Los Orgenes de las Teoras de Integracion ModernasThomas.HawkinsDigitalizacion:maplewhite@gmail.comIndice1. Introduccion 12. ElanalisisdeFourierylasfuncionesarbitrarias 33. LasrespuestasaFourier:1821-1854 64. LosdefectosdelaintegraldeRiemann 135. Haciaunaformulaciondelaintegralbasadaenlateoradelamedida 196. Cualeslamedidadeunconjuntonumerable? 297. Conclusion 38LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 11. IntroduccionA comienzos del sigloxx el matematico frances Henri Lebesgue creo lateora de integracion que lleva su nombre y que iba a convertirse en el modelodetodaslasteorasmodernasdelaintegral.Elobjetodeestecaptuloesel de seguirle la pista a aquellos desarrollos del analisis durante el sigloxixqueproporcionaronel marcoconceptual ylasmotivacionesdelaobradeLebesgue.El punto de partida de esta historia esta en el cambio en la concepciondeloqueesunafuncion. Al formularsuteoradeintegracion, Lebesgueacepto la denicion de funcion de una variable real como una corresponden-cia arbitrariax f(x) entre n umeros reales y, dandose cuenta de que lasfunciones denibles de esta manera son tan generales que se hace necesarioinvestigar que signicado puede tener la integral aplicada a ellas, intento ba-sar en principio esta investigacion en la idea de la integral como area. Estetipo de consideraciones que constituyen el punto de partida de su obra, nodeben su origen a Lebesgue mismo, sino que se haban presentado ya en laprimera mitad del sigloxix. Pero antes de discutir la manera en que apare-cieron, sera conveniente recordar de que manera se entendan los conceptosde funcion y de integral durante el sigloxviii.Durante la segunda mitad del siglo xviii, que fue cuando el concepto defuncion se hizo fundamental para el analisis matematico, tanto las funcionescomo la integracion eran consideradas principalmente en terminos algebrai-cos. As, unafuncionf(x) eraunciertotipodeecuacion, posiblementeincluso con un n umero innito de terminos, y el problema de la integracionera el de determinar una funcion primitiva F(x) que tiene como derivada laf(x), o bien, de una manera mas general, como el problema de hallar unaecuacion que representase la solucion de una ecuacion diferencial. Esta orien-tacionalgebraicanoesnadaquenospuedasorprender,porqueelanalisisdel siglo xviii tuvo sus orgenes en la transformacion del analisis geometricode los griegos que llevaron a cabo Viete y Descartes para convertirlo en unmetodo de analisis por medio de ecuaciones, el cual a su vez, ya en manos deNewton, Leibniz, Euler y otros, haba demostrado ser un aparato increble-mente potente para resolver una amplia gama de problemas geometricos ymecanicos.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 2Y la integracion era solamente una parte de este planteamiento esencial-mentealgebraicodelosproblemas.Elhechodequelaintegraciontuvieraque ver con la determinacion de areas se consideraba lo mas natural, por otraparte: en realidad la notacion de Leibniz _y dx vena a recordar constante-mente que se poda considerar a la integral geometricamente como una sumade rectangulos innitesimales y dx, y a veces los matematicos hacan una es-timacion del valor de la integral calculando el area de una gura poligonalaproximada,peroelcalculodeareasnorepresentabamasqueunaaplica-cion particular de una operacion esencialmente algebraica con un campo deaplicabilidad mucho mas general, a funciones consideradas algebraicamente.La concepcion de una funcion como una correspondenciax f(x) y dela integral como un area esencialmente, traa como consecuencia un regresoa un punto de vista orientado de una manera mas geometrica. En realidadesepuntodevistayaexistaenciertamaneraduranteelsigloxviii,ysehizo particularmente evidente en la controversia que tuvo lugar en torno alproblema de la cuerda vibrante. Recuerdese que la forma que dio dAlemberta la solucion de la ecuacion delasondas indujo a Euler a sacar la conclu-siondequelasfuncionesquegenerabanlassolucionesnonecesitabanser((continuas)), es decir, venir dadas por una unica ecuacion, sino que podanserfunciones((irregulares))o((absolutamentearbitrarias)),nombresconlosque parece querer referirse a funciones denidas por ecuaciones distintas endiferentessubintervalosdesudominiodedenicion, einclusoafuncionesno denidas en absoluto por ecuaciones sino por curvas((trazadas al azar))en el plano; a estas funciones las llamo((discontinuas)). A pesar de la buenadisposicion de Euler para introducir estas funciones concebidas de una ma-nera mas geometrica en el dominio del analisis, el resultado en s no supusoningunareformulaciondelosfundamentosdelanalisis.Sehabancubiertolas primeras etapas hacia un enfoque mas geometrico de las funciones, peroun enfoque tal no iba a dar sus frutos hasta que fue reintroducido por Fou-rier en una epoca en que estaba surgiendo ya una actitud mas crtica hacialos fundamentos mismos del analisis.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 32. El analisis de Fourier y las funciones arbitrariasUnproblemalateral enlacontroversiasobrelacuerdavibrantehabasidoel desi las funciones arbitrarias que, seg unEuler, engendrabanlassoluciones, sonexpresablesdehechomedianteunaseriedesenos. DanielBernoulli argumentaba que lo deban ser, basandose en consideraciones detipo fsico, pero no parece que nadie estuviera de acuerdo con el. A Euler ya Lagrange les pareca una contradiccion el armar que una funcion comple-tamente arbitraria se pueda expresar siempre como una suma de senos sobreunintervalonito,yaqueunarepresentaciondeestetipopareceimponerlimitacionesclarasasuarbitrariedad. Sinembargo, lasinvestigacionesdeFourier sobre la transmision del calor en los solidos le sugirieron poderosasrazonesdetipomatematicosobrelanecesidaddequelahipotesisdeBer-noulli estuviera justicada. Fourier utilizo la tecnica, hoy ya muy familiar,deseparaciondevariablespararesolverlosproblemasdecontornoquesele presentaban en su analisis del problema; la validez del metodo dependade la hipotesis de que una funcion((arbitraria))f(x) que aparece en las con-diciones decontorno, sepuedarepresentar por unaserietrigonometrica:concretamente, sif(x) esta denida en el intervalo [l, l]f(x) =12 a0 +

n=1_an cos_nxl_+bn sen_nxl__(2.1)para todox de dicho intervalo.Fourier estaba bien familiarizado con la literatura del siglo xviii sobre elproblema de la cuerda vibrante y se dio cuenta perfectamente de la escasapopularidad que gozaba la postura de Bernoulli cuando Lagrange se opusoa que fuese aceptada su primera memoria (1807) por el Institut de France dePars, debido en buena parte al hecho de que dependa de la aceptacion delas tesis de Bernoulli. No disponemos aqu de espacio suciente para haceruna discusion detallada de la casustica presentada por Fourier en favor de lavalidez de (2.1). Juzgandolos seg un los standards de rigor actuales, algunosdesusargumentosnoconvencenmasquelosdesuspredecesoresdelsigloxviii; ysinembargoFourierpusoderelieveporprimeravezloquemastardeyhastahoyseconsideraracomolacuestioncentral del problema:es cierto que las sumas parciales de la serie (2.1) convergen a f(x)? FourierLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 4presentaba una energica argumentacion en favor de una respuesta armativaa esta pregunta, aunque no naturalmente una demostracion irrefutable. Sinembargo, desdeel puntodevistadelahistoriadelaintegral, unodesusrazonamientos mas estilo sigloxviii es especialmente signicativo.Fourierconsiderabalaigualdad(2.1)comounaecuacionconunacan-tidad innita de incognitasa0, a1, a2, . . . , b1, b2, b3, . . . , y demostraba que sepoda((resolver)) en dichas incognitas de la manera siguiente: consideremosa0 por ejemplo; de (2.1)((se sigue)) que_llf(x) dx =_ll12 a0dx+

n=1_ll_an cos_nxl_+bn sen_nxl__dx(2.2)ycomolas integrales enlas queentransenos ycosenos sontodas cero,(2.2) nos daa0 =1l_llf(x) dx (2.3)En este razonamiento Fourier admite por descontado que la integral deuna suma innita es igual a la suma de las integrales de sus terminos, hipote-sis que nadie haba encontrado razon para cuestionar. Dicho con otras pa-labras, haba supuesto que_ll{ lmnsn(x)} dx =lmn_llsn(x) dx (2.4)dondesn(x) =12 a0 +

n=1_ak cos_kxl_+bk sen_kxl__(2.5)Deunamaneraanaloga,yutilizandodenuevolamismahipotesis,ob-tiene las formulasan =1l_llf(x) cos_nxl_dx bn =1l_llf(x) sen_nxl_dx (2.6)y era la serie trigonometrica (2.1) con estos valores para los coecientes laseriedeFourierparaf(x) como decimos ahora la que, seg un asegurabaFourier, converga af(x).La version denitiva de la causa emprendida por Fourier en defensa de laLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 5validez de sus argumentos al estilo de los de Bernoulli, aparecio en su libroTheorie analytique de la chaleur (1822). Cuando aparecio el libro Lagrangeya haba muerto, y no esta nada claro si Fourier llego nunca a convencerlo.Fourier mismo, no obstante, estaba por su parte completamente convencidode que las funciones((discontinuas)) o((arbitrarias)) de Euler eran representa-bles de hecho por medio de series trigonometricas. Las funciones arbitrariaspara Fourier eran en realidad mas generales que las que aparecen en el pro-blema de la cuerda vibrante. En este problema, como y = f(x) representa laforma de la cuerda para t = 0, debe ser toda ella de una sola pieza, mientrasque en el contexto fsico de la conduccion del calor no era necesaria ningunarestriccion de este tipo, y as Fourier consideraba tambien((funciones arbi-trarias))talescomoladibujadaenlagura??(enlaqueprobablementeconsiderabaincluidotambienelsegmentoverticaldelagracaparadaraentender una apariencia de continuidad).La forma en que describe Fourier sus((funciones arbitrarias)) es extrema-damente importante:En general, la funcionf(x) representa una sucesion de valores u orde-nadas cada una de las cuales es arbitraria. Como la abscisa x recibe unainnidad de valores, hay un n umero igual de ordenadasf(x) y todasellas tienen valores numericos concretos, ya sean positivos, negativos onulos.Nosuponemosqueestasordenadasestensujetasaunaleycom unatodas ellas; se suceden unas a otras de una manera arbitraria, y cadauna de ellas viene dada como si fuera una cantidad aislada.La idea de funcion que expresan estas palabras esta ciertamente muy lejosde la idea de una funcion((continua)) vigente durante el sigloxviii. La des-cripcion que da Fourier se parece a la descripcion de lo que es una funcion((discontinua)) dada por Euler, aunque desde luego tiende a recalcar mas suarbitrariedad y, si vamos a tomarla al pie de la letra, implica la idea modernade funcion como una correspondencia bien denida pero arbitraria x f(x)entre n umeros reales.Pero no esta claro hasta que punto de literalmente pretenda Fourier quesetomasesudescripcion; todoslosejemplosdefuncionesarbitrariasqueaparecenensulibroconsistenenunn umeronitodepiezas ((continuas))LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 6para lx l. Lasobservacionesquehacesugierenquereconocalairrelevancia de la ley o de las leyes (es decir, de las ecuaciones) que expresenf(x), aefectosdelavalidezdelaformula(2.1), aunqueseguramentenoestuviera dispuesto a admitir todas las implicaciones que trae consigo estairrelevancia. Encualquiercaso, Fourierdejoparaotrosel desarrollaresasimplicaciones.Al aventurarse mas alla del dominio de las funciones ((continuas)), Fouriertambien tuvo que renunciar a la concepcion dieciochesca de la integral. El he-cho de que los coecientes de la representacion (2.1) vengan dados por (2.6),yporlotantocomointegralesdenidas, exigareconsiderarel signicadode esas integrales cuando f(x) es((arbitraria)). Obviamente resultaba inade-cuado, si no directamente imposible, el hablar de antiderivadas de sistemasde ecuaciones, y en consecuencia Fourier recurrio a una interpretacion masgeometrica: las integrales deben ser consideradas (de nuevo) como areas. Co-mo para cadax existe una ordenadaf(x), estas ordenadas determinan unaregion del plano, y Fourier nunca dudo de que esta region tuviera un areadenida. Y as dejo planteado sin proponerselo un problema matematico degran importancia: exactamente como se puede denir _llf(x) dx como unarea cuandofes una funcion arbitraria? A continuacion vamos a ver comorespondieron a esta pregunta tres matematicos eminentes, Cauchy, Dirichlety Riemann.3. LasrespuestasaFourier:1821-1854Laprimerarespuestaalacuestionplanteadapor laobradeFouriervino de Augustin-Louis Cauchy, un matematico precoz que consiguio rapida-mente el destacado puesto de profesor en la prestigiosa Ecole PolytechniquedePars.Cauchyintento,ensusCoursdanalyse(1821)yResumedesle-cons donnees a lEcole royale polytechnique sur le calcul innitesimal (1823),desarrollar las proposiciones fundamentales del calculo por metodos tan ri-gurososdesdeel puntodevistalogicocomolosqueseencuentranenlageometra griega, y as no tener que recurrir nunca a((razonamientos proce-dentes de la generalidad del algebra)). No se sabe hasta que punto se pudieronver inuidos sus tratados por la obra de Fourier; de hecho Cauchy tena otrasLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 7razones para rechazar un enfoque algebraico y formal de los fundamentos delcalculo. Sin embargo, sus tratados representan una respuesta concreta a lascuestiones planteadas implcitamente por Fourier, puesto que al pugnar porevitar la generalidad del algebra, introdujo Cauchy un enfoque del analisisde inspiracion mas geometrica y que daba una respuesta, intencionadamenteono,alproblemasuscritoporFourieracercadelsignicadodelaintegraldenida.El punto de partida de la reconstruccion del analisis de Cauchy estabaenlaideadefuncioncontinua. Cauchyabandonalacaracterizacionusualde la continuidad durante el sigloxviii en favor de otra mas analtica: unafuncionunivalentef(x)quetomavaloresnitosparatodoxentreayb,escontinuaentreestosdoslmitessielvalorabsolutodef(x + ) f(x)((disminuye indenidamente con el de )). Y precisamente porque esta deni-cion es independiente de la manera en que venga representada f(x) medianteuna o varias ecuaciones, es una denicion perfectamente compatible con laconcepcion de Fourier de una funcion como una sucesion de ordenadas.En su Resume (1823) Cauchy procede a utilizar este concepto de funcioncontinua para presentar una teora de integracion que tambien era compa-tibleconelpuntodevistadeFourier.Limitandoseaconsiderarfuncionescontinuas, dene Cauchy la integral _baf(x) dx de la manera siguiente: con-sideremos una particionPdel intervalo [a, b]:a = x0< x1< x2< < xn = b (3.1)y la((suma de Cauchy)) correspondienteS =n

i=1f(xi1)(xi xi1) (3.2)Usandolacontinuidadquesehasupuestodef(x)puedeentoncesdemos-trarCauchyquelassumasSyS

correspondientesadosparticionesPyP

dieren en una cantidad arbitrariamente peque na con tal de que las lon-gitudesdetodoslossubintervalos[xi1, xi] enlasdosparticionesseanlosucientementepeque nas1.Aspues, ((elvalordeSterminaraobviamente1Lademostracionutilizalacontinuidadenel sentidode continuidaduniforme. Noesta nada claro que tipo de continuidad tena Cauchy en la mente al formular su denicion,LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 8por ser constante. . . Este lmite se denomina la integral denida)).Cauchy da aqu, en efecto, una respuesta a la cuestion planteada por lasobservaciones de Fourier. Su manera de introducir la idea de integral deni-da vena a demostrar que su existencia no dependa de la existencia o no deuna ecuacion que dena a la funcionfe implicaba ademas que _baf(x) dxtieneunvalordeterminadoparacualquier((funcionarbitraria)),contal dequedichafuncionseacontinuaenel sentidoqueel ledaba. Dehecho, ladeniciondeCauchyysudemostraciondeexistenciasepuedenextenderfacilmenteal casodeunafuncionacotadaconunn umeronitodepun-tosdediscontinuidad en el intervalo[a, b]. En un artculo posterior (1849)arma que tales funciones son precisamente el tipo de funciones arbitrariasqueaparecenenlosproblemasdecontornodelafsicamatematica. Pro-bablemente Fourier se hubiera mostrado de acuerdo si hubiera vivido paraentonces, pero en cualquier caso las consideraciones formuladas por Fourieren su Theorie analytique de la chaleur, si se toman al pie de la letra, propo-nen un problema mas general incluso que el que viene a resolver la deniciondeCauchy,asaber:puededenirse _baf(x) dx paracualquier sucesiondeordenadasx f(x)?UnarespuestanegativaaestapreguntaibaasersugeridaporDirich-let. Enlos a nos 1820, cuandoDirichlet eraestudiante, las universidadesalemanasnosehabanconvertidotodavaencentrosdeinvestigacionma-tematica, aunque se jactaban de tener un gran matematico, Gauss, que sehaba ganado la reputacion de ser casi inaccesible. En consecuencia, Dirichletdecidio continuar sus estudios matematicos en Pars, donde abundaban losmatematicos eminentes como Laplace, Legendre, Poisson, Lacroix y Hachet-te, as como Cauchy y Fourier, cuyo libro sobre la teora de la transmisiondel calor aparecio el a no 1822, el mismo en que Dirichlet llegaba a Pars, ydonde permanecio hasta 1825. Dirichlet tuvo pocos contactos directos, si esque en realidad tuvo alguno, con Cauchy, pero s estudio sus libros de anali-sis, que tambien fueron publicados por la epoca de su estancia en Pars, yacepto el enfoque del analisis propuesto por Cauchy. Fourier era mas acce-sible, y los problemas planteados por su obra sobre el calor constituyeron eltema de una memoria revolucionaria de Dirichlet (1829), en la que daba res-puestas a las cuestiones suscitadas por Fourier, utilizando el tipo de analisisde Cauchy.y es facil que no se diera cuenta de la diferencia entre la continuidad puntual y la uniforme.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 9Dirichlet acepta la interpretacion literal de la denicion de Fourier de loque es una funcion arbitraria f, y asegura que entonces la integral_baf(x) dxno tiene necesariamente un valor determinado. Como demostracion de ellopresentaba el contraejemplo siguiente.Seaf(x) =c si x esun n umero ra-cionalyf(x) =d, d =csi xesirracional.Aspues,paracadaxsetieneuna ordenada bien determinadaf(x): fes una((funcion arbitraria)), seg unladeniciondeFourier, peroseg unDirichlet _baf(x) dxnotienesentido.ProbablementeDirichletestabapensandoenterminosdeladeniciondeintegral de Cauchy, y entonces es muy facil ver que se puede tomar una par-ticion Pde [a, b] con todas las diferencias xixi1 arbitrariamente peque nasy tal que todos losxidistintos dea yb sean irracionales: la suma de Cau-chycorrespondienteSesentoncesaproximadamenteigualad(b a).Porotra parte, tambien podemos tomar una particion P

con todos los x

ix

i1arbitrariamentepeque nosytodoslos x

idistintosdeaydebracionales:paratalesparticiones, S

esarbitrariamenteproximaac(b a).Aspues,lassumasSyS

nosevanaproximandoaunvalorlmite unico,yporlotanto _baf(x) dx en el sentido de Cauchy no existe.En vista de lo anterior, pareca necesario imponer alg un tipo de restric-cion al concepto de funcion arbitraria para poder garantizar que era integra-ble.Dirichletarma,sinembargo,quefnonecesitasercontinuanitenercomo maximo un n umero nito de puntos de discontinuidad, para que exista_ f(x) dx. Podra haber una cantidad innita de puntos de discontinuidaden el intervalo [, ]; lo unico que se necesita es que((sia yb representandoscantidadesarbitrariasincluidasentre y,seaposiblesiempreen-contrar otras cantidadesr ys entrea yb, lo sucientemente proximas paraquelafuncionpermanezcacontinuaenel intervaloderas)). Expresadaenterminosmodernos, lacondiciondeDirichletesladequeel conjuntodepuntosdediscontinuidaddelafuncionenel intervaloseaunconjuntodiseminado (en ingles((nowhere dense))).Dirichlet no intento justicar su armacion, debido a que seg un el unademostracionrigurosa((requierealgunosdetallesrelativosalosprincipiosfundamentales del analisis innitesimal, quevanaser expuestos enotranota. . . ))Lanotaprometidanoaparecionunca, yparecelomasprobablequeDirichletdebiodescubrirquenopodrallevaracabolademostracionprometida. Si pensabaenterminosdeladeniciondeintegral deCauchyLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 10entonces se comprende su silencio, porque de hecho, las sumas de Cauchy nonecesitan aproximarse a un valor lmite unico aunque la funcion satisfaga lacondicion de Dirichlet. A pesar de que no condujeran a ninguna conclusiondenitiva, los comentarios de Dirichlet contenan algunas ideas audaces: unafuncion es ahora literalmente una sucesion de ordenadas, y como tal puedeser completamente discontinua en el sentido de Cauchy; sin embargo, se de-bera poder extender la denicion de la integral denida a algunas funcionescon un n umero innito de puntos de discontinuidad en un intervalo nito.El resultado mas importante de Dirichlet en su artculo 1829 era el de que sif(x) esta denida y acotada en [, ], si tiene un n umero nito de maximosymnimos,ysiescontinuaexceptoquizasenunn umeronitodepuntosentonces la serie de Fourier defconverge para todox a12 {f(x 0) +f(x + 0)} (3.3)dondef(x 0)=lmh0f(x h)yf(x + 0)=lmh0f(x + h). (Parax = , (3.3) debe interpretarse de manera especial.) La demostracion deesteresultado, quedesarrollaalgunasideaspresentesyaenlaTheoriedeFourier, no depende de una manera directa de la hipotesis de la continuidaddef(x);estahipotesisfuea nadidasimplementeparagarantizarelsigni-cadodelasintegralesdenidas(2.6)quedeterminanloscoecientesdelaserie de Fourier. Como se ve, el interes de Dirichlet en extender el conceptodeintegralamasfuncionesdiscontinuasestabaestrechamenteligadoasudeseo de conrmar las armaciones de Fourier acerca de la representacion defunciones por series trigonometricas, para una clase de funciones arbitrariastan amplia como fuera posible.El problema de la integrabilidad de funciones arbitrarias altamente dis-continuas, que Dirichlet haba dejado sin resolver, fue recogido por Riemann,que haba hecho su doctorado en 1851 en la Universidad de Gotinga. Parapoder ense nar en esta universidad era necesario demostrar una alta capaci-dad de investigacion y escribir un Habilitationsschrift. Riemann eligio comotemaparaelloel problemadelarepresentabilidaddefuncionesmedianteseries trigonometricas, y durante la preparacion de la memoria en cuestion(1854) recibio el estmulo y la ayuda de Dirichlet, que era entonces profesorenlaUniversidaddeBerln. LamemoriafuepresentadaalafacultaddeGotinga en 1854.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 11El problema elegido por Riemann supona obviamente todo un reto, yaquesignicabairmasalladelosresultadosdeDirichlet,esdecir,suponaconsiderar ((funciones arbitrarias)) mas generales. Enconsecuenciasevioforzadoaconsiderarasuvezelproblemadeenquecondicionessepuededenir la integral de tales funciones. Riemann tambien acepto la denicionde integral dada por Cauchy: una funcion f denida y acotada en el intervalo[a, b] es integrable si las sumas de((Cauchy-Riemann))S =n

i=1f(ti)(xi xi1) (3.4)van tendiendo a un unico valor lmite cuando todos losxi xi1tienden acero, dondea = x0< x1< < xn = b yti [xi1, xi]. Ese valor lmite vaa ser, por denicion, _baf(x) dx.Riemannformulounaimportantecondicionnecesariaysucienteparaque exista la integral, que veremos en la seccion posterior. Utilizando estacondicionpudodemostrarquelacondiciondeintegrabilidadconjeturadapor Dirichlet no era realmente necesaria: una funcion podra ser mucho masdiscontinua de lo que haba imaginado Dirichlet y ser sin embargo integrable;dehecho,podratenerinclusounacantidadinnitadepuntosdediscon-tinuidadencualquierintervalo,porpeque noquefuera!ComohacanotarRiemann, ((yaqueestasfuncionesnohansidotomadasenconsideracionnunca hasta ahora, sera conveniente comenzar con un ejemplo concreto)). Elnotableejemploquedaacontinuacionresultotenermasconsecuenciasdelas que el mismo poda sospechar.Paraconstruirsuejemplo, Riemannpartedelafuncion(x)denidadelamanerasiguiente: (x)=x ndondenesel enteromasproximoa x; y si x = 1/2, 3/2, 5/2, . . . , se dene (x) = 0. Es interesante hacernotar que probablemente no es una simple coincidencia el hecho de que (x)coincideconlaseriedeFourierdelafuncionf(x)=xparael intervalo[1/2, 1/2]. Seg un el teorema de Dirichlet la serie converge para todox, yel valor(x) de su suma cuandox = 1/2, 3/2, 5/2, . . . coincide con eldado por la formula (3.3).ApartirdeRiemanndeneotrasnuevasfunciones n, porlacon-dicionn(x)=(nx)paran=1, 2, 3, Ahorabien, nesdiscontinuaLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 12en 1/2n, 3/2n, 5/2n, . . . , y su idea es la de sumar estas funciones paraobtener otra funcion altamente discontinua; as pues, fva a estar denidaporf(x) = 1(x) +2(x)22+3(x)32+ +n(n)n2+. . . (3.5)La serie converge uniformemente, aunque este concepto no era muy co-nocido en 1854 y Riemann nunca lo utiliza, pero s hace uso, en cambio, deuna consecuencia de la convergencia uniforme, la de quef(x 0) =

n=1n(x 0)n2(3.6)para demostrar quefes discontinua en todos los puntos de discontinuidadde lasn; es decir, six es un n umero racional de la formap/2q, dondep esimpar yp,q primos entre s, entoncesf(x 0) f(x) = _12q2__1 + 19 +125 + _= 216q2(3.7)yporlotantof esdiscontinuaentodoslos xdelaformap/2q, deloscuales hayinnitos encualquier intervalo. Sinembargo, f es acotaday,como demuestra Riemann, es ademas integrable.EstetrabajodeRiemannfuepublicadoporprimeravezen1868,pocodespues de su muerte prematura. Como es facil imaginar, la generalidad sinprecedentes de su punto de vista y el sorprendente ejemplo de funcion inte-grable, impresionaron fuertemente a los matematicos. As, du Bois-Reymondopinaba que Riemann haba logrado extender el concepto de integral a susposibilidades extremas; su condicion de integrabilidad pareca ser la mas ge-neral que se poda imaginar. La medida de la generalidad vena expresadaenergicamenteporel ejemplosinprecedentesyamencionado. Parecaim-posible imaginarse la integrabilidad y la integral de una funcion acotada decualquier otra manera mas general, ya que si las sumas de Cauchy-Riemann(3.4) no tienden a un valor lmite unico, no parece que tenga mucho sentidohablar del area determinada por sus ordenadas. El planteamiento de Cauchyy Riemann se basaba en una tradicion que se remontaba hasta Arqumedes.Aunque esta actitud hacia la teora de integracion de Riemann fue do-LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 13minanteduranteel sigloxix, sehicieronvariosdescubrimientosque, conlaventajaquedaelsaberyaloquevaapasaresdecir,conlaventajade conocer la obra de Lebesgue se los puede considerar como que revelanserios defectos de la teora de Riemann, defectos que vienen a se nalar que, apesar de las apariencias, la condicion de integrabilidad de Riemann no eralo sucientemente general. En la seccion que sigue a continuacion vamos aesbozar brevemente el descubrimiento de algunos de estos defectos.4. LosdefectosdelaintegraldeRiemannLasdiscusionessobrelosfundamentosdelcalculointegralporCauchy,Dirichlet y Riemann, constituyen solo un aspecto del interes creciente, y delcambio de enfoque en los fundamentos del analisis matematico, que tuvieronlugar durante el sigloxix. Otro aspecto fue el que supuso una actitud mascrtica hacia las hipotesis que se admitan de por s, o bien no se demostrabancon un nivel de rigor acorde con los nuevos planteamientos del analisis. Elejemplo de Weierstrass de una funcion continua no diferenciable en ningunaparte era tpico de esta actitud crtica. Este ejemplo vena a demostrar quela extendida creencia de que las funciones continuas eran en general diferen-ciables, es decir, diferenciables excepto en unos pocos puntos excepcionales,no poda mantenerse de una manera rigurosa. Como vamos a ver, el enfoquecrtico del analisis dio lugar tambien a ejemplos de funciones que mostrabanbien a las claras que la denicion de integrabilidad de Riemann no era tangeneral como se hubiera deseado.El primer tratado que intento sintetizar los resultados del nuevo enfoquedel analisis fue los Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali(((Fundamentos de la teora de funciones de variables reales)); 1878) de Dini.Naturalmente, Dini dedicaba un lugar destacado dentro de su tratado a lateoradeintegraciondeRiemann. Unodelos resultados quepresentabaall Dini era el siguiente teorema, debido a Gaston Darboux: si una funcionftiene una derivadaf

acotada e integrable en el sentido de Riemann en elintervalo [a, b], entonces para todox [a, b]_xaf

(t) dt = f(x) f(a) (4.1)LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 14Cauchy haba establecido ya el resultado (4.1) para derivadas continuas, deacuerdoconsuteoradeintegracion, perolageneralizaciondeDarbouxrepresentabauntriunfosignicativodel puntodevistadeRiemann, yaque demostraba que sus condiciones de integrabilidad, mucho mas debiles,eran sucientes tambien para establecer la relacion (4.1), fundamental en elcalculo.Y sin embargo, Dini observo tambien una implicacion menos triunfalistadel teorema de Darboux. Dini se dio cuenta de que siftiene la propiedaddequeentodointervalo,porpeque noquesea,existenpuntosttalesquef

(t) = 0, entonces o bien f es constante o f no es integrable en el sentido deRiemann. El teorema de Darboux implica que estas son las unicas posiblesalternativas, ya que si f

tiene la propiedad anterior y esta acotada, entoncespara todox [a, b] se tiene _xaf

(t) dt = 0, pero en las sumas de Cauchy-Riemann que denen esta integralS =n

i=1f

(ti)(xi xi1) (4.2)podemostomar siempre lostitalesquef

(ti) = 0, y por lo tanto la unicamaneradequeestassumastiendanaunlmite unico,esqueellmiteseacero. Se sigue, por lo tanto, del teorema de Darboux que sif

es integrable,entoncesf(x) f(a) =_xaf

(t) dt = 0 (4.3)lo cual implica quef(x) = f(a) para todox [a, b].Dini intua, sin embargo, que era((muy probable)) que existieran funcio-nes no constantes que tuvieran la propiedad mencionada, de manera quef

no sera integrable. Y efectivamente, un ejemplo que conrmaba la conjeturade Dini fue construido en 1881 por Vito Volterra. Es decir, Volterra dio unejemplo de una funcion f no constante, con una derivada f

acotada y que seanula en un conjunto denso de puntos. Este ejemplo demuestra que dentrodel contexto de la teora de integracion de Riemann, las operaciones funda-mentales de diferenciacion e integracion no son completamente reversibles;el procesodediferenciacionpodraproducirfuncionesacotadasf

quenosonintegrablesenelsentidodeRiemann,yparalascuales(4.1)notienesentido evidentemente.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 15Volterra formulo la observacion de que su ejemplo de funcionfdemos-trabaque,enalgunoscasosporlomenos,elenfoquedelaintegracionvaantidiferenciacion es mas general que el del area, ya quef

tiene afcomouna antiderivada, y as podra tomarsef(b) f(a) como su integral sobre[a, b]. Volterra no intentaba formular con esta observacion una crtica seriadelateoradeintegraciondeRiemann,sinoqueseapresuroaa nadirqueesta era superior al metodo de la antiderivada, ya que al menos daba con-dicionesnecesariasysucientesparaqueunafuncionfueraintegrable.EnestemomentolateoradeRiemanneralaalternativamassatisfactoriay,como hacamos notar al nal de la seccion anterior, pareca imposible lograruna alternativa mas general.Otros ejemplos de funciones del tipo anunciado por Dini se fueron descu-briendo mas tarde durante el sigloxix. El ejemplo dado por el matematicosueco T. Broden en 1896 tiene un interes especial porque utiliza la mismatecnicade ((condensaciondesingularidades)) (terminologadebidaaHan-kel) que haba ideado Riemann para ilustrar la generalidad de su condiciondeintegrabilidad.ComovieneaindicarelejemplodeBroden,estacondi-cion no era lo bastante general, aunque el mismo no sacase esta conclusion,sin embargo. Broden empieza la construccion de su ejemplo con la funcion(x) = x1/3parax [1, 1]. Parax = 0 la graca de tiene una tangentevertical, luego

(0) = ; para todos los restantes valores dex existe

(x)y es nita. Sea {an} [1, 1] un subconjunto denso, y denamosn(x) = (x an) = (x an)1/3(4.4)con lo cual existira

n(x) para todox [1, 1], pero se tendra

n(x) = parax = an. Denamos ahorafsobre [1, 1] de la formaf(x) =

n=1n(x)2n(4.5)La analoga que hay con la construccion de la funcion de Riemann es bienclara. Ademas, se da tambien el caso de que, para todox [1, 1]f

(x) =

n=1

n(x)2n(4.6)LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 16locualimplicaqueseraf

(x) = paratodoslosxtalesqueelmiembrodeladerechaen(4.6)sehagainnito, yenparticular f

(an)= paran=1, 2, 3, . . . As pues, lagracadef tienetangentesverticalesenunconjunto denso de puntos.Porotrolado, esfacil verquelafuncionfesestrictamentecreciente,yaqueloes yporlotantotodaslas n. As pues, f tieneunainver-sacontinuag=f1denidasobre[a, b] =[f(1), f(1)], ydelarelaciongeometrica entre las gracas defy degse obtiene facilmente quegtienetangenteshorizontalesenunconjuntodensodepuntos;expresadoanalti-camente, se tiene queg

(y) = 1/f

(x) dondey = f(x), luegog

(bn) = 0, conn = 1, 2, 3, . . . , siendo bn = f(an). Ademas, una sencilla comprobacion bastapara ver quef

(x) se mantiene fuera de un entorno de cero parax [1, 1]luegog

estaraacotada, ycomog

seanulaenunconjuntodenso {bn}yesestrictamentecreciente(luegonoesconstante), entoncesnopuedeserintegrable seg un nos aseguran los resultados de Dini.El ejemploqueacabamosdeveressolouncasoespecial detodaunaclase de funciones analogas estudiadas por Broden. Para el el signicado deestas funciones no radicaba en que mostraran las limitaciones de la teora deintegracion de Riemann: de hecho Broden no menciona nunca las observacio-nes de Dini e incluso es perfectamente posible que no las conociera. Para el,as como para otros que construyeron mas ejemplos de curvas con la propie-dad de tener un conjunto densamente distribuido de tangentes horizontales,estosejemplosseguanenlalneadel caminoiniciadoporel ejemplodeWeierstrass de una funcion continua no diferenciable. La funcion de Weiers-trass no era facil de intuir visualmente, pero los ejemplos de Broden y otrosmostraban que incluso funciones diferenciables por doquier podan resultardifcilesdevisualizarintuitivamente, yvenanas aconrmarmasa unlatesis de Weierstrass de que no se poda conar en la intuicion al establecerlos principios fundamentales del analisis matematico.La derivada de una funcion se obtiene a partir de ella mediante un pro-cesodepasoal lmite, ylosejemplosanterioresmuestran(paranosotros,matematicos de la era pos-Lebesgue) que el defecto puesto de relieve en lateora de Riemann esta motivado por el hecho de que la integrabilidad en elsentidodeRiemannnoseconservaenlosprocesosdepasoallmite.EsteLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 17hecho se haba manifestado ya de otra forma durante el sigloxix; en la sec-cion2vimosqueFourierhabahecholahipotesis, aceptadageneralmentepor lo demas, de que sif(x) = lmnfn(x) para todox [a, b], entonces_baf(x) dx =lmn_bafn(x) dx o_ba{ lmnfn(x)} dx =lmn_bafn(x) dx(4.7)Cauchy haba presentado de hecho una demostracion de (4.7) bajo la hipote-sis de que lasfnsean continuas, en la Leccion 40 de su Resume, pero estademostracioneraincorrectadebidoaquenoconsiguiodistinguirentrelasideas de continuidad y convergencia uniforme o no uniforme. En sus leccio-nes impartidas en Berln demostro Weierstrass que (4.7) es valido siempreque se suponga que la convergencia en cuestion es uniforme.Este mismo resultado lo demostro Darboux en 1875, dando ademas unsencillo ejemplo que demuestra que (4.7) no necesita vericarse si la conver-gencia no es uniforme. Darboux considero la sucesionfn(x) = 2n2xexp(n2x2), x [0, 1] (4.8)y denio para cada x [0, 1], f(x) =lmnfn(x) =0. As pues,_10f(x) dx = 0, pero_10fn(x) dx = {exp(n2x2)}10 = 1 exp(n2) (4.9)luego lmn_10fn(x) dx = 1 = 0. Darboux demostro que la sucesion fn noconverge uniformemente sobre [0, 1] haciendo observar quefn(1/n) = 2n/e;realmenteloquedemuestraestoesquelasucesionnoestauniformemen-teacotada. Sedicequeunasucesiondefuncionesfnestauniformementeacotadasobreunintervalo[a, b], si existeunn umeropositivoBtal que|fn(x)| Bparatodox [a, b] yparatodon. Esteconceptodeacota-cionuniformenohabasidointroducidoa uncuandoDarbouxescribiosuartculo, y parece que no cayo en la cuenta de su signicado potencial. Tan-to el como otros matematicos de la epoca quedaron tan impresionados porel descubrimiento de la importancia de la convergencia uniforme, que no sejaronenlaposibilidaddegarantizarlavalidezde(4.7)bajocondicionesmas generales.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 18Esta inadvertencia tuvo importantes consecuencias, porque oculto el he-cho de que la integrabilidad en el sentido de Riemann no se conserva en losprocesos de paso al lmite. Es decir, si fn(x) converge uniformemente a f(x)sobre[a, b]ysilasfn(x)sonRiemann-integrables,entoncestambienloesf(x), como demostro Darboux, pero Cesare Arzel`a (1885) y W. F. Osgood(1897) descubrieron que la acotacion uniforme era la condicion esencial paraquesevericase(4.7). Arzel`a, porejemplo, demostroqueseverica(4.7)suponiendo que las fn y f son Riemann-integrables y que las fn estan unifor-memente acotadas. As pues, dada una sucesion de funciones convergente yuniformemente acotada de funciones integrablesfn, la unica condicion masque hay que a nadir para que se verique (4.7) es que la funcion lmite seaRiemann-integrable.Arzela no dio ning un ejemplo de un caso en que la funcion limite no fueraintegrable, pero Rene Baire dio inadvertidamente en 1899 un ejemplo muysencillo.Considerolasucesionfn(x)denidaparax [0, 1]delamanerasiguiente: seafn(x) = 1 six es un n umero racional de la formap/q, conp,q primos entre s yq n; y para todos los restantex [0, 1] seafn(x) = 0.As pues, cada una de las funcionesfnes cero excepto en un n umero nitode puntos del intervalo [0, 1], y por lo tanto todas son integrables; se tieneademas que |fn(x)| 1, luego estan uniformemente acotadas. Se puede verfacilmentequef(x)=lmnfn(x)existeparatodox [0, 1], yquesetiene quef(x) = 1 six es racional yf(x) = 0 six es irracional. La funcionlmitef esporlotantounodelosejemplosdeDirichletdeunafuncionimposibledeintegrar(veaselaseccion3anterior), yefectivamentenoesintegrable en el sentido de Riemann.Cuando Lebesgue creo su generalizacion de la integral de Riemann, pudodemostrarque(4.7)severicaparacualquiersucesionconvergenteyuni-formemente acotada; la integrabilidad, ahora en el sentido de Lebesgue, delafuncionlmite, sesiguedel hechomismodeserunafuncionlmite. Enterminos de los descubrimientos de Lebesgue, la teora de Riemann se revelaas como insucientemente general, pero el hecho es que anteriormente a es-tos descubrimientos nadie consideraba que la posibilidad de que tal funcionlimite no fuera Riemann-integrable, signicase un grave inconveniente paralateoradeintegraciondeRiemann. Porejemplo, Bairenohizoningunareferencia a la teora de integracion cuando dio su ejemplo; lo dio para de-LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 19mostrar que las funciones de Dirichlet son de((segunda clase de Baire)), esdecir, son lmites de sucesiones de funciones, las cuales a su vez son lmitesde sucesiones de funciones continuas. Como iba a criticarse a la teora deintegracion de Riemann por no ser sucientemente general en el contexto quehemos discutido mas arriba, cuando pareca ser la mas general que se pudie-ra concebir? Y sin embargo, al nalizar el sigloxix la teora de Riemann sehaba reformulado en terminos de conjuntos y de sus medidas, reformulacionqueabrionuevasperspectivasy,en ultimotermino,hizosurgirlaideadeque era posible a un una generalizacion muy natural.5. HaciaunaformulaciondelaintegralbasadaenlateoradelamedidaComencemos indicando brevemente la conexion que hay entre la medidade conjuntos y la integracion de funciones. SeaEun subconjunto de [a, b].Se denen dos n umerosci(E) yce(E), llamados respectivamente contenidointerior y contenido exterior de E, de la forma siguiente: sea [a, b] =

nk=1Ikuna particionPde [a, b] en intervalosIr. Entoncesci(E) = supP

IkEl(Ik), ce(E) =nfP

IkE=l(Ik) (5.1)dondel(Ik)representalalongituddeIk. Enotraspalabras, el contenidointerior deEse obtiene considerando, para una particion dadaP, aquellosintervalos contenidos completamente en E; y el contenido exterior se obtieneconsiderando todos los intervalos que contienen puntos de E. Claramente setiene_IkEIk E _IkE=Ik(5.2)de manera que

IkEl(Ik) ci(E) ce(E)

IkE=l(Ik) (5.3)El conjuntoEse llama medible en el sentido de Jordan sici(E) = ce(E), yen este caso su contenido ( unico) se representa porc(E).LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 20Estos conceptos fueron introducidos por Camille Jordan en 1892, por ra-zones que discutiremos mas adelante. Utilizando estas ideas demostro Jordanque la condicion de integrabilidad de Riemann se poda reformular de la si-guiente manera. Sea [a, b] =

nk=1Ekuna particionPde [a, b] en conjuntosmedibles disjuntosEk(es decir, tales queEi Ej = sii = j). Se denenlassumasdeRiemanngeneralizadas,inferiorysuperior,paraunafuncionacotadaf, correspondientes a la particionP, de la formaL(P) =n

k=1mkc(Ek) U(P) =n

k=1Mkc(Ek) (5.4)dondemkyMkrepresentan, respectivamente, el extremo inferior (nf) y elextremo superior (sup) del conjunto de valoresf(x) parax Ek. Entoncesse denen las integrales de Riemann inferior y superior de la forma_baf= sup{L(P)}_baf=nf {U(P)} (5.5)y se dice quefes Riemann integrable si y solo si_baf=_baf (5.6)La caracterizacion de la integrabilidad en el sentido de Riemann en termi-nos de las integrales inferior y superior haba sido introducida poco despuesdelapublicacionpostumadelaHabilitationsschriftdeRiemannen1863,yvenasugeridaporunadelaspropiascondicionesnecesariasysucien-tesdeRiemannparalaintegrabilidad. AntesdeJordan, sinembargo, lasideas mencionadas se haban desarrollado sin utilizar conceptos de teora delamedida; lassumasdeRiemanninferiorysuperior, L(P)yU(P), esta-bandenidassoloparaparticiones Pdel intervalo[a, b] ensubintervalos.Al mostrarquepodanadmitirseenladeniciontiposmasgeneralesdeparticionesP, proporcionaba ya Jordan sin darse cuenta la idea central deuna manera fructfera de generalizar la teora de la integral de Riemann. Sucaracterizacion de las condiciones de integrabilidad de Riemann en terminosdeteoradelamedidaimplicabadeunamanerabastanteclaraqueunageneralizacion de esta teora suya de la medida de conjuntos traera consigouna generalizacion de la integral.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 21Supongamos, por ejemplo, que sea posible denir una clase mas extensaMde conjuntos medibles, y un n umerom(E) asociado a cadaEenM, talquem(E)=c(E)si EerayamedibleenelsentidodeJordan.Entonces,la caracterizacion de Jordan de la integrabilidad en el sentido de Riemann,nos sugiere inmediatamente la siguiente generalizacion: en la denicion dadamas arriba deP,L(P) yU(P), considerese ahora que los conjuntosEksonmedibles en el sentido generalizado, es decir, que pertenecen aM. Las inte-grales inferior y superior que resulten de ello, ()_bafy ()_bAf, vericaran,pues, las desigualdades_baf ()_baf ()_baf _baf (5.7)y as, si denimos ahora quefsera integrable cuando verique que()_baf= ()_baf (5.8)llamando a este valor com un la integral de f, la desigualdad (5.7) nos mues-tra que toda funcion Riemann-integrable sigue siendo integrable en el nuevosentido, y por lo tanto habremos obtenido una generalizacion de la integralde Riemann. CuandoMsea la clase de los subconjuntos de [a, b] mediblesseg un Lebesgue, la clase generalizada de funciones integrables sera la clasedelasfuncionesacotadaseintegrablesenel sentidodeLebesgue. Debidojustamenteaconsideraciones tales comoestas fuecomoLebesguesevioconducido a su teora de integracion.Ahora que ya ha quedado claro, esperamos, el signicado historico de laintroduccion de las ideas de teora de la medida, tenemos que pararnos unpoco a considerar como y por que ocurrio esto. Cuando aparecio la Habilita-tionsschrift de Riemann sobre series trigonometricas en 1868, nadie hablabaexplcitamente de conjuntos ni de sus medidas: tales ideas no formaban partetodava de la matematica. Pero lo que s proporcionaba ya all Riemann eralasiguientecondicionnecesariaysucienteparalaintegrabilidaddeunafuncionacotadaf: paratodo>0y>0, existeun >0tal que, siPesunaparticioncualquierade[a, b], a=x0 (utilizando, naturalmente, su propia denicion, ligera-mentedistinta,dewf(x)),ysediocuentaademasclaramentedequeunafuncion acotadafes integrable si y solo si, para todo> 0, el conjuntoSpuede ser encerrado en un n umero nito de intervalos de longitud total ar-bitrariamente peque na. La demostracion de este hecho supone simplementeuna generalizacion natural de la demostracion de Riemann de que la funcion(3.5) satisface su criterio de integrabilidad. A la vista del exito de Hankel enestablecerestacaracterizaciondelaintegrabilidad,parecenaturaladmitirque la obra de Hankel inicia no solo el enfoque propiamente conjuntista deLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 23la teora de integracion, sino tambien el que parte de la teora de la medida.Mirando el panorama de una manera retrospectiva, se aprecia que falta to-dava una peque na etapa para llegar al criterio de que una funcion acotadafes Riemann-integrable sobre [a, b] si y solo sice(S) = 0 para todo> 0,pero las ideas de teora de la medida y este criterio no fueron introducidasexplcitamente hasta la decada de los 1880.Inmediatamente se nos plantea por s sola la cuestion de por que tardotantotiempoenocurriresto. Lascuestioneshistoricasnotienennormal-mente respuestas simples e irrefutables; la historia es demasiado complicadaeinteresanteparaqueseaeseel caso. Ysinembargo, el historiadorpuedeaislaravecesciertascondicionesociertosfactoresqueexpliquenelfenomenohistoricoencuestion. Enel casodelalentaintroducciondeunpuntodevistabasadoenlateoradelamedida,yomepermitirasugerirque jugo un papel importante, quizas decisivo, la confusion que exista entrelas caracterizaciones de lo que debera ser un conjunto despreciable desde elpunto de vista topologico y desde el punto de vista de la teora de la medidarespectivamente.Esta confusion queda en evidencia en el siguiente bonito pero falso teore-ma que Hankel creyo haber demostrado: una funcion acotada f es integrablesi y solo si para todo> 0 el conjuntoSes diseminado. Es decir, el con-junto S tiene que tener la propiedad introducida previamente por Dirichlet:entre dos puntos cualesquiera debe existir todo un intervalo que no contienepuntos de S; a estos conjuntos les llamo Hankel ((diseminados)). Familiariza-do como estaba con el trabajo de Dirichlet, Hankel pareca haber conrmadorealmentelaconjeturadeDirichletdequepuededenirselaintegralparacualquier funcion acotada para la que su conjunto de puntos de discontinui-dad D forme un conjunto diseminado. Es decir, como Ses un subconjuntode D para todo > 0, si D es diseminado entonces tambien lo son todos losS, y por el((teorema)) de Hankel la funcionfes integrable.El ((teorema)) deHankel solotieneunamitadverdadera: si f esinte-grableentonces ce(S) =0paratodo >0, locual implicaque Sesdiseminadoparatodo>0. (Si Sfuesedensoenalg unintervaloI, en-toncesce(S) l(I),contradiccion.)Elrecprocoencambioesincorrecto;para demostrarlo, Hankel creyo haber demostrado que un conjunto disemi-LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 24nado puede ser encerrado en un n umero nito de intervalos de longitud totalarbitrariamentepeque na.Hastaquesedescubrioquesudemostracioneraincorrecta, pareca que haba obtenido una bella caracterizacion topologica(como diramos ahora) de los conjuntosScorrespondientes a una funcionintegrable, unacaracterizacionqueconrmabadirectamentelasespecula-cionesdeDirichletacercadelascondicionesdeintegrabilidad. As pues,no haba necesidad de desarrollar una caracterizacion de estos conjuntos enterminos de teora de la medida mientras no se comprobase que el caracterde despreciable topologicamente (diseminado) y el de despreciable desde elpuntodevistadelateoradelamedida(contenidoexteriorcero)nosonequivalentes. El motivodequeestehechopasarainadvertidoduranteunciertotiempoesfacil deencontrar: enladecadadelos1870lateoradeconjuntosdepuntosa unnosehabadesarrollado, yenconsecuencialosrazonamientosacercadeconjuntosinnitosdepuntos, cuandoaparecan,sedesarrollabanaunnivel intuitivoyconpocasprecauciones. Dehechonadie, incluido Hankel, se haca cargo de las implicaciones que conllevan lasdeniciones formales tales como la de un conjunto diseminado.Porotraparte,elprimertrabajodeCantorsobreconjuntosdepuntos(1872), de hecho tuvo el efecto de aumentar la confusion reinante. Sus inves-tigaciones acerca de la unicidad de la representacion de funciones medianteseries trigonometricas lo haba conducido a considerar conjuntos con la pro-piedaddequesuconjuntoderivadon-esimoE(n)fuesenitoparaalg unvalor den. Los conjuntosE(n)se denen de la manera siguiente: el primerconjunto derivadoE

es el conjunto de todos los puntos de acumulacion deE y, en general,E(n)= (E(n1))

. Un ejemplo sencillo de un conjuntoE talqueE(n)es nito es el conjunto de todos los n umeros de la forma1m1+1m2+ +1mn(5.9)dondelosmisonenterospositivos.EnestecasosetienequeE(n)= {0}.Siguiendo la terminologa posterior de Cantor, llamaremos a estos conjuntos((conjuntos de primera especie)). Cantor descubrio que algunas propiedadesvalidasparalosconjuntosnitospuedentrasladarse, porinduccion, alosconjuntosdeprimeraespecie;deestamanerasepuedeverfacilmentequelos conjuntos de primera especie son diseminados, y tambien que se puedenencerrar en un n umero nito de intervalos de longitud total arbitrariamenteLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 25peque na. Porlotanto, paraestosconjuntossevericatantolacaracteri-zaciontopologicadedespreciabilidadcomoladelateoradelamedida,yalgunosdelosmatematicosinteresadosenlateoradeintegraciontendie-ronacreerquelosconjuntosdeprimeraespecieconstituanel unicotipoposible de conjuntos diseminados. Y as los conjuntos diseminados (es decir,conjuntos de primera especie) eran despreciables desde el punto de vista dela teora de la medida.La importancia especial para la teora de la integracion de los conjuntosdespreciables en el sentido de la teora de la medida, no fue apreciada hastaque, en los primeros a nos 1880 se vio ya claramente que existan conjuntosdiseminados que no se podan encerrar en un n umero nito de intervalos delongitud total arbitrariamente peque na. Los efectos de este descubrimientofueron inmediatos y decisivos. Se introdujeron nombres especiales para losconjuntos diseminados y que podan ser encerrados de esta manera, y Cantormismo propuso el problema de encontrar las condiciones que debe cumplirunconjuntodiseminadoparatenercontenidocero. PocodespuesCantoryStolz, independientementeunodeotro, cubrieronlasiguienteyobviaetapa introduciendo la idea de contenido (exterior) de un conjunto. Y as secreo por n en 1884 la primera teora de la medida, gracias al descubrimientodelos conjuntos diseminadosquetienencontenidoexteriorpositivo. Losmatematicos haban empezado por n a pensar en terminos de teora de lamedida.En vista de la importancia historica del descubrimiento de los conjuntosdiseminadosydecontenidoexteriorpositivo,vamosaindicarbrevementecomofuerondescubiertos. Al parecerfuerondescubiertosporvariosma-tematicos de manera independiente, pero en cualquier caso la idea basica quehaba detras de estas varias construcciones era la misma. Buscando determi-nar el tipo mas general de conjunto diseminado, los matematicos procedieronpreviamente de una manera inductiva: un conjunto nito E1 es diseminado;si se le a naden sucesiones de puntos que convergen a cada uno de los puntosdeE1, el conjunto resultanteE2todava es diseminado; si se repite el pro-cesoysea nadenahorasucesionesdepuntosconvergentesalospuntosdeE2, el conjunto obtenido E3 a un es diseminado, y as sucesivamente. De estamanera se pueden construir conjuntos diseminados cada vez mas complica-dos;sinembargo,todosellossondeprimeraespecie,yaqueE(n1)n=E1LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 26queesunconjuntonito.Laideaquesubyacetraslaconstrucciondelosconjuntos diseminados pero de contenido exterior positivo, es la de distribuirintervalos en vez de puntos. Es decir, si se puede distribuir densamente en[a, b] una sucesion de intervalos disjuntosIn, en el sentido de que cualquiersubintervalo de [a, b] contenga uno de los In, entonces E = [a, b]

n=1In esdiseminado; y si ademas se tiene que

n=1l(In) < ba, entonces ce(E) > 0.El descubrimiento de este tipo de conjuntos diseminados tuvo de hechoundoblesignicadoparalahistoriadelateoradeintegracion, debidoaqueestosconjuntostambienfueronutilizadosporVolterraparaconstruirejemplosdederivadasacotadasquenosonRiemann-integrables(veaselaseccionanterior4). EsprobablequeaVolterraseleocurrieralaideadecomoconstruirestosconjuntosapartirdelasespeculacionesdeDini entornoalaexistenciadetales derivadas. AunqueDini nopudoconstruirning un ejemplo, s conjeturo que existan funcionesfno constantes con lapropiedad de que entre cualquier par de n umerosr 0: la razones que, suponiendo que f

(x) existe para todo x, y esta acotada, no puede serintegrable sobre [a, b] en virtud del corolario de Dini al teorema fundamentaldelcalculo(4.1).Porlotanto,elconjuntodepuntosdediscontinuidaddef

, D, debe ser tal que ce(D) > 0 (pues de lo contrario f

sera integrable envirtud de la parte correcta del((teorema)) de Hankel); peroD E, y por lotantoce(E) ce(D) > 0. Aunque Dini mismo no cayo en la cuenta de ello,sushipoteticasfuncionesestan ntimamenterelacionadasconlaexistenciade conjuntos diseminados que no son despreciables en terminos de teora dela medida.El punto de vista de la teora de la medida, que haba llegado por n aformar parte de la teora de la integral de Riemann hacia mediados de los1880, recibiosuformulaciondenitivaen1892enmanosdeCamilleJor-dan. Comose nalabamosal principiodeestaseccion, Jordanintrodujoladistincionentrecontenidointerioryexterior,yelimportanteconceptodeconjunto medible. La obra de Jordan estaba motivada por su insatisfaccioncon la manera en que se haba desarrollado la teora de integracion de Rie-LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 27mannparafuncionesdedosomasvariables. Laintegral deunafuncionf(x, y)sedenausualmentesobreunaregionEdel planoqueseconsi-deraba limitada por una curva (vease gura ??). Para denir las sumas deRiemann inferior y superior o las sumas de Cauchy-Riemann, se considerabaunaparticiondelplanoenrectangulosformadosporrectasparalelasalosejesdecoordenadas.UnaparticiondeestetipodivideaEenpedazos,lamayora de las cuales son rectangulos, pero hay excepciones sin embargo, engeneral, con los rectangulos a los que corta la curva frontera.Al denir, porejemplo, lasumadeCauchy-Riemanncorrespondientealaparticion, seproduceunasituaciondeciertaambig uedadoal menosarbitrariedad; se podra denir como

f(xi, yj)a(Rij), a(Rij) = areaRij(5.10)donde, o bien 1) la suma se extiende a todos los rectangulosRijcontenidostotalmente enE, o 2) la suma se extiende a todos losRijque simplementetienenpuntoscomunesconE.(Laspiezasfronterizasnorectangularesnopueden utilizarse, ya que su area no esta denida.) Para justicar la inde-pendencia de la denicion de_E f(x, y), de la eleccion de la opcion 1) o de la2), usualmente se haca notar simplemente que la suma de las areas rectan-gulares que corta la curva frontera se puede hacer arbitrariamente peque na.El mismo Jordan haba procedido de esta manera en la primera edicion desuCoursdanalyse(1883). Sinembargo, en1890demostroPeanoquelahipotesis acerca de los rectangulos cortados por la frontera no poda darsepor sentada sin mas, al construir una curva continua que pasa por todos lospuntos del cuadrado 0 x 1, 0 y 1.Quizas fuera el ejemplo de Peano de una curva que llena un cuadrado loque impulso a Jordan a abandonar la costumbre de considerar la regionEcomolimitadaporunacurva.Enlugardeello,propusoensu1892tratarel dominio de integracionEcon el mismo grado de generalidad con el queRiemann haba considerado las funciones a integrar. Esto signicaba el con-siderar E como un conjunto de puntos, es decir, el tratar a E desde el puntode vista general de la teora de conjuntos de Cantor; la exigencia de queEestuviera limitado por una curva quedaba sustituida por la de queEfueramedible. (Lasdeniciones(5.1)deci(E)ydece(E), yporlotantoladeLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 28conjuntomedible,seextiendeninmediatamenteaconjuntosdepuntosdelplano; las particiones en intervalos se sustituyen simplemente por particionesen rectangulos.) Jordan denio la frontera deEcomo el conjunto de todoslos puntosp tales que todo disco circular de centro enp contiene puntos deE y puntos que no pertenecen a E, y demostro que E es medible si y solo sila frontera deEtiene contenido exterior cero. As pues, la medibilidad eraexactamente lo que se necesitaba para garantizar la validez de la hipotesishecha acerca de la curva frontera del dominio de integracion.Despues de introducir el concepto de conjunto medible, procedio Jordanadenirlaintegral _fparaunEmedible, seg unlaslneasesbozadasalcomienzodeestaseccion.ElhechodeconsiderarparticionesenconjuntosmediblesEkarbitrarios surge de una manera natural del hecho de queE esun conjunto medible arbitrario. Jordan desarrollo su formulacion de la teorade integracion de Riemann para funciones de n variables; la forma adoptadavena motivada por las consideraciones que aparecen en el caso n = 2, pero laexposicion fue desarrollada para cualquiern, incluyendon = 1 yE = [a, b],ligando as la posibilidad de una generalizacion de la integral con la de unageneralizacion de la medida y la medibilidad.As fue como los jovenes e inquietos matematicos franceses aprendieronlateoradeintegraciondeRiemannenestemarcodelateoradelame-dida, porqueJordanincorporoestenuevoenfoqueenlasegundaedicionde su Cours danalyse (1893). Hasta entonces los franceses haban prestadorelativamente poca atencion a las aplicaciones de la teora de conjuntos deCantor al analisis, pero Jordan puso, por medio de su Coursdanalyse, susello de aprobacion a la aplicacion de los metodos conjuntistas al analisis, ysiendo como era uno de los matematicos mas famosos e inuyentes, su apro-bacion tacica de estos metodos no quedo sin efecto: pocos a nos despues dela publicacion de esta segunda edicion de su libro, el enfoque conjuntista delanalisis se cultivaba ya extensamente por parte de tres jovenes matematicosfranceses: Emile Borel, Rene Baire y Henri Lebesgue.LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 296. Cualeslamedidadeunconjuntonumerable?LebesguedescribiomuyacertadamenteaJordancomoun((tradiciona-listainnovador)). LareformulacionporJordandelateoradeintegracioneraincuestionablementeinnovadora,yaqueextendaelenfoqueconjuntis-tadelaintegracionmuchomaslejosquesuspredecesores; ysinembargolo extenda apoyandose en la tradicion que ellos haban establecido, puestoque todo consista simplemente en renar el concepto de contenido exteriorintroduciendo los conceptos adicionales de contenido interior y de medibili-dad. La teora de la medida resultante es totalmente compatible con la teorade integracion de Riemann; en realidad el contenido interior y exterior y lamedibilidadsonlosanalogosexactosdelasintegralesinferiorysuperiorde Riemann y de la integrabilidad seg un Riemann. El planteamiento de lateoradeintegraciondeJordansoloadquiriosuplenopoderdesugestiondespues de que se reconocio la posibilidad de una denicion distinta, menostradicional, de la medida de conjuntos; tal posibilidad fue revelada por Emi-leBorel. El enfoqueradicalmentedistintodelamedidadeconjuntosquepropona Borel tena como origen su respuesta ciertamente poco ortodoxa ala pregunta: cual es la medida de un conjunto numerable?Esta pregunta haba sido considerada por primera vez por Axel Harnack,que era uno de los miembros del grupo de matematicos alemanes que traba-jaban en el desarrollo y exposicion de la teora de integracion de Riemann y lateora del contenido exterior relacionada con ella. (En realidad, los matemati-cos alemanes hablaban simplemente de((contenido)), por lo que entendan lomismo que Jordan llamaba((contenido exterior))). En 1885 observo Harnackquesienladeniciondecontenidoexteriorseabandonalarestricciondelimitarse a un n umero nito de intervalos recubridores, entonces se obtenaunaconsecuenciaparadojicanotable: todoconjuntonumerableE= {en}tendra((contenidoexterior))cero.Larazonesladeque,paratodo> 0,cadaen puede encerrarse en un intervaloIn de longitud/2n, y la longitudtotal de estos intervalos es n=12n=. As pues, un conjunto numerablesepuedeencerrarsiempreenintervalosdelongitudtotal arbitrariamentepeque na si se permite utilizar un n umero innito de intervalos.Para Harnack las implicaciones que resultaban de estas consideracionesestaban claras; revelaban la importancia crucial de la restriccion a un n ume-LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 30ro nito de intervalos recubridores en la denicion de contenido exterior. Laideadequetodoslosconjuntosnumerablestuvierancontenidocerolepa-recioparadojicadebidoaquelosconjuntosnumerablespuedenserdensosen un intervalo. Por ejemplo, el conjuntoEde los n umeros racionales con-tenidos en el intervalo [0, 1] es numerable y denso, y por ser denso se tienequece(E)=1yno0. EstaparecaserlamedidaapropiadadeEporsu((ubicuidad)) sobre el intervalo [0, 1]; en cambio pareca absurdo considerar aun conjunto denso como sin extension, como de medida despreciable.Cantor, que precisamente haba introducido el concepto de conjunto nu-merable, comparta por descontado el punto de vista de Harnack. El mismointrodujoel contenidoexteriordeunconjuntocomosumedida, ysufor-mulacion dejaba bien claro que al medir un conjuntoE, el conjunto de suspuntos de acumulacion E

tena que ser considerado como una parte de E. Esdecir, Cantor dena el contenido exterior de un conjunto E como ce(EE

)(comoce(E)=ce(E E

), ladenicioneslamisma.)As pues, medirelconjuntoEdelospuntosracionalesen[0, 1] esmedirE E

=[0, 1]. Almismotiempo,habaotrasconsecuenciasdelestudiohechoporCantordelosconjuntosinnitosdepuntosqueimplicabanque, porlomenosenuncierto sentido, los conjuntos numerables son despreciables.Uno de estos resultados mostro tener una importancia especial; esta con-tenidoesteresultadoenlatercerapartedelamonografadeCantorUberunendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. De acuerdo con el ttulo (So-bre los conjuntos lineales innitos de puntos), las dos primeras partes esta-ban dedicadas a estudiar subconjuntos de la recta real; en ellas el principalobjetivo de Cantor era el de demostrar la hipotesis del continuo. En la ter-cera parte, en cambio, decidio poner de relieve la importancia de su trabajopara areas de la matematica que estaban despertando interes entonces en lacomunidad matematica: por ejemplo, la teora de funciones de una variablecompleja y los fundamentos de la geometra. Con este n, paso a considerarconjuntos de puntos en el espacion-dimensional y, despues de presentar unteorema que en su opinion era de importancia para la teora de funciones deuna variable compleja, continuo con algunas observaciones que le parecierontener consecuencias importantes para la fundamentacion de la geometra.Cantor formulo sus observaciones en el contexto del espacio n-dimensio-LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 31nal Rnpero nosotros solo vamos a considerar el caso especial del plano R2.Cantor observoquesi Mes unsubconjuntodensonumerabledel planoR2, entonces U=R2M, el planosinlos puntos de M, estatodava((conectado de una manera continua)); es decir, si u1, u2 U, entonces existeuna curva continua uniendo u1 con u2 y que esta totalmente contenida en U.Laideadelademostracioneslasiguiente:consideremoselsegmentou1u2y su recta mediatriz perpendicular tal como en la gura ??. Cada puntopde la mediatriz determina un arco circular distinto que uneu1yu2. Comoestos arcos se cortan solo en u1 y u2, intersecan al conjunto Men conjuntosdisjuntos y, como M es numerable, el n umero de arcos circulares que cortan aM es numerable como maximo; supongamos que p1, p2, p3, . . .son los centrosde estos arcos. Cantor haba demostrado en 1874 que cualquier intervaloabdelamediatrizcontieneunacantidadinnitanonumerabledepuntos, ypor lo tanto hay una cantidad no numerable de puntosp sobreab tales quep =pnparatodon,yenconsecuenciaelarcocirculardeterminadoporpno puede cortar aM, luego esta completamente contenido en R2M.A Cantor le pareca que estas observaciones tenan relacion con la cues-tion de la naturaleza geometrica del mundo fsico, un tema que haba hechopopular en la comunidad cientca Hermann von Helmholtz. La mayor partede los matematicos que se interesaban por los fundamentos de la geometraseguan el ejemplo de Riemann en su trabajo de 1854 e identicaban el es-pacio con la variedad de todas las ternas de n umeros reales (x, y, z). Cantorpensaba que sus observaciones demostraban que la identicacion del espaciocon R3noseapoyaenelhechodequeesposibleelmovimientocontinuoenel espacio, yaquedichomovimientocontinuoesigualmenteposibleenR3M, donde Mes numerable y denso, y en consecuencia sugera el interesen desarrollar un planteamiento de la mecanica que fuese aplicable a R3M.Las observaciones de Cantor no encontraron respuesta por parte de losmatematicosinteresadosenlosfundamentosdelageometra, peros queprodujeron una gran impresion a Emile Borel, que vio involucrada en ellasunaideaquepodaserutilizadaenlateoradefuncionesdeunavaria-blecompleja!El unicomatematicofrancesquehabaaplicadolateoradeconjuntos al analisis antes que Jordan haba sido Henri Poincare. En 1883LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 32Poincare considero la expresion analticaf(z) =

n=1Anz an(6.1)dondeAn,z yan son n umeros complejos y n=1|An| < . Observo que siCes una curva cerrada simple convexa en el plano y si {an} es un subcon-junto denso deC, entonces la expresionf(z) dene dos funciones analticasdistintas, una denida dentro deCy la otra fuera deC. La razon es la deque el desarrollo en serie de potencias de f(z) en cualquier punto z0, interioraCconverge en un disco circular que toca aCy que no la atraviesa (veaselagura??):aspues,lafuncionanalticadenidaporf(z)nopuedeserprolongada analticamente a traves deC, en el sentido de Weierstrass2.En su tesis doctoral de 1894 Borel utiliza la idea de Cantor para demos-trarquelasdosfuncionespodranconectarseunaconotradetalmaneraque se tendra una forma generalizada de prolongacion analtica. Aplicandolas observaciones de Cantor al conjunto numerable M= {an}, obtuvo Borelcomo conclusion que hay como maximo una cantidad numerable de puntospn ab tales que el arco circular deu1 au2 corta aCen uno de los puntos{an} (vease la gura ??). El problema que tena Borel, sin embargo, requerael demostrar que la serief(z) converge absoluta y uniformemente sobre ar-coscircularesdesdeu1au2.Estolecondujoaa nadirunnuevogiroalasobservaciones de Cantor que las hacia a un mas relevantes para la cuestionde la medida de un conjunto numerable.Bajolahipotesisdeque n=1|An|1/2< ,tomoBorelunNtalque

n=1|An|1/2es menor que la mitad de la longitud de ab, y entonces aplico laideadeHarnack: encerremoscadapnconn NenunintervaloIndelongitud 2|An|1/2. Entonces la suma de estas longitudes es 2

n=1|An|1/2,queesmenosquelalongitudde ab. Borel dedujoentoncesquehayunacantidad innumerable3de puntosp sobreab tales quep = pn, 1 n Ny2Si dos funciones f1(z) y f2(z) de la variable compleja zestan denidas analticamentesobreregionesD1yD2respectivamente,ysif1(z) = f2(z)sobreD1D2,entoncesf2(z)esunaprolongacionanalticadef1(z)sobreD2 D1(yf1(z)esunaprolongaciontaldef2(z)sobreD1 D2).3Lademostracionutilizaba((unteoremainteresantepors mismo. . . : si tenemosunacantidad innita de subintervalos de una recta [es decir, de un intervalo cerrado] tales quetodopuntodelarectaesinterioraunoalmenosdeellos,entoncessepuedeencontrardemanera efectiva un n umero nito de esos intervalos con la misma propiedad)). Aqu tenemosLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 33quep Inparan N. Sobre los arcos circulares correspondientes a estospuntosp la serief(z) converge uniformemente, y goza de otras propiedadesque sugieren, en un cierto sentido, que las funciones dentro y fuera de C sonlamisma.Aspues,lospuntossingularesan,apesardeestardensamentedistribuidossobreC, noimpidenalaserie n=NAnzanconvergerenunacantidad no numerable de puntos C, es decir, en los puntos de interseccion deC con los arcos((buenos)) que van de u1 a u2. Este resultado indudablementeanimo a Borel a continuar investigando la naturaleza del conjunto de puntosdeconvergenciadeestasseriesytambienadesarrollar, enconexionconesto, la idea mencionada anteriormente acerca de como medir un conjuntonumerable.Durante el curso academico 1896-1897 tuvo Borel el privilegio de impartirun curso de lecciones acerca de sus nuevos resultados en su alma mater, laEcole Normale Superieure en Pars. Es probable que Lebesgue siguiera estaslecciones, porque fue alumno de la Ecole desde 1894 a 1897. Como resultadode la aceptacion entusiasta que tuvieron estas lecciones, fueron publicadasen 1898 en forma de libro; son las Lecons sur la theorie des fonctions.Conobjetodeilustrarsusmetodosenelcasomassencilloposible,co-menzoBorel considerandoel casoanalogodel valor absolutodelaserief(z)en(6.1), peroestavezparaunavariablereal, esdecir n=1An|xan|,conAn> 0, n=1A1/2n< y {an}unsubconjuntodensode[0, 1].Paraestudiar la convergencia de la serie procedio de una manera muy parecida acomo haba hecho en su tesis. Cada punto an esta encerrado en un intervaloIn = (an un, an +un), dondeun = (1/2k)A1/2n. SiBk =

n=1Inentoncesparax Bkse tiene quex In, para todon, y por lo tanto |x an| uno, de manera equivalente,An|x an| Anun= 2kA1/2n(6.2)para todo n. Por lo tanto, la serie converge uniformemente sobre el conjunto[0, 1] Bk. El conjuntoBkconsiste en intervalos de longitud total

n=1l(In) =

n=1A1/2nk=Ak , dondeA =

n=1A1/2n(6.3)laprimeravezqueapareceelllamado((teoremadeHeine-Borel)).LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 34Ademas, siB =

n=1Bky siD representa el conjunto de los puntos en losque la serie no converge, entoncesD B, de manera queD se puede ence-rrar en intervalosBk = n=1Inde longitud total arbitrariamente peque nahaciendok sucientemente grande.Estos resultados y muchos otros igualmente fascinantes acerca de seriesdevariablecomplejaanalogas,cubrenlasegundapartedellibrodeBorel.La primera parte esta dedicada a desarrollar los conceptos conjuntistas y deteoradelamedidanecesariosparaformularlosresultadosdelasegundaparte, en lo que el consideraba como la forma adecuada. A este respecto lateoradelcontenidonoresultaparticularmente util;yaque {an}esdensoen [0, 1] y {an} D, tantoDcomo el conjunto de puntos de convergencia[0, 1] Dtienencontenidoexterior1ycontenidointerior0, sonindistin-guibles en terminos de su contenido y no son medibles. Por lo tanto Borelconsidero oportuno introducir una teora de la medida que distinguiera entreD y [0, 1] D asignandole al primero medida 0 y al segundo medida 1.Restringiendose a subconjuntos de [0, 1] Borel propuso en consecuencialas siguientes deniciones de medida y de medibilidad:Cuando un conjunto este formado por todos los puntos de una cantidadinnita numerable de intervalos que no se solapan y que tienen longitudtotals, entonces diremos que el conjunto tiene medidas. Cuando dosconjuntos no tienen puntos comunes y sus medidas son s y s

, entoncesel conjunto obtenido uniendolos, es decir, su suma, tendra medida s+s

.Deunamaneramasgeneral, si tenemosunainnidadnumerabledeconjuntos tales que dos a dos no tienen puntos comunes, y que tienenmedidas s1, s2, . . . , sn, . . . entonces su suma tiene medida s1+s2+ +sn + .Todo esto es una consecuencia de la denicion de medida. He aqu ahoraalgunas nuevas deniciones: si un conjunto E tiene medida s y contienetodos los puntos de otro conjunto E de medida s

, entonces el conjuntoE E

diremos que tiene medidas s

. . .Los conjuntos para los cuales se puede denir una medida en virtud delas deniciones precedentes, los denominaremos conjuntos medibles. . .Borel nonosdaningunaelaboracionni aclaracionadicional; suspala-bras han debido parecer mas un enigma que una denicion, pero un lectorLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 35familiarizadoconelanalisisrealmodernonotendraningunadicultadendetectar el concepto de conjunto de Borel4.El caracter especial de esta denicion de Borel vena a reejar una acti-tud losoca que mas tarde formulo explcitamente: sus conjuntos mediblesseranlos quesepudieranconstruir apartir delos intervalos, aplicando((repetidamente)) las operaciones de union y de diferencia de conjuntos. Losconjuntos medibles de Jordan no vienen denidos de esta manera construc-tiva((de abajo arriba)), y en consecuencia Borel consideraba que las deni-ciones de Jordan eran mas generales que la suya propia, y sugera ademasque las deniciones discrepantes reejaban unicamente los tipos de proble-mas completamente distintos a los que se aplicaban; aparentemente Borel nisiquiera imagino las posibles aplicaciones de sus ideas sobre la teora de lamedida a la teora de integracion.Habaa ununapeque nadicultadqueBoreltenaqueresolver,acercade su denicion: el conjuntoD de los puntos donde su serie no converge esun subconjunto de un conjunto medible de Borel B, de medida cero, pero dela clasicacion de Borel no se deduce que el mismo conjuntoD sea mediblede Borel. A causa de esta situacion tuvo que adoptar el siguiente convenio:si un conjuntoEesta((encajado)) entre dos conjuntos medibles de Borel demedidas respectivasa yb, cona b, entonces convendremos en decir quela medida deEes a y b, sin preocuparnos de siEes o no medible deBorel. Como el conjunto en cuestion D esta((encajado)) obviamente entre elconjunto vaco y el conjuntoB, los cuales tienen medida cero, entonces envirtud de este convenio de Borel tambien se le atribuye a D la medida cero,y as puede concluir Borel al n que su serie converge en todoslospuntosdel intervalo [0, 1] excepto sobre un conjunto de medida cero.Paracualquieraconmenosescr upuloslosocos, unareaccionnaturalante el convenio de Borel sera: por que no imitar sencillamente la teora delcontenido, y denir un conjunto como de medida cero si se puede encerraren una cantidad numerable de intervalos de longitud total arbitrariamentepeque na? Entonces D tendra automaticamente medida cero! Esto es exac-tamente lo que hizo Lebesgue para obtener su generalizacion de los conceptos4UnconjuntodeBorelera,pues,paraBorel,algoascomoesto:unconjuntomediblede Borel construidorealizandounacantidadnumerable de uniones e intersecciones deintervalos(odeconjuntosdeBorelconstruidospreviamente).LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 36de medida y medibilidad de Jordan. De hecho, como se nalaba Lebesgue mis-mo, los conjuntos a los que se les asigna una medida denida por el conveniode Borel, es decir, aquellos conjuntos encajados entre dos conjuntos de Borelde la misma medida, son precisamente los conjuntos medibles de Lebesgue.En otras palabras, escondidos tras el convenio de Borel, introducido mas omenos como un mal necesario, estan los conjuntos medibles de Lebesgue. Ylo que hace el asunto todava mas interesante es el hecho ironico de que elconjuntoD de puntos de no convergencia es en realidad un conjunto medi-ble de Borel: el sugestivo convenio de Borel era, despues de todo, realmenteinnecesario!UnavezqueBorelintrodujosusnuevasideassobrelamedidadecon-juntos, erayaunacosainevitablequeotrosmatematicosterminaranporcombinarlasconel planteamientodeJordanparaproducirlateoradelamedida de Lebesgue. Considerando unicamente conjuntos E [0, 1], Lebes-gue proceda en su tesis doctoral de la manera siguiente: sea me(E) el nmodel conjunto den umeros nl(In); esta esla denicion usual dece(E) ex-cepto que ahora permitimos que el n umero de intervalos sea innito. Comoci(E)=1 ce(E

), dondeE

=[0, 1] E, tenemosunadenicionanalo-gademedidainteriormi(E)=1 me(E

).Deestasdenicionessesiguefacilmente queci(E) mi(E) me(E) ce(E) (6.4)LosconjuntosmediblesdeLebesgueseranaquellosconjuntosEtalesquemi(E)=me(E)ylaanteriorcadenadedesigualdadesmuestraquetodoconjunto medible de Jordan es medible de Lebesgue, y para estos conjuntosse tiene que c(E) = m(E); as pues, la teora de la medida de Lebesgue es unageneralizacion de la de Jordan. Ademas, los conjuntos medibles de Lebesguecumplen las propiedades exigidas por Borel en su denicion; por ejemplo, siE= n=1En,ytodoslosEnsonmediblesdeLebesgueydisjuntosdosados, es decir, tales queEiEj = para todoi = j, entoncesE tambien esmedible y se verica quem(E) =

n=1m(En).Otras deniciones equivalentes de medida y medibilidad fueron publica-das independientemente por G. Vitali (1904) y por W. H. Young (1905). Esmuyprobablequelanuevateoradelamedidaenprincipionointeresaseamuchosmatematicos,especialmenteaaquellosqueeranjovenesduranteLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 37las decadas de los a nos 1870 y 1880 cuando la teora de integracion de Rie-mannparecadeunageneralidaddenitivayunecodelfuturo.El ((vacogeneracional)) al que me reero resulta evidente en el tratamiento de la obrade Borel por Arthur Schonies; Schonies tena 22 a nos en 1875, el a no enque nacieron Vitali y Lebesgue (Young era 12 a nos mas viejo, pero inicio sucarrera matematica a los 34 a nos). Schonies fue comisionado por la Unionde Matematicos Alemanes para escribir un informe sobre la teora de con-juntos, gruesoinformedel tama nodeunverdaderolibroqueaparecioen1900;setratabaenrealidaddelprimertextoomonografasobrelateorade conjuntos de puntos y sus aplicaciones.Cuando Schonies llego a escribir la seccion relativa a la medida de con-juntos, hizo notar que en realidad se haban desarrollado mas de una teora,y que, como siempre en lo que se reere a las deniciones matematicas, tam-bien las deniciones de medida eran en cierto modo subjetivas, y tendranqueserjuzgadasporelgradoenqueseadaptasensusconsecuenciasalosobjetivos perseguidos con su introduccion. A este respecto, Schonies estabaconvencido de que la denicion de Borel no era la adecuada; para poner uncaso, el contenido de un conjunto E es el mismo que el de EE

: Schoniesaceptabacomorazonableestapropiedaddel contenidoyse nalabaquelamedidadeBorel nolatiene. Porotraparte, el hechodequeunconjuntodensopuedatenermedidadeBorel cerolegustabatanpocoaSchoniescomo a Harnack.El rechazoporpartedeSchoniesdel tipodemedidapropuestoporBorel, sereejabienensutratamientodelostrabajosdeBorel sobrelaserie n=1An/|x an| quehemosvistomasarriba. SchoniesadmirabalosresultadosdeBorel, peroevitaaqu el caracterizarlosenterminosdelamedidadeBorel. AntesdellegaraestepuntohabahechoSchoniesel convenio de que la palabra((contenido)) se aplicara exclusivamente parareferirseal contenidoexterior, yaque((enlasaplicacionesloqueinteresaes siempre este contenido exterior)); en consecuencia hace notar que la serieconsiderada converge sobre un conjunto de contenido exterior 1. En lugar delresultado de que el conjunto D de puntos de no convergencia esta contenidoenB, que es un conjunto de medida de Borel cero, Schonies insiste en elLosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 38gran tama no deB, puesto que[0, 1] B = [0, 1]

k=1Bk =_k=1([0, 1] Bk) (6.5)y cada uno de los conjuntos ([0, 1] Bk) es diseminado (debido a que {an}es denso). As pues, ([0, 1] B) es una union numerable de conjuntos dise-minados, esdecir, un((conjuntodeprimeracategora)), enlaterminologaque haba introducido Baire en su tesis doctoral. Baire demostraba que [0, 1]noesdeprimeracategora,luegotampocolopuedeserB,siendopuesdesegunda categora como [0, 1].7. ConclusionAl insistir en el gran tama no del conjuntoB, Schonies pareca sugerirqueBnodebaserconsideradocomodespreciabledesdeel puntodevis-tadelamedida,yquecualquierdenicionquecondujeseatalconclusionserainadecuada,yhabaotrossindudaquecompartanestaopinion.Enrealidad ya hemos visto que la idea de que un conjunto denso pudiera tenermedida cero era incompatible con el planteamiento de la teora de la medidaadoptadoporHarnack, Cantoryotrosmuchosmatematicos, ydefendidoporSchonies. LaobradeLebesguevinorealmenteazanjarlacuestionacercadeladenicionmasadecuadademedida, mostrandodepasoqueunamedidadeltipodeladeBorelesnecesaria,unmalnecesario,quizas,pero necesario a n de cuentas. Es decir, la denicion de la integral que seobtiene a partir de la generalizacion de Lebesgue de la teora de la medidadeJordan(explicadaal comienzodelaseccion5)sevelibredelamayorpartedelosinconvenientesquetenalaintegral deRiemann, incluyendolosquehemosdiscutidoenlaseccion4.As,porejemplo,sitenemosunasucesion uniformemente acotada de funciones fn(x) integrables en el sentidode Lebesgue, que converge a la funcionf(x), para todox [a, b], entoncesf(x) tambien es integrable en el sentido de Lebesgue y se tiene que_baf(x) dx =lmn_bafn(x) dx (7.1)LosOrgenesdelasTeorasdeIntegracionModernas. T.Hawkins 39y as la funcionf(x) tiene una derivada acotadaf

(x) sobre [a, b], entoncesf

(x) siempre es integrable seg un Lebesgue y se verica_baf

(x) dx = f(b) f(a) (7.2)El exito mas notable de Lebesgue fue el descubrimiento de que su gene-ralizacion de la integral tiene estas y otras muchas propiedades importantes.Al crear su teora de integracion Lebesgue consiguio conrmar de hecho lacreenciaintuitivadeFourierdequelas ((funcionesarbitrarias))noquedanfuera del marco general del analisis matematico.Del Calculo a la Teora de ConjuntosAlianza Universidad (1980), paginas 194-234Gratann-Guiness (editor)