Laboratorio de Física con soporte interactivo en Moodlepearsonespana.blob.core.windows.net/books/9788483226469.pdfconclusiones. Además se ha incluido en cada práctica un test con

Laboratorio de Física con soporte interactivo

en Moodle


en Moodle

Javier Ablanque RamírezRosa María Benito Zafrilla

Juan Carlos Losada GonzálezDepartamento de Física y Mecánica Fundamentales

y Aplicadas a la Ingeniería AgroforestalETSI Agrónomos UPM

Universidad Politécnica de Madrid

Luis Seidel Gómez de QueroDepartamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial

Escuela Técnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politécnica de Madrid

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ISBN: 978-84-8322-646-9Depósito Legal:

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LABORATORIO DE FÍSICA CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEJavier Ablanque Ramírez; Rosa María Benito Zafrilla; Juan Carlos Losada González; Luis Seidel Gómez de Quero

PEARSON EDUCACIÓN, S.A. 2010ISBN: 978-84-8322-646-9

Materia: 53, Física.

Formato: 215 � 270 mm Páginas: 158

A nuestras familias

CONTENIDO

CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. El concepto de medida ...............................................................................................................22. El proceso de medición en el laboratorio .................................................................................23. Incertidumbre en medidas directas ...........................................................................................44. Incertidumbre en medidas indirectas........................................................................................65. Representaciones gráficas............................................................................................................76. Ajuste por mínimos cuadrados ..................................................................................................8

CAPÍTULO II MECÁNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEORÍA

1. Cinemática y dinámica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.1 Cinemática del punto en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Dinámica del punto material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Ley de Hooke. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Dinámica de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213. Dinámica del sólido rígido con eje de rotación fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.1 Cinemática del sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Centro de masas y momento de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Teoremas fundamentales de la dinámica de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Ejemplo de dinámica de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Movimiento giroscópico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

PRÁCTICAS

PR1. Estudio del movimiento uniformemente acelerado con el carril de aire . . . . . . . . . . . 26PR2. Determinación de la constante elástica de un muelle helicoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37PR3. Determinación de la aceleración local de la gravedad

mediante un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46PR4. Relación entre los movimientos de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

CAPÍTULO III ELECROMAGNETISMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEORÍA

1. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582. Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

PRÁCTICAS

PR5. Medida de la resistencia de un hilo conductor en función de su longitud . . . . . . . . . 73PR6. Variación de la resistencia con la temperatura en un filamento incandescente . . . . . 80PR7. Determinación de la resistencia interna de un voltímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88PR8. Determinación del campo magnético en el interior de un solenoide

y de la permeabilidad magnética del aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

CAPÍTULO IV TERMODINÁMICA Y TRANSFERENCIA DE CALOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

TEORÍA

1. Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.2 Definiciones termodinámicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.3 Principio cero de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.4 Leyes de los gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2. Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.1 Transferencia de calor por radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

PRÁCTICAS

PR9. Comprobación experimental de la ley de Boyle Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112PR10. Comprobación experimental de la ley de Stefan Boltzmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122PR11. Determinación de la emisividad de distintos materiales con el cubo de Leslie. . . .135

PRÓLOGO

La Física es una ciencia experimental, por lo que las prácticas de laboratorio son un comple-mento imprescindible en la enseñanza de esta disciplina. El laboratorio pone en contacto a losalumnos con los fenómenos físicos estudiados en la clase de teoría. Esta actividad contribuye auna formación más completa del alumno, facilitándole la compresión de los conceptos y la adqui-sición y afianzamiento de los conocimientos, por lo que es fundamental aprovechar al máximo lasposibilidades de formación que ofrece la realización de prácticas de laboratorio, intentando quesean de la mayor calidad posible, tanto científica como pedagógica.

Sin embargo, no siempre es posible la realización de prácticas de calidad y su seguimiento porparte de los profesores, ya sea por el coste que ello supone o por el elevado número de alumnosque hay en los primeros cursos universitarios de ciertas disciplinas.

Esta obra es una herramienta interactiva que, usando la tecnología de la información y la comu-nicación (TIC), puede ser utilizada como una alternativa on-line a la realización presencial de lasprácticas de laboratorio, destinada a complementar las enseñanzas de la Física General de prime-ros cursos de Grados en Ciencias o Ingeniería, e incluso últimos cursos de bachillerato.

Consta de diferentes recursos pedagógicos y materiales didácticos a los que se accede on-linea través de una plataforma de tele-enseñanza Moodle, e incluye un libro de apoyo, de forma quepuedan ser utilizados tanto en enseñanza a distancia (e-learning) como en enseñanza mixta (b-learning)

El libro se ha estructurado en tres capítulos, sobre Mecánica, Electromagnetismo yTermodinámica en los que primeramente se recogen los fundamentos teóricos necesarios, presen-tando a continuación la descripción detallada de diferentes prácticas. Se incluye, a su vez, unaserie de cuestiones que obligan a los alumnos a reflexionar sobre los resultados obtenidos y sacarconclusiones de los mismos, de esta manera se intenta ir introduciendo al alumno en el métodocientífico.

Por otro lado y dado que uno de los objetivos del laboratorio de Física es que los alumnostomen conciencia de que toda medida viene afectada por una cierta incertidumbre y que aprendana expresar los resultados experimentales correctamente, se ha incluido un primer capítulo dedica-do a la medida y su incertidumbre. Este es un tema al que se presta especial atención dado que entodas las prácticas se exige una correcta presentación de los resultados que incluya el tratamientode incertidumbres y el ajuste de gráficas por el método de los mínimos cuadrados.

Los contenidos de este libro complementan a los materiales didácticos incluidos en la plata-forma de tele-enseñanza Moodle, en la que en cada práctica se presenta de nuevo su desarrollodetallado, añadiendo videos y otros elementos multimedia e incluyendo el tratamiento de datosexperimentales reales. Así mismo, se proporcionan, nuevos datos experimentales para que elestudiante trabaje con ellos, realizando el tratamiento de datos, la obtención de los resultados y

conclusiones. Además se ha incluido en cada práctica un test con varias preguntas de respuestasmúltiples sobre aspectos concretos de la misma, que puede ser utilizado por el alumno comomaterial interactivo de autoevaluación, o por el profesor como evaluación de las capacidadesdesarrolladas por el estudiante.

El objetivo de los autores es introducir al alumnado en la forma de trabajar en el laboratorio,de forma que los alumnos que utilicen estos materiales puedan centrar su aprendizaje en la pro-fundización de los fundamentos físicos de las experiencias prácticas, en dominar el tratamiento delos datos experimentales y la elaboración de informes. Así, sin obtener de forma directa los datos,pueden acercarse a la práctica tal como se realiza en el laboratorio de una forma más cómoda, sinlas limitaciones de espacio o tiempo habituales, de forma que puedan desarrollar competenciasque tradicionalmente se adquieren mediante el trabajo en el laboratorio, como pueden ser conocercómo se mide la aceleración de la gravedad, el momento de inercia de un giróscopo o la resisten-cia interna de un voltímetro; saber estimar correctamente la incertidumbre en las medidas o mane-jar las herramientas gráficas y estadísticas de programas de ordenador muy usuales. Así mismoeste tipo de metodología interactiva de enseñanza-aprendizaje, permite desarrollar competenciastransversales que serán útiles al alumno en otras asignaturas, como el uso de programas de orde-nador para la realización de ajustes, gráficas, etc. y en general todas las relacionadas con el usolas TIC en la enseñanza.

El Laboratorio de Física con apoyo interactivo en Moodle puede utilizarse como apoyo a ladocencia presencial o en la impartición de cursos completos de Física on-line, que de esta formaincluyen aspectos experimentales que en principio solo estarían disponibles en la enseñanza pre-sencial. Este material tiene la ventaja de que permite al alumno un aprendizaje autónomo con losmateriales on-line proporcionados y un seguimiento personalizado por parte del profesor, utilizan-do las diferentes herramientas que poseen las plataformas de teleenseñanza.

x PRÓLOGO

IILA MEDIDA Y SU

INCERTIDUMBRE

1. El concepto de medida 2. El proceso de medición en el laboratorio 3. Incertidumbre en medidas directas4. Incertidumbre en medidas indirectas5. Representaciones gráficas6. Ajuste por mínimos cuadrados

Contenido del capítulo

1. EL CONCEPTO DE MEDIDA1

En Física solo tiene sentido aquello que se puede medir. Se llama magnitud física a cualquier cua-lidad susceptible de ser medida: longitud, masa, resistencia eléctrica,… Por el contrario, cantidades el observable concreto que tiene un objeto de una cierta magnitud: la longitud de una regla esla cantidad de la magnitud “longitud” que tiene la regla. Para cualquier magnitud, su unidad es lacantidad de esa magnitud que se toma como referencia. Así, una posible unidad de volumen es elvolumen de un determinado recipiente.

Medir significa comparar la cantidad de la magnitud que tiene el mensurando (aquello que semide) con la unidad. Si una mesa tiene una cantidad de longitud 3 veces mayor que la de la reglaque tomemos como unidad, diremos que la medida de la mesa es 3 unidades, o que la mesa “mide3 reglas”. Al expresar una medida como un número y una unidad (5 N, 80 s, 145 km/h) hay queacostumbrarse a emplear el Sistema Internacional de Unidades (SI) y ajustarse a sus normas.

Las magnitudes en Física tienen una propiedad que se llama dimensión, introducida por JosephFourier, que se define como una cierta cualidad de la magnitud que impide que puedan comparar-se magnitudes con distinta dimensión. No podemos comparar masas con tiempos porque son mag-nitudes que tienen distinta dimensión. Sin entrar más a fondo en el campo del análisis dimensio-nal, conviene insistir en que en los cálculos en Física no solo intervienen números, sino magnitu-des y dimensiones que hay que expresar correctamente.

2. EL PROCESO DE MEDICIÓN EN EL LABORATORIO

El resultado de cualquier medición, por elemental que sea, no debe ser simplemente un número yuna unidad: 3 mm, 7 kg. Las medidas en el laboratorio están siempre afectadas por una incerti-dumbre. En algunos casos, la incertidumbre del resultado de la medida será debida al aparato demedida. Si estamos cronometrando los tiempos de caída de un objeto, la incertidumbre no será lamisma si empleamos nuestro reloj o un buen cronómetro. En otros casos, la incertidumbre tendrásu origen en el propio operador. Dos personas distintas, midiendo el mismo objeto con el mismoaparato, pueden obtener resultados distintos. Incluso, en cuanto la medida es suficientemente pre-cisa, midiendo varias veces el mismo objeto, la misma persona con el mismo aparato, se obtienenvalores distintos para la medida.

La incertidumbre se define como “parámetro asociado al resultado de una medida que caracte-riza la dispersión de los valores que razonablemente se pueden asignar al mensurando”. Hay quedistinguirlo del error, que sería la diferencia entre el valor verdadero y el medido del mensuran-do. Por definición, el error no se puede determinar, porque el valor verdadero no se puede cono-cer con absoluta certeza. En su lugar, se habla de valor convencionalmente verdadero como aquelal que tratamos de acercarnos mediante el proceso de medida.

2 LABORATORIO DE FÍSICA CON APOYO INTERACTIVO EN MOODLE

1 Para las definiciones que siguen y la forma de calcular la incertidumbre, se toma como referencia la “Guía para laexpresión de la incertidumbre en la medida” y el “Vocabulario Internacional de Metrología”, normas internaciona-les publicadas por el BIPM (Oficina Internacional de Pesas y Medidas) y respaldadas por ISO y otras organizacionescientíficas. Están disponibles en http://www.bipm.org/en/publications/guides/

CAPÍTULO I LA MEDIDA Y SU INCERTIDUMBRE 3

La determinación de la incertidumbre es uno de los objetivos principales del trabajo en el labo-ratorio. Para ello, hay que establecer un procedimiento de medición que nos permita identificarlas fuentes principales de incertidumbre.

En primer lugar, hay que tratar de identificar y controlar posibles magnitudes de influencia enla medida. Por ejemplo, la temperatura puede influir en una medida de longitud, si el materialtiene un coeficiente de dilatación no despreciable; o el lugar en que hagamos la medida puede per-turbarla si alguna magnitud depende de la aceleración local de la gravedad. A continuación hayque conocer la incertidumbre asociada a los aparatos de medida, tanto la asociada a su calibracióncomo la asociada a la división de escala del aparato, es decir, el intervalo mínimo de valores dela magnitud que puede distinguir (1 mm en una regla, 0,1 grados en un termómetro,…). Un apa-rato de medida mal calibrado introduce un error sistemático en los resultados que en ocasiones sepuede observar en el tratamiento de los datos. En lo que sigue supondremos siempre que los ins-trumentos de medida están correctamente calibrados y que la incertidumbre asociada a ellos secalcula a partir de la división de escala.

Por último, hay que tratar de controlar los errores sistemáticos, que son aquellos que se debena manipulaciones poco cuidadosas de los aparatos o a ignorar las magnitudes de influencia.Reducir los errores sistemáticos será siempre necesario antes de obtener los datos experimentalesque vayamos a tratar.

Se dice que se mide en condiciones de repetibilidad o de referencia cuando se ha establecidocorrectamente el procedimiento de toma de datos experimentales para controlar las magnitudes deinfluencia y los errores sistemáticos. Incluso entonces se obtiene cierta variabilidad en los resul-tados, pero esas variaciones se pueden tratar estadísticamente. Esto expresa el hecho fundamentalde que no podemos conocer el valor real del mensurando. El resultado de la medida será x � u,donde x es el valor convencionalmente verdadero y u es su incertidumbre, o incertidumbre abso-luta. Si la diferencia entre el valor real (al que nos podríamos aproximar más con una medidamejor o un aparato de mayor calidad) y el valor convencionalmente verdadero es pequeña, deci-mos que la medida es exacta. Si la incertidumbre es pequeña, decimos que la medida es precisa.Hay que distinguir entre exactitud y precisión, aunque el objetivo de la medición es obtener resul-tados más exactos y más precisos.

En realidad, la incertidumbre no expresa el rango de valores que contienen con seguridad alvalor real. Es decir, el valor real no se encuentra siempre entre x � u y x�u. Lo máximo quepodemos asegurar es que se encuentra en ese rango con bastante probabilidad. De hecho, si losresultados de una medición se ajustan a una distribución normal de probabilidad (distribucióngaussiana, a la que se ajustan datos completamente aleatorios) la probabilidad de que el valor realesté en el intervalo dado por x � u es de un 68,2%. Por eso con frecuencia se multiplica por 2 opor 3 la incertidumbre (para obtener una probabilidad del 95,4% o del 99,7%). Este factor seconoce como factor de cobertura. Siempre debemos conocer el nivel de confianza de la incerti-dumbre que hayamos determinado, aunque no mencionemos explícitamente el factor de cober-tura empleado.

Para expresar correctamente el resultado y su incertidumbre se deben respetar las siguientesreglas. La incertidumbre se expresa con una (o a veces dos, particularmente si la primera es un 1)cifras significativas. Si como resultado de los cálculos obtenemos para una cierta incertidumbre

el valor 0,004527, ese número tiene en principio 4 cifras significativas (los ceros a la izquierda noson significativos). El mismo valor redondeado a dos cifras sería 0,0045 o redondeado a una cifrasería 0,005. Conviene recordar que, al redondear, si la primera cifra despreciada es mayor o iguala 5, la cifra que se retiene se aumenta en una unidad y en otro caso no se modifica.

� EJEMPLO

Al medir la velocidad de un móvil, se obtiene v � 3,5867 m/s. La incertidumbre resul-ta ser u � 0,058 m/s. Expresar correctamente el resultado de la medida.

En primer lugar, la incertidumbre se debe expresar con una única cifra significativa.Redondeando se obtiene u � 0,06 m/s. A continuación se debe ajustar el número de cifrassignificativas del valor medido para que la última sea la afectada por la incertidumbre. Eneste caso, la afectada por la incertidumbre es el segundo decimal. Por tanto el resultadocorrecto es:

v � (3,59 � 0,06) m/s

Para apreciar más fácilmente la calidad de una medida se puede emplear la incertidumbre rela-tiva que se calcula como el cociente entre la incertidumbre absoluta y el valor medido .

Si multiplicamos w por 100, expresamos la incertidumbre relativa como un tanto por ciento.Utilizando la incertidumbre relativa podemos comparar la precisión de dos medidas distintas.Valores parecidos de la incertidumbre relativa corresponden a medidas de parecida precisión,aunque los valores de la incertidumbre absoluta o incluso la magnitud medida sean muy distin-tos.

3. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS

Una medida directa es aquella en la que obtenemos directamente el resultado de la medida a par-tir de la lectura de un aparato de medida, sin necesidad de realizar otros cálculos con el resultadoque proporciona ese instrumento.

Como se ha expuesto antes, antes de realizar la medida se deben identificar las magnitudes deinfluencia y disponer el mensurando y el aparato de medida de la forma más cuidadosa posible.Si el instrumento de medida está calibrado correctamente y los valores que podemos obtener deél (sea analógico o digital) tienen una separación mínima, que se llama división de escala (quecorresponde al intervalo entre valores de una escala graduada o al último dígito de un instrumen-to con pantalla digital) se debe tomar como incertidumbre asociada a la división de escala elvalor , donde E es el valor de la división de escala.

En instrumentos analógicos no tiene sentido tratar de apreciar valores entre dos puntos separa-dos por una división de escala, es decir, tratar de apreciar décimas de milímetro con una regla cuya

u Ed =

2 3

w ux

=



división de escala es 1 mm. La calibración de un instrumento incluye determinar la división deescala que debe mostrar, y no se debe pensar que por intentar apreciar con más finura en qué puntoentre dos valores consecutivos de la escala graduada se encuentra el valor a medir se va a obteneruna medida mejor. Lo que sí debe apreciar el operador es a qué valor de la escala corresponde unamedida.

Teniendo en cuenta que en condiciones de repetibilidad se obtendrán medidas distintas al repe-tir el proceso de medida, siempre se debe realizar más de una medida. En general se comprobaráque los valores medidos no difieren demasiado, si estamos midiendo correctamente. Pero la dis-persión de las medidas realizadas en esas condiciones influye en la incertidumbre y se debe tratarestadísticamente.

Si se realizan N medidas de un mismo mensurando en condiciones de repetibilidad y se obtie-ne los valores , se tomará como valor convencionalmente verdadero, o resultado de la medi-da, la media

(I-1)

y como incertidumbre asociada a la dispersión estadística la desviación típica de la media

(I-2)

donde � � , siendo s la desviación típica muestral. Se puede demostrar que la desviación típi-

ca de la media es el mejor estimador de la dispersión de los datos.Por tanto, en una medida directa repetida N veces, la incertidumbre se calculará como

(I-3)

Como se puede apreciar, la incertidumbre disminuye aumentando el número de medidas. Elcriterio que nos permitirá decidir cuántas medidas tomar será comparar la incertidumbre asocia-da a la dispersión de las medidas repetidas con la asociada a la división de escala. Cuando � seaconsiderablemente menor que ud el número de medidas será suficiente.

� EJEMPLO

Se mide con un calibre la longitud de una barra cinco veces y se obtienen los siguien-tes valores, expresados en mm: {7,05; 7,03; 7,04; 7,05; 7,04} Expresar correctamente elresultado de la medida con su incertidumbre.

u u sN

Ed= + = +σ 2 2

2 2

12

sN

σ =

−

−=

∑( )

( )

x x

N N

ii

N2

1

1

xx

N

ii

N

= =

∑1

xi i

N{ }

=1

El valor de la división de escala es E � 0,01 mm. La media de los valores medidos es. La desviación típica resulta � � 0,0037 mm. Por tanto, u � 0,0047 y el

valor de la medida es

(7,042 � 0,005) mm

4. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS INDIRECTAS

Una medida indirecta es aquella cuyo resultado se obtiene a partir de otras medidas directas rela-cionadas mediante una ley física. Así por ejemplo, si queremos medir el área de un rectángulomidiendo sus lados a y b, tendremos que utilizar la relación A � ab.

En general, si una ley física relaciona varias magnitudes y se puede expresar una de ellas enfunción de las demás como y � f (x1,…, xq) podremos calcular la incertidumbre en la medida indi-recta uy conocidas las incertidumbres en las medidas directas uxi mediante la ley de propagaciónde incertidumbres

(I-4)

Si la ley física se expresa como una relación de potencias , la ley de propaga-ción de incertidumbres se puede escribir como

(I-5)

que tiene una expresión más sencilla en términos de incertidumbres relativas

(I-6)

Esencialmente, lo que quiere decir la ley de propagación de incertidumbres así expresada esque las incertidumbres que más afectan al resultado final son las de aquellas magnitudes que enla ley física tengan mayor exponente.

Se debe tener en cuenta siempre una regla de oro: en una medida indirecta nunca podremostener una incertidumbre relativa menor que la mayor incertidumbre relativa de las medidas direc-tas. O dicho de otra manera, el resultado de una medida directa nunca podrá tener más cifras sig-nificativas que las de la medida directa que menos tenga.

w wy i ii

q

==

∑α2 2

1

u yx

uyi

ix

i

q

i=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

∑α

2

2

1

y x xqq= ⋅ ⋅1

1α α...

u fx

uyii

q

xi=

∂

∂

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

∑2

1

2

L = 7 042, mm


� EJEMPLO

Para medir una pila cilíndrica, se mide su diámetro y su altura, obteniéndose D =(13,90 � 0,03) mm y H = (48,80 � 0,04) mm. Determinar el volumen de la pila con suincertidumbre.

La relación que nos permite obtener el volumen en función de D y H es 7405,24 mm3. Aplicando la ley de propagación de incertidumbres se obtiene

Por tanto,

Se puede observar que las medidas directas tienen 4 cifras significativas y el resultado finalsolo 3.

5. REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Frecuentemente es de gran utilidad presentar los datos experimentales de forma gráfica. De estaforma se puede apreciar mejor una tendencia que puede provenir de una ley física que relacionelas magnitudes representadas. Por ejemplo, si al representar la velocidad de un móvil en funcióndel tiempo se obtiene un conjunto de puntos que se puede aproximar por una recta, podemosdecir con cierto fundamento que se cumple la ley del movimiento uniformemente acelerado, v(t) � at.

Al representar gráficamente los resultados de medidas experimentales se deben seguir algunasreglas básicas. En primer lugar, los ejes de la gráfica se deben etiquetar con la correspondientemagnitud y la unidad en que se expresan los resultados. El rango de valores que abarca cada ejese debe tomar de forma que los datos ocupen la mayor parte del espacio visible. Además, los datosexperimentales no se deben unir por segmentos o líneas de ningún tipo, y en su caso se debenincluir las barras de error que muestren las incertidumbres asociadas. Si no se utilizan barras deerror, el tamaño de los símbolos que representan a los datos experimentales se puede escoger deforma que reflejen de alguna manera la incertidumbre. Ni se deben utilizar “puntos gordos” nipuntos demasiado pequeños.

Estas recomendaciones tienen importancia sobre todo porque las herramientas informáticasmás habituales (por ejemplo, Excel) permiten obtener gráficos de buena calidad, pero frecuente-mente se utilizan de modo incorrecto o con las opciones inadecuadas.

A continuación se presentan una forma incorrecta y otra más correcta de representar la mismaserie de datos.

V = ± ⋅( , , )7 41 0 03 103 3mm

uuD

uHV

D H= + =4 32 532 2

3, mm

V D H= =π4

2


FIGURA I-1 Representación gráfica de datos. La gráfica inferior es más correcta que la superior.

6. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

El método de los mínimos cuadrados es un método estadístico que permite encontrar la recta quemejor ajusta a una serie de datos experimentales. El método se basa en minimizar las diferenciasentre los datos experimentales y los que proporcionaría la recta que sustituye a los datos. Comoes lógico, el método solo tiene utilidad si se aplica a series de datos que presentan una tendencialineal, aunque se puede generalizar para ajustar datos a funciones arbitrarias.


Dada una serie de datos , la recta de mejor ajuste a esos datos está dada por

y � mx �b, donde la pendiente es

(I-7)

y la ordenada en el origen es

(I-8)

En el caso frecuente en el que la recta deba pasar por el origen, su ecuación será y la pendien-te es

(I-9)

La bondad del ajuste por mínimos cuadrados se puede estimar calculando el coeficiente decorrelación

(I-10)

Un coeficiente de correlación próximo a la unidad indica un buen ajuste.Debe tenerse en cuenta que los datos experimentales estarán afectados por sus incertidumbres

y por tanto los valores de m y b tendrán también incertidumbre. Para determinarla de forma sen-cilla, se supone que los datos en x no tienen incertidumbre y que los datos en y tienen todos lamisma uy. Entonces la incertidumbre en la pendiente está dada por

(I-11)

donde U es el valor mayor entre uy y �e

(I-12)

con .y mx bi i= +

σ ei iy y

N=

−( )−

∑ ˆ2

1

σ mN U

N x x=

−

− −( )∑( )

( )

1

2

2

2

RN b y m x y y

N y y

i i i i

i i

2

2

2 2=

+ − ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ( )

∑ ∑ ∑

∑ ∑

mx y

xi i

i

=∑∑ 2

bx y x y x

N x x

i i i i i

i i

=−

− ( )∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2

2 2

mN x y x y

N x x

i i i i

i i

=−

− ( )∑ ∑ ∑∑ ∑2 2

x yi i i

N,( ){ }

=1


La incertidumbre en la ordenada en el origen es:

(I-13)

donde U es el valor mayor entre uy y �e.En el caso de una recta que pasa por el origen, la incertidumbre en la pendiente es

(I-14)

donde U es el valor mayor entre uy y �e.Los cálculos anteriores pueden ser tediosos si se hacen a mano o con calculadora. Lo más reco-

mendable es utilizar una hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) para todo el proceso, tanto las ope-raciones como las representaciones gráficas. De hecho, en Excel se dispone de muchas funcionesestadísticas, entre ellas una que se llama ESTIMACION.LINEAL que calcula mediante el méto-do de los mínimos cuadrados la recta de mejor ajuste a una tabla de datos, y devuelve los valoresde la pendiente m, la ordenada en el origen b, el coeficiente de correlación R2 y alguna otra infor-mación. También en las representaciones gráficas, en particular en los gráficos de dispersión, sepuede añadir una línea de tendencia para mostrar la recta obtenida por el método de mínimos cua-drados. En el ejemplo siguiente se detalla el proceso.

� EJEMPLO

Se mide con un multímetro la diferencia de potencial entre los extremos de una resis-tencia eléctrica para distintos valores de la intensidad de corriente y se obtienen lossiguientes datos:

Intensidad (A) Diferencia de potencial (V)

0,1 0,9

0,3 3,1

0,6 5,9

0,7 7,1

0,9 8,9

1 10,1

σ m

i

U

x=∑ 2

σ b

i i

N U

N N y y=

−

− − ( ) ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑ ∑

( )

( ) /

1

2

2

2 2


La intensidad se supone sin incertidumbre y para la diferencia de potencial u = 0,1 V.Determinar el valor de la resistencia mediante un ajuste por mínimos cuadrados.

Si los datos anteriores se introducen en una hoja Excel y se representan mediante un gráfi-co de dispersión el resultado es el mostrado en la Figura I-2.

FIGURA I-2 Ajuste de una serie de datos utilizando Excel.

En la gráfica se ha añadido la recta de ajuste por mínimos cuadrados, que se puede añadiren Excel como “línea de tendencia”. Al hacerlo así hay que indicar que la línea de tenden-cia pasa por el origen y se puede presentar la ecuación y el valor del coeficiente de correla-ción en la gráfica.

En este caso, la pendiente es m � 10,014. El valor del coeficiente de correlación, R2 �

0,994, indica que el ajuste es muy bueno.

Si calculamos la incertidumbre en la pendiente como se ha indicado más arriba, �V �

0,0995, que prácticamente coincide con la incertidumbre en los datos de V, u � 0,1. Conese dato se calcula .

El valor de �V lo proporciona la función ESTIMACION.LINEAL de Excel2.

σσ

RV

iI= =∑ 2

0 0599,


2 Para obtener todos los valores que da la función ESTIMACION.LINEAL se debe seleccionar un bloque detres filas y dos columnas y escribir en la barra de fórmulas esa función con el rango de celdas que contiene losdatos. A continuación presionar a la vez CTRL+MAY+ ENTRAR.

Finalmente, el valor de la resistencia, expresado correctamente, es:

R � (10,01 � 0,06) �

Debe tenerse en cuenta que la incertidumbre así calculada es engañosamente pequeña. Si envez de realizar el ajuste, calculamos la resistencia a partir de cada dato experimental de V eI y hacemos el tratamiento estadístico habitual (cálculo de la media y desviación típica) elresultado es:

R � (9,88 � 0,19) �

En este último resultado, se cumple que la medida indirecta tendría dos cifras significativas,como tienen las medidas directas. Debe recordarse una vez más que la determinación de laincertidumbre tiene unas reglas precisas y un cierto “arte” o sentido común que nos haceescoger finalmente aquella que mejor nos va a indicar la calidad de nuestra medida.



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Javier Ablanque RamírezRosa María Benito Zafrilla

Juan Carlos Losada GonzálezDepartamento de Física y Mecánica Fundamentales

y Aplicadas a la Ingeniería AgroforestalETSI Agrónomos UPM

Universidad Politécnica de Madrid

Luis Seidel Gómez de QueroDepartamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial

Escuela Técnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politécnica de Madrid

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ISBN: 978-84-8322-646-9Depósito Legal:

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LABORATORIO DE FÍSICA CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEJavier Ablanque Ramírez; Rosa María Benito Zafrilla; Juan Carlos Losada González; Luis Seidel Gómez de Quero

PEARSON EDUCACIÓN, S.A. 2010ISBN: 978-84-8322-646-9

Materia: 53, Física.

Formato: 215 � 270 mm Páginas: 158

IILA MEDIDA Y SU

INCERTIDUMBRE

1. El concepto de medida 2. El proceso de medición en el laboratorio 3. Incertidumbre en medidas directas4. Incertidumbre en medidas indirectas5. Representaciones gráficas6. Ajuste por mínimos cuadrados

Contenido del capítulo

1. EL CONCEPTO DE MEDIDA1

En Física solo tiene sentido aquello que se puede medir. Se llama magnitud física a cualquier cua-lidad susceptible de ser medida: longitud, masa, resistencia eléctrica,… Por el contrario, cantidades el observable concreto que tiene un objeto de una cierta magnitud: la longitud de una regla esla cantidad de la magnitud “longitud” que tiene la regla. Para cualquier magnitud, su unidad es lacantidad de esa magnitud que se toma como referencia. Así, una posible unidad de volumen es elvolumen de un determinado recipiente.

Medir significa comparar la cantidad de la magnitud que tiene el mensurando (aquello que semide) con la unidad. Si una mesa tiene una cantidad de longitud 3 veces mayor que la de la reglaque tomemos como unidad, diremos que la medida de la mesa es 3 unidades, o que la mesa “mide3 reglas”. Al expresar una medida como un número y una unidad (5 N, 80 s, 145 km/h) hay queacostumbrarse a emplear el Sistema Internacional de Unidades (SI) y ajustarse a sus normas.

Las magnitudes en Física tienen una propiedad que se llama dimensión, introducida por JosephFourier, que se define como una cierta cualidad de la magnitud que impide que puedan comparar-se magnitudes con distinta dimensión. No podemos comparar masas con tiempos porque son mag-nitudes que tienen distinta dimensión. Sin entrar más a fondo en el campo del análisis dimensio-nal, conviene insistir en que en los cálculos en Física no solo intervienen números, sino magnitu-des y dimensiones que hay que expresar correctamente.

2. EL PROCESO DE MEDICIÓN EN EL LABORATORIO

El resultado de cualquier medición, por elemental que sea, no debe ser simplemente un número yuna unidad: 3 mm, 7 kg. Las medidas en el laboratorio están siempre afectadas por una incerti-dumbre. En algunos casos, la incertidumbre del resultado de la medida será debida al aparato demedida. Si estamos cronometrando los tiempos de caída de un objeto, la incertidumbre no será lamisma si empleamos nuestro reloj o un buen cronómetro. En otros casos, la incertidumbre tendrásu origen en el propio operador. Dos personas distintas, midiendo el mismo objeto con el mismoaparato, pueden obtener resultados distintos. Incluso, en cuanto la medida es suficientemente pre-cisa, midiendo varias veces el mismo objeto, la misma persona con el mismo aparato, se obtienenvalores distintos para la medida.

La incertidumbre se define como “parámetro asociado al resultado de una medida que caracte-riza la dispersión de los valores que razonablemente se pueden asignar al mensurando”. Hay quedistinguirlo del error, que sería la diferencia entre el valor verdadero y el medido del mensuran-do. Por definición, el error no se puede determinar, porque el valor verdadero no se puede cono-cer con absoluta certeza. En su lugar, se habla de valor convencionalmente verdadero como aquelal que tratamos de acercarnos mediante el proceso de medida.


1 Para las definiciones que siguen y la forma de calcular la incertidumbre, se toma como referencia la “Guía para laexpresión de la incertidumbre en la medida” y el “Vocabulario Internacional de Metrología”, normas internaciona-les publicadas por el BIPM (Oficina Internacional de Pesas y Medidas) y respaldadas por ISO y otras organizacionescientíficas. Están disponibles en http://www.bipm.org/en/publications/guides/


La determinación de la incertidumbre es uno de los objetivos principales del trabajo en el labo-ratorio. Para ello, hay que establecer un procedimiento de medición que nos permita identificarlas fuentes principales de incertidumbre.

En primer lugar, hay que tratar de identificar y controlar posibles magnitudes de influencia enla medida. Por ejemplo, la temperatura puede influir en una medida de longitud, si el materialtiene un coeficiente de dilatación no despreciable; o el lugar en que hagamos la medida puede per-turbarla si alguna magnitud depende de la aceleración local de la gravedad. A continuación hayque conocer la incertidumbre asociada a los aparatos de medida, tanto la asociada a su calibracióncomo la asociada a la división de escala del aparato, es decir, el intervalo mínimo de valores dela magnitud que puede distinguir (1 mm en una regla, 0,1 grados en un termómetro,…). Un apa-rato de medida mal calibrado introduce un error sistemático en los resultados que en ocasiones sepuede observar en el tratamiento de los datos. En lo que sigue supondremos siempre que los ins-trumentos de medida están correctamente calibrados y que la incertidumbre asociada a ellos secalcula a partir de la división de escala.

Por último, hay que tratar de controlar los errores sistemáticos, que son aquellos que se debena manipulaciones poco cuidadosas de los aparatos o a ignorar las magnitudes de influencia.Reducir los errores sistemáticos será siempre necesario antes de obtener los datos experimentalesque vayamos a tratar.

Se dice que se mide en condiciones de repetibilidad o de referencia cuando se ha establecidocorrectamente el procedimiento de toma de datos experimentales para controlar las magnitudes deinfluencia y los errores sistemáticos. Incluso entonces se obtiene cierta variabilidad en los resul-tados, pero esas variaciones se pueden tratar estadísticamente. Esto expresa el hecho fundamentalde que no podemos conocer el valor real del mensurando. El resultado de la medida será x � u,donde x es el valor convencionalmente verdadero y u es su incertidumbre, o incertidumbre abso-luta. Si la diferencia entre el valor real (al que nos podríamos aproximar más con una medidamejor o un aparato de mayor calidad) y el valor convencionalmente verdadero es pequeña, deci-mos que la medida es exacta. Si la incertidumbre es pequeña, decimos que la medida es precisa.Hay que distinguir entre exactitud y precisión, aunque el objetivo de la medición es obtener resul-tados más exactos y más precisos.

En realidad, la incertidumbre no expresa el rango de valores que contienen con seguridad alvalor real. Es decir, el valor real no se encuentra siempre entre x � u y x�u. Lo máximo quepodemos asegurar es que se encuentra en ese rango con bastante probabilidad. De hecho, si losresultados de una medición se ajustan a una distribución normal de probabilidad (distribucióngaussiana, a la que se ajustan datos completamente aleatorios) la probabilidad de que el valor realesté en el intervalo dado por x � u es de un 68,2%. Por eso con frecuencia se multiplica por 2 opor 3 la incertidumbre (para obtener una probabilidad del 95,4% o del 99,7%). Este factor seconoce como factor de cobertura. Siempre debemos conocer el nivel de confianza de la incerti-dumbre que hayamos determinado, aunque no mencionemos explícitamente el factor de cober-tura empleado.

Para expresar correctamente el resultado y su incertidumbre se deben respetar las siguientesreglas. La incertidumbre se expresa con una (o a veces dos, particularmente si la primera es un 1)cifras significativas. Si como resultado de los cálculos obtenemos para una cierta incertidumbre

el valor 0,004527, ese número tiene en principio 4 cifras significativas (los ceros a la izquierda noson significativos). El mismo valor redondeado a dos cifras sería 0,0045 o redondeado a una cifrasería 0,005. Conviene recordar que, al redondear, si la primera cifra despreciada es mayor o iguala 5, la cifra que se retiene se aumenta en una unidad y en otro caso no se modifica.

� EJEMPLO

Al medir la velocidad de un móvil, se obtiene v � 3,5867 m/s. La incertidumbre resul-ta ser u � 0,058 m/s. Expresar correctamente el resultado de la medida.

En primer lugar, la incertidumbre se debe expresar con una única cifra significativa.Redondeando se obtiene u � 0,06 m/s. A continuación se debe ajustar el número de cifrassignificativas del valor medido para que la última sea la afectada por la incertidumbre. Eneste caso, la afectada por la incertidumbre es el segundo decimal. Por tanto el resultadocorrecto es:

v � (3,59 � 0,06) m/s

Para apreciar más fácilmente la calidad de una medida se puede emplear la incertidumbre rela-tiva que se calcula como el cociente entre la incertidumbre absoluta y el valor medido .

Si multiplicamos w por 100, expresamos la incertidumbre relativa como un tanto por ciento.Utilizando la incertidumbre relativa podemos comparar la precisión de dos medidas distintas.Valores parecidos de la incertidumbre relativa corresponden a medidas de parecida precisión,aunque los valores de la incertidumbre absoluta o incluso la magnitud medida sean muy distin-tos.

3. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS

Una medida directa es aquella en la que obtenemos directamente el resultado de la medida a par-tir de la lectura de un aparato de medida, sin necesidad de realizar otros cálculos con el resultadoque proporciona ese instrumento.

Como se ha expuesto antes, antes de realizar la medida se deben identificar las magnitudes deinfluencia y disponer el mensurando y el aparato de medida de la forma más cuidadosa posible.Si el instrumento de medida está calibrado correctamente y los valores que podemos obtener deél (sea analógico o digital) tienen una separación mínima, que se llama división de escala (quecorresponde al intervalo entre valores de una escala graduada o al último dígito de un instrumen-to con pantalla digital) se debe tomar como incertidumbre asociada a la división de escala elvalor , donde E es el valor de la división de escala.

En instrumentos analógicos no tiene sentido tratar de apreciar valores entre dos puntos separa-dos por una división de escala, es decir, tratar de apreciar décimas de milímetro con una regla cuya

u Ed =

2 3

w ux

=



división de escala es 1 mm. La calibración de un instrumento incluye determinar la división deescala que debe mostrar, y no se debe pensar que por intentar apreciar con más finura en qué puntoentre dos valores consecutivos de la escala graduada se encuentra el valor a medir se va a obteneruna medida mejor. Lo que sí debe apreciar el operador es a qué valor de la escala corresponde unamedida.

Teniendo en cuenta que en condiciones de repetibilidad se obtendrán medidas distintas al repe-tir el proceso de medida, siempre se debe realizar más de una medida. En general se comprobaráque los valores medidos no difieren demasiado, si estamos midiendo correctamente. Pero la dis-persión de las medidas realizadas en esas condiciones influye en la incertidumbre y se debe tratarestadísticamente.

Si se realizan N medidas de un mismo mensurando en condiciones de repetibilidad y se obtie-ne los valores , se tomará como valor convencionalmente verdadero, o resultado de la medi-da, la media

(I-1)

y como incertidumbre asociada a la dispersión estadística la desviación típica de la media

(I-2)

donde � � , siendo s la desviación típica muestral. Se puede demostrar que la desviación típi-

ca de la media es el mejor estimador de la dispersión de los datos.Por tanto, en una medida directa repetida N veces, la incertidumbre se calculará como

(I-3)

Como se puede apreciar, la incertidumbre disminuye aumentando el número de medidas. Elcriterio que nos permitirá decidir cuántas medidas tomar será comparar la incertidumbre asocia-da a la dispersión de las medidas repetidas con la asociada a la división de escala. Cuando � seaconsiderablemente menor que ud el número de medidas será suficiente.

� EJEMPLO

Se mide con un calibre la longitud de una barra cinco veces y se obtienen los siguien-tes valores, expresados en mm: {7,05; 7,03; 7,04; 7,05; 7,04} Expresar correctamente elresultado de la medida con su incertidumbre.

u u sN

Ed= + = +σ 2 2

2 2

12

sN

σ =

−

−=

∑( )

( )

x x

N N

ii

N2

1

1

xx

N

ii

N

= =

∑1

xi i

N{ }

=1

El valor de la división de escala es E � 0,01 mm. La media de los valores medidos es. La desviación típica resulta � � 0,0037 mm. Por tanto, u � 0,0047 y el

valor de la medida es

(7,042 � 0,005) mm

4. INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS INDIRECTAS

Una medida indirecta es aquella cuyo resultado se obtiene a partir de otras medidas directas rela-cionadas mediante una ley física. Así por ejemplo, si queremos medir el área de un rectángulomidiendo sus lados a y b, tendremos que utilizar la relación A � ab.

En general, si una ley física relaciona varias magnitudes y se puede expresar una de ellas enfunción de las demás como y � f (x1,…, xq) podremos calcular la incertidumbre en la medida indi-recta uy conocidas las incertidumbres en las medidas directas uxi mediante la ley de propagaciónde incertidumbres

(I-4)

Si la ley física se expresa como una relación de potencias , la ley de propaga-ción de incertidumbres se puede escribir como

(I-5)

que tiene una expresión más sencilla en términos de incertidumbres relativas

(I-6)

Esencialmente, lo que quiere decir la ley de propagación de incertidumbres así expresada esque las incertidumbres que más afectan al resultado final son las de aquellas magnitudes que enla ley física tengan mayor exponente.

Se debe tener en cuenta siempre una regla de oro: en una medida indirecta nunca podremostener una incertidumbre relativa menor que la mayor incertidumbre relativa de las medidas direc-tas. O dicho de otra manera, el resultado de una medida directa nunca podrá tener más cifras sig-nificativas que las de la medida directa que menos tenga.

w wy i ii

q

==

∑α2 2

1

u yx

uyi

ix

i

q

i=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

∑α

2

2

1

y x xqq= ⋅ ⋅1

1α α...

u fx

uyii

q

xi=

∂

∂

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

∑2

1

2

L = 7 042, mm


� EJEMPLO

Para medir una pila cilíndrica, se mide su diámetro y su altura, obteniéndose D =(13,90 � 0,03) mm y H = (48,80 � 0,04) mm. Determinar el volumen de la pila con suincertidumbre.

La relación que nos permite obtener el volumen en función de D y H es 7405,24 mm3. Aplicando la ley de propagación de incertidumbres se obtiene

Por tanto,

Se puede observar que las medidas directas tienen 4 cifras significativas y el resultado finalsolo 3.

5. REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Frecuentemente es de gran utilidad presentar los datos experimentales de forma gráfica. De estaforma se puede apreciar mejor una tendencia que puede provenir de una ley física que relacionelas magnitudes representadas. Por ejemplo, si al representar la velocidad de un móvil en funcióndel tiempo se obtiene un conjunto de puntos que se puede aproximar por una recta, podemosdecir con cierto fundamento que se cumple la ley del movimiento uniformemente acelerado, v(t) � at.

Al representar gráficamente los resultados de medidas experimentales se deben seguir algunasreglas básicas. En primer lugar, los ejes de la gráfica se deben etiquetar con la correspondientemagnitud y la unidad en que se expresan los resultados. El rango de valores que abarca cada ejese debe tomar de forma que los datos ocupen la mayor parte del espacio visible. Además, los datosexperimentales no se deben unir por segmentos o líneas de ningún tipo, y en su caso se debenincluir las barras de error que muestren las incertidumbres asociadas. Si no se utilizan barras deerror, el tamaño de los símbolos que representan a los datos experimentales se puede escoger deforma que reflejen de alguna manera la incertidumbre. Ni se deben utilizar “puntos gordos” nipuntos demasiado pequeños.

Estas recomendaciones tienen importancia sobre todo porque las herramientas informáticasmás habituales (por ejemplo, Excel) permiten obtener gráficos de buena calidad, pero frecuente-mente se utilizan de modo incorrecto o con las opciones inadecuadas.

A continuación se presentan una forma incorrecta y otra más correcta de representar la mismaserie de datos.

V = ± ⋅( , , )7 41 0 03 103 3mm

uuD

uHV

D H= + =4 32 532 2

3, mm

V D H= =π4

2


FIGURA I-1 Representación gráfica de datos. La gráfica inferior es más correcta que la superior.

6. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

El método de los mínimos cuadrados es un método estadístico que permite encontrar la recta quemejor ajusta a una serie de datos experimentales. El método se basa en minimizar las diferenciasentre los datos experimentales y los que proporcionaría la recta que sustituye a los datos. Comoes lógico, el método solo tiene utilidad si se aplica a series de datos que presentan una tendencialineal, aunque se puede generalizar para ajustar datos a funciones arbitrarias.


Dada una serie de datos , la recta de mejor ajuste a esos datos está dada por

y � mx �b, donde la pendiente es

(I-7)

y la ordenada en el origen es

(I-8)

En el caso frecuente en el que la recta deba pasar por el origen, su ecuación será y la pendien-te es

(I-9)

La bondad del ajuste por mínimos cuadrados se puede estimar calculando el coeficiente decorrelación

(I-10)

Un coeficiente de correlación próximo a la unidad indica un buen ajuste.Debe tenerse en cuenta que los datos experimentales estarán afectados por sus incertidumbres

y por tanto los valores de m y b tendrán también incertidumbre. Para determinarla de forma sen-cilla, se supone que los datos en x no tienen incertidumbre y que los datos en y tienen todos lamisma uy. Entonces la incertidumbre en la pendiente está dada por

(I-11)

donde U es el valor mayor entre uy y �e

(I-12)

con .y mx bi i= +

σ ei iy y

N=

−( )−

∑ ˆ2

1

σ mN U

N x x=

−

− −( )∑( )

( )

1

2

2

2

RN b y m x y y

N y y

i i i i

i i

2

2

2 2=

+ − ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ( )

∑ ∑ ∑

∑ ∑

mx y

xi i

i

=∑∑ 2

bx y x y x

N x x

i i i i i

i i

=−

− ( )∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2

2 2

mN x y x y

N x x

i i i i

i i

=−

− ( )∑ ∑ ∑∑ ∑2 2

x yi i i

N,( ){ }

=1


La incertidumbre en la ordenada en el origen es:

(I-13)

donde U es el valor mayor entre uy y �e.En el caso de una recta que pasa por el origen, la incertidumbre en la pendiente es

(I-14)

donde U es el valor mayor entre uy y �e.Los cálculos anteriores pueden ser tediosos si se hacen a mano o con calculadora. Lo más reco-

mendable es utilizar una hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) para todo el proceso, tanto las ope-raciones como las representaciones gráficas. De hecho, en Excel se dispone de muchas funcionesestadísticas, entre ellas una que se llama ESTIMACION.LINEAL que calcula mediante el méto-do de los mínimos cuadrados la recta de mejor ajuste a una tabla de datos, y devuelve los valoresde la pendiente m, la ordenada en el origen b, el coeficiente de correlación R2 y alguna otra infor-mación. También en las representaciones gráficas, en particular en los gráficos de dispersión, sepuede añadir una línea de tendencia para mostrar la recta obtenida por el método de mínimos cua-drados. En el ejemplo siguiente se detalla el proceso.

� EJEMPLO

Se mide con un multímetro la diferencia de potencial entre los extremos de una resis-tencia eléctrica para distintos valores de la intensidad de corriente y se obtienen lossiguientes datos:

Intensidad (A) Diferencia de potencial (V)

0,1 0,9

0,3 3,1

0,6 5,9

0,7 7,1

0,9 8,9

1 10,1

σ m

i

U

x=∑ 2

σ b

i i

N U

N N y y=

−

− − ( ) ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑ ∑

( )

( ) /

1

2

2

2 2


La intensidad se supone sin incertidumbre y para la diferencia de potencial u = 0,1 V.Determinar el valor de la resistencia mediante un ajuste por mínimos cuadrados.

Si los datos anteriores se introducen en una hoja Excel y se representan mediante un gráfi-co de dispersión el resultado es el mostrado en la Figura I-2.

FIGURA I-2 Ajuste de una serie de datos utilizando Excel.

En la gráfica se ha añadido la recta de ajuste por mínimos cuadrados, que se puede añadiren Excel como “línea de tendencia”. Al hacerlo así hay que indicar que la línea de tenden-cia pasa por el origen y se puede presentar la ecuación y el valor del coeficiente de correla-ción en la gráfica.

En este caso, la pendiente es m � 10,014. El valor del coeficiente de correlación, R2 �

0,994, indica que el ajuste es muy bueno.

Si calculamos la incertidumbre en la pendiente como se ha indicado más arriba, �V �

0,0995, que prácticamente coincide con la incertidumbre en los datos de V, u � 0,1. Conese dato se calcula .

El valor de �V lo proporciona la función ESTIMACION.LINEAL de Excel2.

σσ

RV

iI= =∑ 2

0 0599,


2 Para obtener todos los valores que da la función ESTIMACION.LINEAL se debe seleccionar un bloque detres filas y dos columnas y escribir en la barra de fórmulas esa función con el rango de celdas que contiene losdatos. A continuación presionar a la vez CTRL+MAY+ ENTRAR.

Finalmente, el valor de la resistencia, expresado correctamente, es:

R � (10,01 � 0,06) �

Debe tenerse en cuenta que la incertidumbre así calculada es engañosamente pequeña. Si envez de realizar el ajuste, calculamos la resistencia a partir de cada dato experimental de V eI y hacemos el tratamiento estadístico habitual (cálculo de la media y desviación típica) elresultado es:

R � (9,88 � 0,19) �

En este último resultado, se cumple que la medida indirecta tendría dos cifras significativas,como tienen las medidas directas. Debe recordarse una vez más que la determinación de laincertidumbre tiene unas reglas precisas y un cierto “arte” o sentido común que nos haceescoger finalmente aquella que mejor nos va a indicar la calidad de nuestra medida.


Documents

Laboratorio de Física con soporte interactivo en Moodlepearsonespana.blob.core.windows.net/books/9788483226469.pdfconclusiones. Además se ha incluido en cada práctica un test con