diraca – ale zwykła funkcjazapis X0 δ[n − n0] - sygnał o wartosci X0 w n = n0 ipozostałych wartosciach zerowych

Impuls prostokatnyprzykład sygnału o opraniczonej energii

Tadeusz Chmaj Wykład I

Przykłady sygnałów dyskretnych c.d.

Sygnał Sapróbkowany w chwilach tn = nTs

θ0 - pulsacja unormowana wzgledem okresu próbkowaniax [n] = Sa[ω0t) = Sa[ω0nTs] = Sa[nθ0],θ0 = ω0Ts

Tadeusz Chmaj Wykład I