ECUACIONES

Animación: Juan A. Morales. Material: Editorial SM

SISTEMAS DE ECUACIONES

INECUACIONES

Ecuaciones• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen

números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.

• Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad.

3x2 – 18x + 19 = 12x – 29

Incógnita Igualdad

1er miembro 2o miembro

Soluciones de una ecuación. Ecuaciones equivalentes

• Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que, al sustituirlos en una ecuación, la igualdad sea cierta.

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.• Transformaciones que conservan las soluciones de una ecuación.

Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número no nulo se obtiene una ecuación equivalente

Ejemplos:

• La ecuación 3x2 – 18x + 19 = 12x – 29 tiene una solución para x = 2.• x = 1 no es solución de la ecuación anterior.• Una ecuación equivalente a la anterior es x2 – 10 x + 16 = 0• La ecuaciones x2 = 1 y x3 = 1 no son equivalentes

Ecuaciones polinómicas (I)• Una ecuación en la que sólo aparecen polinomios se llama polinómica.• Toda ecuación polinómica se puede transformar en otra equivalente de la forma P(x) = 0, en

donde P(x) es un polinomio. Se llama grado de la ecuación al grado de P(x).

Ecuaciones polinómicas de primer grado: toda ecuación polinómica de primer grado se puede transformar en otra de la forma ax + b = 0 con a 0

Soluciones: –baesta ecuación tiene una única solución: x =

Interpretación geométrica: un polinomio de grado 1 está representado por una recta. La solución de la ecuación es la abcisa del punto de corte de la recta con el eje x

OX

Yy = ax + b

(–b/a, 0)

Ecuaciones polinómicas (II)• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son

equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a 0

Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución.

x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene

soluciones reales: la parábola no corta al eje x

y = x2 +1 y = (x +2)2

(x + 2)2 = 0 tiene una solución doble: –2. El

polinomio tiene una raíz real doble. La parábola corta al

eje x en un punto

x2 –2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje

x en dos puntos

X

Y

y = x2 – 2

Ecuaciones polinómicas (III)Solución de una ecuación cuadrática

Para resolver ax2 + bx + c = 0

x 2 + ba x +

ca = 0

x 2 + 2 b

2 a x + ca = 0

x 2 + 2 b

2 a x + b 2

4 a 2 + ca =

b 2

4 a 2

x + b

2 a 2

+ ca =

b 2

4 a 2

x + b

2 a 2

= b 2

4 a 2 – ca =

b 2 – 4 a c4 a 2

x + b

2 a = 2a

4acb 2

x = 2a

4acbb 2

Se divide entre a

Se sustituye ab por 2

b2a

Se suma b2

4a2

Se utiliza el cuadrado perfecto

x + b2a

2

Se despeja

x + b2a

2 y se opera

Se despeja

x + b2a

Se despeja x

Sistemas de ecuaciones. Solución de un sistema

5x + y = 13 x + y = 1

Una solución de este sistema: x = 3; y = –2. En este caso es única

X

Y

Interpretación geométrica:• Cada igualdad del sistema representa una

recta en el plano cartesiano.• Una solución de este sistema es un punto

común a ambas rectas

5x+y=13x+y=1

(3, –2)

Sistemas equivalentes. Sistemas lineales y no lineales

Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones

Se pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una ecuación:• Si se suma o se resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación de un

sistema, se obtiene un sistema equivalente• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un

mismo número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente

Sistemas lineales y no lineales: • Si en un sistema todas la ecuaciones son polinómicas de grado 1, se

dice que es un sistema de ecuaciones lineales.• En caso contrario se dice que el sistema es no lineal.

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 2x2

5x + y = 13 x + y = 1 Es un sistema con solución única.

x + y = 1x + y = 2 Es un sistema sin solución.

2x + 2y = 2 x + y = 1 Es un sistema con infinitas soluciones.

X

Y

x + y = 1

5x + y = 13

X

Y

x + y = 1 x + y = 2

X

Y

x + y = 12x + 2y = 2

Un sistema de ecuaciones lineales sin solución

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = -1

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 8z = -19

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = -5

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solución. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solución.

Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = 4

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = 0

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

• La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obteniéndose con ello un sistema equivalente al original.

x + y = 9 + 2z

-3y = -14 - 8z

Dejamos en el primer miembro, el mismo número de ecuaciones que de incógnitas

x = 9 + 2z - =

y = 3

8z14 3

2z-13

3

8z14

•Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = –1), podemos obtener las otras incógnitas por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solución: x= 5, y = 2, z = –1•Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones.

Sistemas de ecuaciones no lineales• No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales.• Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito.• Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es encontrar todos

los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema

X

Y

• •

El sistema tiene dos soluciones: • x = 3, y = 4• x = 4, y = 3

Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en común que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7

x2 + y2 = 25x + y = 7

Ejemplo• Se despeja y de la segunda ecuación y se

sustituye en la primera.• Se obtiene: x2 – 7x + 12 = 0• Al resolver: x=3, x = 4• Sustituimos estos valores de x en la segunda

ecuación y se obtiene: y = 4, y = 3

Inecuaciones• Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y

letras ligados por operaciones. Las desigualdades pueden ser de cualquiera de los tipos: >, <, , o

• Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.• Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de

manera que, al sustituirlos en la inecuación, la desigualdad sea cierta .

3x2 – 18x + 19 > 12x – 29

Incógnita Desigualdad

1er miembro 2o miembro

Inecuaciones equivalentes• Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.• Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuación.

Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número positivo se obtiene una inecuación equivalente.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número negativo y se invierte la desigualdad se obtiene una inecuación equivalente.

Ejemplos:

• La inecuación 3x2 – 18x + 19 > 12x – 29 tiene una solución para x = 1.• x = 2 no es solución de la inecuación anterior.• Una inecuación equivalente a la anterior es x2 – 10 x + 16 > 0

Inecuaciones de primer grado• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado.• Puede ocurrir que:

Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son equivalentes a

inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, o x a

Ejemplos:

2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3

1/3Soluciones: (1/3,+)

3 – 2x < 5 – 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, son son solución todos los números reales. Soluciones: (– ,+)

5 – 3x 2 – 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución

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