BAB IV€¦ · Web viewF(D) y = Q(x) Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) 0, maka bentuk umumnya menjadi . Contoh. 1. 2. 3. Selesaian persamaan diferensial linear tidak

BAB V

PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami cara menentukan akar-akar persamaan karakteristik dan

mengaplikasikan dalam menentukan selesaian umum dan selesaian persamaan

diferensial tingkat tinggi

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat

tinggi homogen dengan koefisien konstan


tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode invers

fungsi operator,


tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode )(1DF

sebagai jumlah n pecahan parsial,


tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode variasi

paramater,


tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan Metode

koefisien tak tentu, dan


tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode integral

khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik.

Bab V dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum

persamaan diferensial tingkat tinggi, (2) selesaian umum persamaan diferensial

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 114

tingkat tinggi yang meliputi: persamaan diferensial tingkat tinggi homogen

dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen

dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan

koefisien variabel, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan

koefisien variabel.

5.1 Bentuk Umum

Persamaan diferensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai persamaan

diferensial linear tingkat-n. Secara umum persamaan diferensial tingkat tinggi

dinyatakan dalam bentuk:

Dengan adalah fungsi atau konstanta.

karena , , ,....., , dan

maka persamaan

dapat dinyatakan dalam bentuk:

F(D) y = Q(x)

Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) = 0, maka bentuk

umumnya menjadi

.

Pada kasus Q(x) = 0 maka F(D)y = 0 disebut persamaan diferensial linear

homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q(x) 0 maka F(D)y = Q(x) disebut

persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat tinggi.

Contoh


1.

2.

3.

4.

5.

6.

Persamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat

dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen. Persamaan


pada contoh 1 disebut persamaan diferensial linear homogen tingkat dua dengan

koefisien konstan, persamaan pada contoh 2 disebut persamaan diferensial linear

tidak homogen tingkat tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3

disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien

konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan diferensial linear tidak

homogen tingkat dua dengan koefisien variabel, persamaan pada contoh 5 adalah

persamaan diferensial linear homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel,

sedangkan persamaan pada contoh 6 adalah persamaan diferensial linear tidak

homogen tingkat 3 dengan koefisien variabel.

5.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi

Misal adalah selesaian persamaan

Maka juga selesaian persamaan di atas. dimana adalah sebarang

konstanta.


Maka juga selesaian persamaan di atas. dimana adalah sebarang

konstanta.


Maka juga selesaian persamaan di atas.

Dengan asumsi yang sama, misal adalah

selesaian persamaan

, maka


juga selesaian persamaan

diferensial tingkat tinggi. .

Himpunan selesaian persamaan-persamaan berikut

disebut bebas liner jika persamaan

dimana c adalah konstanta dan terjadi hanya apabila

.

Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas linear yaitu

jika diterminan matrik ordo n x n yang masing-masing sukunya adalah selesaian

dimaksud sampai turunan ke (n-1) 0.

Dengan kata lain adalah

primitif. Jika R(X) suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya persamaan

diferensial linear tingkat tinggi dinyatakan dengan:

Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear

tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut dikelompok menjadi:

1) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan

2) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan

3) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel

4) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel.

1) Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan

Sebagaimana telah disebutkan pada awal Bab V, bahwa persamaan

diferensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan dinyatakan

dalam bentuk umum:

Atau

atau


Atau

F(D) y = 0

dengan adalah konstan.

dan F(D) disebut fungsi operator diferensial.

Selanjutnya jika F(D) dapat difaktorkan, maka F(D) dapat dinyatakan

dalam bentuk . Sebaliknya jika F(D)

tidak dapat difaktorkan maka tetap ditulis sebagai F(D) = 0.

Bentuk dinamakan persamaan

karakteristik dengan m , m , m , ... m disebut akar-akar persaman karakteristik.

Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan karakteristik, karena akar-

akarnya dapat dibaca secara langsung dari fungsi operator diferensial.

Persamaan karakteristik f(m) = 0 setelah ditentukan akar-akarnya, untuk

menentukan selesaian umum persaamaan

ditentukan

dengan dimana akar persamaan karakteristik yang telah diketahui.

Karena adalah akar-akar persamaan karakteristik, maka jenis

akar-akarnya adalah bilangan nyata (real) dan tidak nyata (imajiner).

Untuk lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:

A. Andaikan ,

maka primitif persamaan diferensialnya

sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta

sebarang.

Jika adalah selesaian

maka

juga selesaian dari persamaan.


Perhatikan beberapa contoh berikut ini:

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

Sehingga persamaan karakteristik

(D+2)(D+3) = 0

akar-akarnya m = -2 dan m = -3, keduanya berberda.

Primitif persamaan di atas adalah

Karena adalah selesaian

Maka juga selesaian


Jawab



(2D-3)(D+7) = 0

akar-akarnya persamaan karakteristik m = dan m = -7, keduanya

berbeda.

Primitif persamaan di atas adalah

Karena adalah selesaian


Maka juga selesaian persamaan.

3. Tentukan selesaian persaamaan

Jawab


, sehingga persamaan karakteristiknya adalah:

Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya

m = 0, m = 1, m = 2, dan m = 3.

Karena

Sehingga selesaian persamaan adalah

Karena Maka

juga selesaian.

4. Tentukan selesaian persamaan

Jawab


, sehingga persamaan karakteristiknya adalah:

Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya

m = 0, m = -1, m = 2

Karena



Karena Maka

juga selesaian.

B. Andaikan ,

maka primitif persamaan diferensialnya

dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang dan m

kali hubungan diantaranya.

Karena

Maka

Juga selesaian persamaan yang akar-akar persamaan karakteristiknya

memenuhi

Perhatikan contoh berikut ini


Jawab

Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk


Sehingga persamaan karakteristiknya adalah:

sehingga akar persamaan karakteristiknya

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m

Sehingga selesaian persamaan di atas adalah

Karena

Maka juga selesaian


Jawab



Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m = 3.

Akibatnya primitif persamaan di atas adalah

Karena selesaian maka

juga selesaian persamaan.


Jawab




Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m =

Akibatnya primitif persamaan di atas adalah

Karena selesaian maka



Jawab

Bentuk lain persamaan di atas adalah

Sehingga persamaan karakteristik persamaan di atas adalah

Dan diperoleh akar-akar persamaan karakteristiknya m = m = 0

dan m = m = m = 2

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah


Karena

selesaian persamaan, maka:


C. Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan karakteristik

dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu:

maka primitifnya

Perhatikan contoh berikut

1 Tentukan selesaian persamaan

Jawab


Sehingga persamaan karakteristiknya adalah

Akar persamaan karakteristik m = m = m = -1 dan m = 4

Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah


Karena

selesaian persamaan, maka

juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui


Jawab


Sehingga persamaan karakteristiknya adalah

Akar persamaan karakteristik m = 0, m = m = m = 2

Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah

Karena

selesaian persamaan, maka

juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui.

D. Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak real (imajiner) dan misal akar-

akarnya dinyatakan dalam bentuk

maka diperoleh


Karena , maka:

dan

e

sehingga

Perhatikan contoh berikut:


Jawab

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik

Sehingga akar-akarnya adalah

Atau

Dengan kata lain atau

Sehingga selesaian persamaan di atas adalah:

2. Tentukan selesaian umum persammaan

Jawab



Dan diperoleh akar-akarnya

, , m =- 3

Selesaian umum persamaan

E Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real, maka

selesaian umumnya menggunakan perpaduan bentuk 1, 2, 3, dan 4 di atas.

Perhatikan contoh-contoh berikut:

1. Tentukan selesaian umum perasamaan diferensial

Jawab


akar-akarnya adalah , dan

Sehingga diperoleh selesaian umum (D + 4D )y = 0 adalah


Jawab


Sehingga akar-akar persamaan karakteristik


Dan primitifnya adalah

2) Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan

koefisien konstan adalah

Dengan adalah konstanta dan Q(x) 0

karena , , ,....., , dan

maka persamaan

dapat dinyatakan dalam bentuk:

F(D) y = Q(x)

Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) 0, maka bentuk

umumnya menjadi

Contoh

1.

2.

3.

Selesaian persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien konstan

dinyatakan dalam bentuk:


y(c) disebut fungsi komplemen dan merupakan selesaian dari F(D)y = 0,

y(p) disebut selesaian khusus (particular solution).

Dengan demikian untuk menentukan selesaian

Dengan konstana dan Q(x) 0

Untuk menentukan y(p), dapat dilakukan beberapa cara yaitu:

a) menggunakan metode invers fungsi operator,

b) metode )(1DF sebagai jumlah n pecahan parsial,

c) metode variasi paramater,

d) metode koefisien tak tentu, dan

e) metode integral khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik.

Metode Invers Fungsi Operator

Misal adalah persamaan diferensial linear tidak homogen dengan

koefisien konstan, maka selesaiannya

setelah ditentukan selanjutnya

Misal maka

misal -------------- (persamaan diferensial linear)

----------- (persamaan diferensial linear)

..................................

--------- (persamaan diferensial linear) yang selesaiannya

telah dijelaskan pada bab III


Misal

Jika

maka

Jika

maka

Perhatikan beberapa contoh berikut ini


Jawab


Sehingga akar-akarnya nyata yaitu

Dan fungsi komplemennya

Selesaian khususnya



2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial

Jawab




Selesaian khususnya




Jawab




Selesaian khususnya



Metode Penjumlahan n Pecahan Parsial.

dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu

dan masing-masing merupakan persamaan diferensial linear tingkat 1 yang

selesaiannya sudah dibahas pada bab III. yaitu dinyatakan dalam bentuk


Jawab




Fungsi komplemennya adalah

Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode

penjumlahan n pecahan parsial.

Diperoleh

Sehingga




Jawab






Diperoleh

Sehingga




Jawab






Diperoleh

Sehingga



Metode Variasi Parameter

Selesaiannya

Fungsi komplemen

Diperoleh hubungan dasar

dengan mengganti C dengan fungsi x yang tidak diketahui, yaitu L .

Metode ini terdiri dari cara untuk menentukan L sedemikian sehingga

menjadi

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini:


Jawab


atau dengan akar-akar nyata dan berbeda yaitu

sehingga fungsi kompelennya adalah

. Untuk menentukan y(p) selanjutnya dibentuk hubungan

dengan menurunkan dan

misal .......(1)

Karena , dengan memilih

.......(2)

Dari (2) diperoleh


Jadi

Dari (1) karena maka

Didapat

Selesaian persamaan adalah

=

=

2. Tentukan selesaman persamaan

Jawab


adalah dengan akar-

akar nyata dan tidak nyata yaitu 0 dan sehingga fungsi kompelennya

adalah

. Selanjutnya dibentuk hubungan

dengan menurunkan diperoleh

dan dengan memisalkan

.......(1)

Karena dan

dengan memisalkan ......(2)

maka

Dengan memisalkan .......(3)


Dari (1) dan (3)

Diperoleh

atau

dari (2) dan (3)

diperoleh

sehingga

Selesaian persamaan di atas adalah

=


Jawab

Persamaan karakteristiknya adalah

dengan akar-akar nyata dan sama

yaitu , sehingga fungsi komplemen

Selanjutnya dibentuk hubungan


Dengan memisalkan ......(1)

Maka

Dengan memisalkan

Dari (1) dan (2) diperoleh

sehingga

Selesaian persamaan di atas adalah

= +

=


Metode Koefisien tak Tentu

Yang dimaksud dengan metode koefisien tak tentu adalah membuat hubungan

dasar

Dimana adalah suku-suku Q dan fungsi-fungsi ini

muncul dari suku-suku Q dengan menurunkannya dan A, B, C, ....G adalah

konstanta.

Misal persamaannya maka



Misal persamaannya maka metode ini tidak dapat digunakan untuk

menentukan selesaiannya.

Selanjutnya substitusikan y kedalam f(D)y maka koefiesien A,B,C, .. diperoleh

dari menyelesaikan identintas.

Perhatikan contoh berikut:


Jawab

Selesaian persamaan

Fungsi komplemennya karena persamaan

karakteristiknya adalah

y(p) =


sehingga

Diperoleh -2A=1 dan -2B=0 sehingga selesaian persamaan



Jawab


Sehingga diperoleh

Fungsi komplemen

Selanjutnya ditentukan integral khususnya

Selesaian persamaan



Jawab


Sehingga diperoleh

Fungsi komplemen


Selesaian persamaan

Metode Integral Khusus Q(x) Berbentuk Sangat Spesifik.

Integral khusus persamaan diferensial dengan koefisien konstan

dinyatakan dengan .

Untuk bentuk-bentuk tertentu Q(x) dapat dipandang sebagai bentuk khusus,


1. Jika

2. Jika

maka

maka

3. Jika maka

Diperoleh dengan mengembangkan dengan pangkat naik D dan

menghilangkan semua suku di atas karena

4. Jika maka

5. Jika maka

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.


Jawab


Fungsi komplemennya adala6h

Integral khususnya adalah




Jawab


Sehingga diperoleh

Fungsi komplemen


Selesaian persamaan



Jawab


Diperoleh akar-akarnya tidak nyata dan berbeda yatu

dan

Persamaan komplemennya adalah

Integral khususnya


Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Variabel

Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien variabel

adalah

Dimana

Contoh


1.

atau dapat ditulis dalam bentuk

2.

atau dapat ditulis dalam bentuk

Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel

Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien

variabel dinyatakan dengan

Dimana

Contoh

1.

2.

Cara yang digunakan untuk menentukan selesaian umum persamaan

diferensial homogen dan tidak homogen dengan koefisien konstan dan variabel

adalah dengan metode substitusi yaitu . Cara ini disebut metode

persamaan Cauchy dan . Cara ini disebut metode

persamaan Legendre.

Karena dan

karena Persamaan linear Cauchy dinyatakan

dalam bentuk


Dengan adalah konstanta sebarang.

Persamaan linear Legendre dinyatakan dalam bentuk

Dengan adalah konstanta sebarang yang

merupakan keadaan khusus persamaan linear Cauchy yaitu untuk a = 1 dan b = 0

yang dapat diubah ke persamaan linear dengan koefisien konstan dan variabel

bebasnya disesuaikan.

Selanjutnya menurut dalil rantai pada kalkulus diferensial diperoleh

sehingga

1.

2.

3.

dan seterusnya.

Dengan cara yang sama diperoleh:

,


Berdasarkan substitusi di atas, akhirnya persamaan semua dapat

diselesaikan dengan terlebih dahulu menentukan persamaan karakteristik dan

akar-akarnya sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian awal bab V.


Jawab

Persamaan diferensial di atas diubah menjadi:


dan akar-akarnya 1 dan -2 (tidak sama)

Sehingga selesaiannya adalah Karena maka

selesaian persamaan diferensial adalah


Jawab

Persamaan diferensial di atas diubah menjadi:



dan akar-akarnya real dan tidak real

Sehingga fungsi komplementernya

selesaiannya adalah

dan integral selesaian khususnya adalah

Sehinggan selesaian persamaan diferensial maka selesaian persamaan

diferensial adalah

5.3 Soal-soal

Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut ini!

1.

2.

3.

4.

5.


6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.



Documents

BAB IV€¦ · Web viewF(D) y = Q(x) Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) 0, maka bentuk umumnya menjadi . Contoh. 1. 2. 3. Selesaian persamaan diferensial linear tidak