f(b) f(a) f '(c) ba · ន ន គមន Prepared by LIM PHALKUN Page 4 ˇ ˆ ន ន - គ@A˘ន គមន˙ f ក Gយ f(x) x x 1= − +3 2 Gយ ប˚ន )យមនHយច គ

f (b) f (a)f '(c)b a−

=−

i

គណះកមករនរនរន រៀ រ

លមផលររនអសណ

គណះកមកររនរនៀ យបក ស

លក យ ង ា

លកលម រ

លកែសរនសនដ

គណះកមកររនរនអកយអកន

លកលមមនគសន

ក ន ក ទ

លកអសណរនលមផលរ

ii

អមមកក

សសមត អកសកសោាសសឡាស រាបា

េសៀវេា ដ ា កៃរអរគមរកា កងា១២ែដលេលកអកកក ព ែតតរស រេរនា

ខ ពកបោបរេនៀាៀកេឡើសរាសោពកសឯកសនសរាសអកសកែដលររា

ាកណៀសយលសដ អកេមេនៀរេរនឲតរសនតៀតសសលសស ា

ាេកព េសៀវេេរនាេយើខ ពកបរសេងាេមេនៀរាអមសមយយឧទនណរ ណកនាា

ែដលៀឲអកសកកយយលសារា ាសៀឆកាេទើយមឧ ក ររលក តសា

អរពវតររសរាសអកសកទកតសេហនាសយេហយខ សរឯា

ា េយើខ ពកសមមាេសៀវេមយកតលេរនារៀៀលនមល សរវា

ណករតារាវ ធសាសថកពតនេហនាសយលក តសេលើនកេដន េវៃរអរពណមររា

ាៀកេពនេលកអកសកសពកជរេឡើយាា

ា សោាប ាសខ ពកបោសមរនៀកេពនេលកអកាសមររសពខាលា

ររសជសសៃវារាោោលបរេសណ នយកព ណាសានកៀាា

ា

ា

បាត ដបងៃថទ០៥ កកដ ឆា ដ២០១២

អាកនពន នប រសវស

លមផលរ Tel :017 768 246 Email: [email protected] Website: www.mathtoday.wordpress.com

mailto:[email protected]

http://www.mathtoday.wordpress.com/

iii

មនក ឿ

ដពរ

ជកា១

េដន េវៃរអរពណមររ ០01

១-េរ ទេសងនអនគមន ាបត ដមម ០01

២-េរ ទេសងនអនគមន ណា កត 005

៣-េរ ទេសងនអនគមន ាទេេា 006

៤-េរ ទេសងនអនគមនអ សបបតែសយ 011

៥-េរ ទេសងនអនគមនេលេរ ទាេនែព 013

៦-េរ ទេសយដដត ខសត 016

៧-េរ ទេសងនអនគមនអដពពទសទា 019

ជកា២

តនអរពវតររេដន េវៃរអរពណមររ 021

១-េរអនសាានកាបេរគណាងមពរ 021

iv

២-េយបន នប សដងនយណ 022

៣-ឌទេផរ បបតែសយ 024

៤-សសមភពកដេ ណ ននកដាត 025

៥-ទសាទរ បយ 030

៦-ទសាទាងមពមមម 033

៧-អនសាានកាបេស ក 035

ជកា៣

ា អេនាារាតាៃរអរពណមររ 037

១-សកអនគមនសននន 037

ក/សកអនគមន 2ax bx cypx q+ +

=+

037

/សកអនគមន 2

2ax bx cypx qx r

+ +=

+ + 056

២-សកអនគមនអសននន 081

ក/សកអនគមន y ax b= + 081

/សកអនគមន 2y ax bx c= + + 086

៣-សកអនគមនអ សបបតែសយ 096

៤-សកអនគមនេលេរ ទាេនែព 107

v

ជកា៤

លហងមរដ ណះរា 112

ជកា៥

លហងអរករ 164

ឯកា េ 195

េដរេវៃនអនគមន

Prepared by LIM PHALKUN Page 1

ជពកទ១

េដរេវៃនអនគមន ១-េដរេវៃនអនគមនរតងចណចមយ

ក/នក/នក/នក/នយមនយយមនយយមនយយមនយ ៖

េដរេវរតងចណច 0x ៃនអនគមន y f (x)==== (េបមន) ជលមតៃន

ផលេធៀបកេណ ន yx

∆∆∆∆∆∆∆∆

កលណ x∆∆∆∆ ខតេទជត 0 ។

េគកណតសរេសរ ៖

0 0 00

x 0 x x h 000

f (x) f (x ) f (x h) f (x )yf '(x ) lim lim lim

x x x h∆ → → →∆ → → →∆ → → →∆ → → →

− + −− + −− + −− + −∆∆∆∆= = == = == = == = =∆ −∆ −∆ −∆ −

ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ រកេដរេវរតង 0x 2==== ៃនអនគមន 3y x====

េគបន 3

h 0 h 0

f (2 h) f (2) (2 h) 8f '(2) lim lim

h h→ →→ →→ →→ →

+ − + −+ − + −+ − + −+ − + −= == == == =

2

h 0

2

h 0

(2 h 2)[(2 h) 2(2 h) 4]lim

h

lim(h 6h 12) 12

→→→→

→→→→

+ − + + + ++ − + + + ++ − + + + ++ − + + + +====

= + + == + + == + + == + + =



ខ/ភពមនេដរេវខ/ភពមនេដរេវខ/ភពមនេដរេវខ/ភពមនេដរេវ ៖

អនគមន f មនេដរេវរតងចណច 0x x==== លះរតែត ៖

-អនគមន f ជបរតងចណច 0x x====

-េដរេវខងេឆវង នង េដរេវខងសត េសមគន គ 0 0f ' (x ) f ' (x )− +− +− +− +====

ែដល 0 00

h 0

f (x h) f (x )f ' (x ) lim

h−−−−→→→→ −−−−

+ −+ −+ −+ −====

នង 0 00

h 0

f (x h) f (x )f ' (x ) lim

h++++→→→→ ++++

+ −+ −+ −+ −==== ។

ឧទហរណ េគមនអនគមន 2x px q x 1

f (x)3x 4 x 1

+ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤==== + >+ >+ >+ >

ebIebIebIebIebIebIebIebI

កណតពរចននពត p នងq េដមបឲយ f មនេដរេវរតង x 1==== ។

េគរតវឲយ f ជបរតង x 1==== គ x 1 x 1lim f (x) lim f (x)→ →→ →→ →→ →− +− +− +− +

====

េគបន 2

x 1 x 1lim (x px q) lim (3x 4)→ →→ →→ →→ →− +− +− +− +

+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +

1 p q 7+ + =+ + =+ + =+ + = ឬ q 6 p (1)= −= −= −= −

នងេគរតវឲយ f ' (1) f ' (1)− +− +− +− +==== ។



េគមន h 0

f (1 h) f (1)f ' (1) lim

h−−−−→→→→ −−−−

+ −+ −+ −+ −====

2

h 0

2

h 0

2

h 0

h 0

(1 h) p(1 h) q (1 p q)lim

h

1 2h h p ph q 1 p qlim

h

h (2 p)hlim

h

lim (h 2 p) 2 p

→→→→

→→→→

→→→→

→→→→

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

+ + + + − + ++ + + + − + ++ + + + − + ++ + + + − + +====

+ + + + + − − −+ + + + + − − −+ + + + + − − −+ + + + + − − −====

+ ++ ++ ++ +====

= + + = += + + = += + + = += + + = +

េហយ h 0

f (1 h) f (1)f ' (1) lim

h++++→→→→ ++++

+ −+ −+ −+ −====

h 0

h 0

3(h 1) 4 (3 4)lim

h

3hlim 3

h

→→→→

→→→→

++++

++++

+ + − ++ + − ++ + − ++ + − +====

= == == == =

េហតេនះ 2 p 3+ =+ =+ =+ = េនះ p 1====

េហយតម(1) េគបន q 6 1 5= − == − == − == − = ។

ដចេនះ p 1 , q 5= == == == = ។



លហតអនវតតន

១-េគឲយអនគមន f កណតេដយ 3 2f (x) x x 1= − += − += − += − +

េដយេរបនយមនយចរគណន f '(0) , f '( 1)−−−− នង f '(1) ។

២-េគមនអនគមនf កណតេដយ ៖

2

2

x ax 2 x 1f (x)

bx 4x 1 x 1

+ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤==== + + >+ + >+ + >+ + >

ebIebIebIebIebIebIebIebI

កណតចននពត a នង b េដមបឲយអនគមន f មនេដរេវរតងx 1==== ។

៣-េគមនអនគមនf កណតេដយ ៖

asin x bcos x 1 x

2f (x)bsin x acos x 3 x

2

ππππ + + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤==== ππππ − + >− + >− + >− + >

ebIebIebIebI

ebIebIebIebI

កណតចននពត a នង b េដមបឲយអនគមន f មនេដរេវរតងx

2ππππ==== ។

៤-េគមនអនគមនf កណតេដយ f (x) sin x cos x 1= − += − += − += − + ។

េដយេរបនយមនយគណន f '( )4ππππ−−−− នង f '( )

4ππππ ។



២-េដរេវៃនអនគមនបណត ក

េប y f (u)==== នង u g(x)==== េនះេគបន ៖

dy dy duy '

dx du dx= = ×= = ×= = ×= = × ឬ [[[[ ]]]]d

f u(x) f '(u) u '(x)dx

= ×= ×= ×= × ។

សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖

តង [[[[ ]]]]F(x) f g(x)==== េដយេរបភពមនេដរេវរតង 0x x====

េគរតវបងហ ញថ [[[[ ]]]]0 0 0F'(x ) f ' g(x ) g '(x )= ×= ×= ×= × ។

តមនយមនយេគបន ៖

00

x x 00

F(x) F(x )F '(x ) lim

x x→→→→

−−−−====−−−−

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

0

x x 0

0 0

x x 0 0

0 0

x x x x0 0

0 0

0

0

0 0

f g(x) f g(x )lim

x x

f g(x) f g(x ) g(x) g(x )lim

g(x) g(x ) x x

f g(x) g(x ) g(x) g(x )lim lim

g(x) g(x ) x x

f ' g(x ) g '(x )

→→→→

→→→→

→ →→ →→ →→ →

−−−−====

−−−−

−−−− −−−−= ×= ×= ×= ×− −− −− −− −

−−−− −−−−= ×= ×= ×= ×− −− −− −− −

= ×= ×= ×= ×

ដចេនះ [[[[ ]]]]0 0 0F'(x ) f ' g(x ) g '(x )= ×= ×= ×= × ។



ឧទហរណ គណនេដរេវៃនអនគមន 3x 1

yx 1

−−−− ==== ++++

តង x 1u

x 1−−−−====++++

េនះ 3y u====

េគបន 2 2

du (x 1)'(x 1) (x 1)'(x 1) 2dx (x 1) (x 1)

− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −= == == == =+ ++ ++ ++ +

េហយ 2dy3u

du==== ។ តមរបមនត dy dy du

y 'dx du dx

= = ×= = ×= = ×= = ×

េគបន 2

22 4

dy 2 6(x 1)y ' 3u .

dx (x 1) (x 1)

−−−−= = == = == = == = =+ ++ ++ ++ +

។

៣-េដរេវៃនអនគមនរតេកណមរត

ក/េដរេវៃនអនគមនសនស នង កសនស

េប y sin x==== េនះ y ' cos x====

េប y cos x==== េនះ y ' sin x= −= −= −= −

េប y sin u==== េនះ y ' u 'cosu====

េប y cosu==== េនះ y ' u 'sin u= −= −= −= −

ែដល u u(x)==== ។




តង f (x) sin x====

េគបន h 0

f (x h) f (x)f '(x) lim

h→→→→

+ −+ −+ −+ −====

h 0

h 0

h 0 h 0

sin(x h) sin xlim

hh h

2sin cos(x )2 2lim

hh

sin h2lim lim cos(x )h 22

1 cos x cos x

→→→→

→→→→

→ →→ →→ →→ →

+ −+ −+ −+ −====

++++====

= × += × += × += × +

= × == × == × == × =

ដចេនះ f (x) sin x==== េនះ f '(x) cos x==== ។

មយងេទៀត y sin u sin u(x)= == == == =

េគបន dy dy duy ' cosu u ' u 'cosu

dx du dx= = × = × == = × = × == = × = × == = × = × = ។

ដចេនះ y sin u==== េនះ y ' u 'cosu==== ។

( ចេពះេដរេវអនគមនកសនស េគរសយដចខងេលែដរ ) ។



ខ/េដរេវៃនអនគមនតងសង នង កតងសង

េប y tanx==== េនះ 22

1y ' 1 tan x

cos x= = += = += = += = +

េប y cot x==== េនះ 22

1y ' (1 cot x)

sin x= − = − += − = − += − = − += − = − +

េប y tanu==== េនះ 22

u'y ' u '(1 tan u)

cos u= = += = += = += = +

េប y cotu==== េនះ 22

u'y ' u '(1 cot u)

sin u= − = − += − = − += − = − += − = − +


េគមន sin xy tan x

cos x= == == == = េនះេគបន ៖

2

2 2

2

22

(sin x)'cos x (cos x)'sin xy '

cos x

cos x sin x

cos x1

1 tan xcos x

−−−−====

++++====

= = += = += = += = +

ដចេនះេប y tanx==== េនះ 22

1y ' 1 tan x

cos x= = += = += = += = + ។



េគមន cos xy cot x

sin x= == == == = េនះេគបន ៖

2

2 2

2

22

(cos x)'sin x (sin x)'cos xy '

sin x

sin x cos x

sin x1

(1 cot x)sin x

−−−−====

− −− −− −− −====

= − = − += − = − += − = − += − = − +

ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ រកេដរេវៃនអនគមន sin xy

1 cos x====

++++

េគបន 2

(sin x) '(1 cos x) (1 cos x)'sin xy '

(1 cos x)

+ − ++ − ++ − ++ − +====++++

2

2

2 2

2

2

cos x(1 cos x) sin x

(1 cos x)

cos x cos x sin x

(1 cos x)

cos x 1 11 cos x(1 cos x)

+ ++ ++ ++ +====++++

+ ++ ++ ++ +====++++

++++= == == == =++++++++

ដចេនះ 1y '

1 cos x====

++++ ។




ចរគណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖

1/ 3y 3cos x cos x= −= −= −= − 2/ 3y sin xcos 3x====

3/ 4y sin 4xcos x==== 4/ sin xy

1 sin x====

++++

5/ cos xy

1 cos x====

−−−− 6/ sin x cos x

ysin x cos x

−−−−====++++

7/ 1 tan xy

1 tan x−−−−====++++

8/ 2 31 1y tan x tan x

2 3= += += += +

9/ y x cot x= −= −= −= − 10/ 4y cot x====



៤-េដរេវៃនអនគមនអចសប ណងែសយល

េប xy e==== េនះ xy ' e====

េប xy a==== េនះ xy ' a lna , a 0 ,a 1= > ≠= > ≠= > ≠= > ≠

េប uy e==== េនះ uy ' u 'e====

េប uy a==== េនះ uy ' u'.a lna====


តង xf (x) e==== េនះតមនយមនយេគបន ៖

x h x

h 0 h 0

f (x h) f (x) e ef '(x) lim lim

h h

++++

→ →→ →→ →→ →

+ − −+ − −+ − −+ − −= == == == =

h

x x

h 0

e 1lim .e e

h→→→→

−−−−= == == == = េរពះ h

h 0

e 1lim 1

h→→→→

−−−− ==== ។

ដចេនះ េប xy e==== េនះ xy ' e==== ។

មយងេទៀតេយងតង x lna xlnaxg(x) a e e= = == = == = == = =

េគបន xlna xlna xg'(x) (x lna)'.e lna .e a lna= = == = == = == = =

ដចេនះ េប xy a==== េនះ xy ' a lna , a 0 ,a 1= > ≠= > ≠= > ≠= > ≠ ។



ឧទហរណ១ គណនេដរេវៃនអនគមន x x

x x

e ey

e e

−−−−

−−−−−−−−====++++

េគបន x x x x x x x x

x x 2

(e e )'(e e ) (e e )'(e e )y '

(e e )

− − − −− − − −− − − −− − − −

−−−−− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====

++++

x x 2 x x 2

x x 2

2x 2x 2x 2x

x x 2

x x 2

(e e ) (e e )

(e e )

e 2 e e 2 e

(e e )

4

(e e )

− −− −− −− −

−−−−

− −− −− −− −

−−−−

−−−−

+ − −+ − −+ − −+ − −====++++

+ + − + −+ + − + −+ + − + −+ + − + −====++++

====++++

ដចេនះ x x 2

4y '

(e e )−−−−====++++

។

ឧទហរណ២ គណនេដរេវៃនអនគមន 3sinx sin x3y e −−−−====

េគបន 3 3sinx sin x3y ' (3sin x sin x)'e −−−−= −= −= −= −

2 3sinx sin x

2 3sinx sin x

3 3sin x sin x

3

3

3

(3cos x 3cos xsin x)e

3cos x(1 sin x)e

3cos xe

−−−−

−−−−

−−−−

= −= −= −= −

= −= −= −= −

====



៥-េដរេវៃនអនកមនេលករតេនែព

េប y ln x==== េនះ 1y '

x====

េប y ln(ax b)= += += += + េនះ ay '

ax b====

++++

េប y lnu==== េនះ u 'y '

u====


តង f (x) ln x==== េនះ f (x h) ln(x h)+ = ++ = ++ = ++ = +

តមនយមនយ h 0

f (x h) f (x)f '(x) lim

h→→→→

+ −+ −+ −+ −====

h 0

h 0

h 0

ln(x h) ln xlim

hx h

ln( )xlim

hh

ln(1 ) 1 1xlimh x xx

→→→→

→→→→

→→→→

+ −+ −+ −+ −====

++++

====

++++= × == × == × == × =

ដចេនះេប f (x) ln x==== េនះ 1f '(x)

x==== ។



ឧទហរណ១ គណនេដរេវៃនអនគមន 1 ln xy

1 ln x−−−−====++++

េគបន 2

(1 ln x) '(1 ln x) (1 ln x)'(1 ln x)y '

(1 ln x)

− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====−−−−

2 2

1 1(1 ln x) (1 ln x) 2x x

(1 ln x) x(1 ln x)

− + − −− + − −− + − −− + − −= = −= = −= = −= = −

+ ++ ++ ++ +

ដចេនះ 2

2y '

x(1 ln x)= −= −= −= −

++++ ។

ឧទហរណ២ គណនេដរេវៃនអនគមន 2y ln(x 1 x )= + += + += + += + +

េគបន 2

2

(x 1 x )'y '

x 1 x

+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +

2

2 2

2 2

2

2 2 2

(1 x )' 2x1 1

2 1 x 2 1 x

x 1 x x 1 x

1 x x 1

(x 1 x ) 1 x 1 x

+++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ += == == == =

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

+ ++ ++ ++ += == == == =+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

ដចេនះ 2

1y '

1 x====

++++ ។




គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖

1/ x

x

e 1y

e 1

−−−−====++++

2/ 2 xy (x x 1)e−−−−= − += − += − += − +

3/ x2y e−−−−==== 4/ 3 2xy x e====

5/ 2 xy (x x)e= −= −= −= − 6/ 2x 2xe e

y2

−−−−−−−−====

៣-គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖

1/ x ln xy

x++++==== 2/ 2

ln xy

x====

3/ y 1 x x ln x= − += − += − += − + 4/ x 1y ln

x 1−−−−====++++

5/ 2y ln(x 4x 3)= − += − += − += − + 6/ 2y ln(x x 4)= + += + += + += + +



៦-េដរេវលដបខពស

ក/េដរេវទ2ៃនអនគមន

េដរេវទពរៃនអនគមន y f (x)==== កណតតងេដយ y '' f ''(x)====

ឬកណតតងេដយ 2

2

d yf ''(x)

dx==== ។

ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន y ln x==== ។ គណន 2

2

d y

dx ?

េគមន dy 1y ' (ln x)'

dx x= = == = == = == = =

េហយ 2

2 2

d y 1 1(y ') ' '

xdx x = = = −= = = −= = = −= = = −

។

ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន y sin x==== ។ គណន 2

2

d y

dx ?

េគបន dyy ' (sin x)' cos x

dx= = == = == = == = =

េហយ 2

2

d y(y ') ' (cos x)' sin x

dx= = = −= = = −= = = −= = = − ។



ខ/េដរេវលដបខពស

េដរេវៃនអនគមន y f (x)==== អចមនេដរេវខលនឯងបនតបនទ បេទៀត ។

េគេហេដរេវបនតបនទ បថ េដរេវទ1 , េដរេវទ2,…….,េដរេវទn

ែដលេគកណតតងេដយ (n)y ' , y '' , ...., y ។

ឧទហរណ គណនេដរេវទ n ៃនអនគមន y sin x==== ?

េគបន y ' (sin x)' cos x sin( x)2ππππ= = = += = = += = = += = = +

y '' (sin( x)) ' cos( x) sin( x)2 2

3y ''' (sin( x)) ' cos( x) sin( x)

2

π ππ ππ ππ π= + = + = π += + = + = π += + = + = π += + = + = π +

ππππ= π + = π + = += π + = π + = += π + = π + = += π + = π + = +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

ឧបមថ (n) ny sin( x)

2ππππ= += += += + ពត

េយងបន (((( ))))(n 1) (n) n (n 1)y y ' cos( x) sin x

2 2++++ π + ππ + ππ + ππ + π = = + = += = + = += = + = += = + = +

ពត

ដចេនះ (n) ny sin( x)

2ππππ= += += += + ។




១-េគឲយអនគមន f កណតេដយ y f (x) cos x= == == == =

ចររសយថេដរេវទn ៃនអនគមនកណតេដយ (n) ny cos(x )

2ππππ= += += += +

២-ចរគណនេដរេវទ n ៃនអនគមនខងេរកម ៖

1/ y ln x==== 2/ 2xy e====

3/ 1y

x 1====

++++ 4/ 2y sin x====

5/ 1 1y

x x 1= += += += +

−−−− 6/ 2x 3

y(x 1)(x 2)

++++====+ ++ ++ ++ +

៣-េគឲយអនគមន m ny (x ) (x )= − α − β= − α − β= − α − β= − α − β ែដល m ,n IN ,∈ α ≠ β∈ α ≠ β∈ α ≠ β∈ α ≠ β

ក/ ចររសយថ x − α− α− α− α ែចកដច (m 1)y −−−−

ខ/ តង GCD(m,n) d==== ។

េត(x )(x )− α − β− α − β− α − β− α − β ែចកដច (d 1)y −−−− ឬេទ ?

៤-េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2 5f (x) (x 3x 1)= − += − += − += − + ។

ចរគណន f ''(0) រចទញរកេលខេមគណមខត 2x ៃនអនគមនf ។



៧-េដរេវៃនអនគមនអពលសត

ក/ នយមនយ

អនគមនអពលសត គជអនគមនែដលបញជ កពទនកទនងមយ

បេពញលកខខណឌ រមគន ។

ឧទហរណ 2 2

2 2 2 2 22 2

x yx y a , 1 , x xy y 3 , ....

a b+ = + = + + =+ = + = + + =+ = + = + + =+ = + = + + =

សទឋែតជអនគមនអពលសត ។

ខ/ឧទហរណគរ

គណន y ' េដយដងថ 2 2ax bxy cy d+ + =+ + =+ + =+ + = ។

េគបន 2 2(ax bxy cy )' (d) '+ + =+ + =+ + =+ + =

2ax by bxy ' 2cyy ' 0

(bx 2cy)y ' (2ax by)

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =+ = − ++ = − ++ = − ++ = − +

េគទញបន 2ax byy '

bx 2cy++++= −= −= −= −

++++ ។




១-គណន dyy '

dx==== ជអនគមន x នង yកនងករណនមយៗខងេរកម

ក/ 2 2 2x y r+ =+ =+ =+ = ខ/ 2 2

2 2

x y1

a b+ =+ =+ =+ =

គ/ 2(y k) 4p(x h)− = −− = −− = −− = − ឃ/ 2 2 23 3 3x y a+ =+ =+ =+ =

ង/ 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

− −− −− −− −+ =+ =+ =+ = ច/ 3 3x y 3xy 1+ = ++ = ++ = ++ = +

ឆ/ sin(xy) sin x sin y= += += += + ជ/ 2 2x 4xy 3y 5− + =− + =− + =− + =

ឈ/ y xx y==== ញ/ x y xye e e 2+ = ++ = ++ = ++ = +

២-ចរគណន 2

2

d yy ''

dx==== ជអនគមន x , y , y ' រចជអនគមនៃនx, y

កនងករណនមយៗខងេរកម ៖

ក/ 2 2x xy y 4− + =− + =− + =− + = ខ/ 3 3x y 6xy 1+ = ++ = ++ = ++ = +

គ/ 1 1xy

x y+ =+ =+ =+ = ឃ/ 2 2x 3xy y 9− + =− + =− + =− + =

ច/ 3 2xy y x 4+ = ++ = ++ = ++ = + ឆ/ 2 2x 3xy 2y 0− + =− + =− + =− + =



ជពកទ២

អនវតតនេដរេវៃនអនគមន ១-អនវតតនកនងករគណនតៃមលបរម

សនមតថ f ជអនគមនមនេដរេវទពរេលចេនល ះមយែដលមន 0x ។

អតបរមេធៀប ៖

អនគមន f មនអតបរមេធៀបរតង 0x កលណ 0

0

f '(x ) 0

f ''(x ) 0

==== <<<<

អបបបរមេធៀប ៖

អនគមន f មនអតបរមេធៀបរតង 0x កលណ 0

0

f '(x ) 0

f ''(x ) 0

==== >>>>



២-េលបឿន នង សទះៃនចលន

ក/េលបឿនៃនចលន

េលបឿនៃនចលនមយេនខណះ t គ dSV '(t) S '(t)

dt= == == == =

ែដល S S(t)==== ជចមង យចរេនខណះ t ។

ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ ទកមយចបេផតមេចញដេណ រពចណចរតតពនតយែដល

ខណះ t នទេរកយមកទកេនះមនចមង យពចណចរតតពនតយ

ែដលតងេដយអនគមន 3S(t) t 60t= += += += + (គតជែមរត)

ក/រកេលបឿនទករតងចណចចបេផតម ។

ខ/កណតេលបឿនៃនទកេនខណះ t 3==== នទ ។

ដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយ

ក/រកេលបឿនទករតងចណចចបេផតម ៖

េគបន t គ 2dSV '(t) S '(t) 3t 60

dt= = = += = = += = = += = = +

េប t 0==== េនះ 2V '(0) 3(0) 60 60m / mn= + == + == + == + = ។



ខ/កណតេលបឿនៃនទកេនខណះ t 3==== នទ ៖

េប t 3mn==== េនះ 2V '(3) 3(3) 60 27 60 87m / mn= + = + == + = + == + = + == + = + = ។

ខ/សទះៃនចលន

សទះៃនចលនមយេនខណះ t គ dVa'(t) V '(t)

dt= == == == =

ែដល V V(t)==== ជេលបឿនៃនចលនេនខណះ t ។

ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ រថយនតមយចបេផតមេចញដេណ រេដយេលបឿនែដលតង

េដយអនគមន 100tV(t) (m / s)

t 15====

++++

កណតសទះៃនរថយនតេនខណះ t 10s==== ?


េគបន dVa(t) V '(t)

dt= == == == = េដយ 100t

V(t) (m / s)t 15

====++++

េនះ 2 2

100(t 15) 100t 1500a(t)

(t 15) (t 15)

+ −+ −+ −+ −= == == == =+ ++ ++ ++ +

េប t 10s==== េនះ 22

1500 1500a(10) 2.4 m / s

625(10 15)= = == = == = == = =

++++ ។



៣-ឌេផរងែសយល

នយមនយ ៖

េបអនគមន y f (x)==== មនេដរេវេនះឌេផរងែសយលកណតេដយ

dy f '(x).dx==== ។

កលណតៃមល x∆∆∆∆ កនែតតចេនះ dy អចជតៃមលរបែហលៃន y∆∆∆∆

េគបន f (x x) f (x) y f (x) dy f (x) f '(x). x+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆ ។

ឧទហរណ ចរគណនតៃមលរបែហលៃន otan 46 ?

តងអនគមន f (x) tan x====

យក ox 45==== នង ox 1∆ =∆ =∆ =∆ = េនះេគបន ៖

o o of (46 ) f (45 ) f '(45 ). x= + ∆= + ∆= + ∆= + ∆

េដយ 22

1f '(x) (tan x)' 1 tan x

cos x= = = += = = += = = += = = + េនះ of '(45 ) 2====

េគបន o 3.14f (46 ) 1 2 1.035

180= + × == + × == + × == + × = ។

ដចេនះ otan 46 1.035==== ។



៤-វសមភពកេណ នមនកណត

រទសតបទទ១

េគឲយ f ជអនគមនកណត នង ជប េហយមនេដរេវេលចេនល ះ I ។

េបមនពរចននពត m នង M ែដលរគប x I : m f '(x) M∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤

េនះរគបចននពត a,b I∈∈∈∈ ែដល a b<<<< េគបន ៖

m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។

សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក

តងអនគមន g ែដល g(x) f (x) mx= −= −= −= − មនេដរេវេល I

េគបន g '(x) f '(x) m 0= − ≥= − ≥= − ≥= − ≥ រគប x I∈∈∈∈ េរពះ f '(x) m≥≥≥≥ ។

េនះ g ជអនគមនេកនេលចេនល ះ I ។

ចេពះរគបចននពត a,b I∈∈∈∈ ែដល a b<<<< េគបន g(a) g(b)≤≤≤≤

ឬ f (a) ma f (b) mb− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ − េនះ f (b) f (a) m(b a) (i)− ≥ −− ≥ −− ≥ −− ≥ −

តងអនគមន h ែដល h(x) f (x) Mx= −= −= −= − មនេដរេវេល I

េគបន h '(x) f '(x) M 0= − ≤= − ≤= − ≤= − ≤ រគប x I∈∈∈∈ េរពះ f '(x) M≤≤≤≤ ។



េនះ h ជអនគមនចះេលចេនល ះ I ។

ចេពះរគបចននពត a,b I∈∈∈∈ ែដល a b<<<< េគបន h(a) h(b)≥≥≥≥

ឬ f (a) Ma f (b) Mb− ≥ −− ≥ −− ≥ −− ≥ − េនះ f (b) f (a) M(b a) (ii)− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ −

តមទនកទនង (i) & (ii) េគបន ៖

m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។

ឧទហរណ េគឲយអនគមន f កណតេដយ ៖

2f (x) (2k 1)x k (2k 1)n= + + − += + + − += + + − += + + − + ែដល k 0 , n 0> >> >> >> > ។

ក/កណតតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + ។

ខ/ បញជ កថចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគបន ៖

2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k

2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +++++

ដេណះរសយ ដេណះរសយ ដេណះរសយ ដេណះរសយ

ក/កណតតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ +

េគមន 2

2k 1 2k 1f '(x)

2f (x)2 (2k 1)x k (2k 1)n

+ ++ ++ ++ += == == == =+ + − ++ + − ++ + − ++ + − +



េដយ 2f (n) (2k 1)n k (2k 1)n k= + + − + == + + − + == + + − + == + + − + =

េហយ 2f (n 1) (2k 1)(n 1) k (2k 1)n k 1+ = + + + − + = ++ = + + + − + = ++ = + + + − + = ++ = + + + − + = +

េនះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគបន 2k 1 2k 1f '(x)

2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++

។

ខ/ បញជ កថចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគបន ៖

2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k

2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +++++

តមសរមយខងេលចេពះរគបx [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគមន ៖

2k 1 2k 1f '(x)

2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++

។ តមវសមភពកេណ នមនកណត

ចេពះ x n≥≥≥≥ េគបន ៖

2k 1 2k 1(x n) f (x) f (n) (x n)

2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −++++

េដយ f (n) k====

ដចេនះ 2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k

2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +++++

។



រទសតបទទ២

េគឲយ f ជអនគមន មនេដរេវេលចេនល ះ [a ,b]។

េបមនពរចននពត M ែដលរគប x [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤∈ ≤∈ ≤∈ ≤

េនះេគបន | f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ − ។

សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក

េគមនរគប x [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤∈ ≤∈ ≤∈ ≤

េនះេគទញ M f '(x) M− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤

តមវសមភពកេណ នមនកណតេគបន ៖

ចេពះ a b<<<< េគបន M(b a) f (b) f (a) M(b a) (1)− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −

ចេពះ a b>>>> េគបន M(a b) f (a) f (b) M(a b) (2)− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −

តម(1)នង(2)េគបន | f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ − ។

ដចេនះរទសតបទរតវបនរសយបញជ ក ។



ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) sin x==== ។

ចេពះរគប , IRα β ∈α β ∈α β ∈α β ∈ បងហ ញថ | sin sin | | |α − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − β ?

េគមន f (x) sin x==== េនះ f '(x) cos x====

ចេពះរគប x IR∈∈∈∈ េគមន 1 cos x 1− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤ េនះ | f (x) | 1≤≤≤≤

ដចេនះរគប , IRα β ∈α β ∈α β ∈α β ∈ េគបន | sin sin | | |α − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − β ។


១-េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) 5x 1= −= −= −= −

ក/កណតតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [1,2]∈∈∈∈ ។

ខ/ បញជ កថចេពះរគប x [1,2]∈∈∈∈ េគបន ៖

5x 7 5x 3f (x)

6 6 4 4+ ≤ ≤ ++ ≤ ≤ ++ ≤ ≤ ++ ≤ ≤ + ។

២-េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) cos x==== ។

ចេពះរគប , IRα β ∈α β ∈α β ∈α β ∈ បងហ ញថ | cos cos | | |α − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − β ?



៥-រទសតបទរ ល

េប f ជអនគមនជបេលចេនល ះ [[[[ ]]]]a ,b មនេដរេវេលចេនល ះ(((( ))))a ,b

នង f (a) f (b)==== េនះមនចនន c (a ,b)∈∈∈∈ យងតចែដល f '(c) 0==== ។


េគតង f (a) f (b)= = λ= = λ= = λ= = λ

-ករណទ១ េប f (x) = λ= λ= λ= λ រគប x [a,b]∈∈∈∈ េនះ f ជអនគមនេថរេល

ចេនល ះ [[[[ ]]]]a ,b នង f '(x) 0==== រគប (((( ))))x a,b∈∈∈∈ ។

-ករណទ២ េប f (x) > λ> λ> λ> λ រគប [[[[ ]]]]x a,b∈∈∈∈ េនះ f មនតៃមលអតបរម

យងតចមយរតង x c==== េដយ f មនេដរេវរតង x c==== េនះ f '(c) 0====

-ករណទ៣ េប f (x) < λ< λ< λ< λ រគប [[[[ ]]]]x a,b∈∈∈∈ េនះ f មនតៃមលអបបបរម

យងតចមយរតង x c==== េដយ f មនេដរេវរតង x c==== េនះ f '(c) 0====



ឧទហរណ េគឲយអនគមន f កណតេដយ ៖

3 2f (x) x (a b c)x (ab bc ca)x abc= − + + + + + −= − + + + + + −= − + + + + + −= − + + + + + −

ែដល a,b,c IR∈∈∈∈ ។

ក/គណន f (a) នង f (b) រចទញថសមករ f '(x) មនឬសយងតច

មយេនចេនល ះចនន a នង b ។

ខ/ទញបញជ កវសមភព 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + + ។

ដេណះរសយ

ក/គណន f (a) នង f (b) ៖

េគបន 3 2f (a) a (a b c)a (ab bc ca)a abc 0= − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − =

3 2f (b) b (a b c)b (ab bc ca)b abc 0= − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − =

ដចេនះ f (a) f (b) 0= == == == = ។

ទញថសមករ f '(x) 0==== មនឬសយងតចមយេនចេនល ះ(a ,b) ៖ េដយ f ជអនគមនជបេល [[[[ ]]]]a,b នង មនេដរេវេល (a ,b)

េហយ f (a) f (b) 0= == == == = េនះតមរទសតបទរ លមន (a ,b)α ∈α ∈α ∈α ∈



ែដល f '( ) 0α =α =α =α = េនះមននយថសមករ f '(x) 0==== មនឬសយងតចមយេនចេនល ះ(a ,b) ។

ខ/ទញបញជ កវសមភព 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + +

េគមន 2f '(x) 3x 2(a b c)x (ab bc ca)= − + + + + += − + + + + += − + + + + += − + + + + +

េដយ f '(x) 0==== ជសមករមនឬសេនះ ' 0∆ ≥∆ ≥∆ ≥∆ ≥

ែត 2' (a b c) 3(ab bc ca)∆ = + + − + +∆ = + + − + +∆ = + + − + +∆ = + + − + +

ដចេនះ 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + + ។


១-េគមនអនគមន f កណតេដយ 4 3f (x) x 2x 2x 4= − + += − + += − + += − + +

ក/គណន f ( 1)−−−− នង f (1) ។

ខ/បងហ ញថមន c ( 1,1)∈ −∈ −∈ −∈ − ែដល f '(c) 0==== ។

២-េគមនអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 10x 9= − += − += − += − +

ក/រកឬស αααα នង ββββ របសសមករ f (x) 0====

ខ/បងហ ញថមន c ( , )∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β ែដល f '(c) 0==== រចកណត c ។



៦-រទសតបទតៃមលមធយម(ឬរទសតបទ Lagrange)

េប f ជអនគមនជបេលចេនល ះ [[[[ ]]]]a ,b មនេដរេវេលចេនល ះ(((( ))))a ,b

េនះមនចនន c (a ,b)∈∈∈∈ យងតចមយែដល f (b) f (a)f '(c)

b a−−−−====−−−−

។


យក g(x) f (b) f (x) (b x)= − − λ −= − − λ −= − − λ −= − − λ −

ែដល f (b) f (a)b a

−−−−λ =λ =λ =λ =−−−−

។

េនះ g ជអនគមនជបកនងចេនល ះ [[[[ ]]]]a,b នង មនេដរេវកនង(((( ))))a ,b

េហយេដយ g(a) g(b) 0= == == == = េនះតមរទសតបទរ លមន c (a,b)∈∈∈∈

មយយងតចែដល g '(c) 0==== ។ េដយ g '(c) f '(c)= − + λ= − + λ= − + λ= − + λ

េនះ f '(c) = λ= λ= λ= λ ។ ដចេនះ f (b) f (a)f '(c)

b a−−−−====−−−−

។



ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ ចេពះរគបចននពតវជជមន αααα នង ββββ ែដល α < βα < βα < βα < β

ចររសយថ ln( )β − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − α< << << << <

β α αβ α αβ α αβ α α ។

តងអនគមន f (x) ln x==== ែដល x [ , ]∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β នង 0 < α < β< α < β< α < β< α < β

េគបន f ជអនគមនជបេល [[[[ ]]]],α βα βα βα β នង មនេដរេវេល ( , )α βα βα βα β

េនះតមរទសតបទតៃមលមធយមមន c ( , )∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β ែដល ៖

f ( ) f ( ) ln lnf '(c) (1)

β − α β − αβ − α β − αβ − α β − αβ − α β − α= == == == =β − α β − αβ − α β − αβ − α β − αβ − α β − α

េគមន 1f '(x) (ln x)'

x= == == == = េនះ 1

f '(c)c

====

ែត c ( , )∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β េនះ cα < < βα < < βα < < βα < < β ឬ 1 1 1c

< << << << <β αβ αβ αβ α

េគបន 1 1f '(c) (2)< << << << <

β αβ αβ αβ α

តម (1) នង (2) េគទញ 1 ln ln 1β − αβ − αβ − αβ − α< << << << <β β − α αβ β − α αβ β − α αβ β − α α

ដចេនះ ln( )β − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − α< << << << <

β α αβ α αβ α αβ α α ។



៧-អនវតតនេដរេវកនងេសដឋកចច

េយងតង C C(x)==== ជអនគមនចណយសរបកនងករផលតសមភ រះ

ចនន x េរគឿង , R R(x)==== ជអនគមនចណលសរបពករលកសមភ រះ

ចនន x េរគឿងនងP P(x) R(x) C(x)= = −= = −= = −= = − ជអនគមនរបកចេណញ

ពករលកសមភ រះចនន x េរគឿង ។

េគបន C'(x) េហថអនគមនៃនរបកចណយបែនថម

R '(x) េហថអនគមនៃនរបកចណលបែនថម

P '(x) េហថអនគមនៃនរបកចេណញបែនថម ។

ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ េគឲយអនគមនរបកចណលសរបពករលកសមភ រះ x

េរគឿងនងអនគមនរបកចណយសរបេលករផលតសមភ រះ x កណតេរៀងគន េដយ R(x) 300x==== នង 2 3C(x) 1000 72x x= − += − += − += − + ។

ក/កណតអនគមនរបកចេណញសរប ។

ខ/កណតបរមណសមភ រះែដលរតវលកេដមបឲយេគទទលបនរបក

ចេណញអតបរម រចកណតរករបកចេណញអតបរមេនះ ។




ក/កណតអនគមនរបកចេណញសរប

តង P(x) ជអនគមនៃនរបកចេណញសរបពករលកសមភ រះ

េគបន 2 3P(x) R(x) C(x) 300x 1000 72x x= − = − + −= − = − + −= − = − + −= − = − + −

ដចេនះ 3 2P(x) x 72x 300x 1000= − + + −= − + + −= − + + −= − + + − ។

ខ/កណតបរមណសមភ រះែដលរតវលកេដមបឲយេគទទលបនរបក

ចេណញអតបរម រចកណតរករបកចេណញអតបរមេនះ ៖

េគមន 2P'(x) 3x 144x 300 3(x 50)(x 2)= − + + = − − += − + + = − − += − + + = − − += − + + = − − +

េប P '(x) 0==== េនះ 1 2x 50 , x 2= = −= = −= = −= = − (មនយក)

េគមន P ''(x) 6x 144= − += − += − += − + េនះ P ''(50) 300 144 0= − + <= − + <= − + <= − + <

េនះមននយថ P(x) មនអតបរមរតង x 50==== ។

ដចេនះេដមបបនរបកចេណញអតបរមេគរតវលកសមភ រះ 50ឯកត

េហយរបកចេណញអតបរមេនះគ ៖

maxP P(50) 69 ,000= == == == = ឯកតរបយវតថ ,



ជពកទ៣

សកសអេថរភព នង រកបៃនអនគមន

១-សកសអនគមនសនទន

ក/ សកសអនគមន 2ax bx c

ypx q

+ ++ ++ ++ +====++++

ែដល a 0 , p 0≠ ≠≠ ≠≠ ≠≠ ≠ នង 20 0ax bx c 0+ + ≠+ + ≠+ + ≠+ + ≠ រគប 0

qx

p= −= −= −= −

ែដនកណត ៖ qD IR

p= − −= − −= − −= − −

េដរេវ 2

2

apx 2aqx bq cpf '(x)

(px q)

+ + −+ + −+ + −+ + −====++++

-េប f '(x) 0==== គម នឬសេនះអនគមនគម នបរមេទ ។

-េប f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន េនះអនគមនមនអតបរមមយ

នងអបបបរមមយ ។



អសមតត ៖

-បនទ ត px

q= −= −= −= − ជអសតមតតឈរ ។

-េបអនគមនអចសរេសរ f (x) xpx q

γγγγ= α + β += α + β += α + β += α + β +++++

េនះបនទ ត

មនសមករ y x= α + β= α + β= α + β= α + β ជអសមតតេរទត ។

-ចណចរបសពវរវងអសមតតទងពរជផចតឆលះៃនរកប ។

-រកបមនរងទេទដចរបខងេរកម ៖

1/ករណ ap 0<<<< នង f '(x) 0==== គម នឬស

0 1

1

x

y



2/ករណ ap 0>>>> នង f '(x) 0==== គម នឬស

3/ករណ ap 0<<<< នង f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



4/ករណ ap 0>>>> នង f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន

ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ១១១១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x x 6

f (x)x 1− −− −− −− −====

−−−−

សកសអេថរភព នង សងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយ(o, i , j)→ →→ →→ →→ →

·ែដនកណត D IR 1 = −= −= −= −

·សរេសរជរងកណនក 2x x 6 x(x 1) 6 6

f (x) xx 1 x 1 x 1− − − −− − − −− − − −− − − −= = = −= = = −= = = −= = = −

− − −− − −− − −− − −

0 1

1

x

y



·ទសេដអេថរភព

-េដរេវ 2

6 6f '(x) (x )' 1 0

x 1 (x 1)= − = + >= − = + >= − = + >= − = + >

−−−− −−−− រគប x D∈∈∈∈

េនះ f ជអនគមនេកនជនចចេលែដនកណតរបសវ ។

-គណនលមត

x x

6lim f (x) lim (x )

x 1→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= − = +∞= − = +∞= − = +∞= − = +∞

−−−−

x x

6lim f (x) lim (x )

x 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= − = −∞= − = −∞= − = −∞= − = −∞

−−−−

x 1 x 1

6lim f (x) lim (x )

x 1→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −= − = +∞= − = +∞= − = +∞= − = +∞

−−−−

x 1 x 1

6lim f (x) lim (x )

x 1→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ += − = −∞= − = −∞= − = −∞= − = −∞

−−−−

-អសមតត

េដយ x 1 x 1

6limf(x) lim(x )

x 1→ →→ →→ →→ →= − = ∞= − = ∞= − = ∞= − = ∞

−−−− េនះបនទ តសមករ x 1====

ជអសមតតឈរៃនរកប ។

មយងេទៀត 6f (x) x

x 1= −= −= −= −

−−−− េហយ

x x

6lim[f (x) x] lim 0

x 1→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

−−−−− = =− = =− = =− = =−−−−



ដចេនះបនទ តមនសមករ y x==== ជអសមតតេរទតៃនរកប ។

-តរងអេថរភព

x −∞−∞−∞−∞ 1 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)

·សណងរកប

-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (x 'ox) :

y 0==== សមមល 2x x 6

0x 1− −− −− −− − ====

−−−− ឬ 2x x 6 0− − =− − =− − =− − =

1 24 25∆ = + =∆ = + =∆ = + =∆ = + = មនឬស 1 21 5 1 5

x 2 , x 32 2− +− +− +− += = − = == = − = == = − = == = − = = ។

-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (y 'oy) :

x 0==== េនះ 6y 6

1−−−−= == == == =−−−−

។



-ផចតឆលះ

អសមតតឈរ x 1==== នងអសមតតេរទត y x==== កតគន រតង I(1 ,1)

េដយ f (2a x) f (x) f (2 x) f (x)− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +

6 62 x x 2 2b

1 x x 1= − − + − = == − − + − = == − − + − = == − − + − = =

− −− −− −− −

ដចេនះ I(1 ,1) ជផចតឆលះៃនរកប ។

0 1

1

x

y



ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ២២២២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x 5x 4

f (x)2 x− +− +− +− +====

−−−−


·ែដនកណត D IR 2 = −= −= −= −

·សរេសរជរងកណនក 2x 5x 4 2

f (x) x 32 x 2 x− +− +− +− += = − + −= = − + −= = − + −= = − + −

− −− −− −− −


-េដរេវ 2

2 2f '(x) ( x 3 )' 1 0 x D

2 x (2 x)= − + − = − − < ∀ ∈= − + − = − − < ∀ ∈= − + − = − − < ∀ ∈= − + − = − − < ∀ ∈

−−−− −−−−

េនះ f ជអនគមនចះជនចចេលែដនកណតរបសវ ។

-គណនលមត

x x

2lim f(x) lim ( x 3 )

2 x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞

−−−−

x x

2lim f(x) lim ( x 3 )

2 x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞

−−−−

x 2 x 2

2lim f (x) lim ( x 3 )

2 x→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞

−−−−



x 2 x 2

2lim f (x) lim ( x 3 )

2 x→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ += − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞

−−−−

-អសមតត

េដយ x 2 x 2

2lim f (x) lim( x 3 )

2 x→ →→ →→ →→ →= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞

−−−− េនះបនទ តសមករ

x 2==== ជអសមតតឈរៃនរកប ។

មយងេទៀត 2f (x) x 3

2 x= − + −= − + −= − + −= − + −

−−−− េហយ

x

2lim 0

2 x→∞→∞→∞→∞====

−−−−

ដចេនះបនទ តមនសមករ y x 3= − += − += − += − + ជអសមតតេរទតៃនរកប ។


x −∞−∞−∞−∞ 2 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)





y 0==== សមមល 2x 5x 4

02 x− +− +− +− + ====

−−−− ឬ 2x 5x 4 0− + =− + =− + =− + =

a b c 0+ + =+ + =+ + =+ + = មនឬស 1 2x 1 , x 4= == == == = ។


x 0==== េនះ 4y 2

2= == == == = ។

-ផចតឆលះ

អសមតតឈរ x 2==== នងអសមតតេរទត y x 3= − += − += − += − + កតគន រតង

ចណច I(2 ,1)

េដយ f (2a x) f (x) f (4 x) f (x)− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +

2 2x 1 x 3 2 2b

x 2 2 x= − − − + − = == − − − + − = == − − − + − = == − − − + − = =

− −− −− −− −

ដចេនះ I(2 ,1) ជផចតឆលះៃនរកប ។



ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ៣៣៣៣ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x 3x 3

f (x)x 1+ ++ ++ ++ +====

++++


·ែដនកណត D IR 1 = − −= − −= − −= − −

·សរេសរជរងកណនក 2x 3x 3 1

f (x) x 2x 1 x 1+ ++ ++ ++ += = + += = + += = + += = + +

+ ++ ++ ++ +

0 1

1

x

y




-េដរេវ 2 2

1 1 x(x 2)f '(x) (x 2 )' 1

x 1 (x 1) (x 1)

++++= + + = − == + + = − == + + = − == + + = − =++++ + ++ ++ ++ +

f '(x) 0==== េគបន x(x 2) 0+ =+ =+ =+ = េនះ 1 2x 0 , x 2= = −= = −= = −= = − ។

-បរមៃន f

ចេពះ x 2= −= −= −= − អនគមនមនតៃមលអតបរមេធៀប f ( 2) 1− = −− = −− = −− = − ។

ចេពះ x 0==== អនគមនមនតៃមលអបបបរមេធៀប f (0) 3==== ។

-គណនលមត

x x

1lim f(x) lim (x 2 )

x 1→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞

++++

x x

1lim f(x) lim (x 2 )

x 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞

++++

x 1 x 1

1lim f (x) lim (x 2 )

x 1→− →−→− →−→− →−→− →−− −− −− −− −= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞

++++

x 1 x 1


x 1→− →−→− →−→− →−→− →−+ ++ ++ ++ += + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞

++++



-អសមតត

េដយ x 1 x 1


x 1→− →−→− →−→− →−→− →−= + + = ∞= + + = ∞= + + = ∞= + + = ∞

++++ េនះបនទ តសមករ

x 1= −= −= −= − ជអសមតតឈរៃនរកប ។

មយងេទៀត 1f (x) x 2

x 1= + += + += + += + +

++++ េហយ

x

1lim 0

x 1→∞→∞→∞→∞====

++++

ដចេនះបនទ តមនសមករ y x 2= += += += + ជអសមតតេរទតៃនរកប ។


x −∞−∞−∞−∞ 2−−−− 1−−−− 0 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)





y 0==== សមមល 2x 3x 3

0x 1+ ++ ++ ++ + ====

++++ ឬ 2x 3x 3 0+ + =+ + =+ + =+ + =

9 12 0∆ = − <∆ = − <∆ = − <∆ = − < សមករគម នឬស ។

េនះរកបៃណអនគមនមនកតអកសអបសសេទ ។


x 0==== េនះ 3y 3

1= == == == = ។

-ផចតឆលះ

អសមតតឈរ x 1= −= −= −= − នងអសមតតេរទត y x 2= += += += + កតគន រតង

ចណច I( 1,1)−−−− ។

េដយ f (2a x) f (x) f ( 2 x) f (x)− + = − − +− + = − − +− + = − − +− + = − − +

1 1

x x 21 x x 1

2 2b

= − + + + += − + + + += − + + + += − + + + +− − +− − +− − +− − +

= == == == =

ដចេនះ I( 1,1)−−−− ជផចតឆលះៃនរកប ។



ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ៤៤៤៤ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x 5x 4

f (x)2x

− + −− + −− + −− + −====


·ែដនកណត *D IR====

·សរេសរជរងកណនក 2x 5x 4 x 5 2

f (x)2x 2 2 x

− + −− + −− + −− + −= = − + −= = − + −= = − + −= = − + −

0 1

1

x

y




-េដរេវ

2

2 2 2

x 5 2 1 2 x 4 ( x 2)(x 2)f '(x)

2 2 x 2 x x x

' − + − + +− + − + +− + − + +− + − + + = − + − = − + = == − + − = − + = == − + − = − + = == − + − = − + = =

f '(x) 0==== េគបន 1 2x 2 , x 2= = −= = −= = −= = − ។

-បរមៃន f

ចេពះ x 2==== អនគមនមនតៃមលអតបរមេធៀប 1f (2)

2==== ។

ចេពះ x 2= −= −= −= − អនគមនមនតៃមលអបបបរមេធៀប 9f ( 2)

2− =− =− =− = ។

-គណនលមត

x x

x 5 2lim f (x) lim ( )

2 2 x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞

x x


2 2 x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞

x 0 x 0


2 2 x→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞



x 0 x 0


2 2 x→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ += − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞

-អសមតត

េដយ x 0 x

x 5 2lim f (x) lim( )

2 2 x→ →→ →→ →→ →= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞ េនះបនទ តសមករ

x 0==== ជអសមតតឈរៃនរកប ។

មយងេទៀត x 5 2f (x)

2 2 x= − + −= − + −= − + −= − + − េហយ

x

2lim( ) 0

x→∞→∞→∞→∞− =− =− =− =

ដចេនះបនទ តមនសមករ x 5y

2 2= − += − += − += − + ជអសមតតេរទតៃនរកប ។


x −∞−∞−∞−∞ 2−−−− 0 2 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x) +∞+∞+∞+∞





y 0==== សមមល 2x 5x 4

02x

− + −− + −− + −− + − ==== ឬ 2x 5x 4 0− + − =− + − =− + − =− + − =

a b c 0+ + =+ + =+ + =+ + = សមករមនឬស 1 2x 1 , x 4= == == == = ។


x 0==== េនះ 3y 3

1= == == == = ។

-ផចតឆលះ

អសមតតឈរ x 0==== នងអសមតតេរទត x 5y

2 2= − += − += − += − + កតគន រតង

ចណច 5I(0, )

2 ។

េដយ f (2a x) f (x) f ( x) f (x)− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +

x 5 2 x 5 22 2 x 2 2 x5 2b

= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −

= == == == =

ដចេនះ 5I(0, )

2 ជផចតឆលះៃនរកប ។




សកសអេថរភព នងសងរកបៃនអនគមនខងេរកម ៖

១/ 2x 5x 7

yx 2− +− +− +− +====

−−−− ២/

2x x 1y

2x− +− +− +− +====

៣/ 2x 2x 3

yx 1+ −+ −+ −+ −====

++++ ៤/ 4

y x 2x

= + += + += + += + +

៥/ 1y x 2

x 1= − += − += − += − +

−−−− ៦/ 4

y x 3x 1

= − + += − + += − + += − + +++++

0 1

1

x

y



ខ/សកសអនគមន 2

2ax bx c

ypx qx r

+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +

ែដល a 0≠≠≠≠ នង p 0≠≠≠≠ ។

ែដនកណត ៖ 2D x / px qx r 0= + + ≠= + + ≠= + + ≠= + + ≠

េដរេវ 2

2 2

(aq bp)x 2(ar cp)x (br cq)f '(x)

(px qx r)

− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====+ ++ ++ ++ +

-េប f '(x) 0==== គម នឬសេនះអនគមនគម នបរមេទ ។

-េប f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន េនះអនគមនមនអតបរមមយ

នងអបបបរមមយ ។

-េប f '(x) 0==== មនឬសែតមយេនះអនគមនមនបរមែតមយគត ។

អសមតត ៖

-បនទ ត ay

p==== ជអសតមតតេដកជនចច។

-ចននអសមតតឈរអរសយនងឬសរបសសមករភគែបង

2px qx r 0+ + =+ + =+ + =+ + = ែដលមន 2q 4pr∆ = −∆ = −∆ = −∆ = − ។



េប 2q 4pr 0∆ = − <∆ = − <∆ = − <∆ = − < គម នអសមតតឈរ នង រកបមនែតមយ

េប 2q 4pr 0∆ = − =∆ = − =∆ = − =∆ = − = មនអសមតតឈរ qx

2p= −= −= −= − នង រកប

មនពរែមកដចពគន ។

េប 2q 4pr 0∆ = − >∆ = − >∆ = − >∆ = − > មនអសមតតឈរពរ qx

2p− ± ∆− ± ∆− ± ∆− ± ∆====

នង រកបមនបែមកដចពគន ។

-រកបមនរងទេទដចរបខងេរកម ៖

1/ករណ 2q 4pr 0∆ = − <∆ = − <∆ = − <∆ = − <

0 1

1

x

y



0 1

1

x

y

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



2/ករណ 2q 4pr 0∆ = − =∆ = − =∆ = − =∆ = − =

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



3/ករណ 2q 4pr 0∆ = − >∆ = − >∆ = − >∆ = − >

២-អនគមនអសនទន

1/សកសអនគមន y ax b= += += += +

2/សកសអនគមន 2y ax bx c= + += + += + += + +

៣-អនគមនអចសប ណងែសយល

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2

2

x 2x 3f (x)

x 2x 2

− −− −− −− −====− +− +− +− +

សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →

។

·ែដនកណត

េគមន 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈

ដចេនះ D IR==== ។

·សរេសរជរងកណនក 2

2 2

x 2x 3 5f (x) 1

x 2x 2 x 2x 2

− −− −− −− −= = −= = −= = −= = −− + − +− + − +− + − +− + − +


-េដរេវ 2 2 2

5 5(2x 2)f '(x) (1 )'

x 2x 2 (x 2x 2)

−−−−= − == − == − == − =− + − +− + − +− + − +− + − +

f '(x) 0==== េគបន 2 2

5(2x 2)0

(x 2x 2)

−−−− ====− +− +− +− +

េនះ x 1====

ចេពះ x 1==== នឲយ f (1) 1 5 4= − = −= − = −= − = −= − = − ។

អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 4−−−− រតង x 1==== ។



-គណនលមត ៖

2x x

5lim f(x) lim (1 ) 1

x 2x 2→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞= − == − == − == − =

− +− +− +− +

-អសមតត េដយ xlim f (x) 1→∞→∞→∞→∞

==== េនះបនទ ត y 1==== ជអសមតតេដក

ៃនរកប ។


·សណងរកប ៖

-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបសស y 0==== េនះ 2x 2x 3 0− − =− − =− − =− − =

េគទញឬស 1 2x 1 , x 3= − == − == − == − = ។

-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះ 3y

2= −= −= −= −

x −∞−∞−∞−∞ 1 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)



ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2

2

x 6xf (x)

2(x 2x 2)

++++====− +− +− +− +


។


េគមន 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈

ដចេនះ D IR==== ។


0 1

1

x

y




2 2

(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)

2(x 2x 2)

+ − + − − ++ − + − − ++ − + − − ++ − + − − +====− +− +− +− +

2

2 2

8x 4x 12f '(x)

2(x 2x 2)

− + +− + +− + +− + +====− +− +− +− +

។

េប f '(x) 0==== េគបន 2

2 2

8x 4x 120

2(x 2x 2)

− + +− + +− + +− + + ====− +− +− +− +

េនះ 28x 4x 12 0− + + =− + + =− + + =− + + = នឲយ 1 23

x 1 , x2

= − == − == − == − =

ចេពះ x 1= −= −= −= − នឲយ 5 1f ( 1)

10 2−−−−− = = −− = = −− = = −− = = − ។

ចេពះ 3x

2==== នឲយ 3 9

f ( )2 2

====

អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 12

−−−− រតង x 1= −= −= −= −

នង មនអតបរមេធៀបេសមនង 92

រតង 3x

2==== ។


2

2x x

x 6x 1lim f (x) lim

22(x 2x 2)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞

++++= == == == =− +− +− +− +



-អសមតត

េដយ x

1lim f (x)

2→∞→∞→∞→∞==== េនះបនទ ត 1

y2

==== ជអសមតតេដកៃនរកប ។



-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបសស y 0==== េនះ 2x 2x 3 0− − =− − =− − =− − =

េគទញឬស 1 2x 1 , x 3= − == − == − == − = ។


2= −= −= −= −

x −∞−∞−∞−∞ 1−−−− 32

+∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)



ឧទហរណ៣ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2

2

x 4xf (x)

x 4x 3

−−−−====− +− +− +− +


។


េគមន 2x 4x 3 (x 1)(x 3)− + = − −− + = − −− + = − −− + = − −

ដចេនះ D IR 1 , 3 = −= −= −= − ។



2 2

(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)

2(x 2x 2)

+ − + − − ++ − + − − ++ − + − − ++ − + − − +====− +− +− +− +

0 1

1

x

y

y = 1/2



2 2 2 2

3x 6 3(x 2)f '(x)

(x 4x 3) (x 4x 3)

− −− −− −− −= == == == =− + − +− + − +− + − +− + − +

។

េប f '(x) 0==== េគបន 2 2

3(x 2)0

(x 4x 3)

−−−− ====− +− +− +− +

នឲយ x 2==== ។

ចេពះ x 2==== នឲយ f (2) 4==== ។

អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 4 រតង x 2==== ។


2

x 1 x 1

x 4xlim f (x) lim

(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −

−−−−= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− −− −− −− −

2

x 1 x 1

x 4xlim f (x) lim

(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +

−−−−= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− −− −− −− −

2

x 3 x 3

x 4xlim f (x) lim

(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −

−−−−= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− −− −− −− −

2

x 3 x 3

x 4xlim f (x) lim

(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +

−−−−= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− −− −− −− −

2 2

2x x x

x 4x xlim f (x) lim lim 1

(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞

−−−−= = == = == = == = =− −− −− −− −



-អសមតត

េដយ x 1lim f (x)

→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ នង

x 3lim f (x)

→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ េនះបនទ ត x 1==== នង x 3====

ជអសមតតឈរៃនរកប ។ េហយ xlim f (x) 1→∞→∞→∞→∞

==== េនះបនទ តy 1====

ជអសមតតេដកៃនរកប ។



-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបសស y 0==== េនះ 2x 4x 0− =− =− =− =

េគទញឬស 1 2x 0 , x 4= == == == = ។

-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះy 0====

x −∞−∞−∞−∞ 1 2 3 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)



ឧទហរណ៤ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2

2

2x 6x 4f (x)

x 2x 3

+ −+ −+ −+ −====+ −+ −+ −+ −


។


េគមន 2x 2x 3 (x 1)(x 3)+ − = − ++ − = − ++ − = − ++ − = − +

ដចេនះ D IR 3 , 1 = − −= − −= − −= − − ។

0 1

1

x

y





2 2

(4x 6)(x 2x 3) (2x 2)(2x 6x 4)f '(x)

(x 2x 3)

+ + − − + + −+ + − − + + −+ + − − + + −+ + − − + + −====+ −+ −+ −+ −

2 2

2 2 2 2

2x 4x 10 2[(x 1) 4]f '(x)

(x 2x 3) (x 2x 3)

− − − + +− − − + +− − − + +− − − + += = −= = −= = −= = −+ − + −+ − + −+ − + −+ − + −

។

េដយ 2(x 1) 4 0+ + >+ + >+ + >+ + > េនះ f '(x) 0 x D< ∀ ∈< ∀ ∈< ∀ ∈< ∀ ∈

េនះ f ជអនគមនចះេលែដនកណត ។


2

x 1 x 1

2x 6x 4lim f (x) lim

(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −

+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− +− +− +− +

2

x 1 x 1


(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +

+ −+ −+ −+ −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− +− +− +− +

2

x 3 x 3


(x 1)(x 3)→− →→− →→− →→− →− −− −− −− −

+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− +− +− +− +

2

x 3 x 3


(x 1)(x 3)→− →−→− →−→− →−→− →−+ ++ ++ ++ +

+ −+ −+ −+ −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− +− +− +− +

2 2

2x x x

2x 6x 4 2xlim f (x) lim lim 2

(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞

+ −+ −+ −+ −= = == = == = == = =− +− +− +− +



-អសមតត


→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ នង

x 3lim f (x)→−→−→−→−

= ∞= ∞= ∞= ∞ េនះបនទ ត x 1==== នង x 3= −= −= −= −






-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបស y 0==== េនះ 22x 6x 4 0+ − =+ − =+ − =+ − =

េគទញឬស 1 23 17 3 17

x , x2 2

− − − +− − − +− − − +− − − += == == == = ។


3====

x −∞−∞−∞−∞ 3−−−− 1 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)



ឧទហរណ៥ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2

2

2x x 7f (x)

x x 2

− −− −− −− −====− −− −− −− −


។


េគមន 2x x 2 (x 1)(x 2)− − = + −− − = + −− − = + −− − = + −

ដចេនះ D IR 1 , 2 = − −= − −= − −= − − ។

0 1

1

x

y





2 2

(4x 1)(x x 2) (2x 1)(2x x 7)f '(x)

(x 2x 3)

− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −====+ −+ −+ −+ −

2

2 2

x 6x 5f '(x)

(x x 2)

− + −− + −− + −− + −====− −− −− −− −

។

េប f '(x) 0==== េគបន 2

2 2

x 6x 50

(x x 2)

− + −− + −− + −− + − ====− −− −− −− −

េនះ 2x 6x 5 0− + − =− + − =− + − =− + − = នឲយ 1 2x 1 , x 5= == == == =

ចេពះ x 1==== នឲយ f (1) 3==== េហយ x 3==== នឲយ 2f (3)

3====

អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 3 រតង x 1====

នង មនអតបរមេធៀបេសមនង 23

រតង x 3==== ។


2

x 1 x 1

2x x 7lim f (x) lim

(x 1)(x 2)→− →−→− →−→− →−→− →−− −− −− −− −

− −− −− −− −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞+ −+ −+ −+ −

2

x 1 x 1

2x x 7lim f (x) lim

(x 1)(x 2)→− →−→− →−→− →−→− →−+ ++ ++ ++ +

− −− −− −− −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞+ −+ −+ −+ −



2

x 2 x 2

2x x 7lim f (x) lim

(x 1)(x 2)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −

− −− −− −− −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞+ −+ −+ −+ −

2

x 2 x 2

2x x 7lim f (x) lim

(x 1)(x 2)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +

− −− −− −− −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞+ −+ −+ −+ −

2

x x

2x x 7lim f (x) lim 2

(x 1)(x 2)→± →±∞→± →±∞→± →±∞→± →±∞

− −− −− −− −= == == == =+ −+ −+ −+ −

-អសមតត

េដយ x 1lim f (x)→−→−→−→−

= ∞= ∞= ∞= ∞ នងx 2lim f (x)

→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ េនះបនទ ត x 1= −= −= −= − នង x 2====





x −∞−∞−∞−∞ 1−−−− 1 2 5 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)




-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបស y 0==== េនះ 22x x 7 0− − =− − =− − =− − =

េគទញឬស 1 21 57 1 57

x , x4 4

− +− +− +− += == == == = ។


2==== ។

0 1

1

x

y



ឧទហរណ៦ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2

2

x 2x 7f (x)

x 2x 1

+ −+ −+ −+ −====− +− +− +− +


។


េគមន 2 2x 2x 1 (x 1)− + = −− + = −− + = −− + = −

ដចេនះ D IR 1 = −= −= −= − ។



4

(2x 2)(x 1) 2(x 1)(x 2x 7)f '(x)

(x 1)

+ − − − + −+ − − − + −+ − − − + −+ − − − + −====−−−−

3

4x 12f '(x)

(x 1)

− +− +− +− +====−−−−

។

េប f '(x) 0==== េគបន 3

4x 120

(x 1)

− +− +− +− + ====−−−−

េនះ x 3==== ។

ចេពះ x 3==== នឲយ f (3) 2==== ។

អនគមនមនអតបរមេធៀបេសមនង 2រតង x 3==== ។




2

2x 1 x 1

x 2x 7lim f (x) lim

(x 1)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −

+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞−−−−

2

2x 1 x 1

x 2x 7lim f (x) lim

(x 1)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +

+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞−−−−

2

2x x

x 2x 7lim f (x) lim 1

(x 1)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞

+ −+ −+ −+ −= == == == =−−−−

-អសមតត


→→→→= −∞= −∞= −∞= −∞ េនះបនទ ត x 1==== ជអសមតតឈរៃនរកប ។

េហយ xlim f (x) 1→∞→∞→∞→∞

==== េនះបនទ តy 1==== ជអសមតតេដកៃនរកប ។


x −∞−∞−∞−∞ 1 3 +∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)




-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបស y 0==== េនះ 2x 2x 7 0+ − =+ − =+ − =+ − =

េគទញឬស 1 2x 1 2 2 , x 1 2 2= − − = − += − − = − += − − = − += − − = − + ។

-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះ y 7= −= −= −= − ។

0 1

1

x

y



៣-សកសអនគមនអសនទន

ក/សកសអនគមន y ax b , a 0= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠

ែដនកណត ៖ D x / ax b 0 = + ≥= + ≥= + ≥= + ≥

េដរេវ af '(x)

2 ax b====

++++

-េប a 0>>>> េនះ f '(x) 0>>>> េនះ f ជអនគមនេកនដចខត។

-េប a 0<<<< េនះ f '(x) 0<<<< េនះ f ជអនគមនចះដចខត។

រកបមនរបដចខងេរកម ៖

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) 2x 6= += += += +


។

·ែដនកណត D [ 3 , )= − + ∞= − + ∞= − + ∞= − + ∞ ។


-េដរេវ (2x 6)' 1f '(x) 0 x D

2 2x 6 2x 6

++++= = > ∀ ∈= = > ∀ ∈= = > ∀ ∈= = > ∀ ∈+ ++ ++ ++ +

េគបន f ជអនគមនេកនជនចចេលែដនកណតរបសវ ។

-រកលមត x xlim f (x) lim 2x 6→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

= + = +∞= + = +∞= + = +∞= + = +∞


x

3−−−−

+∞+∞+∞+∞

f '(x)

f (x)




-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (ox) គ y 0====

េគបន 2x 6 0+ =+ =+ =+ = េនះ x 3= −= −= −= − ។

-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (oy) គ x 0====

េគបន y 6==== ។

ដចេនះរកបកតអកសអបសសរតងចណច ( 3 ,0)−−−− នងអកសអរេដេន

រតងចណច (0 , 6) ។

0 1

1

x

y



ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) 2x 4= − += − += − += − +


។

·ែដនកណត D ( , 2]= −∞= −∞= −∞= −∞ ។


-េដរេវ ( 2x 4)' 1f '(x) 0 x D

2 2x 4 2x 4

− +− +− +− += = − < ∀ ∈= = − < ∀ ∈= = − < ∀ ∈= = − < ∀ ∈− + − +− + − +− + − +− + − +

េគបន f ជអនគមនចះជនចចេលែដនកណតរបសវ ។

-រកលមត x xlim f (x) lim 2x 4→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞


x

−∞−∞−∞−∞

2

f '(x)

f (x)





េគបន 2x 4 0− + =− + =− + =− + = េនះ x 2==== ។

-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (oy) គ x 0====

េគបន y 2==== ។

ដចេនះរកបកតអកសអបសសរតងចណច (2 ,0) នងអកសអរេដេន

រតងចណច (0 , 2) ។

0 1

1

x

y



ខ/សកសអនគមន 2y ax bx c= + += + += + += + +

ែដល a 0≠≠≠≠ នង 2b 4ac∆ = −∆ = −∆ = −∆ = − ។

ែដនកណត ៖ 2D x / ax bx c 0= + + ≥= + + ≥= + + ≥= + + ≥

េដរេវ 2

2ax bf '(x)

2 ax bx c

++++====+ ++ ++ ++ +

អសមតត ៖

-េប a 0<<<< េនះរកបគម នអសមតតេទ

-េប a 0>>>> េនះរកបមនអសមតតពរ ។

2 bf (x) ax bx c a | x | (x)

2a= + + = + +ε= + + = + +ε= + + = + +ε= + + = + +ε

ែដល xlim (x) 0→∞→∞→∞→∞

ε =ε =ε =ε =

កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ េនះរកបមនអសមតតេរទត by a(x )

2a= += += += +

កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ េនះរកបមនអសមតតេរទត by a(x )

2a= − += − += − += − +



រកបមនរបដចខងេរកម ៖

-ករណទ១ a 0 , 0> ∆ >> ∆ >> ∆ >> ∆ >

-ករណទ២ a 0 , 0< ∆ >< ∆ >< ∆ >< ∆ >

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



-ករណទ៣ a 0 , 0> ∆ <> ∆ <> ∆ <> ∆ <

ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 4x 13= − += − += − += − +


។

·ែដនកណត D IR==== ។


-េដរេវ 2

2 2

(x 4x 13)' x 2f '(x)

2 x 4x 13 x 4x 13

− + −− + −− + −− + −= == == == =− + − +− + − +− + − +− + − +

f '(x) 0==== នឲយ x 2==== ។

0 1

1

x

y



ចេពះ x 2==== នឲយ f (2) 4 8 13 3= − + == − + == − + == − + = ។

អនគមន f មនអបបបរមេសម 3 រតង x 2==== ។

-រកលមត 2

x xlim f (x) lim x 4x 13→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞

2

x xlim f (x) lim x 4x 13→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞

-សមករអសមតត

េគមន 2 2f (x) x 4x 13 (x 2) 9 | x 2 | (x)= − + = − + = − +ε= − + = − + = − +ε= − + = − + = − +ε= − + = − + = − +ε

េដយ xlim (x) 0→−∞→−∞→−∞→−∞

ε =ε =ε =ε = នងxlim (x) 0→+∞→+∞→+∞→+∞

ε =ε =ε =ε = េនះបនទ ត y (x 2)= − −= − −= − −= − −

នង y x 2= −= −= −= − ជសមករអសមតតេរទតៃនរកប ។


x

−∞−∞−∞−∞

2

f '(x)

f (x)





េគបន 2x 4x 13 0− + =− + =− + =− + = េនះ 2x 4x 13 0− + =− + =− + =− + =

' 4 13 9 0∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − < េនះសមករគម នឬស ។

- ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (oy) គ x 0==== េនះ y 13====

-អកសឆលះ បនទ ត x 2==== េរពះ f (2a x) f (x)− =− =− =− =

ឬ 2 2f (4 x) (4 x) 4(4 x) 13 x 4x 13 f (x)− = − − − + = − + =− = − − − + = − + =− = − − − + = − + =− = − − − + = − + =

0 1

1

x

y



ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 6x 5= − += − += − += − +


។

·ែដនកណត D ( ,1] [5, )= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞ ។


-េដរេវ 2

2 2

(x 6x 5)' x 3f '(x)

2 x 6x 5 x 6x 5

− + −− + −− + −− + −= == == == =− + − +− + − +− + − +− + − +

រគបx ( ,1]∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ េគបន f '(x) 0≤≤≤≤ ន x (5 , ]∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞ េគបនf '(x) 0>>>>

ដចេនះអនគមន f ចះេលចេនល ះx ( ,1]∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ នងេកនេលx (5 , ]∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞

-រកលមត 2

x xlim f (x) lim x 6x 5→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞

2

x xlim f (x) lim x 6x 5→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞

-សមករអសមតត

េគមន 2 2f (x) x 6x 5 (x 3) 4 | x 3 | (x)= − + = − − = − +ε= − + = − − = − +ε= − + = − − = − +ε= − + = − − = − +ε

េដយ xlim (x) 0→−∞→−∞→−∞→−∞

ε =ε =ε =ε = នងxlim (x) 0→+∞→+∞→+∞→+∞

ε =ε =ε =ε = េនះបនទ ត y (x 3)= − −= − −= − −= − −

នង y x 3= −= −= −= − ជសមករអសមតតេរទតៃនរកប ។




x

−∞−∞−∞−∞

1

5

f '(x)

f (x)


0 1

1

x

y



ឧទហរណ៣ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 2x 8= − − += − − += − − += − − +


។

·ែដនកណត [[[[ ]]]]D 4 , 2= −= −= −= − ។


-េដរេវ 2

2 2

( x 2x 8)' x 1f '(x)

2 x 2x 8 x 2x 8

− − + − −− − + − −− − + − −− − + − −= == == == =− − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +

f '(x) 0==== េគបន 2

x 10

x 2x 8

− −− −− −− − ====− − +− − +− − +− − +

នឲយ x 1= −= −= −= − ។

អនគមនមនអតបរមេធៀបរតង x 1= −= −= −= − គ f ( 1) 3− =− =− =− =


x

4−−−−

1−−−−

f '(x)

f (x)




េគមន 2 2y x 2x 8 9 (x 1)= − − + = − += − − + = − += − − + = − += − − + = − +

សមមល 2 2(x 1) y 9

y 0

+ + =+ + =+ + =+ + =

≥≥≥≥

ដចេនះរកបគជកនលះរងវងែដលមនផចត I( 1,0)−−−− នងក R 3==== ។

0 1

1

x

y




១-ចរសកសអេថរភព នង សងរកបតងអនគមនខងេរកម ៖

ក/ y x==== ខ/ y 2x 4= += += += +

គ/ y 4 x= −= −= −= − ឃ/ xy 1

2= − += − += − += − +

ង/ 2y x 4= += += += + ច/ 2y x 4x= −= −= −= −

ឆ/ 2y x 2x 10= − += − += − += − + ជ/ 2y x 4x 3= − += − += − += − +

ឈ/ 2y x 4x 5= − −= − −= − −= − − ញ/ 2y 3 2x x= + −= + −= + −= + −

២-េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) ax bx c= + += + += + += + +

ក/កណតេលខេមគណ a,b ,c េដមបឲយរកប (c) តង f មន

អបបបរមេសម 3 រតង x 2==== នងកតតមចណច A(0 , 13)។

ខ/ចេពះតៃមល a,b ,c ែដលបនរកេឃញខងេលចរសកសអេថរភព

នងគសរកប (c) កនងតរមយអរតណរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →

។



៣-អនគមនអចសប ណងែសយល

រលករបមនតលមត ៖

1/ x

xlim e→+∞→+∞→+∞→+∞

= +∞= +∞= +∞= +∞ 3/ x

nx

elim ,n 0

x→+∞→+∞→+∞→+∞= +∞ >= +∞ >= +∞ >= +∞ >

2/ x

xlim e 0−−−−

→+∞→+∞→+∞→+∞==== 4/

n

xx

xlim 0 , n 0

e→+∞→+∞→+∞→+∞= >= >= >= >

រលករបមនតេដរេវ ៖

1/ េប xy e==== េនះ xy ' e====

2/ េប u(x)y e==== េនះ u(x)y ' u '(x)e====

ឧទហរណ១

េគឱយអនគមន xf (x) (x 2)e−−−−= += += += +

ក-ចរសកសទសេដអេថរភព នងសងរកប (c) តងអនគមនេនះ ។

ខ-ចរគណនរកឡៃផទ S( )λλλλ ខណឌ េដយរកប (c) នងអកសអបសស

កនងចេនល ះ [ 2 , ]− λ− λ− λ− λ រចទញរកលមត lim S( )λλλλλ→+∞λ→+∞λ→+∞λ→+∞

។




ក-សកសទសេដអេថរភព នងសងរកប (c)

េគមន xf (x) (x 2)e−−−−= += += += + មនែដនកនត D IR====

.ទសេដអេថរភព x xf '(x) (x 2)'e (e )'(x 2)− −− −− −− −= + + += + + += + + += + + +

x x xf '(x) e e (x 2) ( x 1)e− − −− − −− − −− − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −

េប f '(x) 0==== សមមល x( x 1)e 0−−−−− − =− − =− − =− − = នឱយ x 1= −= −= −= − ។

ចេពះ x 1= −= −= −= − អនគមនមនតៃមលអតបរម f ( 1) e− =− =− =− = ។

លមត នង អសមតត ៖

xlim f (x) lim (x 2)ex x

−−−−= + = −∞= + = −∞= + = −∞= + = −∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

( េរពះ xlim (x 2) , lim ex x

−−−−+ = −∞ = +∞+ = −∞ = +∞+ = −∞ = +∞+ = −∞ = +∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

)

xlim f (x) lim (x 2)e 0x x

−−−−= + == + == + == + =→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

( េរពះ xlim e 0x

−−−− ====→+∞→+∞→+∞→+∞

)

នឱយបនទ ត y 0==== ជអសមតតេដកៃនរកប (c) ។



តរងអេថរភព

x − ∞− ∞− ∞− ∞ 1−−−− + ∞+ ∞+ ∞+ ∞

y '

y

សងរកប x(c) : y (x 2)e−−−−= += += += +

.ចនចរបសពវរវងរកបជមយអកសកអរេដេន ៖

េប y 0==== សមមល x(x 2)e 0−−−−+ =+ =+ =+ = នឱយ x 2= −= −= −= −

ចេពះ x 0==== នឱយ y f (0) 2= == == == = ។

0 1

1

x

y



ខ-គណនរកឡៃផទ S( )λλλλ

េយងបន xS( ) (x 2)e .dx

2

λλλλ−−−−λ = +λ = +λ = +λ = +

−−−−∫∫∫∫

តង u x 2

xdv e .dx

= += += += + −−−−====

នឱយ du dx

xv e

==== −−−−= −= −= −= −

េគបន x xS( ) [ (x 2) e ] e .dx22

λλλλ− λ −− λ −− λ −− λ −λ = − + +λ = − + +λ = − + +λ = − + +−−−−

−−−−∫∫∫∫

x( 2)e e2

2( 2)e e e

2( 3)e e

λλλλ−λ −−λ −−λ −−λ − = − λ + + −= − λ + + −= − λ + + −= − λ + + − −−−−

−λ −λ−λ −λ−λ −λ−λ −λ= − λ + − += − λ + − += − λ + − += − λ + − +−λ−λ−λ−λ= − λ + += − λ + += − λ + += − λ + +

ដចេនះ 2S( ) e ( 3)e−λ−λ−λ−λλ = − λ +λ = − λ +λ = − λ +λ = − λ + ។

េហយ 2 2lim S( ) lim e ( 3)e e−λ−λ−λ−λ λ = − λ + =λ = − λ + =λ = − λ + =λ = − λ + = λ→+∞ λ→+∞λ→+∞ λ→+∞λ→+∞ λ→+∞λ→+∞ λ→+∞

។

ដចេនះ 2lim S( ) eλ =λ =λ =λ =λ → +∞λ → +∞λ → +∞λ → +∞



ឧទហរណ២

េគឱយអនគមន xf (x) 1 (x 1)e= + −= + −= + −= + −

ក-គណនលមត x

lim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞

នង x

lim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞

រចបញជ កសមករ

អសមតតៃនរកប (c) តងអនគមន y f (x)==== ។

ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x) ។

គ-រកសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) រតងចនច x 1==== ។

សងរកប (c) នងបនទ ត (T) កនងតរយអរតនរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →

ែតមយ

ឃ-រករកឡៃផទខណឌ េដយ (c) នងអកសអបសសកនងចេនល ះ [[[[ ]]]]0, 1 ។


ក-គណនលមត x

lim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞

នង x

lim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞

េយងបន x

x xlim f (x) lim 1 (x 1)e 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

= + − == + − == + − == + − =

េរពះ x

xlim (x 1)e 0→−∞→−∞→−∞→−∞

− =− =− =− = ។

នង x

x xlim f (x) lim 1 (x 1)e→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

= + − = +∞= + − = +∞= + − = +∞= + − = +∞



េរពះ x

xlim (x 1)e→+∞→+∞→+∞→+∞

− = +∞− = +∞− = +∞− = +∞ ។

េដយ x

lim f (x) 1→−∞→−∞→−∞→−∞

==== នឱយបនទ ត y 1==== ជអសមតតេដកៃនរកប

ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x)

េយងមន xf (x) 1 (x 1)e= + −= + −= + −= + − កនតេល D IR====

េយងបន x x xf '(x) (x 1)'e (e )'(x 1) xe= − + − == − + − == − + − == − + − = ។

េប xf '(x) xe 0= == == == = េនះ x 0==== ។

ចេពះ x 0==== អនគមនមនតៃមលអបបរម f (0) 0==== ។


x − ∞− ∞− ∞− ∞ 0 + ∞+ ∞+ ∞+ ∞

y '

y



គ-រកសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c)

េប x 1==== េគបន y f (1) 1= == == == = នឱយ A(1,1 ) ជចនចបះ ។

តមរបមនត A A A(T): y y f '(x ) (x x )− = −− = −− = −− = −

េដយ Af '(x 1) e= == == == =

េគបន (T) : y 1 e (x 1)− = −− = −− = −− = −

ដចេនះ (T) : y e x e 1= − += − += − += − + ។ សងរកប (c) នងបនទ ត (T) ៖

2 3-1-2-3-4-5

2

3

4

-1

-2

0 1

1

x

y

A ( 1 , 1 )



ឃ-គណនរកឡៃផទ

េយងបន 1 1 1 1

x x x

0 0 0 0

S 1 (x 1)e .dx dx (x 1)e .dx 1 (x 1)e .dx = + − = + − = + −= + − = + − = + −= + − = + − = + −= + − = + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

តង x

u x 1

dv e dx

= −= −= −= −

==== នឱយ x

du dx

v e

====

====

11 1x x x0 0

0

S 1 (x 1)e e .dx 2 e

3 e 3 2.718 0.282

= + − − = −= + − − = −= + − − = −= + − − = −

= − = − == − = − == − = − == − = − =

∫∫∫∫

ដចេនះ S 0.282==== ( ឯកតៃផទរកឡ ) ។



ឧទហរណ៣

េគឱយអនគមន xe

f (x)x

====

ក-ចរសកសទសេដអេថរភពៃនអនគមន f (x) នង សងរកប (c)

តងអនគមន y f (x)==== កនងតរយអរតនរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →

មយ ។

ខ-េដយេរបរកប (c) ចរសកសអតថភព នង សញញ ៃនឬសរបស

សមករ xe k x 0− =− =− =− = ែដល k ជបរែមរត ។


ក-សកសទសេដអេថរភព នងសងរកប (c)

េគមន xe

f (x)x

==== ែដនកនត D IR 0 = −= −= −= −

.ទសេដអេថរភព x x x

2 2(e )'x (x)'e (x 1)e

f '(x)x x

− −− −− −− −= == == == =

េប f '(x) 0==== សមមល x(x 1)e 0− =− =− =− = នឱយ x 1==== ។

ចេពះ x 1==== អនគមនមនតៃមលអតបរម f (1) e 2.7182= == == == = ។



លមត នង អសមតត ៖

x

x 0 x 0

elim f (x) lim

x→ →→ →→ →→ →= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞

− −− −− −− − នង

x

x 0 x 0

elim f (x) lim

x→ →→ →→ →→ →= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞

+ ++ ++ ++ +

x

x x

elim f (x) lim 0

x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= == == == = នង

x

x x

elim f (x) lim

x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞ ។

នឱយបនទ ត y 0==== ជអសមតតេដកៃនរកប (c) ។


x − ∞− ∞− ∞− ∞ 0 + ∞+ ∞+ ∞+ ∞

y '

y



សងរកប (c) ៖

ខ-សកសអតថភព នង សញញ ៃនឬសៃន xe k x 0− =− =− =− =

សមករអចសរសរ xe

kx

==== ជសមករអបសសចនចរមរវង(c)

នង (d) : y k==== ។

តមរកហវកេយងអចសននដឋ នដចតេទ ៖

-ចេពះ k ( , 0 )∈ − ∞∈ − ∞∈ − ∞∈ − ∞ សមករមនឬសែតមយគតគ x 0<<<< ។

-ចេពះ k [0 , e )∈∈∈∈ សមករគម នឬស ។

-ចេពះ k e==== សមករមនឬឌបមយគ 1 2x x 1 0= = >= = >= = >= = > ។

-ចេពះ k (e , )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞ សមករមនឬពរេផសងគន 1 20 x x< << << << < ។

2 3-1-2-3-4

2

3

4

5

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

( C )(d) :y = k

(d) : y = k

(d) : y = k



៤-អនគមនេលករតេនែព

រលករបមនតលមត ៖

1/ xlim ln x→+∞→+∞→+∞→+∞

= +∞= +∞= +∞= +∞ 3/ nx

ln xlim ,n 0

x→+∞→+∞→+∞→+∞= +∞ >= +∞ >= +∞ >= +∞ >

2/ x 0lim ln x→→→→ ++++

= −∞= −∞= −∞= −∞ 4/ n

x 0lim x ln x 0 , n 0→→→→ ++++

= >= >= >= >

រលករបមនតេដរេវ ៖

1/ េប y ln x==== េនះ 1y '

x====

2/ េប y ln u(x)==== េនះ u '(x)y '

u(x)====

ឧទហរណ១

េគឱយអនគមន f កនតេល (0, )+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞ េដយ f (x) 1 x lnx= += += += +

ក-ចរគណនលមត x 0

lim f (x)→→→→ ++++

នង x

lim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞

។

ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចសកសសញញ របស f '(x) ។

គសតរងអេថរភពៃន f (x) ។



គ-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) តង f រតងចនច

មនអបសស x 1==== ។ចរសង រកប (c) នងបនទ ត (T) កនងតរយអរតនរ

មល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →

ែតមយ ។

ឃ-គណនរកឡៃផទ S( )αααα ខណឌ េដយ (c) នងអកសអបសសកនងចេនល ះ [[[[ ]]]], 1 , 0α α >α α >α α >α α > រចទញរកលមត

0lim S( )

α→α→α→α→αααα

++++ ។


ក-គណនលមត x 0

lim f (x)→→→→ ++++ នង

xlim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞

េយងបន (((( ))))x 0 x 0

lim f (x) lim 1 xlnx 1→ →→ →→ →→ →

= + == + == + == + =+ ++ ++ ++ + េរពះ

x 0lim x lnx 0→→→→

====++++

នង x x

lim f (x) lim xlnx→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞ ។

ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចសកសសញញ របស f '(x)

េយងបន f '(x) (x)'lnx (lnx)'x lnx 1= + = += + = += + = += + = +

-េប lnx 1 0+ >+ >+ >+ > នឱយ 1x

e>>>> េនះ f '(x) 0>>>>

-េប lnx 1 0+ =+ =+ =+ = នឱយ 1x

e==== េនះ f '(x) 0==== ។



-េប lnx 1 0+ <+ <+ <+ < នឱយ 1x

e<<<< េនះ f '(x) 0<<<< ។

គសតរងអេថរភពៃន f (x) ៖

x 0 1e

+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞

y '

y

គ-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) តង f រតងចនចមន

អបសស x 1==== ៖

ចេពះ x 1==== េនះ y f (1) 1 0 1= = + == = + == = + == = + = នឱយ A( 1 , 1) ជចនចបះ ។

តមរបមនត A A A(T) : y y f '(x ) (x x )− = −− = −− = −− = −

េដយ Af '(x 1) 1 ln1 1= = + == = + == = + == = + = េគបន (T) : y 1 x 1− = −− = −− = −− = −

នឱយ (T) : y x==== ។



សង រកប (c) នងបនទ ត (T) កនងតរយអរតនរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →

៖

ឃ-គណនរកឡៃផទ S( )αααα ខណឌ េដយ (c) នងអកសអបសសកនងចេនល ះ [[[[ ]]]], 1 , 0α α >α α >α α >α α >

េយងបន 1 1 1 1

S( ) (1 xlnx).dx dx xlnx.dx (1 ) xlnx.dx

α α α αα α α αα α α αα α α α

α = + = + = − α +α = + = + = − α +α = + = + = − α +α = + = + = − α +∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

តង u lnx

dv xdx

==== ====

នឱយ 2

1du dx

x

xv

2

==== ====

2 3 4-1-2

2

3

4

-1

0 1

1

x

y(c)

(d) : y = x



េគបន 1 12 2 12x 1 1

S( ) 1 lnx xdx 1 ln x2 2 2 4 αααα

αααα αααα

αααα α = − α +α = − α +α = − α +α = − α + − = − α − α −− = − α − α −− = − α − α −− = − α − α − ∫∫∫∫

2 2 2

21 1 31 ln ln

2 4 4 4 4 2α α αα α αα α αα α α= − α − α − + α = − α + − α= − α − α − + α = − α + − α= − α − α − + α = − α + − α= − α − α − + α = − α + − α

ដចេនះ 2 23

S( ) ln4 4 2

α αα αα αα αα = − α + − αα = − α + − αα = − α + − αα = − α + − α នង 0

3lim S( )

4α→α→α→α→α =α =α =α =

++++។



ជពកទ៤

លហតេរជសេរ សមនដេណះរសយ

លហតទ១

េគឱយអនគមន f មនេដរេវេល ( 2 , )− + ∞− + ∞− + ∞− + ∞ ែដល f (x) x 2= += += += +

ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ −

ខ. បងហ ញថចេពះរគប x [ 1 , 2 ]∈ −∈ −∈ −∈ − េគបន ៖

1 5 1 3x x 2 x

4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។


ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ −

េគមន f (x) x 2= += += += +

េគបន (x 2)' 1f '(x)

2 x 2 2 x 2

++++= == == == =+ ++ ++ ++ +

េដយ 1 x 2− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤ េនះ 1 x 2 4≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤ ឬ 1 x 2 2≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤



េគទញ 1 1 14 22 x 2

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++

ដចេនះ 1 1f '(x)

4 2≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ − ។

ខ. បងហ ញថចេពះរគប x [ 1 , 2 ]∈ −∈ −∈ −∈ − េគបន ៈ

1 5 1 3x x 2 x

4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ +

តមសរមយខងេលេគមន 1 1f '(x)

4 2≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ −

តមរទសតបទវសមភពកេណ នមនកណតអនវតតនចេពះអនគមន fកនងចេនល ះ [ 1,2 ]−−−− េគបន ៖

ចេពះ x 1≥ −≥ −≥ −≥ − េនះ 1 1(x 1) f (x) f ( 1) (x 1)

4 2+ ≤ − − ≤ ++ ≤ − − ≤ ++ ≤ − − ≤ ++ ≤ − − ≤ +

ឬ 1 1 1 1x x 2 1 x

4 4 2 2+ ≤ + − ≤ ++ ≤ + − ≤ ++ ≤ + − ≤ ++ ≤ + − ≤ +

ដចេនះ 1 5 1 3x x 2 x

4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។



លហតទ២

េគឱយអនគមន f មនេដរេវេល IR ែដល 2f (x) ln(x 1 x )= + += + += + += + +

ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប 3 4x [ , ]

4 3∈∈∈∈ ។

ខ. បងហ ញថចេពះរគប 3 4x [ , ]

4 3∈∈∈∈ េគបន ៈ

23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 2

5 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +


ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប 3 4x [ , ]

4 3∈∈∈∈

េគបន 2

2

(x 1 x )'f '(x)

x 1 x

+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +

22

2 2 2

2

2x1

1 x x2 1 x

x 1 x (x 1 x ) 1 x

1

1 x

+++++ ++ ++ ++ +++++= == == == =

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +

====++++

ចេពះរគប 3 4x [ , ]

4 3∈∈∈∈ េគបន 225 25

1 x16 9

≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤



ឬ 25 51 x

4 3≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤ នឱយ

2

3 1 45 51 x

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++

ដចេនះ 3 4f '(x)

5 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប 3 4

x [ , ]4 3

∈∈∈∈ ។

ខ. បងហ ញថចេពះរគប 3 4x [ , ]

4 3∈∈∈∈ េគបន ៈ

23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 2

5 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +

តមសរមយខងេលេគមន 3 4f '(x)

5 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប 3 4

x [ , ]4 3

∈∈∈∈

តមរទសតបទវសមភពកេណ នមនកណតេគបន ៖

ចេពះ 3 3 3 3 4 3x : (x ) f (x) f ( ) (x )

4 5 4 4 5 4≥ − ≤ − ≤ −≥ − ≤ − ≤ −≥ − ≤ − ≤ −≥ − ≤ − ≤ −

ឬ 23x 9 4x 3ln(x 1 x ) ln 2

5 20 5 5− ≤ + + − ≤ −− ≤ + + − ≤ −− ≤ + + − ≤ −− ≤ + + − ≤ −

ដចេនះ 23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 2

5 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − + ។



លហតទ៣

េគមនអនគមន f (x) 3x 1= += += += + កនតេល 1[ ; )

3− + ∞− + ∞− + ∞− + ∞

ក. ចេពះរគប 1 x 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចរបងហ ញថ 3 3f '(x)

8 4≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ។

ខ. េដយេរបវសមភពកេណ នមនកនតអនវតតនេទនងអនគមន f

ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ ចរបងហ ញថ 3 13 3 5x 3x 1 x

8 8 4 4+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ +


ក. ចេពះរគប 1 x 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ បងហ ញថ 3 3f '(x)

8 4≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤

េគមន f (x) 3x 1= += += += + នឱយ 3f '(x)

2 3x 1====

++++

ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ េគមន 1 x 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ឬ 4 3x 1 16≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤

1 1 14 23x 13 3 38 42 3x 1

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++

ដចេនះ 3 3

f '(x)8 4

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ ។



ខ. បងហ ញថ 3 13 3 5x 3x 1 x

8 8 4 4+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ +

ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ េគមន 3 3f '(x)

8 4≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤

តមរទសតបទវសមភពកេណ នមនកនត

ចេពះ x 1≥≥≥≥ េគមន 3 3(x 1) f (x) f (1) (x 1)

8 4− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −

េដយ f (x) 3x 1= += += += +

េគបន 3 3 3 3x 3x 1 2 x

8 8 4 4− ≤ + − ≤ −− ≤ + − ≤ −− ≤ + − ≤ −− ≤ + − ≤ −

នឱយ 3 13 3 5x 3x 1 x

8 8 4 4+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។



លហតទ៤

េគឱយ f ជអនគមនកនតេដយ 2 nf (x) (x 1 x )= + += + += + += + +

ែដល x IR∈∈∈∈ នង n IN∈∈∈∈ ។

ក-ចរគណនេដរេវ f '(x) រចបងហ ញថ ៖

21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = ។

ខ-ចររសយបញជ កទនកទនង ៖

2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =+ + =+ + =+ + = ។


ក-គណនេដរេវ f '(x)

េគមន 2 nf (x) (x 1 x )= + += + += + += + +

តមរបមនត n n 1(u )' nu'.u −−−−====

េគបន 2 2 n 1f '(x) n.(x 1 x )'.(x 1 x ) −−−−= + + + += + + + += + + + += + + + +



22 n 1

2

2 n 1

2

22 n 1

2

2 n

2

(1 x )'f '(x) n. 1 .(x 1 x )

2 1 x

2xn. 1 .(x 1 x )

2 1 x

1 x xn. .(x 1 x )

1 xn

(x 1 x )1 x

−−−−

−−−−

−−−−

++++= + + += + + += + + += + + + ++++

= + + += + + += + + += + + + ++++

+ ++ ++ ++ += + += + += + += + +++++

= + += + += + += + +++++

ដចេនះ 2 n

2

nf '(x) .(x 1 x )

1 x= + += + += + += + +

++++ ។

បងហ ញថ 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ =

េគមន 2 n

2

nf '(x) .(x 1 x )

1 x= + += + += + += + +

++++

េដយ 2 nf (x) (x 1 x )= + += + += + += + +

េគបន 2

nf '(x) .f (x)

1 x====

++++ នឱយ 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = ។

ដចេនះ 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = ។



ខ-រសយបញជ កទនកទនង ៖

2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =+ + =+ + =+ + =

េគមន 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = នឱយ 2

f (x)f '(x) n.

1 x====

++++

េគបន 2 2

2 2

f '(x) 1 x ( 1 x )'f (x)f ''(x) n.

( 1 x )

+ − ++ − ++ − ++ − +====++++

(((( ))))

2

2

2

2

2

2

2xf '(x). 1 x .f (x)

2 1 xf ''(x) n1 x

f (x)1 x .f '(x) x.

1 xf ''(x) n. 11 x

+ −+ −+ −+ −++++====

++++

+ −+ −+ −+ −++++====

++++

េគមន (((( ))))21 x .f '(x) n.f (x) 2+ =+ =+ =+ =

នង (((( ))))2

1 f (x).f '(x) 3

n 1 x====

++++

យក (2) នង (3) ជសកនងទនកទនង (((( ))))1 េគបន ៖

ដចេនះ 2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =+ + =+ + =+ + = ។



លហតទ៥

េគឱយ f ជអនគមនកនតេដយ ៖

xcos.xsin.kxcosxsin)x(f 2266 ++++++++==== ក-ចរគណនេដរេវ f '(x) ។

ខ-ចរកនតចននពត k េដមបឱយ f (x) ជអនគមនេថរជនចចរគបx IR∈∈∈∈


ក-គណនេដរេវ f '(x)

5 5 2 2 2 2f '(x) 6.(sin x)'sin x 6.(cos x)'cos x k(sin x)'cos x k(cos x)'sin x= + + += + + += + + += + + +

5 5 3 3

4 4 2 2

2 2 2 2

6cosxsin x 6sin xcos x 2k sin xcos x 2k cosxsin x

6cosxsin x(sin x cos x) 2k sinxcosx(cos x sin x)

3sin 2x(sin x cos x)(sin x cos x) k sin 2x.cos2x

3sin2xcos2x k.sin2xcos2x

1( 3 k).sin 2xcos2x (k 3)sin4x

2

= − + −= − + −= − + −= − + −

= − + −= − + −= − + −= − + −

= − + += − + += − + += − + += − += − += − += − +

= − + = −= − + = −= − + = −= − + = −

ដចេនះ 1f '(x) (k 3).sin 4x

2= −= −= −= − ។



ខ-កនតចននពត k

េដមបឱយ f (x) ជអនគមនេថរជនចចចេពះរគប x IR∈∈∈∈ លះរតែត

f '(x) 0==== រគប x IR∈∈∈∈ ។

េដយ 1f '(x) (k 3).sin4x

2= −= −= −= −

េគទញ k 3 0− =− =− =− = នឱយ k 3==== ។



លហតទ៦

េគឲយអនគមន f (x) កនត នងមនេដរេវេល IR ។

េគដងថ 2

f (1) f '(1) 3

1 2f ''(x) f '(x) 4x 1

2x 1 (2x 1)

= == == == = − = +− = +− = +− = + −−−− −−−−

ចរកនតរកអនគមន f (x) ។


កនតរកអនគមន f (x) ៖

េគមន 2

1 2f ''(x) f '(x) 4x 1 (1)

2x 1 (2x 1)− = +− = +− = +− = +

−−−− −−−−

តង 1g(x) f '(x).

2x 1====

−−−− េគបន

21 1

g'(x) f ''(x) f '(x)2x 1 (2x 1)

= −= −= −= −−−−− −−−−

ទនកទនង (1) កល យេទជ g'(x) 4x 1= += += += + េនះ 2g(x) 2x x C= + += + += + += + +

េប x 1==== េនះ g(1) 3 C= += += += + ែត 1g(1) f '(1). f '(1) 3

2(1) 1= = == = == = == = =

−−−−

េគបន 3 C 3+ =+ =+ =+ = នឲយ C 0==== ដចេនះ 2g(x) 2x x= += += += +

េដយ 1g(x) f '(x).

2x 1====

−−−−េគទញ 2f '(x)

2x x2x 1

= += += += +−−−−



3f '(x) 4x x= −= −= −= − នឲយ 4 21f (x) x x k

2= − += − += − += − +

េប x 1==== េនះ 1f (1) k 3

2= + == + == + == + = នឲយ 5

k2

==== ។

ដចេនះ 4 21 5f (x) x x

2 2= − += − += − += − + ។



លហតទ៧

េគឲយអនគមន f (x) កនត នង មនេដរេវេល IR េដយ ៖ 2f '(x).f (x) x(x 2)

f (0) 2

= −= −= −= −

==== ចេពះរគប x IR∈∈∈∈ ។



កនតរកអនគមន f (x) ៖

េគមន 2f '(x) . f (x) x(x 2) (1)= −= −= −= −

តង 3g(x) f (x)==== េគបន 2g '(x) 3f '(x) . f (x)====

ឬ 21g '(x) f '(x) .f (x)

3====

ទនកទនង (1) េទជ 1g '(x) x(x 2)3

= −= −= −= −

2

3 2

g '(x) 3x 6x

g(x) x 3x k

= −= −= −= −

= − += − += − += − +

េប x 0==== េនះ g(0) k====



េដយ 3 3g(0) f (0) (2) 8= = == = == = == = =

េគបន 3 2g(x) x 3x 8= − += − += − += − + ែត 3g(x) f (x)====

េគទញ 3 3 2f (x) x 3x 8= − += − += − += − + នឲយ 3 3 2f (x) x 3x 8= − += − += − += − +

ដចេនះ 3 3 2f (x) x 3x 8= − += − += − += − + ។



លហតទ៨

េគឲយអនគមន 3 2

2

x 3x 3x 1f (x)

3x 3x 1

+ − ++ − ++ − ++ − +====− +− +− +− +

កនតចេពះរគប x IR∈∈∈∈ ។

ចេពះរគបចននពតវជជមន a នង b ចររសយបញជ កថ ៖

1 a b 1 a b abf f

2 2 a b+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + ≥≥≥≥ + ++ ++ ++ +

។


រសយបញជ កថ ៖

1 a b 1 a b abf f

2 2 a b+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + ≥≥≥≥ + ++ ++ ++ +

េយងមន 3 2

2

x 3x 3x 1f (x)

3x 3x 1

+ − ++ − ++ − ++ − +====− +− +− +− +

កនតចេពះរគប x IR∈∈∈∈

2 2 3 2

2 2

4 3 2 2 2

2 2 2 2

(3x 6x 3)(3x 3x 1) (6x 3)(x 3x 3x 1)f '(x)

(3x 3x 1)

3x 6x 3x 3x (x 1)0 , x IR

(3x 3x 1) (3x 3x 1)

+ − − + − − + − ++ − − + − − + − ++ − − + − − + − ++ − − + − − + − +====− +− +− +− +

− + −− + −− + −− + −= = ≥ ∀ ∈= = ≥ ∀ ∈= = ≥ ∀ ∈= = ≥ ∀ ∈− + − +− + − +− + − +− + − +

ដចេនះ f (x) ជអនគមនេកនេល IR ។

មយងេទៀតេយងសនមតថ 1 a b 1 a b ab2 2 a b

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +≥≥≥≥+ ++ ++ ++ +



េគបន 2 2 a b1 a b 1 a b ab

+ ++ ++ ++ +≤≤≤≤+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +

2 (1 a) (1 b)

1 a b (1 a)(1 b)

2 1 11 a b 1 a 1 b

+ + ++ + ++ + ++ + +≤≤≤≤+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

≤ +≤ +≤ +≤ ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

េដយ 1 11 a b 1 a

≤≤≤≤+ + ++ + ++ + ++ + +

នង 1 11 a b 1 b

≤≤≤≤+ + ++ + ++ + ++ + +

រគបចននពតវជជមន a នង b ។

េគទញ 2 1 11 a b 1 a 1 b

≤ +≤ +≤ +≤ ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

នឲយករសនមត 1 a b 1 a b ab2 2 a b

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +≥≥≥≥+ ++ ++ ++ +

ពត។

ដចេនះតមលកខណះអនគមនេកនេគទញ

1 a b 1 a b abf f

2 2 a b+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + ≥≥≥≥ + ++ ++ ++ +

។



លហតទ៩

េគឱយ a នង b ជពរចននពតែដល 0 a b2ππππ≤ < <≤ < <≤ < <≤ < <

ចររសយថ 2 2

b a b atanb tana

cos a cos b

− −− −− −− −< − << − << − << − <


រសយថ 2 2

b a b atanb tana

cos a cos b

− −− −− −− −< − << − << − << − <

តងអនគមន f (x) tan x==== ែដល x [0 , )2ππππ∈∈∈∈

េគបន 2

1f '(x)

cos x==== ។

េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះ x [0 , )2ππππ∈∈∈∈

េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន c (a ,b )∈∈∈∈ ែដល ៖

f (b) f (a) tanb tanaf '(c) (1)

b a b a− −− −− −− −= == == == =− −− −− −− −

េហយចេពះ x [a , b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b2ππππ≤ < <≤ < <≤ < <≤ < <

េគមន cosb cos x cosa≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤



េនះេគទញ 2 2

1 1f '(x)

cos a cos b< << << << <

យក x c==== េគបន 2 2

1 1f '(c) (2)

cos a cos b< << << << <

តម (1) នង (2) េគទញ

2 2

b a b atanb tana

cos a cos b

− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤ ។



លហតទ១១

ចេពះរគបចននពត 0 a b< << << << < ចររសយបញជ កថ ៖

b a b alnb lna

b a− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤ ។


រសយថ b a b alnb lna

b a− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤

តងអនគមន f (x) ln x==== ែដល x (0, )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞

េគបន 1f '(x)

x==== ។

េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះ )x (0 ,∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞

េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន c (a,b)∈∈∈∈ ែដល ៖

f (b) f (a) lnb lnaf '(c) (1)

b a b a− −− −− −− −= == == == =− −− −− −− −

េហយចេពះ x [a, b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b< << << << <

េគមន a x b≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ េនះេគទញ 1 1f '(x)

b a≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤



យក x c==== េគបន 1 1f '(c) (2)

b a< << << << <

តម (1) នង (2) េគទញ 1 lnb lna 1b b a a

−−−−< << << << <−−−−

ដចេនះ b a b alnb lna

b a− −− −− −− −< − << − << − << − < ។



លហតទ១២

ចេពះរគបចននពត 0 a b2ππππ≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤ ចររសយបញជ កថ ៖

(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។


រសយថ (b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −

តងអនគមន f (x) sinx==== ែដល x [0, ]2ππππ∈∈∈∈

េគបន f '(x) cosx==== ។

េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះ [0 ,2

x ]ππππ∈∈∈∈

េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន )b,a(c∈∈∈∈ ែដល ៖

f (b) f (a) sinb sinaf '(c) (1)

b a b a− −− −− −− −= == == == =− −− −− −− −

េហយចេពះ x [a, b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b2ππππ≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤

េគមន cosb cosx cosa< << << << <



េនះេគទញ cosb f '(x) cosa< << << << <

យក x c==== េគបន cosb f '(c) cosa (2)< << << << <

តម (1) នង (2) េគទញ sinb sinacosb cosa

b a−−−−< << << << <−−−−

ដចេនះ (b a)cosb sinb sina (b a)cosa− < − < −− < − < −− < − < −− < − < − ។



លហតទ១៣

ចេពះរគបចននពត 0 a b≤ <≤ <≤ <≤ < ចររសយបញជ កថ ៖

n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− −− −− −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ែដល n IN∈∈∈∈ ។


រសយថ n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− −− −− −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −

តងអនគមន nf (x) x==== ែដល x [0, )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞

េគបន n 1f '(x) nx −−−−==== ។

េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះx [0, )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞

េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន c (a,b)∈∈∈∈ ែដល ៖

)1(abab

ab)a(f)b(f

)c('fnn

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

េហយចេពះ x [a, b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b≤ <≤ <≤ <≤ <

េគមន n 1 n 1 n 1a x b− − −− − −− − −− − −< << << << < េនះេគទញ n 1 n 1na f '(x) nb− −− −− −− −< << << << <

យក x c==== េគបន n 1 n 1na f '(c) nb (2)− −− −− −− −< << << << <



តម (1) នង (2) េគទញ n n

n 1 n 1b ana nb

b a− −− −− −− −−−−−< << << << <

−−−−

ដចេនះ n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− −− −− −− < − < −− < − < −− < − < −− < − < − ។

លហតទ១៤

គណន y' ជអនគមនៃន x នង y េបេគដងថ ៖

y xx y==== រគប x 0, y 0> >> >> >> > ។


គណន y' ជអនគមនៃន x នង y

េគមន y xx y==== នឱយ y lnx xlny====

េធវេដរេវេលសមករេនះ 1 y 'y 'ln x y. lny x.

x y+ = ++ = ++ = ++ = +

ឬ x y(lnx )y ' lny

y x− = −− = −− = −− = −

ដចេនះ y

lnyxy 'x

lnxy

−−−−====

−−−− ។



លហតទ១៥

ចរគណន y'' ជអនគមនៃន x នង y េបេគដងថ ៖

3 3x y 4 3xy+ + =+ + =+ + =+ + = ។


គណន y'' ជអនគមនៃន x នង y

េគមន 3 3x y 2 3xy+ + =+ + =+ + =+ + =

េធវេដរេវេលអងគទងពរៃនសមករេនះេគបន ៖ 2 2

2 2

2

2

3x 3y'y 3y 3xy'

x y 'y y xy '

y xy '

y x

+ = ++ = ++ = ++ = +

+ = ++ = ++ = ++ = +

−−−−====−−−−

េហយ 2 2

2 2

(y ' 2x)(y x) (2yy ' 1)(y x )y ''

(y x)

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −====−−−−

2 2 2 2

2 2

(x 2xy y) (y 2x y x)y '

(y x)

− + − − +− + − − +− + − − +− + − − +====−−−−



ជនស 2

2

y xy '

y x

−−−−====−−−−

រចបរងមេគទទលបន ៖

3 3

2 3

2xy(3xy x y 1)y ''

(y x)

− − −− − −− − −− − −====−−−−

េដយ 3 3x y 2 3xy+ + =+ + =+ + =+ + =

ដចេនះ 2 3

2xyy ''

(y x)====

−−−− ។



លហតទ១៦

េគឱយអនគមន 1f (x)

1 x====

−−−− ែដល x 1≠≠≠≠

ក. គណនេដរេវទ n ៃនអនគមន f (x) តងេដយ (n)f (x) ។

ខ.ចររសយថអនគមន f (x) អចសរេសរជរង ៖ 2 n

(n)n

x x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)

1! 2! n!= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +

ែដល n 1

nx

R (x)1 x

++++====

−−−− រគប x 1≠≠≠≠ ។


ក. គណនេដរេវទ n ៃនអនគមន f (x) ៖

េគមន 11f (x) (1 x)

1 x−−−−= = −= = −= = −= = −

−−−−

េគបន 2 2 2f '(x) (1 x)'(1 x) (1 x) 1!(1 x)− − −− − −− − −− − −= − − − = − = −= − − − = − = −= − − − = − = −= − − − = − = −

3 3

(3) 4 4

f ''(x) 2(1 x) 2!(1 x)

f (x) 6(1 x) 3!(1 x)

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − = −= − = −= − = −= − = −

= − = −= − = −= − = −= − = −− − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − −

ឧបមថ (n) n 1f (x) n!(1 x)− −− −− −− −= −= −= −= − ពត



េយងនងរសយថ (n 1) n 2f (x) (n 1)!(1 x)+ − −+ − −+ − −+ − −= + −= + −= + −= + − ពត

េគមន

(n 1) (n) n 1 n 2f (x) [f (x)]' [n!(1 x) ]' (n 1)!(1 x)+ − − − −+ − − − −+ − − − −+ − − − −= = − = + −= = − = + −= = − = + −= = − = + − ពត

ដចេនះ (n) n 1n 1

n!f (x) n!(1 x)

(1 x)− −− −− −− −

++++= − == − == − == − =−−−−

។

ខ.រសយថអនគមន f (x) អចសរេសរជរង ៖ 2 n

(n)n

x x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)

1! 2! n!= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +

េគមន (n)n 1

n!f (x)

(1 x) ++++====−−−−

េនះ (n)f (0) n!==== នង f (0) 1====

េហយ n 1

nx

R (x)1 x

++++====

−−−− េនះេគបន ៖

)x(R)0(f!n

x...)0(''f

!2x

)x('f!1

x)0(f)x(f n

)n(n2

++++++++++++++++++++====

n 12 n

2 n n 1

n 1 n 1

x1 x x .... x

1 x

(1 x)(1 x x .... x ) x1 x

1 x x 11 x 1 x

++++

++++

+ ++ ++ ++ +

= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +−−−−

− + + + + +− + + + + +− + + + + +− + + + + +====−−−−

− +− +− +− += == == == =− −− −− −− −

Bti



លហតទ១៧

េគឱយអនគមន 3 2

2

x 8x 13x 2y f (x)

x 2x 1

− + −− + −− + −− + −= == == == =− +− +− +− +

ក. សកសអេថរភព នងសងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយអរត

ណរមល )j,i,o(→→→→→→→→

មនឯកត 1cm េនេលអកស ។

ខ. េដយេរបរកប (c) ចរសកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬសរបស

សមករ 3 2x (m 8)x (2m 13)x (m 2) 0− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =

( m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត )


----ែដនកនត D IR 1 = −= −= −= −

----ទសេដអេថរភព

....សរេសរជរងកណនច

1x2x

4)6x12x6()xx2x()x(f

2

223

++++−−−−++++++++−−−−−−−−++++−−−−====

2)1x(

46x)x(f

−−−−++++−−−−====



....េដរេវ 3

3 3

8 (x 1) 8f '(x) 1

(x 1) (x 1)

− −− −− −− −= − == − == − == − =− −− −− −− −

....ចនចបរម

េប f '(x) 0==== េគបន 3(x 1) 8 0− − =− − =− − =− − = ឬ x 3====

អនគមនមនតៃមលអបបបរមេធៀបរតង x 3==== គ

2

4f (3) 3 6 2

(3 1)= − + = −= − + = −= − + = −= − + = −

−−−−

....គណនលមត

2x 1 x 1

4lim f (x) lim x 6

(x 1)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞

−−−−

នង 2x 1x 1

4lim f (x) lim x 6

(x 1)→ +→ +→ +→ +→→→→ ++++

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞

−−−−

2x x

4lim f (x) lim x 6

(x 1)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞

= − + = ±∞= − + = ±∞= − + = ±∞= − + = ±∞

−−−−

....អសមតត

េដយេគមន x 1limf (x)

→→→→= +∞= +∞= +∞= +∞ នឲយបនទ ត x 1==== ជអសមតតឈរ ។



មយងេទៀតេគមន 2

4f (x) x 6

(x 1)= − += − += − += − +

−−−− េដយ

2x

4lim 0

(x 1)→±∞→±∞→±∞→±∞====

−−−−

ដចេនះបនទ ត y x 6= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនែខសេកង (c) ។

....តរងអេថរភព

x ∞∞∞∞−−−− 1 3 ∞∞∞∞++++ )x('f

)x(f

----សងរកប 3 2

2

x 8x 13x 2(c) : y

x 2x 1

− + −− + −− + −− + −====− +− +− +− +



ខ. េដយេរបរកប (c) សកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬស សមករ ៖

0)2m(x)13m2(x)8m(x 23 ====++++−−−−++++++++++++−−−− សមករេនះអចសរេសរដចខងេរកម ៖

m

1x2x2x13x8x

)1x2x(m2x13x8x

02mx13mx2x8mxx

2

23

223

223

====++++−−−−

−−−−++++−−−−

++++−−−−====−−−−++++−−−−

====−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−

2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

0 1

1

X

Y



ជសមករអបសសចណចរបសពវរវង ែខសេកង(c) នងបនទ ត ( ) : y m∆ =∆ =∆ =∆ = ។

តមរកហវកេយងអចសននដឋ នលទឋផលដចខងេរកម ៖

-ចេពះ m ( , 2)∈ −∞ −∈ −∞ −∈ −∞ −∈ −∞ − សមករមនឬសែតមយគត ។

-ចេពះ m 2= −= −= −= − សមករមនឬសឌប 1 2x x 3= == == == = នងឬសេទល

3x 0==== ។

-ចេពះ m ( 2 , )∈ − + ∞∈ − + ∞∈ − + ∞∈ − + ∞ សមករមនឬសបេផសងគន ។



លហតទ១៨

េគឱយអនគមន 3 2

2

x 6x 9x 4y f (x)

x 4x 4

− + −− + −− + −− + −= == == == =− +− +− +− +

ក. សកសអេថរភព នងសងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយអរត

ណរមល )j,i,o(→→→→→→→→

មនឯកត 1cm េនេលអកស ។

ខ. េដយេរបរកប (c) ចរសកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬសរបស

សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =

( m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត )


-ែដនកនត D IR 2 = −= −= −= −

-ទសេដអេថរភព

.សរេសរជរងកណនច 3 2 2

2

2

(x 4x 4x) (2x 8x 8) 3x 4f (x)

x 4x 43x 4

f (x) x 2(x 2)

− + − − + − +− + − − + − +− + − − + − +− + − − + − +====− +− +− +− +

−−−−= − −= − −= − −= − −−−−−



.េដរេវ 2

4

3(x 2) 2(x 2)(3x 4)f '(x) 1

(x 2)

− − − −− − − −− − − −− − − −= −= −= −= −−−−−

3

3 2

3

3 2

3

2

3

3x 6 6x 8f '(x) 1

(x 2)

x 6x 12x 8 3x 2

(x 2)

x 6x 15x 10

(x 2)

(x 1)(x 5x 10)

(x 2)

− − +− − +− − +− − += −= −= −= −−−−−

− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====−−−−

− + −− + −− + −− + −====−−−−

− − +− − +− − +− − +====−−−−

.ចនចបរម

េប f '(x) 0==== េគបន 2(x 1)(x 5x 10) 0− − + =− − + =− − + =− − + =

េដយរតធ 2x 5x 10 0 , 25 40 0− + = ∆ = − <− + = ∆ = − <− + = ∆ = − <− + = ∆ = − < (គម នឬស)

ដចេនះេគបន x 1==== ។

អនគមនមនតៃមលអតបរមរតងx 1==== គ 2

3 4f (1) 1 2 0

(1 2)

−−−−= − − == − − == − − == − − =−−−−

.គណនលមត

2x 2 x 2

3x 4lim f (x) lim x 2

(x 2)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −

−−−−= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞ −−−−



នង 2x 2x 2


(x 2)→ +→ +→ +→ +→→→→ ++++

−−−−= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞ −−−−

2x x


(x 2)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞

−−−−= − − = ±∞= − − = ±∞= − − = ±∞= − − = ±∞ −−−−

.អសមតត

េដយេគមន x 1limf (x)

→→→→= +∞= +∞= +∞= +∞ នឲយបនទ ត x 1==== ជអសមតតឈរ ។

មយងេទៀតេគមន 2

3x 4f (x) x 2

(x 2)

−−−−= − −= − −= − −= − −−−−−

េដយ 2x

3x 4lim 0

(x 2)→±∞→±∞→±∞→±∞

−−−− ====−−−−

ដចេនះបនទ ត y x 2= −= −= −= − ជអសមតតេរទត

ៃនែខសេកង (c) ។

.តរងអេថរភព

x ∞∞∞∞−−−− 1 2 ∞∞∞∞++++ )x('f

)x(f



-សងរកប 3 2

2

x 6x 9x 4(c) : y

x 4x 4

− + −− + −− + −− + −====− +− +− +− +

ខ. េដយេរបរកប (c) សកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬសរបស

សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =

សមករេនះអចសរេសរ 3 2

2

x 6x 9x 4m

x 4x 4

− + −− + −− + −− + − ====− +− +− +− +

2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

X

Y



ជសមករអបសសចណចរបសពវរវង ែខសេកង(c) នងបនទ ត ( ) : y m∆ =∆ =∆ =∆ = ។

តមរកហវកេយងអចសននដឋ នលទឋផលដចខងេរកម ៖

-ចេពះ m ( ,0)∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ សមករមនឬសបេផសងគន ។

-ចេពះ m 0==== សមករមនឬសឌប 1 2x x 1= == == == = នងឬសេទល

3x 4==== ។

-ចេពះ m (0 , )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞ សមករមនឬសែតមយគត។



លហតទ១៩

េគឱយអនគមន (((( )))) (((( )))) xf x 1 x .e 1= − −= − −= − −= − − កនតេល IR ។

ក. គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន f ។

ទញបញជ កសញញ ៃនអនគន (((( ))))f x ។

ខ. េគឱយ g ជអនគមន កនតេល IR េដយ (((( )))) (((( )))) xg x 2 x .e 2 x= − + −= − + −= − + −= − + −

ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞

នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞

។

គ. គណនេដរេវ (((( ))))g' x រចបញជ កសញញ របស (((( ))))g' x ។

គសតរងអេថរភពៃន (((( ))))g x ។

ឃ. រសយបញជ កថបនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប

(((( ))))C តងអនគមនg កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។

សកសទតងេធៀបរវងែខសេកង (((( ))))C នងបនទ ត (d) ។

ង.សរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង (((( ))))C េហយរសបនងបនទ ត(((( ))))d ។

ច. កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។

ឆ. សងរកប(((( ))))C បនទ ត(((( ))))T នង(((( ))))d កនងតរយអរតណរមល (((( ))))0, i , j




ក. គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន f

េគមន (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x xf ' x 1 x '.e e '. 1 x= − + −= − + −= − + −= − + −

(((( ))))x x

x x x

x

e e 1 x

e e x.e

x.e

= − + −= − + −= − + −= − + −

= − + −= − + −= − + −= − + −

= −= −= −= −

េប (((( )))) xf ' x x.e 0= − == − == − == − = នេអយ x 0==== ។

ចេពះ x 0==== េគបន (((( )))) (((( )))) 0f 0 1 0 .e 1 0= − − == − − == − − == − − = ។

គណនលមតៈ

(((( )))) (((( )))) x

x xlim f x lim 1 x .e 1 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

= − − = −= − − = −= − − = −= − − = −

នង (((( )))) (((( )))) x

x xlim f x lim 1 x .e 1→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞

x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞

(((( ))))f x

( )x'f



ទញបញជ កសញញ ៃនអនគមន (((( ))))f x ៈ

តមតរងខងេលេគទញបន (((( ))))x IR : f x 0∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤ ។

ខ/គណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞

នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞

៖

េគបន (((( )))) (((( )))) (((( ))))x

x xlim g x lim 2 x .e 2 x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞

េរពះ (((( ))))

(((( ))))x

x

x

lim 2 x

lim e 0

→−∞→−∞→−∞→−∞

→−∞→−∞→−∞→−∞

− = +∞− = +∞− = +∞− = +∞

====

េគបន (((( )))) (((( )))) (((( ))))x

x xlim g x lim 2 x .e 2 x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞

= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞

េរពះ (((( ))))

(((( ))))x

x

x

lim 2 x

lim e

→+∞→+∞→+∞→+∞

→+∞→+∞→+∞→+∞

− = −∞− = −∞− = −∞− = −∞

= +∞= +∞= +∞= +∞

គ. គណនេដរេវ (((( ))))g' x រចបញជ កសញញ របស (((( ))))g' x ៈ

េគមន (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x xg x 2 x .e 2 x 2 x e 1= − + − = − += − + − = − += − + − = − += − + − = − +

េគបន (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x xg' x 2 x ' e 1 e 1 ' 2 x= − + + + −= − + + + −= − + + + −= − + + + −



(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

x x

x x x x x

x

e 1 e . 2 x

e 1 2e x.e e x.e 1

1 x .e 1

= − + + −= − + + −= − + + −= − + + −

= − − + − = − −= − − + − = − −= − − + − = − −= − − + − = − −

= − −= − −= − −= − −

ដចេនះ (((( )))) (((( )))) xg ' x 1 x .e 1= − −= − −= − −= − −

មយងេទៀតេដយ (((( )))) (((( )))) (((( ))))xg' x 1 x .e 1 f x= − − == − − == − − == − − =

េហយេគមន (((( ))))x IR : f x 0∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤

ដចេនះ (((( ))))x IR : g' x 0∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤ ។

គសតរងអេថរភពៃន ( )xg ៈ

x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞

(((( ))))g' x

(((( ))))g x

ចេពះ x 0==== នេអយ (((( ))))g 0 4====



ឃ. រសយ ថបនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C

េគមន (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

xC : g x 2 x .e 2 x

d : y 2 x

= − + −= − + −= − + −= − + −

= −= −= −= −

េគបន (((( )))) (((( )))) xg x y 2 x .e− = −− = −− = −− = −

េដយេគមន (((( )))) (((( )))) x

x xlim g x y lim 2 x .e 0→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

− = − =− = − =− = − =− = − =

ដចេនះ បនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C ។

សកសទតងេធៀបរវងែខសេកង (((( ))))C នងបនទ ត (d) ៈ

េគមន (((( )))) (((( )))) xg x y 2 x .e− = −− = −− = −− = − មនសញញ ដច 2 x−−−−

េរពះ xx IR :e 0∀ ∈ >∀ ∈ >∀ ∈ >∀ ∈ > ។

-ចេពះ ]]]] [[[[x ,2∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ ែខសេកង (((( ))))C េនពេលបនទ ត (((( ))))d ។

-ចេពះ x 2==== ែខសេកង (((( ))))C របសពវបនទ ត (((( ))))d រតងចនច (((( ))))A 2,0 ។

-ចេពះ ]]]] [[[[x 2,∈ +∞∈ +∞∈ +∞∈ +∞ ែខសេកង (((( ))))C េនពេរកមបនទ ត (((( ))))d ។



ង. រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង (((( ))))C េហយរសបនង (((( ))))d ៖

តង (((( ))))0 0 0M x ,y ជចនចបះរវងបនទ ត (((( ))))T ជមយ (((( ))))C

តមរបមនត (((( ))))0 0 0(T) : y y y' . x x− = −− = −− = −− = −

េដយ (((( )))) (((( ))))T / / d : y 2 x= −= −= −= − នឱយ 0y' 1= −= −= −= −

ែត (((( )))) (((( )))) x0 0 0

0y' g' x 1 x e 1= = − −= = − −= = − −= = − −

េគទញបន (((( )))) x0

01 x e 1 1− − = −− − = −− − = −− − = − នឱយ 0x 1====

េហយ (((( ))))0 0y g x e 1= = += = += = += = + ។

េគបន (((( )))) (((( )))) (((( ))))T : y e 1 1. x 1− + = − −− + = − −− + = − −− + = − −

ដចេនះ (((( ))))T : y x e 2= − + += − + += − + += − + + ។

ច. កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ៖

េគមន (((( )))) (((( )))) (((( ))))xg' x 1 x .e 1 f x= − − == − − == − − == − − =

េគបន (((( )))) (((( )))) xg'' x f ' x x.e= = −= = −= = −= = − មនឬស x 0==== ។

ចេពះ x 0==== េគបន g(0) 4==== ។



តរងសកសសញញ ៃន (((( )))) xg'' x x.e= −= −= −= −

x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞

(((( ))))g'' x

(((( ))))g x

េដយរតងចនច x 0==== កេនសម (((( ))))g'' x បតរសញញ ព (((( ))))++++ េទ (((( ))))−−−−

នឱយ (((( ))))I 0,4 ជចនចរបតៃនរកប ។

ឆ. សងរកប (((( ))))C បនទ ត (((( ))))T នង (((( ))))d កនងតរយអរតណរមល ៖

2 3 4 5-1-2-3

2

3

4

5

-1

0 1

1

x

y

( C )

( T ) : y = -x+2+e

(d) : y = 2-x

M ( 1 , e + 1 )



លហតទ២០

េគឱយអនគមន 2xf (x) (x 1)(e 1)= − += − += − += − + ែដល x IR∈∈∈∈ ។

ក-ចរគណនលមត xlim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞

នង xlim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞

។

ខ-គណនេដរេវ f '(x) នងf ''(x) រចគសតរងអេថរភពៃន f '(x) ។

( មនបចរកលមតៃន f '(x) រតង −∞−∞−∞−∞ នង +∞+∞+∞+∞ ) ។

គ-កនតសញញ របស f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x) ។

ឃ-រសយបញជ កថបនទ ត (d): y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប

(c) ៃន y f (x)==== ។កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។

បញជ កទតងេធៀបរវងែខសេកង (c) នងបនទ ត (d)

ង-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) េហយរសបជមយនងបនទ ត (d) ។

ច-ចរគសរកប (c) នងបនទ ត (d),(T) កនងតរមយអរតនរមល

(o, i , j )→ →→ →→ →→ →

ែតមយ ។




ក-គណនលមត xlim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞

នង xlim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞

េយងមន 2xf (x) (x 1)(e 1)= − += − += − += − +

េយងបន 2x

x xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞

= − + = −∞= − + = −∞= − + = −∞= − + = −∞

េរពះ x

2x

x

lim (x 1)

lim (e 1) 1

→−∞→−∞→−∞→−∞

→−∞→−∞→−∞→−∞

− = −∞− = −∞− = −∞− = −∞

+ =+ =+ =+ =

នង 2x

x xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→+∞ →−∞→+∞ →−∞→+∞ →−∞→+∞ →−∞

= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞

េរពះ x

2x

x

lim (x 1)

lim (e 1)

→+∞→+∞→+∞→+∞

→+∞→+∞→+∞→+∞

− = +∞− = +∞− = +∞− = +∞

+ = +∞+ = +∞+ = +∞+ = +∞

ខ-គណនេដរេវ f '(x) នង f ''(x)

េយងមន 2xf (x) (x 1)(e 1)= − += − += − += − + កនតេល D IR====

េយងបន 2x 2xf '(x) (x 1)'(e 1) (e 1)'(x 1)= − + + + −= − + + + −= − + + + −= − + + + −

2x 2x

2x

e 1 2e (x 1)

1 (2x 1)e

= + + −= + + −= + + −= + + −

= + −= + −= + −= + −



នង 2x 2x 2xf ''(x) (2x 1)'e (e )'(2x 1) 4xe= − + − == − + − == − + − == − + − =

ដចេនះ 2x 2xf '(x) 1 (2x 1)e , f ''(x) 4xe= + − == + − == + − == + − = ។

គសតរងអេថរភពៃន f '(x)

េយងមន xf ''(x) 4xe==== មនឬស x 0====

ចេពះ x 0==== េនះ f '(0) 1 1 0= − == − == − == − = ។

គ-កនតសញញ របស f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x)

តមតរងអេថរភពខងេលេយងទញបន f '(x) 0 , x IR≥ ∀ ∈≥ ∀ ∈≥ ∀ ∈≥ ∀ ∈

ដចេនះ f '(x) មនសញញ វជជមន ។



x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞

(((( ))))f ' x

(((( ))))f x

ឃ-រសយបញជ កថបនទ ត (d): y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប

េយងមន 2x 2xf (x) (x 1)(e 1) x 1 (x 1)e= − + = − + −= − + = − + −= − + = − + −= − + = − + −

េដយេគមន 2x

xlim (x 1)e 0→−∞→−∞→−∞→−∞

− =− =− =− =

ដចេនះ បនទ ត (d): y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប(c) ។

-បញជ កទតងេធៀបរវងែខសេកង (c) នងបនទ ត (d) ៈ

េគមន 2xf (x) y (x 1) e− = −− = −− = −− = − មនសញញ ដច x 1−−−−

េរពះ 2xe 0 , x IR> ∀ ∈> ∀ ∈> ∀ ∈> ∀ ∈ ។

-េប x 1 0− >− >− >− > ឬ x 1>>>> េនះែខសេកង (c) េនេលបនទ ត (d) ។



-េប x 1 0− <− <− <− < ឬ x 1<<<< េនះែខសេកង (c) េនេរកមបនទ ត (d) ។

-េប x 1 0− =− =− =− = ឬ x 1==== េនះែខសេកងកតបនទ តរតងចនចមយ

(((( ))))A 1 , 0 ។

ង-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) ៖

តង 0 0 0M ( x ,y ) ជចនចបះរវងបនទ ត (T) នងរកប (c)

តមរបមនតសមករបនទ តបះសរេសរ 0 0 0(T) : y y f '(x ) (x x )− = −− = −− = −− = −

េដយ (T) / /(d) : y x 1= −= −= −= − នឱយ 0f '(x ) 1====

ែត 2x0 0

0f '(x ) 1 (2x 1)e= + −= + −= + −= + −

េគបន 2x0

01 (2x 1)e 1+ − =+ − =+ − =+ − = នឱយ 01

x2

====

េហយ 01 1 1

y f ( ) ( 1)(e 1) (e 1)2 2 2

= = − + = − += = − + = − += = − + = − += = − + = − +

េគបន 1 1(T) : y (e 1) 1(x )

2 2+ + = −+ + = −+ + = −+ + = − នឱយ e

y x 12

= − −= − −= − −= − − ។

ដចេនះ e(T) : y x 1

2= − −= − −= − −= − − ។



ច-គសរកប (c) នងបនទ ត (d),(T) ៖

-កអរេដេនចណរចសពវរវង(c) ជមយអកសអបសស ៖

គ 2xy (x 1)(e 1) 0= − + == − + == − + == − + = េនះ x 1==== ។

-កអរេដេនចណរចសពវរវង(c) ជមយអកសអរេដេណរ ៖

គ x 0==== េនះ x 1==== ។

0 1

1

x

y



ជពកទ៥

លហតអនវតតន ១-ចរគណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖

1/ 3y 3cos x cos x= −= −= −= − 2/ 3y sin xcos 3x====

3/ 4y sin 4xcos x==== 4/ sin xy

1 sin x====

++++

5/ cos xy

1 cos x====

−−−− 6/ sin x cos x

ysin x cos x

−−−−====++++

7/ 1 tan xy

1 tan x−−−−====++++

8/ 2 31 1y tan x tan x

2 3= += += += +

9/ y x cot x= −= −= −= − 10/ 4y cot x====

២-គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖

1/ x

x

e 1y

e 1

−−−−====++++

2/ 2 xy (x x 1)e−−−−= − += − += − += − +

3/ x2y e−−−−==== 4/ 3 2xy x e====

5/ 2 xy (x x)e= −= −= −= − 6/ 2x 2xe e

y2

−−−−−−−−====



៣-គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖

1/ x ln xy

x++++==== 2/ 2

ln xy

x====

3/ y 1 x x ln x= − += − += − += − + 4/ x 1y ln

x 1−−−−====++++

5/ 2y ln(x 4x 3)= − += − += − += − + 6/ 2y ln(x x 4)= + += + += + += + +

៤-េគឲយរតេកណ ABC មយចរកកនងរងវងផចត O ែដលមនក 6 cm ។

េគដងថ 0BOC 120∠ =∠ =∠ =∠ = ។

ចរកនតរជងរបសរតេកណេនះេដមបឲយវមនរកឡៃផទអតបរម

រចកនតរករកឡៃផទអតបរមេនះ

៥-េគមនរតេកណ ABC មយមនរជង ៖

AB 3 cm , AC 4 cm , BC 5 cm= = == = == = == = = ។

M នង N ជចនចសថតេនេលរជងេរៀងគន [AB] នង [AC]

ែដល MN 3 cm==== កនតរករកឡៃផទរបសចតេកណ BMNC

េបផលបកអងកតរទងទងពររបសវមនតៃមលអតបរម ។



៦-េគឲយចតេកណពន យ ABCD មយែកងរតង A នង D េហយេគយក

M ជចនចមយៃន[AD] ។េគដងថ AB 8 cm , AD 10 cm= == == == =

នង CD 12 cm==== ។

ចរកនតរកទតងៃនចនច M េដមបឲយរតេកណ MBC មនបរមរត

តចបផត ។

៧-េគឲយកនលះរងវងមយមនវជឈមរត AB 8cm==== េហយ P ជចនចមយ

ៃនកនលះរងវងេនះ ។

េគតង PA x , PB y= == == == = ែដល 0 x 8 cm , 0 y 8 cm< < < << < < << < < << < < < ។

កនត x នង y េដមបឲយរកឡៃផទរតេកណ PAB មនតៃមលអតបរម

៨-រតេកណABC មយែកងរតងA ែដល AB 5 cm==== នងAC 12 cm====

យកM ជចនចមយៃនរជង [AC] ែដល AM x==== ។

តម M េគសងចតេកណែកង MNPA ចរកកនងរតេកណេនះ

កនត x េដមបឲយចតេកណMNPA មនរកឡៃផទអតបរមរចកនត

រករកឡៃផទអតបរមេនះ ។



៩-េគឲយរតេកណ ABC មយមនរជង

AB 51 cm , AC 52 cm , BC 53 cm= = == = == = == = = ។

M ជចនចមយៃនរជង [AB] ។

តម M េគគសបនទ ត (MN) រសបនងរជង [BC] េហយកតរជង

[AC] រតង N ។ K នង L ជេជងៃនចេណលែកងចនច M

នងN េរៀងគន េលរជង [BC] ។យកAM x==== ែដល 0 x 51 cm< << << << <

កនតតៃមល x េដមបឲយចតេកណ KMNL មនរកឡៃផទអតបរម ។

១០-កនងតរមយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →

េគសងបនទ ត (L) កតតម

ចនច A( 3 , 4 ) ។បនទ ត (L) កតអកស (ox) រតង P

នង កតអកស (oy) រតង Q ។ េគសនមតថ P( a , 0 )

នង Q(0 , b ) ែដល a 0 , b 0> >> >> >> > ។

កនត a នង b េដមបឲយរតេកណOPQ មនរកឡៃផទអបបបរម



១១-កនងតរមយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →

េគមនចនច P(x , y ) មយ

ែដល x 0 , y 0> >> >> >> > ។K នង L ជចេណលែកងៃនចនច P

េលអកសេរៀងគន (ox) នង (oy) ។

ក.កនតសណចនច P េដមបឲយបរមរតរតេកណ KPL

េសមនង 12cm ។

ខ.សនមតថបរមរតរតេកណ KPL េសមនង 12cm ។

កនតទតងចន P េដមបឲយរតេកណKPL មនរកឡៃផទអតបរម ។

១២-េគចងេធវអងទកមយគម នគរបរងចតេកណែកងែដលមនបត

ខងកនងជកេរ េហយៃផទខងសរបែផនកខងកនងអងេសមនង 2108 m

កនតរកវមរតរបសអងទកេនះេដមបឲយវអចដកទកបនេរចនបផត ។

១៣-បេងគ លពរមយមនកពស4 m នងមយេទៀតមនកពស9m ដក

បញឈរឃល តពគន 10m េដមបឲយបេងគ លទងពរេននងេគបនចងែខសលសពរែខសភជ បេទនងសនងមយេទកពលបេងគ លនមយៗ ។

េតេគរតវេបះសនងេនរតងណេដមបឲយេរបែខសលសអសតចបផត ។



១៤-េកណមយមនកពស 15 cm កថសបត 6 cm ។

េគសងសឡងមយចរកកនងេកណេនះ ។

កនតកពសនងកថសបត សឡងេដមបឲយវមនមឌអតបរម

១៥-េគឲយែសវមយមនក 6 cm ។ េគសងសឡងមយចរកកនងែសវេនះ

កនតកពសនងកថសបតៃនសឡងេដមបឲយវមនមឌអតបរម

១៦-េគកតចេរៀកថសមយមនមផចត θθθθ េចញពរងវងមយមនក

r 12 dm==== េហយចេរៀកថសែដលេនសលពកត េគបនយក

េទេធវជេកនមយ ។

គណនរងវ សម θθθθ េដមបឲយេកនមនមឌអតបរម ។

១៧-មនសសពរនកសថតេនចមង យពគន 100 km រតសេដរកចនចO

េលផលវពរែកងគន ។មនសសទមយរតេចញពរចនចA េដយេលបឿន

10 km / h េហយមនសសទពររតេចញពចនចB េដយេលបឿន

12 km / h ។ េគដងថ OA 60 km , OB 80 km= == == == = ។

ចរគណនចមង យអបបបរមៃនមនសសទងពរនក ។



១៨-រតេកណ ABC មយមនបរមរត 15 cm នងម 0A 120==== ។

តង x , y , z ជរងវ សរជងរបសរតេកណេនះ ។

ចរកនត x , y , z េដមបឲយរតេកណ ABC ។

មនរកឡៃផទអតបរម ។

១៩-របេលពែបតែកងមយមនវមរតតងេដយ a , b , c

េហយមនមឌ 327 cm ។

េបេគបែនថម 1cm េទេលរទនង a េហយ 1cm េលរទនង b

នង 1 cm េលរទនងc េនះេគបនរបេលពែបតែកងមយេទៀត

មនមឌ V ។ កនត a , b , c កលណ V មនតៃមលអបបបរម

២០-េគឲយពរចននពត x នង y េផទៀងផទ តសមករ 2 2x xy y 12− + =− + =− + =− + =

ចររកតៃមលអតបរម នង អបបបរមៃន 2 2P(x;y) (x 2)(y 2)= − −= − −= − −= − −

២១-បរសមន កេនេលទកចងយ 2 km ពចនចជតបផត

េនេលេឆនរសមរត ។គតបនេធវដេណ រេឆព ះេទរកចនច Q

មយេនខងេរកមេឆនរមនចមង យ 3 km នង 1 km ពមតសមរទ



េបគតអទកកនងេលបឿន 2 km / h នងេដរកនងេលបឿន 4km / h

ចររកទតងេនេលេឆនរែដលគតរតវេធវដេណ រេឆព ះេទដលចនច Q

េដយេរបេពលអសតចបផត ។

២២-កនងតរមយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →

េគឲយេអលប (E)

មនសមករ 2 2x 4y 1+ =+ =+ =+ = ែដលេនេលេនះេគមនចនច 0 0 0M ( x , y ) ែដល 0 .0x 0 , y 0> >> >> >> > ។

េគគសបនទ ត (L) មយបះេទនងេអលបេនះ ។

K នង L ជចនចរបសពវរវងបនទ ត (L) ជមយអកសេរៀងគន

(ox) នង (oy) ។កនតទតងៃនចនច 0M េដមបឲយរតេកណ OKL

មនរកឡៃផទអតបរម។

២៣-េគឲយអនគមន2x x 2

f (x)x

− +− +− +− +==== មនែខសេកងតនង(c)

កនងតរយអរតនរមល(O, i , j )→ →→ →→ →→ →

នង ( )∆∆∆∆ ជបនទ តមនសមករ

y mx 2m 3= − += − += − += − + ែដល m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត ។



ក.េប m 1==== ចររគណនកអរេដេនចនចរបសពវA រវងបនទ ត ( )∆∆∆∆

ជមយែខសេកង (c) ។

ខ.េប m 1≠≠≠≠ ចរបងហ ញថបនទ ត ( )∆∆∆∆ កតែខសេកង(c) ជនចចរតងពរ

ចនចP នង Q ។

គ.បងហ ញថបនទ ត (AP) នង (AQ) ែកងនងគន ជនចចរគបតៃមល m ។

២៤-េគឲយអនគមន2x 3x 4

f (x)x 1− +− +− +− +====

−−−−

មនែខសេកងតនង(c) កនងតរយអរតនរមល(O, i , j )→ →→ →→ →→ →

ក.ចររកសមករបនទ ត(T) ែដលបះនងែខសេកង(c) រតងចនច A

មនអបសស x 2==== ។

ខ.េតបនទ ត ( )∆∆∆∆ មនេមគណរបបទស m រតវគសេចញពចនចណ

េដមបឲយកតែខសេកង (c) បនពរចនច K នង L ែដលបនទ តភជ បព

ចនច K នង L េទចនចA ែកងនងគន ជនចចចេពះរគបតៃមល m ។



២៥-េគឲយែខសេកង (c) មនសមករ 2x 5

y f (x) 3x2 2

= = − += = − += = − += = − +

េតបនទ ត ( )∆∆∆∆ មនេមគណរបបទស m រតវគសេចញពចនចណ

េដមបឲយកតែខសេកង (c) បនពរចនច K នង L ែដលបនទ តបះ

(c) រតង K នង L ែកងនងគន ជនចចចេពះរគបតៃមល m ។

២៦-េគឲយែខសេកង(c) មនសមករ 2x (m 1)x 2m 1

yx 2

− + + −− + + −− + + −− + + −====−−−−

ែដល m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត ។

បងហ ញថែខសេកង (c) មនកពលពរជនចចែដលមនចមង យពគន េថរចេពះរគប m ។

២៧-េគឲយែខសេកង m(c ) តងអនគមន 2x 2(m 1)x 5m 1

f (x)x m

− + + −− + + −− + + −− + + −====−−−−

ក.រកលកខខណឌ សរមប m េដមបឲយែខសេកង m(c ) មនអសមតតពរ

ែដលរតវកនត ។

ខ.តង I ជចនចរបសពវរវងអសមតតទងពរ ។



រកសណចនច I កលណ m ែរបរបល។

គ.បងហ ញថមនែខសេកងពរៃនរគសរែខសេកង m(c ) ែដលបះនង

អកសអបសស ។

២៨-េគឲយអនគមន n

2k k

k 1f (b) (y ax b )

====

= − −= − −= − −= − − ∑∑∑∑ ។

ចររសយថអនគមន f (b) មនតៃមលអបបបរមលះរតែតេគមន

ទនកទនង y a x b= += += += + ែដល

n

kk 1

(x )

xn

========∑∑∑∑

នង

n

kk 1

(y )

yn

========∑∑∑∑

។

២៩-េគឲយអនគមន sin x 2cosx 3f (x)

3cosx 2+ ++ ++ ++ +====

++++ ។

ចររកតៃមលអតបរម នង អបបរមៃនអនគមនេនះ ។

៣០-េគឲយអនគមន 2x (m 1)x 2m 1

y f (x)x 2

+ + + −+ + + −+ + + −+ + + −= == == == =++++

ចរកនតតៃមលរបស m េដមបឲយអនគមនេនៈមនតៃមលអតបរមេសម αααα

នង មនតៃមលអបបបរមេសម ββββ ែដល 2 2 10α + β =α + β =α + β =α + β = ។



៣២-េគឲយអនគមន 2x mx 3

y f (x)x 2− +− +− +− += == == == =

−−−−

ចរកនតតៃមលរបស m េដមបឲយអនគមនេនៈមនតៃមលអតបរមេសម αααα

នង មនតៃមលអបបបរមេសម ββββ ែដល | | 4α − β =α − β =α − β =α − β = ។

៣៣-េគមនអនគមន 2

2ax bx 4

y f (x)x 1

+ ++ ++ ++ += == == == =++++

កនតចននពត a នង b េដមបឲយអនគមន f (x) មនចនចបរម

ែតមយគត នង មនបនទ ត y 2==== ជអសតតឈរ ។

៣៤-េគឲយអនគមន 2

2x x 1

y f (x)x 3x 3

− +− +− +− += == == == =− +− +− +− +

េដយមនេរបេដរេវចរកនតរកតៃមលអតបរមនងអបបបរមៃនអនគមន

៣៥-េគឲយអនគមន 2

2x ax b

y f (x)x 1

+ ++ ++ ++ += == == == =++++

ចររកលកខខណឌ ៃន a នង b េដមបឲយែខសេកង (c) តងអនគមន f (x)

កតអកសអបសសបនពរចនចែដលបនទ តបៈវរតងពរចនចេនះ

ែកងនងគន ។



៣៦-េគឲយអនគមន 3 2 2 3

2x 3mx 3(m 1)x m 2

f (x)x 1

− + − − +− + − − +− + − − +− + − − +====++++

កនតតៃមល m េដមបឲយែខសេកង (c) តងអនគមន f (x)

កតអកសអបសសបនបចនចេផសងគន ែដលមនអបសសវជជមន ។

៣៧-េគឲយអនគមន 2ax bx c

f (x)x d+ ++ ++ ++ +====++++

ចរកនតបនចននពត a , b , c , d េដមបឲយអនគមនេនៈមនតៃមល

អបបបរម f (3) 3==== នងមនបនទ ត y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទត ។

៣៨-េគឲយអនគមន 2

2ax bx 2

f (x)x 2x 4

+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +

កនត a ,b , c េដមបឲយ f (x)

ជអនគមនេថរ ។

៣៩-េគឲយអនគមន 2x 2

f (x)x++++==== មនែខសេកង (c) នងបនទ ត

(d) : y mx 2 3= += += += + ែដល m ជបរែមរត។

ក-កនតរងរបស m េដមបឲយ (d) កត (c) បនពរចនចA នង B ។

ខ-កនតតៃមលm េដមបឲយបនទ តបះ(c) រតងចនចA នង B ែកងនងគន ។



៤០-េគឲយែខសេកង 2(c) : y x 2x 3= − += − += − += − + នងចនច A( 6 , 1 ) ។

ចររកចនចទងអសេនេលែខសេកង (c) ែដលមនចងយខលបផតេទ

ចនច A ។

៤១-េគឲយអនគមន 2

4 2f (x)

x==== មនែខសេកង (c) ។

ចរសរេសរសមកររងវងផចត O ែដលបះេទនងែខសេកង (c) ខងេល

៤២-េគឲយែខសេកង 2(c) : y x==== នងបនទ ត (d) : 4x y 21 0− − =− − =− − =− − =

កនតរកកអរេដេនៃនចនចទងអសេនេលែខសេកង(c) ែដលមន

ចងយខលបផតេទបនទ ត (d) ។

៤៣-េគឲយែខសេកង 2x 3x 1

(c) : yx 1− +− +− +− +====

−−−− នងបនទ ត (d) : y ax b= += += += +

កនត a នង b េដមបឲយបនទ ត (d) កតែខសេកង (c) បនពរចនច A នង B ឆលះគន េធៀបេទនងបនទ តពះទមយៃនអកសកអរេដេន ។



៤៤-េគឲយអនគមន 2x x 2

f (x)x

− −− −− −− −==== មនែខសេកង (c) ។

A នង B ជចនចពរេនេល (c) មនអបសសេរៀងគន 12

នង 2

រកចនចទងអសេនេលែខសេកង (c) ែដលបនទ តបះវរតងចនចទង

េនះរសបនងបនទ ត(AB) ។

៤៥-េគឲយអនគមន 2x 1

f (x)x−−−−==== មនែខសេកង (c) េហយ A នង B

ជចនចពរមនអបសសេរៀងគន a នង b ែដល 0 a b< << << << < សថតេន

េលែខសកងេនះ។ ចររសយថមនចននពត c ជនចចសថតេនចេនល ះ

ចនន a នង b ែដលេផចៀងផទ តសមភព f (b) f (a) f '(c) (b a)− = −− = −− = −− = − ។

៤៦-េគឲយែខសេកង 2y x 2x 2= + += + += + += + + េហយ A នង B ជចនចពរមនអបសសេរៀងគន a នង b សថតេនេលែខសកងេនះ។

ចរបណករសយតមែបបធរណមរតថ ៖

a bf (b) f (a) (b a).f '( )

2++++− = −− = −− = −− = − ។



៤៧-ចររសយបញជ កថ x a

af (x) x f (a)lim af '(a) f (a)

x a→→→→

−−−− = −= −= −= −−−−−

។

៤៨-ចររសយថ 2 2

h 0

f (x h) f (x h)lim 4f '(x)f (x)

h→→→→

+ − −+ − −+ − −+ − − ==== ។

៤៩-ចររសយថ 2x 0

f (x 2 x) 2f (x x) f (x)f ''(x) lim

( x)∆ →∆ →∆ →∆ →

+ ∆ − + ∆ ++ ∆ − + ∆ ++ ∆ − + ∆ ++ ∆ − + ∆ +====∆∆∆∆

។

៥០-េគឲយអនគមន ax bxf (x) e e= += += += + ែដល a, b IR∈∈∈∈ ។

ចរកនតតៃមល a នង b េដមបឲយ f ''(x) f '(x) 2f (x)+ =+ =+ =+ = ចេពះរគប x

៥១-េគឲយអនគមន 2x 3xf (x) e e= += += += + ។

បងហ ញថ f ''(x) 5f '(x) 6f (x) 0− + =− + =− + =− + = ចេពះរគប x ។

៥២-េគឲយអនគមន xf (x) (sin2x cos2x)e= += += += + ។

បងហ ញថ f ''(x) 2f '(x) 5f (x) 0− + =− + =− + =− + = ចេពះរគប x ។

៥៣-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖

f '(0) f (0) 1= == == == = នង 22

1 2f ''(x) f '(x) 6x 4x

2x 1 (2x 1)− = −− = −− = −− = −

−−−− −−−−

៥៤-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖

f (0) 2==== នង 2 2f '(x)f (x) x 4x 1= − += − += − += − +



៥៥-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖

f (1) 4==== នង 2 3 22x f (x) (x 1) f '(x) 4x 3x 2x 1+ + = + + ++ + = + + ++ + = + + ++ + = + + +

៥៦-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖

f (1) 2==== នង 2xf '(x) 2f (x) 4x 9x+ = ++ = ++ = ++ = +

៥៧-េគឲយអនគមន f កនតជប នង មនេដរេវេល IR

ែដលចេពះរគប x,y IR∈∈∈∈ េគមន f (x y) f (x)f (y)+ =+ =+ =+ =

នង f '(0) 4==== ។ចរកនតរកអនគមន f (x) ។

៥៨-ចរកនតរកអនគមន f មនេដរេវេល IR េបេគដងថ

x IR , y IR∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈ េគមន x yf f (x)f (y)

2++++ ====

។

៥៩-េគឲយអនគមន 3 2f (x) x 6x 12x= − += − += − += − + កនតេល IR

ក-ចរកនតរកអនគមន 1f −−−− ជអនគមនរចសៃនអនគមន f

ខ-ចរគណនេដរេវៃនអនគមន f (x) នង 1f (x)−−−− ។



៦០-េគមនអនគមន f កនតនងមនេដរេវេល IR ែដលចេពះ

រគប x IR∈∈∈∈ េគមនទនកទនង f '(x) 2xf (x)==== េហយ f (0) 1==== ។


៦១-េគឲយអនគមន f នង g មនេដរេវេល IR ែដលចេពះរគប

x IR∈∈∈∈ េគមនទនកទនង 2 2f '(x) f (x) g'(x)g (x)==== ។

ចររកទនកទនងរវង f នង g ។

៦២-េគឲយអនគមន f កនតេល IR េដយ 2f (x) x 1 x= + += + += + += + +

ក-បងហ ញថ f មនេដរេវេល IR នង 22 1 x .f '(x) f (x)+ =+ =+ =+ =

ខ-ទញបញជ កថេដរេវ f '' េផទៀងផទ តទនកទនង

24(1 x )f ''(x) 4xf '(x) f (x)+ + =+ + =+ + =+ + = ។

៦៣-េគឲយអនគមន f : x x 2→ +→ +→ +→ + កនតេល [ 2, )− + ∞− + ∞− + ∞− + ∞ ។

េដយអនវតតនវសមភពកេននមនកនតេទនងអនគមន f

េលចេនល ះ[[[[ ]]]]1 , 2−−−− ចរបងហ ញថ 1 5 1 3x x 2 x

4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។



៦៤-េគឲយអនគមន f កនតេល [[[[ ]]]]0 , 2 េដយ 2

1f (x)

x x 1====

+ ++ ++ ++ +

ក/សកសទសេដអេថរភពៃនអនគមន f ។

ខ/បងហ ញថចេពះរគប [[[[ ]]]] 21 1

x 0 , 2 : 17 x x 1

∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤+ ++ ++ ++ +

។

គ/េគឲយ g នង h ជពរអនគមនកនតេល [[[[ ]]]]0 , 2 េដយ ៖

1 2g(x) f (x) x

3 3 = − − += − − += − − += − − +

នង 3h(x) f (x) x 1

7 = − − += − − += − − += − − +

។

ចរសកសសញញ ៃន g នង h ។

ឃ/ទញបញជ កថចេពះរគប ៖

[[[[ ]]]] 1 2 3x 0,2 : x f (x) x 1

3 3 7∈ − + ≤ ≤ − +∈ − + ≤ ≤ − +∈ − + ≤ ≤ − +∈ − + ≤ ≤ − +

៦៥-បងហ ញថចេពះរគបចននពត a នង b ែដល 0 a b2ππππ≤ < <≤ < <≤ < <≤ < <

េគបន 2 2b a b a

tanb tanacos a cos b

− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤

រចទញរកតៃមលអមៃន tan(0,6) ។



៦៦-បងហ ញថចេពះរគបចននពត a នង b ែដល 0 a b< ≤< ≤< ≤< ≤ េគបន

b a b b aln( )

b a a− −− −− −− −≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ រចទញរកតៃមលអមៃន ln(11) ។

( េគឲយ ln10 2.30==== )

៦៧-ក/ចររសយថ 1 1n IN : ln(n 1) ln(n)

n 1 n∀ ∈ ≤ + − ≤∀ ∈ ≤ + − ≤∀ ∈ ≤ + − ≤∀ ∈ ≤ + − ≤

++++ ។

ខ/េគតង n1 1 1

U 1 .............2 3 n

= + + + += + + + += + + + += + + + + ។

ចររកកេនសមអមៃន nU រចទញថ nnlim U→+∞→+∞→+∞→+∞

= +∞= +∞= +∞= +∞ ។

៦៨-ក/ចេពះរគប k IN∈∈∈∈ ចររសយថ៖

1 1k 1 k

2 1 k 2 k≤ + − ≤≤ + − ≤≤ + − ≤≤ + − ≤

++++

ខ/រកកេនសមអមៃន n1 1 1 1

S (1 .... )n 2 3 n

= + + + += + + + += + + + += + + + +

រចទញរកលមតៃន nS កលណ n → +∞→ +∞→ +∞→ +∞ ។



៦៩-ក/បងហ ញថចេពះរគបចននពត a នង b ែដល 0 a b2ππππ≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤

េគបន (b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។

ខ/រកកេនសមអមៃន ៖

n1 2 n

S cos cos ..... cosn 2n 1 2n 1 2n 1

π π ππ π ππ π ππ π π = + + += + + += + + += + + + + + ++ + ++ + ++ + +

រចទញរកលមតៃន nS កលណ n → +∞→ +∞→ +∞→ +∞ ។

៧០-េគឱយអនគមន 2x x 2

y f (x)2(x 3)

− −− −− −− −= == == == =−−−−

មនរកបតនង )c( ។

ក. ចររក x 3 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →→ →→ →→ →− +− +− +− +

នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞

រចទញបញជ ក

សមករអសមតតឈរៃនរកប (c) ។

ខ. ចររកបចននពត a ,b នង c េដមបឱយ cf (x) ax b

2(x 3)= + += + += + += + +

−−−−

ចេពះរគប x 3≠≠≠≠ ។

ទញរកសមករអសមតតេរទតៃនរកប (c) : y f (x)==== ។

គ. ចររកេដរេវ y ' f '(x)==== ។ ចរគសតរងអេថរភពៃនf ។



ឃ. ចររសយបញជ កថចនច 5(3 , )

2ΩΩΩΩ ជផចតបែមលងឆលះៃនរកប(c)

ង. រកប (c) តនងអនគមន y f (x)==== កតអកសអបសស (x'0x)

រតងពរចនច A នង B ។

ចរសរេសរសមករបនទ ត 1(T ) នង 2(T ) ែដលបះនងែខសេកង(c)

រតងចនច A នង B ។

ច. ចរគណនតៃមល f ( 2) ,f (4)−−−− នង f (6) ។

ចរគសរកប (c) កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →

។

៧១-េគមនអនគមន 24x 4

y f (x)x 2x 3

−−−−= == == == =− −− −− −− −

មនរកបតនង (c) ។

ក. ចររកលមត x 1 x 1 x 3 x 3

lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x)→− →− → →→− →− → →→− →− → →→− →− → →− + − +− + − +− + − +− + − +

នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞

រចទញបញជ កសមករអសមតតៃនរកប (c) ។

ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃន y f (x)==== ។

គ. ែខសេកង (c) កតអកសអបសស (x'0x) រតងចនច I ។

ចរបងហ ញថ I ជផចតឆលះៃនរកប (c) ។



ចរសរេសរសមករបនទ ត (T) ែដលបះេទនងែខសេកង (c) រតង

ចនចរបត I ។

ឃ. ចរសងរកប (c) តនងអនគមន y f (x)==== នង បនទ ត (T)

កនងតរយអរតនរមល ។

ង. េដយេរបែខសេកង (c) ចរពភកសតមតៃមល m នវអតថភពៃន

ឬសរបសសមករ

2(E) : mx 2(m 2)x 3m 4 0− + − + =− + − + =− + − + =− + − + = ។ ( m ជបរែមរត ) ។

៧២-េគឱយអនគមន 2

2x 4x

y f (x)x 4x 3

++++= == == == =+ ++ ++ ++ +


ក. ចររកលមត x 3 x 1lim f (x) , lim f (x)→− →−→− →−→− →−→− →−

នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞

រចទញ

បញជ កសមករអសមតតៃនរកប (c) ។

ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃន y f (x)==== ។

គ. ចរបងហ ញថបនទ តសមករ x 2= −= −= −= − ជអកសឆលះៃនរកប(c) ។

ឃ. សងរកប (c) តនង y f (x)==== កនងតរយអរតនរមល(0, i , j )→ →→ →→ →→ →



៧៣-េគឱយអនគមន 2

2x 4x 4

y f (x)x

+ −+ −+ −+ −= == == == = ។

ក. គណនលមត x 0lim f (x)→→→→

នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞

រចទញបញជ កសមករ

អសមតតៃនរកប (c) តនង f ។

ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។

គ. ចរបងហ ញថែខសេកង (c) មនចនចរបត I មយែដលេគនង

បញជ កកអរេដេន ។

ឃ.ចរសរេសរសមករបនទ ត (T) ែដលបះេទនងែខសេកង (c) រតង

ចនចរបត I ។

ង. ចរសងរកប (c) តនងអនគមន y f (x)==== នង បនទ ត (T)

កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →

។

៧៤-េគឱយអនគមន 2

22x 5x 4

y f (x)x 3x 3

− +− +− +− += == == == =− +− +− +− +


ក. ចរបងហ ញថអនគមន f (x) កនតជនចចេល IR ។

គណន xlim f (x)→∞→∞→∞→∞

រចបញជ កសមករអសមតតេដកៃនរកប (c)



ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។

គ. សងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →

ឃ.េដយេរបែខសេកង (c) ចរពភកសតមតៃមល m នវអតថភពៃន

ឬសរបសសមករ 2(E) : (m 2)x (3m 5)x 3m 4 0− − − + − =− − − + − =− − − + − =− − − + − = ។

( m ជបរែមរត ) ។

៧៥-េគឱយអនគមន 2

22(x 2)

y f (x)x 4x 3

−−−−= == == == =− +− +− +− +


ក. ចររកលមត x 1 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →→ →→ →→ →

នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞

រចទញបញជ ក

សមករអសមតតៃនរកប (c) ។

ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f

គ. ចរបងហ ញថបនទ តមនសមករ x 2==== ជអកសឆលះៃនរកប (c)

ឃ. ចរសងរកប (c) តនងf តរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →

។



៧៦-េគឱយអនគមន 3 2

2x 6x 9x 4

y f (x)x 6x 9

− + −− + −− + −− + −= == == == =− +− +− +− +


ក. ចររកលមត x 3lim f (x)→→→→

នង xlim f (x)→±∞→±∞→±∞→±∞


អសមតតឈរៃនរកប (c) ។

ខ. រសយថបនទ តពះទ១ ៃនអកសកអរេដេនជអសមតតេរទតៃន

រកប (c) ។

គ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។

ឃ. េផទៀងផទ តថចនច A(4 ,0) ជចនចសថតេនេលរកប (c)

រចរកសមករៃនបនទ តបះែខសេកង (c) រតង A ។

ង. សងរកប (c) តនងអនគមន f កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →



៧៧- េគមនអនគមន 2

4y f (x) x 1

(x 2)= = − − += = − − += = − − += = − − +

−−−−


ក. ចររកលមត x 3lim f (x)→→→→

នង xlim f (x)→±∞→±∞→±∞→±∞


អសមតតឈរៃនរកប (c) ។

ខ. កនតរកសមករអសមតតេរទតមយរបសរកប (c) ។

គ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។

ឃ. សងរកប (c) តនងអនគមន f កនងតរយអរតនរមល )j,i,0(→→

៧៨-េគេអយអនគមន (((( )))) (((( )))) xy f x 1 x .e 1= = − −= = − −= = − −= = − − កនតេល IR ។

ក-គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។

ទញបញជ កសញញ ៃនអនគមន (((( ))))f x ។

ខ-តង g ជអនគមនកនតេល IR េដយ (((( )))) (((( )))) xg x 2 x .e 2 x= − + −= − + −= − + −= − + − ។

ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞

នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞

។

គ-គណនេដរេវ (((( ))))g' x រចកនតសញញ ៃន (((( ))))g' x ។



គសតរងអេថរភពៃនអនគមន (((( ))))g x ។

ឃ-បងហ ញថបនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C

តង f កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។

ចរបញជ កទតងេធៀបរវងបនទ ត (((( ))))d ជមយែខសេកង (((( ))))C ។

ង-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង (((( ))))C េហយរសបនងបនទ ត (((( ))))d ។

ច-កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។

ឆ-ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។

៧៩-េគេអយអនគមន (((( )))) (((( )))) 2xy f x 1 x .e= = −= = −= = −= = − កនតេល IR ។

ក-ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞

នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞


អសមតតៃនរកប (((( ))))C តង (((( ))))f x ។

ខ- គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។

គ- កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។

ឃ-ចរសរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង (((( ))))C រតងចនច I ។

ង- ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j



៨០-េគេអយអនគមន (((( )))) (((( )))) (((( ))))2xy f x 1 x e 1= = − += = − += = − += = − + កនតេល IR ។

ក-គណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞

នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞

។

ខ-គណនេដរេវ (((( ))))f ' x នង (((( ))))f '' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f ' x ។

គ-កនតសញញ ៃន (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។

ឃ-បងហ ញថបនទ ត (((( ))))d : y 1 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C

តង (((( ))))y f x==== កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។

ចរបញជ កទតងេធៀបរវងបនទ ត (((( ))))d ជមយែខសេកង (((( ))))C ។

ង-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង(((( ))))C េហយរសបនងបនទ ត(((( ))))d ។

ច-កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។

ឆ-ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។

៨១-េគេអយអនគមន (((( )))) x1y f x x 1 .e

2 = = −= = −= = −= = −

កនតេល IR ។

ក-ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞

នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞


អសមតតៃនរកប (((( ))))C តង (((( ))))f x ។




គ- កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។

ឃ-សរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង(((( ))))C រតងចនច I ។

ង- ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j

៨២-េគេអយអនគមន (((( )))) x lnxy f x

x++++= == == == = កនតេល (0 , )+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞ ។

ក-គណនលមត (((( ))))x 0lim f x→→→→ ++++

នង (((( ))))xlim f x→+∞→+∞→+∞→+∞

រចបញជ កសមករអសម

តតៃនរកប(((( ))))C តង (((( ))))f x ។


គ-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង(((( ))))C រតងចនច A មនអបសសx 1==== ។

ឃ-រកសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។

៨៣-េគេអយអនគមន (((( ))))f x x 1 x.ln x= − + += − + += − + += − + + កនតេល (0 , )+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞ ។

ក-គណនលមត (((( ))))x 0lim f x→→→→ ++++

នង (((( ))))xlim f x→+∞→+∞→+∞→+∞

។




គ-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង(((( ))))C រតងចនច A មនអបសស x 1====

ឃ-ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។

៨៤-េគេអយអនគមន f កនតេល IR េដយ (((( )))) 2x2x 2

f xe

++++==== ។

ក/គណនលមត (((( ))))xlim f x→−∞→−∞→−∞→−∞

នង (((( ))))xlim f x→+∞→+∞→+∞→+∞


អសមតតៃនរកប ។

ខ/គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។

គ/គណនេដរេវ (((( ))))f '' x រចសកសសញញ ៃន (((( ))))f '' x ។

កនតកអរេដេនចនចរបត I ៃនែខសេកង (((( ))))C ។

ឃ/សរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង (((( ))))C រតងចនច I ។

ង/ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតណរមល (((( ))))O, i , j



ឯកសេយង

១-េសៀវេភគណតវទយថន កទ១២ (ករតមលដឋ ន) របស

រកសងអបរ យវជន នងកឡ (េបះពមពឆន ២០១១)

២-េសៀវេភគណតវទយថន កទ១២ (ករតខ ពស) របស

រកសងអបរ យវជន នងកឡ (េបះពមពឆន ២០១១)

៣-Calculus single variable

Documents

f(b) f(a) f '(c) ba · ន ន គមន Prepared by LIM PHALKUN Page 4 ˇ ˆ ន ន - គ@A˘ន គមន˙ f ក Gយ f(x) x x 1= − +3 2 Gយ ប˚ន )យមនHយច គ