Katedra za matematiku, FSB · Sadrzajˇ. Sadrzaj:ˇ. 1. Opci vektori i matrice´ Opci vektori´ 2. Matrice Matrice-deﬁnicija Oznake Vrste matrica Transponirana matrica Podmatrice

Matematika 1Opci vektori

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2017

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 1 / 27

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Opci vektori-definicija i interpretacijePojam matrice-pravokutne sheme brojevaMatrice-tipovi i osnovne klasifikacijeZbrajanje i oduzimanje matricaOperator transponiranja


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Opci vektori i matriceOpci vektori

2 MatriceMatrice-definicijaOznakeVrste matricaTransponirana matricaPodmatrice


Opci vektori i matrice Opci vektori

Opci vektori

Vektor je potpuno odreden brojevnim komponetama.Npr. −→a = (2,−4,3)

Zato se ustalilo da se svaki objekt koji je potpuno odreden svojimbrojevnim komponentama zove vektor.−→a = (a1,a2,a3,a4,a5) = (ai , 1≤ i ≤ 5).



Primjer 1.Vektor dnevne zarade trgovackog centra:

−→z =( kafic slasticarna restoran ducan

25, 10, −1, 14)

4−orke realnih brojeva4−dimenenzionalni vektori

}cine 4-dim prostor R4

(−3.2,√

5,0,−13) ∈ R4

(2,0,−3) ∈ R3

(π,7,−√

7,4,−12) ∈ R5




−→z =( kafic slasticarna restoran ducan

25, 10, −1, 14)

4−orke realnih brojeva4−dimenenzionalni vektori

}cine 4-dim prostor R4

(−3.2,√

5,0,−13) ∈ R4

(2,0,−3) ∈ R3

(π,7,−√

7,4,−12) ∈ R5



Primjer 2.Polinomi stupnja ≤ 4 su potpuno odredeni sa svojih 5 koeficijenata izato ih nazivamo 5-dimenzionalnim vektorima tj. da su iz R5

P(x) =3x4−x3 +2x2−x +3−→p =(3,−1,2,−1,3) ∈ R5

Q(x) =5x3−x +1−→q =(0,5,0,−1,1) ∈ R5



Racunanje s Opcim vektorima

−→a =(a1,a2,a3,a4)−→b =(b1,b2,a3,a4)

}=⇒

−→a ±−→b = (a1±b1,a2±b2,a3±b3,a4±b4)

k−→a = (ka1,ka2,ka3,ka4), k ∈ R−→0 = (0,0,0,0)

VEKTORI SU JEDNAKI AKO SU IM ODGOVARAJUCEKOMPONENTE JEDNAKE



Zadatak 1.

Zadani su vektori: −→a = (2,3,−1,0)−→b = (1,0,0,7)−→c = (5,9,−3,−7)Izracunaj:

(1) 2−→a −3−→b

(2)12−→b +−→c

(3) 3−→a −−→b −−→c

(4) suprotni od −→c(5) −→a −2

−→b

(6) 2−→b −−→a



Rjesenje.

(1) 2−→a −3−→b = (1,6,−2,−21)

(2)12−→b +−→c = (

112,9,−3,−7

2)

(3) 3−→a −−→b −−→c = (0,0,0,0)

(4) −−→c = (−5,−9,3,7)

(5) −→a −2−→b = (0,3,−1,−14)

(6) 2−→b −−→a = (0,−3,1,14)


Matrice Matrice-definicija

Matrice

PRAVOKUTNE STRUKTURE BROJEVNIH KOMPONENTI ZOVEMOMATRICAMA


Z =

kafic slast . rest . ducan( )1 1 0 1 0h−8h7 2 −2 3 8h−16h

14 7 1 10 16h−24h

Z je tipa 3×4 tj. ima 3 retka i 4 stupca.


Matrice Oznake

Oznake

A =

[a1,1 a1,2 a1,3 a1,4a2,1 a2,2 a2,3 a2,4

]Krace:

A = [ai ,j ]1≤i≤21≤j≤4

Npr. 2 −1√

2 1/20 5 −3 41 −

√3 2 9

a2,3 =−3, a3,2 =−

√3, a3,4 = 9, . . . itd .


Matrice Oznake

Oznake

A =

[a1,1 a1,2 a1,3 a1,4a2,1 a2,2 a2,3 a2,4

]Krace:

A = [ai ,j ]1≤i≤21≤j≤4

Npr. 2 −1√

2 1/20 5 −3 41 −

√3 2 9

a2,3 =−3, a3,2 =−

√3, a3,4 = 9, . . . itd .


Matrice Oznake

Zadatak 2.Kojeg su tipa matrice:[

1 24 3

],

07−1

, [ 2 3 −10 1 5

],[−5 6

], −1 0 1 2

3 2 1 −10 5 6 7

, 1 2

0 3−1 4

Rjesenje.

2×2, 3×1, 2×3, 1×2, 3×4, 3×2.


Matrice Oznake

Zadatak 2.Kojeg su tipa matrice:[

1 24 3

],

07−1

, [ 2 3 −10 1 5

],[−5 6

], −1 0 1 2

3 2 1 −10 5 6 7

, 1 2

0 3−1 4

Rjesenje.

2×2, 3×1, 2×3, 1×2, 3×4, 3×2.


Matrice Oznake

Zadatak 3.Napisi po jednu matricu tipa 2×3, 3×1, 2×4, 4×2, 1×1.


Matrice Oznake

Zadatak 4.

U matrici

1 −7 20 1 42 1 −13 2 5

ocitaj elemente a2,3, a1,4, a2,1, a3,3.

Rjesenje.a2,3 = 4, a4,1 = 3, a2,1 = 0, a3,3 =−1.


Matrice Oznake

Zadatak 4.

U matrici

1 −7 20 1 42 1 −13 2 5

ocitaj elemente a2,3, a1,4, a2,1, a3,3.

Rjesenje.a2,3 = 4, a4,1 = 3, a2,1 = 0, a3,3 =−1.


Matrice Oznake

MATRICE SU JEDNAKE AKO SU ISTOG TIPA I AKO SU IMODGOVARAJUCE KOMPONENTE JEDNAKEMATRICE SE ZBRAJAJU, ODUZIMAJU I MNOZE BROJEM POKOMPONENTAMA (MORAJU BITI ISTOG TIPA ZA ZBRAJANJE IODUZIMANJE)PRAVILA RACUNANJA SU KAO I ZA VEKTOREMATRICU TIPA 1×n ZOVEMO MATRICA REDAKnpr. A = (1,−3,2,0)MATRICU TIPA n×1 ZOVEMO MATRICA STUPAC

npr. A =

−3250


Matrice Oznake

Zadatak 5.

Za matrice[

1 2 30 1 −2

]i[

0 2 −13 4 2

]izracunati

A+B, B−A, 2A, 3B+2A, 5B−5A.

Rjesenje.

A+B =

[1 4 23 5 0

], B−A =

[−1 0 −43 3 4

], 2A =[

2 4 60 2 −4

], 3B+2A =

[2 10 39 14 2

], 5B−5A =[

−5 0 −2015 15 20

].


Matrice Oznake

Zadatak 5.

Za matrice[

1 2 30 1 −2

]i[

0 2 −13 4 2

]izracunati

A+B, B−A, 2A, 3B+2A, 5B−5A.

Rjesenje.

A+B =

[1 4 23 5 0

], B−A =

[−1 0 −43 3 4

], 2A =[

2 4 60 2 −4

], 3B+2A =

[2 10 39 14 2

], 5B−5A =[

−5 0 −2015 15 20

].


Matrice Oznake

Zadatak 6.Zadane su matrice

A =

[4 0−2 1

], B =

[1 20 −1

], C =

1 12 1−1 1

D =

[0 0 1−1 0 2

]E =

[1 2 3

], F =

[1 2 40 1 2

]G =

0 12 1−1 6

Izracunajte ono sto se moze izracunati:(1) A+B (2) A+C (3) C +F (4) D−F (5) E +3F (6) 2B−A (7) A−H(8) H +B (9) C +G+F (10) A+2H +3B (11) C +G


Matrice Vrste matrica

Vrste matrica

KVADRATNA=TIPA n×n (ISTI BROJ REDAKA I STUPACA) NPR.2 4 −1 03 −4 6 3−2 3 1 −39 0 −1 2

UOCITE GLAVNU DIJAGONALU KVADRATNE MATRICETROKUTASTA=KVADRATNA S NULAMA ISPOD (ILI IZNAD)GLAVNE DIJAGONALE NPR. 1 7 3

0 −1 20 0 0

−1 0 04 0 03 5 2



Vrste matrica

DIJAGONALNA=KVADRATANA S NULAMA IZVAN GLAVNEDIJAGONALE NPR.

1 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 −3

SKALARNA=DIJAGONALNA S ISTIM BROJEM NA GLAVNOJDIJAGONALI NPR.

−2 0 0 00 −2 0 00 0 −2 00 0 0 −2



Vrste matrica

JEDINICNA=SKALARANA S 1 NA GLAVNOJ DIJAGONALI NPR.1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1



Zadatak 7.Koje je vrste matrica

(1)[

2 −20 1

](2)

2 0 00 1 10 0 −7

(3)

2 0 00 1 00 0 −7

(4)

1 0 00 1 00 0 1

(5)

2 0 01 1 05 0 −7

(6)

1 2 3−1 0 12 1 0

(7)[

12 00 12

](8)

[12 00 −12

]



Zadatak 8.Napisi po dvije matrice koje su

1 Kvadratne

2 Trokutaste3 Dijagonalne4 Skalarne5 Jedinicne




1 Kvadratne2 Trokutaste

3 Dijagonalne4 Skalarne5 Jedinicne




1 Kvadratne2 Trokutaste3 Dijagonalne

4 Skalarne5 Jedinicne




1 Kvadratne2 Trokutaste3 Dijagonalne4 Skalarne

5 Jedinicne




1 Kvadratne2 Trokutaste3 Dijagonalne4 Skalarne5 Jedinicne


Matrice Transponirana matrica

Transponirana matrica

AT , TRANSPONIRANA MATRICA MATRICE A, DOBIJA SE IZ AZAMJENOM REDAKA I STUPACANPR.

A =

2 1−3 40 1

=⇒[

2 −3 01 4 1

]Dakle:

1 A tipa n×m =⇒ AT tipa m×n

2 A = [ai ,j ] =⇒ AT = [aj ,i ]



Transponirana matrica

AT , TRANSPONIRANA MATRICA MATRICE A, DOBIJA SE IZ AZAMJENOM REDAKA I STUPACANPR.

A =

2 1−3 40 1

=⇒[

2 −3 01 4 1

]Dakle:

1 A tipa n×m =⇒ AT tipa m×n2 A = [ai ,j ] =⇒ AT = [aj ,i ]



Zadatak 9.Napisi transponiranu matricu zadanih matrica

A =

[1 0 12 −4 2

]B =

[0 1−1 3

]C =

[1−5

]D =

0 24 00 −3

E =

[7 0 3 −5

]F =

3 0 00 −2 00 0 5

G =

1 2 −1 23 0 4 −52 1 2 1



Simetricna i antisimetricna matrica

SIMETRICNA=KVADRATNA U KOJOJ JE A = AT tj. ai ,j = aj ,iNPR. 3 0 5

0 −1 −25 −2 2

ANTISIMETRICNA=KVADRATNA U KOJOJ JE AT =−A tj.ai ,j =−aj ,i(=⇒ ai ,i = 0)NPR. 0 0 5

0 0 −2−5 2 0



Zadatak 10.Je li neka od ovih kvadratnih matrica simetricna odnosnoantisimetricna?

(1)[

1 22 2

](2)

[0 −33 0

](3)

3 1 01 5 −20 −2 7

(4)

3 1 01 5 −20 2 7

(5)

0 0 −20 0 42 −4 0


Matrice Podmatrice

Podmatrice

PODMATRICA MATRICE A JE SVAKA MATRICA KOJA SE DOBIJEIZBACIVANJEM NEKIH REDAKA I (ILI) STUPACA.NPR. AKO JE

A =

3 2 1 4−5 2 0 30 −1 2 1

ONDA IZBACIVANJEM 2 RETKA I 3 STUPCA DOBIJEMOPODMATRICU: (

3 2 40 −1 1

)


Documents

Katedra za matematiku, FSB · Sadrzajˇ. Sadrzaj:ˇ. 1. Opci vektori i matrice´ Opci vektori´ 2. Matrice Matrice-deﬁnicija Oznake Vrste matrica Transponirana matrica Podmatrice