Polycopié de cours. Introduction au calcul différentiel

Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007

Fonctions de plusieurs variables

et applications pour l’ingénieur

Polycopié de cours

Rédigé par Yannick Privat

Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.

e-mail : [email protected]

ii

Avant-Propos

Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables.Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bienconnus dans le cas des fonctions d’une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leursnombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principauxde développement :• l’optimisation (recherche d’extremums, minimisaton d’une énergie, etc.) ;• les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des

ondes, etc.) ;• l’intégration (calculs de moments d’inertie, de flux, etc.).

Travail personnel de préparation : le premier chapitre présente des pré-requis utilespour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l’étudier sérieusement pour lapremière séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous endiscutions en cours.

Yannick Privat

iii

iv

Table des matières

1 Introduction à l’étude des fonctions de plusieurs variables 1

1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Représentation graphique d’une fonction à deux variables . . . . . . 3

1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Rappel : dérivation d’une fonction de R dans R . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Fonction de n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Calculs de limites et continuité 11

2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Cas des fonctions de R2 dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

v

vi TABLE DES MATIÈRES

2.2.3 Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


3 Notion de différentiabilité 23

3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Fonctions f : Rn −→ Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Application différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.4 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.5 Expression explicite de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.6 Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Conséquences de la différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 35

4.1 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Différentiabilité des fonctions de Rn dans Rp . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Notion de C1-difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


5 Recherche d’extrema 43

5.1 Problèmes liés à la recherche d’extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1 Développement limité à l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.2 Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Caractérisation des points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.1 Hessienne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.2 Quelques notions d’Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

TABLE DES MATIÈRES vii


6 Introduction aux EDP 51

6.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1.1 Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires . . . . . . 51

6.1.2 Un exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.3 Équation différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . 52

6.1.3.1 Équations différentielles homogènes du premier ordre à co-efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.3.2 Théorème de structure des solutions . . . . . . . . . . . . 53

6.1.3.3 Équations différentielles homogène du second ordre à co-efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Compléments de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1 Composition des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.2 Exemple détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2.3 Quelques opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3.1 Repère polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.2 Changement de variables quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.3 Trois méthodes de résolution explicite d’EDP . . . . . . . . . . . . 60

6.3.3.1 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.3.2 Méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . . . 61


7 Transformée de Fourier 69

7.1 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.1.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2 Application à la résolution d’EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


8 Calcul d’intégrales doubles et triples 79

8.1 Calcul intégral dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1.1 Quelques méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1.2 L’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

viii TABLE DES MATIÈRES

8.1.3 Introduction aux intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.1.4 Visualisation graphique de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2.1 Intégrale double sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2.2 Intégrale double sur une partie bornée . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.2.3 Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.2.4 Changement de variable dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2.5 Changement de variable dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3 Exemples d’intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.1 Intégration par piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.3 Un exemple d’application en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . 89


A Formulaire de trigonométrie 93

B Limites 95

B.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.2 Limite d’un produit d’une fonction par une constante λ non nulle . . . . . 95

B.3 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.4 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

C Dérivées usuelles 97

D Primitives usuelles 99

E Applications linéaires, matrices et déterminant : rappels 101

E.1 Calcul matriciel dans R2, R3 et Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

E.2 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Chapitre 1

Introduction intuitive à l’étude des

fonctions de plusieurs variables

Ce chapitre a pour vocation d’initier la lecteur débutant aux objets que nous manipule-rons dans les chapitres qui vont suivre. Les définitions et principes seront présentés icid’un point de vue qualitatif ; ils seront revus, améliorés et rigoureusement introduits parla suite. Je ne prétends donc pas à un grand formalisme ni une grande rigueur. Je re-donne également quelques notions sur la dérivation des fonctions d’une variable car il estnécessaire de bien maîtriser ce concept si l’on souhaite comprendre la notion de dérivéepartielle.

1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles

1.1.1 Exemple mathématique et définition

Considérons un rectangle ABCD. On appelle x la longueur AB et y, la longueur BC. Onsuppose x > 0 et y > 0.

A B

CD

x

y

On appelle p(x, y), le périmètre de ABCD, A(x, y), l’aire de ce rectangle. On a alors :

p(x, y) = 2(x+ y) et A(x, y) = xy.

Définition 1.1. Produit cartésien.

• Le produit cartésien de deux ensembles E et F , noté E×F est l’ensemble des couplesdont le premier élément appartient à E et le second à F .

1

2CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L’ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

• Si E = F , on note E2 = E × E.• Cette définition se généralise aisément. Si E1, ..., En désignent n ensembles. On noteE = E1 × ...× En le produit cartésien défini par :

E = (e1, ..., en), tel que e1 ∈ E1, ..., en ∈ En .

Exemple : on définit par exemple l’ensemble N×R+. L’élément (2, π) appartient à N×R+.

Remarque : si on considère des ensembles finis (i.e. dont le nombre d’éléments de l’en-semble est fini), on appelle cardinal de l’ensemble, le nombre d’éléments de l’ensemble.Et, si E et F sont finis, on a :

card (E × F ) = card E × card F.

Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que lepérimètre de ABCD soit minimal sachant que son aire vaut 1. (problème d’Optimisation)

Vocabulaire : A et p sont des fonctions de deux variables à valeurs réelles. x et y sontles deux variables. Il est important de noter que x et y sont indépendantes, autrementdit, il n’existe pas d’application f : R

2 −→ R telle que f(x, y) = 0. On note :

p : R2 := R × R −→ R

(x, y) 7−→ p(x, y) = 2(x+ y)et A : R2 := R × R −→ R

(x, y) 7−→ A(x, y) = xy.

Ici, cet exemple prend tout son sens si x > 0 et y > 0. On écrira plutôt :

p :(R∗

+

)2:= R∗

+ × R∗+ −→ R∗

+

(x, y) 7−→ 2(x+ y).

1.1.2 Exemple en Physique

Il est bien rare que le modèle mathématique choisi par le physicien ne dépende que d’unparamètre. En Thermodynamique, par exemple, lorsque l’on considère une énergie (éner-gie interne U , cinétique Ec, etc.), on est souvent amené à étudier l’influence des paramètresT (température), P (pression) et V (volume).

Exemple 1 : loi de Boyle-Mariotte ou loi des gaz parfaits. (1670)

PV = nRT.

n désigne la quantité de matière contenue dans le volume V , tandis que R désigne laconstante des gaz parfaits.Si le volume du système physique varie en même temps que la température, notre étudeest justifiée. En général, on recherche l’équation d’état d’un système. (Relation entre lesparamètres d’état d’un système en équilibre macroscopique.)Elle s’écrit f(P, V, T ) = 0, où f est une fonction des trois variables P , V et T . Dans notrecas, on a : f(P, V, T ) = PV − nRT .

Exemple 2 : équation d’état de Van der Waals (Prix nobel de Physique, 1910).

1.1. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES À VALEURS RÉELLES 3

Pour une mole de gaz, on a la relation(P +

a

V 2

)(V − b) = RT . Cette relation tra-

duit l’existence de forces d’interaction entre les molécules de gaz, à la différence del’équation d’état des gaz parfaits. La fonction d’état s’écrit dans ce cas : f(P, V, T ) =(P +

a

V 2

)(V − b) − RT .

Définition 1.2. Soit D, une partie de R2, c’est à dire un ensemble de couples de réels(x, y).On appelle fonction de deux variables définie sur D, le procédé qui consiste à associerà chaque couple (x, y) de D un réel unique. On note généralement : f(x, y) = z.

On peut se représenter z comme une « altitude » définie en chaque point du plan de base.

1.1.3 Représentation graphique d’une fonction à deux variables

Définition 1.3. Soit f , une fonction de deux variables définie sur un domaine D. L’en-semble des points de coordonnées (x, y, z) avec z = f(x, y), pour (x, y) parcourant D estappelé « surface d’équation z = f(x, y) ».

Traduction : pour représenter une fonction de R dans R, on représente les points decoordonnées M(x, f(x)).

6

-

y

xx

f(x)CM

O

Fig. 1.1 – Représentation d’une fonction de R dans R

Pour représenter une fonction de R2 dans R, on représente les points de coordonnéesM(x, y, f(x, y)).Remarque : il arrive souvent que l’on note X = (x, y) pour désigner un élément de R2.On écrira par exemple :

f : R2 −→ R

X = (x, y) 7−→ xy.

Exemple : représentation de la surface d’équation z = x2 + y2.

On constate pour la construction graphique que l’intersection de la surface d’équationz = x2 + y2 et du plan d’équation z = k, pour k > 0 est un cercle de rayon

√k. En effet,

dans le plan xOy, le cercle de centre Ω(x0, y0) et de rayon R, décrit par l’ensemble despoints M de coordonnées (x, y) a pour équation :

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = R2.


6

-

+

x

y

z

O

x

y

z = f(x, y)

M

Fig. 1.2 – Représentation d’une fonction de R2 dans R

Le plan d’équation z = k, pour k réel, est parallèle au plan xOy.

1.2 Dérivées partielles

1.2.1 Rappel : dérivation d’une fonction de R dans R

Définition 1.4. On dit que f est dérivable en x0 de nombre dérivé L en x0 si, et seulement

si l’un ou l’autre des quotientsf(x) − f(x0)

x− x0

ouf(x0 + h) − f(x0)

hadmet une limite finie

respectivement quand x → x0 et h → 0. Dans ce cas, on notera f ′(x0) cette limite et ona :

f ′(x0) = limx→x0

f(x) − f(x0)

x− x0= lim

h→0

f(x0 + h) − f(x0)

h.

Interprétation graphique :

Remarque : nous avons préféré ne faire aucun rappel sur la notion de limite dans cechapitre pour nous concentrer exclusivement sur la notion de nombre dérivé. Dans lechapitre suivant, nous étendrons la notion de limite d’une fonction d’une variable au casmultidimensionnel. Nous procèderons alors aux rappels nécessaires théoriques. Cependant,pour bien aborder les calculs simples mis en œuvre dans ce chapitre, le lecteur pourra sereporter aux annexes : théorèmes sur les limites et dérivées usuelles.

1.2.2 Calcul de dérivées partielles

La dérivation d’une fonction d’une variable peut être généralisée. Les dérivées partiellesd’une fonction de deux variables x et y se calculent de la façon suivante :• par rapport à x : on considère que y est constant et on dérive la fonction comme fonction

d’une variable x.

1.2. DÉRIVÉES PARTIELLES 5

–10

–5

0

5

10

x

–10

–5

0

5

10

y

0

50

100

150

200

Fig. 1.3 – Représentation de la surface d’équation z = x2 + y2

6

-xx0 x0 + h

f(x0)

f(x0 + h)

C

pente de cette droite :f(x0 + h) − f(x0)

x − x0

y

Fig. 1.4 – Visualisation graphique du nombre dérivé

• par rapport à y : on considère que x est constant et on dérive par rapport à y.

Remarque et notations : la dérivée partielle de f par rapport à x est encore une fonc-

tion de deux variables. On la note∂f

∂x. De même, la dérivée partielle d’une fonction f

par rapport à y se note∂f

∂y.

Remarque : on entend souvent parler en Physique de la différentielle d’une fonctionf . On la note df . Nous donnerons ultérieurement un sens à cette notion. On a :

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy.


1.2.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur

Soit f : R −→ R. Nous savons définir (à la condition qu’elles existent...) f ′, f ′′, f ′′′, f (4),etc. Il s’agit des dérivées première, seconde, troisième et quatrième de f .Exactement de la même façon, il est aisé de définir :

• ∂2f

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x

): on dérive deux fois par rapport à x ;

• ∂2f

∂y2=

∂

∂y

(∂f

∂y

): on dérive deux fois par rapport à y ;

• ∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

): on dérive une fois par rapport à y, puis une fois par rapport à x ;

• ∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

): on dérive une fois par rapport à x, puis une fois par rapport à y ;

Exemple : g est la fonction définie sur R2 par : g(x, y) = x3ey.Si x est fixé, y 7−→ g(x, y) est bien infiniment dérivable sur R par rapport à x (fonctionusuelle classique) et si y est fixé, x 7−→ g(x, y) est encore infiniment dérivable sur R par

rapport à x. On a clairement :∂g

∂x(x, y) = 3x2ey,

∂g

∂y(x, y) = x3ey,

∂2g

∂x2(x, y) = 6xey,

∂2g

∂y2(x, y) = x3ey et

∂2g

∂x∂y(x, y) =

∂2g

∂y∂x(x, y) = 3x2ey.

Remarque : si f désigne une fonction d’une variable réelle x supposée dérivable surson ensemble de définition D, on fait la différence entre la fonction f ′, appelée fonctiondérivée de f , qui à un réel x ∈ D, associe le nombre dérivé de f en x, et f ′(x), qui est unnombre réel (nombre dérivé de f en x). Exactement de la même façon, si f désigne unefonction de deux variables dérivable par rapport à chacune de ses variables x et y sur un

ensemble D ⊂ R2, on fera la différence entre∂f

∂x, fonction dérivée partielle de f , qui, à

(x, y) ∈ D, associe le nombre∂f

∂x(x, y), appelé nombre dérivé de f en (x, y) par rapport à

la première variable, et∂f

∂x(x, y), le nombre dérivé lui-même.

1.3 Fonction de n variables

1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles

Ce sont les fonctions f : R3 := R × R × R −→ R

(x, y, z) 7−→ f(x, y, z).

Exemple : loi de Boyle-Mariotte.f(P, V, T ) = PV − RT (pour une mole). P , V et T sont bien sûr considérées indépen-

dantes. On définit de même que précédemment :∂f

∂P,∂f

∂Vet

∂f

∂T.

Si (pour l’instant), on ne se pose pas la question de la dérivabilité, et si f est une fonctiondéfinie sur un ensemble D ⊂ R3, on définit par exemple :

• ∂3f

∂x∂y2(x, y, z) =

∂

∂x

(∂

∂y

(∂f

∂y

))(x, y, z) : on dérive d’abord f deux fois par rapport

1.3. FONCTION DE N VARIABLES 7

à y, puis une fois par rapport à x.

• ∂3f

∂z3(x, y, z) =

∂

∂z

(∂

∂z

(∂f

∂z

))(x, y, z) : on dérive f trois fois par rapport à z.

Remarque : si f est une fonction de n variables, on généralise très simplement la mé-thode de dérivation précédente.

Exercice 1 : calculer les dérivées partielles ci-dessus.

Exercice 2 : on définit la fonction f par : f(x, y, z) = x3y4 + y−1z5.

Donner l’ensemble de définition de f , puis calculer∂f

∂x(x, y, z),

∂2f

∂x2(x, y, z),

∂2f

∂x∂z(x, y, z)

et∂3f

∂x∂y∂z(x, y, z).

1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles

Exemple : considérons la fonction f définie par : f(x, y, z) =

(x+ yxyz

). On peut encore

écrire : f : R3 −→ R2

(x, y, z) 7−→(f1(x, y, z)f2(x, y, z)

) , avec f1(x, y, z) = x+ y et f2(x, y, z) = xyz.

Ainsi, on a en quelque sorte décomposé une fonction de plusieurs variables à valeurs vec-torielles en plusieurs fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles.

Mise en œuvre pratique du calcul de dérivées partielles :

• ∂f

∂x(x, y, z) =

(∂f1∂x

(x, y, z)∂f2∂x

(x, y, z)

).

• ∂2f

∂x∂y(x, y, z) =

(∂2f1∂x∂y

(x, y, z)∂2f2∂x∂y

(x, y, z)

).

• etc.

Exercice : Donner l’ensemble de définition et de dérivabilité, puis calculer des dérivéespartielles premières et secondes des applications φ et ψ respectivement définies sur R3 etR

2 par :

φ(x, y, z) =

(x2

zx+ y

)et ψ(x, y) =

x+

√y

x− yxy

.

1.3.3 Généralisation

Soient n et p, deux entiers naturels non nuls. On définit l’espace Rn par l’ensemble deséléments s’écrivant sous la forme (x1, x2, ..., xn), avec x1 ∈ R, x2 ∈ R, ..., xn ∈ R. Rp sedéfinit exactement de la même façon. Si l’on souhaite généraliser la notion de fonctionde plusieurs variables, on peut noter par f une fonction de U ⊂ R

n dans Rp. U est un

ensemble contenu dans Rn. Dans ce cas, il existe p fonctions de U ⊂ Rn à valeurs dans R


que nous noterons f1, f2, ..., fp et telles que pour X = (x1, x2, ..., xn) ∈ U , on ait :

f(X) = f(x1, x2, ..., xn) =

f1(x1, x2, ..., xn)f2(x1, x2, ..., xn)

...fp(x1, x2, ..., xn)

.

Notations. Les différentes variables se notent traditionnellement de la façon suivante :• Dans R : x.

• Dans R2 : (x, y).

• Dans R3 : (x, y, z).

• Dans R4 : (x1, x2, x3, x4).

• Dans Rn, pour n ≥ 4 : (x1, ..., xn).

Remarque : soit f , une fonction de plusieurs variables : f : O ⊂ Rn −→ Rp, où Odésigne un ensemble inclus dans Rn.• Si p = 1, f s’appelle fonction numérique de n variables réelles.• Si p > 1, f s’appelle fonction vectorielle de n variables réelles.

1.4. EXERCICES DU CHAPITRE 9

1.4 Exercices du chapitre

Exercice 1.1 : On rappelle la loi de Boyle Mariotte, valable pour une mole de gaz parfait :PV = RT , où P désigne la pression du gaz, V son volume, R la constante des gaz parfaitset T la température du milieu.

1. Calculer∂P

∂Tet∂P

∂V.

2. Même question si l’on considère à présent la relation de Van der Waals, avec lesmêmes conventions que précédemment, et avec a et b réels :

(P +

a

V 2

)(V − b) = RT.

Exercice 1.2 : On considère la fonction définie pour tous (x, y) ∈ R2 par :

f(x, y) = x2 + 2x+ y2 + 4y + 5.

1. Montrer que : ∀(x, y) ≥ 0, f(x, y) ≥ 0.Démontrer qu’il existe un point qui minimise f(x, y).

2. Calculer∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y),

∂2f

∂x2(x, y),

∂2f

∂y2(x, y)

∂2f

∂x∂y(x, y) et

∂2f

∂y∂x(x, y).

Exercice 1.3 : On pose : f(x, y) =x+ y√x+

√y.

1. Déterminer l’ensemble de définition D de f .

2. Montrer que ∀(x, y) ∈ D, |f(x, y)| ≤ √x+

√y.

3. En déduire lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

4. Calculer∂f

∂x(x, y) et

∂f

∂y(x, y).

Exercice 1.4 : On considère la fonction f définie sur R2 par :

f(x, y) =x6 + y5

x4 + y4si (x, y) 6= (0, 0)

f(0, 0) = 0

En utilisant le même type de raisonnement que dans l’exercice précédent, prouver quelim

(x,y)→0f(x, y) = 0, i.e. que f est continue sur R2.

Exercice 1.5 : En se souvenant de la méthode utilisée pour tracer un paraboloïde derévolution, esquisser dans un repère (O;~i,~j,~k) la surface d’équation : z = x2+2x+y2−2y.

Exercice 1.6 : On considère la fonction f définie par :

f(x, y) = x2 + 5y2 − 4xy + 6y + 10.

1. Calculer∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y),

∂2f

∂x2(x, y),

∂2f

∂y2(x, y),

∂2f

∂x∂y(x, y) et

∂2f

∂y∂x(x, y).


2. Montrer que : ∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) − 1 ≥ 0.Démontrer qu’il existe un point qui minimise f(x, y).

3. On désigne par ∇f(x, y) le vecteur de coordonnées respectives∂f

∂x(x, y) et

∂f

∂y(x, y),

pour (x, y) ∈ R2.Résoudre l’équation ∇f = 0.

Exercice 1.7 : On appelle f la fonction définie par :

f(x, y, z) =

(x3 + zy3 + 1y2 + xz

).

1. Calculer∂f

∂x(x, y),

∂2f

∂z2(x, y),

∂2f

∂y∂z(x, y),

∂3f

∂z∂y2(x, y).

2. Calculer lim(x,y,z)→O

f(x, y, z).

Exercice 1.8 : On appelle f , la fonction définie sur R2 par :

f(x, y) = −9

2y2 + 4y + xy − 9

2x2 + 4x− 4.

1. Démontrer que, pour tous (x, y) ∈ R2, on a l’inégalité : xy ≤ 12(x2 + y2).

2. Démontrer que, pour tous (x, y) ∈ R2, on a l’inégalité : f(x, y) ≤ 0.En déduire une conséquence graphique pour la surface d’équation z = f(x, y).

3. Déterminer un plan de symétrie pour la surface d’équation z = f(x, y).

4. Calculer pour tous (x, y) ∈ R2,∂2f

∂x∂y(x, y) et

∂2f

∂y∂x(x, y).

Que remarque-t-on ?

Chapitre 2

Calculs de limites et continuité des

fonctions de plusieurs variables

2.1 Technique de recherche de limites

2.1.1 Cas réel

Dire que limx→a

f(x) = b, avec a et b réels, revient à dire que limx→a

|f(x)− b| = 0. Graphique-

ment, cela signifie que lorsque l’on s’approche de a (x → a), la courbe de f se rapprochede la droite d’équation y = b.

-

6

y = β

x

yx = α

C

O a

f(a)

Fig. 2.1 – Exemple à méditer

On a : limx→+∞

f(x) = β, limx→a

f(x) = f(a), limx→α−

f(x) = −∞ , limx→α+

f(x) = +∞, limx→−∞

f(x) =

0.

11

12 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ

Vraie définition de la limite : on suppose a et b réels.

limx→a

f(x) = b⇐⇒ (∀ε > 0, ∃η > 0 /|x− a| ≤ η =⇒ |f(x) − b| ≤ ε).

En pratique, on utilise peu cette définition.

2.1.2 Formes indéterminées

Il est bien important de connaître les formes indéterminées. En effet, il s’agit de cas un peulitigieux pour lesquels on ne peut rien affirmer a priori. On est donc contraint d’utiliserd’autres techniques.

Formes indéterminées :∞∞ , 0 ×∞, (−∞) + (+∞),

0

0.

Pour les autres cas, on se reportera au tableau fourni en annexe.

Quelques exemples très simples : on écrira à chaque fois les limites sous réserveque celles-ci existent...

1. limx→π

tan(x

4

). x 7−→ tan

(x4

)est définie sur [0, 2π[ et tan

(π4

)= 1, donc lim

x→πtan

(x4

)=

1. (Nous y reviendrons plus tard.)

2. limx→0

sin x

x. On a une forme indéterminée du type

0

0.

3. limx→+∞

(x2 − x). On a une forme indéterminée du type (+∞) + (−∞).

2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations

2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle

Théorème 2.1. La limite d’une fonction polynôme en ±∞ est la limite du terme de plushaut degré.

Exemple : limx→+∞

(x2 − x) = limx→+∞

x2 = +∞.

Rappelons de plus qu’une fonction rationnelle se définit comme un quotient de fonctionspolynômes.

Théorème 2.2. La limite d’une fonction rationnelle en ±∞ est la limite du quotient destermes de plus haut degré.

Par exemple limx→+∞

x2 + 3x− 4

2x2 + 4x+ 4= lim

x→+∞

x2

2x2=

1

2.

En pratique, on étudie rarement la limite en ±∞ d’une fonction de plusieurs variables,mais nous étudierons ultérieurement des applications de ces théorèmes dans le cas multi-dimensionnel.

2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES 13

2.1.3.2 Technique du nombre dérivé

On rappelle que si f est une fonction dérivable en a, alors f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)

x− a.

Exemple : posons f(x) = sin x. Alors :f(x) − f(0)

x− 0=

sin x

x, puis

sin x

x−−→x→0

(sin)′(0) =

cos 0 = 1.

Exercice : calculer limx→0

tan x

x.

Application importante : on définit sur R2\(x,−x), x ∈ R la fonction f par :

f(x, y) =sin(x+ y)

x+ y.

Posons u = x+ y. u −−−−−−→(x,y)→(0,0)

0, et d’après le calcul précédent f(x, y) −−−−−−→(x,y)→(0,0)

1.

Cette technique peut être étendue et généralisée. C’est le principe des développementslimités.

2.1.3.3 Développements limités

Il existe une autre caractérisation de la dérivabilité.

Théorème 2.3. f est dérivable en a de nombre dérivé f ′(a) si, et seulement s’il existeune fonction ε telle que pour tout h tel que a+ h soit élément de l’ensemble de définitionde f , on ait :

f(a+ h) = f(a) + hf ′(a) + hε(h), avec limh→0

ε(h) = 0.

C’est ce que l’on appelle une approximation du premier ordre de f en a. La condition(nécessaire et suffisante) pour que l’on puisse trouver une approximation du premier ordred’une fonction f en un point a est que la fonction f soit dérivable en a. Cela traduit lefait que l’on peut approximer localement, c’est à dire dans un voisinage de a, f(a + h)par f(a) + hf ′(a) avec une imprécision de hε(h).

Remarque 1 : si l’on procède à un changement de variable, en posant x = a + h,on a que f est dérivable en a si, et seulement s’il existe une fonction ε telle que :

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)ε(x− a), avec limx→a

ε(x− a) = 0.

On reconnaît bien sûr l’équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a) + (x −a)f ′(a), dans les premiers termes du développement.

Remarque 2 : voisinage d’un point ou égalité locale.Le développement d’une fonction au premier ordre est une égalité locale. C’est-à direque l’on peut considérer (définition de limite) que si l’on est suffisamment proche de a,l’approximation : f(a + h) ' f(a) + hf ′(a) a lieu. Mathématiquement, cela s’écrit : siε > 0 est fixé, on peut trouver η > 0 tel que : |h| < η, (c’est-à dire a + h ∈]a − η, a+ η[)implique : |f(a+ h) − f(a) − hf ′(a)| < ε.

Exemples :


• ln(1 + x) = x+ xε(x), où limx→0

ε(x) = 0 et (ln(1 + x))′ =1

1 + x.

• ex = 1 + x+ xε(x), où limx→0

ε(x) = 0.

• 1

1 − x= 1 + x+ xε(x), où lim

x→0ε(x) = 0.

Remarque : notations de Landau.

On écrit f = ox→a

(g) lorsque limx→a

f(x)

g(x)= 0. Lorsque nous écrirons les développements

limités d’une fonction f en x0 nous écrirons régulièrement ox→a

(xn) où n sera un entier.

Cette notation correspond à précisément à xnε(x) où limx→a

ε(x) = 0.

Pour nous fixer les idées, réécrivons les identités précédentes à l’aide des notations deLandau :• ln(1 + x) = x+ o

x→0(x).

• ex = 1 + x+ ox→0

(x).

• 1

1 − x= 1 + x+ o

x→0(x).

Remarque : dans le cas d’une approximation quand x → 0, on verra souvent o(x) aulieu de o

x→0(x).

Définition 2.1. L’écriture, lorsque f est dérivable en a :

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + ox→a

(x− a),

s’appelle développement limité de f en a à l’ordre 1.

Parfois, on a besoin d’une précision supplémentaire. On utilise les théorèmes suivants quinécessitent la notion de continuité. Pour le moment, on se contentera d’admettre que lafonction est continue. Par la suite, on définira précisément la notion de continuité.

Théorème 2.4. Si f est une fonction deux fois dérivable en a telle que f ′′ est continueen a, alors :

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f ′′(a)(x− a)2

2+ o

x→a(x− a).

Plus généralement, on peut utiliser la formule de Taylor-Young :

Théorème 2.5. Si f est une fonction n fois dérivable en a telle que f (n) est continue ena, alors :

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f ′′(a)(x− a)2

2!+ f ′′′(a)

(x− a)3

3!+ ...+ f (n)(a)

(x− a)n

n!+ o

x→a(x− a)n

=n∑

k=0

f (k)(a)(x− a)k

k!+ o

x→a(x− a)n.

Remarque : on rappelle que n! = n× (n− 1) × (n− 2) × ...× 2 × 1 et 0! = 1.

On peut former les développements limités à l’ordre 2 des fonctions usuelles que l’onsait deux fois dérivables, à dérivée seconde continue :

2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES 15

• ex = 1 + x+ x2

2+ o(x2) ;

• cosx = −x2

2+ o(x2) ;

• sin x = x+ o(x2) ;• 1

1+x= 1 − x+ x2 + o(x2) ;

• 11−x = 1 + x+ x2 + o(x2) ;

• tan x = x+ o(x2) ;• (1 + x)α = 1 + αx+ α(α−1)

2x2 + o(x2) ;

•√

1 + x = 1 + x2− x2

8+ o(x2) ;

• ln(1 + x) = x− x2

2+ o(x2) ;

Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable etadmettre cependant un développement limité.

2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange

Bien que nos études concernent des fonctions de plusieurs variables, il nous sera souventutile de recourir à des résultats d’Analyse à une variable. Les exercices traités en témoi-gneront. Les théorèmes suivants explicitent les formules de Taylor-Lagrange à différentsordres. Ils permettent d’encadrer l’erreur d’approximation des fonctions d’une variablepar leur développement limité. Le premier théorème a probablement déjà été étudié sousle nom d’inégalité des accroissements finis :

Théorème 2.6. Soit f , une fonction une fois dérivable sur un intervalle I ⊂ R. Alors,pour toux a et b réels de I, et si la dérivée de f est bornée par un réel M (c’est à dire sipour tout x de I on a |f ′(x)| ≤ M , on a l’inégalité :

|f(b) − f(a)| ≤M |b− a|.

Exemple : la fonction x 7−→ tan x a pour dérivée la fonction x 7−→ 1 + tan2 x, qui estminorée si x ∈

[0, π

2

[par le réel 1. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, on en

déduit que :

∀x ∈ [0,π

2[, tan x− tan 0 ≥ x− 0 ⇐⇒ ∀x ∈

[0,π

2

[, tan x ≥ x.

Théorème 2.7. Soit f , une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I ⊂ R. Alors,pour tous a et b réels de I, et si la dérivée seconde de f est bornée par un réel M (c’est-àdire si pour tout x de I on a |f ′′(x)| ≤M), on a l’inégalité :

f(b) − (f(a) + (b− a)f ′(a))

≤ M |b− a|22

.

Théorème 2.8. Soit f , une fonction trois fois dérivable sur un intervalle I ⊂ R. Alors,pour tous a et b réels de I, et si la dérivée troisième de f est bornée par un réel M (c’està dire si pour tout x de I on a |f ′′′(x)| ≤ M), on a l’inégalité :

f(b) −(f(a) + (b− a)f ′(a) +

(b− a)2

2f ′′(a)

) ≤ M |b− a|36

.


Exemple : on appelle I l’intervalle [0, π2]. Posons f(x) = sin x. La fonction sinus est

infiniment dérivable sur I et toutes ses dérivées sont continues (fonction usuelle). On endéduit (les dérivées premières et secondes étant majorées en valeur absolue par 1) que,puisque (sin)′(0) = cos 0 = 1 et (cosx)′(x) = − sin x⇒ sup

x∈I| − sin x| = 1, on a :

∀x ∈ I, |f(x) − (f(0) + xf ′(0))| ≤ (x− 0)2

2!supx∈I

|f ′′(x)| ⇐⇒ ∀x ∈ I, | sinx− x| ≤ x2

2.

2.2 Continuité des fonctions de plusieurs variables

2.2.1 Cas réel

-

6y

xa

C

Fig. 2.2 – Exemple de fonction discontinue en a

Par définition, f est continue en a si, et seulement si limx→a

f(x) = f(a).

Dans l’exemple ci-dessus, f n’est pas continue en a. En revanche, f semble continuepartout ailleurs.

2.2.2 Cas des fonctions de R2 dans R

Définition 2.2. Soit f , une fonction définie sur une partie A ⊂ R2 et A = (a1, a2), un

point de A. Alors, f est dite continue en A si limx→Ax∈A

f(X) = f(A).

Remarque : X = (x, y). X → a signifie x→ a1 et y → a2.

Définition 2.3. f est dite continue sur A si, et seulement si f est continue en tout pointde A.

En pratique, pour démontrer qu’une fonction est continue, on sera amené à utiliser unedes méthodes décrites précédemment. Nous ferons à la fin du chapitre un récapitulatif desméthodes à utiliser si l’on souhaite démontrer qu’une fonction est continue.

Le théorème qui suit porte le nom de théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes.Vous en avez déjà probablement étudié une version pour des fonctions d’une variable. Cethéorème permet de généraliser ce résultat aux fonctions de plusieurs variables.

2.2. CONTIUITÉ DES FONCTIONS 17

Théorème 2.9. Soit f , une fonction de R2 à valeurs dans R et α ∈ R2. On pose X =(x1, x2) et A = (a1, a2).S’il existe une fonction g telle que lim

X→Ag(X) = 0 et |f(X) − α| ≤ g(X), alors :

limX→A

(f(X) − α) = 0, c’est-à dire : limX→A

f(X) = α.

Exemple : soit f définie sur D := R2\(0, 0) par : f(x, y) =x3 + y3

x+ y.

∀(x, y) ∈ D, |f(x, y)| ≤∣∣∣∣

x3

x2 + y2

∣∣∣∣+∣∣∣∣

y3

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣x3

x

∣∣∣∣+∣∣∣∣y3

y

∣∣∣∣ ≤ |x|+ |y| −−−−−−→(x,y)→(0,0)

0 (limite

d’une somme continue ...). Par conséquent, on en déduit que lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0.

Cette étude nous fournit des informations sur la continuité de f .D’après les règles élémentaires sur les limites, il est clair que pour tout couple (x0, y0) deR2 tel que (x0, y0) 6= (0, 0), on a : f(x, y) −−−−−−−−→

(x,y)→(x0,y0)f(x0, y0). Le cas le plus probléma-

tique est celui du voisinage de (0, 0). En effet, souvenons-nous par exemple de la fonction

g : x 7−→ sin x

x, non définie en 0 à priori, mais telle que : lim

x→0

sin x

x= 1. C’est le principe

du prolongement par continuité. Il suffit de définir une fonction que nous nommerons gpar g(x) := g(x) si x 6= 0 et g(0) = 1. Alors g est une fonction continue. Ce principes’applique encore pour f . Ainsi, appelons f la fonction définie par :

f(x, y) =

f(x, y) si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0).

f est une fonction continue sur R2. Plus précisément f est le prolongement par continuité

de la fonction f .

Ce résultat peut être généralisé. C’est l’objet du théorème qui suit :

Théorème 2.10. Soit f une fonction de deux variables définie sur une partie Ω = Ω\X0de R2, où X0 = (x0, y0) est un élément de Ω. Supposons que f soit continue sur Ω et quel’on ait : lim

(x,y)→X0

f(x, y) = ` ∈ R.

Alors la fonction f définie par :

f(x, y) =

f(x, y) si (x, y) ∈ Ω` si (x, y) = X0 = (x0, y0)

est une fonction continue. C’est le prolongement par continuité de la fonction f en X0.

Remarque : tous les résultats que nous venons d’obtenir peuvent être généralisés trèsfacilement aux fonctions de Rn dans R, puis aux fonctions de Rn dans Rp. Nous étudieronsde nombreux exemples en exercices.

2.2.3 Techniques générales

Ce paragraphe a pour objet de répondre à la question suivante : comment étudier lalimite d’une fonction de plusieurs variables ? Nous donnerons une méthode globale en fin


de paragraphe, mais avant, étudions le cas particulier d’une fonction n’admettant pas delimite en un point. Comment ce comportement va-t-il se caractériser ?On se souvient qu’une fonction de R dans R peut présenter des points de discontinuité.C’est l’exemple du graphe proposé en début de section. Pour une fonction de R

2 dansR, il est possible qu’elle admette une discontinuité, uniquement selon une direction. Enclair, il est beaucoup plus difficile de converger dans R2 que dans R. Comparons les casde discontinuité :• Si f est une fonction de R dans R, on dira que f n’est pas continue en x0 lorsque

limx→x0x<x0

f(x) 6= f(x0) ou lorsque limx→x0x>x0

f(x) 6= f(x0) ou encore si cette limite n’existe même

pas.Autrement dit, il existe deux cas de figure pour une fonction de R dans R discontinueen un point.

• En revanche si f est une fonction de R2 dans R discontinue en x0 ∈ R2, il existe uneinfinité de façons de parvenir en x0. Si x0 = (0, 0) par exemple, on peut arriver en(0, 0) selon les axes (0x) et (Oy) (4 façons d’arriver), selon la première bissectrice (2autres façons), selon la droite d’équation y = −x (2 autres façons) ou plus généralementselon n’importe quelle courbe continue de R2 passant par l’origine. Cette situation estillustrée par le schéma qui suit.

-

6

-

=

R

I6

?W

Yx

y

Fig. 2.3 – Différentes façons de converger vers (0, 0) dans R2

Pour démontrer qu’une fonction f de deux variables est discontinue en x0 ∈ R2, il faut

exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces di-rections, ou encore, de parvenir à faire diverger la fonction selon une direction.

Remarque : lorsque l’on fait converger une fonction selon une direction particulière,on ne peut avoir aucune garantie que la valeur trouvée en passant à la limite est la limitede la fonction. En effet, il faut d’abord savoir si la fonction converge.

Notion d’arc paramétré : un arc paramétré permet de représenter des courbes dans leplan ou l’espace. On utilise un paramètre t. La courbe est donnée par les points M(t) decoordonnées (x(t), y(t)), où x et y sont deux fonctions de t et par un intervalle I, tel quet ∈ I.En général, dans le cadre de ce cours x(t) et y(t) désigneront souvent des fonctions poly-nômes. L’idée est que l’on doit pouvoir faire converger (x(t), y(t)) vers le point de discon-tinuité lorsque t tend vers une certaine valeur, en général 0.

2.2. CONTIUITÉ DES FONCTIONS 19

De nombreux exemples seront fournis en exercice.

Exemple : on définit sur R2\(0, 0) par f(x, y) =x+ y2

|y|+ x2. On peut montrer que f

est discontinue en (0, 0).

On utilise les arcs paramétrés :

x1(t) = 0y1(t) = t

, avec t ∈ R∗ et

x2(t) = ty2(t) = t

, avec t ∈ R+.

On a : f(x1(t), y1(t)) = |t| −−→t→0

0 et f(x2(t), y2(t)) =t+ t2

|t| + t2= 1 −−−→

t→0+1, car t > 0.

On obtient deux limites différentes. Par conséquent, f est discontinue en (0, 0).

Recapitulons : si f est une fonction de deux variables et si l’on souhaite étudier l’éven-tuelle limite de f(x, y) quand (x, y) → (x0, y0), plusieurs cas peuvent se présenter :• si f est discontiue en (x0, y0) : il s’agit de trouver les bons arcs paramétrés qui per-

mettront, comme expliqué ci-dessus de prouver que selon deux directions différentes, fadmet deux limites différentes.

• si f est continue en (x0, y0) : on prouve qu’il y a convergence à l’aide d’un développementlimité ou d’un encadrement.

On donne un dernier exemple d’utilisation des développements limités.

Exemple : on définit la fonction f sur R2\(0, 0) par : f(x, y) =x(sin y − y)

x2 + y2.

On sait que sin y−y = oy→0

(y2), donc il existe une fonction ε telle que : ∀y ∈ R, sin y−y =

y2ε(y), avec ε(y) −−→y→0

0, donc f(x, y) =xy2ε(y)

x2 + y2et puisque ∀(x, y) ∈ R2, |xy| ≤ 1

2(x2+y2),

on a : ∀(x, y) ∈ R2\(0, 0), |f(x, y)| ≤ |y||ε(y)|2

−−−−−−→(x,y)→(0,0)

0, donc f est prolon-

geable par continuité en (0, 0), et f est clairement continue partout ailleurs. En effet :

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) =a(sin b− b)

a2 + b2= f(a, b), pour (a, b) 6= (0, 0).



Exercice 2.1 : Déterminer un développement limité en 0, à l’ordre 2 des fonctions sui-vantes :

1. f : x 7−→ 12(ex + e−x) ;

2. g : x 7−→ 12(ex − e−x) ;

3. h : x 7−→ 1

1 − x;

Exercice 2.2 :

1. Soit f , une fonction dérivable en un point a.Calculer, en utilisant deux méthodes différentes :

limh→0

f(a+ h) − f(a− h)

h.

2. Soit f , une fonction deux fois dérivable en un point a. Calculer :

limh→0

f(a+ h) + f(a− h) − 2f(a)

h2.

Exercice 2.3 : On considère la fonction f définie par : f(x) =x3 − y3

x− y.

1. Déterminer l’ensemble de définition D de f .

2. Montrer que f est prolongeable par continuité.

Exercice 2.4 :

1. Démontrer que pour tous x et y réels, on a l’inégalité : |xy| ≤ x2

2+y2

2.

2. On pose pour tous (x, y) ∈ R∗2 : f(x, y) = |xy| − x2

2− y2

2.

(a) Déduire de la question 1. une conséquence graphique pour la surface d’équationz = f(x, y).

(b) Démontrer que la surface d’équation z = f(x, y) admet un plan de symétrie quel’on précisera.

3. Calculer∂f

∂x(x, y) pour x > 0 et x < 0, puis montrer que la fonction

∂f

∂xest discon-

tinue.

Exercice 2.5 : On considère la fonction f définie par : f(x, y) =1 − cos(x− y)

x− y.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f noté Df .

2. Déterminer les expressions des dérivées partielles de f , ainsi que leurs intervalles dedéfinitions..

3. On va chercher lim(x,y)→(1,1)

f(x, y) par plusieurs méthodes.


(a) En utilisant un développement limité.

(b) En utilisant un encadrement.

(c) En utilisant la définition du nombre dérivé.

4. f est-elle prolongeable par continuité au point (1, 1) ?

Exercice 2.6 : On souhaite montrer que la fonction f définie par f(x, y) =|xy|x+ y

n’ad-

met pas de limite en O, de coordonnées (0, 0).Utiliser deux arcs paramétrés que l’on représentera pour faire converger f vers deuxnombres différents, puis conclure.

Exercice 2.7 : Étudier la continuité de la fonction f définie sur R2 par :

f(x, y) =

x2y2

x4 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Exercice 2.8 : La fonction f : (x, y, z) 7−→ x3yz

x+ y + za-t-elle une limite en 0 ?

Exercice 2.9 : La fonction f définie sur R2−(0, 0) par : f(x, y) =ln(1 + x)(sin y − y)

x2 + y2

peut-elle être prolongée par continuité en (0, 0) ?

Exercice 2.10 : On appelle f , la fonction définie par :

f : R2\(0, 0) −→ R

(x, y) 7−→ x4 + y2

x2 + y2.

En utilisant des arcs paramétrés que l’on prendra soin de représenter, montrer que f n’ad-met pas de limite en (0, 0).

Exercice 2.11 : On définit la fonction f par :

f(x, y) =|x|

x2 + y2 + 2x− 4y + 4.

On appelle Υ sa surface représentative dans l’espace.Les questions de ce problème peuvent être traitées de façon complètement indépendante.

1. Quel est l’ensemble de définition de f ? On le notera Df .Représenter graphiquement cet ensemble dans le plan.

2. Résoudre l’équation f(x, y) = 0 et donner une interprétation graphique du résultat.

3. Exprimer f(x, y) sans utiliser la notation valeur absolue.

4. Calculer, pour tous (x, y) de Df ,∂f

∂x(x, y).

5. Soit t, un nombre réel différent de 2.

Étudier la continuité de∂f

∂xau point de coordonnées (0, t).


6. On s’intéresse dans cette question à la courbe Γ située à l’intersection de la surfacereprésentative de f et du plan d’équation y = 3.On appelle g la fonction de courbe représentative Γ.

(a) Quel est l’ensemble de définition de g ? On le note Dg.

(b) Déterminer l’expression de g(x) en fonction de x.

(c) Étudier rapidement les variations de g.

(d) Pour quels x de Dg, a-t-on : |g(x)| ≤ |x|4

?

7. On appelle h, la fonction de R sur R2 définie par h(x, y) =

|x|4

de surface représen-

tative Π.Montrer que Π est la réunion de deux demi-plans, et sans prétendre à la précision,représenter l’allure de Π dans un repère orthonormé de l’espace.

8. Pour quels (x, y), éléments de Df , a-t-on : f(x, y) ≤ |x|4

?

En déduire une conséquence graphique.

Exercice 2.12 :

1. Calculer la limite suivante : lim(x,y)→(0,0)

x2y5

x4 + x2y2 + y4.

2. Calculer limx→1

ln x

x2 − 1. En déduire : lim

(x,y)→(1,0)

ln(x+ y)

x2 + 2xy + y2 − 1.

Chapitre 3

Notion de différentiabilité

Ce chapitre est important car il généralise la notion de dérivation dans le cas multidimen-sionnel.

3.1 Applications linéaires

Soit E, un R-espace vectoriel.

Définition 3.1. Soient E et F , deux espaces vectoriels.Une application f de E dans F est dite linéaire si :(i) ∀(x, y) ∈ E2, f(x+ y) = f(x) + f(y) ;(ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ E, f(ax) = af(x).

Remarque : les deux égalités précédentes équivalent à l’unique égalité :

∀(α, β) ∈ R2, ∀(x, y) ∈ E2, f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y).

Exemple : f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x+ yest linéaire. En effet, f(αX+βY ) = αf(X)+βf(Y )

où X = (x1, x2) et Y = (y1, y2). (à vérifier en exercice)

Vocabulaire : une application linéaire de E dans E bijective s’appelle un automor-phisme.

Remarque : on note L(E,F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F .

3.2 Calcul différentiel

3.2.1 Dérivée selon un vecteur

Définition 3.2. Soit f : R2 −→ R. On dit que f admet une dérivée première en a ∈ R2

suivant le vecteur ~v = (v1, v2) si, et seulement si ϕ~v : t 7−→ f(a+ t~v) est dérivable en 0.Si c’est le cas, on appelle dérivée de f en a suivant ~v et on note D~vf(a) l’élément ϕ′

~v(0)

23

24 CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ

et on a :

D~vf(a) = limt→0

(f(a+ t~v) − f(a)

t

).

Exemple : on appelle f la fonction définie par : f(x, y) = xy.Calculons la dérivée de f en (0, 0) suivant le vecteur ~v = (1, 1). On a : ϕ~v(t) = f(a+ t~v) =

t2, donc D~vf(a) = limt→0

t2

t= 0.

Propriété 3.1. Les dérivées d’une fonction f : R2 −→ R suivant les vecteurs ~i = (1, 0)

et ~j = (0, 1), si elles existent, correspondent aux dérivées partielles de f respectivementpar rapport à x et y.

On a ainsi : D~if(x, y) =∂f

∂x(x, y) et D~jf(x, y) =

∂f

∂y(x, y).

Remarque importante : l’existence de dérivées partielles d’une fonction f en un pointn’implique pas la continuité de f en ce point.

Exemple : on appelle f la fonction définie sur D = R2\(0, 0) par : f(x, y) =xy

x2 + y2.

• Existence de dérivée partielle selon x : calculons pour x 6= 0f(x, 0) − f(0, 0)

x− 0=

0

x= 0 −−→

x→00. Par conséquent, f admet en (0, 0) une dérivée partielle selon x.

• Existence de dérivée partielle selon y : calculons pour y 6= 0f(0, y) − f(0, 0)

y − 0=

0

y= 0 −−→

x→00. Par conséquent, f admet en (0, 0) une dérivée partielle selon y.

• Discontinuité de f : on va utiliser des chemins paramétrés. Calculons pour t 6= 0,

f(t, t) =1

2−−→t→0

1

2et f(t, t2) =

t3

t2 + t4=

t

1 + t2−−→t→0

0, ce qui prouve que f est

discontinue en (0, 0).

3.2.2 Fonctions f : Rn −→ Rp

Si f est par exemple une fonction de R2 dans R3, on peut écrire :

f : R2 −→ R3

(x, y) 7−→ (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))

, où f1, f2 et f3 sont des fonctions de R2 dans R.

On a alors, si a ∈ R2 et ~v = (v1, v2) est un vecteur de R2 :

D~vf(a) = (D~vf1(a), D~vf2(a), D~vf3(a)).

Exemple : on définit la fonction f sur R2 à valeurs dans R par :

f(x, y) =

(x2yyex

)

On appelle ~u le vecteur de coordonnées (1, 0) et a le point de coordonnées (x, y). Onmontre aisément que :

D~uf(a) =

(2xyyex

).

3.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL 25

3.2.3 Application différentielle

Définition 3.3. Classes C0 et C1.(i) On dit qu’une fonction f : U ⊂ R2 −→ R est de classe C0 sur son ensemble de

définition U , ou encore que f ∈ C0(U) si, et seulement si f est continue sur U .(ii) On dit qu’une fonction f : U ⊂ R2 −→ R est de classe C1 sur son ensemble de

définition U , ou encore que f ∈ C1(U) si, et seulement si les deux conditions suivantessont vérifiées :

1. f admet des dérivées partielles premières en tout point de U .

2.∂f

∂xet∂f

∂ysont continues sur U .

Exemple : f définie par f(x, y) = xy est clairement de classe C1(R2). En effet,∂f

∂x(x, y) =

y et∂f

∂y(x, y) = x. Par conséquent,

∂f

∂xet∂f

∂ysont continues.

Remarque : généralisation assez simple.Si n ∈ N

∗ et f : Rn → R, on dit que f est de classe C1 si, et seulement si f admet des

dérivées partielles∂f

∂x1,∂f

∂x2, ...,

∂f

∂xncontinues sur U .

Propriété 3.2. Soit U , un ensemble inclus dans R2.

C1(U) ⊂ C0(U).

Traduction : si f ∈ C1(U), alors f est continue sur U . cette propriété est vérifiée pourtout n ∈ N∗, sur U ⊂ Rn.

On peut encore aisément définir la notion de classe Ck, avec k ≥ 1.

Définition 3.4. On dit qu’une fonction f : U ⊂ Rn −→ R est de classe Ck sur sonensemble de définition U , ou encore que f ∈ Ck(U) si, et seulement si les deux conditionssuivantes sont vérifiées :

1. f admet des dérivées partielles successives sur U jusqu’à l’ordre k inclus.2. Les dérivées partielles successives de f sont continues sur U .

Remarque : classe C∞. On dit que f est de classe C∞ sur U si, et seulement si f admetdes dérivées partielles successives sur U à tout ordre et si ces dérivées successives sontcontinues sur U .

Propriété 3.3. Soit U , un ensemble inclus dans Rn et soir k ≥ 1.

Ck(U) ⊂ Ck−1(U) ⊂ ... ⊂ C1(U) ⊂ C0(U).

Le théorème suivant est célèbre. Il permet d’intervertir, sous certaines conditions, d’inter-vertir les symboles de dérivation.

Théorème 3.1. Théorème de Schwarz.Si f est une fonction de R2 dans R, de classe C2 sur un ouvert U , en tout point de U , ona :

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x.


Un exemple célèbre : lorsque les dérivées partielles secondes ne sont pas continues.On appelle f la fonction définie sur R2 par :

f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0).

f(0, 0) = 0

1. Si y 6= 0, limx→0

f(x, y) − f(0, y)

x= lim

x→0

y(x2 − y2)

x2 + y2= −y, donc

∂f

∂x(0, y) = −y ;

limx→0

f(x, 0) − f(0, 0)

x= 0, donc

∂f

∂x(0, 0) = 0.

D’où∂2f

∂y∂x(0, 0) = lim

y→0

∂f

∂x(0, y) − ∂f

∂x(0, 0)

y= −1.

2. Si x 6= 0, limy→0

f(x, y) − f(x, 0)

y= lim

y→0

x(x2 − y2)

x2 + y2= x, donc

∂f

∂x(x, 0) = x ;

limy→0

f(0, y)− f(0, 0)

y= 0, donc

∂f

∂y(0, 0) = 0.

D’où∂2f

∂x∂y(0, 0) = lim

x→0

∂f

∂y(x, 0) − ∂f

∂y(0, 0)

x= 1.

Ainsi,∂2f

∂y∂xet

∂2f

∂x∂yne prennent pas la même valeur en (0, 0). Par conséquent, ces deux

fonctions ne sont pas continues en ce point. (On peut encore le vérifier en calculant expli-citement ces dérivées.)

Nous avons défini tous les outils nécessaires pour introduire la notion de différentiabi-lité d’une fonction de plusieurs variables.

Définition 3.5. Soit f : U ⊂ R2 −→ R et−→U , l’ensemble des vecteurs de U .

On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire daf définie sur−→U ,

telle que :

lim‖h‖→0

f(a+ h) − f(a) − daf(h)

‖h‖ = 0.

daf s’appelle la différentielle de f en a et on a : daf ∈ L(−→U ,E), avec E ⊂ R2.

3.2.4 Développement limité

Théorème 3.2. f est différentiable en a si, et seulement si il existe r > 0 tel que si‖h‖ < r, alors

f(a+ h) = f(a) + daf(h) + o‖h‖→0

(‖h‖)

, où o‖h‖→0

(‖h‖) = ‖h‖ε(h), où ε(h) −−−−→‖h‖→0

0.

On dit alors que f admet un développement limité à l’ordre 1 en a.

Propriété 3.4. Si f est de classe C1(U) et si a ∈ U , alors f admet un développementlimité à l’ordre 1 en a, autrement dit, f est différentiable en a.

3.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL 27

Remarque importante : lorsque l’on écrit : f(a + h) = f(a) + daf(h) + o‖h‖→0

(‖h‖), il

faut bien garder à l’esprit que daf , lorsque a ∈ U est donné, est une application linéairede la variable h ∈ −→

U (ensemble des vecteurs de U).

Une question d’ordre pratique se pose : comment calculer la différentielle d’une fonctionen un point ? Il faut utiliser une propriété de la différentielle.

Propriété 3.5. Soit f , une aplication différentiable en un point a de R2.On appelle ϕa, la fonction définie pour ~u vecteur de R2 fixé par :

ϕa : R −→ R

t 7−→ f(a+ t~u) − f(a)

t.

On a alors : limt→0

ϕa(t) = dfa(~u).

Démonstration : elle sera faite en travaux dirigés.

Remarque : la fonction ϕa introduite dans la propriété précédente, sous réserve d’exis-tence, bien-sûr, porte le nom de différentielle de Gâteaux au point a.Attention ! Une fonction différentiable est bien différentiable au sens de Gâteaux, mais laréciproque est ARCHI fausse.

Exemple : on appelle f la fonction définie sur R2 par : f(x, y) = xy. f est de classeC1 sur R

2 comme produit de fonctions d’une variable de classe C1, donc f est différen-tiable en tout point de R2.On va calculer daf(~u), où a = (1, 1) et on pose ~u = (x, y).

Ainsi,f(a+ t~u) − f(a)

t=

(1 + tx)(1 + ty) − 1

t= ... = x+ y + txy −−→

t→0x+ y.

Par conséquent, daf(x, y) = x+ y.

Exercice : vérifier que daf définie par :

daf : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x+ y

est une fonction linéaire.

3.2.5 Expression explicite de la différentielle

Théorème 3.3. Soit f : U ⊂ R2 −→ R.Si f est différentiable en un point a ∈ U , on a :

daf : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x∂f

∂x(x, y) + y

∂f

∂y(x, y).

Exercice : s’amuser à retrouver la différentielle de (x, y) 7−→ xy en a = (1, 1).


Avant de continuer, récapitulons les différentes propriétés énoncées sur la différentielle : onpeut écrire que si f : U ⊂ R2 −→ R est différentiable en a, alors, on a : ∀a = (a1, a2) ∈ Uet quel que soit h, vecteur de R2, h = (h1, h2), on a :

f(a+ h) = f(a) + h1∂f

∂x(a) + h2

∂f

∂y(a) + o

‖h‖→0(‖h‖).

Vocabulaire : daf s’appelle également application linéaire tangente de f en a.

Définition 3.6. E désignant un espace vectoriel, on appelle forme linéaire toute applica-tion linéaire de E à valeurs dans R.

Appelons dx et dy les formes linéaires « projection sur les axes » définies de la façonsuivante :

dx : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x, et dy : R

2 −→ R

(x, y) 7−→ y.

(dx, dy) s’appelle la base duale de E. On peut ainsi écrire que, ∀h = (x, y) ∈ E :

daf(h) =∂f

∂x(a)dx(h) +

∂f

∂ydy(h).

On détaillera la notion de base duale dans le chapitre ?? consacré à l’étude des formesdifférentielles.

3.2.6 Méthode générale de calcul

Pour conclure, proposons deux exemples d’étude de différentiabilité et régularité. On noteF et G les deux fonctions définies toutes deux pour X = (x1, ..., xn) ∈ Rn par :

F (X) = N2(X) et G(X) = N22 (X).

N2 désigne bien sûr la norme euclidienne, c’est à dire que, si X ∈ Rn, G(X) = x21 + ...+x2

n

et F (X) =√G(X).

• Si X ∈ (R∗)n, on a trivialement :

|G(X)|N2(X)

= N2(X) −−−−→‖X‖→0

0.

Il est bien évident ici que ‖.‖ = N2(.). D’après la définition énoncée dans ce chapitre,G est différentiable en O = (0, ..., 0). Il suffit pour s’en apercevoir, de vérifier que ladéfinition 3.5 est vérifiée, pour a = O et X = h.Il s’ensuit que daG est l’application linéaire identiquement nulle.

• Intuitivement, il y a peu de chance que la norme euclidienne de Rn (fonction F ) soitdifférentiable en O, en raison de la présence de la racine carrée. Mais, encore faut-il levérifier...

3.3. CONSÉQUENCES DE LA DIFFÉRENTIABILITÉ 29

L’idée est d’utiliser une propriété très utile en pratique. Il s’agit de la propriété 3.5. Enposant encore a = O et h = (x1, ..., xn) ∈ Rn, on a, pour t 6= 0 :

F (a+ th) − F (a)

t= ... =

|t|N2(h)

t= ±N2(h).

Non seulement, la fonction de h obtenue n’est pas linéaire, car la norme euclidiennen’est pas linéaire, mais en plus, on obtient deux limites a priori différentes selon quet > 0 ou t < 0. Chacun de ces deux arguments contredit la différentiabilité de F .

Conclusion : On a bien-sûr F 2 = G. G est différentiable en O, et même de classe C1(Rn)en tant que fonction polynômiale, tandis que F est non-différentiable en O.

3.3 Conséquences de la différentiabilité

3.3.1 Notion de gradient

Soit f : Rn −→ Rp, avec n et p, deux nombres entiers non nuls. On se ramène aisément

au cas : f : Rn −→ R en considérant que si a ∈ Rn, alors : f(a) =

f1(a)

...fp(a)

, où

fi : Rn −→ R, avec i ∈ 1, ..., p.Ainsi, on considère f : R

n −→ R, avec n ∈ N∗. La différentielle de f en a a pour

expression :

daf : Rn −→ R

h = (h1, h2, ..., hn) 7−→ daf(h), avec daf(h) =

n∑

i=1

hi∂f

∂xi(a).

Définition 3.7. Soit f : U ⊂ R2 −→ R et a ∈ R

2.On appelle

−−→gradf(a) (gradient de f en a) ou ∇f(a) (nabla de f(a)), le vecteur :

∇f(a) =

(∂f

∂x(a),

∂f

∂y(a)

).

Si f : U ⊂ Rn −→ R et a ∈ R2, on définit ∇f(a) par :

∇f(a) =

(∂f

∂x1

(a),∂f

∂x2

(a), · · · , ∂f∂xn

(a)

).

3.3.2 Schéma récapitulatif

On retiendra ce schéma, très utile pour traiter les exercices :

f ∈ C1(U) =⇒ f admet un DL1(a), ∀a ∈ U =⇒ f ∈ C0(U)⇓

f admet des DP en x ∈ U



Exercice 3.1 :

1. Démontrer que la somme de deux applications linéaires est encore une applicationlinéaire.

2. Plus généralement, démontrer que toute combinaison linéaire d’applications linéairesest encore linéaire.

Exercice 3.2 : Les applications suivantes sont-elles linéaires :

1. f : R3 −→ R2

(x, y, z) 7−→(

2x− y, y − 1

2z

).

.

2. g : R2 −→ R

(x, y) 7−→ xy.

3. h : C −→ R+

z 7−→ |z|.4. h : C −→ R

z 7−→ <e(z) + =m(z).

5. On appelle F , l’ensemble des fonctions de R dans R admettant une limite en 0.k : F −→ R

f 7−→ limx→0

f(x).

Exercice 3.3 : Vérifier que l’expression de la différentielle à l’aide du gradient et duproduit scalaire d’une fonction f définie sur un ouvert U , en a ∈ U , et à valeurs réelles,définit une application linéaire.On pourra commencer par vérifier cette propriété dans R2, puis dans Rn, avec n, un entiernaturel quelconque.

Exercice 3.4 : Soit f , une aplication différentiable en un point a de R2.

On appelle ϕa, la fonction définie pour ~u vecteur de R2 fixé par :

ϕa : R −→ R

t 7−→ f(a+ t~u) − f(a)

t.

Prouver que : limt→0

ϕa(t) = dfa(~u).

Exercice 3.5 : On considère la fonction f définie sur R2 par la relation : f(x, y) =ex

1 + y2.

1. Expliquer brièvement pourquoi f est différentiable en tout point de R2.

2. Calculer le gradient de f .

3. Donner un développement limité à l’ordre 1 de f au voisinage du point de coordon-nées (0, 0).

Exercice 3.6 : Calculer la différentielle à l’origine des applications suivantes :


(i) f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ f(x, y) = x3 +√

1 + x2 + y2

(ii) g : R3 −→ R

(x, y, z) 7−→ g(x, y, z) = xyz sin (xy) + 2x+ 5.

Exercice 3.7 : On appelle C∞(R2), l’ensemble des fonctions définies et infiniment déri-vables sur R

2. On définit alors les fonctions 4 et Φ par :

4 : C∞(R2) −→ C∞(R2)

ϕ 7−→ ∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2.

et Φ : C∞(R2) −→ C∞(R2)

ϕ 7−→ ∂ϕ

∂x· ∂ϕ∂y.

4 et Φ sont-elles linéaires ?

Exercice 3.8 : Soit f , la fonction définie par :

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→

0 si (x, y) = (0, 0)

|x| 32 yx2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

1. f est-elle continue ?2. Calculer les dérivées partielles de f . Sont-elles continues ?3. Calculer la différentielle de f au sens de Gâteaux au point de coordonnées (0, 0).

L’application f est-elle différentiable en (0, 0) ?4. Conclure sous forme d’un schéma.

Exercice 3.9 : On définit l’application f de la façon suivante :

f : R2\(0, 0) −→ R

(x, y) 7−→ xy√x2 + y2

.

1. Montrer que l’on peut prolonger f par continuité. On appelle f , ce prolongement.

2. Étudier la différentiabilité de f .

3. f admet-elle des dérivées partielles ?4. f est-elle C1 sur son ensemble de définition ?5. Conclure sous forme d’un schéma.

Exercice 3.10 : Reprendre les questions de l’exercice précédent avec la fonction :

g : R2\(0, 0) −→ R

(x, y) 7−→ (x4 + y4) sin

(1√

x4 + y4

).

Exercice 3.11 : La fonction suivante est-elle différentiable ?

f : R2\(0, 0) −→ R

(x, y) 7−→ f(x, y) =

y2 − x

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon


Exercice 3.12 : Soit f , la fonction de R2 dans R définie par :

f(x, y) = x2y sin(yx

).

1. Montrer que l’on peut définir un prolongement par continuité de la fonction f .

2. f admet-elle des dérivées partielles sur R2 ?

3. f est-elle de classe C1 sur R2 ?

4. Calculer∂2f

∂x∂y(0, 0) et

∂2f

∂y∂x(0, 0).

Remarque : attention à donner un sens convenable aux deux expressions ci-dessus,avant de les calculer. Rien ne certifie que f est de classe C2 au voisinage de (0, 0).

Exercice 3.13 : Soit f , la fonction définie par :

f : R2\(0, 0) −→ R

(x, y) 7−→ f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon

Prouver que f ∈ C1(R2), et que f admet des dérivées secondes croisées distinctes en (0, 0).Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Faire un schéma.

Exercice 3.14 : Le but de ce problème est d’étudier, suivant les valeurs de α > 0,la différentiabilité au point (0, 0) de la fonction de deux variables définie par :

f(x, y) =|x|α|y|α

x2 + y2 − xy.

On rappelle que le nombre aα est défini pour tout α ∈ R et a > 0 par la relation :aα = eα ln a.

1. Recherche de l’ensemble de définition de f .Posons ψ(x, y) := x2 + y2 − xy. En écrivant ψ(x, y) sous la forme de deux carrés,démontrer la propriété suivante :

ψ(x, y) = 0 ⇐⇒ (x, y) = (0, 0).

En déduire l’ensemble de définition de f , noté Df .

2. Rappels sur la norme euclidienne.On appelle φ, la fonction définie sur R2 par : φ(x, y) := (x2 + y2)

12 =

√x2 + y2.

(a) Montrer que la fonction φ définit une norme sur R2. (Rappeler les trois proprié-tés de la norme et s’assurer qu’elles sont vérifiées.)

(b) Démontrer rapidement l’inégalité vérifiée pour tous (x, y) ∈ R2 : |xy| ≤1

2φ2(x, y).

(c) En déduire un encadrement pour tous (x, y) non nuls du nombref(x, y)

|x|α|y|α .

3. Étude de la continuité de f en (0, 0)


(a) Cas α > 1.En utilisant la question précédente, démontrer que pour tous (x, y) non nuls,on a :

|f(x, y)| ≤ 1

2α−1φ2(α−1)(x, y).

Conclure.

(b) Cas 0 < α ≤ 1.

On considère l’arc paramétré défini pour t ∈ R par :

x = t

2y = t

.

Représenter rapidement l’arc paramétré ci-dessus, puis l’utiliser pour prouverque f est discontinue en 0 si α ∈]0; 1].

(c) Conclure.

4. Étude de la différentiabilité de f en (0, 0)

(a) Donner la définition de différentiabilité d’une fonction f en un point a de sonensemble de définition.

(b) Soit f , une aplication différentiable en un point a de R2.On appelle ϕa, la fonction définie pour ~u vecteur de R2 fixé par :

ϕa : R −→ R

t 7−→ f(a+ t~u) − f(a)

t.

Prouver que : limt→0

ϕa(t) = dfa(~u).

(c) Donner un encadrement, pour (x, y) ∈ R2\(0, 0) du nombre :

f(x, y)

φ(x, y)

.

(d) Prouver que si α > 32, la fonction f est différentiable en (0, 0).

(e) En utilisant des arcs paramétrés, démontrer que la fonction f est différentiableen (0, 0) si, et seulement si α > 3

2.

5. Application : α = 54. f est-elle de classe C1 sur R2 ?

Exercice 3.15 : Soit F , l’ensemble des fonctions de R dans R. On considère l’applica-tion : ϕ : F −→ R2

f 7−→ (f(0), f(1)).

Rappeler la définition d’une fonction linéaire. f est-elle linéaire ?

Exercice 3.16 : Soit ~u, le vecteur de R2 de coordonnées (1, 1). On considère l’appli-cation P définie pour tout ~x, vecteur de R2 par :

P (~x) =<~x

‖~x‖ , ~u >,

où < ., . > désigne le produit scalaire de R2 et ‖.‖ la norme euclidienne de R2.

1. Démontrer que pour tout ~x 6= ~0, on a : |P (~x)| ≤√

2.

2. Démontrer, sans se lancer dans des calculs compliqués que P est différentiable entout point ~x de R2 différent de ~0.

3. Démontrer rigoureusement que P n’est pas différentiable en ~0.


Exercice 3.17 : On définit la fonction f sur R2 par : f(x, y) = max(x, y).

1. Par un système de coloriage dans le plan, trouver un moyen de représenter f(x, y)en fonction de x et y.

2. Démontrer que : ∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) =x+ y + |x− y|

2.

3. Étudier la différentiabilité de f sur R2.

Exercice 3.18 : On considère l’application f définie par :

f(x, y) =

x3 − y3

x2 + y2, pour (x, y) 6= (0, 0)

f(0, 0) = 0.

1. Montrer que f est continue sur R2.

2. Montrer que f admet des dérivées partielles selon x et y en (0, 0).

3. Montrer que f n’est pas différentiable en (0, 0). Conclure.

Chapitre 4

Déterminant, Matrice jacobienne,

Jacobien

4.1 Matrice jacobienne

4.1.1 Différentiabilité des fonctions de Rn dans Rp

On considère une fonction f : Rn −→ Rp

X = (x1, ..., xn) 7−→ f(X) =

f1(X)...

fp(X)

, avec fi :

Rn −→ R.Procédons au préalable à quelques rappels sur la différentiabilité.

Si g est différentiable en a, on a, pour g : Rn −→ R :

g(a+ h) = g(a) + dag(h) + o‖h‖→0

(‖h‖), pour tout h ∈ Rn.

On a de plus : dag est une application linéaire appelée application différentielle de g en aou application linéaire tangente de g en a.

dag est définie par la relation : ∀h ∈ Rn, dag(h) =< ∇g(a), h >Rp=

n∑

i=1

hi∂g

∂xi(a), où l’on

a noté ∇g(a) =

(∂g

∂x1(a), ...,

∂g

∂xn(a)

).

Résultat : dans le cas de f (fonction à valeurs vectorielles), on a :

daf(h) =

daf1(h)

...dafp(h)

.

Exemple : calcul de la différentielle de la fonction f définie par :

f : R2 −→ R

2

(x, y) 7−→(f1(x, y)f2(x, y)

)=

(xyx+ y

) .

35

36 CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN

On va calculer la différentielle de f en a = (2, 1).

Remarque préalable : comme produit et somme de fonctions d’une variable de classeC1 sur R, f1 et f2 sont clairement de classe C1 sur R

2. Elles sont donc différentiables.Posons h = (h1, h2).

• f1(x, y) = xy, donc daf1(h1, h2) = h1∂f1

∂x(a) + h2

∂f1

∂y(a) = h1 + 2h2 ;

• f2(x, y) = x+ y, donc daf2(h1, h2) = h1∂f2

∂x(a) + h2

∂f2

∂y(a) = h1 + h2 ;

Par conséquent : daf(h) =

(h1 + 2h2

h1 + h2

)=

(1 21 1

)(h1

h2

). La matrice Ja(f) :=

(1 21 1

)est la matrice de l’application linéaire daf . On l’appelle matrice jacobienne de

f en a.

4.1.2 Généralisation

Le théorème qui suit est la conséquence directe des calculs précédents, généralisés à unedimension supérieure et quelconque.

Définition 4.1. Soit f : Rn −→ Rp. On suppose f différentiable en a ∈ Rn. La matricede l’application différentielle de f est :

Ja(f) =

(∂fi∂xj

)

1≤i≤p1≤j≤n

=

∂f1

∂x1(a)

∂f1

∂x2(a) . . .

∂f1

∂xn(a)

∂f1

∂x2

(a)∂f2

∂x2

(a) . . .∂f2

∂xn(a)

.... . .

∂fp∂x1

(a)∂fp∂x2

(a) . . .∂fp∂xn

(a)

.

Exemple : matrice jacobienne de f : (x, y, z) 7−→(

x ln yex+y+z

).

Posons : f1(x, y, z) = x ln y et f2(x, y, z) = ex+y+z. En posant a = (x, y, z), on trouve,après calculs, que :

Fa(f) =

(ln y x

y0

ex+y+z ex+y+z ex+y+z

).

4.1.3 Le Jacobien

Définition 4.2. Jacobien.Le Jacobien pris en a d’une application f : Rn −→ Rn est le déterminant de la matricejacobienne Ja(f).On le note detJa(f).

4.2. NOTION DE C1-DIFFÉOMORPHISME 37

4.2 Notion de C1-difféomorphisme

4.2.1 Généralités

E et F désignenet des espaces vectoriels de dimension finie.

Définition 4.3. Si U ⊂ E et V ⊂ F , où U et V sont des parties ouvertes, f est unC1-difféomorphisme entre U et V si f réalise une bijection entre U et V , avec f et f−1

de classe C1 sur U et V .

Remarque :• Si f est un C1-difféomorphisme, pour tout a élément de U , daf est un isomorphisme

(bijection) d’espaces vectoriels entre E et F .• De plus : Jf(a)(f

−1) = Ja(f)−1.

4.2.2 Caractérisation

Propriété 4.1. Si ϕ ∈ L(E,E), et Φ désigne la matrice de ϕ dans la base canonique deE, alors les propositions suivantes sont équivalentes :(i) ϕ réalise une bijection.(ii) det Φ 6= 0.

Exemple 1 : on considère l’application f : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (x+ y, x− y).Il est clair que l’application f est de classe C1 car les fonctions coordonnées sont des fonc-tions linéaires. Montrons à présent que f définit une bijection. Soient α, β) ∈ R2.

f(x, y) = (α, β) ⇐⇒ x =α + β

2et y =

α− β

2. On en déduit que U = R2 et f(U) = R2.

f est donc un C1-difféomorphisme de R2 dans R2.

Exemple 2 : coordonnées polaires.Les changements de variables en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques, sonttrès souvent utilisés. Nous détaillons le premier, qui consiste à remplacer les coordonnéescartésiennes (x, y) d’un point du plan, par le module ρ et l’argument θ du point dans leplan complexe.

φ : D = R2\(0, 0) −→ ∆ = R∗+ × [0, 2π[

(x, y) 7−→ (ρ, θ)

Le module ρ s’écrit ρ =√x2 + y2. Par contre, il n’est pas facile de donner une expression

explicite de θ en fonction de x et y, à cause des problèmes de signe. On va plutôt utiliserl’expression de φ−1. On a :

φ−1 : ∆ = R∗+ × [0, 2π[ −→ D = R2\(0, 0)

(ρ, θ) 7−→ (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ).

La matrice jacobienne de φ−1 au point (ρ, θ) est :

J(ρ,θ)φ−1 =

(cos θ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

).


6

-x

y

ρ

θ

O

Fig. 4.1 – Coordonnées polaires

On a de plus : detJ(ρ,θ)φ−1 = ρ 6= 0, donc φ−1 est injective.

À titre indicatif, on donne les expressions de ρ et θ en fonction de x et y, dans un cassimple, où x > 0 et y > 0 :

θ = arctany

x.

Le schéma ci-dessous récapitule les formules de bijection à utiliser, si l’on souhaite expri-mer l’angle θ en fonction des coordonnées x et y :

-

6

x

y

θ = arctan(y

x

)

x > 0 et y > 0

3

R

θ = π − arctan(y

x

)

x < 0 et y > 0

θ = π + arctan(y

x

)

x < 0 et y < 0

θ = 2π + arctan(y

x

)

x > 0 et y < 0

θ =π

2

θ =3π

2

Fig. 4.2 – Coordonnées polaires



Exercice 4.1 : Soit M , la matrice :

M =

3 2 −41 1 10 0 −3

1. Calculer M2 et M3.

2. Résoudre l’équation : M +X = I, où I désigne l’identité.

3. Résoudre l’équation : MX = A, où X est une matrice de type 3×1, et A =

103

.

4. Calculer (detM)2 et det(M2). Que remarque t-on ?

Exercice 4.2 : Soient A et B, les matrices 2 × 2 définies par :

A =

(3 2−4 10

)et B =

(2 −53 −1

)

1. Calculer AB et BA. Que constate t-on et comment nomme t-on cette propriété ?

2. Calculer det(AB) et det(BA). Commenter.

Exercice 4.3 : Déterminer la matrice jacobienne en X = (x, y) de la fonction f : R2 −→R définie par la relation f(x, y) = x2y + ln(1 + y2).Quel est l’autre nom de cette matrice ?Donner l’expression matricielle, puis analytique de l’application différentielle de f au pointX en H = (h1, h2).

Exercice 4.4 : On définit l’application f par :

f : R3 −→ R2

(x, y, z) 7−→(

x2y3z4

xy

z2 + x2 + 1

)

Calculer Ja(f) en a = (1, 2, 0).

Exercice 4.5 : Soit f , une fonction de R2 dans R

2.

1. Résoudre l’équation en f : Ja(f) = 0. (On recherche les fonctions f telles que pourtout a, on ait Ja(f) = 0)

2. Compléter la résolution si l’on impose detJa(f) = 1.

3. Résoudre l’équation en f : Ja(f) = I, où I désigne l’identité.Indication : on admettra que si ∀(x, y), on a une relation du type a(x) = b(y),alors, a et b sont constantes.

4. Compléter la résolution si on impose f(0) = 0.

5. Que vaut detJa(f), pour a = (a1, a2) ?


Exercice 4.6 : On appelle matrice hessienne de f en a et on note Hessa(f), la matrice(∂2f

∂xi∂xj

)

i,j

.

Donner une condition suffisante pour que la matrice hessienne d’une fonction f : Rn −→Rn au point a est-elle symétrique ? Expliquer.

Exercice 4.7 : On appelle f l’application :

f : R2 −→ R2

(x, y) 7−→(x3 + 3xey

y − x2

)

Montrer que pour tout a = (x, y), le déterminant de la matrice jacobienne de f est stric-tement positif.

Exercice 4.8 : Soient a et b, deux fonctions de R dans R. On appelle f l’application :

f : R2 −→ R2

(x, y) 7−→(a(x)b(y)

)

Quelle est la forme de la matrice jacobienne de f au point a = (x, y) ?À quelle condition sur a et b le déterminant de cette matrice est-il strictement positif pourtous (x, y) ∈ R2 ?

Application : soit n ∈ Z. Pour tout x de R, a(x) = b(x) = xn.

Exercice 4.9 : On considère la matrice :

A =

(1 32 −2

)

1. Calculer la matrice A2 + A− 8I2, où I2 désigne la matrice identité d’ordre 2.

2. En déduire que A est inversible et calculer A−1.Remarque : une matrice A est dite inversible si, et seulement s’il existe une matriceA−1 telle que : AA−1 = A−1A = I2.

3. Soit n, un entier supérieur ou égal à 2.Déterminer le reste dans la division euclidienne du polynôme Xn par X2 +X − 8.Indication : on se moque du quotient de la division. On rappelle que le reste R esttel que : Xn = Q(X) × (X2 − 3X + 2) + R(X), avec d (R) ≤ 1, donc la questionrevient à déterminer a et b tels que : Xn = Q(X) × (X2 − 3X + 2) + aX + b. Onpourra faire prendre des valeurs particulières à X pour aboutir.

4. En déduire la matrice An.

5. Calculer detA et detAn. Que remarque t-on ?

Exercice 4.10 : On définit la fonction f sur l’ensemble D par :

f(x, y) =

(xyxy

).


1. Déterminer D pour que f soit un C1-difféomorphisme.

2. Calculer la matrice jacobienne de f au point X = (x, y) ∈ D.

3. Calculer le jacobien de f en ce point et étudier son signe.

Exercice 4.11 : Calculer le déterminant, avec a, b et c réels, et exprimer sous la formela plus simple possible :

D =

1 1 1cos a cos b cos csin a sin b sin c

Exercice 4.12 : On appelle M l’ensemble des matrices de type 3 × 3.L’application γ définie par : γ : M −→ R

M = (aij) 7−→ γ(M) =∑3

i=1 aii

.

Calculer γ(I), où I désigne la matrice identité et répondre à la question : γ est-elle li-néaire ?


Chapitre 5

Recherche d’extrema

5.1 Problèmes liés à la recherche d’extrema

5.1.1 Développement limité à l’ordre 2

Définition 5.1. Soit f , une fonction définie sur une partie D de Rn et à valeur dans R.(i) On dit que la fonction f admet un maximum relatif en un point x0 de D lorsqu’il

existe un ouvert O ⊂ D telle que : f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ O\x0.(ii) On dit que la fonction f admet un minimum relatif en un point x0 de D lorsqu’il

existe un ouvert O ⊂ D telle que : f(x) ≥ f(x0), ∀x ∈ O\x0.(iii) On dit que la fonction f admet un maximum absolu en un point x0 de D lorsque :∀x ∈ D, f(x) ≤ f(x0).

(iv) On dit que la fonction f admet un minimum absolu en un point x0 de D lorsque :∀x ∈ D, f(x) ≥ f(x0).

Exemple : on définit la fonction f sur R2 par : f(x, y) = x2 + 4xy + 4y2.On a : ∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = (x + 2y)2 ≥ 0 = f(−2x0, x0), pour tout réel x0. On endéduit qu’en tout point du plan de coordonnées (−2x0, x0), f admet un minimum absolu.

On a le théorème suivant :

Théorème 5.1. x0 = (x01, ..., x

0n) est un élément de Rn, V, un voisinage de x0, Bz(x0),

une boule ouverte incluse dans V. Soit f , une fonction définie sur V à valeur dans R.Lorsque la fonction f est de classe C2 dans V, on peut aussi écrire son développementlimité à l’ordre 2 : ∀x ∈ Bz(x0), x 6= x0,

f(x0 + h) = f(x0) +

n∑

i=1

hi∂f

∂xi(x0) +

1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

hihj∂2f

∂xi∂xj(x0) + ‖h‖2ε(h)

, où , lim‖h‖→0

ε(h) = 0.

5.1.2 Points critiques et extrema

Définition 5.2. Point critique.Soit f , une fonction de classe C1 dans un voisinage de a.

43

44 CHAPITRE 5. RECHERCHE D’EXTREMA

a est appelé point critique de la fonction f si, en ce point, on a :

∂f

∂x1

(a) = ... =∂f

∂xn(a) = 0.

Théorème 5.2. Théorème fondamental.Soit f , une fonction qui admet un maximum ou un minimum relatif en un point a de sondomaine de définition D. Si f est de classe C1 dans un voisinage de a, alors ses dérivéespartielles du premier ordre sont nulles en ce point :

∂f

∂x1(a) = ... =

∂f

∂xn(a) = 0.

Conséquence : la différentielle de f en a est la fonction linéaire identiquement nulle surRn.

Démonstration : on se place dans le cas : f : Rn −→ R, où n est un entier donné.Soit alors j ∈ 1, ..., n.L’idée est de se ramener aux fonctions d’une variable que l’on sait bien caractériser. Appe-lons (e1, e2, ..., en), la base canonique de Rn. Souvenons-nous que, sous réserve d’existence,on a, pour tout X ∈ Rn :

∂f

∂xj(X) = lim

t→0

f(X + tej) − f(X)

t.

Appelons donc ϕj, la fonction d’une variable définie par :

ϕj : t 7−→ f(a+ tej).

ϕj est dérivable en a (car f est de classe C1 dans un voisinage de a), et puisque a est unextremum local pour la fonction f , il en est un aussi pour la fonction ϕj et on en déduit

que ϕ′j(a) = 0, autrement dit :

∂f

∂xj(a) = 0.

5.2 Caractérisation des points critiques

5.2.1 Hessienne d’une fonction

Attention : on rappelle au préalable que toute la théorie qui va suivre n’est valable quelorsque les domaines considérés sont des ouverts. On prendra donc à chaque fois les pré-cautions nécessaires pour se placer sur des ouverts.Définition à présent la matrice hessienne en un point a d’une application de classe C2 dansun voisinage de a :

Définition 5.3. Matrice hessienne.Soit f , une fonction de classe C2 sur U , ouvert de R

n à valeurs dans R, et soit a, un pointde U .

5.2. CARACTÉRISATION DES POINTS CRITIQUES 45

On appelle Ha, la matrice hessienne de f au point a définie par :

Ha =

(∂2f

∂xi∂xj(a)

)

1≤i≤n1≤j≤n

=

∂2f

∂x21

∂2f

∂x1∂x2

...∂2f

∂x1∂xn∂2f

∂x2∂x1

∂2f

∂x22

...∂2f

∂x2∂xn...

. . .∂2f

∂xn∂x1

∂2f

∂xn∂x2

...∂2f

∂x2n

(a)

On appelle qa, la forme quadratique (c’est à dire polynômiale dont tous les termes sontau maximum de degré 2) qui apparaît dans le développement en série de Taylor d’unefonction f de classe C2 dans un voisinage de a. On a alors :

∀h ∈ Rn, qa(h) =

n∑

i=1

n∑

j=1

hihj∂2f

∂xi∂xj(a).

Ainsi, dans un voisinage de a, avec des conditions de régularité appropriées dans unvoisinage de a, on a :

f(a+ h) = f(a) + (∇f(a), h)Rn +1

2qa(h) + o(‖h‖2).

Propriété 5.1. Ha est une matrice symétrique.On dit que Ha est la matrice associée à la forme quadratique qa.

Preuve : le lecteur pourra aisément s’en convaincre. La proposition résulte directementdu théorème de Schwarz.

5.2.2 Quelques notions d’Analyse spectrale

Avant de poursuivre, nous allons introduire la notion de valeur propre, essentielle, enAlgèbre. In désignera par la suite la matrice identité de taille n.

Définition 5.4. Polynôme caractéristique et valeurs propres.Soit M , un matrice symétrique carrée de type n× n.

(i) On appelle polynôme caractéristique de M , le polynôme χM défini par la relation :

χM(X) = det(M −XIn)

(ii) On appelle valeurs propres réelles de M les nombres réels λ racines du polynômecaractéristique de M , autrement dit les solutions de l’équation polynômiale de degré n :

det(M − λIn) = 0.

Exercice : déterminer le polynôme caractéristique ainsi que les valeurs propres de lamatrice :

A =

1 −2 4−2 0 −14 −1 3

.


Remarque : on notera que le degré de χA est toujours la dimension de la matrice A.

Le théorème qui suit nous donne une méthode simple permettant de déterminer la naturedes points critiques d’une fonction :

Théorème 5.3. Soit f , une fonction de classe C2 dans un voisinage de a. On appelleHa, la matrice hessienne de f en a. Ha est alors une matrice symétrique réelle dont lesvaleurs propres, nécessairement réelles sont ordonnées comme suit : λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn.On alors :(i) Si λi > 0 pour tout i ∈ 1, ..., n, f admet un minimum relatif en a.(ii) Si λi < 0 pour tout i ∈ 1, ..., n, f admet un maximum relatif en a.(iii) Si λ1 < 0 et λn > 0, alors f n’admet pas d’extremum relatif en a.

(iv) S’il existe i ∈ 1, ..., n tel que λi = 0, et si ∀j 6= i, λj ≥ 0 ou λj ≤ 0, on ne peutrien conclure.

5.3 Cas de la dimension 2

Nous allons réécrire dans ce paragraphe tous les résultats établis précédemment appliquésau cas de la dimension 2. f désigne donc une fonction définie et de classe C2 sur un ouvertU ⊂ R2 et a désigne un point de U . On pose a = (a1, a2).

Théorème 5.4. Formule de Taylor-Young à l’ordre 2.Soit X = (x1, x2) ∈ U . Alors, il existe η > 0 tel que, pour tous (h, k) ∈ R2 vérifiant‖(h, k)‖2 < η, on a :

f(x1 + h, x2 + k) = f(x1, x2) +∂f

∂x(x1, x2)h+

∂f

∂y(x1, x2)k

+1

2

[∂2f

∂x2(x1, x2)h

2 + 2∂2f

∂x∂y(x1, x2)hk +

∂2f

∂y2(x1, x2)k

2

]+ o(‖(h, k)‖2

2).

Rappel : si a est un point critique, daf(h) = 0, ∀h ∈ Rn.

Le cas de la dimension est si simple qu’il n’est pas utile de parler de matrice hessienne.Les notations de Monge définissent trois coefficients intervenant dans la matrice hessiennede f . Le théorème qui suit simplifie la caractérisation des points critiques d’une fonctionde R2 dans R.

Définition 5.5. Notations de Monge.a étant un point critique de f , on définit les coefficients r, s et t par :

r =∂2f

∂x2(a) , s =

∂2f

∂x∂y(a) =

∂2f

∂y∂x(a) et t =

∂2f

∂y2(a).

Théorème 5.5. Soit a, un point critique de f .(i) Si rt− s2 > 0 et r > 0, f admet un minimum local en a.(ii) Si rt− s2 > 0 et r < 0, f admet un maximum local en a.(iii) Si rt− s2 < 0, f n’admet pas d’extremum en a. On dit alors que a est un point selle

ou point col.

5.3. CAS DE LA DIMENSION 2 47

(iv) Si rt− s2 = 0, on ne peut rien affirmer.

Remarque : dans le cas où rt−s2 = 0, il faut revenir à la définition d’extremum. Si a estun point col, il s’agit d’exhiber des arcs paramétrés qui démontrent que f prend des valeurspositives et négatives dans un voisinage de a. Sinon, si a est un extremum local, il fautraisonner à l’aide d’inégalités locales. Nous étudierons ce cas (assez complexe) en exercice.

Exemple : on considère la fonction f : R2 −→ R définie par la relation :

f(x, y) = x2 + y4.

f est de classe C2 sur R2 comme somme de fonctions polynômiales et pour tous (x, y) ∈ R2 :

∇f(x, y) = (2x, 4y3).

f n’admet donc qu’une seul point critique : (0, 0).De plus : r = 2, t = 0 et s = 0. Donc rt− s2 = 0. On ne peut rien affirmer avec la formequadratique.Cependant, on a clairement : pour tous (x, y) ∈ R2, f(x, y) ≥ 0 = f(0, 0) donc f admeten (0, 0) un minimum global.



Exercice 5.1 : Déterminer les extrema locaux des applications suivantes et donner lemaximum de précisions possibles sur ces extrema :

1. f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x4 + x2 + y2 + y4

2. g : (R∗+)2 −→ R

(x, y) 7−→ x3 + 2xy − 5x+ 5y

3. h : R2 −→ R

(x, y) 7−→ (3x+ 7)e−((x+1)2+y2)

4. i : R2 −→ R

(x, y) 7−→ 6x2y3 − 2x3y3 − 3x2y4

5. j : R2 −→ R

(x, y) 7−→ cosxesin y

6. k : R∗+ × R −→ R

(x, y) 7−→ x ln2 x+ xy2

Exercice 5.2 : On définit la fonction f pour tous (x, y) ∈ R2 par :

f(x, y) = x4 + y4 − 4xy.

1. Déterminer le gradient de f au point X = (x, y).

2. Calculer pour tous (x, y) ∈ R2, f(−x,−y), et en déduire une conséquence graphiquepour la surface représentative de f .

3. Déterminer tous les points critiques de f .

4. Caractériser chacun de ces points critiques. Préciser si ce sont des extrema locaux,globaux, ou autres.

5. En utilisant une inégalité sur le réel xy, majorer et minorer le nombre f(x, y) parun nombre du type X2(x) + Y 2(y) + α, où X est une fonction de x, Y une fonctionde y et α, un nombre réel. Que peut-on en déduire ?

Exercice 5.3 : Soit α, un paramètre réel.On considère la fonction fα définie par : fα(x, y) = 1 + x+ αxy + 2y2 + αx3.

1. Déterminer le gradient de fα au point de coordonnées (x, y).

2. Montrer que si (x, y) est un extremum local, alors il vérifie le système :

(S)

3αx2 − α2x

4+ 1 = 0;

y = −αx4.

3. Montrer que (S) admet des solutions si, et seulement si α ∈] −∞; 0[∪[ 3√

192; +∞[.

4. Donner les couples solutions dans ce cas.

5. Trouver un chemin paramétré (x(t); y(t))t≥0 tel que x(t) −−−−→t→+∞

+∞ , y(t) −−−−→t→+∞

+∞ et fα(x, y) diverge vers +∞. On pourra séparer les cas α ≥ 0 et α < 0.En réitérant ce raisonnement, trouver un chemin paramétré tel que fα divere vers−∞. Que peut-on en déduire quant-aux éventuels extrema de fα ?


6. Cas particulier : α = 6.Caractériser les points critiques de f6.

Exercice 5.4 : On appelle f et g, les fonctions respectivement définies sur R2 par :

g(x, y) = x2 + xy + y2 et f(x, y) = (2x2 − 4)2 + (2x2 − 4)(y2 − 1) + (y2 − 1)2.

La question 4. est indépendante du reste de l’exercice.

1. Déterminer les points critiques de g, puis caractériser ces points critiques.

2. Démontrer la propriété : ∀(x, y) ∈ R2, g(x, y) ≥ 0.Compléter alors la réponse à la question précédente.

3. Déduire des questions précédentes que f admet quatre minima globaux que l’onprécisera.

4. Le but de cette question est de déterminer le maximum de la fonction g sur le cercleunité de R2, c’est à dire le cercle C de centre O(0, 0) et de rayon R > 0 (à ne pasconfondre avec le disque de centre O et de rayon 1).

(a) Soit θ, un nombre réel élément de ]−π, π]. Simplifier le nombre g(R cos θ, R sin θ).

(b) En déduire la valeur du maximum de la fonction g sur le cercle C.

(c) En procédant de même, trouver la valeur du minimum de g sur le cercle C.

(d) Conclure à l’aide d’un schéma.


Chapitre 6

Introduction aux équations aux

dérivées partielles

6.1 Équations différentielles

6.1.1 Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires

Définition 6.1. Une équation différentielle scalaire d’ordre n est une équation reliant unefonction y et ses dérivées y′, y′′, ..., y(n) de la forme :

an(t)y(n) + a(n−1)(t)y

(n−1) + ... + a0(t)y = b(t) (E)

, où a0, ..., an et b sont des fonctions définies sur un même intervalle I et à valeurs dansR.

Remarque : par souci de clarté, on écrit y plutôt que y(t). On peut même écrire (E)sous la forme :

any(n) + ...+ a0y = b.

Notations :• b s’appelle le second membre de (E).• On appelle équation différentielle homogène associée à (E) et on note (H) l’équa-

tion :

an(t)y(n) + a(n−1)y

(n−1) + ... + a0(t)y = 0.

• Si a0, ..., an sont des fonctions constantes, (E) est dite à coefficients constants.• (E) est appelée équation linéaire car si y et z sont deux solutions de (E), on vérifie

aisément que pour tous λ et µ réels, la fonction λy+µz est encore une solution de (E).

Vocabulaire : résoudre (E), c’est déterminer une fonction y et un intervalle I ⊂ R telque y : I −→ R soit solution de (E).On parle tout simplement de solution maximale lorsque I est le plus grand possible.

51

52 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP

6.1.2 Un exemple en Physique

Considérons l’exemple d’un mobile glissant sur un plan incliné avec frottements. Il s’agitd’appliquer le principe fondamental de la Dynamique. Voici le schéma correspondant àcette situation : On peut écrire, d’après la deuxième loi de Newton :

∑−→F ext = m−→a =

?

i

−→R

−→P

−→f

α

qx

Fig. 6.1 – Exemple Physique

md−→vdt

. Les forces mises en jeu sont−→P , le poids du mobile,

−→R , la réaction au support , et

−→f , la force de frottement telle que

−→f = −β−→v , avec β ∈ R

∗+.

Projetons sur l’axe du mouvement, on obtient :

mg sinα− βv = mdv

dt⇐⇒ dv

dt+β

mv = g sinα.

On obtient une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. La plu-part des situations en Physique peuvent se modéliser à l’aide d’équations différentielles.Évidemment, plus le modèle est sophistiqué, plus les équations différentielles seront com-pliquées à résoudre.

6.1.3 Équation différentielles linéaires à coefficients constants

6.1.3.1 Équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants

Propriété 6.1. On appelle équation différentielle linéaire homogène du premier ordre àcoefficients constants toute équation du type :

(H) y′ = ay

, où a désigne une constante réelle.Les solutions de (H) sont les fonctions fk : R −→ R définies par : fk(x) = k exp(ax), oùk ∈ R.

Démonstration : on appelle y0 la fonction définie sur R par : y0(x) = exp(ax). On vautiliser un changement de fonction pour résoudre (H). Posons : y = y0z, où z est une fonc-tion définie sur R et dérivable. On a : y′ − ay = 0 ⇐⇒ y′0z + z′y0 − ay = 0 ⇐⇒ z′y0 = 0.Or, on a clairement ∀x ∈ R, y0(x) > 0. On en déduit que : ∀x ∈ R, z′(x) = 0, autrementdit, z est une fonction constante sur R et le résultat souhaité s’ensuit.

Conséquence : l’ensemble des solutions de (H) est un espace vectoriel de dimension

6.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 53

1.Ainsi, l’équation différentielle :

y′ = ayy(0) = y0

, avec y0 réel possède une unique solution qui est définie sur R.

Exemple : résolvons l’équation différentielle :y′ = −yy(0) = 1

La solution est de la forme : y(x) = ke−x, et puisque y(0) = 1, on en déduit que ∀x ∈R, y(x) = e−x.

6.1.3.2 Théorème de structure des solutions

Ce principe peut s’appliquer à des équations différentielles de tout ordre. Énonçons-led’abord pour les équations différentielles du premier ordre.

Théorème 6.1. Considérons l’équation différentielle :

(E) y′ = ay + f(x)

, où f est une fonction donnée définie sur un intervalle I. On appelle (H) l’équationhomogène associée à (E) : y′ = ay, et ϕ, une solution particulière de l’équation (E). Lespropositions suivantes sont équivalentes :(i) y est solution de (E).(ii) y − ϕ est solution de (H).

Preuve : ϕ est une solution particulière de (E). Par conséquent, ϕ vérifie : ϕ′ = aϕ+f(x).Puis, y − ϕ est solution de (H) ⇐⇒ (y − ϕ)′ = a(y − ϕ) ⇐⇒ a = ay + f(x).

Remarque : le théorème de structure des solutions peut s’écrire de façon symbolique :

Solution générale = Solution particulière + Solution de l’équation homogène

Il est important de savoir redémontrer ce théorème.

Exemple : on veut résoudre l’équation diffréntielle y′ + y = x + 1. Il est évident quela fonction u définie sur R par u(x) = x est une solution particulière de cette équation dif-férentielle. L’équation différentielle homogène associée est : y′ = −y. D’après le théorèmede structure des solutions, la solution générale de cette équation différentielle est définiepour x ∈ R par :

y(x) = ke−x + x, où k ∈ R.

Exercice : démontrer le théorème suivant :

Théorème 6.2. On consière l’équation différentielle d’ordre n (E) : any(n)+a(n−1)y

(n−1)+... + a0y = b(t), où a0, ..., an désignent des constantes et b, une fonction définie sur unintervalle I donné. On appelle (H) l’équation homogène associée à (E). On suppose quela fonction ϕ est une solution particulière de (E). Alors les propositions suivantes sontéquivalentes :


(i) y est solution de (E).(ii) y − ϕ est solution de (H).

6.1.3.3 Équations différentielles homogène du second ordre à coefficients constants

Théorème 6.3. On considère l’équation différentielle :

(H) : ay′′ + by′ + cy = 0

, où a, b et c sont trois constantes réelles. On appelle (EC) l’équation caractéristiqueassociée à (H) , c’est à dire l’équation polynômiale du degré 2 : aX2 + bX + c = 0, et∆ := b2 − 4ac, son discriminant. Alors :(i) Si ∆ > 0, (EC) admet deux solutions réelles r1 et r2. La solution de (H) est de la

forme :∀x ∈ R, y(x) = c1e

r1x + c2er2x, où (c1, c2) ∈ R

2.

(ii) Si ∆ = 0, (EC) admet une solution double r0. La solution de (H) est de la forme :

∀x ∈ R, y(x) = (c1 + c2x)er0x, où (c1, c2) ∈ R

2.

(iii) Si ∆ < 0, (EC) admet deux solutions complexes conjuguées α ± iβ. La solution de(H) est de la forme :

∀x ∈ R, y(x) = eαx(c1eβx + c2e

−βx), où (c1, c2) ∈ R2.

Exemple 1 : on veut résoudre l’équation différentielle : y′′ + ω20y = x, avec ω0 ∈ R∗

+.On va utiliser le théorème de structure des solutions. L’équation caractéristique associéeest (EC) : X2 + ω2

0 = 0. On en déduit immédiatement que les solutions de l’équationhomogène associée sont les fonctions :

x 7−→ c1 cos(ω0x) + c2 sin(ω0x).

Ainsi, en remarquant que la fonction x 7−→ xω2

0est une solution particulière, on en déduit

que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle ci-dessus sont les fonctions :

x 7−→ c1 cos(ω0x) + c2 sin(ω0x) +x

ω20

, avec (c1, c2) ∈ R2.

Exemple 2 : on considère l’équation différentielle que l’on cherche à résoudre sur l’inter-valle [0, T ] :

y′′ + ky = 0, avec k ∈ R.y(0) = y(T ) = 0

1. Expliciter, suivant les valeurs de k, les différentes possibilités de solutions pour (E).

2. Montrer qu’une seule des possibilités précédentes ne fournit pas la solution identi-quement nulle.

Solution :

1. C’est une application directe du cours :• Si k < 0 : la solution y de (E) s’écrit sous la forme : ∀x ∈ R, y(x) = Ae

√−kx +

Be−√−kx, où A et B sont deux constantes réelles.

6.2. COMPLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL 55

• Si k = 0 : la solution y de (E) s’écrit sous la forme : ∀x ∈ R, y(x) = A +Bx, oùA et B sont deux constantes réelles.

• Si k > 0 : la solution y de (E) s’écrit sous la forme : ∀x ∈ R, y(x) = A cos(√

kx)+

B sin(√

kx), où A et B sont deux constantes réelles.

2. On utilise les conditions de l’équation :• Si k < 0 : y(0) = 0 =⇒ A + B = 0, puis y(T ) = 0 =⇒ A(e

√−kT − e−

√−kT ) = 0,

c’est à dire A sinh (√−kT ) = 0, puis il suffit de conclure en utilisant une propriété

de la fonction sinh et on trouve que A = B = 0(à finir ...)• Si k = 0 : y(0) = 0 =⇒ A = 0, puis y(T ) = 0 =⇒ BT = 0 =⇒ B = 0.

• Si k > 0 : y(0) = 0 =⇒ A = 0, puis y(T ) = 0 =⇒ B sin(√

kT)

= 0 =⇒√kT = nπ, avec n ∈ N (car la solution B = 0 n’est pas intéressante, elle fournit

la solution identiquement nulle...). Ainsi, dans ce cas, on a pour tout x ∈ R :

y(x) = B sin(nπxT

), avec n, un entier naturel.

6.2 Compléments de calcul différentiel

6.2.1 Composition des différentielles

Au préalable, rappelons la définition de l’image d’une partie d’un ensemble par une ap-plication. Soit U ⊂ Df , où Df désigne l’ensemble de définition d’une fonction f donnée.On a :

f(U) = f(x), x ∈ U.Remarque : x dans la définition peut désigner un vecteur, pas nécessairement un réel.f(U) s’appelle « l’image de U par f ».

On a le résultat suivant :

Théorème 6.4. Soit f ∈ C1(U, F ) et g ∈ C1(V,G), où f(U) ⊂ V .Alors, g f ∈ C1(U,G) et :

∀a ∈ U, ∀h ∈ U, da(g f)(h) = df(a)g daf(h).

Matriciellement, avec les notations usuelles, la relation précédente s’écrit :

Ja(g f) = Jf(a)g ×Jaf.

Remarque : bien-sûr, × désigne ici la multiplication matricielle.

Traduction analytique des écritures précédentes : posons h = g f : U −→ G.On va supposer que U ⊂ Rn, G ⊂ Rp et f(U) ⊂ V ⊂ Rq. Soit a ∈ U et h = (h1, h2, ..., hp).Supposons que i ∈ 1, 2, ..., p et j ∈ 1, 2, ..., n. On a :

∂hi∂xj

=

q∑

k=1

∂gi∂xk

[f(a)]∂fk∂xj

(a).


6.2.2 Exemple détaillé

Soit g, une fonction de R2 dans R et f , la fonction définie par :

f : R2 −→ R2

(x1, x2) 7−→ (x1 + x2, x1 − x2) = (f1(x1, x2), f2(x1, x2)).

Si h := g f , on souhaite exprimer les dérivées partielles de h en fonction de celles de g.Cet exemple est essentiel. Nous comprendrons mieux son utilité dans le chapitre suivant.On a :

Jf(a)g = ∇g (f(a)) =

(∂g

∂x1(f(a)),

∂g

∂x2(f(a))

)et Jaf =

∂f1

∂x1

∂f1

∂x2∂f2

∂x1

∂f2

∂x2

(a) =

(1 11 −1

).

Par conséquent, en appliquant la formule ci-dessus, on trouve :

Jah =

(1 11 −1

)×(

∂g

∂x1(f(a)),

∂g

∂x2(f(a))

)=

(∂h

∂x1(a),

∂h

∂x2(a)

).

Par conséquent :

∂h

∂x1(a) =

∂g

∂x1[f(a)] +

∂g

∂x2[f(a)] ;

∂h

∂x2(a) =

∂g

∂x1[f(a)] − ∂g

∂x2[f(a)].

6.2.3 Quelques opérateurs différentiels

Dans ce paragraphe, nous considérons une fonction f : U ⊂ Rn −→ R, suffisammentrégulière pour pouvoir définir les opérateurs ci-dessous, c’est à dire de classe C1(U) ouC2(U).

Définition 6.2. On définit respectivement le gradient, la divergence et le laplacien de fsuffisamment régulière, en un point a de U par :

−−→gradf(a) = ∇f(a) =

(∂f

∂x1(a), ...,

∂f

∂xn(a)

)

divf(a) =∂f

∂x1(a) + ...+

∂f

∂xn(a) =

n∑

k=1

∂f

∂xk(a)

4f(a) =∂2f

∂x21

(a) + ...+∂2f

∂x2n

(a) =n∑

k=1

∂2f

∂x2k

(a)

Nous retrouverons ces opérateurs, car ils interviennent régulièrement dans les équationsaux dérivées partielles.

Définition 6.3. On dit que f : Rn −→ R est harmonique sur U , ouvert de R

n si, etseulement si : 4u = 0 sur U .

Une équation aux dérivées partielles peut être vue comme une équation différentiellegénéralisée.

6.3. CHANGEMENT DE COORDONNÉES 57

Définition 6.4. Une équation aux dérivées partielles ou EDP est une équation reliant unefonction à ses dérivées partielles ou une équation reliant entre elles les dérivées partiellesd’une fonction.

Remarque 1 : la solution d’une EDP est une fonction de plusieurs variables. Par consé-quent, le domaine sur lequel on résout l’EDP joue un rôle essentiel et il est importantde le connaître dès le début. En général, il existe des conditions au bord (c’est à diredes conditions sur la fonction en tout point du bord du domaine), des conditions initiales(lorsque l’une des variables représente le temps par exemple, on possède des informationssur la fonction à t = 0) , etc.

Remarque 2 : Si le domaine de résolution de l’EDP est noté U et si U est un domainefermé borné, on note ∂U le bord du domaine. Donnons immédiatement une exempled’EDP en dimension 2.

Exemple : ` et L désignent deux nombres réels strictement positifs. Cette EDP peut

-

6

O x

y

`

L

4u = 0

u = 0

u = y

u = L

u = y

A

BC

Fig. 6.2 – Un exemple d’EDP

encore s’écrire formellement, en notant R le rectangle ci-dessus, de la façon suivante :

4u(x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ R ⊂ R2

u(0, y) = u(`, y) = y ∀y ∈ [0, L]u(x, 0) = 0 ∀x ∈ [0, `]u(x, L) = L ∀x ∈ [0, `].

Remarque 1 : ∂R = [OA] ∪ [AB] ∪ [BC] ∪ [CO].Remarque 2 : le lecteur vérifiera aisément que la continuité des conditions aux bordpour cette EDP.

6.3 Changement de coordonnées

Dans ce paragraphe, nous ne considérerons que des fonctions de R2 et à valeurs dans R.


6.3.1 Repère polaire

Appelons ~u(θ), le vecteur défini pour tout réel θ par : ~u(θ) = cos θ~i+ sin θ~j.

6

--6

x

y

~i

~j θ>

~u(θ)

(D)

q

M

Fig. 6.3 – Repère polaire

Remarque 1 : ‖~u(θ)‖2 =√

cos2 θ + sin2 θ = 1.

Remarque 2 : tout point M de la droite (D) passant par O et de vecteur directeur~u(θ) peut être repéré par le réel ρ tel que :

−−→OM = ρ~u(θ).

On peut supposer que ρ > 0 en remarquant que ~u(θ + π) = −~u(θ). En effet, si ρ < 0,−−→OM = ρ~u(θ) = −ρ~u(θ + π).

Définition 6.5. Le couple (ρ, θ) est appelé système de coordonnées polaires du point M .

Remarque : pour tout couple (x, y) ∈ R2\(0, 0), on a (ρ, θ) ∈ R∗+ × [0, 2π[.

Propriété 6.2. À partir d’un système de coordonnées polaires (ρ, θ) du point M , onretrouve les coordonnées cartésiennes de M par les relations : x = ρ cos θ et y = ρ sin θ

Définition 6.6. Posons ~v(θ) = ~u(θ +

π

2

). Le repère (O; ~u,~v) est orthonormal. On l’ap-

pelle repère polaire attaché au point M .Ce repère est l’image du repère (O;~i,~j) par la rotation d’angle θ et de centre O.

6.3.2 Changement de variables quelconque

On note ϕ la fonction « changement de coordonnées en polaires », définie par :

ϕ :R2 −→ R2

(ρ, θ) 7−→ (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ).

Si f est une fonction de R2 dans R, on peut avoir envie d’exprimer f(x, y) à l’aide descoordonnées polaires ρ et θ. Cette technique peut être notamment utilisée pour calculerdes limites de fonctions à deux variables.

Théorème 6.5. (x, y) −→ (0, 0) ⇐⇒ ρ −→ 0.


Démonstration : ρ −→ 0 est équivalent à ρ2 −→ 0. Or, ρ2 = x2 + y2 ≥ 0.Donc ρ −→ 0 est équivalent à x2 −→ 0 et y2 −→ 0. D’où le résultat souhaité.

Exemple : on définit la fonction f sur D = R2\(0, 0) par :

f(x, y) =x2y

x4 + y4.

On pose pour tous (x, y) ∈ D, f(x, y) := F (ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ). On a donc :

F (ρ, θ) =ρ3 cos2 θ sin θ

ρ4(cos2 θ + sin2 θ)=

1

ρ(cos2 θ sin θ).

De plus, |F (ρ, θ)| = |f(x, y)| −−→ρ→0

+∞. Par conséquent, f n’est pas continue en O.

Exercice : la fonction f définie par f(x, y) =x4

x2 + y2est-elle prolongeable par conti-

nuité en O ?

On peut également avoir envie d’exprimer les dérivées partielles d’une fonction de x et y

quelconque f en fonction des dérivées partielles de F :∂F

∂ρet∂F

∂θ.

On va s’intéresser à la fonction ϕ. Nous avons déjà prouvé dans un précédent chapitre queϕ est un C1-difféomorphisme. C’est une condition nécessaire pour la fonction « changementde coordonnées ». La matrice jacobienne de ϕ en a = (ρ, θ) est donnée par :

Ja(ϕ) =

∂x

∂ρ

∂x

∂θ∂y

∂ρ

∂y

∂θ

.

On rappelle également un résultat d’un chapitre précédent. En supposant que f et gvérifient les conditions de régularité nécessaires, on peut écrire que :

Ja(g f) = Jf(a)(g) × Ja(f).

Si f ∈ C1(U), U ouvert de R2, en se souvenant que ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ), on aF = f ϕ. En effet, ∀(ρ, θ) ∈ R

∗+ × [0, 2π[, F (ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ) = f ϕ(ρ, θ). Il

s’ensuit que si a = (ρ, θ) ∈ U , ϕ(a) = (x, y) (écriture cartésienne de a), et on a :

(∂F

∂ρ,∂F

∂θ

)=

(∂f

∂x,∂f

∂y

)×

∂x

∂ρ

∂x

∂θ∂y

∂ρ

∂y

∂θ

.

On en déduit immédiatement que :

∂F

∂ρ=

∂f

∂xcos θ +

∂f

∂ysin θ

∂F

∂θ= −∂f

∂xρ sin θ +

∂f

∂yρ cos θ

⇐⇒

∂f

∂x=

∂F

∂ρcos θ − sin θ

ρ

∂F

∂θ∂f

∂y=

∂F

∂ρsin θ +

cos θ

ρ

∂F

∂θ

Conclusion générale : lorsque l’on souhaite calculer les dérivées d’une fonction aprèsun changement de variable, la méthode précédente se généralise aisément. On appelle en


général ϕ la fonction « changement de variable » (comme dans l’exemple précédent). Ilest nécessaire de vérifier de prime abord que ϕ définit un C1-difféomorphisme. On utiliseensuite la formule Ja(g f) = Jf(a)(g) ×Ja(f).

Dans le paragraphe qui suit, nous allons étudier une application de la méthode de chan-gement de variable.

6.3.3 Trois méthodes de résolution explicite d’EDP

Dans ce paragraphe, nous travaillerons beaucoup à l’aide d’exemples, car la théorie qui secache derrière est sopuvent un peu ardue. De nombreux exercices portant sur ces notionsseront proposés en TD.

6.3.3.1 Changement de coordonnées

On veut résoudre l’EDP :

(E)∂f

∂x− ∂f

∂y= a, avec a ∈ R.

On va utiliser le changement de coordonnées :

u = x+ yv = x− y

⇐⇒

x =

u+ v

2

y =u− v

2

On choisit donc de poser :

∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = F (u, v) = f

(u+ v

2,u− v

2

).

L’idée est de se ramener à une équation réécrite en variables u et v que l’on sait facilementrésoudre, puis d’utiliser les relations reliant F et f pour en déduire l’expression de f(x, y)en fonction de x et y.

On va donc exprimer∂f

∂xet∂f

∂yen fonction de

∂F

∂uet∂F

∂v.

On appelle ϕ, la fonction de R2 dans R2 définie par : ϕ(x, y) = (u, v) = (x+ y, x− y). ϕest une fonction de classe C1(R2) et on a :

∂u

∂x

∂u

∂y∂v

∂x

∂v

∂y

=

(1 11 −1

).

Puisque : Ja(Fϕ) = Jϕ(a)F×Jaϕ, a ∈ R2, alors

(∂f

∂x,∂f

∂y

)=

(∂F

∂u,∂F

∂v

)×(

1 11 −1

):

∂f

∂x=

∂F

∂u+∂F

∂v∂f

∂y=

∂F

∂u− ∂F

∂v

.


Par conséquent, (E) devient 2∂F

∂v= a, autrement dit

∂F

∂v=a

2. Par intégration directe,

on en déduit qu’il existe une fonction g, de classe C1 sur R par : F (u, v) =a

2v + g(u).

Cette relation devient donc : ∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = F (x+ y, x− y), qui devient :

∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) =

a

2(x− y) + g(x+ y).

6.3.3.2 Méthode de séparation des variables

On souhaite résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :

(E)∂f

∂x=∂f

∂y.

L’idée est de séparer les variables, c’est à dire que l’on suppose que la solution de l’équations’écrit sous la forme : ∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = F (x)G(y), où F et G sont deux fonctionsde classe C1 sur R.On peut alors écrire que : ∀(x, y) ∈ R2, on a :

∂f

∂x(x, y) = G(y)

∂F

∂x(x)

∂f

∂y(x, y) = F (x)

∂G

∂y(y).

L’équation (E) se réécrit donc sous la forme :

F (x)∂G

∂y(y) = G(y)

∂F

∂x(x).

Si l’on suppose de plus que F et G ne s’annulent pas sur leur domaine de définition, ona :

∀(x, y) ∈ R2,

1

G(y)

∂G

∂y(y) =

1

F (x)

∂F

∂x(x).

Or, y 7−→ 1

G(y)

∂G

∂y(y) et x 7−→ 1

F (x)

∂F

∂x(x) sont respectivement des fonctions de y et x.

On en déduit l’existence d’une constante c ∈ R telle que :F ′ = cFG′ = cG.

On reconnaît deux équations différentielles linéaires et homogènes du premier ordre quel’on résout sans difficulté. Ainsi, pour tous x et y réels, on a : f(x, y) = γec(x+y), avec γ ∈ R.

Remarque : remarquons que la solution par séparation de variables ne fournit qu’une so-lution particulière ou un ensemble de solutions particulières mais en aucun cas l’ensembledes solutions d’une EDP. Pour s’en convaincre, il faut constater que l’équation résolue parla méthode de séparation des variables est l’équation résolue par changement de variabledans le cas a = 0.De nombreux exemples seront traités en exercices.

L’équation de la chaleur peut être résolue à l’aide de la méthode de séparation des va-riables. Ce sera vu dans les travaux dirigés de ce chapitre.



Exercice 6.1 : En utilisant le théorème de structure des solutions, résoudre complètementl’équation différentielle :

(E) y′ = ay + b

, où a et b sont deux constantes réelles.

Exercice 6.2 : Résoudre les équations différentielles suivantes (on pourra chercher danschaque cas une solution particulière) :

1. y′ + y = ex ;

2. y′′ + ω20y = 0 ;

3. y′ − 3y = x2 + 2x− 4 ;

4. 2y′′ + 4y′ − 6y = 4 ;

5. y′ − xy = 0 ;

6. (1 + x2)y′ − y = 0 ;

7. y′ − xy = 2x− x3 ;

8. y′′ − y = x2.

Exercice 6.3 : Un exemple d’équation différentielle en Physique. Établir l’équa-tion différentielle de la charge d’un condensateur C à travers une résistance R par unetension constante E et la résoudre. On supposera que la charge initiale du condensateurest nulle. On introduit τ = RC. Quelle est la charge du condensateur au bout d’un tempsτ ? Exercice 6.4 : On considère l’équation différentielle régissant le comportement d’unpendule pesant :

θ′′ + g

`sin θ = 0;

θ(0) = π2

θ′(0) = 0.

g désigne la constante de gravitation, et `, la longueur du pendule.

1. Démontrer la relation suivante :

∀t ≥ 0, cos (θ(t)) =`

2g

∣∣∣∣dθ

dt(t)

∣∣∣∣2

.

2. Démontrer que θ, la solution de l’équation différentielle ci-dessus est une fonctionlipschitzienne.

Rappel : on dit qu’une fonction f définie sur D ⊂ R est lipschitzienne si :

∃C > 0 : ∀(x, y) ∈ D2, |f(x) − f(y)| < C|x− y|.

3. Rechercher toutes les fonctions constantes solutions de l’équation différentielle ci-dessus.Ces solutions vous paraissent-elles réalistes ? Comment les interprétez-vous physi-quement ?


Exercice 6.5 : Soit f , une fonction de deux variables x et y définie sur R2. On poseF (r, θ) = f(r cos θ, r sin θ).

1. Déterminer l’expression du gradient de f en coordonnées polaires.

2. On définit le Laplacien d’une fonction f de deux variables x et y par :

4f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2.

Déterminer l’expression du Laplacien en coordonnées polaires, c’est à dire l’expres-sion de 4f en fonction de r et θ, et des dérivées partielles de F .On montrera que :

4f =∂2F

∂r2+

1

r

∂F

∂r+

1

r2

∂2F

∂θ2.

Remarque : ce calcul est très fastidieux... Courage ! !

3. Application : vérifier les formules établies précédemment à partir de la fonction fdéfinie par : f(x, y) = e−x

2−y2.

Exercice 6.6 : En utilisant par exemple les coordonnées polaires, étudier la continuitédes fonctions suivantes :

1. f(x, y) =xy

x2 + y2;

2. f(x, y) =xy

x+ y;

3. f(x, y) =xy

|x| + |y| ;

4. f(x, y) =x2 + y

x3 + y2;

5. f(x, y) =x4 + y3

x2 + y2.

Exercice 6.7 : Le but de cet exercice est de résoudre l’équation aux dérivées partielles :

(E) x∂f

∂x+ y

∂f

∂y=√x2 + y2.

1. Passage en coordonnées polaires.On se place dans le repère orthonormé du plan (O;~i,~j). Soit f , une fonction declasse C1 sur son ensemble de définition U . Posons x = r cos θ et y = r sin θ, avecr > 0 et θ ∈ [0; 2π[. On appelle f la fonction définie par : f(r, θ) := f(x, y) =f(r cos θ, r sin θ).

On appelle g, la fonction définie sur R∗+ × [0; 2π[ par : g(r, θ) =

(r cos θr sin θ

).

On pose a = (r, θ), et pour tout réel θ de l’intervalle [0; 2π[ :

~u(θ) = cos θ~i+ sin θ~j ;

~v(θ) = − sin θ~i+ cos θ~j.


(a) Déterminer Jag, la matrice jacobienne de g en a, et Jg(a)f , la matrice jacobiennede f en g(a). Quel est l’autre nom de cette matrice pour le cas de f ?

(b) En déduire les expressions de∂f

∂ret∂f

∂θen fonction de

∂f

∂xet∂f

∂y.

(c) Exprimer∂f

∂xet∂f

∂yen fonction de

∂f

∂ret∂f

∂θ.

(d) Démontrer que pour tous (x, y) ∈ U et (r, θ) ∈ R∗+ × [0; 2π[, on a :

∇f(x, y) =∂f

∂r(r, θ)~u(θ) +

1

r.∂f

∂θ(r, θ)~v(θ).

2. Déduire de la question précédente que l’équation (E) est équivalente à l’équation :

(E ′)∂f

∂r= 1.

3. Résoudre l’équation (E ′), et démontrer que la fonction f est de la forme :

f(x, y) =√x2 + y2 + ψ

(yx

),

où ψ est une fonction de classe C1 sur R.

Exercice 6.8 : En utilisant un changement de variables en coordonnées polaires, trouvertoutes les applications f : (R∗

+)2 −→ R, de classe C1 telles que :

∀(x, y) ∈ (R∗+)2, x

∂f

∂x(x, y) + y

∂f

∂y(x, y) =

y

x.

Exercice 6.9 : On souhaite résoudre l’équation aux dérivées partielles :

(E)∂f

∂x+y

x

∂f

∂y= 2y.

1. Déterminer un ensemble D ⊂ R2\ (x, y) ∈ R2 : x 6= 0 tel que le changement de

variables u = xy et v =y

xdéfinisse un C1-difféomorphisme.

2. En utilisant ce changement de variables, résoudre l’équation aux dérivées partiellesci-dessus.

3. Commentez le résultat obtenu. Avez-vous, à votre avis trouvé toutes les solutions decette équation ? Pourquoi ?

Exercice 6.10 : On souhaite résoudre l’équation aux dérivées partielles :

(E)∂2f

∂x2− ∂2f

∂y∂x= 2(x− y).

f désigne bien-sûr une fonction de classe C2 sur R2.

1. Démontrer que le changement de variable u = x + y et v = x − y définit un C1-difféomorphisme sur R2.


2. En utilisant ce changement de variables, résoudre l’équation aux dérivées partiellesci-dessus.

Exercice 6.11 : On va tenter de résoudre l’EDP suivante :

k∂f

∂x=∂f

∂y, avec k ∈ R.

1. Traiter le cas k = 0.2. Poser f(x, y) = g(x)h(y), où g et h sont deux fonctions de classe C1 sur leur ensemble

de définition. Conclure.3. Résoudre l’EDP en utilisant le changement de variable u = x+ y et v = x+ ky.

On montrera bien-sûr que ce changement de variables définit un C1-difféomorphismesur R2 tout entier.

4. Conclure l’exercice.

Exercice 6.12 :1. On veut résoudre l’équation différentielle suivante :

(E)

r2v′′ + rv′ = cv, r ∈ [0, 1];v(1) = 0;v′(1) = 0.

c désigne une constante strictement positive.(a) On choisit de poser v(r) = rqf(r), où q est un nombre réel strictement positif.

Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation :

(F )

r2f ′′ + (2q + 1)rf ′ = (c− q2)f, r ∈ [0, 1];f(1) = 0;f ′(1) = 0.

(b) On choisit alors q =√c, et on pose g = f ′.

Déterminer la nouvelle équation vérifiée par g et la résoudre.(c) En déduire f , puis v.

2. On appelle D, le disque de centre O et de rayon 1, et C, le cercle de centre O etde rayon 1. Résoudre l’EDP suivante en utilisant un changement de coordonnéespolaires puis une séparation de variables :

4u = 0 dans Du = 0 sur C.

On pourra utiliser au cours de la résolution la question précédente.3. Conclure.

Exercice 6.13 : On souhaite résoudre l’équation des cordes vibrantes :

(E0)

∂2u

∂t2− c2

∂2u

∂x2= 0;

u(x, 0) = u0(x);∂u

∂t(x, 0) = u1(x);

|u(x, t)| −−−−−→|x|→+∞

0.


c désigne la célérité ou vitesse de l’onde, t, le temps, x, la position de la corde vibrante. u0

est une fonction continue qui représente la position initiale de la corde, u1, une fonctioncontinue qui représente la vitesse initiale de l’onde.Utiliser le changement de variable y = x− ct et z = x + ct pour résoudre complètementl’EDP ci-dessus. Interpréter la solution à l’aide d’un dessin.

Exercice 6.14 : La loi de Fourier est l’équation aux dérivées partielles qui décrit lapropagation de la chaleur dans un milieu. On considère le flux dénergie thermique J(r, t)qui traverse une surface unitaire par unité de temps. La loi de Fourier s’écrit : J = −κ∇u,où κ est le coefficient de conductivité thermique et u, la température du milieu, qui estfonction de x (la position) et de t (le temps).Cette loi stipule qu’une différence de températures engendre un flux d’énergie dans la di-rection des températures décroissantes. Considérons le cas unidimensionnel, par exemple,le cas d’une poutre de longueur L, infiniment plus longue qu’épaisse. Un bilan en puis-sance et la loi de Fourier permettent de démontrer que la température u du milieu vérifiel’équation de la chaleur :

∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2

, où c2 =κ

σρ, avec σ, la chaleur spécifique du corps et ρ, sa densité volumique.

On se donne les conditions suivantes :(i) Les deux extrémités de la poutre sont à une température de 0 C. On a par conséquent :u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀t ∈ R+.

(ii) Condition initiale. On suppose que ∀x ∈ [0, L], u(x, 0) = f(x), où f est une fonctionde classe C1 sur [0, L] donnée.

Le but de cet exercice est de résoudre par une méthode de variables séparables l’équationde la chaleur en dimension 1 :

(1)

∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2, ∀(x, t) ∈ [0, L] × R+ (1.1)

u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀t ∈ R+ (1.2)u(x, 0) = f(x) ∀x ∈ [0, L] (1.3)

Rappel d’Analyse : la fonction « sinus hyperbolique » est définie par la relation :

∀x ∈ R, sinh x =ex − e−x

2. La fonction sinh réalise une bijection de R dans R.

1. On pose ∀(x, t) ∈ [0, L] × R+, u(x, t) = v(x)w(t).Démontrer que résoudre (1) revient alors à résoudre deux équations différentiellesd’inconnues respectives v et w. Préciser l’ordre de ces équations.

2. On appelle (2) l’équation en v, (3) l’équation en w.Dans cette question, on ne prendra pas en compte la condition (1.3) del’équation (1) , faisant intervenir la fonction f . Seules les conditions auxlimites (1.2) interviendront.

(a) On suppose v non identiquement nulle (c’est à dire, v n’est pas la fonctionconstante égale à 0 sur [0, L]).Démontrer dans un premier temps que selon le signe des paramètres interve-nant dans l’équation (2), il y a trois expressions possibles pour v(x), que l’onprécisera.


(b) En s’intéressant aux conditions aux limites (1.2), démontrer qu’un seul des casprécédents ne fournit pas la solution identiquement nulle pour v(x).Démontrer que les seules solutions acceptables pour (2) sont les fonctions vn,définies pour tout n entier naturel quelconque et x ∈ R par :

vn(x) = Kn sin(nπLx)

, où les Kn sont des nombres donnés dépendant de n.

(c) Résoudre également l’équation (3). On pourra utiliser certaines informationsdémontrées dans la qestion précédente.

(d) En déduire, ∀(x, t) ∈ [0, L]×R+, l’expression de un(x, t), solution de l’équation(1), pour n fixé.

3. Montrer que si f et g sont solutions de (1.1), si α et β sont deux réels quelconquesfixés, alors αf + βg est également une solution de (1.1).

4. En déduire que la fonction UN définie pour toutN , entier supérieur à 1 par UN (x, t) =N∑

n=1

un(x, t) est encore une solution de (1.1).

5. On s’intéresse à présent à la condition (1.3). On pose à présent, sous réserve quecette limite existe :

∀(x, t) ∈ [0, L] × R+, U(x, t) := limn→+∞

UN(x, t) =

+∞∑

n=1

un(x, t).

On appelle γ, la fonction définie sur [0, L] par : γ(x) = U(x, 0) =

+∞∑

n=1

Kn sin(nπLx),

où (Kn) est une suite donnée.

(a) Démontrer que si U est une solution du problème (1), alors, f est nécessairementune fonction impaire.

(b) Dans le cas où f est une fonction impaire, f se développe en série de Fourier dela façon suivante :

f(x) =+∞∑

n=1

cn sin(nπLx), où cn =

1

L

∫ L

−Lf(x) sin

(nπLx).dx.

Donner l’expression précise de la solution de (1) par la méthode des variablesséparables, en fonction des paramètres de l’équation.

6. On s’intéresse enfin à l’état stationnaire de l’équation de la chaleur en dimension1, c’est à dire l’état, obtenu au bout d’un temps suffisamment grand pour lequella température ne varie plus. (Elle est donc constante par rapport au temps.) Onappellera T , la fonction de x correspondante.Déterminer l’équation différentielle vérifiée par T , puis la résoudre.Conclure


Chapitre 7

Transformée de Fourier pour les

équations aux dérivées partielles

Ce chapitre est largement inspiré des notes de cours de l’école des Mines de Douai.

7.1 La transformée de Fourier

7.1.1 Définitions

On note L1(R), l’ensemble des fronctions f définies de R dans R, continues par morceauxet telles que : ∫ +∞

−∞|f(t)|dt existe.

Exemples :

1. La fonction f : x 7−→ 11+x2 appartient à L1(R) car :

∫ +∞

−∞

1

1 + x2dx = 2 lim

x→+∞arctanx = π.

2. Par contre, la fonction g définie de R dans R par g(t) = t n’appartient pas à L1(R).De façon plus générale, sauf dans le cas de la fonction nulle, les fonctions polynômesn’appartiennent pas à L1(R).

Définition 7.1. Transformée de Fourier.Soit f ∈ L1(R). On appelle transformée de Fourier de f l’application :

F(f) : R −→ C

s 7−→ F(f)(s), où F(f)(s) =

∫ +∞

−∞e−2iπstf(t)dt.

L’application F : f 7−→ F(f) s’appelle transformation de Fourier. (C’est une appli-cation qui, à une fonction, associe une autre fonction).

Remarques :

69

70 CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER

1. F(f)(s) est défini par une intégrale dépendant du paramètre réel s. On a : ∀s ∈R, |e−2iπstf(t)| = |f(t)|. Cela montre que la fonction F(f) est définie et bornée surR. On admettra que F(f) est continue sur R.

2. La courbe d’équation y = |F(f)(s)| est appellée spectre de f . On peut démontrerque :

lim|s|→+∞

|F(f)(s)| = 0.

3. Cas particulier 1 : si f est paire.On sait que eiθ = cos θ + i sin θ. Donc, l’intégrale de Fourier s’écrit :

F(f)(s) =

∫ +∞

−∞(cos(2πst) − i sin(2πst))f(t)dt.

Or, les fonctions t 7−→ f(t) cos(2πst) et t 7−→ f(t) sin(2πst) sont respectivementpaire et impaire. Donc :

∫ +∞

−∞f(t) cos(2πst)dt = 2

∫ +∞

0

f(t) cos(2πst)dt

et∫ +∞

−∞f(t) sin(2πst)dt = 0.

Donc, si f est paire, F(f)(s) est un nombre réel et F(f)(s) = 2

∫ +∞

0

f(t) cos(2πst)dt.

4. Cas particulier 2 : si f est impaire.De la même façon, on montre que si f est impaire, F(f)(s) est un nombre imaginaire

pur et on a : F(f)(s) = −2i

∫ +∞

0

f(t) sin(2πst)dt.

7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier

On admet les propriétés suivantes :

1. F est linéaire.En effet, quels que soent f et g, fonctions de L1(R), λ et µ complexes, on a :

F(λf + µg) = λF(f) + µF(g).

2. Transformée d’une dérivée.Si f est continue et si df

dxappartient à L1(R), alors on a :

F(df

dx

): s 7−→ 2iπsF(f)(s).

3. Règle de multiplication par t.Si la fonction t 7−→ tf(t) appartient à L1(R), alors on a :

d

ds(F(f)) : s 7−→ −2iπF(tf(t))(s).

La notation abusive F(tf(t)) représente la transformée de Fourier de la fonctiont 7−→ tf(t).

7.1. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER 71

4. Image d’une translatée (formule du retard si a > 0).Soit a ∈ R. On pose : ∀t ∈ R, g(t) := f(t− a). g est donc la translatée de f ou lesignal f "retardé" de a si a > 0. On a :

F(g) : s 7−→ e−2iπasF(f)(s).

5. Translation de l’inage.Soit a ∈ R. On a :

F(e2iπatf(t)) : s 7−→ F(f)(s− a).

La notation abusive F(e2iπatf(t)) représente la transformée de Fourier de la fonctiont 7−→ e2iπatf(t).

6. Changement d’échelle.Soit ω > 0.

F(f(ωt)) : s 7−→ 1

ωF(f)

( sω

).

7. Produit de convolution.Définition 7.2. Produit de convolution.Soient f et g, deux fonctions de L1(R). On appelle produit de convolution de fet de g la fonction notée f ∗ g définie par :

(f ∗ g)(t) =

∫ +∞

−∞f(u)g(t− u)du.

On a alors (f ∗ g) ∈ L1(R).

On peut démontrer que :F(f ∗ g) = F(f).F(g).

7.1.3 Transformée de Fourier inverse

Définition 7.3. Transformée de Fourier conjuguée.Soit f ∈ L1(R). On appelle transformée de Fourier conjuguée de f la fonction :

F(f) : s 7−→∫ +∞

−∞e2iπstf(t)dt.

On a alors le théorème d’inversion suivant :

Théorème 7.1. Formule d’inversion.Si f et F(f) sont dans L1(R), alors :

F (F(f)) (t) =1

2

[limx→tx>t

f(x) + limx→tx<t

f(x)

].

En particulier, si f est continue en t, alors :

F (F(f)) (t) = f(t).

On peut écrire que :

F(f)(s) =

∫ +∞

−∞e−2iπstf(t)dt⇐⇒ f(t) =

∫ +∞

−∞e2iπstF(f)(s)ds.


Remarque : ces formules nous montrent que la transformation de Fourier peut êtreinversée : il existe donc une transformation inverse qui est F que l’on pourrait aussi noterF−1.

dans la section suivante, nous verrons comment utiliser la transformée de Fourier pourrésoudre des équations aux dérivées partielles.

Exercice : on choisit f : t 7−→ e−a|t|, avec a > 0. Nous verrons en travaux dirigésque :

F(f)(s) =2a

a2 + 4π2s2.

Sachant que F (F(f)) (t) = f(t), déterminer la transformée de Fourier de la fonction

h : t 7−→ 1

1 + t2.

Réponse : après calculs, vous devez trouver que :

F(h)(s) = πe−2πs.

7.2 Application à la résolution d’EDP

Nous allons à présent découvrir une nouvelle technique de résolution des équations auxdérivées partielles. Je ne souhaite pas entrer dans des condidérations trop techniques.C’est pour cela que nous évincerons volontairement certains problèmes plus proches despréoccupations des Mathématiciens que des ingénieurs. Un minimum de rigueur est ce-pendant indispensable si l’on ne veut pas obtenir par exemple des solutions qui n’existentpas ou des solutions erronées. Avant de nous intéresser à un exemple concret, je commencepar énoncer un théorème fondamental dans la théorie de l’intégration : le théorème de

Lebesgue.

Théorème 7.2. Le théorème de convergence dominée de Lebesgue.Soit (fn)n∈N, une suite de fonctions intégrables sur Ω telles que :• fn(x) −−−−→

n→+∞f(x), pour tout x ∈ Ω ;

• Il existe une fonction g, intégrable sur Ω, ne dépendant pas de n telle que :

|fn(x)| ≤ g(x), pour tout x ∈ Ω et n ∈ N.

Alors, f est intégrable et limn→+∞

∫

Ω

fn(x)dx =

∫

Ω

f(x)dx.

Exemple : on cherche à déterminer si elle existe limn→+∞

∫ 1

0

e−nxdx.

Posons fn(x) = e−nx et Ω = [0, 1]. Alors, on peut vérifier toutes els conditions du théo-rème :• Soit x ∈ [0, 1]. On a : fn(x) −−−−→

n→+∞0.

• Pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N, on a : |fn(x)| = e−nx ≤ 1.

7.2. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D’EDP 73

Le théorème de convergence dominée nous affirme donc que :

limn→+∞

∫ 1

0

e−nxdx =

∫ 1

0

limn→+∞

e−nxdx = 0.

Attention ! On pourrait être tenté de croire que l’on peut toujours permuter une limiteset une intégrale (ou une limite et une somme par exemple), mais il existe des contre-exemples. Il faudra donc toujours vérifier que l’on est dans les conditions d’application dece théorème. Vous en comprendrez mieux l’utilité grâce à l’exemple de résolution d’EDPque nous allons traiter à présent.

À titre d’exemple, considérons de nouveau l’équation de la chaleur mais cette fois dansune barre infinie :

∂u

∂t=∂2u

∂x2

u(x, 0) = ϕ(x) ∀x ∈ R, avec ϕ ∈ L1(R) donnée.

Dans les calculs qui suivent, nous allons appliquer les formules que nous venons de voir surles transformées de Fourier. Nous supposoerons dans nos calculs que si u est une fonctiondes deux variables x et t, alors :

d

dt

∫

Ω

u(x, t)dx =

∫

Ω

∂

∂t(x, t)dx.

Ce résultat est bien-sûr faux en général. Nous n’étudierons que des équations dans les-quelles cette égalié est réalisée. Si vous souhaitez vous documenter sur ce thème, il existede nombreux ouvrages de Mathématiques qui traitent de la théorie de l’intégration.

Supposons que u est assez régulière pour que l’EDP ait un sens. On pourra par exemple

supposer que u,∂u

∂xet

∂2u

∂x2sont intégrables avec lim

x→±∞u(x, t) = 0, lim

x→±∞

∂u

∂x(x, t) = 0

pour tout t fixé et qu’il existe une fonction g intégrable sur R telle que :

∀t > 0, ∀x ∈ R,

∣∣∣∣∂u

∂t(x, t)

∣∣∣∣ ≤ g(x).

Exposé de la méthode :

1. 1ère étape : pour t > fixé, on prend la transformée de Fourier en x desdeux membres de l’équation ci-dessus :

F(∂u

∂t

)(s, t) = F

(∂2u

∂x2

)(s, t).

Mais puisque l’on s’est donné l’autorisation d’intervertir l’opérateur de dérivationen une variable et les intégrales d’une autre variable, on a :

F(∂u

∂t

)(s, t) =

∫ +∞

−∞

∂u

∂t(x, t)e−2iπsxdx =

∂

∂t

∫ +∞

−∞u(x, t)e−2iπsxdx =

∂

∂tF(u)(s, t).

Afin d’alléger un peu les notations, on écrira dorénavant u pour désigner la transfor-mée de Fourier de u par rapport à la variable x, autrement dit F(u). On peut doncécrire que :

F(∂u

∂t

)(s, t) =

∂

∂tu(s, t).


Par ailleurs, en appliquant les formules énoncées précédemment, on a successive-ment :

F(∂u

∂x

)(s, t) = 2iπsu(s, t), puis F

(∂2u

∂x2

)(s, t) = −4π2s2u(s, t).

L’équation aux dérivées partielles devient donc :

∂

∂tu(s, t) = −4π2s2u(s, t).

s étant une variable indépendante de t, on est finalement ramené à résoudre uneéquation différentielle ordinaire à coefficients constants. La solution est bien connue(cf. chapitre précédent). On peut ainsi écrire que :

u(s, t) = C(x)e−4π2s2t, où C désigne une fonction de la variable x.

2. 2ème étape :On utilise condition initiale (t = 0) pour résoudre complète-ment l’EDP après transformation de Fourier.Nous allons maintenant déterminer l’expression de la fonction C. On a envie de fairetendre t vers 0 dans l’expression ci-dessus. On a donc :

C(x) = limt→0t>0

u(s, t) limt→0t>0

∫ +∞

−∞u(x, t)e−2iπsxdx.

On souhaite ici permuter la limite et l’intégrale. On va utiliser le théorème de conver-gence dominée de Lebesgue. Si ce théorème s’applique, on pourra alors écrire que :

C(x) =

∫ +∞

−∞limt→0t>0

u(x, t)e−2iπsxdx =

∫ +∞

−∞u(x, 0)e−2iπsxdx =

∫ +∞

−∞ϕ(x)e−2iπsxdx = F(ϕ)(s, t) = ϕ

Justification de la permutation limite - intégrale : on pose f(x, t) = u(x, t)e−2iπsx.D’après l’inégalité des accroissements finis et les hypothèses émises sur la fonctionu, on peut écrire que :

|f(x, t) − f(x, 0)| = |f(x, t) − ϕ(x)| ≤ g(x)|t− 0| = tg(x).

Nous sommes donc dans les conditions d’application du théorème de convergencedominée de Lebesgue ce qui nous permet de permuter limite et intégrale. Finalement,on obtient :

u(s, t) = ϕ(x)e−4π2s2t.

Or, nous verrons en exercice que si l’on désigne par f , la fonction définie par f(x) =

e−αx2

(α > 0), alors on a :

F(f)(s) =

√π

αe−

π2

αs2 .

On a donc en prenant α = 14t

:

u(s, t) =1

2√πtϕ(x)f(s).

7.2. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D’EDP 75

3. 3ème étape : on utilise la transformée de Fourier inverse pour trouver uneexpression intégrale de la solution.D’après la formule du cours, puisque :

u(s, t) =1

2√πtϕ(x)f(s),

on peut exprimer u à l’aide d’un produit de convolution et on a :

u(x, t) =1

2√πt

(ϕ ∗ f)(x) =1

2√πt

∫ +∞

−∞ϕ(u)e−

(x−u)2

4t du.

On a donc une expression explicite (bien que sous forme intégrale) de la solution.Reste à justifier que les hypothèses initiales sur la fonction u sont valides. Nous nevérifierons pas que les dérivées successives de u sont intégrables, en revanche, il estpossible de se convaincre de l’existence d’une fonction g telle que :

∀t > 0, ∀x ∈ R,

∣∣∣∣∂u

∂t(x, t)

∣∣∣∣ ≤ g(x).

Pour l’établir, il s’agit de dériver l’expression de u(x, t) par rapport à t, en utilisantla règle donnée en début de paragraphe (on peut dériver sans se préoccuper del’intégrale). Ensuite, on utilise le fait que pour tout n, entier supérieur ou égal à 2,il existe une constante κ > 0 telle que on ait : e−x

2 ≤ κ. 1xn . Je laisse au lecteur le

soin de s’en convaincre.



Exercice 7.1 : On définit la fonction porte Π par

Π(x) =

1 si x ∈ [−1

2; 1

2],

0 sinon.

1. représenter la courbe de Π et calculer sa transformée de Fourier.

2. En utilisant le résultat précédent, calculer les transformées de Fourier des fonctions

(a) f définie par

f(x) = Π

(x− 1/2

a

), pour a > 0,

(b) g définie parg(x) = xΠ(x),

(c) h définie parh(x) = (Π ? Π)(x), pour a > 0.

Exercice 7.2 :

1. Déterminer la transformée de Fourier de la fonction triangle Λ définie par :

Λ(x) =

1 − |x| si x ∈ [−1; 1],0 sinon.

2. Calculer la dérivée de Λ et exprimer Λ′(t) à l’aide de la fonction porte Π.

3. Appliquer à la relation obtenue l’opérateur F . En déduire la transformée de Fourierde Λ.

4. Vérifier que Λ = Π ∗ Π. retrouver alors le résultat de la question précédente.

Exercice 7.3 : On s’intéresse au problème suivant.

1. On veut calculer la transformée de Fourier de la fonction f telle que : f(x) = e−a2x2

,pour a 6= 0. En utilisant le fait que f est solution d’une équation différentielle, endéduire F(f).

2. Soit maintenant fa, pour a > 0, la gaussienne définie par

fa(x) =1

a√

2πe−

x2

2a2

(a) Calculer sa transformée de Fourier.

(b) Calculer le produit de convolution fa ? fb.

Exercice 7.4 : Résoudre les questions suivantes dans l’ordre.

1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction f donnée par

f : x 7→ f(x) = e−|x|

2. En déduire que

∀ν ∈ R, F(1

1 + x2)(ν) = πe−2π|ν|


3. Résoudre l’équation fonctionnelle dans L1

∫

R

e−a|x−t|f(t)dt = e−x2

où a ∈ R∗+.

Exercice 7.5 : On se donne une fonction ϕ ∈ L1(R). Résoudre alors l’équation fonction-nelle suivante : trouver f ∈ L1 satisfaisant l’équation discrète

f(x) − k(f(x+ 1) + f(x− 1)) = ϕ(x),

où ∈ R tel que |k| < 12.

Exercice 7.6 : En s’inspirant de la méthode de résolution de l’EDP de la chaleur dans lecas d’une barre de longueur infinie, résoudre le problème de Dirichlet dans le demi-plan :

4u(x, y) = 0 (x, y) ∈ Ωu(x, 0) = ϕ(x)

où Ω est le demi-plan (x, y) ∈ R2 : y > 0 et ϕ est une fonction donnée intégrable sur R.


Chapitre 8

Calcul d’intégrales doubles et triples

Nous allons nous intéresser dans ce chapitre au calcul pratique d’intégrales doubles ettriples, très utiles dans de nombreux domaines de la Physique tels que la Mécanique dusolide pour n’en citer qu’un.

Je m’attacherai donc à fournir quelques recettes générales permettant de traiter les casusuels. Nous nous placerons systématiquement dans le cas où la fonction à intégrer estcontinue, le plus souvent sur un domaine borné. Des résultats plus généraux appartenantà la théorie développée par Lebesgue au tout début du vingtième siècle , relatifs auxthéorèmes de convergence d’intégrales, ne seront pas développés dans ce chapitre.

8.1 Calcul intégral dans R

Toutes les fonctions considérées dans ce paragraphe seront supposées continues. Quelquesrappels de base en théorie de l’intégration d’une fonction d’une variable sont fournis enannexe. Le lecteur intéressé pourra s’y reporter. Je redonne ci-dessous quelques principesgénéraux.

8.1.1 Quelques méthodes

Que faut-il retenir et comment doit-on procéder si l’on souhaite calculer∫ b

a

f(t).dt ?

Si a et b sont deux réels donnés (a < b), et f , une fonction continue sur [a, b], alorsf admet une primitive sur [a, b], notée F (i.e., une fonction telle que F ′ = f sur [a, b]) et

on a :∫ b

a

f(u).du = F (b) − F (a).

Pour les calculs effectifs de primitives, le lecteur pourra se reporter au tableau fourni enannexe.f étant une fonction continue sur I. Les conditions sont énoncées pour x ∈ I.

79

80 CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES

Conditions n ∈ N n ≥ 2 et u(x) 6= 0 u(x) > 0 u(x) ∈ R u(x) ∈ R

Fonction f u′.unu′

unu′√u

u′ cos u u′ sin u

Une primitive F de f sur Iun+1

n+ 1

−1

(n− 1)un−12√u sin u − cosu

8.1.2 L’intégration par parties

Théorème 8.1. Soient u et v, deux fonction dérivables sur un intervalle I, dont lesdérivées sont continues sur I, et a et b, deux réels de I. Alors :

∫ b

a

u(x)v′(x).dx = [u(x)v(x)]ba −∫ b

a

u′(x)v(x).dx.

Preuve : il suffit d’utiliser l’égalité (uv)′ = u′v + uv′ et d’intégrer chaque membre de larelation.

Exemple : calcul de la primitive de x 7−→ x sin x qui s’annule en 0. C’est la fonction

φ(x) =

∫ x

0

x sin x.dx. x 7−→ x sin x est continue sur R, donc intégrable. Utilisons un calcul

par parties :Posons u(x) = x et v′(x) = sin x, alors u′(x) = 1 et v′(x) = − cosx. Pour tout réel x, ona :

φ(x) =

∫ x

0

t sin tdt =

∫ x

0

u(t)v′(t).dx = [−t cos t]x0+

∫ x

0

cos t.dx = x cosx+[sin t]x0 = x cos x+sin x.

Un second exemple intéressant d’intégration par parties est fourni par les intégrales deWallis, dont le détail sera donné utltérieurement.

8.1.3 Introduction aux intégrales impropres

Imaginons par exemple que l’on souhaite calculer∫ +∞

a

f(t).dt. On admettra que, lorsque

la limite existe, on a : ∫ +∞

a

f(t).dt = limx→+∞

F (x) − F (a).

Les mêmes remarques s’appliquent lorsque une des bornes de l’intégrale est −∞.

Exemple : Calcul de I =

∫ +∞

1

dx

x2.

Essayons de mieux cerner cette notion à l’aide des aires. Appelons f , la fonction définie sur

]0; +∞[ par f(x) =1

x2. Sur R∗

+, cette fonction a pour représentation graphique ci-dessous.

Intéressons-nous alors à l’aire du domaine défini par :

1 ≤ x ≤ A0 ≤ y ≤ f(x),

8.1. CALCUL INTÉGRAL DANS R 81

où x et y sont les coordonnées d’un point M du plan et A, un nombre réel supérieurstrictement à 1.

0

1

2

3

4

5

y

2 4 6 8 10

x

Fig. 8.1 – Représentation graphique de la fonction x 7−→ 1

x2

Intuitivement, on comprend qu’une condition nécessaire est que f décroisse (suffisamentrapidement) vers 0 quand x → +∞. Autrement, l’intégrale (représentée par l’aire, sif ≥ 0) divergerait.Essayons à présent de mieux comprendre ce phénomène par le calcul. L’aire du domainedécrit ci-dessus, notée A(A) se calcule par la formule :

A(A) =

∫ A

1

dx

x2=

[−1

x

]A

1

= 1 − 1

A.

Et on remarque immédiatement que limA→+∞

A(A) = 1.

Cette petite astuce nous permet d’introduire la notation∫ +∞

a

f(x).dx, avec a, un nombre

réel. Une telle intégrale est appelée intégrale impropre. Nous la définissons de la façonsuivante : ∫ +∞

a

f(x).dx := limA→+∞

(∫ A

a

f(x).dx

).

Attention cependant ! Il n’est pas du tout certain qu’une telle limite existe pour toutes lesfonctions. Un calcul immédiat permet de montrer que l’on ne peut pas définie une telle

intégrale pour la fonction x 7−→ 1

x. Donc, prudence !

D’autre part, cette définition peut être largement complétée ! La théorie de l’intégrationa été imaginée en grande partie par Lebesgue qui a défini proprement ce type d’intégralesen introduisant la notion de tribu. Cette théorie sera développée dans le supérieur pourles futurs mathématiciens.

De la même façon, on pourrait définir, quand la limite existe, pour a réel :∫ a

−∞f(x).dx := lim

A→−∞

(∫ a

A

f(x).dx

).


Notations : si I est un intervalle de type [a; b], avec a et b réels, alors∫

I

f(t).dt dé-

signe tout simplement∫ b

a

f(t).dt, ou si I = [a; +∞[, par exemple, on a :∫

I

f(t).dt =∫ +∞

a

f(t).dt, etc.

Si I = R, alors on peut écrire que :∫

I

f(t).dt = limx→−∞

∫ 0

x

f(t).dt+ limy→+∞

∫ y

0

f(t).dt.

8.1.4 Visualisation graphique de l’intégrale

Lorsque f est une fonction continue et positive sur un intevalle [a, b], le nombre∫ b

a

f(t).dt

s’interprète comme l’aire du domaine délimité par la courbe de f , l’axe des abscisses etles droites d’équations x = a et x = b.

6

-a b

f(b)

Cf

x

y

f(a)

Fig. 8.2 – Visualisation de l’intégrale

8.2 Intégrales doubles

8.2.1 Intégrale double sur un rectangle

Théorème 8.2. Théorème de Fubini.Soit f : R2 −→ R, continue sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] (a < b et c < d). Alors :

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y).dx.dy =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y).dx.dy.

Exemple : calcul de J =

∫ 1

0

∫ 5

3

xy.dx.dy.∫ 5

3

xy.dx = y

[1

2x2

]5

3

= 8y et∫ 1

08y.dy = 4. Par conséquent, J = 4.

8.2. INTÉGRALES DOUBLES 83

Exercice : vérifier le théorème de Fubini pour l’intégrale J .

8.2.2 Intégrale double sur une partie bornée

Soit U , une partie bornée de R2, et f , une fonction de R2 dans R, définie et continue surU . U est incluse dans un rectangle du type R = [a, b] × [c, d]. On souhaite intégrer f surU . Posons :

f(x, y) = f(x, y) si (x, y) ∈ U

f(x, y) = 0 si (x, y) ∈ R\U.

Alors :∫∫

U

f(x, y).dx.dy =

∫∫

Rf(x, y).dx.dy.

Souvent, on aura affaire à des domaines de différentes formes :a ≤ x ≤ bϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x).

Alors, on écrira :∫∫

U

f(x, y).dx.dy =

∫ b

a

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y).dy.dx. Si le domaine est de la

forme : a ≤ y ≤ bϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y).

Alors, on écrira :∫∫

U

f(x, y).dx.dy =

∫ b

a

∫ ϕ2(y)

ϕ1(y)

f(x, y).dx.dy.

La figure qui suit illustre le principe de calcul général, lorsque le domaine est borné.

Exemple : calcul de I =

∫ 4

3

∫ 2

1

dx.dy

(x+ y)2.


Remarquons au préalable que cette intégrale n’est pas impropre, puisque (x, y) 7−→1

(x+ y)2est continue sur le rectangle [3, 4] × [1, 2]. On peut donc écrire :

A =

∫ 4

3

[ −1

x+ y

]y=2

y=1

dx

A =

∫ 4

3

(1

x+ 1− 1

x+ 2

)dx

A =

[ln

(x+ 1

x+ 2

)]4

3

= ln25

24.

Remarque : fonctions à variables séparées.Imaginons que l’on souhaite intégrer sur le rectangle R = [a, b] × [c, d], avec a < b etc < d, la fonction continue f , des deux variables x et y, définie par une relation du type :f(x, y) := g(x)h(y), où g et h sont deux fonctions continues d’une variable. Alors, on peutécrire :

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y).dx.dy =

∫ b

a

∫ d

c

g(x)h(y).dx.dy =

(∫ b

a

g(x).dx

)(∫ d

c

h(y).dy

).

8.2.3 Propriétés de l’intégrale double

On choisit encore f , continue sur un domaine U ⊂ R2 et à valeurs réelles.Soient D1 et D2, deux domaines disjoints (D1 ∩ D2 = ∅) inclus dans U . Alors :

∫∫

D1∪D2

f =

∫∫

D1

f +

∫∫

D2

f.

De même, on peut écrire de façon formelle :

∫∫

D(f + g) =

∫∫

Df +

∫∫

Dg.

Les intégrales doubles permettent également de calculer des surfaces. Le principe est lemême qu’en dimension 1. Si D est un domaine borné de R2, si nous notons A(D), sonaire, alors on a :

A(D) =

∫∫

Ddx.dy.

Exemple : On appelle D, l’ensemble des points (x, y) tels que :

0 ≤ x ≤ 1x2 ≤ y ≤ √

x

On souhaite calculer l’aire du domaine D, qui correspond à la lunulle représentée ci-dessus.

8.2. INTÉGRALES DOUBLES 85

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Fig. 8.3 – Représentation du domaine d’intégration

On appelle A, cette aire. On a :

A =

∫∫

Ddx.dy. =

∫ 1

0

∫ √x

x2

dy.dx.

A =

∫ 1

0

(√x− x2dx.dy.

A =

[2

5x

52 − 1

3x3

]1

0

A =1

15.

8.2.4 Changement de variable dans R

Rappelons la formule du changement de variable dans R.

Théorème 8.3. Soient I et J , deux intervalles de R. On appelle a et b les extrémités deJ . Soit ϕ, un C1-difféomorphisme (bijection) de J dans I. Alors :

∫ b

a

ϕ′(t)f ϕ(t).dt =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(u).du.

Exemple 1 : calcul de J =

∫ 1

0

√1 − u2.du.


Posons ϕ(t) = cos t. On a ϕ(0) = 1 et ϕ(π2) = 0. Puis :

J =

∫ ϕ(0)

ϕ(π

2)

√1 − u2.du

J = −∫ 0

π

2

sin t√

1 − cos2 t.dt

J =

∫ π

2

0

sin t sin t.dt

J =π

4.

Exemple 2 : calcul de I =

∫ π

2

0

x cosx2.dx.

Il suffit de choisir ϕ(t) = t2 et f(t) = cos t. On a alors :

I =

∫ π

2

0

x cos x2dx =1

2

∫ π

2

0

2x cosx2dx

=1

2

∫ π2

4

0

cosudu

=1

2sin

(π2

4

).

.

8.2.5 Changement de variable dans R2

Théorème 8.4. Soit f , une fonction continue sur un domaine borné de R2 : U . On peut

parfois utiliser un changement de variables pour calculer∫∫

U

f(x, y).dx.dy.

Soit ϕ, un C1-difféomorphisme sur U , c’est à dire :• ϕ : (x, y) 7−→ (u, v) bijective de classe C1 sur U .• ϕ−1, bijection réciproque est également de classe C1 sur U ′ = ϕ(U).On a alors : ∫∫

U

f(x, y).dx.dy =

∫∫

U ′

g(u, v)| det J |.du.dv

, où J désigne la matrice jacobienne de ϕ−1, c’est à dire :

det J =

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

.

Exemple 1 : coordonnées polaires.

Si x = ρ cos θ et y = ρ sin θ, det J =

cos θ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

= ρ. Par conséquent, en utilisant

les mêmes notations que dans le théorème ci-dessus, on a :∫∫

U

f(x, y).dx.dy =

∫∫

U ′

g(ρ, θ)ρdρdθ.

8.3. EXEMPLES D’INTÉGRALES TRIPLES 87

Exemple 2 : calcul de I =

∫∫

U

xy√x2 + y2

.dx.dy, où U = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥

0, a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2.

Un passage en coordonnées polaires fournit immédiatement : I =

∫∫

U ′

ρ cos θ sin θdρdθ,

où U ′ = [a, b] ×[0, π

2

]. (Faire un dessin) Puis :

I =

∫ b

a

ρ2dρ

∫ π

2

0

cos θ sin θdθ =b3 − a3

6.

8.3 Exemples d’intégrales triples

La définition que nous avons donnée s’étend sans difficulté supplémentaire aux intégralestriples. Nous allons illustrer les différentes méthodes en calculant de deux façons le volumed’une sphère. Ilm s’agit en réalité du volume de la boule limitée par la sphère. Soit B, laboule fermée de R3 de centre O et rayon R.

B = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Le volume de B est : V =

∫∫∫

Bdx.dy.dz.

8.3.1 Intégration par piles

On se ramène à une intégrale double :

V =

∫∫

D

(∫ √R2−x2−y2

−√R2−x2−y2

dz

).dx.dy = 2

∫∫

D

√R2 − x2 − y2.dx.dy

, où D désigne le disque de R2 de centre O et rayon R. Passons alors en coordonnées

polaires :

V =

∫∫

D′

√R2 − ρ2ρdρdθ = −4π

3

[(R2 − ρ2)

32

]R0

=4πR3

3.

8.3.2 Coordonnées sphériques

Calculons l’intégrale triple par un changement de variables, ici les coordonnées sphériques :

x = ρ cosϕ cos θy = ρ cosϕ sin θz = ρ sinϕ

.

On choisit ρ, ϕ et θ tels que : ρ ∈ [0, r] ; θ ∈ [0, 2π] ; ϕ ∈[−π

2,π

2

]. Ce choix se justifie

aisément d’après la figure suivante : La matrice jacobienne de cette transformation est :


6

-

=

x

y

z

O

r

M

M ′θ

ϕ

Fig. 8.4 – Coordonnées sphériques

J =

∂x

∂ρ

∂x

∂θ

∂x

∂ϕ∂y

∂ρ

∂y

∂θ

∂y

∂ϕ∂z

∂ρ

∂z

∂θ

∂z

∂ϕ

=

cosϕ cos θ −ρ sin θ cosϕ −ρ sinϕ cos θcosϕ sin θ ρ cos θ cosϕ −ρ sinϕ sin θ

sinϕ 0 ρ cosϕ

.

Le déterminant de J est : det J = ρ2 cosϕ (règle de Sarrus). On en déduit :

V =

∫∫∫

B′

ρ2 cosϕdρdϕdθ =

∫ R

0

ρ2dρ

∫ π

2

−π

2

cosϕdϕ

∫ 2π

0

dθ.

Il s’ensuit immédiatement que V =4πR3

3.

Plus généralement, énonçons le théorème de changement de coordonnées en dimension3, dont le meilleur exemple d’application est le calcul du volume de la sphère de centre Oet rayon R effectué ci-dessus :

Théorème 8.5. Changement de variable.Soit ψ : U ⊂ R3 −→ V ⊂ R3, un C1-difféomorphisme tel que :

ψ(u, v, w) = (P (u, v, w), Q(u, v, w), R(u, v, w)) .

Si D ⊂ U , on note D′ = ψ(D). On peut encore écrire D = ψ−1(D′), et si f est unefonction continue de U dans R, alors :

∫∫∫

D′

f(x, y, z).dx.dy.dz =

∫∫∫

Df (ψ(u, v, w)) |Jψ(u, v, w)|.du.dv.dw

, où l’on aura noté Jψ, le déterminant :

Jψ := det

∂P

∂u

∂P

∂v

∂P

∂w∂P

∂u

∂Q

∂v

∂Q

∂w∂P

∂u

∂R

∂v

∂R

∂w

.

8.3. EXEMPLES D’INTÉGRALES TRIPLES 89

8.3.3 Un exemple d’application en Physique

En Mécanique par exemple, on peut être amené à chercher le centre de gravité d’unedemi-boule homogène :

B :=(x, y, z) ∈ R

3 : z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ R2.

On appelle m, la masse de la demi-boule. On appelle µ, la masse volumique de la boule.Si O est le centre du repère, le centre de gravité G du solide est défini par la relation :

m−→OG =

∫∫∫

Bµ−−→OM.dx.dy.dz

, où M désigne un point de B de coordonnées (x, y, z).En utilisant des propriétés de symétrie de B, on montre sans difficulté que xG = yG = 0.Reste à calculer zG. On a :

mzg = µ

∫∫∫

Bz.dx.dy.dz.

Un passage en coordonnées sphériques fournit :

mzg = µ

∫∫∫

(ρ,θ,ϕ)∈Ω

(ρ sinϕ)(ρ2 cosϕdρdθdϕ).

, avec Ω = [0, R] × [0, 2π] ×[0,π

2

]. Le calcul est immédiat puisque la fonction à intégrer

est à variables séparées :

zG =µ

m

(∫ R

0

ρ3.dρ

)(∫ 2π

0

dθ

)(∫ π

2

0

sinϕ cosϕ.dϕ

).

Finalement, en considérant que m =2

3µπR3 (calcul d’une masse volumique), on trouve :

zG =3

8R.



Remarque préalable : il est vivement conseillé, avant de se lancer dans quelque cal-cul d’intégrale que ce soit, de représenter lorsque c’est possible, le domaine d’intégration...

Exercice 8.1 : Calculer les intégrales suivantes :

1.∫∫

U

xy.dx.dy, sur U = (x, y) ∈ R2, x ≥ 1, y ≥ −1, x+ y ≤ 2.

2.∫∫

U

|x|y.dx.dy, sur U = (x, y) ∈ R2, x2

2+ y2

3≤ 1.

3.∫∫

U

(x + y).dx.dy, sur U , l’intérieur du triangle de sommets A(−2, 0), B(0, 4) et

C(1, 0).

4.∫∫

U

dx.dy

(y − x)2, sur U = (x, y) ∈ R

2, x ≥ 2, y ≥ 0, x+ y ≤ 3.

Exercice 8.2 :

1. Calculer le volume de la région de R3 limitée par la paraboloïde d’équation z = x2+y2

et le plan d’équation z = 3.

2. Calculer le volume de la région de R3 limitée par la surface d’équation z = x2 +(2y)2

et le plan d’équation z = 1.

Exercice 8.3 : L’objectif de cet exercice est de montrer que le choix d’une méthode decalcul d’intégrale double ou triple ne dépend pas seulement de la forme de la fonction. Ildépend également de la forme du domaine sur lequel on intègre la fonction.Calculer les intégrales I et J :

I :=

∫ 4

0

∫ 1

0

1

1 + x2 + y2.dx.dy et J :=

∫∫

D

1

1 + x2 + y2.dx.dy

, où D := (x, y) ∈ R2 : x2 − 4x+ y2 + 2y ≤ −3.

Exercice 8.4 : Calculer l’aire de la surface délimitée par l’ellipse d’équation :

x2

a2+y2

b2= 1, avec a > 0 et b > 0.

Exercice 8.5 : On donne l’expression du changement de variable en coordonnées sphé-riques (dimension 3) pour calculer le volume d’un tore :

x = (R + ρ cosϕ) cos θy = (R + ρ cosϕ) sin θz = ρ sinϕ

, avec (ρ, θ, ϕ) ∈ [0, r] × [0, 2π] × [0, 2π].

En utilisant le changement de variable en coordonnées sphériques suggéré ci-dessus, calulerle volume du tore Γ engendré par la rotation autour de l’axe (Oz) du disque d’équationsy = 0 et (x− R)2 + z2 = r2.


Exercice 8.6 : On souhaite déterminer la position du centre de gravité du demi-disquehomogène :

D :=

(x, y) ∈ R2 : −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤

√R2 − x2

.

On montre aisément que xG = 0, et myG =

∫∫

Dσy.dx.dy, avec m = 1

2σπR2.

Calculer yG.

Exercice 8.7 : Calculer le volume d’une sphère de rayon R. On pourra utiliser le chan-gement de variable suivant :

x = ρ sinϕ cos θy = ρ sinϕ sin θz = ρ cosϕ

, avec (ρ, θ, ϕ) ∈ [0, R] × [0, 2π] × [0, π].

Exercice 8.8 :

1. En utilisant l’intégrale double K =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−

x2+y

2

2 .dx.dy et un changement de

variable, calculer :

I =

∫ +∞

−∞e−

x2

2 .dx

On appelle f , la fonction d’une variable définie pour x ∈ R par : f(x) =1√2πe−

x2

2 .

On dit qu’une fonction f est une densité de probabilité gaussienne si on a :∫

Rf = 1.

Vérifier que f est effectivement une densité de probabilité.

2. On admet que l’espérance et la variance d’une variable aléatoire continue X sontrespectivement définies, lorsque ϕ est la densité de probabilité de la variable aléatoirepar :

E(X) =

∫

R

xf(x)dx et V ar(X) =

∫

R

x2f(x).dx.

Calculer E(X) et V ar(X).

3. Reprendre les questions précédentes lorsque f est définie, pour m ∈ R et σ > 0 par :

f(x) =1√2πσ

e−12(

x−m

σ )2

.

Exercice 8.9 : Soit r, un nombre réel appartenant à l’intervalle ouvert ]0, 1[ et Cr, lacouronne de R2 définie par :

Cr = (x, y) ∈ R2 : r2 ≤ x2 + y2 ≤ 1.

On appelle fα, la fonction définie sur R2\(0, 0) par : fα(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)α.

1. Démontrer que l’intégrale A :=

∫ 2π

0

| cos(2θ)|.dθ vaut 4.

2. Démontrer très rapidement que la fonction fα est continue sur Cr, et dessiner ledomaine d’intégration Cr pour r = 1

2.


On appelle Ir et Jr les intégrales respectivement définies par :

Ir =

∫∫

Cr

fα(x, y).dx.dy et Jr =

∫∫

Cr

|fα(x, y)|.dx.dy.

Ir et Jr sont bien définies puisque fα est continue sur Cr.

(a) En utilisant un changement de variables, calculer Ir.

(b) De même, démontrer que Jr vérifie :

Jr =

4

4 − 2α(1 − r4−2α) , si α 6= 2

−4 ln r , si α = 2

3. Déterminer les valeurs de α telles que Ir et Jr aient une limite finie quand r tendvers 0.

Annexe A

Formulaire de trigonométrie

cos (−x) = cosx sin (−x) = − sin xcos (π + x) = − cosx sin (x+ π) = − sin xcos(π2− x)

= sin x sin(π2− x)

= cosxcos(π2

+ x)

= − sin x sin(π2

+ x)

= cos xtan (x+ π) = tanx tan (−x) = − tanxtan (x+ π

2) = −cotan x tan (x− π

2) = cotan x

FORMULES D’ADDITION

cos (a+ b) = cos a cos b− sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b+ sin b cos acos (a− b) = cos a cos b+ sin a sin b sin (a− b) = sin a cos b− sin b cos atan (a + b) = tan a+tan b

1−tan a tan btan (a− b) = tan a−tan b

1+tan a tan b

sin 2a = 2 sin a cos a cos2 a = 12(1 + cos 2a)

cos2 a + sin2 a = 1 sin2 a = 12(1 − cos 2a)

cos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1 − 2 sin2 a

FORMULES D’EULER

cos θ = 12(eiθ + e−iθ) sin θ = 1

2i(eiθ − e−iθ)

FORMULE DE MOIVRE

(eiθ)n = einθ = (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ

93

94 ANNEXE A. FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE

FORMULES DE TRANSFORMATION

cos a cos b = 12(cos (a+ b) + cos (a− b)) sin a sin b = 1

2(cos (a− b) − cos (a+ b))

sin a cos b = 12(sin (a + b) − sin (a− b))

cos p+ cos q = 2 cos (p+q2

) cos (p−q2

) cos p− cos q = −2 sin (p+q2

) sin (p−q2

)sin p+ sin q = 2 sin (p+q

2) cos (p−q

2) sin p− sin q = 2 sin (p−q

2) cos (p+q

2)

Annexe B

Opérations sur les limites

B.1 Limite d’une somme

Si f a pour limite en x0 Si g a pour limite en x0 Alors f + g a pour limite en x0

L L′ L+ L′

L ou +∞ +∞ +∞L ou −∞ −∞ −∞

+∞ −∞ Cas d’indétermination

B.2 Limite d’un produit d’une fonction par une constante λ nonnulle

Si f a pour limite en x0 Alors λf a pour limite en x0

L λL+∞ +∞ si λ > 0 et −∞ si λ < 0−∞ −∞ si λ > 0 et +∞ si λ < 0

B.3 Limite d’un produit

Si f a pour limite en x0 Si g a pour limite en x0 Alors f × g a pour limite en x0

L L′ L× L′

L,L 6= 0 ∞ ∞1

∞ ∞ ∞1

0 ∞ Cas d’indétermination

1Le signe se détermine d’après une simple règle des signes

95

96 ANNEXE B. LIMITES

B.4 Limite d’un quotient

Si f a pour limite en x0 Si g a pour limite en x0 Alors f

ga pour limite en x0

L L′ 6= 0 LL′

L ∞ 0∞ L′ 6= 0 ∞1

0 0 Cas d’indétermination∞ ∞ Cas d’indétermination

97

98 ANNEXE C. DÉRIVÉES USUELLES

Annexe C

Dérivées usuelles

Fonction Dérivée Intervalle Remarquesxn nxn−1 R n ∈ N

1

xn−n 1

xn+1R

∗+ ou R

∗− n ∈ N

xq qxq−1R

∗+ q ∈ R

∗

ex ex R

ln(x)1

xR∗

+

sin(x) cos(x) R

cos(x) − sin(x) R

tan(x)1

cos2(x)

]−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

[k ∈ Z

cotan(x) − 1

sin2(x)]kπ; (k + 1)π[ k ∈ Z

sinh(x) cosh(x) R

cosh(x) sinh(x) R

tanh(x)1

cosh2(x)R

cotanh(x)1

sinh2(x)R

∗+ ou R

∗−

arcsin(x)1√

1 − x2] − 1, 1[

arccos(x) − 1√1 − x2

] − 1, 1[

arctan(x)1

1 + x2R

arccotan(x) − 1

1 + x2R

argsinh(x)1√

1 + x2R argsinh(x) = ln(x+

√x2 + 1)

argcosh(x)1√

x2 − 1[1; +∞[ argcosh(x) = ln(x+

√x2 − 1)

argtanh(x)1

1 − x2] − 1; 1[ argtanh(x) =

1

2ln

(1 + x

1 − x

)

argcotanh(x)1

1 − x2] −∞;−1[ ou ]1; +∞[ argcotanh(x) =

1

2ln

(x+ 1

x− 1

)

Annexe D

Primitives usuelles

99

100 ANNEXE D. PRIMITIVES USUELLES

Fonction Primitive Intervalle Remarques

xαxα+1

α + 1R∗

+ α ∈ R\−1

eax1

aex R a ∈ C∗

1

xln |x| R

∗

ln(x) x(ln x− 1) R∗+

sin(ax)1

acos(ax) R a ∈ R∗

cos(ax) −1

asin(x) R a ∈ R

∗

1

cos2 xtan(x)

]−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

[k ∈ Z

tan(x) − ln | cosx|]−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

[k ∈ Z

1

sin2 x−cotan(x) ]kπ; (k + 1)π[ k ∈ Z

cotan(x) ln | sin x| ]kπ; (k + 1)π[ k ∈ Z

1

sin xln∣∣∣tan

(x2

)∣∣∣ ]kπ; (k + 1)π[ k ∈ Z

1

cos xln∣∣∣tan

(x2

+π

4

)∣∣∣]−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

[k ∈ Z

sinh(x) cosh(x) R

cosh(x) sinh(x) R

tanh(x) ln(cosh x) R

cotanh(x) ln(sinh(x)) R∗+ ou R∗

−1√

1 − x2arcsin(x) ] − 1, 1[

− 1√1 − x2

arccos(x) ] − 1, 1[

1

1 + x2arctan(x) R

− 1

1 + x2arccotan(x) R

1√1 + x2

argsinh(x) R argsinh(x) = ln(x+√x2 + 1)

1√x2 − 1

argcosh(x) [1; +∞[ argcosh(x) = ln(x+√x2 − 1)

1

1 − x2argtanh(x) ] − 1; 1[ argtanh(x) =

1

2ln

(1 + x

1 − x

)

1

1 − x2argcotanh(x) ] −∞;−1[ ou ]1; +∞[ argcotanh(x) =

1

2ln

(x+ 1

x− 1

)

Annexe E

Applications linéaires, matrices et

déterminant : rappels

E.1 Calcul matriciel dans R2, R

3 et Rn

• Une matrice est un tableau de valeurs.• Une matrice n× p est un tableau de valeurs à n lignes et p colonnes.

Exemple : matrice 2 × 3. M =

(1 10 70 8 15

).

• Remarque : une matrice A se notera souvent (ai,j)i∈1,...,nj∈1,...,p

, où n désigne le nombre de

lignes et p le nombre de colonnes ou plus généralement (ai,j), avec la convention que lalettre i représente une ligne de la matrice et la lettre j une colonne.

• Pour additionner deux matrices (il est impératif que ces matrices soient de même type),on se ramène à une addition de vecteurs. On additionne chaque colonne d’une matriceavec chaque colonne correspondante de la matrice à ajouter.

Exemple :(

1 2−3 4

)+

(1 11 0

)=

(2 3−2 4

).

• On peut multiplier une matrice par un nombre réel λ. Ainsi, toutes les composantes dela matrice sont multipliées par λ.

Exemple : 2 ×(

2 01 −1

)=

(4 02 −2

).

Règle : de façon plus générale, si A = (ai,j) est une matrice et B = (bi,j) est unematrice de même type que A, alors on peut définir A + B = (ai,j + bi,j), ainsi queλA = (λai,j), où λ est un scalaire (réel ou complexe).

• Multiplication de deux matrices A et B.

Règle d’or : pour effectuer le produit matriciel A × B, il faut impérativement quele nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.

101

102ANNEXE E. APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES ET DÉTERMINANT : RAPPELS

Exemple : A =

(1 1 21 0 1

)et B =

101

. On peut effectuer le produit A × B.

On a :

A×B =

(1 1 21 0 1

)×

101

=

(1 × 1 + 1 × 0 + 2 × 11 × 1 + 0 × 0 + 1 × 1

)=

(32

).

Règle de calcul : soient A = (ai,j) et B = (bi,j), deux matrices de types respectifs (n, p)et (p, q). On appelle matrice produit de A et B pris dans cet ordre la matrice de type

(n, q), notée C = (ci,j) où : ∀(i, j) ∈ 1, ..., n × 1, ..., q, ci,j =

p∑

k=1

ai,kbk,j.

On écrira d’ailleurs comme ci-dessus C = AB ou C = A× B.

Complétons ces notions sur les matrices avec de nouveaux objets dont l’utilité ap-paraitra lorsque nous expliciterons des techniques de calcul de déterminants, dans lasection qui suit.

• Notion de transposée d’une matrice.

Définition E.1. Soit une matrice A = (ai,j) à n lignes et p colonnes. Posons, pour iet j tels que 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ n, on pose bi,j = aj,i et on appelle B la matrice (bi,j).B s’appelle la matrice transposée de A et se note : B := tA.

Propriété E.1. Soit deux matrices A = (ai,j) et C = (ci,j) à n lignes et p colonnes, etB, une matrice à p lignes et k colonnes. On a alors :(i) t(A+ C) = tA + tC ;(ii) t(AB) = tB tA.

Exemple :

Si M =

(1 10 70 8 15

), on a : tM =

1 010 87 15

E.2 Lien avec les applications linéaires

Commencer par rappeler la définition d’une application linéaire.

Définition E.2. Soient E et F , deux espaces vectoriels.Une application f de E dans F est dite linéaire si :(i) ∀(x, y) ∈ E2, f(x+ y) = f(x) + f(y) ;(ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ E, f(ax) = af(x).les deux égalités précédentes équivalent à l’unique égalité :

∀(α, β) ∈ R2, ∀(x, y) ∈ E2, f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y).

E.2. LIEN AVEC LES APPLICATIONS LINÉAIRES 103

Considérons une application linéaire f : R2 −→ R. On appelle (~i,~j), une base de R2. Ona donc (~i = (1, 0) et ~j = (0, 1). Ainsi, tout vecteur ~u de R

2 s’exprime de façon unique enfonction de ~i et ~j par :

~u = ux~i+ uy~j, où (ux, uy) ∈ R2 et on a : ~u =

(uxuy

).

Remarquons que le fait de connaître f(~i) et f(~j) permet de déterminer complètementf(~u), pour ~u ∈ R2. En effet, puisque f est linéaire, on peut écrire : f(~u) = f(ux~i+uy~j) =

uxf(~i) + uyf(~j).

Exemple concret : f(x, y) = 3x+ 4y.

Exercice : montrer que f est une application linéaire.

On a :• f(~i) = f(1, 0) = 3 ;• f(~j) = f(0, 1) = 4.Ainsi, si ~u = (4, 2) = 4~i+ 2~j, on a :

f(~u) = 4f(~i) + 2f(~j) = 4 × 3 + 2 × 4 = 12 + 8 = 20.

Posons M = (f(~i), f(~j)) = (3, 4). Pour ~u =

(uxuy

)∈ R

2On a : f(~u) = M × ~u =

(3, 4) ×(uxuy

), en utilisant la multiplication matricielle.

M s’appelle la matrice de l’application f . Elle est définie par la relation suivante :

Si X ∈ R2, on a : f(X) = MX.

Un autre exemple : on considère cette fois une fonction f : R2 −→ R2 définie par larelation :

f : (x, y) 7−→(

x+ y2x+ 3y

)=

(f1(x, y)f2(x, y)

).

Encore une fois, la connaissance de (f(~i), f(~j)) permet d’expliciter l’image de R2 par fde façon explicite.Par exemple, posons : ~u = ux~i+ uy~j, avec ux = 1 et uy = 2. On a :

f(~u) = f(1, 2) =

(1 + 2

2 + 3 × 2

)=

(38

).

Maintenant, si ~u = ux~i+ uy~j, avec ux et uy réels quelconques, on a :

f(~u) = f(ux, uy) =

(ux + uy

2ux + 3uy

)=

(1 12 3

)×(uxuy

).

Pour mieux comprendre d’où cette identité provient, retrouvons ce résultat à l’aide d’un

104ANNEXE E. APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES ET DÉTERMINANT : RAPPELS

calcul formel. On peut écrire :

f(~u) = f(ux, uy) = uxf(~i) + uyf(~j)

= ux

(f1(~i)

f2(~i)

)+ uy

(f1(~j)

f2(~j)

)

=

(uxf1(~i) + uyf1(~j)

uxf2(~i) + uyf2(~j)

)

=

(f1(~i) f1(~j)

f2(~i) f2(~j)

)(uxuy

)

=

(1 12 3

)×(uxuy

)

De même que précédemment, on pose : M =

(1 12 3

).

M est la matrice de l’application linéaire f . Elle est encore définie par la relation :

Si X ∈ R2, on a : f(X) = MX.

À présent, généralisons le résultat que l’on vient de prouver :

Définition E.3. On considère une fonction f , linéaire, de Rn à valeurs dans Rp.

On suppose que si X = (x1, ..., xn) ∈ Rn, on a : f(X) =

f1(X)

...fp(X)

, où fi : Rn −→ R.

Soit (e1, e2, ..., en), une base de Rn.Alors, la matriceM de l’application f est définie par la relation : si X ∈ R

2, on a : f(X) =MX, et :

M = (fi(ej))i∈1,...,nj∈1,...,p

=

f1(e1) f1(e2) . . . f1(ep). . .

... fi(ej)...

. . .fn(e1) fn(e2) . . . fn(ep)

E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et 3

Commençons par donner l’expression explicite du déterminant de matrices de type 2 × 2et 3 × 3.

• Déterminant 2 × 2 : ∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

E.3. CALCULS DE DÉTERMINANTS EN DIMENSIONS 2 ET 3 105

• Déterminant 3 × 3 :∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

Pour retrouver simplement cette formule, on peut utiliser une disposition pratique ap-pelée règle de Sarrus.

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 a11 a12 a13

a21 a22 a23 a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

>

>

>Z

ZZ

ZZ

Z~

ZZ

ZZ

ZZ~

ZZ

ZZ

ZZ~

+ + +/− − −

Exemple :∣∣∣∣∣∣

1 2 10 1 03 1 4

∣∣∣∣∣∣= 1 × 1 × 4 + 2 × 0 × 3 + 1 × 0 × 1 − 3 × 1 × 1 − 1 × 0 × 1 − 4 × 0 × 2 = 1.

Énonçons à présent quelques propriétés caractéristiques des déterminants :

Propriété E.2. Soient A et B, deux matrices à coefficients réels de type n× n et E, unespace vectoriel. Alors :(i) det(AB) = detA detB.(ii) dettA = detA.(iii) A est inversible si, et seulement si son déterminant est non nul.(iv) On appelle M1, la matrice d’une application linéaire f de E dans E, exprimée dans

une base B1 et M2, la matrice de l’application linéaire f , exprimée dans une base B2.Alors, detM1 = detM2, et c’est pour cela que l’on peut, sans complexe, définir ledéterminant d’une application linéaire de E dans E.

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Polycopié de cours. Introduction au calcul différentiel