O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

IONE JOSEFI

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA:

Laboratório Pedagógico de Matemática – Uma experiência teórico-

prática para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental: anos

iniciais

LARANJEIRAS DO SUL – PR

AGOSTO/2010

IONE JOSEFI

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA:

Laboratório Pedagógico de Matemática – Uma experiência teórico -

prática para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental: anos

iniciais

LARANJEIRAS DO SUL - PR

AGOSTO/2010

Produção didático-pedagógica apresentada ao

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE–

SEED/PR, sob orientação da Prof. Dr. Sandro

Aparecido dos Santos, do Departamento de Física

da Universidade Estadual do Centro-Oeste –

UNICENTRO.

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

PDE 2009

MATERIAL DIDÁTICO

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO:

PROFESSOR PDE: Ione Josefi

ÁREA/DISCIPLINA: Matemática

NRE: Laranjeiras do Sul

PROFESSOR ORIENTADOR IES: Sandro Aparecido dos Santos

INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR: UNICENTRO

TIPO DE MATERIAL: Unidade Didática

COLÉGIO DE IMPLEMENTAÇÃO: Colégio Estadual Prof. Gildo Aluísio Schuck

Ensino Médio e Normal

PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO: Alunos do Curso de Formação de

Docentes da Educação Infantil e dos Anos iniciais do Ensino Fundamental -

Educação Profissional

TEMA DE ESTUDO

O Ensino da Geometria no Ensino Fundamental – anos iniciais

TÍTULO DA UNIDADE DIDÁTICA

Laboratório Pedagógico de Matemática – Uma experiência teórico-prática para

o ensino de Geometria no Ensino Fundamental: anos iniciais

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 05

2. PROBLEMATIZAÇÃO 06

3. OBJETIVOS GERAIS E ESPECÍFICOS 06

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 07

4.1. TEORIAS COGNITIVAS DE APRENDIZAGEM – PIAGET, VIGOTSKI

E AUSUBEL 07

4.2. LABORATÓRIO PEDAGÓGICO DE MATEMÁTICA - O ENSINO

DA GEOMETRIA E O USO DE MATERIAIS DIDÁTICOS 14

4.3. NOÇÕES DE GEOMETRIA 19

5. DESENVOLVIMENTO DA OFICINA PEDAGÓGICA 29

6. CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOS

MANIPULÁVEIS PARA O ENSINO DE GEOMETRIA 33

6.1. Trabalhando a geometria com materiais diversos 34

6.2. Trabalho com o Geoplano 46

6.3. Trabalho com malhas quadriculadas 51

6.4. Trabalho com Composição de figuras 57

6.5. Trabalho com tabuada geométrica 59

6.6. Trabalho com Tangran 62

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 66

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 67

5

1. INTRODUÇÃO

Existem diferentes metodologias de ensino que possibilitam a

aprendizagem significativa dos conteúdos de matemática. As estratégias

metodológicas fazem com que o objeto de estudo tenha mais significado para os

alunos colaborando para criar em sala de aula um ambiente onde o professor

problematize e estimule a investigação de diferentes situações que envolvem os

conhecimentos matemáticos

Pretende-se através desta Unidade Didática refletir sobre a teoria da

aprendizagem significativa e defendida por David Ausubel, bem como, destacar

alguns aspectos das teorias cognitivas de Piaget e de Vigotski, como experiência

de transposição da teoria à prática, utilizar e investigar o uso de materiais

didático-pedagógicos como estratégia metodológica para o ensino de geometria

nos anos iniciais e salas de apoio de matemática.

A intervenção será feita através de uma Oficina pedagógica realizada no

Colégio Estadual Prof. Gildo Aluisio Schuck EMN, envolvendo alunos do Curso de

Formação de Docentes da Educação Infantil e dos Anos iniciais do Ensino

Fundamental de 3ª e 4ª séries. As ações da oficina abordarão questões teóricas

referentes às teorias cognitivas de aprendizagem, a sua relação com o processo

de ensino-aprendizagem dos conteúdos e conceitos matemáticos, mais

especificamente, os da geometria. Serão pesquisadas e vivenciadas atividades

envolvendo o uso e a construção de materiais didáticos manipuláveis adequados

para o trabalho com a geometria.

Neste trabalho, não se trata de ensinar aos professores algo que já não

saibam e sim mostrar-lhe alguns caminhos, procedimentos e formas de trabalho

que possam de alguma forma contribuir para um melhor aproveitamento dos

estudantes do Ensino Fundamental em Matemática, melhorando a aprendizagem

e desenvolvendo mais o pensamento geométrico do que o próprio conhecimento

de geometria. Quanto aos futuros professores a intenção é de possibilitar

experiências pedagógicas relacionando teoria e prática e ainda fortalecer a cultura

do uso do laboratório pedagógico como uma referência de ensino nas instituições

que trabalham com a formação de docentes deste nível de ensino.

6

2. PROBLEMATIZAÇÃO

Observa-se que, grande parte dos alunos do Curso de Formação de

Docentes, demonstra ter dificuldade em transpor a teoria à prática pedagógica,

principalmente nos conteúdos da Disciplina de Matemática. Isto é percebido no

momento em que os alunos precisam que desenvolver suas mini-aulas para

serem aplicadas nos anos iniciais.

Considerando que o ensino e as práticas pedagógicas constituem o objeto

principal de sua formação profissional é imprescindível desenvolver um trabalho

de reflexão e de formação mais específica, supondo-se que o sucesso da

aprendizagem dos alunos ocorre na medida em que são criadas situações

favoráveis que proporcionem melhores condições e incentivo para tal.

A proposta pedagógica do colégio onde se pretende desenvolver o trabalho

prevê a construção de uma cultura de ensino e aprendizagem da matemática

dentro dos princípios da Educação Matemática, visando à formação integral do

ser humano por intermédio da aquisição e construção do conhecimento

matemático. A comunidade escolar tem o compromisso em melhorar a

aprendizagem e sanar as dificuldades dos alunos, em criar condições para

incentivar o prazer ao aprender e o sucesso na aquisição dos conhecimentos da

disciplina de matemática, bem como, em resgatar o que está em defasagem e

oportunizar o conhecimento técnico pedagógico dos conteúdos de Matemática

dos anos iniciais do Ensino Fundamental

Diante disso, é possível que, após uma intervenção pedagógica, baseada

nos princípios da aprendizagem significativa e com o uso de materiais didáticos,

tais dificuldades sejam minimizadas?

3. OBJETIVOS: GERAIS E ESPECÍFICOS

I – Desenvolver uma experiência pedagógica que possibilite a aquisição de

conhecimentos técnico pedagógicos dos conteúdos de Matemática dos anos

iniciais do Ensino Fundamental para os alunos do Curso de Formação de

Docentes à luz da teoria da aprendizagem significativa;

7

Observar os conhecimentos prévios dos alunos do curso, sobre o

conteúdo de Geometria, bem como, sobre a sua metodologia de ensino;

Possibilitar um aprendizado significativo de conteúdos da geometria básica

aos alunos do curso de Formação de Docentes;

Desenvolver uma prática de ensino que conduza à construção do

conhecimento da geometria;

Possibilitar que os alunos se relacionem com os objetos abstratos da

Geometria nos anos iniciais

II- Organizar um Laboratório Pedagógico de Matemática determinando um

espaço/tempo para promover as interações e as experimentações referentes

às atuais metodologias de ensino sobre o conteúdo de geometria:

Construir e aprender a utilizar materiais pedagógicos como geoplano,

malhas quadriculadas, figuras planas e sólidos geométricos;

Trabalhar com planificações utilizando nomenclaturas e conceitos próprios

da geometria;

Pesquisar e vivenciar atividades sobre o conteúdo de geometria para os

anos iniciais utilizando princípios investigativos;

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

4.1. TEORIAS COGNITIVAS DE APRENDIZAGEM – PIAGET, VIGOTSKI E

AUSUBEL

A aprendizagem apresenta inúmeros adjetivos e complementos e, pode ser

definida em seus mais variados aspectos. Segundo Moreira, podem-se distinguir

três tipos gerais de aprendizagem: cognitiva, afetiva e psicomotora.

A aprendizagem cognitiva é aquela que resulta no armazenamento

organizado de informações na mente do ser que aprende, e esse

complexo organizado é conhecido como estrutura cognitiva. A

aprendizagem afetiva resulta de sinais internos ao indivíduo e pode ser

identificada com experiências tais como prazer e dor, satisfação ou

descontentamento, alegria ou ansiedade. Algumas experiências afetivas

sempre acompanham as experiências cognitivas. A aprendizagem

psicomotora envolve respostas musculares adquiridas por meio de treino

e prática, mas alguma aprendizagem cognitiva é geralmente importante

na aquisição de habilidades psicomotoras (Moreira, 1999, pp.151-152).

8

No ambiente escolar, expressões comuns na linguagem dos professores

da educação básica em matemática são “construção dos conhecimentos” e

“sempre começo pelo concreto”, isto se deve em grande parte pela disseminação

das ideias de Jean Piaget (1986-1980), estudioso da psicologia genética que

influenciou as teorias da aprendizagem a partir do desenvolvimento das estruturas

cognitivas.

Segundo Moreira (1999, p.95) “neste século Piaget é o pioneiro do enfoque

construtivista á cognição humana”. O autor afirma que Piaget é mais conhecido

pelos quatro períodos de desenvolvimento mental: sensório – motor, pré -

operatório, operatório – concreto e operatório – formal; porém, o núcleo de sua

teoria está nos processos de assimilação, acomodação e equilibração.

Considerando os períodos de desenvolvimento mental, a criança de sete

ou oito até 11 ou 12 anos de idade, aproximadamente, está experimentando de

uma forma ativa o período denominado como operatório – concreto, quando

também coincide com o tempo em que ela está na idade escolar das séries

iniciais do Ensino Fundamental. A criança nesta fase recorre a objetos e

acontecimentos concretos para antecipar o ausente, ou seja, apoia sua

compreensão na visualização e manipulação de objetos concretos para atingir a

abstração.

Piaget, segundo Moreira (1999, p.99) destaca que “o crescimento cognitivo

da criança se dá por assimilação e acomodação”. O autor completa que todo o

esquema de assimilação é construído e toda abordagem referente á realidade

supõe também um esquema de assimilação. Sendo assim, quando a mente ou o

organismo assimilam algum novo conceito, ele incorpora esta nova informação a

sua realidade desenvolvendo um novo esquema. Esta modificação dos esquemas

de ação, Piaget denominou de “acomodação”. Sobre este processo da teoria

piagetiana, o autor afirma que:

É através das acomodações, (que por sua vez levam á construção de novos esquemas de assimilação) que se dá o desenvolvimento cognitivo. Se o meio não apresenta problemas à atividade da mente é apenas de assimilação, porém, diante deles, ela se reestrutura (acomodação) e se desenvolve. Não há acomodação sem assimilação, pois acomodação é a reestruturação da assimilação. O equilíbrio entre assimilação é a adaptação da situação. Experiências acomodadas dão origem, posteriormente a novos esquemas de assimilação é um novo estado de equilíbrio é atingido. MOREIRA (1999 p.100)

9

Na teoria piagetiana, a partir desses conceitos, chegou-se a ideia da

“estrutura cognitiva”, pois ela não é uma teoria de aprendizagem, embora seja

considerada assim, é de fato uma teoria de desenvolvimento mental. Mesmo que

não tenha sido enfatizado o conceito de aprendizagem, estas proposições foram

de grande importância para o ensino, pois, ensinar seria a provocação de um

desequilíbrio na compreensão da criança, para ela em seguida, buscar o

reequilíbrio, se reestruturar cognitivamente e aprender. O ensino deve ter,

portanto, a função de ativar estes mecanismos.

Dentro deste processo o professor deve fazer as provocações levando em

conta os esquemas de assimilação de seus alunos. Para Piaget o ensino deve ser

realizado através de ações e demonstrações dando a oportunidade aos alunos de

agir, e estas ações devem estar integradas à argumentação do professor. Estas

ações e manipulações realizadas não têm em si mesmas a capacidade de

construir conhecimento. Percebe-se que o educador é personagem indispensável

para as situações de ensino, porém deve estimular a pesquisa, a observação e a

argumentação ao invés da transmissão de soluções já prontas.

Outra teoria cognitiva que é imprescindível destacar é a teoria psicológica

de aprendizagem concebida e fundamentada no materialismo histórico-dialético a

partir dos estudos de Vigotski (1986-1934), segundo Silva (2009, p.51) “a qual

levou em consideração as relações entre pensamento e linguagem, entre a

Educação e o desenvolvimento, e o desenvolvimento infantil”.

Um dos pilares da teoria de Vigotski é de que os processos mentais

superiores do indivíduo tem origem nos processos sociais. O desenvolvimento

cognitivo não ocorre independente do contexto social, histórico e cultural, como

destaca Moreira (1999 p. 110) “o desenvolvimento cognitivo é a conversão de

relações sociais em funções mentais”. Esta conversão se dá através da mediação

que inclui instrumentos e signos.

Para Vigotski (1988) “é com a interiorização de instrumentos e signos

produzidos culturalmente, que se dá o desenvolvimento cognitivo”. Estes

instrumentos e signos são construções sócio-históricas e culturais que quando o

indivíduo (neste caso a criança) se apropria internalizando-os através da

interação social então ela se desenvolve cognitivamente.

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A interação social demanda a necessidade de intercâmbio de informações

entre pelo menos duas pessoas, num envolvimento ativo entre ambas, trocando

experiências e conhecimentos. Para que uma criança possa internalizar um signo

é preciso que seu significado lhe seja oportunizado pela interação com outrem

que já tenha este domínio.

Como a aprendizagem é mediada pela cultura, Vigotski e seus

colaboradores apresentam dois níveis de desenvolvimento identificados como: o

nível sociogenético e o nível ontogenético que Silva (2009, p. 53) assim descreve:

O primeiro nível diz respeito ao grande conjunto de todas as pessoas, as quais se desenvolvem pela mediação entre elas e os diversos objetos culturais. Já o segundo é mais específico, refere-se ao processo de desenvolvimento que cada sujeito vivencia, com a mesma dinâmica de mediação, só que dessa vez em relação à cultura do seu lugar e de seu tempo histórico.

Vigotski, segundo Silva (2009) defende a ideia de que todas as pessoas de

qualquer etnia ou classe social são capazes de aprender e se desenvolver,

contanto que se relacionem com os objetos cognoscíveis através de interações

sociais adequadas e suficientes. Portanto a aprendizagem pode ocorrer na

medida em que os sujeitos cognoscentes se relacionam com os objetos

cognoscíveis.

Os conceitos de zona de desenvolvimento proximal e de zona de

desenvolvimento real explicitam as relações entre aprendizagem e

desenvolvimento. A cada situação de aprendizagem experimentada pela criança

faz com que ela seja diferente do que era antes, porque depois disso sabem o

que antes não sabiam, ou aprofundam o que sabiam superficialmente. Conforme

cita Silva (2009, p. 59) “ao aprenderem os sujeitos negam as suas condições

anteriores e, nesse jogo constante de negações proporcionado por sucessivas e

complexas aprendizagens, evoluem qualitativamente”.

Vigotski (1984, p.98) afirma que: “aquilo que é zona de desenvolvimento

proximal hoje será o nível de desenvolvimento real amanhã, ou seja, aquilo que

uma criança pode fazer com assistência (mediação) hoje, ela será capaz de fazer

sozinha amanhã”. A mediação pode acontecer tanto na relação com outros

sujeitos que estão numa situação de aprendizagem, como com os adultos com

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mais experiência naquele objeto de estudo, no caso da aprendizagem no

ambiente escolar estes sujeitos são os alunos que interagem entre si e com os

professores.

Com relação ao pensamento de Vigotski sobre a Educação escolar, Silva

(2009, p. 56) conclui que:

Pode-se começar pela identificação do professor como responsável pela mediação suficiente entre alunos (sujeitos cognoscentes) e os objetos (conteúdos, conceitos, práticas e atitudes cognoscíveis). Esta mediação docente se vale de recursos didáticos que compreendem em última análise, símbolos e linguagens variadas.

Há também, um discurso comum entre os professores que o ensino da

matemática deve partir da “bagagem” de conhecimentos que o aluno já tem, e

ainda que o objetivo maior da educação escolar seja a aprendizagem significativa

dos conteúdos e conceitos, dito muitas vezes, sem reflexão e sem a compreensão

do que envolve esta teoria de aprendizagem.

Moreira (1999) atribui o conceito e os estudos da aprendizagem

significativa a David Ausubel, psiquiatra americano pesquisador e autor de várias

obras na área da psicologia educacional, defendendo esta idéia desde1963. O

autor afirma que só podemos aprender a partir do que já conhecemos. A teoria

de Ausubel prioriza a aprendizagem cognitiva que propõe uma explicação teórica

sobre o processo de aprendizagem. Para ele, segundo o autor, “o fator que mais

influencia a aprendizagem é aquilo que o aluno já sabe” servindo desta forma, de

base para novas informações. Ao professor cabe a tarefa de identificar isso e

propor um ensino de acordo. Portanto o discurso dos professores tem uma base

científica, pesquisada por Ausubel e outros.

Segundo Ausubel (1978) apud (Brito, 2005) a aprendizagem será

significativa se as idéias expressas simbolicamente forem relacionadas às

informações relevantes, previamente adquiridas pelo aprendiz. O conhecimento

trazido pelo aluno de fora da sala de aula deve ser valorizado e explorado no

ambiente escolar servindo como referência para a compreensão e aquisição de

novos conhecimentos.

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“A aprendizagem significativa ocorre quando a nova informação ancora-se

em conceitos ou proposições relevantes, pré-existentes na estrutura cognitiva do

aprendiz” como afirma Moreira (1999 p. 153). Estes conceitos, Ausubel define

como subsunçor, ou facilitador da aprendizagem, existentes na estrutura cognitiva

do indivíduo, que pode ser, por exemplo: algum símbolo, conceito ou proposição

já significativo.

Moreira (1999) afirma que Ausubel não faz a distinção entre aprendizagem

significativa e aprendizagem mecânica, explica que o conhecimento na

aprendizagem mecânica fica distribuído de forma arbitraria na estrutura cognitiva,

sem ligação com conceitos subsunçores específicos, porém não estabelece uma

dicotomia entre elas e sim que ambas se completam. O mesmo pensamento tem

em relação à aprendizagem por recepção e aprendizagem por descoberta,

conforme esclarece:

Segundo Ausubel (1968), na aprendizagem por recepção, o que deve ser aprendido é apresentado ao aprendiz em sua forma final, enquanto que na aprendizagem por descoberta o conteúdo principal a ser aprendido deve ser descoberto pelo aprendiz. Entretanto, após a descoberta em si, a aprendizagem só é significativa se o conteúdo descoberto ligar-se a conceitos subsunçores relevantes, já existentes na estrutura cognitiva, ou seja, quer seja por recepção ou por descoberta a aprendizagem é significativa, se a nova informação incorpora-se de forma não-arbitrária à estrutura cognitiva. (MOREIRA 1999, p. 154)

A construção de novos conceitos por parte da criança ao atingir a idade

escolar ocorre devido a ela já possuir um conjunto adequado de conceitos que

permitem a aprendizagem significativa, a maioria deles adquiridos, segundo

Moreira (1999 p. 155), através de assimilação, diferenciação progressiva e

reconciliação integrativa de conceitos. O autor ainda explicita que Ausubel,

recomenda o uso de organizadores prévios como estratégia para manipular a

estrutura cognitiva com a finalidade de facilitar a aprendizagem significativa.

Segundo o autor, o próprio Ausubel (1980) afirma:

A principal função do organizador prévio é a de servir como ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que ele deve saber, a fim de que o material possa ser aprendido de forma significativa, ou seja, organizadores prévios são úteis para facilitar a aprendizagem na medida em que funcionam como pontes cognitivas.

13

Na teoria da aprendizagem significativa, Moreira e Massini (2006, p.25)

afirmam “para que seja claro e preciso o processo de aquisição e organização de

significados na estrutura cognitiva, introduz-se o princípio da assimilação”. Este

princípio explica como o conhecimento se organiza na estrutura cognitiva.

Ausubel também descreve o processo de “subsunção”, por meio do “princípio de

assimilação” representado simbolicamente através de um esquema representado

na figura 1:

Nova informação

potencialmente

significativa

Relacionada

e assimilada

por

Conceito subsunçor

existente na

estrutura cognitiva

Produto interacional

(subsunçor

modificado)

A A A’ a’

Figura 1: Fonte Moreira e Massini (2006, p.25)

Portanto, através do esquema, os autores afirmam que:

A assimilação é um processo que ocorre quando um conceito ou

proposição a, potencialmente significativo, é assimilado sob uma ideia

ou conceito mais inclusivo, já existente na estrutura cognitiva, como um exemplo, extensão, elaboração ou qualificação do mesmo. Tal como

sugerido no diagrama, não só a nova informação a, mas também o

conceito subsunçor A, com o qual ele se relaciona, são modificados pela

interação, além disso, a’ e A’ permanecem relacionados como co-

participantes de uma nova unidade a’A’ que nada mais é do que o

subsunçor modificado.

O papel do professor como facilitador de aprendizagem significativa

envolve pelo menos quatro tarefas fundamentais, como conclui Moreira (1999

p.162):

1 – Identificar a estrutura conceitual e proposicional da matéria a ensinar. Isto é, identificar os conceitos e princípios unificadores, inclusivos, com maior poder explicativo e propriedades integradoras e organizá-los hierarquicamente de modo que, progressivamente, abarquem os menos inclusivos, até chegar aos exemplos e dados específicos. 2 – Identificar quais os subsunçores (conceitos, proposições e idéias claras, precisas, estáveis) relevantes à aprendizagem do conteúdo a ser ensinado que o aluno deveria ter em sua estrutura cognitiva para poder aprender significativamente este conteúdo. 3 – Diagnosticar o que o aluno já sabe; determinar entre os subsunçores especificamente relevantes (previamente identificados ao “mapear” e

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organizar a matéria de ensino), quais são os que estão disponíveis na estrutura cognitiva do aluno. 4 – Ensinar utilizando recursos e princípios que facilitem a passagem da estrutura conceitual da matéria a ensinar à estrutura cognitiva do aluno de uma maneira significativa.

Os educadores envolvidos com a educação matemática em qualquer nível

de ensino devem ter como objetivo principal a construção do conhecimento

matemático pelo aluno, através da contextualização dos problemas matemáticos

abordados, da construção de modelos, do trabalho com jogos matemáticos, da

utilização da resolução de problemas e vivenciando processos pedagógicos

investigativos, desta forma esta construção será significativa. Como afirma Pais

(2005, p.35) é preciso “despertar no aluno o hábito de fazer uso do seu raciocínio

e de cultivar o gosto pela resolução de problemas, fazendo com que ele se sinta

motivado pela busca do conhecimento”.

Santos (2008) conclui que:

O processo de ensino-aprendizagem sempre inclui aquele que aprende, aquele que ensina e a relação entre essas pessoas. Aquele que ensina não se refere necessariamente a um educador fisicamente presente – pode se manifestar por meio dos objetos, da organização do ambiente, dos significados que impregnam os elementos do mundo cultural que rodeia o indivíduo.

4.2. LABORATÓRIO PEDAGÓGICO DE MATEMÁTICA - O ENSINO DA

GEOMETRIA E O USO DE MATERIAIS DIDÁTICOS

Segundo Fonseca et al. (2005, p.73) a criança busca conhecer e explorar o

espaço em que vive, a partir de suas necessidades ou curiosidade, desvendando

este universo espacial e geométrico e esta relação com a Geometria ocorre por

toda a sua vida. A autora afirma que “essa competência geométrica tem sua

origem na experiência sensível da criança que se percebe cercada por objetos

tridimensionais”. Por este motivo é indicado que o estudo de Geometria com as

crianças comece pela investigação dos sólidos geométricos, pois estes são

objetos matemáticos que exigem menos abstração por parte da criança e podem

conduzir a compreensão de conceitos mais elaborados.

15

A geometria faz parte de diversas situações do cotidiano, está presente na

natureza, nos objetos, nas brincadeiras, nas construções e na arte, enfim é

possível observar as mais diferentes formas geométricas. Muitos conceitos

geométricos são incorporados à linguagem, à organização de objetos, idéias e

valores estéticos, como afirma Fonseca (2005 p. 72)

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) a investigação matemática no

ensino da Geometria contribui para a compreensão de questões essenciais, tais

como as generalizações e formulação e teste de hipóteses, além de desenvolver

capacidades como visualização e representações espaciais.

A visualização e a manipulação de materiais como apoio para a

aprendizagem, segundo Lorenzato (2006) tem sido nos últimos séculos ressaltada

por muitos educadores, tais como, Comenius, Locke, Rousseau, Pestalozzi e

mais recentemente, Montessori, Piaget Vigotski, Freinet entre outros. Cada um

reconheceu a seu entender que a ação do indivíduo sobre o objeto é relevante

para contribuir com a aprendizagem, evidenciando a importância do uso do

material didático e das interferências docentes no processo. São muitos os

argumentos em favor do uso destes facilitadores da aprendizagem em sala de

aula. No caso das séries iniciais deve ser estimulado este apelo visual e tátil,

porém os materiais devem proporcionar a ampliação de conceitos, a investigação

de propriedades, a percepção e o uso de símbolos e compreensão de algoritmos

e padrões geométricos.

O Laboratório Pedagógico de Matemática aqui citado como contribuição a

transposição didática poderia ter a conhecida denominação de Laboratório de

Ensino de Matemática (LEM), que segundo Lorenzato (2006), “é um espaço

reservado para que as aulas de matemática aí aconteçam de maneira a

estruturar, organizar, planejar e construir o fazer matemático”, com objetivo de

facilitar a investigação, a experimentação, a análise, a compreensão e

apropriação de conceitos, onde podem ser produzidos e utilizados materiais

didáticos contribuindo com a prática pedagógica. O ideal é que este espaço fosse

uma sala-ambiente onde professores e alunos pudessem ter com referência para

seus estudos e pesquisas, porém, se este espaço físico ideal não existir, estas

experiências também podem ser realizadas de forma alternativa.

16

Lorenzatto afirma que, de modo geral, um Laboratório de Matemática pode

ter os seguintes materiais:

Revistas, jornais e artigos;

Livros didáticos, paradidáticos e outros;

Jogos;

Quebra-cabeças;

Problemas desafiadores e de lógica;

Questões de olimpíadas, ENEM, e vestibulares;

Textos sobre história da matemática;

Cds, transparências, fotos;

Figuras;

Sólidos;

Modelos estáticos ou dinâmicos;

Materiais didáticos industrializados;

Instrumentos de medidas;

Computadores, calculadora;

Materiais didáticos construídos pelos alunos e professores

Materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos e outros. (Lorenzato, 2006, p.11)

O autor afirma ainda que, não existe uma única concepção sobre o LEM,

pois este deve atender as reais necessidades e condições de cada instituição,

sendo, portanto, construído e encaminhado a partir da realidade onde está

inserido, o importante é que seja utilizado para alcançar os objetivos propostos.

Considera-se imprescindível que a instituição que trabalha com a formação

de docentes, seja de nível médio ou superior tenha um espaço/tempo destinado

para a vivência com os materiais didático-pedagógicos disponíveis para simular e

desenvolver a docência. No caso da matemática, o laboratório pedagógico é uma

importante iniciativa para que a formação dos futuros professores tenha

referenciais mais consistentes.

Pressupõe-se, portanto, produtivo que nas aulas de Matemática sejam

utilizados materiais manipuláveis (modelos de sólidos geométricos, geoplanos,

tangrans, réguas, malhas quadriculadas, ábacos, e tantos outros), que podem ser

produzidos pelo professor com materiais de sucata ou industrializados visando à

exploração de determinadas ideias e conceitos matemáticos. No entanto, as

autoras Silva e Martins (2000 p.58) afirmam que “é fundamental não esquecer

que só a utilização de materiais não garante a aprendizagem eficaz e

significativa”. O mais relevante segundo as autoras, é a aprendizagem como

atividade mental desenvolvida pelo aluno. Não é suficiente contar com materiais

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didáticos adequados, é necessário saber como utilizá-los. O professor precisa ter

o domínio dos conceitos geométricos que pretende ensinar e assumir a postura

de orientador para a aprendizagem dos alunos e assim, auxiliar na condução

destas descobertas. Portanto, o professor deve estimular a curiosidade do aluno

em aprender, questionando-os a respeito do que estão estudando e não deve

responder às questões no lugar deles.

Segundo as teorias de Jean Piaget, como apontam Silva e Martins (2000),

a criança ao longo do seu desenvolvimento cognitivo passa por vários estágios e

no caso da criança na fase escolar a construção de conceitos matemáticos

também é um processo longo onde há um envolvimento ativo da criança-aluno

que vai evoluindo e se transformando do concreto para o abstrato através da

interação destas com o meio e com os objetos. A estes objetos denominamos

materiais manipuláveis que tem a função de contribuir com a passagem do

concreto para o abstrato, aguçando vários sentidos da criança que os utiliza como

suporte físico nas situações de aprendizagem.

Os documentos oficiais curriculares também demonstram dar importância

ao desenvolvimento do pensamento geométrico. Os Parâmetros Curriculares

Nacionais – Matemática (BRASIL, 1997, p.72-88) abordam o conteúdo

estruturante Geometria com a denominação de Espaço e Forma e sugerem ser

mais produtivo se o professor articular o ensino da geometria a partir da

exploração de objetos do mundo físico. Esse documento destaca os seguintes

aspectos que devem ser desenvolvidos nas séries iniciais do Ensino

Fundamental:

1º Ciclo - (1° 2° e 3° ano)

Localização de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referencia e algumas indicações de posição;

Movimentação de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de direção e sentido;

Descrição da localização e movimentação de pessoas ou objetos no espaço, usando sua própria terminologia;

Dimensionamento de espaços, percebendo relações de tamanho e forma;

Interpretação e representação e representação de posição e de movimentação no espaço a partir da análise de maquetes, esboços, croquis e itinerários;

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Observação de formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas características: arredondadas ou não, simétricas ou não, etc;

Estabelecimento de comparações entre objetos do espaço físico e objetos geométricos – esféricos prismáticos – sem uso obrigatório de nomenclatura;

Percepção de semelhanças e diferenças entre cubos e quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e círculos;

Construção e representação de formas geométricas; 2º Ciclo - (4° e 5° ano)

Descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no espaço;

Utilização de malhas ou redes pra representar, no plano, aposição de uma pessoa ou objeto;

Descrição, interpretação e representação da movimentação de uma pessoa ou objeto no espaço e construção de itinerários;

Representação do espaço por meio de maquetes;

Reconhecimentos de semelhanças e diferenças entre corpos redondos, como esfera, o cone, o cilindro e outros;

Reconhecimentos de semelhanças e diferenças entre poliedros (como os prismas, as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces, vértices e arestas;

Composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando diferentes possibilidades;

Identificação da simetria em figuras tridimensionais;

Exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais;

Identificação de figuras poligonais e circulares nas superfícies planas da figuras tridimensionais;

Identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como números de lados, números de ângulos, eixos de simetria, etc;

Exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados, etc;

Composição e decomposição de figuras planas e identificação de que qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares;

Ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas;

Percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e nas criações artísticas;

Representação de figuras geométricas;

As Orientações Pedagógicas para os Anos Iniciais do ensino Fundamental

de Nove Anos (PARANÁ, 2009, p 158) explicitam que “os ambientes onde os

materiais didáticos são utilizados favorecem a aprendizagem do aluno, mas alerta

que nenhum material, basta por si só”. Os materiais didáticos são instrumentos

que precisam da mediação do professor, que deve estabelecer relações entre a

compreensão do aluno e o conhecimento matemático que se pretende atingir.

O aluno pode, por exemplo, construir figuras planas refletindo sobre a

medida de área, comprimento, perímetro, elaborando seus próprios conceitos a

19

partir da intervenção do professor e da manipulação das formas. Pois segundo

Sergio Lorenzato (2006, p.25):

Para o aluno, mais importante que conhecer essas verdades matemáticas, é obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, a melhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazer constatações, a satisfação do sucesso, e compreender que a matemática, longe de ser um bicho-papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar.

Para Santos (2008) o professor precisa conscientizar-se que devem

sempre aperfeiçoar-se buscando novos procedimentos metodológicos para tornar

o conteúdo mais atraente melhorando a compreensão dos alunos.

4.3. NOÇÕES DE GEOMETRIA

O conteúdo deste item foi elaborado a partir de leituras e análises de

manuais destinados aos professores de 4ª e 5ª série do Ensino Fundamental, tais

como Bigode (2000), Pires (2002), Bonjorno (2008), Spineli (2008), Dante (2002)

Projeto Araribá (2006), entre outros e tem a intenção de apresentar conceitos e

definições básicas de Geometria que devem ser abordadas neste nível de ensino.

A palavra geometria é composta de duas partes: geo, que significa terra e

metria que significa medida, portanto geometria - “medida de terra”.

Resgatando um pouco da história da geometria diz-se que há cerca de

5000 anos, no Egito antigo, desenvolveu-se uma geometria prática, para resolver

problemas do cotidiano, principalmente em situações de medição de terras e de

construções de edifícios e monumentos, como as notáveis pirâmides.

Depois das inundações anuais do rio Nilo, quando as águas baixavam, as

terras precisavam ser novamente medidas e cercadas. Então os agrimensores da

época percorriam as terras com seus instrumentos de medida para fazer as

medições necessárias. Estas medições agrícolas e os cálculos de edificação

propiciaram o desenvolvimento de importantes conhecimentos de geometria.

Atualmente a geometria é conhecida como o ramo da Matemática que

estuda as figuras sob vários aspectos, tais como forma e medidas.

20

4.3.1. Figuras geométricas tridimensionais

Objetos e construções feitos pelo homem, além de tudo o que existe na

natureza, tem uma forma, algumas destas formas remetem ao que se chama em

Matemática de figuras geométricas.

As figuras geométricas tridimensionais são também chamadas de sólidos

geométricos, figuras que tem três dimensões (altura, largura e comprimento) e

são maciças. Os sólidos geométricos podem ser representados pelos exemplos

da figura 2:

Figura 2: Sólidos Geométricos

Os sólidos geométricos podem se classificados em dois grupos: poliedros

e corpos redondos.

Poliedros são os sólidos geométricos que tem a superfície formada

somente por partes não arredondadas, ou seja, achatadas. Cada parte de sua

superfície pode ficar inteiramente apoiada sobre uma mesa.

A superfície externa de um poliedro pode ser representada no plano. A

representação de uma caixa totalmente aberta chama-se planificação. Com a

planificação é fácil perceber as partes retangulares que formam a embalagem.

Uma caixa é uma representação de um paralelepípedo e cada uma de suas

partes chama-se face.

Figura 3 Elementos de um cubo.

21

As linhas retas (dobras da caixa) são chamadas de arestas do poliedro e

os cantos ou pontos de encontro das arestas são chamados de vértices sendo

estes os elementos de um paralelepípedo, como mostra a figura 3.

Os poliedros podem ser chamados de prismas quando possuem duas

superfícies chamadas de base, idênticas e paralelas e as demais são faces

laterais. As faces opostas são iguais como se pode ver os exemplos na figura 4.

Figura 4: Modelos de Prismas

Quando o poliedro possui uma face chamada de base que pode ser

triangular, quadrangular, pentagonal e outras. As demais faces laterais são

triangulares, que convergem e se encontram em um único ponto é chamado de

pirâmide. (Figura 5)

Figura 5: Modelos de

Pirâmides

Além destes, ainda podem ser chamados de poliedros uma coleção que

não se caracterizam nem como prismas e nem como pirâmides sendo designados

pelo número de faces que possuem. É o caso, por exemplo, do octaedro,

dodecaedro, icosaedro entre outros como mostra a figura 6.

Figura 6 – Modelos de Poliedros

22

Alguns poliedros e seus nomes:

Tetraedro - 4 faces Octaedro - 8 faces

Pentaedro - 5 faces Decaedro - 10 faces

Hexaedro - 6 faces Dodecaedro - 12 faces

Heptaedro - 7 faces Icosaedro - 20 faces

Os poliedros que tem todas as faces iguais são chamados de poliedros

regulares ou Sólidos de Platão. São considerados regulares apenas os seguintes

poliedros: tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. (Figura 7).

Figura 7 – Sólidos de Platão

Corpos redondos são sólidos geométricos que tem pelo menos uma

superfície arredondada. Nem toda a sua superfície pode ficar inteiramente

apoiada sobre uma mesa (figura 8)

.

Figura 8 – Modelos de corpos

redondos

4.3.2. Figuras geométricas planas

As figuras geométricas possuem duas dimensões (largura e comprimento,

largura e altura ou altura e comprimento), portanto, todos os pontos da figura

estão no mesmo plano. A figura 9 mostra alguns exemplos de figuras planas.

23

Figura 9 – Modelos de figuras planas

Ponto, reta e plano

Não é possível definir formalmente o ponto, a reta e o plano, apenas se

pode imaginá-los, por isso são denominados conceitos primitivos da geometria.

No ambiente visualizável existem imagens do cotidiano que dão idéia destes

conceitos. Por exemplo, um pingo de tinta em uma folha de papel dá a idéia de

ponto, uma corda esticada dá a idéia de reta e a superfície de uma mesa dá a

idéia de um plano.

Os pontos não têm espessura e são representados por letras maiúsculas

do nosso alfabeto. P.

As retas são entes que não têm espessura, são ilimitadas em todas as

direções, quando representadas (figura 10) desenha-se apenas parte delas e são

nomeadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Figura 10: representação de uma reta r

Os planos também não têm espessura, são ilimitados em todas as direções

e ao representá-los, desenha-se apenas parte deles. Usam-se letras gregas

minúsculas para nomear os planos.

24

Retomando os elementos dos poliedros, os vértices são pontos, cada

aresta está contida em uma reta e cada face de um poliedro está contida em um

plano.

De uma reta pode se obter semirretas e segmentos de retas. Um ponto P

em uma reta r determina duas semirretas. O ponto P é a origem das semirretas.

A parte da reta compreendida entre dois pontos A e B é definido como

sendo um segmento de reta. Pode ser dito que a aresta de um poliedro é um

segmento de reta. Diz-se ainda que dois segmentos de reta sejam consecutivos

se uma extremidade de um dos segmentos também é extremidade do outro. E

são segmentos colineares dois segmentos que estão na mesma reta.

Num plano, duas retas podem assumir posições de paralelas ou

concorrentes. Duas retas são concorrentes quando têm apenas um ponto em

comum e são chamadas retas paralelas quando não tem nenhum ponto em

comum.

Linhas

Tudo o que se vê é formado por diferentes tipos de linhas compondo uma

estrutura geométrica. Quando os contornos das figuras são formados somente

por segmentos de reta diz-se que são linhas poligonais (figura 11). Quando os

contornos não são formados apenas por segmentos de reta diz-se que são linhas

não-poligonais como mostra a figura 12.

Figura 11: Linhas poligonais

Figura 12: Linhas não poligonais

25

As linhas poligonais podem ser classificadas em abertas e fechadas;

simples (quando os segmentos não se cruzam) e não simples (quando os

segmentos se cruzam).

Ângulos

Um ângulo pode ser concebido como um giro ao redor de um ponto fixo,

como quando um ginasta dá um giro em volta do seu próprio corpo, ao que se

chama ângulo de uma volta ou de 360º. Quando o giro é de meia volta diz-se que

é um angulo raso ou de 180º. Quando a ginasta da um quarto de volta diz-se que

é um ângulo reto ou de 90º.

Além do giro outras situações dão ideia de ângulo tais como a abertura dos

ponteiros de um relógio, a inclinação de uma rampa ou de um telhado, as regiões

obtidas no cruzamento de duas ruas, por exemplo.

Quando duas retas concorrentes de um plano se cruzam num ponto,

dividem este plano em quatro regiões, e cada uma dessas regiões forma um

ângulo (figura13).

Figura 13: Representação de ângulos

Os ângulos podem ser nomeados conforme a medida de sua abertura

como mostra a figura 14.

Figura 14: Representação de ângulos

Polígonos

26

Uma linha poligonal fechada e simples com sua região interna forma um

polígono.

A palavra polígono é de origem grega e é composta de duas partes: poli,

que significa muitos, e gono, que significa ângulo.

Os polígonos podem ser convexos e não convexos. Um polígono é

considerado convexo quando todos os segmentos de reta com extremos no

interior desse polígono têm todos os pontos no interior do polígono.

Um polígono é não-convexo se existe um segmento de reta cujos extremos

estão no interior desse polígono, mas nem todos os pontos do segmento estão no

interior do polígono.

Os elementos que compõem os polígonos são: lados, vértices, diagonais e

ângulos internos.

Figura 15: Representação de um polígono e

seus elementos.

Os lados do polígono da figura 15 são os segmentos: AB, BC, CD, DE e EA.

Os vértices do polígono são as extremidades dos lados de um polígono

representados pelos pontos A, B, C, D e E.

As diagonais do polígono são os segmentos: EB, AD, AC e BD.

Os ângulos internos são: α, β, γ, δ e ε.

Os polígonos recebem nomes especiais conforme o número de lados:

3 lados - Triângulo 8 lados - Octógono

4 lados - Quadriláteros 9 lados - Eneágono

5 lados - Pentágono 10 lados - Decágono

6 lados - Hexágono 12 lados - Dodecágono

7 lados - Heptágono 20 lados - Icoságono

27

Estes polígonos também têm especificações e nomenclaturas diferentes

conforme as suas características.

Os triângulos possuem classificações quanto á medida dos lados e quanto

á medida dos ângulos.

Quanto á medida dos lados os triângulos podem ser denominados

conforme a figura 16:

Figura 16: Tipos de triângulos

Equilátero: Triângulo cujos lados têm as medidas iguais;

Isósceles: Triângulo que tem dois lados com medidas iguais;

Escaleno: Triângulo que todos os lados com medidas diferentes.

Quanto á medida dos ângulos os triângulos podem ser denominados

conforme a figura 17:

Figura 17: Tipos de triângulos

Retângulo: triângulo que tem um ângulo reto (90º);

Acutângulo: triângulo cujos ângulos internos são agudos (menor que 90º);

Obtusângulo: triângulo que tem um ângulo obtuso (maior que 90º).

28

Os quadriláteros que são polígonos com quatro lados também têm

classificações conforme as suas características. Os quadriláteros são

classificados quanto ao paralelismo dos lados.

Paralelogramos são os polígonos que podem ter dois pares de lados

paralelos (figura 18):

Figura 18: Tipos de polígonos - paralelogramos

Trapézios são os polígonos que podem ter um par de lados paralelos,

conforme mostra a figura 19:

Figura 19: Tipos de polígonos - trapézios

Quadriláteros que não tem nenhum dos lados paralelos e nem um nome

especial como ilustra a figura 20:

Figura 20 – Tipos de quadriláteros

Circulo e circunferência

Muitos objetos que estão á nossa volta tem o formato circular ou tem uma

de suas faces neste formato.

A circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um

plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo, chamado centro da

29

circunferência (figura 21). A figura geométrica formada por uma circunferência e

toda a sua região interior chama-se círculo (figura 21).

Figura 21: Representação geométrica

5. DESENVOLVIMENTO DA OFICINA PEDAGÓGICA

O trabalho será realizado na sua primeira etapa, através do

desenvolvimento de atividades diagnósticas que terão como objetivos a coleta de

informações sobre o ensino da matemática em geral, sobre questões da

aprendizagem dos alunos, sobre o ensino de geometria e o uso de materiais

didáticos nas séries iniciais. Na etapa seguinte serão desenvolvidos alguns

exemplos de atividades envolvendo o conteúdo de geometria, simulando o

trabalho com os anos iniciais, bem como explorando o uso e ou a construção de

alguns materiais didáticos manipuláveis.

As atividades serão propostas seguindo os princípios da aprendizagem

significativa, isto é, partindo sempre de conhecimentos prévios resgatando o que

os alunos já sabem sobre o conteúdo a ser trabalhado. Também serão

evidenciados os princípios das teorias cognitivas de Piaget e de Vigotski,

vivenciando situações de manipulação e visualização de objetos, bem como de

interação entre os sujeitos em função da aprendizagem.

5.1. Pesquisa pré-teste

Propor uma pesquisa através de um questionário individual para os alunos

da 3ª e 4ª série do curso de formação de docentes que servirá de pesquisa pré-

teste com as seguintes questões:

Qual a importância da teoria e da prática na sua formação de docente?

Como você pensa que deve ser o ensino da matemática?

30

O que considera mais importante ensinar nas séries iniciais?

Como era o ensino de geometria no início da sua escolarização e qual o

papel que ocupava no planejamento dos professores?

Você considera importante o ensino de geometria nos anos iniciais? Por

quê? E como deve ser?

O que você sabe sobre Laboratório Pedagógico de Matemática? Qual a

sua função e o que deve conter?

Para você o que significa “aprendizagem significativa”?

Você tem interesse em participar de um grupo de estudos sobre o uso de

materiais didáticos no ensino de geometria?

A partir da coleta das respostas dos entrevistados, organizar o grupo de

estudo no contra-turno dos alunos. Depois do grupo organizado, propor atividades

de pesquisa sócio-poética, promovendo uma sondagem sobre conhecimentos de

geometria utilizados no cotidiano.

5.2. Atividade de Apresentação

Material: Um rolo de barbante

Desenvolvimento:

Como atividade de apresentação os alunos deverão formar um círculo na

sala e a professora pega um rolo de barbante, segura na ponta inicial e começa

uma breve apresentação pessoal. A professora continuará segurando a ponta do

barbante e entrega o rolo para outra pessoa do círculo que deverá segurar

naquele ponto e fazer a sua apresentação. Isto ocorrerá até que todos estejam

segurando num dos pontos do barbante, se apresentem e o rolo volte novamente

para as mãos da professora.

Pedir que os alunos permaneçam segurando em cada ponto e fazer uma

reflexão coletiva sobre:

O que esta ação produziu;

O que podem perceber com o entrelaçamento dos fios;

Que conceitos matemáticos podem estar incluídos neste desenho formado

pelo entrelaçamento dos fios;

5.3. Pesquisa sócio - poética

31

Esta atividade servirá como instrumento de apresentação de idéias dos

participantes e coleta de dados:

Organização: Grupos de quatro alunos;

Material: Folhas de papel sulfite e pincéis para desenho;

Desenvolvimento: Pedir que os alunos reflitam sobre as questões que serão

propostas e representem através de desenhos:

O que é ser professor?

O que pensa sobre a matemática?

O que é geometria?

Pedir que os alunos façam uma breve apresentação socializando as

interpretações, explicando o que produziram. Montar um painel com os desenhos

e deixar exposto na sala.

5.4. Leitura Coletiva

Fazer uma leitura coletiva do texto: TEORIAS COGNITIVAS DE

APRENDIZAGEM – PIAGET, VIGOTSKI E AUSUBEL, promovendo em seguida

um debate a partir das seguintes questões:

Quais as principais características das teorias cognitivas de aprendizagem

expostas no texto?

Segundo Piaget, como e porque os materiais didáticos podem contribuir

para aprendizagem da matemática nas séries iniciais?

Qual é o papel do professor nas teorias cognitivas de aprendizagem?

O que significa trabalhar a partir da “bagagem” do aluno?

Segundo Ausubel, como ocorre o princípio de assimilação na teoria da

Aprendizagem Significativa?

Registrar o resultado das reflexões com objetivo de coleta de dados.

5.5. Análise de vídeo aula

Propor que o grupo assista a um vídeo que mostra uma aula de Geometria

numa 3ª série do Ensino Fundamental, onde a professora adota uma postura

investigativa de ensino, resgatando os conhecimentos prévios que os alunos têm

em relação aos conteúdos de geometria espacial especialmente as noções sobre

a forma geométrica de cubos e paralelepípedos e a linguagem utilizada para

32

definir os termos geométricos abordados. O vídeo pode ser assistido acessando:

http://www.youtube.com/watch?v=_vCgeNO3TPw

Após os alunos assistirem o vídeo serão levantados analisados os pontos

considerados mais relevantes, em relação à metodologia utilizada pela

professora, bem como, a sua postura e a linguagem utilizada durante a aula e

ainda, a reação dos alunos frente a esta ação pedagógica. Será feito um relatório

com estas conclusões.

5.6. Observação do ambiente

Propor aos alunos um passeio investigativo pelas imediações da escola

para que observem a paisagem e as construções com a atenção voltada para os

aspectos geométricos vistos. Solicitar que façam registros escritos ou desenhados

fazendo recortes onde visualizam a geometria. Socializar com o grupo as

observações feitas no passeio.

5.7. Análise das propostas pedagógicas e livros didáticos dos anos

iniciais

Apresentar para os alunos as Orientações Pedagógicas para os Anos

Iniciais do Ensino Fundamental de nove anos elaboradas pela SEED - Paraná e a

Proposta Curricular da Secretaria Municipal de Educação de Laranjeiras do Sul no

que tratam a respeito dos Conteúdos de Geometria, estabelecendo uma

comparação com o que aprenderam e com o que devem ensinar sobre o assunto.

Fazer uma reflexão sobre o ensino da matemática e da geometria em cada

ano/série do ensino fundamental – séries iniciais apresentado nas propostas

pedagógicas das escolas em que fazem estágio.

Pedir que os alunos em cinco grupos analisem os livros didáticos adotados

neste ano letivo pelas escolas municipais especialmente como abordam o

conteúdo de geometria. Pedir que cada grupo analise uma obra por série/ano e

faça um relato sobre suas observações com o objetivo de desenvolver nos

alunos, futuros professores um olhar crítico sobre os manuais didáticos que o

sistema escolar dispõe e que muitas vezes é o único referencial que terão para

suas propostas didáticas.

33

5.8. Pesquisa no Laboratório de informática

Organizar uma pesquisa no laboratório de informática, em grupos, sobre

materiais didáticos que podem ser utilizados para o ensino da matemática nas

séries iniciais e quais podem ser especialmente utilizados para o ensino de

geometria. Fazer uma lista dos materiais pesquisados e as suas respectivas

finalidades.

5.9. Leitura coletiva do texto 2

Fazer uma leitura coletiva do texto 2 – Laboratório Pedagógico de

Matemática – analisar sobre a importância e a possibilidade de adotar a idéia de

criar um laboratório no colégio com objetivo de ser uma referência para as aulas

de estágio de docência proporcionando uma formação pedagógica mais

consistente. Retomar as respostas da pesquisa do pré-teste sobre Laboratório

Pedagógico de Matemática.

5.10. Resgate dos conhecimentos básicos de geometria

Propor uma discussão com todo o grupo sobre as seguintes questões:

Como foi sua formação em Geometria? Dê exemplos

Você acha importante ensinar Geometria? Por quê? Dê exemplos.

Como você pensa que deve ser o ensino de Geometria aos alunos dos anos

iniciais? Por quê?

Socializar o resultado das discussões em um relatório escrito que servirá

de referência para o estudo de Geometria básica que será proposto na sequência

da oficina.

Propor um jogo contendo questões sobre conhecimentos básicos de

geometria (jogo de comparação entre demonstrações através de desenhos e

conceitos geométricos).

6. CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOS

MANIPULÁVEIS PARA O ENSINO DE GEOMETRIA

Nesta fase do trabalho com a oficina serão sugeridas algumas propostas

de atividades com a respectiva construção e uso dos materiais didáticos

34

manipuláveis apropriados para o ensino do conteúdo estruturante geometria. Os

alunos construirão os materiais, quando for necessário, e em seguida participarão

da simulação das atividades organizadas para as séries iniciais do ensino

fundamental. Estas atividades serão catalogadas e servirão como referência para

a organização das mini- aulas que os alunos deverão preparar para seus estágios

de docência.

As atividades foram organizadas destacando os conteúdos, objetivos,

material a ser utilizado e desenvolvimentos e orientações didáticas. A avaliação

não foi destacada, porém deve ser feita a cada atividade proposta através de

observações, de relatos orais e ou escritos para que seja feito um

acompanhamento sobre os resultados obtidos, sobre as dificuldades e

possibilidades que sejam percebidas durante a realização das mesmas.

Solicitar antecipadamente uma lista de materiais que os alunos deverão

trazer para a construção dos modelos a serem utilizados, bem como fazer com

que eles se envolvam de fato, já que a oficina tem como finalidade dar início à

organização do Laboratório Pedagógico de Matemática que servirá de apoio nas

suas aulas de Prática de formação - estágio.

6.1. Trabalhando a geometria com materiais diversos

Na prática pedagógica é muito comum a utilização de materiais diversos

tais como embalagens, palitos, varetas, canudos de refrigerante, barbante, fios de

linha, papelão, materiais de sucata entre outros objetos para tornar as aulas mais

interessantes e a compreensão dos conteúdos pelos alunos mais próxima da

realidade. Com estes objetos é possível fazer construções geométricas que

favorecem a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos através da

manipulação, da visualização e da observação a partir das intervenções feitas

pelo professor e das interações entre os participantes dos grupos de trabalho.

6.1.1 Trabalho com embalagens - As formas geométricas e seus contornos

Conteúdos Específicos: Linhas, figuras planas e figuras espaciais.

Objetivos:

Estimular a iniciativa e o espírito investigativo dos alunos;

35

Classificar embalagens conforme suas características e critérios próprios;

Resgatar conhecimentos anteriores sobre os termos e conceitos geométricos;

Explorar os aspectos geométricos das embalagens;

Planificar as faces de uma caixinha, estabelecendo relações entre figuras

planas e as figuras geométricas espaciais (sólidos geométricos);

Material: embalagens de diversos formatos, conjuntos de sólidos geométricos

(paralelepípedo, cubo, pirâmide, cilindro, cone e esfera) e folhas com desenhos

de figuras geométricas: triângulos, quadriláteros e círculos, pincel, lápis e papel.

Formação: grupos de quatro alunos

Desenvolvimento:

Pedir que os alunos observem os diferentes formatos das embalagens e

classifiquem segundo algum critério (p. ex. tamanhos, cores, número de faces,

embalagens que rolam e que não rolam, tipos de faces arredondados ou não).

Depois de classificarem que cada grupo explique o critério escolhido.

Apresentar uma folha com as figuras geométricas (quadriláteros, triângulos

círculos) e pedir que, observando suas faces, agrupem as embalagens,

conforme as figuras apresentadas buscando alguma semelhança.

Solicitar que escolham uma embalagem para contornar cada uma de suas

faces com o pincel, planificando- a no papel. Depois questioná-los sobre qual

figura plana apareceu na planificação e quais as suas características? E ainda

se existe na sala de aula algum objeto que se fosse contornada uma de suas

faces poderia ser obtida uma figura de um quadrado, um retângulo, um

triângulo, um círculo;

Abrir a embalagem, recortar cada uma de suas faces e comparar com as

planificações feitas anteriormente. Perguntar de quantas partes são formadas

as caixas.

Pedir para montar novamente a caixinha com as partes recortadas e fita

adesiva, questionar se existe uma única forma de arrumar para que ela volte

ao formato inicial. Fazer estas experiências e ver o que acontece.

Questionar ainda se os alunos reconhecem elementos como: lados, arestas e

vértices da figura espacial formada pela caixinha. Aproveitar e reelaborar o

que os alunos dizem a respeito e caso não tenham estas informações,

apresentar a eles com demonstrações ou sugestão de pesquisa.

36

Orientações didáticas:

A planificação da caixinha é uma forma adequada de conduzir os alunos a

análise de suas partes e dos conceitos envolvidos. Chamar a atenção dos alunos

para o fato de que a caixa montada representa um sólido geométrico e suas

partes isoladas (faces) representam figuras planas. Empregar os termos

geométricos para designar os dois tipos de figuras, por exemplo, paralelepípedo,

cubo, pirâmide, etc. (sólidos geométricos) e quadrado, triângulo, retângulo, etc.

(figuras planas) apresentando cada um dos sólidos do conjunto. A partir daí

perguntar qual sólido do conjunto se assemelha com a caixinha que os alunos

escolheram para analisar.

A partir desta coleção de embalagens também é muito apropriado na rotina

de trabalho docente nas séries iniciais explorar a proporcionalidade e localização

através da construção de maquete utilizando as caixinhas e objetos como

referenciais. Neste caso é necessário cartolina ou papel kraft para montar a

maquete.

Atividade adaptada de Tossato (2007 p.175 a 179).

6.1.2. Construção de figuras com barbante

Conteúdos: Linhas e figuras planas

Objetivos:

Estimular a iniciativa e o espírito investigativo dos alunos;

Resgatar conhecimentos anteriores sobre os termos e conceitos geométricos;

Explorar formas geométricas e suas propriedades;

Material: 20 metros de barbante ou corda.

Formação: grupos de seis alunos (na sala de aula ou no pátio).

Desenvolvimento:

Pedir aos alunos que segurem o barbante seguindo os seguintes passos e

em cada passo fazer as intervenções sobre o que estão formando:

a) Deixar o barbante no chão;

b) Um aluno segura na ponta do barbante;

c) Dois alunos seguram nas extremidades do barbante (esticado);

d) Três alunos seguram o barbante fechando e formando triângulos:

37

e) Quatro alunos vão segurar em pontos do barbante fechado formando os cinco

tipos de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, trapézio e losango.

f) Continuar o desafio com cinco e seis alunos construindo as figuras com lados

de vários tamanhos e com lados iguais;

Orientações didáticas

A cada passo deve haver a intervenção do professor, propondo cada

desafio, argumentando sobre o que estão visualizando conduzindo-os aos

conceitos geométricos envolvidos.

O que se vê quando o barbante esta solto no chão? E quando um aluno

segura numa das pontas? Induzir ao conceito de linha.

Quando o barbante fica esticado, que ideia se pode ter? E se o barbante fosse

de um tamanho infinito? Com dois alunos segurando nas extremidades nos

dá idéia de que? Induzir os conceitos de linha reta, semi reta e segmento de

reta;

Com três alunos segurando o barbante sem fechar nas extremidades o que

forma? E se os alunos fecharem a figura nas extremidades o que forma? E se

mudarem a posição alterando a distância dos pedaços entre eles o que

acontece? Induzir os alunos a formação dos triângulos eqüilátero, isósceles e

escaleno;

O professor deve fazer as mesmas intervenções com 4, 5 ou 6 alunos

segurando o barbante, questionando sobre as figuras que formam, bem como,

sobre o termos geométricos envolvidos. Ex. Lados, vértices pontos ângulos e

a própria nomenclatura dos polígonos formados.

Desta forma os alunos poderão formar tipos de linhas e áreas poligonais de

várias formas e tamanhos diferentes.

O professor pode ainda questionar, dependendo do nível dos alunos:

Existe alguma relação entre o número de lados e o número de vértices dos

polígonos formados?

O aumento do número de lados pode alterar o perímetro?

É possível construir diferentes figuras poligonais com perímetros iguais?

Caso os alunos não tenham conhecimento dos termos, o professor deve

explicar e apresentar as nomenclaturas corretas, embora isto não seja o mais

relevante na atividade.

38

Esta atividade realizada desta forma proporciona a vivência dos princípios

da aprendizagem significativa quando utiliza procedimentos para levantar os

conhecimentos prévios, que podem servir de “subsunçores “para a re-elaboração

do processo de assimilação.

Depois de desenvolver a atividade a professora pode adotar os mesmos

procedimentos utilizando o geoplano com fios de lã e elásticos ou as malhas

quadriculadas levando os alunos a produzir as mesmas figuras com intervenções

semelhantes.

Atividade adaptada de Bonjorno (2008 p. 144).

Sugestão leitura sobre figuras geométricas planas:

http://www.diaadia.pr.gov.br/deb/arquivos/File/salas_de_apoio/matematica/mat_re

gina.pdf acesso 30/07/10

6.1.3. Construção das estruturas dos sólidos geométricos

Conteúdo: Construção de sólidos geométricos e seus elementos

Objetivos:

Desenvolver o raciocínio incentivando a construção de sólidos geométricos

por meio de materiais concretos;

Vivenciar os conceitos espaciais através de experiências elementares;

Observar e utilizar diversas relações espaciais através da manipulação dos

materiais concretos;

Construir figuras tridimensionais;

Materiais: canudos de refrigerante, fio de lã ou barbante, agulha sem ponta,

palitos de madeira, caninhos de borracha e gominhas ( doce)

Desenvolvimento:

Utilizar materiais concretos para a construção de estruturas que

representam "esqueletos" de sólidos geométricos construídos por meio de suas

arestas. Os materiais que serão utilizados nesta atividade são pedaços de

canudos de plástico unidos por meio de um fio de linha e palitos de madeira

unidos por pedacinhos de caninhos de borracha. As construções podem ser mais

produtivas se realizadas pelos alunos em pequenos grupos.

Seria interessante também solicitar que os alunos construam os esqueletos

dos sólidos a apartir das observações de modelos feitos em papelão onde não

39

estejam tão definidas as arestas antes de mostrar os procedimentos mais simples

para as construções.

a) Construção de um tetraedro regular

O material a ser utilizado nesta atividade é um metro de linha, seis

pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugere-se 8 centímetros).

Pegar o fio de linha, passar através de três pedaços de canudo,

construindo um triângulo e o fechar por meio de um nó. Depois, passar o restante

da linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um

triângulo com um dos lados do primeiro triângulo. Por último, passar a linha por

um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a

estrutura com um nó. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro

regular e para ter mais firmeza nos vértices pode ser passado o fio mais de uma

vez por cada pedaço do canudo.

b) Construção de um octaedro regular

Para realizar a atividade, são necessários três metros de linha, trinta

pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugere-se 7 cm). Construir

quatro triângulos e os unir, dois a dois juntando todos ao final e amarrando para

firmar a estrutura do octaedro.

c) Construção de um icosaedro regular

Para fazer esta construção são necessários 30 pedaços de canudos (8

cm) e aproximadamente 3 m de linha.

Construir quatro triângulos e unindo-os com mais um canudo, obtendo

uma pirâmide regular de base pentagona. Repetir essa construção, obtendo mais

uma pirâmide. Unir cada uma das pirâmides através dos vértices das bases, por

meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem

cinco canudos.

d) Construção de um cubo

São necessários 12 pedaços de canudos iguais (8 cm) e 4 m de linha.

Para construir um cubo de 8 cm de aresta, passar o fio através de quatro

canudos e passar a linha novamente por dentro do primeiro canudo, construindo

um quadrado. Considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha

por mais três canudos, construir mais um quadrado. Observar que faltam dois

40

canudos para completar as arestas do cubo. Prender os dois canudos de

maneira a completar o cubo.

Orientações didáticas

As atividades estão orientadas para serem realizadas com canudos,

todavia os esquemas de construção são os mesmos para os dois materiais.

Os "esqueletos" obtidos com as varetas e canudos fornecem uma

representação bastante simples da figura geométrica tridimensionais mas, seu

uso é indicado devido à sua fácil manipulação, o que permite rapidez na

construção das estruturas.

A partir desta atividade pode ser sugerido que os alunos construam os

sólidos geometricos com papel cartão através de recorte e colagem dos moldes

planificados de cada um que se proponha a construir.

Atividades adaptadas de Ana Maria Kaleff, disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000011919.pdf

acesso em 26/03/10.

6.1.4. Construção de poliedros com papel cartão.

Conteúdo: Polígonos e seus elementos, poliedros e seus elementos, planificação

de poliedros, pontos de vista de um objeto.

Objetivos:

Identificar as características e os elementos de um polígono (quadrado,

retângulo, triângulo).

Desenhar polígonos e montar a planificação dos poliedros (pirâmides, prismas,

cone, cilindro).

Desenhar os poliedros segundo vários pontos de vista.

Material: Conjuntos de modelos de sólidos geométricos – cubo, cilindro, cone,

pirâmide, prisma retangular, folhas de papel cartão, tesoura, lápis, régua, cola,

folhas de papel ofício, lápis coloridos, moldes com as planificações já

desenhadas.

Desenvolvimento:

Organizar a turma em grupos de quatro alunos e distribuir um poliedro para

cada grupo. Pedir que analisem o poliedro, observando quantas faces, vértices e

lados têm, qual o seu nome e com o que parece esta figura.

41

Pedir que façam os desenhos do poliedro olhando-o de lado, de frente, e

de cima e comparem o que produziram.

Solicitar que imaginem este poliedro planificado e façam o desenho desta

planificação, em seguida recortem e tentem montar novamente.

Depois disso, distribuir os moldes da planificação já desenhada, pedir para

recortar, montar e colar a figura. Fazer uma comparação entre as duas

construções. Fazer uma socialização das construções de cada grupo,

compartilhando as informações sobre cada poliedro estudado.

Atividade adaptada do sitio:

http://www.klickeducacao.com.br/pl_aula/pl_aula_ficha/0,6994,POR-1752-1773-

1979,00.html acesso em 25/06/10

Sugestão de endereço eletrônico onde se encontram moldes de vários

sólidos geométricos:

http://ac-meucantinho.blogspot.com/2008/06/moldes-das-formas-geomtricas.html

acesso acesso em 25/06/10

Sugestão de variação da atividade:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/construcao-

geometrica-429059.shtml acesso em 26/ 04/10.

6.1.5. Construção de polígonos com canudos e palitos

Conteúdo: Linhas poligonais abertas e fechadas simples e não simples.

Objetivos:

Identificar quando uma linha poligonal é um polígono.

Construir polígonos.

Material: Palitos de churrasco, canudinhos de refrigerantes e palitos de fósforo.

Desenvolvimento:

O professor organiza a turma em grupos e entrega para cada grupo, os

palitos de fósforo, os canudinhos e os palitos de churrasco e as cartolinas. Solicita

que façam linhas poligonais utilizando os materiais e colando-as na cartolina.

Depois cada grupo apresenta para o restante da turma as poligonais construídas,

ressaltando quais são as simples e as não simples. O professor deve incitar a

curiosidade dos alunos, dizendo que entre as poligonais apresentadas pelos

42

grupos, existem algumas que são polígonos. O professor deverá questionar:

quantos polígonos há em cada cartaz produzido pelos grupos, quais eles acham

que são polígonos e por quê? Esta intervenção deve prosseguir até que os alunos

consigam estabelecer os conceitos básicos sobre polígonos.

Após isso, pedir aos alunos para que construam com os materiais que

receberam polígonos com três lados, quatro lados e assim sucessivamente até

doze lados.

Orientações Didáticas:

Usar como unidade de medida de lado um palito, um canudinho no primeiro

momento, construindo polígonos regulares. O professor pode depois pedir que os

alunos construam estes polígonos com lados de diferentes tamanhos e façam

comparações entre as construções.

Socializar o trabalho realizado e nesse momento o professor explorará o

nome desses polígonos com os alunos (triângulo, quadrilátero, pentágono, etc.)

inicialmente questionando sobre o que sabem sobre estas nomenclaturas e ou

dando pistas sobre estes dados.

Como atividade complementar, sugerir para os alunos a leitura do livro

Polígonos, Centopeias e outros Bichos, de Nilson Jose Machado - Editora

Scipione.

Adaptação da atividade: Desvendando polígonos http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=13068 acesso em 25/03/10

6.1.6. Montagem do esqueleto de uma caixinha

Conteúdo: Lados, arestas, vértices e faces de um paralelepípedo.

Objetivos:

Reconhecer os elementos geométricos que fazem parte de um

paralelepípedo.

Manipular materiais para construção da estrutura de um sólido

geométrico.

Materiais: Canudinhos de refrigerante, palitos de churrasco, palitos de

dente, caninhos de borracha, fios de lã, gominhas (doce) para fixar os

43

palitos, uma caixinha em forma de paralelepípedo (sabonete), folhas de

papel, lápis, régua e pincéis atômicos.

Desenvolvimento:

Organizar a turma em grupos de quatro alunos e distribuir os

materiais. Pedir que os alunos analisem a caixinha, em seguida abram e

planifiquem as suas faces, desenhando cada uma das faces na folha de

papel. Depois pedir que utilizando os materiais montem as partes

(polígonos) que formam as faces.

Solicitar então que eles remontem novamente o sólido, erguendo a

estrutura da caixinha. Analisar os elementos geométricos que fazem parte

de uma figura tridimensional.

Orientações didáticas:

Os alunos poderão utilizar as varetas no seu tamanho normal,

fazendo então uma representação do paralelepípedo e não em tamanho

real.

Antes de começar a montar o esqueleto do sólido, questionar

quantas varetas terão que pegar, quantos caninhos ou gominhas terão que

preparar para deixar o sólido “em pé”, quantas faces terá a estrutura, etc.

Esta mesma atividade poderá ser realizada utilizando o geoplano

espacial e fios de lã para representar o sólido.

Atividade adaptada do Prof. Rodolfo disponível em:

http://www.diaadia.pr.gov.br/deb/arquivos/File/salas_de_apoio/formacao2009mate

matica/rodolfoo.pdf acesso em 12/05/10.

Sugestão de vídeo sobre construção de poliedros com varetas:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/poliedros-varetas-

431503.shtml acesso em 24/03/10

6.1.7. Transformação de ângulos e polígonos

Conteúdo: ângulos e polígonos

44

Objetivos:

Construir ângulos e polígonos;

Reconhecer os tipos de ângulos (formas e medidas);

Identificar a rigidez de um triângulo;

Materiais: Canudos de refrigerante, percevejos, linha colorida.

Desenvolvimento:

Distribuir os materiais para cada dupla de alunos e pedir que unam dois

canudinhos com presos por um percevejo que será o vértice dos ângulos. Deixá-

los na posição horizontal e questionar qual ângulo forma, deixar os canudinhos

sobrepostos, fazer uma pequena abertura entre eles (menor que 90º), fazer uma

abertura maior (maior que 90º), abrir exatamente com 90º e igualmente questionar

sobre os ângulos que estão aparecendo, suas formas e medidas.

Construir um quadrado com os canudos, amarrar um fio colorido em um

dos ângulos, fazer alterações neste ângulo e questionar sobre as suas formas e

medidas. Questionar também sobre os polígonos que vão se transformando.

Fazer o mesmo com um retângulo.

Fazer o mesmo com um triângulo e discutir os resultados, levando-os a

compreender a rigidez dos ângulos do triângulo.

Orientações Didáticas

Esta atividade também pode ser realizada com varetas e caninhos de

borracha.

Utilizar um transferidor de papel para medir os ângulos que pode ser

construído pelos alunos através de dobraduras de um círculo fazendo as

principais marcações para ângulo reto, raso, agudo e obtuso.

Atividade adaptada do autor Imenes (1999 p.114)

6.1.8. Construção de figuras através de dobradura.

Conteúdo: Polígonos e seus elementos (quadriláteros e triângulos)

Segmentos de reta: paralelas, concorrentes e perpendiculares.

Diagonais dos quadriláteros.

Objetivos:

Identificar as características e os elementos de um polígono (quadrado,

retângulo, triângulo).

45

Identificar relações entre figuras geométricas.

Reconhecer segmentos de reta paralelos, concorrentes e perpendiculares

Reconhecer e visualizar as diagonais dos quadriláteros.

Material: Folhas de papel coloridas, régua e lápis coloridos

Desenvolvimento:

Organizar os alunos em duplas e distribuir as folhas de papel ofício colorido para

que observem qual figura geométrica estão vendo e quais as características desta

figura.

Pegar uma folha retangular, pedir que dobrem ao meio no sentido do lado

maior e depois que dobrem novamente de forma que as dobras fiquem paralelas,

traçar com a régua, destacando o segmento e discutir com as duplas sobre o

resultado. Fazer o mesmo com outra folha onde devem fazer dobras nos dois

sentidos da folha de modo que apareçam segmentos de reta concorrentes, fazer

o mesmo unindo os vértices consecutivos da figura, formando segmentos

perpendiculares. Fazer sempre as discussões dos resultados.

Solicitar que os alunos peguem novas folhas e retirem da folha retangular

um quadrado fazendo dobraduras. Antes de cada atividade, porém, eles terão de

discutir como fazer para atingir o objetivo. Pedir que os alunos façam dois

triângulos e em outra folha façam dois retângulos. Perguntar se é possível obter

essas figuras com qualquer quadrado. Verificar estas hipóteses com desenhos ou

com outras dobraduras

Depois entregar outra folha quadrada e pedir que façam uma dobra para

obter dois quadrados, questionar se isso é possível. Então fazer duas dobras

para conseguir os quadrados, dar mais folhas, solicitando que com duas dobras

formem retângulos e formem triângulos.

Propor que os alunos formem retângulos com tamanhos diferentes com o

mesmo papel.

Desafiar os alunos a construir oito triângulos dobrando três vezes as folhas

quadradas. Deixar que procurem as soluções possíveis. Discutir com os alunos as

conclusões.

Pedir que os alunos tomem uma folha com formato quadrado e um

retângulo, dobrem nas diagonais das figuras e façam as observações sobre este

46

conceito. Solicitar se é possível encontrar as diagonais de um triângulo. Discutir

com a turma sobre o que aprenderam.

Orientações didáticas

Discutir também com os alunos sobre os conceitos de figuras planas e

tridimensionais, pois quando são utilizados materiais como a folha de papel, deve-

se considerar a espessura da folha como sendo a terceira dimensão da figura,

portanto, são consideradas as superfícies quadradas, triangulares e retangulares

e não o quadrado, o retângulo e o triângulo como é comum denominar numa

atividade com esta.

Atividade adaptada de: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-

pedagogica/quadrados-triangulos-retangulos-429062.shtml 26/04/10.

6.2. Trabalho com o Geoplano

O Geoplano é um material didático pedagógico dinâmico e manipulativo

que pode ser usado para construir, movimentar, comparar e desfazer figuras. A

manipulação no geoplano permite explorar situações geométricas e algébricas,

possibilitando a visualização de formas aferindo conceitos e conjecturas. Este é

um material adequado para desenvolver os conceitos geométricos tais como:

lados, vértices, ângulos, área e perímetro de figuras planas promovendo a

exploração espacial entre outras possibilidades, oferecendo apoio à

representação mental e à abstração.

O geoplano pode ser construído em tabuleiros de madeira onde são

fixados pregos ou pinos, distribuídos com as mesmas distâncias, onde se

prendem elásticos ou fio coloridos usados para “desenhar” sobre ele. O trabalho

com o geoplano em madeira também pode ser demonstrado no geoplano de

papel ou em malhas quadriculadas, registrando e reproduzindo as construções

geométricas.

O geoplano de madeira é utilizado para representar figuras planas e

espaciais e tem os seguintes modelos como ilustra a figura 22.

O papel do professor deve ser de orientar o trabalho dos alunos no

geoplano e guiar as observações para que eles encontrem todas as

47

possibilidades da atividade, nos deslocamentos dos elásticos ou fios de lã

possibilitando a descoberta de relações através de ações, percepções e

abstrações. As intervenções devem ser dinâmicas, o diálogo com a classe deve

ser ágil, sem impedir que cada aluno elabore o seu pensamento. O professor

deve dar tempo para que os alunos manipulem o material, observem e expressem

seu pensamento e sua linguagem deve ser concisa utilizando expressões que

tornem claras as idéias e facilitem a compreensão dos significados, motivando-os

para expressar suas idéias com clareza. Após os alunos fazerem suas

construções e observações podem utilizar seu caderno para fazer os registros

utilizando a simbologia adequada.

Figura 22: Tipos de geoplanos

48

6.2.1. Construção e investigação de figuras planas com o geoplano

Conteúdos: Linhas poligonais, segmentos, ângulos e polígonos

Objetivos:

Estimular os alunos a brincar com o tabuleiro desenhado com os elásticos

usando a sua criatividade;

Explorar conhecimentos sobre linhas e segmentos de reta;

Manipular o geoplano e fazer as construções solicitadas;

Material: Geoplano, elásticos ou fios de lã coloridos, papel para registro;

Formação: Grupos de quatro alunos

Desenvolvimento:

O primeiro passo no trabalho com o geoplano é permitir e estimular que os

alunos brinquem com o tabuleiro e com os elásticos coloridos criando os

desenhos que quiserem.

Fazer com os alunos os combinados didáticos explicando sobre a

distribuição dos pregos ou pinos e sobre os espaços entre eles.

Depois pedir que desenhem uma figura geométrica qualquer no geoplano

quadrado e perguntar:

Quantos pregos foram circulados?

Quantos espaços ficaram no meio dos elásticos?

Quantos lados têm a figura?

Quantos cantos ela tem?

Qual o nome da figura que construíram?

Induzir para cheguem aos conceitos de polígonos e não polígonos, ângulos e

vértices. Em seguida questioná-los sobre qual a área de cada figura, explicando

que cada espaço entre quatro preguinhos ou pinos é igual a uma unidade de

área. Fazer o mesmo com o perímetro explicando que a distância entre dois

preguinhos é igual a uma unidade do perímetro. Pedir que desenhem:

Uma figura com seis unidades de área;

Uma figura com 20 unidades de área;

Observar o que cada grupo desenhou e tentar definir a figura;

Um quadrado com nove unidades de área;

49

Quantas figuras diferentes podem ser desenhadas com 12 unidades de

área?

Calcule o perímetro de cada uma dessas figuras com 12 unidades de área;

Se duas figuras têm a mesma área, elas têm o mesmo perímetro?

Desenhe figuras com perímetro de 12 unidades;

Se duas figuras têm o mesmo perímetro, então elas possuem a mesma

área?

Orientações didáticas

Fazer um registro no caderno sobre as propriedades de cada figura e

depois fazer uma pesquisa para aferir sobre os conceitos prévios elaborados

pelos alunos, fazer os ajustes e reelaborar o que for necessário. O professor

deverá explicar o que os alunos não conseguirem descobrir, utilizando o

geoplano.

6.2.2. Exploração de ângulos

Conteúdo: Ângulos das figuras planas.

Objetivos:

Explorar o conceito de ângulo nas figuras planas;

Construir e classificar os ângulos;

Materiais: Geoplano, elásticos, papel ofício pontilhado, régua, lápis de cor.

Desenvolvimento:

Construir polígonos com três e quatro lados no geoplano utilizando um

elástico para cada lado de cada figura. Retirar alguns elásticos das construções

de forma que fiquem apenas alguns lados que se tocam num vértice (lados

consecutivos). Questionar quais os ângulos forma conseguidos a partir de

quadrados e retângulos e como são chamados? Quantos ângulos retos têm um

retângulo, um quadrado e um triângulo?

Como se classificam os ângulos conseguidos a partir dos triângulos?

Definir ângulos agudos e obtusos.

Solicitar que os alunos desenhem, por exemplo, figuras com:

Quatro lados e todos os ângulos retos;

Quatro lados e nenhum ângulo reto;

Três lados e um ângulo reto;

50

Três lados e um ângulo obtuso;

6.2.3. Construção e exploração de triângulos

Conteúdo: tipos de triângulos

Objetivos:

Explorar os conceitos envolvidos na construção de triângulos;

Classificar os triângulos;

Materiais: Geoplano, elásticos, papel ofício pontilhado, régua, lápis de cor.

Desenvolvimento:

Organizar os alunos em grupos de três alunos. Pedir que construam

triângulos de vários formatos e cada construção seja desenhada em papel

pontilhado. Montar uma tabela com as características de cada triângulo,

classificando-os quanto à medida de cada lado do triângulo, bem como à medida

dos ângulos. Explicar a nomenclatura de cada tipo de triângulo, caso os alunos

não tenham estas informações.

6.2.4. Construção e exploração de quadriláteros

Conteúdo: Tipos e características de quadriláteros

Objetivos:

Explorar os conceitos envolvidos na construção de quadriláteros;

Construir e classificar os quadriláteros

Analisar e medir a área e perímetro dos quadriláteros;

Materiais: Geoplano, elásticos, papel ofício pontilhado, régua, lápis de cor.

Desenvolvimento:

Construir polígonos com quatro lados no geoplano. Desenhar cada um em

folha de papel pontilhado. Encontrar as medidas dos lados dos quadriláteros.

Procurar definir cada figura desenhada, nomeando-as.

Construir uma tabela com os tipos de quadriláteros formados, destacando:

medidas dos lados, lados paralelos, medidas dos ângulos internos e nome da

figura.

Estabelecer as semelhanças e diferenças entre os paralelogramos, os

trapézios e outros quadriláteros.

51

Comparar os quadriláteros em relação às medidas de área e perímetro,

considerando o espaço entre quatro pregos como uma unidade de área e entre

cada dois pregos dos lados dos polígonos como uma unidade de perímetro.

Atividades adaptadas de:

http://www.portalava.com.br/ava/includes/cursos_atualizacao2/pratica_educativa_

do_pensamento_matematico/pratica_educativa_do_pensamento_matematico_ca

pitulo1.pdf Acesso em 15/03/10

Sugestões de trabalho com geoplano:

http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/material/_private/geoplano.htm Acesso

em 24/04/10

http://matematicao.psico.ufrgs.br/assessorias/mat5_051/atividade_geoplano.pdf

Acesso em 15/03/10

6.3. Trabalho com malhas quadriculadas

6.3.1. Localização e orientação

Conteúdos: Localização e orientação

Objetivo:

Explorar as idéias de perto, longe, ao lado, em frente, atrás e a relação

entre dois referenciais.

Material: Papel quadriculado e lápis

Desenvolvimento:

Será apresentado aos alunos um mapa da localização de alguns alunos de

uma sala de aula (figura 23), seguindo as seguintes informações:

Pedro é o que senta mais longe da mesa da professora;

Maria senta em frente à mesa da professora;

José e Fernanda sentam-se lado a lado;

Clarissa senta-se longe de Pedro e ao lado da janela;

Lúcia é a aluna que se senta mais próxima à porta;

Adriano senta-se na frente de Pedro e bem próximo de Fernanda;

Lucas senta-se atrás de Clarissa;

52

Rodrigo e Cláudio sentam-se em frente ao quadro, sendo que Rodrigo

senta mais perto da professora do que Cláudio;

Sabendo que Amanda se senta ao lado de Pedro, onde se senta Carolina?

Pedir aos alunos que façam a representação da localização destas

crianças na sala de aula na malha quadriculada, conforme as informações.

Figura 23: Modelo de planta baixa da sala de aula.

Orientações Didáticas:

A partir desta atividade, sugerir para os alunos que construam o mapa de

localização dos alunos de sua sala de aula. Trabalhar também com um mapa das

ruas do bairro ou da cidade, transpondo para o papel quadriculado, algumas ruas

e pontos de referência, Inserir também as ideias de localização à direita de, à

esquerda de, abaixo, acima, etc.

6.3.2. Construção e análise de polígonos

Conteúdos específicos: Estudo de figuras poligonais

Objetivos:

Desenhar polígonos;

Analisar os elementos dos polígonos: lados, vértices, ângulos e superfície.

Material: Lápis de cor, régua e folhas de papel quadriculado

53

Formação: Individual

Desenvolvimento

Pedir que os alunos desenhem as figuras (polígonos) na folha de papel

quadriculado, utilizando régua e pintando a superfície de cada uma com lápis

coloridos. Depois solicitar que observem as figuras desenhadas e respondam as

questões:

O que as figuras 1, 7 e 8 têm de semelhante?

E as figuras 2, 3, 4, 6, e 9?

Qual o nome da figura 5?

Qual o nome das figuras que tem quatro lados?

É possível desenhar um polígono com menos de três lados? Por quê?

Considerando cada quadrinho da malha com uma unidade de área, qual a

área das figuras 2, 3, 5, e 7?

Figura 24 - Polígonos

Orientações didáticas:

Pode variar a atividade, pedindo que os alunos desenhem figuras

poligonais quaisquer, façam a análise de números de lados, vértices, área real ou

aproximada e perímetro.

6.3.3. Localização de pontos de referência

54

Conteúdo: Localização no espaço

Objetivo:

Localizar-se num espaço a partir de pontos de referência.

Material: Papel quadriculado e lápis

Formação: Em duplas

Desenvolvimento:

Pedir aos alunos que marquem no papel quadriculado os pontos

identificando os seguintes locais da nossa cidade:

I – Igreja Matriz

E – Escola em que estudam

P – Posto de Saúde

C - Correio

B - Agência Bancária

Depois pedir que as duplas troquem entre si os mapas de localização e

analisem quais os critérios adotados pela dupla para identificar os pontos. Em

seguida distribuir uma nova folha especificando as linhas (a, b, c, d,...) e as

colunas (1, 2,3...) e pedir que coloquem os pontos obedecendo às coordenadas,

por exemplo:

(L) para lanchonete: esquina da rua b com a Rua 9;

(I) para igreja: esquina da rua e com a Rua 12; e assim por diante.

Atividades adaptadas de Pires (2001 p.35-37).

Sugestão de atividade de localização no sítio:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/trajetos-bairro-

500583.shtml acesso em 25/04/2010.

6.3.4. Construção de mosaicos em malha quadriculada

Conteúdos: Formas geométricas, noção de espaço, noção de parte e todo.

Objetivos:

Compor formas diversas a partir de figuras geométricas conhecidas;

Trabalhar com a noção de espaço, compondo/encaixando uma mesma forma;

Estabelecer relação entre as dimensões de diferentes figuras geométricas.

55

Explorar a combinação de diferentes cores.

Material: Papel quadriculado, lápis, régua e lápis coloridos.

Desenvolvimento:

Apresentar para os alunos alguns modelos de mosaicos com figuras

geométricas, questionar o que eles identificam nas figuras e o que sabem sobre

este modo de representação com repetição de formas. Durante a socialização das

respostas dos alunos, observar se compreenderam a definição de um padrão que

se repetirá por toda a extensão do desenho.

Explicar aos alunos que quando se agrupam figuras geométricas

associadas a uma combinação de cores é possível criar pavimentações ou

revestimento de superfícies. É comum associar pavimentação ao conceito de

mosaico “pavimento de ladrilhos variados que pela sua disposição aparentam

desenho”. A humanidade vem produzindo mosaicos há milênios, como forma de

expressão artística, muitos deles inspirados em formas da natureza.

Dar aos alunos tiras de malhas quadriculadas e solicitar que criem um

padrão para preencher toda a área do papel, utilizando as cores para marcar

efeitos e contrastes nas produções, dando uma visão diferenciada das figuras

representadas. Num segundo momento dar aos alunos malhas com outras

marcações, por exemplo, as triangulares para que produzam seus mosaicos.

Pedir que os alunos fiquem atentos com os espaços em branco que não

devem acontecer no meio do desenho e nem mesmo quando estão terminando as

partes e não é possível desenhar todo o padrão. Em seguida, os alunos são

convidados a apresentar aos colegas suas produções para os colegas da turma.

A figura 25 dá um exemplo de pavimentação na malha quadriculada.

Figura 25 – Modelo de desenho.

56

6.3.5. Simetria de figuras

Conteúdo: Eixo de simetria de figuras planas

Objetivos:

Perceber o eixo de simetria de figuras planas.

Completar figuras a partir de um eixo de simetria.

Material: Folhas de papel ofício, folhas de papel quadriculado, lápis de cor e

régua.

Desenvolvimento:

Distribuir aos alunos folhas de papel no formato de um retângulo e pedir

que dobrem ao meio no sentido vertical, no sentido horizontal e na diagonal.

Questionar sobre o que perceberam. Informar que quando a figura dobrada ficou

com as duas partes exatamente iguais, a linha da dobra passa pelo eixo de

simetria daquela figura.

Fazer o mesmo procedimento com a folha em formato de quadrado e de

triângulo.

Apresentar uma folha em papel quadriculado, com figuras planas

desenhadas e pedir que os alunos tracem um segmento de reta repartindo

exatamente ao meio as figuras caso seja possível, determinando assim os eixos

de simetria das mesmas. Questionar também se as figuras têm só um eixo de

simetria ou podem ter mais que um.

Figura 26: Eixo de simetria das figuras

57

Apresentar uma folha de papel quadriculado (figura 26), onde os alunos

deverão completar as figuras de maneira simétrica, a partir do eixo de simetria

traçado. Depois dar aos alunos uma folha de papel quadriculado com figuras

planas desenhadas e pedir que tracem os eixos de simetria das referidas figuras.

Atividades adaptadas de Pires (2001, p.31 a 42).

6.4. Composição de figuras

6.4.1. Composição de figuras com triângulos

Conteúdo: Composição de figuras planas

Objetivos:

Perceber que juntando triângulos lado a lado pode obter outro polígono.

Material: Figuras recortadas em EVA com superfícies triangulares.

Desenvolvimento:

Desenhar e recortar triângulos retângulos e isósceles e pedir que usando dois

ou mais triângulos construam o que se pede:

Um outro triângulo;

Um paralelogramo;

Um quadrado;

Um trapézio;

Um retângulo;

Um losango;

Um hexágono;

Orientações didáticas:

Questionar os alunos se foi possível construir todas as figuras solicitadas

com triângulos retângulos isósceles e justificar quando não foi possível.

Propor esta mesma atividade utilizando triângulos eqüiláteros, fazendo a

mesma intervenção, se é possível construir todas as figuras utilizando este tipo de

triângulo

Comentar com os alunos que quando se recorta uma figura plana em

qualquer superfície, ela deixa de ser plana e passa a ser uma figura espacial,

sendo, portanto, um prisma de base triangular e não um triângulo como

comumente é chamada. O que se considera é a maior área da figura que neste

caso é a área triangular.

58

6.4.2. Jogo de Adivinhação de figuras

Conteúdo: Figuras planas – características e propriedades

Objetivos:

Identificar e explicitar características de figuras planas.

Incorporar termos e vocábulos convencionais no estudo de figuras planas.

Materiais: Conjunto de figuras (folha com os desenhos)

Desenvolvimento:

Apresentar aos alunos um conjunto de figuras (figura 27). O professor

pensa em uma delas, mas não diz qual. Os alunos têm de elaborar perguntas que

somente admitam como resposta “sim” ou “não”. Mediante essas perguntas e as

respostas que o professor dá, as crianças deverão descobrir de que figura se

trata. Exigir dos alunos a caracterização e não somente utilizar o nome da figura

para identificá-la.

Figura 27 – Figuras poligonais e não poligonais

Sugestão de perguntas que podem fazer:

É uma figura poligonal com três lados iguais?

Tem quatro lados retos?

Tem dois lados curvos?

Tem um lado reto e um curvo?

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

59

Tem quatro ângulos retos?

É uma figura não poligonal?

É uma figura que não tem os lados iguais?

Tem seis lados iguais?

Orientações Didáticas:

O professor poderá posteriormente e caso perceba que seja conveniente,

indicar aos alunos o universo selecionado, contemplando as seguintes

propriedades: quantidade de lados, lados retos ou curvos, quantidade de vértices,

comprimento dos lados, etc. (embora as crianças possam não recorrer aos termos

convencionais).

A atividade pode ser proposta de modo inverso, os alunos escolhem a

figura a partir das propriedades e características dadas pelo professor.

Atividade adaptada do Prof. Rodolfo disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/deb/arquivos/File/salas_de_apoio/formacao2009matematica/rodolfoo.pdf acesso em 30.03.2010. Sugestão de variação da atividade no site: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/adivinhacao-figuras-429036.shtml acesso em 30.03.2010

6.5. Tabuada geométrica

Conteúdo: Multiplicação (configuração retangular), área e perímetro de

quadrados e retângulos.

Objetivos:

Compreender e relação que há entre área e perímetro de figuras planas

(quadriláteros);

Perceber regularidades relativas à multiplicação;

Estabelecer relação entre conhecimentos geométricos e a aritmética

(sequências numéricas);

Material: Por grupo ou dupla de alunos: 1 folha de papel quadriculado (A3) de

1cm2 ou 1 folha de papel milimetrado (A3), lápis de cor, régua, 10 folhas de papel

coloridas de papel cartão ou de EVA, tesoura.

Desenvolvimento:

60

O primeiro passo é construir a tabuada geométrica no papel quadriculado.

Desenhar os quadrados na diagonal da folha, começando pela parte superior

esquerda do papel, um quadrado de lado um cm, unindo o vértice inferior direito

ao vértice superior do segundo quadrado com dois cm de lado e assim

sucessivamente, desenhar quadrados de três, quatro, cinco, seis e sete cm de

lado. Pintar todos os quadrados de cores diferentes. Para desenhar os retângulos

usar os lados dos quadrados prolongando-os com retas. Pintar os retângulos que

tiverem a mesma área com a mesma cor, como mostra a figura 28.

Ao construir a tabuada geométrica na folha quadriculada os alunos já

poderão perceber muitas regularidades e fazer comparações.

Figura 28- Modelo de tabuada geométrica.

Depois que os alunos já fizeram a tabuada geométrica em papel

quadriculado pedir que os grupos façam uma tabuada com papel cartão ou folhas

de EVA colorido (uma tabuada de cada cor), recortem as peças e montem

novamente a tabuada (figura). Este material favorece a manipulação e

comparação da superfície das figuras.

Orientações didáticas:

61

Para desenvolver o trabalho com a tabuada geométrica o professor fará

intervenções, questionando e sugerindo que os alunos testem suas hipóteses:

Pedir que os alunos identifiquem figuras geometricamente iguais.

Questionar se podem existir mais do que duas figuras geometricamente

iguais entre si? Por quê?

Figuras equivalentes são figuras com a mesma área. As figuras

geometricamente iguais têm sempre a mesma área. O que varia na forma

de representar estas figuras? Dê exemplos de figuras equivalentes, mas,

que não sejam geometricamente iguais.

Á medida que aumenta o número de linhas (ou de colunas) que a figura

ocupa o que ocorre com os valores das respectivas áreas? E à forma das

figuras?

Localizar todas as figuras de perímetro 20. Qual destas figuras tem maior

área? Encontrar outras figuras com o mesmo perímetro. Que regularidades

encontram?

Os resultados das tabuadas são exemplos de sequências de números.

Observar os valores das áreas das figuras desenhadas.

Encontrar uma sequência de números pares. Indicar regularidades.

Localizar a tabuada do número quatro.

Considerar o retângulo cuja área é representada por 2x4. Existe algum

outro com a mesma área? A que tabuadas o associam?

Relacionar os valores das áreas dos retângulos que associou à tabuada do

quatro com os que associaram à tabuada de dois. Explicar o raciocínio.

Encontrar agora as tabuadas do número seis e de oito. Que têm em

comum com a tabuada de dois? Explicar o raciocínio.

Utilizar a tabuada geométrica em EVA ou em papel cartão onde as figuras

(quadrados e retângulos) foram desenhadas e recortadas para poder

manipular e comparar as figuras. Comentar que quando desenha e recorta

a figura deixa de ser plana e passa a ser espacial (embora tenha uma das

dimensões bem pequenas), portanto o quadrado passa a ser um prisma de

base quadrangular, porém, na atividade se considera a maior superfície

quadrada ou retangular de cada prisma.

62

Na construção da “tabuada geométrica” foram desenhados vários

retângulos. A partir da justaposição dos retângulos de dimensões 3x5 e

4x2 será possível formar um retângulo? E da justaposição dos retângulos

de dimensões 4x6 e 5x7? Por quê?

Observar as dimensões de vários pares de retângulos cujas justaposições

resultem em retângulos. Que regularidades encontram?

A tabuada geométrica também pode ser utilizada para trabalhar com

potenciação nas salas de apoio, possibilitando ao aluno visualizar os quadrados

perfeitos e suas características.

Adaptação de Atividade disponível em: http://projectos.ese.ips.pt/pfcm/wp-content/uploads/2009/11/doc-8-09_10-1%C2%BA-ciclo-tabuada-geom%C3%A9trica.pdf acesso em 15.03.2010.

6.6. Trabalho com Tangran

O Tangran é um material considerado muito produtivo para trabalhar com

conceitos geométricos, é um quebra-cabeça de origem chinesa formado por uma

superfície quadrada dividida em sete partes que são formadas por figuras

geométricas planas (cinco triângulos - dois maiores, um médio e dois menores,

um quadrado e um paralelogramo). Com estas peças recortadas, considerando as

superfícies maiores podem ser formadas várias figuras. A regra de utilização

deste quebra cabeça é associar e justapor todas as sete peças sem sobrepô-las,

as peças devem estar no mesmo plano e tem como objetivo desenvolver o

raciocínio lógico e a criatividade dos alunos, bem como, facilitar o estudo da

geometria.

Existem várias lendas que explicam a origem deste quebra-cabeça, que

podem ser contadas para os alunos como uma curiosidade, porém, o que se sabe

que é conhecido como “as sete tábuas da sabedoria chinesa” e o seu uso, tem

feito parte dos projetos didáticos dos professores do ensino fundamental.

Segundo Bigode (2000, p.184) supostamente, a parte inicial do nome do

jogo “tan” está relacionada á dinastia Tang que governou a China por um longo

período e “gran” vêm do latim ordenar ou dispor. A lenda mais difundida é de que

63

um mensageiro deveria levar de presente ao imperador uma pedra de jade, de

formato quadrado. No caminho por descuido a pedra caiu, partindo em sete

partes. Daí o mensageiro juntou os pedaços a fim de remontar a pedra. Enquanto

tentava resolver o problema ele criou centenas de formas até montar o quadrado

inicial. Estas figuras podem ter diferentes formas entre animais, plantas, pessoas,

objetos, números, figuras geométricas e outros.

6.6.1. Construção do Tangran

Conteúdo: Figuras planas, diagonal do quadrado, segmentos de reta e pontos

médios

Objetivos:

Desenhar figuras planas utilizando conceitos e procedimentos geométricos

Materiais: Papel ofício, régua e lápis coloridos

Desenvolvimento:

Organizar a turma em duplas, distribuir uma folha de papel para que os

alunos retirem da mesma o maior quadrado possível e dentro deste, tracem os

segmentos para formar as figuras geométricas que compõem o Tangran (figura

29) a partir das seguintes informações:

1. A partir de um quadrado, ABCD, traça-se a sua diagonal AC, marca-se o seu

ponto médio O desta diagonal. Depois se traça uma perpendicular a AC em O

passando por B. Com isso, já foram desenhados os dois triângulos maiores.

2. Marcam-se os pontos médios, E do segmento AO e F de OC.

3. Marcam-se os pontos médios, H do lado CD do quadrado e G do lado AD.

Traça-se o segmento unindo os pontos G e H, formando assim o triângulo médio

da figura. Em seguida marca-se o ponto médio I do segmento GH.

4. Para finalizar traçam-se os segmentos IO, IF e EG formando os dois triângulos

menores, o quadrado e o paralelogramo.

Figura 29 – Modelo de Tangran

64

Orientações didáticas:

Depois de desenhado o Tangran com todas as figuras que o compõem,

fazer uma reflexão com os alunos sobre o que estão visualizando. Pedir que

observem quantas e quais as figuras formaram. Analisar quantos lados e quantos

cantos (vértices) tem cada uma.

Pedir que os alunos pintem e recortem cada uma das figuras, orientá-los de

que quando recortam as figuras estas deixam de ser figuras planas, embora

sejam assim consideradas, pois a espessura da folha como sendo uma outra

dimensão do material faz com que se tenha figuras tridimensionais. Isto é mais

bem visualizado quando se constrói o Tangran em EVA ou papel cartão, materiais

que possuem uma espessura maior que a folha de papel. Porém, mesmo com

este risco, pode ser utilizado de forma produtiva, quando se alerta para que

considerem a face que tem a superfície maior de cada figura e façam suas

construções no plano. Os erros conceituais e os prejuízos com o uso deste

material podem produzir um efeito bem menor na aprendizagem dos alunos do

que se não for utilizado nas práticas pedagógicas.

Esta atividade de construção do Tangran pode ser realizada utilizando uma

folha de papel ofício e o recurso de dobraduras seguindo os mesmos passos

sugeridos para o desenho do material.

Existem outras variações do Tangran conforme mostra a figura 30 que

também podem ser exploradas para o estudo de geometria e para desenvolver a

criatividade dos alunos.

Figura 30: Variações de Tangran

6.6.2. Composição de figuras com o Tangran Conteúdo: Composição e decomposição de figuras geométricas planas,

65

Objetivos:

Manipular materiais com figuras geométricas

Refletir sobre as construções geométricas, seus elementos e

nomenclaturas.

Construir formas utilizando as peças do Tangran

Explorar conceitos geométricos envolvidos nas construções.

Explorar a criatividade dos alunos compondo formas diversas

Material: Conjuntos de figuras geométricas que compõem o Tangran

Desenvolvimento:

Organizar a turma em grupos de quatro alunos. Distribuir um Tangran com

as sete peças, desmontado para cada grupo. Solicitar que os alunos manipulem

as peças tentando montar outras figuras com a justaposição independentemente

de usar todas ao mesmo tempo.

Solicitar que os alunos façam as seguintes composições de figuras:

Com apenas duas peças do Tangran, construir:

Um quadrado

Um losango

Um triângulo

Um paralelogramo

Com três peças, construir:

Um quadrado

Um triângulo

Um retângulo

Um paralelogramo

Um trapézio

Estas intervenções podem ser feitas até que seja sugerido aos alunos

construírem figuras geométricas utilizando todas as peças do tangran.

Pedir aos alunos que fazendo a colocação lado a lado de peças criem

formas diversas e desenvolvam uma história com as figuras formadas.

Construir vários conjuntos de Tangran em papel colorido, recortar e

organizar um painel com as figuras diversas montadas.

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Para saber mais e ter acesso a histórias animadas com figuras construídas

com Tangran consulte os endereços:

http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/index.htm acesso em 25/03/10.

http://educamat.ese.ipcb.pt/0607/images/PDF/Mater_1C/sessao_08_actividades_tangran.pdf acesso em 12/06/10 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A elaboração deste material didático tem a finalidade de provocar uma

reflexão e trazer algumas propostas de transposição da teoria á prática

pedagógica através do estudo de apontamentos referentes ao ensino da

geometria a partir de teorias e concepções de aprendizagem que tem

demonstrado atualmente maior eficácia no processo do ensino – aprendizagem,

bem como, demonstrar a necessidade de criar na escola um espaço/tempo

apropriado para desenvolver as práticas de formação e vivenciar situações

didáticas através do Laboratório Pedagógico de Matemática.

São levantados alguns pontos das teorias cognitivas de aprendizagem,

tais como: as idéias de Piaget quando se refere á manipulação de objetos como

forma de contextualização e visualização dos conceitos que se quer ensinar, a

interação e a argumentação que Vigotski considera imprescindíveis na relação

entre quem ensina e quem aprende e a valorização das experiências anteriores

do aprendiz como base para novas aprendizagens consideradas por Ausubel

como fundamentais para garantir a aprendizagem significativa que tanto os

docentes se referem como expectativa de resultados.

O trabalho proposto aqui, através do desenvolvimento da oficina

pedagógica pretende desenvolver nos alunos do Curso de Formação de docentes

uma postura de reflexão sobre a prática pedagógica á luz das teorias propostas

pelas diretrizes e orientações oficiais conscientizando-os da importância de ser

um professor pesquisador e agente de sua ação na escola.

67

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARROSO, J. M.(Org). Projeto Araribá – Matemática 5ª série. São Paulo.

Moderna, 2006.

BICUDO, M. A V. A Fenomenologia: confrontos e avanços. São Paulo. Cortez,

2000.

BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo. FTD, 2000

BONJORNO, J. R. Matemática Pode contar comigo 4º e 5ºano. São Paulo:

FTD, 2008.

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Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

BRITO Marcia R.F. Psicologia da Educação Matemática. Florianópolis Insular

2005

DANTE, L.M. Tudo é Matemática, 5ª série. São Paulo: Ática, 2002.

FONSECA, Maria da Conceição F. R.. et al. O ensino de geometria na escola

fundamental – três questões para a formação do professor dos ciclos

iniciais. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

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de Matemática. Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, 2003. Tese

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Formação de Professores. Campinas, SP, Autores Associados, 2006.

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MOREIRA, M. A. MASSINI, E. F. S. Aprendizagem Significativa – A Teoria de

David Ausubel. São Paulo: Centauro, 2006.

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francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. 125 p. (Tendências em Educação

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Curriculares da Educação Básica do Paraná – Matemática. Curitiba, 2008.

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Aprendizaje Significativo con el uso de Mapas Conceptuales y Diagramas

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Tese (Doutorado em Ensino de Ciências)

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ISPV: Instituto Superior Politécnico de Viseu, sem, n. 20, out de 2000. Disponível

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conteúdos- Uma tarefa reveladora da capacidade de decidir dos docentes.

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acesso em 15/09/09

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