Calcul différentiel et intégral - ?· Calcul différentiel et intégral 1. PRIMITIVES 1.1 Rappel Def…

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    10-Sep-2018

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  • Calcul diffrentiel et intgral 1. PRIMITIVES

    1.1 Rappel Def : F est une primitive de f sur l'intervalle I, si et seulement si

    F est drivable sur I et si, pour tout x de I, F x f x' ( ) ( )= . Th : ( Thorme d'existence ) Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Prop : Si F est une primitive de f alors, toute primitive de f peut s crire sous la forme F + k, o k est une constante relle 1.2 Primitives des fonctions usuelles

    Voir tableaux en annexe.

    2. INTEGRALES 2.1 Rappel

    Def : Si la fonction f est continue sur I , la quantit )()( aFbF est indpendante de la primitive F de f choisie. On l'appelle l'intgrale de f prise entre les valeurs a et b et on la

    note b

    adxxf )( qui se lit " Somme de a b de f(x)dx ".

    Notation : [ ] )()()()( aFbFxFdxxf bab

    a==

    On peut aussi crire [ ] )()()()( aFxFtFdttf xax

    a==

    Prop : La fonction x

    adttfx )( reprsente la primitive de la fonction )(xfx qui s'annule

    pour la valeur x a= . 2.2 Proprits Calculs

    =+c

    a

    c

    b

    b

    adxxfdxxfdxxf )()()( ( Relation de Chasles )

    =b

    a

    b

    adxxfkdxxfk )(.)(. ( Linarit )

    [ ] +=+b

    a

    b

    a

    b

    adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

    b

    adxxffba 0)( alors 0 et Si ( Positivit )

    Intgration d'une ingalit : Si pour tout [ ]bax ; on a )()( xgxf alors b

    a

    b

    adxxgdxxf )()( .

  • Ingalits de la moyenne :

    abkdxxfbakf

    abMdxxfabmbaMfm

    b

    a

    b

    a

    )( alors et Si 2.

    )()()( alors et Si 1.

    Valeur moyenne d'une fonction : Soit f une fonction continue sur un intervalle a b; alors on

    appelle valeur moyenne de f sur l'intervalle a b; la quantit =

    b

    adxxf

    ab)(

    1 .

    3. METHODES DE CALCUL

    Met 1 : Utilisation directe des formules connues. Met 2 : Dcomposition d'un fonction rationnelle en lments simples. Met 3 : Linarisation de polynmes trigonomtriques.( Formules d'Euler ) Met 4 : Intgration par parties. Met 5 : Changement de variable.

    Intgration par parties :

    Si u et v sont drivables sur [a; b ] alors [ ] =b

    aba

    b

    adxxvxuxvxudxxvxu )(')()()()()(' .

    Changement de variable : ( Application de la formule de drive dune fonction compose ) Si )(tx = et est drivable, ' continue, on pose dttdx )('=

    alors ( ) =v

    u

    b

    adtttfdttf )('.)()( avec )(ua = et )(vb =

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