Kalkulus - Kurva Parametrik Bidang Dan Koordinat Polar PPT 1

8/20/2009

1

Koordinat Cartesian

x-axis positifx-axis negatif

y-axis positif

y-axis negatif

x

y(x, y)

Titik asal

Untuk titik-titik,terdapat pasangan urut

yang unik (x, y) yang

menggambarkan lokasi titik tersebut.

Koordinat Polar

polar axis

(r, )

r

kutub

Apakah (r, ) unik

untuk setiap titik?

TIDAK!!Semua pasangan di bawah ini menggambarkan titik yang sama :

(5, 120)(5, 480)(-5, 300)(-5, -60)dll ...

Sudut dapat ditulis dalam bentuk derajat atau radian.

8/20/2009

2

Grafik Polar Menggambar titik dalam koordinat polar

0

30

6090

180

120

150

210

240270

300

330

(5, 150) (6, 75)

(3, 300)(3, -60)(-3, 120)

(-4, 30)

(7, 0)

(-7, 180)

Mengkonversi KoordinatPolar Kartesian

2 2 2r x y= +

tanyx

=

sinry =

x

y(r, ) (x, y)

r

Saran:Temukan (r, ) dimanar > 0 dan0 < 2pi atau 0 < 360.

cosx r =

Hubungan antara r, , x, & y

K P

P K

8/20/2009

3

Contoh: Konversi KoordinatPolar Kartesian

sinry =cosrx =(3, 210 )

(3cos 210 ,3sin 210 )

3 13 , 32 2

=

=

23

,

233

6 ,2 pi

2cos , 2sin6 6pi pi

3 12 , 22 2

=

( )1- ,3=


222 yxr +=x

y=tan

Kuadran I)7 ,3( 5873 22 =+=r

8.6637

tan 1 ==

)8.66 ,58( )7 ,3(

7tan

3 =

8/20/2009

4


222 yxr +=x

y=tan

Kuadran II)7 ,3( 587)3( 22 =+=r

8.6637

tan 1 =

=

)2.113 ,58()1808.66 ,58( )7 ,3( =+37

tan =

)8.66 ,58( )7 ,3( ATAU


222 yxr +=x

y=tan

Kuadran III)7 ,3( 58)7()3( 22 =+=r

8.6637

tan 1 ==

)8.246 ,58()1808.66 ,58( )7 ,3( =+37

tan =

)8.66 ,58( )7 ,3( ATAU

8/20/2009

5


222 yxr +=x

y=tan

Kuadran IV)7 ,3( 58)7(3 22 =+=r

8.6637

tan 1 =

=

)93.22 ,58()3608.66 ,58( )7 ,3( =+37

tan =

)8.66 ,58( )7 ,3( ATAU

Konversi PersamaanPolar Kartesian

Seperti sebelumnya maka :

222 yxr +=

x

y=tan sinry =

cosrx =

8/20/2009

6


Ubah semua xx dengan r cos .

Ubah semua yy dengan r sin .

Sederhanakan

Selesaikan dalam rr (jika memungkinkan).


Nyatakan persamaan hanya dalam fungsi sin dan cos saja.

Jika memungkinkan, manipulasi persamaan sedemikian sehingga semua bentuk cos dan sin dikalikan dengan r.

Ubah :

Sederhanakan (solve dalam y jika mungkin)

r cos dengan x

r sin dengan y

r2 dengan x2+y2

Atau jika gagal, gunakan :

2 2cos

x

x y =

+

22sin

yxy+

=

22 yxr +=

8/20/2009

7

Menggambar Persamaan Polar

Ingat: Bagaimana menggambar grafik persamaan kartesian?

Cara 1:

Buat tabel nilai-nilainya.

Gambar koordinatnya (dari tabel yang diperoleh).

Cara 2:

Kenali dan gambar persamaan yang telah diketahui.

Contoh: Persamaan linier, kuadratik, konik, dll.

Cara yang sama dapat diterapkan dalam persamaan polar.

Menggambar persamaan polarCara 1: Gambar dan menghubungkan titik

1. Buat tabel nilai-nilainya.

2. Gambar koordinatnya (dari tabel yang diperoleh).

3. Hubungkan titik-titiknya untuk yang semakin besar.

8/20/2009

8

Contoh

Gambar


Simetri terhadap sumbu x-axis Mengganti dengan - tidak mengubah fungsi awal.

Kesimetrian

(r,)

(r,-)

8/20/2009

9


Simetri terhadap sumbu y-axis Mengganti dengan pi - tidak mengubah fungsi

awal.

(r,)(r,pi-)

Kesimetrian


Simetri terhadap titik asal Mengganti r dengan r tidak mengubah fungsi awal.

Mengganti dengan pi tidak mengubah fungsi awal.

(r,)

(-r,)(r, pi)

Kesimetrian

8/20/2009

10

Menggambar persamaan polar Cara 2: Mengenali bentuk tertentu

Lingkaran

Pusat pada titik asal: r = a Jari-jari: a periode = 360

Persamaan lngkaran: r = a sin Pusat: (a/2, 90) jari-jari: a/2

periode = 180

a > 0 di atas a < 0 di bawah

Persamaan lingkaran: r = a cos Pusat: (a/2, 90) jari-jari: a/2

periode = 180

a > 0 di kanan a < 0 di kiri

r = 4

r = 4 sin

r = 4 cos


Bunga (pusat di titik asal)

r = a cos n atau r = a sin n Jari-jari: |a|

n genap 2n daun

1 daun setiap 180/n

periode = 360

n ganjil n daun

1 daun setiap 360/n

periode = 180

cos daun ke-1 @ 0

sin daun ke-1 @ 90/n

r = 4 sin 2

r = 4 cos 3

8/20/2009

11


Spiral

Spiral Archimedes: r = k |k| besar loose |k| kecil tight

r = r =


Hati (sebenarnya: cardioid jika a = b lainnya: limacon)

r = a b cos atau r = a b sin

r = 3 + 3 cos r = 2 - 5 cos r = 3 + 2 sin r = 3 - 3 sin

8/20/2009

12


Garis

Melewati titik asal : y = mx = tan-1m

Horizontal: y = k r sin = k r = k csc

Vertical: x = h r cos = h r = h sec

lainnya:

ax + by = c

y = mx + b

cos sinc

ra b

=

+

sin cosb

rm

=


Parabola (dengan vertex pada axis)

NB: Dengan bentuk ini, vertex tidak pernah pada titik asal.

cos1=

ar

sin1=

ar

cos13

+=r

cos17

=rsin1

5+

=rsin1

1

=r

8/20/2009

13


Parabola (dengan vertex di titik asal)

2sincos

ra

= 2cos

sinr

a

=

2y ax= 2x ay=


Leminscat

2 cos 2r a = 2 sin 2r a =

Mengganti 2 dengan n akan memberikan 2n daun jika n ganjik and n daun jika n genap.(itu bukan leminscate)

8/20/2009

14


Irisan Keucut (Konik)

01 cos( )ed

re

=

+

0 111

e ellipse parabolae hiperbola

< <

=

>

Documents

Kalkulus - Kurva Parametrik Bidang Dan Koordinat Polar PPT 1