Kepler-törvények, az égitestek mozgása

Készítette: Szalai Tamás (csillagász, PhD-hallgató, SZTE)

Lektorálta: Dr. Szatmáry Károly (egy. docens, SZTE Kísérleti Fizikai Tsz.)

2011. március

• A XVII. század elejéig teljesen rossz elképzelések éltek az emberekben az égitestek mozgását illetően (Föld-középpontú világkép, körpályák, bonyolult mozgástörvények).

• Kopernikusz ugyan rávilágított, hogy a bolygók a Nap körül keringenek, de mozgásukat ő sem tudta helyesen leírni (körpályákat használt).

• Johannes Kepler (1571-1630) német matematikus, csillagász írta le elsőként azégitestek helyes mozgástörvényeit (egykori mentora, Tycho Brahe észlelésiadatait felhasználva).

• Az ő munkájából nőtt ki később az égi mechanika tudománya, ami segített nagyon pontosan meghatározni az égitestek mozgását, és eszközöket juttatni a világűrbe.

Kepler I. törvénye:

A bolygók olyan ellipszispályákon keringenek, amelyek egyik gyújtópontja (fókuszpontja) a Nap középpontjában van.

Kepler II. törvénye:

A bolygók vezérsugara (a bolygó és a Nap közötti szakasz) egyenlő idők alatt egyenlő területeket „súrol”. (A bolygók napközelben gyorsabban mozognak, mint naptávolban.)

Kepler III. törvénye:

A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei:

Kicsit részletesebben a III. törvényről

• Vegyük egy m2 test körül keringő, előbbihez képest

elhanyagolható tömegű m1 test körpályán történő

mozgását:

• A törvény általános formulája

(ellipszis alakú pálya, nem

elhanyagolható tömegek):

Azaz ha pl. a Nap körül keringő égitesteket nézzük, akkor r3/T2 egy konstans érték → vagyis a keringési idő ismeretében kiszámítható az átlagos Nap-bolygó távolság.

Az égitestek mozgása

Az égi mechanika törvényeiből levezethető, hogy az égitestek mozgása kúpszelet alakú pályán történik. Ez lehet:

• ellipszis (e < 1) – az összenergia negatív

(speciális eset: kör, e=0)

• parabola (e =1) – az összenergia nulla

• hiperbola (e > 1) – az összenergia pozitív

(ahol e a pálya lapultsága)

Műholdak és űrszondák pályái

• A műholdak és űrszondák sokféle pályán helyezkednek el, és rendkívül sokrétű feladatot láthatnak el. Ahhoz, hogy egy testet Föld körüli pályára állítsunk, vagy a bolygóközi térbe küldjünk, a különböző, ún. kozmikus sebességeknél nagyobb értékre kell felgyorsítanunk azt.

• I. kozmikus sebesség (körsebesség): Az a sebesség, mellyel indítva egy test (pl. műhold) az adott égitest (pl. a Föld) körüli pályára képes állni. Körpálya esetén a testet pályán tartó centripetális erő egyszerűen felírható:

• II. kozmikus sebesség (szökési sebesség): Az a minimális sebesség , mellyel egy test eltávolodhat az adott égitesttől. Ehhez a test mozgási energiájának legalább akkorának kell lennie, mint a lokális gravitációs potenciális energia:

• Szokás még definiálni ún. III. és IV. kozmikus sebességet is, melyek a Naprendszer, illetve a Tejútrendszer elhagyásához szükséges minimális sebességeket jelentik (Földről indított űrszonda esetében ezek értéke 16,6 km/s, ill. ~ 500 km/s).

Föld körül keringő műholdak pályáiA Föld körül keringő műholdak és egyéb égitestek különböző

pályákon mozoghatnak. A pályák csoportosítása elsősorban az egyes pályaelemek alapján történik:

• excentricitás (e) alapján: körpálya (e=0), elliptikus pálya

• inklináció (i, pályahajlás) alapján: egyenlítői pálya (i=0 fok), közepes inklinációjú pálya, poláris pálya (i=90 fok)

• félnagytengely (h, magasság) alapján: LEO (Low Earth Orbit, 0 < h < 2000 km), MEO (Medium Earth Orbit, 2000 km < h < 35 768 km), GEO (Geosynchronous Earth Orbit, h = 35 768 km), HEO (High Earth Orbit, h > 35768 km)

Speciális pályák:

• Geoszinkron pálya: ennek jellegzetessége, hogy a rajta mozgó műhold keringési ideje megegyezik a Föld tengelyforgási idejével (T = 24 óra = 86400 s).

Körpályán, az Egyenlítő síkjában keringő műhold geostacionárius pályán mozog (így mindig a Föld egy adott pontja fölött tartózkodik, sok távközlési műhold ilyen).

Kepler III. törvénye alapján a félnagytengely: a = 42 164 km, a földfelszín feletti magasság pedig:

h = a – RFöld

= 42 164 km – 6376 km = 35 768 km.

• További speciális pályák: napszinkron pálya (az adott terület a műhold fölött mindig ugyanabban a napszakban repül el), különböző távközlési és navigációs műholdcsaládok pályái (GPS, Molnyija stb.)

Űrszondák pályái• A bolygóközi térben mozgó űrszondák számára két fontos

tényező alakítja ki a pályák alakját: vagy a legrövidebb idő alatt, vagy a legkisebb energiafogyasztással kell eljutniuk céljukhoz.

Utóbbi eset hátránya, hogy egyrészt nem a leggyorsabb úton juttatja a szondát a célbolygóhoz, másrészt az indítás általában nem történhet tetszőleges időpontban, csak az ún. indítási ablakokban.

Egy speciális, energiaminimumospálya, az ún. Hohmann-ellipszisa Föld és a Mars között

A bolygóközi repülések során az ún. gravitációs hintamanőverek révén lehetőség van a szondák sebességének ill. a mozgás irányának megváltozta-tására. Ekkor a szondának szorosan meg kell közelítenie egy bolygót, de úgy, hogy sebessége még meghaladja az ottani szökési sebességet.

Így a szonda sebessége – a bolygó gravitációs teréből nyert impulzus-momentum révén – nagyobb lesz, mint eredetileg volt.

Ha az a cél, hogy a szonda pályára álljon a bolygó körül, akkor a relatív sebességet fékezéssel csökkenteni kell.

Gyorsítás (fent) ill. lassítás (lent) a gravitációs hinta-

manőver segítségével

Hasznos információforrások:Könyvek:

• Univerzum (2006, IKAR, szerk.: M. Rees)

• SH Atlasz – Csillagászat (2002, Athenaeum 2000, szerk.: J. Herrmann)

• Amatőrcsillagászok kézikönyve (2009, MCSE, szerk.: Mizser A.)

MCSE Meteor havi folyóirat + Csillagászati évkönyvek

Feltárul a Világegyetem – Természet Világa különszám (2009)

Internet:• tudasbazis.csillagaszat.hu

• hirek.csillagaszat.hu

• www.urvilag.hu

• www.mcse.hu (Magyar Csillagászati Egyesület oldala)

• astro.u-szeged.hu (Szegedi Csillagvizsgáló oldala)

http://astro.u-szeged.hu/oktatas/csillagaszat.html Letölthető segédanyag!

• icsip.elte.hu (ELTE interaktív csillagászati portál)