Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Dokuz Eylül Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Metalurji & Malzeme Mühendisliği
END 3618 & END 4822 Kalite Planlama & Kontrol
Mart - 2019
Bölüm 4: Değişkenler (Ölçülebilir Kalite
Özellikleri) İçin Kontrol Kartları
Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN
Kontrol Kartı Uygulaması Öncesinde
Hazırlıklar 1. Kontrol edilecek kritik kalite karakteristiğinin seçilmesi (Standartlar, şartnameler
veya anlaşma/sözleşmede belirtilmiş olabilir, ortalaması ve standart sapması belli olabilir).
2. Süreç kontrol yönteminin incelenmesi (Süreçteki düzensizliklerin nerede ve nasıl
oluştuklarının incelenmesi. Makineden, hammadde veya ürün bileşenlerinden,
personelden vs. kaynaklanabileceğinin belirlenmesi ve kontrol dışı aksiyon planı
hazırlama,
3. Ölçüm aletlerindeki hatalar ve eksikliklerinin süreç düzensizlikleri üzerindeki
etkisinin minimize edilmesi gerekmektedir (Ölçüm sistemlerinin hassasiyeti),
4. En uygun kontrol kartının seçilmesi (Ölçülebilen veya ölçülemeyen kalite
karakteristikleri),
Not: Nitelikler için kontrol kartı kullanılacaksa, birbirini izleyen örneklem büyüklükleri
farklı ise kusurlu sayısından (np - grafiği) ziyade, kusurlu oranının (p – grafiği)
kullanılması uygun olacaktır).
Örneklem büyüklüğü, rasyonel alt kontrol grubu sayısı ve örneklem
alma zaman aralıklarının belirlenmesi,
Aralıksız olarak birbiri ardından gelen gözlem değerlerinden oluşan alt
grup ölçümü n (Örneklem büyüklüğü), sayısı ise k (Örneklem sayısı)
olan örneklemler alınmalıdır.
Alt grup ölçümü değişkenler için n = 2 - 12 arasında, nitelikler için ise
n = 10-50 arasında olmalıdır.
Alt gruptaki örneklem sayısı en az k = 20 - 25 olmalıdır.
Kontrol Kartı Uygulaması Öncesinde
Hazırlıklar
Kontrol Kartlarında Veri Dağılışının (Pattern - Örüntü) Analizi
Tekrarlı/döngüsel örüntü
(Çevresel faktörler: sıcaklık/basınç,
operatör yorgunluğu, bakım çizelgeleri,
voltaj veya basınçtaki dalgalanmalar)
Not: Kontrol limitleri dışında herhangi bir nokta
olmamasına rağmen, kontrol kartı üzerindeki noktalar
örüntü oluşturuyorsa, süreç kontrol dışındadır.
Karışık örüntü (Ölçüm verileri paralel
makinelerden geliyorsa, proses üzerinde
çok sık ayar ve kontroller yapmak)
Proses ortalamasında kayma
(Yeni/deneyimsiz operatör, imalat
yöntemi veya hammaddenin
değiştirilmesi, çalışan motivasyonu)
Proses ortalamasının sürekli artış/azalış
göstermesi (Artan veya azalan trend); imalat
sürecinde kullanılan alet/edevatın aşınması,
operatör yorgunluğu, yönetim/denetimin etkin
olmaması, sıcaklık gibi mevsimsel etkiler vs.
bu tür örüntülere sebep olur.
Katmanlaşma tipinde
(Stratification) Örüntü
Kontrol limitlerinin yanlış belirlenmiş
olması, örnekleme esnasında yapılan hatalar
(5 farklı paralel prosesten 5’er gözlem değeri
içeren örneklemeler alınması).
Pattern Tanımlamada Western Electric
Bölge Kuralları
Kontrol kartları kullanımının ilk aşamasında, m adet geçmiş üretimden(tamamlanmış üretimden) sürecin geçmişte kontrol altında olduğu düşünülen birzamanda alınan örneklemler ile deneme kontrol limitleri hesaplanır.
Eğer tüm noktalar kontrol limitleri dahilinde ise ve herhangi bir sistematikdağılım göstermiyorlarsa (pattern - örüntü oluşturmuyorlarsa), sürecingeçmişte kontrol altında olduğu ve hesaplanan deneme kontrol limitlerininmevcut ve gelecek üretimin izlenmesi için uygun olduğu sonucuna varılır.
Eğer geçmişteki üretimin kontrol altında olduğu hipotezi reddedilirse, kontroldışı noktalara neden olan özel nedenler araştırılır ve bu noktalar mevcut verisetinden temizlenerek, geriye kalan diğer gözlem değerleri kullanılarak kontrollimitleri revize edilir.
Bu durumda dikkat edilmesi gereken önemli bir husus, başlangıçta kontrolaltında olan bazı noktaların, kontrol limitleri revize edildikten sonra kontrol dışıkalabilme durumudur. Çünkü, revize edilen kontrol limitleri bir önceki limitleregöre daha sıkı (daha dar) olacaktır. Bu süreç, tüm noktaların kontrol altındaolduğu duruma kadar devam edecektir.
Kontrol Kartı Uygulamalarının I. Aşaması:
Deneme Kontrol Limitlerinin Elde Edilmesi
Bazı durumlarda, kontrol dışı noktalar için kaynağı belirlenebilen özel nedenlerbulmak mümkün olmayabilir. Bu durumda, kontrol dışı noktalar göz ardı edilerek,mevcut üretim sürecinin kontrolü ve izlenmesi amacıyla, deneme kontrol limitlerikullanılmaya devam edilebilir.
Eğer bu noktalar gerçekten kontrol dışı bir duruma karşılık geliyorsa, bu durumdaoluşturulan deneme kontrol limitleri olması gerekenden daha geniş durumdaolacaktır. Çok sayıda kontrol dışı noktadan ziyade, eğer bir veya iki kontrol dışı noktasöz konusu ise ve kaynağı belirlenemiyorsa, bunlar kontrol kartını önemli ölçüdeetkilemeyecektir. Eğer, daha sonra alınan örneklemler ile sürecin kontrol altındaolduğu görülüyorsa, bu noktalar rahatlıkla göz ardı edilebilir.
Eğer hem 𝑋 hem de R kontrol kartında, deneme kontrol limitleri dışında kalan çoksayıda nokta mevcutsa, her bir nokta için kaynağı belirlenebilen özel bir neden bulmakçok zor olacaktır. Bu durumda, kontrol kartı üzerindeki rastgele olmayan sistematikdağılışlara (örüntülere) odaklanmak gerekecektir. Çünkü, örüntüye neden olan özelnedeni tespit etmek genellikle daha kolaydır. Prosesin bu örüntülerden arındırılmasıönemli ölçüde süreç iyileştirme (Değişkenliği azaltma) sağlayacaktır.
Kontrol Kartı Uygulamalarının I. Aşaması:
Deneme Kontrol Limitlerinin Elde Edilmesi
Örnek - 1
Sürecin kontrol altında olduğu düşünülen bir zamanda, geçmiş üretimden her biri 5 gözlem değerinden oluşan toplam 25 örneklem, 1 saat arayla alınarak alt kontrol grupları oluşturulmuş ve kalite karakteristiği değerleri ölçülerek yandaki tabloda verilmiştir.
Not: 𝑋 − R kontrol kartları oluşturulurken, önce R grafiğinden başlanmalıdır. Çünkü 𝑿 kontrol kartı limitleri, proses değişkenliği dikkate alınarak hesaplanır, süreç değişkenliği kontrol altında olmadıkça, aritmetik ortalama kontrol grafiğinin limitlerinin de bir anlamı olmayacaktır.
R - Kontrol Grafiği
Sürecin kontrol dışında olduğuna dair (16. gözlem değerine dikkat
edilmeli – üst kontrol limiti üzerinde) bir işaret yoktur.
Bu nedenle, R kontrol grafiğine göre süreç değişkenliği kontrol
altında olduğundan, 𝑋 kontrol grafiği de oluşturulabilir.
𝑋 − Kontrol Grafiği
Hem 𝑿 hem de R kontrol grafiği sürecin kontrol altında olduğunu
işaret ettiğinden, I. aşamada hesaplanan deneme kontrol limitlerinin
güvenilir olduğu ve 2. aşamada gelecek üretimin izlenmesinde
kullanılabileceği sonucuna varılmıştır.
Standartların Tahmin Edilmesi
Proses ortalamasının tahmin edilmesi:
Proses standart sapmasının tahmin edilmesi:
Etkin ve efektif kontrol kartı uygulaması, kontrol limitleri ve merkez çizgininperiyodik olarak revize edilmesini gerektirir (Her hafta, her ay, her 25, 50 veya100 örneklemde bir gibi). Kontrol limitlerini revize ederken, en az 20-25 altkontrol grubu veya 200-300 gözlem değeri ile çalışılması gerekir.
Bazı durumlarda, kalite mühendisleri 𝑿 kontrol grafiğinin merkez çizgi değeri
yerine, kalite karakteristiğinin hedef değerini 𝑿𝟎 kullanabilirler.
Eğer R kontrol kartı, süreç değişkenliğinin kontrol altında olduğuna işaretediyorsa, proses ortalamasındaki değişimleri tespit etmek amacıyla, hedefdeğerin kullanılması uygun olacaktır.
Bazı durumlarda, kontrol dışındaki bir noktanın gerçekten rassal olmayan özelbir nedene bağlı olarak mı kontrol dışında olduğu, yoksa merkez çizginin doğruseçilmemesinden dolayı mı kontrol dışında olduğuna karar vermek zordur.
Eğer R kontrol grafiği kontrol dışı bir duruma işaret ediyorsa, genellikle kontroldışı nokta elimine edilip, 𝑅 değeri revize edilerek kontrol limitleri yenidenhesaplanmalıdır.
Kontrol Limitleri & Merkez Çizginin Revize Edilmesi
𝑹 değeri revize edildiği için ve bu değer 𝑿 kontrol grafiğinde kontrol
limitleri hesabında kullanıldığı için 𝑿 kontrol grafiği limitleri de revize
edilmelidir.
Bu durumda her iki kontrol kartının da limitleri daha da sıkılaşacak
ve prosesin standart sapması 𝝈 ile daha uyumlu hale gelecektir.
Aynı zamanda, revize edilen 𝑹 değerinin, 𝑹 𝒅𝟐eşitliğinde
kullanılmasıyla popülasyonun standart sapması da gerçeğe daha
uygun tahmin edilebilecektir.
Popülasyon veya proses standart sapmasının 𝝈 tahmin edilmesi ile de
proses yeterlilik analizlerinin gerçekleştirilmesi sağlanacaktır.
Kontrol Limitleri & Merkez Çizginin Revize Edilmesi
Aşama II - 𝑋 ve R Kontrol Kartları ile Gelecek
Üretimin İzlenmesi
Kontrol kartı uygulamasının I.
aşamasında, güvenilir deneme
kontrol limitleri elde ettikten sonra, 𝑋 - R kontrol kartları, gelecek
üretimin izlenmesinde kullanılabilir
(II. Aşama).
I. aşamada güvenilir kontrol
limitleri elde ettikten sonra, imalat
sürecinden 20 ekstra örneklem
daha toplanmış ve yandaki tabloda
verilmiştir.
Süreç değişkenliği açısından, kontrol dışı bir duruma rastlanmamıştır.
Ancak, 38. alt kontrol grubu sonrasında, 𝑿 - kontrol grafiğinde,
proses ortalamasında kayma tespit edilmiştir. Proses ortalamasındaki
artışı daha hızlı tespit edebilmek için Western Electric’in
hassaslaştırma kuralları kullanılabilir.
Proses Ortalamasındaki Kaymanın Tolerans
Diyagramı ile Tespiti
Western Electric’in hassaslaştırma kuralları, kontrol dışına çıkması
muhtemel proses ortalamasını, yaklaşık 40. alt kontrol grubunda tespit
edebilecektir. Ancak bu kuralların, olağan şekilde devam eden stabil bir
prosesin izlenmesinde kullanılması, yanlış alarm sıklığını arttırabilir.
Bu nedenle, kontrol kartlarının
analizinde, her bir alt kontrol
grubundaki bireysel gözlemlere kadar
odaklanabilen, tolerans diyagramının
(Tier chart) kullanılması önerilmektedir.
Not: MINITAB istatistiksel paket
programında, ‘box plot’ kullanılarak,
tolerans diyagramı oluşturulabilir.
Tolerans diyagramından, 38 – 45. örneklemleri arasında, proses ortalamasının 1.5056’dan 1.6633’e çıktığı görülmektedir.
Proses ortalamasındaki bu kayma, müşteri spesifikasyonlarınısağlamayan, kusurlu ürünlerin üretimine neden olacaktır.
Proses ortalamasında artışa neden olan özel değişkenlik nedeni tespit edilip, kontrol dışı aksiyon planında yer alan gerekli önlemler alınarak, giderilmeye çalışılmalıdır.
Proses Ortalamasındaki Kaymanın Tolerans
Diyagramı ile Tespiti
Doğal Tolerans Limitleri, Kontrol Limitleri
ve Spesifikasyon Limitleri
𝑋 −R kontrol kartlarına ait kontrol limitleri ve spesifikasyon limitleri
arasında, matematiksel veya istatistiksel herhangi bir bağlantı veya ilişki
bulunmamaktadır. Bu nedenle, spesifikasyon (özellik)
limitlerinin kontrol kartları üzerinde,
kontrol limitleri ile birlikte gösterilmesi
doğru bir gösterim değildir.
Bunlar ancak doğal tolerans limitleri ile
birlikte gösterilebilir.
Spesifikasyon limitleri, yönetim, üretim
mühendisleri, müşteriler veya ürünü
tasarlayan kişiler tarafından belirlenir.
Doğal tolerans limitleri ise proses
ortalamasına 3σ ekleyip, çıkararak
oluşturulur.
Eğer doğal tolerans sınırları, spesifikasyon sınırlarının içerisindeyse
proses ölçümlerinin %99.73’ü spesifikasyon sınırlarında üretilmektedir.
Bu durumda, prosesin spesifikasyonları karşılamada yeterli olduğu
söylenebilir.
Böylece, eğer 𝑿 − R kontrol grafikleri prosesi izlemek için
kullanıldığında, prosesin istatistiksel anlamda kontrol altında olduğu
tespit edildikten sonra spesifikasyonları karşılayıp karşılamadığı
belirlenmelidir.
Doğal Tolerans Limitleri, Kontrol Limitleri
ve Spesifikasyon Limitleri
İdeal durum, spesifikasyon limitlerinin, kontrol
limitlerini kapsamasıdır.
Bir başka deyişle, kontrol limitlerinin,
spesifikasyon limitleri içerisinde yer almasıdır.
𝑿 - kontrol grafiği, proses ortalamasındaki sapmaları belirlemek için
kullanıldığından, farklı örneklemler/rasyonel alt gruplar arasındaki
değişkenlik büyük olacak şekilde örneklemler seçilmelidir (Snapshot
yaklaşımı – aynı zaman yöntemi kullanılmalı).
R – kontrol grafiği ise, aynı örneklem içerisindeki değişkenliğin
fazla olması durumunda süreç hakkında uyarılar ürettiğinden,
örneklem içerisindeki rassal veya şansa bağlı değişimleri
ölçebilecek şekilde seçilmelidir (Rastgele örnekleme yaklaşımı –
süre zaman yöntemi).
Rasyonel Alt Kontrol Gruplarının Oluşturulması
Örneklem büyüklüğü, örnek alma sıklığı ve kontrol limitlerinin
belirlenmesi, kontrol kartı tasarımı ile ilgilidir.
Örnek alma ve ölçme maliyetleri dikkate alınmalıdır.
𝑿 - kontrol grafiği, proses ortalamasından 2𝝈 ve daha fazla kaymaları
(3𝝈 ) ölçmek için kullanılacaksa, n = 4, 5 veya 6 şeklinde küçük
örneklem büyüklükleri ile çalışılabilir. Proses ortalamasından küçük
miktardaki sapmalar tespit edilmeye çalışılıyor ise (1.5𝝈 ve altı),
örneklem büyüklüğü n = 15 – 25 arasında olmalıdır.
Örneklem büyüklüğünü arttırmaya alternatif olarak, uyarı/ikaz
limitlerini ve hassaslaştırma kurallarını kullanmak veya EWMA &
CUSUM kontrol kartları kullanılarak proses ortalamasındaki küçük
kaymalar hızlı bir şekilde tespit edilebilir.
Uygun örneklem büyüklüğünün tespit edilmesinde, 𝑿 −R kontrol
kartlarına ilişkin operasyon karakteristik eğrileri kullanılabilir.
Kontrol Kartı Tasarımı için Kılavuz
Operasyon karakteristik eğrisine göre,
örneklem büyüklüğü arttıkça, sürecin kontrol
dışında olduğuna işaret eden bir örneklem
ortalamasının, kontrol limitleri arasında kalma
olasılığı azalır (II. tip hata olasılığı azalır).
Sanayi de yaygın olarak, sık sık ve az az
örneklem alınması yolu tercih edilmektedir
(Kusurlu ürün üretmenin maliyetinin
yüksek olduğu durumlarda tercih edilmeli).
𝑋 - Kontrol Grafiği için Operasyon Karakteristiği Eğrisi
Üretim oranı ve hızının yüksek olması ve örneklem alma maliyetinin düşük olması
durumlarında, yüksek hacimli ve daha sık (Her 15 dk’da bir) örneklemler alınmalıdır.
Kontrol limitleri belirlenirken, eğer I. Tip hata yapma olasılığı azaltılmak isteniyorsa,
daha geniş (3.5-sigma) kontrol limitleri ile çalışılmalıdır. Kontrol dışı durumlar kolay ve
hızlı bir şekilde tespit edilebiliyorsa, daha dar (2.5-sigma) kontrol limitleri ile çalışılabilir.
𝑋 - R Kontrol Kartlarında Örneklem
Büyüklüğünün Değiştirilmesi
Alt kontrol grupları içerisindeki gözlemlerin sayısı (örneklem büyüklüğü, n)her zaman sabit olmayabilir.
Değişken örneklem büyüklüğü ile çalışıldığında, R kontrol kartının merkezçizgisi değişkenlik göstereceğinden ve bu da kalite kontrol mühendisi içinyorumlama güçlüğüne yol açacağından, bunun yerine standart sapma,
S-kontrol grafiğinin kullanılması önerilir.
Ancak bazı durumlarda, örneklem büyüklüğünde kalıcı veya belirli bir dönemiçin kısmen kalıcı değişiklikler yapılabilir (Örneğin örneklem büyüklüğü 5’ten3’e düşürülebilir).
Bunun nedeni, süreç olağan bir şekilde devam ediyorsa (stabil süreç), dahaaz ölçüm yapıp, kalite kontrol için daha az kaynak atayıp maliyetleriazaltmak olabilir. Bu tür durumlarda, ekstra örneklem almadan, yeni kontrollimitleri, eski kontrol limitleri üzerinden hesaplanıp, revize edilebilir.
Yeni Örneklem Büyüklüğü için Revize
Kontrol Limitlerinin Hesaplanması
𝑿 −Kontrol grafiği için revize kontrol limitleri:
𝑋 − değeri değişmez, 𝐴2 faktörü
değeri, yeni örneklem büyüklüğü
için belirlenir.
R−Kontrol grafiği için revize kontrol limitleri:
𝐷3 ve 𝐷4 faktörlerinin değeri, yeni
örneklem büyüklüğü için belirlenir.
Örnek - 2
Üretim sürecinin sürekli olarak
kontrol altında devam etmesinden
ötürü, proses mühendisleri öncesinde 5
olan örneklem büyüklüğünü 3’e
düşürmeyi planlamaktadır.
Bu durumda, 𝑋 − R kontrol kartlarının
yeni kontrol limitlerini, daha önceki
örneklem büyüklüğü ile elde edilmiş
kalite karakteristiği ölçüm değerlerini
kullanarak hesaplayınız, revize ediniz.
𝑿 − Kontrol Grafiği
R− Kontrol Grafiği
𝑋 − Kontrol grafiğinin
limitleri genişlemiştir
𝜎 𝑥 = 𝜎 𝑛
R - Kontrol grafiğinde
merkez çizgi ve üst
kontrol limiti değeri
azalmıştır (Örneklem
büyüklüğü azalırsa,
beklenen/ortalama
değişim aralığı azalır)
k-sigma kontrol limitleri: k = 3 (Kontrol limitlerinin sürecin
standart sapması üzerinden tanımlanması),
Olasılık limitleri: Kontrol limitlerinin tip-I hata olasılığı üzerinden
tanımlanmasıdır.
Tip-1 hata olasılığı, 𝜶 = 0.0027 ise 3-sigma kontrol limitleri ile
çalışılır. 𝒁 𝜶 𝟐= 𝒁𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟑𝟓= 3
Tip-1 hata olasılığı, 𝜶 = 0.002 ise 3.09-sigma kontrol limitleri ile
çalışılmalıdır. 𝒁 𝜶 𝟐= 𝒁𝟎.𝟎𝟎𝟏= 3.09
𝑋 ve R Kontrol Kartlarında Olasılık Limitleri
𝛼 = 0.002 olması durumunda, R-kontrol
grafiğinin limitleri için ilgili tablodan
(Grant & Leavenworth, 1980), sabitlerin
değerleri belirlenir.
Popülasyonun standart sapmasının tahminlenmesinde, R (değişim aralığı)
küçük örneklem büyüklükleri için etkin sonuçlar verebilmektedir (Göreceli
etkinlik değerleri, W küçük örneklem büyüklükleri için yüksektir).
Ancak, bu durumda, popülasyon standart sapması, R üzerinden dolaylı olarak
tahminlenmiş olmaktadır.
Örneklem büyüklüğünün artması durumda 𝒏 > 𝟏𝟎 𝒗𝒆𝒚𝒂 𝟏𝟐 , değişim
aralığının, standart sapmaya göre göreceli etkinliği azalacağından; popülasyon
standart sapmasının tahminlenmesinde, örneklem standart sapması
direkt/dolaysız bir tahminleme aracı olarak kullanılabilir.
S, örneklem standart sapmasına karşılık gelmektedir.
𝑋 - S Kontrol Kartları
S, kontrol grafiği aynı zamanda, değişken
örneklem büyüklüğü ile çalışıldığı
durumda da kullanılabilmektedir.
1. Standartların Belli Olması Durumu
Örneklem varyansı 𝑺𝟐, popülasyon varyansının 𝜎2 yansız tahminleyicisi
olmasına rağmen 𝐸 𝑆2 = 𝜎2; örneklem standart sapması, popülasyon
standart sapmasının yansız tahminleyicisi değildir. Çünkü;
Eğer kalite karakteristiği ölçüm değerlerinin normal dağıldığı biliniyorsa,
örneklem standart sapmasının ortalaması, popülasyon standart sapmasının
bir çarpanı 𝑐4𝜎 ile tahmin edilebilir. 𝒄𝟒 katsayısı, n örneklem
büyüklüğüne bağlı bir sabittir ve değeri ilgili tablodan okunarak belirlenir.
Bu nedenle, S-kontrol grafiğinin merkez çizgisi;
Örneklem standart sapmasının (S) standart sapması ise;
S-kontrol grafiğinin alt ve üst kontrol limitleri;
1. Standartların Belli Olması Durumu
𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 𝜎2 − 𝑐4. 𝜎2 = 𝜎2. 1 − 𝑐4
2
𝜎𝑠 = 𝜎2. 1 − 𝑐42 = 𝜎. 1 − 𝑐4
2
𝑋 - Kontrol Grafiği
Herhangi bir değişiklik söz konusu değildir.
Standartların bilindiği durumda, 𝑿-R kontrol grafiğinde nasıl
hesaplanıyorsa, aynı şekilde kontrol limitleri ve merkez çizgi
değeri hesaplanır.
2. Standartların Belli Olmaması Durumu
Popülasyon standart sapmasının 𝝈, bilinmediği durumdur.
Üretim ortamından toplanan geçmiş veriler analiz edilerek, popülasyon
standart sapması tahmin edilir.
Üretim ortamından her biri n örneklem hacmine sahip, m adet örneklem
(alt kontrol grubu) alındığı takdirde, S-kontrol grafiğinin merkez çizgi
değeri, örneklem standart sapmalarının ortalamasının alınmasıyla elde edilir.
Alt ve üst kontrol limitlerinin hesaplanması amacıyla, popülasyon standart
sapması tahmin edilir.
𝜎 = 𝑆
𝑐4
2. Standartların Belli Olmaması Durumu
S – Kontrol Grafiği
Popülasyon standart sapmasının tahmin edilmesinde, 𝝈 = 𝑺
𝒄𝟒kullanıldığından, 𝑋 – kontrol grafiğinin limitleri değişecektir.
2. Standartların Belli Olmaması Durumu 𝑋 – Kontrol Grafiği
Her bir örneklem için R açıklık değerini
hesaplamak çok daha kolay olduğundan,
genellikle kalite mühendisleri S grafiğine nazaran
R grafiğini kullanmayı tercih ederler.
Otomobil piston halkası üretimindehalkaların iç çapı kritik kalitekarakteristiği olarak belirlenmiştir.Üretim ortamından her saat başı 5 adetörnek alınarak, 25 adet alt kontrol grubuoluşturulmuştur. Elde edilen iç çapölçüm değerleri yandaki tablodaverilmiştir. İç çap ölçümlerine ilişkinstandartların belli olmadığınıvarsayarak, 𝑋 − 𝑆 kontrol grafikleriniçizip, süreç hakkında yorumlar yapınız.
Örnek - 3
Sürecin kontrol dışında olduğuna
dair herhangi bir işaret yoktur,
dolayısıyla hesaplanan kontrol
limitleri II. Aşamada sürecin
izlenmesi amacıyla kullanılabilir.
Proses Standart Sapmasının Tahmin Edilmesi
Tahmin edilen proses standart sapması, süreç
yeterlilik analizlerinde kullanılmaktadır. Şekilde
görüldüğü üzere, süreç kontrol altında olmasına
rağmen, imalat süreci spesifikasyonları
karşılamada yeterli olmayabilir.
Her bir alt kontrol grubundaki gözlem sayısı birbirinden farklılık
gösteriyorsa, değişken örneklem büyüklüğü söz konusudur.
Örneklem ortalamalarının ortalaması 𝑋 ve örneklem standart sapmalarının
ortalaması 𝑆 hesaplanırken, ağırlıklı ortalama yaklaşımından faydalanılır.
𝑋 - S kontrol kartlarının merkez çizgileri:
Değişken Örneklem Büyüklüğü ile Çalışıldığında 𝑋 - S Kontrol Kartları
X-ort ve S standart sapma kontrol
grafiklerinin merkez çizgi değerlerinin
hesaplanmasında, ağırlıklı ortalama
yaklaşımından faydalanılır.
Kontrol limitlerinin hesaplanmasında kullanılan 𝐴3, 𝐵3 ve 𝐵4 kontrol
çarpanlarının (sabitler) değeri, her bir alt kontrol grubu için
örneklem büyüklüğüne bağlı olarak ilgili tablodan belirlenir.
Örnek - 4
Otomobil motor piston halkalarının
iç çap ölçümleri yandaki tabloda
verilmiştir.
Alt kontrol gruplarındaki örneklem
büyüklüğü n = 3, 4 ve n = 5 olarak
değişkenlik göstermektedir.
Not: Alınan her bir örneklem (alt kontrol
grubu) için 𝑋 - S kontrol kartlarına ait
limitler ayrı ayrı, örneklem büyüklüğü
dikkate alınarak belirlenir.
X-ort Kontrol Grafiği
Alınan 17 örnekte n = 5
Örneklem büyüklüğüne bağlı değişen kontrol limitlerine alternatif olarak, bazı
durumlarda ortalama örneklem büyüklüğü 𝒏 veya en sık alınan (modu)
örneklem büyüklüklülerinin de kullanımı söz konusu olabilir. Kontrol
kartları, üst yönetime sunulacağı zaman bu durum uygulanabilir. Ortalama
örneklem büyüklüğü, tamsayı değer alamayabileceğinden, genellikle en sık
tekrar eden örneklem büyüklüğünün alınması tercih edilir.
S - standart sapma
kontrol grafiği
Proses Standart Sapmasının Tahmin Edilmesi
Alınan 17 örnekte n = 5 olduğu için, sürecin standart sapmasının
tahmini, en sık alınan bu örneklem büyüklüğü için yapılmıştır.
Proses standart sapması σ tahmin edilirken, her bir örneklemin standart
sapma değeri 𝒔𝒊 (𝑖 = 1,2,…25) kullanılır ve örneklemlerin ortalama
standart sapması 𝑺 hesaplanır. Ortalama standart sapma değeri, en çok
tekrar eden örneklem büyüklüğü (n = 5) için, örneklem büyüklüklerinin
modu kullanılarak hesaplanır.
Proses standart sapmasının tahmin edilmesi:
Kontrol Kartları Merkez Çizgi & Kontrol
Limiti Hesaplama Özeti
𝑠2 - Örneklem Varyansı Kontrol Grafiği Bazı araştırmacılar, süreç değişkenliğinin tespit edilmesinde, örneklem
varyansının 𝒔𝟐 kullanılabileceğini önermişlerdir. 𝑠2 kontrol grafiğinin
parametreleri (Merkez çizgi, AKL & ÜKL), ki-kare dağılımı kullanılarak
belirlenir. Çünkü, varyanslar ile ilgili nokta tahminleri, güven aralığı
tahminleri ve testler ki-kare dağılımı kullanılarak yapılmaktadır.
ki-kare dağılımının n-1
serbestlik derecesindeki alt
ve üst 𝛼 2 yüzdelik noktaları
Örneklem varyanslarının ortalaması
Standartların belli olduğu durumda, 𝒔𝟐 yerine popülasyon varyansı 𝝈𝟐
biliniyorsa kullanılabilir. Örneklem varyansı kontrol grafiği, olasılık
limitleri kullanılarak tanımlanmıştır.
Örnek - 5 İmalatı devam eden bir mamulün kalite karakteristiğine ilişkin değişkenlik,
örneklem varyansına göre kontrol edilmek isteniyor. Belirli aralıklarla
imalattan çıkan birimlerden örnekler alınmış ve her biri 5’er birim içeren
(n = 5) 10 alt kontrol grubu oluşturulmuştur. %95 güven düzeyi için
𝑠2 − kontrol grafiğini kullanarak, sürecin değişkenliğini yorumlayınız.
Alt ve üst olasılık limitlerinin ki-kare
dağılımı kullanılarak hesaplanması
Ki-kare dağılımı
olasılık tablosu
Birimler ve Hareketli Aralık Kontrol Grafikleri
(Individual X & Moving Range-XmR)
Üretimde, proses izleme ve kontrolünde örneklem büyüklüğünün n = 1
olduğu durumlar vardır. Yani örneklem büyüklüğü, bireysel bir birimi
içermektedir. Örnek büyüklüğünün 1’e eşit olma nedenleri:
Otomatik muayene ve ölçme teknolojilerinin kullanımı ve üretilen her bir
birimin analiz edilmesi gerekliliği (Rasyonel alt grup oluşturmanın
mümkün olmadığı tahribatlı muayenede olduğu gibi),
Örneklem alma maliyetinin yüksek olması,
Üretim oranının çok yavaş olması (Zamana bağlı olarak birden fazla örnek
oluşturmanın çok zor olduğu durumlar), gözlem değerleri arasında geçen
uzun zaman aralıkları rasyonel alt grup oluşturmada problemlere yol açabilir,
Proses üzerindeki tekrarlı ölçümler, birçok kimyasal proseste olduğu gibi
laboratuvar veya analiz hatası nedeniyle farklılık göstermektedir.
Kağıt üretimi gibi proses endüstrilerinde, rulo boyunca kaplama kalınlığı
gibi bazı kalite (karakteristiği) parametrelerinin ölçümleri hassasiyet
gösterir. Bir başka deyişle, standart sapmanın çok küçük olduğu
durumlarda, rulo boyunca kaplama kalınlığı sürekli olarak çok az
farklılıklar gösterecektir. Standart sapmadaki küçük değişimlerin
sürekli kontrol altında tutulabilmesi için sürekli (tekrar eden) bireysel
gözlem değerlerine ihtiyaç vardır.
Yarı iletken üretiminde, örneğin mikron boyutunda ölçülmüş silikon devre
levhası üzerinde birkaç farklı noktada oksit kalınlığının ölçülmesi gibi
aynı birim ürün üzerinde zorunlu olarak çoklu ölçümlerin yapılması.
Böyle durumlarda, her bir alt kontrol grubunun büyüklüğü n = 1
olduğundan grup içi değişim olmaz. Bu nedenle, birbirini takip eden
alt gruplar arasındaki fark, değişimin bir ölçüsü olarak kullanılır. Bu fark
hareketli aralık olarak adlandırılır. (Formüllerde n = 2 alınmıştır:
Birbirini takip eden 2 gözlem değeri arasındaki farktan ötürü).
Birimler ve Hareketli Aralık Kontrol Grafikleri
Özet Olarak
Üretim hızı oldukça düşük, üretim sayısı az olduğu durumlarda,
Otomatik ölçüm cihazları ile her bir birimin ölçümünün
yapılabildiği durumda,
Üretim sürecinde değişkenlik çok az (Standart sapma küçük)
olduğu durumlarda,
Test metodu tahribatlı olduğunda, birimler kontrol grafikleri tercih
edilmektedir.
X - birimler kontrol grafiği, Hareketli Değişim Aralığı (MR)
Kontrol Grafiği ile birlikte kullanılır.
Hareketli Değişim Aralığı, birbirini izleyen iki veri arasındaki
değişkenliği gösterir (n = 2).
Hareketli Aralık ve Birimler Kontrol
Grafiklerinin Kontrol Limitlerinin Hesaplanması
Örnek – 6: Hizmet Sektöründe
Kontrol Kartı Uygulaması
Yandaki tabloda, bir bankanın son 20 haftalık konut
kredisi başvuruları için işlem maliyeti değerleri
verilmiştir. Bu veriler ile Hareketli Aralık Kontrol
Grafiği ve Birimler Kontrol Grafiği tekniklerini
kullanarak, bankanın kredi başvuru sürecinin
analizini gerçekleştiriniz.
Hareketli Aralık Kontrol Grafiği
Birimler Kontrol Grafiği
Kredi Başvuru Sürecinin Yorumlanması
Gerek hareketli aralık, gerekse birimler kontrol grafiklerinde kontrol
limitleri dışında olan herhangi bir nokta olmadığından bankanın
kredi başvuru sürecinin kontrol altında olduğu söylenebilir.
Bireysel gözlem değerlerinin yüksek olması durumu, hareketli
aralık değerlerinin de fazla olmasına yol açacaktır. Bu nedenle,
hem hareketli aralık hem de bireysel gözlem değerleri kontrol
limitleri dışına düşen noktalar oluşacaktır.
Birimler kontrol grafiklerinde, hem proses ortalamasının kontrol
dışında olması, hem de proses varyansının kontrol dışında olması
çok sık rastlanan bir durumdur.
MINITAB 14 ile
Birimler Kontrol
Grafiklerinin
Oluşturulması
Kontrol kartı uygulamasının ilk aşamasında elde edilen yukarıdaki
deneme kontrol limitleri güvenilir olduğundan, 2. aşamada gelecekteki
kredi başvuru süreçlerinin izlenmesi amacıyla kullanılabilir.
Birimler Kontrol Kartı Uygulamasının II. Aşaması
Sürecin izlenmesi amacıyla 21-40 haftaları arasında
konut kredisi işlem maliyetleri için yeni gözlem
değerleri yandaki tablodaki gibi elde edilmiştir.
Deneme kontrol limitleri ile birimler ve hareketli
aralık kontrol grafikleri yeniden oluşturulmuştur.
Birimler kontrol grafiğine göre 39. ve 40. gözlem
değerlerinde proses ortalamasının değişim
gösterdiği (arttığı) görülmektedir.
Hareketli aralık kontrol grafiği de aynı gözlem değerlerinde (39. gözlem)kontrol dışı bir durumun varlığına işaret etmiştir. Bir başka deyişle, prosesortalamasındaki sapmalar, hareketli aralık değerlerindeki değişim ile detespit edilebilir durumdadır. Bu değişkenliğe neden olan kaynağı belirlenebilenözel neden tespit edilip, sürece müdahale edilerek gerekli önlemler alınmalıdır.
Hareketli aralık kontrol grafikleri yorumlanırken, bu grafikler üzerindekiörüntülere (pattern) dikkat edilmelidir. Hareketli aralık değerleri korelasyoniçerir ve bu korelasyon bir döngü (cycle) veya trend gibi örüntüler oluşturabilir.Birimler kontrol grafiğindeki bireysel gözlem değerlerinin ise korelasyoniçermediği varsayılmaktadır.
Ortalama Koşum Uzunlukları (ARL) Shewhart kontrol grafiklerinde, 3-sigma kontrol limitlerinin kullanılması
durumunda, sürecin kontrol altında olduğu durumda, ortalama koşum
uzunluğu 𝑨𝑹𝑳𝟎 370’tir. Sürecin kontrol altında olması durumunda bu
değerin yüksek olması istenir (Yanlış alarm verme sıklığının az olması).
Birimler kontrol grafiklerinde de bu değere yakın 𝐴𝑅𝐿0 değerleri elde edilir.
Prosesteki değişimleri yakalamanın en temel yolu, işletim karakteristik
eğrisi veya ARL eğrilerine başvurmaktır. 3-sigma kontrol limitleri ile
çalışıldığında, birimler kontrol grafikleri için sürecin kontrol altında
olmadığı zaman elde edilen 𝑨𝑹𝑳𝟏 değerleri tablodaki gibidir.
Sürecin kontrol altında olmadığı durumlarda, 𝑨𝑹𝑳𝟏 değerinin
küçük olması istenir ki sürecin kontrol altında olmadığı hızlı
bir şekilde fark edilebilsin. Bu değerlere göre, birimler
kontrol grafiklerinin küçük değişimleri tespit edebilme
yeteneği azdır. Proses ortalamasından 1-sigma’lık değişimi
tespit etmek için; eğer her saat başı örneklem alınıyorsa, 44
saat gibi uzun bir zamanın geçmesi gereklidir.
𝑋 - Kontrol Grafiği için İşletim
Karakteristiği Eğrileri
𝑛 = 5 olduğu durumda, proses
ortalamasında meydana gelebilecek
1 𝝈 ’lık sapmanın alınan ilk
örneklemde tespit edilebilme
olasılığı; 1 − 𝛽 = 1 − 0.75 = 0.25 ’dir.
İkinci ve üçüncü örneklemlerde tespit
edilebilme olasılıkları ise giderek azalır.
𝜷 −riski, 3-sigma kontrol limitlerinin kullanılması durumunda ve n örneklem
büyüklüğü ile çalışıldığında, proses ortalamasında meydana gelebilecek
k-sigma’lık sapmanın tespit edilememe olasılığını ifade eder.
Birimler Kontrol Grafikleri ve Gözlem
Değerlerine ilişkin Normallik Testi Birimler kontrol grafikleri, gözlem değerlerinin
normal dağılım gösterip göstermediğinden önemli
ölçüde etkilenir. Bunun temel sebebi, verilerin normal
dağılım göstermemesi durumunda, kontrol altındaki
sürecin ortalama koşum uzunluğundaki
𝑨𝑹𝑳𝟎 önemli değişimlerden kaynaklanmaktadır.
Bu nedenle de, birimler kontrol kartı uygulamasının
2. aşamasında normal dağılım göstermeyen veriler ile
elde edilen kontrol limitlerinin kullanılması uygun
olmaz. Bu sorunu çözmenin en temel yöntemi, normal
dağılmayan gözlem değerlerinin logaritmasının
alınarak yaklaşık normal dağılan verilere
dönüştürülmesidir. Birimler kontrol grafikleri
oluşturulurken, normallik varsayımının mutlaka
kontrol edilmesi gerekir. Bunun için de normal olasılık
grafikleri kullanılabilir.
Konut kredisi işlem maliyetleri verisine
ait normal olasılık grafiğine göre,
verilerin normal dağıldığı söylenebilir.
Örnek – 7: Normal Dağılıma Dönüştürme Üretim hızının çok yavaş olduğu bir işletmede (Üretim oranı düşük), 25
adet silikon levhanın direnç değerleri ölçülmüş ve birimler kontrol
grafikleri yardımıyla sürecin analiz edilmesi istenmiştir.
Bireysel gözlem değerleri için kontrol grafikleri oluşturulmadan evvel,
verilerin normal dağılıp dağılmadığı test edilmelidir.
Bireysel gözlem değerleri için elde
edilen normal olasılık grafiğine
göre, verilerin normal dağılım
gösterdiği söylenemez
(Doğru üzerinde sapmalar fazla).
Tabanı e olan logaritma fonksiyonu
(ln) dönüşümü uygulanan verilerin
yaklaşık normal dağılım gösterdiği
söylenebilir (Doğru üzerinde
sapmalar nispeten daha az).
Birimler Kontrol Grafiği
Hareketli Aralık Kontrol
Grafiği
Sürecin kontrol dışında olduğuna dair herhangi bir noktaya
rastlanmadığından (Kontrol limitleri dışında herhangi bir nokta
bulunmamakta), sürecin kontrol altında olduğu söylenebilir.
Gözlem değerlerinin normal
dağılım göstermediği durumda
sürecin kontrol dışında olduğuna
dair yanlış alarm oluşabilir.
Dönüşüm yapılmadan önce elde
edilen birimler kontrol grafikleri
Yaklaşık Normal Dağılan Gözlem Değerleri
(Dönüşüm Yapıldıktan Sonra) ile Elde Edilen
Birimler & Hareketli Aralık Kontrol Grafikleri
Popülasyon Standart Sapmasının Tahmin Edilmesi
Birimler kontrol grafikleri kullanıldığında, kalite karakteristiğinin
incelendiği popülasyona ait standart sapma, ortalama hareketli
aralık 𝑴𝑹 kullanılarak tahmin edilir.
𝑑2 sabitinin n = 2 için eşleniği
1 𝑑2
𝜎 = 0.8865 ∗ 𝑀𝑅
Değişkenler için Kontrol Kartlarının
Hizmet Sektöründe Kullanımı
Değişkenler için kontrol grafikleri sadece imalat/üretim ortamlarında değil, aynı
zamanda hizmet sektöründe de geniş uygulama alanları vardır.
Buna örnek olarak konut kredisi başvuru sürecinin kontrol edilmesinde ve
izlenmesinde birimler kontrol grafiklerinin kullanımı örnek olarak verilebilir. Hizmet
kalitesini ölçmek için müşterilerin maruz kaldığı işlem maliyetleri kullanılarak süreç
analizi yapılıp, süreç iyileştirme faaliyetlerinde bulunulabilir. Hizmet sektörü ve imalat
sektörü açısından kontrol kartı uygulamaları, 2 temel fark içermektedir.
(i) Hizmet sektöründe spesifikasyon limitlerinin direkt ürün üzerinde uygulanması
çok nadir görülebilen bir durumdur. Bu nedenle, proses yeterlilik kavramı hizmet
sektöründe genelde tanımlanamaz.
(ii) Hizmet sektöründe ölçülebilir kalite özelliklerinin belirlenmesi daha zordur ve hayal
gücü gerektirir (Ortalama hizmet süresi, ödemelerin tam zamanında/geç yapılması,
kuyrukta bekleme süreleri vs.).
Kontrol Kartı Uygulama İlkeleri
1. Hangi süreç/kalite karakteristiğinin kontrol edileceğine karar verilir.
2. Kontrol kartının sürecin neresinde (hangi operasyonunda)uygulanılacağına karar verilir.
3. Uygun olan kontrol kartı seçilir.
4. İstatistiksel proses kontrol kartı analizleri sonucunda, süreci iyileştirmekiçin düzeltici önlemler, kontrol dışı aksiyon planları oluşturulur.
5. Süreçten veri toplamak ve kontrol grafiklerini oluşturmak için sistemve bilgisayar yazılımlarına karar verilir (Bilgi sistemi).
Kontrol kartları çevrimiçi (online) süreç izleme araçlarıdır.
Kontrol kartları, müşteri için önem arz eden kalite karakteristiğiyle ilgilikritik süreç değişkenlerinin yer aldığı operasyonlarda uygulanmalıdır.
Endüstride genellikle, süreç stabil olana kadar, olması gerekendendaha fazla sayıda kontrol kartı ile çalışılmaktadır. Gereksiz olan kontrolkartlarına karar verilip, uygulamadan çıkarılmalıdır.
Firmada, eğer kontrol kartları etkin bir şekilde uygulanıyorsa ve kritik
proses değişkenleri hakkında yeni bilgiler elde edilebiliyorsa, uygulanan 𝑿 - R kontrol grafiklerinin sayısının artacağı, nitelikler için kontrol
kartları uygulamalarının ise azalması beklenir.
Süreç hakkında daha fazla bilgi edindikçe, nitelikler için kontrol kartı
uygulamalarının yerini, değişkenler için kontrol kartı uygulamaları alır.
Kompleks montaj süreçlerinde, süreç kontrol uygulamaları daha tedarikçi
düzeyinde başlamalıdır.
Kontrol Kartı Uygulama İlkeleri
𝑋 - R veya 𝑋 - S Kontrol Kartları Ne Zaman
Kullanılmalı ?
1. Firmaya yeni bir üretim süreci entegre edildiğinde veya mevcut üretim
süreciyle yeni bir ürünün üretimi başladığında,
2. Süreç kronik olarak kontrol dışında ise veya belirlenen toleransları bazı
zamanlarda karşılayıp, genelde sağlayamıyorsa,
3. Test etme sürecinin pahalı olduğu tahribatlı muayene işlemlerinde,
4. Süreç kontrol altında devam ediyorsa, örneklem büyüklüğü azaltılmak
istenebilir,
5. Nitelikler için kontrol kartı uygulaması sonucu süreç kontrol altında
veya dışında ancak kusurlu oranı/hata sayısı kabul edilemez derecede
yüksek seviyede ise,
6. İmalat sürecinin spesifikasyonları ve standartları çok sıkı ise ve
montaj toleransları ile çakışıyorsa,
7. Operatörün süreci ayarlayıp/ayarlamayacağına karar vermesi ve
set-up (Hazırlık aktivitelerini) değerlendirmesi gerektiğinde,
8. Ürün spesifikasyonlarında değişim talep edildiğinde,
9. Süreç yeterliliği ve sürecin stabil olup/olmadığının sürekli kontrol
edilmesi gereken durumlarda,
10. Problemli bir süreçte tanı/teşhis koymak (arıza tespiti) amacıyla
kullanılabilir.
𝑋 - R veya 𝑋 - S Kontrol Kartları Ne Zaman
Kullanılmalı ?
1. Birden fazla örnek alıp ölçmenin mümkün olmadığı veyalaboratuvar/analiz hataları nedeniyle ölçümlerin tekrarlandığıkimyasal süreçlerde,
2. Üretilen her birimin otomatik test ve muayene teknolojileriylekontrol edilebildiği durumlarda. Bu tip durumlarda, ayrıca CUSUMve EWMA kontrol grafikleri de kullanılabilmektedir.
3. Veri toplamanın çok zor veya üretim hızının/oranının düşük olmasıhalinde,
4. Kontrol kartı uygulamalarının II. Aşamasında, birimler kontrolgrafiklerinin genellikle prosesteki değişimi tespit etme konusundaperformansı zayıftır ve normallik varsayımına karşı çok duyarlıdır.Bu nedenle, CUSUM ve EWMA kontrol grafiklerinin kullanımıönerilmektedir.
Birimler & Hareketli Aralık Kontrol Kartları
Ne Zaman Kullanılmalı ?
Yıllar boyunca hep sayılara inandım ve de nedenleri getiren denklemlere ve mantığa..
Bu şekilde geçen bir yaşamdan sonra, mantık aslında nedir ? diye soruyorum..
Nedenlerine kim karar verir ? Yaşamım matematik, fizik, metafizik & halüsinasyonlar
arasında gidip geldi..
Ve akademik kariyerim en önemli buluşunu yaptım.. Hayatımın da en önemli buluşu bu..
Mantıklı sebepler ancak ve ancak gerçek sevginin gizem dolu denklemlerinde bulunabilir.
John Forbes Nash, Jr.
Nobel ödülü konuşmasından (1994)