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Analisi Matematica 2 Integrali doppi Integrali doppi 1 / 24

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Analisi Matematica 2

Integrali doppi

Integrali doppi 1 / 24

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Integrali doppi su domini rettangolari.

Sia f (x , y) una funzione limitatanel rettangolo Q = [a, b]× [c , d ] esia D1 = {x0 = a, x1, · · · , xm = b}una decomposizione di [a, b] e

D2 = {y0 = c , y1, · · · , yn = d}una decomposizione di [c , d ].

Il prodotto cartesianoD = D1 ×D2 e’ una suddivisionedi Q.

Chiamiamo con

Ik = [xk−1, xk ], k = 1, ...,m il generico subintervallo di D1,

Jh = [yh−1, yh], h = 1, ..., n il generico subintervallo di D2

e sia Qkh = Ik × Jh il generico rettangolo della suddivisione.

La f e limitata, allora m ≤ f (x , y) ≤ M in Q.

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Integrali doppi su domini rettangolari.

Sia f (x , y) una funzione limitatanel rettangolo Q = [a, b]× [c , d ] esia D1 = {x0 = a, x1, · · · , xm = b}una decomposizione di [a, b] e

D2 = {y0 = c , y1, · · · , yn = d}una decomposizione di [c , d ].

Il prodotto cartesianoD = D1 ×D2 e’ una suddivisionedi Q.

Chiamiamo con

Ik = [xk−1, xk ], k = 1, ...,m il generico subintervallo di D1,

Jh = [yh−1, yh], h = 1, ..., n il generico subintervallo di D2

e sia Qkh = Ik × Jh il generico rettangolo della suddivisione.

La f e limitata, allora m ≤ f (x , y) ≤ M in Q.

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Integrali doppi su domini rettangolari.

Sia f (x , y) una funzione limitatanel rettangolo Q = [a, b]× [c , d ] esia D1 = {x0 = a, x1, · · · , xm = b}una decomposizione di [a, b] e

D2 = {y0 = c , y1, · · · , yn = d}una decomposizione di [c , d ].

Il prodotto cartesianoD = D1 ×D2 e’ una suddivisionedi Q.

Chiamiamo con

Ik = [xk−1, xk ], k = 1, ...,m il generico subintervallo di D1,

Jh = [yh−1, yh], h = 1, ..., n il generico subintervallo di D2

e sia Qkh = Ik × Jh il generico rettangolo della suddivisione.

La f e limitata, allora m ≤ f (x , y) ≤ M in Q.

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Definizione di Somme superiori e somme inferiori

Fissata una suddivisioneD, definiamo relativamente a tale suddivisione:

s(f ,D) =∑mk=1

∑nh=1mkhδh δk ; somme inferiori

S(f ,D) =∑mk=1

∑nh=1Mkhδh δk , somme superiori

con mkh = infQkhf , Mkh = supQkh

f .

Per ogni suddivisione D del rettangolo Q Si ha

m(b−a)(d−c) ≤ s(f ,D) ≤ S(f ,D) ≤ M(b−a)(d−c).

Inoltre (come nel caso di funzioni di una variabile)

sup s ≤ inf S .

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Definizione di Somme superiori e somme inferiori

Fissata una suddivisioneD, definiamo relativamente a tale suddivisione:

s(f ,D) =∑mk=1

∑nh=1mkhδh δk ; somme inferiori

S(f ,D) =∑mk=1

∑nh=1Mkhδh δk , somme superiori

con mkh = infQkhf , Mkh = supQkh

f .

Per ogni suddivisione D del rettangolo Q Si ha

m(b−a)(d−c) ≤ s(f ,D) ≤ S(f ,D) ≤ M(b−a)(d−c).

Inoltre (come nel caso di funzioni di una variabile)

sup s ≤ inf S .

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Definizione

Una funzione f (x , y) definita e limitata nel rettangolo Q e integrabilesecondo Riemann se

supD s(D, f ) = infD S(D, f )

il valore comune si chiama integrale di riemann di f su Q e useremo ilsimbolo ∫∫

Qf (x , y) dxdy

Si dimostra che

f ∈ C 0(Q) =⇒ f integrabile in Q

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Significato geometrico dell’integrale∫∫

Q f (x , y)dxdy

Se f ≥ 0 in Q, allora∫∫

Q f (x , y) dxdyrappresenta il volume del solido cosı definito

V := {(x , y , z) ∈ R3 : (x , y) ∈ Q, 0 ≤ z ≤ f (x , y)}

Se la f ha segno qualunque,il volume della parte di spazio compresatra la funzione f e il piano z = 0 e dato da∫∫

Q|f (x , y)| dxdy .

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Calcolo di un integrale doppio tramite due integrali semplici

Teorema di riduzione

Sia data una funzione f (x , y) integrabile in Q.

Sefissato y ∈ [c , d ], esiste G (y) =

∫ ba f (x , y)dx ,

allora G (y) sara integrabile in [c , d ] e∫∫Qf (x , y) dxdy =

∫ d

cG (y)dy =

∫ d

c

(∫ b

af (x , y)dx

)dy .

Sefissato x ∈ [a, b], esiste H(x) =

∫ dc f (x , y)dy ,

allora H(x) sara integrabile in [a, b] e∫∫Qf (x , y) dxdy =

∫ b

aH(x)dx =

∫ b

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx .

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Se f (x , y) = g(x) h(y) (le variabili sono separate)

con g(x) integrabile in [a, b] (g(x) ∈ R(a, b)) e h(y) ∈ R(c , d), alloraf (x , y) ∈ R(Q) e si ha∫∫

Qf (x , y)dxdy =

∫ b

ag(x)dx

∫ d

ch(y)dy .

esempio

Calcolare∫∫

Q x(y +√y) dxdy , dove Q = [0, 1]× [1, 4].

Si ha ∫ 1

0xdx

∫ 4

1(y +

√y) dy =

x2

2|10 ·(y2

2+

2

3y

32)|41 =

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Se f (x , y) = g(x) h(y) (le variabili sono separate)

con g(x) integrabile in [a, b] (g(x) ∈ R(a, b)) e h(y) ∈ R(c , d), alloraf (x , y) ∈ R(Q) e si ha∫∫

Qf (x , y)dxdy =

∫ b

ag(x)dx

∫ d

ch(y)dy .

esempio

Calcolare∫∫

Q x(y +√y) dxdy , dove Q = [0, 1]× [1, 4].

Si ha ∫ 1

0xdx

∫ 4

1(y +

√y) dy =

x2

2|10 ·(y2

2+

2

3y

32)|41 =

Integrali doppi 7 / 24

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Se f (x , y) = g(x) h(y) (le variabili sono separate)

con g(x) integrabile in [a, b] (g(x) ∈ R(a, b)) e h(y) ∈ R(c , d), alloraf (x , y) ∈ R(Q) e si ha∫∫

Qf (x , y)dxdy =

∫ b

ag(x)dx

∫ d

ch(y)dy .

esempio

Calcolare∫∫

Q x(y +√y) dxdy , dove Q = [0, 1]× [1, 4].

Si ha ∫ 1

0xdx

∫ 4

1(y +

√y) dy =

x2

2|10 ·(y2

2+

2

3y

32)|41 =

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Esercizi

Calcolare∫∫

Q x−3eyx dxdy , dove Q = [1, 2]× [0, 1].

Vediamo quale delle due formule di riduzione e piu conveniente utilizzare:∫ 1

0

(∫ 2

1x−3e

yx dx)dy oppure

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx ?

Essendo∫ 10 x−3e

yx dy un integrale immediato conviene utilizzare la seconda

formula di riduzione.

si ha

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx =

∫ 2

1

(x−3e

yx x)|10

)dx =

∫ 2

1x−2

(e

1x − 1

)dx =

(− e

1x +

1

x

)|21 = e −

√e − 1

2.

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Esercizi

Calcolare∫∫

Q x−3eyx dxdy , dove Q = [1, 2]× [0, 1].

Vediamo quale delle due formule di riduzione e piu conveniente utilizzare:∫ 1

0

(∫ 2

1x−3e

yx dx)dy oppure

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx ?

Essendo∫ 10 x−3e

yx dy un integrale immediato conviene utilizzare la seconda

formula di riduzione.

si ha

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx =

∫ 2

1

(x−3e

yx x)|10

)dx =

∫ 2

1x−2

(e

1x − 1

)dx =

(− e

1x +

1

x

)|21 = e −

√e − 1

2.

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Esercizi

Calcolare∫∫

Q x−3eyx dxdy , dove Q = [1, 2]× [0, 1].

Vediamo quale delle due formule di riduzione e piu conveniente utilizzare:∫ 1

0

(∫ 2

1x−3e

yx dx)dy oppure

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx ?

Essendo∫ 10 x−3e

yx dy un integrale immediato conviene utilizzare la seconda

formula di riduzione.

si ha

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx =

∫ 2

1

(x−3e

yx x)|10

)dx =

∫ 2

1x−2

(e

1x − 1

)dx =

(− e

1x +

1

x

)|21 = e −

√e − 1

2.

Integrali doppi 8 / 24

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Esercizi

Calcolare∫∫

Q x−3eyx dxdy , dove Q = [1, 2]× [0, 1].

Vediamo quale delle due formule di riduzione e piu conveniente utilizzare:∫ 1

0

(∫ 2

1x−3e

yx dx)dy oppure

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx ?

Essendo∫ 10 x−3e

yx dy un integrale immediato conviene utilizzare la seconda

formula di riduzione.

si ha

∫ 2

1

(∫ 1

0x−3e

yx dy)dx =

∫ 2

1

(x−3e

yx x)|10

)dx =

∫ 2

1x−2

(e

1x − 1

)dx =

(− e

1x +

1

x

)|21 = e −

√e − 1

2.

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Integrali doppi su domini normali.

Definizione di dominio normale rispetto all’asse x

Siano y = α(x), y = β(x)funzioni continue in un intervallo chiuso elimitato [a, b] ⊆ R e α(x) ≤ β(x), ∀x ∈ [a, b].

Definiamo dominio normale rispettoall’asse x (o y -semplice) l’insieme del piano

D := {(x , y) ∈ [a, b]× R : α(x) ≤ y ≤ β(x)}.

L’area di questo dominio si puo calcolaremediante un integrale semplice

area (D) =

∫ b

a(β(x)− α(x))dx .

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Definizione di dominio normale rispetto all’asse y

Siano x = γ(y), x = δ(y)funzioni continue in un intervallo chiusoe limitato [c , d ] e γ(y) ≤ δ(y), ∀y ∈ [c , d ].Definiamo dominio normale rispettoall’asse y (o x-semplice) l’insieme del piano

E := {(x , y) ∈ R× [c, d ] : γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}.

L’area di questo dominio si puo calcolaremediante un integrale semplice

area (E ) =

∫ d

c(δ(y)− γ(y))dy .

Si dice che un dominio e normale se e normale rispetto ad entrambi gli assi(quadrato, cerchio, etc.)

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Integrali doppi su domini normali

Sia f (x , y) continua in D. Se

D := {x ∈ [a, b], α(x) ≤ y ≤ β(x)} =⇒∫∫Df (x , y) dxdy =

∫ b

a

(∫ β(x)

α(x)f (x , y) dy

)dx .

Sia f (x , y) continua in E . Se

E := {y ∈ [c , d ], γ(y) ≤ x ≤ δ(y)} =⇒∫∫Ef (x , y) dxdy =

∫ d

c

(∫ δ(y)

γ(x)f (x , y) dx

)dy .

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Proprieta degli integrali doppi.

1. Linearita : Se f1 e f2 sono integrabili in D e c1 e c2 sono costanti,∫∫Dc1f1(x , y)+c2f2(x , y) dxdy = c1

∫∫Df1(x , y) dxdy+c2

∫∫Df2(x , y) dxdy

2. Additivita : Sia D = D1 ∪ D2 e f integrabile in D,∫∫D1∪D2

f (x , y) dxdy =

∫∫D1

f (x , y) dxdy +

∫∫D2

f (x , y) dxdy

3. Monotonia : Siano f , g integrabili in D e f ≤ g , allora∫∫Df (x , y) dxdy ≤

∫∫Dg(x , y) dxdy ;

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se |f | e’ integrabile in D,∣∣∣ ∫∫Df (x , y) dxdy

∣∣∣ ≤ ∫∫D|f (x , y)| dxdy ;

se M = supD |f |, e indichiamo area (D) = |D|,∫∫Df (x , y) dxdy ≤ M |D|.

4.Teorema della mediaSe f ∈ C 0(D) , allora esiste un P0 = (x0, y0) tale che

1

|D|

∫∫Df (x , y) dxdy = f (x0, y0)

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Calcolare∫∫

D(x4 + y2) dxdy , D = {1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ x2}

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Calcolare∫∫

D(√x y) dxdy , D = {0 ≤ x ≤ 1; x2 ≤ y ≤

√x}

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Calcolare l’integrale doppio ∫∫Tx3dxdy ,

T = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}

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Calcolare il volume del solido limitato da z = x2 + y2 − 1 che si proiettaortogonalmente sul trapezio rettangolo D di vertici(0, 0), (

√3, 0), (

√3, 1), (1, 1)∫∫

D|x2 + y2 − 1| dxdy =

∫∫D−

(1− x2 + y2) +

∫∫D+

(x2 + y2 − 1)dxdy .

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Volume dei solidi di rotazione, Teoreama di Guldino

Primo Teorema di GuldinoIl volume delsolido di rotazione S generato dalla rotazionedi un insieme A attorno ad un asse, e ugualeal prodotto dell’area di A per la lunghezzadella circonferenza descritta dal baricentro di A.

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Sia B = (x0, y0) il baricentro di un insieme A misurabile e limitato delpiano x , y ha coordinate:

x0 =1

|A|

∫∫Axdxdy , y0 =

1

|A|

∫∫Aydxdy ,

dove |A| = area (o misura) di A

Se S e ilsolido generato dalla rotazione del rettangoloideD = {(x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}attorno all’asse x , si ha

volume(S) = 2π|D| · y0 = 2π∫∫

D ydxdy =∫ ba

( ∫ f (x)0 ydy

)dx = π

∫ ba f 2(x)dx

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Sia B = (x0, y0) il baricentro di un insieme A misurabile e limitato delpiano x , y ha coordinate:

x0 =1

|A|

∫∫Axdxdy , y0 =

1

|A|

∫∫Aydxdy ,

dove |A| = area (o misura) di ASe S e ilsolido generato dalla rotazione del rettangoloideD = {(x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}attorno all’asse x , si ha

volume(S) = 2π|D| · y0 = 2π∫∫

D ydxdy =∫ ba

( ∫ f (x)0 ydy

)dx = π

∫ ba f 2(x)dx

Integrali doppi 19 / 24

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Sia B = (x0, y0) il baricentro di un insieme A misurabile e limitato delpiano x , y ha coordinate:

x0 =1

|A|

∫∫Axdxdy , y0 =

1

|A|

∫∫Aydxdy ,

dove |A| = area (o misura) di ASe S e ilsolido generato dalla rotazione del rettangoloideD = {(x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}attorno all’asse x , si ha

volume(S) = 2π|D| · y0 = 2π∫∫

D ydxdy =∫ ba

( ∫ f (x)0 ydy

)dx = π

∫ ba f 2(x)dx

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Cambio di variabili negli integrali doppi.

Sia A un dominio normale del piano (u, v), consideriamo due funzioni diclasse C 1(A) {

x = x(u, v),y = y(u, v), (u, v) ∈ A.

Indichiamo con φ : (u, v) ∈ A→ (x(u, v), y(u, v)) e sia invertibile e diclasse C 1 con determinante jacobiano

|J| = det∂(x , y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣ =∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u.

Indichiamo con φ(A) = D il codominio di φ.

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Teorema

Siano A e D due domini regolari di R2 e l’applicazione φ sia invertibile, diclasse C 1 e |J(u, v)| 6= 0 in A. Allora per ogni funzione f (x , y) continua inD si ha ∫∫

Df (x , y) dxdy =

∫∫Af (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| dudv .

Quindi |J(u, v)| dudv = dx dy rappresenta l’elemento d’area nelle nuovecoordinate.Dominio regolare= dominio normale e le funzioni che lo delimitano sono diclasse C 1.

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Coordinate polari

{x = ρ cos θ, 0 < ρ < +∞,y = ρ sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π,

con

|J(ρ, θ)| = det∂(x , y)

∂(ρ, θ)=

∣∣∣∣cos θ − ρ sin θsin θ ρ cos θ

∣∣∣∣ = ρ

L’applicazione φ : S → R2, con S = {(ρ, θ) : ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π}permette il passaggio da coodinate cartesiane a coordinate polari.

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Vale la formula di trasformazione∫∫Df (x , y) dxdy =

∫∫Af (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρdθ

es: calcolare∫∫

D e−(x2+y2) dxdy , D := {x2 + y2 ≤ r2}∫∫

D e−(x2+y2) dxdy =

∫∫D e−ρ

2ρ dρdθ =

∫ 2π0 dθ

∫ r0 e−ρ

2ρdρ =

π(1− e−r2)

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Domini polarmente normali

Consideriamo due funzioni nel piano polare ρ, θ: ρ = ρ1(θ), ρ = ρ2(θ),continue su un intervallo chiuso e limitato [θ1, θ2] e siaρ1(θ) ≤ ρ2(θ), ∀θ ∈ [θ1, θ2].

Definizione

Si definisce polarmente normale un dominio D che si puo cosı descrivere

D =

{θ1 ≤ θ ≤ θ2,ρ1(θ) ≤ ρ ≤ ρ2(θ)

es: Calcolare il volume della porzione di superficie z = x2 che si proiettanel cerchio C = {x2 + y2 ≤ 1}∫∫

Dx2 dxdy =

∫ 2π

0dθ

∫ 1

0ρ2cos2θ ρdρ =

1

4

∫ 2π

0cos2θ =

π

4

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