ALJABAR

OPERASI BINER

Definisi: Misalkan G himpunan tak kosong, maka suatu pemetaan dari G x G ke G yang mengaitkan setiap pasangan bilangan (a,b) ke elemen di G. dinyatakan dengan a * b disebut operaso biner atau misalkan G ≠

Operasi * pada G disebut operasi biner a G, b G a * b G, ∀ a,b G (sifat tertutup) setiap a dan b yang dioperasikan merupakan anggota.

Contoh :

1. Operasi jumlah (+) pada bilangan asli merupakan OPERASI BINER karena, a A, b A maka a + b G, ∀ a,b A

2. Operasi pengurangan (-) pada bilangan asli bukan merupakan OPERASI BINER karena, 2 A, 3 A , maka 2-3 A

GRUPDefinisi : suatu himpunan tak kosong G disebut suatu grup jika pada G didefinisikan suatu

operasi biner yang disebut produk dan dinyatakan dengan () yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :

1. ∀a,b G berlaku a b G (sifat tertutup)2. ∀a,b,c G berlaku a (b c) = (a b) c (sifat asosiatif)3. Ada elemen identitas, e G

Sedemikian sehingga e a = a e = a ∀a G4. Untuk setiap elemen a G ada invers a-1 G sedemikian sehingga aa-1 = a-1a = e

(eksitensi invers dari suatu elemen)

Contoh :

1

1. Diketahui G ={1,-1, i, -i} (akar-akar bilangan kompleks)Didefinisikan operasi perkalian pada G, selidiki apakah G terhadap operasi tersebut merupakan grup.

2. Dik. S = {2 ,4 ,6 ,8 , }selidiki apakah G terhadap operasi perkalian modulo 10 merupakan grup…

3. M2x2 = { (a bc d ), ad-bc ≠ 0, a,b,c,d R} selidiki apakah M2x2 terhadap operasi perkalian

matriks merupakan grup…

Penyelesaian :1. Tabel

x 1 -1 i -i 1 1 -1 i -i-1 -1 1 -i i i i -i -1 1-i -i I 1 -1

Bukti :

1. G ≠ 2. Tertutup, karena ∀a,b G berlaku a x b G3. Asosiatif, ∀a,b,c G berlaku a(bc)= (ab)c G4. Ada elemen identitas e = 1 G 5. Setiap elemen mempunyai invers

1-1 = 1-1-1 = -1 i-1 = -i- i-1 = i

2. Tabel

x 2 4 6 8 2 4 8 2 64 8 6 4 2 6 2 4 6 88 6 2 8 4

Bukti :

2

1. S ≠ 2. Tertutup, karena ∀a,b S berlaku a x b S3. Asosiatif, ∀a,b,c G berlaku a(bc)= (ab)c S4. Ada elemen identitas e = 6 S

Karena 6 x a = a x 6 = a ∀a S 5. Setiap elemen mempunyai invers

2-1 = 84-1 = 46-1 = 68-1 = 2

3. - M2x2 ≠ karena ada (1 00 1) M2x2

- Tertutup

Ambil M1 = (a bc d ) ad – bc ≠ 0, a,b,c,d R

Ambil M2 = (e fg h) eh – fg ≠ 0 e,f,g,h R

Maka M1 x M2 = (a bc d )(e f

g h)= (ae+bg af +bhce+dg cf +dh)

(ae+bg)(cf+dh) – (af+bh)(ce+dg)(acef+adeh+bcfg+bdgh) – (acef+adfg+bceh+bdgh)(adeh+bcfg) – (adfg+bceh)(ad+bc) – ( eh+fg) ≠

- Asosiatif, karena M1(M2 M3) = (M1M2) M3 ∀ M1,M2,M3 M2x2

- Ada elemen identitas yaitu (1 00 1)

Karena (a bc d )(1 0

0 1)=(a bc d )

(1 00 1)(a b

c d )=(a bc d )

- Setiap elemen ada invers (a bc d )

−1

=1

ad−bc ( d −b−c a )

= (d

ad−bc−bad−bc

−cad−bc

aad−bc

)3

= ( dad−bc )( a

ad−bc )−( −bad−bc )( –c

ad−bc )= ( ad

(ad−bc )2 )−( bc

(ad−bc )2 )= ad−bc(ad−bc )2

=1

ad−bc≠0

Jadi, ∀ A M2x2 ∃ A-1 M2x2

∃ AA-1 = A-1A = I (I elemen identitas)

[ 1ad−bc ]( d −b

−c a )(a bc d ) = I

(a bc d )[ 1

ad−bc ]( d −b−c a ) = I

TEOREMA 1Misalkan G terhadap operasi * merupakan suatu grup maka :

a. Elemen identitas dalam G adalah tunggalb. Setiap elemen dalam G mempunyai invers dalam G

c. (a−1 )−1=a ,∀aG

d. (ab)-1 = b-1 a-1

BUKTI :

a. Misalkan G terhadap * adalah suatu grup misalnya e,f G sedemikian sehingga a * e = e * a = a ∀ a G dan b * f = f * b = b ∀ b G akan ditunjukan e = fBukti:Karena ∀ a G, e * a = a maka e * f = f …………….1)Karena ∀ b G, b * f = b maka e * f = e…………….2)Dari 1) dan 2) diperoleh e = e * f = f atau e = fJadi elemen identitas G adalah tunggal

b. Misalkan G grup terhadap operasi * misalnya a,x,y G sedemikian sehinggaa * x = x * a = e

x = ya * y = y * a = e

x = x * e= x * (a * y)= (x * a) * y= e * y

x = yini berarti setiap elemen G mempunyai invers yang tunggal di G

4

c. c . d = ed . c = e

c-1 = dd-1 = c

c . d = ec . c-1 = e

a-1. (a−1 )−1= e

a-1. (a−1 )−1= a-1 . a

a (a-1. (a−1 )−1¿= a (a-1 . a)

(a a-1). (a−1 )−1= (a a-1) . a

e . (a−1 )−1 = e . a

(a−1 )−1 = a

d. (ab)-1 = b-1 a-1

(ab) (b-1 a-1) = a (bb-1) . a-1)= a (e . a-1)= a a-1

= e

(ab)-1 = b-1 a-1

TEOREMA 2a. Jika a,b,c adalah elemen-elemen dalam huruf G dan ac = bc maka a = b secara sama jika

ca=cb maka a=bb. Jika a,b adalah elemen-elemen dalam huruf G maka terdapat elemen tunggal x,y dalam G

sedemikian sehingga AX = b, AY = b

Definisi Pangkat BulatJika a G , G grup maka :a. a0 = e e identitas di Gb. a-1 = a dan an+1 = an . a, n bilangan asli

5

c. a-n = (a−1 )n n bilangan asli

TEOREMA 3Jika a G , G grup dengan identitas e jika m dan n bilangan bulat maka :a. en = eb. am+n = am an

c. (am )n = amn

Contoh : Z5 = {0 ,1 ,2 ,3 ,4 }

+5 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

22 = 2 + 2 = 423 = 22 + 2 = 1

3-2 = (3−1 )2=¿22 = 4

3-3 = (3−1 )3=¿23 = 1

SUBGRUP

Definisi G grupH G, H ≠ , H disebut subgroup GJika hanya jika H terhadap operasi di G membentuk grup

Contoh : (R, +) suatu grup Subgrupnya (Q, +), (B, +)

1. ({1,-1,i,-i}) suatu grup Subgrupnya : {1,-1}

{1}

6

{1,-1,i,-i}

2. (Z6, +6) suatu grupSubgrupnya ; {0,1,2,3,4,5}

{0,3}{0,2,4}

TEOREMA 1 G grup H G , H ≠ H subgroup G jika:

a,b H maka a*b H a-1 H , ∀ a H

BUKTI :mis G grupH G , H ≠ Karena H subgroup dari G maka menurut definisi H memenuhi a,b H maka a*b H dan a-1 H , ∀ a H

Misalnya G grup a,b H maka a*b H dan a-1 H , ∀ a H a di H subgroup G

Ambil a G sebarangMaka a-1 H dan e = a a-1; ada elemen identitas di H, H G, G grup maka sifat asosiatif pada G berlaku juga di HHal ini berarti H membentuk grup, karena H G, maka H subgroup.

TEOREMA 2G grup H G , H ≠ H subgroup G jika:ab-1 H, ∀ a,b H

BUKTI : G grup H G , H ≠ Karena H subgroup G maka ab-1 H, ∀ a * b H

( ) G grup H G , H ≠ Karena H subgroup G maka ab-1 H, ∀ a * b H

7

Akan ditunjukan H subgroup G

Ambil a H, maka aa-1 H, padahal aa-1 = e HAda elemen identitas di HKarena e H, b H maka eb-1= b-1 H ∀ b H, ∃ b-1 HKarena H G grup maka sifat asosiatif pada G berlaku juga pada H

Karena a H, b-1 H maka a (b-1)-1 = ab H H tertutup

Jadi, H membentuk grup, karena H G, H grup maka H subgroup dari G

TEOREMA 3G grup H G , H ≠ , H finiteH subgroup G jika dan hanya jikaab H, ∀ a,b H

contoh :{Z12, +12)Subgrupnya : {0,6}

{0,2,4,6,8,10}{0,4,8}{0}{Z12}{0,3,6,9}

Soal :

1. diketahui M2x2 = { (a bc d ), ad-bc ≠ 0, a,b,c,d R} buktikan H = { (a b

0 d ), ad ≠ 0, a,b,c,d

R} adalah subgroup dari M2x2 terhadap perkalian!2. Dik G = Z2 + Z2

Didefinisikan (a,b) * (c,d) = (a+c) (b+d), ∀ (a,b) (c,d) G

8

Catatan:

Grup paling tidak mempunyai 2 subgrup yaitu identitas dan grup itu sendiri Subgroup yang hanya identitas dan grup itu sendiri disebut subgroup trivial Subgroup murni adalah selain dari identitas dan grup itu sendiri atau disebut non

trivial

a. Tentukan G = {(0,0), (0,1),(1,0),(1,1)b. Apakah G terhadap operasi * merupakan grupc. Tentukan semua grup H

Penyelesaian :1. Bukti

- M2x2 ≠ karena ada (2 10 1) M2x2

- Tertutup

Ambil M1 = (a b0 d ) ad ≠ 0, a,b,c,d R

Ambil M2 = (e f0 h) eh ≠ 0 e,f,g,h R

Maka M1 x M2 = (a b0 d )(e f

0 h)= (ae af +bh

0 dh ) = (ae) (dh)

= (ad) (eh) ≠

- (a b0 d ) adi, M-1 H

M -1 = 1ad (d −b

0 a )

= (dad

−bad

0aad

) = (

1a

−bad

01d

)Karena

1a

. 1d

= 1ad

≠ 0 maka (1a

−bad

01d

)Karena M1M2 H

2. Bukti

9

- G = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} = (0,1) * (1,1) = ( 0+1, 1+1) = (1,0)

- G = Z2 + Z2 Didefinisikan operasi * pada G = (a,b) * (c,d) = (a+c) (b+d)Adi G membentuk grup terhadap operasi *

a. (0,0) GJadi G ≠ 0

b. Ambil (a,b), (c,d) GMaka :

* (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,1) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0)(1,0) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1)(1,1) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)

c. Asosiatif Karena (a,b) * [(c,d) * (e,f)] = [(a,b) * (c,d)] * (e,f)

(a,b) * (c + e, d + f) = (a + c, b + d) * (e,f)( a + c + e, b + d + f) = ( a + c + e, b + d + f)

(a,b) * [(c,d) * (e,f)] = [(a,b) * (c,d)] * (e,f)

d. Ada elemen identitas yaitu (0,0)Karena (0,0) * (a,b) = (a,b) * (0,0) = (a,b)

e. Setiap elemen G mempunyai invers di G(0,0)-1= (0,0)(0,1)-1= (0,1)(1,0)-1= (1,0)(1,1)-1= (1,1)

GRUP PERMUTASI Suatu pemetaan satu-satu dari himpunan berhingga onto itu sendiri disebut permutasi.

Banyaknya elemen yang berbeda yang termuat di dalam himpunan itu menyatakan derajat dari permutasi itu menyatakan derajat dari permutasi tersebut.

10

Misalkan :Sn = {a1,a2……..an}

Mis. F adalah suatu pemetaan satu-satu dan onto dari himpunan berhingga Sn ke himpunan itu sendiri ∃ f (a1) = b1, f (a2) = b2 f (an) = bn dimana himpunan {b1,b2……..bn}= {a1,a2……..an}atau ai = bj untuk i = 1,2……n dan j = 1,2,……n maka permutasi tersebut dapat dinotasikan dengan.

f=(a1 a2 anb1 b2 bn)

Contoh : Mis S3 = ( a,b,c)Dengan f(a) = b, f(b) = c, f(c) = aMaka permutasi itu dapat ditulis .

f=(a b cb c a)

Permutasi dengan cara lain :

(a c bb a c) (b c a

c a b) (b a cc b a)

PERMUTASI IDENTITAS Suatu identitas i dari himpunan S yang memuat n himpunan berbeda onto itu sendiri

disebut permutasi identitas berderajat n yaitu Sn = {a1,a2……..an}

Maka I=(a1 a2 ana1 a2 an) I = (a b c

a b c )INVERS DARI SUATU PERMUTASI

Mis f adalah suatu permutasi berderajat n yang didefinisikan pada himpunan berhingga S yang memuat n elemen yang berbeda, maka menurut definisi adalah pemetaan satu-satu onto S karena f adalah pemetaan satu-satu san onto maka inversnya adalah suatu pemetaan satu-satu dan onto dari S onto S dinotasikan dengan.

S S

11

Jadi f-1 juga suatu permutasi berderajat n yang didefinisikan pada S

Jika

f=(a1 a2 anb1 b2 bn)

f−1=(b1 b2 bna1 a2 an)

Contoh :

S3 = { (1,2,3) }

Dengan f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 1

f=(1 2 32 3 1)

I=(1 2 31 2 3)

f−1=(1 2 33 1 2)

Maka

f−1 f=(1 2 33 1 2)(1 2 3

2 3 1)=(1 2 31 2 3)

f f−1=(1 2 32 3 1)(1 2 3

3 1 2)=(1 2 31 2 3)

PRODAK ATAU HASIL KALI DARI 2 PERMUTASI

Mis f dan g dua permutasi yang masing-masing berderajat n dan yang didefinisikan pada himpunan berhingga s maka komposisi pemetaan g f (x) = g(f(x)) ∀x S yang merupakan pemetaan satu-satu dari s onto s.

Contoh :

12

f=(a b cc a d

db) g=(a b c

b c dda )

f og=(a b cc a d

db)o(a b c

b c dda) = (a b c

a c bdc )

go f=(a b cb c d

da)o(a b c

c a ddb) = (a b c

d b adc )

NOTASI CYCLE

Elemen-elemen dari Sn sering kali ditulis dengan menggunakan notasi cycle. Jika Sn = {a1, a2,……… an} f adalah suatu pemetaan satu-satu dari Sn onto Sn maka :

f = {a1, a2,……… an} menyatakan a1 a2, a2, a2 a3,………….an-1an dan ana1

contoh :

(a b ca b c )notasi cycle nya adalah (a) = (b) = (c)

(a b cb c a)= (a b c)

(a b cc a b) = (a c b)

(a b ca c b) = (b c)

(a b cc b a) = (a c)

(a b cb a c ) = (a b)

f = {1 2 4) adalah cycle berderajat 5

13

(1 2 32 4 3

41

55)

(1 2 4) (3 5)

(1 2 32 4 3

41

55)(1 2 3

1 2 544

53)=(1 2 3

2 4 541

53)

(1 4 5) (2 3 5)

(1 2 34 2 3

45

51)(1 2 3

1 3 544

52)=(1 2 3

4 3 145

52)=(1 4 52 3)

(1 2 3 4)-1 = (1 2 32 3 4

41)

−1

= (1 2 34 1 2

43 )

= (1 4 2 3)

Cycles ( a1, a2,…….. an,) dan (b1,b2,……bn) adalah disjoin jika ai ≠ bj untuk I dan c

Disjoin :

(1 2 4) (35)

Cycles disjoin bersifat komutatif

Tuliskan berikut ini dalam bentuk cycles tunggal atau hasil kali cycles yang disjoin

a. (1 2 33 5 6

44

52

61)= (13 6 ) (2 5 )

b. (1 2) (1 3) (1 4) = (1 2 32 1 3

44 )(1 2 3

3 2 144 )(1 2 3

4 2 344)

= {(1 2 32 1 3

44)(1 2 3

3 2 144 )}(1 2 3

4 2 344)

= (1 2 33 1 2

44)(1 2 3

3 2 144)

= ( 1 4 3 2 )

14

c. (1 3)-1 (2 4) (2 3 5)-1 = (3 1) (2 4) (5 3 2)

{(1 2 33 2 1

44

55)(1 2 3

1 4 342

55)} (1 2 3

1 5 244

53)

(1 2 33 4 1

42

55)(1 2 3

1 5 244

53)

(1 2 33 5 4

42

51) = (1 3 4 2 5)

Suatu permutasi dapat ditulis dalam bentuk hasil kali 2 atau lebih cycles yang disjoin.

GRUP SIKLIKDefinisi H grup atau H subgroup G dikatakan siklik jika hanya jika ada a H sedemikian

sehingga H = { ak / k bilangan bulat}

a = generator dinotasikan H =[a]

contoh :H = (Z, +) suatu grup{,……….-3,-2,-1,0,1,2,3 ………}

H siklik karena 1 H H = { 1k / k Z}

11 = 112 = 21-1 = -11-2 = (-1) + (-1) = -210 = 0

K = ( Z5, +) grup

15

= [1]

= {0,1,2,3,4}

20 = 021 = 222 = 423 = 124 = 3

G = {1, -1, i, -i} Grup siklik karena ada i dan –i G, G={ik/ k Z}, i = √−1

(i)1 = -i(i)2 = -1(i)3 = i(i)4 = 1 Teorema Jika G grup siklik dengan generator a mempunyai arder n maka an = e dan elemen-elemen berbeda dari e adalah himpunan { a1, a2,……., an = e}(Z6, +) grup siklik dengan generator [1], [5]

Z6 = {0,1,2,3,4,5} = {11, 12, 13, 14, 15, 16 =0} = {51, 52, 53, 54, 55, 56 =0} = {5,4,3,2,1,0}

Deinisi Jika a adalah elemen apada G maka order a didefinisikan sebagai order dari subgroup siklik dari G yang mempunyai generator a.

Order dari sebuah elemen a pada sebuah grup adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga an= eMisalnya

Order 1 = (1) = 410 = 0 (2) = 2 (3) = 4 (0) = 111 = 112 = 213 = 314 = 0

Bilangan bulat positif (Z+) terkecil an = e

(Z6, +) = [1],[2],[4],[5]

16

11 = 1 21 = 2 31 = 3 41 = 4 51 = 512 = 2 22 = 4 32 = 0 42 = 2 52 = 413 = 3 23 = 0 43 = 0 53 = 314 = 4 54 = 215 = 5 55 = 116 = 0 56 = 0

(1) = 6 (2) = 3 (3) = 2 (4) = 2 (5) = 6

Sifat-sifat grup siklik1. Order dari sebuah grup siklik finite sama dengan order dari generator grup tersebut.2. Sebuah grup finite dengan order n yang memuat sebuah elemen dengan order yang memuat

sebuah elemen dengan order n pasti siklik3. Jika grup siklik adalah infinite maka order dari generatornya juga infinite4. Ssetiap grup siklik pasti abelian.5. Jika a adalah generator dari grup siklik G maka a-1 juga generator dari G6. Jika G grup siklik dengan generator a berorder n maka untuk setiap n Z+ a m adalah sebuah

generator jhj m < n dan m relative prima dengan n.

Contoh Soal :S3 = { 1, 23, 123, 132, 12, 13}

P1 = (1 2 31 2 3)P2 = (1 2 3

1 3 2)P3 = (1 2 32 3 1)

P4 = (1 2 33 1 2)P5 = (1 2 3

2 1 3)P6 = (1 2 33 2 1)

Penyelesaian:(1) = 1

(2 3) = 2 P2 = (1 2 31 3 2) (1 2 3

1 3 2) = (1 2 31 2 3)

(1 2 3) = 3 P3 = (1 2 32 3 1) (1 2 3

2 3 1) = (1 2 31 2 3)

(1 3 2) = 3 P4 = (1 2 33 1 2)(1 2 3

3 1 2) = (1 2 31 2 3)

(1 2) = 2 P5 = (1 2 32 1 3) (1 2 3

2 1 3) = (1 2 31 2 3)

17

(1 3) = 2 P6 = (1 2 33 2 1) (1 2 3

3 2 1) = (1 2 31 2 3)

SOAL

Buktikan bahwa real terhadap operaso * dibawah ini adalah grup a * b = a + b-ab, ab R

Penyelesaian :

G = [R, *]

Ambil a,b R sebarang maka

a * b = a + b , ab R

ii) a(b*c) = (a*b)*c

= a*( b+c –bc)

= a+(b+c-bc) – a( b+c –bc)

= a+b+c-bc-ab-ac+abc

(a*b)*c = (a+b-bc)*c

= (a+b-bc)+c-(a+b-bc)+c

= a+b+c-bc-ac+ab+abc

iii). Misalkan x adalah elemen identitas, a*x = x*a = a

x*a = x+a-xa = a

= x(1-a) = 0

x = 0

1−a=0

iv) misalkan invers dari a adalah u maka a*u = 0

a*u = a+u-au = 0

a+u(1-a) = 0

u(1-a) = 0-a

u(1-a) = -a

18

u = −a1−a

a*−a1−a = a +

−a1−a - a

−a1−a

= a (1−a )−a

1−a+ a2

1−a

= a−a2−a+a2

1−a

= a−a1−a

=0

u*a = −a1−a * a

= ( −a1−a )+a- ( −a1−a )a =

−a+a (1−a )1−a

− a2

1−a

= −a+a−a2+a2

1−a

= 0

1−a=0

KOSET

Definisi : G grupH subgroup GJika a G maka Ha = {ha / h H} disebut koset kanan dari H dalam GaH = {ah / h H} disebut koset kiri dari H dalam G

contoh :1. G = [z6, +] grup

Misalkan H = {0,2,4}H subgroup G

Koset kanan

19

H0 = {h0 / h H}= {h +0 / h H}= {0+0, 2+0, 4+0}= {0,2,4}

H1 = {h1 / h H}= {h +1 / h H}= {0+1, 2+1, 4+1}= {1,3,5}

Koset Kiri0H = {0h / h H}

= {0 + h / h H}= {0+0, 0+2, 0+4}= {0,2,4}

1H = {1h / h H}= {1 + h / h H}= {1+0, 1+2, 1+4}= {1,3,5}

2H = {2h / h H}= {2 + h / h H}= {2+0, 2+2, 2+4}= {2,4,0}

2. G = {[1,-1,i,-i], x}H = [1.-1]H ) G

Koset kanan

H1 = {h1 / h H}= {h x 1 / h H}= {1x1, -1x1}= {1,-1}

H-1= {h(-1) / h H}= {h x (-1) / h H}= {1x(-1), -1x(-1)}

20

= {-1,1}

Hi = {hi / h H}= {h x i / h H}= {1xi, -1xi}= {i,-i}

H-i= {h(-i) / h H}= {h x (-i) / h H}= {1x(-i), -1x(-i)}= {-i,i}

Jadi ada dua koset kanan yang berbeda dari H dalam G

Koset kiri1H = {1h / h H}

= {1 x h / h H}= {1x1, 1 x (-1)}= {1,-1}

-1H= {-1h / h H}= {(-1) x h / h H}= {(-1)x1, (-1) x 1}= {-1,1}

iH = {ih / h H}= {i x h / h H}= {ix1, i x (-1)}= {i,-i}

-iH= {-ih / h H}= {(-i) x h / h H}= {(-i)x1, (-i) x 1}= {-i,i}

Jadi ada dua koset kiri yang berbeda dari H dalam G

3. G = { P1 P2, P3 P4 P5 P6,}Dimana P1=(1), P2=(1 2 3), P3=(1 3 2) P4=(1 2) P5=(1 3) P6=(2 3)

21

H = { P1, P4}H) G

Koset kanan H P1 = {hP1 / h H}

= { P1 P1, P4 P1 }= { P1 P4}

H P2 = {hP2 / h H}= { P1 P2, P4 P2 }= { P2 P6}

H P3 = {hP3 / h H}= { P1 P3, P4 P3 }= { P3 P5}

H P4 = {hP4 / h H}= { P1 P4, P4 P4 }= { P4 P1}

H P5 = {hP5 / h H}= { P1 P5, P4 P5 }= { P5 P3}

H P6 = {hP6 / h H}= { P1 P6, P4 P6 }= { P2 P6}

Ada 3 koset kanan yang berbeda dari H dalam G

Koset kiri P1H = {P1h / h H}

= { P1 P1, P1 P4 }= { P1 P4}

P2H = {P2h / h H}= { P2 P1, P2 P4 }= { P2 P5}

P3H = {P3h / h H}

22

= { P3 P1, P3 P4 }= { P3 P6}

P4H = {P4h / h H}= { P4 P1, P4 P4 }= { P4 P1}

P5H = {P5h / h H}= { P5 P1, P5 P4 }= { P5 P2}

P6H = {P6h / h H}= { P6 P1, P6 P4 }= { P6 P3}

Dari ketiga contoh diatas Jika a G

a G, h G ha G ( sifat tertutup)a G Ha = {ha / h H}

aH = {ah / h H}

TEOREMAG grup, H subgroup dari GJika a,b H maka pernyataan berikut ekivalena). a Hbb). Ha = Hba). ab-1 H

BuktiMisalkan a Hb sebarangMaka a = h1b untuk suatu h1 HAmbil x HaMaka x = h2a untuk suatu h2 H

= h1(h1b)= (h1h1)b= h3b, h2h1 = h3

23

x Ha, x Hb Ha Hbdari a = h1b diperoleh a = h1

-1 a

ambil y Hbmaka y = h4b untuk suatu h4 H

= h4 (h1-1 a)

= (h4 h1-1 )a

= h5a, h2 h1-1 =h5

Jadi y Ha

e Ha, a Ha ea = a Hakarena Ha = Hb maka a Hba Hb, a = h6b h6 Ha

ab-1 = (h6b)b-1

= h6 (b b-1)= h6 . e

= h6

ab-1 = h6

ab-1 Ha

mis ab-1 = h7

(ab-1)b = h7b a(b-1b) = h7b

ae = h7b a = h7b

a Hb

Teorema :Sebarang 2 koset kanan dari subgroup H dalam G adalah identik atau tidak memiliki elemen persekutuan.

TeoremaAda korespondensi satu-satu antara sebarang 2 koset kanan dari subgup H dalam G

Teorema Lagrange“Jika G grup finite dan H subgroup H maka order dari H adalah pembagi dari order dari G”

24

(H )(G )

=abc b=ac

(G) = 6(H) = 2

Teorema G grup H subgroup GIndeks dari H dalam G adalah banyaknya koset kanan berlainan dari H dalam G

I(G) (H)Contoh :I(G) ( H) = 2I(G) ( H) = 2I(G) ( H) = 3

Teorema G grup Finitea G maka a(G)=e

25