Teoria Sygnałów

III rok Informatyki Stosowanej

Wykład 8

Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych – okna

widmowe (cd poprzedniego wykładu)

N = 512;

T = 1.24; %czas trwania sygnału w sekundach

dt = T/N; %próbkowanie w dziedzinie czasu [s]

fx1 = 10; % częstotliwość pierwszego sygnału [Hz]

fx2 = 25; % częstotliwość drugiego sygnału [Hz]

Poniższe okna mają listki boczne znacznie mniejsze iż listki okna prostokątnego ale listek główny mają również szerszy. Jednoczesna minimalizacja amplitudy listków bocznych i zwężania listka głównego nie jest niestety możliwa.

Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych – okna

widmowe (cd poprzedniego wykładu)

Podstawowe funkcje okien nieparametrycznych, ich widma amplitudowe i parametry.

Przeciek widma Względne tłumienie listków bocznych szerokość listka głównego (-3dB)

9.12% Asl = -13.2dB ∆ml = 0.054688

Parametry Asl i ∆ml decydują o rozdzielczości analizy częstotliwościowej.

Okno trójkątnePrzeciek widma = 0.28%

Względne tłumienie listków

bocznych = -26.6dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.039063

Okno BartlettaPrzeciek widma = 0.28%

Względne tłumienie listków

bocznych = -26.5dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.039063

Okno HanningaPrzeciek widma = 0.03%

Względne tłumienie listków

bocznych = -35.9dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.042969

Okno HannaPrzeciek widma = 0.05%

Względne tłumienie listków

bocznych = -31.5dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.042969

Okno HammingaPrzeciek widma = 0.03%

Względne tłumienie listków

bocznych = -42.5dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.039063

Okno BlackmanaPrzeciek widma = 0.00%

Względne tłumienie listków

bocznych = -58.1dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.050781

Okna parametryczne:-Czebyszewa (Dolpha-Czebyszewa) – jest wynikiem optymalizacji, w której minimalizowano szerokość listka głównego przy ograniczeniu wysokości maksymalnej listka bocznego, przy stałej długości sygnału.

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

>

≤=

=

=⇒==−=⇒=

−=≤≤−

+=++ ∑

=

−

1xarccosh1-Ncosh

1xarccos1-Ncos

1arccosh

1-N

1cosh

dB60001.0dB40log2001.0

2/12

coscos21

1

10

1

1

x

xxT

AA

NMMmMN

km

N

kTCMmw

N

M

k

NC

γβ

γγγ

ππβ

γ

C – stała dobierana tak by środkowa próbka okna była =1.

Listek główny widma najwęższy spośród okien o jednakowej długości. Energia w paśmie przepustowym mała a w zaporowym duża. Listek główny ma małą energię i jest cienki.

Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.00%

Względne tłumienie listków

bocznych = -100dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.054688

Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.02%

Względne tłumienie listków

bocznych = -50dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.039063

Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.00%

Względne tłumienie listków

bocznych = -100dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.056641

Okno CzebyszewaPrzeciek widma = 0.00%

Względne tłumienie listków

bocznych = -200dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.078125

-Okno Kaisera – jest wynikiem optymalizacji, w której minimalizowano szerokość listka głównego przy stałym procentowo udziale energii listków bocznych w całkowitej energii widma, przy stałej długości sygnału.

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )2

1

0

0

0

2

0

!

21

10

21

211

∑∞

=

+=

−−≤≤

−

−−−

=

k

k

K

k

xxI

INmI

N

NnI

mw ββ

β

Funkcja Bessela rzędu zerowego

Okno Kaisera ββββ=8Przeciek widma = 0.00%

Względne tłumienie listków

bocznych = -58.3dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.046875

Okno Kaisera ββββ=16Przeciek widma = 0.00%

Względne tłumienie listków

bocznych = -122dB

szerokość listka głównego

(-3dB) = 0.066406

Powiązanie parametrów β i N z parametrami analizy częstotliwościowej Asl i ∆ml

( ) ( )( )

[ ] ( )1

155

1224,

dB1200dB6dla3.612438.0

dB60dB26.13dla26.1309834.026.130.76609

dB26.13dla04.0

+∆

+==

<<+

<<−+−

<

=

ml

sl

slsl

slslsl

sl

AKKN

AA

AAA

A

π

β

Sekwencja częstotliwościowego przetwarzania sygnałów

Celem procesu jest obliczenie widma sygnału ciągłego na podstawie skończonej ilości próbek sygnału.

Filtracja LP (P&P) A/CxLP(t)

2. Dyskretyzacja w czasie, kwantyzacja i kodowanie – przez układ próbkowania z podtrzymywaniem (P&P) i przetwornik A/C.

DFTx(t) x[n]

w[n]

xw[n] Xw[k]

1. Filtracja dolnoprzepustowa – użycie filtru „antyaliasingowego”

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωτττ HXXdthxtxLPLP =−= ∫

∞

∞−

,

Ponieważ filtr h(τ) nie jest filtrem idealnym sygnały x(t) i xLP(t) w paśmie przepustowym różnią się od siebie.

3. Wymnożenie sygnału przez funkcję okna

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )( )∫−

ΘΘ−ΩΘΩ Θ=∞<<∞−⋅=π

ππ

deeWeXeXnnwnxnxmiiii

ww2

1

3. Obliczenie dyskretnej transformacji Fouriera (czyli spróbkowanie widma ciągłego w

punktach Ωk=k2πk/N:

( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ] 1,,2,1,01

0

2

−==== ∑−

=

−

Ω

ΩNkenxnxDFTkXeXkX

N

n

knN

i

www

j

wk

K

π

Przykład analizy częstotliwościowej w celu detekcji słabego sygnału harmonicznego.

Rozważmy dwie sinusoidy o następujących parametrach:A1=1 f1=1HzA2=0.001 f2=2Hz

W skali decybelowej różnica pomiędzy sygnałami wynosi 60dB.

Okno prostokątne

Okno Bartletta (trójkątne)

Okno Hanninga

Okno Hamminga

Okno Kaisera modelujemy je tak by Asl=80dB zaś ∆ml=0.4.

Okno Blackmana

Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej

( )∫∞

∞−

∗ −== τττϕϕ dtggtt ggg )()()(

Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji:

Funkcja autokorelacji

)()( tt gg −= ∗ϕϕ

Dla funkcji rzeczywistych

)()( tt gg −= ϕϕ

( )∫∞

∞−

= ττϕ dgg

2)0(

)0()( gg ϕτϕ ≤

Jeśli dla pewnego t0

to sygnały g(t) i g(t-t0) są ortogonalne.

0)( 0 =tgϕ

Podstawowe własności

Definicja widma energii sygnału – kwadrat widma amplitudowego:

( ) ( ) ( ) 22 ωωω XAxx ==Φ

Widmo energii sygnału i funkcja autokorelacji sygnału tworzą parę transformat Fouriera:

( ) ( ) ( ) ( ) ωωπ

τϕττϕω ωτωτdede

i

xx

i

xx ∫∫∞

∞−

∞

∞−

− Φ==Φ2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ωτ

ωτωτ

ωτ

ωωπ

ωωωπ

ττϕ

i

iiRayleighaTw

x

eXtx

deXdeXXdttxtx

−

∞

∞−

−

∞

∞−

−∗

∞

∞−

∗

=−ℑ

==−= ∫∫∫gdyż

2

1

2

1 2.

Dowód:

Energię sygnału można obliczyć: •w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu sygnału,

•w dziedzinie korelacyjnej, jako ϕx(0),

•w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma energii podzieloną przez 2π.

( ) ( ) ( ) ωωπ

ωωπ

ϕ ddE xxxx ∫∫∞∞

∞−

Φ=Φ==0

1

2

10

Π

Związki między sygnałem i jego charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diagram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do drugiej wielkości , natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę.

Funkcja autokorelacji sygnału stanowi jedynie częściowy opis sygnału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe sygnału, tracimy jednak informację o widmie fazowym.

x(t) X(ω)

( )∫∞

∞−

∗ − τττ dtxx )(

ϕx(t) Φx(ω)

( ) 2ωX

1−ℑ

1−ℑ

ℑ

ℑ

( )

max

0

x

x d

ef Φ

Φ

=∆∫∞

ωω

ω

Efektywny czas korelacji. Efektywna szerokość widma

( )

( )0

0

x

x

t

dtt

ef ϕ

ϕ∫∞

=∆

Zasada nieoznaczoności const=∆∆efeft ω

Podana definicja efektywnego czasu korelacji ma sens dla przypadku sygnałów, których funkcja autokorelacji maleje

monotonicznie. Dla sygnałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji.

Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez względu na sposób definiowania efektywnego czasu korelacji i efektywnej

szerokości widma.

Dla sygnałów o ograniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości graniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi). Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów o ograniczonej mocy są podobne jak w przypadku sygnałów o ograniczonej energii.

( )∫−

∗

∞→−=

T

TT

g dtggT

t τττψ )(2

1lim)(

Dla sygnału okresowego definicja jest następująca:

( )∫+

∗ −=

Tt

t

g dtggT

t0

0

)(1

)( τττψ

•Wartość funkcji autokorelacji ψg(t) sygnału o ograniczonej mocy w punkcie t=0 jest

rzeczywista i równa jego mocy.

•Funkcja autokorelacji ψg(t) przybiera maksymalną co do modułu wartość dla t=0.

•Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność. •Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy posiada transformatę Fouriera w sensie granicznym.

•Funkcja autokorelacji ψg(t) jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. ψg(t)=ψg(t+t0) dla

dowolnego t0. •Funkcja autokorelacji sygnału okresowego jest również okresowa o tym samym okresie.

Funkcja autokorelacji sygnału harmonicznego jest funkcją kosinusoidalną o tym samym okresie co okres sygnału harmonicznego i nie zależy od jego fazy początkowej . Przykład ten świadczy dobitnie o tym, że funkcja autokorelacji nie zawiera informacji o fazie sygnału.

Π