La transformée de Laplace - bigotte.physique.free.frbigotte.physique.free.fr/documents/Rappels Laplace.pdf · 1 La transformée de Laplace Méthode mathématique ayant pour objectif:

1

La transformée de Laplace

Méthode mathématique ayant pour objectif:

• Contourner la difficulté de résolution des équationsdifférentielles

• Offrir une résolution algébrique

• Très bien adaptée à l’électronique

2

Comment le cours est-il structuré?

Introduction: les difficultésDéfinition mathématique:

• La transformée de Laplace• L’opérateur indice• Exemples: fonction échelon, fonction exponentielle, fonction rampe

Propriétés de la transformée de Laplace• Multiplication par une constante• Somme de deux fonctions• Dérivation• Intégration• Théorie du retard• Impulsion d’aire unité• Théorème de l’amortissement• Théorème de la valeur initiale et finale

Transformée inverse• Principe• Décomposition en éléments simples• Cas du pôle double• Cas de deux pôles complexes conjugués

Application à l’étude des circuits• A partir de l’équation différentielle• Avec Laplace

Tableau récapitulatifExercices

3

Introduction

f (t)

equadif

L

!F(p)

polynome en p

L-1

!f (t)

La problématique

• Circuits RLC donnent des comportements régis par des eq. dif du 2ème ordre• Pour des signaux sinusoïdaux exploitation des impédances avec notation 1/jω• Pour des signaux quelconques, c’est très complexe

Méthode de calcul développée par Heaviside et Laplace

Principe

1. Transposer les équa. dif (variable t) sous formes d’équations algébriqueslinéaires (variable p comparable à jω)

2. Décomposer les équations algébriques en fractions rationnelles simples

3. Revenir à la réponse temporelle par une transposition inverse

4

Définition mathématique

La transformée de Laplace

[ ] dttfetfpF pt )(.)()(0!"

#== L

Soit f(t) une fonction quelconque, nulle pour t<0 (fonction causale)

La transformée de Laplace est définie par:

F(p) est appelée l’image de f(t)

f(t) est appelée l’original de F(p): f(t) = L-1[F(p)]

5


L’opérateur indice unité u(t)

)()()()()()( tutfpFpFtutf !!

- 1LL

et

L’opérateur indice unité est défini par la fonction u(t) = 0 pour t < 01 pour t > 0

Associé à f(t), u(t) indique quef(t).u(t) = f(t) pour t > 0

f(t).u(t) = 0 pour t < 0

Le produit par u(t) rend la fonction causale

=> possibilité d’en calculer la transformée de Laplace

6


Exemple 1: fonction échelon

p

A

p

eAAdtepF

ptpt

=!"

#$%

&'==

('(

'

)0

0.)(

p

AtuAtutf !=

L

)(.)().(

( )

ap

A

ap

eAdtAeepF

tapatpt

+=!

"

#$%

&

+

'==

(+'

'(

'

)0

0.)(

Exemple 2: fonction exponentielle

ap

AtuAetutf at

+= !

"

L

)(.)().(

Démo:t

A

A.u(t)

Démo:

t

A

A.e-at. u(t)

7


Exemple 3: fonction rampe

2

0

200

00..)(

p

a

p

etadt

p

ea

p

etatdtaepF

ptptptpt

=!"

#$%

& '+=+!

"

#$%

& '==

('(

'('(

'

))

2)(..)().(

p

atutatutf !=

L

La résolution exploite la technique de l’intégration par partie

t

A

at.u(t)

Pente a

Démo:

[ ] !! "= vuuvuv ''

avec!"

!#

$

==

==

%

%

p

evetu

evettupt

pt

1'

'

8

Propriétés de la transformée de Laplace

Multiplication par une constante

Somme de deux fonctions

)(.)().(. pFatutfa !

L

[ ] )()()(.)()( 2121 pFpFtutftf ++ !

L

Application: On connaît la formule d’Euler : cos(ωt) + jsin(ωt) = ejωt

La transformée de Laplace se décompose alors:

[ ] [ ] [ ] [ ])().sin()().cos()().sin()().cos()(. tutjtuttutjtuttuetj

!!!!!

LLLL +=+=

Or, on connaît la transformée d’une fonction exp. [ ]2222

1)(.

!

!

!!

!

++

+=

"=

pj

p

p

jptue

tjL

22)().cos(

!!

+"

p

ptut

L

22)().sin(

!

!!

+"

ptut

L

Partie réelle de la transformée Partie imaginaire de la transformée

9


Dérivation

Soit f’(t) la dérivée de f(t) )0()(.)().(' +!" fpFptutf

L

Conséquence: Pour une équa. dif d’ordre n (terme avec dérivée nième)• A chaque dérivée on fait correspondre une multiplication par p et • on retranche la condition initiale

Exemple: 0)0( VVavecVVdt

dVRC

OUTINOUT

OUT==+

+

On a alors: [ ] )()()(. 0 pVpVVppVRC INOUTOUT =+!

Si la condition initiale est nulle (condition d’Heaviside) alors )(.)().(' pFptutf !

L

Exemple: 0)0( ==++

OUTINOUT

OUTVavecVV

dt

dVRC

)()()(. pVpVppVRC INOUTOUT =+On a alors: Ou encore: )(.1

1)( pV

RCppV INOUT

+=

Ça nous vous rappelle rien????

10


Intégration

Soit g(t) la primitive de f(t)

p

pFtutg

)()().( !

L

!"

=0

).()( dttftg

Si la constante d’intégration est nulle alors

À démontrer

11


Théorème du retard

t

A

f(t).u(t) f(t-τ).u(t-τ)

Application 1: transformée de Laplace d’une impulsion

t

A

τ

0

0

pepFtutf !!!

"

#"" ).()().(

L

t

Af1(t)

τ0 f2(t) = -f1(t-τ)

f(t) =f1(t) + f2(t)

-A

A

[ ]ppe

p

AepFpFpFpFpF

!! """="=+= 1).()()()()( 1121

12


Impulsion d’aire unité

t

1/τ

f(t)

τ0

1

t

δ(t)

0

1

τ représente la largeur de l’impulsion1/τ est l’amplitude

[ ]pep

pF!

!

""= 1

1)(

Impulsion de Dirac (idéale)Impulsion unité avec τ tend vers 0.

L’amplitude 1/τ tend vers ∞

[ ] 111

lim)( 0 =!="!

#

pe

pp

$

$

$

Vérifier

13


t

A

f(t)

T0

t

A

f1(t)

0

t

A

f2(t)

0

τ

τ

Application 2: transformée de Laplace d’une fonction périodique

La transformée de Laplace d’écrit

[ ]nTpTp

n eepFpFpFpFpF!!

+++=++= ...1)()(...)()()( 121avec n tend vers ∞

L’expression est de la formerr

rrr

n

!=

!

!=+++

1

1

1

1...1

2 soitTp

e

pFpF

!!

=1

)()( 1

14


Théorème de l’amortissement

[ ]( ) ( ) 2

00

222

0

2

0

2

02

02

1

1

1)(..1sin

1

10

!!!!!

!

!

++=

"++"

"#

"

pmpmmptutme

m

tm

L

)()().(. apFtutfe at+!

"

L

Application: fonction sinusoïdale amortie

avec( )

22)(..sin

!

!!

+"

ptut

LPour le démontrer, se rappelerde la formule d’Euler

15


Théorème de la valeur initiale et finale

)(lim)(lim 0 ppFtf pt !""=

)(lim)(lim 0 ppFtf pt !"!=

Connaissant F(p) on peut revenir à f(t), mais il arrive que les calculs soient longs et/oufastidieux ou que l'on ne s'intéresse qu'à la valeur initiale ou finale de f(t).

On peut aisément calculer f(0) et f(∞) à partir de F(p) sans repasser par f(t). Eneffet :

Artifice de démonstration: )0()().(.0

' +

!" "==#

$%

&'(

) fppFdttfedt

df ptL

16

Transformée inverse

Principe

01

01

....

....

)(

)()(

apapa

bpbpb

pD

pNpF

n

n

k

k

+++

+++==

))...().((

)(.)(

21 npppppp

pNKpF

!!!=

n

n

pp

A

pp

A

pp

ApF

!++

!+

!= ...)(

2

2

1

1

La plupart du temps, la transformée F(p) de la fonction f(t) est une fonctionrationnelle de deux polynômes.En électricité, le degré du numérateur est toujours inférieur à celui du dénominateur

Soient pi, les pôles de F(p)F(p) admet n pôles pour un dénominateur de degré nK = 1/an

F(p) peut être décomposée en une somme de fonctions rationnelles simples

Les Ai sont appelés les résidus

Chaque terme est la transformée d’une exponentielle tp

i

i

i ieApp

A!

"

"

1L

Finalement: [ ] )(....)( 21

21 tueAeAeAtftp

n

tptp n++=

17


Décomposition en éléments simples

65

1)(

2++

+=

pp

ppF

1. Il faut d’abord trouver les pôles

2. Puis décomposer en éléments simples

• Par identification on trouve A1 = -1 et A2 = 2

3. Le retour à l’original donne

Exemple

( )( )32

1)(

++

+=

pp

ppF

32)( 21

++

+=

p

A

p

ApF

3

2

2

1)(

++

+

!=

pppF

[ ] )(..2.1)( 32 tueetf tt !!+!=

18


Cas du pôle double

Exemple( )31

3

1)(

223+

+=

+

+=

pp

p

pp

ppF avec ( )22

0!= pp

p = 0 est un pôle double, ce qui donne la décomposition

3)( 32

2

1

+++=p

A

p

A

p

ApF

Par identification, on trouve: A1 = 1/3, A2 = 2/9 et A3 = -2/9

l’original donne )(..9

2

9

2

3

1)( 3 tuettf t

!"

#$%

&'+=

'

19


Cas de deux pôles complexes conjugués

Exemple22

1)(

2++

=pp

pF avec jpetjp !!=+!= 1121

La technique la plus simple consiste à mettre F(p) sous la forme d’unetransformée de Laplace d’une fonction sinusoïdale amortie

[ ]( ) 22

)(.sin!

!!

++"

#

apAtutAe

at

L

Ou encore( ) 11

1

22

1)(

22++

=++

=ppp

pF

l’original donne )().sin(.)( tutetf t!=

20

Application à l’étude des circuits

A partir de l’équation différentielle

uE(t)

i(t)R

C uC(t)

Échelon de 10V

RCavecuudt

duEC

C==+ !!

Équation dif. du circuit

Supposons que C soit initialement chargée uC(0) = V0 < uE

[ ]p

U

p

pUpUUppUuu

dt

du EECCEC

C ==+!=+ ")(

)()( 0##

L

d’où ( ) p

U

pp

UpU E

C!

!

! ++

+=

11)( 0

On peut mettre en évidence les pôles( ) !!

!

/1/1

/)( 0

++

+=

p

U

pp

UpU E

C

que l’on peut décomposer en éléments simples!! /1/1

)( 0

++

+

"+=

p

U

p

U

p

UpU EE

C

finalement ( ) )(.)(.)( 00 tueUUUtueUeUUtu

t

EE

tt

EEC !"

#$%

&'+=!

"

#$%

&+'=

'''

(((

21


Avec Laplace: Exploitation des impédances

Représentation réelle

u(t)

i(t) R [Ω]C [F] L [H]

i(t) i(t)

u(t) u(t)

u(t)=R.i(t) u(t)=L.di(t)/dti(t)=C.du(t)/dt

Représentation opérationnelle (transformée de Laplace)

U(p)

I(p) R [Ω]ZC(p)

U(p)=R.I(p)

ZL(p)I(p) I(p)

U(p) U(p)

U(p)=I(p)/Cp U(p)=Lp.I(p)

ZR(p) = R ZC(p) = 1/Cp ZL(p) = Lp

Remarque: on retrouve le même type d’expression avec la notation complexe (jω)

22


Avec Laplace: Exemple – circuit RC soumis à une impulsion carrée

)().()(1

1)(

/1

/1)( pUpHpU

RCppU

CpR

CppU EEEC =

+=

+=

t

A

uE(t)

0

uE(t)

i(t)R

C uC(t)

Hypothèse: capa déchargée à t = 0

H(p) est la fonction de transfert opérationnelle du circuit RC

La transformée de l’impulsion carrée: [ ]pE e

p

ApU

!""= 1)(

Expression à analyser:( )

[ ]pC e

RCpp

ApU

!""

+= 1

1)(

τ

23


t

Au1(t)

τ0 u2(t)

-At

AuC(t)

τ0

)(..)(.)(..)(.)( !!

!

"+"""=

"""

tueAtuAtueAtuAtu RC

t

RC

t

C

Avec Laplace: Exemple – circuit RC soumis à une impulsion carrée (analyse)

On analyse:( )

[ ]pC e

RCpp

ApU

!""

+= 1

1)( avec

( ) ( ) RCp

A

p

A

RCpp

RCA

RCpp

A

/1/1

/

1 +

!+=

+=

+

Pour calculer la transformée inverse on exploite l’expression du retard

[ ] )()(1./1

)( 21 pUpUeRCp

A

p

ApU

p

C +=!"#

$%&

'

+

!+=

!(

)(..)(.)()( /

11 tueAtuAtupURCt!

!="

- 1L

( ) )(..)(.)()( /

22 !!!

""""=""

# tueAtuAtupURCt

- 1L

24

Tableau récapitulatif

F(p) f(t) pour t >=0 F(p) f(t) pour t ³ 0

1 δ(t)(impulsion de Dirac) 1/p u(t)

(échelon unité)

a/p2 a.t(rampe) ap +

1at

e!

( )21

ap +

atet!. ( )2ap

p

+ ( ) ateta!

! ..1

22!

!

+p)sin( t!

22!+p

p)cos( t!

( ) 22

!

!

++ ap)sin(. te

at!

"

( ) 22

!++

+

ap

ap)cos(. te

at!

"

2

00

22

1

!! ++ pmp)1sin(.

1

1 2

02

0

0 tme

m

tm!

!

!"

"

" Valable si 0 < m < 1Si m ³ 1, on peut décomposer

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