Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA EKONOMI
Sanksi Pelanggaran Pasal 72 Undang-undang Nomor 19 Tahun 2002 Perubahan atas Undang-undang Nomor 7 Tahun 1987 Perubahan atas Undang-undang Nomor 6 Tahun 1982 Tentang Hak Cipta 1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan
perbuatan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 2 ayat (1) atau Pasal 49 ayat (1) dan ayat (2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp. 1.000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).
2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud dalam ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
Sri Subanti
MATEMATIKA EKONOMI
SEBELAS MARET UNIVERSITY PRESS
Perpustakaan Nasional : Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Sri Subanti
Matematika Ekonomi. Cetakan ke-1 . Surakarta . UNS Press . 2015
viii + 132 Hal; 16 x 24.5 cm
MATEMATIKA EKONOMI.
Hak Cipta @ Sri Subanti. 2015
Penulis
Dr. Sri Subanti, M.Si.
Editor
Arif Rahman Hakim, S.E., M.SE.
Dwi Setiawan
Ilustrasi Sampul
UNS PRESS
Penerbit
Penerbitan dan Pencetakan UNS
Jl. Ir. Sutami 36 A Surakarta, Jawa Tengah, Indonesia 57126
Telp. 0271-646994 Psw. 341 Fax. 0271-7890628
Website : www.unspress.uns.ac.id
Email : [email protected]
Cetakan 1, Edisi I, Agustus 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
All Right Reserved
ISBN 978-979-498-999-9
v
KATA PENGANTAR
Tidak ada kata yang paling baik dan indah kecuali mengucap syukur Alhamdulillahirabil-alamin kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
nikmat, rahmat dan karunia-Nya, akhirnya penulisan buku Matematika
Ekonomi ini dapat terselesaikan.
Penulis menyadari bahwa penulisan buku Matematika Ekonomi
ini tidak terlepas dari peran dan dukungan berbagai pihak di Prodi
Statistika dan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sebelas Maret. Pada kesempatan ini penulis menyam-
paikan ucapan terima kasih kepada:
1. Suami tercinta Drs. H.A. Jazuli atas kerelaan, kesabaran dan
kesetiaannya hidup bersamaku, yang membimbing untuk menjadi
lebih sabar, lebih baik, dan lebih bijak.
2. Kedua anakku Arif Rahman Hakim, SE., M.SE dan Inaki Maulida
Hakim, ST, MT yang telah bersedia untuk mengorbankan banyak hal
untuk mamah, dan memberikan kebahagiaan yang tiada taranya, serta
kalian berdua juga membantu penyelesaian buku ini, terima kasih ya
sayaang untuk kedua anak mamah.
3. Kedua menantuku dr. Riski Prihatningtias, SpM dan Anwar Efendy,
ST yang telah memberi dukungan dan motivasi serta yang menyejuk-
kan hati mamah dalam segala hal.
4. Para mahasiswa yang telah membantu pengetikan penulisan buku ini.
Terima kasih kepada pihak lain yang terlibat langsung maupun tidak
langsung yang juga membantu tetapi tidak disebutkan di sini atas
bantuannya, sehingga buku ini dapat selesai. Akhirnya kepada semua
pihak yang berhubungan dengan penulisan buku Matematika Ekonomi
apabila selama ini ada banyak hal yang tidak berkenan, penulis mohon
maaf. Kiranya buku Matematika Ekonomi ini masih banyak kekurangan,
penulis menerima kritik dan saran demi kesempurnaan buku ini. Semoga
Allah SWT selalu meridhloi kita untuk menjadi makhlukNya yang pandai
bersyukur. Amin
Surakarta, Agustus 2015
Penulis
Dr. Sri Subanti, M.Si
vi
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...................................................................... v
DAFTAR ISI .................................................................................. vi
DAFTAR GAMBAR ........................................................................ viii
BAB I. HIMPUNAN ................................................................ 1
A. Pengertian Himpunan .............................................. 1
B. Macam-macam Himpunan ...................................... 1
C. Relasi Antar Himpunan ............................................ 2
D. Operasi Himpunan .................................................. 3
E. Sifat-sifat Operasi Antar Himpunan ......................... 3
BAB II. FUNGSI LINIER DAN FUNGSI NON LINIER .......... 5
A. Pengertian Fungsi .................................................... 5
B. Penggolongan Fungsi .............................................. 5
C. Fungsi Eksponensial dan Logaritma ....................... 7
D. Fungsi Linier ........................................................... 9
E. Fungsi Linier Dalam Ekonomi ................................ 10
F. Perpajakan ............................................................... 10
G. Fungsi Non Linier ................................................... 14
H. Fungsi Kuadrat dalam Ekonomi ............................... 16
Contoh-Contoh Soal 16
BAB III. APLIKASI FUNGSI DALAM EKONOMI ................. 29
A. Fungsi dan Curve Permintaan (Demand) ................. 29
B. Fungsi Curve Penawaran (Supply) .......................... 30
C. Keseimbangan Pasar (Market Equilibrium) ............ 31
D. Subsidi ...................................................................... 33
E. Monopoli dan Pengaruh Pajak ................................. 36
vii
BAB IV. DIFERENSIAL DAN INTEGRAL .............................. 37
A. Diferensial ............................................................... 37
B. Integral .................................................................... 47
BAB V. PENERAPAN GRAFIK DAN PERSAMAAN
DALAM ILMU EKONOMI ........................................ 51
A. Teori Permintaan ..................................................... 51
B. Teori Utiliti ............................................................... 54
C. Efek Substitusi dan Efek Pendapatan ...................... 62
D. Permintaan Pasar dan Elastisitas Permintaan .......... 67
E. Permintaan Pariwisata ............................................. 70
BAB VI. APLIKASI DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
DALAM EKONOMI ................................................... 79
A. Konsep Elastisitas ................................................... 79
B. Elastisitas Parsiil ..................................................... 84
C. Curve Biaya ............................................................. 85
D. Hasil Penerimaan Penjualan (Revenue) ................... 92
E. Keseimbangan dari Suatu Perusahaan dalam Pasar
Persaingan Murni ..................................................... 94
F. Laba Maksimal pada Monopoli................................ 96
BAB VII. ALJABAR DAN MATRIKS ....................................... 107
A. Matriks dan Vektor ................................................. 107
B. Model Linier dengan Pendekatan Matriks .............. 114
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................... 132
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 5.1. Kurva Permintaan ................................................... 53
Gambar 5.2. Efek Subsitusi dan Efek Pendapatan Untuk Barang
Normal ..................................................................... 63
Gambar 5.3. Kurva Compensated Demand dan Uncompensated
Demand ................................................................... 65
Gambar 5.4. Kurva Permintaan Pasar .......................................... 68
Gambar 5.5. Konsumsi Pariwisata dan Barang Lain ................... 70
Gambar 5.6. Pengaruh Perubahan Pendapatan dalam Konsumsi
Pariwisata ................................................................. 74
Gambar 5.7. Pengaruh Perubahan Harga dalam Konsumsi
Pariwisata ................................................................. 75
Gambar 5.8. Efek Pendapatan dan Efek Substitusi pada
Permintaan Pariwisata .............................................. 76
Matematika Ekonomi
1
BAB I
HIMPUNAN
A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah sekumpulan objek-objek (benda-benda real atau
abstrak) yang didefinisikan dengan jelas. Himpunan biasanya dinyatakan
dalam huruf kapital; ,...,, CBA atau ditandai oleh dua kurung kurawal,
{...} . Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf
kecil ; ,....,, cba
Jika x anggota himpunan ,A maka ditulis .Ax
Jika y bukan anggota himpunan ,B maka ditulis .By
Banyaknya anggota himpunan ,A ditulis )(An .
B. Macam-Macam Himpunan
Macam-macam Himpunan adalah sebagai berikut.
1. Himpunan kosong
Himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis dengan
simbol atau {}.
2. Himpunan semesta
Himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan,
biasanya ditulis dengan simbol .S
Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Asli: ,...}3,2,1{N
Himpunan Bilangan Cacah: ,...}3,2,1,0{C
Himpunan Bilangan Bulat: ,...}1,0,1{...,Z
Matematika Ekonomi
2
Himpunan Bilangan Rasional: }0,,:{ qZqpq
pQ
Himpunan Bilangan Real : R
3. Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga (infinite)
Himpunan terhingga (finite) adalah himpunan yang banyak anggota-
nya terhingga, yaitu himpunan kosong atau himpunan yang mempunyai n
elemen.
Contoh:
},,,{ dcbaA
{}B
Himpunan tak terhingga (infinite atau denumerable) adalah
himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli, yaitu
himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.
Contohnya seperti Himpunan bilangan genap, himpunan bilangan
ganjil, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan
sebagainya.
4. Himpunan Terhitung (countable) dan Tak Terhitung (uncountable)
Himpunan Terhitung adalah himpunan terhingga atau denumerable.
Contohnya:
Misalnya,
}4,3,2,1{A
ganjilbilanganhimpunanB
5. Himpunan Tak Terhitung adalah himpunan yang tidak terhitung.
Contohnya: realbilanganhimpunanR
C. Relasi Antar Himpunan
1. Himpunan equivalen
Dua himpunan yang memiliki banyak anggota yang sama. Jika A
equivalen ,B maka dinotasikan dengan .~ BA
Matematika Ekonomi
3
2. Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika
setiap anggota A termasuk anggota ,B dinotasikan dengan .BA
3. Himpunan Kuasa
Himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari
suatu himpunan.
D. Operasi Himpunan
1. Irisan
} :{ BxdanAxxBA
2. Gabungan
} :{ BxatauAxxBA
3. Penjumlahan
)}(,,:{ BAxBxAxxbA
4. Pengurangan
},:{\ BxAxxBABA
5. Komplemen
},:{ SxAxxAc
E. Sifat-Sifat Operasi Antar Himpunan
1. Sifat komutatif
ABBA
ABBA
2. Sifat asosiatif
CBACBA )()(
CBACBA )()(
Matematika Ekonomi
4
3. Sifat distributif
)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
4. Sifat Komplemen
, cAA
,SAA c
,)( AA cc
cS
ccc BABA )(
ccc BABA )(
Matematika Ekonomi
5
BAB II
FUNGSI LINIER
DAN FUNGSI NON LINIER
A. Pengertian Fungsi
Jika ada suatu hubungan sedemikian hingga bila x diberikan suatu
nilai dan oleh hubungan itu dapat ditentukan suatu nilai y, maka
dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x biasanya ditulis )(xfy .
x disebut variabel bebas (Independent variabel) dan y disebut dengan
variabel tak bebas (dependent variabel). y variabel tak bebas sebab
nilainya bergantung pada nilai x.
Himpunan yang dapat dijangkau oleh x dinamakan daerah asal
(domain) dari fungsi dan himpunan bilangan yang dapat dijangkau
disebut daerah hasil (range) atau daerah jangkauan dari fungsi. Dalam hal
ini x dan y merupakan pasangan urut ),( yx dimana x sebagai unsur
pertama dan y sebagai unsur kedua.
B. Penggolongan Fungsi
Fungsi dapat digolongkan menjadi beberapa macam (tergantung dari
sudut pandangnya):
1. Fungsi dilihat dari letak x dan y di dalam suatu persamaan.
Dibagi menjadi:
a. Fungsi Explisit, bila letak x dan y tak seruas, contoh: bay .
b. Fungsi Implisit, bila letak x dan y seruas, contoh: axy .
Pada umumnya setiap fungsi Explisit dapat dirubah menjadi fungsi
implisit, tetapi tidak seluruhnya fungsi implisit dapat dirubah ke bentuk
fungsi Explisit.
Matematika Ekonomi
6
Contoh:
13 xy -----------> fungsi Impisit. Dapat ditulis 13 xy atau
013 xy -----------> fungsi Implisit, tetapi pandang fungsi
3)sin( xy ------> fungsi implisit. Apakah dapat dirubah menjadi fungsi
eksplisit?
2. Dilihat dari derajat pangkat x.
Dibagi menjadi:
a. Fungsi linier/pangkat satu, bila x berpangkat satu.
Bentuk umum: 0 , mnmxy .
b. Fungsi kuadrat, bila x berpangkat dua.
Bentuk umum: 0 ,2 acbxaxy .
c. Fungsi pangkat tinggi, bila x berpangkat lebih dari tiga.
Bentuk umum: 0
1
1 .... axaxay n
n
n
n
01,..., ,0 aaa nn (konstanta), .3n
3. Dilihat dari operasi fungsi
Fungsi digolongkan menjadi dua:
a. Fungsi Aljabar
Fungsi aljabar digolongkan menjadi:
1) Fungsi Rasional
a) Fungsi rasional bulat
Bentuk umum: n
nxaxaay ...10
naaa ,...,, 10 (konstanta) 0n
b) Fungsi Rasional Pecah
Bentuk umum: n
n
n
n
xaxbb
xaxaay
...
...
10
10
2) Fungsi Irrasional
Bentuk umum: m
mxaxaay ...10 , m bilangan riil.
b. Fungsi Transeden
Fungsi transeden dibagi menjadi dua:
Matematika Ekonomi
7
1) Fungsi Exponen: Bentuk umum: ,xby
2) Fungsi Logaritma: misal: ,loglog axy
3) Fungsi Trigonometri: misal: ,cos2sin xxy
4) Fungsi Hyperbolik: misal: xyxy tanarc,cos arc .
C. Fungsi Eksponensial dan Logaritma
1. Fungsi Eksponensial
Eksponen (exponent) berarti indikator pangkat dimana suatu
variabel harus dipangkatkan, dimana eksponennya berupa konstanta.
Dalam bentuk sederhana, fungsi eksponensial dapat digambarkan dalam
bentuk :
( ) ,( 1)ty f t b b
Dimana y adalah variabel tidak bebas, t adalah variabel bebas, dan
b menunjukkan basis (base) eksponen yang tetap.
Jika fungsi eksponensial menggunakan basis berupa bilangan
irrasional e = 2,718. Fungsi eksponensial seperti ini disebut fungsi
eksponensial natural. Contohnya antara lain: ty e ,
3ty e , dan
rty Ae .
2. Fungsi Logaritma
Bila ada angka 4 dan 16, kedua angka ini dapat dihubungkan oleh
persamaan 24 16 . Jika didefinisikan eksponen 2 sebagai logaritma dari
16 dengan bilangan poko 4, maka dapat ditulis :
4log 16 2
Logaritma adalah pangkat dari bilangan pokok (4) yang harus
dipangkatkan untuk menghasilkan suatu bilangan (16).
logt
by b t y
logb yb y
Proses pencarian logaritma logb y disebut sebagai mengambil log y
ke dalam bilangan pokok b. Proses sebaliknya, yaitu mencari y dari nilai
logaritma logb y yang diketahui, disebut sebagai mengambil antilog dari
logb y .
Matematika Ekonomi
8
Logaritma ada dua (2) jenis yaitu logaritma biasa dan logaritma
natural. Logaritma dengan bilangan pokok 10 disebut logaritma biasa.
Contohnya, 10 10log 1000 3,log 100 2, dan
10log 10 1 . Logaritma dengan
bilangan pokok 2,718e disebut logaritma natural. Logaritma natural
disimbolkan loge atau ln (untuk log natural). Contohnya:
3logIn 33 ee e 2logIn 22 ee e dan 1 1ln log 1ee e . Logaritma
natural, hubungannya dapat ditulis sebagai berikut :
logt
ey e t y (atau t = ln y)
a. Aturan-aturan Logaritma
1) Aturan 1 (log hasil kali)
ln( ) ln ln ,( , 0)uv u v u v
Contoh : 6 4 6 4ln( ) ln ln 6 4 10e e e e
7 7ln( ) ln ln ln 7Ae A e A
2) Aturan 2 (log pecahan)
ln( / ) ln ln ,( , 0)u v u v u v
Contoh : 2 2ln( / ) ln ln 2 lne c e c c
2 5 2 5ln( / ) ln ln 2 5 3e e e e
3) Aturan 3 (log pangkat)
ln ln ,( 0)au a u u
Contoh : 15ln 15ln 15e e
3ln 3lnA A
4) Aturan 4 (konversi bilangan pokok log)
log (log )(log ),( 0)b b eu e u u
Contoh : 4(log )(log 64)ee =3
5) Aturan 5 (pembalikan bilangan pokok log)
log 1/(log )b ee b
Contoh : 5log 1/(log 5) 1/ ln5ee
Matematika Ekonomi
9
b. Fungsi Logaritma
Bila suatu variabel dinyatakan sebagai fungsi logaritma dari
variabel lainnya, maka fungsi tersebut disebut sebagai fungsi
logaritma. Dimana fungsi log merupakan fungsi invers dari
fungsi eksponensial tertentu.
logbt y dan log ( ln )et y y
D. Fungsi Linier
1. Bentuk-bentuknya:
Bentuk umum: ,nmxy
m = gradien = koefisien arah,
n = penggal garis pada sumbu y bila nilai x = 0.
Dari bentuk umum ini, fungsi linier di atas dapat dimodifikasi dari
fungsi tersebut sebagai berikut.
a. )( 11 xxmyy
Adalah fungsi linier yang mempunyai koefisien arah m dan
melalui satu titik ).,( 11 yx
b. 12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
Adalah fungsi linier antara yang melalui dua titik yaitu: ),( 11 yx
dan ).,( 22 yx
2. Hubungan antara dua fungsi linier.
Pada umumnya hubungan antara dua fungsi linier dapat diklasifi-
kasikan sebagai berikut.
Bentuk pers garis Syarat dua garis berpotongan
Berpotongan Tegak lurus Sejajar
111 nxmg
222 nxmg
21 mm
21 nn
1. 21 mm
21 nn
21 mm
21 nn
0111 CyBAxg
02221 CyBxAg 2
2
2
1
B
A
B
A
2
2
1
1
B
C
B
C
1.2
2
2
1 B
A
B
A
2
2
1
1
B
C
B
C
2
2
2
1
B
A
B
A
2
2
1
1
B
C
B
C
Matematika Ekonomi
10
E. Fungsi Linier Dalam Ekonomi
Pengertian mengenai fungsi linier penting dalam ekonomi, baik
dalam ekonomi mikro maupun ekonomi makro, ekonomi moneter dan
bagian-bagian dalam teori tersebut.
Contoh-contoh yang dapat dikategorikan di sini antara lain:
1. Dalam ekonomi mikro antara lain:
a. Fungsi permintaan: misal D ,220 pQ
b. Fungsi penawaran: misal S ,210 pQ
c. Fungsi-fungsi marginal: misalkan: ..5 ;2025 pMCMR
2. Dalam ekonomi makro dan moneter antara lain:
a. Fungsi konsumsi: misal yC 75,0100 ,
b. Fungsi Investasi: misal iI 20001350 ,
c. Fungsi permintaan untuk transaksi, misal iyM t 2000.25,0 ,
d. Fungsi permintaan untuk spekulasi, misal iM s 20001250 ,
e. Fungsi IM, misal .30001350 iY
dan masih banyak lagi contoh-contoh penggunaannya.
Aplikasi teori mengenai hubungan antara dua garis dapat dijumpai
dalam teori ekonomi. Sebagai contoh dalam kita membicarakan
keseimbangan pasar, disini dibicarakan garis berpotongan.
Contoh:
a. keseimbangan pasar permintaan (D) = penawaran (S),
b. keseimbangan pasar barang (di sektor rial), dimana I = S,
c. keseimbangan pasar uang Md = Ms (permintaan = penawaran uang).
F. Perpajakan
Ini merupakan contoh penggunaan hubungan antara dua garis, baik
berpotongan maupu sejajar. Dalam teori ekonomi, dikenal beberapa
istilah pajak, namun dalam buku ini titik fokus pembicaraan hanya pada
pajak per unit dan pajak yang proporsional terhadap harga.
Matematika Ekonomi
11
Kedua jenis pajka tersebut akan mempengaruhi harga melalui
penawaran. Sebagai ilustrasi, penjualan rokok, beras, tekstil, buku adalah
beberapa contoh dimana pajak semacam ini. Penjual sebagai wajib pajak,
dengan syarat-syarat tertentu si penjuai ini akan menggeserkan beban
pajak kepada pihak lain dalam hal ini pembeli. Golongan pajak semacam
ini disebut si wajib pajak tak langsung.
1. Pajak Per Unit
Andaikan penawaran ).0dan 0( , babPaQS
Pemerintah mengenakan pajak per unit = t, berarti harga
baru .* mpp
PQabPbPaQ Qbb
a
1
Jadi, tQbb
aP
1*
)(
*
tPbaQ
btbPaQbtQabP
Fungsi penawaran setelah pajak bila digambarkan:
P Q *Q
0 A bta
)/( ba 0 -
tba )/( - 0
Q
P Q*=a+b(p-t)
Q=a+bp
(0,-(a/b) +t ) (0, -(a/b))
0
Matematika Ekonomi
12
2. Pajak Proporsional terhadap Harga
Ada dua macam:
a. Pajak yang proporsional terhadap harga lama
Dalam aplikasi dikenal dengan pajak yang proporsional terhadap
harga. Andaikan persamaan mengenakan pajak proporsional t%
terhadap harga, penyelesaian:
bPaQ
Qbb
aP
1
Setelah pajak:
PtPP *** (Harga setelah pajak)
Q
b
a
b
atlPPtiP *)()*(**
)*)((** QatlbP
)(**
*QaP
tl
b
***
** Ptl
baQ
(Penawaran setelah pajak)
Bila digambarkan:
P Q **Q
0 A A
)/( ba 0 -
*)1)(/( tba - 0
Matematika Ekonomi
13
b. Pajak yang proporsional terhadap harga baru
Andaikan penawaran : bPaQS
Pemerintah mengenaan pajak proporsional sebesar t% terhadap
harga yang baru.
Q
bb
aQbPaQ
1
***)(***
)()(
*********
bPtlaQ
QabPtlPtl
PtPPP
3. Penerimaan pemerintah dari pajak dan beban pajak yang ditanggung
oleh konsumen dan produsen.
Q
P Q**=a+ (b/(1+t*) P**)
Q=a+bp
(a,0)
(0, -(a/b))
B
Q
P
A
Q2
D
Q1
C P1
P2
P3
Q3
Q3
Matematika Ekonomi
14
Besar pajak yang diterima oleh pemerintah 3PGFAB
.22 TCQDEP Beban pajak yang ditanggung konsumen 12BCPP
dan beban pajak yang ditanggung oleh produsen 22BCPP . Gambarnya
sebagai berikut.
P Q ***Q
0 A A
)/( ba 0 -
)1)(/( tba - 0
Catatan:
- Pemberian ***P sebagai akibat pengaruh pajak hanya untuk
membedakan klasifikasi tersebut tetapi pengertian secara fungsional
tetap sebagai harga P.
- Untuk subsidi (S) cara sama dengan pajak yaitu tinggal mengganti t
dengan minus s.
F. Fungsi Non Linier
Persamaan derajat dua:
Bentuk umum, persamaan derajat dua dalam x dan y adalah :
Q
P Q***=a+ (b/(1+t*) P***)
Q=a+bp
(a,0)
(0, -(a/b))
(0, -(a/b)(1+t))
0
Matematika Ekonomi
15
,022 FEyCyBxyAx bila harga 0 FCB maka
diperoleh persamaan derajat dua daam x yang biasanya ditulis
.02 cbxax
Contoh-contoh persamaan derajat dua dalam x dan y antara lain:
1. rqypyxcbxaxyayxaxy 2222 ;;; (parabola).
2. 222 ryx (Lingkaran).
3. 122
b
y
a
x (Ellips).
4. 12
2
2
2
b
y
a
x (Hiperbola).
Dalam buku ini lebih ditekankan dalam fungsi kuadrat:
1. Bentuk umum:
a. 0atau 222 DCxByAycbxaxy
b. 0atau 222 SRyQyPxrqypyx
2. Hubungan antara fungsi kuadrat (parabola) dengan fungsi linier.
+bx+c +
bx+c
Berpotongan Bersinggungan Q
P
Q
P
Matematika Ekonomi
16
G. Fungsi Kuadrat dalam Ekonomi
Pada umumnya apa yang dicantumkan pada penggunaan fungsi
linier dalam ekonomi juga berlaku dalam kasus ini.
Misalnya
1. Fungsi Permintaan : 1022 PPQ
2. Fungsi Total Revence : 220 QQTR
3. Fungsi Marginal Cost : 2420 QQMC
Demikian juga penggunaan hubungan antara garis dengan parabola
dapat dijumpai pada waktu membicarakan masalah keseimbangan.
Namun demikian pula apabila kita telah mengenal derivatif, persoalan
yang berhubungan dengan fungsi kuadrat atau fungsi non linier lainnya
lebih mudah dipecahkan. Kasus mengenai fungsi non linier lebih banyak
dijumpai dalam pembicaraan pada bab derivatif (aplikasi derivatif dalam
ekonomi).
Contoh-Contoh Soal
1. Seorang bersedia membeli sejumlah barang “A” pada berbagai
tingkat harga, seperti tabel di bawah ini:
Harga/Unit Jumlah barang A yang dibeli
15 50
30 40
45 30
Pertanyaan:
a. Bagaimana persamaan permintaan akan barang tersebut.
b. Berapa jumlah barang yang akan dibeli oleh orang kalau harga
barang adalah Rp 42/unit.
c. Berapa harga barang tersebut harus dia bayar, kalau dia bersedia
membeli 22 unit (dengan anggapan orang tersebut adalah
pembeli tunggal).
Matematika Ekonomi
17
Jawab:
a. Misal harga = P
Jumlah barang = Q
Keadaan 1 : ---> P = 15 Q = 50
Keadaan 2 : ---> P = 30 Q = 40
Keadaan 3 : ---> P = 45 Q = 30
Diambil keadaan 1 dan 3, maka dengan menggunakan rumus:
12
1
12
1
PP
PP
1545
15
5030
50
PQ
)15(20)15(30 PQ
)15(20)15(30 PQ
3021503 PQ
18032 PP
902
3 QP
Persamaan permintaan barang A adalah :
902
3 QP
Dimana P adalah harga sedangkan Q adalah jumlah barang.
b. Kalau harga barang A adalah 42/unit maka P = 42 persamaan
permintaan adalah:
902
3 QP
Bila P = 42 maka
902
342 Q
482
3Q
32Q
Jadi bila harga = 42/unit, barang A yang akan dibeli adalah sebesar
Q = 32 unit.
Matematika Ekonomi
18
c. Bila orang yang bersangkutan hanya bersedia membeli 22 unit
(dengan anggapan ia adalah pembeli tunggal). Maka berarti
Q = 22.
Persamaan permintaan adalah:
902
3 QP
Jika Q = 22 maka persamaan permintaan menjadi:
90)22(2
3 QP
57P
Jadi jika jumlah barang yang dibeli hanya 22 unit maka harga
keseimbangan adalah P = 57/unit.
2. Diketahui: fungsi permintaan PQD 225:
Fungsi penawaran 2: PQD
Pertanyaan:
a. Harga dan kuantitas keseimbangan.
b. Bila kemudian dikenakan pajak 0,5 per unit; tentukan harga dan
kuantitas keseimbangan setelah pajak dan total pajak yang
diterima pemerintah.
c. Gambarkan keadaan di atas.
Jawab:
a. Keseimbangan terjadi bila SD
2225 PP
P327
93
29eP (harga keseimbangan)
2 PQ
729 eQ (kuantitas keseimbangan)
b. Dikenakan pajak t ----> 0,5
5,02)(2 PtPQQt
PQt 5,2
Matematika Ekonomi
19
Keseimbangan baru : tSD
PP 5,2225
P35,27
PP 5,2225
17,91EP (harga keseimbangan pajak)
17,7217,91
EQ (kuantitas keseimbangan setelah pajak)
585,317,75,0. xQtTX (total pajak yang diterima pemerintah)
c. Tabel
P Q Q
0 25 -2
5 15 3
diterimayangjumlahQd
ditawarkanyangjumlahQs
20 Qd/Qs
12,5
15 5
5
10
7,5
10
25
Q=25-
2P
3
Q=P-2,5
Q=P-2
E2
E1
Matematika Ekonomi
20
3. Diketahui:
Fungsi permintaan : QP 430
Fungsi penawaran : QP2
36
P = harga; Q = kuantitas.
Pemerintah memungut pajak penjualan sebesar 15% dari tingkat harga.
Pertanyaan:
a. Harga dan kuantitas keseimbangan sebelum pajak
b. Harga dan kuantitas keseimbangan sesudah pajak
c. Berapakah penerimaan pemerintah dari pajak
Jawab:
a. Sebelum pajak
QP 430
QP2
36
QO2
3424
7
15EQ
QO2
3424
7
36430
7
15430P
7
39EP
b. Sesudah pajak
Fungsi penawaran setelah pajak
)().( QftlP
Ql
3
26)15,0(
QQ 77,090,63
26)15,1(
Matematika Ekonomi
21
Syarat keseimbangan SD
QP 430
QP 77,090,6
QO 7,410,22
84,477,4
10,23EQ
64,10)48,4(430 P
c. Gambar sketsanya:
Besarnya pajak yang diterima pemerintah = ABCE
23,9)84,4(3
26 jadi ,84,4 DFQE
40,123,9%15pajak tingkat xDB
Luas ABDE = BD x AB = 4,84 x 1,40 = 6,776
Jadi besarnya pajak yang diterima pemerintah adalah 6,776.
4. Diketahui: bahwa pendapatan nasional yang dapat dibelanjakan
(national disposable incame) sebesar 80 milyar rupiah terjadi
dissaving (tabungan yang negatif atau kekurangan tabungan) sebesar
5 milyar rupiah. Apabila tingkat dissposible naik sebesar 50 milyar
rupiah maka tingkat tabungan nasional sebesar 12,5 milyar. Kalau
dianggap bahwa kurve konsumsi dan kurve tabungan adalah linier.
E
Q F
(4,84)
D
C
QS*(sesudah pajak)
QS(sebelum pajak)
B A
-9
Matematika Ekonomi
22
Pertanyaan:
a. Tentukan fungsi konsumsi dan tabungan.
b. Gambarkan fungsi tersebut.
c. Berapakah besarnya konsumsi terendah.
d. Berapakah besarnya tingkat nasional disposable incame kalau
tabungan = 0.
Jawab:
a. Misal fungsi tabungan : dbYaS , dengan S = tabungan dan
dY = pendapatan yang dapat dibelanjakan.
5 ,80 SYd
80.5 ba
ba 805 ....................................................................... (1)
25,050
5,12
5,12
50
Y
Sb
S
Y
Dimasukkan ke persamaan (1) menjadi :
25
20)25,0((805
a
aa
Fungsi tabungan : dYS 25,025
Fungsi konsumsi : )25,025( dYYSYC
dYC 75,025
b. Tabel
dY S C
0 -25 25
100 5 100
Matematika Ekonomi
23
c. Besarnya konsumsi terendah = 25 milyar, yaitu konsumsi pada
saat Y=0
d. 10025,02500 dd YYS
Pendapatan yang dapat dibelanjakan = 100 milyar.
5. Diketahui: fungsi tabungan S = 1/2Y – 100 dan investasi I = 200.
Pertanyaan:
a. Tentukan tingkat pendapatan keseimbangan jika S = I.
b. Gambarkan fungsifungsi tersebut.
Jawab:
2001002/1 , YIS
6003002/1 Y
100 Yd 75 25
50
50
75
100
25
C=25+0,75Yd
S=-25+0,25Yd
-25
C/S
600 500 Y 400 100
200
300 200
100
I=200
S=-100+1/2Y
-25
S/I
Matematika Ekonomi
24
6. Diketahui: YTIYC Xd 10,0;72;80,040
Pertanyaan:
a. Berapa tingkat pendapatan nasional dalam keseimbangan
b. Jika naik menjadi 86, berapakah tingkat, pendapatan nasional dan
konsumsi masyarakat.
Jawab:
72
28,0402,040
72,040
)9,0(80,040)10,0(80,040
I
YYYCYS
YC
YYYC
a. IS
11228,07228,040 YY
400Y
b. 86baruI
12628,08628,040 YY
450baruY
7. Pendapatan full employment ditentukan sebesar 600, tingkat
konsumsi masyarakat dYC 2,010 , Investasi = 60 pengeluaran
pemerintah = 35 dan penerimaan pemerintah dari pajak
dX YT 2,05 .
Pertanyaan:
a. Berapa tingkat pendapatan nasional keseimbangan.
b. Berapa tingkat konsumsi, investasi dan pajak pada tingkat
pendapatan tersebut.
c. Selidikilah pada tingkat pendapatan tersebut perekonomian
mengalami inflationary atau deflationary gap.
Jawab:
)(90,01090,010 Xd TYYC
)90,05(90,010)1,05(90,010 YYY
)81,05,410 Y (pada keseimbangan)
Matematika Ekonomi
25
a. 356081,05,5 YGICY
Y81,05,100
95,52819,0 Y
b. 4495,4285,5)25,5(81,05,5 C
9495,433C
)95,528(10,05,60 XTI
895,525
985,57XT
c. Y full employment = 600; Y keseimbangan = 528,95.
Y full employment > Y keseimbangan, jadi perekonomian
mengalami deflationary gap.
8. Diketahui: suatu perusahaan mendapat laba sebesar Rp 500,00 dari
penjualan sebanyak 700 unit tetapi harus mengeluarkan biaya tetap
Rp 2.000,00; harga penjualan per unit adalah sebesar Rp 20,00.
Pertanyaan:
a. Carilah fungsi ongkos, fungsi pendapatan total dan penjualan
pada keadaan BEP.
b. Manager berpendapat bahwa keuntungan dapat diperbesar
apabila harganya dinaikkan Rp 5,00. Benarkah pendapat itu bila
penjualan berkurang 150 unit? Berapa besarnya tambahan laba
atau rugi tersebut?
Jawab:
a. Pada penjualan sebanyak 700 unit terdapat laba Rp 500,00
TE = P.Q = P.700
Harga/unit = 20,00 TR = 20.700 = 14.000.
Profit ( laba) : = TR - TC
500 = 14.000 - TC TC = 13.500
Padahal diketahui, biaya tetap (FC) = Rp 2.000,00 TC = FC+VC
13.500 = 2.000 + VC VC = 11.500 (pada G = 700).
Ongkos variable per unit:
43,16700
500.11
Q
VC
Matematika Ekonomi
26
Fungsi total Cost
TC = 2000 + 16,43 Q & TR = 20,0
BEP = TR = TC
20 Q = 2000 + 16,43 QQ
3,57 Q = 2000
Q = 560,22
b. P naik dari Rp 20,00 menjadi Rp 25,00
Q turun dari 700 unit menjadi 550 unit
TR = P.Q (fungsi TR batu)
TR = 25.Q = 25 (550) = 13.750
TC = 2000 + 16,43(550) = 11.036,5
Laba: = TR – TC = 2.713,5 (laba baru)
Jadi terdapat kenaikan laba ( )
baru = 2.713,50
lama = 500
Kenaikan laba )( = Rp 2.213,50
9. Diketahui: Fungsi permintaan barang X oleh perusahaan P = 5-3Q,
biaya rata-rata untuk memproduksi barang tersebut besarnya =
( 5 / Q ) + 3 .
Pertanyaan:
a. Gambar kurve TR dan TC
b. Break Even Point (BEP) terjadi pada tingkat produksi dan harga
berapa
Jawab:
QP 315
2315).315(. QQQQQPTR
35
QAC
QQQ
ACT 35.35
Matematika Ekonomi
27
a. 2315 QQTR
- Titik potong dengan sumbu Q, terjadi bila TR = 0
23150 QQ
0)5(3 QQ
0,5 21 QQ
Titik potong dengan sumbu TR, terjadi bila Q = 0
0)0(3)0(15 2 TR
- Titik puncak A adalah:
a
D
a
bA
4,
2
4
318,
2
12A
QTC 35
Q TC
0
)3/2(1
5
0
Gambar sketsanya:
6 5 Q 4 1
18
3 2 -2
BEP
TC=5+3Q
BEP
TR/TC
3,53 2,5
-1 2/3
0,47
Matematika Ekonomi
28
BEP terjadi bila TCTR
22 3125035315 QQQQQ
6
17,912
6
601441212
Q
53,31 Q 47,02 Q
41,4)53,3(315315 1
2 PQP
59,13)47,0(3152 P
Matematika Ekonomi
29
BAB III
APLIKASI FUNGSI DALAM EKONOMI
A. Fungsi dan Curve Permintaan (Demand)
Demand adalah berbagai jumlah barang yang diminta pada berbagai
tingkat harga. Dalam hukum permintaan kita melihat bahwa besar
kecilnya jumlah barang yang diminta sangat tergantung pada barang
tersebut dengan catatan variabel yang lain tetap. Oleh karena itu dengan
pendapatan yang tetap apabila harga barang tersebut naik maka jumlah
barang yang diminta akan berkurang dan sebaliknya.
Secara ringkas dapat disimpulkan adanya pola hubungan dari jumlah
barang yang diminta dengan variable barang tersebut.
Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa bila harga turun dari P0 ke
P1 maka jumlah yang dimintanya akan bertambah dari x0 ke x1. Demikian
pula apabila harga naik dari P0 ke P1 maka jumlah yang diminta akan
berkurang dari x0 ke x1.
X
P
X2 X1
P2
X0
P0
P1
0
D
Matematika Ekonomi
30
Dari uraian di atas terlihat bahwa terdapat suatu pola hubungan
antara variabel kuantitas barang yang diminta dengan variabel harga
barang tersebut.
Hubungan antara kedua variabel tersebut dapat dinyatakan dalam
suatau formula yang disebut fungsi permintaan. Dan dinyatakan )(Pfx
dimana x : variabel kuantitas dan P: variabe harga.
Di dalam fungssi permintaan, variabel yang menentukan (independent
variabel) tidak harga barang saja, tetapi juga harga dan jumlah barang-
barang substitusi. Hubungan variabel tersebut dinyatakan sebagai:
,...),,( 432 xxxfx
Dimana: 1x : variabel kuantitas yang diminta
2x : variabel harga barang
3x : variabel kuantitas yang diminta akan barang substitusi
4x : harga barang substitusi
dan seterusnya.
Pola hubungan variabel yang diminta dengan variabel harga
berbentuk garis lurus yaitu fungsi linear, dan dapat berbentuk garis tidak
lurus yaitu fungsi non linear.
B. Fungsi dan Curve Penawaran (Supply) Supply adalah jumlah barang yang ditawarkan pada berbagai tingkat
harga. Dalam hukum penawaran kita melihat bahwa besar kecilnya
jumlah yang ditawarkan akan suatu barang tersebut, dengan catatan
faktor-faktor yang lain tetap.
Jika harga dari suatu barang naik, maka jumlah yang ditawarkan
akan barang tersebut bertambah karena produsen berusaha untuk
menggunakan kesempatan memperbesar keuntungannya, sebaliknya jika
harga barang itu turun maka jumlah yang ditawarkan akan berkurang
karena produsen berusaha mengurangi kerugiannya. Gambar kurve
penawaran suatu barang:
X
P
X2 X1
P2
X0
P0
P1
0
S
Matematika Ekonomi
31
Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa bila harga suatu barang
naik dari P0 ke P1 maka jumlah yang ditawarkan akan bertambah dari x0
ke x1. sebaliknya jika harga turun dari P0 ke P1 maka jumlah yang
ditawarkan akan berkurang.
Dari uraian di atas terlihat bahwa terdapat suatu pola hubungan dari
variabel kuantitas atau jumlah barang yang ditawarkan dengan variabel
harga barang tersebut.
Apabila pola hubungan tersebut dinyatakan dalam suatau formula
maka formula tersebut dinyatakan sebagai fungsi penawaran. Dan
dinyatakan )(Pfx dimana x : variabel kuantitas dan P : variabe harga.
Di dalam fungsi penawaran yang menentukan tidak satu, tetapi
dapat lebih dari satu maka hubungan variabel-variabel tersebut
dinyatakan sebagai:
,...),,( 4321 xxxfx
Dimana: 1x : variable kuantitas
2x : variabel harga
3x : biaya produksi
4x : kuantitas barang yang tersedia dari bahan bakunya
dan seterusnya.
Pola hubungan variabel kuantitas yang ditawarkan dengan variabel
harga berbentuk garis lurus yaitu fungsi linear, dan dapat berbentuk garis
tidak lurus yaitu fungsi non linear.
C. Keseimbangan Pasar (Market Equilibrium)
Yang dimaksud dengan “pasar” adalah pertemuan antara pembeli
(peminta) dan penjual (penawar) baik dalam pengertian langsung maupun
tidak (secara komunikatif). Sedangkan “harga pasar” adalah harga yang
terjadi pada titik keseimbanga pasar. Dan titik keseimbangan pasar adalah
titik pertemuan permintaan dan penawaran. Sehingga titik keseimbangan
pasar ditentukan oleh titik perpotongan antara curve permintaan dan
Curve penawaran.
Di dalam menentukan titik keseimbanagn pasar untuk suatu barang
atau jasa, perlu diperhatikan syarat-syarat yang perlu dipenuhinya.
Adapun syarat-syarat titik keseimbangan pasar adalah
Matematika Ekonomi
32
1. Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk nilai-nilai yang positif
2. Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk titik yang memenuhi
ketentuan bagi Curve permintaan dan Curve penawaran.
Atas dasar dua persyaratan tersebut maka tidak mungkin terdapat
dua titik keseimbangan pasar bagi Curve permintaan dan Curve
penawaran, walaupun mungkin terdapat dua titik potong dari fungsi
permintaan dan penawaran.
Grafik
Apabila melihat gambar di atas, maka titik A adalah titik
seimbangan pasar dan titik B bukan titik.
Contoh:
Curve permintaan barang tersebut dapat digambarkan dengan
mencari titik potong fungsi dengan sumbu x dan p.
122 : pxD
32 : pxS
Sehingga
32122 pp
154 p
4
33p
2
14x
Titik keseimbangan pasar
Bukan titik keseimbangan pasar
X
D
B
S
A
P
Matematika Ekonomi
33
Jadi, titik keseimbangan pasar pada E )4
33,
2
14( .
D. Subsidi
Subsidi merupakan bantuan yang diberikan pemerintah kepada
produsen/suplier terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkannya
sehingga harga yang berlaku di pasar adalah harga yang diinginkan
pemerintah.
Besarnya subsidi yang diberikan biasanya tetap untuk setiap unit
barang yang dihasilkan atau dipasarkan. Notasi besarnya subsidi untuk
tiap unit barang yang dihasilkan atau dipasarkan dinyatakan dengan S.
Oleh karena adanya subsidi, maka tingkat harga yang berlaku di
pasar lebih rendah. Hal ini disebabkan sebagian dari biaya-biaya untuk
produksi dan memasarkan barang tersebut ditanggung pemerintah yaitu
sebesar subsidi. Sehingga dengan adanya subsidi maka fungsi penawaran
akan turun atau bergeser ke bawah, sedangkan fungsi permintaan tetap.
Dengan adanya subsidi sebesar s maka tingkat harga yang ditawar-
kan oleh penjual (penawar) akan turun sebesar s untuk setiap tingkat/
jumlah/kualitas yang ditawarkan. Bila dilihat pengaruh subsidi sebesar s
ini, jika x adalah variabel kuantitas, p variabel harga maka fungsi
penawaran akan bergeser ke bawah sebesar s untuk setiap kuantitas yang
ditawarkan. Dalam bentuk fungsi penawaran sebelum subsidi adalah
)(xfp maka fungsi penawaran sesudah subsidi adalah sxfp )( .
(12,0) X 9 3
E
6
(0,6)
D: x = -2p + 12
S: x = 2p - 3
P
Matematika Ekonomi
34
Dalam bentuk umum yang lain dari fungsi penawaran )( pfx
maka fungsi penawaran sesudah subsidi dapat dirubah dari sxfp )(1
menjadi spxf 1)( . Dengan mensubstitusikan ke dalam bentuk fungsi
)( pfx , maka didapat fungsi penawaran sesudah subsidi menjadi
)(: 111 spfxs .
Contoh:
Diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah xp2
110 dan
fungsi penawaran xp 24 dimana x = variabel kuantitas dan p =
variabel harga. Bila terhadap barang tersebut diberikan subsidi sebesar
2s , maka :
1. Tentukan titik keseimbangan pasar sebelum subsidi
2. Tentukan keseimbangan pasar sesudah subsidi
3. Gambarkan grafik fungsi atau Curve permintaan dan penawaran
sebelum dan sesudah subsidi.
Penyelesaian:
1. Titik keseimbangan pasar sebelum subsidi:
xpD2
110 :
xpS 24 :
Sehingga
x242
110
E1 (X1,P1)
X
P S
E (X0,P0)
S1
X0
P1
X1
P0 D
Matematika Ekonomi
35
62
12 x
8,8
4,2
2
5
6
p
x
Jadi titik keseimbangan pasar sebelum subsidi E (2,4; 8,8).
2. Titik keseimbangan pasar setelah subsidi:
xpD2
110 :
xxsxpS 2222424 :
Sehingga
x222
110
4,8
2,3
2
5
8
82
12
p
x
x
Jadi titik keseimbangan pasar sebelum subsidi E (3,2; 8,4).
3. Curve
E
X
1
0
D
S1
S
E1
P
2
0
Matematika Ekonomi
36
E. Monopoli dan Pengaruh Pajak
Tujuan utama dalam monopoli adalah memperoleh laba yang
maksimal. Hal-hal yang berkaitan di dalam laba adalah harga dan
kuantitas yang dikehendaki. Tiga faktor dalam monopoli:
1. T.R (Total Revenue) : P.Q
2. Biaya (TC)
3. Laba maksimal (NR) dimana : NR = TR – TC
Syarat terjadinya laba yang maksimal:
MCMR
dQ
dTC
dQ
dTR
dQ
dTC
dQ
dTR
dQ
dTC
dQ
dTRNR
dQ
TCTRdNR
TCTRNR
NR
NR
0
'
)('
0''
0'
Dengan adanya pajak sebesar t/unit yang dikenakan terhadap barang
yang diproduksi oleh seorang pengusaha monopoli maka akan
menimbulkan seolah-olah biaya rata-rata per-unit meningkat sebesar p,
berarti biaya secara keseluruhan meningkat sebesar tQ.
Misal: pajak : t/unit, maka andaikan:
10AC (biaya rata-rata sebelum pajak)
tAC 101 (biaya rata-rata sesudah pajak)
QACTC .1
QtACTC ).(1
tQACQTC 1
Sehingga dirumuskan: tACAC 1
tQACQTC 1 atau tQTCTC 1
Matematika Ekonomi
37
BAB IV
DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
A. Diferensial
1. Pengertian Diferensial
Definisi
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat
variabel bebas, variabel tak bebas dan derivatif-derivatif dari variabel tak
bebas terhadap variabel bebas. Menurut banyaknya variabel bebas
persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu:
a. Persamaan diferensial biasa (jika terdapat 1 variabel bebas),
b. Persamaan diferensial parsial (jika terdapat lebih dari 1 variabel
bebas).
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Contoh 1.
Contoh 1.
a. 0 xydx
dy , dengan dx
dy derivatif dari variabel tak bebas y
terhadap variabel bebas x .
b. 02
2
ydy
dz
dx
zdx , dengan
2
2
dx
zd dan dy
dz derivatif dari variabel tak
bebas z terhadap variabel bebas x dan y .
2. Pengertian Diferensiabel
Suatu persamaan/fungsi dikatakan diferensiabel yaitu apabila fungsi/
persamaan tersebut dapat dicari/ditemukan turunannya. Suatu fungsi
dapat dikatakan memiliki suatu turunan/diferensial apabila nilai limit
))()(
(limax
afxfax
ada.
Matematika Ekonomi
38
3. Aturan Diferensiasi dan Penggunaannya dalam Statika Komparatif
Analisis statis komparatif, yaitu mencari tingkat perubahan, dapat
diidentifikasi dengan permasalahan mencari derivatif dari beberapa
fungsi y = f(x), asalkan hanya perubahan kecil dalam x. Jadi konsep
derivatif menjelaskan tingkat perubahan dari suatu fungsi yang terdiri
dari variabel dependen dan variabel independen. Tingkat perubahan
tersebut menangkap sejumlah perubahan (atau perubahan dalam jumlah
yang sangat kecil) dari variabel dependen sebagai dampak dari perubahan
variabel independen. Istilah derivatif dapat dinyatakan dengan :
0limx
dy y
dx x
Δ
Dalam hal ini, dy
dx merupakan suatu pernyataan gabungan yang
dibaca dengan ”derivatif y berkaitan x”. Derivatif ini sama dengan limit
dari rasio y
x
saat Δx mendekati nol. Selain itu, derivatif mengukur
tingkat kemiringan kurva linear. Derivatif dapat dinyatakan dengan
bentuk-bentuk lain, seperti :
a. dx
dy
b. '( )f x untuk fungsi ( )y f x
c. '( )y x untuk fungsi ( )y y x
Atau derivatif juga dapat dinyatakan dengan d
ydx
atau ( )d
f xdx
.
Sebagai contoh :
Derivatif ( )y xψ dapat dinyatakan sebagai :
a. dy
dx
b. 'ψ
c. xψ
d. d
ydx
e. ( )d
xdxψ
Matematika Ekonomi
39
4. Aturan Diferensiasi untuk Fungsi dengan Satu Variabel
Proses penentuan derivatif dari suatu fungsi juga dikenal dengan
istilah diferensiasi. Suatu fungsi terdiri dari satu variabel bebas (single
independent variable) : y = k (fungsi konstan), y = xn, dan y = cx
n (fungsi
pangkat). Misalkan suatu fungsi y = f(x), derivatif mencari berapa besar
perubahan y ketika terjadi perubahan x apabila perubahan x, yaitu Δx,
mendekati nol. Untuk menerapkan derivatif dalam konteks ekonomi,
terlebih dahulu perlu dipahami beberapa aturan diferensiasi.
a. Aturan Fungsi Konstan
Derivatif fungsi konstan y = k, atau f(x) = k, adalah sama dengan
nol, yakni nol untuk semua nilai x.
'0, ( ) 0dy dk
f xdx dx
atau
( ) 0d d d
y f x kdx dx dx
Bentuk dy
dx mempunyai dua bagian. Pertama, bentuk d
dx
merupakan simbol operator, yang memerintahkan untuk melakukan
operasi diferensiasi. Kedua, fungsi yang akan dioperasikan (yang
akan dideferensiasikan), y = f(x) = k.
Contoh :
1) Apabila y = f(x) = 5 maka 0dy
dx
2) Apabila y = f(x) = -13 maka 0dy
dx
b. Aturan Fungsi Linear
Derivatif fungsi linear y = a+bx, maka derivatifnya adalah b
yang merupakan koefisien dari x. Misalkan :
bxay maka dy
bdx
Contoh :
1) Apabila y = 5 + 6x maka 6dx
dy
Matematika Ekonomi
40
2) Apabila y = -13 + 10x maka 10dx
dy
3) Apabila y = -7 + (10/3)x maka 3
10
dx
dy
Yang perlu dicatat adalah derivatif dy
dx mengukur tingkat
perubahan dari fungsi atau kemiringannya. Untuk fungsi y = a +
bx, kemiringan fungsi linear adalah b. Nilai b adalah koefisien
dari variabel bebas dan b adalah konstanta.
c. Aturan Fungsi Pangkat
Derivatif fungsi pangkat y = f(x) = axn, adalah nax
n-1. Derivatif
dari fungsi tersebut adalah :
1) Perkalian antara eksponen (n) dengan konstanta (a).
2) Selanjutnya, hasil perhitungan sebelumnya dikalikan dengan
x dengan dipangkatkan n-1.
Secara simbolis, hal ini dituliskan sebagai.
1n ndax nax
dx
atau ' 1( ) nf x nax
Contoh :
1) Derivatif y = x3 adalah 23 3xx
dx
d
dx
dy
2) Derivatif y = -13 + 10x4 adalah 34 401013 xxx
dx
d
dx
dy
3) Derivatif y = 1/x3 adalah 43 3
1 xxdx
d
xdx
d
dx
dy
Latihan
1) Carilah derivatif dari : y = 7x5, dan w = 3u
-1.
2) Carilah f’(1) dan f”(2) dari fungsi berikut :
y = f(x) = 18x, y = f(x) = -5x-2
, dan f(w) = -3w-1/6
.
Matematika Ekonomi
41
5. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Dua atau Lebih Fungsi dari
Variabel yang Sama
a. Aturan Penjumlahan – Pengurangan
Derivatif penjumlahan (pengurangan) dari dua fungsi adalah
penjumlahan (pengurangan) dari derivatif dua fungsi. Misalkan
ada dua fungsi, f(x) dan g(x), maka derivatifnya adalah :
' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d
f x g x f x g x f x g xdx dx dx
Contoh :
1) Derivatif dari penjumlahan f(x) = 5x3 dan g(x) = 9x
3, adalah :
3 3 3 3 2 2 25 9 5 9 15 27 42dy d d d
x x x x x x xdx dx dx dx
2) Derivatif dari f(x) = 5x3 dikurangi g(x) = 9x
3, adalah :
3 3 3 3 2 2 25 9 5 9 15 27 12dy d d d
x x x x x x xdx dx dx dx
b. Aturan Hasil – Kali
Derivatif dari hasil – kali dua fungsi (yang dideferensiasikan)
adalah sama dengan fungsi yang pertama dikalikan derivatif
fungsi kedua ditambah fungsi kedua dikalikan derivatif fungsi
pertama.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d
f x g x f x g x g x f xdx dx dx
' '( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x
Atau
' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
f x g x f x g x f x g xdx
Contoh :
1) Carilah derivatif dari y = (2x + 3)(3x2).
Misalkan f(x) = 2x + 3 dan g(x) = 3x2. Selanjutnya f’(x) 2
dan g’(x) = 6x, maka derivatifnya adalah :
2 2 22 3 3 2 3 6 3 2 18 18d
x x x x x x xdx
Matematika Ekonomi
42
2) Carilah derivatif dari y = (2x – 5)(3x4).
Misalkan f(x) = 2x – 5 dan g(x) = 3x4. Selanjutnya f’(x) 2
dan g’(x) = 12x3, maka derivatifnya adalah :
4 3 4 4 3 42 5 3 2 5 12 3 2 24 60 6d
x x x x x x x xdx
4 330 60x x
c. Aturan Hasil – Bagi
Derivatif dari hasil – bagi dua fungsi (yang dideferensiasikan)
adalah sama dengan derivatif fungsi yang berada pada pembilang
dikalikan fungsi yang berada pada penyebut dikurangi fungsi
yang berada pada pembilang dikalikan derivatif fungsi yang
berada pada penyebut, kemudian dibagi dengan fungsi yang
berada pada penyebut yang telah dikuadratkan. ' '
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d f x f x g x f x g x
dx g x g x
Contoh :
a. 22 )1(
5
)1(
)1)(32()1(2
1
32
xx
xx
x
x
dx
d
b.
2 2
2 22 2 2
5 5( 1) 5 (2 ) 5(1 )
1 1 1
d x x x x x
dx x x x
6. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Fungsi-fungsi dari Variabel
yang Berbeda
Untuk bentuk fungsi dari fungsi y = f(u) dimana u = g(x), maka
derivatifnya adalah derivatif fungsi pertama yang berkaitan dengan u
dikalikan dengan derivatif fungsi kedua berkaitan dengan x. Aturan ini
sering kali dikenal dengan ”aturan berantai” atau chain rule, sering
disebut juga ”aturan fungsi komposit”. Bentuk Chain Rule adalah :
.dy dy du
dx du dx
Contoh :
a. Carilah derivatif dari z = 3y2, dimana y = 2x + 5.
. 6 (2) 12 12(2 5) 24 60dz dz dy
y y x xdx dy dx
Matematika Ekonomi
43
b. Carilah derivatif dari z = y – 3, dimana y = x3.
2 21 3 3dz
x xdx
c. Carilah derivatif dari y = u4, dimana u = 2x
2 + 3.
3
3 3 2. 4 .4 16 16 2 3dy dy du
u x xu x xdx du dx
Contoh:
Jika f(x)= x3 + 7x, Carilah f’(c)
Penyelesaian
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
h
cchchccf
h
)7()](7)[(lim)('
33
0
h
hhchhccf
h
)733(lim)('
322
0
73)733lim)(' 222
0
chchccf
h
7. Diferensial Quotient / Diferensial Fungsi Aljabar
Secara umum diferensial quotient fungsi y = f(x) dilambangkan
dengan:
x
xfxxf
x
yx
)()(lim 0
Bentuk x
y
inilah yang disebut dengan hasilbagi perbedaan atau
diferensial quotient, mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel
terikat y terhadap variabel bebas x.
Contoh: Carilah turunan dari fungsi xxxf 23)( !
Turunan dari fungsi di atas, yaitu:
xxy 23
)()(3 2 xxxxyy
xxxxxxyy ))(2(3 22
Matematika Ekonomi
44
xxxxxxxxy 222 3)(363
xxxxy 2)(336
136)(6 2
xx
x
xxxx
x
y
Dan turunan fungsinya, yaitu:
16136lim)()(
lim00
xxx
x
xfxxf
xx
Jadi turunan atau derivatif dari fungsi xxxf 23)( yaitu 16 x .
8. Diferensial Eksponensial
Bentuk umum untuk fungsi eksponensial yaitu ax
n exPxF )()( ,
dengan )(xPnmerupakan polinomial berderajat n.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan fungsi polinomial dalam
persamaan diferensial yaitu:
a. Tulis ax
n
S
p exPxy )( , dengan )(xPn polinomial berderajat n
yang koefisien-koefisiennya berupa variabel yang akan ditentu-
kan nilainya dan s bilangan bulat tak negatif yang akan di-
tentukan kemudian.
b. Perhatikan penyelesaian persamaan diferensial homogen yang
bersesuaian )( cy . Jika )( cy tidak memuat bentuk py yang diambil
dalam langkah (a) yaitu 0s . Tetapi, jika )( cy memuat bentuk
py yang diambil dalam langkah (a) maka s diambil lebih besar
satu dari derajat cy .
c. Jika bentuk py sudah ditentukan maka koefisien-koefisien dalam
py dicari dengan menderivatifkan py dan mensubstitusikan ke
dalam persamaan deferensialnya.
Dibawah ini akan dijelaskan tentang deferensial polinomial pada
Contoh 2.
Contoh 2: Selesaikan persamaan xey
dx
dy
dx
yd 3
2
2
423 .
Penyelesaian:
Persamaan karakteristiknya, yaitu: 0232 mm , sehingga
diperoleh akar-akar karakteristiknya yaitu 11m , 22 m dan
Matematika Ekonomi
45
xx
c ececy 2
21 . Selanjutnya, diambil xS
p Aexy 3 . Karena tidak
memuat bentuk seperti pada py maka s diambil 0 . Berarti,
x
p Aey 3 ,
x
p Aey 33' , x
p Aey 39'' . Dengan mensubstitusikan kedalam persamaan
diferensial diperoleh nilai A = 2 sehinggax
p ey 32 . Jadi, penyelesaian
umum persamaan diferensial di atas, yaitu:
xxx
c eececy 32
21 2
9. Diferensial Logaritma
Fungsi logaritma secara umum didefinisikan sebagai xx e logIn .
Jika u adalah fungsi x yang dapat didefinisikan maka:
a. dx
due
udx
dyyuy aa log
1'log
b. dx
du
udx
dyuIy
1n
Bukti:
uy a log
h
uhu
du
dy aa
h
log)log(lim
0
h
hu
du
dy a
h
)log(lim
0
h
u
h
du
dya
h
)1log(
lim0
uh
u
h
du
dya
h
)1log(
lim0
u
u
h
du
dyhua
h
/
0
)1log(
lim
u
e
du
dy a
h
loglim
0
u
e
du
dy a log
Matematika Ekonomi
46
10. Diferensial Parsial
Jika fungsi implisit terdiri 2 variabel atau lebih, misalnya
cyxf ),( atau 0,...),,( zyxf f (x,y,z,…) = 0 maka turunan fungsi
ini dapat ditentukan melalui turunan parsial atau diferensial parsial
Jika cyxf ),( , maka turunan parsialnya:
x
f
: turunan parsial ke x , dimana variabel y dianggap tetap fx
x
f
: turunan parsial ke y , dimana variabel x dianggap tetap fy
7362 223 yxxyyxx , maka:
06443 22
yxyx
x
f
030220 2
xyx
x
f
Berdasarkan perhitungan diferensial parsial maka x
y
dari fungsi
implisit cyxf ),( dapat dihitung dengan 0.. dyfydxfx sehingga :
fx
fy
x
y
Diperoleh hasil:
322
64432
22
xyx
yxyx
dx
dy
11. Diferensial Fungsi Tersusun
Misal )(xfy dimana )(xgu , menentukan fungsi tersusun
))(())(( xffxfogy dan apabila g mempunyai turunan di x , dan f
mempunyai turunan di )(xgu maka turunan fungsi komposisi
))(( xfog ditentukan dengan rumus :
))(').((')()'( xgxgfxfog atau dy
du
du
dy
dx
dy.
Rumus ini dikenal dengan nama aturan rantai.
Contoh : Tentukan turunan dari 73 )42()( xxf
Matematika Ekonomi
47
Jawab :
42 3 xu maka 26' xu
7)( uxf maka '7)(' 2uuxf
Jadi 732 )42(42)( xxxf
12. Diferensial Total
Diferensial total dari ),( yxfZ dinyatakan sebagai :
dyy
Zdx
x
ZdZ ..
Contoh :
22 yxZ dan 3xy
dx
dyyxdxdZ 22
23xdx
dy
dxxyxdxdZ )3.22( 2
Jika terdapat ),...,,( 21 nxxxfz maka:
n
n
dxx
Zdx
x
Zdx
x
ZdZ ...... 2
2
1
1
B. Integral
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat
universal, di mana matematika ini memiliki peran penting di semua
bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan
abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, peng-
ukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-
benda fisika. Matematika secara praktis menjadi salah satu kegiatan
manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini, matematika digunakan di
seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu
alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan
psikologi.
Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan
pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan mem-
buat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang
mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya
Matematika Ekonomi
48
baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga
bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkem-
bangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran,
meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika
murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian. Salah satu cabang dari
ilmu matematika yang patut dipelajari adalah integral.
Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas
beberapa jenis yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara
integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki
batasan-batasan, integral tak tentu tidak memiliki batasan–batasan.
Penguasaan mata pelajaran matematika khususnya mengenai integral bagi
peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Dengan mengajarkan matematika khususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari dan
mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat
yang lebih tinggi.
1. Integral Tak Tentu
Integral tak tentu adalah operasi balikan dari turunan atau dari
pendiferensialan.
Definisi
Dikatakan bahwa F adalah anti turunan dari f pada selang s , jika
ffdx
d)( pada selang s , yakni jika )()(' xfxF untuk semua x
dalam selang s .
Perhatikan beberapa turunan di bawah ini :
8)( 3 xxF turunannya 23)(' xxF
12)( 3 xxF turunannya 23)(' xxF
3)( 3 xxF turunannya 23)(' xxF
Dapat kita lihat anti turunan dari 23x adalah 83 x atau 123 x
atau 33 x . Untuk ketiga jawaban tersebut hanya berbeda pada
konstantanya, jadi dapat kita perumum bahwa anti turunan dari 23x
adalah cx 3 dimana c adalah konstanta real sembarang. Secara umum
untuk menyatakan integral tak tentu dari )(xf ditulis sebagai berikut:
cxFdxxf )()(
di mana )(xf disebut integran dan c konstanta sembarang.
Matematika Ekonomi
49
2. Sifat-Sifat Integral Tak Tentu
Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan
andaikan adalah suatu konstanta, maka :
a. dxxfkdxxkf )()(
b. dxxgdxxfdxxgxf )()()()([
3. Rumus-Rumus Integral Tak Tertentu
a. 1,1
1 1
nCxn
dxx nn
b. Ckxdxk
c. Cxdxx
ln1
d. Cedxe xx
e. Ca
adxa
xx In
f. Cxx
dx
1
2sin
1
g. Cxtgnx
dx
1
21
h. Cxxx
dx
1
2sec
1
Matematika Ekonomi
50
Matematika Ekonomi
51
BAB V
PENERAPAN GRAFIK DAN PERSAMAAN
DALAM ILMU EKONOMI
Lingkup Relatif Grafik dan Persamaan
Teori Permintaan dan Teori Perilaku Konsumen
A. Teori Permintaan
Teori permintaan konsumen bermula dari teori perilaku konsumen
dan teori perilaku konsumen bertitik tolak dari aksioma preferensi atau
fungsi utiliti. Dalam perkembangan selanjutnya, teori perilaku konsumen
ditandai dengan generalisasi konsep utiliti. Pada hakekatnya permintaan
konsumen terhadap sesuatu jenis komoditas mencerminkan posisi
keseimbangan konsumen yang telah mempertimbangkan berbagai tujuan
untuk mencapai utiliti maksimum dengan jumlah pendapatan yang
tersedia. Seorang konsumen dikatakan berada dalam posisi keseimbangan
apabila pendapatannya telah dialokasikan kepada pembelian barang-
barang yang memberikan utiliti maksimum.
Teori permintaan menerangkan tentang ciri hubungan antara jumlah
barang yang diminta dan harga, dan juga menerangkan sifat dari
permintaan pembeli pada suatu komoditas (barang dan jasa). Berdasarkan
ciri hubungan antara jumlah barang yang diminta dan harga dapat dibuat
grafik kurva permintaan. Hal ini menerangkan ciri hubungan antara
jumlah barang yang diminta dan harga serta pembentukan kurva
permintaan. Permintaan seseorang terhadap suatu komoditas ditentukan
oleh banyak faktor, yaitu: 1) harga komoditas itu sendiri, 2) harga
komoditas lain yang berkaitan erat dengan komoditas tersebut, 3) pen-
dapatan, 4) cita rasa masyarakat, 5) keadaan di masa yang akan datang,
dan lain-lain. Tujuan teori permintaan adalah untuk menentukan berbagai faktor yang mempengaruhi permintaan. Permintaan mempunyai hubungan
multivariat yang ditentukan oleh banyak faktor secara simultan
(Koutsoyiannis, 1994).
Matematika Ekonomi
52
Permintaan adalah berbagai jumlah komoditas (barang dan jasa)
yang diminta pada berbagai tingkat harga pada suatu waktu tertentu.
Permintaan timbul dari perilaku konsumen yaitu pendapatan yang
terbatas sementara keinginannya adalah untuk mencapai kupuasan
maksimal dengan jalan berusaha mengkonsumsi barang dan jasa
sebanyak-banyaknya (Joesron & Fathorrozi, 2003).
Dalam penelitian ini, permintaan yang diestimasi adalah permintaan
pariwisata yang diproduksi dengan jumlah kunjungan wisatawan yang
diasumsikan sebagai barang konsumsi atau produk akhir. Oleh karena itu,
fungsi permintaan yang digunakan adalah fungsi permintaan Marshallian
yang diperoleh dari derivasi maksimum utiliti konsumen dengan mem-
perhatikan kendala pendapatan konsumen kunjungan wisata. Kemudian
dalam fungsi permintaan tersebut dimasukkan juga faktor-faktor lain
yang diduga mempengaruhi permintaan pariwisata.
Pengertian permintaan dalam ilmu ekonomi yang lebih umum,
permintaan diartikan sebagai keinginan seseorang (konsumen) terhadap
barang-barang tertentu yang diperlukan atau diinginkannya. Namun
dalam praktik, pengertian permintaan seperti ini menunjukkan adanya
permintaan atas sejumlah barang yang diikuti dengan kekuatan membeli
(purchasing power). Karena jika keinginan (wants) diikuti dengan
kekuatan untuk pembelian, maka keinginan akan berubah menjadi
permintaan (Yoeti, 2008), jadi :
Demand = Wants + Purchasing Power ............................................ . (5.1)
Dengan kata lain, permintaan dapat diartikan sebagai hubungan
fungsional yang menunjukkan jumlah barang yang akan dibeli dengan
harga tertentu pada waktu tertentu. Permintaan sebagai suatu konsep
mengandung pengertian bahwa berlaku terhadap tiga variabel yang saling
mempengaruhi, yaitu kualitas produk (product quality), harga (price),
manfaat produk (product benefit) yang sangat mempengaruhi konsumen
dalam melakukan pembelian kebutuhannya. Salah satu faktor yang paling
mempengaruhi adalah harga. Bila harga suatu barang dianggap rendah
dari yang biasanya berlaku, maka dengan sendirinya permintaan akan
meningkat melebihi permintaan yang biasa terjadi. Sebaliknya bila harga
naik, ada kecenderungan konsumen hanya membeli sekedar yang
dibutuhkan saja dan tidak terjadi membeli lebih banyak yang dibutuhkan.
Dalam ilmu ekonomi, hukum permintaan mengatakan bahwa terjadi
hubungan timbal balik antara barang dan jasa yang diminta dengan harga,
jika faktor lain tidak mengalami perubahan (ceteris paribus). Dalam hal ini,
hukum permintaan mengatakan: ”Jika harga suatu barang atau jasa (good and
service) harganya mengalami kenaikan, sedangkan harga yang lainnya tetap
tidak mengalami perubahan atau sama, maka konsumen cenderung
melakukan substitusi, yaitu mengganti barang dan jasa itu dengan barang dan
jasa yang lain yang harganya lebih murah.
Matematika Ekonomi
53
Hukum permintaan terutama memperhatikan sifat hubungan antara
harga sesuatu barang dengan jumlah barang yang diminta. Sedangkan
dalam kenyataan yang sebenarnya seperti sudah disampaikan di atas yaitu
banyaknya permintaan terhadap sesuatu barang juga ditentukan oleh
banyak faktor lain. Oleh sebab itu, untuk melengkapi analisis mengenai
teori permintaan adalah perlu untuk menganalisis bagaimana faktor
penting lainnya dapat mempengaruhi permintaan.
Dalam hukum permintaan dijelaskan sifat hubungan antara
permintaan suatu barang dengan tingkat harganya. Hukum permintaan
pada hakikatnya merupakan suatu hipotesis yang menyatakan ”makin
rendah harga suatu barang maka makin banyak permintaan terhadap
barang tersebut”. Sebaliknya ”makin tinggi harga suatu barang maka
makin sedikit permintaan terhadap barang tersebut”. (Mc. Eacheen, 2000:
46). Hukum permintaan direpresentasikan dalam grafik yang disebut
kurva permintaan, yang disajikan pada Gambar 5.1.
Sumber : Salvatore, 1996:16
Gambar 5.1. Kurva Permintaan
Hubungan antara sesuatu barang dengan berbagai jenis-jenis barang
lainnya dapat dibedakan menjadi tiga golongan yaitu : (i). barang lain itu
merupakan pengganti, (ii). barang lain itu merupakan pelengkap,
(iii). Kedua barang tidak mempunyai kaitan sama sekali. Fungsi
permintaan merupakan sebuah representasi yang menyatakan bahwa
jumlah barang yang diminta tergantung pada harga, pendapatan dan
preferensi.
Jumlah barang yang diminta Dx=f (P x, P y, I, preferensi).................. (5.2)
Sumber: Nicholson, 2002:1.
Q2
Q1
P1
Qx
Px
P2
0
D
Matematika Ekonomi
54
B. Teori Utiliti
Salah satu tujuan utama ilmu ekonomi adalah untuk menjelaskan
dasar-dasar perilaku konsumen, dalam menjelaskan tentang perilaku
konsumen bersandar pada dasar pemikiran pokok bahwa orang cenderung
memilih barang-barang dan jasa-jasa yang nilainya paling tinggi. Untuk
menentukan perilaku konsumen dalam memilih kombinasi barang-barang
dan jasa-jasa yang akan dikonsumsinya melalui fungsi permintaan
dengan batasan yang sesuai dengan kemampuan anggarannya (budget
constraints). Dari pertentangan antara konsep kebutuhan (needs) dan
keinginan (wants) yang melekat pada diri seseorang terhadap suatu
barang/jasa muncul ukuran yang mencerminkan tingkat kepuasan
seseorang dalam mengkonsumsi barang/jasa yang bersangkutan, yang
dalam perkembangannya dikenal dengan ukuran utiliti dan preferensi.
Guna menjelaskan cara konsumen melakukan pilihan di antara berbagai
kemungkinan, para pakar ekonomi telah mengembangkan gagasan
mengenai utiliti (Samuelson, 1992: 101).
Utiliti (utility) didefinisikan sebagai tingkat kepuasan tertentu yang
diperoleh seorang konsumen dari mengkonsumsi sejumlah barang-barang
tertentu. Jika X1, ... Xn menunjukkan barang-barang yang dikonsumsi
oleh konsumen, maka fungsi utiliti dapat dituliskan sebagai U(X1, ... Xn).
(Yogianto Hartono, 2002 : 111). Utiliti tidak perlu diidentifikasi melalui
fungsi psikologis ataupun daya perasaan yang dapat diamati atau diukur
secara persis, melainkan utiliti merupakan konsep ilmiah yang digunakan
oleh para pakar ekonomi untuk memahami bagaimana konsumen secara
rasional membagi sumber daya yang terbatas di antara berbagai komoditi
yang memberi kepuasan (Samuelson, 1992 : 101).
Pada awalnya, fungsi utiliti ini dipandang sebagai pengukur kardinal
dari kepuasan yang diterima konsumen. Suatu utiliti dikatakan kardinal
indeks, jika item-item yang membentuk indeks ini dapat diukur secara
obyektif dan dapat dibandingkan satu dengan yang lainnya. Karena utiliti
sifatnya tidak dapat diobservasi (unobservable), sejak akhir abad ke-19,
pengukuran kardinal sudah ditinggalkan. Utiliti sekarang diukur secara
ordinal, yaitu diukur sebagai jenjang dari seikat komoditi (commodity
bundle) tanpa melihat intensitas kepuasan dari isi masing-masing item
yang membentuk ikatan tersebut. Misalnya X adalah seikat komoditi
yang terdiri dari item-item X1, ... Xn dan Y adalah ikatan komoditi yang
terdiri dari item-item Y1, ..., Yn. Untuk dua buah ikatan ini, yaitu X dan
Y, konsumen dapat menentukan pilihannya berdasarkan jenjangnya.
Misalnya X lebih disukai daripada Y (X>Y) atau Y lebih disukai
daripada )( YXX atau X dan Y sama-sama suka )( YX . Fungsi utiliti
kemudian dapat dibentuk sebagai suatu indeks, yaitu U(X) = U(X1, ... Xn)
Matematika Ekonomi
55
untuk utiliti dengan indeks X dan U(Y) = U(Y1, ..., Yn) untuk utiliti
dengan indeks Y. Kedua utiliti ini kemudian dapat dibandingkan secara
ordinal, yaitu sebagai )()( YUXU atau )()( YUXU atau )()( YUXU .
Konsumen melakukan konsumsi untuk mendapatkan utiliti. Setiap
konsumen diasumsikan menyukai konsumsi lebih daripada konsumsi
kurang. Asumsi ini dapat diartikan bahwa marginal utiliti dari konsumsi
adalah positif, yaitu menambahkan konsumsi akan meningkatkan utiliti. Asumsi lain adalah bahwa marginal utiliti dari konsumsi sifatnya menurun,
yaitu peningkatan utiliti untuk konsumsi yang sama akan semakin lebih kecil
dari sebelumnya (Hartono, 2002: 111). Dari konsep utiliti tersebut dapat
diturunkan kurva permintaan (Samuelson, 1992: 101).
Christensen, et al (1975: 367) mengemukakan bahwa titik awal dan
studi permintaan konsumen adalah fungsi permintaan yang meng-
gambarkan bahwa jumlah barang yang dikonsumsi adalah fungsi dari
total pendapatan dan harga barang yang dinyatakan dalam bentuk
maksimisasi utiliti. Demikian juga Cooper dan McLaren (1992: 653)
menyatakan bahwa titik tolak teori permintaan adalah fungsi utiliti,
dimana fungsi permintaan dapat diderivasi atau diturunkan dari fungsi
utiliti.
Fungsi permintaan yang diderivasi dari fungsi utiliti disebut fungsi
permintaan Marshallian, yang pertama sekali diperkenalkan oleh Alfred
Marshall seorang ekonom Inggris pada tahun 1890 (Hartono, 2002: 126).
Fungsi permintaan Marshallian ini merupakan permintaan (demand)
terhadap barang oleh konsumen dengan menganggap penghasilan uang
konsumen konstan, sehingga fungsi ini disebut juga istilah Marshallian
(money-income held constant) demand equation (Clements, et al, 1996:
64), atau consumer’s ordinary demand function (Henderson & Quant,
1980: 18; McLaren, 1982: 393; Haneman, 1991: 636).
Fungsi permintaan Marshallian dapat diperoleh dari derivasi
maksimisasi utiliti dengan pembatas atau kekangan atau kendala
(constraint) pendapatan konsumen. Derivasi fungsi permintaan ini
mempunyai beberapa properti atau restriksi seperti : homogenity, Euler
theorema, Roy’s identity, symetry and negativity (Slutsky condition),
additivity (Engel aggregation), homotheticity, Sheppard’s lemma
(Christensen, 1975; chambers and McConnell, 1983; cooper & McLaren,
1992; Clements et.al, 1996; Hartono, 2002).
Untuk mendapatkan fungsi permintaan yang diperoleh dari fungsi
utiliti dengan kendala pendapatan konsumen yang ada, maka formulasi
sistem persamaan adalah sebagai berikut (Hartono, 2002 : 126) :
Memaksimumkan: ),...,,( 21 nXXXUU ........................................... 5.3
Matematika Ekonomi
56
Kendala: YXpXpXp nn ),...,, 2211 ................................................... 5.4
Dimana Xn adalah kuantitas barang-n yang dibeli konsumen, pn
adalah harga barang-n dan Y adalah pendapatan konsumen. Penyelesaian
maksimasi ini dapat dilakukan dengan metode Lagrange Multiplier (λ)
persamaan Lagrange sebagai berikut :
).......(),...,( 22111 nnn XXpXpYXXU ................... 5.5
Turunan pertama sama dengan nol terhadap nXXX ,...,, 21 dan
terhadap λ adalah sebagai berikut :
01
11
p
X
U
X
................................................................ (5.6)
02
22
p
X
U
X
..................................................................... (5.7)
0
n
nn
pX
U
X
.................................................................... (5.8)
0..... 1
nnv XpXpY
................................................... (5.9)
Persamaan (5.6) sampai dengan (5.9) dapat dituliskan sebagai
berikut :
0111 pU ...................................................................... 5.10
0222 pU ............................................................................ 5.11
02 pUnn ........................................................................... 5.12
0.. ...11 nn XpXpY .......................................................... 5.13
Turunan kedua untuk masalah maksimasi dengan kendala adalah
determinan matrik bordered Hessian bernilai positif, sebagai berikut :
0
...
...
...
...
21
21
222212
111211
n
nnnnn
n
n
B .................................................................. 5.14
Matematika Ekonomi
57
Nilai dari masing-masing turunan kedua dari fungsi Lagrange adalah :
112
1
2
2
1
2
11 UX
U
X
12
21
2
21
2
12 UXX
U
XX
n
nn
n UXX
U
XX1
1
22
1
1
1
2
1
pX
21
212
2
12
2
21
UXX
U
XX
222
2
2
2
2
22
2
UX
U
X
n
nn
n UXX
U
XX2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
pX
1
1
2
1
2
1
n
nn
n UXX
U
XX
2
2
2
2
2
2
n
nn
n UXX
U
XX
nn
nn
nn UX
U
X
2
2
2
2
n
nn
n pX
U
XX
22
Selanjutnya matrik bordered Hessian dapat ditulis :
Matematika Ekonomi
58
0
...
...
...
21
122221
111211
nnnnn
n
n
pUUU
pUUU
pUUU
B
....................................................... 5.15
Dari persamaan (2.10) sampai dengan (2.12) dapat diperoleh nilai λ
sebesar :
1
1
p
U
2
2
p
U
n
n
p
U
Dengan menyamakan nilai λ dapat diperoleh :
n
n
p
U
p
U
p
U ...
2
2
1
1 ............................................................ 5.16
atau
j
j
i
i
p
U
p
U untuk nji ,...,2,1, .................................................. 5.17
atau
j
i
j
i
P
P
U
U ........................................................................................... 5.18
Rasio
j
i
U
U adalah marginal rate of substitution (MRS) antara barang
i dan j . Rasio j
i
P
P disebut dengan economic rate of substitution antara
barang i dan j . Maksimasi menunjukkan bahwa nilai kedua rasio substitusi
ini adalah sama. Rasio ini juga dikenal sebagai equal marginal principle
dari teori pemaksimuman utilitas, yang berarti konsumen akan berada
pada posisi keseimbangan jika rasio antara utiliti marginal dan harga
masing-masing barang yang dikonsumsi adalah sama dan harus sama
dengan utilitas marginal pendapatan (Pindyck and Rubinfeld, 1992: 87).
Matematika Ekonomi
59
Dengan mensubstitusikan nilai U1 yang diperoleh dari persamaan
(5.16) ke persamaan (5.13) atau ke kendala masalah maksimisasi ini,
maka fungsi permintaan Marshallian untuk barang X1 dapat diperoleh,
yaitu :
),,...,( * 111 YppXX nM ................................................................. 5.19
Fungsi permintaan ini merupakan fungsi dari harga barang pi dan
pendapatan Y.
Fungsi permintaan Marshallian mempunyai restriksi homogeneity of
degree 0 terhadap pi dan Y. Homogeneity of degree 0 ini mempunyai arti
bahwa bila harga barang pi dan Y berubah dengan tingkat yang sama,
permintaan barang Xi tidak berubah. Ada beberapa cara yang dapat
digunakan untuk membuktikan restriksi ini :
Pertama, kalikan semua nilai p dan Y dengan nilai t, sehingga fungsi
kendala pendapatan menjadi ytXptXpt ..... 2211 . Dengan membagi
fungsi kendala ini dengan t, maka akan diperoleh fungsi kendala seperti
semula. Konsekuensinya, turunan pertama dan turunan kedua dari
maksimimasi utiliti dengan kedua fungsi kendala tersebut juga akan
sama. Maksimumkan fungsi utiliti 21.XXU dengan kendala
ytXptXpt ..... 2211 , maka akan didapatkan fungsi permintaan Marshallian
1
12
*p
YX dan
2
22
*p
YX . Ini berarti bahwa permintaan Marshallian
mempunyai homogeneity of degree 0 terhadap p dan Y.
Kedua, dengan mengalikan Y dan pi dengan nilai t pada fungsi
permintaan Marshallian, misalnya 1
112
).(*p
YYpX . Dengan mengalikan-
nya nilai t akan diperoleh : 11
112.2
.).(*
p
Y
pt
YttYtpX . Dengan demikian
terbukti bahwa:
1
11112
).(*).(*p
YtYtpXYpX . Hasil ini menunjukkan bahwa fungsi
permintaan Marshallian mempunyai homogeneity of degree 0 terhadap p
dan Y.
Ketiga, teorema Euler dapat juga digunakan untuk membuktikannya.
Untuk homogenitas derajat-r, teorema Euler menyatakan :
),(*.**
111
11 YpXrY
M
Xp
X
. Untuk homogenitas derajat 0, maka
teorema Euler dapat ditulis: 0.*
.* 1
1
1
Y
Y
Xp
p
X. Besarnya turunan
Matematika Ekonomi
60
pertama 1
112
),(*p
YYpX terhadap 1p dan Y adalah :
211
1
2
*
p
Y
p
X
dan
1
1
2
1*
pY
X
, sehingga :
022
.2
1
2.
*.
*
11112
1
11
1
1
p
Y
p
YY
pp
p
YY
Y
Xp
p
X
Hal ini sesuai dengan Teorema Euler yang menunjukkan bahwa
fungsi permintaan Marshallian mempunyai homogeneity of degree 0
terhadap p dan Y.
Fungsi permintaan Marshallian dapat juga diperoleh dari fungsi
utiliti tidak langsung (indirect utility functions) dengan menggunakan
Roy’s identity. Fungsi utiliti dan fungsi utiliti tidak langsung mempunyai
hubungan dualitas (duality). Berndt, et al, 1997: 651; Deaton, 1979: 393;
Kay, 1979: 602; Diewert, 1980: 595; McLaren, 1982: 392; Chambers &
McConnel, 1983: 596 ) atau two polar case (Hanemann, 1991: 636 ).
Fungsi utiliti tidak langsung (indirect utility function) diperoleh
dengan mensubstitusikan fungsi permintaan Marshallian ke dalam fungsi
utiliti. Misalnya, dengan mensubstitusikan fungsi permintaan
),,...,( 1 YppX nM ke dalam fungsi ),...,( 1 nXXU , maka diperoleh
),,...,(* 1 YppU n . Hasil dari substitusi ini merupakan fungsi utiliti tidak
langsung, yang dinyatakan dengan :
)],,...,(),...,,...,([),,...,(*),,...,( 1111 YppXYppXYppUYppV nnnMnn (5.20)
Jika multiplier Lagrange (λ) menunjukkan hubungan tingkat
perubahan utiliti maksimum terhadap pendapatan atau Y
U
*, maka ada
hubungan lain mengenai hubungan tingkat perubahan utilitas maksimum
terhadap harga barang-barang , yaitu Y
U
*. Dari persamaan Lagrange :
Ł )Xp-..........-Xp-(Y),...XU(X nn22n1 dan dengan menggunakan
teorema amplop (envelope theorem) (Chambers & McConnell, 1983:
596), dapat diperoleh Mi
M
i
XP
U.
*
. Hasil ini dikenal dengan Roy’s
identity. Identitas ini sangat penting, karena fungsi permintaan
Marshallian dapat diperoleh dari identitas ini. Artinya, jika fungsi utiliti
tidak langsung diketahui, maka fungsi permintaan Marshallian dapat
diperoleh.
Fungsi utiliti tidak langsung mempunyai restriksi sebagai berikut :
Matematika Ekonomi
61
1. Tidak meningkat terhadap harga-harga barang, yaitu jika :
pi1 pi , maka U*( pi
1,Y) U*(pi , Y)
2. Tidak menurun terhadap Y, yaitu Y1 >Y, maka U*( pi
1,Y) U*(pi , Y)
3. Bersifat homogenius of degree 0 terhadap p dan Y, sebagai berikut :
U*(t.p,t.Y) = U*(pi , Y)
4. U*(pi , Y) bersifat quast-convex terhadap p.
Fungsi permintaan dapat juga diderivasi dari fungsi pengeluaran
yang disebut dengan fungsi permintaan Hicksian atau disebut juga
income-compensated demand function. Fungsi permintaan Hicksian dapat
diperoleh dari proses minimisasi pengeluaran dengan kendala utiliti yang
diinginkan, sehingga disebut dengan fungsi pengeluaran (expenditure
function). Fungsi pengeluaran ini menunjukkan minimum (Y) yang
merupakan pengeluaran minimum yang harus dikeluarkan untuk
mendapatkan utiliti U dengan harga p. Dengan masalah minimisasi
pengeluaran maka dapat dinyatakan :
Minimumkan : nn XpXpY ...11 ................................................ 5.21
Kendala : nXXX ...1 ...................................................... 5.22
Penyelasaian minimisasi ini dapat diperoleh dengan persamaan
Lagrange : Ł )),...,((... 11 nnni XXUUXpXp Dan setelah men-
dapatkan turunan pertama dan kedua terhadap X1, … Xn dan λ, maka
fungsi permintaan Hicksian dapat dinotasikan sebagai : Xi* (p,U) atau
XiH (p,U). Fungsi permintaan Hicksian merupakan fungsi permintaan
input pada kondisi optimal, yaitu :
),(* UpXX iHii ............................................................................... 5.23
Selain fungsi permintaan Hicksian diperoleh dari proses minimisasi
fungsi pengeluaran, maka fungsi ini dapat juga diperoleh dari Sheppard
lemma.
Sheppard lemma untuk fungsi pengeluaran minimum diperoleh dari
turunan pertama fungsi pengeluaran minimum terhadap faktor harganya,
di mana fungsi pengeluaran minimum dinyatakan sebagai:
),...( 1 Uppe n , sehingga :
i
nn
Hi
p
UppeUppX
),,...,(),,...,( 1
1 ...................................................... 5.24
Beberapa restriksi dari fungsi permintaan Hicksian adalah :
Matematika Ekonomi
62
1. Meningkat searah dengan .U Jika U meningkat maka pengeluaran
juga meningkat untuk mendapatkan utilitas yang lebih besar.
2. Tidak menurun terhadap harga p . Jika harga baru p ’ meningkat dari
harga sebelumnya p , maka pengeluaran baru tidak akan menurun.
3. Mempunyai homogenitas derajat l terhadap p .
4. Fungsi pengeluaran ),...( 1 Uppe n berbentuk convex terhadap p .
C. Efek Substitusi dan Efek Pendapatan
Secara teoritis, derivasi fungsi permintaan menunjukkan pengaruh
perubahan tingkat harga barang terhadap jumlah barang yang diminta.
Pengaruh perubahan ini akan menimbulkan dua efek, yaitu efek substitusi
dan efek pendapatan (Sugiarto, dkk, 2005 : 179). Hipotesis maksimisasi
utilitas menyatakan bahwa untuk barang normal, turunnya harga barang
akan meningkatkan jumlah barang yang dibeli, karena : (1) efek substitusi
menyebabkan jumlah barang yang dibeli akan lebih banyak sehingga
utilitas konsumen bergerak sepanjang kurva indiferen, (2) efek
pendapatan menyebabkan jumlah barang yang dibeli lebih banyak karena
harga menurun sehingga meningkatkan daya beli. Dengan demikian
utilitas konsumen bergerak ke kurva indiferen yang lebih tinggi
(Nicholson, 2005: 128).
Secara umum efek substitusi menyatakan bahwa apabila harga
suatu barang naik, maka konsumen akan cenderung mengganti konsumsi
barang tersebut dengan barang lain yang harganya lebih murah dalam
rangka mencapai kepuasan yang diinginkan tetapi dengan anggaran yang
lebih rendah. Sedangkan efek pendapatan menyatakan bahwa efek
perubahan harga terhadap pendapatan riil. Apabila harga meningkat dan
pendapatan nominal tetap, maka pendapatan riil menurun dan cenderung
akan membeli lebih sedikit hampir semua jenis barang. (Samuelson,
1992 : 107). Penjelasan efek substitusi dan efek pendapatan pada kondisi
perubahan harga disajikan pada Gambar 5.2.
Matematika Ekonomi
63
Sumber : Pyndick & Rubinfield ,1992
Gambar 5.2. Efek Substitusi dan Efek Pendapatan Untuk Barang Normal
Turunnya harga mempunyai efek substitusi dan efek pendapatan.
Konsumen mula-mula ada titik A pada garis anggaran l1. Efek substitusi
merupakan konsumsi barang X yang diasoasikan dengan perubahan harga
barang X, dengan tingkat utilitas dijaga agar tetap konstan. Efek ini
adalah perubahan dalam konsumsi barang X yang terjadi akibat
perubahan yang membuat barang X relatif lebih murah daripada
barang Y. Substitusi ini ditandai oleh gerakan sepanjang kurva indiferen.
Dalam gambar A efek substitusi diperoleh pada garis anggaran yang
sejajar dengan garis anggaran baru l2 (yang mencerminkan harga yang
relatif murah, yaitu harga X), tetapi menyinggung kurva indferen awal U1
(menjaga supaya tingkat utilitas tetap konstan). Garis anggaran baru (l2)
menggambarkan kenyataan bahwa pendapatan nominal dikurangi untuk
mengisolasikan efek substitusi. Dengan garis anggaran ini, konsumen
Barang X
Barang Y
X2 X1
Y2
E
Y1
U1
0
I1
A
C
B
U2
D
I2
Efek Subtitusi Efek Pendapatan
Efek Total
Matematika Ekonomi
64
memilih kombinasi D dan mengkonsumsi barang X sebesar OE. Dengan
demikian garis X1E merupakan efek substitusi, yang selalu menuju ke
peningkatan dalam permintaan jumlah barang X.
Efek pendapatan merupakan konsumsi barang yang disebabkan oleh
peningkatan daya beli dengan harga barang X tetap konstan. Dalam
gambar A, efek pendapatan dilihat dari garis enggaran imajiner yang
melewati titik D ke garis anggaran baru (l2). Konsumen memilih
kombinasi titik B pada kurva indiferen U2 (karena harga barang X yang
lebih rendah telah menaikkan tingkat utilitas konsumen). Peningkatan
konsumsi barang X dari OE ke OX2 merupakan efek pendapatan yang
positif karena barang X adalah barang normal (konsumen akan membeli
lebih banyak karena pendapatan meningkat). Oleh karena mencerminkan
gerakan dari kurva indiferen ke kurva lain, maka efek pendapatan
mengukur perubahan daya beli konsumen. Efek total dari perubahan
harga, secara teoritis merupakan penjumlahan efek substitusi dan efek
pendapatan.
Efek substitusi dan efek pendapatan dapat juga dijelaskan dengan
menggunakan compensated demand Curve (Hicksian demand Curve) dan
uncompensated demand Curve (Marshallian demand Curve) (Nicholson,
2005 : 135). Compensated demand Curve menunjukkan hubungan antara
harga suatu barang dan jumlah yang diminta dengan asumsi bahwa harga
barang lain dan tingkat utilitas adalah konstan. Secara metematis, fungsi
compensated demand dinyatakan sebagai berikut :
),,( Uppxx yxc ................................................................................ 5.25
Hubungan compensated demand Curve dan uncompensated demand
Curve disajikan pada Gambar 5.3
Matematika Ekonomi
65
Sumber : Nicholson, 2005
Gambar 5.3. Kurva Compensated Demand dan Uncompensated Demand
Pada titik kombinasi px’’ dan x’’ kedua kurva saling berpotongan
karena pada tingkat harga tersebut pendapatan konsumen cukup untuk
memperoleh utilitas tertentu. Dengan asumsi barang x adalah normal,
maka pada saat harga px’’’ (dibawah px’’) jumlah barang x yang diminta
lebih sedikit pada sepanjang kurva xc (compensated demand Curve)
dibanding dengan kurva x (uncompensated demand Curve). Sedangkan
untuk harga di atas px’’ (misalnya px’) kompensasi pendapatan adalah
positif karena konsumen perlu untuk memperhatikan utilitasnya. Dengan
asumsi barang x adalah barang normal, maka pada saat harga px’ jumlah
barang x yang diminta lebih banyak pada kurva xc dibanding dengan
kurva x.
Dengan demikian, secara umum untuk barang normal dapat
dikatakan bahwa compensated demand Curve kurang responsif terhadap
perubahan harga dibanding dengan uncompensated demand Curve. Kurva
yang lebih landai (flatter) yaitu compensated demand Curve meng-
gambarkan adanya efek substitusi dan efek pendapatan akibat perubahan
harga, sedangkan compensated demand Curve yang lebih curam (steeper)
hanya menggambarkan efek substitusi.
Barang X
Harga
X’’’ X’
Y2
X**
Y1
U1
0 X’’
x (Px, Py, I)
x' (Px,Py, U)
X*
Matematika Ekonomi
66
Compensated demand Curve yang hanya menggambarkan efek
substitusi dapat juga diturunkan secara matematis (Nicholson, 2005 :
134). Misalkan fungsi utilitas untuk barang y dan barang x adalah :
yayxUU ),( ............................................................................ 5.26
Dan dimisalkan nilai α dan β masing-masing 0,5, maka persamaan
5.26 menjadi 5,05,0),( yayxUU ..................................................... 5.27
Dengan menggunakan nilai α dan β yang sama, kemudian ditulis
fungsi permintaan Marshallian (uncompensated demand) :
xx P
l
P
lx
2
...................................................................................... 5.28a
yy P
l
P
ly
2
...................................................................................... 5.28b
Dengan menggabungkan persamaan 2.28a dan 2.28b maka diperoleh
fungsi utilitas tidak langsung (indirect utility function) sebagai berikut :
5,05,02),,(
yx
yxPP
lPPlVU ................................................................. 2.29
Fungsi compensated demand untuk x dan y dapat diperoleh dari
persamaan 2.29 dengan mencari nilai l dan mensubstitusikannya terhadap
U pada persamaan 2.27 dan diperoleh :
5,0
5,0
x
y
p
Vpx ............................................................................................ 5.30a
5,0
5,0
y
y
p
Vpy ............................................................................................ 5.30b
Persamaan 2.30a dan 2.30b adalah fungsi compensated demand
(Hicksian demand function) untuk barang x dan y. Dari persamaan ini
dapat dinyatakan bahwa permintaan lebih tergantung pada utilitas
daripada pendapatan. Dengan asumsi bahwa utilitas adalah konstan, maka
jelaslah bahwa peningkatan harga px akan mengurangi barang x dan hal
ini hanya menggambarkan efek substitusi saja.
Matematika Ekonomi
67
D. Permintaan Pasar dan Elastisitas Permintaan
1. Permintaan Pasar
Permintaan pasar (market demand) untuk suatu barang adalah
kuantitas total permintaan barang tersebut oleh seluruh pembeli potensial.
Kurva permintaan pasar (market demand Curve) menunjukkan hubungan
antara kuantitas total barang yang diminta dengan harga pasar dari barang
tersebut, ketika faktor lain dianggap konstan. Bentuk kurva permintaan
pasar dan posisinya ditentukan oleh bentuk kurva permintaan setiap
individu untuk produk yang diminta. Permintaan pasar tidak lebih
merupakan efek kombinasi dari berbagai pilihan ekonomi konsumen.
Untuk memudahkan penjelasan, diasumsikan bahwa hanya terdapat
dua barang (X dan Y) dan hanya dua individu (yang diberi nomor 1 dan
2) dalam sebuah perekonomian. Fungsi permintaan orang pertama
terhadap barang X diketahui:
),,( 11
1 IPPDX yxx .............................................................................. 5.31
Dan permintaan orang kedua akan barang X diketahui:
),,( 22
2 IPPDX yxx ............................................................................ 5.32
Dua ciri dari fungsi permintaan ini harus ditekankan secara eksplisit.
Pertama, kedua individu tersebut diasumsikan menghadapi harga yang
sama (Px dan Py). Setiap orang diasumsikan sebagai penerima harga yang
harus menerima harga yang berlaku dalam pasar, karena kemungkinan
tidak berlaku dalam kasus informasi yang tidak sempurna tentang harga.
Kedua, harus diperhatikan bahwa permintaan setiap orang bergantung
pada pendapatannya sendiri karena masing-masing dikendalikan dengan
batasan anggaran yang menetapkan berapa yang dapat dibelinya dengan
I1 dan I2., secara berturut-turut.
Permintaan total untuk X semata-mata merupakan penjumlahan
dari jumlah yang diminta oleh kedua individu ini. Jelas, permintaan pasar
ini akan bergantung pada parameter Px, Py, I1, dan I2. Secara matematis.
total ),,(),,( 22
11
21 IPPDIPPDXXX yxxyxx ............................... 5.33
atau
total ),,,( 21 IIPPMDX yxx
di mana fungsi MDx mewakili fungsi permintaan pasar untuk barang
X. Perlu diperhatikan bahwa dalam kasus ini, permintaan pasar
bergantung baik pada barang X maupun pada barang Y dan pada
pendapatan setiap individu. Untuk lebih jelasnya kurva permintaan pasar
disajikan pada Gambar2.4.
Matematika Ekonomi
68
Gambar 2.4
Kurva Permintaan Pasar
X XX
PXPXPX
dX1
dX2
X1* X2*
PX*
Kurva Permintaan
Individu 1
Kurva Permintaan
Individu 2
Kurva Permintaan
Pasar
X*
DX
X1* + X2* = X*
Sumber: Nicholson, 2005.
Gambar 5.4. Kurva Permintaan Pasar
Kurva permintaan pasar merupakan “penjumlahan horizontal” dari
setiap kurva permintaan individual. Pada setiap harga, jumlah yang
diminta di pasar merupakan penggabungan dari jumlah-jumlah yang
diminta dari setiap individu.
2. Elastisitas Permintaan
Secara umum, permintaan selalu dipengaruhi oleh harga barang
itu sendiri, harga barang lain dan pendapatan, yang dapat dinyatakan
dalam bentuk fungsi persamaan: Qx = f(Px, Py,I ). Jumlah Qx (barang yang
diminta) dapat berubah sebagai akibat perubahan-perubahan variabel-
variabel Px (harga barang itu sendiri), Py (harga barang lain) dan I
(pendapatan). Rasio yang mengukur perubahan antara jumlah barang
yang diminta sebagai akibat perubahan variabel-variabel yang mem-
pengaruhinya disebut elastisitas permintaan, (Salvatore, 1994; Henderson
& Quandt, 1980). Elastisitas permintaan mengukur perubahan relatif
dalam jumlah unit barang yang dibeli sebagai akibat perubahan salah satu
faktor yang mempengaruhinya (cateris paribus). Elastisitas yang
dikaitkan dengan harga barang itu sendiri disebut elastisitas harga (price
elasticity of demand). Sedangkan elastisitas yang dikaitkan dengan harga
barang lain disebut elastisitas silang (cross elasticity), dan yang dikaitkan
dengan pendapatan disebut elastisitas pendapatan (income elasticity)
(Prathama Rahardja & Mandala Manurung, 2004).
a. Elastisitas Harga (Price Elasticity)
Koefisien elastisitas harga dari permintaan (eP) mengukur
persentase perubahan jumlah komoditi yang diminta per unit yang
diakibatkan oleh persentase perubahan harga tertentu dari komoditi
tersebut. Karena hubungan antara harga dan jumlah adalah terbalik,
maka koefisien elastisitas harga dari permintaan adalah angka negatif.
Agar nilai negatif dihindarkan dalam pembahasan, maka minus
Matematika Ekonomi
69
seringkali dimasukkan ke dalam rumus e. Misalkan Q mewakili
perubahan jumlah komoditi yang diminta yang diakibatkan oleh
perubahan harga tertentu dari komoditi itu ( P), maka diperoleh :
ahperubahanpersentase
ayangbarangjumlahperubahanpersentaseep
arg
intdim
P
Q
%
%
Q
P
P
Q
pP
QQ.
/
/
................................................................... 5.34
Permintaan disebut elastis jika e > 1, inelastis jika e < 1, dan
elastis uniter jika e = 1.
b. Elastisitas Pendapatan (Income Elasticity)
Koefisien elastisitas pendapatan dari permintaan (eI) mengukur
persentase perubahan jumlah komoditi yang dibeli per unit waktu )/( QQ akibat adanya persentase perubahan tertentu dalam pendapatan
konsumen )/( II . Maka diperoleh:
endapatan
intdim
pperubahanpersentase
ayangbarangjumlahperubahanpersentaseeI
I
O
%
%
Q
I
I
Q
II
QQ.
/
/
.......................................................................... 5.35
Apabila eM negatif, barang tersebut adalah barang bermutu
rendah (inferior). Jika eM positif, barang tersebut adalah barang
normal. Barang normal biasanya menjadi barang mewah jika eM >1,
kalau tidak demikian maka barang tersebut adalah barang kebutuhan
pokok. Tergantung pada tingkat pendapatan konsumen, eM untuk
suatu barang mungkin sangat bervariasi. Maka, barang tertentu
mungkin menjadi barang mewah pada tingkat pendapatan yang
rendah, barang kebutuhan pokok pada tingkat pendapatan menengah
dan barang bermutu pada tingkat pendapatan yang tinggi.
c. Elastisitas Silang (Cross Elasticity)
Koefisien elastisitas silang dari permintaan komoditi X terhadap
komoditi Y (exy) mengukur persentase perubahan jumlah X yang
dibeli per unit waktu )/( xx QQ akibat adanya persentase perubahan
tertentu dalam harga Y )/( yy PPY . Maka diperoleh rumus sebagai
berikut :
Matematika Ekonomi
70
Y barang arga
intdim X
hperubahanpersentase
ayangbarangjumlahperubahanpersentaseexy
y
x
P
Q
%
%
x
y
y
x
yy
xx
Q
P
P
Q
PP
QQ.
/
/
................................................................ 5.36
Jika X dan Y adalah barang substitusi, exy adalah positif. Di
pihak lain, jika X dan Y adalah barang komplementer, exy adalah
negatif. Jika komoditi-komoditi itu tidak berhubungan (yaitu, jika
komoditi-komoditi itu bebas satu sama lain), maka exy = 0.
E. Permintaan Pariwisata
Menurut Melatsih & Goeldner, 1986, permintaan pariwisata tergantung pada jumlah anggaran yang tersedia untuk belanja dan pada pilihan untuk
realitas pariwisata terhadap barang-barang dan jasa lainnya. Pada sebuah
kondisi ekstrim, seseorang dapat mengalokasikan seluruh anggarannya
untuk berpariwisata dan pada sisi lain juga dapat digunakan seluruhnya
untuk mengkonsumsi barang lain. Seluruh kemungkinan kombinasi
digambarkan sepanjang budget line T1 dan G1 yang merupakan
kombinasi seseorang dalam mengkonsumsi kedua barang, dan disajikan
pada Gambar 2.5.
Sumber : Sinclair dan Stabler, 1997:1
Gambar 5.5. Konsumsi Pariwisata dan Barang Lain
G G1
Barang lain
Pariwisata
T1
0
D
T
Matematika Ekonomi
71
Pada Gambar 5.5. titik OT bila seseorang menghabiskan seluruh
anggaran untuk pariwisata, OG bila seluruh anggaran dihabiskan untuk
mengkonsumsi barang-barang lain. Seseorang akan mengalokasikan
anggaran antara konsumsi barang lain dan untuk pariwisata dengan
memilih kombinasi yang memberikan kepuasan maksimal. Kemudian D
merupakan titik kombinasi yang maiksimal dimana OT1 untuk pariwisata
dan OG1 untuk konsumsi barang lain. Permintaan pariwisata pada
dasarnya dipengaruhi oleh harga dan pendapatan serta informasi tentang
keduanya dapat mempengaruhi angka permintaan (Sinclair & Stabler,
1997; 19-20). Dengan demikian, kenaikan pendapatan akan mengakibat-
kan kenaikan pada pembelian produk pariwisata, sama halnya dengan
efek kenaikan pendapatan pada permintaan kebanyakan barang dan jasa
lainnya, contohnya adalah barang normal (normal good) karena
permintaan akan barang tersebut secara positif berhubungan dengan
pendapatan. Selain itu, pendapatan yang naik memungkinkan juga
menurunkan permintaan seperti pada produk pariwisata dalam daerah
tujuan pemasaran umum, secara tidak langsung bentuk produk pariwisata
ini adalah barang inferior (Sinclair dan Stabler, 1997).
Keputusan wisatawan untuk berkunjung sebenarnya merupakan
pertemuan antara jumlah permintaan dan penawaran komponen-
komponen pariwisata dimana pasar bagi jasa-jasa pariwisata adalah
wisatawan potensial, yaitu orang yang mempunyai kemauan dan
kemampuan untuk melakukan perjalanan wisata. Dalam ilmu ekonomi,
hukum permintaaan menyatakan bahwa jumlah barang yang diminta
dalam satu periode tertentu berubah berlawanan dengan harganya, jika
hal lain diasumsikan tetap (cateris paribus). Oleh karena itu, semakin
rendah harga suatu barang maka semakin banyak jumlah barang yang
diminta, sebaiknya semakin tinggi harganya, semakin kecil jumlah
barang yang diminta (Mc. Eachern, 2001). Hukum permintaan
direpresentasikan dalam grafik yang disebut kurva permintaan (pada
Gambar 2.1).
Ada alasan, mengapa jumlah permintaan dan tingkat harga memiliki
sifat hubungan seperti di atas. Yang pertama, sifat hubungan seperti ini
disebabkan karena kenaikan harga menyebabkan para pembeli mencari
barang lain yang dapat digunakan sebagai pengganti terhadap barang
yang mengalami kenaikan harga. Sebaliknya, apabila harga turun maka
orang mengurangi pembelian terhadap barang lain yang sama jenisnya
dan menambah pembelian terhadap barang yang mengalami penurunan
harga.Yang kedua, kenaikan harga menyebabkan pendapatan riil para
pembeli berkurang. Pendapatan yang merosot tersebut memaksa para
pembeli untuk mengurangi pembeliannya terhadap berbagai jenis barang
yang mengalami kenaikan harga.
Matematika Ekonomi
72
Hampir pada kebanyakan industri jasa, masalah yang penting untuk
menentukan permintaan pariwisata adalah kualitas yang harus sesuai
dengan kebutuhan dan keinginan, sedangkan soal harga merupakan
masalah yang kedua. Walau ditambahkan biaya asuransi pelanggan mau
saja menerima karena hal ini merupakan suatu ketentuan umum,
tersedianya fasilitas yang memadai merupakan pilihan yang menentukan
untuk permintaan yang spesifik.
Dalam kepariwisataan sudah biasa dilakukan perbedaan harga (price
differentiation) yang secara umum sebagai suatu strategi dalam
pemasaran. Sebagai contoh misalnya, sedikitnya dijumpai 12 tarif
perjalanan round trip yang disusun oleh International Air Transportation
Association (IATA) antara London dan New York berdasarkan :
1. Musim (season) dijumpai 3 (tiga) macam tarif
2. Berdasarkan rata-rata lamanya tinggal dijumpai 4 (empat) macam
tarif
3. Berdasarkan bentuk pelayanan di tempat tujuan dijumpai 2 (dua)
macam tarif
4. Berdasarkan umur pengunjung dijumpai 3 (tiga) macam tarif.
Faktor harga sangat menentukan dalam persaingan antara sesama
tour operator. Sering terjadi, paket wisata untuk suatu DTW yang sama
ditawarkan dengan harga yang berbeda. Jika perbedaan dalam fasilitas
tidak seberapa bedanya, biasanya wisatawan akan lebih suka memilih
harga paket wisata yang lebih murah.
Menurut Thomas, J.A dalam bukunya yang berjudul Principle and
Procedure of Tour Management yang dikutip oleh J.T. Curran (1978: 17)
menyatakan bahwa orang melakukan perjalanan wisata disebabkan oleh :
1) ingin melihat bangsa-bangsa lain, 2) ingin melihat dan menyaksikan
sesuatu yang istimewa, unik, aneh atau langka, berbeda dengan apa yang
ada di negaranya, 3) untuk memperoleh wawasan yang lebih luas,
meningkatkan saling pengertian dan apa yang sedang terjadi di negara
lain, 4) untuk mengetahui suatu peristiwa tertentu, 5) untuk menghindari
kegiatan rutin yang menimbulkan kejenuhan dan bosan, 6) menggunakan
kesempatan yang ada: waktu senggang, uang tabungan, dan kondisi
kesehatan yang memungkinkan, 7) untuk melihat perkembangan kegiatan
ekonomi dan teknologi yang sudah dicapai oleh negara-negara yang
dikunjungi. Selanjutnya menurut MacIntosh, R.W. (1972: 61) dalam
bukunya Tourism : Principles, Practices and Philosophies mengatakan
bahwa orang melakukan perjalanan wisata disebabkan oleh: 1)m otivasi
fisik, 2) motivasi kultural, 3) motivasi personal, 4) motivasi status dan
prestise.
Matematika Ekonomi
73
Mengenai permintaan dalam industri pariwisata, menurut G.A Schmoll (1977:43) dalam bukunya Tourism Promotion menyatakan bahwa
wisatawan bertindak sesuai dengan kehendak hatinya dan bebas memilih
Daerah Tujuan Wisata (DTW) yang akan dikunjunginya, obyek dan
atraksi wisata yang akan dilihatnya atau fasilitas atau produk apa yang
dibutuhkan atau diinginkannya. Perjalanan wisata misalnya, bukanlah
suatu kebutuhan yang harus dipenuhi, akan tetapi wisatawan melakukan
perjalanan wisata lebih banyak ditentukan secara subyektivitas dan penuh
dengan perasaan emosional, yang ada kalanya jauh dari pemikiran
rasional.
Permintaan dalam industri pariwisata terdiri dari beberapa fasilitas
dan produk yang berbeda bukan saja dalam hal sifat, tetapi juga manfaat
dan kebutuhannya bagi wisatawan. Fasilitas dan produk sifatnya sangat
berbeda satu dengan yang lainnya (heterogenity), akan tetapi permintaan
fasilitas dan produk sangat erat kaitannya dengan kebutuhan wisatawan
selama dalam perjalanan wisata yang dilakukannya (composite demand).
Menurut G.A. Schmoll (1977) menyatakan bahwa permintaan dalam
industri pariwisata tidak hanya membutuhkan ”A Single Services” tetapi
juga membutuhkan suatu kombinasi dari bermacam-macam pelayanan
yang ditawarkan dalam suatu paket wisata yang dalam ilmu ekonomi
pariwisata sebagai ”An Assartment of Services”. Oleh karena itu
permintaan (demand) dalam industri pariwisata tidak hanya terbatas pada
waktu yang diperlukan pada saat perjalanan wisata dilakukan. Akan
tetapi jauh sebelum melakukan perjalanan, permintaan itu sudah
mengemukakan informaasi tentang DTW yang akan dikunjungi, hotel di
mana akan menginap, pesawat yang akan digunakan, tempat-tempat yang
akan dikunjungi dan banyak uang yang harus dibawa. Hal ini juga harus
dapat memuaskan calon wisatawan sebelum melakukan perjalanan
wisata, karena atas kelengkapan informasi inilah calon wisatawan
memutuskan akan membeli paket atau tidak.
Permintaan dalam industri pariwisata tidak berbeda dengan
permintaan dalam ilmu ekonomi pada umumnya. Dalam ilmu ekonomi
kebutuhan-kebutuhan yang dapat diperoleh dengan mudah juga
merupakan barang-barang ekonomi karena dapat diperoleh secara bebas
misalnya udara yang segar, pemandangan yang indah, atau cuaca yang
cerah. Hal ini berlaku juga dalam industri pariwisata, dan bahkan justru
barang-barang yang termasuk ”free goods” ini yang dapat meningkatkan
kepuasan bagi wisatawan.
Bagi wisatawan, semua unsur, produk dan fasilitas yang tersedia dan
barang-barang tergolong ”free goods” saling berkaitan antara yang satu
dengan yang lain untuk mencapai kepuasannya dalam perjalanan wisata
Matematika Ekonomi
74
yang dilakukannya. Dari sudut pandangan wisatawan, semua unsur
permintaan mulai dari ”free good” sampai dengan ”tourist services”
diperoleh dengan pengorbanan. Artinya, untuk mendapatkan semua itu
wisatawan harus membayar dengan sejumlah uang. Semua unsur
permintaan itu saling melengkapi dan mempunyai ikatan yang erat sekali
satu dengan yang lain (complementary and interrelated).
Schmidhauser (1962) menyatakan bahwa karakter permintaan dalam
industri pariwisata tidak hanya dalam satu macam pelayanan saja, akan
tetapi merupakan suatu kombinasi bermacam-macam pelayanan yang
satu dengan yang lainnya berbeda dan ditawarkan secara terpisah.
Dengan kata lain, permintaan terhadap produk wisata itu tercermin dalam
suatu paket wisata yang disusun atas bermacam-macam produk yang
berbeda dalam bentuk, fungsi, dan manfaatnya.
Dalam Gambar 2.6 sumbu vertikal menunjukkan pariwisata dan
sumbu horizontal menunjukkan barang lain. Garis TG dan T’G’ secara
berturut-turut adalah budget line sebelum dan sesudah kenaikan
pendapatan, dan keduanya sejajar karena asumsi harga relatif untuk
pariwisata dan barang lain adalah konstan. Kurva indifferent diikutkan
untuk mengilustrasikan preferensi seseorang.
Sumber : Sinclair dan Stabler, 1997.
Gambar 5.6. Pengaruh Perubahan Pendapatan dalam Konsumsi Pariwisata
Barang Lain
Pariwisata
G2 G1
T3
E I1
I1
0
I3
F
G3
I3
I2
D
I2
G G'
T
T2
T1
T'
Matematika Ekonomi
75
Jika pariwisata merupakan barang normal, preferensi mungkin
diilustrasikan oleh kurva indifferent I2I2, sehingga permintaan baik dari
OT1 ke OT2 pada titik E. Jika pariwisata merupakan barang inferior, yang
dinyatakan dengan kurva indifferent I3I3, kenaikan pendapatan akan
menyebabkan penurunan pariwisata. Jika permintaan naik lebih dari nilai
proposionalnya, maka barang tersebut dikenal sebagai barang mewah
(luxury) dan jika permintaan naik kurang dari nilai proposionalnya,
barang tersebut dikenal dengan sebagai barang kebutuhan dasar
(necessity). Dalam konsep elastisitas, permintaan barang luxury dikatakan
elastis berkaitan dengan perubahan pandapatan dan inelastis untuk
necessity (Sinclair dan Stabler, 1997).
Kasus kedua menyangkut pengaruh permintaan pariwisata atas
perubahan harga relatif dengan asumsi pendapatan konstan. Permintaan
dan harga biasanya berhubungan negatif, sehingga penurunan harga
secara normal berhubungan dengan kenaikan permintaan, dan sebaliknya.
Pengaruh penurunan harga pariwisata dalam Gambar 5.7.
Gambar 5.7. Pengaruh Perubahan Harga dalam Konsumsi Pariwisata
Karena pariwisata sekarang lebih murah, anggaran seseorang
sekarang dapat membeli pariwisata OT’ yang maksimum sebagai ganti
OT, sementara jumlah maksimum barang lain yang dapat dibeli tetap
konstan pada OG karena harganya dianggap konstan. Kombinasi
pariwisata dan barang lain yang dapat dibeli setelah harga turun
ditunjukkan dengan garis T’G. Kombinasi optimal semula dan berikutnya
Barang Lain
Pariwisata
G2 G1
I1
I1
0
I2
D I2
G
T
T2
T1
T'
Matematika Ekonomi
76
antara pariwisata dan barang lain secara berturut-turut adalah titik D dan
E pada gambar 2.4, sehingga penurunan harga pariwisata menghasilkan
kenaikan permintaan dan kepuasan seperti orang membeli pariwisata
sebesar OT2 dan barang lain sebesar OG2 dibandingkan dengan OT1 dan
OG1 sebelum harga turun. Mungkin juga mempertimbangkan pilihan
antara dua bentuk pariwisata yang sama, dimana harga dari yang satu
berubah relatif terhadap harga dari yang lain. Jadi, misalnya warga
Inggris mungkin sedang memikirkan salah satu dari dua tempat liburan di
Mediterania, satu di Perancis dan yang lainya di Italia, namun nilai Franc
Perancis naik terhadap poundsterling sementara Lira tetap tidak berubah,
tempat liburan di Italia akan dipilih (Sinclair dan Stabler, 1997).
Dalam analisis permintaan pariwisata, di mana secara umum
pariwisata termasuk barang normal. Artinya jika pendapatan naik , maka
permintaan pariwisata juga naik. Dalam hal ini yang bekerja adalah efek
pendapatan sesuai dengan konsep teori permintaan Marshallian.
Efek Perubahan Pendapatan Dan Harga Pada Permintaan Pariwisata.
Perubahan pendapatan seseorang dan perubahan harga
menyebabkan perubahan pada konsumsi pariwisata, yang disebut income
effect dan substitution effect. dan disajikan pada Gambar 5.8.
Sumber: Sinclair & Stabler, 1997:17.
Gambar 5.8. Efek Pendapatan dan Efek Substitusi pada Permintaan Pariwisata
Barang Lain
Pariwisata
G2 G1
T2
E
T1
IC1
0
IC3
T
P
F
T' D
IC2
G3
T3
G
Matematika Ekonomi
77
Dari gambar di atas dapat dijelaskan bahwa garis anggaran mula-
mula TG, turunnya harga pariwisata menyebabkan garis anggaran
bergeser ke T’G, tetapi optimal mula-mula D. Efek perubahan harga
digambarkan dengan garis putus-putus PP dengan slope yang sama
dengan T’G yang menyinggung IC1, sehingga titik optimal bergeser ke S.
Artinya permintaan pariwisata naik dan permintaan harga lain turun.
Kemudian jika terjadi perubahan pendapatan dimana harga menjadi lebih
murah. Seseorang dapat memilih menghabiskan tambahan pendapatan itu
untuk pariwisata bergeser dari S ke E dimana OT2 untuk pariwisata dan
OG2 untuk barang lain. Jika untuk mengkonsumsi barang lain, maka titik
optimum bergeser dari S ke F dimana OT3 untuk pariwisata dan OG3
untuk barang lain.
Matematika Ekonomi
78
Matematika Ekonomi
79
BAB VI
APLIKASI DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
DALAM EKONOMI
A. Konsep Elastisitas
Di dalam analisa ekonomi diferensial dan integral banyak diper-
gunakan dalam masalah elastisitas, biaya, hasil penjualan, consumer’s
surplus dan producer’s surplus.
Seperti yang telah diketahui banyaknya pertambahan atau
penurunan jumlah yang diminta atau yang ditawarkan suatu barang
sebagai akibat dari naik atau turunnya harga dari barang tersebut
ditentukan oleh tingkat elastisitas harga atas permintaan atau penawaran
barang tersebut. Yang dimaksud elastisitas harga adalah angka
perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah barang dengan
perubahan relatif dari harga. Apabila p merupakan harga dan x
merupakan jumlah/kuantitas barang maka pengertian elastisitas tersebut
dapat dinyatakan dalam formula berikut.
Elastisitas p
p
x
x : .
Contoh:
Bila harga Rp 10,- terdapat jumlah/kuantitas 150 unit sedangkan jika
harga Rp 12,50 maka jumlah/kuantitas 200 unit. Dalam hal ini kita
dapatkan perubahan harga yaitu: naik sebesar: Rp 12,50 – Rp 10,- =
Rp 2,50. Sedangkan perubahan jumlah yaitu naik sebesar = 200 – 150
= 50 unit. Maka diperoleh eastisitas:
10
5,2:
150
50:
p
p
x
x
Matematika Ekonomi
80
3
4
4
1:
3
1
Contoh 2:
Jika harga Rp. 12,5 terdapat jumlah/kuantitas 100 unit, sedangkan
bila harga Rp. 10 maka jumlah/kuantitas 150 unit. Dalam hal ini kita
dapatkan perubahan harga yaitu turun sebesar 50,212 Rpppp .
Sedangkan perubahan jumlah barang adalah naik yaitu:
5015010012 xxx
Sehingga diperoleh:
Elastisitas p
p
x
x :
3
4
4
1:
3
1
10
50,2
:150
50
Dari contoh (1) terlihat bahwa terdapat pertambahan jumlah barang
sebagai akibat naiknya harga sehingga elastisitasnya mempunyai angka
positif. Grafiknya terlihat grafik (1), maka terlihat Curvenya bergerak
dari kiri bawah ke kanan atas atau sebaliknya. Hal ini sesuai dengan
hukum penawaran dimana harga naik maka jumlah barang yang di-
tawarkan bertambah. jadi elastisitas penawaran akan memberikan angka
positif. Sedangkan dari contoh (2), terlihat bahwa terdapat kenaikan
jumlah orang sebagai akibat turunnya harga sehingga elastisitasnya
mempunyai angka negatif.
Bila dilihat dalam grafik terlihat pada grafik (2), maka terlihat
Curvenya bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.
X
P
150 50
2,5
100
5
7,5
0
D
10
12,5
15
200
X
P
150 50
2,5
100
5
7,5
0
S
10
12,5
15
Gambar 2 Gambar 1
Matematika Ekonomi
81
Dari uraian tersebut dapatlah ditarik kesimpulan bahwa pada umumnya angka elastisitas permintaan mempunyai nilai negatif dan angka
elastisitas penawaran mempunyai nilai positif.
Angka perubahan x sedemikian kecil mendekati limitnya maka kita
nyatakan sebagai dx ; dan perubahan ini menimbulkan adanya perubahan
harga yang dinyatakan sebagai dp .
Maka besarnya angka elastisitas permintaan atau penawaran dapat
diperoleh dengan formula.
p
x
x
p
p
p
x
x
p
p
x
x
..
Bila dp
dx
x
p
p
x
x
px
x
.. 0lim
0
Contoh 3: Fungsi permintaan suatu barang tertentu adalah xp 212
dimana p adalah variable harga dan x adalah variable jumlah/kuantitas.
Carilah besarnya elastisitas permintaan barang pada harga 6.
Penyelesaian:
xp 212
2
1;2
dx
dp
dx
dp
Bila 6p maka 3p
Besarnya elastisitas permintaan barang adalah:
2
1.
3
6.dp
dx
x
p
1
Contoh 4: Fungsi penawaran akan suatu barang adalah 32 xp
dimana p adalah variable harga dan x adalah variable jumlah/kuantitas.
Carilah besarnya elastisitas barang pada harga 7.
Penyelesaian:
32: xpS
2
1;2 dx
dp
dx
dp
Matematika Ekonomi
82
Bila 7p dan 2p
Besarnya elastisitas penawaran barang adalah:
4
7
2
1.
2
7
2
1..
x
p
dx
dp
x
p
Contoh 5: Bila diketahui fungsi permintaan dan penawaran suatu barang
adalah 216: xpD dan xpS 4: .
Carilah besarnya elastisitas permintaan dan penawaran barang pada
titik keseimbangan pasar.
Penyelesaian
Keseimbangan pasar diperoleh pada saat fungsi permintaan sama
dengan fungsi penawaran yaitu:
SD
xx 416 2
0122 xx
0)3)(4( xx
Jadi titik keseimbangan pasar adalah 30 x dan 70 P
216: xSD
xdx
dpx
dx
dp
2
12
Besarnya elastisitas permintaan pada titik keseimbangan pasar adalah:
xdp
dx
x
pD
2
1.
3
7.
18
7
6
1.
3
7
Besarnya elastisitas penawaran pada titik keseimbangan pasar
adalah:
dp
dx
x
pS .
xpS 4:
Matematika Ekonomi
83
1 1 dp
dx
dp
dx
3
71.
3
7S
Pada contoh-contoh di atas adalah elastisitas harga terhadap
permintaan dan penawaran.
Di samping elastisitas harga dikenal pula elastisitas pendapatan
(income elasticity) terhadap permintaan. Bila y adalah pendapatan
masyarakat dan x adalah kuantitas barang yang diminta, maka elastisitas
pendapatan terhadap permintaan adalah perbandingan antara perubahan
relative dari jumlah barang yang diminta dengan perubahan relative dari
pendapatan.
Jadi elastisitas pendapatan : y
y
x
x
y
x
x
y
Bila 0x maka didapat:
dy
dx
x
yy .
Contoh 6: Pendapatan masyarakat di suatu daerah pada suatu waktu
sebesar Rp 200 juta, dan jumlah barang A yang diminta sebesar 100 ribu
unit.
Pada saat berikutnya pendapatan masyarakat itu meningkat menjadi
Rp 250 juta dengan jumlah barang A yang diminta sebesar 120 ribu unit.
Maka besarnya elastisitas pendapatan terhadap permintaan barang
adalah:
000.000.200
000.000.50:
000.100
000.20:
x
x
x
x
000.000.50
000.000.200
000.100
000.20x
5
4
50
40
5
20
10
2 x
Matematika Ekonomi
84
B. Elastisitas Parsiil
Pada kenyataannya jumlah barang yang diminta tidak hanya
dipengaruhi oleh tingkat harga barang tersebut, tetapi juga dipengaruhi
oleh harga barang lainnya seperti harga barang substitusinya. Maka
dalam hal ini perlu diperhatikan elastisitas parsiilnya.
Adapun yang dimaksud elastisitas parsiil dalam hal ini adalah angka
perbandingan antara perbandingan relatif jumlah yang diminta akan suatu
barang tertentu dengan perubahan relatif harga barang tersebut,
sedangkan harga barang lainnya tetap.
Bila dinyatakan dalam pola hubungan fungsional adalah:
),( baa PPfx
Di mana:
ax : jumlah/ kuantitas yang diminta akan barang A
aP : harga barang A
bP : harga barang B
Sedangkan kita hanya mempunyai harga dari dua barang untuk
sejumlah barang n.
Jadi elastisitas parsiil dari barang A dengan menekankan pada aP
dirumuskan:
a
a
a
a
P
x
P
x.
Sedangkan elastisitas parsiil dari barang A dengan menekankan
pada bP dirumuskan:
a
b
b
a
x
P
P
x.
Contoh: Diketahui hubungan fungsional sebagi berikut:
baa PPx 4550
Maka elastisitas dengan penekanan aP adalah:
a
a
b
a
P
x
P
x.
Matematika Ekonomi
85
5
a
a
P
x
ba
a
PP
P
4550).5(
Harga barang 5)( aPA dan harga barang 5)( bPB maka diperoleh:
5202550
5.5
C. Curve Biaya
Dalam pembahasan ekonomi, teknik-teknik matematika/kalkulus
dipergunakan pula dalam analisis biaya. Adapun yang dimaksud dengan biaya adalah: pengorbanan atau pengeluaran yang tidak dapat dihindarkan
untuk menghasilkan/memproduksi suatu barang atau memasarkannya.
Apabila kita menghasilkan dan atau memasarkan sejumlah barang/
jasa tertentu, maka kita mengeluarkan/mengorbankan sejumlah biaya
yang disebut biaya total. Jadi yang dimaksud biaya total adalah: sejumlah
biaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan dan atau memasarkan
sejumlah barang atau jasa.
Jika x merupakan jumlah barang yang dihasilkan atau dipasarkan,
dan Q merupakan biaya total, maka pola hubungan fungsional antara
variabel biaya total dan jumlah barang adalah: )(xfQ . Jadi dalam hal
ini besar kecilnya biaya total ditentukan oleh besar kecilnya jumlah
barang yang dihasilkan. Sehingga dengan diketahuinya biaya total untuk
menghasilkan sejumlah barang tertentu )(x , maka dapat diperhitungkan
besarnya biaya rata-rata. Adapun yang dimaksud dengan biaya rata-rata
adalah: biaya per unit yang dibutuhkan untuk menghasilkan suatu barang
pada tingkat produksi tertentu.
Besarnya biaya rata-rata ini kemungkinan berbada-beda besarnya
pada berbagai tingkat produksi. Tingkat produksi yang mempunyai biaya
rata-rata terendah disebut tingkat produksi optimal.
Dan juga besarnya biaya rata-rata dapat diperoleh dari hasil bagi
biaya total dengan jumlah barang yang dihasilkan. Bila adalah biaya
rata-rata, maka:
x
Matematika Ekonomi
86
Di samping biaya rata-rata, maka dengan mengetahui biaya total
pada berbagai tingkat produksi dapat pula diketahui besarnya biaya
marginal. Yang dimaksud biaya marginal adalah besarnya pertambahan
biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit
pada suatu tingkat produksi tertentu. Besarnya biaya marginal
kemungkinan berbeda-beda pada berbagai tingkat produksi, tergantung
dari bentuk fungsi atau Curve biaya totalnya.
Jadi besarnya biaya marginal dapat diperoleh dari hasil bagi pertam-
bahan biaya total dengan pertambahan jumlah barang yang diproduksi.
Bila 'Q adalah biaya marginal, dan Q merupakan pertambahan biaya
total serta x merupakan pertambahan jumlah barang yang diproduksi,
maka:
x
' atau bila limit 0x maka
dx
xdf
dx
dQQ
)('
Jadi biaya marginal merupakan derivative dari fungsi biaya total.
Di dalam pembahasan biaya total dan biaya rata-rata perlu
diperhatikan bahwa variabel biaya total, biaya rata-rata, dan variabel
jumlah tidak mungkin negatif. Jadi harus lebih besar atau sama dengan
nol.
Sehingga : 0 ;0 qQ dan .0x
Pola hubungan variabel biaya total dengan variabel jumlah hasil
produksi dapat berbentuk garis lurus yaitu fungsi linier, dan dapat
berbentuk garis tidak lurus yaitu fungsi non linier, antara lain fungsi
kuadrat dan fungsi pangkat tiga.
1. Fungsi dan Curve Biaya Total Garis Lurus.
Pada suatu Curve biaya total garis lurus, fungsi biaya totalnya
merupakan fungsi linier. Bentuk umum dari fungsi biaya total linier ini
adalah: baQ .
Di mana :
Q = variabel biaya total
x = variabel jumlah hasil produksi
ba & = haruslah positif
Matematika Ekonomi
87
Dari fungsi biaya total linier di atas, maka diperoleh biaya rata-
ratanya yaitu:
x
baq dan biaya marginalnya adalah bQ ' .
Dari uraian di atas, apabila biaya total, biaya rata-rata dan biaya
marginal digambar grafiknya maka akan berbentuk:
Dari gambar di atas bahwa grafik fungsi atau curve biaya total
adalah garis lurus, dimulai dari titik ),0( b , sedangkan biaya rata-rata
hiperbola dengan asimtot datarnya adalah aq . Curve biaya rata-rata
tersebut terus menurun dengan bertambahnya x .
Contoh: Bila diketahui fungsi biaya total suatu barang adalah
32 xQ dimana Q merupakan variabel biaya total, dan x merupakan
variabel kuantitas.
Carilah fungsi biaya rata-rata dan biaya marginalnya serta gambar
grafik fungsi atau curve-nya.
Penyelesaian
32 xQ
xq
32 dan 2'Q
Gambar grafik fungsi biaya total )(Q , biaya rata-rata )(q dan biaya
marginal )'(Q adalah:
Dari gambar di atas terlihat bahwa biaya rata-rata terendah apabila
mencapai tidak terhingga (asimtot datar).
X
Q, q, Q'
Q
q
Q'
Matematika Ekonomi
88
2. Fungsi dan curve biaya total garis tidak lurus (Non Linier)
Pada suatu curve biaya total garis tidak lurus (non linier) yang
berbentuk parabola, fungsi biaya totalnya merupakan fungsi kuadrat, dan
berbentuk:
cbxaxQ 2
Dimana:
Q = variabel biaya total
x = variabel kuantitas
cba ,, = konstanta
Dari fungsi biaya total kuadrat di atas, maka diperoleh biaya rata-
ratanya, yaitu:
x
cbaxq , dan biaya marginalnya adalah:
baxQ 2'
Gambar grafik fungsi biaya total, biaya rata-rata dan biaya marginal
adalah:
Dari gambar di atas terlihat bahwa grafik fungsi biaya rata-rata
berbentuk hiperbola dan biaya marginalnya berbentuk garis lurus.
X
Q, q, Q'
Q
q
Q'
1
1
2
2
3
Matematika Ekonomi
89
Contoh: Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu barang tertentu
adalah 4
9
2
1
4
1 2 xxQ
Carilah fungsi biaya rata-rata dan biaya marginalnya serta
gambarkan grafiknya.
Penyelesaian:
4
9
2
1
4
1 2 xxQ
xxxq
4
9
2
1
4
1
2
1
2
1' xQ
Gambar grafik fungsi biaya total )(Q , biaya rata-rata )(q dan biaya
marginal )'(Q adalah:
Dari gambar di atas terlihat bahwa biaya total minimum diperoleh
bila 0)'( Q dan 0'' Q .
Jadi 924
1
4
9
2
1
4
1 22 xxxxQ
)1(2
1
2
1
2
1' xxQ
2
1'' Q
Oleh karena itu titik pada 1x & 2Q adalah titik minimum.
3. Fungsi dan Curve Biaya Total Pangkat Tiga
Bentuk umum fungsi biaya total pangkat tiga adalah
dcxbxaxQ 23
Dimana :
Q = variabel biaya total
x = variabel kuantitas
dcba ,,, = konstanta.
Dari fungsi biaya total tersebut, diperoleh biaya rata-ratanya yaitu:
x
dcxbxaxq 2 berbentuk fungsi pecah dan biaya marginalnya:
Matematika Ekonomi
90
cbxaxQ 23' 2 .
Contoh: Bila diketahui fungsi biaya total dari suatu barang tertentu adalah
27153' 3 xxxQ . Dimana Q merupakan variabel biaya total dan x
merupakan variabel kuantitas. Carilah fungsi biaya rata-rata dan biaya
marginalnya, serta gambarkan grafik fungsi atau curve-nya.
Jawab
27153' 3 xxxQ
xxq
27152
1563' 2 xxQ
Untuk menggambarkan grafik fungsi atau curve biaya total )(Q ,
biaya rata-rata )(q , dan biaya marginal )'(Q diperlukan tabel
x Q q 'Q 1Q
0 27 15 28
1 40 40 12 40
2 53 26,5 15 52
3 72 24 24 64
4 103 25,75 39 76
5 152 30,4 60 88
6 225 37,5 87 100
Grafik:
10
50
30
X
Q, q, Q'
Q
q
Q'
70
1 3 4 2
Q1
Matematika Ekonomi
91
Pada grafik terdapat titik belok (inflection point) dari curve biaya
total pada 1 ; 40Q . Jika 10 x curve-nya cekung ke bawah dan
bila 1x curve-nya cekung ke atas. Kecuraman (slope) dari curve biaya
total pada 1x adalah 12)1(' Q . Persamaan garis tangent perbelokan
(inflection tangent line) diperoleh dengan bentuk persamaan: bxQ 21 .
Karena garis melalui titik (1,40) maka:
28b . Jadi garisnya adalah 28121 xQ merupakan pendekatan
yang baik untuk fungsi biaya total pada interval 20 x .
4. Fungsi dan Curve Biaya Total Exponensial
Dalam hal ini terdapat pola hubungan fungsional antara variabel
biaya total dengan variabel/kuantitas barang yang diproduksi dalam
bentuk fungsi exponensial.
Misalnya fungsi : 5/xeQ )100( x
Dimana:
Q = variabel biaya total
x = variabel kuantitas
Fungsi biaya marginalnya: 5/
5
1' xeQ dan 5/
25
1'' xeQ
Sedangkan fungsi biaya rata-ratanya adalah:
x
eq
x 5/
' dan 2
// )1(5
1
''x
exe
q
sxsx
)5(5
''2
/
xx
eq
sx
X
Q, q, Q'
Q
q
Q'
10
5
5
Matematika Ekonomi
92
Untuk menggambarkan grafik fungsi atau Curve biaya total, biaya
rata-rata dan biaya marginal digunakan bantuan tabel berikut: x Q q 'Q
0 1 0,2
1 1,22 1,22
5 2,7 0,54 0,54
10 7,4 0,74 1,5
D. Hasil Penerimaan Penjualan (Revenue)
Untuk memperhatikan keuntungan (laba) yang diperoleh suatu
perusahaan, kita perlu menghitung besarnya hasil penerimaan penjualan
dari produk yang diproduksi. Dalam hal ini kita perlu melihat hasil
penerimaan penjualan total, hasil penerimaan penjualan rata-rata dan
hasil penjualan marginal.
Adapun yang dimaksud hasil penerimaan penjualan total adalah:
besarnya hasil penerimaan total yang diterima oleh perusahaan/produsen
dari penjualan sejumlah produk yang diproduksinya. Besarnya hasil
penerimaan total ini merupakan hasil perkalian antara kuantitas produk
dengan harga yang terjadi karena adanya permintaan (demand). Bila x
merupakan jumlah/kuantitas dari produk dan p merupakan harga
permintaan (demand) sedangkan R merupakan hasil penerimaan dari
penjualan produk dalam jumlah tersebut, maka bentuk fungsi hasil
penerimaan total adalah:
)()(.. xRxfxpxR
Contoh:
Bila fungsi permintaan suatu barang adalah xp2
18 , dimana p
adalah harga permintaan dari barang tersebut dan x adalah jumlah/
kuantitas barang itu.
Penyelesaian
Dari fungsi permintaan ini dapatlah diperoleh fungsi total
penerimaan penjualan yaitu pxR .
2
2
18
2
18)( xxxxxpR
Matematika Ekonomi
93
8
24
16
X
R
MR
R
32
4 12 16 8
AR
x 0 2 4 6 8 10 14 16
p 8 7 6 5 4 3 1 0
R 0 14 24 30 32 30 14 0
Grafik:
Dari grafik terlihat bahwa curve penerimaan penjualan total ber-
gerak dari titik nol pada saat 0x dan meningkat sampai pada titik
tertinggi pada saat 8x dan kembali menurun, akhirnya pada titik nol
saat 16x di mana 0p . Jadi dalam hal ini terdapat titik penerimaan
penjualan total yang maksimum sehingga Curve-nya berbentuk parabola.
Dengan diketahuinya hasil penerimaan total dari penjualan sejumlah
barang tertentu )(x , maka dapat diperhitungkan besarnya hasil penerimaan
rata-rata. Adapun yang dimaksud dengan hasil penerimaan rata-rata
adalah hasil penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu
barang/jasa pada jumlah/kuantitas tertentu. Fungsi penerimaan rata-rata
diperoleh dari penerimaan total dibagi jumlah/kuantitas yang dijual.
)(x yaitu : px
xp
x
RAR
.
AR = Average revenue
p = harga permintaan dari barang tersebut.
Sebagai contohnya, pada contoh di depan ada/terdapat: 2
2
18 xxAR .
Matematika Ekonomi
94
Jadi, penerimaan rata-rata pxxAR 2
2
18)( dan )(xfpAR =
fungsi permintaan.
Di samping hasil penerimaan rata-rata perlu pula diketahui hasil
penerimaan marginal (marginal revenue). Yang dimaksud dengan hasil
penerimaan marginal adalah besarnya pertambahan hasil penerimaan
yang diperoleh akibat pertambahan penjualan suatu barang/jasa satu unit
pada suatu tingkat jumlah/kuantitas tertentu.
Besarnya hasil penerimaan marginal kemungkinan berbeda-beda
pada berbagai tingkat kuantitas, tergantung bentuk fungsi atau Curve
hasil penerimaan total, dengan pertambahan jumlah/kuantitas yang dijual,
maka:
2' xx
RR
atau bila 0x maka:
dx
dRR '
Jadi hasil penerimaan marginal merupakan derivatif dari fungsi hasil
penerimaan total. Dari contoh, dapat dicari penerimaan marginalnya,
yaitu:
xdx
xxd
dx
dRR
8
)2
18(
'
2
Di dalam pembahasan hasil penerimaan total dan hasil penerimaan
rata-rata perlu diperhatikan bahwa variabel hasil penerimaan total )(R ,
AR dan x tidak mungkin negatif, jadi : 0R ; 0AR ; 0x .
E. Keseimbangan dari Suatu Perusahaan dalam
Pasar Persaingan Murni
Dalam hal ini akan diuraikan bagaimana suatu perusahaan akan
mendapatkan laba maksimal dalam pasar persaingan murni. Dalam suatu
pasar persaingan murni, curve permintaan adalah mendatar. Secara
grafik, fungsi permintaan, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya
marginal dapat digambarkan sebagai berikut:
Matematika Ekonomi
95
Bila:
p = harga
x = kuantitas hasil/output.
Maka p adalah tetap/tertentu (sebesar konstanta) pada pasar persaingan
murni. Dengan demikian maka diperoleh xpR . atau xcR . .
Fungsi penerimaan marginal adalah pdx
dRR ' atau
dx
dpxp
dx
dRR ' .
Karena p tetap, maka pdx
dRR ' atau C
dx
dRR ' sehingga dalam
gambar terlihat curve permintaan berimpit dengan Curve penerimaan
marginal dan penerimaan rata-rata atau ARpR ' . Bila Q adalah biaya
total, maka besarnya laba QR. dimana )(xfR dan )(xyQ .
Laba maksimum diperoleh bila 0' dx
d
0''2
2
dx
d
Maka didapat : 0''' QRdx
dQ
dx
dR
dx
d
Berarti : MCMRMCMR 0 atau '' QR
Kemudian : 0''
X
P P=AR=MR
MC
AC
X1
A
X0
B
Matematika Ekonomi
96
2
2
2
2
2
2 ''''0''''
dx
QRQRQd
dx
Rd
dx
d
Hal ini berarti tingkat pertambahan dari penerimaan marginal )(MR harus
lebih kecil dari tingkat pertambahan dari biaya marginal )(MC bila
terdapat pertambahan dalam x .
Contoh :
Bila diketahui fungsi permintaan suatu barang 8: pD dan biaya
rata-rata dari barang tersebut 1262 xxq . Gambar curve permintaan,
biaya total dan permintaan total (silahkan jawab).
F. Laba Maksimal pada Monopoli
Berdasarkan hukum permintaan, harga yang harus dibayar konsumen
tergantung pada jumlah barang yang dimintanya, dan dianggap fungsi
permintaan: )(xfp diketahui. Seorang monopolis dapat mengendalikan
harga dengan mempengaruhi besarnya penawaran dari barang tersebut,
sehingga penawaran dibatasi dan harga relatif tinggi, serta bila penawaran
bertambah harga akan turun. Jika si monopolis mengetahui biaya rata-rata
)(q dari produksi sejumlah barang merupakan fungsi dari jumlah yang
diproduksi, maka fungsi biaya total qxxQQ )( . Dengan asumsi yang
lainnya tetap, maka si monopolis akan mengendalikan penawaran x dan
akibatnya p ditentukan dengan mengetahui fungsi permintaan dalam
usaha memaksimalkan labanya. Curve permintaan, MR dan MC dapat
digambarkan.
X
R'
Q'
AC
AR
MR X1
Matematika Ekonomi
97
Penerimaan yang diterima adalah pxR di mana )(xfp , dan
laba total adalah selisih dari penerimaan total dengan biaya total
qxpxQR . Untuk memperoleh laba maksimum dibutuhkan
persyaratan:
0''' QR atau '' QR
Ini sesuai dengan pengetahuan teori ekonomi dasar yang
menyatakan bahwa : laba maksimum yang dapat diperoleh si produsen
bila MCMR . Sehingga terjadi harga yang terjadi p dengan jumlah
hasil produksi 1x . Juga diperhatikan persyaratan : 0'' atau 0'' .
Contoh:
Misalkan fungsi permintaan suatu barang px 20400 dan biaya
rata-rata 50
550
52x
xQx
q . Tentukan laba maksimum!
Penyelesaian
QR
Persyaratan yang harus dipenuhi : 0'',0'
''0''' QRQRdx
dQ
dx
dR
dx
d
Dari biaya total, diperoleh : 25
5'x
dx
dQQ dan xpR
dx
dRR .'
px 20400
xx 40020
2020
xp
2020
2xxxpR
1020'
xR
dx
dR
Padahal '' QR maka:
1020
255
xx
151025
xx
Matematika Ekonomi
98
3,920
10720
1077
750
7507
1550
7
p
x
x
x
Dan besarnya laba maksimum:
2020
505
22 xx
xx
2,23
Cek: 10
1''
2
2
dx
RdR
25
1''
2
2
dx
QdQ
025
1
10
1''''
2
2
QRdx
d (memenuhi)
Jadi, 0''
1. Pengaruh Perpajakan Pada Monopoli
Adanya pajak sebesar t per unit yang dikenakan terhadap barang
yang diproduksi oleh seorang monopoli akan menimbulkan meningkatnya
biaya rata-rata sebesar t dan meningkatnya biaya total sebesar tx . Harga
dan jumlah keseimbangan yang dicapai yaitu dengan memaksimalkan
laba dan dengan menggunakan fungsi biaya:
txQQ 1 . Jadi, txQRQR 1
xtqp )(
Memaksimalkan laba syaratnya: 0''&0'
Jika pajak yang dikenakan merupakan pajak penjualan yang
didasarkan pada harga, yang ditetapkan kepada konsumen yaitu:
rrpt ; dalam persentase. Maka persamaan laba dapat dinyatakan :
Matematika Ekonomi
99
Misalkan:
p : harga sebelum pajak
1p : harga sesudah pajak, sehingga )1(1 rpp .
Jadi Qr
xpQpxQR
1
1 dimana 1p dan Q adalah
fungsi dari x .
Contoh:
Bila fungsi permintaan adalah xp 310 , biaya rata-ratanya 3q
dan terhadap barang ini dikenakan pajak sebesar satu per unit pada si-
monopolis. Tentukan banyaknya barang dan harganya yang dapat
menghasilkan laba maksimum.
Penyelesaian:
xp 310 ; 413 q
2310 xxpxR xQ 41
xpxR 6' dan 4'1 Q
6'' R 22 364310 xxxxx
x66'
6''
Syarat laba maksimum : 0'
1066 xx
73101 px
336
Jadi banyaknya barang adalah 1 dan harga barang yang menghasil-
kan laba maksimum adalah 7.
2. Penerimaan Maksimum Dari Pajak
Jika pajak tambahan dikenakan terhadap suatu barang yang
dipasarkan, maka penerimaan total dari pajak T yang diterima Pemerintah
adalah 1txT .
Dimana :
1x : jumlah keseimbangan baru setelah pajak
t : bayar per unit
Matematika Ekonomi
100
Nilai t dan 1x dihubungkan melalui fungsi permintaan dan penawaran
)(: 1 xfpD dan txFsS )(: 1
Bila t dianggap variabel, maka terlihat 0t berarti penerimaan
dari pajak tidak ada dan bila pajak t sangat besar sehingga menimbulkan
jumlah yang diminta nol, maka penerimaan dari pajaknya juga tidak ada.
Sehingga dengan demikian kita dapat menentukan besarnya nilai T
maksimum. Seandainya T merupakan fungsi dari t saja, maka maksi-
mumnya dicapai dengan melihat penerimaan marginal dari pajak dengan
pemakaian pada t saja atau x saja.
Bila t merupakan hubungan linier dengan x , maka T fungsi dari x .
Contoh:
Bila diketahui permintaan suatu barang adalah: xp 212 dan
fungsi penawaran barang xp 23 . Terhadap barang ini dikenakan
pajak tambahan sebesar t . Berapa besarnya pajak t tersebut agar hasil
penerimaan total dari pajak bagi pemerintah menjadi maksimal.
Penyelesaian:
xpD 212:
txpS 3:1
Titik keseimbangan pasar dicapai bila:
txx 3212
xt 39
tt
x3
13
3
9
Hasil penerimaan dari pajak ini adalah:
2
3
13. ttxtT
tdt
dT
3
23 dan 0
3
22
2
dt
Td
Hasil penerimaan pajak yang maksimum dicapai untuk
9 ;5,1 ;5,4 pxt dan 75,6makT .
3. Consumer’s Surplus dan Producer’s Surplus.
Apabila fungsi atau curve permintaan suatu barang tertentu
diketahui dan besarnya permintaan pasar 0x dan harga yang terjadi 0P
Matematika Ekonomi
101
dapat ditentukan, seperti halnya pada pasar persaingan murni, pasar
monopoli dan sebagainya.
Dalam hal ini consumer yang sebenarnya telah bersedia membayar
untuk harga yang lebih dari harga pasar 0P .
Keuntungan yang diterima “consumer’s surplus”, surplus ini dinilai
dari luas dibawah curve permintaan sampai dengan tingkat harga yang
terjadi di pasar.
Curve-nya adalah:
Dari gambar dapat dilihat: luas dibawah Curve permintaan dikurangi
luas segi empat dari 00Px adalah luas consumer’s surplus (c.s).
)( .. 000
0xpdxpdsc
x
Dimana pd adalah suatu fungsi dari x untuk fungsi permintaan.
Jika fungsi permintaan adalah: )( pgx maka consumer’s surplus
diperoleh yaitu:
dpxscx
..0
0 .
Dimana luas yang terdapat dengan melihat sumbu p sebagai garis
horizontal, yang dimulai dari 0
p sampai dengan titik M dari nilai pd
saat 0x .
Jika fungsi atau curve penawaran suatu barang tertentu diketahui,
dimana jumlah yang ditawarkan 0x dengan harga 0
p , maka produser
(supplier) menawarkan barangnya dibawah harga 0
p , dan mendapatkan
keuntungan karena harga yang terjadi adalah 0
p .
X
P
P0 E
D
Cs
X0
S
Matematika Ekonomi
102
Surplus produser total dapat dinyatakan pada gambar:
Dari gambar terlihat bahwa surplus produser adalah luas dibawah
garis horizontal 0
p dan diatas curve penawaran. Keuntungan ini disebut
producer’s surplus.
Untuk mencari producer’s surplus dengan mencari luas:
dxxpspx
ps )0(..0
00
Dimana ..sp merupakan suatu fungsi dari p untuk fungsi
penawaran. Jika fungsi penawaran dalam bentuk )( pGx ; maka luas
producer’s surplus yaitu dpxspx
..0
0 .
Dimana luasnya dapat dicari dengan melihat sumbu p sebagai garis
horizontal yang dimulai dari titik sampai dengan 0
p dari curve pada
saat 0x .
Contoh 1:
Jika fungsi permintaan adalah 2235 xxp , maka tentukan
besarnya consumer’s surplus pada 30 x .
Penyelesaian:
2235 xxp bila 30 x maka 200p
Grafik fungsi atau curve permintaan merupakan sebagian dari
parabola dan dapat digambarkan:
X
P
P0 E
D Ps
X0
S
Matematika Ekonomi
103
)()235(.. 0023
0xpdxxxsc
)3.20()235( 23
0 dxxx
)60()235( 23
0 dxxx
27603
135
3
032 xx
Jadi besarnya consumer’s surplus adalah 27.
Contoh 2:
Bila fungsi penawaran adalah xp 16 dan 50 x . Carilah
besarnya producer’s surplus.
Penyelesaian:
xpxp 1616 2
162 px
Jika 5500 px dan 40 px
Grafik fungsi atau Curve penawaran merupakan sebagian parabola
dan dapat digambarkan:
10
X
P
35
0
D
Cs
5
20
Matematika Ekonomi
104
dxxsp 1645..9
0
9
016)16(
3
245 xx
3
14
3
13
3
128
3
25045
Contoh 3:
Jika diketahui fungsi permintaan adalah 21
12:
xpD dan fungsi
penawaran adalah 21
12:
xpS dan fungsi penawaran ),2(
2
1: xpS
tentukan Consumer’s surplus dan producer’s surplus pada titik
keseimbangan pasar (silahkan coba sendiri).
Contoh 4:
Bila diketahui fungsi permintaan 2)8(: xpD dan fungsi
penawaran xpS 510: . Tentukan consumer’s surplus dan producer’s
surplus.
a. Pada titik keseimbangan pasar.
b. Laba maksimal dari pasar monopoli dimana fungsi penawaran
tersebut merupakan fungsi biaya marginal.
Penyelesaian
a. Keseimbangan pasar diperoleh DS
)8(510 xx
21664510 xxx
4
X
P
1
0
S Cs
9
5
Matematika Ekonomi
105
054212 xx
0)18)(3( xx
Jadi titik keseimbangan pasar adalah pada 30x dan 25p .
Grafik fungsi atau curve permintaan dan penawaran dapat
digambarkan:
Besarnya consumer’s surplus:
75)1616(.. 23
0 dxxxsc
54753
1816
3
0
32 xx
Besarnya producer’s surplus: 3
0
3
0)
2
510(75)510(75.. 2xxdxxsp
b. Laba maksimal dari pasar monopoli diperoleh:
321664 xxxR xQ 510'
233264' xxR
'' QR
xxx 51033264 2
60
50
40
D
20
X
P
10
0
E
S
8
30
4
Matematika Ekonomi
106
03/354 2 xx
3
211 x dan
3
2102 x
Jumlah yang dicapai pada laba maksimal adalah 3
21x dengan
harga 3
118 .
Besarnya consumer’s surplus adalah:
9
275)33264(.. 23/5
0 dxxxsc
9
275
3
1864
4/5
0
32 xxx
43,55
Besarnya producer’s surplus adalah:
dxxsp )510(9
275..
3/5
0
3/5
0)
2
510(
9
275 2x
0
18
125
3
50
9
275
18
125300
9
275
4,718
125
18
425
18
550
Matematika Ekonomi
107
BAB VII
ALJABAR DAN MATRIKS
A. Matriks dan Vektor
Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan, parameter atau variabel tersusun
dalam baris dan kolom sehingga terbentuk segi empat. Susunan ini
biasanya diletakkan dalam tanda kurung atau kurung siku .
Bilangan, parameter atau variabel yang berada dalam kurung tersebut
merupakan anggota atau elemen dari matriks.
Notasi : huruf besar, misal A
Contoh matriks A dengan elemen aij
A = [ aij ], dengan i = 1 ,2, ..., m
J = 1 , 2, ..., n
m : menunjukkan baris
n : menunjukkan kolom
m x n : dimensi / ordo / ukuran matriks
Vektor
Susunan bilangan yang hanya terdiri dari satu baris (vektor baris)
atau satu kolom vektor kolom).
Vektor baris nxn aaaA 11211)1( ... .
Vektor kolom
1
21
11
)1(...
m
mx
a
a
a
A
Matematika Ekonomi
108
Jenis-jenis Matriks
1. Matriks Bujur Sangkar
Matriks yang memiliki jumlah baris (m) dan jumlah kolom (n) yang
sama. Misal matriks A berdimensi 2 x 2 dimana m = 2 dan n =2.
2221
121122
aa
aaA x
2. Matriks Diagonal
Matriks A disebut matriks diagonal jika 0ija untuk ji .
3 0 0
0 2 0
0 0 1
32 31
33
232221
131211
22
aaa
aaa
aaa
A x
3. Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar yang memiliki elemen di bawah diagonal
merupakan cerminan dari elemen di atas diagonal sehingga tranpose
matriks )atau '( TAAA sama dengan matriks ) '( AAAA T . Atau
dengan kata lain, matriks A disebut matriks simetris jika jiij aa untuk
setiap i dan j.
4 7 5
7 2 3
5 3 1
][
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A dimana
3223
3113
2112
aa
aa
aa
4. Matriks Skalar
Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen nilai yang sama pada
diagonal utamanya.
33
22
11
0 0
0 0
0 0
a
a
a
A dimana 332211 aaa
Contoh:
]3[
4 0 0
0 3 0
0 0 3
Matematika Ekonomi
109
5. Matriks Identitas ( I atau nI )
Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen pada diagonal utama
bernilai 1, sedangkan elemen yang lain bernilai nol.
1 0
0 12I
0 0 0
0 1 0
0 0 1
3I
Sifat-sifat:
a. AIAAI
b. IIT
c. II 1
6. Matriks Nol
Matriks yang seluruh elemen-elemennya terdiri dari bilangan nol.
0 0
0 022xI ,
0
0
0
13xI
7. Matriks Segitiga
Matriks dimana nilai semua elemen di atas diagonal utama atau di
bawah diagonal utama bernilai nol.
Matriks segitiga atas:
33
2322
131211
0 0
0
a
aa
aaa
A
Matriks segitiga bawah:
332331
232221
0 0 0
aaa
aaaA
8. Matriks Idempoten
Matriks bujur sangkar A disebut matriks idempoten jika memenuhi
aturan AA=A.
Contoh:
6,0 3,0
8,0 4,0A
AA
6,0 3,0
8,0 4,0
6,0 3,0
8,0 4,0
6,0 3,0
8,0 4,0
Matematika Ekonomi
110
9. Matriks Partisi
Suatu matriks yang dibagi menjadi dua atau lebih submatriks.
Pembagiannya dapat dilakukan menurut baris dan (atau) kolom. Matriks
partisi ditandai dengan garis horizontal dan (atau) garis vertikal secara
terputus-putus. Kegunaannya adalah untuk memudahkan dalam operasi
matriks. Misal matriks A berukuran m x n :
2221
121121
2
1 ,,AA
AAAAAA
A
AA
10. Matriks Tranpose
Matriks yang barisnya saling dipertukarkan menjadi kolom atau
sebaliknya kolom menjadi baris.
Notasi: 'A atau TA
Contoh:
2 9
7 3A maka
2 7
9 3TA
Sifat-sifat Tranpose:
a. Tranpose dari tranpose suatu matriks adalah matriks itu sendiri
atau matriks aslinya.
AA TT ][
b. Tranpose dari suatu jumlah atau selisih matriks adalah jumlah
selisih matriks masing-masing tranpose.
TTT BABA ][
c. Tranpose dari suati hasil kali matriks adalah perkalian dari
tranpose-tranpose dalam urutan yang terbalik.
TTT ABAB ][ atau TTTT ABCABC ][
Operasi Matriks
a. Penjumlahan dan pengurangan matriks
Matriks dapat dijumlah atau dikurang jika memiliki dimensi
(ukuran) yang sama.
mxnmxnmxn CBA
Sifat-sifat penjumlahan (atau pengurangan):
Komutatif: ABBA
Asosiatif: )()( CBACBA
Matematika Ekonomi
111
b. Perkalian matriks
Matriks dapat dikalikan jika dan hanya jika ukuran kolom suatu
matriks sama dengan ukuran baris matriks lainnya.
mxnpxqmxn CBA dimana n = p
Sifat-sifat:
1) 00 A
2) 0AI
3) Perkalian skalar AkkAk :)(
4) BAAB
5) Asosiatif: )()( BCACAB
6) Distributif: BCABCBA )(
CABAACB )(
Determinan dan Sifat Dasar dari Determinan
Determinan suatu matriks adalah suatu bilangan skalar yang
diperoleh melalui operasi tertentu dari elemen-elemen matriks tersebut.
Determinan hanya dapat diperoleh pada matriks bujur sangkar. Penulisan
suatu determinan matriks ditandai dengan kurung | |, misalkan determinan
matriks A ditulis A .
Metode perhitungan determinan:
a. Determinan tingkat dua (second-order determinant)
2221
1211
aa
aaA
)()(
221222112221
1211aaaa
aa
aaA
Contoh:
18)}4)(8{()}5)(10{(5 8
4 01
A
b. Determinan tingkat tiga (third-order determinant)
333231
232221
131211
][
aaa
aaa
aaa
A
Matematika Ekonomi
112
1) Metode sarrus
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
122133112332132231
312313312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
Contoh:
9 8 7
6 5 4
3 1 2
A
9
)7)(5)(3()9)(4)(1()6)(8)(2()4)(8)(3()7)(6)(1()9)(5)(2(
2) Metode laplace expanation
j
i
ijijCaA1
Dimana:
ijji
ij CC )1(
ija : elemen matriks A ke-ij
ijC : kofaktor matriks ke-ij
ijM : minor matriks ke ij, merupakan nilai submatriks
dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.
Sehingga nilai determinan dari matriks A berdimensi 3 x 3:
131312121111 CaCaCaA
131312121111 MaMaMaA
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaA
312213
322113332112312312322311332211
aaa
aaaaaaaaaaaaaaa
Matematika Ekonomi
113
Sifat-sifat Determinan:
a. Pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai
determinan. Dengan kata lain, nilai determinan suatu matriks
sama dengan nilai determinan tranpose matriks tersebut.
'AA
bcaddb
ca
dc
ba
Contoh: 96 3
5 4
6 5
3 4
b. Pertukaran dua baris (atau dua kolom) manapun akan mengubah
tanda, tetapi nilai dari determinannya tidak berubah.
bcaddc
ba
Pertukaran kedua baris menghasilkan:
)(
bcadadcb
ba
dc
Contoh: 26
1 0 3
7 5 2
3 1 0
,
Pertukaran kolom pertama dengan kolom ketiga menghasilkan:
26
3 0 1
2 5 7
0 1 3
c. Perkalian dari satu baris (atau satu kolom) manapun dengan
bilangan skalar k akan mengubah nilai determinan sebesar k kali.
)(
bcadkkbckad
dc
kbka
Perlu diingat bahwa: AkkA
Jika dengan mengalikan suatu matriks A dengan bilangan konstan
k, maka semua elemen dalam A dikalikan oleh k. Tetapi, bila
mengalikan determinan A dengan k, hanya satu baris (atau kolom
yang dikalikan oleh k.
Matematika Ekonomi
114
kdkc
kbka
dc
bak
dkc
bka
dc
kbka
dc
bak
d. Penambahan (atau pengurangan) dari suatu kelipatan baris atau
kolom manapun, ke baris atau kolom yang lain akan menyebab-
kan nilai determinannya tidak berubah.
)()(
kacbkbda
kbdkac
ba
dc
babcad
e. Apabila satu baris atau kolom adalah identik atau kelipatan dari
baris atau kolom lainnya, maka nilai determinannya akan menjadi
nol.
022
2 2 abab
ba
ba
B. Model Linier dengan Pendekatan Matriks
Pengenalan Matriks
Matriks adalah sederetan bilangan berbentuk persegi panjang yang
diapit oleh sepasang kurva siku dan memenuhi aturan-aturan tertentu.
Matriks juga didefinisikan sebagai array segi empat dari bilangan,
parameter, atau variabel. Misalkan diketahui sistem persamaan linear
sebagai berikut :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 3 22
4 2 12
4 5 10
x x x
x x x
x x x
Maka sistem persamaan linear (SPL) tersebut dapat ditulis dalam
bentuk berikut :
1
2
3
6 3 1 22
1 4 2 , , 12
4 1 5 10
x
A x x d
x
Matematika Ekonomi
115
Sehingga bentuk tersebut dapat ditulis dalam bentuk umum berikut :
11 21 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
..., ,
.... .... ... .... ... ...
...
n
n
m m mn n m
a a a x d
a a a x dA x d
a a a x d
Matriks m x n menunjukkan m baris dan n kolom. Matriks ijA a
menunjukkan suatu matriks A yang berisi elemen i dan j adalah baris ke-i
dan j adalah kolom ke-j.
11 12
21 22
a aA
a a
Sehingga dapat dibuat matriks dengan berbagai dimensi sesuai
dengan banyaknya baris dan kolom. Sebagai contoh adalah matriks 2 x 3
dan matriks 3 x 3 berikut.
2 3
1 3 1
2 1 4xA
3 3
1 3 1
2 1 4
4 7 6
xA
Operasi Matriks
Untuk menggunakan matriks dalam aplikasi ekonomi, terlebih
dahulu perlu dipahami operasi matriks, yaitu :
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua buah matriks bisa ditambah atau dikurangi jika dan
hanya jika matriks tersebut memiliki dimensi yang sama. Contoh:
1) 1 3 6 7
,2 1 8 9
A B
maka penjumlahan matriks A dan
matriks B adalah 7 10
10 10A B
Bentuk umumnya : ij ij ija b c , dimana ij ij ijc a b .
Jika matriks B dijumlahkan dengan matriks A menghasilkan :
7 10
10 10B A
Kesimpulan : A B B A .
Matematika Ekonomi
116
2) Pengurangan matriks A dan B menghasilkan matriks :
5 4
6 8A B
Bentuk umumnya : ij ij ija b c , dimana ij ij ijc a b .
Jika matriks B dikurangi matriks A menghasilkan :
5 4
6 8B A
Kesimpulan : A B B A .
Hukum komutatif hanya berlaku pada operasi penjumlahan
matriks, yaitu : A B B A .
Selain berlaku hukum komutatif, pada operasi penjumlahan
matriks juga berlaku hukum asosiatif, ( ) ( )A B C A B C ,
coba buktikan.
b. Perkalian Skalar
Perkalian matriks dengan angka atau yang lebih sering dikenal
dengan skalar adalah perkalian setiap elemen matriks dengan
skalar tersebut.
Contoh :
Perkalian matriks A, 1 3
2 1A
, dengan angka 10, akan
menghasilkan, misalkan matriks B, yaitu :
1 310
2 1B
=
10 30
20 10
.
c. Perkalian Matriks
Untuk suatu matriks A dan B, secara umum, jika matriks A
memiliki dimensi m x n dan matriks B memiliki dimensi p x q,
maka matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika dan hanya
jika n = p.
Contoh :
1) 1 2 11 12xA a a dan
232221
13121132
bbb
bbbB , maka :
Matematika Ekonomi
117
1 2 2 3 11 12 13.x xA B C c c c
Dimana :
11 11 11 12 21
12 11 12 12 22
13 11 13 12 23
c a b a b
c a b a b
c a b a b
2) Dalam perkalian matriks berlaku aturan Asosiatif dan
Distributif.
Aturan Asosiatif
( ) ( )AB C A BC
Aturan Distributif
( )A B C AB AC
( )B C A BA CA
Jenis-jenis Matriks
a. Matriks Identitas
Matriks identitas atau identity matrix adalah matriks kuadrat
(square matrix) dengan nilai 1 pada diagonal utamanya dan nilai
0 pada posisi lainnya. Disimbolkan dengan In atau I saja.
Contohnya sebagai berikut :
2
1 0
0 1I
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
Pada matriks identitas berlaku aturan : IA AI A .
Contoh :
Bila
3 0 2
3 2 1A , maka
1) 1 0 1 2 3 1 2 3
0 1 2 0 3 2 0 3IA A
2)
1 0 01 2 3 1 2 3
0 1 02 0 3 2 0 3
0 0 1
AI A
Matematika Ekonomi
118
Jika nA I , dimana In adalah matriks identitas, sehingga :
2( )n n nAI I I ( ) , ( 1,2,.....)k
n nI I k
Suatu matriks identitas tidak akan berubah jika dikalikan berapa
kalipun oleh matriks itu sendiri, disebut dengan matriks
idempoten (idempotent matrix).
b. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya berupa
bilangan nol. Contoh :
(2 2)
0 00
0 0x
, dan (2 3)
0 0 00
0 0 0x
Pada matriks nol berlaku aturan :
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0mxn mxn mxn mxn mxnA A A
b. ( ) ( ) ( ).0 0mxn nxp mxpA
c. ( ) ( ) ( )0 . 0qxm mxn qxnA
c. Matriks Kolom
Adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja.
Contoh :
1
2
4
A
d. Matriks Baris
Adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja.
Contoh :
1 3 1A
Transpose Matriks
Transpose matriks dapat dilakukan dengan menukar posisi baris dan
kolom, baris pertama akan menjadi kolom pertama dan kolom pertama
akan menjadi baris pertama, dan dinotasikan dengan 'A atau
TA .
Contoh:
Matematika Ekonomi
119
3 8 9
1 0 4A
dan 3 4
1 7B
Maka transpose dari kedua matriks tersebut adalah :
'
3 1
8 0
9 4
A
dan '3 1
4 7B
Secara definisi, jika matriks A berdimensi m x n, selanjutnya
transpose-nya, 'A , akan berdimensi n x m. Untuk matriks kuadrat yang
berdimensi n x n memiliki transpose dengan dimensi yang sama.
Sifat-sifat Transpose
a. Transpose dari transpose matrik adalah matrik asalnya
' '( )A A
Contoh: 4 1
9 0A
, maka '
4 9
1 0A
Sehingga: ' '
4 1( )
9 0A
; terbukti ' '( )A A .
b. Transpose dalam bentuk penjumlahan adalah penjumlahan dari
transpose:
' ' '( )A B A B
Contoh : 4 1
9 0A
dan 2 0
7 1B
Selanjutnya :
6 1
16 1A B
, maka
'6 16
( )1 1
A B
'4 9
1 0A
dan '
2 7
0 1B
, maka ' '
6 16
1 1A B
Terbukti ' ' '( )A B A B .
Matematika Ekonomi
120
c. Transpose suatu hasil perkalian adalah perkalian dari transpose
dalam urutan yang terbalik (in reverse order)
' ' '( )AB B A
Contoh : 1 2
3 4A
dan 0 1
6 7B
, maka
1)
25 24
13 12AB sehingga
25 31
42 12)'(AB
2)
52 31
42 12
4 2
3 1
7 1
6 0 '' AB
3) Jadi, terbukti ' ' '( )AB B A .
Invers Matriks
Untuk matriks A, invers matriks A dinotasikan dengan 1A. Pada
umumnya, setiap matriks pasti memiliki transpose, tetapi tidak dengan
invers matriks. Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks, 1A, hanya bisa didefinisikan dari matriks segi empat atau persegi yang
memenuhi kondisi :
1 1AA A A I
Sifat-sifat Matriks Invers adalah :
a. Tidak setiap matriks persegi (jumlah baris = kolom) mempunyai
invers. Matriks persegi merupakan syarat perlu (necessary
condition) tapi belum merupakan syarat cukup (sufficient
condition) untuk menimbulkan invers matriks. Matriks persegi
yang memiliki invers disebut matriks non-singular, dan yang
tidak memiliki invers disebut matriks singular.
b. Invers dari matriks invers adalah matriks awal. 1 1( )A A
c. Invers dari perkalian matriks AB adalah perkalian invers matriks
AB dengan susunan yang berkebalikan. 1 1 1( )AB B A
d. Invers dari matriks transpose adalah transpose dari matriks
invers. ' 1 1 '( ) ( )A A
Matematika Ekonomi
121
e. Jika A adalah matriks yang berdimensi n x n, selanjutnya 1A
haruslah merupakan matriks yang berdimensi n xn juga.
f. Jika suatu matriks memiliki invers, matriks tersebut adalah unik
(unique).
Seperti disebutkan sebelumnya, matriks persegi dapat memiliki
invers atau disebut juga matriks non-singular, dan ada juga yang tidak
memiliki invers atau disebut matriks singular. Syarat untuk matriks yang
non-singular adalah :
a. Syarat Perlu
Syarat perlu atau necessary condition-nya adalah matriks
tersebut harus berbentuk matriks persegi atau kuadrat.
b. Syarat Cukup
Syarat cukup atau sufficient condition adalah bahwa baris
maupun kolom matriks tersebut harus bebas secara linear
(linearly independent). Suatu baris atau kolom dikatakan sebagai
tidak bebas secara linear (linearly independent) jika dan hanya
jika baris atau kolom tersebut bukan merupakan kombinasi linear
dari baris atau kolom lainnya.
Misalkan ada matriks berikut :
1) 5 12
10 24A
matriks ini tidak bebas secara linear (linearly
independent). Karena baris 1, 1 5 12b dan baris 2,
2 10 24b memiliki kombinasi linear. Yaitu :
21 )24 10()12 5(22 bb atau 02 21 bb
2) 1
2
3
3 4 5
0 1 2
6 8 10
v
A v
v
matriks ini juga tidak bebas secara
linear (linearly independent). Karena 3 12v v , yaitu
)5 4 2((2)10 8 6( . Atau bisa ditulis juga, 3 1 22 0v v v ,
1 2 32 0 0v v v . Bentuk terakhir ini akan diperoleh vector
nol, sehingga dapat dikatakan matriks ini juga tidak bebas
secara linear (linearly independent).
Matematika Ekonomi
122
1. Pengujian Non-Singularitas dengan Menggunakan Determinan
Determinan matriks A, A , berupa bilangan skalar/konstan.
Determinan didefinisikan hanya untuk matriks kuadrat atau persegi saja.
Matriks terkecil yang mungkin memiliki determinan adalah matriks
dimensi 1 x 1, 1 1 11xA a . Determinan sama dengan elemen tunggal
11a , 11 11A a a .
a. Determinan Orde Kedua
Untuk matriks 2x2, 11 12
21 22
a aA
a a
maka determinannya
dirumuskan sebagai berikut : 11 12
11 22 21 12
21 22
a aA a a a a
a a .
Contoh : 10 4
8 5A
maka determinan matriks A adalah
10 410(5) 8(4) 18
8 5A
b. Determinan Orde Ketiga
Untuk matriks 3x3, 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
maka determinan-
nya dirumuskan sebagai berikut :
11 12 13
22 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 13
32 33 31 33 31 32
31 32 33
a a aa a a a a a
A a a a a a aa a a a a a
a a a
11 22 33 11 23 32 12 23 31 12 21 33 13 21 32 13 22 31A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Ini yang dikenal dengan Metode Sarus.
Contoh :
2 1 3
4 5 6
7 8 9
A
maka determinan matriks A adalah
Matematika Ekonomi
123
)9)(4)(1()6)(8)(2()4)(8)(3()7)(6)(1()9)(5)(2(
9 8 7
6 5 4
3 1 2
A
9)7)(5)(3(
c. Determinan Orde Ke-n
Untuk menghitung determinan dari matriks yang memiliki
dimensi besar, n x n, digunakan Metode Ekspansi Laplace.
Metode Ekspansi Laplace menggunakan salah satu baris atau
kolom saja dalam matriks tersebut. Misalkan ada matriks A yang
berdimensi 3x3, 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
, maka determinan matriks
A adalah 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
.
Untuk menentukan determinan matriks A, ambil salah satu
baris atau kolom, misalkan baris yang digunakan adalah baris 1,
1 11 12 13b a a a . Elemen-elemen pada baris 1 terdiri dari
11 12,a a, dan 13a
.
1) Elemen a11
Pada waktu memilih elemen a11 maka diperoleh sub-
determinan A yang diperoleh dengan menghilangkan baris
pertama dan kolom pertama dari A . Ini disebut minor dari
elemen a11 atau 11M .
22 23
11
32 33
a aM
a a
Matematika Ekonomi
124
2) Elemen a12
Pada waktu memilih elemen a12 maka diperoleh sub-
determinan A yang diperoleh dengan menghilangkan baris
pertama dan kolom kedua dari A . Ini disebut minor dari
elemen a12 atau 12M .
21 23
12
31 33
a aM
a a
3) Elemen a12
Pada waktu memilih elemen a13 maka diperoleh sub-
determinan A yang diperoleh dengan menghilangkan baris
pertama dan kolom ketiga dari A . Ini disebut minor dari
elemen a13 atau 13M .
21 22
13
31 32
a aM
a a
Suatu konsep yang berhubungan erat dengan minor
adalah kofaktor. Kofaktor dirumuskan : ( 1)i j
ij ijC M .
Maka pada waktu memilih baris pertama untuk menentukan
determinan dari matriks A diperoleh rumus sebagai berikut.
11 11 12 12 13 13A a M a M a M
3
11 11 12 12 13 13 1
1
ij j
j
A a C a C a C a C
Contoh :
Ada matriks 5 6 1
2 3 0
7 3 0
A
, tentukan determinan dari
matriks A tersebut dengan menggunakan metode ekspansi
laplace?
5 6 1
2 3 0
7 3 0
A
Matematika Ekonomi
125
a) Menggunakan baris pertama
0 3
0 3 11
M ,
0 7
0 212 M , dan
3 7
3 213
M
11 12 130, 0, 27M M dan M
1 3
13 13( 1)C M =-
27
3 0 2 0 2 35 6 1 0 0 27 27
3 0 7 0 7 3A
b) Menggunakan kolom pertama
11 21 31
3 0 6 1 6 1, ,
3 0 3 0 3 0M M dan M
11 21 310, 3, 3M M dan M
2 1 3 1
21 21 31 31( 1) 3, ( 1) 3C M dan C M
3 0 6 1 6 15 2 7 0 6 21 27
3 0 3 0 3 0A
2. Sifat-sifat Dasar Determinan
Ada lima sifat dasar determinan dan merupakan sifat umum
determinan untuk semua orde.
a. Pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai
determinan dari matriks, misalkan matriks A, tersebut. Sehingga : 'A A .
Contoh : 4 3 4 5
95 6 3 6
atau a b a c
ad bcc d b d
b. Pertukaran dua baris manapun (atau dua kolom manapun) akan
mengubah tanda, tetapi nilai bilangan dari determinan-nya tidak
berubah.
Matematika Ekonomi
126
Contoh :
1) a b
ad bcc d
, tetapi pertukaran kedua baris menghasilkan
( )c d
bc ad ad bca b
2) 0 1 3
2 5 7 26
3 0 1
, tetapi pertukaran kolom pertama dan ketiga
menghasilkan
3 1 0
7 5 2 26
1 0 3
c. Perkalian dari satu baris (atau satu kolom) manapun dengan
skalar k akan mengubah nilai determinan sebesar k kali. Dimana
k tadi dikalikan ke satu baris atau kolom saja.
Contoh :
2 416 20 4
5 8
Kalikan dengan skalar 3, maka 60488 5
21 6
8 5
4 23
)4(312 , dimana skalar 3 dikalikan ke baris 1 saja. Jika
skalar 3 dikalikan ke kolom 2 maka dihasilkan 8 5
4 23
)4(312604842 5
21 2 .
d. Pertambahan/pengurangan dari suatu kelipatan baris manapun
ke/dari baris yang lain akan menyebabkan nilai determinannya
tidak berubah, begitu juga dengan kolom.
Matematika Ekonomi
127
Contoh :
Jika ada matriks 2 4
5 8A
maka determinan dari matriks A
adalah A 2 4
16 20 45 8
Baris 1 matriks A dikali dengan skalar 3 kemudian ditambahkan
ke baris ke-2 maka dihasilkan matriks, misalkan matriks B,
berikut :
2 4
11 20B
maka determinan matriks B adalah 2 4
11 20B
40 44 4B .
e. Bila satu baris atau kolom adalah kelipatan dari baris atau kolom
lainnya, maka nilai determinan-nya menjadi nol.
Contoh :
3 6
4 8A
maka determinan matriks A, 3 6
4 8A = 24 – 24 = 0.
Rank/Peringkat Matriks
Rank suatu matriks menunjukkan jumlah maksimum baris atau
kolom yang bebas secara linear dalam matriks tersebut. Misalkan jumlah
baris maksimum dalam matriks A adalah r maka matriks A mempunyai
rank r. Rank dari matriks m x n paling tinggi bernilai m atau n, mana
yang terkecil. Contoh, temukan rank dari matriks
0 11 4
2 6 2
4 1 0
A
?
Langkah-langkah mencari rank suatu matriks adalah :
a. Periksa kolom pertama untuk keberadaan nol. Jika terdapat elemen nol di kolom 1, pindahkan 0 (elemen pertama dari kolom 1) ke
bagian bawah kolom tersebut. Tukar baris 1 dan baris 3, sehingga
dihasilkan :
1
4 1 0
2 6 2
0 11 4
A
Matematika Ekonomi
128
b. Tujuannya untuk membentuk matriks identitas dan matriks
segitiga atas. Sehingga baris 1 matriks 1A dikali dengan ¼,
menghasilkan matriks berikut.
2
1 1/ 4 0
2 6 2
0 11 4
A
c. Kemudian, perhatikan kolom pertama dan baris kedua matriks
2A , ubah elemen 2 menjadi nol. Baris 1 matriks 2A dikali
dengan skalar -2 kemudian tambahkan hasilnya dengan baris 2.
Sehingga dihasilkan matriks berikut.
3
1 0
0 2
0 11 4
A
¼
5½
d. Pada matriks 3A , baris 1 diabaikan. Sekarang perhatikan baris 2,
ubah elemen 5½ menjadi 1. Baris 2 dibagi dengan 5½, sehingga
dihasilkan matriks 4A berikut.
4
1 0
0 1 4 /11
0 11 4
A
¼
e. Pada matriks 4A , baris 1 dan 2 diabaikan. Sekarang perhatikan
baris 3-nya. Ubah elemen -11 menjadi nol. Baris 2 dikali dengan
11 kemudian tambahkan ke baris 3, sehingga diperoleh matriks
berikut.
5
1 0
0 1 4 /11
0 0 0
A
¼
f. Matriks 5A merupakan matriks akhir. Berdasarkan matriks
tersebut, jumlah baris bukan nol sebanyak dua (2) buah. Jadi,
dapat disimpulkan matriks 0 11 4
2 6 2
4 1 0
A
memiliki rank
sama dengan 2, r(A)=2.
Matematika Ekonomi
129
Mencari Matriks Invers
Bila matriks A dalam sistem persamaan linear : Ax=d adalah non-
singular, maka nilai x dapat dicari bila nilai 1A diketahui sesuai aturan :
1 1
1
Ax d
A Ax A d
x A d
Metode yang paling sering digunakan untuk mencari matriks invers
adalah dengan Metode Pembalikan Matriks. Misalkan matriks
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
maka matriks invers-nya adalah 1A. Dirumuskan:
1 1A adjA
A
. Contoh :
a. Carilah invers dari matriks 3 2
1 0A
?
Determinan matriks A, 2 0A maka matriks A memiliki
matriks invers, 1A. Kofaktor setiap elemennya adalah
determinan 1 x 1, yaitu :
11 12
21 22
0 1
2 3
C CC adjA
C C
1 1A adjA
A
10 2 0 1
1 3 3/ 2A
½
½
Jadi, matriks invers dari matriks A adalah 1
0 1
3/ 2A
½
.
b. Carilah invers dari matriks 4 1 1
0 3 2
3 0 7
B
?
Matematika Ekonomi
130
Determinan matriks B, 99 0B maka matriks B memiliki
matriks invers, 1B. Kofaktor untuk masing-masing elemennya
adalah :
2
11
3 2( 1) 21
0 7C
4
31
1 1( 1) 5
3 2C
3
12
0 2( 1) ( 6) 6
3 7C
5
32
4 1( 1) 8
0 2C
4
13
0 3( 1) 9
3 0C
6
33
4 1( 1) 12
0 3C
3
21
1 1( 1) 7
0 7C
4
22
4 1( 1) 31
3 7C
5
23
4 1( 1) ( 3) 3
3 0C
Maka matriks invers dari matriks B adalah :
11 12 13
1
21 22 23
31 32 33
21 6 9
7 31 3
5 8 12
C C C
B C C C
C C C
Aturan Cramer dirumuskan sebagai berikut.
* j
j
Ax
A
Matematika Ekonomi
131
Contoh :
Carilah solusi dari sistem persamaan linear (SPL) berikut :
1 2
1 2
5 3 30
6 2 8
x x
x x
SPL tersebut dapat dibuat matriks, Ax=d.
1
2
5 3 30, ,
6 2 8
xdan
x
5 3
6 2A
sehingga 28A
1
30 384
8 2A
2
5 30140
6 8A
Maka : 1*
1
843
28
Ax
A
2*
2
1405
28
Ax
A
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear
tersebut adalah *
1 3x dan *
2 5x .
Matematika Ekonomi
132
DAFTAR PUSTAKA
Alpha, C.C., 1984, Fundamental Methods of Mathematical Economic,
McGraw. Hill. Inc. USA
Assaury, S.,1992, Matematika Ekonomi, Jakarta, Rajawali
Dumary, 1999, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi,
Yogyakarta, BPFE
Draper, JE., Klingman, JS., 1967, Mathematical Analysis, Business and
Economics Applications, New York, Harper and Row
Handoko, BS., 1974, Petngantar Matematika Untuk Ekonomi, Jakarta,
LP3ES
Hartono, D., 2008, Bahan Ajar Matematika Ekonomi, Jakarta, Program
Pascasarjana Ilmu Ekonomi, UI
Insukindro, dkk, 1985, Matematika Ekonomi, Yogyakarta, BPFE
Insukindro, 1985, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Yogyakarta, BPFE
Nasoetion, AH., 1972, Aljabar Matriks, Jakarta, Bharatarara
Sarjono, 1985, Modul Matematika Ekonomi, Jakarta, Karunika
Suprapto, J, 1972, Pengantar Matriks, Jakarta, FE UI
Subanti, S. dan Harjito, B., 1991, Matematika Ekonomi, Surakarta, UNS
Tauchid, 1989, Matematika Ekonomi, Semarang, Untag
Varian, Hal R., 1992, Microeconomic Analysis 3nd
Edition, New York,
Norton & Company
