istatistik unite05

8/3/2019 istatistik unite05

1/32

alflma Biimine liflkin Olarak:

Tanmlar ve kavramlar iyice incelenmeli, rnekler tam olarak anlafllmal,

Sorulan sorularda nelerin istendii kesin olarak anlaflldktan sonra zmegeilmeli,

Alfltrmalarn tm mutlaka zlmelidir.

103

5Kesikli RassalDeiflkenler veOlaslk Dalmlar


2/32

istatist ik104

Amalar:

Rassal deiflken kavramn aklayabileceksiniz.

Kesikli rassal deiflkenlerin ortalama ve standart sapmasn hesaplayabileceksiniz.Kesikli rassal deiflkenlerin olaslk dalmn oluflturabileceksiniz.

Faktriyel kavramn aklayabilecek, kombinasyon hesaplayabileceksiniz.Kesikli rassal deiflkenlerin nemli dalmlarndan Binom dalmn kulla-

narak ilgili olaslklar hesaplayabilecek, dalmn ortalama ve standartsapmasn hesaplayabileceksiniz.

Kesikli rassal deiflkenlerin dier nemli bir dalm olan Poisson dalm-n kullanarak ilgili olaslklar, dalmn ortalama ve standart sapmasn

hesaplayabileceksiniz.

erik Haritas

GRfi RASSAL DEfiKENLER

Kesikli Rassal Deiflken

Srekli Rassal Deiflken KESKL BR RASSAL DEfiKENN OLASILIK DAILIMI

KESKL BR RASSAL DEfiKENN ORTALAMASI VE STANDART SAPMASI Kesikli bir rassal deiflkenin ortalamas

Kesikli bir rassal deiflkenin standart sapmas Standart Sapmann Yorumu

FAKTRYELLER VE KOMBNASYONLAR

Faktriyeller

Kombinasyonlar BNOM (K TERML) OLASILIK DAILIMI Binom Deneyi

Binom Olaslk Dalm ve Binom Forml Baflar Olasl ve Binom Dalmnn Biimi

Binom Dalmnn Ortalama ve Standart Sapmas POSSON OLASILIK DAILIMI


3/32

GRfiBir nceki blmde olaslk kavramndan ve kurallarndan sz edilmiflti. Bu b-

lmdeyse olaslk kavram geniflletilerek olaslk dalmlarndan sz edilecektir.Hatrlanaca gibi bir nceki blmde, bir istatistiksel deneyin birden ok sonucu

olduu ve bu sonulardan hangisinin gereklefleceinin nceden bilinmedii, an-

cak baz belirsizlikler altnda kestirilebilecei vurgulanmflt. rnein loto oynayan

bir kifli kazanp kazanamayacan nceden bilmemektedir. Eer kazanamayaca-

n bilse kuflkusuz oynamazd. Ancak, loto oynayan kifli sadece (ok net olmasa

da) kazanma flansnn olduunu bilmektedir.

Bu blmde, bir istatistiksel deneyin, ok kez tekrarlanmas durumunda ne tr

sonularn elde edilecei konu edilecektir. Yukarda verilmifl olan loto oyuncusu

rneinde, kiflinin srekli loto oynamas durumunda, (ortalama) kazanma ya da

kaybetme olaslklarnn hesaplanmas zerinde durulacaktr.

zleyen alt blmlerde, rassal deiflken ve trleri aklanacak, olaslk dalm-laryla bu dalmlarn ortalama ve standart sapmalarnn bulunmas ele alnacak

ve son olarak da kesikli rassal deiflkenler iin nemli dalmlardan olan Binom

ve Poisson dalmlar incelenecektir.

RASSAL DEfiKENLER

Rassal deiflken kavramn aklayabilecek ve kesikli rassal de-

iflkenler iin olaslk dalmn oluflturabileceksiniz.

Afladaki tabloda 2000 ailenin sahip olduklar otomobil saylarna gre sklk ve

greli sklk dalmlar verilmifltir:

Bu gruptan rassal bir aile seilmifl ve ailenin sahip olduu otomobil says X ilegsterilmifl olsun. Yukardaki tablonun ilk stununda da grlecei gibi X (deifl-ken )in alabilecei befl deer (0 , 1, 2 , 3 , 4 ) bulunmaktadr ve X in deeri se-

ilen aileye gre deiflim gstermektedir. Yani bu deer rassal deneyin sonular-na bal ve bu X deiflkenine rassal deiflken ya da flans deiflkeni ad veril-mektedir.

Rassal Deiflken: Bir deney ya da gzlemin flansa bal sonucu bir deiflkeninald deer olarak dflnlrse, olaslk ve istatistikte byle bir deiflkene rassaldeiflken ad verilir.

Bir rassal deiflken, aflada aklanaca gibi kesikli (discrete) ya da srekli(continuous) olabilmektedir.

Kesikli Rassal DeiflkenBir kesikli deiflken, deerleri saymla elde edilen deiflkendir. Baflka bir deyiflle

bir kesikli deiflkenin birbirini izleyen deerleri arasnda belirli boflluklar vardr.

nite 5 - Kesikli Rassal Deiflkenler ve Olaslk Dalmlar 105

A M A

1

Tablo 5.1 SahipOlunan OtomobilSaylarna GreAilelerin Sklk veGreli SklkDalmlar.

Otomobil Says Sklk Greli Sklk0 30 30 / 2000 = 0.0151 470 470 / 2000 = 0.2352 850 850 / 2000 = 0.4253 490 490 / 2000 = 0.2454 160 160 / 2000 = 0.080

N = 2000 Toplam = 1.000


4/32

Kesikli Rassal Deiflken: Genel anlamda bir rassal deiflken saylabilir deerleralyorsa, bu deiflkene kesikli rassal deiflken denir.

Yukardaki tabloda verilmifl olan, sahip olunan otomobil says kesikli rassaldeiflkene rnektir. nk X ile gsterilmifl bulunan kesikli rassal deiflken sade-ce saylabilir 0 ,1, 2, 3 ve 4 deerlerini alabilmektedir.

Aflada kesikli rassal deiflken iin baz rnekler verilmifltir.1. Bir galerinin herhangi bir ayda satmfl olduu otomobil says.2. Herhangi bir gnde bir tiyatroya gelen izleyici says.3. Bir kiflinin sahip olduu ayakkab says.4. Bir para kez atldnda yaz gelme says.5. Bir ailenin ocuk says.

Srekli Rassal DeiflkenDeerleri lm ya da tartmla elde edilen, bir baflka anlatmla saymla elde edi-

lemeyen bir deiflkene srekli rassal deiflken denir. Srekli bir rassal deiflkenindeerleri aralklar halinde tanmlanr.

Srekli Rassal Deiflken: alaca herhangi bir deerle, bir ya da daha fazlaaralkta tanmlanan deiflkene, srekli rassal deiflken denir.

Bir aralkta sonsuz sayda deer olaca iin, srekli rassal bir deiflkenin ala-bilecei deer says da sonsuz kabul edilir ve bu deerlerin saylmas olanaksz-dr denir. rnein bir pilin mr 40 , 40.25 ya da 40.247 saat olabilmektedir. An-cak bilinmektedir ki bir pilin mr en ok 200 saattir. Bu rnek iin X, rassal se-ilen bir pilin mr olmak zere, Xin alabilecei deerler 0 ile 200 arasnda ola-caktr. Aflada gsterildii gibi X, 0 ile 200 arasnda sonsuz sayda deer alabile-cei iin srekli rassal bir deiflkendir.

Bu aralktaki herhangi bir nokta X ile gsterilen bir pilin mr olabilmektedir.Bu aralkta sonsuz sayda nokta olacandan, bu noktalarn temsil ettii deerlersaylamayacak sonsuzluktadr.

Aflada srekli rassal deiflken iin baz rnekler verilmifltir.1. Bir kiflinin boy uzunluu.2. Snavda bir sorunun zlme sresi.3. Bir bebein arl.

4. Bir evin deeri (fiyat).5. Bir flifle stn arl.Daha ok kesikli rassal deiflkenlere ve dalmlarna ayrlan bu blm izle-

yen blmde, srekli rassal deiflkenler ve dalmlar ayrntl olarak verilecektir.

1. Rassal deiflken, kesikli rassal deiflken ve srekli rassal deiflken kavramlarn ak-laynz. Kesikli ve srekli rassal deiflken iin birer rnek veriniz.

2. Afladaki rassal deiflkenleri kesikli ve srekli olarak snflaynz.

a. Bir snftaki renci says

b. Bir kutu birann hacmi

c. Bir iftlikteki inek says

istatist ik106

0 200

SIRA S ZDE


5/32

ZM


R N E K 1

Tablo 5.2 SahipOlunan OtomobilSaylarna GreAilelerin Sklk veGreli SklkDalmlar.

d. Bir evin yafl

e. Bir kitapta en az bir hata olan sayfa says

f. Bir doktorun bir hastay muayene sresi

3. Afladaki rassal deiflkenlerden hangilerinin kesikli hangilerinin srekli olduu-nu syleyiniz.

a. Bir banka flubesinde herhangi bir gnde alan hesap says

b. Bir maratonu koflma sresi

c. Bir konser biletinin fiyat

d. Rassal seilen bir kutudaki rk yumurta says

e. Bir futbol mann sonucu

f. Rassal seilen bir paketin arl

KESKL BR RASSAL DEfiKENN OLASILIK DAILIMI

Kesikli rassal deiflkenlerin olaslk dalmn oluflturabileceksiniz.

X kesikli bir rassal deiflken olmak zere, Xin olaslk dalm, Xin alabileceideerlere gre olaslklarnn nasl daldn aklamaktadr.

Kesikli Bir Rassal Deiflkenin Olaslk Dalm, rassal deiflkenin ala-bilecei deerle bunlara ait olaslklarn listesidir.

Afladaki rnek 5.1de; kesikli bir rassal deiflkenin olaslk dalm kavram-n aklanmaktadr.

Tablo 5.1de verilmifl olan ailelerin sahip olduklar otomobil saylarna

iliflkin sklk ve greli sklk dalm tekrar yazlacak olursa,

biimindedir. X rassal seilen bir ailenin sahip olduu otomobil says ol-

mak zere, Xin olaslk dalmn yaznz.

Bir nceki blmde (Blm 4) bir deneyden ya da rneklemden elde edilen g-reli sklklarn, yaklaflk olaslklar gibi kullanlabildiinden sz edilmiflti. Ancak birktle iin greli sklklarn bilinmesi, sonularn gerek (kuramsal) olaslklarnvermektedir. Bu nedenle Tablo 5.2de verilmifl olan greli sklklar kullanlarak Xkesikli rassal deiflkeninin olaslk dalm dorudan yazlabilmektedir (Tablo 5.2,son stun).

Kesikli bir rassal deiflkenin olaslk dalm afladaki iki zellii taflr.1. x deiflkenin alabilecei her bir deerin olasl 0 ile 1 arasnda olup

0 P(x) 1 biiminde gsterilir.2. x deiflkenin alabilecei tm deerlerin olaslklar toplam 1dir ve

S P(x) = 1 olarak gsterilir.

Otomobil Says (x) Sklk Greli Sklk Olaslk (P(x))0 30 0.015 0.0151 470 0.235 0.2352 850 0.425 0.4253 490 0.245 0.2454 160 0.080 0.080

N = 2000 Toplam = 1.000 S P(x) = 1.00

A M A

2


6/32

istatist ik108

fiekil 5.1 Tablo5.2.de VerilenOlaslk DalmnnGrafiksel Gsterimi.

Olaslk Dalmnn ki zellii, kesikli bir rassal deiflkenin olaslk dalmafladaki iki zellii taflr.

1. 0 P(x) 1; xin her deeri iin2. S P(x) = 1

Bu iki zellik, bir olaslk dalmnn (kesinlikle) salamak zorunda olduu iki

koflul olarak da bilinmektedir. Bu nedenle yukardaki tabloda verilmifl tm olas-

lklar 0 ile 1 arasndadr ve olaslklar toplam da 1dir. Bu durumda yazlmfl bu-

lunan P(x) deerleri Xin olaslk dalmn oluflturur.

Tabloda, rnein, rassal seilen bir ailenin iki otomobili olma olasl 0.425

olup,

P(x = 2) = 0.425

biiminde gsterilir. Ayrca, seilen bir ailenin ikiden ok otomobile sahip olmaolasl sorulduunda ise olaslklar toplanmaktadr.

P(x > 2) = P(x = 3) + P(x = 4) = 0.245 + 0.080 = 0.325

Kesikli bir rassal deifl-

kenin olaslk dalm, ma-

tematiksel bir forml, bir

tablo ya da bir grafik bii-

minde gsterilebilmektedir.

Afladaki grafikte, yatay

eksen Xin ald deerler,dikey eksense bu deerle-

re karfllk gelen olaslklar

(ykseklik) olmak zere

Tablo 5.2.nin deerleri kul-

lanlarak izilmifltir. Bu tr

grafiklere izgi ya da hat

grafii ad verilir.

Afladaki tablolarda baz x deerleri ve bunlara iliflkin olaslklar liste-

lenmifltir. Bu tablolarn her birinin geerli bir olaslk dalm olup olma-dn arafltrnz.

R N E K 2

a) x P(x) b) x P(x) c) x P(x)0 0.08 2 0.25 7 0.701 0.11 3 0.34 8 0.502 0.39 4 0.28 9 -0.203 0.27 5 0.13

0.015

0.235

0.425

0.245

0.080

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

P(x)

x


7/32

Z

M

a) Bu tabloda verilmifl olan tm olaslklar 0 ile 1 arasnda olduklar iin olaslkdalmnn birinci koflulunu salamaktadr. Ancak olaslklar toplam (S P(x)= 0.08 + 0.11 + 0.39 + 0.27 = 0.85) 1 olmad iin ikinci koflul salanma-makta, yani bu tablo, geerli bir olaslk dalm gstermemektedir.

b) Bu tabloda verilmifl olan olaslklarn tmnn 0 ile 1 arasnda olmas ve olas-lklar toplamnn (S P(x) = 0.25 + 0.34 + 0.28 + 0.13 = 1.00) 1 olmas nedeniy-le, iki koflulda saland iin bu, geerli bir olaslk dalm gstermektedir.

c) Bu tabloda verilmifl olan olaslklar toplam (S P(x) = 0.70 + 0.50 - 0.20 = 1.00)1 olduu halde, olaslklardan bir tanesinin negatif olmas nedeniyle ilk koflulsalanmamakta ve bu tablo da geerli bir olaslk dalm gstermemektedir.

Eski verilerden yararlanlarak bir makinenin birer hafta sresince yap-

t arza saylar listelenerek aflada verilmifltir.

a) Olaslk dalmn grafiksel olarak gsteriniz.b) Bu makinenin verilen bir hafta ierisinde afladaki arza saylarna

iliflkin olaslklar bulunuz.i) Kesinlikle iki

ii) Sfr iki arasiii)Birden ok

iv) En ok bir

Yukarda verilmifl olan bilgilerden yararlanlarak, X: verilen bir hafta ierisindemakinenin arza saylarn gstermek zere olaslk dalm,

biiminde yazlr.a) Olaslk dalm bilgilerinden yararlanarak olaslk dalm grafii afladaki

biimde izilir.


R N E K 3

Haftalk arza 0 1 2 3Olaslk 0.15 0.20 0.35 0.30

ZM

Tablo 5.3 ArzaSaylarnn OlaslkDalm.

fiekil 5.2 Tablo5.3.deki OlaslkDalmnn Grafii.

x P(x)

0 0.15

1 0.20

2 0.35

3 0.30

P(x) = 1.00

0.15

0.20

0.35

0.30

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 x

P(x


8/32

ZM

istatist ik110

R N E K 4

fiekil 5.3 AaDiyagram.

b) Yukarda verilmifl olan Tablo 5.3den yararlanarak istenen olaslklar bulunur.i) Kesinlikle iki arza olma olasl;

P (Kesinlikle iki arza) = P(x = 2) = 0.35

ii) Sfr-iki arza olma olasl (0, 1 ve 2 arza durumlarnn toplamdr).P (0 - 2 arza) = P(0 x 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)

= 0.15 + 0.20 + 0.35 = 0.70iii) Birden ok arza olma olasl (2 ve 3 arza durumlarnn toplamdr).

P (Birden ok arza) = P(x > 1) = P(x = 2) + P(x = 3)= 0.35 + 0.30 = 0.65

iv) En ok bir arza olma olasl (0 ve 1 arza durumlarnn toplamdr)P (En ok bir arza) = P(x 1) = P(x = 0) + P(x = 1)

= 0.15 + 0.20 = 0.35

Yaplan bir arafltrmaya gre; niversite rencilerinin % 60nn matema-

tik derslerini sevmedikleri (fobi) ve snavlarndan korktuklar elde edil-

mifltir. x matematik derslerini sevmeyen renci saysn gstermek ze-re, bu gruptan rassal seilen iki renci iin deneyin olaslk dalmnyaznz.

Deney iin tanmlanmas gereken iki olay;

N = Seilen rencide matematik fobisi yokM = Seilen rencide matematik fobisi var

biimindedir.Afladaki flekilden de grlecei gibi bu deneyin drt olas sonucu bulunmak-

tadr (NN - her iki rencide de matematik fobisi yok , NM - ilk rencide ma-

tematik fobisi yok ikincide var, MN ilk rencide matematik fobisi var ikincideyok, MM - her iki rencide de matematik fobisi var). Yukarda verilen bilgiler-den P (M) = 0.60 olduu bilinmektedir ve P (N) = 1 - P (M) = 1 - 0.60 = 0.40 ola-ca kolaylkla grlr. Bu durumda deneyin sonular,

P(x = 0) = P (NN ) = 0.16P(x = 1) = P (NM ya da MN ) = P (NM ) + P (MN ) = 0.24 + 0.24 = 0.48P(x = 2) = P (MM ) = 0.36

biiminde ifade edilir.

N 0.40

M 0.60

Nihai sonular ve olaslklarkinci rencilk renci

N 0.40

M 0.60

N 0.40

M 0.60

P(NN) = (0.40) (0.40) = 0.16

P(NM) = (0.40) (0.60) = 0.24

P(MN) = (0.60) (0.40) = 0.24

P(MM) = (0.60) (0.60) = 0.36


9/32

Yukarda verilmifl olan olaslk deerlerinden, olaslk dalm tablo biimindede yazlabilir.

1. Kesikli bir rassal deiflkenin olaslk dalmnn ne olduunu aklaynz. Kesikli bir

rassal deiflkenin olaslk dalmnn hangi farkl yolla ifade edildiini syleyiniz.

2. Kesikli bir rassal deiflkenin olaslk dalmnn iki zelliini (koflullarn ) ksaca

aklaynz.

3. Afladaki tabloda bir dizi x deeri ve bunlara iliflkin olaslklar verilmifltir. Bun-

lardan hangileri olaslk dalmnn koflullarn salamaktadr.

KESKL BR RASSAL DEfiKENN ORTALAMASI VESTANDART SAPMASI

Kesikli rassal deiflkenlerin ortalama ve standart sapmasn

hesaplayabileceksiniz.

Kesikli Bir Rassal Deiflkenin OrtalamasKesikli bir rassal deiflkenin ortalamas m ile gsterilir ve bu deer ayn zamanda

olaslk dalmnn da ortalamasdr. X kesikli deiflkeninin ortalamasna, bekle-

nen deer (expected value) ad verilmekte ve E(x) biiminde gsterilmektedir.

Kesikli bir rassal deiflkenin ortalamas, deneyin ok kez tekrarlanmas durumun-

da ortaya kacak sonularn ortalama deeridir. rnein bir otomobil galerisininhaftalk ortalama satfl 2.4 otomobildir ifadesinde, bu galerinin gelecek haftada

kesinlikle 2.4 otomobil sataca anlam karlmamaldr. Uzun haftalarn kaytla-

rndan (araba satfllar baz haftalar sfr, bazen bir, bazen iki ya da daha ok ola-

bilir) galerinin ortalama satfl miktar 2.4 otomobil olarak bulunmufltur.

Kesikli bir rassal deiflkenin ortalamas, x deiflken deerlerinin kendilerine

karfllk gelen olaslklarla arplp toplanmas ifllemiyle hesaplanr.

Kesikli bir rassal deiflkenin ortalamas, her x ile buna karfl gelen P(x)

olaslklarnn arpmlarnn toplam alnarak elde edilir.

m = S x P(x) = E(x)


A M A

3

x P(x)0 0.16

1 0.48

2 0.36

P(x) = 1.00

Tablo 5.4 MatematikFobisi Bulunanrencilerin OlaslkDalm.

a) x P(x) b) x P(x) c) x P(x)5 -0.36 1 0.16 0 0.156 0.48 2 0.24 1 0.007 0.62 3 0.49 2 0.358 0.24 3 0.50

SIRA S ZDE


10/32

rnek 5.3de bir makinenin bir haftada yapt arza saylarna iliflkin

afladaki olaslk dalmnn ortalamasn bulunuz.

Yukarda belirtildii gibi bu makinenin bir hafta sresince yapaca ortalama ar-za saysn (beklenen deer) bulmak iin, X in ald deerlerle bu deerlere kar-fllk gelen olaslklarn arpmlarnn toplanmas gerekmektedir. Bu yolla olufltu-rulan tablo afladadr.

Elde edilen m = S x P(x) = 1.80 deerinin anlam, bu makinenin incelenen s-rede, haftada 1.8 kez arza yapmasnn beklendiidir. Ancak bulunan bu deerortalama (kuramsal) bir deer olup, gelecek haftalarda da makine bazen hi ar-

za yapmayacak, bazen 1, bazen 2 ya da daha ok kez arza yapacaktr.

Kesikli Bir Rassal Deiflkenin Standart SapmasKesikli bir rassal deiflkenin standart sapmas, olaslk dalmnn yaylmasnn(salmasnn) bir ls olup s ile gsterilir. Standart sapma deerinin byk ol-mas, x deerlerinin ortalama etrafnda genifl bir aralkta deerler aldn gsterir-ken, kk standart sapma deeri bu araln dar olduunu, gzlenen x deerle-rinin ortalamaya ok yakn deerler aldn ifade eder. Kesikli bir rassal deiflke-nin standart sapmas,

eflitliinden hesaplanr.Kesikli bir rassal deiflken olan X in olaslk dalmnn yaylma ls olan

standart sapma,

eflitliinden hesaplanmaktadr.statistiksel deerlendirmelerde, kesikli bir rassal deiflkenin standart sapmas

olduu kadar (hatta daha ok) standart sapmann karesi alnarak bulunan ve s2

ile gsterilen varyans deeri de kullanlmaktadr.

s= x2 P x m2

s= x m 2 P x = x2 P x m2

istatist ik112

x P(x)0 0.151 0.202 0.353 0.30

R N E K 5

Tablo 5.5 ArzaSaylarna liflkinOlaslk DalmnnOrtalamasnnHesaplanmas.

x P(x) x P(x)

0 0.15 0(0.15) = 0.00

1 0.20 1(0.20) = 0.20

2 0.35 2(0.35) = 0.70

3 0.30 3(0.30) = 0.90

S x P(x) = 1.80

ZM


11/32

Z

M

Bir elektrik firmas bilgisayar paralar reterek satfla sunmaktadr.

retilen her para tek tek kalite kontrolnden geirildikten sonra piyasa-ya srlmektedir. Ancak tm bu titiz kontrollere karfln, az sayda da ol-

sa baz bozuk (arzal) paralar da gzden kaabilmektedir. x arzalpara saysn gstermek zere, 400 paralk bir sevkiyatn olaslk da-

lm aflada verilmifltir. x deerinin standart sapmasn bulunuz.

x in standart sapmasnn elde edilmesi iin gerekli hesaplamalardan afladakitablo oluflturulmufltur.

x rassal deiflkeninin standart sapmasnn bulunmas iin flu admlar izlenir :

Adm 1: Kesikli rassal deiflkenin ortalamas hesaplanr.

m = S x P(x) = 2.50(400 para arasnda ortalama arzal para says )

Adm 2: S x2 P(x) deerinin hesaplanmas.x rassal deiflkeninin alabilecei deerlerin kareleri alnp, olaslk deerleri

olan P(x) deeriyle arplmas ve arpmlarnn toplanmasyla elde edilmektedir.

S x 2 P(x) = 7.70

Adm 3: Bulunan mve S x2 P(x) deerlerinin formlde yerine konarak x in stan-dart sapmas hesaplanr.

Sonu olarak 400 paradan oluflan sevkiyatn, 1.2 standart sapma deeriyle or-talama 2.5 tanesi arzaldr.

Yeni bir mutfak aleti reterek piyasaya srmeyi planlayan bir firmannfinansal kaynaklar blm; bu rne yksek talep olursa ylda 4.5 trilyonTL, normal talep olursa 1.2 trilyon TL kar edeceklerini, dflk talep olur-sa ylda 2.3 trilyon TL zarar edeceklerini hesaplamfltr. Bu talep bek-lentisine iliflkin olaslklar srasyla 0.32, 0.51 ve 0.17 olduu gre,

a) x yllk kar gstermek zere, xin olaslk dalmn yaznz.

b) x in ortalama ve standart sapma deerlerini bulunuz.

s = x2 P x m2 = 7.70 2.52= 1.45 @1.20


R N E K 6

Tablo 5.6StandartSapma in GerekliHesaplamalar.

x P(x) x P(x) x2 x2 P(x)0 0.02 0.00 0 0.00

1 0.20 0.20 1 0.20

2 0.30 0.60 4 1.20

3 0.30 0.90 9 2.70

4 0.10 0.40 16 1.60

5 0.08 0.40 25 2.00

S x P(x) = 2.50 S x2 P(x) = 7.70

R N E K 7

x 0 1 2 3 4 5P(x) 0.02 0.20 0.30 0.30 0.10 0.08


12/32

ZM a) Firmann zarar etmesi durumu negatif kar olarak gsterilerek olaslk dalm

afladaki gibi elde edilir.

b) x rassal deiflkeninin ortalama ve standart sapma deerlerinin hesaplanmasn-da kullanlacak bilgiler aflada Tablo 5.7de verilmifltir.

Bu bilgilerden m = S x P(x) = 1.661 trilyon TL ortalama kar ve

standart sapma deeri bulunur.

Standart Sapmann YorumuKesikli bir rassal deiflkenin standart sapmas da teki veri kmelerine benzer bi-

imde yorumlanr. rnein birden byk bir deer olmak zere Chebyshev te-oremine gre eri altnda kalan alann en az [ 1 (1 / k2) ] . kadar ortalama et-rafnda k standart sapma snrlar arasnda kalmaktadr. rnein k = 2 alnrsa,toplam alann % 75i m 2s ile m + 2s snrlar arasnda yer alr. Bu teorem ge-reince, rnek 6 da m = 2.50 ve s = 1.20 olarak elde edilen deerlerden,

m 2s = 2.50 2(1.20) = 0.10m + 2s = 2.50 + 2(1.20) = 4.90

sonular bulunur ve 400 paralk sevkiyatlarn en az %75inin arzal para say-snn 0.10 ile 4.90 arasnda olaca sylenir.

1. Aflada verilmifl bulunan olaslk dalmlarnn ortalama ve standart sapmalarn

bununuz.

2. x, bir kitaptan rassal seilmifl bir sayfadaki yazm hatalarnn says olmak zere, afla-

da verilmifl olan olaslk dalmnn ortalama ve standart sapmasn bulunuz.

s = x2 P x m2 = 8.1137 1.6612 = 2.314 trilyon TL.

istatist ik114

x P(x)4.5 0.321.2 0.51-2.3 0.17

x P(x) x P(x) x2 x2 P(x)

4.5 0.32 1.440 20.25 6.4800

1.2 0.51 0.612 1.44 0.7344

-2.3 0.17 -0.391 5.29 0.8993S x P(x) = 1.661 S x2 P(x) = 8.1137

Tablo 5.7Ortalamave Standart Sapmain Gerekli Bilgiler.

SIRA S ZDE

a) x P(x) b) x P(x)0 0.12 6 0.361 0.27 7 0.262 0.43 8 0.213 0.18 9 0.17

x 0 1 2 3 4

P(x) 0.73 0.16 0.06 0.04 0.01


13/32

ZM

ZM

ZM

ZM

3. Elektrik malzemeleri satlan bir maazada yaplan incelemede bir gnde satlan elekt-

rik prizi saysna iliflkin olaslk dalm afladadr. Olaslk dalmnn ortalama ve

standart sapmasn bulunuz, bulduunuz ortalama deerini yorumlaynz.

FAKTRYELLER VE KOMBNASYONLAR

Faktriyel kavramn aklayabilecek, kombinasyon hesaplayabileceksiniz.

Faktriyeller ! sembol faktriyel iflareti olup, verilen deerden 1e kadar tm pozitif tam-saylarn arpmndan oluflur. rnein 7!, yedi faktriyel olarak okunur ve 7den1e kadar tm pozitif tam saylarn arpmne eflittir.

Faktriyeller, n! (n faktriyel) nden 1e kadar tm pozitif tam saylarn arp-mn ifade eder ve

n! = n (n 1) (n 2 ).....3. 2. 1biiminde gsterilir. Bu tanm gereince 0! = 1dir.

7! deerini bulunuz.

7! deerini bulmak iin 7den 1e kadar tm tamsaylarn arplmas gerekir.

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 5.040

10! deerini bulunuz.

Burada da yine 1 den 10 a kadar tm tamsaylarn arpmndan 10! deeri eldeedilir.

10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 3.628.800

(12 4) ! deerini bulunuz.

Burada ilk olarak parantez iindeki ifllem yaplr ve daha sonra faktriyel deeribulunur.

(12 4) ! = 8 ! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 40.320

(5 5) ! deerini bulunuz.

Yukarda da belirtilmifl olduu gibi burada da nce parantez ierisindeki ifllem ya-plr ve daha sonra farktriyel deeri hesaplanr.

(5 5) ! = 0 ! = 1


Satlan priz 0 1 2 3 4 5 6Olaslk 0.05 0.12 0.23 0.30 0.16 0.10 0.04

A M A

4

R N E K 8

R N E K 9

R N E K 1 0

R N E K 1 1


14/32

ZM

15 ! deerini bulunuz.

15 ! = 15 . 14 . 13. ...... 2 . 1 = 1.307.674.368.000

(Not: Faktriyel deerlerinin kolay bulunmasn salayan hazr tablolar gelifl-tirilmifl olup. bu amala baz hesap makinelerinde ! fonksiyon anahtar (tuflu)bulunmaktadr.)

KombinasyonlarBir sre sonra, bir grup ierisinden az sayda birimin ekilmesi konusu incelene-cektir. rnein bir renci drt soruluk bir snavda iki soruyu cevaplayacaktr.Ya da bir fakltedeki 20 profesr arasndan kiflilik bir komite seilecektir. Burneklerde ortak sorun, seimin ka farkl yolla yaplabileceidir. rnein, sna-

va giren renci drt soru arasndan iki soruyu alt farkl flekilde seebilir. Bun-lar (1 ve 2) (1 ve 3) (1 ve 4) (2 ve 3) (2 ve 4) (3 ve 4) biiminde listelene-bilir. Listedeki tm olas seimlere bir kombinasyon denmektedir. Bu alt kombi-nasyonda farkl sorular bulunmaktadr. Kombinasyonlarda seilme sras nemlideildir. Yukardaki rnekler iin (1 ve 2) ile (2 ve 1) soru seti efldeer (ayn) dir.

Kombinasyonlarn Gsterimi, Kombinasyonlar; n eleman arasndan x tane-sinin seilme yollar saysn vermekte ve toplam kombinasyon says,

ya da

biiminde gsterilerek n eleman arasndan her seferinde x tanesinin seilmesin-

de kombinasyon says olarak okunmaktadr.x tane elemann, arasndan seilecek toplam eleman says n olarak dflnl-

dnde;

ifadesinden yararlanlmaktadr.

Kombinasyonlarn Says, n tane farkl eleman arasndan x tanesinin seimin-deki kombinasyon says

formlnden bulunmaktadr. Burada n! , x! , (n - x ) ! faktriyellerdir.Kombinasyon formlnde,

n ! = n (n 1) (n - 2)........ 2 . 1x ! = x (x 1) (x - 2)........ 2 . 1

(n - x) ! = (n - x) (n - x - 1) (n - x - 2)........ 2 . 1

nx

= n!x! n x !

Cnx

nx

istatist ik116

R N E K 1 2

n = toplam eleman says

= n eleman arasnda her seferinde x eleman seilmesindekombinasyon says

x = her seferinde seilecek eleman says

nx


15/32

ZM

ZM

olup, burada n deeri x deerinden byk ya da en azndan eflit olmak zorunda-dr. Aksi durumda x elemann n den kk bir gruptan seilmesi sz konusu ol-mayacaktr.

Yukarda verilmifl olan drt soru arasndan iki tanesinin seilmesi dene-yinde, farkl seim saysn kombinasyon formln kullanarak bulunuz.

Bu rnekte

n = toplam soru says = 4x = seilecek soru says = 2

olduu iin, bir rencinin seebilecei farkl kme says,

olarak bulunur.

Befl kifli arasndan kiflinden oluflacak bir jri, ka farkl yolla seilebilir?

Burada da n = 5 ve x = 3 olduu iin kombinasyon formlnden,

elde edilir. Eer A, B, C, D ve E ile ifade edilecek olunursa, olas jriler; ABC,ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE biiminde gsterilir.

1. Bir niversitenin statistik Blmnde 15 retim yesi grev yapmaktadr. Bunlar

arasndan rassal olarak iki tanesi, faklte komitesine ye olarak seilecektir. Ka

farkl seim yaplacan bulunuz.

2. Bir ilenin kaymakam, gelecek hafta, ilesinde bulunan 12 ilkretim okulundan 3

tanesini ziyaret edecektir. Ka farkl olas seim yapacan bulunuz.

3. Bir yatrmc, gda sektrnde faaliyet gsteren ve hisseleri menkul kymetler borsa-

snda ifllem gren 20 firmadan 5 tanesinin hisse senetlerinden almak istemektedir.

Yatrmc ka farkl seim yapabilecektir.

5

3= 5!

3! 5 3 != 5!

3! 2!= 120

6 . 2= 10

4

2= 4!2! 4 2 ! = 4!2! 2! = 4 . 3 . 2 . 11 . 2 . 1 . 2 = 6


R N E K 1 3

R N E K 1 4

SIRA S ZDE


16/32

BNOM (K TERML) OLASILIK DAILIMI

Kesikli rassal deiflkenlerin nemli dalmlarndan Binom dal-mn kullanarak ilgili olaslklar hesaplayabilecek, dalmn or-

talama ve standart sapmasn hesaplayabileceksiniz.

Binom olaslk dalm, Xin kesikli rassal deiflken olmas durumunda en yay-gn kullanlan dalmlardan biridir. Binom olaslk dalm, n tekrarl bir deney-de x kez istenen sonu gelmesi durumunda, olaslklarn bulunmas amacylakullanlmaktadr. rnein bir fabrikada retilen TV setlerinin arzal olma olasl- % 5 olarak verilmiflse bu fabrikada retilen TV setlerinden tanesinin seil-mesi durumunda, bunlardan bir tanesinin arzal olma olaslnn bulunmasndakullanlmaktadr.

Binom olaslk dalmnn uygulanabilmesi iin X deiflkeninin iki sonulu (ke-

sikli) bir rassal deiflken olmas gerekir. ki sonulu (kesikli) rassal deiflkenin an-lam, deneyin her tekrarndan sonra bu iki sonutan birinin ortaya kmasdr.

Binom dalm, aflada ayrntl bir biimde verilecek drt koflulu salayan bi-nom deneylerine uygulanmaktadr ki bu deneydeki her tekrara deneme, Bernoul-li denemesi ya da snamas (trial - Bernoulli trial) ad verilmektedir. rnein de-ney, bir parann bir kez atlmas olarak tanmlanrsa ve bu deney 10 kez tekrarla-nrsa buradaki her tekrara (atfl) bir deneme ad verilir ve bu deneyde toplam 10deneme yaplmfl olur.

Binom DeneyiEer bir deney afladaki drt koflulu salyorsa bu deneye binom deneyi

denmektedir.1. n tane zdefl deneme vardr. Yani verilen deney n kez zdefl (ayn ) koflul-

larda tekrarlanmaktadr.

2. Her denemenin sadece ve sadece iki sonucu vardr. Bu sonulara genellik-

le baflar ya da baflarszlk denmektedir.

3. p baflar olasl, q ise baflarszlk olasl olmak zere p + q = 1 dir.

p ve q olaslklar her deneme iin ayndr.

4. Bir denemenin sonucu teki denemenin sonucunu etkilememektedir. Yani

denemeler bamszdr.

Bir Binom Deneyinin Koflullar: Bir binom deneyi afladaki drt koflulu

salamak zorundadr.

1. n tane zdefl deneme olmaldr.2. Her denemenin sadece iki olas sonucu olmaldr.

3. ki sonucun olaslklar hep ayn olmaldr.

4. Denemeler birbirinden bamsz olmaldr.

Yukarda da belirtildii gibi, bir denemenin, baflar ve baflarszlk olarak ifade

edilen iki sonucu vardr. Ancak burada baflar, gerek baflar ya da arzulanan bir

sonu anlamna gelmemektedir. Ayn biimde baflarszlk da istenmeyen, bir du-

rum olmayp, baflar ve baflarszlk sadece, iki farkl sonucu ifade etmek iin kul-

lanlmaktadr. Sonu olarak, karfllafllan zel problemde istenen sonuca baflar, is-

tenmeyen sonucaysa baflarszlk denmektedir.

istatist ik118

A M A 5


17/32

Z

M

Hatasz bir parann 10 kez atld bir deney, bir binom deneyi midir?

Aflada ayrntl bir biimde gzden geirilecei gibi, hatasz bir parann 10 kezatlmas deneyi gerekli drt koflulu da salad iin bir binom deneyidir.1. Burada ayn trden (zdefl ) 10 deneme (atfl ) vardr ve 10 denemenin tm

de de ayn koflullardadr.2. Her denemenin yaz ve tura olmak zere iki olas sonucu vardr ve burada ya-

z gelmesi baflar, tura gelmesi ise baflarszlk olarak nitelenmektedir.3. Herhangi bir atflta yaz (baflar ) gelme olasl 1 / 2 , tura (baflarszlk) gel-

me olasl da 1 / 2 olup,

p = P (Y) = 1 / 2 ve q = P (T) = 1 / 2

olaslklar toplam 1 dir ve bu deerler btn denemelerde ayndr.

4. Denemeler birbirinden bamszdr ve herhangi bir denemede yaz gelmesi,izleyen denemenin sonucunu etkilememektedir.Sonu olarak bir parann 10 kez atlmas deneyi bir binom deneyidir.

Bir firma tarafndan retilen TV setlerinin % 5inin kusurlu (arzal ) ol-duu bilinmektedir. Bu firmaca retilen TV setlerinden rassal tanesi-nin seilmesi ve kalite kontrol uzmanlarnca dikkatli bir biimde incelen-mesi deneyi, bir binom deneyi midir?

1. Bu rnekte tane ayn trden (zdefl) deneme vardr.2. Her denemede (arzal ve arzasz) iki sonu vardr ve bu sonular baflar ve

baflarszlk olarak deerlendirilmektedir.3. TV setinin arzal (baflar) olma olasl p = 0.05, arzasz (baflarsz) olma ola-

sl q = 0.95 olup olaslklar toplam 1dir.4. Denemeler birbirinden bamszdr. nk incelenen herhangi bir TV setinin

arzal olmas daha sonra incelenecek olanlarn arzal ya da arzasz olmasnetkilememektedir.

Bu drt koflulun salanmas nedeniyle bu deney de bir binom deneyidir.

Binom Olaslk Dalm ve Binom FormlBir binom deneyinde n denemede elde edilen baflar says X ile ifade ediliyorsa,

X rassal deiflkenine binom rassal deiflkeni, dalmnaysa binom olaslk dal-m ya da ksaca binom dalm denmektedir. Binom dalm, n denemeden x ba-

flarl sonucun elde edildii binom deneyinde olaslk hesaplamak amacyla kulla-nlmaktadr. Burada X in kesikli rassal deiflken olduu unutulmamaldr. Nitekimyukarda incelenmifl olan TV seti rneinde baflarl sonu says 0, 1, 2 ve 3denbir tanesi olacaktr.

Binom Forml, Bir binom deneyinde, n denemeden x tane baflarl sonuelde edilmesinin olasl, afladaki binom formlyle bulunmaktadr.

Burada; n = toplam deneme saysp = baflarl sonu elde edilme olaslq = 1 - p = baflarsz sonu elde edilme olaslx = baflarl sonu saysn - x = baflarsz sonu saysdr.

P x =

n

x px

. qnx

, x = 0,1, ..., n


R N E K 1 6

ZM

R N E K 1 7


18/32

Yukarda verilen ve arzal olma olasl % 5 olan TV seti rneinde, ras-

sal seilmifl olan 3 TV setinden sadece bir tanesinin arzal olma olaslnedir?

Burada ilk olarak,

D = Seilmifl bir TV setinin arzal olmasG = Seilmifl bir TV setinin arzal olmamas

olaylar tanmlanr. Afladaki aa diyagramndan da grlecei gibi buradaortaya kacak 8 olas sonutan sadece tanesiyle ilgilenilmektedir. Bunlar,

DGG, GDG, GGD

dir.

Burada rassal seilen bir

TV setinin arzal olma olas-

l p = P(D) = 0.05 ve arza-

sz olma olasl da q = P(D)

= 0.95 dir. ok genifl bir kt-

leden seildii dflnld-

nde, seimler birbirinden

bamsz olacaktr. Burada il-

gilenilen durumun (sade-ce bir tanesinin arzal olma-

s) olaslklar, eski bilgiler-

den yararlanlarak kolaylkla

bulunur.

P(DGG) = P(D) P(G) P(G) = (0.05) (0.95) (0.95) = 0.0451

P(GDG) = P(G) P(D) P(G) = (0.95) (0.05) (0.95) = 0.0451

P(GGD) = P(G) P(G) P(D) = (0.95) (0.95) (0.05) = 0.0451

Burada DGG, D, G ve G olaylarnn arakesiti ya da bu olasln P(DGG)

biiminde bileflik olasldr. Bu sonucun ortaya kma olasl (bileflik olaslk),

arpma kuralyla elde edilmifltir.

teki iki durum iin de benzer yorumlar yaplabilir. Sonu olarak istenen

olaslk,

P (3 TV setinden 1 tanesinin arzal olmas ) = P (DGG ya da GDG ya da GGD)

= P (DGG) + P (GDG) + P (GGD)

= 0.0451 + 0.0451+ 0.0451

= 0.1353olarak bulunur.

istatist ik120

R N E K 1 8

fiekil 5.4 TV setineiliflkin aadiyagram.

ZM


19/32

ZM

fiimdi ise ayn sonu binom forml ile bulunacaktr.

n = toplam deneme says = 3

x = baflarl sonu says = 1n - x = baflarsz sonu saysdr = 3 1 = 2

p = P (baflarl) = 0.05

q = P (baflarsz) = 0.95

olmak zere binom formlnden,

elde edilir.

Yksek kalitede hizmet sunan bir kargo flirketinin, paketlerinden sadece

% 2sini belirlenen srede yerine ulafltramad bilinmektedir. Bir mflte-

ri 10 tane paketi bu kargo firmasna getirerek, belirli bir srede zerle-

rinde yazl adreslere ulafltrlmasn istemifltir.

a) Bu paketlerden bir tanesinin belirlenen srede yerine ulaflmama olaslnedir?

b) Bu paketlerden en ok bir tanesinin belirlenen srede yerine ulaflma-

ma olasl nedir?

Burada paketin yerine ulaflmamas baflar, ulaflmasysa baflarszlk olarak tanmlanrsa,

n = toplam paket says = 10p = P (baflarl) = 0.02q = P (baflarsz) = 1 p = 1 0.02 = 0.98

deerleri yazlr.

a) Sadece bir paketin ulaflmamas durumuyla ilgilenildiinden,

x = baflarl sonu says = 1n - x = baflarsz sonu saysdr = 10 1 = 9

deerleri de kullanlarak istenen olaslk bulunur.

P x = 1 =10

10.02 1 0.98 9 = 10!

1! 9!0.02 1 0.98 9

= 10 0.02 0.8337 = 0.1667


3 denemeden 1 baflarl Baflarl sonu Baflarsz sonusonu elde etme olasl says says

Baflar olasl Baflarszlk olasl

P x = 1 =3

10.05 1 0.95 2 = 3 0.05 0.9025 = 0.1353

R N E K 1 9


20/32

istatist ik122

b) En ok bir paketin yerine ulaflmamas durumuyla ilgilenildiindeyse x = 0 vex = 1 olmaktadr. Bu durumda

P(x 1) = P(x = 0) + P(x = 1)

sonucu elde edilmektedir.

Bir arafltrma sonucunda 6 yaflndan kk ocuklu, evli kadnlarn %

60nn ev hanm olmadklar bulunmufltur. Bu gruptan evli kadn ras-sal olarak seilmifltir. x, ev hanm olmayan kadn saysn gstermek

zere , kadnn da ev hanm olmama olasln bulunuz, x rassal de-

iflkeninin olaslk dalmn yazarak grafiini iziniz.

x, 3 birimlik kadn rnekleminde ev hanm olmayan kadn says, n - x ise ev

hanm kadn says olmak zere,

n = toplam kadn says = 3

p = P (ev hanm olmayan kadn) = 0.60

q = P (ev hanm kadn) = 1 - p = 1 - 0.60 = 0.40

bilgilerinden yararlanarak istenen olaslk bulunur. Burada x rassal deiflkeni

0, 1 , 2 ve 3 deerlerini alacak ve istenen olaslk , bu olaslk deerleri arasndan

seilecektir.

P(x = 0, 1, 2 , 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

Soruda istenen olaslk P(x = 3) = 0.2160 dr.

Yukarda elde edilen olaslk deerlerinden yararlanarak x in olaslk dalm-

n ve olaslk dalmnn grafii aflada verilmifltir.

=3

00.60 0 0.40 3 +

3

10.60 1 0.40 2 +

3

20.60 2 0.40 1

+3

3

0.60 3 0.40 0

= 0.0640 + 0.2880 + 0.4320 + 0.2160 = 1

=10

00.02 0 0.98 10 +

10

00.02 1 0.98 9

= 1 1 0.8171 + 10 002 0.8337 = 0.9838

R N E K 2 0

ZM


21/32

ZM

Bir arafltrma sonucunda tketicilerin % 20sinin indirim yapan market-

lerden alflverifl yaptklar bulunmufltur. Bu tketiciler arasndan rassal

seilen 6 kifli iin afladaki deerleri bulunuz.

a) 3 tketicinin indirim yapan marketlerden alflverifl yapma olasln.b) En ok 2 tketicinin indirim yapan marketlerden alflverifl yapma ola-

sln.

c) En az 3 tketicinin indirim yapan marketlerden alflverifl yapma olas-

ln.

d) Tketicilerden 1 - 3 tanesinin indirim yapan marketlerden alflverifl

yapma olasln.

e) x rassal deiflkeni indirim yapan marketlerden alflverifl yapan tke-

ticilerin saysn gstermek zere x in olaslk dalmn yaznz ve

olaslk dalmnn grafiini iziniz.

stenen olaslk deerlerinin bulunabilmesi iin

n = toplam tketici says = 6

x = indirim yapan marketlerden alflverifl yapan kifli says

= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

p = P (indirim yapan marketlerden alflverifl yapma) = 0.20

q = P (indirim yapan marketlerden alflverifl yapmama) = 1 - p = 1 - 0.20

= 0.80

deerlerine gereksinim vardr.


Tablo 5.8 x inOlaslk Dalm.

x P(x)

0 0.0640

1 0.2880

2 0.4320

3 0.2160

Toplam 1.0000

fiekil 5.5 x inOlaslk DalmnnGrafii.

R N E K 2 1

0.2880

0.4320

0.2160

0.0640

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 1 2 3 x

P(x)


22/32

a) 3 tketicinin indirim yapan marketlerden alflverifl yapma olasl,

b) En ok 2 tketicinin indirim yapan marketlerden alflverifl yapma olasl,

P(x 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)

= 0.2621 + 0.3932 + 0.2458 = 0.9011

c) En az 3 tketicinin indirim yapan marketlerden alflverifl yapma olasl,

P(x 3) = P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6)

ya da

1 - P(x>2 = 1 - 0.9011 = 0.0989

= 0.0819 + 0.0154 + 0.0015 + 0.0001 = 0.0989

d) Tketicilerden 1 - 3 tanesinin indirim yapan marketlerden alflverifl yapmaolasl,

P(1 x 3) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

= 0.3932 + 0.2458 + 0.0819 = 0.7209

dur.e) x rassal deiflkenin olaslk dalm ve olaslk dalm grafii afladaki gibidir.

P x = 3 =

6

3 0.20

3

0.80

3

= 0.0819

istatist ik124

x P(x)

0 0.2621

1 0.3932

2 0.2458

3 0.0819

4 0.0154

5 0.0015

6 0.0001

Toplam 1.0000

Tablo 5.9 x inOlaslk Dalm.

fiekil 5.6x in

Olaslk DalmnnGrafii.

0.3932

0.2458

0.0819

0.0154 0.0015 0.0001

0.2621

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 1 2 3 4 5 6x

P(x)


23/32

Baflar Olasl ve Binom Dalmnn Biimin deneme durumunda,

1. Eer p = 0.50 ise binom dalm simetrik,2. Eer p , 0.50den kk ise binom olaslk dalmnn saa doru arpk,3. p , 0.50den byk ise binom olaslk dalmnn sola doru arpk,

olduu gsterilebilir.

Bu durumlar aflada verilmifltir:

1. n = 4 ve p = 0.50 olarak alnacak olursa, x olaslk dalm ve olaslk da-lmnn simetrik grafii afladaki gibidir.

2. n = 4 ve p = 0.30 (0.50den kk) olarak alnacak olursa, x in olaslk da-lm ve saa doru arpk grafii afladaki gibidir.


x P(x)

1 0.25002 0.3750

3 0.2500

4 0.0625

Toplam 1.0000

Tablo 5.10 n = 4 ve p= 0.50 iin x'in

Olaslk Dalm

fiekil 5.7x inOlaslk DalmnnGrafii.

x P(x)

0 0.2401

1 0.4116

2 0.2646

3 0.0756

4 0.0081

Toplam 1.0000

Tablo 5.11 n = 4 ve p= 0.30 iin x inOlaslk Dalm.

0.2500 0.2500

0.3750

0.06250.0625

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4

P(x)

x


24/32

3. n = 4 ve p = 0.80 (0.50den byk) olarak alnacak olursa, x in olaslk da-lm ve sola doru arpk grafii afladaki gibidir.

Binom Dalmnn Ortalama ve Standart SapmasDaha nce, kesikli bir rassal deiflkenin olaslk dalmnn ortalama ve standartsapmasnn nasl hesaplanacana deinilmiflti. Buradaysa kesikli rassal deiflke-nin binom dalmna sahip olmas durumunda, ortalama ve standart sapmann el-de edilmesinde kullanlan, daha uygun ve basit formller incelenecektir.

Binom Dalmnn Ortalama ve Standart Sapmas, Bir binom dalmnnortalama ve standart sapmas,

m = n p

istatist ik126

fiekil 5.8 x inOlaslk DalmnnGrafii.

x P(x)

0 0.0016

1 0.0256

2 0.1536

3 0.4096

4 0.4096

Toplam 1.0000

Tablo 5.12 n = 4 vep = 0.80 iin x inOlaslk Dalm.

fiekil 5.9 x inOlaslk Dalmnn

Grafii.

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.00810.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

P(x)

x

0.00160.0256

0.1536

0.4096 0.4096

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

P(x)

x


25/32

ZM

ve

biiminde olup, burada n toplam deneme says, p baflar olasl ve q ise bafla-rszlk olasldr.

Afladaki rnekte, bir binom dalm iin ortalama ve standart sapmann he-saplanmas verilecektir.

Yaplan bir arafltrmayla bir kasabadaki eriflkinlerin % 58inin psikolojik

sorunu olduu bulunmufltur. Bu kasabadan rassal 25 eriflkin seilmifltir.x , bu rneklemdeki psikolojik sorunu olan kifli saysn gstermek zere,

x in olaslk dalmnn ortalama ve standart sapmasn bulunuz.

25 denemesi olan bu deneyde, psikolojik sorunu olan ve olmayan eriflkinler ol-mak zere iki sonu bulunmaktadr. Burada baflar olarak dflnlen sonu p =0.58 ve baflarszlk olarak deerlendirilen sonu ise q = 0.42 dir. Bu rnekte bi-nom olaslk dalmna iliflkin ortalama ve standart sapma formlleri kullanlma-dan da istenen deerleri bulmak olanakl ancak yorucudur. Oysa ki yukarda ve-rilmifl olan formllerden yararlanlarak ortalama ve standart sapma deerleri sra-syla,

m = n p = 25 (0.58) = 14.50

olarak kolayca bulunabilir. Bu deerlerin anlam; seilen 25 kifliden 2.47 standartsapmayla ortalama 14.50 tanesinin psikolojik sorunlu olmas beklenmektedir.

1. Afladaki kavramlar ksaca aklaynz.a) Bir binom deneyib) Bir denemec) Bir binom rassal deiflkeni

2. Afladakilerden hangilerinin binom deneyi olduunu syleyiniz.a) Bir zarn ok kez atlarak sonularnn okunmas.

b) Bir zarn ok kez atlarak sonularnn tek say m yoksa ift say m olduununokunmas.

c) Bir lkedeki tm semenlerin % 54nn mevcut iktidar partisini destekledii bi-linmektedir. Bu kitleden (semenler) rassal seilen az sayda semene, mevcutiktidar partisini destekleyip desteklemediklerinin sorulmas.

3. x , binom dalm gsteren kesikli bir rassal deiflken olmak zere, binom form-lnden yararlanarak afladaki olaslklar bulunuz.a) n = 8 ve p = 0.60 iin P(x = 5)b) n = 4 ve p = 0.30 iin P(x = 3)c) n = 6 ve p = 0.20 iin P(x = 2)

s = n p q = 25 0.58 0.42 = 2.47

s = n p q


R N E K 2 2

SIRA S ZDE


26/32

POSSON OLASILIK DAILIMI

Kesikli rassal deiflkenlerin dier nemli bir dalm olan Poissondalmn kullanarak ilgili olaslklar, ortalama ve standart sap-

masn hesaplayabileceksiniz.

Fransz matematiki Simeon D. Poissonun adyla anlan Poisson olaslk dalm,binom dalm gibi Xin kesikli bir rassal deiflken olmas durumunda (yaygn)kullanlan dalmlardan biridir. rnein bir kavflakta trafik kazas olmas aydabirka kez rastlanan bir olaydr. Burada istenen, gelecek ay o kavflakta iki trafikkazas olmas olasldr. Bu rnek Poisson olaslk dalmna uygundur ve herkaza olmas; meydana gelme ya da tekrar olma (occurrence) biiminde ifade edi-lir. Bu durumda Poisson dalmnn, rassal ve bamsz olayl deneylerde kulla-nld sylenebilir. Kaza rneinde olduu gibi, Poisson dalmnda olaylar ras-

saldr, herhangi bir sra izlemedikleri gibi nceden kestirilmeleri de olanakl deil-dir. Burada olaylarn bamszlnn anlam, bir olayn bir kez meydana gelmesive kendisini izleyen olaylarn meydana gelmesi ya da gelmemesi zerinde etkisi-nin bulunmamasdr. Olaylarn meydana gelifli, hep bir aralkta ele alnr (trafik r-neinde bir ay gibi). Bu aralk bir zaman aral, bir uzay aral olabilecei gibibir hacim aral da olabilmektedir. ncelenen bir aralkta olayn tekrar rassal vebamszdr. Eer verilen bir aralkta tekrar saysnn ortalamas biliniyorsa, Pois-son olaslk dalm kullanlarak, x ile gsterilen tekrar saysna iliflkin herhangibir deerin olasl hesaplanabilmektedir.

Poisson Olaslk Dalmnn Uygulanma Koflullar, Poisson olaslk da-

lmnn uygulanabilmesi iin afladaki koflulun salanmas gerekir.1. x kesikli rassal deiflkendir.2. Tekrarlar rassaldr.3. Tekrarlar bamszdr.Konuya aklk kazandrlmas asndan aflada, Poisson olaslk dalmnn

uygulanabilecei baz rnekler ele alnmfltr..1. Bir hastanenin acil servisine belirli bir zaman aralnda (bir saat, bir gn)

gelen hasta says. Burada hasta geliflleri (tekrar) rassaldr ve gelen hasta sa-ys 0, 1, 2,.... olabilir. Hasta geliflleri (tekrar) bamszdr. nk gelifllertek tektir ve gelen iki hasta arasnda iliflki yoktur.

2. Bir makinede retilecek 100 paradan, kusurlu para says da Poisson da-lmna uygundur. nk burada bir hacim aral (100 para) sz konu-su olup, kusurlu para saylar (tekrar) rassal ve bir parann kusurlu olma-s, bir dierinden bamszdr.

3. 5 metre uzunluunda bir demir ubuktaki hava kabarcklar (kusur) incele-niyor olsun. Bu rnekte aralk bir uzay aral olup hava kabarc saysrassaldr ve bu hava kabarcklar birbirinden bamszdr.

Bu rneklere benzer bir biimde olan afladaki rnekler de Poisson olaslkdalmna uygundur.

1. Bir otoyolda bir haftalk sredeki kaza says.2. Bir manava bir saatlik srede gelen mflteri says.3. Bir maazada bir haftalk srede satlan TV seti says.

istatist ik128

A M A 6


27/32

te yandan bir doktorun muayenehanesine gelen hasta says bunlardan fark-

ldr. nk gelecek hastalar daha nce randevu aldklarndan rassal bir say ol-

mayp, ka kiflinin gelecei daha nceden (yaklaflk olarak) bilinmektedir. Ayn

biimde bir hava alanndan kalkacak ya da bu hava alanna inecek uak says da

rassal deildir ve nceden bilinmektedir. Bu nedenle rassal olma koflulu salan-

mad iin bu tr verilere Poisson olaslk dalm uygulanamamaktadr.

Poisson olaslk dalmnda ortalama tekrar (meydana gelme) says l (Lam-

da) ile, verilen aralktaki tekrar says da x ile gsterilmektedir. Poisson olaslk da-

lm kullanlarak, lortalama tekrar says biliniyorken, verilen bir aralkta x tek-

rarlanma saysnn olasl elde edilmektedir.

Poisson Olaslk Dalm Forml, Poisson olaslk dalmna gre, bir

aralkta x tekrarn gzlenmesi olasl,

eflitliiyle bulunmaktadr. Burada l verilen aralkta ortalama tekrar saysdr

(e=2.71828).

Bir aralktaki ortalama tekrar says l, Poisson olaslk dalmnn parametre-

si ya da ksaca Poisson parametresi olarak bilinir. Yukardaki formlden de anla-

fllaca gibi, x tekrar saysnn olaslnn bulunabilmesi iin, sadece ldeerinin

bilinmesi yeterlidir. nk formldeki e-l deeri, ya hesaplanmakta ya da hazr

tablolardan bulunmaktadr.

Yaplan bir arafltrmadan 18-24 yafl grubundaki tketicilerin ayda ortala-ma 6.9 kez alflverifle ktlar bulunmufltur. Poisson olaslk dalmna

uyduu dflnlen rassal deiflken iin, 18-24 yafl grubunun ayda 5 kez

alflverifle kmas olasln bulunuz.

Ortalama alflverifl says olan 6.9 dalmn ortalamas ve olasl bulunmas is-

tenen tekrar says x ise 5 alnarak istenen olaslk deeri, Poisson dalm form-

lnden elde edilir.

Bir amaflr makinesi, ayda ortalama, kez skma arzas yapmaktadr.

Poisson olaslk dalmndan yararlanarak bu makinenin gelecek ay

a) ki kez arzalanmas,

b) En ok bir kez arzalanmas

olaslklarn bulunuz.

P x = 5 = lx e-l

x!=

6.9 5 e-6.9

5!

=

15640.31349 0.001008

120= 0.1314

P x = lx

e-l

x!


R N E K 2 3

ZM

R N E K 2 4


28/32

ZM

ZM Ayda ortalama kez skma arzas olduuna gre l = 3 dr. Bu durumda;

a) Gelecek ay iki kez skma arzas olma olasl;

olarak bulunur.b) Gelecek ay, en ok bir skma arzas ifadesiyle; hi arza olmamas ve sadece

bir arza olmas kastedilmektedir.

P (En ok bir arza) = P(x 1) = P (0 ya da 1) = P(x = 0) + P(x = 1)

olarak elde edilir.Poisson olaslk dalmnda lve x in aralklar ayn olmaldr. Aksi takdirde

eflitliin salanmas iin lortalamasnn tekrar tanmlanmas gerekir.

Bir firma yeni rettii bir rnn pazar bulabilmesi iin, bu rn alan-

lardan beenmeyenlere, 7 gnlk sre ierisinde rn geri getirdikleritakdirde, paralarnn iadesi kampanyas bafllatmfltr. Geen sre ieri-

sinde satlan 10 rnden 2 tanesinin parasnn, iade edildii grlmfl-tr. Poisson olaslk dalmndan yararlanarak gelecekte satlacak 40

rnden 6 tanesinin parasnn iade edilmesi olasln bulunuz.

Burada nemli bir sorunla karfllafllmaktadr. Bu sorun, yukarda deinildii gibi;ortalama deerin aral ile xin aralyla farkl olmasdr. nk l= 2 deeri 10

satfltan elde edilmiflken gelecekte yaplacak 40 satfltan 6 tanesine para iadesi so-rulmaktadr. Bu durumda x = 6 ayn kalacak, ancak l ortalama deeri, istenenaralk iin tekrar tanmlanacak, bu deer de l= 8 olacaktr. Ortalamann yenidentanmlanmasnn ardndan Poisson olaslk dalmndan yararlanarak istenen ola-slk;

bulunur.Aslnda Poisson olaslk dalm, nadir karfllafllan ya da tekrarlanan (olasl

ok kk) olaylar iin kullanlmaktadr. Oysa yukardaki rnekte olaslk deeriP = 2 / 10, tekrar says n = 40 ve olasl bulunmas istenen tekrarlanma says x= 6 olarak dflnldnde, deney bir binom deneyi olarak dflnlr ve istenenolaslk binom dalm formlnden de elde edilebilir.

Bu duruma, binom dalm yaklaflmnda Poisson dalmnn kullanlmas adverilir ve zellikle n saysnn ok byk olmas durumunda binom dalmylaolaslk bulmann zaman kaybettirmesini ortadan kaldrmak amacyla kullanlr.

P x = 6 =40

6= 0.20 6 0.80 34 = 40!

6! 34!= 0.20 6 0.80 34 = 0.1246

P x = 6 = lx e-l

x!=

8 6 e-8

6!=

262144 0.000335

720= 0.1220

istatist ik130

P x = 2 = lx e-l

x!=

3 2 e-3

2!=

9 0.049787

2= 0.2240

R N E K 2 5


29/32

ZM

Bolkazan bankasnn Kzlay fiubesinde her gn ortalama iki tane yeni

hesap atrld bilinmektedir. Verilen bir gnde,a) 6 yeni hesap

b) En ok 3 yeni hesapc) En az 7 hesap

atrlmas olaslklarn bulunuz.

nce, formlde kullanlacak deerler tanmlanmaldr.

l= Her gn alan ortalama yeni hesap says.x = Verilen gnde alacak yeni hesap says.

Bu bilgiler flnda Poisson olaslk dalm forml kullanlarak istenenolaslklar;

a)

b) P(x 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)= 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804 = 0.8571

c) P(x 7) = 1 P(x < 7)= 1 { P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

+ P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6) }= 0.0045

olarak bulunur.

Bir otomobil galerisinde gnde ortalama 0.9 otomobil satlmaktadr. x,ver-

ilen bir gnde satlan otomobil saysn gstermek zere, Poisson olaslk

dalmn bulunuz ve olaslk dalmnn grafiini iziniz.

Poisson olaslk dalm iin gerekli deeri l = 0.9 bilinmektedir. Ancak satlanotomobil says x ise 0, 1, 2, 3, 4, ...., olabilecektir. Bylesi durumlarda x deerininsays, bulunan olaslk deerine baklarak belirlenmektedir. Olaslk deerinin ih-mal edilebilecek dzeyde olmas durumunda (yaklaflk sfr) olasl bulunan xdeeri durdurulmaktadr. Bu dflnce flnda oluflturulan Poisson olaslk dalmve olaslk dalmnn grafii aflada verilmifltir.

P x = 6 = lx e-l

x!=

2 6 e-2

6!= 0.0120


R N E K 2 6

R N E K 2 7

Tablo 5.13 l= 0.9iin OlaslkDalm.

x P(x)

0 0.4066

1 0.3659

2 0.1647

3 0.0494

4 0.0111

5 0.0020

6 0.0003

ZM


30/32

Poisson Olaslk Dalmnn OrtalamasPoisson dalmda ortalama ve varyans parametrelerinin her ikisi de ldr. Stan-dart sapma, varyansn pozitif kare kk olduundan bu da dir.

m = l

s2 = l

s =

rnein, yukardaki rnek 5.27 iin bu deerler;

m = l = 0.9s2 = l = 0.9

otomobil olmaktadr.

1. Poisson olaslk dalmnn uygulanabilmesi iin salanmas gereken koflullar nelerdir?

2. Poisson dalmnn parametresi nedir ? Ne anlama gelmektedir?

3. Poisson formlnden yararlanarak afladaki olaslklar bulunuz.a) l= 4 iin P(x 1)b) l= 5.3 iin P(x = 8)

l

l

istatist ik132

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 1 2 3 4 5 6 x

P(x)

fiekil 5.10 OlaslkDalmnn Grafii.

SIRA S ZDE


31/32

133

Kendimizi Snayalm1. Dayankl tketim mal satan bir maazann son 100 iflgnndeki gnlk satfllar afladaki tabloda verilmifltir.

Satfl saylar 2 3 4 5 6

Gn saylar 12 21 34 19 14

Yukardaki tabloya gre X, gnlk satfl gstermek ze-

re, P(X


32/32

134

10. Bir A firmasnda istenilen verimin elde edilmesi vesrdrlebilmesine iliflkin olarak alflanlara uygulanan

bir anket sonucunda, alflanlarn 0.50 si alflma koflulla-

rnn en nemli faktr olduunu belirtmifllerdir.

A firmas alflanlarndan rastgele seilen 10 kifliden en

ok 5 tanesinin alflma koflullarnn en nemlietken ol-

duunu iflaretleme olasl nedir?

a. 0.2051

b. 0.2725

c. 0.3770

d. 0.6230

e. 0.7730

Yant Anahtar1. d

2. a

3. d

4. e

5. a

6. b

7. a

8. e

9. d

10. d

Yararlanlan KaynaklarHOEL, P.G. and JESSEN, R.J.: Basic Statistics for

Business and Economics, Wiley, NewYork, 1971.

MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2nd Edition, Wiley,

New York, 1995.

OHAGAN, A., Probability: Metods and Measurement,

Chapman and Hall, London, 1988.

WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: Introductory

Statistics, 4th Edition, Wiley, Singapore, 1985.

istatist ik

1700l yllarn sonlarnda astronomi alanndaki alflmalaryla dikkat ekti. zleyenyllarda integral, sonlu uzaylar ve differansiyel denklemler zerinde alflt.

1812de, 1779 ylnda yaynlad bir makalesini temel alarak olaslk kavram zerinde

alflmaya bafllad. Sonraki yllarda Gauss ve Legendrenin de ilgilendii en kk kareler

yntemine iliflkin alflmasn tamamlad. 1819da olaslk konusunda yazd Theorie

des Probabilits adl kitab yaynland.

PIERRE SIMON LAPLACE (1749-1827)

Documents

istatistik unite05