Kompleksni brojevi.pdf

  • View
    126

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of Kompleksni brojevi.pdf

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 1 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 2 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

    Sadrzaj

    1 Istorijski osvrt 3

    2 Definicija i osobine 8

    3 Algebarski oblik kompleksnog broja. 13

    4 Geometrijska interpretacija 22

    5 Modul i argument kompleksnog broja 26

    6 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja 29

    7 Eksponencijalni oblik kompleksnog broja 46

    8 Operacije sa kompleksnim brojevima 54

    9 Polje kompleksnih brojeva 59

    10 Vjezbe 61

    Literatura 88

    Indeks 88

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 3 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

    1. Istorijski osvrt

    Svaku linearnu jednacinu moguce je rijesiti u skupu realnih brojeva R, kvadratnus nenegativnom diskriminantom, jednacine oblina xn = a za a > 0 i one kojese na njih svode. Postoje algebarske jednacine sa cijelim koeficjentima, za raz-liku od pomenutih, koje nemaju realnih korjena. Takve su, na primjer, kva-dratne jednacine s negativnom diskriminantom, a najjednostavnija medu nimaje jednacina x2 + 1 = 0. Pitanje je kako se moze skup realnih brojeva prosiritidodavanjem novih brojeva, pa da tim brojevima prosireni skup sadrzi korjene kva-dratnih jednacina s negativnom diskriminantom. Postupkom prosirivanja uvedenisu negativni brojevi, zbog nemogucnosti rjesavanja u skupu prirodnih brojevaN jednacine oblika x + b = a, kao i racionalni brojevi Q, zbog nemogucnostirjesavanja u skupu cijelih brojeva Z jednacine oblika bx = a.Ako je i novi broj koji predstavlja rjesenje kvadratne jednacine x2 + 1 = 0, tj.takav da za njega vrijedi jednakost i2 + 1 = 0, onda se problem sastoji u tomeda se skup realnih brojeva prosiri tako da novi skup sadrzi broj i i da je unjemu moguce bez ogranicenja izvoditi operacije sabiranja i mnozenja. Da bise to postiglo, potrebno je precizirati sta ce se podrazumjevati pod jednakoscu,zbirom i proizvodom novih brojeva. Naravno, u taj novi skup brojeva potrebnoje ukljuciti proizvode bi, zbirove a + bi za sve realne brojeve a i b. Izraz oblikaa+ bi zove se kompleksn broj.

    Treba istaci da jos nije data definicija kompleksnog broja. Tek se samo pokusavanaslutiti kakav bi oblik oni mogli imati. Za sada je ta analiza formalna i nesadrzi jos definiciju skupa kompleksnih brojeva. Bez obzira na receno dovoljnoje razloga da se nesto kaze i o cestoj gresci koja se pravi prilikom uvodenjakompleksnih brojeva. Naime, iz jednakosti i2 + 1 = 0 pogresno se zakljucuje da

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 4 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

    je i =1 pa se na osnovu toga na pitanje: Sta je kompleksan broj? dobiva

    pogresan odgovor: Kompleksan broj je izraz a + bi gdje je i =1, jer se u

    skupu realnih brojeva simbol koristi za oznacavanje aritmetickog korjenapozitivnog broja, pa zbog toga izraz

    1 nema smisla. Isto tako ni znak + u izrazu a + bi takoder nema smisla, jer oznasava operaciju sabiranja realnihbrojeva, ali ne i brojeva oblika bi / R.Posljednja definicija se ponekada pokusava popraviti nepotpunom novom: Kom-pleksan broj je formalan izraz oblika a+bi, u koe su a i b bilo koji realni brojevi, ai neki simbol, jer iz nje nije moguc izvesti pravila za operacije nad kompleksnimbrojevima kao i njihove osobine.

    Slika 1: Johann Carl FriedrichGauss, 1777-1855

    Kao vazno sredstvo istrazivanja u matematicikompleksni brojevi dobili su pravo gradanstvatek u 19. vijeku poslije Gausovih dovoljnoubjedljivih objasnjena pojma kompleksnog broja.Sumnju u njih dugo je izazivao simbol i (ima-ginarna jedinica), zbog toga sto on ne pos-toji medu realnim brojevima. Nepovjerenje unjih bilo je tim vece jer su se neke formule izobicne algebre nekriticki prenosile na komplek-sne brojeve, i njihova je upotreba dovela do ne-kih do tada nepoznatih paradoksa (na primjer,i2 = 1, ali je istrovremeno koristen i formalniizraz i =

    1 zajedno sa obicnim pravilima zaoperaciju kvadratnog korjena, pa se dolazilo dorezultata i2 =

    1 1 = (1)2 = 1 = 1).Zasnovana u 19. vijeku na osnovu pojma kompleksnog broja teorija funkcija

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 5 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

    kompleksne promjenljive je obogatila matematicku analizu novim rezultatima...

    Prvi koji su pokusali uvesti u matematiku kompleksne brojeve bili su italijanskimatematicari 16. vijeka Kardano i Bombeli a njihovi pokusaji bili su u vezisa rjesavanjem jednacina 3ceg i 4tog stepena. Moze se reci da je teorijakompleksnih brojeva privukla paznju italijanskih matematicara u 16. vijeka kojisu prvi prepoznali imaginarne (nestvarne, nerealne) brojeve. Dekart je u 17.vijeku napravio razliku izmedu realnih i imaginarnih korjena, a u 18. vijekusu se pojavili prvi radovi Muavra i Ojlera u vezi sa kompleksnim brojevima.Zahvaljujuci Muavru, 1730. godine pojavila se poznata formula

    (cos+ i sin)n = cosn+ i sinn

    koja danas nosi njegovo ime, a zahvaljujuci Ojleru frormula ei = cos+ i sin.

    Krajem 19. vijeka dominirao je geometrijski pristup kompleksnim vrijednostima,sto je za posljedicu imalo povecan interes za teorijom kompleksnih brojeva ucjelini. Ideja grafickog prikaza kompleksnih brojeva pojavila se jos 1685. godineu Valisovom radu De Algebra Tractatus. U 18. vijeku Kuhn 1750. godine iVesel oko 1795. godine napravili su odlucan iskorak prema sadasnjoj teoriji.Veselove savrseno jasne i cjelovite naucne rasprave pojavile su se u izdanjimanaucnog drustva Kopenhagenske akademije za 1799. godinu, koje se zbog takogpristupa, mogu nositi sa danavsnjim modernim radovima iz te oblasti. Izmeduostalog on je analizirao sferu, izlozio je teoriju kvaterniona iz koje je zatim razviokompletnu sfernu trigonometriju. Neovisno od njega Abu Bue je 1804. godinedosao na ideju, slicno Valisu, da bi brojeve 1 trebalo uzeti za mjerne jedinicena pravoj koja je normalna na realnu osu. Bueov rad nije objavljen do 1086.godine, kada je i Argan takode objavio rad na istu temu. Zahvaljujuci Arganovomeseju danas se na graficki prikaz kompleksnog broja gleda kao na nesto prirodno

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 6 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

    i nesto sto je nauco utemeljeno. Treba istaci da je Gaus 1831. godine smatraoda je teorija kompleksnih brojeva bila prilicno nepoznata, pa je 1832. godine natu temu objavio svoje glavne naucne rasprave i time ih predstavio matematickojjavnosti. Osim toga treba pomenuti mali ali izvanredan doprinos Moreja iz 1828.godine, u cijem sredistu je naucno zasnovana teorija (direktnih) brojeva. Kosijevii Abelovi radovi su velikim dijelom zasluzni za prihvatanje teorije kompleksnihbrojeva, posebno Abelovi radovi koji je prvi, hrabro i uspjeso (danas je to dodobro poznato), koristio kompleksne brojeve.

    Kaspar Vesel (1745-1818). Danski matematicar, roden u Jonsrudeu u Norveskoj,geometar po profesiji, radio je kao geometar-kartograf u Danskoj akademiji nauka.On je 1797. godine Danskoj AN dostavio svoj rad Ogled o analitickoj reprezentacijiorjentisanih duzi i njihovoj primjeni u prvom redu za rjesavanje ravninskih i sfernihmnogouglova, koji je Akademija objevila 1799. godine. U njemu je postupno idetaljno izlozen vektorski racun u ravni, koji je uzet za geometrijski model algebrekompleksnih brojeva.

    Utemeljivaci teorije kompleksnih brojeva su velikim dijelom zasluzni i za davanjeimena osnovnim pojmovima te teorije. Argan izraz cos+i sin naziva koeficjentpravca, a izraz r =

    a2 + b2 modul. Kosi 1828. godine izrazu cos+ i sin daje

    ime reducirana forma. Gaus umjesto1 koristi i, a izraz a+bi zove kompleksan

    broj, dok izraz a2 + b2 zove norma. Cesto se za izraz cos + i sin koristi nazivkoeficjent direktni?, a za sto je zasluzan Henkel (1867.), dok je za apsolutnuvrijednos umjesto modula zasluzan Vajerstras.

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 7 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

    Poslije Kosija i Gausa pojavio se niz visokorangiranih matematicara medu kojimase isticu: Kumer (1844), Kroneker (1845), Sefer (1845, 1851, 1880), Belavitis(1835, 1852), Peakom (1845) i De Morgan (1845). Mebijus takoder morabiti pomenut zbog svojih bezbrojnih naucnih rasprava o geometrijskoj primjenikompleksnih brojeva, kao i Dirihlet zbog popularizacije teorije koja sadrzi prostebrojeve, kongruencije, reciprocnosti, itd. slicno teoriji realnih brojeva.

    Pored uobicajenog a+bi izucavani su i drugi oblici, u kojima je i korjen jednacinex2 + 1. Ajnstajn je proucava prikaz a + bj u kome je j kompleksan korjen izx3 1. Slicno tome, proucavani su i svi kompleksni prikazi koji su proizasli izjednacine xk 1, u kojoj je k prosti broj. Kumer je velikim dijelom zasluzan zaovo poopstenje, kao i za teoriju idealnih brojeva, koju je 1893. godine Klajn po-jednostavio sa getrijske tacke gledista. Galua je zasluzan za daljni razvoj teorijekompleksnih brojeva u cijoj osnovi su imaginarni korjeni nesvodljivih kongruen-cija F (x) 0 mod p, gdje je p prost broj. Pocev od 1884. godine pojavili suse i drugi autori koji su radili na unapredenju opce teorije, posebno Vajerstras,Svarc, Dedekind, Holder, Berlot, Puankare, Study i Mekferlen.

  • Home Page

    Glavna

    Sadrzaj

    JJ IIJ I

    Strana 8 od 90

    Na predhodnu

    Full Screen

    Zatvori

    Kraj

    2. Definicija i osobine

    Definicija 1. Ako se u skupu uredenih parova realnih brojeva R2 = RR = {(a, b)| a, b R} relacija jednakosti = i operacije + i uredenih parova definisu nasljedec nacin: