Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #11: Transformée en z – Bloqueur dordre 0 et transformée inverse Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #11: Transformée en z – Bloqueur d’ordre 0 et transformée inverse

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 11

Retour sur l’examen intra

Exercices tirées des examens finaux des années passées

Revue du dernier cours

Retour sur la fin du dernier cours: Bloqueur d’ordre 0

Obtention de la fonction de transfert

Obtention de la fonction de transfert pulsée

Transformée en z inverse2 Jean-Philippe Roberge - Mars

2011

Cours # 11

Choix d’une période d’échantillonnage

Fonction de transfert pulsée: D’éléments en cascade

D’éléments en boucle fermée

Critère de stabilité

Présentation d’un intérêt d’étudiant : la photographie (1)

3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011


Question #1


4


Question #2


5


Question #3


6


Question #4


7


Question #5


8


Question #6


9

Résumé des apprentissages (I)

Matière vue depuis l’examen intra

Modèle d’état En boucle ouverte:

En boucle fermée (en fermant la boucle par une rétroaction d’états (U = -K*x)):


10

x Ax Bu

y Cx

x Ax BKx A BK x

y Cx


11

Résumé des apprentissages (II)Matière vue depuis l’examen intra

Le fait d’avoir fermée la boucle avec U = -K*x suppose que tous les états sont disponibles (on peut les connaître les mesurer). Cependant, dans bien des cas: Il est impossible de mesurer tous les états On ne souhaite pas acheter tous les capteurs qui seraient nécessaires (qui

sont parfois coûteux).

Une solution est alors l’observateur d’état:

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

e

e

e e

x Ax Bu

x Ax Bu K y y

e x x Ax Bu Ax Bu K y y

Ae K Ce A K C e

y Cx


12

Résumé des apprentissages (III)Matière vue depuis l’examen intra

Si les valeurs propres de sont à partie réelle négative, alors nous avions démontré que l’erreur d’estimation de l’état tend vers 0 quand le temps tend vers l’infini. On peut alors se servir de l’état estimé pour faire notre rétroaction d’état:

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆe

e e

x Ax BKx Ax BK x x x Ax BKx BKe


Ae K Ce A K C e

y Cx

eA K C


13

Résumé des apprentissages (IV)Matière vue depuis l’examen intra

En ce qui concerne le design de l’observateur d’état, nous avions vu le principe de séparation. En effet:

Donc; En choisissant le gain Ke de sorte à ce que les valeurs propres de (A-KeC) soient toutes à

partie réelle négative, on assure la stabilité de l’observateur (l’erreur est stable). Non seulement l’erreur est-elle stable, elle tend vers 0 (tel que démontré dans le cours).

Étant donnée l’erreur stable et en choisissant le gain K de sorte à ce que les valeurs propres de (A-BK) soient toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité du système (procédé)

Nous pouvons donc effectuer le design de l’observateur de manière tout à fait indépendante du procédé:

0 e

A BK BKx x

A K Ce e

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆe

e e

x Ax BKx Ax BK x x x Ax BKx BKe


Ae K Ce A K C e

y Cx

00 e

e

sI A BK BKsI A BK sI A K C

sI A K C


14

Résumé des apprentissages (V)Matière vue depuis l’examen intra

Dans une foule d’applications, nous souhaitons que le procédé soit apte à suivre des consignes de type échelon (d’amplitude quelconque) et ce, malgré la présence possible de perturbations constantes. Par exemple; Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, suivi de température dans un four,

thermostats électroniques et mécaniques, etc…

Nous avions alors démontré qu’en ajoutant un intégrateur à l’entrée du système, il était possible de faire le suivi de consigne de type échelon:


15

Résumé des apprentissages (VI)Matière vue depuis l’examen intra

Rappel de la preuve démontrant la capacité du système à effectuer le suivi de consigne: En effet, soient l’erreur « e » et l’intégrale de l’erreur « eI »:

On peut ré-écrire sous forme de modèle d’état, tel que:

En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel précédent) avec u=-Kx+KIeI , on obtient le modèle d’état en boucle fermée:

I et e

I

e r t y t e t dt r t y t dt

e e r t y t r t Cx t

0 0

0 0 1I

x A x Bu d r

e C e

0 0

0 0 1 0

0

0 1 0

II I

I

I

x xA B BK K r d

e eC

xA BK BK Br d

eC

Contrôle intégral pour suivi de consigne

(VII)

Le système et l’erreur à la sortie de l’intégrateur seront stables si la matrice Ae à toute ses valeurs propres à partie réelle négative.

Maintenant, si le système est stable, cela implique que lorsque le temps tend vers l’infini:

Si , alors on a (de l’équation du haut):


16

0 0 0

0 0 1 0 0 1 0

ee

II

I I I

AA

x x xA B B A BK BK BK K r d r d

e e eC C

lim l'état x prend une valeur finie constante x=0

lim et lim

t

t t

x t x

r t r d t d

0x

0

constante

constante

0

I I I

I

A BK x BK e Bd A BK x BK e t dt Bd

BK e t dt A BK x Bd

e t

de t dt e t r t y t

dt


17

Résumé des apprentissages (VIII)Matière vue depuis l’examen intra

Évidemment, il est possible de pousser plus loin la théorie et de combiner toutes ces notions sous forme générale: Nous pouvons faire la conception d’un système qui doit suivre des consignes de

type échelon avec un observateur pour estimer l’état:

Nous avions vu l’exemple des locomotives qui appliquait cette forme complète.

Résumé des apprentissages (IX)

Bloqueur d’ordre zéro

Un bloqueur d’ordre 0 est un système qui permet de garder constante (le temps d’une période d’échantillonnage) la valeur d’un échantillon:

À l’entré du bloqueur, on a: En intégrant, on obtient :

Finalement on obtient la sortie du bloqueur en soustrayant: , c’est-à-dire l’intégrale décalée de:


18

Pour kT t 1 , y =r *k T t kT r kT

0k

r kT t kT

100 0k k

r kT t kT r kT u t kT

10

1k

r kT u t k T

ste

Ts

Fin du dernier cours (X)



19

Donc, la fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est:

Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur d’ordre 0 à l’entrée:

0

1 1sT ste eG s

s s s

Fin du dernier cours (XI)



20

Exercices


21

Exercices (I)

Modèle d’état


22

Examen final 2008:

Exercices (II)

Modèle d’état


23

Examen final 2009:

Cours #11

Transformée en z inverse (I)

Lorsque nous nous intéressons à « convertir » une fonction du domaine z au domaine temporel, il est nécessaire de faire appel à la notion de transformée de z inverse.

Dans le cadre du cours, trois différentes méthodes seront présentées pour obtenir la transformée en z inverse. Il s’agit de: 1) La division directe 2) L’expansion en fractions partielles 3) Le calcul par récursion


25

Transformée en z inverse (II)

La division directe

Le principe de la méthode par division directe est d’obtenir une série infinie en . Ensuite, en se rappelant la définition même d’une transformée en z, i.e.:

Il est possible de retrouver la valeur de chaque x(k*T).

Considérons cet exemple:

Que l’on peut ré-écrire sous cette forme:


26

1z

0

k

k

X z x kT z

2 1

10 5 10 5

1 0.2 1.2 0.2

z zX z

z z z z

1 2

1 2

10 5

1 1.2 0.2

z zX z

z z

Transformée en z inverse (III)

La division directe


27

Transformée en z inverse (IV)

La division directe


28

Transformée en z inverse (V)

L’expansion en fractions partielles


29

Transformée en z inverse (VI)



30

Transformée en z inverse (VII)



31

Transformée en z inverse (VIII)

Calcul par récursion


32

Transformée en z inverse (IX)



33

Transformée en z inverse (IX)



34

Choix d’une fréquence d’échantillonnage

(I)

Théorème d’échantillonnage de Nyquist-

Shannon Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème

d’échantillonnage) énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, c’est-à-dire:

Où ws est la fréquence d’échantillonnage et w1 est la fréquence maximale qui compose le signal à échantillonner.


35

12s


(II)


Shannon

Tiré de [7]


36


(III)


Shannon À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence

maximale (source - wikipédia) :

Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, c’est donc la raison pourquoi il faut que la fréquence d’échantillonnage soit plus de deux fois plus grande et non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable.


37

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/CriticalFrequencyAliasing.svg

Fonction de transfert pulsée (I)

Éléments en cascade


38

Fonction de transfert pulsée (II)

Éléments en boucle fermée


39

Fonction de transfert pulsée (III)

Éléments en boucle fermée


40

Fonction de transfert pulsée (IV)

Exemple I


41


42

Fonction de transfert pulsée (V)

Exemple I

Fonction de transfert pulsée (VI)

Exemple I


43

Fonction de transfert pulsée (VII)

Stabilité


44

Fonction de transfert pulsée (VIII)

Stabilité


45

Présentation d’intérêts d’étudiants (I)

Photographie - Références


46

[1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970

[2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures – Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go, Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, 2010.

[3] ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING - Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – 2002.

[4] Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone 1967.

[5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, 2007.

[6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009.

Présentation d’intérêts d’étudiants (II)

Photographie


47

Application #1 : le robot photographe (tiré de [2])

Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon)

a) Plateforme mobile b) Système de vision c) Contrôleur

Présentation d’intérêts d’étudiants (III)

Photographie


48

Présentation d’intérêts d’étudiants (IV)

Photographie

2ième application (tiré de [6]): Stabilisateur d’image pour caméra

digitale portable. Basé sur la lecture de gyroscopes et

de capteur d’accélération linéaire, l’algorithme de contrôle évalue les vibrations subies par l’appareil et minimise leur impact en corrigeant la position du capteur photographique (CCD : Charged Coupled Device) à l’aide d’un moteur de type « voice coil ».


49

Présentation d’intérêts d’étudiants (V)

Photographie


50

Présentation d’intérêts d’étudiants (VI)

Photographie


51

Présentation d’intérêts d’étudiants (VII)

Photographie - Résultats


52

Présentation d’intérêts d’étudiants (VIII)

Photographie - Résultats


53


54

Présentation d’intérêts d’étudiants (IX)Photographie - Résultats

Prochain cours


55

Commande des systèmes échantillonnés:

Lieux des racines

Critère de Jury

Erreur en régime permanent

Équivalent discret d’un contrôleur continu

Réponses basées sur le système de deuxième ordre

Références

56

[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise

[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh

[5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, 1994.

[6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande d’un système mécanique avec liens flexible, 2009.

[7]Pascal Bigras, Asservissement numérique en temps réel, notes de cours, cours #1 2007.


Documents

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