Cours de Calcul Différentiel - math.univ-lyon1. pujo/coursCDpujo-2010.pdf · Cours de Calcul Différentiel…

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  • Universit Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Sant43, boulevard 11 novembre 1918 Spcialit Mathmatiques69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet

    pujo@math.univ-lyon1.fr

    Cours de Calcul DiffrentielTrs fortement inspir dune partie du cours de Sylvie Benzoni

    - Calcul Diffrentiel Et quations Diffrentielles -Cours Et Exercices Corrigs- Editions Dunod

    1

  • 2

  • Table des matires

    1 Prliminaires au calcul diffrentiel 51.1 Normes et espaces vectoriels norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Applications linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Applications multilinaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Sries dans un espace vectoriel norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Diffrentielle dune fonction 112.1 Diffrentiabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Quelques exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Oprations sur les diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.4.1 Drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Matrice Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.3 Oprateurs diffrentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3 Thorme des accroissements finis 193.1 Fonction dune variable relle valeurs relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Fonction dune valeur sur un espace E et valeurs relles . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Fonction dune variable relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Thorme gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4 Diffomorphismes 234.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Thorme dinversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Thorme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5 Diffrentielles dordre suprieur 275.1 Diffrentielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Exemples de diffrentielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Diffrentielle dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3

  • 6 Formules de Taylor 316.1 Formule de Taylor avec reste intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    6.1.1 Fonction dune variable relle valeur relle . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.2 Fonction dune variable relle valeur dans un espace de Banach . . . . . 316.1.3 Fonction dun espace de Banach valeur dans un espace de Banach . . . . 32

    6.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2.1 Fonction dune variable relle valeur dans un espace de Banach . . . . . 336.2.2 Fonction dune espace de Banach valeur dans un espace de Banach . . . 33

    6.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    7 Extrema 357.1 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    7.1.1 Fonctions dune variable relle valeurs relles . . . . . . . . . . . . . . . 357.1.2 Fonctions dun espace de dimension finie valeurs relles . . . . . . . . . 367.1.3 Fonctions dun espace de Banach valeurs relles . . . . . . . . . . . . . 36

    7.2 Extrema lis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2.1 Fonctions dun espace de dimension finie valeurs relles . . . . . . . . . 377.2.2 Fonctions dun espace de Banach valeurs relles . . . . . . . . . . . . . 37

    7.3 Convexit et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    8 Equations diffrentielles 418.1 Premire dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Rsolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    8.2.1 Equations linaires scalaires dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2.2 Equations linaires scalaires dordre 2 coefficients constants . . . . . . . 428.2.3 Equations linaires coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    8.3 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3.1 Inquations diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3.2 Inquations intgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    8.4 Thorme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.5 Solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4

  • Chapitre 1

    Prliminaires au calcul diffrentiel

    1.1 Normes et espaces vectoriels normsOn considre E et F deuxR-espaces vectoriels munis respectivement de la norme .E et .F .

    Bien souvent, ce seront des espaces de dimension FINIE de la forme E = Rn, F = Rp, munisdune norme quelconque

    xk = (n (ou p)

    j=1

    |xj|k)1/k pour x E (ou F ) avec k R, 1 k < ,

    ou bien x = sup1jn (ou p)

    |xj| pour x E (ou F ) avec k = .

    La plupart du temps on considrera la norme euclidienne (k = 2) ou bien lorsque lon sera dans lecas gnral et que les espaces E et F seront gaux, on notera simplement la norme ..Rappel 1 Norme. Nous rappelons quune norme sur un espace vectoriel est une APPLICATION

    . : E R+x 7 x

    telle que1. Pour tout x E, x = 0 x = 0,2. Pour tout (x, ) E R, x = ||x,3. Pour tout (x, y) E E, x + y x+ y.

    La donne du couple (E, .) sappelle un espace vectoriel norm.Rappel 2 Espace vectoriel norm. Soit (E, .) un espace vectoriel norm, et soit (xn)nN unesuite dlments de E. Alors

    1. (xn)nN converge dans E ssi il existe a E, tel que xn a n+

    0,

    2. (xn)nN est de Cauchy dans E

    ssi xp xq p,q+

    0,

    ssi pour tout > 0, il existe N N tels que pour tous p, q N, xp xq ,

    5

  • 3. (xn)nN est borne dans E ssi il existe M > 0, xn M , pour tout n N.

    ATTENTION : on a toujours (1.) (2.) (3.) mais les rciproques sont FAUSSES en gnral.

    Dfinition 1 Espace de Banach. On dit que E est un espace de Banach si toute suite de Cauchyde E converge dans E (autrement dit, on a (2.) (1.) dans les espaces de Banach).

    Exemple 1 Les espaces de Banach de rfrence sont1. R, Rn et de manire gnrale tout espace vectoriel de dimension finie, ainsi que tout sous-

    espace ferm dun espace de Banach.2. C (X,E) ={f : X E continue} muni de la norme uniforme (norme du sup) dfinie parf = sup

    xX|f(x)|

    1.2 Applications continues

    Dfinition 2 Application continue. Soit A E et f : A F . On dit que f est continue en a Asi pour tout > 0, il existe > 0, tel que pour tout x A

    x aE < f(x) f(a)F < .

    On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A.

    Dfinition 3 Application k-lipschitzienne. On dit que f : A F est k-lipschitzienne si pour tout(x, y) A2, on a

    f(x) f(y)F kx yE

    Remarque 1 On voit assez facilement que toute fonction lipschitzienne est continue sur son do-maine de dfinition.

    Proprit 1 Toute fonction construite partir de fonctions continues par combinaison linaire,multiplication, quotient (par exemple f/g mais alors il faut que le dnominateur ne soit pas nul)ou composition est encore continue.

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  • 1.3 Applications linaires continues

    Rappel 3 Application linaire continue.Soient E et F deux espaces vectoriels norms, u : E F linaire, u est continue si et seulementsil existe k > 0 tel que pour tout x E, u(x)F kxE .On note L (E; F ), lensemble des applications linaires continues de E dans F , cest un espacevectoriel norm. Et pour u L (E; F ) on pose

    |||u||| = supxEx6=0

    u(x)x ,

    = supxEx1

    u(x),

    = supxEx=1

    u(x),

    = inf{k > 0, pour tout x E, u(x) kx}.

    (1.1)

    Ceci dfinit une norme sur L (E; F ). On peut prouver (pas fait ici) que si F est un espace deBanach, alors L (E; F ) aussi.

    Remarque 2 Deux mthodes utiles.Soit u : E E un application linaire. Si on veut montrer que u est continue, on cherche k > 0,tel que u(x) kx, pour tout x E. Grce la troisime galit de ce qui prcde on endduit |||u||| k.Et si on sait que u est continue, grce la premire galit on dduit que pour tout x E,u(x) |||u|||x, et cest la meilleure ingalit.Par consquent, on procde comme suit :

    1. On majore u(x) pour obtenir une ingalit du type u(x) kx valable pour toutx E.Comme on la dit au-dessus, cela assure la continuit de u et le fait que |||u||| k.

    2. On espre que |||u||| = k. Reste donc prouver que |||u||| k.a. On peut chercher, sil existe x0 E, x0 6= 0 (resp. x0 1) tel que u(x0)x0 = k (resp.u(x0) = k). Dans ce cas, grce aux galits (1.1) on en dduit que |||u||| k.

    b. Sinon, on cherche une suite (xn)nN E, xn 6= 0 (resp.xn 1) telle queu(xn)xn kn+ (resp. u(xn) kn+),

    et on a donc avec les galits (1.1), pour tout n Nu(xn)xn |||u||| (resp. u(xn) |||u|||).

    En faisant tendre n vers linfini dans cette ingalit, on en dduit facilement que |||u||| k.

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  • N.B. : la mthode a. ne marche pas toujours car un sup nest pas forcment atteint. Par contre, lamthode b. marche toujours car un sup est toujours approch.

    Remarque 3 Cas particulier important. Si la dimension de E est FINIE et si u : E F estLINEAIRE, alors u est CONTINUE !

    1.4 Applications multilinaires continuesPour simplifier, on se limitera au cas BILINEAIRE, mais le passage aux cas MULTILINEAIREnest pas difficile.

    Dfinition 4 Application Bilinaire. Soit : EF G, o E, F et G sont des espaces vectorielsnorms. On dit que est bilinaire si pour tout x E, (x, .) : F G est linaire et si pour touty F , (., y) : E G est galement linaire.Nous avons alors le rsultat suivant.

    Rappel 4 Si est bilinaire, nous avons les quivalences suivantes :a. est continueb. il existe k 0 tel que pour tout x E et pour tout y F , (x, y) kxy.

    Dans ce cas,

    |||||| = sup(x,y)EF

    x,y 6=0

    (x, y)xy ,

    = inf{k > 0, pour tout x E, pour tout y F, (x, y) kxy}.N.B. : Et donc, si est bilinaire continue alors (x, y) ||||||xy.Remarque 4 Cas particulier important. Si les dimensions de E et F sont finies, alors toute ap-plication bilinaire de E F G est continue.

    1.5 Sries dans un espace vectoriel norm

    Rappel 5 Soient E un espace vectoriel norm et (xn)nN une suite dlments de E.1.

    xn converge dans E si et seulement si

    il existe S E tel que Sn =n

    k=1

    xk Sn+

    ou encore il existe S E tel que S n

    k=1

    xk 0n+

    .

    On note alors S =

    k=1

    xk.

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  • 2. Si E est une espace de Banach, on a alors

    xn converge dans E (Sn)nN est une suite de Cauchy q

    k=p

    xk 0p,q+

    .

    3. On a les quivalences suivantes

    xn converge normalement dans E

    xn converge dans R+ il existe M 0, pour tout n N,

    n

    k=1

    xk M.

    4. Si E est un espace de Banach, on a limplication suivantexn converge normalement dans E

    xn converge dans E.

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  • 10

  • Chapitre 2

    Diffrentielle dune fonction

    2.1 Diffrentiabilit

    Dfinition 5 Fonction diffrentiable. Soit U E un OUVERT non vide, et soit f : U F .On dit que la fonction f est diffrentiable en a U si et seulement sil existe une applicationLINEAIRE et CONTINUE L L (E, F ) telle que

    limxa

    f(x) f(a) L(x a)Fx aE = 0.

    On peut aussi crire, en posant x a = h

    limh0Eh 6=0E

    f(a + h) f(a) L(h)FhE = 0. (2.1)

    Lapplication L est alors unique, elle est appele diffrentielle de f en a et elle est note dfa.

    N.B : la dmonstration de lunicit est faite en cours.

    Proposition 1 Une fonction f : U F diffrentiable en un point x U (au sens de la dfinition(2.1)) est NECESSAIREMENT continue au point x.

    Preuve faite en cours.

    Remarque 5 Par un argument analogue la preuve de la proposition prcdente, nous obtenonsla continuit de L si lon a celle de f .

    Dfinition 6 On dit que la fonction f est DIFFERENTIABLE sur U si elle est diffrentiable enTOUT point x U . Dans ce cas, on appelle diffrentielle de f la fonction

    df : U L (E; F )x 7 dfx (2.2)

    11

  • Si de plus, df est continue on dit que f est CONTINUMENT DIFFERENTIABLE, ou de faonquivalente que f est de classe C 1.ATTENTION : bien remarquer que la formulation (2.2) correspond df alors que dfx est daprsla dfinition, linaire et continue de E dans F ! ! ! Ne pas confondre df et dfx.

    2.2 Quelques exemples importants1. Toute application constante est continment diffrentiable, de diffrentielle NULLE.2. Si f L (E; F ) (i.e. linaire continue), alors f est diffrentiable et dfa = f . Autrement dit,

    dfa(h) = f(h) pour tous a et h E.3. Si B : E E F est bilinaire, alors B est continment diffrentiable et on a, pour tous

    x1, x2, h1, h2 E,dB(x1,x2)(h1, h2) = B(x1, h2) + B(h1, x2).

    N.B. : la dmonstration est faite en cours.4. De faon plus gnrale, toute application multi-linaire continue est continment diffren-

    tiable. Et si lon dfinit n espaces de Banach E1, ..., En, alors le produit cartsien E =E1 ... En muni de la norme

    (x1, ..., xn)E = x1E1 + ... + xnEn ,est galement un espace de Banach. On note : E F une application n-linaire. Alorspour tout j {1, ..., n} et pour tout {x1, ..., xj1, xj+1, ..., xn} E1...Ej1Ej+1...En,lapplication partielle

    x Ej 7 (x1, ..., xj1, x, xj+1, ..., xn)est linaire et si est en plus continue, toutes les applications partielles sont continues et est continment diffrentiable, de diffrentielle donne par

    d(x1,...,xn)(h1, ..., hn) =n

    j=1

    (x1, ..., xj1, hk, xj+1, ..., xn).

    N.B. : la dmonstration est faite en cours.5. Une fonction g : U R F de variable relle est diffrentiable si et seulement si elle est

    drivable etdgx(h) = hg

    (x) quels que soient x U et h R.N.B. : Faire attention que h R est un scalaire alors que g(x) F est un vecteur en gnral.

    6. Inversement, quel que soit lespace de Banach E, si f : U E E est diffrentiable,alors quels que soient x U et h E, la fonction

    g : R Ft 7 g(t) = f(x + th)

    est drivable en t = 0, et g(0) = dfx(h). On dit alors que cest la drive de f dans ladirection h (si h est non nul).

    12

  • 7. Fonctions A VALEURS dans un espace produit. Cest une fonction de la forme

    f : U F = F1 ... Fnx 7 f(x) = (f1(x), ..., fn(x)).

    Cette fonction f est diffrentiable en x si et seulement si les fonctions f1, ..., fn sont diff-rentiables. Et dans ce cas,

    dfx(h) = (d(f1)x(h), ..., d(fn)x(h)).

    8. Fonctions DEFINIES SUR un espace produit. La situation ici, est un peu plus dlicate. Silon considre la fonction

    f : U E = E1 ... En Fx = (x1, ..., xn) 7 f(x).

    et que cette fonction est diffrentiable, alors les applications partielles

    xi 7 (x1, ..., xi1, xi, xi+1, ..., xn)

    sont diffrentiables, et si lon note dif leurs diffrentielles, on a

    df(x1,...,xn)(h1, ..., hn) =n

    i=1

    dif(x1,...,xn)(hi).

    N.B. : ATTENTION ! ici, la diffrentiabilit des applications partielles NIMPLIQUE PASncessairement la diffrentiabilit de f. On verra plus tard que si E1 = ... = En = Ret si les applications partielles sont CONTINUMENT DIFFERENTIABLES, alors f estCONTINUME...

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