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ANÁLISIS DE CIRCUITOS LINEALES
CONTENIDOS Leyes de Kirchhoff. Asociaciones y divisores Principio de superposición Equivalentes Thevenin y Norton. Relación.
Transformaciones de fuentes Impedancias de entrada y salida Funciones de red. Respuesta impulsional y al
escalón. Polos y ceros. Diagramas Respuesta completa. Descomposiciones entrada
cero + estado cero y natural + forzada Transitorios de primer y segundo orden Concepto de estabilidad
Rafael Cabeza - Sonia Porta
BIBLIOGRAFÍA
R. A. DeCARLO, P-M. LINLinear Circuit Analysis. Capítulos 8-9,13-14-15
J. D. IRWINAnálisis Básico de Circuitos en Ingeniería. Capítulos 7-8,16-17
L. P. HUELSMANBasic Circuit Theory. Capítulos 5-6,10
S. FRANCOElectric Circuits Fundamentals. Capítulos 8-9,14
Rafael Cabeza - Sonia Porta
OBJETIVOS
Traducir al dominio transformado leyes y teoremas de análisis de circuitos
Definir las funciones de red que se utilizan para describir el comportamiento entrada-salida
Conectar la localización de polos y ceros de las funciones de red con el concepto de estabilidad y el conformado de la respuesta temporal
Aprender a obtener la respuesta completa en el dominio del tiempo y distinguir claramente las contribuciones entrada + estado cero y natural+forzada
Conocer en detalle las características de los transitorios de circuitos de primer y segundo orden
Rafael Cabeza - Sonia Porta
OBJETIVOSDominio tiempo Dominio transformado Dominio tiempo
1.- Transformación de:* leyes* señales* componentes
2.- Análisis:Respuesta completa
Principio de continuidadCondiciones iniciales
Funciones de redPolos y cerosImpedancias entrada/salida
Estado 0 + Entrada 0Natural + ForzadaTransitorio y estacionarioOrden 1: constante tiempoOrden 2: regímenes
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()( tysY L
)(1
tyL
st t
0t
)0(
)0(
ti
tv
L
C
)0(
)0(
ti
tv
L
C
0t 0t L
CON
CEPT
OS
LEYES DE KIRCHHOFF
De nudos o de corrientes (KCL)o En cualquier circuito y en cualquier instante de
tiempo, la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula
o Equivalentemente, la suma de corrientes entrando al nudo es igual a la suma de corrientes saliendo del nudo
n
kk sI
10)(
n
kk ti
10)( Laplace
Rafael Cabeza - Sonia Porta
LEYES DE KIRCHHOFF
De nudos o de corrientes (KCL)o Ejemplo
)()()()()(0)()()()()(
53241
54321
titititititititititi
)()()()()(0)()()()()(
53241
54321
sIsIsIsIsIsIsIsIsIsI
Rafael Cabeza - Sonia Porta
LEYES DE KIRCHHOFF
De nudos o de corrientes (KCL)o Supernudo: superficie cerrada que encierra en su
interior un número arbitrario de elementos de redo La suma algebraica de las corrientes que inciden
en un supernudo es nulao Ejemplo
0)()()()()( 54321 sIsIsIsIsI
Rafael Cabeza - Sonia Porta
LEYES DE KIRCHHOFF
De mallas o de voltajes (KVL)o En cualquier circuito y en cualquier instante de
tiempo la suma algebraica de tensiones en una malla es nula
o Equivalentemente, al recorrer la malla en cierto sentido arbitrario, la suma de subidas de tensión es igual a la suma de caídas de tensión
n
kk sV
10)(
n
kk tv
10)( Laplace
Rafael Cabeza - Sonia Porta
LEYES DE KIRCHHOFF
De mallas o de voltajes (KVL)o Ejemplo
0)()()()( 4321 sVsVsVsV
)()()(0)()()(
521
521sVsVsVsVsVsV
0)()()( 534 sVsVsV
Malla ABCD
Malla ABC
Malla ADC
Rafael Cabeza - Sonia Porta
LEYES DE KIRCHHOFF: APLICACIÓN
Aplicación de KCL
4 ecuaciones KCL para 4 incógnitas: A partir de ellas, se extrae cualquier otra magnitud del
circuito
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()()( 451 sIsIsI Nudo A
)()()(
)()()(
)()()(
451 sZsVsV
sZsVsV
sZsVsV ADCABA
)()( 21 sIsI Nudo B
)()()(
)()()(
21 sZsVsV
sZsVsV CBBA
)()( 43 sIsI Nudo D
)()()(
)()()(
43 sZsVsV
sZsVsV ADDC
)()()( 352 sIsIsI Nudo C
)()()(
)()()(
)()()(
352 sZsVsV
sZsVsV
sZsVsV DCCACB
)()(),(),( sVsVsVsV DCBA y
LEYES DE KIRCHHOFF: APLICACIÓN
Aplicación de KVL
2 ecuaciones KVL para resolver dos incógnitas: Ia(s) e Ib(s) A partir de ellas, se extrae cualquier otra magnitud eléctrica
del circuito
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()()( 521 sVsVsV Malla ABC
)]()()[()()()()( 521 sIsIsZsIsZsIsZ babb
Malla ADC 0)()()( 534 sVsVsV
0)]()()[()()()()( 534 sIsIsZsIsZsIsZ baaa
ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS
En serieo Todas las impedancias comparten una corriente
común y dividen la diferencia de potencialo Equivale a una sola impedancia con valor
n
kkS sZsZ
1)()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS
Divisor de voltajeo En una asociación en serie el voltaje total aplicado
en la asociación se divide entre cada una de las impedancias siguiendo la siguiente fórmula
jj
kT
S
kTk sZ
sZsVsZsZsVsV
)()()(
)()()()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS
En paraleloo Todas las impedancias comparten una diferencia
de potencial común y dividen la corrienteo Equivale a una sola impedancia con valor
n
k k
P
sZ
sZ
1 )(1
1)(
n
kkP sYsY
1)()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS
Divisor de corrienteo En una asociación en paralelo la corriente total
aplicada en la asociación se divide entre cada una de las impedancias siguiendo la siguiente fórmula
)()()(
)()()()(
sZsZsI
sYsYsIsI
k
PT
P
kTk
Rafael Cabeza - Sonia Porta
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Suponiendo N fuentes independientes de excitación , cualquiera de las variables tensión o corriente del circuito se puede calcular sumando algebraicamente las distintas contribuciones individuales de cada una de las N fuentes independientes de excitación actuando en solitario
Es válido incluso para circuitos con condiciones iniciales no nulas
NkX k 1 (s)
NkYk 1 (s)
N
kk sYsY
1)()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Anular una fuente de voltaje equivale a sustituirla por un cortocircuito
Anular una fuente de corriente equivale a sustituirla por un circuito abierto
Las fuentes controladas no se ven alteradas en ningún caso durante el procedimiento
Rafael Cabeza - Sonia Porta
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Ejemplo
Laplace
V 8)0( tvC
Rafael Cabeza - Sonia Porta
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Ejemploo Contribución de la fuente de voltaje
2210)(10)(
22
2103
10)(
sssI
ssV
ss
ssI oa
sI
)(1010)( 2 tuetv toa
Laplace inversa
Rafael Cabeza - Sonia Porta
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Ejemploo Contribución de la fuente de corriente
sI
)2(12)(10)(
1056
310223)(
sssI
ssV
ssssI ob
)(66)( 2 tuetv tob
Laplace inversa
Rafael Cabeza - Sonia Porta
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Ejemploo Contribución de las condiciones iniciales
sI
28)()23()(
1058
1023
8)(
ssIsV
ss
ssI oc
)(8)( 2 tuetv toc
Laplace inversa
Rafael Cabeza - Sonia Porta
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Ejemploo Respuesta total
)2(88)()()()(
ss
ssVsVsVsV ocoboao
)(44)()()()( 2 tuetvtvtvtv tocoboao
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE THEVENIN
Cualquier circuito puede ser sustituido entre un par dado de nudos por un circuito equivalente formado por una fuente independiente de voltaje en serie con una impedancia
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE THEVENIN
Cálculo de VTH(s):o Voltaje presente entre los nodos a y b del circuito
original en condiciones de circuito abierto (sin ningún elemento adicional interconectado)
Cálculo de ZTH(s):o Impedancia equivalente entre los nodos a y b del
circuito original en el cual se han anulado todas las fuentes independientes
o Impedancia de salida
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE THEVENIN
Ejemplo
Laplace
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE THEVENIN
Ejemploo Voltaje equivalente:
o Impedancia equivalente:
2)21(111
21121
211
1)(ss
ss
ss
sVab
2)21(121
21221121
211
11
211
1)(s
ssss
s
ss
sZab
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE THEVENIN
Ejemploo Circuito equivalente Thevenin
2)21(121
ss
2)21(111
ss
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE NORTON
Cualquier circuito puede ser sustituido entre un par dado de nudos por un circuito equivalente formado por una fuente independiente de corriente en paralelo con una impedancia
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE NORTON
Cálculo de IN(s):o Corriente que circula entre los nodos a y b del
circuito original en condiciones de circuito cerrado (cortocircuito entre a y b)
Cálculo de ZN(s):o Impedancia equivalente entre los nodos a y b del
circuito original en el cual se han anulado todas las fuentes independientes
o Impedancia de salida
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE NORTON
Ejemplo previo
o Corriente equivalente
o Impedancia equivalente
)21(1
21
1
)(sss
ssIab
2)21(121)(
sssZab
Rafael Cabeza - Sonia Porta
EQUIVALENTE NORTON
Ejemplo previoo Circuito equivalente Norton
)21(1
ss 2)21(121
ss
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RELACIÓN THEVENIN/NORTON
)()( sZsZ THN
)()()(
sZsVsI
TH
THN
)()( sZsZ NTH
)()()( sZsIsV NNTH
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RELACIÓN THEVENIN Y NORTON
Esta relación proporciona un método práctico de cálculo de la en presencia de fuentes controladas: o Se calcula manteniendo un circuito
abierto entre los nodos a y b del circuito originalo Se calcula conectando un cortocircuito
entre los nodos a y b del circuito original
)()()()(
sIsVsZsZ
N
THNTH
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()( sZsZ NTH
)()( sVsV abTH
)()( sIsI abN
RELACIÓN THEVENIN Y NORTON
Ejemplo
KCL
)2(23)()()()21()(3
sssVsVsVssV abTHabx
ssZ p 21
1)(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)(1)( sVs
sV abx
)()(
)(21
)(sZsV
sVsV
p
abx
x
RELACIÓN THEVENIN Y NORTON
Ejemplo
Combinando los resultados de ambos análisis:
KCL
ssZ p 21
1)(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
ssVx
1)(
ssIsIsIsV
sVabNabx
x 3)()()()(21
)(
)2(21
)()()()(
ssIsVsZsZ
N
THNTH
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Basado en la relación entre los equivalentes Thevenin y Norton se puede plantear la transformación entre fuentes reales de voltaje y corriente
)()( sZsZ igvg
)()()( sZsIsV iggg
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Ejemplo
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Ejemplo
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Ejemplo
Laplace
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
)41(324
212
2162)( 222 ssss
ssss
ssVo
Rafael Cabeza - Sonia Porta
IMPEDANCIA DE ENTRADA/SALIDA
Impedancia de entrada/salidao Para el cálculo de la impedancia de entrada/salida
de una red entre dos nodos cualesquiera se debe: Anular todos los generadores independientes de la red
(incluidos los asociados a las condiciones iniciales) Aplicar una excitación (de voltaje o de corriente) entre los
nodos en cuestión y medir la variable complementaria Calcular el cociente entre dichas cantidades
o Relación con equivalente Thevenin/Norton
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)()()(/ sI
sVsZAB
ABoutin
IMPEDANCIA DE ENTRADA/SALIDA
Ejemplos de impedancia de entradao Etapa inversora
o Etapa no inversora
Rafael Cabeza - Sonia Porta
1)()()( ZsI
sVsZABAB
in
)()()( sI
sVsZABAB
in
0)( sI AB
1
)()( ZsVsI ABAB
FUNCIONES DE RED
Función de transferencia en tensión:
Función de transferencia en corriente:
Función de transferencia de transimpedancia:
Función de transferencia de transadmitancia:
)()()(
sIsIsG
i
o
)()()(
sIsVsZ
i
o
)()()(
sVsVsH
i
o
)()()(
sVsIsY
i
o
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Siempre bajo el supuesto de condiciones iniciales nulas
FUNCIONES DE RED
Todas ellas se definen y se calculan en el dominio transformado. Son funciones de la variable compleja s
Su cálculo exige anular las posibles fuentes independientes dentro del circuito, y dejar exclusivamente la fuente externa de excitación
Por tanto, todas ellas se definen y se calculan independientemente de las posibles condiciones iniciales en los componentes reactivos
La más usualmente utilizada es H(s)
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA IMPULSIONAL
Supuesta conocida la función de transferencia que caracteriza un determinado circuito, como por definición
Bajo excitación impulso unitario:1)()()( sXttx L
)()()(1)()( 11 sHthtysHsY LL
)()()()()()(1
tysXsHsYsXtx LL
)(
)()()()(
txty
sXsYsH
LL
Respuesta impulsional
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Bajo excitación escalón unitario:
Recordando que
RESPUESTA AL ESCALÓN
ssXtutx 1)()()( L
ssHtrty
ssHsY )()()()()( 1
1LL
)0()(
tfsFs
dtdfL
)()()()0()( thsHssHstrsRs
dtdr LL
)()( trdtdth
al Respuesta al escalón
Rafael Cabeza - Sonia Porta
POLOS Y CEROS
Cualquiera de estas funciones de red se podrán escribir como funciones racionales
Se distinguen tres casoso m > n: función impropia, no contemplada en redeso m < n: función estrictamente propiao m ≤ n: función propia, cuyo estudio se reduce a una
estrictamente propia
011
1
011
1
)()(
)()()(
asasasbsbsbsb
sDsN
sXsYsF n
nn
mm
mm
)()(
)()()(
sDsRb
sDsNsF nm
Rafael Cabeza - Sonia Porta
POLOS Y CEROS
Calculando las raíces del numerador y denominador
o zk son los ceros de la función de red Varían para cada función de red del sistema
o pk son los polos del sistema Son comunes para todas las funciones de red y por lo
tanto característicos del sistema
o Se tienen m ceros y n poloso Pueden ser reales o complejos, simples
(multiplicidad=1) o múltiples (multiplicidad>1)
)())(()())(()(
2121
nm
m pspspszszszsbsF
Rafael Cabeza - Sonia Porta
POLOS Y CEROS
La localización de polos y ceros sobre el plano complejo proporciona información acerca de:
o Las diferentes respuestas en el dominio del tiempo, que se obtendrán descomponiendo Y(s) en fracciones simples y anti-transformando
o Las diferentes respuestas en el dominio de la frecuencia, que se verán en el último tema
o La característica de estabilidad del circuito, que estudiaremos posteriormente
Rafael Cabeza - Sonia Porta
DIAGRAMAS DE POLOS Y CEROS
Representación gráfica de la situación de los polos y ceros de un sistema en el plano complejoo Caracterización completa de la
función de transferencia salvo constantes multiplicativas
o Posible evaluación del movimiento de polos y ceros respecto de un parámetro
o Evaluación de la estabilidad
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA DEL SISTEMA
Conocida la función de transferencia H(s) que caracteriza el circuito, para una excitación genérica x(t)
Esta señal de salida y(t) no tiene en cuenta las posibles condiciones iniciales no nulas en los componentes reactivos. Es solo la componente «estado cero»
)()()()()()(1
tysXsHsYsXtx -LL
Rafael Cabeza - Sonia Porta
Respuesta completa: señal de salida que proporciona un circuito con determinadas condiciones iniciales sometido a cierta excitación
RESPUESTA ESTADO-CERO/ENTRADA-CERO
)()()( inputzerostatezero tytyty
L)(tx )(1 ty -L
Excitación Condiciones iniciales
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA ESTADO-CERO/ENTRADA-CERO
Respuesta a estado cero (zero state): es la contribución que proporciona el circuito frente a la fuente externa de excitación, cuando se suponen condiciones iniciales nulas. Asociada a la función de red del circuito
Respuesta a entrada cero (zero input): es la contribución que proporciona el circuito frente a un conjunto de condiciones iniciales, cuando se anulan las fuentes externas de excitación
)()()()( statezero1
tysXsHsY -L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA ESTADO-CERO/ENTRADA-CERO
Para poder discernir ambas contribuciones, se recomienda analizar el circuito aplicando el principio de superposición
Ejemplo:
o Excitación =o Condición inicial =
oItitisI )(;)()( L)0(Cv
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA ESTADO-CERO/ENTRADA-CERO
Estado cero:
Entrada cero:
Respuesta completa:
sRCsIRsVo
1
)()(
sRCvCRsV Co
1
)0()(
sRCvCR
sRCsIRsV Coo
1
)0()1(
)(
)()0()(1)(1 tuevtueRIty RCtCRCto -Lestado cero entrada cero
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
Respuesta completa: se puede descomponer, alternativamente, como suma de una componente natural y una componente forzada
Esta descomposición tiene su origen en el procedimiento matemático que se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales
Recordar que ambos conceptos fueron introducidos en el tema anterior
)()()( forzadanatural tytyty
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
Respuesta natural: es la contribución que físicamente representa:o la inercia de los componentes reactivos frente a
cambios en las magnitudes sometidas al principio de continuidad, incluso bajo supuesto de condiciones iniciales nulas
o la posible energía acumulada en las condiciones iniciales no nulas
Matemáticamente asociada a la solución general de la ecuación diferencial homogénea
Existe siempre si el circuito contiene componentes reactivos
Asociada al concepto de estado transitorio
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
Respuesta forzada: es la contribución que físicamente representa la salida producida por el procesado del circuito sobre la excitación concreta aplicada
Matemáticamente asociada a la solución particular de la ecuación diferencial completa
Su aspecto formal y su duración temporal son similares a los de la señal de excitación
Asociada al concepto de estado estacionario
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
Ejemplo anterior:
Alternativamente:
)()0()(1)( tuevtueRIty RCtCRCto estado cero entrada cero
)()()0()( tuRItueRIvty oRCtoC
natural forzada
sIsIIti oo )()(
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
La componente natural se reconoce por agrupar todos los términos que proceden de anti-transformar las fracciones simples asociadas a los polos del sistema
Si el circuito es estable, los polos en el semiplano complejo izquierdo proporcionan una respuesta natural que tiende a amortiguarse con el tiempo. Ello permite hablar de estados transitorios en los circuitos estables
La componente forzada es reconocible por ser independiente de las condiciones iniciales y con aspecto formal y duración temporal similar a la excitación
Ello permite hablar de estados estacionarios en los circuitos estables
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
Procedimiento sistemático de análisis para descomponer la respuesta completa como suma de las contribuciones natural y forzada
Supuestos de partida:o Circuito estable con uno o varios componentes
reactivos (porque los circuitos resistivos no presentan inercia ni, por tanto, respuesta natural)
o Modificación de la topología del circuito en t =0, que permite distinguir un estado anterior estacionario (para t < 0) y un estado posterior (para t > 0)
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
En el estado anterior sólo es preciso calcular el valor de las magnitudes sometidas a principio de continuidad: las condiciones iniciales
El circuito resultante de la modificación se transforma por Laplace, incorporando las condiciones iniciales en forma de fuentes independientes (de corriente en paralelo o de tensión en serie)
)0()0()0()0(
titiLtvtvC
LL
CC
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
El circuito transformado se analiza, mejor aplicando el principio de superposición, para obtener la transformada de la magnitud de salida en la forma
dondeo representa la contribución estado cero
(no contiene información de condiciones iniciales)o representa la contribución entrada cero
(no contiene información de la excitación externa)
)()()()( sZIsXsHsY
)()( sXsH
)(sZI
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
La función transformada de la magnitud de salida se anti-transforma, para regresar al dominio del tiempo:
Para obtener la descomposición alternativa (natural + forzada) de la respuesta completa (estado cero + entrada cero) es preciso identificar la procedencia de las raíces de la descomposición en fracciones simples
)0()()( statezero1-
tysXsH L
)0()( inputzero1-
tysZI L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
)()(
)()()(
)()()()()()(
sdsn
sDsMsX
sDsNsZIsXsHsY
El polinomio denominador d(s) contieneo Las raíces del polinomio característico D(s), que
son los polos del sistema
o Otras raíces adicionales procedentes de la transformada de la excitación (que sólo estarán presentes en la contribución estado cero)
)(...)()()( 21 npspspssD
sistema del polos nkpk 1;
sistema del polos son no quede raíces )( sdqk
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
l ll
k k
k
qsB
psAsY
)()()(
Al anti-transformar se obtieneo Por un lado
Si los polos están en el semiplano izquierdo se asegura que la componente natural se amortigua porque sus contribuciones dan exponenciales decrecientes
o Por otro lado
Por eso la componente forzada guarda similitud con la excitación
)0()( natural
1-
typsA
k k
k L
)0()( forzada
1-
tyqsB
l l
l L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
RESPUESTA NATURAL/FORZADA
k kk
l l
lps
Aqs
BsZIsXsDsNsY
)()()()(
)()()(
Comparando ambas descomposiciones:
estado entrada cero cero
forzada natural
Natural inercialNatural inercial
Natural condiciones inicialesNatural condiciones iniciales
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
Ejemplo: alcanzado el estacionario se acciona el conmutador
o Condición inicial: RRRRRiti LL
66)0()0(21
21
paralelo
21
21
RRRRR
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
o Circuito final transformado:
o Análisis:
observar que
ssVi
12)(
sistema del poloLR
LRssD )(
LRs
BsAi
LRs
RL
sV
LRs
RsV Li
o
)0()(
)(
estado cero entrada ceroforzada natural
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
o Componente estado cero :
o Componente entrada cero :
LRsssLRsLRsV
LRsLRsV io
121212)()( ceroestado
forzada natural inercial
Rafael Cabeza - Sonia Porta
LRsRLRsRi
LRsRsV Lo
66)0()( ceroentrada
)()( sXsH
)(sZI
)(12)(12)( cero estado1-
tuetutv LtRo L
)(6)( cero entrada1-
tuetv LtRo L
natural de condiciones iniciales
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
o Solución completa: )(6)(12)0( tuetutv LtRo
forzada natural
Completa
Natural
Forzada
Rafael Cabeza - Sonia Porta
)(tvo
t
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
Generalidadeso Hay (como mínimo) un componente reactivo
una magnitud sometida a continuidad una condición inicial a determinar: o bien
o Siempre es posible calcular cierta resistencia equivalente vista desde los terminales del componente reactivo de modo que el único polo vendrá dado por
donde el signo negativo asegura la estabilidad
LR
pLCR
pC eqeq
11 :1:
)0(Cv )0(Li
eqR
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
Generalidadeso Con en la descomposición
de sólo hay una fracción simple asociada a la respuesta natural
o El signo negativo en la exponencial asegura que esta contribución natural tiende a amortiguarse, y el transitorio se acaba superando
)()()( 11 pspssD )(sY
)()()0()(
/1natural
1-
1tueKtueKty
psK ttp
L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
Generalidadeso La velocidad de amortiguación de la respuesta
natural, es decir, la velocidad en los procesos de carga y descarga se estima a través de la constante de tiempo
o A falta de otro criterio, la duración del transitorio se estima en
argacarga/desc la rápida másmayor a
argacarga/desc la lenta másmayor a
:
:
eqeq
eqeq
RRLL
RCRC
KKeKeKty 150
)5( 55natural
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDEN
Ejemplo
RCT RCT
Forzada
Completa
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 1er ORDENForzada
Completa
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDEN
Generalidadeso El circuito tiene (como mínimo) dos componentes
reactivos hay dos magnitudes sometidas a continuidad dos condiciones iniciales a determinar
o El polinomio característico de segundo grado genera dos polos
o El discriminante permite distinguir tres distintos regímenes de amortiguamiento, asociados a las distintas localizaciones posibles para los polos
222
221
2122 ))((2)(
o
oo
pp
pspssssD
22o
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDENo Sobre-amortiguamiento:
polos reales negativos distintos
o Amortiguamiento crítico: polos reales negativos idénticos
0
)()()0( 2121 /2/121natural tueKeKtueKeKty tttptp
221
111 pp
2
2
1
11-natural )0( ps
Kps
Kty L
0
)()()0( 21/21natural tutKKetuetKeKty ttt
111
21
pp
2
211-natural
)()0(
sK
sKty L
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDENo Sub-amortiguamiento:
polos complejos conjugados
Frecuencia de amortiguamiento =
Constante de amortiguamiento =
Frecuencia propia =
0
)(sincos)0( 21natural tutKtKety ddt
*21 pjp d
22
211-natural
)()(
)(d
d
sKsK
ty
L
2221 )())(()( dspspssD
22 od),Re( 21 pp
22do
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDEN
Ejemplo
Diferentes valores de R producirán los diferentes regímenes de amortiguamiento
111
111)( 2
sRssssR
ss
sVC
Laplace
241)(
2
2,12
RRpsRssD
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDENo Sobre-amortiguamiento :
o Amortiguamiento crítico :
)()1()()()1(
11
11)(1-
2 tutetutvssssV tCC
L
112)(2 212 ppsssDR
forzada natural
4
25,0125,4)(25,4
2
12
pp
sssDR
4667,0
25,00667,11)(
ssssVC
)(0667,10667,0)()( 441- tueetutv ttC Lforzada natural
Rafael Cabeza - Sonia Porta
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDENo Sub-amortiguamiento :
Frecuencia de amortiguamiento = = 0,99 rad/s
Constante de amortiguamiento = = 0,1 rad/s
Frecuencia propia = =1 rad/s
99,01,099,01,0
12,0)(2,02
12
jpjp
sssDR
2222 )99,0()1,0(99,0
99,01,0
)99,0()1,0(1,01)(
ss
ss
sVC
)()º26,17499,0cos(005,1)()( 101-
tutetutv tC L
forzada natural
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d
o
TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDEN
Sobreamortiguado
Críticamente amortiguado
Subamortiguado
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TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE 2º ORDEN
SobreamortiguadoCríticamente amortiguadoSubamortiguado
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POLOS Y CEROS
Un circuito se denomina estable cuando cualquier señal de entrada acotada produce a la salida una señal también acotada
Es crucial estudiar la estabilidad de cualquier circuito eléctrico
Lazo de realimentación negativo en etapas con amplificadores operacionales
Para asegurar la estabilidad de un circuito basta con comprobar que los polos del sistema se localizan en el semiplano complejo izquierdo
Veamos qué contribución proporcionan distintos tipos de polos (respuesta natural), y su característica de estabilidad
tMtytyMtxtx yx )( ;)()(;)(
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Polo real simple no en el origen
o acotada si
o no acotada si
POLOS Y CEROS
0ip
0ip
0ip
0ip
)(1-
tueKps
K tipi
L)(tuKe tpi
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Polo real múltiple no en el origen
o acotada si
o no acotada si
POLOS Y CEROS
)( 1 tuetK tpj i
0ip
0ip
0ip0ip
)(1
1-tuetK
psK tipj
ji
L
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Par simple de polos complejos conjugados
o acotada si no acotada si
POLOS Y CEROS
0 0
0 0
o
)( )(sin)( )(cos)(
)(21
1-2221 tuteKtuteK
sKsK tt
L
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
Utilización en el dominio transformado de las leyes, teoremas y métodos de simplificación propios del análisis de circuitos
Caracterización de circuitos en el dominio transformado mediante la función de red que describe el comportamiento entrada-salida
Método sistemático para la obtención de la respuesta completa de un circuito en el dominio del tiempo mediante aplicación de la anti-transformada de Laplace
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
Procedimiento sistemático para poder distinguir las componentes estado+entradacero (zero state, zero input) mediante aplicación del principio de superposición
Procedimiento sistemático para poder distinguir las componentes natural+forzadamediante identificación de la procedencia de las raíces del polinomio denominador d(s)
Comprensión de los transitorios de circuitos y de las características comunes que derivan del orden de los mismos
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
Conexión entre o concepto de estabilidado localización de polos en el semiplano complejo
izquierdoo amortiguación de la respuesta natural o concepto de estado transitorio y estado
estacionario
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