CAPITULO 1: CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE DINAMICA ESTRUCTURAL

Captulo 1

Consideraciones generales sobre dinmica estructural

Introduccin

El objeto de la dinmica estructural es el anlisis de estructuras bajo cargas dinmicas, es decir cargas que varan en el tiempo. Aunque la mayora de las estructuras pueden disearse considerando slo cargas estticas, hay importantes excepciones que requieren del proyectista la posibilidad de distinguir entre cargas estticas y dinmicas.En realidad, las cargas accidentales o las cargas mviles, a diferencia del peso propio, rara vez son estrictamente estticas porque su aplicacin sobre la estructura requiere de un cierto tiempo que en definitiva debe ser analizado para establecer si se trata de una carga esttica o dinmica. Sin embargo es intuitivamente vlido aceptar que si la magnitud de la fuerza varia en forma suficientemente lenta no causar efectos dinmicos y podr tratarse como esttica.Para determinar si la carga vara en forma lenta o rpida el valor de referencia para comparacin es el periodo natural de la estructura. El periodo natural es el tiempo que tarda la estructura en recorrer un ciclo de vibracin libre, es decir la vibracin que ocurre despus que finaliza la excitacin externa o despus que la carga deja de variar y se mantiene constante. El periodo natural depende de la masa, de la rigidez y de las condiciones de vnculo, todas stas caractersticas intrnsecas o propias de la estructura.El inters en el anlisis de cargas dinmicas ha ido creciendo constantemente en los ltimos tiempos, en parte debido a que el avance en la tecnologa ha hecho posibles diseos ms apropiados, y que las herramientas computacionales actuales permiten hacer con carcter

rutinario clculos que en otra poca eran cuestiones de especialistas reservadas para casos muy especiales o importantes.Adems, actualmente se proyectan estructuras ms audaces (ms grandes, livianas, etc.) que son ms susceptibles a los efectos dinmicos porque son ms flexibles y tienen periodos naturales altos, es decir que son ms sensibles a variaciones de las cargas en el tiempo. Las relaciones entre los desplazamientos y los esfuerzos de una estructura son las mismas ya consideradas en el anlisis esttico, independientemente que la carga sea de tipo esttica o dinmica. Para el anlisis dinmico es necesario introducir dos tipos de fuerzas que no ocurren en el caso esttico: i) Las fuerzas de inercia asociadas la propiedad de inercia de la masa de la estructura y de las componentes o partes no estructurales, y ii) Las fuerzas de disipacin de energa por diversos tipos de mecanismos de friccin (friccin seca, friccin viscosa, friccin seca en uniones estructurales). El anlisis dinmico apunta a determinar en primer trmino los desplazamientos de la estructura en funcin del tiempo, y a partir de ellos determinar los esfuerzos en la forma habitual (barra por barra) propia del mtodo de rigidez tal como se lo ha visto para cargas estticas.

1.1- Fuerzas internas en las estructuras

Las fuerzas internas que actan sobre las componentes de una estructura dependen de los desplazamientos o deformaciones especficas. Cuando se quiere conocer una fuerza en funcin de la deformacin se procede en primer trmino a calcular la deformacin, y luego por medio de la ley de Hooke, se obtienen los esfuerzos.Supngase un proceso de deformacin variable en el tiempo para el cual se cuenta con instantneas fotogrficas de la deformacin de la estructura. Se propone el siguiente interrogante Se pueden determinar las fuerzas elsticas internas en cada punto de la estructura a partir de las deformaciones en cada instante, independientemente del estado de deformacin en el instante anterior o posterior al considerado? La respuesta es AFIRMATIVA, es decir que las fuerzas elsticas slo son dependen de los desplazamientos (y deformaciones) en cada instante, y no de la velocidad o de la aceleracin.Para cada una de esas instantneas para el clculo de los esfuerzos (momento flector, esfuerzo de corte, fuerza axial, y momento torsor) corresponde seguir el mtodo de clculo ya visto para anlisis estructural bajo cargas estticas, es decir que a partir de los desplazamientos y giros de los nudos se calculan las deformaciones especficas (curvatura de flexin, deformacin especfica axial y giro en torsin por unidad de longitud) y se procede a calcular

las fuerzas elsticas internas a travs de las relaciones constitutivas (Ley de Hooke para el caso de materiales linealmente elsticos). La esencia del problema dinmico es evaluar los desplazamientos de la estructura en cada instante del tiempo, y a partir de ellos proceder a determinar los esfuerzos mediante las expresiones de la ley de Hooke o ley constitutiva del material, sin distinguir entre un problema dinmico de otro esttico. En realidad esta aseveracin es una primera aproximacin ya que en alguna medida la velocidad con que se deforma el material o se ensaya una probeta puede modificar en algunos casos al modulo elstico del material, y por ende las tensiones correspondientes para igual valor de las deformaciones. Cuando la velocidad de carga es elevada el modulo elstico tiende a incrementarse por la viscosidad interna del material que no responde en forma instantnea. En el marco del presente curso se considerar que las posibles variaciones del mdulo elstico en funcin de la velocidad de carga es un efecto de segundo orden, es decir que se supone que no vara apreciablemente con la ley de variacin de la carga en funcin del tiempo. De todos modos, el anlisis de la influencia de la velocidad de aplicacin de la carga en el valor del mdulo elstico puede ser expresada en forma aproximada a travs del concepto de amortiguamiento viscoso interno de la estructura introduciendo el concepto de mdulo elstico dinmico.

1.2- Respuesta a cargas variables en el tiempo

El problema central de todo problema dinmico es calcular los desplazamientos (y las respectivas deformaciones) de la estructura bajo un sistema de cargas exteriores variables con

el tiempo

F (t ) . Este tipo de proceso de carga ocurre, por ejemplo, cuando un cuerpo cae sobre

una viga,cuando se levanta desde el suelo un objeto con un puente gra, o cuando un

vehculo circula sobre un puente an cuando el estado del pavimento sea perfecto. En un caso

genrico la amplitud de la carga

F (t ) describe un diagrama como el de la Figura 1.1, que se

considera que es conocida y que constituye un dato del problema.

F (t)

t

Figura 1.1

La valoracin o estimacin de la funcin de carga

F (t ) es en general compleja por la

influencia de mltiples variables involucradas, y en general es necesario recurrir a simplificaciones que permiten aproximar el problema. En el caso de una carga dinmica que resulta de arrojar una bolsa de arena sobre una viga perfectamente elstica (suponiendo que la viga no disipa energa), se produce disipacin de energa en la bolsa, y la intensidad y distribucin de las presiones en el contacto entre la bolsa y la viga requiere un estudio especial cuya solucin dista en general de ser trivial. En la mayora de los distintos tipos de cargas dinmicas propias de las estructuras civiles, la determinacin de la ley de variacin de la carga en funcin del tiempo se basa en datos experimentales que adecuadamente interpretados y analizados, son incorporados a los reglamentos o normas de diseo, tales como el Reglamento INPRES-CIRSOC 103 para diseo sismo-resistente de estructuras, o a los reglamentos paradiseo de puentes carreteros (DNV) o ferroviarios.

Con frecuencia ocurre que la magnitud de

F (t ) depende de la respuesta de la estructura, y

la valoracin de la carga requiere de cierta aproximacin previa a la solucin del problema dinmico. No es lo mismo tirar una bolsa sobre una viga muy rgida que sobre una viga que se deforma bajo la accin del impacto, ya que la presin de contacto podr ser muy diferente para cada segn la flexibilidad de la estructura que afectar el proceso de deceleracin de labolsa, y por ende de la fuerza de interaccin entre la bolsa y la estructura.

Reconociendo que la definicin de

F (t ) presenta dificultades y limitaciones propias de las

aproximaciones necesarias para calcularla, en el desarrollo de las ecuaciones que controlan el

comportamiento dinmico de la estructura se supondr

F (t ) es conocida, y una vez conocida

la respuesta a esa carga exterior, se podr corregir o mejorar la precisin de

F (t ) .

En otros casos, por ejemplo para cargas de muy baja duracin en el tiempo, el efecto de la

carga

F (t ) se puede describir a travs de la velocidad inicial que recibe la estructura como

consecuencia de la carga. En ese caso la velocidad inicial es directamente proporcional al

valor del Impulso total de la carga que se define como el valor de la integral de la funcin de

carga

F (t ) entre el comienzo y final de la carga. Esta clase de cargas dinmicas constituyen las

denominadas Cargas Impulsivas. En esta clase de cargas se encuentran las presiones debidas a una onda expansiva por detonacin de un explosivo; una medida de la intensidad de la carga se puede expresar a travs de la magnitud del impulso que dicha carga produce, y ese impulso se transforma en una velocidad inicial de la zona directamente afectada por la carga. Otro tipo de cargas son las Cargas Oscilatorias caractersticas de procesos vibratorios sostenidos en el tiempo, ya sea en rgimen permanente o en rgimen transitorio, en los que la duracin total de

la carga es mayor o igual al perodo natural del sistema sobre el que acta e involucra varios ciclos de carga. Este tipo de cargas presentan oscilaciones en el tiempo que pueden ser peridicas de frecuencia constante o variable en el tiempo. En esta categora se encuentran las fuerzas dinmicas de tipo armnico, cuyo valor medio en ciclos enteros de carga es nulo. En el Captulo 2 se analizan los efectos de cargas armnicas y los parmetros que las caracterizan.

1.3- Fuerzas de inercia

Imagnese una viga sobre la cual se apoya un recipiente (ambos supuestos sin masa) al que se agrega material (con masa) para analizar qu efectos tiene sobre el comportamiento dinmico. Si el conjunto no tiene masa, y adems no hay fuerzas de disipacin por friccin, la

respuesta instantnea a cada valor de

F (t )

es la misma que en el caso esttico (sin masa y por

lo tanto sin inercia). Es decir que el desplazamiento del sistema U (t )

sigue la variacin de la

carga; U (t )

ser proporcional a

F (t )

y seguir la misma secuencia en el tiempo representada

en la Figura 1.1 para viga.

F (t )

con un cierto un factor de escala relacionado con la rigidez de la

F (t )

U (t )

Figura 1.2

Cuando se introduce la masa, la propiedad de inercia de ella tiende a retrasar la respuesta respecto a la solicitacin exterior. La accin de la carga exterior introduce al sistema energa en forma de trabajo externo como consecuencia de la carga aplicada a travs del desplazamiento que dicha carga provoca, energa que se almacena internamente en dos modalidades: i) Energa de deformacin, y ii) Energa cintica.La masa adquiere velocidad y en este proceso absorbe parte de energa externa que ofrece la carga exterior aplicada. Cuando deja de actuar la carga exterior, el trabajo exterior transferido estar almacenado parcialmente como energa de deformacin y como energa cintica, y en ausencia de friccin interna o externa, la suma de ambas componentes permanecer constante en el tiempo.

En los problemas elsticos bajo cargas dinmicas la energa interna del sistema est constituida por la suma de dos componentes: la energa interna de deformacin

y la energa cintica. Si no hay friccin, el total de la energa externa suministrada por la carga aplicada se transformar en energa interna de deformacin y en energa cintica en proporciones que varan en funcin del tiempo.

La respuesta dinmica puede traer como consecuencia que su valor mximo represente una amplificacin o una reduccin respecto a la que se producira si el sistema no tuviera inercia. En general, para todas las restantes condiciones idnticas, no se puede decir que la respuesta dinmica necesariamente sea mayor que la esttica, es decir que el efecto de la inercia de las masas puede llevar a una amplificacin o a una reduccin de la respuesta respecto al mismo caso sin inercia.

La evaluacin de la respuesta dinmica de un sistema elstico estar asociada fundamentalmente a dos importantes caractersticas dinmicas de la estructura, una de ellas controlada por la relacin entre la inercia y rigidez elstica de las componentes y que se expresa a travs del Perodo Natural T del sistema, o de su inversa, la frecuencia Natural f= 1/T, y la otra asociada a la capacidad de disipacin de energa a travs de fuerzas que se describen en forma genrica como fuerzas de friccin o de amortiguamiento.

1.4- Velocidad de reaccin de una estructura

La velocidad de reaccin de una estructura se define a travs de los periodos naturales de vibracin. La capacidad de responder a una accin externa (inercia) de alguna forma se puede expresar a travs de los llamados periodos naturales de vibracin de la estructura. Supngase que una masa sustentada por un resorte elstico que es apartada de su posicin de equilibrio y luego es liberada. sta comenzar a oscilar alrededor de la posicin de equilibrioinicial con una cierta frecuencia propia f (y periodo T = 1/f ), que permite caracterizar la

capacidad del sistema masa/resorte para seguir la variacin de la carga en el tiempo. Segn la variacin en el tiempo de la funcin de carga con respecto a T se podr establecer si la carga aplicada produce efectos dinmicos o no, y en este ltimo caso se dir que el comportamiento del sistema frente a la carga es esttico. Si el tiempo en el que se introduce la carga es muy pequeo frente al periodo natural se considera que la carga se aplic en forma dinmica. La capacidad de la estructura para reaccionar frente a la carga est directamente asociada al valor del perodo T .

F(t)

F(t)

tttD tD

Figura 1.3En sntesis, se puede concluir que el problema es esttico o dinmico segn los valores del cociente tD / T:

Si tD 1 PROBLEMA DINAMICOTSi tD T PROBLEMA ESTATICO

1.5- Fuerzas disipativas

Se denomina Amortiguamiento a la capacidad de disipar energa del sistema. Como se demostrar con la solucin de las ecuaciones que controlan la respuesta dinmica del sistema, hay casos en que las mximas tensiones no dependen del amortiguamiento mientras que en otros casos el amortiguamiento juega un papel fundamental en la amplitud de la respuesta dinmica.

F(t)

t

Figura 1.4

Para una carga de corta duracin (frente al perodo T de la estructura) y un nico pulso como se indica en la Figura 1.4, el amortiguamiento de la estructura no incide apreciablemente en la magnitud de la respuesta mxima, y con frecuencia no es considerado para calcular el valor mximo de la respuesta. Por el contrario, en el caso de movimientos vibratorios sostenidos de tipo peridico de larga duracin en el tiempo (frente al perodo T) el amortiguamiento puede tener gran incidencia en la magnitud de la respuesta dependiendo de la

frecuencia de la excitacin en comparacin con la frecuencia natural del sistema. Para cargas de baja frecuencia frente a la frecuencia natural, se demostrar ms adelante que la respuesta es esencialmente esttica y el amortiguamiento no afecta a la respuesta. Similarmente, para cargas de alta frecuencia frente a la frecuencia natural, el amortiguamiento tampoco incide significativamente en la amplitud de la respuesta. Por el contrario, cuando la frecuencia de la carga aplicada se encuentra en el entorno entre 0.5 y 2 veces la frecuencia natural de la estructura, el amortiguamiento cobra un rol decisivo en la amplitud de la respuesta, especialmente cuando la frecuencia natural del sistema y la excitacin son muy prximas entre s (resonancia). Por lo tanto, las fuerzas disipativas deben ser tenidas en cuenta en los casos de cargas oscilatorias de larga duracin, aunque no siempre tendrn incidencia apreciable en la magnitud de la respuesta.Los procesos de disipacin de energa que se denominan genricamente como

amortiguamiento del sistema, son en general de naturaleza compleja. Si la ley de Hooke se

cumple durante el proceso de carga y descarga, el grafico F U

que relaciona a las Fuerza-

con los Desplazamientos sigue una lnea recta y el rea representativa de la energa que se disipa en el proceso de carga es igual a cero, ya que la energa almacenada durante la carga se recupera en la descarga, resultando nula el rea encerrada por la curva de carga y descarga, tal como se ilustra en la Figura 1.5Cuando intervienen fuerzas disipativas, una primera aproximacin habitual es considerar

que FD

ies proporcional a la velocidad Ua travs de una constante positiva

C . Esta

representacin es conocida como amortiguador viscoso. El valor de C no necesariamente es

iconstante independiente de la amplitud del desplazamiento U , pero es habitual tratarla como

si lo fuera, y la expresin de

FD es:

iFD = C.U

Considrese ahora una barra elstica sometida a traccin por las fuerzas

F (t )

y F (t)

actuando en sus extremos, y supngase que el material del que est compuesta la barra esvisco-elstico, es decir que las fuerzas aplicadas en sus extremos estn equilibradas por dos tipos de mecanismos en paralelo: i) Un mecanismo elstico propio del comportamiento

elstico descrito por la ley de Hooke, y ii) Un mecanismo viscoso que genera las fuerzas FD .

Si se supone que ambos mecanismos funcionan en paralelo, es decir que en cada instante una

parte de la carga exterior aplicada

F (t ) es equilibrada por las fuerzas elsticas y otra parte por

las fuerzas viscosas

FD , la variacin del desplazamiento de los extremos de la barra como

funcin de la carga total

F (t ) seguir la curva indicada en la Figura 1.6. El diagrama F U

pas de ser una lnea recta como en la Figura 1.5 a una elipse que encierra un rea proporcional a la energa disipada en cada ciclo de deformacin completo (carga y descarga). Ntese que en los sistemas fsicos aqu considerados la elipse que describe el proceso de carga y descarga se desarrolla en el sentido horario, y la energa neta que se disipa en cada ciclo espositiva y proporcional al rea encerrada por la elipse.

F FF

B UB UBUA AA

Figura 1.5Figura 1.6Figura 1.7

Debe tenerse en cuenta que la energa disipada en el amortiguamiento viscoso no depende solamente de la amplitud del desplazamiento mximo A sino que tambin vara con la velocidad de carga, es decir que si se incrementa la frecuencia de la excitacin aplicada, se incrementar el rea de la elipse ya que la energa disipada en cada ciclo es proporcional a la velocidad, la que a su vez es proporcional a la frecuencia de la excitacin (para una amplitud dada del desplazamiento mximo en cada ciclo). Este efecto se ilustra en la Figura 1.7.Cuando la carga y descarga ocurre con suficiente lentitud se tiene una lnea recta como la Figura 1.5. Normalmente las estructuras de obras civiles tienen un amortiguamiento relativamente bajo (la medida del amortiguamiento se define ms adelante), salvo que por alguna razn particular se requieran mecanismos especiales de disipacin de energa, tal como ocurre en algunos puentes de gran luz sustentados por cables en los que a veces es necesario introducir dispositivos de disipacin.En cada ciclo de carga y descarga se disipa energa pero resulta relativamente complejo efectuar mediciones directas de las fuerzas disipativas. La Figura 1.8 ilustra la parte elstica y la parte viscosa de la carga total aplicada para cada valor del desplazamiento.

F

iFuerza disipativa=C.U

Fuerza Elstica=K.U U

Figura 1.8

Los mecanismos de disipacin en estructuras reales pueden resultar bastante complejos, por lo que el modelo ms utilizado para representar las fuerzas disipativas es el lineal viscoso que es lineal y simple, adems de dar resultados aceptables en muchos casos. Otro mecanismo de amortiguamiento cuya expresin analtica resulta tambin similar a la de los procesos viscosos, pero que no se originan en fuerzas viscosas, es el correspondiente a irradiacin de energa a travs de los medios continuos en contacto con la estructura, fluidos como aire, agua, etc., o slidos como suelos y roca de fundacin. En este tipo de amortiguamiento, la expresin analtica es similar a la de las fuerzas viscosas, pero la disipacin de energa se produce a travs de ondas elsticas que se transmiten desde la estructura hacia el medio circundante sin fronteras que reflejen de vuelta dichas ondas sobre la estructura.Si la fuerza disipativa es proporcional a la velocidad a travs de la constante C se tiene:

iFD = C.U

Al aplicar una carga exterior de forma sinusoidal con un periodo T

y una frecuencia ,

el desplazamiento para el estado de rgimen ser tambin armnico y de igual frecuencia:u = U .sen(.t )

iF = C.U = C..U .cos(.t ) = . C.U .sen .t

D

2

F (t) 1

TT . = 2.

0.5

t246810

-0.5

-1

Figura 1.9

La fuerza disipativa en este modelo viscoso resulta proporcional a la frecuencia de la carga y desfasado 90 respecto a los desplazamientos. Ntese que las fuerzas viscosas tienen un sentido opuesto a la componente de velocidad que las origina en todos los casos que se consideran en este contexto. Existen ciertas situaciones en las cuales las fuerzas viscosas se producen en el mismo sentido que la componente de velocidad, y en tal caso las fuerzas viscosas no producen disipacin de energa del sistema sino que le agregan energa al mismo. Esta es la situacin tpica de procesos inestabilidad aeroelstica entre la estructura y el flujo de aire que la envuelve, designados habitualmente por su expresin ingls como Flutter. En este tipo de situaciones las fuerzas aerodinmicas tienden a arrastrar a la estructura hacia mayores amplitudes de vibracin. Estos procesos quedan fuera del alcance de estas notas.Una de las complicaciones propias de las estructuras reales es que C no sea

estrictamente constante. Un caso tpico de esta situacin es el que corresponde a un modelo de

fuerzas disipativas en el que la elipse que representa las fuerzas FD

no es funcin de la

velocidad (o frecuencia) de la excitacin, y por lo tanto el rea encerrada en cada ciclo es independiente de la velocidad. Este modelo de amortiguamiento se conoce como amortiguamiento estructural o histertico y constituye una primera aproximacin lineal a los procesos de friccin seca propios de las uniones de estructuras uniones con remaches o bulones, o de la disipacin a travs de deformaciones en suelos granulares cuyo comportamiento est controlado por la friccin entre las partculas. En realidad, este tipo de amortiguamiento no genera ciclos de carga elpticos, y la hiptesis que se trata de fuerzas cuya variacin en funcin del desplazamiento es una elipse es slo una primera aproximacin. Los procesos de friccin seca son ms complejos y no responden en general a expresiones de tipo lineal. Esta representacin aproximada del amortiguamiento estructural o histertico se suele designar como amortiguamiento estructural lineal equivalente ya que rescata de la realidad el aspecto principal del proceso complejo, en el sentido que las fuerzas disipativas no varan con la velocidad de deformacin, pero no describen en detalle la variacin real de las fuerzas en funcin del desplazamiento (y del tiempo), y la elipse equivalente se define de manera tal que su rea sea igual a la energa disipada en cada ciclo.

En sntesis, los modelos ms corrientes para representar las fuerzas disipativas son:

a) Amortiguamiento viscoso lineal, en el que el rea de la elipse, o ciclo de histresis, es funcin lineal de la velocidad.

b) Amortiguamiento estructural lineal equivalente: en el que las fuerzas de friccin tienden a ser proporcionales a la amplitud del desplazamiento pero independientes de la velocidad.

1.6- Caractersticas dinmicas de una estructura

Las caractersticas dinmicas ms importantes de una estructura son los periodos naturales de vibracin y el amortiguamiento. El periodo natural es siempre importante e influye en todos los casos de cargas dinmicas, mientras que el amortiguamiento en algunos casos puede no ser importante y en otros casos no.La respuesta dinmica depende adems de otras propiedades como la capacidad de disipar energa por deformacin plstica y las variaciones de las propiedades de los materiales causadas por la velocidad con que se aplica la carga. stos y otros factores pueden ser importantes en algunos problemas, pero los ms relevantes en todos los casos, son en definitiva el periodo natural y el amortiguamiento del sistema.

Captulo 2

Respuesta de un oscilador simple

Introduccin

La ecuacin de equilibrio dinmico, tambin conocida como ecuacin de movimiento esta dada por:

K .U = P(t ) M .U C.U

*K .U = P(t )

(Ec. 2.1)

(Ec. 2.2)

C K

U MP(t )

La forma de la ecuacin (Ec. 2.2) (ecuacin de movimiento) pone de manifiesto el

Principio de DAlembert por el cual es posible plantear las ecuaciones de equilibrio dinmico

agregando a las fuerzas exteriores inercia y las fuerzas disipativas.

P(t ) y a las fuerzas internas elsticas K.U, las fuerzas de

La ecuacin (Ec. 2.1) pone de manifiesto que la fuerza de inercia

M .U es de signo

opuesto a U , o sea que se opone al cambio de velocidad, y la fuerza disipativa opone al cambio de desplazamiento o de posicin de la masa.

C.U se

El desplazamiento instantneo se supone U esta medido con respecto a un sistema inercial o fijo.Antes de presentar la solucin general de la ecuacin (Ec. 2.1) es conveniente estudiar elcaso de vibraciones libres, es decir para P(t ) 0 . Para definir las propiedades dinmicas de una estructura debemos estudiar su comportamiento cuando oscila libremente. All surge elperiodo propio T, que comparado luego con el periodo de la carga nos permite determinar el carcter esttico o dinmico de la carga variable en el tiempo.

2.1- Vibraciones libres

La ecuacin lineal, homognea, a coeficientes constantes:K .U + C.U + M .U = 0(Ec. 2.3) Tiene por solucin:

U = A.er1 .t + B.er2 .t

(Ec. 2.4)

A y B son constantes a determinar en funcin de las condiciones iniciales; r1

races de la ecuacin caracterstica:

y r2 son las

M .r 2 + C.r + K = 0

r1,2 =

C

C 2 4.M .K2.M

(Ec. 2.5)

El carcter de las races de la ecuacin (Ec. 2.5) depende del valor radicando. Se distinguen tres casos:a) C 2 4.K .M > 0 b) C 2 4.K .M = 0 c) C 2 4.K .M < 0El caso a) corresponde a un amortiguador supercrtico, el b) a uno crtico, y el c) a uno

subcrtico. En el caso c) las races r1

y r2 son reales, distintas y negativas, por lo cual se ver

que la solucin no tiene trminos oscilatorios, sino que decaen exponencialmente. En el caso c) las races son complejas con parte real e imaginaria distinta de cero, y la solucin comprende trminos oscilantes que decaen exponencialmente. En el caso a) las dos races

son reales y negativas, y no hay trminos oscilantes. En el caso b) las dos races son reales, negativas e iguales entre s, y no hay trminos oscilantes.U = A.er1 .t + B.er2 .t

U U

U 0

0U = 0

U U > 0

00t t

El amortiguamiento estructural es habitualmente pequeo (subcrtico) y corresponde al caso c) (salvo que especficamente se coloque un amortiguador en algn punto de la estructura).En lo que sigue se concentra la atencin exclusivamente en el caso c) para el cual las

races de la ecuacin (Ec. 2.5) son complejas:

CC 2K

r1,2 = i.2.M

Se introduce la siguiente notacin:

+4.M 2M

Cr = 2.

K .M(Ec. 2.6)

= C Cr

(Ec. 2.7)

Donde:

=K M

(Ec. 2.8)

Cr = Amortiguamiento crtico = Relacin o cociente de amortiguamiento. = Frecuencia circular del sistema no amortiguadoReemplazando queda:C = .2.M .

(Ec. 2.9)

Designando:

r1,2 = . i.. 1

D2 = . 1 2

(Ec. 2.10)

r1,2 = . i.D

Sustituyendo estas races complejas en la (Ec. 2.4) nos queda:

U = A.e . .t .ei.D .t + B.e . .t .ei.D .tRecordando que:

(Ec. 2.11)

ei.D .t = cos(

D .t ) + i.sen(D

.t )

ei.D .t = cos(

D .t ) i.sen(D

.t )

Y cambiando las constantes, la ecuacin (Ec. 2.11) se torna:

U = e

..t

(C1.sen(D .t ) + C2 . cos(D .t ))

(Ec. 2.12)

DLa ecuacin (Ec. 2.12) pone de manifiesto que la respuesta U est modulada por la exponencial e ..t y es armnica con frecuencia circular . Teniendo en cuenta la definicin

de D

= . 1 2

se puede apreciar que para

= 0.10 D

= 0.995

o sea que la

frecuencia del sistema amortiguado para el 10% del amortiguamiento critico difiere slo un

5 de la correspondiente al sistema no amortiguado.

El amortiguamiento en estructuras civiles normalmente se estima en el entorno del 5%.Rara vez supera el 10%, y a los efectos prcticos no es necesario distinguir entre y D en las aplicaciones prcticas.

D1

0.11

En la Figura 2.1 se representa Den la forma:

Figura 2.1

vs . La ecuacin (Ec. 2.10) puede tambin escribirse

2 D + ( )2 = 1

, ecuacin que corresponde a una circunferencia de radio=1.

Para determinar las constantes C1

2.12) respecto a t .

y C2

se deriva ambos miembros de la ecuacin (Ec.

U = e

..t

(C1.sen(D .t ) + C2 . cos(D .t ))

U = . .e

..t

(C1.sen(D .t ) + C2 . cos(D .t )) + e

. .t

(C1.D . cos(D .t ) C2 .D .sen(D .t ))

(Ec. 2.13)

Para

t = 0

en general se suponen conocidos U 0 y

0U , que se denominan condiciones

iniciales del sistema, y se tiene:

U 0 = C2

001DU = ..U + C .

C = U 0 + ..U01

U + . .U

U = e ..t . 0 0 .sen(

.t ) + U

D

. cos(

.t )

(Ec. 2.14)

D 0 D D

0Como ejemplo, el caso en que U = 0 , es decir que se retira al sistema de su posicin de

equilibrio en una magnitud U 0

solucin U .

y se lo deja oscilar libremente. La Figura 2.2 representa la

U1

U . 1

.e..t

0 1 2

U0 0.5

5 2. D

t10 15 20 25

-0.5

U +..U

U = e ..t .0 0 .sen( .t) +U .cos( .t)

D 0 D D

-1

Figura 2.2

La ecuacin (Ec. 2.14) tambin puede ser escrita de otra manera imaginando que los dos

trminos representan la proyeccin sobre un eje de dos vectores rotando a frecuencia D de diferencia de fase entre ellos, como se indica:2

con

=(U

2)2 + U 0 + ..U 0

(Ec. 2.15)

0D

U + ..U = arctg 00

(Ec. 2.16)

U 0 .D

DU = .e ..t . cos(

.t )

(Ec. 2.17)

U0D .t

Eje de proyeccin

0 0U +..UD

Figura 2.3

Para bajo amortiguamiento, el punto de tangencia de la exponencial

.e ..t

con la curva

respuesta ocurre prximo al mximo local y es posible aproximar la relacin entre dos picos

sucesivos de la siguiente manera:Ue ..t1

Uem =

L. U mU m+1

..t 2. .m+1

2. .

e2. .

(Ec. 2.18)

Donde U m es el n-simo mximo desplazamiento y similarmente U m+1 .

Relacionando mximos distantes en m ciclos se tiene:

L. U mU m+m

2. .m.

(Ec. 2.19)

Expresin que permite despejar el coeficiente de amortiguamiento cuando se pueden registrar vibraciones libres experimentalmente. La relacin de la (Ec. 2.19) se conoce como decremento logartmico.

2.2- Excitacin Peridica

Considrese una carga periodo de la misma.

P(t ) peridica como se indica en la

Figura 2.4, donde T es el

P (t )

t0 T2.T3.T

Figura 2.4

Utilizando la representacin de Fourier:

P(t )

aa . cos 2. .m .t

b .sen 2. .m .t

(Ec. 2.20)

= o + m

+ m

m=1

T

m=1

T

tTa = 1 .

(Ec. 2.21)P(t).dt

o0

ta = 2 .

P(t ). cos 2. .m .t .dt(Ec. 2.22)

mT

T

0

tb = 2 .

P(t ).sen 2. .m .t .dt

(Ec. 2.23)

mT

T

0

Es posible reducir el problema de una excitacin peridica arbitraria a una superposicin de excitaciones armnicas. Si se trata de sistemas lineales, es aplicable el principio de superposicin segn indica la ecuacin (Ec. 2.20). Se concentrara ahora la atencin en una carga armnica de periodo arbitrario T .

Carga armnica

La ecuacin de movimiento es:

0K .U + C.U + M .U = P .sen(.t )

(Ec. 2.24)

Donde:

.T = 2.

La solucin general homognea ya ha sido determinada y es de la forma de la ecuacin

(Ec. 2.14). Se propone la solucin particular de la forma:

U p = C1.sen(.t ) + C2 . cos(.t)

Sustituyendo la ecuacin (Ec. 2.25) en (Ec. 2.24) se obtiene:

(Ec. 2.25)

K .(C1.sen(.t ) + C2 . cos(.t ) ) + C..(C1. cos(.t ) C2 .sen(.t )) M .2 .(C .sen(.t ) + C .cos(.t )) = P .sen(.t )12o

Agrupando trminos que multiplican a

sen(.t)

y cos(.t ) , se obtienen las siguientes

relaciones que deben satisfacer

22

C1 y C2

para que U p

Po

sea solucin de la ecuacin (Ec. 2.24).

(Ec. 2.26)

+C1.

C2 ..(2..) C1.

.sen(.t) = M .sen(.t)

22+C2 .

+ C1..(2..) C2 .

.cos(.t ) = 0

(Ec. 2.27)

De este sistema se obtienen C1 y C2 :

P1 2

(Ec. 2.28)

o

C1 =.K

(1

2 )2

+ (2.. )2

2C = Po . (2.. )

(Ec. 2.29)

Donde:

K (1

2 )2

+ (2.. )2

=

La solucin completa es la suma de la solucin general homognea y la particular, o sea:

U = e ..t .[ A.sen(

D .t ) + B. cos(D

.t )] +

(Ec. 2.30)

+ Po .K

(1 2 )2

1+ (2. . )2

. (1 2 )

.sen(.t ) (2. . ). cos(.t )

Los valores de

A y B deben ser determinados en funcin de las condiciones iniciales.

La solucin general, representada por el primer trmino de la (Ec. 2.30) se denomina normalmente como solucin transitoria ya que est amortiguada por la exponencial decayente y eventualmente desaparece. El segundo trmino representa la solucin particular, que se denomina solucin de rgimen.Para una excitacin peridica, los picos del transitorio slo ocurren unas pocas veces mientras al comienzo del proceso, mientras que los picos de rgimen, an cuando fueran de menor intensidad, se repiten indefinidamente y pueden producir fatiga. Por el contrario, los picos del transitorio son pocos, pero su amplitud puede ser significativa y producir las mximas tensiones.

Con un razonamiento similar al caso de vibraciones libres, se puede considerar que la solucin de rgimen es la proyeccin sobre un eje de dos vectores ortogonales como se indica en la Figura 2.5.U

aU.tt

b

a = Po .K

Figura 2.51 2(1 2 )2 + (2.. )2

= Po .K

1(1 2 )2 + (2.. )2

= arctg

2..

0 < <

(1 2 )

= arccos (1 2 ). b = Po . 2.. K (1 2 )2 + (2.. )2

U = .sen(.t )

La carga exterior esta en fase con el vector a y la respuesta esta desfasada con respecto a ella en un ngulo .La variacin de con y se indica en la Figura 2.6.

= 0

= 0.05 = 0.2 = 0.5 = 1.0

Figura 2.6 = 05

4

3 = 0.2

2

1 =1.0

= 0.5 = 0.7

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 2.7

El cociente entre la amplitud del estado de rgimen y el desplazamiento esttico que

producira la carga

Po se llama coeficiente de amplificacin dinmica o factor dinmico .

= 1 (1 2 )2 + (2.. )2

(Ec. 2.31)

Resonancia

La Figura 2.7 muestra que el mximo factor dinmico corresponde a valores de algo menores pero prximos a la unidad. El valor exacto se puede obtener derivando e igualando a0 la (Ec. 2.31): Si: < 0.70 :

RLa frecuencia de resonancia es: = . 1 2. 2

y el mximo factor dinmico es:

max

= 1

(Ec. 2.32)

2..

(1 2. 2 )

Para comprender mejor el problema de resonancia se debe tener en cuenta tambin el periodo transitorio. Suponiendo desplazamiento y velocidad inicial nulos, la respuesta resonante para un caso sin amortiguamiento y para otro con amortiguamiento est dada en lasFiguras 2.8.

USistema No Amortiguado20

10

t1 2 3 4 5

-10

-20

USistema Amortiguado12. 4

2

t12345

-2

-4

Figura 2.8

En el sistema resonante no amortiguado la respuesta crece indefinidamente a menos que cambie la frecuencia de la excitacin, o el comportamiento se torna no lineal y deja de tener vigencia la solucin encontrada.Es interesante observar el crecimiento de la amplitud en el sistema resonante amortiguado en la Figura 2.9.

12 = 0.20

U

= 0.10

= 0.05

= 0.02

14

02 4 6 8 10

Figura 2.9

12 14Nmero de ciclos

Por ejemplo, para un amortiguamiento del 5% se alcanza el 85% de la amplitud mxima de resonancia en 6 ciclos, alcanzando en forma asinttica una amplificacin dinmica = 10 para una cantidad infinita de ciclos de carga.

2.3- Integral de Duhamel

En esta seccin se analiza la respuesta U (t) del oscilador simple sometido a una excitacin

P(t ) arbitraria. El procedimiento consiste en tratar el efecto de la fuerza

superposicin de impulsos infinitesimales como se indica en la Figura 2.10.

P(t ) como la

P(t )

impulso P( ) .d

d

t0t

La respuesta al cabo de un instante t

producidos por los impulsos elementales

Figura 2.10

genrico ser igual a la suma (integral) de los efectosP( ).d aplicados hasta ese instante.

Respuesta a un impulso rectangular de muy corta duracin

Se adoptan como condiciones iniciales:

Ui = 0 , y

U = 0 para resolver la

iecuacin de movimiento:

K .U + M .U + C.U = P

Debido a las condiciones iniciales y a la corta duracin del impulso la ecuacin se reduce

a:

M .U = P

La velocidad en el instante t f es:

U = P M

(a)

Uimf = U + U .t

U f

= P .tM

(b)

El espacio recorrido resulta:

U = U

+ U .t + 1 .U

.t 2

U = 1 . P .t 2

(c)

ffii2m2 M

P

P( )

tit f0 tU

t

ft. = U

U f0 t

Figura 2.11La respuesta en un instante t corresponde a vibraciones libres regida por la (Ec. 2.14), con condiciones iniciales dadas por las ecuaciones (b) y (c) aplicadas en cualquier instante :

U = e ..(t ) . U 0 + ..U 0 .sen (

.(t ) ) + U

. cos (

.(t ) )

Donde:

D D

0 D

U 0 = U f , es dado por (c)U 0 = U f , es dado por (b)

Si se considera un tiempo infinitsimo d , el valor de U 0 dado por (c) es un infinitsimo

0de orden superior frente a U dado por (b) y puede por lo tanto despreciarse; luego:

dU (t ) = e ..(t ) . P( ) .d .sen (M . D

.(t ) )

(Ec. 2.33)

D

La respuesta para una carga arbitraria se obtiene considerando que la misma es la integral

de las respuestas correspondientes a una sucesin de impulsos infinitesimales:

PPPP

1 2 3

mt 1 t 2 t

0 m t

Figura 2.12

La respuesta total es la integral de las respuestas infinitsimas dada por (Ec. 2.33):

U (t ) =

1D .M

e.P( ).sen (t ..(t )0D

(Ec. 2.34).(t ) ).d

Adicionalmente, hay que agregar al

U (t) dado por

(Ec. 2.34) la respuesta transitoria

debida a las condiciones iniciales en t = 0 (U 0

0y U ) que son independientes de

P(t ) .

Este procedimiento se basa en el principio de superposicin y es vlido slo para sistemas lineales.

La ecuacin (Ec. 2.34) se conoce como INTEGRAL DE DUHAMEL. Cabe destacar que esta ecuacin es completamente general y puede aplicarse a cualquier tipo de carga pero normalmente se la utiliza para tratar impulsos o efectos transitorios ya que para condiciones de una carga armnica en rgimen ya se cuenta con la solucin general analizada anteriormente. La integral de Duhamel es un caso particular de la Integral de Convolucin entre dos funciones, la de carga y la de la respuesta a un impulso unitario.La solucin de la Integral de Duhamel para diversas funciones de carga est dada por expresiones analticas que se encuentran resueltas y tabuladas en la literatura. Aquellos casos

en que la variacin de la carga no es una funcin sencilla como para aproximarla por alguno de los casos cuya solucin se conoce, la solucin puede obtenerse evaluando la integral de Duhamel por algn procedimiento numrico (mtodo de los trapecios, Simpson, etc.). Estrictamente, la Integral de Duhamel slo resulta conveniente para calcular la respuesta en un instante dado perfectamente definido, es decir para un instante t dado. Partiendo de laexpresin (Ec. 2.34) se han desarrollado tcnicas de recurrencia que permiten obtener

U (ti + t ) a partir de U (ti )

que permiten calcular en forma numrica la Integral de Duhamel

para todos los valores de la variable t.

tEn el caso de cargas impulsivas el valor mximo de la respuesta, que constituye el principal inters prctico, ocurre poco tiempo despus de iniciada la aplicacin de la carga y el amortiguamiento no alcanza a reducir significativamente su efecto de reduccin de la respuesta. Si no se considera amortiguamiento la expresin (Ec. 2.34) se simplifica y toma la forma:

U (t ) =

1.M

0 P( ).sen (.(t ) ).d

(Ec. 2.35)

La integral de la (Ec. 2.35) est resuelta en forma analtica exacta para una cantidad de casos tpicos de cargas impulsivas. Varias soluciones explcitas de estos resultados estn dadas en la Tabla 2.1.

Ejemplos

Pulso de variacin lineal con duracin tD

Suponiendo un estado inicial de reposo (U 0

y U nulos) y tratndose de un efecto

0impulsivo para el que interesa la mxima respuesta se puede despreciar el amortiguamiento( = 0 ) y la solucin est dada por:

P (t )

P0

t Dt

Figura 2.13

U (t ) =

1.M

t P

0(). .sen .(t ) .dpara 0 < < tD0 tD

P t

(Ec. 2.36)

U (t ) =

0 .. .sen (.(t )).d

K tD0tU (t ) = U s .. .sen (.(t )).dtD0

U = P0sK

es la deformacin esttica que producira la carga

P aplicada en forma esttica.

tU (t ) = U s .. .sen (.(t )).dtD0

Es necesario reconocer que la respuesta mxima puede ocurrir para tD

o para > tD .

Para > tD

se puede determinar en primer lugar la respuesta para = tD .

A partir de este instante, para el que es posible conocer las condiciones iniciales U (tD ) y

DU (t ) se calcula el movimiento libre del sistema segn lo indicado anteriormente.

Integrando la ecuacin (Ec. 2.36) por partes:

ttt u.dv = v.du + u.v000

U =

; dU = d

dv = sen (.(t ) ).d

cos (.(t )); v =

sen (.t )t

U (t ) = U s .t

. 2+

Finalmente para t < tD :

D

U (t ) =

Us . t

sen (.t )

(Ec. 2.37)

tD

U (t ) = U s .(1 cos (.t ))tD

(Ec. 2.38)

Para una carga arbitraria como la de la Figura 2.10 es posible aproximar su variacin por segmentos rectos como el ilustrado precedentemente.

Pulso rectangular de duracin tD

Para una carga con funcin escaln como la dada en la Figura 2.14 ser:

P (t )

P0

t D t

Figura 2.14

tU (t ) = U .. 1 .cos (.(t ))

sU (t ) = U s .(1 cos (.t ))

0

(Ec. 2.39)

El valor mximo de U (t)

es 2 veces U s . El factor que multiplica a U s

en la (Ec. 2.36) y

sucesivas se conoce como Factor Dinmico Mximo . El valor mximo del mismo parapulsos individuales de carga es menor o igual a 2. Para el caso de una serie de pulsos sucesivos, el efecto acumulativo puede dar origen a factores dinmicos superiores a 2.

La expresin (Ec. 2.39) es vlida para

t tD . Para

t > tD

el sistema vibra libremente con

desplazamiento inicial U (tD ) y velocidad U (tD ) .

La mxima respuesta al pulso

P(t ) de este caso, como en el de carga con variacin lineal,

se conoce slo despus de comparar

tD (tiempo que acta la carga) con el periodo T del

sistema. Si el mximo ocurre mientras acta la carga significa que la estructura siente la carga en forma inmediata (la estructura es muy rgida frente a su masa inercial), mientras que si la respuesta es lenta puede experimentar el mximo despus que se la carga ha dejado de actuar.El primer mximo para (Ec. 2.39) ocurre para .t = , de modo que solamente en el caso

en que

t > T (recordar .T = 2. ) la respuesta alcanzar el mximo U = 2.U

. Si

t < T la

D2sD2

carga deja de actuar antes de llegar la respuesta a 2.U s . El pulso rectangular es el que tiende a producir los mximos valores de respuesta, y entre los pulsos rectangulares, los peores son losde larga duracin ( t T ).D2

Una vez que el pulso pas la duracin crtica

t = T se producirn otros picos con

D2

oscilaciones del tipo armnico superpuestos con un valor constante.

Se puede verificar fcilmente que si el final de la carga ocurriera en el instante a1 de la

Figura 2.15, el sistema continuara oscilando con la frecuencia natural del sistema entre 0 y

2.U s segn la lnea de puntos.

2.Us

Us

0

U (t)

Ta2

a1

a3t

Si la carga dejara de actuar en a2

Figura 2.15

la respuesta tambin sera armnica funcin armnica

con valores entre

2.U s mientras que si la carga dejara de actuar en

a3 el sistema quedara en

reposo a partir de ese instante.

Para el caso de un impacto, la fuerza de interaccin es normalmente del tipo de la Figura

2.16, pudiendo presentar uno o varios picos segn la distribucin de la masa y resistencia al aplastamiento del cuerpo que impacta.P(t)

PmaxPmed

t0tD

Figura 2.16

En estos casos se puede aproximar adoptando una carga constante con amplitud

Pmed en

todo el tiempo td , o bien con una carga constante igual a la mxima

Pmax . Cuando se tiene un

estado de carga convexo Figura 2.17 y se utiliza la carga instantnea mxima para calcular la

respuesta mxima, el factor dinmico mximo, a veces tambin denominado coeficiente de impacto, es en general menor que 2.P(t )

Pmax

0 t

Figura 2.17

En la Figura 2.18 se presentan pulsos de tres formas diferentes que actan con igual

duracin tD

y amplitud

P0 :

P (t ) P0

P (t )

P0

P (t )

P0

1t0 t D 0

23ttt D0 t D

tD .

Figura 2.18

La mxima respuesta vara linealmente con la amplitud del pulso

P0 no as con la duracin

Para cargas de corta duracin respecto al perodo del sistema T, la respuesta mxima se

alcanza despus de finalizada la carga, y a igualdad de duracin del pulso

tD , la mayor

respuesta corresponde a la funcin que aporta el mayor impulso, ya que ste introduce el mayor cambio de cantidad de movimiento ( y de energa cintica), y por lo tanto el desplazamiento de mayor amplitud.

2,00

1,80

1,60

1,40

(3)

(1)

1,20

(2)

1,00

0,80

0,60

0,40t0,20DT0,000,010,101,0010,00

Figura 2.19

El caso mas desfavorable es el pulso rectangular donde puede llegar a 2 si t T .D2

El pulso triangular (1) es tanto ms desfavorable cuanto mayor sea su duracin tD

el lmite es un pulso rectangular).

(en

Para el puso con forma de pico (2) el efecto ms desfavorable se produce cuando

0.8 tD 1 y el Factor Dinmico Mximo resulta = 1.5T

Tabla 2.1

Soluciones Analticas para la Integral de Duhamel

N1Carga P( ) P( ).sen (.(t ) ).d0

1

P0

t

P0 .(1 cos (.t ))

2

a .t t

a sen (.t ) . t

3

b.t 2

t

b . t 2 + 2. cos (.t ) 2 22

4

P0

tt0P0 . t sen (.t ) t < t.t00 P0 . t sen ((t t0 )) sen (.t ) t > t.t 000

5

P0P .(t e .t )0t

P0 .(1 cos (.t )) +P0 . . e .t + cos (.t ) . sen (.t ) 2 + 2

6

P0P .e .t0t

P0 . . e .t cos (.t ) + . sen (.t ) 2 + 2

7

P t 0 P0 .sen 2 . .t0 t

P0 .t0..t .sen 2. .t 2. .sen (.t )2 .t 2 4. 2 0 t0

8P . cos 2 . . t P0 t 0 0

t

P0 .t0 . . cos 2. .t cos (.t )22 .t 2 4. 2 t0 0

9

P0

tt0

P0 .(1 cos (.t )) t < t0P0 . cos (.(t t )) cos (.t ) t > t00

10

P t 0 P0 .sen 2 . .t0 t

P0 .t0..t .sen 2. .t 2. .sen (.t ) t < t2 .t 2 4. 2 0 t000 2. .P0 .t0.(sen (.(t t )) sen (.t )) t > t2 .t 2 4. 2000

11

P0

tt0P0 . t sen (.t ) t < t.t00 P0 . t . cos ((t t ) ) + sen ((t t0 ) ) sen (.t ) t > t.t 0 0 00

12

P0

tt0P0 .1 cos (.t ) t + sen (.t ) t < t t.t 000P0 . cos (.t ) sen ((t t0 ) ) sen (.t ) t > t .t .t 00 0 0 0

13

P0

t

t0 2 .t0Psen (.t ) 0 . t t < t.t00 P0 . 2.t t + 2.sen ((t t0 ) ) sen (.t ) t < t < 2.t.t0 000 P0 . 2.sen ((t t ) ) sen ((t 2.t ) ) sen (.t ) t > 2.t 2 .t 0 0 00

14

P0

tt1 t2 t3

Ver caso 4 para t < t2 ; t1 = t0P0 . .t + sen ((t t )) sen (.t ) P0 (t t ) sen ((t t ) ) 2 .t 1 1 2 .(t t ) 2 20 3 2 t2 < t < t3P0 . sen ((t t1 ) ) sen (.t ) sen ((t t3 ) ) + sen ((t t2 )) t > t .t.t.(t t ) .(t t ) 30 0 3 2 3 2

15t P0 . 1 co s 2 . . t 0 P0

t

P0 .(1 cos (.t )) P0 ..t0 . cos 2. .t cos (.t ) t < t22 .t 2 4. 2 t 000 P 2 .t 20 . cos (.(t t ) ) cos (.t ) 0. cos (.(t t )) cos (.t ) t > t0 02 .t 2 4. 2 00

Tabla 2.2:ValoresdelFACTORDINAMICO ydelTIEMPODEMAXIMA

tD

RESPUESTA tm en funcin de la relacin

T para distintos tipos de pulsos.

tm

2,00

0,50 tD

1,80

1,60 P0

0,45P0

1,40

t1,20t

1,00D

0,40ttD

0,80

0,35

0,60

0,40

0,20

0,00

tD 0,30tDT T0,25

0,010,101,0010,00

0,010,101,0010,00

2,00

10,00

tmtD

1,80

1,60P0 P01,401,20t t1,00tD tD0,80

0,60

0,40

0,20

0,00

tD tDTT1,00

0,001,002,003,004,00

0,001,002,003,004,00

1,60

tm

P0ttDt2,00D

1,40

1,20

1,00

1,80

1,60

1,40

1,20

0,80

0,60

0,40

0,20

0,00

P0

t tDtD T

1,00

0,80

0,60

t0,40D0,20T0,00

0,001,002,003,004,00

0,001,002,003,004,00

2.4- Integracin Numrica

La solucin de la ecuacin diferencial del movimiento por mtodos numricos es una herramienta ms general que las soluciones analticas rigurosas que slo son posibles cuando la carga y las caractersticas de rigidez del resorte pueden expresarse en una forma matemtica simple. Esto constituye una severa limitacin en los problemas reales, por lo que es necesario ampliar las posibilidades para resolver casos de inters prctico. Con la disponibilidad de equipos de computacin se ha multiplicado el uso de los mtodos numricos en la solucin de problemas de la ingeniera estructural, lo que permite soluciones de problemas dinmicos que eran intratables en tiempos no tan lejanos.

El oscilador simple es un modelo simple pero til para representar estructuras reales. El modelo masa-resorte de la Figura 2.20(a) puede representar a diversas estructuras si se calcula

correctamente la constante K .

U (t)

K

m

F (t) a

F (t) mUl

b

F (t) mUl

c

Figura 2.20

La Figura 2.20(b) ilustra una viga simplemente apoyada con una masa en el centro y una

fuerza variable

F (t ) . La flecha al centro es:

F.l 3U =48.E.I

K = 48.E.I l 3

Para la viga en voladizo con una masa en el extremo, Figura 2.20(c) es:

F.l 3U =3.E.I

K = 3.E.I l 3

Considrese el prtico de la Figura 2.21, donde la masa est distribuida a lo largo de la viga. Se puede adoptar un modelo de un Grado de Libertad Dinmico (GLD): el corrimiento horizontal de la viga.

F (t)m2 3

*

UF (t)2

1 4

Figura 2.21

Se Calcula el corrimiento horizontal U 2 * del nudo 2; luego:

K = FU 2 *

Sistema Lineal No Amortiguado

El resorte representa la rigidez de la estructura y M es una masa concentrada. Por el momento no se considera el amortiguamiento.

U (t) KM

P(t)

La ecuacin del movimiento es:K .U + M .U = P(t )

Figura 2.22

(Ec. 2.40)

La integracin numrica resuelve la ecuacin diferencial paso a paso comenzando en el instante t = 0 para el que se conocen el desplazamiento y la velocidad iniciales.El tiempo se subdivide en intervalos y se obtiene el desplazamiento al final de cada intervalo por extrapolacin de lo que ocurre en el instante inicial de cada intervalo. Si bien existen varios mtodos para realizar la integracin paso a paso solamente desarrolla aqu el denominado mtodo de velocidad constante o tambin de impulsos concentrados.

U

U m1

U m

m 12

m + 12

U m+1

t

0 m 1t

m t

m +1

Figura 2.23

Suponiendo ya determinados U m y U m1 se determina U m+1 por extrapolacin:U m+1 = U m + U m+1/ 2 .t(Ec. 2.41) (Espacio inicial ms la velocidad media por intervalo de tiempo)Donde:

Um+1/ 2

expresin:

es la velocidad media en el intervalo

t, tm+1

y puede aproximarse por la siguiente

U= U m U m1 + U t

(Ec. 2.42)

m+1/ 2tm .

m(Velocidad media del intervalo precedente + aceleracin por tiempo). La aceleracin U puede despejarse de la ecuacin (Ec. 2.40):

U

= 1 .( P

K .U )

(Ec. 2.43)

mMmm

m+1/ 2Llevando U

de (Ec. 2.42) a (Ec. 2.41) se tiene:

2U m+1 = 2.U m U m1 + Um .(t )

(Ec. 2.44)

Reemplazando (Ec. 2.43) en (Ec. 2.44):

2

(Ec. 2.45)

U=

K t 2 U U

+ tP

m+1

2.M

. mm1

M . m

Este valor es aproximado, y su error disminuye a medida que disminuye

t . Para fines

prcticos basta tomar intervalos de tiempo no mayores de un dcimo del periodo propio del sistema:

t T 10

(Ec. 2.46)

Siempre y cuando el t adems resulte adecuado para seguir las variaciones de la carga en funcin del tiempo:

P(t)

0 tt inadecuadoFigura 2.24

Al comienzo del proceso de integracin resulta necesario un procedimiento especial para

obtener U1

ya que no se cuenta con una valor de

U 1 . Si se supone que la aceleracin es

constante durante todo el primer intervalo e igual a la aceleracin en

t = 0 se tiene:

U = U

+ U

.t + 1 .U .t 2

(Ec. 2.47)

10020

Luego, bastar con aplicar repetidamente la expresin (Ec. 2.45) para encontrar la solucin para cualquier instante de tiempo.En el caso en que tanto la fuerza exterior, el desplazamiento y la velocidad sean nulos en el instante t = 0 la expresin (Ec. 2.47) no permite arrancar con el proceso de integracin. Enese caso se puede utilizar la expresin:

U = 1 .U .(t)2

(Ec. 2.48)

161

que se deduce a partir de la hiptesis que la aceleracin crece linealmente durante el primer intervalo entre cero y un valor conocido diferente de cero.Reemplazando la expresin (Ec. 2.43) en (Ec. 2.48) resulta:

U1 =

P16.M + K(t )2

(Ec. 2.49)

que permite comenzar cuando U0 = P0 = U 0 = 0

La (Ec. 2.48) surge de la siguiente manera:

U

U(t )t

U=

1t

1U(t ) = U . tt

U .t 2

U1

U( t )

U (t ) =

U (t).dt =

12.t

+ U 0 U 0 = 0

U t 3

1U (t ) = U (t ).dt = t . 6 + U 0 U 0 = 0

t tt

Figura 2.25

U (t ) = U

= 1 .U .(t)2

161

Sistema Lineal Amortiguado

Al considerar el amortiguamiento la ecuacin del movimiento es:K.U + C.U + M .U = P(t )(Ec. 2.50)

Luego:

Um

= Pm K .U m C.U m(Ec. 2.51)M

La (Ec. 2.51) a diferencia de la (Ec. 2.43) requiere aproximar la velocidad en el instante

tm , para lo que se propone:

U= U m U m1 + U

. t

(Ec. 2.52)

mtm 2

P K .U

C. U m U m1

(Ec. 2.53)

mmt

mU =

M + C. t

2

(Ec. 2.54)

K .t 2 + C.t

C.t

t 2

U m+1 = 2

.U 1 t m

.U+ t m1

.P t m

M + C.

M + C. M + C.

2

2

2

En definitiva, el procedimiento anterior es vlido si se reemplaza la (Ec. 2.43) por la (Ec.

02.53) y U se determina mediante (Ec. 2.51).

Sistemas No Lineales

La integral de Duhamel es una de las tcnicas ms usadas para anlisis dinmico lineal de estructuras sujetas a cargas variables en el tiempo. Como dicho procedimiento se basa en el principio de superposicin, es vlido nicamente para estructuras lineales, es decir para sistemas cuyas propiedades permanecen constantes durante todo el proceso dinmico (masa, rigidez, etc.). El procedimiento de integracin numrica paso a paso supone que las propiedades del sistema durante cada paso de integracin, pero stas pueden variar en funcin del tiempo.

Supngase el caso de una estructura con comportamiento no lineal debido a que su rigidez

vara con la deformacin como ilustra la Figura 2.26. Evidentemente, K

no es constante, de

modo que en cada paso de integracin el valor de K

U .

se puede adaptar en funcin del valor de

P

0U

Figura 2.26

Otro caso de inters es el comportamiento elasto-plstico. En general no se permiten deformaciones plsticas en condiciones normales de operacin, pero pueden contemplarse en el diseo de estructuras que soporten severas cargas dinmicas en casos poco frecuentes olimitados a lo largo de su vida til.

Considrese la funcin carga deformacinR U

de la Figura 2.28 como una

simplificacin del diagrama real de la Figura 2.27 (recordar que descargando en

H , la curva

de descarga es paralela a la curva de carga y tiene la misma pendiente

P

K ).

HPf

0U f

U m

Figura 2.27

R

R f

U fU mU0

D

Figura 2.28

Llamando R a la fuerza en el resorte la ecuacin de movimiento queda:

M .U + R = P(t )

(Ec. 2.55)

La fuerza R en el resorte depende de U segn se observa en la Figura 2.28:

R = K .U R = R f

0 < U < U f

U f < U < U m

(Ec. 2.56)

R = R f K.(U m U )

(U 2.U

) < U < U

mfm

Cuando con el clculo numrico se llegue al punto

D donde U = U m 2.U f , ser

necesario definir si el sistema permanece elstico o entra en fluencia por compresin al mismo valor que en traccin.Otra situacin fcil de tratar con el procedimiento paso a paso es el cambio de la masa durante la respuesta, ya que su valor se puede actualizar en cada instante. En tal caso ser necesario verificar que cuando la masa disminuye tambin disminuye el perodo natural T y puede resultar necesario adecuar el intervalo de integracin t para cumplir con los requerimientos de precisin y estabilidad de la solucin numrica (t/T 0, X 0 .

La energa de deformacin en un resorte es: Wi

= 1 .U T .P = 1 .U T .K .U22

Por analoga, para sistemas de mltiples grados de libertad, se tiene:

W = 1 .U T .K .U > 0 U 0i2

(Ec. 3.31)

La energa de deformacin es siempre positiva e igual al trabajo de las fuerzas exteriores P , ( P = K .U ). (U T es el vector desplazamiento transpuesto - puesto como vector fila para poder efectuar el producto).Por ser diagonal la matriz de masa, se tiene que X 0 :

m1

0 x1

(Ec. 3.32)

X T .M .X = [xx

x ]. m2

. x2 = m .x2 > 0

12n

fi # i i

0mn xn

Las (Ec. 3.31) y (Ec. 3.32) expresan algebraicamente que K

y M son matrices positivas;

adems, como ambas matrices son simtricas, los valores propios son reales y positivos.

Supngase por que las frecuencias naturales son todas distintas, es decir que:1 2 n

Cualquier modo i

con su correspondiente frecuencia i satisface el sistema (Ec. 3.18).

ii(K 2 .M ). = 0

(Ec. 3.33)

Si se multiplica ambos miembros por otro modo j (transpuesto) se tiene:

Para i j :

jiiT .(K 2 .M ).

= 0(Ec. 3.34)

Similarmente:

ijjT .(K 2 .M ).

= 0(Ec. 3.35)

Restando miembro a miembro (Ec. 3.35) a (Ec. 3.34) y reordenando queda:

(T .K .

T .K .

) 2 .(T .M . ) + 2 .(T .M .

) = 0

,j_

i i

,ji

,_j _,ij

,_i

_,j

(1)( 2)(3)

TTPor ser ( j .K .i ) un escalar, es tambin igual a su transpuesta: ( i .K . j ), y trmino (1) de

la expresin se anula. Por igual razn, (2) es igual a (3) y puede sacarse factor comn:

( 22 ).

T ..

Donde por ser i

j :

jiT .M . = 0

j i

j

M i = 0

(Ec. 3.36)

Por otro lado se puede desarrollar la (Ec. 3.34):

T .K .

2 .(T .M . ) = 0

jiiji

El segundo trmino es nulo por la (Ec. 3.36), luego:

jiT .K . = 0

(Ec. 3.37)

Las expresiones (Ec. 3.36) y (Ec. 3.37) indican que los modos de naturales de vibracin son ortogonales respecto a las matrices de masa y de rigidez. Estas dos propiedades son fundamentales para desarrollar en el prximo capitulo el mtodo de descomposicin modal.Por ser M una matriz diagonal (Ec. 3.36) puede expresarse:

r r mr .i . j = 0r

(Ec. 3.38)

iMultiplicando ambos miembros de (Ec. 3.36) por 2 resulta:

jiiT .( 2 .M . ) = 0

Esta expresin indica que el trabajo de las fuerzas de inercia asociadas a un modo i a travs de desplazamientos con la forma de otro modo j , es nulo.La (Ec. 3.37) expresa tambin que el trabajo de las fuerzas elsticas asociadas a una deformacin de un modo i es nulo cuando se da un desplazamiento de la forma de otromodo j .

jiT .( K . ) = 0Por ultimo, existe toda una familia de matrices ortogonales respecto de los modos, del tipo:

jiT . M .(M 1.K ) p .

= 0 < p < (Ec. 3.39)

Ntese que

p = 0 en la (Ec. 3.36) y

p = 1 en la (Ec. 3.37).

Matriz Modal Normalizada

Se mencion anteriormente que se puede normalizar los modos dividiendo todas las componentes por la componente de mayor valor absoluto, y en tal caso se ha normalizado respecto a esa componente especfica.Tambin es posible normalizar cada modo a travs del requerimiento que:

iiT .M . = 1

para lo cual bastar tomar cada modo Ui

(Ec. 3.40)

solucin del sistema (Ec. 3.27) y calcular:

iiU T .M .U

= M i

(Ec. 3.41)

para luego definir:

=

1 .U

(Ec. 3.42)

Miii

Reemplazando (Ec. 3.42) en (Ec. 3.40) se aprecia que efectivamente se verifica (Ec. 3.40)

y se cumple la condicin propuesta:

T .M . = I

(Ec. 3.43)

En ese caso los modos i

se dice que son ortonormales respecto a la matriz de masa

M . Naturalmente, si se adopta esa normalizacin no puede exigirse que los modos sean

tambin ortonormales respecto a la matriz de rigidezT .K . = K

K , ya que:

(Ec. 3.44)

Donde K ser una matriz diagonal debido a (Ec. 3.37), que sigue siendo valida cualquiera sea la normalizacin de los modos, pero sus componentes en la diagonal principal son en general distintos de la unidad.Por ltimo, mientras no se aclare lo contrario, se supondr que los modos sern normalizados respecto a la mayor componente a los efectos de facilitar la visualizacin de las formas modales.

3.5- Determinacin numrica de los Modos y FrecuenciasNaturales

La determinacin de las frecuencias naturales de vibracin como races del polinomio caracterstico, resulta a veces laboriosa para clculo manual en sistemas de ms de 3 grados de libertad. Por otra parte, la resolucin del problema de valores propios (o autovalores) se justifica en aquellos casos en que los modos superiores pueden tener una participacin

importante en la respuesta dinmica de la estructura, y los clculos necesarios deben realizarse con computadora.Para la determinacin de los modos naturales de vibracin mediante clculos manuales es corriente recurrir a los mtodos de Stodola, o de Holzer. Si bien ambos mtodos son iterativos, son fundamentalmente distintos en concepto.En el mtodo de Stodola se parte de una aproximacin inicial al modo fundamental y mediante un proceso iterativo se lo ajusta sucesivamente hasta alcanzar una aceptable aproximacin. Posteriormente, una vez conocida la forma modal se calcula la frecuencia de vibracin correspondiente como la raz cuadrada del cociente entre la Rigidez Generalizadadel modo ( T .K . = K ) y la Masa Generalizada T .M . = M

En el mtodo de Holzer, por el contrario, se requiere variar sucesivamente la frecuencia hasta alcanzar aquella que hace posible satisfacer las condiciones de apoyo. El modo de vibracin se determina en una segunda etapa.El primero de estos mtodos fue desarrollado por A. Stodola (1927) para el estudio de alabes de turbinas y el segundo por H. Holzer (1921) para el calculo dinmico de cigeales.

Mtodo de Stodola

Uno de los mtodos ms divulgados para determinar las frecuencias naturales con clculos manuales es el mtodo de Stodola, tambin a veces referido como Mtodo de Stodola- Vianello.

Este procedimiento iterativo permite ir aproximando por pasos sucesivos la forma modal y frecuencia de los modos. Una caracterstica de este mtodo es que permite aproximar el modo y la frecuencia fundamental de una manera rpida y sin tener que desarrollar explcitamente ni resolver la ecuacin caracterstica que corresponde a la condicin que el determinante sea nulo.Partiendo de la ecuacin del movimiento en vibraciones libres:K .U 2 .M .U = 0

Se expresa:

K .U = 2 .M .U

(Ec. 3.45)

Se trata de un problema homogneo y lineal en la incgnita U y se busca determinar los valores no triviales que satisfacen la expresin (Ec. 3.45).

Asumiendo un vector inicial tentativo U 0

(no trivial) para el vector U en el segundo

miembro de (Ec. 3.45) , el problema se reduce a resolver un problema esttico equivalente:K .U = P

Donde P

es igual a (2 .M .U ) .

0Si la matriz K

esNo singular (determinante distinto de cero), el sistema lineal no

homogneo tiene una nica solucin

U1 . Esta solucin puede ser utilizada como un nuevo

valor tentativo para U y as sucesivamente, hasta llegar a la convergencia. El mtodo de Stodola garantiza convergencia cuando el determinante de la matriz de rigidez es distinto de cero.

Secuencia de Iteracin

1 paso:

Se propone un U 0

inicial que cumple las condiciones de borde. Si bien U 0

puede ser

elegido arbitrariamente, en todo procedimiento iterativo el nmero de pasos necesarios para alcanzar la convergencia depende en alguna medida de cuan prximo est el valor inicial de la solucin. Por ello parecera conveniente estimar o intuir el modo fundamental utilizando

alguna deformada suave como se muestra en la corresponde al 1 modo.

Figura 3.11 y que generalmente

Figura 3.11

De cualquier manera no es el caso de perder mucho tiempo estimando la aproximacin inicial ya que el procedimiento lleva de todos modos necesariamente en algunos pasos de iteracin a determinar el primer modo, tambin llamado modo fundamental. Slo en el caso que la forma inicial que se proponga para el modo sea prxima a uno de los modos superiores

es de esperar que la convergencia al modo fundamental requiera muchos ms pasos de iteracin que si se usa una buena aproximacin inicial.2 paso:

Con la aproximacin inicial U 0

se recurre a la expresin (Ec. 3.45), dejando de lado 2 ,

que por el momento se supone igual a la unidad. Por la naturaleza del problema homogneo, cualquier mltiplo del modo es tambin otra expresin del mismo modo.Se requiere ahora resolver el sistema lineal:K .U1 = M .U 0

Este problema es el paso bsico de las iteraciones del mtodo de Stodola cuya solucin est al alcance de quien lo necesite.3 paso:

Se normaliza el vector U1

para obtener U1 .

La solucin U1 vendr magnificada o reducida respecto a U 0

ya que no se ha multiplicado

el segundo miembro por 2 . Para que no resulten nmeros muy grandes o muy pequeos al

cabo de varios pasos de iteracin, es conveniente normalizar el vector Ui en cada iteracin.

Para ello se dividen las componentes de Ui

por la componente de mayor valor absoluto.

A continuacin se repite el 2 paso con el valor de U1

proceso hasta que U converja con la precisin deseada.

recin obtenido, continuando el

En cada iteracin se resuelve el sistema

la nueva iteracin hasta la convergencia.

K .Ui = M .Ui 1 , se normalizaUi

y se prosigue con

Convergencia

a) Control de convergencia a travs de la forma del modo:

Una manera de medir la convergencia es comparar las componentes de Ui

con las

respectivas componentes de

Ui 1

. La norma de error puede ser adimensional, por ejemplo

sobre la base del porcentaje de variacin de cada una de las componentes. Suponiendo

normalizados tanto Ui de la presente iteracin como Ui 1

definir los cocientes:

de la iteracin anterior, se pueden

U 1U 2U n

(Ec. 3.46)

i 1 = i 1 = = i 1U 1U 2U niii

Una medida del error es que estos cocientes en general no son iguales entre si a menos que la forma modal del paso anterior (i-1) sea la forma modal exacta. En cada paso de iteracin el vector se aproxima ms al primer modo y los cocientes de la (Ec. 3.46) tienden al mismo valor.b) Control de convergencia por la frecuencia.

En lugar de emplear la expresin (Ec. 3.46) que implica un cociente para cada uno de los grados de libertad (GLD), resulta ms simple analizar la convergencia sobre el valor de la frecuencia que es un escalar.En cada paso de iteracin se puede calcular la frecuencia en cada paso, aunque en realidad

el clculo de la misma no es indispensable como parte del proceso de iteracin.

Cuando finalmente se llega a que 2

es una constante que establece la proporcionalidad

2entre cada una de las componentes de {K .U }

cumplir que:

y de {M .Ui 1} ; {K .Ui } =

.{M .Ui 1} , se

Ui =

1 .U 2

i 1

(Ec. 3.47)

Esta expresin, que se justifica formalmente ms adelante, permite expresar:

12n

(Ec. 3.48)

2 = Ui 1 = Ui 1 = = Ui 1U 1U 2U niii

De modo que resulta conveniente intercalar un paso de clculo en que se calcule la frecuencia antes de normalizar la solucin obtenida en el segundo paso. Las expresiones (Ec.3.48) dan en general valores diferentes de 2 segn la componente del vector U que se

considere, y se puede adoptar como lmite de convergencia un cierto valor de la mxima diferencia entre todos los valores de 2 de la misma iteracin. Otra alternativa es calcular el valor promedio de 2 dado por las expresiones de la (Ec. 3.48) y considerarlo como estimador de la frecuencia en cada paso.Otra manera de estimar el valor de la frecuencia en cada iteracin es a travs del Cociente de Rayleigh, que resulta del multiplicar a ambos miembros de la expresin (Ec. 3.45) por latranspuesta del modo UT y despejar 2 :

U T .K.U = 2 .U T .M .U

T

(Ec. 3.49)

2 = U .K .U U T .M .U

El numerador es la rigidez generalizada en el modo considerado y el denominador es lainercia o masa generalizada. Esta expresin es exacta cuando U es la forma modal exacta, y ser utilizada cuando se aplique el mtodo de descomposicin modal.

i 2 =

K iM i

(Ec. 3.50)

Hay una serie de cocientes modificados, todos derivados de la expresin (Ec. 3.49), que tratan de mejorar la aproximacin utilizando la forma modal anterior y la actual para extrapolar un valor ms aproximado de la frecuencia.A los efectos del presente curso, para estimar la frecuencia resulta suficiente tomar la forma modal de cada iteracin y reemplazarla en (Ec. 3.49). Ntese que el valor de la frecuencia 2 no depende si se usa la forma modal normalizada o sin normalizar.Uno de los criterios de convergencia ms simples consiste en intercalar en cada iteracin un paso que calcule la expresin (Ec. 3.50) y comparar la frecuencia as obtenida con el valor correspondiente al paso anterior, y verificar que la variacin no supere incierto porcentaje prefijado como tolerancia.Debe sealarse que la precisin en la forma modal es en general inferior a la de la frecuencia. Por ejemplo, no es lo mismo decir que de un paso al siguiente el cambio de la frecuencia es menor del 2%, que decir que la diferencia en cada componente del modo o an en promedio, es menor del 2%. En general es ms exigente el criterio aplicado sobre el modo ya que la frecuencia calculada segn (Ec. 3.50) es una especie de promedio y los errores de distinto signo tienden a compensarse en la estimacin de la frecuencia.

Cuando interesa una estimacin rpida de la frecuencia fundamental es suficiente controlar la convergencia a travs del valor de . Cuando con este mtodo se quiere calcular varios los modos es indispensable alcanzar una buena

convergencia en el modo porque de lo contrario las condiciones de ortogonalidad llevan a errores significativos en el clculo de los modos superiores.

Hasta aqu la secuencia de iteracin presentada permite obtener el modo fundamental. Si se desea adems determinar el segundo modo, bastar aplicar el mismo mtodo pero con un vector aproximado cuya ortogonalidad respecto del primer modo est garantizada. Por lo tanto si la aproximacin del primer modo es pobre, no se puede pretender llegar a una buena aproximacin para el segundo modo. Para determinar varios modos se requiere establecer

criterios de convergencia muy exigentes ya sea en el modo o en la frecuencia. A manera de ejemplo, una tolerancia de convergencia en la frecuencia del 1% en dos pasos consecutivos que puede ser aceptable para estimar la frecuencia fundamental, resulta en general insuficiente para determinar los modos superiores.Cuando se desea determinar varios modos el criterio de convergencia requiere cierta experiencia emprica segn el tipo de estructura. Por ejemplo, para 20 GLD y si slo se desean calcular 3 modos no es necesario ser tan exigentes en la tolerancia de convergencia como para calcular 6 modos, porque a los ltimos modos se le acumulan errores de todos los modos anteriores.

Demostracin de la Convergencia del Mtodo de Stodola

Una aproximacin cualquiera U puede expresarse como una combinacin lineal de los

modos naturales V j

cada modo:

a travs de coeficientes indeterminados

U = q1.1 + q2 .2 + + qn .n nUi = qij .ij =1

q j que son las componentes en

(Ec. 3.51)

El ndice i se refiere al paso de iteracin i , mientras que el ndice j se refiere al modo natural j .En vibraciones libres se tiene: {K .U 2 .M .U } = 0

Multiplicando por la inversa de M eso implica que:

M 1.K 2 .I = 0

Los modos naturales de vibracin son los vectores propios de la matriz

1valores propios son iguales el cuadrado de la frecuencia natural de vibracin.

M 1.K

y los

Por otro lado:

K.Ui = M .Ui 1

Ui = K

.M .Ui 1

La matriz inversa de

M 1.K es decir,

K 1.M tendr los mismos vectores propios ,

j.2pero con valores propios recprocos, vale decir1j

Ntese tambin que por definicin de modo y frecuencia natural se tiene que:

21 .j

jj= K 1.M .

11Multiplicar al vector modo j

por K

1.M

equivale a dividir sus componentes por 2 :

1K

.M .U = q1. K

.M .1 + q2 . K

.M .2 + + qn . K

.M .n

K 1.M .U = q . 1

. + q . 1

1. + + q . 1 .

1 2

12 22

n 2n

12n

Sintetizando: K 1.M .U

n

i 1

= Ui

(Ec. 3.52)

Ui =

j =1

1

qij .2j

. j

De la comparacin de (Ec. 3.51) y (Ec. 3.52) resulta evidente que en cada paso de

iteracin la componente de cada modo q j

crece con el cuadrado de la inversa de la

frecuencia

j de ese modo. De esta manera, la componente q j

que mas crece es la

correspondiente a la frecuencia mas baja, vale decir, la correspondiente al modo

fundamental.

Durante el proceso de iteracin de este mtodo la componente del modo fundamental q1tiende a 1, mientras que las restantes componentes tienden a 0. Al alcanzar el nivel de convergencia establecido la expresin (Ec. 3.52) se reduce a:

1

Ui = 1.21

.1

(Ec. 3.53)

que demuestra la expresin (Ec. 3.47).

La convergencia del mtodo de Stodola al primer modo queda en consecuencia

garantizada cuando la matriz de rigidez K

es definida positiva.

Mtodo Stodola para obtener el modo de ms alta frecuencia

En el proceso iterativo planteado para determinar el modo fundamental se adopt un valor tentativo de U en el segundo miembro de la expresin (Ec. 3.45) y se resolvi un sistema de

ecuaciones lineales cuya matriz es K .

K .U = 2 .M .U

Se propone ahora un valor U para el primer miembro, segn el siguiente esquema:

M .Ui

= 1 .K .U2

i 1

(Ec. 3.54)

Como la matriz M es diagonal las ecuaciones estn totalmente desacopladas y la solucin es inmediata.Es evidente que este procedimiento resulta operativamente mucho ms simple pero ocurre

que en cada iteracin las componentes de cada modo crecen proporcionalmente al cuadrado

de su frecuencia j

y el mtodo converge al modo ms alto.

Segn se ha indicado anteriormente, los modelos de masas concentradas son una buena representacin para los modos bajos, pero no tan buenas para los modos altos. Por consiguiente esta forma de operar segn (Ec. 3.54) no se utiliza corrientemente porque nos lleva al modo ms alto, y el modelo de masas concentradas no constituye una buena aproximacin al problema fsico real. Naturalmente, es posible determinar el modo fundamental con esta secuencia de iteracin, determinando previamente todos los modos superiores, comenzando por el de ms alta frecuencia.

Resumiendo, la expresin (Ec. 3.54) permite determinar de una manera expeditiva los modos altos que de cualquier manera no son de gran precisin por incapacidad del modelo de masas concentradas de representar bien a dichos modos.

Obtencin del segundo modo y su frecuencia

Una vez obtenido el primer modo se puede aplicar el mismo procedimiento anteriormente descrito para obtener el segundo modo.En cada paso, la forma tentativa del segundo modo deber ser ortogonal al primero.

Sea 1

el primer modo, donde el subndice indicara el modo, y el sper-ndice indica la

componente del modo.

11

2

= 1 1 # n

0La forma modal aproximada inicial (U 2 )

modos:

1

tendr en general componentes en todos los

0(U 2 )

n= q1.1 + q2 .2 + + qn .n = q j . jj =1

(Ec. 3.55)

La componente que crecer ms en cada iteracin ser q1 , por lo que se trata de anularla

mediante un barrido en cada iteracin.

0*0A partir de (U 2 )

se puede determinar una aproximacin (U 2 )

ortogonal al primer modo:

(U 2 )

= (U 2 )

q1.1

(Ec. 3.56)

*00(U ) * = 0.

+ q .

+ + q .

2 012 2n n

TPara determinar q1 en la expresin (Ec. 3.55) se multiplica ambos miembros por {1 .M } :

1 .M .(U 2 )

= q1.1 .M .1 + q2 .1 .M .2

+ + q .

.M .

TTT0

T

n 1nn 1n

2 12Donde los trminos:

Luego:

q .T .M .

+ + q .T .M .

son cero por ortogonalidad

rr

1 .M r .(U 2 )T .M .(U )0

(Ec. 3.57)

12 0 rq ==1Tr 2

1 .M .1

M r .(1 )r

Secuencia iterativa

0d) Se propone (U 2 )

e) Se calcula q1 segn (Ec. 3.57)

2 0f)Se determina (U

) * segn (Ec. 3.56).

g) Se resuelve

K .(U 2

= M .(U 2

))11*0h) Se normaliza la solucin (U 2 )

i)Se estima la frecuencia segn (Ec. 3.49)

1j)Se repite el paso d) utilizando en el segundo miembro (U 2 ) .

*Observacin:

En realidad la componente que ms crece en cada paso es

q1 que para (U 2 )

no es

iexactamente nula debido a los errores numricos por truncacin y redondeo. Para garantizar la convergencia al segundo modo se deben repetir en cada paso de iteracin los pasos a), b) y c).

Partiendo de (U 2 )

.i 1

Obtencin de los modos superiores al segundo

Una vez obtenido el segundo modo, se aplica el mtodo con una forma modal aproximada

0(U3 )

la que debe transformarse en una forma modal ortogonal tanto al primero como al

segundo modo:

0(U3 )

Luego:

= q1.1 + q2 .2 + + qn .n

(Ec. 3.58)

03)0(U3

) * = (U

q1.1

q2 .2

(Ec. 3.59)

(U ) * = 0.

+ 0.

+ q .

+ + q .

3 0123 3n n

1Multiplicando ambos miembros de (Ec. 3.58) por T .M

n

resulta por ortogonalidad: (Ec. 3.60)

T .. ()

1 .M

. (U 3 )

rrM Ur

0r2q = 1 3 0 = r =1

111 T .M .

n M r . (1 )

r =1

2Multiplicando ambos miembros de (Ec. 3.58) por T .M

2 .M r .(U3 )n

resulta por ortogonalidad:

(Ec. 3.61)

rrT .M .(U )023 0 r =1

r2q ==

222T .M .

n M r

.(2 )

r =1

La secuencia iterativa es la misma utilizada para obtener el 2 modo:k) Se propone (U3 )0

l)Se calcula q1 segn (Ec. 3.60) y q2 segn (Ec. 3.61)

3 0*m) Se determina (U

) * segn (Ec. 3.59)

n) Se resuelve el sistema

K .(U3

= M .(U3

))110o) Se normaliza la solucin (U3 )

p) Se determina la frecuencia segn (Ec. 3.49)

q) Se repiten los pasos d) , e) y f) hasta convergencia.

El procedimiento descrito para obtener el segundo y tercer modo puede generalizarse para obtener todos los restantes modos superiores.

En sntesis, el mtodo de Stodola es muy conveniente para determinar los primeros modos, pero no es en general el ms adecuado para determinar los modos superiores. Todo depender del grado de precisin con que se trabaje y el nmero de GLD.Cuanto mayor sea el nmero de GLD habr mayor acumulacin de errores ya que los modos superiores se determinan por la condicin de ortogonalidad respecto a los modos anteriores.

El mtodo de Stodola es una de las formas ms simples y rpidas de obtener el modo fundamental por repeticin de pasos de calculo esttico.

La determinacin del modo y la frecuencia fundamental se convierte casi en un clculo esttico. Una forma particular del mtodo de Stodola para estimar la frecuencia fundamental y el primer modo conocido como Mtodo de Rayleigh consiste en adoptar un procedimientoespecial para proponer U 0 , que consiste en adoptar como vector de carga inicial {M .U 0 } al

vector del peso propio de la estructura. Con dicho vector se procede a resolver el sistema de ecuaciones de la primera iteracin de Stodola, se determina la solucin U1 , y con ese valor sedetermina la frecuencia fundamental a travs de:

T1T 2 = U1

.K.U1

U1 .M .U1

Los pasos de este procedimiento simplificado para estimar el modo y la frecuencia fundamental se ilustran en los ejemplos de la Figura 3.12

m1.g 1

m3.g3

m2 .g

m2 .g22

m1.g

m3.g

123

m4 .g

4

m5 .g

5

6

m .g

m3.g 31

m1.g

m2 .g 6

Figura 3.12

Este procedimiento implica que en lugar de estimar U 0

como se hace en la forma normal

del mtodo de Stodola, se define un vector de aproximacin ( M .U 0 ) que es directamente el peso de la estructura aplicado en la direccin en que se producen las deformaciones de inters. En el caso de la columna con tres masas, las fuerzas asociadas al peso se aplican en direccin horizontal, mientras que en el caso de la viga las cargas del peso propio se aplican en la direccin vertical en el primer paso de Stodola.La deformacin esttica causada por el peso de las masas ser utilizada como primera

aproximacin U 0

la forma habitual.

del mtodo de Stodola, y si se desea mayor precisin se continua luego en

Mtodo Holzer

k1m1

k2 m2 k3 m3 k4m4

Figura 3.13

Este procedimiento esta orientado a la solucin de casos donde la geometra de la pieza es bsicamente unidimensional (o representable por un modelo unidimensional) como el caso delas Figura 3.13 y 3.14.

inercia rotacional concentrada

rigidez torsional equivalente

Figura 3.14Este mtodo consiste en suponer un valor de 2

para el que comenzando desde un

extremo de la pieza se integra hasta el otro extremo, ajustando sucesivamente 2

para

cumplir las condiciones de borde en los dos extremos. Es muy utilizado en conjuncin con la tcnica de matrices de transferencia.En ingeniera mecnica el mtodo Holzer resulta muy conveniente para el estudio de vibraciones torsionales de ejes, cigeales, etc.

Captulo 4

Mtodo de Descomposicin Modal

Introduccin

En el capitulo anterior se ha tratado el problema de vibraciones libres que implica resolver un sistema de ecuaciones diferenciales homogneo (2do. miembro nulo):K .U + M .U = 0Ahora se considera el caso de un sistema de mltiples GLD bajo cargas variables en el

tiempo:K .U + M .U + C.U = P(t)

La solucin de este sistema de ecuaciones diferenciales es muy laboriosa aun en el caso de emplear mtodos numricos. Para simplificar el problema se introduce una transformacin de coordenadas adecuadas para las cuales, aprovechando las condiciones de ortogonalidad, es posible llegar a un sistema de ecuaciones desacoplado, (una sola incgnita en cada ecuacin).

4.1- Coordenadas Normales

Se retoma el ejemplo de la viga en voladizo con tres masas (Figura 4.1) tratada en el Captulo 3. La configuracin deformada en el problema dinmico est dada por el vector desplazamiento U .

m3 m2 m1

U1

U 2 U3 =U1

0 0

3 2 1

U3 U2 U1=

U1

++ 0

U 2 U2 0 ++ 0

0U3U3

Figura 4.1Una forma de expresar el vector desplazamiento es por medio de una combinacin lineal de la base cannica:

U1 100 U 2 = U1. 0 + U 2 . 1 + U3 . 0U =U3

0

0

1

(Ec. 4.1)

Cada vector e j

de la base cannica corresponde a una configuracin deformada en la cual

el desplazamiento prefijado en el grado de libertad j es la unidad y los desplazamientos en los restantes GLD son nulos. Para los grados de libertad no dinmicos no se impone ninguna condicin.Los modos de vibrar pueden tambin utilizarse como una base para expresar el vector

desplazamiento. El estado deformado U de la Figura 4.1 puede expresarse como combinacin lineal de los vectores modo:

U

1 1 1

(Ec. 4.2)

1123

U = U

= q . 2 + q . 2 + q . 2

2 U

112233 3 3 3

3

1

2 3

U = q1.1 + q2 .2 + q3 .3 = qi .ii

(Ec. 4.3)

En notacin matricial:U = .q

(Ec. 4.4)

U=

q1.1+

q2 .2+

q3.3

Los coeficientes qi

Figura 4.2

de la combinacin l