Kompleksni brojevi seminarski

  • View
    415

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of Kompleksni brojevi seminarski

Kompleksni brojeviImaginarni brojevi prvi put su se pojavili u 16. stoljeu vezano za problem rjeavanja kubne jednadbe. Njihova upotreba rairila se tokom 19. stoljea, kad su se pojavile i prve primjene. Najpoznatije primjene vezane su za teoriju elektriciteta i magnetizma (koju bitno pojednostavljuju) te za kvantnu teoriju. Kao motivacija za uvoenje imaginarnih brojeva obino se uzimaju kvadratne jednadbe s realnim koefcijentima. Poznato je da ako je diskriminanta D = b2 - 4ac kvadratne jednadbe ax2+bx+c = 0 negativna, ta jednadba nema realnih rjeenja. Osnovni primjer takve jednadbe je x + 1 = 0: Po dogovoru, ta jednadba (iako nema realnih rjeenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje negativan broj -1) ima dva rjeenja u kompleksnim brojevima. To su 1 i i -i tj. Oba broja (i i -i) su rjeenja kvadratne jednadbe x2 +1 = 0 (kao to su 1 i -1 rjeenja kvadratne jednadbe x2-1 = 0). Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, defnicija imaginarne jedinice je da je to jedan od dva mogua broja koji kvadrirani daju 1: i = -1: Isto svojstvo ima i -i: (-i) = (-i)(-i) = (-1) i = 1 f (-1) = -1. Kompleksni brojevi se defniraju kao sve linearne kombinacije (s realnim koefcijentima) brojeva 1 i i tj. kompleksni brojevi su brojevi oblika z = x + yi s x; y 2 R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnog broja su realni brojevi). Skup svih kompleksnih brojeva oznaavamo s C. Skup R je podskup od C jer svaki realni broj x moemo shvatiti kao kompleksni broj x + 0 f 1. Brojeve kojima je realni dio nula zovemo isto imaginarnima. Napomena 1. Za one koji znaju defniciju dimenzije vektorskog prostora: Po defniciji C je dvodimenzionalni vektorski prostor (nad realnim brojevima). Kako mu bazu ine 1 te i, moemo ga interpretirati kao i svaki drugi realni dvodimenzionalni vektorski prostor: pomou koordinatnog sustava u ravnini.2 2 2 2 2 2

1

Oznaka i za imaginarnu jedinicu potjee iz 18. stoljea, kad ju je uveo vicarski matematiar L. Euler. Linearne kombinacije su izrazi oblika fx + fy + : : :, gdje su f; f; : : : skalari, a x; y; : : : vektori. U ovom

2

1

1. Kompleksna ravninaPoetkom 19. stoljea Argand i Gauss uveli su nain vizualizacije kompleksnih brojeva. Svaki kompleksan broj z = x + yi moemo poistovjetiti s tokom (x; y) u koordinatnoj ravnini (I obrnuto: svakoj toki odgovara kompleksan broj), uz uobiajeni Cartesiusov koordinatni sustav. Pritom uzimamo da apscise predstavljaju realne, a ordinate imaginarne dijelove pa se koordinatne osi u ovom sluaju zovu realna i imaginarna os. Na realnoj osi tada se nalaze svi realni brojevi (oni kojima je imaginarni dio 0), a na imaginarnoj svi isto imaginarni (oni kojima je realni dio 0). Prikaz kompleksne ravnine vidljiv je na slici3 1.

Slika 1: Kompleksna ravnina.

3

Slike ovog poglavlja preuzete su s web-stranice http://www.clarku.edu/fdjoyce/complex/

2

2. Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojevaDva kompleksna broja zbrajamo (oduzimamo) tako da im zbrojimo (oduzmemo) realne odnosno imaginarne dijelove:

Primjer 1 (3 + i) + (2i - 1) = 2 + 3i: Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva imaju sva uobiajena svojstva (komutativnost, asocijativnost, broj nula kao neutralni element, . . . ) tih operacija. U kompleksnoj ravnini zbroj odnosno razlika dva kompleksna broja z i z0 nalazi se na kraju radij-vektora koji se dobije zbrajanjem odnosno oduzimanjem radij-vektora koji pripadaju z i z0: zbrajanje i oduzimanje geometrijski se interpretiraju kao zbrajanje i oduzimanje radij-vektora u kompleksnoj ravnini. Pribrajanje istog broja svim kompleksnim brojevima moemo shvatiti kao translaciju ravnine (vidi sliku 3). Suprotni broj od x+yi je -x-yi. Odreivanje suprotnog broja u tom je kontekstu centralna simetrija (inverzija) obzirom na ishodite (vidi sliku 4).

Slika 2: Zbrajanje kompleksnih brojeva.

3

Slika 3: Pribrajanje kompleksnog broja kao translacija ravnine.

Slika 4: Suprotni broj kao centralna simetrija.

4

3. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranjeApsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy defnira se kao (biramo pozitivni kvadratni korijen). Geometrijski gledano, to je udaljenost toke koja predstavlja z do ishodita (slika 5).

Slika 5: Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Primjer 2 Ako je z = 3 + 4i, onda je

. Kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1 nalaze se na jedininoj krunici oko ishodita.

5

Preciznije, u kompleksnoj ravnini jedinina krunica oko ishodita ima jednadbu

Za zbrajanje kompleksnih brojeva vrijedi tzv. nejednakost trokuta:

Nju se lako dokae pomou slike 6. Svakom kompleksnom broju pridruen je njegov kompleksno konjugirani broj

(promijeni se predznak imaginarnog dijela).

Slika 6: Nejednakost trokuta. Primjer 3 Ako je z = 5 - 9i, onda je z = 5 + 9i. U kompleksnoj ravnini kompleksno konjugirani broj od z je njegova zrcalnosimetrina slika obzirom na realnu os (vidi sliku 7). Vrijedi z = z:

6

4. Mnoenje i dijeljenje kompleksnih brojevaMnoenje dva kompleksna broja defnirano je formom

Primjer 4

Vrijedi sljedea korisna jednakost:

Dokaimo ju. Ako je

onda je

Primjer 5 Kako je -1 = i , dijeljenjem s -i dobivamo2

Reciproni broj broja z je broj

Toka koja predstavlja 1/z nalazi se na spojnici ishodita i z, kako je vidljivo na slici 7.

7

Slika 7: Kompleksno konjugiranje i reciproni brojevi.

Primjer 6 Za z = 3 - 4i imamo

: Dijeljenje je defnirano kao mnoenje recipronim brojem:

8

Primjer 7

5. Trigonometrijski prikaz kompleksnog brojaArgument kompleksnog broja z je kut takav da je tg = y/x , radi se o kutu koji radijvektor od z zatvara s realnom osi. Primjer 8 Argument svakog pozitivnog realnog broja je 0, a argument svakog isto imaginarnog broja s pozitivnim imaginarnim dijelom (npr. broja i) je Kako je svaka toka u ravnini potpuno odre.ena svojim polarnim koordinatama, a iz gornjeg se vidi da su polarne koordinate broja z, slijedi da je prikazu z = x + yi (koji odgovara Kartezijevom koordinatnom sustavu) ekvivalentan prikaz Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Primjer 9

Trigonometrijski prikaz bitno olakava mnoenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Koritenjem adicionih formula za sinus i kosinus lako je provjeriti da vrijedi za

9

Slika 8: Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja.

Slika 9: Mnoenje kompleksnih brojeva.

10

Iz posljednje formule se vidi da je argument recipronog broja 1=z suprotan argumentu odz, kao to je i argument od z. To je objanjenje ve prikazane slike 7. Primjer 10

Sad se vidi da se mnoenje geometrijski gledano svodi na kombinaciju rotacije i mnoenja apsolutnih vrijednosti kompleksnih brojeva: radij-vektor koji predstavlja produkt je po smjeru zarotirani radij vektor jednog broja za kut jednak argumentu drugog, a po duljina je jednak produktu apsolutnih vrijednosti mnoenih brojeva. Specijalno, mnoenje kompleksnog broja nekim brojem kojem je apsolutna vrijednost jednaka 1 interpretira se kao rotacija za argument tog drugog broja.

11

Slika 10: Mnoenje s i je rotacija za pravi kut.

6. Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojevaPromotrimo prvo potencije broja i. Imamo:

Dakle, potenciranje broja i na viekratnik od 4 daje 1 i potencije se cikliki ponavljaju nakon svakog viekratnika od 4. Nadalje, potencije od i nalaze se na jedininoj krunici kao vrhovi kvadrata. Za potenciranje kompleksnih brojeva na prirodne potencije se koristi de Moivre-ova formula

Primjer 11

12

Slika 12: Potencije kompleksnog broja (kojem je apsolutna vrijednost manja od 1). Potencije od z se prema toj formuli dobivaju redom tako da argument poveavamo za argument od z i istovremeno potenciramo apsolutnu vrijednost, to je ilustrirano slikom 12. Korjenovanje je kompliciranije jer svaki kompleksan broj z ima n n-tih korijena (tj. Kompleksnih brojeva w takvih da je wn = z ima n). Geometrijski ti se korijeni nalaze u vrhovima pravilnog n-terokuta na krunici radijusa npjzj (tu gledamo korijen u smislu njegovog znaenja u realnim brojevima) kojoj je sredite u ishoditu, s tim da prvi od njih ima argument f Svi n-ti korijeni dobiju se kao

Primjer 12 etvrti korijeni iz 1 imaju apsolutnu vrijednost argument Svaki sljedei ima argument vei za te su trei korijeni od i redom 1; i;-1;-i. , a prvi po redu ima

13

Primjer 13 Trei korijeni iz i imaju apsolutnu vrijednost argument

, a prvi po redu ima

Svaki sljedei ima argument vei za te su etvrti korijeni od i redom

7. Eulerova formulaEulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikaza kompleksnih brojeva: Stoga je

Eksponencijalna funkcija u Eulerovoj formuli je eksponencijalna funkcija s bazom e proirena na kompleksne brojeve; ona ima mnoga specijalna svojstva, no osnovne formule za baratanje eksponencijalnim izrazima i dalje vrijede. Specijalno, imamo

Iz Eulerove formule dobiju se jo preglednija pravila rauna s kompleksnim brojevima:

14

Zbrojimo li i oduzmemo

dobit emo i idue dvije vane formule:

Primjer 14

Tj ii je realan broj!

15

8. Zato su uvedeni kompleksni brojeviUobiajeno je miljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadba imala rjeenje (na primjer, jednadba x + 1 = 0 nema realnih rjeenja, a nakon uvoenja kompleksnih brojeva ima dva rjeenja: i i -i). To se kasnije podupire jo jaim argumentom da svaka algebarska jednadba stupnja n ima tono n rjeenja (ukljuujui kratnost). Na primjer, jednadba2

x - 2x + 2x - 2x + 1 = 04 3 2

ima tono etiri rjeenja: dvostruko rjeenje 1 i jednostruka rjeenja i, -i. To se obrazlae rastavom na faktore: x