1

PODE

Laborator

Aplicația model

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Determinarea intensităţii câmpului electric şi a potenţialului

electric în vecinătatea unei sfere conductoare

1. Formularea problemei

Se consideră o sferă din material conductor cu centrul situat în originea sistemului de coordonate,

de rază R0 = 10 [mm] şi aflată la un potenţial V0 = 100 [V]. Se cer să se determine:

1) Valorile potenţialului electric în punctele de coordonate (20, 0, 0), (0, 20, 0), (0, 0, 20),

(-20, 0, 0), (0, -20, 0), (0, 0, -20) (exprimate în [mm]) şi comparaţie cu soluţia analitică

corespunzătoare;

2) Calculul valorilor intensităţii câmpului electric în aceleaşi puncte şi comparaţie cu soluţia

analitică;

3) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric pe axa 0y, între punctele y =10 [mm] şi

y=50 [mm] (Linia 1 din Figura 1) şi comparaţie cu soluţia analitică;

4) Reprezentarea grafică a variaţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 1;

5) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric în lungul liniei de coordonate (x = 0,

z = 20 [mm]), între punctele y= 0 [mm] şi y = 50 [mm] (Linia 2 din Figura 1);

6) Reprezentarea grafică a variaţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 2;

7) Reprezentarea grafică a distribuţiei de potenţial în planele x0y şi y0z;

8) Reprezentarea vectorială a intensităţii câmpului electric în planele x0y şi y0z;

9) Reprezentarea grafică a distribuţiei de potenţial în planul z = 20 [mm];

10) Calculul capacităţii sferei şi comparaţie cu soluţia analitică.

Fig. 1. Explicativă la formularea problemei

2. Soluţia problemei

În vederea implementării aplicaţiei într-un program de modelare numerică a câmpului electromagnetic

bazat pe metoda elementelor finite trebuie parcurşi paşii prezentaţi pe scurt în cadrul Laboratorului 1.

Astfel, în continuare sunt expuşi paşii de implementare corespunzători acestei aplicaţii.

2

Pasul 1. « Alegerea regimului de funcţionare »

Din meniul de implementare a aplicaţiei prin intermediul comenzii executive SolutionType… se setează

tipul problemei care urmează a fi rezolvată. Această aplicaţie aparţine regimului electrostatic, prin urmare se

va selecta Electrostatic.

Fig. 2. Setarea regimului de funcţionare

Pasul 2. « Implementarea geometriei modelului »

În cadrul acestui pas, corespunzător datelor de intrare ale acestei aplicaţii definite în Formularea

problemei, trebuie realizate următoarele:

Setarea scalei metrice a geometriei problemei;

Crearea sferei;

Crearea obiectului numit background (domeniul exterior de calcul al aplicaţiei);

Definirea punctelor de calcul: P1 = (20, 0, 0), P2 = (0, 20, 0), P3 = (0, 0, 20), P4 = (-20, 0, 0),

P5 = (0, -20, 0), P6 = (0, 0, -20);

Definirea liniilor necesare pentru vizualizarea rezultatelor: Linia 1 şi respectiv Linia 2;

Definirea planului z = 20 [mm] solicitat în datele problemei.

I. Setarea scalei metrice a geometriei problemei

Înainte de implementarea efectivă a geometriei modelului se recomandă setarea unităţii metrice de

descriere a geometriei problemei. Pentru aceasta din meniul Modeler se alege comanda Units. Astfel în

fereastra activă se deschide fereastra de setare a unităţii de măsură pentru desenare, prezentată în Figura 3.

Din butonul derulant Select Units se selectează unitatea de măsură dorită, în cazul acestei aplicaţii se alege

mm, apoi Ok.

Fig. 3. Setarea scalei metrice a geometriei problemei

II. Crearea sferei

În majoritatea programelor de modelare numerică a câmpului electromagnetic, bazate pe metoda

elementelor finite, desenarea unei sfere se realizează într-o singură etapă, fie prin accesarea comenzii

3

executive Sphere din cadrul meniului Draw (Figura 4), fie prin accesarea directă a icoanei

corespunzătoare desenării sferei din bara de instrumente.

Fig. 4. Meniul Draw

Pentru realizarea sferei programul solicită mai întâi definirea coordonatelor iniţiale ale acesteia (centrul

sferei), prezentate în Figura 5(a), iar apoi dimensionarea sferei (raza sferei) conform Figurii 5(b). Figura

5(c) expune fereastra care conţine toate datele menţionate mai sus şi care este activă în fereastra principală

pe tot parcursul realizării sferei, iar Figura 5(d) prezintă sfera astfel obţinută.

(a) coordonatele centrului sferei

(b) raza sferei

(c) detalii cu privire la desenarea sferei (d) sfera

Fig.5. Explicativă pentru desenarea sferei

Personalizarea obiectului creat se face prin dublu click pe denumirea implicită a obiectului, în cazul

aplicaţiei Sphere1. În acest moment în fereastra principală a programului se deschide fereastra

corespunzătoare proprietăţilor obiectului respectiv, în care se permite denumirea obiectului, setarea culorii, a

orientării şi a modului de afişare a acestuia (Figura 6(a)). Aceste comenzi pot fi accesate şi prin selectarea

4

obiectul desenat datorită faptului că în momentul selectării unui obiect în partea stângă a ferestrei se

deschide implicit fereastra corespunzătoare proprietăţilor acestuia (Figura 6(b)).

(a) (b)

Fig 6. Setarea proprietăţilor sferei

III. Crearea obiectului numit background (domeniul exterior de calcul al aplicaţiei)

După crearea modelului geometric trebuie definit spaţiul de lucru, mai exact domeniul exterior de calcul

al problemei, numit generic background. Pentru aceasta, din meniul Draw (vezi Figura 4) se alege comanda

Box.

În câmpurile x, y şi z, care apar în partea dreaptă jos a ferestrei, se introduc coordonatele primului punct

necesar pentru desenarea domeniului, Enter (Figura 7(a)). Apar câmpurile corespunzătoare dimensionării

domeniului (Figura 7(b)) se introduc şi aceste valori, Enter şi astfel în fereastra activă apare modelul creat.

(a) coordonatele primului punct necesar pentru desenarea background-ului

(b) dimensiunile background-ului

(c) detalii desenare background (d) background

Fig. 7. Explicativă pentru desenarea background-ului

Se accesează şi pentru acest obiect fereastra corespunzătoare setării proprietăţilor obiectului în vederea

denumirii şi personalizării acestuia. Întrucât modelul geometric se află în interiorul background-ului se

recomandă utilizarea unei culori cât mai transparente în definirea acestuia pentru a putea vizualiza obiectele

din interiorul lui (Figura 8).

Deoarece zona de interes a aplicaţiei o reprezintă zona sferei, background-ul fiind folosit doar pentru

delimitarea domeniului exterior de calcul al aplicaţiei, pentru o mai bună vizualizare, dezvoltare şi urmărire

a aplicaţiei în această fază este de preferat ascunderea background-ului din fereastra activă. În acest scop din

meniul View se alege comanda Active View Visibility, comandă ce poate fi accesată şi direct din icoana

corespunzătoare disponibilă în bara de instrumente.

5

Fig.8. Setarea proprietăţilor background-ului

Apare fereastra de setare a vizibilităţii vederii active: a obiectelor (3D Modeler), a surselor atribuite

(Excitations), a condiţiilor de frontieră impuse (Boundaries), a parametrilor setaţi (Parameters), a mişcării

obiectelor (Motion) şi respectiv a soluţiilor de câmp salvate (FieldsReporter) prezentată în Figura 9. Pentru

ascunderea background-ului trebuie să fie activ butonul 3D Modeler corespunzător geometriei aplicaţiei şi

în fereastra corespunzătoare acestuia se debifează butonul Visibility corespunzător obiectului background

(Bgn).

Fig. 9. Vizibilitatea obiectelor din fereastra activă

IV. Definirea punctelor de calcul P1 = (20, 0, 0), P2 = (0, 20, 0), P3 = (0, 0, 20), P4 = (-20, 0, 0),

P5 = (0, -20, 0), P6 = (0, 0, -20)

Definirea punctelor de calcul, necesare în partea de PostProcesare a rezultatelor pentru vizualizarea

valorilor mărimilor de câmp în punctele respective, se obţine tot prin intermediul meniului Draw (vezi

Figura 4) folosind comanda Point. În continuare se detaliază modul de realizare a primului punct de calcul

P1 = (20, 0, 0), celelalte puncte obţinându-se în mod similar. Astfel prin accesarea comenzii Point în partea

dreaptă jos a ferestrei apar câmpurile de introducere a coordonatelor punctului care se completează conform

Figurii 10(a), apoi Enter.

(a) coordonatele punctului P1 = (20, 0, 0)

(b) detalii desenare P1 = (20, 0, 0) (c) punctele de calcul

Fig. 10. Explicativă pentru desenarea punctelor de calcul

6

De asemenea, pe tot parcursul definirii punctului de calcul în fereastra activă este disponibilă fereastra

corespunzătoare detaliilor de desenare care înregistrează toate datele implementate (Figura 10(b)). Astfel,

definirea punctului de calcul P1 = (20, 0, 0) este finalizată. În mod similar se procedează şi pentru obţinerea

celorlalte puncte de calcul iar în Figura 10(c) pot fi identificate toate punctele de calcul solicitate în

Formularea problemei şi realizate conform precizărilor de mai sus.

V. Definirea liniilor necesare pentru vizualizarea rezultatelor: Linia 1 şi respectiv Linia 2

Definirea liniilor, necesare în partea de PostProcesare a rezultatelor pentru vizualizarea acestora, se

realizează prin intermediul comenzii Line din cadrul meniului Draw (vezi Figura 4). În Figura 11 sunt

expuse coordonatele iniţiale ale Liniei 1, coordonatele finale ale acestei linii, detaliile privind datele

menţionate mai sus, precum şi linia astfel obţinută.

(a) coordonatele punctului de start al definiţiei Liniei 1

(b) coordonatele punctului de sfârşit al Liniei 1

(c) detalii desenare Linia 1 (d) liniile de calcul

Fig. 11. Explicativă pentru desenarea liniilor de calcul

Linia 2 este caracterizată de coordonatele iniţiale x = 0, y = 0 şi z = 20. Această linie este trasată în

lungul axei 0y şi are dimensiunea y = 50 [mm], fiind de asemenea expusă în Figura 11.

VI. Definirea planului z = 20 [mm] solicitat în datele problemei

Obiectul numit plan reprezintă practic o secţiune în domeniul problemei. Pe suprafaţa acestuia pot fi

calculate şi reprezentate grafic distribuţiile mărimilor de câmp. În modelare, planele sunt considerate

întotdeauna obiecte non-modele. Pentru desenarea unui plan se foloseşte comanda Plane din cadrul meniului

Draw. Se solicită selectarea originii, respectiv a punctului normal care caracterizează planul şi astfel planul

este creat aşa cum se arată în Figura 12.

(a) originea planului z = 20 [mm]

(b) normala planului z = 20 [mm]

(c) detalii desenare plan (d) planul z = 20 [mm]

Fig. 12. Explicativă pentru desenarea planului z = 20 [mm]

7

Punctul central al acestuia este localizat în originea specificată şi orientat perpendicular pe punctul

normal definit.

Observaţie: Crearea unui plan este necesară doar atunci când se doreşte vizualizarea rezultatelor într-un

plan personalizat, diferit de planele predefinite existente în mod implicit în cadrul proiectului şi anume

planele xy, yz şi xz.

Pasul 3. « Atribuirea materialelor »

Atribuirea unui material unui obiect se realizează în două etape, şi anume, mai întâi trebuie selectat

obiectul căruia se doreşte a i se atribui un material, în cazul aplicaţiei sfera (Figura 13), iar apoi, din meniul

Modeler se alege comanda Assign Material. Această comandă poate fi accesată şi direct prin click pe icoana

corespunzătoare din bara de instrumente. În acest moment în fereastra activă se deschide fereastra de

definire şi atribuire a materialelor care cuprinde librăria de materiale existente în programul respectiv, aşa

cum se prezintă în Figura13. Pentru obiectul numit Sfera se selectează din această librărie materialul copper

(cupru), apoi se face click pe butonul Ok.

Fig. 13. Definirea şi atribuirea materialelor

În mod similar se procedează în cazul oricărui obiect căruia se doreşte a i se atribui un material. În cazul

acestei aplicaţii pentru background se alege air (aer).

Observaţia 1: Pentru atribuirea materialele se poate folosi oricare din cele patru procedee prezentate în

cadrul Capitolului I nu doar cel prezentat în cadrul acestei aplicaţii.

Observaţia 2: În majoritatea programelor de modelare numerică având la bază metoda elementelor finite

este permisă atât adăugarea unor noi materiale, cât şi ştergerea materialelor existente, respectiv editarea

materialelor existente în baza de date a acestuia. Toate acestea se procesează din Fereastra

corespunzătoare definirii şi setării a materialelor (Figura 13).

Pasul 4. « Atribuirea surselor şi a condiţiilor de frontieră »

Atribuirea surselor şi a condiţiilor de frontieră obiectelor/muchiilor este necesară şi obligatorie în

fiecare proiect realizat în programe de modelare numerică a câmpului electromagnetic având la bază metoda

elementelor finite.

În cadrul acestei aplicaţii sferei i se atribuie o sursă de tip potenţial de 100 [V], iar background-ului o

sursă de tip potenţial de 0 [V].

Pentru a atribui o sursă (de exemplu de tip potenţial) sau o condiţie de frontieră unui obiect:

1. Se selectează obiectul, de exemplu Sfera;

2. Din meniul de implementare al proiectului se alege comanda executivă

ExcitationsAssignVoltage (Figura 14) în cazul atribuirii unei surse, respectiv comanda

Boundaries în cazul atribuirii unei condiţii de frontieră;

8

Fig. 14. Atribuirea unei surse unui obiect

3. Apare fereastra de definire a sursei prezentată în Figura 15 în care se introduce numele sursei şi

valoarea acesteia, apoi Ok.

Fig. 15. Definirea sursei atribuită sferei

Similar se defineşte şi sursa de tip potenţial pentru background, cu observaţia că valoarea acesteia va fi

în acest caz egală cu 0 [V].

Pasul 5. « Setarea parametrilor executivi »

Acest pas este opţional şi se foloseşte doar în cadrul aplicaţiilor în care se doreşte calculul forţei

electromagnetice, cuplului electromagnetic, a capacităţii, a inductivităţii, respectiv a impedanţei. În prezenta

aplicaţie, în Formularea problemei, se solicită calculul capacităţii sferei, prin urmare este necesară

parcurgerea acestui pas. Astfel, pentru a solicita unui program de modelare numerică a câmpului

electromagnetic calculul capacităţii, din meniul de implementare al aplicaţiei se alege comanda

ParametersAssignMatrix (Figura 16(a)). În acest moment în fereastra activă a programului apare

fereastra prezentată în Figura 16, în care se selectează obiectele care vor fi introduse în matricea capacităţii,

în cazul aplicaţiei Sfera.

(a) Comanda Parameters (b) formarea matricei capacităţii

Fig. 16. Setarea parametrilor executivi

9

Pasul 6. « Setări de rezolvare (soluţionare) a aplicaţiei, Solver »

În cadrul acestui pas se solicită stabilirea modului în care programul va rezolva aplicaţia. În general

programele permit stabilirea uneia sau a mai multor tipuri de setări a soluţiei pentru aceeaşi aplicaţie. Astfel,

pentru a adăuga o setare a soluţiei aplicaţiei din meniul de implementare a acesteia se accesează comanda

Analysis SetupAdd Solution Setup (Figura 17(a)) şi astfel în fereastra activă apare fereastra

corespunzătoare setării analizei prezentată în Figura 17(b). Într-o primă fază se recomandă o analiză cu

reţeaua de discretizare iniţială (mesh-ul aplicaţiei), care este generată automat de către program. Acest mesh

este automat îmbunătăţit de program pe parcursul analizei (rulării aplicaţiei numerice), dacă este definită

opţiunea Convergence (Figura 17(c)).

În cazul în care rafinarea adaptivă a reţelei de discretizare nu conduce la rezultate suficient de

performante, este posibilă rafinarea manuală a mesh-ului în anumite zone de interes ale domeniului de

calcul, utilizând comanda Mesh Operations din cadrul meniul de implementare al aplicaţiei.

(a) meniul de setare a analizei (b) setări generale de analiză

(c) setări cu privire la convergenţa analizei

Fig. 17. Setarea soluţiei problemei

Pasul 7. « Rularea aplicaţiei numerice »

Observaţie: Înainte de pornirea efectivă a rulării aplicaţiei se recomandă validarea aplicaţiei care poate

fi solicitată fie din meniul de implementare al problemei prin intermediul comenzii Validation Check..,

fie din bara de instrumente utilizând icoana aferentă acestei comenzi. În urma apelării acestei comenzi în

fereastra activă a programului se deschide o fereastră care indică dacă problema a fost corect

implementată sau s-au înregistrat erori (Figura 18).

Fig. 18. Validarea aplicaţiei numerice

10

Pentru a porni rularea aplicaţiei numerice se apelează comanda executivă Analyze All fie din meniul de

implementare al aplicaţiei (Figura 19(a)), fie prin click pe icoana corespunzătoare acestei comenzi (Figura

19(b)). Apare o fereastră care permite monitorizarea rulării aplicaţiei numerice (Figura 19(c)).

(a) meniu (b) icoana (c) monitorizarea rulării aplicaţiei numerice

Fig. 19. Comanda executivă Analyze All

În momentul în care programul a încheiat analiza numerică a aplicaţiei în partea stângă a ecranului

apare un mesaj prin care se anunţă finalizarea acesteia.

Observaţie: Din meniul de implementare al aplicaţiei din cadrul unui program de modelare numerică a

câmpului electromagnetic prin accesarea butonului Convergence disponibil în fereastra corespunzătoare

opţiunii Solution Data.. din cadrul comenzii executive Results (Figura 20) sau direct prin click pe

butonul corespunzător , se pot vizualiza informaţii cu privire la derularea calculului numeric: numărul

de paşi de calcul realizaţi, numărul de elemente de discretizare folosite, precum şi eroarea de calcul

(Figura 21).

Fig. 20. Comanda Results

Fig. 21. Convergenţa soluţiei numerice

Aceste date pot fi afişate şi sub formă grafică, majoritatea programelor de modelare numerică permiţând

alegerea oricărei combinaţii a câte două informaţii din tabelul prezentat în Figura 21 pentru

reprezentarea grafică 2D, aşa cum se prezintă în Figura 22.

11

Fig. 22. Convergenţa soluţiei numerice sub formă grafică

De asemenea, tot din fereastra Solutions Data, prin accesarea butonului Profile se pot urmări informaţii

cu privire la derularea calculului numeric, mult mai detaliate faţă de cele prezentate în fereastra

Convergence. În această fereastră datele sunt prezentate atât pentru fiecare pas adaptiv în parte

(conţinând informaţii cu privire la: timpul de calcul, numărul de tetraedre adăugat la fiecare pas în parte,

memoria folosită) cât şi la nivelul întregii aplicaţii (oferind informaţii cu privire la timpul total de calcul,

memoria folosită şi numărul total de tetraedre în care a fost discretizată aplicaţia).

Pasul 8. « PostProcesarea rezultatelor »

PostProcesarea rezultatelor se realizează prin intermediul comenzii Fields (Figura 23) dacă este vorba

de mărimi locale şi globale ale câmpului electromagnetic, sau a comenzii Results (vezi Figura 20), dacă este

vorba de mărimi derivate ale câmpului electromagnetic, ambele existente în meniul de implementare al

aplicaţiei.

Fig. 23. Comanda Fields

Observaţie: Pentru o vizualizare mai clară a rezultatelor în cele mai multe situaţii se preferă ascunderea

grid-ului. Astfel, afişarea sau ascunderea grid-ului din fereastra de vizualizare a rezultatelor se poate

obţine fie prin accesarea icoanei corespunzătoare din bara de instrumente fie prin intermediul

comenzii Grid Spacing din cadrul meniului View. De asemenea, densitatea grid-ului poate fi setată tot

din această fereastră prin debifarea butonul Auto şi completarea căsuţelor corespunzătoare coordonatelor

de lucru specificate pentru aplicaţia abordată. Aşa cum se poate observa în Figura 24 programul permite

utilizarea coordonatelor carteziene sau a coordonatelor polare. Grid-ul poate fi setat fie sub formă de

linii fie sub forma unor puncte.

12

Fig. 24. Setarea grid-ului

1) Valorile potenţialului electric în următoarele puncte şi comparaţie cu soluţia analitică

corespunzătoare:

P1: (x, y, z) = (20, 0, 0);

P2: (x, y, z) = (0, 20, 0);

P3: (x, y, z) = (0, 0, 20);

P4: (x, y, z) = (-20, 0, 0);

P5: (x, y, z) = (0, -20, 0);

P6: (x, y, z) = (0, 0, -20)

(exprimate în [mm]).

Observaţie: Aceste puncte au fost definite în cadrul Pasului 2 – Implementarea geometriei modelului.

Pentru a afişa valoarea potenţialului electric în punctul P1 de coordonate (x, y, z)=(20, 0, 0), mai întâi

se selectează punctul iar apoi din meniul de implementare al aplicaţiei se alege comanda FieldVoltage.

Apare fereastra din Figura 25(a) în care se selectează Voltage în căsuţa care solicită alegerea mărimii care se

doreşte a fi calculată şi se personalizează calculul, apoi se face click pe butonul Done. Pentru a obţine un

răspuns mai clar şi o valoare exactă a potenţialului electric în punctul solicitat se face dublu click pe legenda

răspunsului iniţial şi în fereastra care apare (Figura 25(b)) se accesează butonul Plots, se bifează butonul

Value, apoi Apply.

(a) solicitarea calculului potenţialului (b) solicitare valoare exactă

(c) potenţialul electric [V] în punctul P1

Fig. 25. Setarea vizualizării valorii potenţialului electric într-un punct

Observaţii:

Atenţie, după realizarea unei reprezentări grafice aceasta rămâne în fereastra activă. Astfel, pentru

13

a trece la reprezentarea unei alte mărimi, reprezentările grafice create pot fi „ascunse”. Prin

urmare, dacă se doreşte ascunderea (sau afişarea) unui grafic din meniul View se alege comanda

Active View Visibility şi se apelează butonul FieldsReporter iar în fereastra care apare se debifează

butonul Visibility corespunzător reprezentării grafice respective (sau se bifează dacă se doreşte

afişarea acesteia).

Fig. 26. Ascunderea/afişarea unui grafic

Dacă se doreşte modificarea sau ştergerea unui grafic din comanda Fields se alege Modify Plot,

respectiv Delete Plot (vezi Figura 23).

Pentru determinarea valorilor potenţialului electric în celelalte puncte solicitate în Formularea

problemei se procedează în mod similar (Figura 27).

Observaţii:

În momentul închiderii aplicaţiei, dacă reprezentările grafice realizate nu au fost salvate în

prealabil, acestea se pierd. Pentru a salva reprezentările grafice create, în vederea deschiderii şi

vizualizării lor şi după închiderea proiectului şi revenirea în aceasta, din meniul de implementare al

aplicaţiei se alege comanda Fields (vezi Figura 23) şi apoi Save As. Apare fereastra din Figura 28

care conţine toate reprezentările grafice care au fost realizate în cadrul aplicaţiei şi se bifează

căsuţa corespunzătoare reprezentării grafice care se doreşte a fi salvată, de exemplu V_P6 (valoarea

potenţialului în punctul P6), apoi Ok. În fereastra care se deschide în căsuţa File Name se introduce

numele cu care această reprezentare grafică va fi salvată, V_P6, apoi se alege Save. În mod similar

se salvează orice reprezentare grafică care se doreşte a fi păstrată, pentru a putea fi vizualizată şi la

o altă revenire în această aplicaţie.

Fig. 27. Valorile potenţialului electric [V] în punctele cerute prin problemă

Dacă se doreşte deschiderea unei reprezentări grafice salvate în prealabil, se accesează comanda

Fields (Figura 23) apoi Open. Se deschide o fereastră care conţine toate reprezentările grafice care

au fost salvate în cadrul aplicaţiei. Se selectează reprezentarea grafică care trebuie deschisă, apoi

Open. În acest moment reprezentarea grafică apare în fereastra activă.

14

Fig. 28. Salvarea unei reprezentări grafice

Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică

Se cunoaşte faptul că potenţialul electric produs de o sferă încărcată cu sarcina electrică q într-un punct

plasat la distanţa r faţă de centrul acesteia este dat de relaţia:

qV

4 r (1)

astfel, pentru potenţialul V = 100 [V] şi raza sferei r = R0, , rezultă:

0

q 1100

4 R (2)

respectiv:

0

q100 R

4 (3)

dacă se introduce relaţia (3) în relaţia (1) se obţine distribuţia potenţialului electric în vecinătatea sferei

pentru cazul în care se cunoaşte potenţialul acesteia:

0RV 100

r (4)

Rezultă astfel că valoarea potenţialului electric la distanţa de 20 [mm] faţă de sferă este V(20) = 50 [V].

Comparând această valoare, obţinută pe cale analitică, cu valorile numerice prezentate în Figura 27, se

constată o eroare relativă maximă de calcul de 1.4 [%] ceea ce semnifică un rezultat numeric de precizie

bună.

2) Calculul valorilor intensităţii câmpului electric în punctele solicitate în enunţul problemei şi

comparaţie cu soluţia analitică

Pentru a afişa valoarea intensităţii câmpului electric în punctul P1, mai întâi se selectează punctul iar

apoi din meniul de implementare al aplicaţiei se alege comanda Field (vezi Figura 23) E Mag_E.

Fig. 29. Valorile intensităţii câmpului electric [V/m] în punctele definite

15

Apare fereastra din Figura 25(a) în care se selectează Mag_E în căsuţa care solicită alegerea mărimii

care se doreşte a fi calculată şi se personalizează calculul, apoi se face click pe butonul Done, obţinându-se

astfel valoarea intensităţii câmpului electric în punctul menţionat. În mod similar se procedează pentru

determinarea valorilor intensităţii câmpului electric în celelalte puncte solicitate în Formularea problemei.

Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică

Luând în considerare relaţiile (1) – (4) expresia analitică de calcul a intensităţii câmpului electric într-un

punct situat la distanta r faţă de centrul sferei de rază R0 este dată de relaţia:

0

2100

RE r

r (5)

Astfel pentru r = 20 [mm] rezultă valoarea intensităţii câmpului electric în acest punct E(20) = 2.5 103

[V/m]. Comparând această valoare cu valorile numerice prezentate în Figura 29 se constată o eroare relativă

maximă de calcul de 1.2 [%] ceea ce confirmă încă o dată faptul că rezultatul numeric obţinut asigură o

bună acurateţe a soluţiei.

3) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric pe axa 0y între punctele y=10 [mm] şi y = 50

[mm] (Linia 1) şi comparaţie cu soluţia analitică

Observaţii:

Linia 1 a fost definită în cadrul Pasului 2 (vezi Figura 11) însă, deoarece această linie este necesară

doar în cadrul acestui pas de PostProcesare a rezultatelor până în acest moment ea a fost păstrată

ascunsă pentru a nu încărca geometria modelului. Prin urmare, pentru a o afişa în fereastra activă

din meniul View se alege comanda Active View Visibility, comandă ce poate fi accesată şi direct

din butonul corespunzător . Apare astfel fereastra din Figura 30(a) în care se bifează căsuţa

corespunzătoare vizibilităţii Liniei 1.

Pentru a putea vizualiza mai clar linia ţinând cont că aceasta a fost creată pe axa de coordonate 0y,

axele sistemului de coordonate pot fi ascunse. Pentru aceasta se accesează meniul

ViewCoordinate System şi se alege Hide (pentru a readuce sistemul de coordonate în fereastra

activă se parcurg aceeaşi paşi şi se debifează butonul Hide). În acest moment linia creată devine

clar vizibilă (Figura 30(b)).

(a) afişarea liniei (b) Linia 1

Fig. 30. Afişarea Liniei 1

Pentru a reprezenta grafic variaţia potenţialului electric în lungul acestei linii, din meniul Maxwell3D

se alege comanda ResultsCreate Fields ReportRectangular Plot (Figura 31(a)).

(a) comanda Results (b) setarea graficului

Fig. 31. Definirea reprezentării grafice a distribuţiei potenţialului în lungul Liniei 1

16

Se deschide fereastra corespunzătoare definirii unui nou grafic în care din butonul derulant Geometry se

alege Linia 1, iar în căsuţa corespunzătoare mărimilor de calcul se alege Voltage, apoi New Report aşa cum

se poate observa în Figura 31(b).

Fig. 32. Distribuţia potenţialului electric [V] în lungul Liniei 1 [mm] – soluţia numerică

Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică

Utilizând pachete software care permit reprezentarea grafică a unor mărimi pe cale analitică, în cadrul

aplicaţiei de faţă, pe baza expresiei (4), între limitele impuse prin datele problemei, se obţine reprezentarea

grafică a distribuţiei potenţialului electric în lungul Liniei 1 prezentată în Figura 33.

Astfel, urmărind reprezentarea grafică a distribuţiei potenţialului electric obţinută prin analiză numerică

şi prezentată în Figura 32 cu reprezentarea grafică obţinută pe cale analitică şi prezentată în Figura 33 se

constată similitudinea formei de variaţie a potenţialului electric obţinut prin cele două moduri de abordare a

problemei.

Fig. 33. Distribuţia potenţialului electric [V] în lungul Liniei 1 [mm] – soluţia analitică

4) Reprezentarea grafică a distribuţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 1

Pentru a reprezenta distribuţia intensităţii câmpului electric pe Linia 1, se alege comanda

ResultsCreate Fields ReportRectangular Plot. Apare fereastra corespunzătoare definirii unui nou

grafic în care din butonul derulant Geometry se alege tot Linia 1, însă în căsuţa corespunzătoare mărimilor

de calcul se alege de data aceasta Mag_E, apoi New Report.

Fig. 34. Distribuţia intensităţii câmpului electric [V/m] în lungul Liniei 1 [mm]

17

5) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric în lungul Liniei 2

Fig. 35. Distribuţia potenţialului electric [V] în lungul Liniei 2 [mm]

6) Reprezentarea grafică a distribuţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 2

Fig. 36. Distribuţia intensităţii câmpului electric [V/m] în lungul Liniei 2 [mm]

7) Reprezentarea grafică a distribuţiei potenţialului electric în planele x0y şi y0z

Pentru a reprezenta grafic distribuţia potenţialului electric în planul x0y mai întâi trebuie selectat acest

plan (care în general este predefinit în cadrul programelor de acest gen) aşa cum se arată în Figura 37(a),

apoi se apelează comanda Field Voltage, iar în fereastra care se deschide se personalizează graficul, apoi

se face click pe butonul Done, obţinându-se astfel rezultatul prezentat în Figura 37(b).

(a) selectarea planului x0y

18

(b) distribuţia potenţialului electric

Fig. 37. Distribuţia potenţialului electric [V] în planul x0y – cod de culori

Pentru o vizualizare mult mai bună a rezultatelor de cele mai multe ori se preferă reprezentarea

mărimilor sub formă de linii de contur (linii echipotenţiale). Astfel, orice modificare a reprezentării grafice

se poate realiza prin dublu click pe legenda reprezentării respective obţinând astfel fereastra care conţine

toate caracteristicile reprezentării (Figura 38(a)). În această fereastră se apelează butonul Plots iar din

butonul derulant Plot se selectează numele reprezentării, Voltage x0y şi în final din butonul derulant

IsoValType se alege Line, apoi Apply obţinând astfel distribuţia potenţialul în planul x0y sub forma liniilor

de contur prezentată în Figura 38 (b).

(a) caracteristicile reprezentării grafice (b) distribuţia potenţialului electric

Fig. 38. Distribuţia potenţialului electric [V] în planul x0y – linii de contur (linii echipotenţiale)

În mod similar se determină distribuţia potenţialului electric în planul y0z.

(a) selectarea planului y0z (b) distribuţia potenţialului electric

Fig. 39. Distribuţia potenţialului electric [V] în planul y0z

19

8) Reprezentarea vectorială a intensităţii câmpului electric în planul x0y şi în planul y0z

Pentru a reprezenta prin vectori intensitatea câmpului electric în planul x0y, respectiv în planul y0z mai

întâi trebuie selectat planul respectiv apoi se accesează comanda Field E E_Vector. Se deschide

fereastra de definire a reprezentării grafice, se completează căsuţele, apoi se face click pe butonul Done

obţinându-se astfel în fereastra activă reprezentarea vectorială a intensităţii câmpului electric [V/m] în planul

solicitat.

Observaţie: Orice modificare a proprietăţilor graficului (densitatea vectorilor, culoarea, forma şi

mărimea acestora, numărul de diviziuni, ş.a.) se face prin dublu click pe legenda acestuia şi completarea

câmpurilor din fereastra care se deschide.

Fig. 40. Reprezentarea vectorială a lui E [V/m] în planul x0y Fig. 41. Reprezentarea vectorială a luiE [V/m] în planul y0z

9) Reprezentarea grafică a distribuţiei de potenţial în planul z = 20 [mm]

În cadrul acestei aplicaţii planul z = 20 [mm] a fost definit în cadrul Pasului 2 – Implementarea

geometriei modelului. Prin urmare, pentru a determina distribuţia potenţialul electric în acest plan, se

selectează planul apoi se alege comanda Field Voltage, iar în fereastra care apare se personalizează

graficul, apoi se face click pe butonul Done. În acest moment, în fereastra activă se poate vizualiza

distribuţia potenţialului electric în planul z = 20 [mm] (Figura 42).

Fig. 42. Distribuţia potenţialului [V] în suprafaţa planului z = 20 [mm]

10) Calculul capacităţii sferei şi comparaţie cu soluţia analitică

Pentru a vizualiza rezultatul calculului capacităţii sferei, care a fost în prealabil solicitat în cadrul

Pasului 5–Setarea parametrilor executivi, se alege comanda Results Solution Data… şi în fereastra care

se deschide se apelează butonul Matrix. În acest moment în fereastra activă se prezintă valoarea capacităţii.

Fig. 43. Valoarea calculată a capacităţii [F]

20

Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică

Luând în considerare formula de calcul analitic a capacităţii sferei la infinit:

C 4 r (6)

pentru r = 10 [mm], raza sferei, rezultă valoarea C = 1.1 10-12 [F]. Comparând această valoare cu valoarea

numerică prezentată în Figura 43 se constată o eroare relativă maximă de calcul de 0.37 [%] ceea ce

confirmă din nou că rezultatul numeric obţinut asigură o bună acurateţe a soluţiei.

Observaţii generale:

Toate datele de intrare prin intermediul cărora se defineşte aplicaţia sunt înregistrate şi stocate într-

un fişier numit Lista proiectului. Vizualizarea acestei liste se poate obţine atât prin accesarea

comenzii List… din cadrul meniului de implementare al aplicaţiei cât şi direct prin intermediul

icoanei corespunzătoare din bara de instrumente . Astfel, în cadrul acestei liste sunt stocate

informaţii cu privire la:

elementele geometrice şi caracteristicile de material corespunzătoare fiecărui element al

modelului aşa cum se observă în Figura 44 (a);

sursele atribuite în cadrul aplicaţiei (Figura 44 (b));

condiţiile de frontieră impuse;

parametrii solicitaţi a fi calculaţi (Figura 44 (c));

mesh-ul (discretizarea) modelului implementat (Figura 44 (d));

setarea modului de analiză a aplicaţiei (Figura 44 (e)).

(a) elementele geometrice şi caracteristicile de material

(b) sursele atribuite

(c) parametrii

(d) mesh-ul aplicaţiei

21

(e) setarea modului de analiză a aplicaţiei

Fig. 44. Lista proiectului

De asemenea, toate datele de intrare şi în plus şi cele de ieşire, din partea de PostProcesare a

rezultatelor, sunt disponibile în fereastra corespunzătoare Vizibilităţii vederii active, fereastră din

care se permite afişarea, respectiv ascunderea acestora din fereastra activă a programului. Pentru a

apela această fereastră din meniul View se alege comanda Active View Visibility, comandă ce poate

fi accesată şi direct din icoana corespunzătoare , aşa cum s-a mai precizat pe parcursul aplicaţiei.

Prin urmare, din cadrul acestei ferestre se permite afişarea/ascunderea următoarele elemente sau

proprietăţi ale proiectului:

afişarea/ascunderea elementelor geometrice, (Figura 45 (a)), (3D Modeler);

afişarea/ascunderea surselor atribuite, (Figura 45 (b)), (Excitations);

afişarea/ascunderea condiţiilor de frontieră impuse (Boundaries);

afişarea/ascunderea parametrilor setaţi (Figura 45(c)), (Parameters);

afişarea/ascunderea mişcării obiectelor (Motion);

afişarea/ascunderea soluţiilor de câmp, (Figura 45 (d)), (FieldsReporter).

(a) elementele geometrice (b) sursele atribuite

(c) parametrii (d) rezultate

Fig. 45. Afişarea/ascunderea elementelor

De asemenea, toate rezultatele care au fost determinate în cadrul aplicaţiei sunt înregistrate în

partea stângă a ecranului şi pot fi afişate prin simplu click pe numele acestora.

22

Observaţie finală: Pentru realizarea acestei soluţii numerice, folosind un program de modelare numerică

a câmpului electromagnetic bazat pe metoda elementelor finite, a fost necesar un număr de 24831

tetraedre (elemente de discretizare), 10 paşi de calcul şi un timp de rulare de 56 minute obţinându-se în

final o eroare globală de calcul de 0.096904 [%].