KINEMATIKA (predavanja)

UNIVERZITET U TUZLI

Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet TuzlaGraevinski odsjek

MEHANIKA II Kinematika i dinamika

Nastavnik: dr sci. Besim Demirovi, dipl. in. gra.Asistent: Nedim Osmi, dipl. in. gra.

Web: http://besimdemirovic.hpage.com/E-mail: [email protected]

ag, 2012/13

1 UVOD

1.1 Podjela mehanike

Mehanika je nauka o optim zakonima mehanikog kretanja i ravnotee

materijalnih tijela.

Kinematika je geometrija kretanja, jer prouava kretanja samo sa stanovita geometrije, ne uzimajui u obzir uzroke kretanja.

U kinematici se kretanje zadaje unaprijed, bez ovisnosti o silama kao

uzrocima kretanja.

Kinematika se dijeli na:

-kinematiku materijalne take;

-kinematika krutog tijela.

1.2 Veliine u mehanici

1. Skalari;

2. Vektori.

1. Skalari su:

- duina L [m];

- masa m [kg];

- vrijeme t [s];

- povrina A [m2];

- zapremina V [m3];

- gustoa [kg/m3];

- ugao [rad], [0];

- temperatura T [0C], [K];

- rad A [J=Nm];

- snaga P [W=Nm/s];

- energija E [J=Nm];

- pritisak P [Pa=N/m2].

2. Vektori su:

- radijus vektor [m];

- vektor pomjeranja [m];

- brzina [m/s];

- ubrzanje [m/s2];

- koliina kretanja [kgm/s=Ns];

- sila [N=kgm/s2];

- statiki momenat sile u odnosu na neku taku [Nm];

- momenat koliine kretanja [Nms];

- impuls sile [Ns].

r

s

v

a

K m v

F m a

0M F r

0L m v r

F t

2 KINEMATIKA MATERIJALNE TAKE

2.1 Trajektorija kretanja take

Poloaj tijela u prostoru moe se odrediti samo u odnosu na neko

drugo tijelo ili koordinatni sistem.

Ako posmatrano tijelo ne mijenja svoj poloaj u odnosu na koordinatni

sistem, tada ono miruje.

Mirovanje i kretanje su relativni pojmovi, koji dobijaju svoj smisao kada

se uspostave veze izmeu posmatrane take tijela i usvojenog

koordinatnog sistema ili drugog tijela u odnosu na kojeg se registruje

poloaj prvog tijela.

Kretanje je neprekidno i predstavlja niz taaka kroz koje prolazi tijelo, a

putanja koja opisuje kretanja naziva se trajektorija kretanja.

Slika 2.1 Trajektorija kretanja

Ovo je prirodan nain zadavanja kretanja.

Kretanje take je poznato ako se u svakom trenutku vremena (t) moe

odrediti poloaj take na njenoj trajektoriji.

(2.1)

Ralacija (2.1) predstavlja zakon puta po trajektoriji.

Funkcija (2.1) mora biti jednoznana, neprekidna i derivabilna.

s s t

2.2 Koordinatni sistemi

2.2.1 Ortogonalni koordinatni sistem

S obzirom na meusobni poloaj osi ortogonalnog koordinatnog

sistema razlikuje se desni i lijevi sistem.

Slika 2.2 Desni i lijevi koordinatni sistem

Slika 2.3 Rotacija Zemlje i desni koordinatni sistem

Trajektorija u ortogonalnom sistemu moe se zadati:

a) parametarski;

b) vektorski.

U prvom sluaju koordinate se zadaju kao funkcija parametra, a u

kinematici je to vrijeme:

(2.2)

1

2

3

x x t f t

y y t f t

z z t f t

Trajektorija nastaje kao put take M(x,y,z), (slika 2.3).

Za mali interval vremena t tae M moe se pisati:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

2 2 2 2s x y z

2 2 2

1 2 3

2

df df dfds

dt dt

ds v t dt

U drugom sluaju trajektorija se zadaje radijus vektorom:

(2.6)

koji se mijenja po veliini i orjentaciji.

(2.7)

(2.8)

r r t

x y zr ir jr k r

r ix jy k z

x

y

z

r x t ;

r y t ;

r z t .

Veza izmeu radijus vektora i ortogonalnih koordinata je:

(2.9)

a izmeu uglova:

(2.10)

(2.11)

2 2 2 2r x y z

x

2 2 2

y

2 2 2

z

2 2 2

r xcos ;

r x y z

r ycos ;

r x y z

r zcos .

r x y z

2 2 2cos cos cos 1

2.2.2 Cilindrini koordinatni sistem

Slika 2.4 Cilindrini koordinatni sistem

(2.12)

t ;

r r t ;

z z t .

Veza izmeu cilindrinih i pravouglih koordinata je:

(2.13)

yarc tg ;

x

x yr ;

cos sin

z z.

2.2.3 Sferni koordinatni sistem

Slika 2.5 Sferni koordinatni sistem

(2.14)

t ;

t ;

r r t .

Veza izmeu cilindrinih i pravouglih koordinata je:

(2.15)

a obrnute relacije su:

(2.16)

x r cos cos ;

y r cos sin ;

z r sin .

2 2 2 2

ytg ;

x

zsin ;

r

r x y z .

3 BRZINA

3.1 Brzina pravolinijskog kretanja

Jednoliko pravolinijsko kretanje po pravcu je najjednostavnije

kretanje. Brzina ne mijenja ni svoj iznos ni svoj smjer.

Slika 3.1 Pravolinijsko kretanje

(3.1)2 1

2 1

x x x s mv

t t t t s

Slika 3.2 Dijagram v-t Slika 3.3 Dijagram s-t

(3.2)

Poloaj take u trenutku t je odreen izrazom:

(3.3)

s v t m

t 0x t x v t

Kod nejednolikog pravolinijskog kretanja dijagram put-vrijeme nee biti

pravac.

Slika 3.4 Dijagram nejednolikog kretanja

(3.4)

(3.5)

1 21sr 2sr

1 2

x xv v

t t

srt 0 t 0

x dxv lim v lim

t dt

Neke tipine brzine:

- Rast ljudske kose 10-9 m/s;

- Pjeak 1,40 m/s (5 km/h);

- Zvuk u zraku 340 m/s;

- Taka na ekvatoru 465 m/s;

- Puani metak 800 m/s;

- Mjesec oko Zemlje 1000 m/s;

- Zemlja oko sunca 3x104 m/s;

- Elektron u atomu 2x106 m/s;

- Svjetlost u vakumu 3x108 m/s.

(3.6)km 1000m 1 m

1h 3600s 3,6 s

Slika 3.5 Dijagram put-vrijeme i brzina-vrijeme

Trenutna brzina u datoj taki funkcije put-vrijeme predstavlja nagib

tangente.

(3.7)

Preeni put jednak je povrini ispod funkcije brzina-vrijeme.

(3.8)

dxv

dt

t

sr n nt 0

n 0

s lim v t v t dt

3.2 Brzina krivolinijskog kretanja

Kod krivolinijskog kretanja posmatra se taka koja se kree po

krivolinijskoj trajektoriji po zakonu s=s(t).

Slika 3.6 Krivolinijsko kretanje

(3.9)BCvt

(3.10)

(3.11)

Neizmjerno mali luk s jednak je tetivi BC pa je vrijednost:

(3.12)

usmjerena po tangenti.

(3.13)

(3.14)

srt 0 t 0

BCv lim v lim

t

t 0 t 0 t 0

BC BC slim lim lim

t s t

t 0

BClim 1

s

0t 0

BClim

s

0 0t 0

s ds dslim v v v

t dt dt

3.3 Projekcije brzine krivolinijskog kretanja u

pravouglom koordinatnom sistemu

Brzina krivolinijskog kretanja jest vektorska derivacija radijus vektora po

vremenu.

Slika 3.7 Krivolinijsko kretanje u x,y,z koordinatama

Srednja brzina:

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

t 0

r drv lim

t dt

x y zdr dr drv

dt dt dt

x y zv v v v

2 2 2

x y z

mv v v v

s

3.4 Brzina take po krunici

Kod kretanja po krunici poloaj take jednoznano je odreen

samo uglom koji radijus vektor poloaja zatvara s nekim referetnim

pravcem.

Ugao je vektor, iji je smjer okomit na ravnini u kojoj se nalazi

putanja.

Slika 3.8 Kruno kretanje take

(3.19)

v je tangencijalna (linearna) brzina

v

s t r t

(3.20)

(3.21)

Ugao i ugaona brzina su vektori koji su okomiti na ravninu kretanja

take, a njihov smjer se odreuje po pravilu desne ruke.

Slika 3.9 Pravilo za odreivanje smjera vektora ugla i ugaone brzine

ds d dv t r t r rdt dt dt

rad/ s ugaona brzina

v r

Jednoliko kretanje po krunici je kada brzina ne mijenja svoj iznos.

- Period okretanja je vrijeme potrebno da taka napravi jedan puni krug,

tj. ugao od 2 rad;

(3.22)

- Frekvencija je broj okretaja u jedinici vremena;

(3.23)

- Ugao koji taka pree rotirajui jednoliko po krunici je:

(3.24)

Pri nejednolikom krunom kretanju taka se kree po krunoj

putanji nejednolikom brzinom, iznos vektora ugaone i tangencijalne

brzine se mijenja tokom vremena.

2 r 2

T sv

1

f sT 2

t

0

0

t dt t

3.5 Brzina take u sastavljenom kretanju

Brzina take u sastavljenom kretanju jednaka ja vektorskom zbiru

brzine relativnog kretanja i brzine prenosnog kretanja.

Slika 3.10 Sloeno kretanje take

(3.25) M rel pren relv v v v

4 UBRZANJE (akceleracija)

4.1 Ubrzanje pravolinijskog kretanja

Ubrzanje pravolinijskog kretanja materijalne take predstavlja promjenu

brzine u jedinici vremena.

Slika 4.1 Ubrzanje automobila

-srednje ubrzanje (4.1)

0v

1v

1 0

2

1 0

v v v ma

t t t s

Trenutno ubrzanje je:

(4.2)

Trenutno ubrzanje u datoj taki funkcije brzina-vrijeme predstavlja

nagib tangente ili drugi izvod preenog puta u vremenu.

(4.3)

Brzina je jednaka povrini ispod funkcije ubrzanje-vrijeme.

(4.4)

2

sr2 2t 0 t 0

v dv d dx d x ma lim a lim i i

t dt dt dt dt s

dva

dt

t

sr n nt 0

n 0

v lim a t a t dt

Ako je ubrzanje konstantna veliina, tada je kretanje jednoliko ubrzano,

a relacije izmeu puta, brzine i ubrzanja su:

(4.5)

(4.6)

Ako su poetni uslovi za t=0, v0=0 i x0=0,

tada vrijedi:

(4.7)

Slika 4.2 Konstantno ubrzanje

0v v a t

2

0 0

ats s v t

2

2

v a t

atx

2

Ako je ubrzanje nula, tada je kretanje jednoliko,


(4.8)

(4.9)

(4.10)

Slika 4.3 Nulto ubrzanje

a 0

0v v

0 0s s v t

Ako je ubrzanje negativno, tada je kretanje jednoliko usporeno,


(4.11)

(4.12)

(4.13)

Slika 4.4 Negativno ubrzanje

a 0

0v v a t

2

0 0

ats s v t

2

4.2 Smjer vektora brzine i ubrzanjaAko su vektori brzine i ubrzanja u istom smjeru, kretanje je ubrzano po

pravcu.

Ako su vektori brzine i ubrzanja u suprotnom smjeru, kretanje je

usporeno po pravcu.

Ako su vektori brzine i ubrzanja zatvaraju ugao razliit od 0-1800, kretanje je krivolinijsko.

4.3 Slobodan pad

Slika 4.5 Slobodan pad

-brzina slobodnog pada (4.14)

-ubrzanje sile tee g=9,81 m/s2

(4.15)

(4.16)

v g t 2gh

p

2Ht

g

2g th

2

4.4 Vertikalni hitac

Slika 4.6 Vertikalni hitac

Hitac nanie Hitac navie

(4.17) (4.18)

0

2

0

2

0

v v g t

g ty h v t

2

g ts v t

2

0

2

0

2

0

v v g t

g ty h v t

2

g ts v t

2

2

0vH h2g

-Maksimalna visina

4.5 Kosi hitacKosi hitac je kretanje slobodne materijalne take pod djelovanjem

gravitacionog polja u mediju koji ne prua otpor.

Slika 4.7 Kosi hitac

(4.19)

0

2

0 0

2

0 2 2

0

x v cos t

g ty y v sin t

2

gy y tg x x

2v cos

4.6 Ubrzanje krivolinijskog kretanja Hodograf brzina

Ubrzanje krivolinijskog kretanja se moe definisati kao promjena brzine

u jedinici vremena. To je formalno isto kao i kod pravolinijskog kretanja,

ali sadraj kod krivolinijskog kretanja treba razumjeti po orjentaciji

odnosno kroz vektorsku promjenu.

Slika 4.8 Promjena brzine krivolinijskog kretanja

(4.20)

(4.21)

1v v v

sr

va

t

(4.22)

(4.23)

Ubrzanje krivolinijskog kretanja moe se definisati kao vektorska

derivacija brzine po vremenu, odnosno druga derivacija radijus-vektora

po vremenu.

Ako se svi vektori brzine nanesu iz jednog pola tada se dobije krivulja

kao geometrijsko mjesto krajeva brzina. Takva kriva se zove hodograf

brzina.

Slika 4.9 Hodograf brzina

srt 0 t 0

v dva lim a lim

t dt

dva

dt

4.7 Kruno kretanje

Slika 4.10 Kruno kretanje

(4.24)

(4.25)

(4.26)

s t r t

ds dv r r

dt dt

22

n

t

va r

r

dv da r r

dt dt

(4.27)

Slika 4.11 Ugaona brzina i ubrzanje

(4.28)

(4.29)

n ta a a

v r

a r r

2

d rad

dt s

Posebni sluajevi kretanja take po krunici su:

1. Jednoliko kretanje po krunici;

2. Jednoliko ubrzano kretanje po krunici;

3. Jednoliko usporeno kretanje po krunici.

1. Jednoliko kretanje po krunici

(4.30)t

2

n

const. 0

v r

a r 0

va const.

r

2. Jednoliko ubrzano kretanje po krunici

(4.31)

3. Jednoliko usporeno kretanje po krunici.

(4.32)

t

2

n

const. 0

v r const.

a r const. 0

va const.

r

t

2

n

const. 0

v r const.

a r const. 0

va const.

r

4.8 Formalna analogija izmeu pravolinijskog i krunog kretanja

Pravolinijsko

(4.33)

Kruno

(4.34)

2

2

0

2

0 0

dxv

dt

d xa

dt

v v a t

1x x v t a t

2

2

2

0

2

0 0

d

dt

d

dt

t

1t t

2

4.9 Ubrzanje u polarnim koordinatama Coriolisovo ubrzanje

(4.35)

(4.36)

Slika 4.12 Ubrzanje u polarnim koordinatama

0 0

dr dv r r p

dt dt

22 2

0 02 2

dv d r d dr d da r r 2 r p

dt dt dt dt dt dt

Ako se uzme r=const., tada se krivolinijsko kretanje pretvara u kruno

kretanje.

(4.37)

(4.38)

Ako se uzme =const., tada je:

(4.39)

Vidi se da zaokrueni dio izraza (4.35) nije uao ni u jedan od

navedena dva sluaja kretanja po krunici.

2 2

0 02

d da r r r p

dt dt

22

n

2

t 2

va r

r

da r r

dt

2

02

d ra r

dt

Komponenta je dopunsko ubrzanje sastavljenog

kretanja, i zove se Coriolisovo ubrzanje.

(4.40)

Slika 4.13 Coriolisovo ubrzanje

c 0

relc

dr da 2 p

dt dt

a 2v

0

dr d2 pdt dt

4.10 Ubrzanje u prirodnim koordinatama

(4.41) (4.42)

(4.43) (4.44)

Slika 4.14 Ubrzanje u prirodnim koordinatama

2

0 0

dv va

dt

t

22

n

dva

dt

va

2 2 2 4

t na a a

d 1

ds

4.11 Ubrzanje take u sastavljenom kretanju

Slika 4.15 Ubrzanje u sastavljenom kretanju

(4.45)

Ubrzanje u sastavljenom kretanju jednako je vektorskom zbiru

relativnog, prenosnog i coriolisovog ubrzanja.

(4.46)

relrel pr pra a a 2 v

rel prrelrel pr c pr

dv dva a a 2 v

dt dt

5 KINEMATIKI DIJAGRAMI

5.1 Pravolinijsko kretanje

Slika 5.1 Dijagram s-t

Slika 5.2 Dijagram v-t

Slika 5.3 Dijagram a-t

(5.1)

(5.2)

2

1

2

1

t

2 1

t

t

2 1

t

s s vdt

v v adt

dsv

dt

dva

dt

5.2 Kruno kretanje

Slika 5.4 Dijagram -t

(5.3)

(5.4)

2

1

2

1

t

2 1

t

t

2 1

t

dt

dt

d

dt

d

dt

6 RELATIVNO KRETANJE DVIJU TAAKA

6.1 Nezavisno kretanje dviju taaka

Nezavisno kretanje dviju taaka je ono gdje se svaka taka moe

kretati po svojoj trajektoriji nezavisno jedna o drugoj.

Pri tome ne postoji fizika veza izmeu dvije take.

Slika 6.1 Nezavisno kretanje

(6.1)

A B / AB A B / A B A B / A

A B / AB A B / A

dr drr r r v v v

dt dt

dv dva a a

dt dt

6.2 Zavisno kretanje dviju taaka

Nezavisno kretanje dviju taaka je ono gdje postoji odgovarajua veza,

tako da na kretanje jedne take utie druga.

Pri zavisnom kretanju potrebno je da bude poznat zakon kretanja

barem jedne take.

Slika 6.2 Zavisno kretanje

(6.2)

A B B A

B AB A

AB A

s s L konst. s L s

v s 0 s v

a v a

7 REKAPITULACIJA KRETANJA MATERIJALNE

TAKE7.1 Kretanje zadano u prirodnim koordinatama

Slika 7.1 Prirodne koordinate

(7.1)

T N

2

T N

s s t

dsv

dt

a a a

va s a

R

7.2 Kretanje zadano u ortogonalnim koordinatama

Slika 7.2 Ortogonalne koordinate

(7.2)

x y

2 2yx

x y2 2

2 2 2 2

x y x y

r i x j y k z

dx dyv i j v i v j

dt dt

dvdvd x d ya i j i j a i a j

dt dt dt dt

v v v a a a

7.3 Kretanje zadano u polarnim koordinatama

Slika 7.3 Polarne koordinate

(7.4)0

00 0 r0

20 r0r

r r t

t

r r r

dr drv r r rr r p v v

dt dt

dva r r r 2v r p a a

dt

7.4 Kretanje zadano u sfernim koordinatama

Slika 7.4 Sferne koordinate

(7.5)

0

0 0 r

r r t

r r t

drv rr r r v v

dt

dva r r a a

dt

7.5 Opte kretanje take u prostoru

Slika 7.5 Opte kretanje

(7.6)

0

0 r

rr r cor kt kn

r r r

drv r r r v v

dt

a a 2 v r r a a a a

-komponenta brzine u pravcu radijus vektora

-komponenta brzine koja je okomita na komponentu vr,

odnosno brzina koja je okomita na ravninu u kojoj lee vektor r i ugaona brzina

-ubrzanje od promjene iznosa vektora r, usmjereno u

pravcu radijus vektora

-Coriolisovo ubrzanje koje se uvijek javlja pri kretanju

take po pravcu koji rotira. vr je brzina kretanja take du radijus vektora, a ugaona brzina.

-normalna komponenta ubrzanja kruenja koja nastaje usljed postojanja ugaone brzine rotacije vektora r. Usmjerena je

okomito na trenutnu os rotacije

-tangencijalna komponenta ubrzanja kruenja koja nastaje usljed postojanja ugaonog ubrzanja rotacije vektora r. Smjer

odreuje pravilo desne ruke

kta r

0r r

r

0ra rr

rcora 2 v

kna r

8 KINEMATIKA KRUTOG TIJELA

8.1 Uvod

Krutim tijelom nazivamo skup taaka kod kojeg je rastojanje izmeu bilo

koje dvije take skupa nepromjenjivo.

Kruto tijelo u prostoru ima est stepeni slobode kretanja, tri translacije i tri

rotacije.

U kinematici tijela prouavaju se osnovna dva zadatka:

a) Uspostavljanje matematikih naina (definisanja) kretanja tijela u odnosu na izabrani sistem referencije;

b) Da se na osnovu poznatih jednaina kretanja odrede kinematike karakteristike kretanja tijela u cjelini, a zatim i pojedinih njegovih

taaka.

Prouavanje kretanja tijela zapoeemo sa dva najjednostavnija sluaja

kretanja, a to su translatorno i obrtno kretanje.

8.2 Translatorno kretanje krutog tijela

Kretanje krotog tijela naziva se translatornim ako je svaka ravan ili prava

povuena u tom tijelu pomjera zajedno s njim, tako da ostaje sama sebi

paralelna.

Slika 8.1 Translatorno kretanje poluge A-B

Svojstva translatornog kretanja sadrana su u slijedeoj teoremi: Pri

translatornom kretanju sve take tijela opisuju istovjetne putanje i imaju u

svakom trenutku vremena jednake brzine i ubrzanja po intenzitetu, pravcu

i smjeru.

Da bismo dokazali ovu teoremu razmotrimo kruto tijelo koje se kree

translatorno u odnosu na 0xyz koordinatni sistem.

Slika 8.2 Translatorno kretanje tijela

(8.1)

Duina AB je konstanta jer sue rastojanja izmeu estica tijela ne

mijenjaju.

Za brzinu taaka A i B vrijedi:

ABr r AB

(8.2)

Poto je duina AB konstantna, prvi izvod je jednak nuli.

(8.3)

Ako diferenciramo brzine po vremenu dobijamo ubrzanje:

(8.4)

Pri translatornom kretanju brzinu svih taaka tijela nazivamo brzinom

translatornog kretanja, a ubrzanje svih taaka tijela ubrzanjem

translatornog kretanja.

B Ad r d r d AB

dt dt dt

B Av v

B AB A

dv dva a

dt dt

8.3 Obrtno kretanje krutog tijela

Obrtnim kretanjem krutog tijela naziva se kretanje kod kojeg bilo koje dvije

take (ili su sa njim vrsto vezane) , a pripadaju tijelu ostaju nepomine.

Prema tome, sve take krutog tijela koje pripadaju obrtnoj osi su

nepomine.

Slika 8.3 Obrtno kretanje

(8.5)t

Ako se za vremenski interval t=t1-t tijelo okrene za ugao =1- onda

e srednja ugaona brzina tijela biti:

(8.6)

Trenutna ugaona brzina je:

(8.7)

Vektor ugaone brzine tijela je usmjeren u pravcu obrtne osi, a obrtanje se

odreuje po pravilu desne ruke.

srt

srt 0 t 0

1

dlim lim

t dt

rad 1s

s s

Ugaono ubrzanje je promjena ugaone brzine u jedinici vremena.

Ako se za vremenski interval t=t1-t ugaona brzina tijela promijeni za

veliinu =1- onda e srednje ugaono ubrzanje tijela biti:

(8.8)

Trenutno ugaono ubrzanje je:

(8.9)

(8.10)

Vektor ugaonog ubrzanja se poklapa sa vektorom ugaone brzine tijela.

srt

srt 0 t 0

2

2 2

dlim lim

t dt

rad 1s

s s

2

2

d d

dt dt

8.4 Jednoliko i jednoliko promjenjivo obrtanje krutog

tijela

Jednolikim obrtanjem krutog tijela smatra se kada tijelo ima konstantnu

ugaonu brzinu .

(8.11)

Pri jednolikom kretanju ugaona brzina je:

(8.12)

U tehnici se kod jednolikog okretanja obino odreuje brojem obrtanja u

minuti. Ako taj broj obrtaja oznaimo sa n (obrtaja/minuti), a znamo da je

ugao 2 da bi se napravio puni krug (3600) , znai da je 2 n broj

okretaja pri broju n.

(8.13)

d dt t

rad

t s

2 n n 1

60 30 s

Obrtanje tijela smatra se jednoliko promjenjivim ako je ugaono ubrzanje

sve vrijeme kretanja konstantna veliina.

(8.14)

(8.15)

0d dt t

0

0

2

0

dt

dt

d dt t dt

1t t

2

8.5 Brzina i ubrzanja taaka krutog tijela koje se obre

Uoimo bilo koju taku M na tijelu koje se obre, koja je na rastojanju r od

obrtne ose.

Pri obrtanju tijela taka M opisuje krunu putanju, a ravan kruga je

okomita na obrtnu osu.

Ako se za vremenski interval dt taka M okrene za ugao d onda e se

taka M pomjeriti du svoje putanje za:

(8.16)

(8.17)

Brzina v se zove linearna ili obimna brzina.Jednaka je proizvodu ugaone

brzine i rastojanja od obrtne ose do take M.

ds rd

ds dv r r

dt dt

v r

Slika 8.4 Dijagram obimne brzine

Za odreivanje ubrzanja take M koristimo izraze:

(8.18)

(8.19)

Tangencijalno ubrzanje je usmjereno po tangenti u smjeru kretanja ako je

kretanje ubrzano, odnosno u suprotnom smjeru po tangenti ako je

usporeno. Normalno ubrzanje je uvijek usmjereno ka centru zakrivljenosti

putanje.

2

t n

dv va a

dt r

2 22

t n

d ra r r a r

dt r

Totalno ubrzanje je:

(8.20)

Odstupanje totalnog ubrzanja od poluprenika zakrivljenosti je:

(8.21)

Slika 8.5 Tangencijalno i normalno ubrzanje

t

2

n

atg

a

2 2 2 2 2 4 2 4

t na a a r r r

8.6 Rotacija krutog tijela oko nepomine take

Kretanje krutog tijela oko nepomine take je kada je jedna taka tijela

nepomina.

Slika 8.6 Rotacija tijela oko nepomine take

Rotacija tijela oko nepomine take se zadaje preko Eulerov-ih uglova.

(8.22)

-ugao zaokretanja trenutne osi (precesija)

-ugao naginjanja trenutne osi (nutacija)

-ugao rotacije trenutne osi (rotacija)

Ugaona brzina izraena Eulerovim koordinatama glasi:

(8.23)

(8.24)

t

t

t

t

t

t

e e e

x y z

x y z

x y z

d dt d i d j d k

di j k

dt

di j k

dt

Izrazi za brzinu i ubrzanje su:

(8.25)

M M x y z

M M M

M y M z M z M x M x M y

2M M MM

i j k

v r

x y z

z y i x z j y x k

a r r r

8.7 Opte kretanje krutog tijela u prostoru

Opte kretanje tijela u prostoru je ono pri kojem nema nikakvog

ogranienja pri kretanju. Kretanje se sastoji od translacije i rotacije.

Slika 8.7 Opte kretanje tijela

Za zadavanje translacije bira se povoljna taka na tijelu (obino teite

tijela) koja je izhodite pominog koordinatnog sistema.

Rotacija se zadaje oko proizvoljno izabrane take sa Eulerovim uglovima,

a zatim posmatra kao za sluaj obrtanja tijela oko nepomine take.

(8.26)

(8.27)

Poloaj, diferencijalno pomjeranje, brzina i ubrzanje take M tijela je

dato izrazima:

(8.28)

0 ' 0 '

0 ' 0 '

0 ' 0 '

x x t

y y t

z z t

t

t

t

M 0' M/ 0 '

M 0 ' M / 0 ' 0 ' M / 0 '

M 0 ' M / 0 '

2M/ 0 ' M / 0 ' MM 0 '

r r r

dr dr dr dr d r

v v r

a a r r r

8.8 Sloeno kretanje krutog tijela u prostoruSloeno kretanje tijela nastaje kada se ono kree u odnosu na pomino

koordinatni sistem.

Sloeno kretanje se sastoji od relatvnog kretanja tijela u odnsu na pomini

koordinatni sistem i prenosnog kretanja zato to je tijelo vezano sa

pominom koordinatnim sistemom.

Kretanje tijela u odnosu na nepomini koordinatni sistem naziva se

apsolutno kretanje.

Slika 8.7 Sloeno kretanje tijela

(8.29)

Analiza sloenog kretanja tijela obuhvata:

a) Odreivanje apsolutnih kinematskih elemenata tijela;

b) Odreivanje relativnih kinematskih elemenata tijela;

1) relativno kretanje tijela u odnosu na pomini sistem;

2) relativno kretanje dva tijela;

3) relativno kretanje dva vezana tijela.

Slika 8.8 Tri sluaja analize sloenog kretanja

r p

r p r p

9 RAVNINSKO KRETANJE KRUTOG TIJELA

9.1 Jednaine ravnog kretanje krutog tijela

Kretanje krutog tijela je ravno ako se sve njegove take kreu paralelno sa

nekom nepominom ravni.

Slika 9.1 Ravno kretanje tijela

Ravno kretanje emo razmatrati u ravnini 0xy,


Veliine koje se mijenjaju tokom vremena su translacija po x i y

koordinatama i rotacija tijela.

Da bismo mogli odrediti poloaj tijela u ravni u bilo kom trenutku vremena

potrebno je poznavati.

(9.1)

Izraze (9.1) zovemo jednainama ravnog kretanja krutog tijela.

Razmotrimo dva uzastopna poloaja I i II krutog tijela koje zauzima

presjek S u trenucima vremena t1 i t2= t1+t.


A 1

A 2

3

x f t

y f t

f t

Sa slike se moe vidjeti da se ravno kretanje krutog tijela sastoji iz dva

dijela: translacije i rotacije (obrtanja).

Translatorni dio odreen je sa prve dvije jednaine (9.1) iz kojih se mogu

odrediti brzina i ubrzanje.

(9.2)

Obrtanje ok pola je odreeno treom jednainom izraza (9.1).

Za pol se moe izabrati bilo koja taka tijela, a u ovom sluaju to je taka A.

Slika 9.4 Pol tijela

Sa slike 9.4 kod rotacije se vidi da je:

(9.3)

tr A tr Av v a a

C A C Av v a a

1d d

dt dt

2 2

1

2 2

d d

dt dt1 1

9.2 Odreivanje putanja taaka tijela

Ako je poloaja tijela M u prsjeku S odreen rastojanjem b=AM od pola A i

uglom .

Slika 9.5 Poloaj take tijela

Koordinate take M odreene su izrazom:

(9.4)A

A

x x bcos

y y bsin

9.3 Odreivanje brzina taaka tijela

Ravno kretanje tijela sastoji se iz translatornog dijela, pri emu se sve take

tijela kreu brzinama pola i i iz obrtnog kretanja oko tog pola.

Slika 9.5 Poloaj take tijela

Poloaj take M odreene su izrazom:

(9.5)

(9.6)

M A M/ Ar r r

A M/ AM

dr dr drv

dt dt dt

(9.7)

Dio brzine take M od obrtnog kretanja je:

(9.8)

Slika 9.6 Slaganje brzina

M/ AM/ Av MA v MA

M A M/ Av v v

9.4 Teorema o projekciji brzina dvaju taaka tijela

Projekcije brzina dvaju taaka tijela na pravu, koja spaja te take, jednake

su jedna drugoj.

Slika 9.7 Projekcije brzina na pravu

(9.9)

(9.10)

B A B/ Av v v

B Av cos v cos

9.5 Odreivanje brzina taaka pomou trenutnog pola brzina

Trenutnim polom brzina naziva se taka u presjeku S tijela ija je brzina u

datom trenutku vremena jednaka nuli.

Neka take A i B u presjeku S imaju brzine vA i vB iji vektori nisu paralelni.

Tada e taka P koja lei na presjeku normale iz vektora vA i normale iz

vektora vB predstavljati trenutni pol brzina vp=0.

Slika 9.8 Pol brzina

Brzina take A bit e:

(9.11)

Prema tome brzina bilo koje take tijela, koja lei u presjeku S, jednaka je

njenoj tangencijalnoj brzini pri obrtanju oko trenutnog pola brzina.

(9.12)

(9.13)

Brzine pojedinih taaka tijela proporcionalne su njihovim rastojanjima od

trenutnog pola brzina.

A P A /P A /Pv v v v

A A

B B

v PA v PA

v PB v PB

A Bv v

PA PB

9.6 Plan brzina

Brzinu bilo koje take tijela u trenutku vremena koje se kree ravninski

moemo odrediti grafoanalitikim putem, tj. pomou plana brzina.

Za odreivanje brzine neke take tijela moraju biti postavljene vektorske

jednaine i zadovoljeni uslovi smjera brzine.

Imamo nekoliko sluajeva zaodreivanje brzine take u ravninskom

kretanju:

1) Ako je zadano

a) Sve o brzini take tijela;

b) Sve o ugaonoj brzini.

(9.14)

Slika 9.9 Plan brzina

B A B / A

B / A

B / A B / A

B / A

v v v

v AB

v r

smjer v odreuje

2) Ako je zadano

a) Poloaj trenutnog pola;

b) Sve o ugaonoj brzini.

(9.15)


3) Ako je zadano

a) Poloaj trenutnog pola;

b) Sve o brzini jedne take.

(9.16)


B

B B /C

B

v CB

v r

smjer v odreuje

B A B /C

B

B / A

v v v

v CB

v AB

4) Ako je zadano

a) Sve o brzini jedne take;

b) Pravac brzine druge take B.

(9.17)


5) Ako je zadano

a) Sve o ugaonoj brzini;

b) Pravac brzina dvije takeA i B.

(9.18)


B A B / A

B B

B / A

v v v

v IIp

v AB

B A B / A

B B

A A

B / A

B / A B / A

v v v

v IIp

v IIp

v AB

v r

9.7 Odreivanje ubrzanja taaka tijela

Pokaimo da se ubrzanje bilo koje take tijela M pri ravninskom kretanju

(slino kao i kod brzina) sastoji iz ubrzanja koje ta taka ima pri

translatornom i obrtnom kretanju posmatranog tijela.

(9.19)

(9.20)

(9.21)

Slika 9.14 Ubrzanje take tijela

2 2 2A M/ A

M2 2 2

d r d r d ra

dt dt dt

M A M/ Ar r r

M A M/ Aa a a

Izraz za ubrzanje obrtnog kretanja moe se napisati kao:

(9.22)

(9.23)

(9.24)

2 4

M/ Aa AM

M/ A t

2

M/ A n

a AM

a AM

M A M/ A M/ At n

a a a a

Ako pol A ne vri pravolinisko kretanje, ve se kree krivolinijski, onda e se

i njegovo ubrzanje sastojati iz dvije komponente, tangencijalne i normalne.

(9.25)

Slika 9.15 Ubrzanje take tijela

M A A M/ A M/ At n t n

a a a a a

9.8 Trenutni pol ubrzanja

Kada tijelo vri ravno kretanje onda u svakom trenutku postoji taka gdje je

njegovo ubrzanje jednako nuli. Ta taka se zove trenutni pol ubrzanja.

Ako je poznato ubrzanje nekog tijela, i trenutni pol se odreuje na

slijedei nain:

1)Odrediti ugao: (9.26)

2)Iz take A pod uglom povui pravu AE od pravca aA (ako je ubrzano u smjeru rotacije, a ako je usporeno suprotno)

Slika 9.16 Pol ubrzanja

2tg

3)Du prave AE nanese se odsjeak

(9.27)

Taka Pa odreena na ovaj nain predstavlja trenutni pol ubrzanja.

Dokaz:

(9.28)

gdje je (9.29)

Vidi se da je tj. vektori su kolinearni.

aP A

Aa

2 4

aP A

a aP A P / Aa a a

a

2 4

P / A aa P A

aP / A Aa a

Ako Pa usvojimo za trenutni pol ubrzanja bilo koje take tijela je:

(9.30)

(9.31)

Prema tome ubrzanje neke take tijela jednako je ubrzanju koje ta taka ima

pri obrtnom kretanju oko pola ubrzanja Pa .

(9.32)

Slika 9.17 Pol ubrzanja

a a aM P M/P M/Pa a a a

M A

a a

a a

PM P A

2 4

M aa PM

9.9 Plan ubrzanja

Plan ubrzanja je grafika konstrukcija kojom se odreuje za posmatrani

trenutak ubrzanje neke take tijela koje se kree ravninski.

Postoje sluajevi kada su zadani odreeni parametri ubrzanja.

1)Ako je zadano:

a) Sve o ubrzanju jedne take aA;

b) Ugaona brzina; (9.33)

c) Ugaono ubrzanje.

Slika 9.18 Ubrzanje take

B A B / A B / At n

B / A B / At

2

B / A B / An

B / A t

B / A n

a a a a

a r

a r

a AB

a IIAB smjerB A

2)Ako je zadano:

a) Poloaj trenutnog pola ubrzanja;

b) Ugaona brzina;

c) Ugaono ubrzanje. (9.34)


B B / A B / At n

B / A B / At

2

B / A B / An

B / A t

B / A n

a a a

a r

a r

a AB

a IIAB smjerB A

3)Ako je zadano:

a) Sve o ubrzanju jedne take aA ;

b) Sve o ubrzanju druge take aC.


C A C / A C / At n

C / A t

C / A

C / A2 n

C / A

C / A t

C / A n

a a a a

a

r

a

r

a AC

a IIAB smjerC A

4)Ako je zadano:

a) Ugaona brzina;

b) Ugaono ubrzanje;

c) Pravac kretanja take A; (9.35)

d) Pravac kretanja take B.


B A B / A B / At n

B / A B / At

2

B / A B / An

B / A t

B / A n

a a a a

a r

a r

a AB

a IIAB smjerB A

5)Ako je zadano:

a) Brzina jedne take; (9.36)

b) Ubrzanje druge ili iste take;

c) Pravac kretanja tree take B.


B N B /N B /Nt n

A

A /C

B /N n

B /N t

B /N

2

B /N B /Nn

a a a a

C je na pravcu okomitom

na pravac kre tan ja B

v

r

a smjerB N

a

r

a r

10 PRIMIJENJENA KINEMATIKA

10.1 Kinematiki lan, par, lanac i mehanizam

Dva tijela koja su meusobno povezana tako da se zajedno mogu kretati

jednoznano i samo odreenim putem nazivamo kinematiki par.

Kinematiki parovi mogu biti translatorni, rotacioni i zavojni.

Svako tijelo kinematikog para je kinematiki lan.

Tri i vie kinematikih lanova ili dva i vie kinematikih parova nazivamo

kinematiki lanac.

Ako je jedan lan kinematikog lanca nepomian, tada lanac postaje

mehanizam. Mehanizmi mogu biti zatvoreni i otvoreni.

Slika 10.1 Zatvoreni i otvoreni mehanizam

10.2 Stepeni slobode kretanja mehanizama

Svaki slobodni kinematiki lan ima est stepeni slobode kretanja u prostoru

(tri translacije i tri rotacije). U sluaju ravninskog kretanja ima tri stepena

slobode kretanja.

Broj stepeni slobode kretanja mehanizma dobija se kao razlika zbira

slobode kretanja svih lanova i broja veza izmeu kinematikih lanova.

Za sluaj kretanja u prostoru:

- stepen slobode kretanja u prostoru

Za sluaj kretanja u ravnini:

- stepen slobode kretanja u ravni

n- broj kinematikih lanova;

p-broj veza za sluaj kretanja u prostoru;

r-broj veza za sluaj kretanja u ravnini;

p ps n 6

r rs n 3

Primjer zglobnog etverougla

Slika 10.2 Mehanizam sa jednim stepenom slobode kretanja u ravni

r rs n 3 3 3 8 1

10.3 Polovi elementarnih pomaka kinematikog lana

Pol elementarnih pomaka odnosno brzina tijela predstavlja taku tijela u

posmatranom trenutku vremena gdje je pomak odnosno brzina jednaka nuli.

Odreivanje poloaj pola opisano je u planu brzina.

Pol kinematikog lana moe se gledati u odnosu na vrijeme, u odnosu na

sistem odmjeravanja i u odnosu na drugi kinematiki lan.

a) Ako se gleda u odnosu na vrijeme moe biti:

1) Stalni pol -ako se koordinate pola ne mijenjaju s vremenom;

2) Trenutni pol -ako se koordinate pola mijenjaju s vremenom,

tako da u svakom trenutku vremena odgovara odreeno poloaj.

b) Ako se gleda u odnosu na sistem odmjeravanja moe biti:

1) Apslolutni pol -ako se kretanje tijela posmatra u odnosu nepomine okoline ili nepominog koordinatnog sistema;

2) Relativni pol -ako se kretanje tijela posmatra u odnosu na

pominu okolinu ili pomini koordinatni sistem.

c) Ako se gleda u odnosu na drugi kinematiki lan:

1) Apslolutni pol -je taka kinematikog lana koja ima elementarni pomak jednak nuli;

2) Relativni pol -je taka kinematikog lana koja ima relativni elementarni pomak u odnosu na drugi kinematiki lan jednak nuli;

3) Prenosni pol -je taka drugog kinematikog para, koja ima apsolutni elementarni pomak jednak nuli.

10.4 Teorema tri pola (Kennedyev-a teorema)

Kennedyev-a teorema moe se formulisati ovako:

Tri relativna pola izmeu tri lana kinematikog lanca lee na istom pravcu.

Slika 10.3 Primjeri kinematikih lanaca

10.5 Analiza poloaja relativnog pola dva tijela

Relativni pol dva tijela u ravninskom kretanju odreuje se na osnovu

postojeih veza izmeu tih dviju tijela.

Slika 10.4 Veze izmeu dva tijela

2 1

10.6 Plan brzina

Nakon razjanjenja trenutnog pola brzina i teoreme triju polova, moe se

pristupiti konstrukciji plana brzina, koji ima to svojstvo da prikazuje brzine

pojedinih taaka mehanizma u grafikom predstavljanju vektora.


Primjer 10.1: Odrediti stepen slobode kretanja i izraze za ugaonu brzinu

tapova II i III u funkciji tapa I.

Slika 10.6 Primjer plana brzina

1 1,2

2 1

1,2 2

1 1,2 2 2,3

3 1 1

1,2 2 2,3 3

PP

P P

PP PP

P P P P

11 PRIMJENA PLANOVA BRZINA U STATICI

KONSTRUKCIJA

11.1 Planovi brzina kao pomono sredstvo pri rjeavanju statikih problema

U statikim problemima znaajnu ulogu imaju pomaci pojedinih elemenata u

konstrukciji. Pomou planova brzina moemo odrediti brzinu bilo koje take

konstrukcije. Izmeu brzina i pomaka postoji jednostavna veza, pa tako

odreujemo i pomake bilo koje take konstrukcije.

(11.1)

Ako se uzme da je t=1, tada pomaci i brzine postaju po numerikoj

vrijednosti jednake.


s v t

11.2 Princip virtualnog rada

Princip virtualnog rada glasi: sistem sa idealnim vezama je u ravnotei ako

je virtualni rad svih aktivnih sila na bilo kojim moguim pomjeranjima, koji

ispunjava uslove veza, jednak nuli.

U statici se posmatraju nosai koji su geometrijski nepomjerljivi, pa prema

tome nisu mehanizmi, tj. u njima ne mogu nastati relativni pomaci izmeu

krutih elemenata.

Kod statiki odreenih konstrukcija nema prekobrojnih veza, gdje se

uklanjanjem samo jedne veze od nepomjerljivog sistema stvara mehanizam

za koji se moe konstruisati plan pomaka (brzina) ako se odabere samo

jedan linearni ugaoni pomak.

Plan pomaka daje upravo virtualne tj. mogue pomake koje veze i sistem

doputaju, pa se na njih moe primijeniti princip virtualnih radova.

(11.2)p sA A 0

P u F 0

11.3 Stvaranje mehanizma od ravninske konstrukcije

Mehanizam od nosive konstrukcije moe se dobiti na dva naina:

a) Uklanjanjem vanjskih veza (reakcija oslonaca i ukljetenja);

b) Uklanjanjem unutranjih veza.

Slika 11.2 Prikaz stvaranja mehanizma na ramu

Primjer 11.1: Odreivanje reakcije u osloncu B metodom virtualnih pomaka.

Slika 11.3 Prikaz stvaranja mehanizma na Gerberovom nosau

2B3 4

1 F qY 1 q 1 02 2

Slika 11.4 Prikaz stvaranja mehanizma pri oslobaanju unutranjih veza

Slika 11.5 Prikaz stvaranja mehanizma pri oslobaanju unutranjih veza

11.4 Trozglobni lukovi

Svaki nosa se moe zamisliti presjeenim u proizvoljnom presjeku i opet

kruto spojenim u tom istom presjeku pomou tri tapa.

Slika 11.6 Veza u presjeku pomou tri tapa

Ako presijeemo tap 1 veza u prejeku postaje zglobna, a taka A postaje

relativni pol. Takva veza ne moe primiti momenat savijanja.

Presijecanjem tapa 2 nastaje mogunost translatornog pomaka lijevog i

desnog kraja tapova, pri emu takva veza ne moe primiti transverzalnu

silu.

Na slici 11.6 lijevo pri tom rasporedu tapova ako presijeemo tap 2 javlja

se mogunost uzdunog relativnog pomjeranja tapova, pa takva veza ne

prima normalnu silu.

Dakle, ako je potrebno odrediti momenat savijanja pomou plana pomaka u

proizvoljnom presjeku luka, u tom presjeku se ubacije zglob.

Na slici 11.7 to je taka D.

Slika 11.7 Mehanizam sa ubaenim zglobom u taki D

1 2 2

2 1

2

AD PD

AD

PD

1,2 1 2

2 2 3 3

23 2

3

P C P C

P C

P C

2,3 2 3

Ako je potrebno odrediti transverzalnu silu u taku D ubacuje se

transverzalni zglob.

Slika 11.8 Mehanizam sa ubaenim transverzalnim zglobom u taki D

1 2

2 1 1,2

1,2 0

2 3 2,3

2,3 2 2 3 3

2,3 2

3 2

3

P P P C

P P

P C

2,3 2 3

Ako je potrebno odrediti normalnu silu u taku D ubacije se aksijalni

zglob.

Slika 11.9 Mehanizam sa ubaenim aksijalnim zglobom u taki D

1 2

2 1 1,2

1,2 0

2 3 2,3

2 2 3 3

23 2

3

P C P C

P C

P C

2,3 2 3

11.5 Reetkasti elementarni nosaiPresijecanjem donjeg pojasa reetka postaje mehanizam koji sa

elementarnim pomacima nastalim usljed toga moe posluiti za odreivanje

normalne sile u presjeenom tapu.

Usljed izduenja tapa donjeg pojasa mogu se dobiti vertikalni pomaci svih

vorova donjeg pojasa.

1,2

1

h

1 2 1 1,2 2 1,2

2 1,2 2 1,2 1 1

PP P P

PP P P

Slika 11.10 Mehanizam reetke


1 2

8 70

8 7

0

v v

B8 A7

v cos v cos 1

1

B8cos A7cos

Slika 11.13 Mehanizami reetke za odreivanje sila i pomaka

11.6 Pomaci vorova reetkastih nosaa Williotov plan pomaka

Pomjeranja vorova reetkastih nosaa mogu nastati usljed promjene

duine tapova reetke i pomjeranja drugih vorova i oslonaca.

Slika 11.14 Plan pomjeranja take C usljed pomaka A i B

C A CA

C B CB

Slika 11.15 Plan pomjeranja take od izduenja tapova i pomaka oslonaca

Ako se na vor C nadovezuje slijedei vor, onda e pomak vora C

posluiti za odreivanje daljnjih pomaka. Plan pomjeranja koji se dobija na

taj nain zove se Williotov plan pomaka.

C A AC AC

C B BC BC

Slika 11.16 Wiliotov plan pomjeranja

11.7 Primjena planova pomaka kod metode deformacije

U Statici konstrukcija II obrauje se dio koji se zove Metoda deformacije.

Ova metoda koristi se za rjeavanje statiki neodreenih konstrukcija.

Po metodi deformacije formiraju se dvije grupe jednaina: jednaine

obrtanja vorova i jednaine pomjeranja vorova.

Druga grupa jednaina zasniva se na pretvaranju krutog sistema u

kinematiki mehanizam. Broj jednaina pomjeranja vorova jednaka je broju

stepeni slobode kretanja mehanizma.

Slika 11.17 Statiki sistem

Statiki sistem u mehanizam se pretvara ubacivanjem zglobova na mjestu

krutih veza i na mjestu ukljetenja, kao to je prikazano na slici 11.18.

Slika 11.18 Mehanizam zadatog sistema

Ovaj mehanizam ima 2 stepena slobode kretanja.

Zatim se blokiraju sva pomjeranja osim jednog, u ovom sluaju prvog, i

formira jednaina virtualnog rada. Tako se nastavlja do k pomjeranja.

r rs n 3 v 6 3 16 2

m 2 n s r 2 7 6 6 2

Slika 11.19 Prvi stepen slobode kretanja mehanizma

1 3

1 1 1 1

1 P 3 P 5 1 1 5 1 2 6 6 2 1

1 1

2 3 3 2 2 3 4 4 3 3

P P M M M M

M M M M 0

Slika 11.20 Drugi stepen slobode kretanja mehanizma

3

2 2 2

3 P 7 4 4 7 4 4 3 3 4 5

2

2 3 3 2 6

P M M M M

M M 0

k kkk k in jnii

i j i jL L

Documents

KINEMATIKA (predavanja)