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Cinemática em 1D
•Cinemática = Descrição Matemática do Movimento
•1D = Movimentos em linha reta, nada de curvas ou lombadas
•Para que isso? 𝐹 = 𝑚𝑎
Queda Livre Vertical
Movimento de Projéteis (queda-livre 2D)
O que é preciso para associar um número a uma posição ?
0 +10 m−8 m
ORIGEM e SENTIDO
A trajetória 𝑥(𝑡)
• Informa onde está a partícula (𝑥) a cada instante de tempo (𝑡).
• É a descrição matemática completa do movimento.
• Gostaria de saber não apenas ONDE a partícula está, mas também PARA ONDE ela está indo.
• De 𝑥(𝑡) podemos obter a velocidade 𝑣 e a aceleração 𝑎 da partícula em qualquer instante.
A interpretação do gráfico de 𝑥(𝑡)
𝑥 [m]
𝑡 [s]1 3
−1,5
2,0
0
Deslocamento ∆𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑥 𝑡2 − 𝑥(𝑡1)
0−3m +9m∆𝑥 = +12 m
0−3 m +9 m∆𝑥 = −12 m
Velocidade Média 𝑣𝑚𝑒𝑑 𝑡1, 𝑡2 = 𝑥 𝑡2 −𝑥(𝑡1)
𝑡2−𝑡1
0−3m +9m
0−3 m +9 m
∆𝑡 = 3 s
∆𝑡 = 6 s
𝑣𝑚𝑒𝑑 = +4m/s
𝑣𝑚𝑒𝑑 = −2m/s
𝑣𝑚𝑒𝑑 no gráfico de 𝑥(𝑡)
𝑥 [m]
𝑡 [s]1 3
−1,5
2,0
0
𝑣𝑚𝑒𝑑 0,1
𝑣𝑚𝑒𝑑 1,3
=−1,5 m
1,0 s= −1,5 m/s
=+3,5 m
2,0 s= +1,8 m/s
Velocidade Instantânea 𝑣 𝑡 = lim𝑑𝑡→0
𝑥 𝑡+𝑑𝑡 −𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑥 [m]
𝑡 [s]𝑡
𝑥(𝑡)
0
𝑥 [m]
𝑡 [s]𝑡0
𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑣 𝑡 > 0 𝑣 𝑡 < 0
Operacionalmente...
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑡3 → 𝑣 𝑡 = 3𝐴𝑡2
𝑥 𝑡 = 𝐴 sin(𝐵𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐴𝐵 cos(𝐵𝑡)
𝑥 𝑡 = 𝐶 exp(𝐷𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐶𝐷 exp(𝐷𝑡)
𝑣 𝑡 =𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑥 𝑡 = −15 m/s 𝑡 + (5 m/s2)𝑡2
𝑣 𝑡 = −15 m/s + 10 m/s2 𝑡
0
10
20
−10
𝑦 (m)
Aceleração instantânea 𝑎 𝑡 =𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡=
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑡3 → 𝑣 𝑡 = 3𝐴𝑡2 → 𝑎 𝑡 = 6𝐴𝑡
𝑥 𝑡 = 𝐴 sin(𝐵𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐴𝐵 cos 𝐵𝑡 → 𝑎 𝑡 = −𝐴𝐵2sin(𝐵𝑡)
𝑥 𝑡 = 𝐶 exp(𝐷𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐶𝐷 exp 𝐷𝑡 → 𝑎 𝑡 = 𝐶𝐷2exp(𝐷𝑡)
Inclinação e Concavidade de uma função
𝑑𝑓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑓 𝑑𝑥 − 𝑑𝑓 𝑑𝑥 −
𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 − 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 + 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 + 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 −
𝑓
𝑥
𝑓
𝑥
𝑓
𝑥
𝑓
𝑥
Os sinais de 𝑣 𝑡 e 𝑎 𝑡 e a inclinação e concavidade de 𝑥(𝑡)
v>
0
v<
0
v>
0a < 0 a > 0 a = 0
“acelerar” e “desacelerar” na linguagem comum
𝑥 𝑥
𝑡 𝑡𝑣 ↓ 𝑣 ↑ 𝑣 ↓ 𝑣 ↑
Partícula “acelera” (|𝑣| aumenta) quando 𝑎 e 𝑣 têm sinais iguais
Partícula “desacelera” (|𝑣| diminui) quando 𝑎 e 𝑣 têm sinais opostos
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
𝑥 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐶𝑡2
𝑣 𝑡 = 𝐵 + 2𝐶𝑡
𝑎 𝑡 = 2𝐶 𝐶 = 𝑎2
𝐵 = 𝑣0
𝐴 = 𝑥0
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +12𝑎𝑡2 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Applet “Kinematics 1D”
Equação de Torricelli
𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴
2 = 2𝑎(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
• Apenas para MUV• Útil em situações onde o tempo não está envolvido
Problema 1
Um tiro é disparado contra uma parede. A bala sai com velocidade 𝑣0 do cano e penetra uma distância ∆𝑥 na parede. Supondo que a bala executa um MUV dentro da parede, (a) qual a aceleração da bala e (b) quanto tempo a bala leva para parar?
∆𝑥
𝑣0
𝑎 = −𝑣02
2∆𝑥
∆𝑡 =2∆𝑥
𝑣0
0
Problema 2
Um carro está se movendo a 45 km/h quando o sinal fica vermelho. O tempo de reação do motorista é de 0,70 s e o carro desacelera a 7,0 m/s2 quando o freio é acionado. Calcule a distância que o carro percorre desde o momento em que o sinal fica vermelho até o carro parar, e o tempo decorrido até a parada.
MU MUV
∆𝑥 = 𝑣0𝑡𝑅 +𝑣02
2|𝑎|
∆𝑡 = 𝑡𝑅 +𝑣0|𝑎|
8,8 m11 m
0,70 s 1,8 s
Problema 3
Um carro está parado em um sinal. No exato instante em que o sinal abre, uma motocicleta passa pelo carro a 100 km/h. Qual é a menor aceleração constante do carro que o permite ultrapassar a moto antes do próximo sinal a 500 m de distância?
𝑎 ≥2𝑉2
𝐷
𝑉
𝑣0 = 0
3,09 m/s2
0 𝐷
Material usado em aula
O applet kinematics_1D pode ser baixado no site do curso