istatistik unite02

8/3/2019 istatistik unite02

http://slidepdf.com/reader/full/istatistik-unite02 1/24

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak

• Ünite dikkatle gözden geçirilmeli,• Örnekler dikkatle incelenmelidir.

11

‹statistik Serileri(Frekans Da¤›l›mlar›)2



Amaçlar

Gözlem de¤erlerinden hareketle istatistik serileri oluflturabileceksiniz.

‹statistik serilerinin grafiklerini çizebileceksiniz.

‹çerik Haritas›

• G‹R‹fi

• SER‹ TÜRLER‹

• Zaman ve Mekan Serileri

• Da¤›lma Serileri

• Birikimli Seriler

• Bileflik Seriler

• SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹

• Frekans Serilerinin Grafikle Gösterilmesi

• S›n›fland›r›lm›fl Serilerin Grafikle Gösterilmesi • Birikimli Serilerin Grafikle Gösterilmesi

• Bileflik Serilerin Grafikle Gösterilmesi

12 ‹statist ik



G‹R‹fiDerleme sonucunda elde edilen veriler, bir veri y›¤›n› oluflturur. Böyle bir y›¤›n-

dan belirlenen amaçlar do¤rultusunda ihtiyaç duyulan bilgilerin elde edilebilme-si, ancak verilerin belirli esaslara göre düzenlenmesiyle mümkün olur. Bunun için

de ilk akla gelen, verileri büyüklüklerine göre s›ralamakt›r. Böyle bir s›ralama so-

nucu elde edilen rakamlar dizisine, istatistik serisi ad› verilir.

Bir istatistik serisi gözlem amaçlar›na uygun de¤iflken ya da de¤iflkenlerin al-

d›klar› de¤erlerden (fl›klardan) olufltu¤u için ilgilenilen y›¤›n olay›n gerek yap›s›,

gerek de¤iflimlerine iliflkin ayr›nt›l› ipuçlar› içerir. Bu nedenle de istatistik serileri,

ilgili y›¤›n olay›n kavranmas› aç›s›ndan etkin bir araç olup, istatistik analizlere te-

mel oluflturur.

SER‹ TÜRLER‹

Gözlem de¤erlerinden hareketle istatistik serileri oluflturabile-

ceksiniz.

De¤iflik ölçütler temel al›narak istatistik serileriyle ilgili farkl› s›n›fland›rmalar yap-

mak mümkündür. Ancak bu ünitede, zaman serileri ayr› bir ünitede ele al›naca-

¤›ndan, zaman ve mekan serilerine k›saca de¤inilecek, da¤›lma serileri de yeterli

ayr›nt›yla ele al›nacakt›r.

Zaman ve Mekan Serileri

E¤er gözlem sonuçlar› y›l, ay, hafta, gün ya da saat gibi bir zaman de¤iflkenininfl›klar›na göre s›ralan›rsa, oluflturulan seriye “zaman serisi” ad› verilir. Y›llara göre

ülke nüfuslar› ve belirli bir noktada günün saatlerine göre trafik yo¤unlu¤u, bu tür

serilere örnek olarak gösterilebilir. Afla¤›daki tabloda, zaman serilerine örnek ola-

rak, Eskiflehir ilindeki aylara göre ortalama s›cakl›klar verilmifltir:

Aylar Ortalama S›cakl›k (C°)

OCAK -1.5

fiUBAT 1.3

MART 4.9

N‹SAN 10.4

MAYIS 15.1

HAZ‹RAN 18.8

TEMMUZ 21.4

A⁄USTOS 21.2

EYLÜL 17.1

EK‹M 12.0

KASIM 6.7

ARALIK 2.2

Ünite 2 - ‹statist ik Seri ler i (Frekans Da¤› l ›mlar› ) 13

A M A Ç

1

Genifl anlamda istatistikserileri, gözlem de¤erlerininbüyüklüklerine göres›ralanmas›yla oluflturulur.

Tablo 2.1 Eskiflehir ilindeki aylara göre ortalama s›cakl›klar (72 y›ll›k gözlem ortalamalar›).

Kaynak: Türkiye

‹statistik Y›ll›¤› 2000.



E¤er gözlem sonuçlar› ülke, bölge, flehir ya da köy gibi bir mekan (yer) de¤ifl-

keninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa, elde edilen seriye “mekan serisi” ad› verilir. fie-

hirlere göre elektrik tüketimi, bölgelere göre tah›l üretimi bu tür serilere örnek

olarak gösterilebilir.

Afla¤›daki tabloda, mekan serisine örnek olarak, baz› illerin denizden yüksek-

likleri verilmifltir:

‹ller Denizden

Yükseklik (m)

ANKARA 891

BALIKES‹R 147

ÇANAKKALE 6

D‹YARBAKIR 677

ESK‹fiEH‹R 801

GAZ‹ANTEP 855

‹ZM‹R 29

KARS 1755

MU⁄LA 646

R‹ZE 9

S‹VAS 1285

TRABZON 30

VAN 1661

ZONGULDAK 137

Da¤›lma SerileriGözlem sonuçlar›n›n maddesel bir de¤iflkenin fl›klar›na göre s›ralanmas›yla olufl-

turulan serilere, “da¤›lma serileri” ad› verilir. Da¤›lma serileri ana çizgileriyle nicel

ve nitel da¤›lma serileri olmak üzere ikiye ayr›l›r. Ancak bu ünitede, ifllemlere el-

veriflli olmas› nedeniyle sadece nicel da¤›lma serileri ele al›nacakt›r. Nicel da¤›lma

serileri de basit seriler (diziler), frekans serileri ve s›n›fland›r›lm›fl (grupland›r›lm›fl)

seriler olmak üzere üç alt bafll›k alt›nda incelenebilir.

E¤er derlenen veriler ilgilenilen konunun d›fl›nda baflka bir yönde, örne¤in;

gözlem s›ras›na göre s›ralanm›flsa, bu s›ralamaya “liste” ad› verilir. Aç›kt›r ki, der-

lenen verilerden ihtiyaç duyulan bilgilerin bir liste yard›m›yla elde edilmesi veri

say›s› artt›kça giderek zorlafl›r. Çünkü, her aflamada listedeki sonuçlar›n tekrar

tekrar gözden geçirilmesi gerekir.

Konunun kolayl›kla anlafl›labilmesi için, derlenen verilerden hareketle s›ras›y-

la basit, frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerin elde edilmeleri afla¤›daki örnek temel

al›narak gösterilecektir.

14 ‹statist ik

Tablo 2.2 Baz› illerin denizden

yükseklikleri.

Kaynak: Türkiye ‹statistik Y›ll›¤› 2000.

E¤er gözlem sonuçlar›, birzaman de¤iflkenininfl›klar›na göre s›ralan›rsazaman, mekan de¤iflkenininfl›klar›na göre s›ralan›rsamekan, zaman ve mekande¤iflkenlerinin d›fl›nda birde¤iflkenin fl›klar›na göres›ralan›rsa da¤›lma serilerielde edilir.



Ünite 2 - ‹statist ik Seri ler i (Frekans Da¤› l ›mlar› )

Ç Ö Z Ü

M

Tablo 2.3’de bir do¤um evinde do¤an 100 bebe¤in a¤›rl›klar›, do¤um s›ra-

s›na göre verilmifltir:

Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›kS›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg)001 2.0 026 3.0 051 2.3 076 1.8

002 2.5 027 2.0 052 2.8 077 2.8

003 2.6 028 3.3 053 2.5 078 2.7

004 1.7 029 3.5 054 2.7 079 2.8

005 2.6 030 2.6 055 1.7 080 1.9

006 2.8 031 3.5 056 2.7 081 3.0

007 2.5 032 1.7 057 2.0 082 2.5

008 1.5 033 2.8 058 3.0 083 2.7

009 2.5 034 3.1 059 2.4 084 3.2

010 2.7 035 2.3 060 2.2 085 2.6011 2.3 036 3.1 061 2.6 086 2.1

012 3.0 037 2.9 062 2.5 087 2.8

013 2.4 038 2.5 063 1.6 088 2.3

014 1.9 039 2.5 064 2,8 089 2.7

015 3.2 040 2.7 065 2.5 090 3.2

016 2.2 041 2.6 066 3.0 091 2.6

017 3.4 042 2.2 067 2.8 092 1.9

018 2.7 043 2.8 068 2.7 093 3.1

019 3.5 044 2.1 069 1.9 094 2.5

020 1.8 045 2.1 070 2.6 095 2.8

021 3.5 046 2.4 071 2,4 096 2.7

022 2.5 047 2,8 072 3.1 097 2.6023 2.8 048 2.5 073 2.2 098 2.5

024 2.3 049 2.7 074 3.1 099 2.9

025 2.9 050 2.6 075 2.5 100 2.3

Tablo 2.3’de do¤an bebeklerin a¤›rl›klar› do¤um s›ras›na göre kaydedildi¤inden,

oluflturulan tablo bir liste niteli¤indedir.

fiimdi bu listeden yararlanarak, 3.2 kg’›n üzerinde kaç bebe¤in do¤du¤u araflt›r›ls›n.

Verilen listenin incelenmesiyle gözlem (do¤um) s›ras›na göre, 017, 019, 021, 028,

029 ve 031’inci s›rada do¤an bebeklerin 3.2 kg’›n üzerinde oldu¤u görülür. Ancak

bu sonuca ulaflabilmek için, listenin en az bir kez bafltan sona kadar gözden ge-çirilmesi gerekir.

E¤er liste belirlenen amaçlar do¤rultusunda düzenlenirse, baflka bir anlat›mla

bir frekans da¤›l›m› oluflturulursa, istenilen sonuçlara daha k›sa zamanda ulafl›la-

bilir. Örne¤in 3.2 kg’dan daha a¤›r do¤an bebek say›s›na, tüm veriler gözden ge-

çirilmeden kolayl›kla ulafl›labilir. Böyle bir s›ralama sonucu elde edilen istatistik

serisine “basit seri” ad› verilir.

100 bebe¤in a¤›rl›klar› hafiften a¤›ra do¤ru s›ralanarak oluflturulan basit seri

afla¤›da Tablo 2.4’de verilmifltir.

15

Ö R N E K 1

Tablo 2.3 Bebek a¤›rl›klar› (kg) (Liste).



A¤›rl›k (kg)

1.5 1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2,8 2,9 3,1

1.6 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,21.7 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2

1.7 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2

1.7 2.1 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,3

1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.7 2,8 3,0 3,4

1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 3,1 3,5

Tablo 2.4 yard›m›yla, yap›lan gözlemler çerçevesinde en a¤›r do¤an bebekle-

rin say›s›n›n 4 oldu¤u bir bak›flta kolayl›kla görülebilir.E¤er en a¤›r do¤an bebekler de¤il de örne¤in 2 .5 kg do¤an bebeklerin say›s›yla

ilgilenilirse, 2.5 kg do¤an bebek say›s› tablodan tek tek say›larak elde edilebilecektir. Aç›kça görülebilece¤i gibi gözlem say›s› artt›kça, istenilen bilgilere ulaflmak da

giderek zorlaflacakt›r.Tablo 2.4 incelendi¤inde, gözlem de¤erlerindeki tekrarlar dikkat çekecektir.

Verilerin daha kolay kavranmas› aç›s›ndan, gözlem de¤erlerinin yan›na gözlem

de¤erinin kaç kez tekrarland›¤› kaydedilerek oluflturulan seriye “frekans serisi”,tekrarlara da “frekans” ad› verilir.

Tüm bu sözü edilenler do¤rultusunda oluflturulan frekans serisi afla¤›da verilmifltir:

A¤›rl›k (kg) Frekans X f 1.5 11.6 11,7 31.8 21.9 42.0 32.1 32.2 42.3 62.4 4

2.5 142.6 102.7 112.8 122.9 33,0 53.1 53.2 33.3 13.4 13.5 4

Toplam Frekans 100

16 ‹statist ik

Tablo 2.4 Bebek a¤›rl›klar› (Basit Seri).




Yukar›daki frekans serisinden, örne¤in 2.5 kg do¤an bebeklerin say›s›n›n 14

oldu¤u bir bak›flta görülebilmektedir.Frekans serilerinin basit serilere göre kavranmalar› daha kolay olmakla birlik-

te, yine de ayr›nt›l›d›r. Aç›kt›r ki, gözlem say›s› artt›kça bu tür serilerinde kavran-malar› giderek zorlafl›r.

Deney ya da gözlem say›lar› çok iken, deney ya da gözlem sonuçlar›n›n belir-li aral›klar (s›n›flar) içinde kalan fl›klara göre düzenlenmesiyle oluflturulan istatis-

tik serisine s›n›fland›r›lm›fl ya da grupland›r›lm›fl seri ad› verilir. Örne¤in bir do-

¤um evinde dünyaya gelen 100 bebe¤in a¤›rl›klar› için farkl› büyüklükteki s›n›fla-ra göre, afla¤›daki gibi frekans da¤›l›mlar› oluflturulabilir:

A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar (kg) f (kg) f

1.50 - 1.75 5 1.2 - 1 .7 2

1.75 - 2.00 6 1.7 - 2 .2 152.00 - 2.25 10 2.2 - 2 .7 38

2.25 - 2.50 10 2.7 - 3 .2 362.50 - 2.75 35 3.2 - 3 .7 9

2.75 - 3.00 15 1003.00 - 3.25 13

3.25 - 3.50 23.50 - 3.75 4

100

S›n›fland›r›lm›fl seriler oluflturulurken dikkat edilmesi gereken önemli bir nok-ta, e¤er sürekli bir de¤iflkene iliflkin gözlem de¤erleri s›n›fland›r›l›yorsa, her s›n›-f›n üst s›n›r›yla onu izleyen s›n›f›n alt s›n›r› aras›ndaki fark›n sonsuz küçük olacak

flekilde oluflturulmas› gere¤idir. Örne¤in yukar›daki s›n›fland›r›lm›fl serilerin ilkin-de 2.50 - 2.75 s›n›f› göz önüne al›ns›n. 2.50 dahil olmak üzere 2.75’den küçük tüm

gözlem de¤erleri bu s›n›f içinde, 2.75 dahil olmak üzere 3.00’den küçük tüm göz-lem de¤erleri de izleyen s›n›f içinde yer almal›d›r.

E¤er gözlem de¤erleri sürekli olmayan (kesikli) bir de¤iflkene iliflkinse, örne¤in

100 ö¤rencinin istatistik dersinden ald›¤› notlar afla¤›daki gibi s›n›fland›r›labilir:

Not S›n›flar› Frekanslar

(Puanlar) f 0-15 1

16-31 1032-47 33

48-63 3464-79 10

80-95 10

96 ve daha çok 2100

17



Ç Ö Z Ü M

Bir s›n›f›n alt ve üst s›n›rlar› aras›ndaki farka, “s›n›f aral›¤›” ya da “s›n›f büyük-

lü¤ü” ad› verilir ve h ile gösterilir. Yukar›daki not da¤›l›m› örne¤inde s›n›f büyük-lü¤ü 15 puand›r. Dikkat edilirse ayn› seride son s›n›f, 96 ve daha çok olarak yer

alm›flt›r. Bu durum en büyük puan›n 100 olmas›ndan kaynaklanm›flt›r. E¤er s›n›f-land›rmaya ayn› sistematikle devam edilmifl olsayd›, son s›n›f›n 96 - 111 biçimin-

de olmas› gerekirdi. Bafllang›ç ve bitifl s›n›rlar› belirtilmeyen bu tür s›n›flara “aç›ks›n›flar” denir. Aç›k s›n›flar›n kullan›lmalar› halinde, en küçük ya da en büyük de-

¤er bilinemeyece¤inden baz› hesaplamalarda ve grafik çizimlerinde güçlüklerle

karfl›lafl›lacakt›r. Herhangi bir zorunluluk olmad›kça, aç›k s›n›flar›n kullan›lmas›n-dan kaç›n›lmal›d›r.

Kuramda s›n›flar›n oluflturulmas›na iliflkin kesin bir kural yoktur. S›n›f say›s›n›do¤rudan araflt›rmac› belirler. Ancak s›n›f say›s›n›n, karfl›lafl›lan özel problemin

yap›s›na ve araflt›rman›n amaçlar›na uygun bir biçimde belirlenmesi gerekir.E¤er s›n›flama yap›l›rken s›n›f aral›¤› dar seçilirse, s›n›f say›s› artar ve frekans

da¤›l›m›n›n kavranmas› giderek zorlafl›r. Aksi durumdaysa, s›n›f say›s› azal›r. An-cak da¤›l›ma iliflkin baz› ayr›nt›lar gizli kal›r.

Uygulamalarda bir frekans da¤›l›m›na iliflkin s›n›f say›s›n›n 7 - 20 ya da 10 - 30aras›nda olmas›n›n uygun sonuçlar verdi¤i görülmüfltür.

Gerçekte verilerin s›n›fland›r›lmas› çok say›daki verinin kavranmas›n› büyükölçüde kolaylaflt›r›rken, baz› bilgi kay›plar›na da neden olur. Örne¤in 100 bebe-

¤in a¤›rl›klar›na iliflkin frekans serisinden 2.6 kg do¤an bebek say›s›n›n do¤rudan

10 bebek oldu¤u görülebilir. Buna karfl›n ayn› veri s›n›fland›r›ld›¤›nda, s›n›fland›-r›lm›fl seride do¤rudan kaç bebe¤in 2.6 kg olarak do¤du¤u görülemez. ‹lgili veri-

ye iliflkin ilk s›n›fland›r›lm›fl seri göz önüne al›nd›¤›nda 2.6 kg, 2.50 - 2.75 s›n›f›n›niçinde yer almakta ve bu s›n›f›n frekans› da 35 olarak görülmektedir. Gerçekte

2.50 - 2.75 s›n›f›nda, 2.50 ve 2.7499... kg do¤an tüm bebekler yer almaktad›r.S›n›fland›r›lm›fl serilerde s›n›flar› temsil edebilecek de¤iflken de¤erinin ne ola-

ca¤› da bir sorun olarak ortaya ç›kar. Uygulamada gözlem de¤erlerinin ilgili s›n›f içinde düzgün da¤›ld›¤› varsay›larak s›n›f orta noktalar›, ilgili s›n›fa iliflkin de¤ifl-

ken de¤eri olarak kabul edilir.Konuyla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatlice gözden geçiriniz.

Afla¤›da verilen frekans da¤›l›m›nda, ilgili s›n›flara karfl› gelen de¤iflken

de¤erlerini belirleyiniz.

S›n›flar f 0 – 4 4

4 – 8 108 – 12 1712 – 16 25

16 – 20 1420 – 24 6

24 – 28 480

S›n›f orta noktalar› ilgili s›n›flara iliflkin de¤iflken de¤eri olaca¤›ndan, her s›n›f›n

orta noktas› ilgili s›n›fa de¤iflken de¤eri olarak atan›r.

18 ‹statist ik

Ö R N E K 2




Ç Ö Z Ü M

19

S›n›f Orta Noktalar› S›n›flar f X

0 – 4 4 (0+4) / 2 = 2

4 – 8 10 (4+8) / 2 = 68 – 12 17 (8+12) / 2 = 10

12 – 16 25 (12+16) / 2 = 1416 – 20 14 (16+20) / 2 = 18

20 – 24 6 (20+24) / 2 = 2224 – 28 4 (24+28) / 2 = 26

80

Birikimli SerilerBir frekans da¤›l›m›nda, her s›n›f›n frekans›na bir önceki s›n›f›n frekans› eklene-

rek oluflturulan seriye “birikimli seri”, bu tür oluflturulan frekanslara da “birikimli

frekanslar” ad› verilir.Birikimli seriler, küçükten büyü¤e ya da büyükten küçü¤e do¤ru oluflturulabi-

lirler. E¤er birikimli seriler küçükten büyü¤e do¤ru oluflturulmuflsa “-den az”, bü- yükten küçü¤e do¤ru oluflturulmuflsa “-den çok” olarak isimlendirilirler.

Bir do¤um evinde do¤an 100 bebe¤e iliflkin s›n›fland›r›lm›fl seriyi ele

alarak küçükten büyü¤e ve büyükten küçü¤e do¤ru birikimli serileri

oluflturunuz.

A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar (kg) f (-den az) (-den çok)

1.50 - 1.75 5 5 95 + 5 = 100

1.75 - 2.00 6 6 + 5 = 11 85 + 6 = 952.00 - 2.25 10 10 + 11 = 21 79 + 10 = 89

2.25 - 2.50 10 10 + 21 = 31 69 + 10 = 792.50 - 2.75 35 35 + 31 = 66 34 + 35 = 69

2.75 - 3.00 15 15 + 66 = 81 19 + 15 = 343.00 - 3.25 13 13 + 81 = 94 6 + 13 = 19

3.25 - 3.50 2 2 + 94 = 96 4 + 2 = 6

3.50 - 3.75 4 4 + 96 = 100 4100

Birikimli seriler, uygulamada, genellikle gözlem de¤erlerinin büyüklüklerine göre

kaç›nc› s›rada yer ald›klar›n›n belirlenmesinde kullan›l›r. Yukar›daki örnekte bebek-lerin a¤›rl›k s›n›flar› göz önüne al›n›rsa -den az serisi yard›m›yla, 66 bebe¤in a¤›r-

l›klar›n›n 2.75 kg’dan daha az oldu¤u bir bak›flta görülebilir. Ayr›ca den çok serisi yard›m›yla da 34 bebe¤in 2.75 kg’dan daha a¤›r do¤du¤u do¤rudan görülebilir.

Konuyu yeterince pekifltirebilmek için afla¤›daki örne¤i dikkatlice gözden

geçiriniz.

Bir frekans da¤›l›m›nda, hers›n›f›n frekans› kendindenönceki s›n›f›n frekans›naeklenerek oluflturulan seriye“birikimli seri”, bu türfrekanslara da “birikimlifrekanslar” denilir.

Ö R N E K 3



‹statist ik

Ç Ö Z Ü M

Ç Ö Z Ü M

20

Ö R N E K 4

Ö R N E K 5

S›n›flar -den az0 – 5 4

5 – 10 610 – 15 1615 – 20 31

20 – 25 5125 – 30 63

30 - 35 70

serisi verilmifltir.

a. Serideki toplam gözlem say›s›n› belirleyiniz.

b. Say›sal de¤eri 25’den küçük gözlem say›s›n› belirleyiniz.

c. Say›sal de¤eri 15 ve 15’den büyük, 30’dan küçük gözlem say›s›n›

belirleyiniz.

a. Verilen seriye göre say›sal de¤eri 35’den küçük olan gözlem say›s› 70 oldu¤un-dan, toplam gözlem say›s› 70’dir.

b. Say›sal de¤eri 25’den küçük gözlem say›s› 51’dir.c. Say›sal de¤eri 30’dan küçük gözlem say›s› 63 ve say›sal de¤eri 15’den küçük

gözlem say›s› 16 oldu¤undan, say›sal de¤erleri 15 ile 30 aras›ndaki gözlem sa- y›s› 63 - 16 = 47 olarak elde edilir.

-den az ve -den çok serileri, frekans serileri için de oluflturulabilir.

Afla¤›da verilen frekans serisi için -den az ve -den çok serilerini oluflturunuz.

X f 5 310 5

15 820 6

25 330 5

30

X f (-den az) (-den çok)5 3 3 30

10 5 8 2715 8 16 22

20 6 22 1425 3 25 8

30 5 30 5

30




Ç Ö Z Ü M

Bileflik SerilerBirimlerin birden fazla de¤iflkene göre da¤›l›mlar›n› bir arada gösteren serilere

“bileflik seri” ad› verilir. Bir bileflik seri oluflturulurken, ilk sütunda bir de¤iflkeningözlem de¤erleri büyüklük s›ras›na göre yaz›l›rken, di¤er sütunlarda da ilgili de-¤iflkenlerin ilk de¤iflkene göre durumlar› yer al›r.

Bir s›n›ftan rasgele seçilen 5 ö¤rencinin boy uzunluklar› ve a¤›rl›klar›

afla¤›daki gibidir:

Uzunluk (m) A¤›rl›k (kg)Ö¤renci Gözlem No X Y

1 1.72 682 1.68 70

3 1.80 76

4 1.74 735 1.76 71

‹lgili frekans da¤›l›m›n› oluflturunuz.

Verilen problemde birim ö¤rencidir. Boy uzunlu¤u ve a¤›rl›k ise ayn› birim üze-

rinde tan›mlanm›fl iki farkl› de¤iflkendir. Bu duruma göre ilgili frekans da¤›l›m›,bir bileflik seri biçiminde oluflturulmal›d›r.

Uzunluk ba¤›ms›z, a¤›rl›k da ba¤›ml› de¤iflken olarak al›nd›¤›nda, istenilen fre-kans da¤›l›m› afla¤›daki gibi olmal›d›r.

Uzunluk (m) A¤›rl›k (kg) X Y 1.68 701.72 68

1.74 731.76 71

1.80 76

E¤er a¤›rl›k ba¤›ms›z, uzunluk da ba¤›ml› de¤iflken olarak al›n›rsa, ayn› veriye ilifl-

kin bileflik seri;

A¤›rl›k (kg) Uzunluk (m) Y X 68 1.7270 1.68

71 1.7673 1.74

76 1.80

biçiminde oluflturulur.

21

Ö R N E K 6

Birden fazla de¤iflkeninda¤›l›mlar›n› bir arada

gösteren serilere “bileflikseri” ad› verilir.



1. Frekans da¤›l›m› kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Bir radar taraf›ndan gelifl s›ras›na göre 50 araban›n h›z› (km/saat) afla¤›daki gibi

ölçülmüfltür:

82.7 105.6 127.5 107.3 112.2 131.0 105.5 87.9 114.1 116.7

88.4 99.8 101.8 86.5 92.4 80.6 82.4 97.6 125.0 137.0

130.2 87.5 95.6 83.9 94.2 117.3 95.5 120.4 85.7 121.5

103.5 83.0 96.2 95.1 99.9 97.1 134.2 136.3 133.9 81.4

91.3 93.6 88.8 136.0 108.2 129.3 139.1 83.6 97.5 113.1

Yukar›daki veri kümesini kullanarak s›n›f büyüklü¤ü 5 km/saat ve ilk s›n›f da 80 – 85

olacak biçimde bir frekans da¤›l›m› oluflturunuz (NOT: H›z›n sürekli bir de¤iflken ol-

du¤una dikkat ediniz).

3. Bir X de¤iflkenine iliflkin 50 gözlem de¤eri gözlem s›ras›na göre afla¤›da verilmifltir:

11 5 18 38 13 7 32 20 14 6

3 16 36 19 27 9 16 47 9 20

12 11 24 21 42 43 19 49 28 15

9 3 13 42 5 12 27 32 41 48

6 7 44 4 23 29 41 8 40 5

Yukar›daki veri kümesini kullanarak ve ilk s›n›f 2 – 6 olacak flekilde bir frekans

da¤›l›m› oluflturunuz (NOT: X de¤iflkeninin kesikli bir de¤iflken oldu¤una dikkat

ediniz).

SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹

‹statistik serilerinin grafiklerini çizebileceksiniz.

Da¤›lma serilerine iliflkin grafikler gözden geçirilirken önce frekans ve s›-

n›fland›r›lm›fl serilerin, sonra da birikimli ve bileflik serilerin grafiklerinede¤inilecektir.

Frekans Serilerinin Grafikle Gösterilmesi An›msanaca¤› gibi, frekans serileri biri gözlem de¤erleri di¤eri de gözlem de¤er-lerine karfl› gelen frekanslar› gösteren iki sütundan oluflur. Frekans serilerinde fre-

kanslar gözlem de¤erlerine göre de¤iflti¤inden gözlem de¤erleri yatay eksende,frekanslarsa dik eksende gösterilir. Grafik, yatay eksende belirlenen de¤erlerden

uzunluklar› ilgili frekanslar kadar olan dik do¤ru parçalar›yla oluflturulur. Bu tür

grafiklere “çubuk grafik” ad› verilir.

22 ‹statist ik

SIRA S ‹ZDE

A M A Ç

2




Ç Ö Z

Ü M

X de¤iflkenine iliflkin gözlem sonuçlar› afla¤›da bir frekans serisi halinde

verilmifltir. Verilen serinin grafi¤ini çiziniz.

X f 2 14 3

6 7

8 410 2

17

Gözlem de¤erleri yatay, frekanslar da dik eksende gösterilerek grafik afla¤›dakigibi oluflturulur:

S›n›fland›r›lm›fl Serilerin Grafikle GösterilmesiS›n›fland›r›lm›fl seriler, “histogram” ya da “frekans poligonu” ad› verilen grafikler-le gösterilirler. Ad› geçen grafiklerin çizimi, afla¤›da ayr›nt›lar› ile ele al›nm›flt›r.

HistogramHistogram; alan› ilgili s›n›f›n frekans›na ve taban› da ilgili s›n›f›n aral›¤›na eflit, bir-birine bitiflik dikdörtgenlerden oluflan bir grafik gösterimdir.

Bir histogram çizilmeden önce, sözü edilen dikdörtgenlerin uzunluklar›n›nayarlanmas› gerekir. Bunun için frekanslar s›n›f aral›¤›na bölünerek, dikdörtgenle-

rin alanlar› ilgili s›n›flar›n frekanslar›na eflit hale getirilir.Konuyla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatlice gözden geçiriniz.

23

Ö R N E K 7

fiekil 2.1 Çubuk grafik.

0 2 4 6 8 10 0

2

4

6

8

1 0

.

.

.

.

.

Histogram ve frekanspoligonu s›n›fland›r›lm›flserilerin grafikleridir.



Ç Ö Z Ü M

Sürekli bir X de¤iflkenine iliflkin gözlem sonuçlar› afla¤›daki seriyle

verilmifltir:

S›n›flar frekanslar 0 – 4 12

4 – 8 168 – 12 20

12 – 16 2416 – 20 20

20 – 24 8

100

Verilen serinin histogram›n› çiziniz.

Histogram›n çizilebilmesi için öncelikle frekanslar›n ayarlanmas› gerekir. Ayarlan-

m›fl frekanslar›n elde ediliflleri afla¤›da gösterilmifltir.

S›n›f Aral›klar› Ayarlanm›fl Frekanslar S›n›flar f h f / h

0 – 4 12 4 12 / 4 = 3.0

4 – 8 16 4 16 / 4 = 4.08 – 12 20 4 20 / 4 = 5.0

12 – 16 24 4 24 / 4 = 6.016 – 20 20 4 20 / 4 = 5.0

20 – 24 8 4 8 / 4 = 2.0100

Birinci ve son sütundan yararlan›larak histogram afla¤›daki gibi çizilir:

E¤er verilen seride s›n›f aral›klar› eflit de¤ilse, histogram yine ayn› yöntemle

oluflturulur.

24 ‹statist ik

Ö R N E K 8

fiekil 2.2 Eflit aral›kl› s›n›flar için histogram. 0 4 8 12 16 20 24

0

1

2

3

4

5

6




Ç Ö

Z Ü M

Afla¤›daki serinin histogram›n› çiziniz.

S›n›flar f 0 – 2 20

2 – 4 304 – 6 36

6 – 8 20

8 – 12 1612 – 16 12

128

S›n›flar f h f / h 0 – 2 20 2 10.02 – 4 30 2 15.0

4 – 6 36 2 18.06 – 8 20 2 10.0

8 – 12 16 4 4.0

12 – 16 12 4 3.0134

Frekans PoligonuFrekans poligonu, histogram›n tepe orta noktalar›n›n birlefltirilmesiyle elde edilen,

s›n›fland›r›lm›fl serilere iliflkin, di¤er bir grafik türüdür. Histogram›n tepe orta nok-talar›, ilgili s›n›flara iliflkin de¤iflkenlerin de¤erlerini ifade etti¤inden, frekans poli-

gonu, de¤iflkenlerin de¤erlerine göre oluflturulmufl bir grafiktir. Konuyla ilgili birörnek afla¤›da verilmifltir.

25

Ö R N E K 9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 0

5

1 0

1 5

2 0

fiekil 2.3 Farkl› büyüklükteki s›n›flar için histogram.



Ç Ö Z Ü

M

Afla¤›da verilen serinin frekans poligonunu çiziniz.

S›n›flar frekanslar 10 – 15 10

15 – 20 1520 – 25 20

25 – 30 30

30 – 35 1535 – 40 10

40 – 45 5105

Öncelikle ayarlanm›fl frekanslar oluflturularak histogram, sonra da histogram›n te-

pe orta noktalar› birlefltirilerek frekans poligonu elde edilir.

S›n›flar f X h f / h 10 – 15 10 12.5 5 2

15 – 20 15 17.5 5 3

20 – 25 20 22.5 5 425 – 30 30 27.5 5 6

30 – 35 15 32.5 5 335 – 40 10 37.5 5 2

40 – 45 5 42.5 5 1105

Frekans poligonun alt›nda kalan alan frekanslar toplam›na eflittir.

Histogram ve frekans poligonunun sürekli de¤iflkenler için uygun grafikler ol-

du¤una dikkat ediniz.

26 ‹statist ik

Ö R N E K 1 0

fiekil 2.4 Frekans poligonu.

0 10 20 30 40 50

0

1

2

3

4

5

6




E¤er gözlem say›s› artarken s›n›f aral›¤› sonsuz küçültülürse, frekans poligonu

bir frekans e¤risi flekline dönüflür.Uygulamada s›kça karfl›lafl›lan frekans e¤rileri fiekil 2.5’de gösterilmifltir.

Birikimli Serilerin Grafikle GösterilmesiBirikimli serilerin grafikleri çizilirken s›n›flar yatay, birikimli frekanslarsa dik ek-sende gösterilir.

-den az serilerinin grafikleri çizilirken, koordinat sisteminde s›n›f üst s›n›rlar›ylailgili s›n›fa karfl› gelen birikimli frekanslar›n belirledikleri noktalar birlefltirilerek

grafik oluflturulur.-den çok serilerinin grafikleri oluflturulurken, s›n›f alt s›n›rlar›yla ilgili s›n›fa kar-

fl› gelen birikimli frekanslar›n belirledikleri noktalar birlefltirilerek çizim tamamlan›r.-den az e¤risi ilk s›n›f›n frekans›ndan bafllayarak sürekli artan, -den çok e¤risi

ise son s›n›f›n frekans›na kadar sürekli azalan bir e¤ridir.Konuyla ilgili bir örnek afla¤›da verilmifltir.

27

fiekil 2.5 Baz› frekans e¤rileri.

(a) Simetrik Tek Modlu E¤ri (b) Sa¤a E¤ik E¤ri

(c) Sola E¤ik E¤ri (d) Ters J E¤risi

(e) J E¤risi (f) U E¤risi



Ç Ö Z Ü M

Afla¤›da verilen seri için -den az ve -den çok serilerini oluflturarak, elde

etti¤iniz serilerin grafiklerini çiziniz.

S›n›flar Frekanslar 0 – 10 310 – 20 12

20 – 30 25

30 – 40 3040 – 50 15

50 – 60 1060 – 70 5

100

S›n›flar Frekanslar -den az -den çok 0 – 10 3 3 100

10 – 20 12 15 9720 – 30 25 40 85

30 – 40 30 70 6040 – 50 15 85 30

50 – 60 10 95 1560 – 70 5 100 5

100

28 ‹statist ik

fiekil 2.6 Birikimli serilerin grafikleri.

Ö R N E K 1 1

0 20 40 60 80

0

2 0

4

0

6 0

8 0

1 0 0

-den az

-den çok




Ç Ö Z Ü

M

Bileflik Serilerin Grafikle GösterilmesiBileflik serilerin grafikleri oluflturulurken, ilk de¤iflkenin de¤erleri yatay, di¤er de-

¤iflkenin de¤erleriyse dik eksende yer al›r. Bu de¤erlere koordinat sisteminde kar-fl› gelen noktalar belirlenerek grafik elde edilir.

Bileflik serilerin grafiklerine serpilme diyagram› ad› da verilir. Afla¤›da bileflik serilerin grafiklerinin çizilmesine iliflkin bir örnek

verilmifltir.

Afla¤›da 5 ö¤rencinin istatistik ve matematik derslerinden ald›klar› notlar

bir bileflik seri biçiminde verilmifltir.

‹statistik Notu Matematik Notu X Y

35 2540 50

50 5560 40

75 60

Verilen serinin grafi¤ini çiziniz.

29

Ö R N E K 1 2

0 20 40 60 80 100

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

M a t e m a t i k N o t u ( y )

‹statistik Notu (x) fiekil 2.7 Serpilme diyagram›.



1. Bir histogram oluflturulurken, dikkat edilmesi gereken noktalar› belirleyiniz.

2. Bir s›n›ftaki 50 ö¤rencinin boylar› (m) gözlem s›ras›na göre afla¤›da verilmifltir:

1.62 1.56 1.86 1.65 1.79 1.72 1.80 1.84 1.90 1.94

1.74 1.92 1.89 1.64 1.71 1.66 1.79 1.76 1.77 1.83

1.58 1.75 1.56 1.78 1.87 1.76 1.92 1.76 1.73 1.78

1.63 1.68 1.78 1.76 1.55 1.78 1.64 1.87 1.70 1.68

1.74 1.83 1.67 1.88 1.93 1.81 1.70 1.83 1.68 1.79

a. Verilen veri kümesini kullanarak ve ilk s›n›f 1.53 – 1.58 olacak biçimde eflit aral›kl›

bir frekans da¤›l›m› oluflturunuz.

b. Oluflturdu¤unuz frekans da¤›l›m›n›n histogram›n› çiziniz.

3. Bir karayolunda meydana gelen hasarlar aras› uzakl›klar (km) afla¤›daki gibidir:

21.23 9.23 13.27 23.34 75.47 56.25 62.51 60.64 30.21 50.26

8.45 76.48 18.83 68.23 22.78 47.94 67.29 21.71 37.58 36.45

63.71 17.68 52.91 31.96 59.45 45.26 28.75 40.17 42.95 47.90

12.36 25.57 43.41 71.13 64.32 37.93 70.36 31.29 72.27 71.80

19.44 54.21 34.84 57.65 48.19 53.81 43.34 10.24 45.90 18.45

a. Yukar›daki veri kümesini kullanarak, uygun görece¤iniz bir s›n›f aral›¤›na göre fre-

kans da¤›l›m›n› oluflturunuz.

b. Oluflturdu¤unuz frekans da¤›l›m›n›n frekans poligonunu çiziniz.

30 ‹statist ik

SIRA S ‹ZDE



Kendimizi S›nayal›m1. Birimlerin iki de¤iflkene göre da¤›l›mlar›n› bir arada

gösteren serilere ne ad verilir?

a. Basit seri

b. Frekans serisi

c. S›n›fland›r›lm›fl seri

d. Birikimli seri

e. Bileflik seri

2. S›n›flar Frekanslar 0 – 5 25 – 10 410 – 15 715 – 20 1320 – 25 3

25 – 30 130

Yukar›da verilen serinin, frekans e¤risinin görünümü

afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Sa¤a e¤ik

b. Sola e¤ik

c. U

d. J

e. Ters J

3. X f 2 1

4 36 78 710 1012 514 2

35

Yukar›da verilen seri için -den az serisi oluflturul-

mak istendi¤inde, birikimli frekanslar afla¤›dakilerden

hangisidir?

a. -den az b. -den az c. -den az4 1 35

11 4 3418 11 3128 18 2433 28 1735 33 740 35 2

d. -den az e. -den az1 13 410 1117 1827 28

32 3435 35

4. Bir frekans da¤›l›m›na iliflkin -den az serisi afla¤›da

verilmifltir.

S›n›flar -den az

2 – 8 6

8 – 14 10

14 – 20 17

20 – 26 22

26 – 32 34

32 – 38 37

38 – 44 45

44 – 50 46

Yukar›da verilen seriye iliflkin gözlenen frekanslar afla¤›-

dakilerden hangisidir?a. f b. f c. f

2 6 6

8 4 4

7 8 7

5 3 5

4 11 12

10 9 3

8 5 8

4 1 1

d. f e. f

3 6

7 4

7 3

5 6

8 7

9 5

4 5

14 9

31Ünite 2 - ‹statist ik Seri ler i (Frekans Da¤› l ›mlar› )



5. Bir frekans da¤›l›m›na iliflkin -den çok serisi afla¤›da

verilmifltir.

S›n›flar -den çok

13,5 – 17,5 56

17,5 – 21,5 51

21,5 – 25,5 43

25,5 – 29,5 39

29,5 – 33,5 32

33,5 – 37,5 25

37,5 – 41,5 12

41,5 – 45,5 10

Yukar›da verilen seriye iliflkin gözlenen frekanslar afla¤›-

dakilerden hangisidir?a. f b. f c. f

9 10 7

4 2 9

3 13 4

7 7 4

11 7 3

13 4 6

2 8 12

10 5 5

d. f e. f 5 6

8 9

4 2

7 1

7 12

13 13

2 2

10 10

6. Gözlem No ‹flletme Notu Ekonomi Notu

1 70 90

2 50 70

3 80 60

4 50 40

5 60 50

5 ö¤rencinin iflletme ve ekonomi derslerinden ald›klar›

notlar› gösteren yukar›daki tabloya iliflkin afla¤›daki

ifadelerden hangisi do¤rudur?

a. Tablodaki veriler basit bir seri oluflturur.

b. Tablodaki veriler bir frekans serisi oluflturur.

c. Tablodaki veriler s›n›fland›r›lm›fl bir seri oluflturur.

d. Tablodaki veriler bileflik bir seri oluflturur.

e. Tablodaki veriler bir istatistik serisi oluflturmaz.

7. Gözlem sonuçlar›n›n maddesel bir de¤iflkenin fl›klar›-

na göre s›ralanmas›yla oluflturulan serilere ne ad verilir?

a. Zaman serisi

b. Bileflik seri

c. Mekan serisi

d. Birikimli seri

e. Da¤›lma serisi

8. Serilere iliflkin afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?

a. Bölgelere göre tah›l üretimi zaman serileri için uy-

gun bir örnektir.

b. Derlenen veriler ilgilenilen konunun d›fl›nda bir

temele göre s›ralanm›flsa, bu s›ralamaya liste ad›

verilir.

c. Gözlem de¤erlerinin yan›na, gözlenen de¤erlerintekrar say›s› yaz›larak oluflturulan seriye, s›n›flan-

d›r›lm›fl seri denir.

d. E¤er s›n›fland›rma yap›l›rken s›n›f aral›¤› küçük se-

çilirse, ilgili da¤›l›ma iliflkin baz› ayr›nt›lar gizli kal›r.

e. Uygulamalarda 20 ile 50 aras› s›n›f say›s›, en uy-

gun s›n›f say›s›d›r.

9. Afla¤›da bir frekans da¤›l›m›na iliflkin -den az ve -den

çok serileri birlikte verilmifltir.

S›n›flar -den az -den çok

0 – 4 1 504 – 8 5 49

8 – 12 12 45

12 – 16 22 38

16 – 20 34 28

20 – 24 44 16

24 - 28 50 6

Yukar›daki tabloya göre, say›sal de¤eri 20’den küçük göz-

lem say›s› kaçt›r?

a. 44

b. 38

c. 34

d. 22

e. 16

10. Serilere iliflkin afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r?

a. -den az serileri, her s›n›f›n frekans›na bir önceki

s›n›f›n frekans› eklenerek oluflturulur.

b. Basit serilerin grafiklerine histogram denir.

c. Bileflik serilerin grafiklerine serpilme diyagram› denir.

d. Bir seriye iliflkin frekans poligonunun alt›nda ka-

lan alan, seriye iliflkin frekanslar toplam›na eflittir.

e. Bir seriye iliflkin histogramda, dikdörtgenlerin alan-lar› toplam› seriye iliflkin frekanslar toplam›na eflittir.

32 ‹statist ik



Yan›t Anahtar›1. e

2. b

3. b

4. c

5. d

6. e

7. e

8. b

9. c

10. b

Yararlan›lan KaynaklarÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri ,

2. Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1994.

GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar› , ‹s-

tanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹stanbul, 1977.

HARPER, W.M.: Statistics, 4. ed., Pitman Pub. Comp.,

1988.

JOHNSON, Robert: Elementary Statistics, 6. ed., PSW-

KENT Pub. Comp., Boston, 1992.

MELNYK, M.: Principle of Applied Statistics, Perga-

mon Press Inc., New York, 1974.

33Ünite 2 - ‹statist ik Seri ler i (Frekans Da¤› l ›mlar› )



Documents

istatistik unite02