Dinàmica del moviment planetari - agora.xtec.catagora.xtec.cat/.../usu342/2016/...DINAMICA-DEL-MOVIMENT-PLANETARI.pdf · Va descobrir que quan el planeta es trobava més a prop del

Dinàmica del moviment planetari

DINÀMICA DEL

MOVIMENT PLANETARI

Norma Salvadores Farran

Tutor: Roger Sempere

2n Batxillerat

IES Secretari Coloma

Barcelona, 24 de setembre de 2016


“El que sabem és una gota d’aigua, el que ignorem és

l’oceà.”

- Isaac Newton -


SUMARI

1. Introducció ....................................................................................... pg.1

2. Objectius .......................................................................................... pg.2

3. Biografia sobre Johannes Kepler ..................................................... pg. 3 - 9

3.1 Les lleis de Kepler ...................................................................... pg. 7 - 9

4. Biografia sobre Isaac Newton .......................................................... pg. 10 - 17

4.1 Lleis sobre el moviment de Newton ........................................... pg. 13 - 15

4.2 Llei de la gravitació Universal .................................................... pg. 16 - 17

5 Característiques de les orbites ........................................................ pg. 18 - 21

5.1 Orbites el·líptiques ..................................................................... pg. 19 - 21

5.1.1.1 Excentricitat de l’orbita ............................................. pg. 19

5.1.1.2 Periapsi .................................................................... pg. 20

5.1.1.3 Apoapsi .................................................................. pg. 20

5.1.1.4 Distancia mitjana aritmètica ..................................... pg. 20

5.1.1.5 Distancia mitjana geomètrica ................................... pg. 20

5.1.1.6 Velocitat mitjana aritmètica ...................................... pg. 21

5.1.1.7 Velocitat mitjana geomètrica .................................... pg. 21

5.1.1.8 Relació entre la velocitat mitjana

geomètrica i la distància ........................................... pg. 21

6 Kepler-444 ....................................................................................... pg. 22 - 27

6.1 Relació entre la velocitat mitjana geomètrica i la distància ....... pg. 24 - 25

6.2 Conclusions ............................................................................... pg. 26 - 27

7 Introducció marc pràctic .................................................................. pg. 28 - 31

8 Estructura circular amb tela de licra ................................................ pg. 32 - 52

8.1. Introducció ........................................................................... pg. 32 - 33

8.2. Relació període amb el semieix major ................................. pg. 34 - 37

8.2.1. Taules dels períodes ...................................................... pg. 34 - 37

8.2.2. Conclusió ........................................................................ pg. 37

8.3. Força i acceleració centrípeta .............................................. pg. 38 - 43

8.3.1. Introducció ...................................................................... pg. 38

8.3.2. Pilota blanca de petaca .................................................. pg. 39 - 41

8.3.3. Pilota de tenis ................................................................. pg. 41 - 43

8.3.4. Conclusió ........................................................................ pg. 43

8.4. d’òrbites de major excentricitat ............................................. pg. 44 - 46

8.4.1. Introducció ...................................................................... pg. 44


8.4.2. Primera pilota analitzada ................................................ pg. 44

8.4.3. Segona pilota analitzada ................................................ pg. 45

8.4.4. Tercera pilota analitzada ................................................ pg. 45 - 46

8.4.5. Conclusió ........................................................................ pg. 46

8.5. Sistema binari d’estrelles ...................................................... pg. 47 - 50

8.5.1. Massa central dues pilotes de petaca ............................. pg. 47 - 49

8.5.2. Massa central dues bosses de llegums ........................... pg. 49 - 50

8.5.3. Conclusió ......................................................................... pg. 50

8.6. Conclusions generals de l’experiment ................................... pg. 51 - 52

9 Antena parabòlica .............................................................................. pg. 53 - 59

9.1. Introducció ............................................................................. pg. 53

9.2. El període i el semieix major ................................................. pg. 54- 55

9.3. Representació de la forma parabòlica de

l’antena i les forces que actuen sobre la pilota ..................... pg. 55

9.4. Fórmula del període .............................................................. pg. 56 - 57

9.5. Comprovació de la fórmula del període ................................ pg. 57 - 59

9.5.1. Anàlisi de la fórmula on ......................................... pg. 58

9.5.2. Anàlisi de la fórmula completa ........................................ pg. 58 - 59

9.6. Conclusió general de l’experiment ........................................ pg. 59

10 Conclusions finals ............................................................................. pg. 60 - 62

11 Agraïments ........................................................................................ pg. 63

12 Bibliografia i webgrafia ...................................................................... pg. 64

13 Annex ................................................................................................ pg. 65 - 117

13.1 Tycho Brahe ..................................................................... pg. 65

13.2 Aberració cromàtica ......................................................... pg.65

13.3 Òrbites dels planetes de Kepler-444 ................................ pg. 66 -83

13.4. Relació entre la velocitat mitjana i la distància

dels planetes de Kepler-444 .......................................... pg. 83 - 84

13.5 Òrbites circulars dels planetes Kepler-444 ...................... pg. 85 - 88

13.6 Càlcul de les vares de calibratge del programa Tracker .. pg. 89 - 90

13.7 Càlcul de la constant de Kepler(k) de les pilotes ............. pg. 91 - 96

13.8 El·lipses pilota groga ........................................................ pg. 97 - 100

13.9 Força i acceleració centrípeta pilota blanca ..................... pg. 100 - 108

13.10 Força i acceleració centrípeta pilota de tennis ................. pg. 108 - 112

13.11 Acceleració pilota blanca .................................................. pg. 113 - 114

13.12 Acceleració pilota de tenis ................................................ pg. 115

13.13 El·lipses de major excentricitat ......................................... pg. 116 - 117


13.13.1 Primera pilota analitzada ....................................... pg. 116

13.13.2 Segona pilota analitzada ....................................... pg. 116

13.13.3 Tercera pilota analitzada ....................................... pg. 116 - 117

13.14 Anul·lació del camp gravitatori del sistema binari ............ pg. 117


1

1. INTRODUCCIÓ

Escollir el tema del treball de recerca no és fàcil, has de pensar en un tema del qual en

puguis parlar àmpliament, que sigui original i el més important, que t’agradi. A més,

has de conèixer les limitacions del temps per realitzar-lo.

Jo tenia clar que volia fer un treball de divulgació científica i el primer tema que vaig

escollir tractava sobre la contaminació de l’aire a les ciutats. Considero que és un tema

altament important ja que hem de ser conscients del que inspiren els nostres pulmons.

Però, finalment vaig trobar un tema que m’apassionava més: les òrbites planetàries.

Des de petita que sóc una gran admiradora de l’Univers i de les grans meravelles que

s’amaguen en ell. Em passava els dilluns a la biblioteca del barri copiant el llibre del

Sistema Solar, només per poder tenir les dades dels planetes que hi pertanyen. Per

tant, analitzar la dinàmica planetària, tot i que no és un problema urgent a tractar, era

un repte que em permetia comprendre i aprendre el moviment d’aquests astres una

mica millor.

La meva idea era fer un treball principalment pràctic, i aquest tema em permetia fer

diversos experiments i proves.

La finalitat d’aquest treball és comprendre la dinàmica planetària, poder analitzar-la

mitjançant experiments i comprovar si les lleis que regeixen el moviment també són

vigents en ells.

Aquest treball es divideix en dues parts. La primera és el marc teòric, on es fa una

introducció a les lleis de Kepler i de Newton i les característiques de les òrbites

el·líptiques. Tot i ser el marc teòric, també hi ha l’anàlisi de les òrbites dels planetes de

l’estrella Kepler-444.

La segona part és el marc pràctic i està constituït per dos experiments: una estructura

circular amb una tela de licra per simular la curvatura espai-temps de l’Univers i una

antena parabòlica. L’objectiu d’aquest apartat és analitzar les òrbites en diferents

superfícies per trobar una similitud amb les que es realitzen a l’Univers posant en

pràctica tots els coneixements apresos en el marc teòric.


2

2. OBJECTIUS

- Aprendre i comprendre les lleis de Kepler i Newton sobre la dinàmica

planetària.

- Analitzar les òrbites dels planetes de l’estrella Kepler-444.

- Intentar reproduir la dinàmica planetària mitjançant dos experiments: el de

l’estructura circular amb tela de licra i el de l’antena parabòlica.

- Analitzar les òrbites el·líptiques dels experiments mitjançant els programes

informàtics Tracker i Geogebra.

- Extreure els màxims resultats de les òrbites analitzades.

- Verificar o no si es compleixen les lleis de Kepler i Newton.


3

3. BIOGRAFÍA SOBRE JOHANNES KEPLER

Abans d’explicar les lleis de Kepler i de Newton sobre la dinàmica del moviment

planetari, he decidit exposar el marc històric d’aquests personatges.

Johannes Kepler fou un físic, matemàtic i astrònom alemany de gran importància per

la concepció moderna de l’Univers. Va néixer a Württemberg al 1571, set anys després

de Galileu Galileu i 28 després de que Copèrnic publiqués la seva gran obra De

Revolutionibus.

Procedia d’una família humil protestant. El seu pare

era mercenari a l’exèrcit del Duc de Wüttemberg i la

seva mare s’encarregava d’una casa d’hostes.

En 1589 va ingressar a l’ Universitat de Tubinga on

va estudiar ètica, dialèctica, retòrica, grec, hebreu,

astronomia, física i més tard teologia i ciències

humanes. El seu professor de matemàtiques,

l’astrònom Michael Maestlin, va ser qui el va

introduir en la teoria heliocèntrica de Copèrnic.

Va abandonar els estudis de Teologia per ocupar el

lloc de professor de matemàtiques en l’escola

protestant de Ganz.

El problema astronòmic que més li va preocupar al llarg de la seva vida va ser

entendre les lleis del moviment planetari. En la seva primera gran obra, Mysterium

Cosmographicum ( 1596), va publicar el seu primer gran descobriment : va deduir una

relació numèrica que relacionava les distàncies del planetes, conegudes fins

aleshores, al sol amb les figures geomètriques anomenades els cinc sòlids regulars o

perfectes ja conegudes pels matemàtics grecs: cub, tetràedre, dodecàedre, icosàedre i

octàedre. Amb els sis planetes coneguts (Mercuri, Vens, Terra, Mart, Júpiter i Saturn) i

amb els valors obtinguts per Copèrnic dels radis d’aquests planetes. Kepler va trobar

que aquests 5 sòlids regulars es podien anar inscrivint en els planetes amb l’ordre

següent: dins de l’òrbita de Saturn es troba inscrit un cub, i dins d’aquest l’esfera de

Júpiter circumscrita en un tetràedre. Inscrita en aquest es troba l’esfera de Mart. Entre

Mart i la Terra es troba el dodecàedre; entre la Terra i venus l’icosàedre; entre Venus i

Mercuri l’octaedre. I en el centre del sistema el Sol.

Imatge pertanyent a la pàgina web Wikipedia


4

Va resultar que la distància dels planetes era bastant aproximada a la distància mitjana

dels planetes al Sol. En aquest mateix llibre també argumentava a favor del model

copernicà.

Al 1600 va haver de marxar d’Àustria a causa de l’edicte contra els protestants dictat

per l’arxiduc Fernando. Com a conseqüència, va ser convidat a Praga per Tycho Brahe

( biografia que podeu trobar a l’annex 1) qui disposava del millor centre astronòmic de

l’època. El 24 d’octubre de 1601 Tycho, abans de morir, li va demanar que portés a

terme la reforma de les teories astronòmiques basant-se en el sistema tychónic, però

Kepler va establir que el sistema de Copèrnic era el que millor representava les

observacions. Després de la seva mort, va ser anomenat el seu successor com a

matemàtic de l’emperador Rodolfo. El seu interès no es va centrar en formular noves

observacions, sinó en construir una nova teoria sobre la dinàmica del Sistema Solar.

A partir de les dades sobre les observacions de Mart, es podia comprovar que el seu

moviment es desviava del cercle perfecte. Després d’estudiar diversos esquemes

geomètrics que s’adaptessin al moviment del planeta, va concloure que la forma

geomètrica que millor representava el moviment era l’el·lipse. Per tant, Mart i els altres

planetes es movien en una el·lipse on un dels seu dos focus era el sol; aquest

anunciat correspon a la primera llei de Kepler.

El següent pas va ser establir com era el moviment del planeta al llarg de la seva

òrbita. Va descobrir que quan el planeta es trobava més a prop del Sol es movia més

ràpid que quan es trobava més lluny d’ell. La segona llei de Kepler es podia definir

com: el radi vector que uneix el planeta amb el Sol recorre àrees iguals en temps

iguals.

Imatge pertanyent al blog Los mundos de

Brana


5

Aquestes dues lleis van ser recopilades en el seu llibre Commentariis de Motibus

Stellae Martis conegut també com a Astronomia Nova publicat l’any 1609.

L’any 1619 va publicar el llibre Harmonices Mundi libri on presentava la seva tercera

llei sobre la dinàmica planetària: el quadrat dels temps de revolució dels planetes en

les seves orbites al voltant del Sol es proporcional als cubs de les seves distancies

mitjanes al Sol. Aquesta llei també es podia aplicar als 4 satèl·lits de Júpiter,

recentment descoberts per Galileu Galilei. En aquest llibre, Kepler recupera la teoria

musical pitagòrica de la musica de les esferes celestes, en la qual cada planeta

produeix un to musical al recórrer el cel, però Kepler va afirmar que el to no era

constant ja que la velocitat dels planetes no ho és. Ell considerava aquesta teoria com

una concepció matemàtica, i realment no creia que hi hagués música.

En el seu llibre Epitome Astronomiae Copernicanae, publicat en tres entregues

(1618,1620 i 1621) va ser una exposició de l’astronomia copernicà incorporant els

seus descobriments i els de les observacions de Galileu Galilei.

Amb la publicació sobre els cometes l’any 1619, va afirmar que aquests cossos

celestes no tenien origen terrestre sinó celeste i es movien en línia recta ( afirmació

errònia).

El seu últim treball de gran importància, Tabulae Rudolphine, va ser publicat l’any

1627. Amb aquestes taules es podia determinar la posició d’un cos celeste en

qualsevol instant de temps i també els eclipses.

Kepler afirmava que el punt central del moviment planetari era el Sol i la forma

el·líptica de les òrbites era causa del magnetisme. Pensava que hi havia un primer

agent causant del moviment anomenat anima motrix, que es trobava en el Sol i

actuava de manera menys intensa quan més gran sigues la distància. D’aquesta

manera de l’anima motrix de la Terra sortien unes línies magnètiques radials que feien

moure la Lluna al voltat del planeta. Per tant, la rotació del Sol sobre ell mateix era

causa dels planetes que giraven al seu voltant ja que les línies rectes on es trobava la

força solar atractiva es corbaven movent els planetes a diferents revolucions, tot

depenent de la massa d’aquests. Assegurava que les òrbites haguessin sigut circulars

i per tant perfectes, però l’existència del magnetisme dels planetes i del Sol provocava

que fossin el·líptiques.

Segons Kepler, cada planeta era un imant, l’eix magnètic del qual apuntava sempre en

la mateixa direcció. Durant la meitat de les seves òrbites el planeta s’apropava al Sol,

a causa de que un dels seus pols era atret per l’estrella; en canvi en l’altre meitat


6

s’allunyava perquè tenia l’altre pol més pròxim al Sol. L’excentricitat de l’orbita depenia

de la intensitat de magnetisme que tingués. Aquesta explicació sobre el moviment

planetari causat per forces magnètiques, és el primer model per intentar explicar la

dinàmica Solar.

Kepler no va arribar a desenvolupar la idea de la gravetat, per a ell la gravetat era

definida com una mútua influència entre els cossos materials que tendiria a unir-los.

Per ell, la força que mantenia els planetes al voltant del Sol no estava dirigida al Sol,

sinó que era tangencial. No era una força atractiva, sinó una que promovia el

moviment. Els planetes giraven perquè el Sol rotava sobre ell mateix. Però, el

moviment també era causa inherent al propi planeta.

Kepler va ser un científic que va utilitzar una metodologia de treball molt diferent al seu

temps i va resoldre el problema sobre el moviment planetari, pel qual durant segles

s’havien inventat esquemes molt més complicats que les simples el·lipses, com era el

sistema de Ptolomeu.


7

3.1 LLEIS DE KEPLER SOBRE LA DINÀMICA

PLANETÀRIA

Les Lleis sobre la dinàmica planetària de Kepler van ser formulades entre el 1609 i

1619. Les dues primeres lleis van ser publicades en el llibre Commentariis de Motibus

Stellae Martis conegut també com a Astronomia Nova, publicat l’any 1609. I la tercera

llei es va publicar l’any 1619 en el llibre Harmonices Mundi libri.

Primera llei de Kepler:

“Tot els planetes es mouen al voltant del Sol descrivint òrbites el·líptiques. El Sol es

troba en un dels seus focus.”

Al descriure les òrbites planetàries en forma d’el·lipse, Kepler va trencar un dels

principis de l’astronomia de l’època clàssica dels grecs: els moviments perfectes

circulars i uniformes.

Podem definir l’el·lipse com el lloc geomètric dels punts del pla la suma de distàncies

dels quals a dos punts fixos, anomenats focus és constant. Aquesta suma constant de

distancies s’acostuma a representar per 2a.

Segona llei de Kepler:

“ El radi vector que uneix un planeta i el Sol recorre àrees iguals en temps iguals”.

La lleis de les àrees és equivalent a la constant del moviment angular, quan un planeta

es troba en l’afeli, és a dir quan es troba més lluny del Sol, la seva velocitat és menor

que quan està en el periheli, quan es troba més a prop del Sol. En l’afeli i en el periheli,


8

el moment angular L és el producte de la massa del planeta, la seva velocitat i la seva

distància al centre del Sol.

El moviment del planeta, tot i tenir l’òrbita simètrica, no ho és. El cos celeste

s’accelera a l’apropar-se al Sol i obté la seva màxima velocitat en el periheli i després

es desaccelera. Aquest fet també es pot explicar mitjançant la conservació d’energia,

que en part és gravitatòria i en part cinètica. A mesura que el planeta s’allunya del Sol,

perd energia gravitatòria al sobreposar-se de l’atracció gravitacional i desaccelera.

Guanya energia gravitatòria i s’accelera a l’apropar-se al Sol.

L’àrea recorreguda un segon després de periheli P (A1) és la mateixa àrea

recorreguda un segon després de l’afeli (A2).

La proporció de velocitats és igual a la inversa de la relació de les distàncies. Quan

més petita sigui la distància, més ràpid serà el moviment. ( Però, aquesta proporció

Imatge pertany a la pàgina web Segueix el fil de la

història


9

només és valida en el Periheli i l’Afeli. En els altres punts el radi vector i el de la

velocitat no són perpendiculars.)

Tercera llei de Kepler:

“El quadrat dels temps de revolució dels planetes en les seves òrbites al voltant del Sol

és proporcional als cubs de les seves distàncies mitjanes al Sol.”

T = Període orbital

a = Semieix major o distància mitjana

µ = Constant gravitacional del cos massiu al qual s’està orbitant.

µ = GM

En els punts A i B

corresponents a l’afeli i al

periheli, el radi vector i el

de la velocitat són

perpendiculars.


10

4. BIOGRAFÍA SOBRE ISAAC NEWTON

Isaac Newton fou un físic, teòleg, inventor, alquimista i matemàtic anglès. Va néixer a

Woolsthorpe, Anglaterra, el 4 de gener de 1643, segons el nou calendari gregorià

adoptat a Europa; o per els anglesos el 25 de desembre de 1642 ja que continuaven

mantenint l’antic calendari julià. Sigui com sigui, va néixer un any més tard de la mort

de Galileu Galilei.

Va tenir una infància difícil marcada per

l’aïllament i l’abandonament fets que van

definir el seu caràcter. Quan va néixer, el seu

pare havia mort i la seva mare Hannah

Ayscough es casà 3 anys més tard amb un

altre home, quedant-se Newton a càrrec de la

seva àvia. Era un noi intel·lectualment

superior als altres i per aquesta raó els nois

mostraven un sentiment de desconfiança i

gelosia en vers d’ell. Newton presentava un

gran sentit de la competició que el va portar a

voler ser el primer de la classe. Tot i això,

durant el seu període escolar, va demostrar

tenir una gran capacitat per la fabricació

d’objectes i elements mecànics.

Finalment, l’any 1661, Newton va ser admès en el Trinity College de Cambrige.

En 1663 va conèixer a Isaac Barrow , el seu professor de matemàtiques, a qui poc

després ja havia superat. En aquell temps ja demostrava un gran interès per la

geometria i l’òptica. Va començar a mantenir correspondència amb la Royal Society.

Newton va descobrir la teoria matemàtica fluxions que seria la base del que es coneix

com a càlcul infinitesimal. Paral·lelament, Leibniz va arribar al mateix descobriment.

Avui dia, es coneix que Leibniz ho va publicar abans i de manera més desenvolupada,

encara que el mestre de Newton, Isaac Borrow, tenia còpies del seu alumne des de

feia més de 40 anys.

Newton també va desenvolupar una teoria sobre la naturalesa espectral de la llum i els

colors que ha tingut una gran repercussió en el món de l’òptica i l’astronomia. Va

començar la seva investigació preguntant-se el perquè de l’efecte d’aberració

Imatge pertanyent a la pàgina web Grupo Heurema


11

cromàtica ( concepte que trobareu a l’annex 2). Al fer passar la llum del Sol a partir

d’una escletxa i després a través d’un prisma de vidre, va poder observar com la llum

blanca es descomponia en els color de l’Arc de Sant Martí. Va arribar a la conclusió

que la llum blanca estava formada per diversos color que es podien separar i tornar a

ajuntar. Aquests experiment, el van portar a formular una teoria, en la qual la llum

estava formada per corpuscles i es propagava en línia recta i no per medi d’ones. Va

ser durament criticat per altres científics com per exemple Hooke i Huygens qui

defensaven la naturalesa ondulatòria de la llum.

Al 1704 va publicar el llibre Opticks, la seva obra més important en el camp de l’òptica,

en la que exposava la naturalesa corpuscular de la llum i un estudi sobre la refracció,

la reflexió i la dispersió de la llum. Les seves idees sobre la naturalesa corpuscular de

la llum van ser descartades. Actualment, es sap que la llum té una naturalesa dual: és

ona i corpuscle al mateix temps, principi en el que es basa la mecànica quàntica.

El seu estudi sobre l’aberració cromàtica el va fer arribar a pensar que mai es podria

eliminar dels telescopis de lents o refractors. Per tant, va desenvolupar un nou

telescopi anomenat de reflexió o reflector. Aquest telescopi, en canvi de lents tenia

miralls en forma de corba que concentraven els raig de llum dels objectes celestes

observats, reflectint-los a un punt anomenat focus que es trobava al davant de

l’objectiu. Aquest model, tot i que no va tenir massa èxit comparat amb els altres

telescopis, va ser el precursor dels actuals telescopis que avui s’utilitzen en els grans

observatoris.

Al 1689 va publicar la seva gran obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, on

es trobaven les lleis del moviment i la llei de la Gravitació Universal. La publicació del

Imatge pertanyent a la pàgina web

http://www.arauco.org/SAPEREAUDE/optica/imgs/optica2/collections.html

http://www.arauco.org/SAPEREAUDE/optica/imgs/optica2/collections.html


12

llibre va ser possible gràcies al seu amic Edmund Halley qui va aportar els diners

perquè

es pogués portar a terme. L’obra va ser revisada en dues edicions posteriors, en el

1713 i 1726.

A finals de 1688 va ser escollit per la Universitat per ser el seu representant al

parlament, però la seva carrera com a diputat va durar pocs anys. Al 1703 Newton va

ser escollit president de la Royal Society, càrrec que va mantenir fins la seva mort.

Newton va morir el 20 de març de 1727, a l’edat del 84 anys.


13

4.1 LLEIS DEL MOVIMENT DE NEWTON

Per poder desenvolupar les lleis del moviment de Newton i la llei de la Gravitació

Universal de Newton, ja s’havien desenvolupat les lleis de Kepler i el principi de la

inèrcia descobert per Galileu Galilei. Aquests descobriments havien resultat un gran

canvi per la lògica de la cosmologia aristotèlica.

A partir de les lleis de Kepler, Newton va deduir que deuria existir una força atractiva

entre els planetes i el Sol. L’atracció del Sol donava lloc a una òrbita el·líptica tancada.

A partir d’aquí, va utilitzar la tercera llei de Kepler per arribar a la següent conclusió

anomenada Llei del quadrat del invers de la distancia: “ El moviment d’un planeta en

òrbita al voltant del Sol s’explica si aquest exerceix sobre el planeta una acceleració o

un canvi en la seva velocitat amb el temps, que és inversament proporcional al quadrat

de la seva distància al Sol”. En aquesta formulació surt el concepte d’acceleració

introduït per Galileu amb els seus estudis sobre la caiguda dels cossos.

Alfonso Borelli, al 1666, havia anunciat que qualsevol cos movent-se en cercles o en

una trajectòria tancada similar, experimentava una tendència a separar-se del centre.

A partir d’aquest concepte, va arribar a la conclusió que en el cas dels planetes

aquesta tendència devia ser contrarestada per una força atractiva cap al Sol.

D’aquesta manera va arribar a la conclusió que la Lluna es trobava en una caiguda

sense fi, ja que la força de gravetat sobre un objecte que cau a la Terra i la força

atractiva produïda per la Terra a la Lluna eren el mateix fenomen.

A partir d’aquest principis, va poder formular, entre el 1643 i 3l 1727, les tres lleis dels

moviment. Aquest fet va ser de gran importància ja que per un costat construeixen,

juntament amb la transformació de Galileu, la base de la mecànica clàssica; i per l’altre

costat, al combinar aquestes lleis amb la llei de la Gravitació Universal, es poden

explicar i deduir les lleis de Kepler.

Les lleis del moviment de Newton són les següents:

Primera Llei de Newton o Llei de la Inèrcia:

“ Tot cos es manté en repòs o en moviment uniformement rectilini a no ser que, sigui

obligat a canviar el seu estat per forces imposades sobre ell”


14

Aquesta llei està basada en el principi d’inèrcia de Galileu i va refutar la idea

aristotèlica de què un cos només pot mantenir-se en moviment si se li aplica una força.

El gran descobriment de Newton va ser que la tendència dels cossos a conservar el

seu estat de moviment, la inèrcia, és més gran quan més gran sigui la massa de

l’objecte.

Segona llei de Newton o Llei fonamental de la

dinàmica:

“ L’acceleració que adquireix un cos és directament proporcional a la força que se li

aplica i té lloc en la mateixa línia recta d’aplicació; i inversament proporcional a la

massa del cos, que és la mesura de la seva inèrcia al moviment.”

La força neta o força resultant que actua sobre un cos, és el vector suma de totes les

forces que actuen sobre ell.

Aquesta llei estableix una relació causa-efecte ja que els objectes a més de moure’s

s’acceleren davant l’acció d’una força, i no canvien la seva direcció de moviment si no

és per una força exterior.

Una conseqüència d’aquesta llei és el concepte de massa, que és la mesura de la

inèrcia d’un cos, la seva oposició a canviar l’estat de moviment. D’aquesta manera un

objecte de gran massa és difícil posar-lo en moviment i parar-lo quan es mou.

Tercera llei de Newton o Principi de l’acció i reacció:

“ La força que un cos exerceix sobre un segon cos és igual en magnitud, però oposada

en direcció, que la força que el segon exerceix sobre el primer.”


15

Les lleis del moviment van servir a Newton per poder explicar i demostrar que les lleis

de Kepler sobre el moviment planetari, eren conseqüència de la força atractiva que el

Sol exercia sobre els altres planetes. I el portaria a formular la Llei de la Gravitació

Universal.

Imatge pertanyent a la pàgina web Wikipedia


16

4.2 LLEI DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL DE

NEWTON

La llei de la Gravitació Universal va ser publicada, juntament amb les lleis del

moviment en la seva obra més important Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

.

L’anunciat de la llei és el següent:

“La força d’atracció entre dos cossos materials, o força gravitacional, és directament

proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de

la distància que separa els dos centres.”

Amb aquesta llei, juntament amb les lleis del moviment, li va permetre demostrar que

la força d’atracció entre dos cossos és proporcional en el cos atret i en el cos atraient.

Per tant, els dos cossos s’atrauen entre ells i la gravetat és una propietat comuna en

els dos cossos.

Segons aquesta llei, qualsevol cos atrau als altres i es sent atret pels demés. I aquesta

llei és aplicable tant en els cossos celestes com en els cossos terrestres més petits.

A partir d’aquí, Newton va provar matemàticament que en un sistema de cossos

materials que es mouen a causa de la influència de les seves accions mútues, existeix

un punt immaterial anomenat centre de gravetat. El centre de gravetat es podria definir

com el punt d’aplicació de la resultant de totes les forces gravitatòries que actuen

sobre cada una de les partícules que formen un cos. D’aquesta manera va afirmar que

el Sol també es movia al voltant del centre de gravetat, però ho feia lleugerament

degut a la seva gran massa. Per tant, el centre de gravetat es troba més proper del

cos més massiu. A partir de llavors, el Sol deixa de ser el centre del Sistema Solar.

Aquesta llei també va comportar el descobriment de les pertorbacions ocasionades per

la gravetat d’uns planetes sobre els altres. Mitjançant l’observació de les pertorbacions

va ser possible el descobriment d’Urà, Neptú i Plutó.

A partir de la llei de la Gravitació Universal i les lleis del moviment va ser possible que

Newton calculés les masses relatives de Júpiter i la Terra tenint en compte el


17

comportament dels seus satèl·lits. Comparava les atraccions exercides per ells en

altres

cossos amb les exercides per la Terra sobre la Lluna. També va poder calcular la del

Sol comparada amb la dels altres planetes que tenien satèl·lits.

Una altra aplicació que va comportar aquesta llei, va ser el càlcul de la forma real de

la Terra. Mitjançant els resultats de les observacions portades a terme per Jean

Richer, científic que afirmava que la Terra no era una esfera perfecta, Newton va

suposar que això era degut a l’atracció mútua de les partícules que el componien i a la

rotació terrestre. Mitjançant uns càlculs no molt exactes, va arribar a determinar que la

Terra tenia forma ovalada.

Amb aquest nou descobriment, Newton va poder explicar el moviment de precessió,

detectat feia uns dos mils anys abans per Hiparc i l’origen del qual era fins aleshores

desconegut. Al no ser la Terra una esfera fa que experimenti un moviment addicional,

es podria dir que, l’eix de rotació terrestre es balanceja variant la seva orientació en

l’espai de forma cíclica, amb un període d’uns 26.000 anys.

Una altra aportació que va fer Newton, a partir d’aquesta llei, va ser l’explicació de les

marees oceàniques. Aquestes són produïdes a causa de l’acció gravitatòria del Sol i la

Lluna, tenint més efecte la Lluna a causa de la seva proximitat. Els dies de Lluna plena

i nova els efectes de la Lluna i el Sol es sumen ja que es troben alineats juntament

amb la Terra, produint marees vives. En canvi, en les altres fases de la Lluna, la

influència del Sol i la Lluna es contraresten produint marees mortes. D’aquesta

manera, les marees vives es produeixen cada 15 dies ja que el període de la Lluna al

voltant de la Terra és d’aproximadament un mes. Tot i algunes de les hipòtesis sobre

les marees han resultat ser falses, es pot entendre com una explicació general del

fenomen.

Una altra conseqüència, va ser la seva interpretació sobre el moviment dels cometes.

Segons ell, els cometes podien formar el·lipses molt allargades o trajectòries

parabòliques.

Tot i això, Newton no va poder explicar mai l’origen de la gravetat.


18

5. CARACTERÍSTIQUES DE LES ÓRBITES

L’energia orbital és una constant que satisfà les lleis de conservació d’energia:

Ɛ = energia orbital per unitat de massa

V = velocitat del cos en orbita ( en mòdul)

µ = constant gravitacional del cos massiu al qual s’està orbitant

µ = GM

a = semieix major

T = Període

r = distància entre els 2 cossos

La forma de l’òrbita està determinada per l’energia orbital:

Ɛ < 0 Òrbita el·líptica

Ɛ = 0 Òrbita parabòlica

Ɛ >0 Òrbita hiperbòlica

L’energia orbital específica (h) és una constant que compleix amb les lleis de la

conservació del moviment angular:

L’excentricitat és un paràmetre que defineix la configuració de la secció cònica. Pot ser

interpretada com la mesura del grau en què la figura es desvia d'una circumferència.


19

e = 0 Òrbita circular

0 < e < 1 Òrbita el·líptica

e = 1 Trajectòria parabòlica

e > 1 Trajectòria hiperbòlica

L’excentricitat d’una òrbita pot ser mesurada segons els vectors orbitals d’estat com a

la magnitud del vector excentricitat . I I

En astrodinàmica, els vectors orbitals d’estat d’una òrbita són els vectors cartesians de

posició (r) i de velocitat (v) que junts en el seu temps (epoch) (t) determinen la

trajectòria d’un cos orbitant en l’espai.

El temps epoch es podria definir com el moment en el temps fet servir com a punt de

referència per alguna quantitat variable en el temps astronòmic, com per exemple les

coordenades celestials o elements d’òrbites el·líptiques d’un cos celeste, perquè estan

subjectes a pertorbacions i variacions amb el temps.

5.1 ÒRBITES EL·LÍPTIQUES

5.1.1 Excentricitat de l’òrbita:

També pot ser mesurada mitjançant la distancia entre el periapsi i l’apoapsi:

da = Distància a la periapsi / periheli

dp = Distància a la apoapsi / afeli


20

5.1.2 Periapsi

Punt de màxima aproximació a una estrella. S’anomena periheli per al Sol.

En aquest punt el planeta assoleix la seva màxima velocitat.

5.1.3 Apoapsi

Punt de mínima aproximació al cos celeste. S’anomena afeli per al Sol.

En aquest punt el planeta assoleix la seva mínima velocitat.

5.1.4 Distància mitjana aritmètica

La distància mitjana aritmètica correspon al semieix major a. És la mitjana aritmètica

entre el periapsi i l’apoapsi.

5.1.5 Distància mitjana geomètrica

La distància mitjana geomètrica correspon al semieix menor b. És la mitjana

geomètrica entre el periapsi i l’apoapsi.


21

5.1.6 Velocitat mitjana aritmètica

La velocitat mitjana aritmètica correspon quan R=b

5.1.7 Velocitat mitjana geomètrica

La mitjana geomètrica de dues velocitats límits és , velocitat que correspon a una

quantitat d’energia cinètica que, sumada a l’energia cinètica existent, permet que el

cos en orbita assoleixi la velocitat d’escapament, cosa que equival al quadrat de les

dues velocitats.

També correspon quan R= b

5.1.8 Relació entre la velocitat mitjana i la distància

mitjana

x = Planeta més lluny de l’estrella

y = Planeta més a prop de l’estrella

Per tant, el planeta y està a β vegades més a prop de l’estrella que el planeta x i va α

vegades més ràpid.

A partir d’aquestes dades podem comprovar que:


22

6. KEPLER-444

Kepler-444 és una estrella taronja nana que es troba en la seqüència principal i el seu

tipus espectral és K0. Va ser descoberta per el Telescopi Espacial Kepler el 2 de

febrer del 2011. La missió va ser llançada al

2009 per la NASA i consta d’un satèl·lit

artificial encarregat de localitzar planetes

similars a la Terra orbitant estrelles similars

al nostre Sol en zona habitable. L’objectiu de

la sonda és observar 150.000 estrelles i

analitzar la seva brillantor per detectar el

trànsit de possibles plantes. Per poder-ho fer

consta d’un sensible fotòmetre Schmidt de 0.95m d’obertura i un mirall primari de 1,4

m. La seva càmera CCD, la més potent llançada a l’espai, ofereix una resolució de 95

milions de píxels.

Està ubicada a 117 anys llum en la constel·lació Lyra. Té una edat de 11,23 mil millors

d’anys, és a dir, al voltant del 80% de l’edat de l’univers. Per tant, és el sistema

planetari de dimensió terrestre més antic conegut fins l’actualitat que pertany a l’antiga

població del disc galàctic gruixut.

Pertany a un sistema triple, presenta a més dues estrelles nanes vermelles a una

distancia de 60 UA.

Té una massa de 0,758 masses solars, per tant, és un 25% més petita que el Sol. El

seu radi també és un 25 % més petit que el Sol mesurant 0,752 radi solars.

L’any 2013 van ser descoberts 5 exoplanetes rocosos, l’existència dels quals va ser

confirmada l’any 2015. És un sistema planetari molt compacte i orbiten al voltat de

Kepler-444 amb un període menor de 10 dies. La dimensió d’aquests planetes és

menor a Venus.

La composició química de les estrelles que presenten petits exoplanetes és diversa i

pobres en metalls. Això significa que els petits planetes poden haver-se format en

èpoques anteriors de la historia de l’Univers, quan els metalls eren més escassos.

L’antiguitat de l’estrella deixa la possibilitat de l’existència de vida antiga en la galàxia.

Imatge pertanyent a la NASA


23

A més, pot ajudar a identificar el començament de l’era de la formació del planetes i a

suposar que els primers planetes orbitaven al voltant de les estrelles del disc gruixut.

Característiques del sistema planetari:

PLANETA

Kepler-444b Kepler-444c

Kepler-444d

Kepler-444e

Kepler-444f

T (d) 3,60001053 4,5458841

6,189392

7,743493

9,740488

a (UA) 0,04178

0,04881 0,06

0,0696 0,0811

b (UA) 0,41 0,0464

c (UA)

e

0,16 0,31 0,18 0,1 0,29

V periapsi (Km/s)

148,35 160,9 126,366 108,19 122,3

V aproapsi (Km/s)

107,4 84,77 87,78 88,52 67,33

V mitj. geom. (Km/s)

126,24 116,81 105,34 97,86 90,73

V mitj. aritm. (Km/s)

128,61 122,7 107,078 98,24 95,4

μ (Km3/s2)

ɛ (J) -7968 -6822

-5548

-4788

-3532

h (J)


24

6.1 RELACIÓ ENTRE LA DISTANCIA A L’ESTRELLA I LA

VELOCITAT MITJANA ORBITAL

Els planetes es mouen descrivint òrbites el·líptiques, quasi circulars, al voltant de

l’estrella. Per tant, presenten velocitats diferents a llarg del seu recorregut. Per calcular

la velocitat mitjana agafem el valor del semi eix major de l’òrbita com la distància més

exacta del planeta a l’estrella.

Les distàncies mitjanes de la taula de continuació han estat extretes de la taula de la

pàgina anterior i els càlculs de la velocitat mitjana geomètrica de rotació es poden

trobar en l’annex 3.

PLANETA DISTANCIA A KEPLER-444

(UA)

VELOCITAT MITJANA

GEOMÈTRICA DE ROTACIÓ

(Km/s)

Kepler-444b 0,04178 126,24

Kepler-444c 0,04881 116,81

Kepler-444d 0,06000 105,34

Kepler-444e 0,06960 97,86

Kepler-444f 0,08110 90,73


25

Com es pot observar, a mesura que el valor del semi eix major augmenta, disminueix

la velocitat mitjana geomètrica del planeta. Els càlculs d’aquestes relacions es poden

trobar en l’annex 4.

Kepler-444b Kepler-444c

Kepler-444d Kepler-444e

Kepler-444f

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 VEL

OC

ITA

T M

ITJA

NA

GEO

MÈT

RIC

A

(Km

/s)

DISTÀNCIA A KEPLER-444 (UA)

RELACIÓ DISTÀNCIA A KEPLER-444 I LA VELOCITAT MITJANA GEOMÈTRICA ORBITAL


26

6.2 CONCLUSIONS

He pogut calcular les velocitats aproximades d’aquests exoplanetes que es troben a

milers d’anys llum. Es pot observar com els planetes viatgen a una velocitat molt

superior a la Terra ja que es troben molt més pròxims a la seva estrella i per tant,

tenen uns períodes orbitals molt més curts.

Mitjançant aquests càlculs, que es poden observar en l’apèndix 3, he pogut aprendre

que la velocitat mitjana aritmètica entre les velocitats del periapsisi i de l’aproapsi

correspon quan el radi és igual al semieix menor b. I la velocitat mitjana geomètrica

entre el periapsi i l’apoapsi correspon quan el radi és igual a el semieix major a.

D’altra banda es pot demostrar que la tercera llei de Kepler es compleix en aquest

sistema planetari. Degut a que la és constat. I també com

l’energia orbital és una constant de conservació d’energia.

Mitjançant la segona llei de Kepler, que fa referència a les àrees, he pogut calcular les

àrees de les òrbites. A més, he calculat quantes vegades més tarden els planetes en

recorre la meitat de l’orbita que del periapsi a la distància mitja aritmètica. Aquests

càlculs es poden apreciar en l’annex 3.

Un dels resultats curiosos és que la velocitat en el periapisi del planeta Kepler-444c és

major que en el periapsis de Kepler-444b. Aquest fet també s’observa en Keplr-444f,

planeta que presenta major velocitat que Kepler-444e, que és l’astre anterior. Aquesta

observació es podria explicar pel fet que aquests dos planetes presentin una major

excentricitat que el seu corresponen planeta anterior (les excentricitats es poden

observar en la taula de la pàgina 23). També es pot observar com la velocitat en el

apoapsi de Kepler-444d és major que la de Kepler-444c i la de Kepler 444-e és encara

una mica major que la de Kepler-444d. Aquest fet es podria explicar per la poca

excentricitat d’aquest dos planetes, característica que fa que les òrbites siguin bastant

circulars.

Una altra observació és, que si les òrbites fossin circulars i per tant, es poguessin

calcular sense massa dificultat mitjançant la llei de Gravitació Universal de Newton, els

resultats variarien. Aquests càlculs es poden observar en l’annex 5.

Una el·lipse es pot formar a partir de dues circumferències el radi de les quals són el

semieix major a i el semieix menor b.


27

Passat el periapsi perdria velocitat degut a que la circumferència formada pel radi=a

hauria de perdre velocitat per entrar en l’òrbita de la circumferència formada pel

radi=b. D’altra banda, passat el apoapsi guanyaria més velocitat degut a que la

circumferència formada pel radi=b hauria d’unir-se amb la circumferència formada pel

radi=a.


28

7. INTRODUCCIÓ MARC PRÀCTICA

La part central d’aquest projecte és la part pràctica. En aquests apartats l’objectiu és

reproduir el moviment planetari mitjançant dos experiments i comprovar si es

compleixen o no les lleis de la dinàmica planetària de Kepler i Newton; els experiments

són:

- Estructura circular amb tela de licra

- Antena parabòlica

Es pretén reproduir el dinamisme dels planetes, però dintre d’uns certs límits. Les

òrbites no sortiran iguals ja que en l’espai no hi ha fregament i la gravetat de la Terra

també és un fet a tenir en consideració.


29

Tot i això, la fita és poder observar i analitzar les diferents òrbites que es donen en els

dos experiments i extreure’n totes les conclusions possibles.

Les òrbites obtingudes en els dos experiments, s’obtindran a partir del llançament

d’unes pilotes i “caniques”. Cada llançament presentarà característiques diferents, ja

sigui el pes de la pilota o la seva velocitat inicial.

Per estudiar les òrbites es necessitarà el programa informàtic Tracker, però abans de

traçar el recorregut necessitem un objecte de longitud coneguda com a model de

mesura. Mitjançant l’opció de “vara de calibratge” podem assenyalar l’objecte i la seva

mesura. Hem de tenir en consideració l’alçada en la que es grava el vídeo a l’hora

d’introduir la mesura de l’objecte, ja que és un fet que farà variar la longitud. Aquests

càlculs del dos experiments es troben a l’annex 6.

Vara de calibratge

dels vídeos de

l’estructura circular

amb tela de licra.

Vara de calibratge dels

vídeos de l’antena

parabòlica.


30

Mitjançant l’opció “nova trajectòria”, “massa puntual” del mateix programa, podem

traça el recorregut que segueix la pilota.

El programa també ens calcularà els períodes de les diverses el·lipses que es formin.

Com es pot observar en la imatge, mitjançant els punts seleccionats el programa agafa

les coordenades x , y i també el temps. Però, hem de tenir en compte el marge d’error

que pugui existir.

Aquest programa ens ofereix un ventall ampli d’opcions com per exemple la velocitat

mitjana en un punt, el radi, els vectors de força i acceleració, entre d’altres coses.

Aquestes eines seran molt útils a l’hora d’analitzar els diferents aspectes de les

òrbites.


31

Per dibuixar les òrbites ens serà de gran utilitat el GeoGebra. Exportem els punts

seleccionats en el Tracker i mitjançant l’opció anomenada “ cònica per cinc punts”

dibuixem aproximadament l’el·lipse. Formem una el·lipse perfecta a diferència de

l’òrbita realitzada per la pilota. En un treball posterior, seria interesant comprovar

quines el·lipses es formarien al seleccionar uns altres punts.

Aquest programa ens permetrà centrar i girar els eixos de l’el·lipse. També podrem

obtenir la longitud del semieix major i la del semieix menor.


32

8. ESTRUCTURA CIRCULAR AMB TELA DE LICRA

8.1. INTRODUCCIÓ

Vaig decidir construir una estructura circular amb una tela de licra per poder simular

l’espai. El material que vaig necessitar va ser:

- 7 tubs de PVC de 3 cm de diàmetre i 0,92 d’allargada

- 14 connectors de T de 3 cm

- 14 tubs de PVC de 2 cm de diàmetre i 0,86 d’allargada

- 2 teles de licra de 2,5 x 1,5

Un cop construïda, l’estructura feia uns 2 metres de diàmetre. Per poder gravar tota la

superfície vaig haver de penjar el mòbil amb una pal sobre un altell. Aquest fet va

Esquelet de l’estructura

Estructura muntada


33

suposar que les gravacions d’un dia es fessin totes seguides i després a casa hagués

de tallar els vídeos individualment, acció que va necessitar força temps.

Primer vaig decidir que el pes que simularia ser una estrella seria una bossa de

llegums, però finalment vaig poder aconseguir dues boles de petaca de 560,2 grams

cada una. Les bosses de llegums al no ser circulars no deformaven la tela com ho fan

les estrelles amb l’espai-temps, per aquesta raó les òrbites resultants eren diferents.

Les boles que vaig escollir per llançar van ser:

- 1 pilota de tennis de 57,1 g

- 1 pilota de ping-pong de 2,5 g

- 1 “canica” gran de 20,4 g

- 1 “canica” petita de 4,9 g

- 1 piloteta blanca de petaca 5,7 g

- 1 piloteta groga de petaca 11,6 g

Vaig poder comprovar que les “caniques” no es podien observar nítidament en les

gravacions així que vaig haver de prescindir d’elles en aquest experiment.

Per llançar-les i poder calcular la seva velocitat inicial vaig agafar mig tub subjectat

amb una escala.

Un cop disposava de tot els materials necessaris, em vaig decidir a fer diverses

observacions: primerament volia observar les el·lipses formades amb una pilota de

petaca al mig o amb dos juntes i desprès amb les dues pilotes separades.


34

8.2. RELACIÓ PERÍODE AMB EL SEMI EIX MAJOR

8.2.1. TAULES DELS PERIODES

A continuació hi ha representats els resultats de les pilotes analitzades. Totes elles

presenten la mateixa velocitat inicial, 2 m/s, i el mateix centre de massa, dues pilotes

de petaca.

La velocitat inicial ha sigut calculada

mitjançant l’alçada de la rampa:

r = 0,57 m

h = 0,2 m

d = 0,5338 m

El semieix major ha sigut trobat amb el programa informàtic Geogebra.

Com es pot observar, el mateix programa ens indica quant mesura el segment a en

centímetres.

El període (T) ha sigut extret del Tracker com es mostra en introducció del marc

pràctic.


35

La constant de Kepler (K) ha sigut calculada mitjançant el semieix major i el període de

cada el·lipse. Aquests càlculs són observables en l’annex 7.

Taules de resultats:

PILOTA GROGA (Les el·lipse d’aquesta pilota es poden observar en l’annex 8)

PILOTA BLANCA

a (m) T(s) K

I 0,7337 2,83 20,28

II 0,5927 2,43 28,36

III 0,4953 2,36 45,84

IV 0,4201 2,166 63,28

V 0,3381 1,833 86,93

VI 0,2847 1,733 130,15

VII 0,2422 1,433 145,53

VIII 0,1687 1,167 283,66

IX 0,154 1,133 351,48

X 0,1281 0,967 444,84

XI 0,0918 0,833 896,94

EL·LIPSE a (m) T (s) K

I 0,7757 2,803 16,83

II 0,6114 2,469 26,67

III 0,5041 2,335 42,56

IV 0,3584 1,868 75,8

V 0,2934 1,801 128,42

VI 0,2565 1,569 155,88

VII 0,2028 1,368 224,37

VIII 0,1745 1,235 287,04

IX 0,0958 0,868 856,93


36

PILOTA BLANCA (II)

PILOTA GROGA (II)

PILOTA DE PING- PONG


I 0,6642 3,533 42,64

II 0,4396 2,467 71,64

III 0,2985 2,133 171,06

IV 0,249 1,867 225,78

V 0,1872 1,466 327,6

VI 0,1463 1,333 567,45


I 0,7686 2,81 17,44

II 0,5504 2,351 33,15

III 0,4684 2,233 48,52

IV 0,415 2,2 67,72

V 0,2581 1,634 155,29

VI 0,2085 1,4 216,24

VII 0,1174 0,967 577,89


I 0,7568 2,833 18,52

II 0,5752 2,4 20,27

III 0,4785 2,3 48,28

IV 0,4071 2,133 67,43

V 0,3167 1,766 98,18

VI 0,2752 1,6 122,83

VII 0,2272 1,334 151,54

VIII 0,1922 1,333 250,27

IX 0,1143 1,1 810,3


37

PILOTA DE TENNIS


I 0,712 2,837 22,3

II 0,4758 2,303 49,24

III 0,3689 2,136 90,88

8.2.2. CONCLUSIONS

Com es pot observar la constant de Kepler de la tercera llei no es compleix. Això és

degut a que les pilotes no es queden orbitant en la mateixa el·lipse, sinó que van

caient progressivament sobre la massa central al perdre energia a causa de la fricció.

Produeixen diverses el·lipses que roten en diferents plans creuant-se entre si.

El període va disminuint a la vegada que també ho fa el semieix major. Però, no

segueix cap pauta, hi ha vegades que redueix molt el semieix major en poc temps i

d’altres a la inversa.

Es pot constatar que la primera el·lipse produïda per cada pilota és molt semblant: el

semieix major està al voltant dels 75 cm, el període al 2,8 segons i la constant de

Kepler extreta d’aquestes dades és aproximadament 20.

Els períodes i els semieixos de les diferents pilotes disminueixen de manera molt

similar, variant d’algun segon o algun centímetre. Però aquestes petites variacions fan

que les constants d’aquestes el·lipse siguin diferents.


38

8.3. FORÇA I ACCELERACIÓ CENTRÍPETA

8.3.1. INTRODUCCIÓ

Mitjançant el Tracker s’ha pogut verificar que la força i acceleració centrípeta es

dirigeixen al centre de masses. Per tant, el causant del moviment en òrbites

el·líptiques és la força centrípeta. Aquesta força va variant al llarg de l’el·lipse ja que

no és un moviment uniforme, sinó que presenta una acceleració.

A continuació, es presenta l’analitzi de la força i de l’acceleració produïdes per dues

pilotes: la pilota blanca de petaca i la pilota de tennis.

La massa central dels dos sistemes són dues pilotes de petaca i la velocitat inicial de

les pilotes és de 2 m/s. Càlcul sobre la velocitat inicial en la pàgina 34.

En la imatge es pot observar com els vectors

de la força es dirigeixen a la massa central. (No

hem de tenir en compte els vectors que no es

dirigeixen al centre de massa ja que tot

programa té els seus errors i limitacions).


39

8.3.2. PILOTA BLANCA DE PETACA

En aquest gràfic velocitat – temps es pot observar com la velocitat augmenta i

disminueix contínuament. Cada màxim de velocitat correspon al periapsi de l’el·lipse i

per tant, es troba més a prop de la massa central. El mínims de velocitat corresponen

a l’apoapsi.

Cal descartar, els punts anòmals en el segon 9 i 12. La diferència de velocitat entre

aquests punts i els seus anteriors i posteriors ens indica que segurament és un error

del programa Tracker.

S’ha pogut comprovar que els màxims de velocitat corresponen amb el radi més petit i

els mínims amb el radi més gran. Aquesta observació es pot relacionar amb la segona

llei de Kepler ja que la seva velocitat és menor quan més lluny de la massa central que

quan està més a prop. Però, s’hauria de veure si la llei pot ser aplicable calculant si el

radi vector que uneix la pilota amb la massa central escombra àrees iguals en temps

iguals.


40

En aquesta taula venen representats els càlculs sobre la força i acceleració centrípeta

que podrem observar a l’annex número 9.

TEMPS(t) RADI (m) VELOCITAT(m/s) Fc (N)

1 0,72 2 5,56

1,467 0,417 3,77 34,08

2,5 0,98 2,598 6,89

3,567 0,37 3,61 35,22

4,4 0,738 2,73 10,1

5,367 0,297 3,47 40,54

6,3 0,63 2,8 12,44

7,333 0,27 3,386 42,46

8,2 0,57 2,38 9,94

9,033 0,179 3,46 66,88

9,833 0,44 2,548 14,76

10,5 0,21 3,12 46,35

11,3 0,39 2,6 17,33

12 0,13 3,22 79,76

12,567 0,33 2,377 17,12

13,2 0,125 3,065 75,15

13,733 0,289 2,57 22,85

14,333 0,118 3,137 83,4

14,9 0,22 2,327 24,61

15,333 0,09 3 100

15,833 0,208 2,61 32,75

16,4 0,09 2,99 99,33

16,833 0,16 2,41 36,3

17,167 0,09 2,867 91,33

17,6 0,146 2,65 48,1

18,1 0,079 2,84 102,1

18,433 0,11 2,43 53,68

18,767 0,073 2,69 99,12

19,133 0,115 2,479 53,44

19,4 0,066 2,71 111,27


41

Es pot observar que la força i l’acceleració centrípeta tant de periapsi com de l’apoapsi

va augmentant progressivament a mesura que el radi disminueix. Llavors, afirmem que

la força i l’acceleració centrípeta augmenten al disminuir la distància.

També es pot constatar que es produeixen tres periapsis amb un radi de 0,09 m.

8.3.3. PILOTA DE TENNIS

En el gràfic de continuació de velocitat – temps es pot observar com la velocitat oscil·la

de la mateixa manera que el gràfic anterior de la pilota blanca, amb la diferència que

aquest cop es produeixen menys el·lipses.

Com es pot observar es mostren dos punts anòmals a descartar entre el segons 1 i

1,5; produïts per un error del programa.

També es pot verificar que els màxims de velocitats corresponen amb el radi més petit

i els mínims amb el radi més gran.


42

A continuació, ve representada la taula sobre els resultats de força i acceleració,

càlculs que es troben a l’annex 10.

En el segon 8,475 la pilota de tennis frega la massa central, fet que fa que es desviï

una mica de la seva trajectòria. L’última dada exposada en aquesta taula és just abans

de precipitar-se completament.

TEMPS(t) RADI (m) VELOCITAT(m/s) Fc (N) ac (m/s^2)

0 0,731 2 5,47

1,335 0,459 3,58 1,59 27,92

2,336 0,941 2,555 6,94

3,437 0,23 3,65 3,3 57,92

4,338 0,64 2,44 9,3

5,105 0,31 3,3 2,04 35,77

6,34 0,49 2,54 13,17

7,107 0,17 3,24 3,53 61,75

7,774 0,4 2,27 12,88

8,408 0,12 3,17 4,78 83,74

8,842 0,19 2,073 1,29 22,62

9,176 0,081 2,7 5,139 90

Es pot observar que la força i l’acceleració augmenten quan disminueix la distància.


43

A continuació hi ha representada la gràfica sobre la variació de la força centrípeta al

llarg del temps:

La gràfica d’acceleració centrípeta té el mateix perfil, però amb les dades variades.

Això és degut a que la fórmula de la força és la mateixa que la de l’acceleració

multiplicada per la massa de la pilota.

8.3.4. CONCLUSIÓ

Mitjançant els càlculs trobats en l’annex 11 i 12 sobre l’acceleració, calculada tenint en

compte la variació de velocitat del recorregut de les dues pilotes analitzades, es pot

afirmar que l’acceleració en els dos casos oscil·la al voltat de 1 , sense tenir en

compte alguna petita excepció. Aquesta acceleració pot ser positiva o negativa,

depenen de si el recorregut és del periapsi a l‘apoapsi de l’el·lipse o a la inversa.

En conclusió, es pot afirmar que aquesta acceleració és una propietat característica

d’aquest centre de massa i independent al pes de la pilota que hi orbita al voltant.

Al ser òrbites el·líptiques, s’ha pogut comprovar que la força i acceleració centrípeta no

són constants ja que depèn de la distància a la massa central. Amb les dades

analitzades hem pogut comprovar que l’acceleració és positiva de l’apoapsi al periapsi

i negativa del revés.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

TEMPS

FOR

ÇA

CEN

TRÍP

ETA

(N

)

VARIACIONS DE LA FORÇA CENTRÍPETA EN FUNCIÓ DEL TEMPS


44

8.4. ÒRBITES DE MAJOR EXCENTRICITAT

8.4.1. INTRODUCCIÓ

En l’elaboració d’aquest experiment es va donar el cas que algunes de les pilotes

llançades sortien de la tela a mitjans de la primera el·lipse. Aquest fet es deu a la

inclinació de la rampa, el sentit de l’orientació, la massa central o la massa de la pilota

llançada.

L’esdeveniment fa recordar al recorregut que traça un cometa en el cel. El cometa

presenta quatre possibilitats d’òrbita: circular, el·líptica, parabòlica i hiperbòlica. En

aquest apartat l’objectiu és analitzar aquests casos i especificar quina de les opcions

pertany.

8.4.2. PRIMERA PILOTA ANALITZADA

La primera pilota analitzada és la pilota blanca de petaca i la massa central de la tela

està formada per dues pilotes de petaca.

Mitjançant els càlculs trobats en l’annex 13.1 podem afirmar que si el recorregut de la

pilota s’hagués completat, s’hauria format una el·lipse d’excentricitat 0,31. El problema

és que l’estructura era massa petita per poder-la realitzar completa.

L’energia orbital calculada també ens determina la forma de l’òrbita. Al tenir una

energia menor de 0, es pot verificar que és una el·lipse.

L’el·lipse que s’hagués format presentaria

els següents trets característics:

a = 1,161m

b = 1,1019 m

c = 0,3657 m


45

8.4.3. SEGONA PILOTA ANALITZADA

La segona pilota analitzada és la pilota groga de petaca i la massa central de la tela

està formada per una pilota de petaca, fet que fa que la força gravitatòria d’atracció

entre els dos cossos sigui menor.

Mitjançant els càlculs de l’apèndix 13.2 podem verificar que s’hagués produït una

el·lipse d’excentricitat 0,68, per tant una òrbita similar a la d’un cometa d’òrbita de

poca excentricitat comparada amb la del cometa Halley que presenta una excentricitat

de 0,967. Tot i això, presenta una excentricitat major que la del cometa Wild 2 amb

una excentricitat del 0,5384.

Com en el cas anterior les propietats característiques d’aquesta òrbita són

incompatibles amb la dimensió de l’estructura. Aquestes propietats són les següents:

a = 1,0947 m

b = 0,7988 m

c = 0,7485 m

8.4.4. TERCERA PILOTA ANALITZADA

La tercera pilota analitzada és la pilota blanca de petaca i la massa central de la tela

està formada per dues pilotes de petaca. A diferència amb el primer cas analitzat, és

que aquesta pilota és llançada des de la mateixa alçada però amb diferent orientació.

La rampa de llançament està lleugerament dirigida cap al marge de l’estructura, per tal

de produir una el·lipse més grossa.


46

Mitjançant els càlculs de l’apèndix 13.3 hem pogut confirmar que l’òrbita que s’hagués

produït també hagués sigut una el·lipse. L’el·lipse produïda presentaria una

excentricitat de 0,67 i les següents

propietats característiques:

a = 1, 9272 m

b = 1, 4376 m

c = 1, 2835 m

8.4.5. CONCLUSIONS

Podem confirmar que en els tres casos diferents es formen òrbites el·líptiques. Tot i

això, els recorreguts que més s’aproximen al dels cometes és el de la segona i tercera

pilota, degut a que presenten una gran excentricitat. Per haver pogut completar

aquestes òrbites s’hagués necessitat una estructura de major diàmetre.


47

8.5. SISTEMA BINARI D’ESTRELLES

8.5.1. MASSA CENTRAL DUES PILOTES DE PETACA

Aquesta part simula un sistema binari, és a dir, un sistema format per dues estrelles en

les quals hi orbiten planetes. El sistema format esta compost un pes de 660,1 grams i

un altre de 695,9 grams separats per 0,77 m mesurats en línia recta.

Les pilotes llançades, en lloc de fer òrbites el·líptiques, orbiten en forma de vuit al

voltant de les dues masses per acabar orbitant al voltant d’una. En els sistemes binaris

reals aquest moviment no es produeix, només existeixen dues òrbites:

- Òrbites de tipus S: l’astre orbita al voltant d’una sola estrella del sistema.

- Òrbita de tipus P: l’astre orbita al voltant de les dues estrelles del sistema.


48

Com es pot observar en les òrbites de la imatge anterior, les òrbites que formen els

vuits van perden alçada amb el temps a causa de la pèrdua d’energia.

La curvatura de l’espai-temps fa que el punt mig de les òrbites es formi una muntanya

com es veu en la imatge de continuació.

Al pujar el desnivell perden velocitat i al baixar per l’altre costat en guanyen. Just a dalt

el vector força canvia de sentit, passa d’estar dirigida a un pes a l’altre. Tot i això, en

els 0,38 cm, aproximadament des de la primera massa, la força gravitacional és nul·la

ja que les forces de les dues masses es contraresten. Els càlculs d’aquesta operació

es poden trobar a l’annex14.

Imatge pertanyent a la pàgina web Sinc.


49

8.5.2. MASSA CENTRAL DUES BOSSES DE LLEGUMS

Abans de tenir dues masses central circulars vaig practicar l’experiment amb dues

bosses de llegums de 1 kg i 0,5 kg i “caniques”. En aquest cas la rampa de llançament

de les pilotes presenta una inclinació i direcció diferent que en l’experiment posterior

amb les dues pilotes de petaca.

En aquesta imatge es pot observar com el vector força canvia de sentit.

Passa de dirigir-se a una massa central a l’altra. Hem de descartar els

vectors erronis que es dirigeixen en altres direccions a causa d’un error

d’anàlisi del Tracker.


50

Les “caniques” segueixen òrbites de tipus P fins que finalment acaben precipitant-se

sobre una massa central. Abans de precipitar-se intenten fer una òrbita en forma de

vuit, però no tenen suficient anergia.

8.5.3. CONCLUSIONS

En aquest experiment hem pogut observar tres tipus d’òrbita diferents: tipus P, tipus S i

en forma de vuit.

Podem firmar que l’òrbita en forma de vuit es produeix en un marge molt estret

d’energia. En el cas de les bosses de llegums la “canica” fa l’intent de fer aquesta

òrbita quan perd l’energia per fer-la de tipus P i en el cas de les pilotes de petaca,

quan la pilota que orbita en forma de vuit perd energia es produeix una òrbita de tipus

S. Es pot afirmar que el sistema binari format és molt inestable degut a la pèrdua

d’anergia.

Com que els planetes no sempre rauen en el mateix lloc en el llarg dels mil·lennis, es

pot arribar a pensar que alguns dels planetes dels sistemes binaris es van trobar

orbitant en forma de vuit fins que van assolir una òrbita més estable ja sigues S o P.

Aquestes observacions ens porten a teories sobre l’evolució dels sistemes solars i de

com s’estabilitzen després de períodes més o menys caòtics.

Recorregut de la pilota analitzat pel Tracker


51

8.6. CONCLUSIÓ GLOBAL DE L’EXPERIMENT

En la construcció de l’estructura, no es va desenvolupar cap problema. Vaig poder

trobar tots els materials necessaris i portar a cosir les dues teles ràpidament. Com

que és una estructura d’uns dos metres de diàmetre vaig construir-la al magatzem

d’un familiar. Per tant, vaig haver de desplaçar-me fins a Bon Pastor cada dia de

gravació i experimentació.

El que va portar més temps va ser la gravació correcta dels vídeos. Primer només

tenia bosses de llegums per fer de massa central i aquestes no deformaven

l’estructura com ho fan els cossos celestes circulars en l’espai. Així que vaig haver

d’anar a comprar un joc de petaca. Les “caniques” amb les que havia realitzat els

primers vídeos eren massa petites i d’un color semblant a la tela perquè el Tracker

les pogués analitzar. Per tant, vaig haver de prescindir d’elles en aquest

experiment i utilitzar les altres pilotes. L’altre problema que vaig tenir amb els

primers vídeos va ser que no vaig tenir en compte l’angle de gravació de la

càmera. D’aquesta manera vaig haver de penjar el mòbil en un pal selfie i aquest a

la vegada en un altre pal a dalt d’un altell, perquè es gravés des de dalt i entrés

tota l’estructura en la gravació. Penjar el mòbil allà a dalt va comportar que no

pugues gravar llançament de pilota per llançament, sinó que tots els vídeos

enregistrats en un dia, estaven en la mateixa gravació i després a casa els vaig

haver de tallar.

A l’hora d’analitzar, el programa Tracker ha resultat de gran ajuda. Gràcies a ell, he

pogut analitzar el recorregut, la velocitat i les forces. Un cop tenia el recorregut

havia de calcular les òrbites que s’hi formaven i aquí vaig tenir un altre problema ja

que les el·lipses que obtenia no estaven centrades a l’eix de coordenades i a més,

estaven inclinades. Les operacions de rotació d’eixos i de centrar l’el·lipse eren

molt llargues i requerien molt de temps. Però, aquest problema el vaig poder

resoldre gràcies al Pep Bujosa que sabia la manera de fer aquestes operacions en

el GeoGebra. D’aquesta manera he pogut realitzar i analitzar moltes el·lipses que

de l’altra manera no hagués tingut temps suficient per fer-ho.

Tot i aquests inconvenients he pogut realitzar l’experiment amb èxit. Com ja

suposava, la dinàmica de les pilotes no és igual a la dels planetes. El fregament fa

que perdin energia, és a dir, que no es mantinguin en una òrbita estable i per tant,

la costant de Kepler no es compleix. A més hem de tenir en compte la influència de


52

la gravetat terrestre. Però, he pogut analitzar les forces i velocitats canviants que

es donen en els planetes i com la forma de l’el·lipse és un fet important.


53

9. ANTENA PARABÒLICA

9.1. INTRODUCCIÓ

L’objectiu d’aquest experiment és analitzar les òrbites el·líptiques de les “caniques i les

pilotes” en la superfície d’una antena parabòlica de 68 cm de llarg i 63 cm d’ample. La

rampa des d’on són llançats els cossos és un tub de cartó de paper de cuina recolzat

en uns llibres. Al variar l’alçada pot variar la velocitat inicial.

Per poder dur a terme la gravació vaig penjar el mòbil amb un pal sobre una escala.


54

9.2. EL PERIODE I EL SEMIEX MAJOR

A continuació es presenten tres taules sobre la relació del semieix major amb el

període de tres llançaments diferents:

En aquest cas el període s’ha extret del Tracker i el semieix major del GeoGebra com

en l’experiment anterior.

“CANICA GRAN”

PILOTA GROGA DE PETACA

EL·LIPSE PERIODE (T) SEMIEIX MAJOR (a)

I 2,28 0,2507

II 2,1 0,104

III 2,1 0,1741

IV 2,22 0,1333

V 2,341 0,1032

VI 2,34 0,0871

VII 2,161 0,0644

VIII 1,86 0,0472

IX 1,62 0,0327

EL·LIPSE PERIODE (T) SEMIEIX MAJOR (a)

I 2,28 0,2704

II 2,22 0,2568

III 2,101 0,2304

IV 2,221 0,2329

V 2,22 0,1949

VI 2,22 0,1714

VII 2,237 0,1596

VIII 2,22 0,1386

IX 2,22 0,1247

X 2,101 0,1067

XI 1,68 0,0697

XII 2,04 0,0717

XIII 2,581 0,061

XIV 2,281 0,049


55

“CANICA PETITA”

EL·LIPSES PERIODE (T) SEMIEIX MAJOR (a)

I 2,34 0,2603

II 2,28 0,2278

III 1,891 0,1694

IV 2,22 0,1481

V 2,22 0,1079

VI 2,341 0,0758

VII 2,52 0,0412

Com es pot observar en les diferents taules el semieix major va disminuint

progressivament, però el període no. Trobem molts períodes de 2,2 segons aproximats

i d’altra banda n’hi ha que en canvi de disminuir, augmenten.

9.3. REPRESENTACIÓ DE LA FORMA PARABÒLICA

DE L’ANTENA I LES OFRCES QUE ACTUEN

SOBRE LA PILOTA


56

9.4. FÒRMULA DEL PERÍODE


57

Considerem que la fricció és pràcticament nul·la:

Si fem

9.5. COMPROVACIÓ DE LA FÒRMULA DEL

PERÍODE

A continuació es posa en pràctica la fórmula calculada algebraicament amb les dades

de l’experiment per a comprovar la seva afectivitat.

Hem de tenir en compte que

Es pot observar que

T només depèn de

la forma de l‘antena.


58

9.5.1. Anàlisi de la fórmula on

El període que es manté constant és de 2,2 segons, per tant, el resultat pertany al

mateix ordre de magnitud, però té un 40 % d’error . És a dir, aquesta fórmula no és

viable.

9.5.2. Anàlisi de la fórmula completa:

Suposem com a coeficient de fricció i com a radi

No es pot fer una arrel negativa, així que no és possible. Tot i això, es pot donar que el

vector resistència canvi de sentit. Aquest fet es podria donar a causa d’una velocitat

més gran de la pilota. D’aquesta manera l’esquema de forces seria el següent:

Seguint aquest esquema la fórmula quedaria de la següent manera:


59

El resultat de 2,3 segons presenta un error mínim del 3,5 % respecte a 2,22 segons

dels períodes de les òrbites observades. Per tant, podríem donar per vàlida aquesta

fórmula, o com a mínim com a possible.

9.6. CONCLUSIÓ GENERAL DE L’EXPERIMENT

Les pilotes en aquesta superfície no es comporten com ho fan els planetes a l’espai.

Els planetes presenten el període i el semieix major estables, en canvi, les pilotes de

l’experiment, tot i mantenir algunes el·lipses amb un període constat, els seus

semieixos majors no ho són, sinó que van disminuint.

En la superfície no hi ha una massa central que simuli una estrella, sinó que es té en

compte la curvatura de l’antena.

Les pilotes presenten certes característiques en el seu moviment. Primer, presenten

el·lipses on el període té la mateixa duració. La segona característica són els canvis

de sentit de les el·lipses que podria ser causa del moviment de rotació de la pilota

sobre si mateixa.

De les observacions hem pogut extreure la fórmula del període que depèn del radi, del

quocient de fricció i de l’obertura de l’antena. Aquesta fórmula ha sigut comprovada

amb les dades de l’experiment. En canvi, en la fórmula de quan la fricció és nul·la,

mitjançant la comprovació amb les dades experimentals ha sigut descartada.

Tot i ser diferent la fórmula trobada a la constant de Kepler, presenta algunes

expressions comunes: i .


60

10. CONCLUSIONS FINAL

Un cop acabat aquest treball, puc verificar que he aprés i he tret moltes més

conclusions de les que m’havia imaginat a l’inici. En un principi no tenia del tot clar els

objectius marcats ni tampoc si eren assolibles.

A mesura que anava avançant el treball, també creixia el meu interès i inquietud per el

tema i per tant, el nombre d’objectius augmentava.

Analitzar les òrbites del planetes de Kepler-444 i trobar la velocitat de cada planeta en

diferents punts de la seva òrbita el·líptica, m’ha permès demostrar que els planetes no

mantenen una velocitat constant, sinó que s’acceleren cap al periapsi assolint la seva

velocitat màxima i desacceleren cap l’apoapsi assolint la seva velocitat mínima. Al

calcular la seva distància i velocitat en aquests dos punts, he arribat a la conclusió que

la distància mitjana aritmètica correspon quan el seu radi és igual al semieix major (a) i

la distància mitjana geomètrica al seu semieix menor (b). En canvi, la velocitat mitjana

aritmètica, correspon quan el seu radi és el semieix menor (b) i la velocitat mitjana

geomètrica al seu semieix major (a). Vaig passar uns dies de força confusió fins que

finalment, vaig arribar a aquesta conclusió.

Analitzar també les òrbites com si fossin circulars, em va permetre veure que l’el·lipse

està formada per dues circumferències, el radi de les qual és el semieix major i el

semieix menor. D’aquesta manera al passar el periapsi de l’el·lipse la velocitat

disminueix per poder entrar en la circumferència de radi b i al passar l’apoapsi

augmenta per entrar en la circumferència de radi a.

Resumint, en l’estudi de la dinàmica d’aquests planetes he pogut posar en pràctica

sobre el paper les lleis de Kepler i Newton. A més, pensar que estava calculant les

òrbites d’uns planetes que es troben a milers anys llum realment m’emocionava.

El marc pràctic em va permetre posar en pràctica els coneixements obtinguts

mitjançant dos experiments: el de l’estructura circular amb tela de licra i el de l’antena

parabòlica. Al principi del primer experiment, la part central d’aquest treball, tenia certs

dubtes sobre el que podria obtenir. Tenia clar que no podria reproduir el moviment

planetari a causa de la fricció que comporta una pèrdua d’energia que fa que les

òrbites no siguin constants.

Tot i no poder extreure una llei per estudiar el període he pogut treure moltes altres

conclusions. Un cop solucionats tots els problemes per poder gravar el vídeo, vaig


61

gravar diferents sistemes planetaris: variant la massa central, les pilotes i la velocitat

inicial. Al principi no tenia molt clar que podia analitzar del vídeo a part de les òrbites

formades i el seu període. Però, un cop em vaig posar a analitzar-los em van sortir

noves qüestions que em van portar a analitzar nous aspectes del moviment. A

l’analitzar la força i l’acceleració centrípeta vaig comprovar que els vectors d’aquestes

dues magnituds van dirigits cap al centre de massa. També vaig arribar a la conclusió

que cada sistema presenta una acceleració pròpia i característica d’ell. A més a més,

vaig estudiar els sistemes binaris i les diferent òrbites que es poden donar en ells. Amb

aquest apartat vaig concloure que les òrbites en forma de vuit produïdes a l’experiment

es produïen en un marge molt estret d’energia ja que al perdre energia es convertien

en òrbites de tipus S. I les òrbites de tipus P feien l’intent de l’òrbita en vuit abans de

precipitar-se contra una massa central. En l’Univers es produeixen òrbites P i S, però

es podria donar el cas que en un principi, alguns planetes orbitessin en forma de vuit

fins a estabilitzar-se energèticament.

Al principi no tenia res pensat per les pilotes que sobresortien de l’estructura, fins que

se’m va ocorre la idea d’analitzar el recorregut relacionant-lo amb les òrbites dels

cometes. Per tant, vaig haver de comprovar quin tipus d’òrbita s’hagués produït en una

estructura més gran. Vaig arribar a la conclusió que eren òrbites el·líptiques amb gran

excentricitat descartant els altres tipus d’òrbita que presenten els cometes.

Amb l’altre experiment, el de l’antena parabòlica, vaig poder analitzar les òrbites que

es formaven en una estructura diferent. Aquest cop no hi havia una massa central,

sinó la pròpia curvatura de l’antena. Analitzant les òrbites que es formaven vaig poder

presenciar que hi havia certes el·lipses amb el mateix període, però presentaven

diferent semieix major.

Algebraicament, amb l’ajuda del meu tutor, es va elaborar una fórmula per el període i

d’aquesta es va extreure una altra, però sense el quocient de fricció per explicar els

períodes constants. Més tard, mitjançant les dades extretes de l’experiment es va

poder descartar la fórmula sense el quocient de fricció ja que donava un marge d’error

del 40 %. La fórmula completa en canvi va donar resultats bastant similars. Tot i això,

s’ha de tenir en compte que el radi és aproximat i el quocient de fricció no ha estat

calculat sinó suposat.

Per acabar, estic molt satisfeta del treball realitzat, els resultats han sigut molt millors

dels que m’esperava al començament. Els tres mesos de realització pràctica han donat

molts resultats, però el tema del treball dóna molt més per treballar i estudiar.


62

En un futur m’agradaria poder estudiar la curvatura de l‘espai-temps de la teoria de la

relativitat general d’Einstein per poder analitzar l’estructura circular de licra des d’un

altre punt de vista. En la mateixa estructura, també m’agradaria reproduir l’energia

fosca i estudiar aquest tema.

En l’altre experiment, m’agradaria acabar de verificar la fórmula del període mitjançant

dades més exactes. I també poder calcular el quocient de fricció de manera precisa

mitjançant la pèrdua d’energia. I animar-me a reproduir l’experiment en altres

superfícies.

Però, tot això, ho deixo per més endavant quan els meus coneixements i habilitats em

permetin fer-ho.


63

11. AGRAÏMENTS

Primer de tot, vull agrair al meu tutor, Roger Sempere, tota l’ajuda que m’ha prestat.

Apartats d’aquests treball no s’haguessin pogut realitzar sense la seva ajuda. I donar-li

les gràcies sobretot per fer-me veure el gran potencial que presenta aquest tema

d’estudi i l’apassionant que pot ser la física.

M’agradaria donar les gràcies a la meva professora de matemàtiques, Montse Fargas,

que em va facilitar material per estudiar les el·lipses. I també a un altre professor de

matemàtiques, Pep Bujosa, per facilitar-me la feina a l’ensenyar-me a rotar els eixos i

centrar l’el·lipse amb el GeoGebra.

Per últim, també m’agradaria agrair a la meva família tot el suport que m’han

demostrat i en especial al Joe Vai, qui em va ajudar a construir l’estructura circular de

licra i em va deixar el seu magatzem per poder realitzar l’experiment.


64

12. WEBGRAFIA

Wikipedia: Johannes Kepler. [en linia]. Consulta: 3/08/16. Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

Wikipedia: Tycho Brahe. [en linia]. Consulta: 3/08/16. Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Tycho_Brahe

Wikipedia: Leyes de Kepler. [en linia]. Consulta: 4/08/16. Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kepler

De astrónomos a astronaves: Las tres leyes de Kepler del movimiento planetario [en

linia]. Consulta: 4/08/16. Disponible en: http://www.phy6.org/stargaze/Mkepl3laws.htm

Wikipedia: Isaac Newton. [en linia]. Consulta: 6/08/16. Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

Wikipedia: Aberración cromática. [en linia]. Consulta: 6/08/16. Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Aberraci%C3%B3n_crom%C3%A1tica

Wikipedia: Leyes de Newton. [en linia]. Consulta: 7/08/16. Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton

De astrónomos a astronaves: Teoria e la Gravitación Universa de Newton[en linia].

Consulta: 9/08/16. Disponible en: http://www.phy6.org/stargaze/Mgravity.htm

Wikipedia: Excentricitat. [en linia]. Consulta: 13/08/16. Disponible en:

https://ca.wikipedia.org/wiki/Excentricitat

Wikipedia: Kepler-444. [en linia]. Consulta: 18/08/16. Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Kepler-444

Dan Burns:.SpacetimeSimulator HowTo. [Arxiu de Vídeo]. Consulta:22/07/16.

Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=2JOf1ub9US0&feature=youtu.be

Apbiolghs:Gravity Visualized. [Arxiu de Vídeo]. Consulta:22/07/16. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=MTY1Kje0yLg&feature=youtu.be

BIBLIOGRAFIA

FERNÁNDEZ CASTRO, Telmo: Historias del Universo. Madrid. Ed. Espasa, 1997.

https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

https://es.wikipedia.org/wiki/Tycho_Brahe

https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kepler

http://www.phy6.org/stargaze/Mkepl3laws.htm

https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

https://es.wikipedia.org/wiki/Aberraci%C3%B3n_crom%C3%A1tica

https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton

http://www.phy6.org/stargaze/Mgravity.htm

https://ca.wikipedia.org/wiki/Excentricitat

https://es.wikipedia.org/wiki/Kepler-444

https://www.youtube.com/watch?v=2JOf1ub9US0&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=MTY1Kje0yLg&feature=youtu.be


65

ANNEX

1. Tycho Brahe:

Tycgo Brahe va néixer el 14 de desembre a Escania i va morir el 24 d’octubre a

Praga. Va ser un astrònom danès considerat l’observador més important del cel abans

de la invenció del telescopi per Galileu.

La seva gran obra va ser elaborar i millorar les taules de predicció ja existents. Va

desenvolupar nous instruments científics per portar-ho a terme i va poder realitzar un

catàleg de més de 1000 estrelles. Aquestes mesures tan exactes li va permetre

demostrar que els cometes no provenien de la Terra.

Aquest conjunt d’observacions van ser heretades per el el seu ajudant, Johannes

Kepler, les quals li van permetre una anys més tard, elaborar les llei de Kepler.

Brahe defensava un model planetari diferent al que tenim en l’actualitat, que va servir

com a pas entre el model geocèntric i el heliocèntric. Ell defensava que la Terra estava

quieta i el Sol i la Lluna giraven al seu voltant; però a la vegada, els altres planetes

giraven al voltant del Sol. Abans de morir Tycho va suplicar a Kepler que elabores una

reforma de les teories astronòmiques basant-se en el seu sistema planetari, però el

seu ajudant era defensor del model heliocèntric de Copèrnic.

2. Aberració cromàtica:

Defecte en la imatge formada per una lent o per un mirall esfèrics per el qual els raigs

de llum no convergen a un únic punt, sinó a una sèrie de punts, les distancies dels

quals a la lent o al mirall son més petites per els raigs de llum més pròxims a la

perifèria de la lent o del mirall.

Aquest efecte feia que en els antics telescopis de lents es veiessin la imatge d’un

planeta o una estrella com si fos una borrosa taca de colors.


66

3. Òrbites els planetes de Kepler-444

KEPLER-444b


67

PERAPSIS

APOAPSIS


68

VELOCITAT MITJANA ARITMÈTICA

VELOCITAT MITJANA GEOMÈTRICA

ÀREA

(Àrea del triangle format quan el radi=a i per tant, és la distància mitjana del planeta a

l’estrella.)


69

Tarda 2,23 vegades més en arribar a l’Afeli que a la distancia mitjana quan el radi és =

a

KEPLER-444c


70

PERIAPSIS

APOAPSIS


71


VELOCITAT MITJA ARITMÈTICA

ÀREA


l’estrella.)


72


a.

KEPLER-444d


73

PERAPSIS


74

APOAPSIS




75

ÀREA


l’estrella.)


a.


76

KEPLER-444e


77

PERIAPSIS

APOAPSIS


78


VELOCITAT MITJA ARITMÈTICA

ÀREA


l’estrella.)


79


a

KEPLER-444f


80

PERAPSIS

APOAPSIS


81




82

ÀREA


l’estrella.)


a.


83

4. Relació entre la velocitat mitjana i la distància dels planetes de Kepler-444

Kepler-444b i Kepler-444c

Distancia Kepler-444c / Kepler-444b

Velocitat Kepler-444b/ Kepler-444c

1,08² = 1,168

Kepler-444b i Kepler-444d

Distancia Kepler-444d / Kepler-444b

Velocitat Kepler-444b/ Kepler-444d

1,1984² = 1,436

Kepler-444b i Kepler-444e

Distancia Kepler-444e / Kepler-444b


84

Velocitat Kepler-444b/ Kepler-444e

1,29² = 1,66

Keplr-44b i Kepler-444f

Distancia Kepler-444f / Kepler-444b

Velocitat Kepler-444b/ Kepler-444f

1,39² = 1,94

5. Òrbites circulars dels planetes Kepler-444


85

KEPLER-444b

PERIAPSIS

APOAPSIS

KEPELR-444c


86

PERIAPSIS

APOAPSIS

KEPLER-444d

PERIAPSIS

APOAPSIS


87

KEPLER-444e

PERIAPSIS

APOAPSIS

KEPLER-444f


88

PERIAPSIS

APOAPSIS

6. Càlcul de les vares de calibratge


89

Estructura circular amb tela de licra

L’objecte que servirà de model mesura 0,68m i correspon a la base j.

j = 0,68 m

j/2 = 0,34 m

= n

= 0,92

= h = 4,65m

= 3,73m

n = 0,27

2n = 0,27 · 2 = 0,54 m

En el programa Tracker s’ha d’escriure que l’objecte que ens servirà de mesura

fa 0,54 m.

Antena parabòlica


90

L’objecte que servirà de model mesura 0,265m i correspon a la base j.

j = 0,265 m

j/2 = 0,1325

= n

= 0,05 m

= h = 1,37 m

= 1,32m

n = 0,128

2n = 0,128 · 2 = 0,256 m

En el programa Tracker s’ha d’escriure que l’objecte que ens servirà de mesura

fa 0,256 m.

7. Càlcul de la constant de Kepler (K) de les següents pilotes:


91

Pilota groga

El·lipse I:

El·lipse II:

El·lipse III:

El·lipse IV:

El·lipse V:

El·lipse VI:

El·lipse VII:

El·lipse VIII:

El·lipse IX:


92

El·lipse X:

El·lipse XI:

Pilota blanca

El·lipse I:

El·lipse II:

El·lipse III:

El·lipse IV:

El·lipse V:

El·lipse VI:


93

El·lipse VII:

El·lipse VIII:

El·lipse IX:

Pilota blanca (II)

El·lipse I:

El·lipse II:

El·lipse III:

=

El·lipse IV:

El·lipse V:

El·lipse VI:


94

El·lipse VII:

Pilota groga (II)

El·lipse I:

El·lipse II:

El·lipse III:

El·lipse IV:

El·lipse V:

El·lipse VI:

El·lipse VII:


95

El·lipse VIII:

El·lipse IX:

Pilota ping-pong

El·lipse I:

El·lipse II:

El·lipse III:

El·lipse IV:

El·lipse V:

El·lipse VI:


96

Pilota de tennis

El·lipse I:

El·lipse II:

El·lipse III:

8. El·lipses pilota groga


97

Primera el·lipse

Segona el·lipse

Tercera el·lipse


98

Quarta el·lipse

Cinquena el·lipse


99

Sisena

Setena

Vuitena


100

Novena

9. Força i acceleració centrípeta pilota blanca

t = 1

r = 0,72 m

v = 2 m/s

t = 1, 467 s

r = 0,417 m

v = 3,77 m/s


101

t = 2,5

r = 0,98 m

v = 2,598 m/s

t = 3,567 s

r = 0,37 m

v = 3,61 m/s

t = 4,4 s

r = 0,738 m

v = 2,73 m/s


102

t = 5,367 s

r = 0,297 m

v = 3,47 m/s

t = 6,3 s

r = 0,63 m

v = 2,8 m/s

t = 7,333 s

r = 0,27 m

v = 3,386 m/s

t = 8,2 s

r = 0,57 m

v = 2,38 m/s


103

t = 9,033 s

r = 0,179 m

v = 3,46 m/s

t = 9,833 s

r = 0,44 m

v = 2,548 m/s

t = 10,5 s

r = 0,21 m

v = 3,12 m/s


104

t = 11,3

r = 0,39 m

v = 2,6 m/s

t = 12

r = 0,13 m

v = 3,22 m/s

t = 12,567

r = 0,33 m

v = 2,377 m/s

t = 13,2

r = 0,125 m

v = 3,065 m/s


105

t = 13,733s

r = 0,289 m

v = 2,57 m/s

t = 14,333 s

r = 0,118 m

v = 3,137 m/s

t = 14,9 s

r = 0,22 m

v = 2,327 m/s

t = 15,333s

r = 0,09 m

v = 3 m/s


106

t = 15,833 s

r = 0,208 m

v = 2,61 m/s

t = 16,4

r = 0,09 m

v = 2,99 m/s

t = 16,833

r = 0,16 m

v = 2,41 m/s

t = 17,167

r = 0,09 m

v = 2,867 m/s


107

t = 17,6

r = 0,146 m

v = 2,65 m/s

t = 18,1 s

r = 0,079 m

v = 2,84 m/s

t = 18,433 s

r = 0,11 m

v = 2,43 m/s

t = 18,767

r = 0,073 m

v = 2,69 m/s


108

t = 19,133 s

r = 0,115m

v = 2,479 m/s

t = 19,4

r = 0,066 m

v = 2,71 m/s

10. Força i acceleració centrípeta pilota de tennis

vi = 2 m/s

r = 0,731 m


109

t = 1,335 s

r = 0,459 m

v = v + vi = 1,58 + 2 = 3,58 m/s

t = 2,336 s

r = 0,941 m

v = v + vi = 0,555 + 2 = 2,555 m/s

t = 3,437 s

r = 0,23 m

v = v + vi = 1,65 + 2 = 3,65 m/s


110

t = 4,338 s

r = 0,64 m

v = v + vi = 0,44 + 2 = 2,44 m/s

t = 5,105 s

r = 0,31 m

v = v + vi = 1,33 + 2 = 3,33 m/s

t = 6,34 s

r = 0,49 m

v = v + vi = 0,54 + 2 = 2,54 m/s


111

t = 7,107 s

r = 0,17 m

v = v + vi =1,24 + 2 = 3,24 m/s

t = 7,774 s

r = 0,4 m

v = v + vi = 0,27 + 2 = 2,27 m/s

t = 8,408 s

r = 0,12 m

v = v + vi = 1,17 + 2 = 3,17 m/s


112

t = 8,842 s

r = 0,19 m

v= v + vi = 0 ,073 + 2 = 2,073 m/s

t = 9,176 s

r = 0,081 m

v = v + vi = 0,7 + 2 = 2,7 m/s

11. Acceleració pilota blanca


113


114

12. Acceleració pilota de tenis


115


116

13. El·lipses de major excentricitat

13.1. Primera pilota analitzada

Pilota blanca de petaca

Centre de massa = 2 pilotes de petanca

a = 1,161 m

b = 1,1019 m

0,3657 m

13.2. Segona pilota analitzada

Pilota groga de petaca

Centre de massa = 1 pilota de petaca

a = 1,0947 m

b = 0,7988 m

13.3. Tercera pilota analitzada

Pilota blanca de petaca

Centre de massa = 2 pilotes de petaca

a = 1,9272 m

b = 1,4376 m


117

14. Anul·lació del camp gravitatori del sistema binari

En aquest operació he fet servir tots els decimals perquè em pogués donar un punt

exacte.

Documents

Dinàmica del moviment planetari - agora.xtec.catagora.xtec.cat/.../usu342/2016/...DINAMICA-DEL-MOVIMENT-PLANETARI.pdf · Va descobrir que quan el planeta es trobava més a prop del