PERSAMAAN KUADRAT - jejakseribupena.files.wordpress.com · Akar-akar dari persamaan kuadrat 20x x n2 adalah p dan q dengan 22pq . Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah

1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI

PERSAMAAN KUADRAT

1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009

Akar-akar persamaan 22 2 0x ax adalah 1x dan 2x . Jika 2 21 2 212 2x ax x x , maka nilai

....a

A. 8 B. 4 C. 0 D. 4 E. 8

Solusi: [B] 2 21 2 212 2x ax x x

2

1 2 214 2x x ax x

2

4 1 22

aa

2

4 24

aa

2 8 16 0a a

2

4 0a

4a


Misalkan selisih kuadrat akar-akar persamaan 2 2 4 8 0x m x m sama dengan 20. Maka nilai

2 4 ....m

A. 9 B. 5 C. 0 D. 5 E. 9

Solusi: [D]

2 22 4 4 16 16 32 2 4 4 16 16

2 2

m m m m m m mx

2 4 2 4

2

m m 2 2m m

1 22 atau 4x m x

2 21 2 20xx

2 22 4 20m

24 16 20m 2 4 5m


Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 23 6 4 0x x , maka persamaan kuadrat yang

mempunyai akar-akar 2 1p q dan 2 1p q adalah ....

A. 2 4 3 0x x C. 23 12 13 0x x E. 23 24 49 0x x

B. 2 4 7 0x x D. 2 8 19 0x x


Solusi: [C]

2p q dan 4

3pq

2 1 2 1 3 2 3 2 2 4JAA p q p q p q

2 1 2 1 2 1 2 1HKA p q p q p q 1 1 1p q pq p q

4 13

2 13 3

Persamaan kuadratnya:

2 0x JAA x HKA

2 134 0

3x x

23 12 13 0x x


Jika 1

5xx

, maka nilai dari 3

3

1....x

x

A. 140 B. 125 C. 110 D. 75 E. 15

Solusi: [C]

15x

x

2

2

12 25x

x

2

2

123x

x

2

2

1 15 23x x

x x

3

3

1 1115x x

xx

3

3

15 115x

x

3

3

1110x

x


Misalkan selisih akar-akar persamaan 2 2 0x x a dan selisih akar-akar

2 8 1 0x x a bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kerdua persamaan tersebut

adalah ....

A. 56 B. 6 C. 2 D. 56 E. 72

Solusi: [A]

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 2 2 0x x a adalah m dan n dan akar-akar persamaan

2 8 1 0x x a adalah u dan v.

m n u v

2 2

m n u v

2 2

4 4m n mn u v uv

2 2

2 4 8 4 1a a


4 4 64 4 4a a 8 56a

7a

1 7 7 1 56mn uv a a


Jika 1x dan 2x adalah penyelesaian dari persamaan 2 1 1 1x x , maka 21 xx sama dengan

....

A. 6 B. 1 C. 1 D. 5 E. 6

Solusi: [E]

2 1 1 1x x

2 1 1 1 2 1x x x

1 2 1x x 2 2 1 4 4x x x 2 6 5 0x x

21 6xx

7. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009

Diketahui persamaan kuadrat 2 22 7 6 0x px p p . Nilai p agar persamaan kuadrat tersebut

mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah ....

A. 1

1 2atau 3atau 12

p p p C. 1

1 32

p E. 1

1 atau 22

p p

B. 1

1 12

p D. 1atau 6p p

Solusi: [D]

1. 0D

2 22 4 1 7 6 0p p p

22 7 6 0p p

2 3 2 0p p

11 atau 2

2p p

2. 1 20dan 0x x

1 2 0x x 2 7 6 0p p

2 7 6 0p p

1 6 0p p

1atau 6p p

Dari (1) (2) diperoleh: 1atau 6p p


Akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 0px p x adalah m dan n. Jika 1mn , maka persamaan

kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan m dan n adalah ....

(1) 2 172 2 0

2x x (3) 24 17 4 0x x

1 11

2

6 2


(2) 2 172 2 0

2x x (4) 24 17 4 0x x

Solusi: [C]

Akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 0px p x adalah m dan n

1mn 2

1p

2p

Persamaan kuadrat 2 2 1 2 0px p x menjadi 22 5 2 0x x .

22 5 2 0x x

2 1 2 0x x

1atau 2

2x m x n

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 2

14

m dan

2

1 1

4n

2 2

1 1 1 174

4 4JAA

m n

2 2

1 1 14 1

4HKA

m n

Persamaan kuadratnya

2 0x JAA x HKA

2 171 0

4x x

2 172 2 0

2x x

24 17 4 0x x

Pernyataan (2) dan (4) benar.


Jika akar-akar persamaan 2 0x ax b memenuhi 22 3 3 2 0x a x b , maka

(1) 3a (2) 2b (3) 2 2 3 0a ab b (4) 5ab

Solusi: [B]

1

2 3 3 2

a b

a b

1

2 3

a

a

3 2a a

3a

1

2 3 2

b

b

3 2 2b b

2b

2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0a ab b Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3)



Akar-akar dari persamaan kuadrat 2 2 3 0x x adalah m dan n, maka persamaan kuadrat baru

yang akar-akarnya 1

1mdan

1

1n adalah ....

A. 23 2 1 0x x C. 26 4 1 0x x E. 26 4 1 0x x

B. 26 2 1 0x x D. 23 2 1 0x x

Solusi: [E]

Akar-akar dari persamaan kuadrat 2 2 3 0x x adalah m dan n, maka 2dan 3m n mn

1 1 2 2 2 4

1 1 1 3 2 1 6

m nJAA

m n mn m n

1 1 1 1 1

1 1 1 3 2 1 6JAA

m n mn m n


2 0x JAA x HKA

2 4 10

6 6x x

26 4 1 0x x


Akar-akar dari persamaan kuadrat 22 0x x n adalah p dan q dengan 2 2p q . Jika akar-

akar persamaan kuadrat yang baru adalah danpq p q , maka persamaan kuadrat tersebut adalah

....

A. 2 6 3 0x x C. 2 2 3 0x x E. 2 9 0x x

B. 24 4 3 0x x D. 2 3 2 1 0x x

Solusi: [D]

Karena akar-akar dari persamaan kuadrat 22 0x x n adalah p dan q , maka 1

2p q dan

pq n .

2 2p q

2p p q

12

2p

3

2p

3 1

2 2q

1q

3 3

1 1 12 2

JAA pq p q

3 3 3

1 12 2 4

JAA pq p q


2 0x JAA x HKA


2 31 0

4x x

24 4 3 0x x

2 3 2 1 0x x


Persamaan kuadrat 2 4 4 3 0x px p mempunyai akar real, tidak nol, dan bertanda sama. Nilai

p yang memenuhi adalah ....

A. 1

2p C.

1

2p atau

3

2p E.

3 1 3atau

4 2 2p p

B. 3

2p D.

1 3 3atau

2 4 2p p

Solusi: [B]

0D

2

4 4 1 4 3 0p p 24 4 3 0p p

2 3 2 1 0p p

1 3

atau2 2

p p .... (1)

Akar-akarnya positif, 1 20dan 0x x

1 2 0x x

4 0p

0p .... (2)

1 2 0x x

4 3 0p

3

4p .... (3)

Akar-akarnya negatif, 1 20dan 0x x

1 2 0x x

4 3 0p

3

4p .... (4)

Dari (1) (2) (3) (4) diperoleh 3

2p


Jika jumlah kedua akar persamaan kuadrat 2 2 1 3 2 0x p x p sama dengan hasil kali

keduanya, maka harga mutlak dari selisih kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah ....

A. 0 B. 1 C. 3 D. 3 E. 21

Solusi: [E]

1 2 1 2x x x x

2 1 23p p

2 1 3 6p p

5 5p

1p

3

4

1

2

3

2

0


21 2 1 3 2 0p x p x p

2 3 3 0x x 2 3 3 0x x

1 2

9 1221

1

D

ax x


Persamaan kuadrat 2 2 7 4 0x a x mempunyai akar-akar 1 2danx x . Jika nilai dari

1 2 2 1 8x x x x , maka hasil kali dari nilai-nilai a yang memenuhi adalah ....

A. 5 B. 5 C. 5 D. 4 E. 5

Solusi: [A]

1 2 2 1 8x x x x

2 21 2 1 2 1 22 1 2 64x x x xx x x x

1 1 1 2 1 22 2 2 64x x x x xx x x

24 7 2 4 4 64a

2 7 4 16a 2 5 0a

1 2 5a a


Ketinggian roket setelah t menit diluncurkan vertikal ke atas dari permukaan tanah memenuhi

hubungan 265 5h t t , h dalam km dan t dalam menit. Roket tersebut mencapai ketinggian

tidak kurang dari 150 km selama … menit.

A. 3 B. 5 C. 7 D. 10 E. 13

Solusi: [C] 2150 65 5t t

2 13 30 0t t

10 3 0t t

10 3t t Roket tersebut mencapai ketinggian tidak kurang dari 150 km selama (10 – 3) menit = 7 menit


Nilai x yang memenuhi persamaan 2 20 0x px dan 2 20 0x x p adalah ....

(1) 10 4 5 (2) 1 (3) 10 4 5 (4) 1

Solusi: [B]

201

20

p

p

20atau 20p p

Jika 20p , maka persamaan kuadrat menjadi: 2 20 20 0x x , sehingga

20 400 80 20 8 510 4 5

2 2x

Pernyataan yang benar (1) dan (3)



Seorang siswa diminta untuk menyelesaikan persamaan 2 0x bx c , tetapi justru

menyelesaikan persamaan 2 0x cx b , b dan c bilangan bulat. Salah satu akar yang diperoleh

adalah sama dengan akar dari persamaan semula, namun akar yang lain m kurangnya dari akar

kedua persamaan semula. b dan c jika dinyatakan dalam m adalah ....

A. 1 1

,2 2

m mb c

C.

1 1,

2 2

m mb c

E.

1 1,

2 2

m mb c

B. 1 1

,2 2

m mb c

D.

1 1,

2 2

m mb c

Solusi: [A]

Misalnya danp q akar-akar persamaan 2 0x bx c dan danp q m adalah akar-akar persamaan

2 0x cx b , sehingga 2 0p bp c .... (1)

2 0p cp b .... (2)

Persamaan (1) – persamaan (2) menghasilkan

0b c p c b

1p

Dari persamaan persamaan 2 0x bx c , dengan akar-akarnya danp q

p q b

1 q b

1q b

pq c

1 q c

c q

Dari persamaan persamaan 2 0x cx b , dengan akar-akarnya danp q m

p q m c

1 c m c

2 1c m

1

2

mc

p q m b

1 1b m b

2 1b m

1

2

mb


Diketahui 1 2danx x adalah akar-akar persamaan 22 6 0x x a . Jika 1 2

2 1

1 12

x x

x x

, maka

nilai a yang memenuhi adalah ....

A. 0a B. 0a C. 3a D. 3a E. 12a

Solusi: [A]

1 2

2 1

1 12

x x

x x


2 21 2 1 2

1 2

2x x x x

x x

2

1 2 1 2 1 2

1 2

22

x x x x x x

x x

2

3 2 32 2

2

a

a

9 31

a

a

61 0

a

a

60

a

0a


Akar-akar persamaan 2 0x mx n adalah cos75dan cos15 . Persamaan kuadrat yang akar-

akarnya 2m dan 2n adalah ....

A. 22 2 6 6 0x x C. 22 6 6 0x x E. 22 1 6 2 6 0x x

B. 22 2 2 6 0x x D. 22 1 2 6 6 0x x

Solusi: [D]

Akar-akar dari persamaan kuadrat 2 0x mx n adalah cos75 dan cos15 , maka

cos75 cos15m 2cos45 cos30 1 1 1

2 2 3 62 2 2

16

2m

1

cos75 cos15 2cos75 cos152

n 1

cos90 cos602

1

4

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 2m dan 2n.

12 2 6

2JAA m n

1 12 2 4 4 6 6

8 2JAA m n mn


2 0x JAA x HKA

2 1 16 6 0

2 2x x

22 1 2 6 6 0x x


Jika 1

31

3

x

x

dan

13

13

13

y

y

, maka x y adalah ....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4


Solusi: [B]

13

13

x

x

13

3 1x

x

x

33 1

xx

x

23 8 3x x x 23 9 3 0x x

2 3 1 0x x

3 13

2x

3 13 3 13

2 2 2 2x x

13

13

13

y

y

13

13

3 1

y

y

y

13

33 1

yy

y

13

10 3

3 1

yy

y

3 13

10 3

yy

y

210 27 9 3 1y y y 210 30 10 0y y

2 3 1 0y y

3 13

2y

3 13 3 13

2 2 2 2y y

Karena akar-akar persamaan 1

31

3

x

x

dan

13

13

13

y

y

adalah sama, maka 0x y


Persamaan 21 4 4 7 0a x ax a dengan a bilangan bulat mempunyai akar-akar positif.

Selisih akar terbesar dengan akar terkecil adalah ....


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Solusi: [B]

24 4 4 1 4 7

2 1

a a a ax

a

2 24 16 16 12 28

2 1

a a a a

a

4 12 28

2 1

a a

a

4 2 7 3

2 1

a a

a

2 7 3

1

a a

a

Nilai a yang memenuhi adalah 2, sehingga 2 2 7 3 2 4 1

2 1 1x

yang menghasilkan akar

terbesar 4 1

51

x

dan akar terkecil 4 1

31

x

.

Jadi, selisih akar terbesar dengan akar terkecil adalah 5 – 3 = 2.


Jika akar-akar persamaan 23 2 2 0x kx k ialah kebalikan dari akar-akar persamaan

22 3 0ax k a x , 0a , maka jumlah a dan k adalah ....

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

Solusi: [A]

Misalnya akar-akar persamaan 23 2 2 0x kx k adalah 1 2danx x sedangkan akar-akar

persamaan 22 3 0ax k a x adalah 1 2dany y .

1 21 2

1 1danx x

y y

1 2 1 2

2 2dan

3 3

k kx x x x

1 2 1 2

3dan

2 2

k ay y y y

a a

Selanjutnya,

1 21 2

1 1x x

y y

1 21 2

1 2

y yx x

y y

2 233

2

k a

k a

a

2k k a

k a .... (1)

1 21 2 1 2

1 1 1x x

y y y y

2 1

33

2

k

a

2 2k a .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2 2k k

2k a


Jadi, 2 2 4k a


Untuk 0a , jumlah akar-akar persamaan 2 22 3 0x a x a a adalah ....

A. 2 3a C. 2 2 6a E. 0

B. 6 2a D. 2 6 2a

Solusi: [E]

1. 2 22 3 0x a x a a

2 2 22 2 3 0x ax a a 2 22 0x ax a

1 2 2x x a

2. 2 22 3 0x a x a a

2 2 22 2 3 0x ax a a 2 22 5 0x ax a

3 4 2x x a

Jadi, 1 2 3 4 2 2 0x x x x a a


Jika 1 2danx x adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 4 2 0x x , maka persamaan kuadrat yang

mempunyai akar-akar 3 31 2x x dan 5 5

1 2x x adalah ....

A. 2 96 1148 0x x C. 2 82 840 0x x E. 2 96 1148 0x x

B. 2 96 1148 0x x D. 2 82 840 0x x

Solusi: [E]

Karena 1 2danx x adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 4 2 0x x , maka

1 2 1 22dan 1x x x x .

2 21 2 1 22 4x x x x

2 21 2 2 1 4x x 2 21 2 6x x

2 21 2 1 2 2 6x x x x

3 3 2 21 2 1 2 2 1 12x x x x x x

3 31 2 1 2 1 2 12x x x x x x

3 31 2 1 2 12x x 3 31 2 14x x

2 2 3 31 2 1 2 6 14x x x x

5 5 2 3 2 31 2 1 2 2 1 84x x x x x x

5 5 2 21 2 1 2 1 2 84x x x x x x

25 5

1 2 1 2 84x x 5 51 2 82x x

3 3 5 51 2 1 2 14 82 96JAA x x x x


3 3 5 51 2 1 2 14 82 1.148HKA x x x x


2 0x JAA x HKA

2 96 1.148 0x x

2 96 1.148 0x x


Akar-akar persamaan kuadrat 2 6 2 1 0x x a mempunyai beda 10. Yang benar berikut ini

adalah ....

(1) Jumlah kedua akarnya 6 (3) Jumlah kuadrat akar-akarnya 20

(2) Hasil kali kedua akarnya 16 (4) Hasil kali kebalikan akar-akarnya 1

16

Solusi: [-]

1 2 10x x

2 2

1 2 10x x

2

1 2 1 24 100x x x x

2

6 4 2 1 100a

9 2 1 25a 2 15a

Persamaan kuadrat menjadi 2 6 16 0x x dengan 1 28atau 2x x

(1) Jumlah kedua akarnya 6

61

b

a

(2) Hasil kali kedua akarnya 16

161

c

a

(3) 22 2 2

1 2 1 2 1 22 6 2 16 36 32 68x x x x x x

Jumlah kuadrat akar-akarnya 68.

(4) 1 2 1 2

1 1 1 1

16 16x x x x

Hasil kali kebalikan akar-akarnya 1

16

Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (4).


Misalkan 1 2danx x adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2 0x px q yang merupakan

bilangan bulat. Jika diketahui bahwa 2010p q , maka akar-akar persamaan tersebut adalah ....

(1) 2012 (2) 2010 (3) 2 (4) 0

Solusi: [C]

Karena 1 2danx x adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2 0x px q yang merupakan

bilangan bulat, maka 1 2 1 2danx x p x x q

2010p q

1 2 1 2 2010x x x x

1 2 1 2 1 2011x x x x

1 21 1 2011x x


1 21 1 1 2011 1 2011x x

1 11 1 2x x dan 2 21 2011 2012x x

1 11 1 0x x dan 2 21 2011 2010x x

Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).


Jika akar-akar persamaan 2 5 12 0ax x adalah 2 dan b, maka 2 24 4 ....a ab b

A. 144 B. 121 C. 121 D. 144 E. 169

Solusi: [E] 2

1 2 5 12 0x ax x

4 10 12 0a 1

2a

22

1dan 5 12 0

2x b a ax x

215 12 0

2b b

2 10 24 0b b

12 2 0b b

12atau 2b b

Jika 1

dan 122

a b , maka 2

22 2 1 14 4 4 4 12 12 169

2 2a ab b

Jika 1

dan 22

a b , maka 2

2 2 21 14 4 4 4 2 2 1

2 2a ab b


Jika 1 2danx x merupakan akar-akar persamaan kuadrat 24 4 0, 0x bx b ,

maka 1 1 3 31 2 1 216x x x x , berlaku untuk 2b b sama dengan ....

A. 0atau 12 C. 20atau 30 E. 42atau56

B. 10atau 12 D. 42atau 56

Solusi: [E]

1 1 3 31 2 1 216x x x x

31 2

1 2 1 2 1 21 2

16 3x x

x x x x x xx x

3

4 16 3 11 4 4

b

b b

3

124 4

b bb

3 48b b b 3 49 0b b

7 7 0b b b

0(ditolak) 7(diterima) 7(diterima)b b b

Jika 8b , maka 22 7 7 56b b


Jika 8b , maka 2 27 7 42b b


Banyaknya solusi yang memenuhi persamaan berikut adalah ....

2 2x x x

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0

Solusi: [E]

2 2x x x

2 22 2 2 4x x x x

2 22 4 4x x

2 22 4 4x x 2 4 216 4 8 16x x x

4 24 0x x

2 2 4 0x x

0(ditolak) 2(ditolak) 2(diterima)x x x

Karena akar-akarnya tidak real, maka banyaknya solusi 1.


Misalkan salah satu akar dari persamaan 25 2 4 0k x kx k bernilai lebih dari 2 dan salah

satu akar yang lain bernilai kurang dari 1, maka himpunan semua bilangan k yang memenuhi

adalah ....

A. 5 24k R k C. 15 24k R k E. 24k R k

B. 5 20k R k D. 5k R k

Solusi 1: [A]

1. 0D

2

2 4 5 4 0k k k 2 2 9 20 0k k k

20

9k

2. 1 22atau 1x x

1 22atau1x x

1 22 1x x

1 2 1 22 1x x x x

1 2 1 22 0 2 1 0 1x x x x

1 2 1 22 0 2 1 0 1x x x x

1 2 1 22 0atau 0 2 1 0atau 0 1x x x x

1 2 1 22 2 0 1 1 0x x x x

1 2 1 2 1 2 1 22 4 0 1 0x x x x x x x x

4 4 4 24 0 1 0

5 5 5 5

k k k k

k k k k

4 4 4 20 4 2 50 0

5 5

k k k k k k

k k


24 90 0

5 5

k

k k

24 90 0

5 5

k

k k

5 24 0 5k k 5 24k

Dari (1) (2) menghasilkan 5 24k R k

Solusi 2: [A]

1. 0D

2

2 4 5 4 0k k k 2 2 9 20 0k k k

20

9k

2. 1 22atau 1x x

1 22 0atau 1 0x x

1 22 1 0x x

1 2 1 22 2 0x x x x

1 2 1 2 12 2 2 0x x x x x

1 2 1 2 12 2 0x x x x x

1 2 1 2 12 2 0x x x x x

1

4 22 2 0

5 5

k kx

k k

1

4 4 2 100

5

k k kx

k

1

140

5

kx

k

1

14

5

kx

k

dan 1 2x

Sehingga

142

5

k

k

142 0

5

k

k

240

5

k

k

5 24k .... (2)

1 2 1 22 2 0x x x x

1 2 1 2 1 2 0x x x x x

1 2 1 2 2 2 0x x x x x

2

4 22 0

5 5

k kx

k k

2

4 2 2 100

5

k k kx

k

5 24

+ +


2

140

5

kx

k

2

14

5

kx

k

dan 2 1x

141

5

k

k

141 0

5

k

k

90

5k

5k .... (3)

Dari (1) (2) (3) menghasilkan 5 24k R k


Jika m dan n adalah bilangan bulat, maka akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 1 0x m x n

merupakan bilangan ....

A. Bulat B. Rasional C. Asli D. Irasional E. Riil

Solusi: [-]

Jika m dan n adalah bilangan bulat, maka akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 1 0x m x n

dapat merupakan bilangan real atau bilangan tidak real.

Misalnya, jika m = 1 dan n = 0, maka akar-akarnya real dan jika m = 0 dan n = 1, maka akar-

akarnya tidak real.


Misalkan dan adalah akar-akar dari persamaan 2 2 3 9 0x k x dengan , maka

himpunan semua bilangan k sehingga 6 1 dan 6 1 adalah ....

A. 6 6,75k R k C. 1 9k R k E. 6k R k

B. 1 6,75k R k D. 6,75 9k R k

Solusi: [A]

0D

2

4 3 36 0k

2

3 9 0k

3 3 3 3 0k k

6 0k k

0atau 6k k .... (1)

6 1 dan 6 1

12 2

12 2 3 2k

6 3 1k 9 2k .... (2)

6 6 0

6 36 0

9 6 2 3 36 0k


9 12 36 36 0k 12 81k

6,75k .... (3)

1 1 0

1 0

9 2 3 1 0k

10 2 6 0k 2 4k

2k .... (4)

Dari (1) (2) (3) (4) menghasilkan 6 6,75k R k


Misalkan m adalah bilangan bulat sehingga setiap persamaan 22 1 2 0x m x m dan

persamaan 2 22 1 3 66 0x m m x m mempunyai akar-akar riil yang berlainan tanda, maka

hasil kali semua m yang memenuhi adalah ....

A. 1 B. 0 C. 14364 D. 143640 E. Tak hingga

Solusi: [E]

Misalnya akar-akar persamaan 22 1 2 0x m x m adalah 1 2danx x , dengan

1 20atau 0x x sehingga

1 2 0x x

20

2

m

0m .... (1)

Misalnya akar-akar persamaan 2 22 1 3 66 0x m m x m adalah 1 2dany y , sehingga

1 20 0atauy y sehingga

1 2 0y y

3 66 0m 22m ....(2)

Dari (1) (2) menghasilkan 0m .

Jadi, hasil kali semua m yang memenuhi adalah tak hingga.


Persamaan kuadrat 2 2 2 0x pqx p q akar-akarnya 1 2danx x dengan 1 2 1 22 5x x x x .

Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara p dan q adalah ....

(1) p q (2) 2p q (3) 2p q (4) 2p q

Solusi: [C]

Karena persamaan kuadrat 2 2 2 0x pqx p q akar-akarnya 1 2danx x , maka 1 2x x pq dan

2 21 2x x p q .

1 2 1 22 5x x x x

2 22 5p q pq

Misalnya p nq , sehingga

2 2 2 22 5n q q nq

2 2 6 0 6,75 9


2 2 22 1 5n q nq

22 2 5n n 22 5 2 0n n

2 1 2 0n n

12

2n n

Jika 1

2n , maka p nq

1

2q atau 2p q .

Jika 2n , maka p nq 2q .

Jadi, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).


Himpunan bilangan k sehingga persamaan 2 2 1 5 0x k x k memiliki setidaknya satu akar

riil positif adalah ....

A. 1k R k C. 0 1k R k E. 0k R k

B. k R k D. 1k R k

Solusi: [A]

Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar negatif adalah 0D ,

2

2 1 4 1 5 0k k

2 2 1 5 0k k k 2 3 4 0k k

4 1 0k k

4 1k k .... (1)

1 2 2 1 0x x k

1k .... (2)

1 2 5 0x x k

5k .... (3)

Dari (1) (2) (3) menghasilkan: 4k .... (4)

Dengan demikian, persamaan 2 2 1 5 0x k x k memiliki setidaknya satu akar riil positif

adalah jika x memenuhi irisan (1) dengan komplemen (4), hal ini dipenuhi oleh 1k .


Akar-akar positif dari persamaan kuadrat 2 0x mx n adalah dan . Jika 2 12 dan

2 4 , maka ....m n

A. 39 B. 16 C. 0 D. 16 E. 39

Solusi: [E]

Akar-akar positif dari persamaan kuadrat 2 0x mx n adalah dan , sehingga m

dan n .

2 12

2 12 2 24 48 144 .... (1)

2 4 .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

5 1 4 1


24 4 48 144

2 13 36 0

4 9 0

4atau 9

2 12 2 4 12 4 (ditolak) atau 2 12 2 9 12 6

m

6 9 m

15m

n

6 9 n 54n

15 54 39m n


Kedua akar persamaan kuadrat 22 2 1 1 0m x m x m bertanda negatif. Batas nilai m

yang memenuhi adalah ....

A. 2atau 1m m C. 1

22

m E. 7

116

m

B. 2 1m D. 7

216

m

Solusi: [E]

a. Diskriminan 0D

2

2 1 4 2 1 0m m m 2 24 4 1 4 12 8 0m m m m

16 7 0m

7

16m .... (1)

b. akar-akarnya: 1 20dan 0x x

1 2 0x x

2 1

02

m

m

12

2x .... (2)

1 2 0x x

10

2

m

m

2 1x x .... (3)

Dari (1) (2) (3) menghasilkan: 7

116

m


Diketahui 2 63 adalah salah satu akar dari 2 0x px q , dengan q adalah bilangan real

negatif dan p adalah bilangan bulat. Nilai terbesar yang mungkin untuk p adalah ....

A. 5 B. 4 C. 4 D. 5 E. 6

Solusi: [D]

Misalnya 1 2 63x adalah salah satu akar dari 2 0x px q , maka

2 7

16

1

2

1


Jumlah akar-akarnya adalah

1 2x x p

22 63 x p

Karena p adalah bilangan bulat maka haruslah 2 63x m , sehingga

2 63 63m p

2m p

Hasil kali akar-akarnya adalah

1 2x x q

Di sini diketahui q adalah bilangan real negatif , 0q dan 1 2 63 0x (bilangan negatif)

sehingga 2 63 0x m .

63 0m

2 63 0p

63 2 7,94 2 5,94p

Jadi, nilai terbesar yang mungkin untuk p adalah 5.


Diketahui a, b, dan c bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut.

6 6 6 ...a

20 20 20 ...b

Nilai ....a b

A. 26 B. 8 C. 2 26 D. 16 E. 26

Solusi: [B]

6 6 6 ...a

2 6 6 6 ...a 2 6a a 2 6 0a a

3 2 0a a

3(diterima)atau 2(ditolak)a a

20 20 20 ...b 2 20b b 2 20 0b b

5 4 0b a

5(diterima)atau 4(ditolak)b b

Jadi, nilai 3 5 8a b


Jika r dan s adalah akar-akar persamaan 2 0ax bx c dan D adalah diskriminan tersebut, nilai

dari 2 2

1 1

r s adalah ....

A. 2

2D a

cc B.

2

Dc

a C.

2

D

c D.

2

D

a E. D


Solusi: [A]

2 2

2 2 2 2

1 1 r s

r s r s

2

2

2r s rs

rs

2

2

2b c

a a

c

a

2

2

2b ac

c

2

2

4 2b ac ac

c

2

2D ac

c

2

2D a

cc


Banyaknya bilangan bulat m yang membuat persamaan

1 1

1 1

x x m x

x m m

TIDAK

mempunyai akar real adalah ....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. tak terhingga

Solusi: [A]

1 1

1 1

x x m x

x m m

2 21 1m x x n m x x m

2 1 1 0x x m m m m

2 2 0x x m m

D < 0

2 21 4 1 0m m

24 4 1m m 24 4 1 1 1m m

2

2 1 0m

Karena tidak ada nilai m yang memenuhi, maka banyaknya nilai m adalah 0.


Misalkan dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx .

Jika dan adalah akar-akar dari persamaan 2 4 0x x c , persamaan yang mempunyai

akar-akar b dan c adalah ....

A. 2 5 5 0x x C. 2 25 0x E. 2 5 5 0x x

B. 2

5 0x D. 2

5 0x

Solusi: [C]

Karena dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx , maka dan 6b

Jika dan adalah akar-akar dari persamaan 2 4 0x x c , maka 4 dan

c .

Selanjutnya,

4

2 4 2

6

2 6

3

Karena b dan c , maka


2 3 b 5b

c

2 3 2 3 c

5c Persamaan kuadratnya,

21 2 1 2 0x x x x x x

2 5 5 5 5 0x x 2 25 0x


Misalkan 21 1 0x b x c mempunyai akar-akar dan , dengan

24 . Jika

22 2 0x b x c mempunyai akar-akar dan , maka rasio 2 1:c b yang mungkin adalah ....

A. 2 :1 B. 1: 2 C. 1:1 D. 1:3 E. 3:1

Solusi: [A]

Karena 21 1 0x b x c mempunyai akar-akar dan , maka 1 1danb c

2

4

Karena 22 2 0x b x c mempunyai akar-akar dan , maka

2b atau 2

2

b

2c

1 2b c

2

1

c

b

2

2 2

1

c

b

2

2

1

4c

b

2

1

2c

b

2 1: 2 :1c b


Misalkan 1x dan 2x merupakan akar-akar positif dari persamaan 2 0x mx n . Jika

2 21 2 3x x dan 1 2: 1: 2x x , maka : ....m n

A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2 E. 2,5

Solusi: [C]

1. 1 2: 1: 2x x

2 12x x

2. 2 21 2 3x x

1 2 1 2 3x x x x

1 2 3m x x


1 2

3x x

m

1 1

32x x

m

1

3x

m

2

6x

m

1

3x

m

23 3

0m nm m

2

93 0n

m

2

93 n

m

2 9

3m

n

.... (1)

3. 1 2x x n

3 6n

m m

2 18m

n .... (2)

4. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

18 9

3n n

6 2n n

2n

2 189

2m

3m

Karena persamaan kuadrat mempunyai akar-akar positi, maka 3m .

Jadi, : 3 : 2 1,5m n


Misalkan dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx . Jika 1 1

dan

adalah akar-

akar dari persamaan 2 4 0x x c , maka akar-akar dari persamaan 2 0x bc x bc

merupakan ....

A. akar kembar dan positif D. dua akar berbeda dan positif

B. akar kembar dan negatif E. dua akar berbeda dan negatif

C. dua akar berbeda dan berlaianan tanda

Solusi: [A]

Karena dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx , maka b dan 6 .

Karena 1 1

dan

adalah akar-akar dari persamaan 2 4 0x x c , maka 1 1

4 dan

1 1c

.

1 14


4

46

b

24b 1 1

c

1c

1

6c

Karena 1

24dan6

b c , maka persamaan 2 0x bc x bc menjadi 2 4 4 0x x , dengan

2

4 4 1 4 0D , sehingga persamaan kuadrat ini mempunyai akar kembar dan positif.

46. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 2, 2014

Jika diketahui 0x , maka banyaknya penyelesaian yang memenuhi system persamaan

2

2

2014 0

2014 0

x ax

x x a

adalah ....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

Solusi: [B] 2 2014 0x ax .... (1) 2 2014 0x x a .... (2)

Persamaan (1) – persamaan (2) menghasilkan:

2014 2014 0a x a

20141

2014

ax

a

Jadi, banyaknya penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah 1 buah.


Misalkan m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 23 5 1 0x x . Persamaan kuadrat yang

mempunyai akar-akar 2

11

m dan

2

11

n adalah ....

A. 2 21 29 0x x C. 2 21 29 0x x E. 2 29 21 0x x

B. 2 21 29 0x x D. 2 29 21 0x x

Solusi: [B]

Karena m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 23 5 1 0x x , maka 5 1

dan3 3

m n mn

5

3m n

2 2 252

9m n mn

2 2 1 252

3 9m n


2 2 25 2 19

9 3 9m n

2 2

2 2 2 2 2

19

1 1 19 991 1 2 2 2 19 2 219 11

3

m nJAA

m n m n

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

19

1 1 1 1 1 1 1 91 1 1 1 11 1

3 3

m nHKA

m n m n m n mn mn

2 2

19

1 9 1 9 19 1 291 1

3 3


2 0x JAA x HKA 2 21 29 0x x

48. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2014

Jika m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 2 0x x , maka persamaan kuadrat yang

akar-akarnya adalah 3 2m n dan 3 2n m adalah ....

A. 232 101 124 0x x C. 232 101 124 0x x E. 232 101 124 0x x

B. 232 101 124 0x x D. 232 101 124 0x x

Solusi: [-]

Karena m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 2 0x x , maka1

dan 12

m n mn

1. 1

2m n

2 2 12

4m n mn

2 2 12 1

4m n

2 2 9

4m n

2. 2 2 1 9

2 4m n m n

3 3 2 2 9

8m n mn nm

3 3 9

8m n mn n m

3 3 1 91

2 8m n

3 3 9 1 13

8 2 8m n

3. 2 2 3 3 9 13

4 8m n m n

5 5 2 3 2 3 117

32m n m n n m


5 5 2 2 117

32m n m n n m

25 5 1 117

12 32

m n

5 5 117 1 101

32 2 32m n

3 2 3 2 3 3 2 2JAA m n n m m n m n 13 9 31

8 4 8

3 2 3 2 3 3 5 5 2 2HKA m n n m m n m n n m 3 25 5mn m n mn

3 2101

1 132

101 1011 1

32 32


2 0x JAA x HKA

2 31 1010

8 32x x

232 124 101 0x x

49. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2014

Jika salah satu akar persamaan kuadrat 2 24 1 7 0x k x k k bernilai tiga kali dari akar

yang lain dan semua akar-akar bernilai lebih dari 2, maka himpunan semua bilangan k yang

memenuhi adalah ....

A. R C. 1k R k E. 1

2

B. 3 13 3 13

atau2 2

k R k k

D. 1

4,2

Solusi: [E]

Misalnya akar-akar persamaan 2 24 1 7 0x k x k k adalah 1x dan 2x .

Salah satu akarnya tiga kali akar yang lainnya 2 13x x

21 4 1x kx

11 3 4 1x kx

1 4 14 kx

1 1kx

1 1kx 2 24 1 7 0x k x k k

2 21 4 1 1 7 0k k k k k

2 2 22 1 4 8 4 7 0k k k k k k

22 7 4 0k k

2 1 4 0k k

1

atau 42

k k

Semua akar-akar bernilai lebih dari 2, berarti 21 2dan 2xx .

1 2 4x x

4 1 4k


1k

Sehingga nilai k yang memenuhi adalah 1

2k

Jadi, himpunan semua bilangan k yang memenuhi adalah 1

2

.


Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat 2 10 0x x a mempunyai tanda yang

berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat 2 10 0x x a di mana a dalah

sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan 2 2 5 0x ax adalah ....

A. 36 B. 20 C. 18 D. 15 E. 10

Solusi: [E]

Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat 2 10 0x x a adalah m dan n. Sedangkan akar-akar

persamaan kuadrat 2 10 0x x a adalah m dan p .

2 10 0m m a .... (1)

2 10 0m m a .... (2)

Persamaan (1) – persamaan (2) menghasilkan:

20 2 0m a

10

am

10

am 2 10 0x x a

2

10 010 10

a aa

2

0100

aa a

0a

0a 2 2 5 0x ax

2 5 0x

1,2 5x

222 2

1 2 1 2 1 22 5 5 2 5 5 10x x x x x x


Diketahui bahwa a adalah salah satu akar persamaan 2 6 0x x . Nilai dari

3

5 4 3 2

1....

a

a a a a

A. 5

36 B.

6

36 C.

7

36 D.

8

36 E.

9

36

Solusi: [C]

Karena a adalah salah satu akar persamaan 2 6 0x x , maka 2 6 0a a 3 3 2 21 1a a a a

2 2 1a a a a

26 1a a

6 6 1a a


7 7a

5 4 3 2 3 2 2a a a a a a a a a a

3 6 6a a

26 1a a

26 1a a a a

6 6 1a a

6 5a a

26 30a a 26 6 6 30a a a a

26 36a a a

6 6 36a

36 36a

3

5 4 3 2

7 11 7 7 7

36 36 36 1 36

aa a

a aa a a a


Diketahui bahwa c dan d solusi 2 0x ax b , a dan b solusi 2 0x cx d , dengan a, b, c, d

bilangan real bukan nol, nilai ....a b c d

A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 E. 3

Solusi: [A]

Karena c dan d solusi 2 0x ax b , maka c d a dan cd b

Karena a dan b solusi 2 0x cx d , maka a b c dan ab d c d a

a c d .... (1)

a b c a c b .... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh b d Karena b d dan cd b , maka 1c

Karena b d dan ab d , maka 1a Dengan demikian,

c d a b a c

1 1 2a b c d a c


Jika akar 2 0x ax b adalah 1

3 kali akar 2 0x cx a , dengan , , 0a b c , maka ....

a c

b

A. 10

27 B.

28

9 C. 30 D. 36 E. 40

Solusi: [D]

Misalnya akar-akar 2 0x cx a adalah m dan n, sehingga m n c dan mn a

Akar-akar persamaan 2 0x ax b adalah 1

3m dan

1

3n , sehingga

1 1

3 3m n a


3m n a

3c a

3c a

1 1

3 3m n b

9mn b

9a b

9

ab

3

36

9

a c a a

ab


Jika a dan b memenuhi 1 5

6 0x x , maka ....ab

A. 1

6 B.

1

12 C.

1

24 D.

1

36 E.

1

48

Solusi: [D]

1 56 0

x x

6 5 1 0x x

3 1 2 1 0x x

1 1

3 2x x

1 1

9 4a b

1 1 1

9 4 36ab


Jika akar 2 0x ax b adalah 3 kali akar 2 0x cx a , dengan , , 0a b c , maka ....a b

c

A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 E. 50

Solusi: [C]

Misalnya akar-akar 2 0x cx a adalah m dan n, sehingga m n c dan mn a

Akar-akar persamaan 2 0x ax b adalah 3m dan 3n , sehingga

3 3m n a

1

3m n a

1

3c a

1

3c a

3 3m n b

1

9mn b


1

9a b

9b a

9

301

3

a b a a

ca


Jika 2 25 0x x c mempunyai akar-akar a dan b dan keduanya merupakan bilangan prima

dengan b a , maka 3 ....a b c

A. 17 B. 25 C. 29 D. 52 E. 63

Solusi: [C]

25a b Karena a dan b adalah bilangan prima dan b a , maka haruslah 2atau 23a b

2 23 46c ab

3 3 2 23 46 29a b c


Jika 3u dan 10v adalah akar-akar dari 23 3 1 0x px Ap , maka ....A

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4

Solusi: [B]

3atau 10x u x v 3 0atau 10 0x x

3 10 0x x 2 13 30 0x x

23 39 90 0x x dan 23 3 1 0x px Ap

3 39p

13p

1 90Ap

13 91A

917

13A

Semoga bermanfaat bagi para pembaca....

Documents

PERSAMAAN KUADRAT - jejakseribupena.files.wordpress.com · Akar-akar dari persamaan kuadrat 20x x n2 adalah p dan q dengan 22pq . Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah