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Dinâmica Estocástica
Aula 11
Ifusp, setembro, 2016
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 1
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Bibliografia básica. T Tomé & M J de Oliveira, Cap. 6. van Kampen
. Obtenção da equação mestra
. Propriedades e Solução Estacionária
. Reversibilidade microscópica e condição de balanceamento detalhado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação Mestra
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é a probabilidade de o sistema estar no estado n no instante de tempo t.
( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n
dP n t W n m P m t W m n P n t
dt
é a taxa de transição de n para m.
Vamos obter essa equação a partir da equação de evolução para um processo markoviano “a tempo discreto”.
Equação Mestra
),( tnP
),( nmW
Define oModelo!!
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)(),()(1 mPmnTnPm
(1)
em que,
),( mnT
Probabilidadede transiçãode m para n
Obtivemos na aula passada
)(nP
Probabilidadedo estado n noinstante
Obtenção da equação mestra a partir da equação de evolução para um processo markoviano a tempo “discreto”:
Equação Mestra
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Obtenção da equação mestra
(2)
Equação Mestra
)(),()(1 mPmnTnPm
)(),()(),( nPnnTmPmnTnm
)(),()(),()(1 nPnnTmPmnTnPnm
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Obtenção da equação mestra
( , ) 1m
T m n propriedade da matriz estocástica T
Mas,
(2)
Equação Mestra
)(),()(),()(1 nPnnTmPmnTnPnm
( , ) 1 ( , )m n
T n n T m n
Então:
(3)
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Obtenção da equação mestra
(2)
Equação Mestra
)(),()(),()(1 nPnnTmPmnTnPnm
( , ) 1 ( , )m n
T n n T m n
(3)
Substituindo a equação (3) na equação (2) obtemos
)(),(1)(),()(1 nPnmTmPmnTnPnmnm
)()),()()(),()(1 nPnmTnPmPmnTnPnmnm
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ou,
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Obtenção da equação mestra
Equação Mestra
)()),()()(),()(1 nPnmTnPmPmnTnPnmnm
(4) )()),()(),()()(1 nPnmTmPmnTnPnPnm
ou
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Obtenção da equação mestra
Definição:
Passagem para o contínuo (tempo)
t ( 1)t
= Probabilidade do estado no instante
= Probabilidade do estado no instante t
tn
n
( , ) ( , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )}m n
P n t P n t T n m P m t T m n P n t
Equação Mestra
(5)
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),()(1 tnPnP
),()( tnPnP
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Obtenção da equação mestra
Passagem para o contínuo (tempo)
( , ) ( , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )}m n
P n t P n t T n m P m t T m n P n t
Equação Mestra
(5)
),(),(),(),(),(),( tnPnmTtmPmnTtnPtnPnm
),(),(
),(),(),(),(
tnPnmT
tmPmnTtnPtnP
nm
(6)
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Obtenção da equação mestra
Passagem para o contínuo (tempo)
Seja suficientemente pequeno para que a probabilidade de o sistema continuar no mesmo estado em seja aproximadamente igual a 1:
no intervalo
Equação Mestra
(6)
1),( nnT
),(),(
),(),(),(),(
tnPnmT
tmPmnTtnPtnP
nm
(7)
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Obtenção da equação mestra
Passagem para o contínuo (tempo)
Equação Mestra
(6)
),(),(
),(),(),(),(
tnPnmT
tmPmnTtnPtnP
nm
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No limite em que obtemos a equação mestra0
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(7)
= Probabilidade do estado no instante
= Probabilidade por unidade de tempo de osistema estando em m e ir para n .
Equação Mestra
),(),(),(),(),( tnPnmWtmPmnWtnPdt
d
nm
),( tnP n t
),( mnW Taxa de transição de m para n
Muito importante!Define o modelo
estocástico
Equação mestra
Equação de evoluçãotemporal da probabilidade P(n,t)
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),( mnW
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( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n
dP n tW n m P m t W m n P n t
dt
EQUAÇÃO MESTRA “Equação de ganho e perda”
(8)
m
n
m
nv v
v
ganho perda
Equação Mestra
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0),( tnPdt
d
Solução Estacionária
Equação Mestra & Regime estacionário
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(8) ),(),(),(),(),(
)(
tnPnmWtmPmnWtnPdt
d
nm
Equação mestra
(9)
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0),( tnPdt
d
Solução estacionária
Notação. Solução estacionária:
)(nPe
Equação Mestra
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não depende do tempo
(10)
(11)
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Solução Estacionária
Equação Mestra & Regime estacionário
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A partir da equação mestra (expressão (8) temos que no regime estacionário (em que vale a condição (10)) devemos ter:
( )
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e e
m n
W n m P m W m n P n
(12)
em que usamos a notação (dada na expressão (11)) para a solução estacionária)(nPe
Regime estacionário
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Reversibilidade Microscópica
Então eP
)(),()(),( nPnmWmPmnW ee
= distribuição de probabilidades de equilíbrio
nm,Se, além da expressão (13), valer que:
nm,
Reversibilidade microscópica <->Condição de balanceamento detalhado
isto é:
( )
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e e
m n
W n m P m W m n P n
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e eW n m P m W m n P n
(14)
Regime estacionário
Equação Mestra
(13)
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( , ) ( ) ( , ) ( )e eW n m P m W m n P n
Se BD não é satisfeita Dinâmica estocástica irreversível
Balanceamento detalhado (BD)
A probabilidade de transição
em é igual a sua reversa.BD
m n
t
Equação Mestra
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Dinâmica estocásticareversível
(16)
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Trajetórias cíclicas no espaço de configurações
A B C D Atrajetória direta
Reversibilidade microscópica
)(),(),(),(),( APADtWDCtWCBtWBAtW est
)(),(),(),(),( APABtWBCtWCDtWDAtW est
),(),(),(),( ABWBCWCDWDAW ),(),(),(),( ADWDCWCBWBAW
A B
CDA D C B Atrajetória inversa
Irreversibilidade:
caso contrário
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FIM
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