istatistik unite06

8/3/2019 istatistik unite06

http://slidepdf.com/reader/full/istatistik-unite06 1/32

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak• Sorulan sorularda nelerin istendi¤i kesin olarak anlafl›ld›ktan sonra çözüme geçilmeli,

• Al›flt›rmalar›n tümü mutlaka çözülmelidir.

135

Sürekli RassalDe¤iflkenler veNormal Da¤›l›m 6



‹statist ik136

Amaçlar:

Sürekli olas›l›k da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabilecek ve normal da¤›l›m› ana çizgileriyle inceleyecek, normal da¤›l›ma iliflkin olas›l›klar› hesaplayabileceksiniz.Normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan biliniyor iken Z ve X de¤erlerini belirleyebileceksiniz.Binom ve normal da¤›l›m aras›ndaki iliflkiyi aç›klayabileceksiniz.

‹çindekiler

• G‹R‹fi • SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIMI

• Normal Da¤›l›m • Standart Normal Da¤›l›m

• Normal Da¤›l›m›n Standartlaflt›r›lmas› • Normal Da¤›l›m›n Uygulamalar›

• NORMAL DA⁄ILIM E⁄R‹S‹ ALTINDAK‹ ALAN B‹L‹N‹YORKEN Z VE X DE⁄ERLER‹N‹N BEL‹RLENMES‹

• B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMI



G‹R‹fiBir önceki bölümde kesikli rassal de¤iflkenler ve da¤›l›mlar incelenmiflti. Bu bö-

lümdeyse herhangi bir aral›kta çok say›da de¤erler alabilen sürekli bir rassal de-¤iflken konu edilecektir.Sürekli bir rassal de¤iflkenin olas› de¤erleri sonsuz ve say›lamaz olarak kabul

edilmektedir. Örne¤in sabah evden ifle giderken harcanan zaman, sürekli bir ras-sal de¤iflkendir. Çünkü bu zaman en az 5 dakika, en çok ise 130 dakika olmaküzere, bu aral›ktaki yüzlerce hatta saniyeler dikkate al›nacak olursa milyonlarcade¤er, zaman› gösteren X sürekli rassal de¤iflkenin de¤eri olmaktad›r. Bu örnek-te X zaman de¤iflkeninin alabilece¤i de¤erler 5-130 dakika aras›nda olmakta vebu aral›¤a (daha sonra ayr›nt›l› verilece¤i gibi) tan›m aral›¤› ad› verilmektedir.

Sürekli bir rassal de¤iflkenin uygulanaca¤› pek çok olas›l›k da¤›l›m› bulunmak-la birlikte, burada sadece normal olas›l›k da¤›l›m› ve binom da¤›l›m›na yaklaflannormal da¤›l›mla karfl›laflt›rmalarda (test amac›yla) kullan›lan Student t da¤›l›m› in-

celenecektir.

SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIMI

Sürekli olas›l›k da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabilecek ve normal da-

¤›l›m› ana çizgileriyle inceleyecek, normal da¤›l›ma iliflkin olas›-

l›klar› hesaplayabileceksiniz.

Yukar›da belirtilmifl oldu¤u gibi, de¤erleri say›lamayan bir rassal de¤iflkene, “sü-rekli bir rassal de¤iflken” denilmektedir. Baflka bir anlat›mla, sürekli bir rassal de-¤iflken bir aral›kta (veya aral›klarda) her de¤eri alabilmektedir. Çünkü bir aral›kta

bu de¤iflkenin alabilece¤i sonsuz say›da de¤er oldu¤u varsay›lmakta ve bu de¤er-lerin say›lamayacak çoklukta oldu¤u kabul edilmektedir. Örne¤in; (bir önceki bö-lümde verilmifl olan) bir pilin ömrü, kiflilerin boy uzunlu¤u, bir s›nav›n tamamlan-ma süresi, yeni do¤mufl bebeklerin a¤›rl›¤› gibi de¤iflkenler, sürekli rassal de¤ifl-kenlerdir.

Bir üniversitede ö¤renim gören 5000 erkek ö¤rencinin a¤›rl›klar› X rassal de-¤iflken olarak düflünülerek kg cinsinden afla¤›da verilmifltir:

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 137

A M A Ç

1

Tablo 6.1 Erkek ö¤rencilerin a¤›rl›klar›na iliflkin göreli s›kl›k da¤›l›m›.

A¤›rl›k f Göreli

x S›kl›k

60-61 9 0.018

61-62 170 0.034

62-63 460 0.092

63-64 750 0.150

64-65 970 0.194

65-66 760 0.152

66-67 640 0.128

67-68 440 0.088

68-69 320 0.064

69-70 220 0.044

70-71 180 0.036

N = 5,000 Toplam= 1.000



Yukar›da verilmifl olan göreli s›kl›klar, belirlenmifl s›n›flar›n yaklafl›k olas›l›kla-r› olarak kullan›labilmektedir.

Afla¤›da fiekil 6.1.’de göreli s›kl›k da¤›l›m›n›n histogram ve poligonu, fiekil6.2.’deyse bu verilere iliflkin düzeltilmifl (smooted) poligonu verilmifltir. Düzeltil-mifl poligon, x sürekli rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› e¤risine bir yaklafl›md›r.

Yukar›daki tabloda s›n›f geniflli¤i 1 birim olarak al›nm›flt›r. Bu genifllik 1 birim-den fazla al›nacak olursa, bu kez de önce göreli s›kl›k yo¤unluklar› yeniden el-de edilir ve yo¤unluk de¤erlerinin grafi¤i çizilerek da¤›l›m e¤risi bulunur. Bir s›-n›f›n göreli s›kl›k yo¤unlu¤u, bir s›n›ftaki göreli s›kl›¤›n s›n›f geniflli¤ine bölün-mesiyle elde edilmektedir. Göreli s›kl›k yo¤unluklar›, bir histogramdaki dikdört-genlerin alanlar› toplam›n› 1.0 yapmak için bulunmaktad›r. Sürekli bir rassal de-¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m e¤risine, olas›l›k yo¤unluk fonksiyonu da denmektedir.

Sürekli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› afla¤›daki iki özelli¤i sa¤lamal›d›r.1. Bir aral›kta herhangi bir de¤er alan x ‘in olas›l›¤› 0 – 1 aras›ndad›r.2. x ’in ald›¤› tüm de¤erlerin olas›l›klar› toplam› 1’dir.‹lk özellik, x sürekli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan,

0 ve 1 aras›ndaki aland›r (fiekil 6.3). ‹kinci özellikse, sürekli bir rassal de¤iflkeninolas›l›k da¤›l›m e¤risi alt›nda kalan alan toplam›n›n her zaman 1.0 veya % 100 ol-du¤udur (fiekil 6.4).

‹statist ik138

fiekil 6.1 A¤›rl›klar›n histogram ve poligonu.

0

0.1

0.2

0.3

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

G ö r e l i S › k l › k

x

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0

0.1

0.2

0.3

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

G ö r e l i S › k l › k

x

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

fiekil 6.2 A¤›rl›klar›n olas›l›k da¤›l›m e¤risi.

fiekil 6.3 E¤ri alt›ndaki alan iki nokta aras›ndad›r.

Taral› alan0 ile 1 aras›ndad›r.

x = a x = b x

Taral› alan 1.0 ya da% 100 dür.

x

fiekil 6.4 Bir olas›l›k da¤›l›m e¤risi alt›ndaki toplam alan.



Sürekli bir rassal de¤iflkenin bir aral›kta ald›¤› varsay›lan de¤erlerin olas›l›¤›,afla¤›daki fiekil 6.5.’den de anlafl›laca¤› gibi, bir aral›¤›n iki limiti aras›nda ve e¤rialt›ndaki aland›r. fiekildeki (e¤ri alt›nda) a ve b aras›ndaki taral› (gri zeminli) alan, X ‘in a ve b aras›nda olma olas›l›¤›n› vermektedir. Bu da,

P (a ≤ x ≤ b) = E¤ri alt›nda a ve b noktalar› aras›ndaki alan biçiminde gös-terilmektedir. Burada x; a’ya eflit ya da büyük, b’ye eflit ya da küçüktür.

Erkek ö¤rencilerin a¤›rl›klar› örne¤ine dönülecek olursa, bu gruptan rassal se-çilen bir ö¤rencinin a¤›rl›¤›n›n 65 – 68 kg aras›nda olmas› olas›l›¤› (yukar›daki fie-kil 6.6.’da verildi¤i gibi)a¤›rl›klar›n da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan olarak gösteril-mektedir.

P (65 ≤ x ≤ 68)

olarak gösterilen olas›l›k de¤erinde, x, 65 kg’a eflit ya da büyük, 68 kg’a eflit yada küçüktür.

Sürekli bir olas›l›k da¤›l›m›nda olas›l›k, her zaman bir aral›k için hesaplan-maktad›r. Nitekim bu olas›l›k yukar›daki grafikte taral› olan 65 – 68 kg aral›¤›için bulunmufltur.

X gibi bir sürekli rassal de¤iflkenin alabilece¤i tek bir de¤erin olas›l›¤› her za-man s›f›rd›r. Çünkü; verilen bir noktan›n alan› s›f›rd›r. Örne¤in; yukar›daki erkekö¤rencilere iliflkin örnekte, rassal seçilen bir erkek ö¤rencinin a¤›rl›¤›n›n 67 kg ol-ma olas›l›¤› s›f›rd›r ve,

P ( x = 67) = 0

biçiminde gösterilir. Bu durum grafik olarak da afla¤›daki biçimde gösterilir.Genel ifadesiyle, a ve b, X ‘in ald›¤› iki de¤er oldu¤unda, bu de¤erlere iliflkin

olas›l›klar;

P (a) = 0 ve P (b) = 0

dir. Buradan da sürekli bir rassal de¤ifl-ken için,

P (a ≤ x ≤ b) = P (a < x < b)


fiekil 6.5 Olas›l›¤›n e¤ri alt›ndaki alan olarak ifadesi.

Taral› alanP ( a ≤ x ≤ b )olas›l›¤›n› verme

x = a x = b x

Taral› alanP ( 65 ≤ x ≤ 68 )olas›l›¤›n› verme

65 x68

fiekil 6.6 (65-68) kg aral›¤›ndaki x 'in olas›l›¤›.

P ( x = 68 ) = 0

0,7 x

fiekil 6.7 x 'in tek bir de¤erinin olas›l›¤› s›f›rd›r.



yaz›labilmektedir. Bir baflka ifadeyle, verilen s›n›r de¤erlerine eflitlik (olas›l›k de-¤eri s›f›r oldu¤undan) sonucu de¤ifltirmemektedir (E¤er aral›k, "65 ve 68 aras›n- da" biçiminde ifade edilirse anlam› "65 < x < 68" dir. E¤er aral›k, "65’den 68'e kadar" biçiminde ifade edilirse "65 ≤ x ≤ 68" dir ). Erkek ö¤rencilerin a¤›rl›klar›nailiflkin örnek için de bu özellik grafik olarak afla¤›da verilmifltir.

Normal Da¤›l›mNormal da¤›l›m, sürekli bir rassal de¤iflkenin uydu¤u önemli olas›l›k da¤›l›m›ndanbiridir. Bu nedenle günlük yaflamda karfl›lafl›lan pek çok de¤iflken (kesinlikle yada yaklafl›k olarak), normal da¤›l›r. Örne¤in insanlar›n boy uzunluklar›, a¤›rl›kla-r›, s›nav sonuçlar›, paketlerin a¤›rl›klar›, bir flifledeki sütün miktar›, ampul - TV se-ti - pil gibi nesnelerin ömrünün hep (yaklafl›k) normal da¤›ld›¤› kabul edilir.

Normal olas›l›k da¤›l›m› ya da normal e¤ri (curve), çan biçiminde bir flekillegösterilmektedir. fiekil 6.9’da gösterilmifl olan bu e¤rinin ortalamas› m ve standart

sapmas› s dir. Normal da¤›l›mgösteren sürekli bir rassal de¤ifl-kene, “normal rassal de¤iflken”denir (ancak çan e¤risine benze- yen her flekil normal da¤›l›m e¤-risi de¤ildir).

Normal Olas›l›k Da¤›l›m›Çizildi¤inde çan fleklinde bir e¤risi olan normal olas›l›k e¤risinde;

1. E¤ri alt›ndaki toplam alan 1.0’d›r.2. E¤ri ortalamaya göre simetriktir.

3. E¤rinin iki ucu (kuyru¤u) sonsuza gitmektedir.Normal da¤›l›m›n tafl›mak zorunda oldu¤u bu üç özelli¤in aç›klamas› afla¤›dad›r:

1. Normal da¤›l›m e¤risi al-t›ndaki toplam alan 1.0 ya da %100 dür.

2. Bir normal da¤›l›m e¤risiortalamaya göre simetrik olup,e¤ri alt›ndaki toplam alan›n ya-r›s› ortalaman›n sa¤›nda, yar›-s›ysa solunda yer al›r.

‹statist ik140

fiekil 6.8 65 ve 68 kg aras›ndaki ve 65'den 68 kg'a kadar›n olas›l›¤›.

Taral› alan P ( 65 ≤ x ≤ 68 )olas›l›¤› olup bu daP ( 65 < x < 68 )’e eflittir.

65 x68

fiekil 6.9 m ortalama ve s standart sapmal› normal da¤›l›m.

s = standart sapma

xm = ortalama

fiekil 6.10 Bir normal e¤ri alt›ndaki toplam alan.

Taral› alan 1.0 ya da% 100 dür.

xm



3. Bir normal e¤rinin iki kuyru¤u yatay eksene asimptottur (dokunmayacak vekesmeyecek bir biçimde tan›ms›z olarak -istendi¤i kadar- uzayabilmektedir). Bir

normal da¤›l›m e¤risi hiçbir zaman yatay eksene dokunmamakla birlikte; (m

- 3s

)dan küçük ve (m + 3 s) dan büyük aral›kta e¤ri alt›nda kalan alan›n s›f›r oldu-¤u düflünülmektedir.

Normal da¤›l›m›n parametreleri; m (ortalama) ve s (standart sapma) ’d›r. Bu ikiparametrenin verilmesi halinde, bir normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki, herhangi biraral›¤a karfl›l›k gelen alan bulunabilmektedir. Ancak normal da¤›l›m e¤risi tek ol-may›p, bir ailedir. Çünkü her m ve s seti için farkl› normal da¤›l›m söz konusu-dur. Bu parametrelerden m, yatay eksen üzerinde bir normal da¤›l›m›n merkezinibelirtirken, s ‘da da¤›l›m›n yay›l›m›n› ifade etmektedir. Afla¤›daki fiekil 6.13’de, or-talamas› ayn›, ancak standart sapmas› farkl› üç de¤iflik normal da¤›l›m e¤risi veril-mifltir. Yine afla¤›da fiekil 6.14’deyse standart sapmalar› ayn›, ancak ortalamalar›farkl› üç normal da¤›l›m e¤risi verilmifltir.

Normal olas›l›k da¤›l›m›n›n matematiksel eflitlikle gösterimi,

biçimindedir. Ancak izleyen alt bölümde bu eflitlik (fonksiyon) kullan›lmayacak, onun yeri-

ne bu eflitlik kullan›larak oluflturulan "Standart Normal Da¤›l›m Tablosu" ’ndan ya-rarlan›lacakt›r (Ek: Tablo 1).

f (x) = 1s . 2 p

e- 1/2 x - m / s 2


% 50

xm

% 50

fiekil 6.11 Bir normal e¤ri ortalamaya

göre simetriktir.

% 50

xm

% 50

0,50,5

fiekil 6.12 Bir normal e¤rinin iki

kuyru¤u.

m = 20 x

s = 5 s = 5 s = 5

m = 30 m = 40

fiekil 6.13 Ortalama ayn› standart sapma farkl› üç normal da¤›l›m e¤risi.

s = 16

s = 10

s = 5

m = 50x

fiekil 6.14 Standart sapma ayn› ortalama farkl› üç normal da¤›l›m e¤risi.



Standart Normal Da¤›l›mStandart normal da¤›l›m, normal da¤›l›m›n m = 0 ve s = 1 oldu¤u özel bir

durumudur.

STANDART NORMAL DA⁄ILIMm = 0 ve s = 1 olan normal da¤›l›ma, “standart normal da¤›l›m” denir.

Yandaki fiekil 6.15.’den de gö-rülece¤i gibi, standart normal da-¤›l›mda rassal de¤iflken z ile gös-terilmektedir. Standart normal da-¤›l›m›n birimi olan z de¤erlerine zskorlar›, standart birimler ya dastandart skorlar da denir.

z DE⁄ERLER‹ YA DA z SKORLARIStandart normal e¤rinin yatay ekseni üzerinde iflaretlenmifl birimlere z de¤er-

leri ya da z skorlar› denir. z ‘nin özel bir de¤eri; ortalama ve z ile ifade edilennoktan›n, standart sapma cinsinden uzakl›¤›d›r.

fiekil 6.15’de z de¤erlerini gösteren yatay eksende, ortalaman›n sa¤›ndaki z de¤eri pozitif, solundakilerse negatiftir. Yatay eksen üzerindeki bir noktan›n z de-¤eri, ortalamayla o nokta aras›ndaki uzakl›¤›n standart sapma cinsinden de¤eridir.Örne¤in, z = 2 ’nin anlam›, sa¤ tarafta o noktan›n ortalamaya iki standart sapmauzakl›kta oldu¤udur. Ayn› biçimde z = - 2 ‘nin anlam›yla sol tarafta yine iki stan-dart sapma uzakl›kta oldu¤udur.

Ek’te verilmifl olan standart normal da¤›l›m tablosu, standart normal e¤ri alt›n-da; z = 0 ile 0.00 ’dan 3.09’a kadar olan z de¤erleri aras›ndaki alanlar› vermek-tedir. Bu tablonun okunmas›na, standart normal da¤›l›m›n ortalamas› olan z = 0noktas›ndan bafllanmaktad›r. Daha önce de söz edildi¤i gibi, normal da¤›l›m e¤-risi alt›ndaki toplam alan 1.0 ’dir ve simetriklik nedeniyle ortalaman›n her iki ta-raf›ndaki alan da 0.5 yani % 50 ’dir.

Yukar›da ortalaman›n solundaki zde¤erlerinin negatif oldu¤u söylen-miflti. Ama, burada unutulmamas› ge-reken fley, alan kavram› nedeniyle soltaraftaki e¤ri alt›nda kalan alan›n dapozitif oldu¤udur.

Standart normal e¤ri alt›nda, ikinokta aras›ndaki alan z de¤erinin bu

aral›k içerisindeki de¤erleri alabilme olas›l›¤›d›r. Afla¤›daki örnek 6.1 – 6.4 ileEk’de verilen tablolardan yararlan›larak, standart normal e¤ri alt›ndaki alanlar›nbulunmas› aç›klanmaktad›r.

‹statist ik142

fiekil 6.15 Standart normal da¤›l›m e¤risi.

s = 1

z

m = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

fiekil 6.16 Standart

normal e¤ri alt›ndaki alan.

0,50,5

-3 -2 -1 0 1 2 3 z





Ç Ö Z Ü M

Ç Ö Z Ü M

Standart normal e¤ri alt›ndaki alanlar› bulunuz.

a) z = 2.32’nin sa¤›ndaki alan›

b) z = - 1.54’ün solundaki alan›

a) Daha önce de söylendi¤i gibi, normal da¤›l›m tablosundaki de¤erler z = 0 ilebafllamakta ve verilen noktayla ortalama (z = 0 ) aras›ndaki alan› vermektedir. Bu-radaysa verilen noktan›n sa¤›nda kalan alan sorulmaktad›r.Bu durumda yine verilen noktayla ortalama aras›ndaki alan tablodan bulunup,sa¤ taraf›n toplam de¤eri olan 0.5’den ç›kart›l›rsa, istenen de¤er elde edilir.‹stenen alan : P ( z ≥ 2.32 ) = 0.500 – 0.4898 = 0.0102 olarak elde edilir.

b) Ayn› biçimde, burada da önce z = 0 ile z = - 1.54 aras›ndaki alan bulunur ve bulunan alan de¤eri 0.5 de¤erinden ç›kart›l›rsa, istenen alan de¤erine ulafl›l›r.‹stenen alan : P ( z < -1.54 ) = 0.5000 – 0.4382 = 0.0618olarak hesaplan›r.

Standart normal e¤ri alt›ndaki afla¤›da verilen olas›l›klar› bulunuz.

a) P ( 1.19 < z < 2.12 )

b) P (-1.56 < z < 2.31 )

c) P ( z > -0.75 )

a) Afla¤›daki flekilde de görülebilece¤i gibi, P ( 1.19 < z < 2.12 ) olas›l›k de¤e-ri z = 1.19 ile z = 2.12 noktalar› aras›ndaki aland›r.‹stenen olas›l›k de¤erini (alan›) bulmak için önce ortalamayla z = 2.12 aras›ndakialan bulunur: P (z < 2.12 )= 0.4830. Daha sonra ortalamayla z = 1.19 aras›ndaki

alan bulunur: P (z < 1.19 ) = 0.3830. Bu de¤er ilk bulunan de¤erden ç›kart›lmaksuretiyle istenen (alan) olas›l›k de¤eri elde edilir.

P ( 1.19 < z < 2.12 ) = 0.4830 – 0.3830 = 0.1000

(Dikkat: E¤er verilen her iki nokta daortalaman›n bir taraf›ndaysa, ilk ola-rak ortalamayla bu noktalar aras›nda-ki alanlar bulunur. Daha sonraysa kü-çük alan büyük alandan ç›kart›l›r.)

‹statist ik144

Ö R N E K 3

z = 0 zz = 2.32

% 1.020.4898

fiekil 6.19 z = 2.32 de¤erinin sa¤›ndaki

alan.

z = 0 zz = -1.54

% 6.180.4332

fiekil 6.20 z = -1.54 de¤erinin solundaki alan

Ö R N E K 4

0 z1.19

% 10.0

2.12

fiekil 6.21 P ( 1.19

< z < 2.12 )

de¤eri.



b) Burada istenilen olas›l›k de¤eri, standart normal e¤ri alt›nda z = -1.56 ilez = 2.31 noktalar› aras›ndaki aland›r. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi veri-len iki nokta, ortalaman›n iki farkl› taraf›ndad›r. Bu nedenle istenen olas›l›k (alan)de¤erinin bulunabilmesi için önce ortalamaysa z = -1.56 ve z = 2.31 aras›ndakialanlar bulunur, daha sonraysa bu alanlar toplan›r.-1.56 ile 0 aras›ndaki alan P ( - 1.56 ≤ z ≤ 0 ) = 0.44060 ile 2.31 aras›ndaki alan P (0 ≤ z ≤ 2.31 ) = 0.4896

-1.56 ile 2.31 aras›ndaki alan P (- 1.56 ≤ z ≤ 2.31 )= 0.4406 + 0.4896 = 0.9302

(Dikkat: E¤er verilen iki nokta ortala-man›n farkl› taraflar›ndaysa ilk olarakortalamayla bu noktalar aras›ndakialanlar bulunur. Sonra bu iki alan top-

lan›r. )

c) P (z > -0.75 )de¤eri de verilennoktan›n sa¤›ndaki tüm aland›r.Burada istenen alan iki bölümdenoluflmaktad›r. ‹lki, verilen noktayla or-talama aras›nda kalan alan,

P (- 0.75 ≤ z ≤ 0 )= 0.2734ikincisiyse ortalaman›n sa¤›ndaki(tüm) aland›r.

P (z > 0 ) = 0.50

Bu iki alan de¤erinin toplanmas› sonucunda (0.2734 + 0.5000 = 0.7734) istenenolas›l›k de¤eri % 77.34 olarak bulunur.Daha önce de de¤inilmifl oldu¤u gibi, standart sapmaya iliflkin üç (ampirik)kura-l›n do¤rulu¤u, simetriklik özelli¤i gösteren normal da¤›l›m için, tablo de¤erinden yararlan›larak gösterilebilir.1) Ortalaman›n bir standart sapma sa¤›nda ve solunda kalan noktalar aras›ndakialan, toplam alan›n % 68.26’s› olarak bulunur. Burada söz edilen alan z = -1.0 denz = 1.0 ’e kadar olan aland›r. Yandakiflekilden de görülece¤i gibi ortalama

ile z = 1.0 noktas› aras›ndaki alan %34.13 ’dür. Simetrik bir da¤›l›m oldu-¤u için z = -1.0 ile ortalama aras›nda-ki alan da ayn› (%34.13) olaca¤›ndantoplam alan % 68.26 d›r.

2) Ortalaman›n iki standart sapma sa¤›nda ve solunda kalan noktalar aras›ndakialan, toplam alan›n % 95.44’ü olarak bulunur. Burada da (yukar›dakine benzer bi-çimde), z = -2.0 ile z = 2.0 noktalar› aras›ndaki alan›n bulunmas› için önce orta-lamayla z = 2.0 noktas› aras›nda kalan alan bulunur ve bulunan de¤erin iki kat›(simetriklik özelli¤i) al›narak istenen alan de¤eri (0.4772 + 0.4772 = 0.9544) elde

edilir.


0 z-1.56 2.31

fiekil 6.22P (-1.56 ≤ z ≤ 2.31) de¤eri.

0 z-0.75

% 27.34

fiekil 6.23P (z > -0.75 ) de¤eri.

0 z-1.0 1.0

0.3413 + 0.3413 = 0.6826

fiekil 6.24 Bir standart sapma s›n›rlar› içerisindeki alan.



Ç Ö Z Ü

M

3) Ortalaman›n üç standart sapmauzakl›¤›ndaki s›n›rlar aras›ndaki alan›toplam alan›n % 99.74’ü olarak bulu-nur. Bulunmas› istenen alan z = -3.0dan z = 3.0’e kadar olan aland›r. Or-talamayla z = 3.0 noktas› aras›ndakialan % 49.87 oldu¤u için toplam alan% 99.74 olarak bulunur.

Bu özellik nedeniyle, Ek 1.’de veril-mifl olan standart normal da¤›l›m tab-losunda z = 0 dan z = 3.09’a (yada z = -3.09’dan z = 0’a)kadar olan

de¤erler için olas›l›k (alan) de¤eri bu-lunabilmektedir.

Standart normal e¤ri için afla¤›daki olas›l›klar› bulunuz.

a) P (0 < z < 5.67 )

b) P (z < -5.35 )

a) Standart normal e¤ri için istenen bu olas›l›¤›n bulunmas›nda, standart normalda¤›l›m tablosundan yararlan›rken bir sorunla karfl›lafl›lmaktad›r. Bu sorun tablo-da olas›l›k de¤eri olarak bulunabilecek en son de¤erin z = 3.09 olmas›d›r. Budurumda ortalaman›n sa¤›nda kalan toplam alan (% 50.0) sorunun cevab› olmak-tad›r.0 ile 5.67 aras›ndaki alan = P (0 < z < 5.67)= 0.50

b) P (z < -5.35 )de¤eri için de yinestandart normal da¤›l›m tablosununkullan›m›nda benzer sorunla karfl›la-fl›lmaktad›r. Ortalaman›n solundakitoplam alan % 50.0 ’dir. z = -5.35 ile

ortalama aras›ndaki alan da yaklafl›k% 50.0 ’dir. Bu durumda istenenolas›l›k de¤eri s›f›rd›r.

- 5.35 ile 0 aras›ndaki alan = P (z< -5.35 )= 0.5 – 0.5 = 0.0

‹statist ik146

0 z-2.0 2.0

0.4772 + 0.4772 = 0.9544

fiekil 6.25 ‹ki standart sapma s›n›rlar› içerisindeki alan.

0 z-3.0 3.0

0.4987 + 0.4987 = 0.9974

fiekil 6.26 Üç standart sapma s›n›rlar› içerisindeki alan.

Ö R N E K 5

0z

5.67

% 50

fiekil 6.27 z = 0 ile

z = 5.67 s›n›rlar›

aras›ndaki alan.

0z

-5.35

0.5 - 0.5 = 0

fiekil 6.28z = - 5.35 ’in solundaki alan.





Ç

Ö Z Ü M

b) x = 35 de¤erine karfl›l›k gelen zde¤eri de yine ayn› biçimde,

olarak bulunur. Bulunan z de¤eri gi-bi, verilmifl olan x = 35 de¤eri de or-talamadan küçük oldu¤u için ortala-man›n solunda bir noktad›r. Ancak xde¤eri negatif olmad›¤› halde z de-¤eri negatiftir. Bunun nedenide z dö-nüfltürmesinde da¤›l›m ortalamas›n›ns›f›r noktas›na tafl›nm›fl olmas›d›r.

Normal da¤›l›ml› bir x de¤iflkenininiki de¤eri aras›ndaki alan›n bulun-mas› için önce, her iki x de¤eri de zde¤erine dönüfltürülmekte, daha son-raysa standart normal e¤ri alt›ndakiiki z de¤eri aras›ndaki alan bulun-maktad›r. Bu alan, ayn› zamanda ve-rilmifl olan x ’ler aras›ndaki aland›r.

x sürekli rassal de¤iflkeni 25 ortalama ve 4 standart sapmayla normal

da¤›lmaktad›r. Afla¤›da verilen noktalar aras›ndaki alan› bulunuz.

a) x = 25 ve x = 32 aras›

b) x = 18 ve x = 34 aras›

Verilen normal da¤›l›mda m = 25 ve s = 4 dür.a) Burada ilk ad›m, verilmifl olan x = 25 ve x = 32 de¤erlerinin standart nor-

mal z de¤erlerine dönüfltürülmesidir.

‹kinci ad›m z = 0.00 ile z = 1.75 noktalar› aras›ndaki alan›n Ek 1.’de verilmifl olantablodan bulunmas›d›r. Bu de¤er,

P (25 < x < 32) = P ( 0 < z < 1.75 ) = 0.4599

olarak bulunur.

z = x - ms

= 25-254

= 0.00

z = x - ms

= 32-254

= 1.75

z = x - ms

= 35-5010

= 1.50

‹statist ik148

xx = 55

z0

m = 50

m = 50 ve s = 10

ile normal da¤›l›m

m = 0 ve s = 1

ile standart normalda¤›l›m

0.5 fiekil 6.29 x = 55’in z de¤eri

x

0

35

z

m = 50

-1.50 fiekil 6.30 x = 35’in z de¤eri.

Ö R N E K 7



b) x = 18 ve x = 34 de¤erleri de yine standart normal de¤erlere dö-nüfltürülür.

olarak hesaplan›r.

Daha sonraysa afla¤›daki flekildende görülece¤i gibi z = -1.75 ilez = 2.25 noktalar› aras›ndaki alan

bulunur. Burada verilen noktalar,ortalaman›n solunda ve sa¤›nda ol-du¤u için, toplam alan, bulunacakiki alan›n toplam›ndan oluflacakt›r.

P (18 < x < 25) = P (-1.75 < z < 0)= 0.4599

P (25 < x < 34) = P (0 < z < 2.25)= 0.4878

P (18 < x < 34) = 0.4599 + 0.4878= 0.9477

X rassal de¤iflkeni, 40 ortalama ve 5 standart sapmayla normal da¤›l›m

göstermektedir. Afla¤›daki olas›l›klar› normal da¤›l›m için bulunuz.

a) P ( x > 55 )

b) P ( x < 49 )

Normal da¤›l›mda m = 40 ve s = 5 olarak verilmifltir.a) x rassal de¤iflkenin 55’den büyük de¤er almas› bu fl›kta istenen olas›l›k, normalda¤›l›m e¤risinden (Ek 1.’de verilmifl standart normal da¤›l›m tablosundan yarar-lan›larak) bulunacakt›r. Bunun için x = 55 de¤erinin z de¤erine dönüfltürülmesi

gerekir.

Bu de¤er, yandaki flekilden de gö-rülebilece¤i gibi, e¤rinin sa¤ uçnoktas›ndaki küçük bir alan› d›fltab›rakmaktad›r ve buras› istenenolas›l›kt›r.Sonuç olarak istenen olas›l›k de-¤eri,

x = 55 için z = 55-405

= -3.00 ; P (0 < z < 3.00) = 0.4987

x = 18 için z = 18-254

= -1.75

x = 34 için z = 34-254

= -2.25


x25

0z

1.75

32

0.4599

Bu alanlar eflit

0.4599

fiekil 6.31 x = 25 ve x = 32 aras›n- daki alan.

x

0

z

3.0

0.4978

0.5 - 0.4987 = 0.0013

40 55 fiekil 6.33P (x > 55 ) de¤eri.

Ö R N E K 8

Ç Ö Z Ü M

x

0z

2.25

0.48780.4599

-1.75

0.4599 + 0.4878 = 0.9477

fiekil 6.32 x = 18 ve x = 34 aras›ndaki alan.



Ç Ö Z Ü M

P (x > 55) = P (z > 3.00) = 0.5 – 0.4987 = 0.0013

olarak bulunur.

b) Burada da yine x = 49 de¤erinin z de¤erine dönüfltürülmesinden,

elde edilir. Yandaki flekilde de gö-rülebilece¤i gibi burada x de¤eriiçin üst s›n›r verilmifl, alt s›n›r için

hiçbir k›s›t getirilmemifltir.Bu nedenle, ortalaman›n sol ta-raf›ndaki alan (0.5 ) ve z = 0 ilez = 1.80 aras›nda kalan alan top-lanarak, toplam alan (olas›l›k) eldeedilmektedir.

P (x < 49) = P (z < 1.80) = 0.50 + 0.4641 = 0.9641

x sürekli rassal de¤iflkenim = 50 ve s = 8 ile normal da¤›l›m göstermek

üzere, P (30 ≤ x ≤ 39) de¤erini bulunuz.

m = 50 ve s = 8 olmak üzere, verilen x = 30 ve x = 39 de¤erlerinin (her iki-si de ortalaman›n solunda) z cinsinden de¤erleri,

olarak bulunur. Ortalamayla buiki nokta aras›ndaki alanlar bulu-narak, büyük alandan küçük ala-n›n ç›kart›lmas›yla istenen olas›l›k(alan) de¤eri elde edilir.

P (30 ≤ x ≤ 39 ) = P (-2.50 ≤ z ≤ -1.38) = 0.4938 – 0.4162 = 0.0776

x = 30 için z = 30-508

= -2.50

x = 39 için z = 39-508

= -1.38

x = 49 için z = 49-405

= 1.80

‹statist ik150

0.5000 + 0.4641 = 0.9641

40 49 x

0.46410.5000

0 1.80

z fiekil 6.34 P (x < 49) de¤eri.

Ö R N E K 9

x

0

z

3.0

0.4978

0.5 - 0.4987 = 0.0013

40 55 fiekil 6.35P (30 ≤ x ≤ 39) de¤eri.



Ç Ö Z Ü M

x sürekli rassal de¤iflkeni m = 80 ve s = 12 ile normal da¤›l›m›n› göster-

mek için, normal da¤›l›m e¤risi alt›nda kalan afla¤›daki alanlar› bulunuz.

a) x = 70 den x = 135’e kadar

b) x = 27’nin sol taraf›

Verilen x noktalar›n›n z cinsinden de¤erleri,

olarak bulunur. Bu noktalar or-talaman›n iki taraf›nda yer ald›¤›için, tablodan elde edilecek alan(olas›l›k) de¤erleri toplan›r.

P (70 ≤ x ≤ 135 )= P (- 0.83 ≤ z ≤ 4.58)= 0.2967 + 0.5000= 0.7967

b) x = 27’nin sol taraf›ndaki ala-n› ya da x ’in 27’den küçük de-¤er alma olas›l›¤›n› bulmak içinz de¤eri bulunarak sonuca gidi-lir.x = 27 için

P (x < 27) = P (z < – 4.42)= 0.5 – P (– 4.42 < z < 0)= 0.5 – 0.5 = 0.0

= 27-8012

= -4.42

x = 70 için z = 70-8012

= -0.83

x = 135 için z = 135-8012

= 4.58


Ö R N E K 1 0

0.2967 + 0.5000 = 0.7967

x

0

70 80

-0.83 4.58

z fiekil 6.36 x = 70 ile x = 135 aras›ndaki alan.

0.5 - 0.5 = 0.0

x

0

80

-4.42

27

z fiekil 6.37 x = 27’ nin solundaki alan.



Ç Ö Z Ü M

Normal Da¤›l›m Uygulamalar›Buraya kadarki alt bölümlerde; normal da¤›l›mdan, normal da¤›l›m›n standart

normal da¤›l›ma dönüfltürülerek, normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan›n bulunma-s›ndan söz edildi. Afla¤›daysa normal da¤›l›m›n gerçek verilerle uygulanmas› ko-nu edilecektir.

ZENG‹N ülkesinde aile bafl›na düflen gelir 44.483 dolar ortalama ve 10.500 dolar standart

sapmayla normal da¤›l›m göstermektedir. Bu ülkeden rassal seçilen bir ailenin 30.000 –

50.000 dolar aras›nda gelire sahip olma olas›l›¤›n› bulunuz.

x rassal de¤iflkeni, m = 44.483 ve s = 10.500 dolar de¤erleriyle normal da¤›lmak-tad›r. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi verilen s›n›r de¤erleri, ortalaman›n so-

lunda ve sa¤›nda yer almaktad›r. Ortalamayla s›n›r de¤erleri aras›ndakibu olas›l›klar (alan ), z dönüflümüyle elde edilir.Bulunan z de¤erleri kullan›larak standart normal da¤›l›m tablosundan gerekli ola-s›l›k de¤erlerine ulafl›l›r ve sonuç bulunur.

P (30.000 ≤ x ≤ 44.483) = P (- 1.38 ≤ z ≤ 0 = 0.4162P (44.483 ≤ x ≤ 50.000) = P (0 ≤ z ≤ 0.53) = 0.2019P (30.000 ≤ x ≤ 50.000) = P (-1.38 ≤ z≤ 0.53) = 0.6181

Sonuç olarak rassal seçilen bir aile-nin gelirinin 30.000 – 50.000 dolar

aras›nda olma olas›l›¤› % 61.81 dir.

‹statist ik152

Ö R N E K 1 1

0.4162 + 0.2019 = 0.6181

x

0

30,000 44,483

-1.38

0.20190.4162

50,000

0.53

z

fiekil 6.38x = 30,000 – 50.000 aras›ndaki alan.



Ç Ö Z Ü M

Oyuncak üreten bir firmada, bir iflçinin, oyuncak bir yar›fl otomobilini

monte etme süresi; 55 dakika ortalama ve 4 dakika standart sapmayla

normal da¤›lmaktad›r. ‹flyerinin saat 17:00’de kapand›¤› bilindi¤ine göre,

saat 16:00’da montaja bafllayan bir iflçinin kapan›fl saatine kadar ifli bi-

tirme olas›l›¤›n› bulunuz.

Oyuncak bir yar›fl otomobilinin montaj süresi; m = 55 dakika ve s = 4 dakikaylanormal da¤›l›m göstermektedir. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi, burada is-tenen, montaj›n en çok 60 dakikada bitmesidir.Standart normal da¤›l›m tablo de¤erinden yararlanabilmek için gerekli z de¤eri,

olarak bulunduktan sonra istenenolas›l›k hesaplan›r. Bunun için ön-ce ortalaman›n solundaki tüm alan(0.5) ve ortalaman›n sa¤›ndaki z= 1.25’e kadar olan alan (0.3944)toplan›r ve sonuç de¤eri,

P (x ≤ 60) = P (z ≤ 1.25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944

elde edilir.

Meflrubat üreten bir firmada, üretilen sodalar›n 12 cl olmas› gerekmekte-

dir. Ancak otomatik makinelerce yap›lan fliflelemede, flifle içerisindeki so-

da miktar› bazen 12 cl’den çok ya da az olabilmektedir. Firmaca üretilen

sodalar›n incelenmesinde flifle içindeki soda miktar›n›n 12 cl ortalama ve

0.015 cl standart sapmayla normal da¤›ld›¤› bulunmufltur.

a) Rassal seçilen bir flifle içerisindeki soda miktar›n›n 11.97 ile 11.99 cl

aras›nda olma olas›l›¤› nedir ?

b) fiiflelerin 12.02 ile 12.07 cl aras›nda, soda bulundurma yüzdesi nedir?

x = 60 için z = 60-55

4= 1.25


Ö R N E K 1 2

0.50 + 0.3944 = 0.8944

x

0z

0.50

55

1.25

0.3944

60 fiekil 6.39 x = 60 noktas›n›n solundaki alan.

Ö R N E K 1 3



Ç Ö

Z Ü M X rassal de¤iflkeni flifle içerisindeki soda miktar›n› göstermekte, m = 12 cl ve s =

0.015 cl ile normal da¤›lmaktad›r.a) Daha önceki örneklerde oldu¤u gibi ilk olarak verilen x de¤erleri z de¤erleri-ne dönüfltürülür.

Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi, ortalaman›n solundaki iki alan›n fark› al›-narak, istenen olas›l›k de¤eri bulunur.

P (11.97 ≤ x ≤ 12.00) = P (-2.00 ≤ z ≤ 0.00) = 0.4772P (11.99 ≤ x ≤ 12.00) = P (-0.67 ≤ z ≤ 0.00) = 0.2486

P (11.97 ≤ x ≤ 11.99) = P (-2.00 ≤ z ≤ - 0.67) = 0.2286Sonuç olarak fliflelerin % 22.86’s›ndaki soda miktar›, 11.97 cl ile 11.99 cl aras›ndad›r.b) Yukar›daki fl›kka benzer biçimde z de¤erleri,

olarak bulunur ve afla¤›daki flekilden de anlafl›laca¤› gibi, ortalaman›n sa¤›ndakiiki alan de¤erinin fark› al›narak, sorunun cevab› elde edilir.

x = 12.02 için z = 12.02 - 12.000.015

= 1.33

x = 12.07 için z = 12.07 - 12.000.015

= 4.67

x = 11.97 için z = 11.97 - 12.000.015

= -2.00

x = 11.99 için z = 11.99 - 12.000.015

= -0.67

‹statist ik154

0.4772 - 0.2486 = 0.2286

x

0z

11.97

-2.00

11.90 12

-0.67

fiekil 6.40x = 11.97 ile x = 11.99 aras›ndaki alan.

0.5 - 0.4082 = 0.0918

x

0

z

12.02

1.33

12

4.67

12.07 fiekil 6.41x = 12.02 ile x = 12.07 aras›ndaki alan.



Ç Ö Z Ü M

P (12.00 ≤ x ≤ 12.02) = P (0.00 ≤ z ≤ 1.33) = 0.4082P (12.00 ≤ x ≤ 12.07) = P (0.00 ≤ z ≤ 4.67) = 0.5000P (12.02 ≤ x ≤ 12.07) = P (1.33 ≤ z ≤ 4.67) = 0.0918

Sonuç olarak fliflelerin % 9.18’inde 12.02 cl ile 12.07 cl soda vard›r.

Hesap makinesi üreten bir firma, üretti¤i aletlerin ömürlerinin 54 ay or-

talama ve 8 ay standart sapmayla normal da¤›l›m gösterdi¤ini bulmufl-

tur. Firma yetkilileri bir kampanya bafllatarak ilk 36 ay içerisinde ar›za-

lanan hesap makinelerini yenisiyle de¤ifltirme yükümlülü¤üne girmifltir.

Rassal sat›lan bir hesap makinesinin yenisyle de¤ifltirilme olas›l›¤› nedir?

Bu örnekte m = 54 ve s = 8 ayd›r. Verilmifl olan x = 36 ay de¤erinin z cinsin-den de¤eri,

dir. Afla¤›daki flekilden de anlafl›laca¤› gibi,

P (x < 36) = P (z < – 2.25) = 0.50 – 0.4878 = 0.0122

de¤erinden sat›lan bir hesap makinesinin yenisiyle de¤ifltirilme olas›l›¤›n›n % 1.22oldu¤u bulunur.

1. X rassal de¤iflkeni bir maratonun koflulma süresi olmak üzere, 195 dakika ortalama

ve 21 dakika standart sapmayla normal da¤›l›m göstermektedir. Bu maratona kat›lan

bir atlet rassal seçildi¤inde bu atletin maratonu;

a) 150 dakikadan önce tamamlam›fl olma,

b) 205 ile 245 dakika aras›nda tamamlam›fl olma,

olas›l›klar›n› bulunuz.

x = 36 için z = 36 - 548

= -2.25


Ö R N E K 1 4

0.50 - 0.4878 = 0.0122

x

0

z

-2.25

36 54 fiekil 6.42x = 36 ’n›n solundaki alan.

SIRA S ‹ZDE



Ç Ö Z Ü M

2. ABD’de ilkö¤retim okullar›nda görev yapan ö¤retmenlerin y›ll›k maafllar›; 35.104 do-

lar ortalama ve 3.200 dolar standart sapmayla normal da¤›l›m göstermektedir. Bu

gruptan rassal seçilen bir ö¤retmenin,

a) 38.700 dolardan çok kazanmas›,

b) 32.625 ile 38.830 dolar aras›nda kazanmas›,

olas›l›klar›n› bulunuz.

3. ‹stanbul-Ankara otoyolunu kullanan özel otomobillerin h›zlar› saatte; 69 mil ortalama

ve 3.5 mil standart sapmayla normal da¤›lmaktad›r. Bu otoyolu kullanan özel otomo-

billerden;

a) Saatte 61 – 66 mil yapanlar›n,

b) Saate 65 – 74 mil yapanlar›n,

yüzdelerini bulunuz.

NORMAL DA⁄ILIM E⁄R‹S‹ ALTINDAK‹ ALANB‹L‹N‹YORKEN z VE x DE⁄ERLER‹N‹N BULUNMASI

Normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan biliniyor Z ve X de¤erlerini

belirleyebileceksiniz.

Buraya kadar ele al›nan kesimlerde, verilen bir z ya da x aral›¤›na düflen (normalda¤›l›m e¤risi alt›ndaki) alan›n bulunmas› konu edildi. Burada ise tersi bir durumele al›nacak; normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan biliniyorken, bu alan› s›n›rlayanz ya da x de¤erlerinin bulunmas› ele al›nacakt›r.

Standart normal e¤ri alt›nda 0 ile bir z de¤eri aras›nda kalan alan 0.4251

dir. Bu alan›n üst s›n›r› olan pozitif z de¤erini bulunuz.

Afla¤›daki flekilde de görülece¤i gibi, verilen alan, sa¤ tarafta 0 ile z s›n›rlar› ara-s›ndad›r ve de¤eri 0.4251 dir.z de¤erinin bulunmas›nda da yine, Ek 1.’de verilen standart normal da¤›l›m tab-losundan yararlan›lacakt›r. Yukar›daki örneklerde verilen, bir z de¤erine karfl›l›kgelen alan›n bulunmas›nda, tablonun ilk sütunundaki tam say›yla kesir noktas›n›nsa¤›ndaki ilk say›ya ve tablonun ilk sat›r›ndan ya kesir noktas›n›n sa¤›ndaki ikin-

ci say›ya bak›l›yordu. Burada yaönce, tablo içerisinden verilen alande¤eri bulunacak, daha sonra yada o de¤erin bulundu¤u sat›r vesütun bafllar›ndaki z de¤eri yaz›larak istenen z de¤eri elde edi-lecektir.Bu örnekte 0.4251 de¤eri, tablo içe-

risinden bulunduktan sonra, bu de¤erin sat›r bafl›nda 1.4, sütun bafl›ndaysa 0.04de¤erleri kaydedilir. Bu iki de¤erin birlefltirilmesi sonucunda aranan z de¤eri(1.44 olarak) elde edilir.

‹statist ik156

SIRA S ‹ZDE

A M A Ç

2

Ö R N E K 1 5

0.4251

zz0

fiekil 6.43z de¤erinin bulunmas›.



Ç Ö Z Ü M

Ç Ö Z Ü M

Standart normal da¤›l›m e¤risi alt›nda, sa¤ uçtaki (kuyruk) 0.005 alan›n›

belirleyen z de¤erini bulunuz.

Burada verilen alan, sa¤ uçta yer alan bir aland›r. Yani alan›n üst s›n›r› belirsiz(sonsuz) olaca¤› için, alt s›n›r›n bulunmas› gerekir. Ancak, daha önce de belirtil-di¤i gibi, Ek 1.’de verilen normal da¤›l›m tablosundaki alan de¤erleri, ortalama(z = 0) ile verilen z de¤erleri aras›ndad›r. Bu nedenle öncelikle da¤›l›m›n sa¤›nda yer alan bu noktayla z = 0 noktas› aras›ndaki alan›n bilinmesi gerekir. Normalda¤›l›m›n simetrik olmas› ve ortalaman›n sa¤›ndaki toplam alan›n 0.5 oldu¤u bil-gilerinden hareketle, 0 ile z noktas› aras›ndaki alan,

0.5000 – 0.0050 = 0.4950

olarak bulunur.

Tablo içerisindeki alan de¤erleri ara-s›ndan 0.4950 de¤eri yaklafl›k ola-rak (0.4949 ve 0.4951)belirlenir veiliflkin z de¤eri 2.58 (ya da 2.57)ola-rak elde edilir. Sonuç olarak z = 2.58noktas›n›n sa¤›nda kalan alan, top-lam alan›n 0.005’idir.

Standart normal e¤ri alt›nda sol uçtaki 0.05 alan›n›n z de¤erini bulunuz.

Bir önceki örnekte oldu¤u gibi, burada da ortalaman›n sol ucunda yer alan biralan verilmifltir. Bu alan›n sol taraf›ndaki nokta belirsiz olup sa¤ taraf›ndaki nok-tan›n bulunmas› gerekir. Yine ortalamayla aranan nokta aras›ndaki alan buluna-rak çözüme ulafl›lacakt›r.Söz konusu alan,

0.500 – 0.050 = 0.450

dir ve bu alan› soldan s›n›rlayan nokta, (z de¤eri)–1.65 olarak (yaklafl›k de¤er)elde edilir.

Önceki alt bölümlerde, standart nor-mal olmayan, normal da¤›l›m e¤risialt›nda verilen x noktalar› aras›ndakalan alan›n bulunmas›nda, m ve s

de¤erlerinden yararlan›larak verilenx de¤erine karfl›l›k gelen z de¤erle-ri bulunmufl ve standart normal da-¤›l›m tablosu kullan›larak çözümeulafl›lm›flt›. Buradaysa ise z = (x -m) / s eflitli¤i kullan›larak, yani, m ve s de¤erleri bilinen ve alan de¤eri verilmiflnormal da¤›l›m›n x de¤erinin bulunmas› ele al›nacakt›r.


Ö R N E K 1 6

0.005

zz0

0.4950

bulunacak de¤er

fiekil 6.44z de¤erinin bulunmas›.

Ö R N E K 1 7

0.05

zz 0

0.4500

bulunacak de¤er

fiekil 6.45z de¤erinin bulunmas›.



Ç Ö Z Ü M

NORMAL DA⁄ILIM ‹Ç‹N B‹R x DE⁄ER‹N‹N BULUNMASIm ve s de¤erleri, bilinen bir normal e¤ri alt›nda, ortalamayla x noktas› aras›nda-ki alan için x de¤eri,

x = m + z s

biçiminde bulunur.

Bir firma taraf›ndan üretilen hesap makinelerinin ömürleri 54 ay ortala-

ma ve 8 ay standart sapmayla normal da¤›lmaktad›r. Firma yetkilileri sa-

t›fllar› art›rmak için bir garanti süresi uygulamak istemektedir. Ancak

garanti kapsam›nda de¤ifltirilecek hesap makinesinin, toplam sat›fl›n %

1’inden daha fazla olmas›n› da istenmemektedir. Garanti uygulanacak bu

süreyi bulunuz.

Afla¤›daki flekilde de görülece¤i gibi, normal da¤›l›m›n parametreleri (m = 54 ay ve s = 8 ay olarak) bilinmektedir. Burada istenen, hesap makinesi sat›n alanlarauygulanacak garanti süresinin bulunmas›d›r.

‹lk olarak ortalamayla veri-len nokta aras›ndaki alan0.5000 – 0.0100 = 0.4900 el-de edilir. Ek 1.’de verilentablodanda bu alan de¤eri-

ne karfl›l›k gelen z = – 2.33de¤eri bulunur ve yukar›da verilmifl olan eflitlik kullan›-larak aranan x de¤eri,

x = m + z s = 54 + (– 2.33) (8) = 54 – 18.64 = 35.36

elde edilir. Sonuç olarak üretici firma (yaklafl›k olarak) 35 aydan önce kullan›md›fl› kalan hesap makinelerini garanti kapsam›na al›p, yenisiyle de¤ifltirmeyi ka-bul ederse, toptan sat›fl›n sadece % 1’ini de¤ifltirecektir.

Bilgin Fen Lisesinin, ö¤renci seçmek amac›yla, geçen y›llarda uygulad›¤›

s›nav sonuçlar›n›n 904 puan ortalama ve 153 puan standart sapmayla

normal da¤›ld›¤› ve bu lisenin yöneticilerinin her y›l yap›lan s›nav sonu-

cunda ilk % 10’a giren ö¤rencilerin kayd›n› yapt›¤› bilinmektedir. Bilgin

Fen Lisesi s›nav›na haz›rlanan Arif H›rsl›’n›n (puanlar›n geçen y›llarla

ayn› olaca¤› varsay›m› alt›nda)bu liseye girebilmesi için en az kaç puan

almas› gerekir?

‹statist ik158

Ö R N E K 1 8

0.01

xx m = 54

0.4900

bulunacak de¤er

0-2.33z

fiekil 6.46 z de¤erinin bulunmas›.

Ö R N E K 1 9



Ç Ö Z

Ü M

x rassal de¤iflkeni, m = 904 ve s = 153 parametreleriyle normal da¤›l›m göster-mektedir. Burada istenen, ortalaman›n sa¤ ucunda yer alacak % 10 ‘luk alan›n alts›n›r›n›n belirlenmesidir. Bu s›n›rla ortalama aras›ndaki alan 0.5000 – 0.1000 =0.4000 olaca¤›ndan bu alana karfl›l›k gelen z de¤eri (tablodan) 1.28 bulunur.

Bu de¤er eflitlikte yerine kona-rak, aranan x de¤eri,

x = m + z s = 904 + (1.28) (153)= 904 + 195.84 @ 1100

olarak bulunur. Yani, Arif H›rs-l›’n›n Bilgin Fen Lisesine girebil-

mesi için, en az 1100 puan al-mas› gerekmektedir.

1. Standart normal e¤ri alt›nda afla¤›daki alanlar› veren z de¤erlerini bulunuz.

a) 0 ile aras›nda 0.4772 alan olan pozitif z de¤eri.

b) 0 ile aras›nda 0.4785 alan olan negatif z de¤eri.

c) Sol uçtaki 0.3565’lik alan.

d) Sa¤ uçtaki 0.1530’luk alan.

2. Standart normal e¤ri alt›nda, afla¤›daki alanlar› veren z de¤erlerini bulunuz.

a) Sa¤ uçtaki 0.0500’lik alan.

b) Sol uçtaki 0.0250’lik alan.

c) Sol uçtaki 0.0100’lik alan.

d) Sa¤ uçtaki 0.0050’lik alan.

3. X sürekli rassal de¤iflkeni 200 ortalama ve 25 standart sapmayla normal da¤›lmaktad›r.

a) Normal e¤ri alt›nda, solunda yaklafl›k 0.6330’luk alan bulunan x de¤erini bulunuz.

b) Normal e¤ri alt›nda, sa¤›nda yaklafl›k 0.05’lik alan bulunan x de¤erini bulunuz.

c) Normal e¤ri alt›nda, sa¤›nda 0.8051’lik alan bulunan x de¤erini bulunuz.

d) Normal e¤ri alt›nda, solunda 0.0150’lik alan bulunan x de¤erini bulunuz.

e) Normal e¤ri alt›nda, m ile aras›nda 0.4525’lik alan bulunan m ‘den küçük x de-

¤erini bulunuz.f) Normal e¤ri alt›nda, m ile aras›nda 0.4800’lik alan bulunan m ‘den büyük x de¤e-

rini bulunuz.


%10

xxm = 904

0.4000

bulunacak de¤er

0 1.28z

fiekil 6.47 z de¤erinin bulunmas›.

SIRA S ‹ZDE



B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMI

Binom ve normal da¤›l›m aras›ndaki iliflkiyi aç›klayabileceksiniz.

Bir önceki bölümde binom da¤›l›m›yla ilgili verilenler hat›rlanacak olursa,1. Binom da¤›l›m› kesikli rassal de¤iflkenlere uygulanmaktad›r,2. Binom deneyinin her tekrar›nda; baflar› ve baflar›s›zl›k olarak adland›r›lan iki

olas› sonuç bulunmaktad›r,3. ‹ki olas› sonuca iliflkin olas›l›klar her tekrar için ayn›d›r,4. Denemeler birbirinden ba¤›ms›zd›r,biçimindedir n denemede x baflar›l› sonuç elde etme olas›l›¤›, afla¤›daki binomformülüyle hesaplanmaktad›r.

n deneme say›s›n›n çok büyük olmas› durumunda, binom formülüyle olas›l›khesaplamak oldukça güç oldu¤undan, böylesi durumlarda, binom formülüyle bu-lunacak kesin olas›l›k de¤erleri yerine, normal da¤›l›mdan yararlanarak, yaklafl›kolas›l›klar elde edilebilmektedir. Ancak, n çok büyük ve p olas›l›k de¤erinin de0.5’e yak›n olmas› durumunda, normal da¤›l›mdan elde edilen yaklafl›k olas›l›kde¤erleri de kesin de¤erlere eflit olmaktad›r. Çünkü p = 0.5 olmas› durumunda bi-nom da¤›l›m› da simetrik oldu¤undan, yine simetrik bir da¤›l›m olan normal da-¤›l›ma, daha çok benzeyecektir.

B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMIn . p > 5 ve n . q > 5 olmas› durumunda, binom da¤›l›m›na yaklafl›m amac›yla,normal da¤›l›m kullan›labilmektedir.

Afla¤›daki tablo ve flekilden de görülece¤i gibi n = 12 ve p = 0.5 (n . p > 5 ven . q > 5 )için binom da¤›l›m›n›n biçimi, normal da¤›lma çok yak›n olmaktad›r.

P x =nx p

x

qn - x

‹statist ik160

A M A Ç

3

x P (x )

0 0.0002

1 0.0029

2 0.01613 0.0537

4 0.1208

5 0.1934

6 0.2256

7 0.1934

8 0.1208

9 0.0537

10 0.0161

11 0.0029

12 0.0002

Tablo 6.2 n = 12 ve p = 0.5 için Binom Olas›l›k Da¤›l›m›

fiekil 6.48 n = 12 ve p = 0.5 için binom olas›l›k da¤›l›m›n›n histogram›.

0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

P(x)



Ç Ö Z Ü M

Bir araflt›rmaya göre Ankara’da yaflayan eriflkinlerin % 50’sinin en az bir

kredi kart› bulunmaktad›r. Bu gruptan rassal seçilen 30 eriflkinden 19 ta-

nesinde en az bir kredi kart› bulunmas› olas›l›¤› nedir?

Bu soruda istenen olas›l›k de¤eri binom formülü kullan›larak bulunabilir. Çünküörnekte,

n = 30, p = 0.5; x = 19, q = 1 – p = 1 – 0.5 = 0.5 ve n – x = 30 – 19 = 11

dir. Bu de¤erler formülde yerine konacak olursa,

de¤eri elde edilir. Ayr›ca bu örnekte n p = 30 (0.5)= 15 ve n q = 30 (0.5)= 15oldu¤u için, istenen olas›l›k de¤eri normal da¤›l›m yard›m›yla da elde edilebil-mektedir. Bu yaklafl›mda üç aflama izlenmektedir.

Aflama 1. Binom da¤›l›m› için m ve s ‘nin hesaplanmas›d›r.Normal da¤›l›m›n kullan›labilmesi için da¤›l›m›n ortalama ve standart sapmas›n›nbilinmesi gerekir. Binom da¤›l›m› için bu parametreler,

biçiminde bulunur.

Aflama 2. Kesikli rassal de¤iflkenin sürekli bir rassal de¤iflkene dönüfltürülmesidir.Binom da¤›l›m› kesikli rassal de¤iflkenlere, normal da¤›l›ma sürekli de¤iflkenlereuygulanan da¤›l›mlard›r. Bu nedenle binom da¤›l›m›n›n normal da¤›l›ma yaklafl›-m›n› sa¤lamak amac›yla “süreklilik düzeltmesi” yap›lmaktad›r.

SÜREKL‹L‹K ‹Ç‹N DÜZELTME FAKTÖRÜ Normal da¤›l›m›n binom da¤›l›m›na yaklafl›m›n› sa¤lamak için n denemede x ba-flar›l› sonuç say›s›na ± 0.5 de¤eri eklenir.

Verilen örnekte, x = 19 oldu¤u için, süreklilik düzeltmesi sonucunda 18.5 ve 19.5de¤erleri elde edilir. Bu durumda, binom da¤›l›m›nda P (x = 19)olas›l›k de¤eri ye-rine, normal da¤›l›mda P (18.5 ≤ x ≤ 19.5) olas›l›k de¤eri bulunacakt›r.

Aflama 3. Normal da¤›l›m kullan›larak istenen olas›l›¤›n hesaplanmas›d›r.Daha önceki örneklere benzer biçimde standart normal da¤›l›m tablosundan ya-rarlanabilmek için, x s›n›r de¤erlerine karfl›l›k gelen z de¤erlerinin bulunmas› ge-rekir.

x = 18.5 için z = 18.5 - 152.7386

= 1.28

x = 19.5 için z = 19.5 - 152.7386

= 1.64

m = n . p = 30 0.5 = 15

s = n . p . q = 30 0.5 0.5 = 2.7386

P x = 19 = 3019

0.5 19 0.5 11 = 0.0509


Ö R N E K 2 0



Ç Ö Z Ü M

z de¤erinin bulunmas›n›n ard›ndan iki alan de¤eri bulunur ve büyük alandan kü-çük alan ç›kart›larak aranan olas›l›k de¤erine ulafl›l›r.

P (0 ≤ z ≤ 1.64) = 0.4495 ;P (0 ≤ z ≤ 1.28) = 0.3997P (1.28 ≤ z ≤ 1.64) = 0.4495 – 0.3997 = 0.0498

Normal da¤›l›m yaklafl›m› sonu-cunda elde edilen (yaklafl›k) ola-s›l›k de¤eriyle binom formülün-den elde edilmifl olan kesin olas›-l›k de¤erleri aras›nda (0.0509 – 0.0498 = 0.0011) çok küçük birfark bulunmaktad›r ve bu fark da

ihmal edilebilecek düzeydedir.Süreklilik düzeltmesi, hep normalda¤›l›m yaklafl›m›n›n kullan›lma-

s›nda uygulanmaktad›r. Yukar›da eflitlik durumda süreklilik verilmiflti. Ancak; ba-zen binom da¤›l›m›nda istenen olas›l›k bir aral›k olabilece¤i gibi, eflitsizlik durum-lar› da olabilmektedir. Örne¤in P (7 ≤ x ≤ 12) olas›l›k de¤erinin normal da¤›l›m yaklafl›m›nda aranan olas›l›k de¤eri P (6.5 ≤ x ≤ 12.5), P (x ≥ 9) için P (x≥ 8.5) ve P (x ≤ 10) içinse P (x ≤ 10.5) olarak bulunmaktad›r.

Yap›lan bir pazar araflt›rmas› neticesinde, çamafl›r makinesi kullanan ev

han›mlar›ndan % 63’ünün yerli mal› çamafl›r makinesini tercih ettikleri

bulunmufltur. Bu gruptan, rassal seçilen 100 ev han›m›ndan, 55 – 60 tane-

sinin, yerli mal› çamafl›r makinesi tercih etme olas›l›¤›n› bulunuz.

‹ki sonuçlu (binom) bu deneyde,

n = 100 ; p = 0.63 , q = 1 – p = 1 – 0.63 = 0.37

dir ve istenen olas›l›k P (55 < x < 60) ‘dir. Burada n p > 5 ve n q > 5 olma-s› nedeniyle istenen olas›l›k de¤eri, normal da¤›l›m yaklafl›m›yla bulunabilir. An-cak; burada aranacak olas›l›k P (54.5 ≤ x ≤ 60.5) biçimindedir.

‹lk olarak m ve s de¤erleri hesaplanacak olursa,

biçimindedir. Daha sonra gerekli z de¤erleri hesaplan›r.

x = 54.5 için z = 54.5 - 634.8280

= -1.76

x = 60.5 için z = 60.5 - 634.8280

= -0.52

m = n p = 100 0.63 = 63

s = n p q = 100 0.63 0.37 = 4.8280

‹statist ik162

x

0 z

18.5 19.515

1.28 1.64

fiekil 6.49 x = 18.5

ve x = 19.5 aras›ndaki alan.

Ö R N E K 2 1



Ç Ö Z Ü M

Bu de¤erlerin kullan›m› sonu-cunda ortalaman›n solunda yeralan iki alan bulunur ve büyükalandan küçük alan›n ç›kart›l-mas› sonucunda istenen olas›-l›k de¤erine ulafl›l›r.

P (–1.76 ≤ z ≤ 0) = 0.4608P (–0.52 ≤ z ≤ 0) = 0.1985P (–1.76 ≤ z ≤ – 0.52) = 0.2623

18 yafl›n üzerindeki nüfusu hedef alan bir kamuoyu araflt›rmas› sonucunda, milli piyangodan ikramiye ç›kaca¤›na inananlar›n oran› % 54 olarak

bulunmufltur. Bu kitleden rassal seçilen 100 kifliden 60 ya da daha fazla

kiflinin piyangodan ikramiye ç›kaca¤›na inanmas› olas›l›¤›n› bulunuz.

Yukar›daki örneklerde oldu¤u gibi, binom deneyine uyan bu deney de, normalda¤›l›m yaklafl›m›yla çözülebilir.

Bu de¤erlerden yararlanarak P (x≥ 59.5)olas›l›k de¤eri standart nor-mal da¤›l›m tablosundan elde edi-lir.

P (x ≥ 59.5) = P (z ≥ 1.10) = 0.5 – P (z < 1.10) = 0.5 – 0.3643 = 0.1357

1. Hangi koflullarda normal da¤›l›m binom da¤›l›m›na yaklafl›m amac›yla kullan›l›r?

2. Bir binom da¤›l›m›nda n = 25 ve p = 0.40 olarak verilmifltir.

a) Binom formülünü kullanarak P (8 ≤ x ≤ 12 ) de¤erini bulunuz.

b) Normal da¤›l›m yaklafl›m›ndan yararlanarak P (8 ≤ x ≤ 12) de¤erini bulunuz.

3. Bir binom da¤›l›m› için n = 120 ve p = 0.60 ‘d›r. x 120 denemedeki baflar›l› sonuç

say›s›n› göstermek üzere;

a) Binom da¤›l›m›n›n ortalama ve standart sapmas›n› bulunuz.

b) Normal da¤›l›m yaklafl›m›yla P (x ≤ 70) de¤erini bulunuz.

c) Normal da¤›l›m yaklafl›m›yla P (67 ≤ x ≤ 71) de¤erini bulunuz.

n = 100 ; p = 0.54 , q = 1 - p = 1 - 0.54 = 0.46

m = n p = 100 0.54 = 54

s = n p q = 100 0.54 0.46 = 4.9840


x

0z

6360.554.5

0.4608 - 0.1985 = 0.2623

-0.52-1.76

fiekil 6.50 x = 54.5 ve x = 60.5 aras›n- daki alan.

Ö R N E K 2 2

x

0z

59.554

%13.57

1.10

fiekil 6.51 x ≥ 59.5 ‘in olas›l›k de¤eri.

SIRA S ‹ZDE

x = 59.5 için z = 59.5 - 544.9840

= 1.70



‹statistik164

Kendimizi S›nayal›m1. Standart normal da¤›l›mda, 1.5 standart sapma s›-

n›rlar› (m

- 1.5s

vem

+ 1.5s

) aras›nda kalan alannedir?a. 0.0220

b. 0.4332

c. 0.8664

d. 0.8814

e. 0.9212

2. Z, standart normal da¤›lm›fl bir rassal de¤iflken

oldu¤una göre, P (z < -2.04) olas›l›¤› nedir?

a. 0.0207

b. 0.0603

c. 0.0968d. 0.1841

e. 0.2178

3. Z, standart normal da¤›lm›fl bir rassal de¤iflken

oldu¤una göre, P (z > -0.78) olas›l›¤› nedir?

a. 0.4713

b. 0.7823

c. 0.8234

d. 0.8873

e. 0.9564

4. X, sürekli rassal de¤iflken, m = 25 ve s = 6 olmak üze-

re normal da¤›lm›flt›r. Bu bilgilere göre, P(22 < x < 33)

olas›l›¤› nedir?

a. 0.2178

b. 0.3336

c. 0.4599

d. 0.5564

e. 0.5997

5. X, sürekli rassal de¤iflkeni, ortalamas› 100 ve varyans›

225 olmak üzere normal da¤›lm›flt›r. Bu bilgilere göre, P

(115 < x < 130) olas›l›¤› nedir?

a. 0.0437

b. 0.0948

c. 0.1056

d. 0.1359

e. 0.1443

6. Tek tip vida üreten otomatik makinelerden üretilen vi-

dalar›n boylar›; ortalamas› 3.0 cm. ve standart sapmas› da

0.009 cm. olmak üzere normal da¤›lmaktad›r. Üretilen vi-

dalar›n boyu 2.98 cm.’ den k›sa olanlarla 3.02 cm.’ den

uzun olanlar kusurlu olduklar› için kullan›lmamaktad›r.

Bu makinede üretilen vidalar›n yüzde kaç› kusurludur?

a. 1.17

b. 2.10

c. 2.64

d. 3.00

e. 3.15

7. Bir A bölgesinde 20 000 konuta iliflkin ayl›k elektrik

enerjisi tüketimi, ortalamas› 1 650 kilovat saat ve standart

sapmas› da 320 kilovat saat olmak üzere normal da¤›l-maktad›r.

Bu bölgede kaç konutun elektrik tüketim miktar›n›n 900

- 1.300 kilovat saat aras›nda olmas› beklenir?

a. 1.854

b. 2.566

c. 2.700

d. 2.850

e. 3.204

8. Otomobillerin ya¤ de¤iflimini yapan bir servis istasyo-

nunda servis süresinin, ortalamas› 15 dakika ve standart

sapmas› da 2.4 dakika olmak üzere normal da¤›ld›¤› bi-

linmektedir. Servis sorumlusu, daha çok müflteri çekebil-

mek amac›yla, bir kampanya bafllatmak istemektedir.

Kampanya süresince, belirlenen süreden fazla bekleyen

müflterilerden servis ücretinin yar›s› al›nacakt›r. Ancak,

servis maliyeti dikkate al›narak, yar› ücret al›nacak müfl-

teri say›s›n›n, toplam müflteri say›s›n›n % 5’ inden fazla

olmas› istenmektedir. Buna göre öngörülecek bekleme

süresi kaç dakikad›r?

a. 12

b. 15

c. 19d. 22

e. 25




9. Yap›lan bir anket sonucunda belirli bir bölgedeki aile

reislerinin 0.90 ’›n›n kendilerini ekonomik yönden fakir

gördükleri belirlenmifltir.

Bu bölgeden rasgele seçilen 400 aile reisinden 355 ya da

daha fazlas›n›n kendini fakir görme olas›l›¤› nedir?

a. 0.1427

b. 0.2218

c. 0.3715

d. 0.5219

e. 0.8212

10. Bilgisayar yan ürünleri üreten A firmas›, bilgisayar

üreten B firmas›na, ürünlerini 2 000 birimlik partiler ha-

linde göndermektedir. B firmas›, gelen her partiden rast-

gele 100 birimi incelemekte ve üretici firman›n en çok %5 ar›zal› birim garantisine karfl›l›k 7 ya da daha fazla bi-

rimin ar›zal› ç›kmas› durumunda partiyi iade etmektedir.

Yeni gönderilecek partinin B firmas›nca kabul edilme ola-

s›l›¤› nedir?

a. 0.4217

b. 0.5314

c. 0.5819

d. 0.6741

e. 0.7549

Yan›t Anahtar›1. c

2. a

3. b

4. e

5. d

6. c

7. b

8. c

9. e

10. e

Yararlan›lan KaynaklarHOEL, P.G. and Jessen, R.J.: Basic Statistics for Business

and Economics, Wiley, New York, 1971.

MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2nd Edition, Wiley,

New York, 1995.

O’HAGAN, A.: Probability: Metods and Measurement,

Chapman and Hall, London, 1988.

WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: ‹ntroductory

Statistics, 4th Edition, Wiley, Singapore, 1985.

Y oksul ve e¤itimsiz bir ailenin çocu¤u olan Gauss 25 yafl›ndan önce, matematik ve astro-

nomi alan›ndaki çal›flmalar›yla ün kazanm›flt›r. Say›lara ve hesaplamaya karfl› erken yaflla-

r›ndaki tutkusu, cebir, analiz, geometri, olas›l›k, hata teorisi, astronomi, haritalama, jeodezi,

jeomagnetizma, elektromagnetizma ve aktüerya gibi farkl› dallarda baflar› kazanmas›na

neden olmufltur.

Gauss, tüm zamanlar›n en büyük bilim ustas› olarak gösterilmektedir.

GAUSS (1777-1855)



Documents

istatistik unite06