BROJNI SISTEMI - prirodni broj rimski brojevi dekad-ni zapis bina-rni zapis ok-talni zapis heksadekad-ni

66 MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 67

1. BROJNISISTEMINepozicioni i pozicioni brojni sistem

Brojni sistem sastoji se od: skupa cifara, pravila za pisanje cifara.

Brojni sistemi dijele se na pozicione i nepozicione.Nepozicioni brojni sistemi su oni kod kojih znaenje pojedine cifre ne zavisi

od njenog poloaja u zapisanom broju.Najpoznatiji nepozicioni brojni sistem, koji se i danas upotrebljava, je sistem

rimskih brojeva. On se sastoji od sljedeih cifara:

cifra I V X L C D M

vrijednost 1 5 10 50 100 500 1000

Pravila za njihovo zapisivanje su: ako nekoliko jednakih cifara stoji jedna uz drugu, onda im se vrijednosti

sabiraju (npr. XXX znai X + X + X, tj. zapisan je broj 30); ako su uzastopno zapisane dvije razliite cifre od kojih lijevo stoji ona s

veom vrijednou, onda se njihove vrijednosti sabiraju (npr. XVI znai X + V + I, tj. zapisan je broj 16);

ako su uzastopno zapisane dvije razliite cifre od kojih lijevo stoji ona s manjom vrijednou, onda se njena vrijednost oduzima od desno napisane cifre (npr. XC znai C X, tj. zapisan je broj 90).

Nepozicioni brojni sistem ima dva velika nedostataka: za zapisivanje veih bro-jeva treba uvoditi nove cifre i obavljanje aritmetikih operacija je veoma sloeno.

Rimski brojni sistem se u Evropi primjenjivao sve do 12. vijeka dok Arapi nisu donijeli dekadni (decimalni), koji je zbog lakeg izvoenja raunskih operacija postao osnovni brojni sistem.

Dekadni brojni sistem ubraja se u pozicione brojne sisteme.U pozicionim brojnim sistemima upotrebljava se ogranieni broj cifri, s tim

da njihova vrijednost zavisi od poloaja u zapisanom broju. Otuda su ti sistemi dobili svoj naziv.

Svaki pozicioni brojni sistem ima svoju osnovu (bazu) i cifre.

INFORMATIKA

MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 67

Osnova (baza) je broj razliitih cifara u odreenom brojnom sistemu. Najvea cifra u sistemu sa bazom b je b-1.

Osnova pozicionog brojnog sistema moe biti bilo koji broj, ali su uz dekadni brojni sistem najpoznatiji brojni sistemi binarni, oktalni i heksadekadni, zbog svoje primjene u informatici.

Brojni sistem Osnova CifreNajvea

cifra

DEKADNI 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 9

BINARNI 2 0, 1 1

OKTALNI 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 7

HEKSADEKADNI 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F F

U sljedeoj tabeli prikazani su naini zapisivanja prirodnih brojeva u razliitim brojnim sistemima:

prirodni broj

rimski brojevi

dekad-ni zapis

bina-rni zapis

ok-talni zapis

heksadekad-ni zapis

nula 0 0 0 0

jedan I 1 1 1 1

dva II 2 10 2 2

tri III 3 11 3 3

etiri IV 4 100 4 4

pet V 5 101 5 5

est VI 6 110 6 6

sedam VII 7 111 7 7

osam VIII 8 1000 10 8

devet IX 9 1001 11 9

deset X 10 1010 12 A

jedanaest XI 11 1011 13 B

dvanaest XII 12 1100 14 C

trinaest XIII 13 1101 15 D

etrnaest XIV 14 1110 16 E

petnaest XV 15 1111 17 F

Dekadni brojni sistem. Osnova dekadnog sistema je broj 10, cifre pomou ko-jih zapisujemo brojeve su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, i 9. To je sistem u kojem mi od davnih vremena pa sve do danas raunamo, a razlog je jednostavan ovjek je poeo raunati uz pomo 10 prstiju na rukama.

68 MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 69

Binarni brojni sistem. Baza binarnog brojnog sistema je broj 2 to znai da se u tom sistemu koriste samo dvije cifre: 0 i 1. To je sistem pomou kojeg rade rau-nari. Zato je ba binarni sistem pogodan za rad raunara, potpuno je shvatljivo. U odreenom trenutku elektrino kolo moe biti aktivno ili ne; ukljuen ili is-kljuen; ureaj moe biti pod naponom ili ne; estica moe biti namagnetizirana ili ne; laserski zrak se reflektuje ili ne.

Primjer:

1101101,01 = 1 26 + 1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 + 0 21 + 1 22 = (*) = 1 64 + 1 32 + 0 16 + 1 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1 + 0 0,5 + 1 0,25 = = 64 + 32 + 8 + 4 + 1 + 0,25 = = 109,25

Ovo zapisujemo 1101101,01(2) = 109,25(10).

Prevoenje prirodnih i decimalnih brojeva

iz jednog zapisa u drugi

Prevoenje u dekadni zapis. Postupak prevoenja binarnog (ili nekog drugog zapisa broja) u dekadni identian je odreivanju vrijednosti broja. Ipak, ponovimo to na sljedeim primjerima:

binarni dekadni

1. 1001101(2) = 126 + 025 + 024 + 123 + 122 + 021 + 120 = = 26 + 23 + 22 + 20 = = 64 + 8 + 4 + 1 = = 77(10)

2. 0,1011(2) = 12-1 + 02-2 + 12-3 + 12-4 = = 2-1 + 2-3 + 2-4 = = 0,5 + 0,125 + 0,0625 = = 0,6875(10)

3. 11010,11(2) = 124 + 123 + 022 + 121 + 020 + 12-1 + 12-2 =

= 24 + 23 + 21 + 2-1 + 2-2 = = 16 + 8 + 2 + 0,5 + 0,25 = = 26,75(10)

oktalni dekadni

4. 734,02(8) = 782 + 381 + 480 + 08-1 + 28-2 =

= 764 + 38 + 41 + 20,015625 = = 448 + 24 + 4 + 0,03125 = = 476,03125(10)

INFORMATIKA

MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 69

heksadekadni dekadni

5. 1A3E,D(16) = 1163 + 10162 + 3161 + 14160 + 1316-1 =

= 4096 + 10256 + 316 + 141 + 130,0625 = = 4096 + 2560 + 48 + 14 + 0,8125 = = 6718,8125(10)

Prevoenje iz dekadnog zapisa u neki drugi

Prilikom pretvaranja iz dekadnog sistema u neki drugi potrebno je razlikovati dva sluaja:

broj je prirodan, broj je decimalan, jer se i postupak prevoenja razlikuje.

dekadni binarni

1. 77(10) = ? 77 : 2 = 38 1 38 : 2 = 19 0 19 : 2 = 9 1 9 : 2 = 4 1 4 : 2 = 2 0 2 : 2 = 1 0 1 : 2 = 0 1

Zaustavljamo se kada dobijemo 0 kao rezultat dijeljenja.Neto jednostavniji zapis:

77 138 019 1 9 1 4 0 2 0 1 1 0

Preostaje nam da dobijene ostatke prepiemo (odozdo prema gore): 77(10) = 1001101 (2)

2. 0,6875(10) = ? (2) 0,6875 2 1,375 0,375 2 0,75 2 1,5 0,5 2 1,0

Zaustavljamo se kada se iza decimalne take pojavi samo 0 ili kad pronaemo period razlomka ili kad postignemo zadatu tanost.

70 MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 71

Preostaje nam da dobijene cijele dijelove prepiemo (odozgo prema dolje):

0,6875(10) = 0,1011(2)

3. 26,75(10) = ? (2)Posebno prevedemo cijeli dio broja, a posebno decimalni dio, pa ih saberemo:

26 0 13 1 6 0 3 1 1 1 0 26(10) = 11010(2)

0,75 2 1,5 0,5 2 1,0

0,75(10) = 0,11(2)

Dakle, 26,75(10) = 11010,11(2)

dekadni oktalni

Postupak je potpuno isti, samo se dijeli (odnosno mnoi) s osnovom 8.

4. 476,03125(10) = ? (8)

476 : 8 = 59 4 59 : 8 = 7 3 7 : 8 = 0 7 476(10) = 734(8)

0,03125 8 0,25 8 2,00

0,03125(10) = 0,02(8)

Dakle, 476,03125(10) = 734,02(8)

dekadni heksadekadni

Postupak je identian prethodnom, samo se dijeli (odnosno mnoi) s osnovom 16. Pritom se umjesto dobijenih ostataka (ili cijelih dijelova) 10, 11, 12, 13, 14 i 15, piu redom A, B, C, D, E i F.

INFORMATIKA

MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 71

5. 6718,8125(10) = ? (16) 6718 : 16 = 419 14 = E 419 : 16 = 26 3 26 : 16 = 1 10 = A 1 : 16 = 0 1

6718(10) = 1A3E(16)

0,8125 16 D = 13,0

0,8125(10) = 0,D(16)

Dakle, 6718,8125(10) = 1A3E,D(16)

Prevoenje izmeu binarnog, oktalnog i

heksadekadnog zapisa

binarni oktalni, heksadekadni

1. Prevedi broj 1001101(2) u oktalni zapis. To moemo uiniti na dva naina:Prvi nain - prevoenjem binarnog broja u dekadni:

1001101(2) = 126 + 025 + 024 + 123 + 122 + 021 + 120 =

= 26 + 23 + 22 + 20 = = 64 + 8 + 4 + 1 = = 77(10)

a zatim prevoenjem dobijenog dekadnog broja u oktalni:

77 : 8 = 9 5 9 : 8 = 1 1 1 : 8 = 0 1

77(10) = 115(8)

Dakle, 1001101(2) = 115(8)

72 MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 73

Drugi nain je puno jednostavniji i bri.Budui da je 8 = 23, cifre binarnog broja grupiemo po tri poevi od nultog

mjesta i svaki dobijeni broj posebno pretvorimo u oktalni zapis:1001101(2) = 001|001|101 = 115(8) 115Sljedee tablice mogu nam dosta olakati ovakvo pretvaranje:

binarni zapis

oktalni zapis

binarni zapis

heksadekadni zapis

binarni zapis

heksadekadski zapis

000 0 0000 0 1000 8

001 1 0001 1 1001 9

010 2 0010 2 1010 A

011 3 0011 3 1011 B

100 4 0100 4 1100 C

101 5 0101 5 1101 D

110 6 0110 6 1110 E

111 7 0111 7 1111 F

2. Prevedi broj 110100110,111001(2) u oktalni zapis.

110100110,111001(2) = 110|100|110|,111|001 = 646,71(8)

3. Prevedi broj 110100110,111001(2) u heksadekadni zapis.

110100110,111001(2) = 0001|1010|0110|,1110|0100 = 1A6,E4(16)

Budui da je 16 = 24 cifre, binarnog broja grupiemo po etiri poevi od nul-tog mjesta i svaki dobijeni broj pojedinano pretvorimo u heksadekadni zapis.

Kao to se vidi na ovom primjeru, uvijek nam je lake ako dodamo potreban broj nula ispred i iza zadatog broja.

oktalni, heksadekadni binarni

4. Prevedi broj 1507,2(8) u binarni zapis.Postupak je sada obrnut: svaku pojedinu cifru pretvorimo u binarni zapis.Obratite panju: svaka cifra mora biti zapisana s tri bita (dakle, cifru 2 zapi-

sujemo kao 010).

1507,2(8) = 001|101|000|111|,010 = 1101000111,01(2)

Suvine nule ispred i iza broja mogu se izbaciti.

5. Prevedi broj A13D,05(16) u binarnii zapis.Postupak je identian prethodnom primjeru, samo se svaka cifra zapisuje s

etiri bita.

A13D,05(16) = 1010|0001|0011|1101|,0000|0101 = 1010000100111101,00000101(16)

INFORMATIKA

MATEMATIKE I LOGIKE OSNOVE RADA RAUNARA 73

oktalni heksadekadni i obrnuto

6. Prevedi broj 7052,13(8) u heksadekadni zapis.Najlake i najbre je oktalni zapis prevesti u binarni, a binarni zatim u hek-

sadekad