CINTICA DE LA PARTCULA Grupo 2IntroduccinLa Dinmica estudia las
relaciones entre los movimientos de los cuerpos y las causas que
los provocan, en concreto las fuerzas que acten sobre ellos. Aqu
estudiaremos la Dinmica desde el punto de vista de la Mecnica
Clsica.Un avance muy importante se debi a Galileo Galilei (1564
1642) quin introdujo el Mtodo Cientfico, que ensea que no siempre
se debe creer en las conclusiones intuitivas basadas en la
observacin inmediata, pues esto lleva a menudo a equivocaciones.
Galileo realiz un gran nmero de experiencias en las que se iba
cambiando ligeramente las condiciones del problema y midi los
resultados en cada caso. De esta manera pudo extrapolar sus
observaciones hasta llegar a entender un experimento ideal. En
concreto, observ cmo un cuerpo que se mueve a velocidad constante
sobre una superficie lisa se mover eternamente si no hay rozamiento
ni otras acciones externas sobre l.Inmediatamente se present otro
problema: Si la velocidad no lo revela, qu parmetro del movimiento
indica la accin de fuerzas exteriores? Galileo respondi tambin a
esta pregunta, pero Newton (1642 1727) lo hizo de manera ms
precisa: No es la velocidad sino su variacin la consecuencia
resultante de la accin de arrastrar o empujar un objeto.Esta
relacin entre fuerza y cambio de velocidad (aceleracin) constituye
la base fundamental de la Mecnica Clsica. Fue Isaac Newton (hacia
1690) el primero en dar una formulacin completa de las leyes de la
Mecnica. Y adems invent los procedimientos matemticos necesarios
para explicarlos y obtener informacin a partir de ellosLa primera y
tercera leyes de Newton del movimiento se emplearon de manera
amplia en esttica para estudiar cuerpos en reposo y las fuerzas que
actan sobre ellos. Estas dos leyes tambin se utilizan en dinmica;
en realidad, son suficientes para el estudio del movimiento de
cuerpos que no tienen aceleracin. Sin embargo, cuando los cuerpos
estn acelerando, esto es, cuando cambia de magnitud o la direccin
de su velocidad, es necesario recurrir a la segunda ley de Newton
para relacionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas que actan
sobre l.En este captulo se estudiar la segunda ley de Newton y se
aplicar al anlisis del movimiento de partculas. Como se establecer
ms adelante, si la resultante de las fuerzas que acta sobre la
partcula no es cero, sta tendr una aceleracin proporcional a la
magnitud de la resultante y en la direccin de esta fuerza
resultante. Adems es posible utilizar el cociente entre las
magnitudes de la fuerza resultante y la aceleracin para definir la
masa de la partcula.
ObjetivosObjetivo GeneralEl principal objetivo de esta exposicin
es expresar a nuestros compaeros de clase a cerca cmo se aplica la
Cintica en una partcula y sentar las bases de los captulos
siguientes a exponer.Objetivos EspecficosEstudiar las fuerzas que
provocan una alteracin a una partcula ya sea de estado de reposo a
movimiento, o de movimiento constante a movimiento
aceleradoFormular la segunda Ley de Newton, y definir masa y
peso.Definir la ecuacin del movimiento respecto a la segunda ley de
Newton para una y varias partculas.Analizar la ecuacin de
movimiento de una partcula en distintos Sistemas de Coordenadas
(Cartesianas, Tangencial y Normal, y Cilndricas)Definir la Ley de
la Atraccin Gravitacional de los Cuerpos de Newton (4 Ley)
Definiciones ImportantesAntes de enunciarlas, introduciremos con
precisin los conceptos de gravedad, masa, peso y fuerza, que son
bsicos en ellas:GravedadEs la fuerza de atraccin que se ejerce
entre todos los objetos, tanto de la Tierra como los del Universo,
y que explica incluso las formas que adoptan las galaxias.MasaEs el
parmetro caracterstico de cada objeto que mide su resistencia a
cambiar su velocidad. Es una magnitud escalar y aditiva. La masa
permanece, sin importar la cantidad de fuerza que se le ponga.
(Mecnica Clsica)Esto nos permite diferenciar la masa del
peso.PesoEl peso depende tanto de la cantidad de masa como de la
gravedad. Esto significa que, aunque una persona pese menos en la
luna (ya que tiene menor gravedad que la Tierra), su masa contina
siendo la misma.
FuerzaTodos tenemos un concepto intuitivo de qu es una fuerza.
Aunque dar una definicin rigurosa y precisa no es sencillo, s que
tiene unas propiedades bsicas observables en la vida cotidiana: Es
una magnitud vectorial. Las fuerzas tienen lugar en parejas. Una
fuerza actuando sobre un objeto hace que ste o bien cambie su
velocidad o bien se deforme. Las fuerzas obedecen al principio de
superposicin: varias fuerzas concurrentes en un punto dan como
resultado otra fuerza que es la suma vectorial de las
anteriores.Para medir fuerzas en los laboratorios se utilizan
dinammetros. Un dinammetro es un dispositivo formado por un muelle
y un cilindro que sirve de carcasa. Un puntero o aguja indica sobre
una escala de grado de deformacin del muelle cuando sobre l acta
una fuerza. Generalmente la escala que utiliza es de tipo lineal
porque el muelle se construye para que la fuerza ejercida y
deformacin sean directamente proporcionales.
Tipos de FuerzasFUERZAS DE CONTACTO1. Fuerza NormalSe presenta
cuando hay contacto entre dos superficies y es perpendicular a la
superficie y tiene igual magnitud pero direccin opuesta a la fuerza
inicial.
2. Fuerza de TensinSe presenta al aplicarle una fuerza al
extremo de una cuerda o cable y la tensin se trasmite por toda la
longitud del mismo.3. Fuerza de FriccinSe presenta cuando hay
contacto entre dos superficies que se deslizan entre s y siempre se
oponen al movimiento de stas.La friccin se debe a la resistencia
que las superficies tienen por su aspereza.
4. Fuerza ElsticaSe presenta en los muelles, resortes o aquellos
cuerpos que tienen la capacidad de deformarse ante la presencia de
una fuerza y luego recuperar su forma inicial.
FUERZAS DE CAMPO
1. Fuerza ElectromagnticaEs de carcter doble, ya que es a la vez
una fuerza elctrica y tambin magntica. Tiene su origen en el
interior del tomo.2. Fuerza Nuclear Fuerte y DbilSon fuerzas que
ocurren solamente en el interior del ncleo del tomo.3. Fuerza
GravitacionalPoco tiempo despus de formular sus tres leyes del
movimiento, Newton postul una ley que rige la atraccin mutua entre
partculas. En forma matemtica est ley se expresa como:
Donde:: Fuerza de atraccin entre las dos partculas: Constante de
gravitacin universal; de acuerdo con pruebas experimentales : Masa
de cada una de las dos partculas.: Distancia entre los centros de
las dos partculas.En caso de una partcula localizada cerca de la
superficie terrestre, la nica fuerza gravitatoria de magnitud
considerable es la que existe entre la Tierra y la partcula. Esta
fuerza se denomina Peso y para nuestro propsito, ser la nica fuerza
gravitatoria considerada.Su Frmula est dada por:
Por comparacin con , denominamos a como la aceleracin de la
gravedad. En la mayora de los clculos de ingeniera equivale a:
Segunda Ley del Movimiento de NewtonLa segunda ley de Newton se
puede enunciar de la siguiente manera:Si la fuerza resultante que
acta sobre una partcula no es cero, la partcula tendr una
aceleracin proporcional a la magnitud de la resultante y en la
direccin de esta fuerza resultante. La segunda ley de movimiento de
Newton se comprende mejor al imaginar el siguiente experimento: una
partcula se somete a una fuerza , de direccin constante y magnitud
constante F1. Bajo la accin de esa fuerza, se observa que la
partcula se mueve en lnea recta y en la direccin de la fuerza
(figura 1a). Al determinar la posicin de la partcula en diferentes
instantes, se encuentra que su aceleracin tiene una magnitud
constante . Si el experimento se repite con fuerzas , o de
diferente magnitud o direccin (figura 1b y 1c), se descubre que
cada vez que la partcula se mueve en la direccin de la fuerza que
acta sobre ella y que las magnitudes , de las aceleraciones son
proporcionales a las magnitudes , de las fuerzas
correspondientes.
El valor constante que se obtiene para el cociente de las
magnitudes de las fuerzas y aceleraciones es caracterstico de la
partcula que se considera; se denomina la masa de la partcula y se
denota mediante . Cuando sobre una partcula de masa m acta una
fuerza , la fuerza y la aceleracin a de la partcula deben
satisfacer entonces la relacin
Esta relacin proporciona una formulacin completa de la segunda
ley de Newton; no slo expresa que la magnitud de y son
proporcionales, sino tambin (puesto que m es un escalar positivo)
que los vectores y tienen la misma direccin (figura 12.2). Debe
advertirse que la ecuacin sigue cumplindose cuando no es constante
sino que vara con el tiempo de magnitud o direccin. Las magnitudes
de y permanecen proporcionales, y los dos vectores tienen la misma
direccin en cualquier instante determinado. Sin embargo, en
general, no son tangentes a la trayectoria de la partcula.Cuando
una partcula se somete de manera simultnea a varias fuerzas, la
ecuacin debe sustituirse por
Donde representa la sumatoria, o resultante, de todas las
fuerzas que actan sobre la partcula.
Ecuacin del movimiento para un Sistema de PartculasLa ecuacin
del movimiento se ampliar ahora para un sistema de partculas
situado dentro de una regin cerrada del espacio, como se muestra en
la figura a. En particular, no existe ninguna restriccin en cuanto
a la forma en que las partculas estn conectadas, por lo que el
siguiente anlisis se aplica igualmente bien al movimiento de un
sistema lquido, slido o gaseoso.Los diagramas de cuerpo libre y
cintico de la partcula se muestra en la figura b. Al aplicar la
ecuacin de movimiento:;
Cuando se aplica la ecuacin de movimiento a cada una de las dems
partculas del sistema, se obtienen ecuaciones similares. Y, si
todas estas ecuaciones se suman vectorialmente, obtenemos:
Diagrama de Cuerpo Libre (DCL)DefinicinEs aquel diagrama donde
se representan todas las fuerzas, producto de las interacciones de
un cuerpo con otros.A continuacin les presentamos algunos ejemplos
de DCL:
Segunda ley de Newton en Sistemas de ReferenciaSegunda Ley de
Newton: Coordenadas RectangularesCuando una partcula se mueve con
respecto a un marco de referencia inercial , las fuerzas que actan
sobre la partcula, lo mismo que su aceleracin, puede expresarse en
funcin de sus componentes . Al aplicar la ecuacin del movimiento
tenemos:;
Para que esta ecuacin se satisfaga, las componentes respectivas
del lado izquierdo deben ser iguales a los componentes
correspondientes del lado derecho. Por consiguiente, podemos
escribir las tres ecuaciones escalares siguientes:
Segunda Ley de Newton: Coordenadas Normales y TangencialesCuando
una partcula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva
conocida, su ecuacin de movimiento puede escribirse en las
direcciones tangencial, normal y binomial. Observe que la partcula
no se mueve en la direccin binomial, puesto que est limitada a
moverse a lo largo de la trayectoria. Tenemos:
Esta ecuacin se satisface siempre que:
Segunda Ley de Newton: Coordenadas CilndricasCuando todas las
fuerzas que actan sobre una partcula se descomponen en componentes
cilndricos, es decir, a lo largo de las direcciones de los vectores
unitarios , la ecuacin de movimiento puede expresarse como:
Para que esta ecuacin se satisfaga, requerimos:
AplicacionesEjercicio N 01El embalaje de mostrado descansa sobre
una superficie horizontal cuyo coeficiente de friccin cintica es .
Si el embalaje se somete a una fuerza de traccin de como se
meustra, determinar su velocidad en a partir del punto de
reposo.Solucin
Resolviendo las dos ecuaciones tenemos:Segunda ecuacin:
Reemplazando la Segunda en la Primera Ecuacin:
Cinemtica:
Ejercicio N 02Si el bloque de se desliza hacia abajo del plano a
una velocidad constante cuando , determine su aceleracin cuando
.Solucin:Ecuacin del movimiento para el primer caso:
Ecuacin del movimiento para el segundo caso
Ejercicio N 03Determine el ngulo de inclinacin de la pista para
que las llantas de los autos de carrera mostrados no dependan de la
friccin para que no se deslicen hacia arriba o hacia debajo de la
pista. Suponga que el tamao de loa automviles es insignificante,
que su masa es y se desplazan alrededor de la curva de radio a una
rapidez constante de .SolucinDiagrama de Cuerpo Libre: Como se
muestra en la figura de abajo y como se enunci en el problema, en
el automvil no acta ninguna fuerza de friccin. En este caso
representa la resultante del suelo en las cuatro ruedas. Como puede
calcularse, las incgnitas son y Ecuacin del Movimiento:
Dividimos ambas ecuaciones y obtenemos:
Ejercicio N 04
Si el motor enrolla el cable con una aceleracin de , determine
las reacciones en los soportes y . La viga tiene una masa uniforme
de y el embalaje una de . Ignore la masa del motor y las
poleas.
SolucinDiagrama de Cuerpo Libre
Sin embargo
Ejercicio N 05La lata lisa de es guiada a lo largo de la
trayectoria circular por el brazo. Si este gira con una velocidad
angular y una aceleracin angular en el instante , determine la
fuerza que ejerce la gua en la lata. El movimiento ocurre en el
plano horizontal.Solucin
Usando al mismo tiempo la derivada, obtenemos:
Ecuacin del movimiento:
Ejercicio N 06
Si el motor enrolla el cable con una aceleracin de , determine
las reacciones en los soportes y . La viga tiene una masa uniforme
de y el embalaje una de . Ignore la masa del motor y las
poleas.
SolucinDiagrama de cuerpo libre
Ejercicio N 07La flecha de pasa a travs de una chumacera lisa en
. Inicialmente, los resortes, que estn enrollados alrededor de la
flecha, no lo estn cuando se aplica fuerza alguna a la flecha. En
esta posicin y la flecha est en reposo. Si se aplica una fuerza
horizontal , determine la rapidez de la flecha en el instante y .
Los extremos de los resortes estn sujetos a la chumacera en y las
tapas en y .
Solucin
Ejercicio N 08Supongamos que es posible perforar un tnel a travs
de la Tierra desde la ciudad hasta una ciudad como se muestra. Por
la teora de la gravitacin, cualquier vehculo de masa dentro del
tnel se vera sometido a una fuerza gravitatoria dirigida siempre al
centro de la Tierra. La magnitud de esta fuerza es directamente
proporcional a su distancia al centro de la Tierra. De ah que, si
el vehculo pesa cuando se encuentra sobre la superficie terrestre,
entonces en una posicin arbitraria la magnitud de la fuerza en ,
donde , el radio de la Tierra. Si el vehculo se suelta desde el
punto de reposo cuando est en y , determine el tiempo requerido
para llegar a y la velocidad mxima que alcanza. Ignore el efecto de
la rotacin de la Tierra en el clculo y suponga que la densidad de
este es constante. Sugerencia: Escriba la ecuacin de movimiento en
la direccin , teniendo en cuenta que . Integre, mediante la relacin
cintica , luego integre el resultado por medio de .SolucinEcuacin
del Movimiento: Tenemos:
Cinemtica: Aplicando la ecuacin , tenemos:
Nota: el signo negativo indica que la velocidad est en oposicin
a la direccin que es positiva en Aplicando la ecuacin ,
tenemos:
En
Sustituyendo y en la ecuacin
La velocidad mxima ocurre en
Sustituyendo y en la ecuacin
Ing. MC. RODRGUEZ LLONTOP, Yrma
